UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Homojn Hal Gtirilbiln Diransil Dnklmlr a b cd a' b' c' d 0 Şklindki diransil dnklm homojn olmamasına rağmn basit bir dğişkn dönüşümü il homojn hal dönüştürülbilir. a a' b b' ab' a' b 0 olduğu takdird iki doğru birbirin paralldir. a b cd ka b c' d 0 şklind azılabilir. Bu durumda u=a+b du=ad+bd dönüşümü apılarak dnklm homojn diransil dnklm halin dönüştürülbilir.
Örnk 4 5d 6 d 0 diransil dnklminin gnl çözümünü bulunuz. 4 6.6 4. 0 olduğu için: 5d d 0 şklind azılır. u du d d dönüşümü apılırsa: du d u 5d u 0 u d u du 0 u d du 0 u 8lnu C 0 u C 0 4 6 8ln
Örnk ' 0 diransil dnklminin gnl çözümünü bulunuz... 0 olduğu için: u u' ' dönüşümü apılırsa: u' u u 0 u u ' 5u 0 5u 5. 5u u du d 5u 6 du d du 5 5. 6 du 5u d u 5 6 5 ln 5u C 0 5 A 0 0 0 6ln 0
Homojn Hal Gtirilbiln Diransil Dnklmlr a b cd a' b' c' d 0 Şklindki diransil dnklm homojn olmamasına rağmn basit bir dğişkn dönüşümü il homojn hal dönüştürülbilir. a a' b b' ab' a' b 0 olduğu takdird iki doğru α β noktasında ksişir. X Y d dx d dy dönüşümü ugulanarak homojn diransil dnklm çvrilir.
Örnk 7 d 7 7d 0 diransil dnklminin gnl çözümünü bulunuz. 7 7 9 49 40 0 olduğu için: 7 0 7 7 0 doğruları 0 noktasında ksişir. X d dx 0 Y d dy dönüşümlri apılırsa dnklm aşağıdaki hal glir: dy dx Y 7X X 7Y Eld diln dnklm homojn diransil dnklmdir.
dy dx Y 7X X 7Y Y ux du dx X u dy dx du dx ux 7X X 7uX X u dönüşümü apılırsa: du dx X 7 u 7u 7u dx 5 du du 7 7 u u u X X dx 5 lnu lnu ln X C 5 u A u X 7 7 Y X 7 u dönüşümü apılırsa: 4 Y X A Y X 5 X X Y trs dönüşümü apılırsa: A 5 4
Tam Diransil Dnklmlr d d 0 şklindki diransil dnklmd; şartı grçklnirs bu tip diransil dnklm Tam Diransil Dnklm dnir. Çözümü: d S bulunduktan sonra: S ' ld dilir. Buradan: C şitliği bulunur.
Örnk d d 0 diransil dnklminin gnl çözümünü bulunuz.. olduğu için dnklm tam diransildir. d. d. ' ' 0 C Gnl çözüm: C
diransil dnklminin gnl çözümünü bulunuz. 0 cos sin d d sin cos 4 sin d d sin cos cos ' cos ' ln Gnl çözüm: C ln cos Örnk
diransil dnklminin gnl çözümünü bulunuz. 0 d b d a b a olduğu için dnklm tam diransildir. b d b d a ' a ' a Gnl çözüm: C a b Örnk
TAM DİFERANSİYEL HALE GETİRİLEBİLEN DENKLEMLER İntgral Çarpanı d d 0 şklindki diransil dnklmd; şartı grçklnmiorsa bu dnklm tam diransil dnklm dğildir. Bu dnklm λ intgrason çarpanı il çarpılarak tam diransil dnklm halin dönüştürülbilir. d. d 0.
İntgral Çarpanının sadc in onksionu olması durumu: 0 olacağına gör; 0. d d d d
4d d 0 Örnk dnklminin intgral çarpanını v gnl çözümünü bulunuz. 4 9 4 6 olduğuna gör vriln dnklm tam di. dnk. dğildir. d 9 4 6 d d d d d
0 4 d d 0 4 d d dnklmi tam diransil dnklmdir. d 4 ' 0 ' C C Gnl çözüm:
İntgral Çarpanının sadc nin onksionu olması durumu: 0 olacağına gör; 0. d d d d
Örnk dnklminin intgral çarpanını v gnl çözümünü bulunuz. 0 d d 4 6 6 olduğuna gör vriln dnklm tam di. dnk. dğildir. d d d d d d 6 6 4
dnklmi tam diransil dnklmdir. d 6 ' 6 ' C 4 4 Gnl çözüm: 0 d d C 4 4
LİNEER DENKLEMLER. Mrtbdn Linr Diransil Dnklmlr h ' g şklindki diransil dnklm linr dnir. Bu dnklm il bölünürs: ' şklindki gnl linr dnklm ormu ld dilir. Bu tiptki dnklmlrin çözümünd üç arı ol izlnir: A =uv dönüşümü il çözüm B µ=µ şklind bağlı intgrason çarpanı il çözümü C Sabitin dğişimi mtodu il çözüm: C
A =uv dönüşümü il çözüm: Örnk '.tan cot dnklminin gnl çözümünü =uv dönüşümü il bulunuz. uv ' u' v uv' u' v uv' uv.tan cot 0 u' u tan v uv' cot 0 0 u' u tan 0 du u tan. d uv' cot 0 v'cos cot 0 v C sin u cos uv C cos sin
Örnk ' dnklminin gnl çözümünü =uv dönüşümü il bulunuz. uv ' u' v uv' u' v uv'uv v' 0 u' uv uv' v ' 0 0 u' u 0 du u d v C u uv C
Örnk dnklminin gnl çözümünü µ=µ intgrason çarpanı il bulunuz. ' 0 d d Gnl çözüm: d μ d C μ μ ' ' d C d d d C ln ln ln d C C B µ=µ şklind bağlı intgrason çarpanı il çözümü:
C Sabitin dğişimi mtodu il çözüm: C Örnk ' dnklminin gnl çözümünü sabitin dğişimi mtodu il bulunuz. ' Önclikl dnklmin sağ tarasız çözümü bulunur: 0 d d ln C Daha sonra C sabiti C şklind sçilrk: C ' C' C C C' C C C' C' C A Gnl çözüm: A
' ' 0 Örnk dnklminin gnl çözümünü sabitin dğişimi mtodu il bulunuz. Önclikl dnklmin sağ tarasız çözümü bulunur: d d ln arctan C C arctan Daha sonra C sabiti C şklind sçilrk: arctan arctan C ' C' C arctan C arctan arctan C C arctan ' C' C arctan C arctan A arctan arctan arctan Gnl çözüm: A A arctan '