formundadır. Burada verilen bir f fonksiyonu F fonksiyonuna dönüşür ve F fonksiyonuna f in fonksiyon dönüşümü denir. K(s,t) ye çekirdek denir.

Transkript

1 LPLCE DÖNÜŞÜMÜ Lpl dönüşümü yrdımı il ğ rflı difrniyl dnklmin ğ rfınd bulunn fonkiyonun ürkliliği bozul bil(bmk,impul fonkiyonu) difrniyl dnklmlr çözülbilkir. Bu ip dnklmlrl lkrik imlrini çözrkn krşılşılır. Linr difrniyl dnklmlrin çözümlri için çok kullnıln yönmlrdn birii ingrl dönüşümlridir v bir ingrl dönüşümü F ( ) K(, ) f ( ) d () formunddır. Burd vriln bir f fonkiyonu F fonkiyonun dönüşür v F fonkiyonun f in fonkiyon dönüşümü dnir. K(,) y çkirdk dnir. L(f())= F( ) f ( ) d () L(f()) vy F() f fonkiyonunun Lpl dönüşümü dnir. K(,)= - dir. Lpl dönüşümünün nımındn d görüldüğü gibi bu dönüşüm gnllşirilmiş ingrl(impropr) görünümünddir. Bu ndnl gnllşirilmiş ingrl kvrmını hırlmk için bir örnk v orm vrlim. Gnllşirilmiş ingrl onlu rlıklr için ingrlin bir ınırı olrk nımlnır. f ( ) d lim f ( ) d poziif rl yı Eğr ingrl hr > için dn y vr i v limii mvu i gnllşirilmiş ingrl ykınk, ki kdird ırkkır. Örnk: d? > lim d lim lim ( ) < için gnllşirilmiş ingrl ykınkır. > v = için ırkkır. DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN -

2 Torm 6... f fonkiyonu için prçlı ürkli fonkiyon, M poziif bi bir yı v ğr f() g() M g ( ) d ykınk i f ( ) d d ykınkır. Diğr yndn v f() g() olmk üzr ğr M g ( ) d ırkk i f ( ) d d ırkkır. Yukrıd () nolu dnklml vriln L(f()) vy F() Lpl dönüşümünd gnllşirilmiş ingrl ykınk olduğund nımlnmkdır. Torm 6..: ) kyfi bir poziif yıı için rlığınd f fonkiyonu prçlı ürkli olun ) için f() K olun Bu şiizlik K,M poziif olmk üzr K,,M rl yılrdır. Bu şrlr ğlnıyor L(f())= F( ) f ( ) d dönüşümü > için vrdır. Örnk : f()=,, L()=? Lpl nımını kullnrk bulunuz. Çözüm: L()= F( ) f ( ) d = d = lim lim / > Örnk : f()=,, L( )=? Lpl nımını kullnrk bulunuz. L( )= d ( ) d ( ) lim d = lim ( ) DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN -

3 ( ) lim ( ) = /- > Örnk : f()= Sin(),, L(Sin())=? Lpl nımını kullnrk bulunuz. F()=L(Sin())= u dv in d in d du d v o lim uv- vdu in d = > F()= lim o o d ğ rf kımi ingryon uygulnır u dv od du v d in F() in d = / - / F() Örnk : F()= L(Sin()) =/( + ) > bulunur. f()= L()=? Lpl nımını kullnrk bulunuz. L()= F( ) f ( ) d = d dv u v du d d Ödv: - f()= L( )=? L( )=/ - f()= L( )=? L( )=6/ - f()= o(), L(o())=/ + DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN -

4 Lpl dönüşümü linr bir oprördür grçkn f v f fonkiyonlrını >,> için Lpl dönüşümlri bulunun. Burd, v nin mximumundn büyük olmk üzr L( f ()+ f ())= f( ) f( ) d f( ) d f( ) d L( f ()+ f ()) = L(f ())+ L(f ()) linr bir oprördür. Örnk: L(inh)= L( ) =? L( ) L( ) ( ) Ödv: L(oh)=? L(oh)= L( ) L(oh)= 6..BŞLNGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Lpl dönüşümü bi kyılı difrniyl dnklmlrin bşlngıç dğr problmlrinin çözümünd kullnılır. Lpl dönüşümünü bu ür problmlr uygulmdn ön f ', f '',...,f n () fonkiyonlrının lpl dönüşümünü bilmliyiz. Torm6..: f ürkli v f ' prçlı ürkli iki fonkiyon ( rlığınd olun yrı K,,M bilr olmk üzr f(), olun. Bu kdird L f ' () = L f() - f() ğlnır. Tormin ipı: ' f () d rlığındki noklr,,..., n f ürkiz i ' f () d = ' f () d + ' f () d f ' () d şiliğin ğ rfındki hr bir rimin ingrli lınır n DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN -

5 ' f () d = - () f + - f() f ( ) d f ( ) d+...+ f ( ) d f ürkli olduğundn,,..., n ifdlrindki ingrllrin dğılımı ihml dilir ' f () d = - f()-f()+ f () d f ( ) > L f ' () = L f() - f() Torm6..: n f ürkli v f ' prçlı ürkli iki fonkiyon ( rlığınd olun yrı K,,M bilr olmk üzr f(), f ' (),..., f n- () olun Bu kdird > için L f() vrdır, v L f n () = n L f() - n- f()-...-f (n-) ()- f (n-) () L f() = L y() il görirk L y n () = n L y() - n- y()-...-y n- ()- y n- () GENEL DURUM L y '' = L y() -y()-y () L y ' = L y() -y() L y = L y y(),y ' () krşılıklrı dif dnklmd yrlrin konulur v L y() çkilrk Lpl dönüşümü uygulnır ld diln ifdlr oplnrk gnl çözüm ld dilir. Lpl Dönüşümü blou L() = / > () L( ) = /- > () L( n ) n poziif = n!/ n+ > () L( p ) = (p+)/ p+ (>,p>-) () L(in) = / + > (5) L(o) = / + > (6) b in b = ( ) b (7) = (8) DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN -

6 = (9) = () = () L( u ( )) = - / () L( u ( ) f ( )) = () L( u ( )* f ( )) = () L(δ(-)) = - (5) L( f ( )) = F(-) (6) ÖRNEK : y''+y=in, y()=, y'()= bşlngıç koşullrını ğlyn difrniyl dnklmi çözünüz. çözüm: L(y '' )+L(y)=L(in) L(y '' )= L(y)-y()- y ' () L(y)= L(y) hr iki rfın lpl dönüşümü lınır, bşlngıç koşullrı yrin konulur y()=, y'()=, L(y) çkilir L(y '' +y)= L(in) L(y)-y()- y ' ()+ L(y)= /( +) L(y)-- + L(y)= /( +) L(y) + =++ L(y)= /( +)( +) bulunur. Bu ifdyi bi kirlr yırırk L(y)= v iki ifdnin pydlrı şilnir b d ( b)( ( ) ( )( d)( ) ) =(+) +(b+d) +(+)+(b+d) DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN - 5

7 += b+d= = = +=8 b+d=6 b=5/ d=-/ y()= 5/ /* Lpl dönüşüm bloundn bulunur. y= ()=o+5/ in-/in 6. BSMK FONKSİYONLRI Birim Bmk Fonkiyonu(Hviid Funion) u ()= şklind nımlnmkdır. u ()fonkiyonunun Lpl dönüşümü: L(u ())= u( ) d d lim d lim ( ) > dır. d için nımlı, vriln f() fonkiyonu için, ilgili g() fonkiyonu birim bmk fonkiyonu yrdımı il, y=g()= f ( ) formundki bir fonkiyon g()= u () f(-) şklind yzılbilir. Torm6..: Eğr > için F()=L(f()) vr v poziif bir yı i L(u ()f(-))= - L(f())= - F() > dır. Trin ğr f()=l - (F()) i burdn u ()f(-)= L - ( - F()) dır. DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN - 6

8 ÖRNEK : f()= in / in o( / ) / i L(f())=? f() fonkiyonu fonkiyonun oplmı şklind yzılbilir / f()=in+g()= in + o( / ) / g() fonkiyonu d u π/ ()= / / olmk üzr Böyl g()= u () o(- ) olur v Lpl dönüşümünün linrliğindn L f() = L in +L u () o(- ) = L in + -( )S L(o) ( / ) ( / ) ÖRNEK: F()=(- - )/ in r dönüşümünü bulunuz. Tr dönüşümün linrliğindn; L - ( - F()) =u ()f(-) il f()= L - (F())= L - ((- - )/ )= L - (/ )- L - ( - / )= - u ()(-) L - (/ )= f()= şklind bulunur. DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN - 7

9 Torm 6..: > için F()=L(f()) vr v bi i; L( f())=f(-), > + ğlnır. Trin, ğr f()= L - (F()) i ÖRNEK G()=/( -+5) f() = L - (F(-)) dır. in r dönüşümünü bulunuz. L - (G())=? çözüm: G()=/(-) + =F(-) yzbiliriz. Burd F()=( +) - dir L - (F())=in olduğundn orm6.. dn g()= L - (G())= L - (F(-))= b in in b ( ) b 6.. SÜREKSİZ KUVVET FONKSİYONLRI İLE DİFERNSİYEL DENKLEMLER örnk: g()=u 5 ()-u ()= 5 5 v olmk üzr y''+y'+y=g(), y()=,y'()= difrniyl dnklmin çözümünü bulunuz. Difrniyl dnklmin Lpl dönüşümü Y()-y()-y ()+Y()-y()+Y()=(L(u 5 ())-L(u ()))=( )/ Bşlngıç dğrlri yrlrin konup Y() çkilir; bulunur. 5 Y()= ( ) DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN - 8

10 y= () yi bulmk için Y() i dh bi olrk Y()= ( )H() şklind yzrız. Burdn H()= ( Burdn d ğr ) dır. h()=l - (H()) i y= ()=u 5 ()h(-5)-u ()h(-) ld dilir. -5 H() v - H() nin r dönüşümlrini yzmk için (Torm) ü kullnırız. Sonuç olrk h() bulmk için H() i bi kirlr yırırk b H()= /, b, / bulunur. Yukrıdki şilik yrlrin konur H()= / / / ( ) dönüşüm bloundn ( ) 5 6 yrrlnılrk y= ()=u 5 ()h(-5)-u ()h(-) / 5 5 / 5 h()= o( ) ( ) in( ) ( 5) / ( 5) / y= o( ( 5)) ( ) in( ( 5)) + ( ) / ( ) / o( 5 ( )) 5 ( ) 5 in( 5 ( )) Örnk : y +y= g() y()=,y'()= difrniyl dnklmin çözümünü bulunuz g()= 5 ( 5)/5 5 y=g()= f ( ) g()= u () f(-) 5, ( 5)/5 5 y=g()=u 5 ()(-5)/5 = ( )/5 y=g()=u ()(-)/5 5 ( 5)/5 5 ( )/5 DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN - 9

11 Bu iki fonkiyonun frkı g()= U 5 (-5)/5 U (-)/5 = 5 ( 5)/5 5 ( +)Y()= Y()= ( ) 5 5 =H() 5 5 y= Φ()= U 5 ()h(-5)/5 U ()h(-)/5 Burd h() H() nin r dönüşümüdür. Bi kirlr yırm il H() / / H()= h()= /-/8in. y=/(-5)/5-/8in(-5)/5-(/(-)/5-/8in(-)/5) İmpul (Drb) Fonkiyonlrı dir dl olrk iimlndirilir ( ) f ( ) d f ( ) v lpl dönüşümü: L( (- ))= - > dir. Örnk : y''+by'+y=g() (,b, bi) g()= (-7)+5 (+) fonkiyonunun Lpl dönüşümünü bulunuz. L( (- ))= - idi. L (g())= L( (-7))+5 L( (+))= (-) = bulunur. Örnk : y '' y' y ( ) y (), y '() bşlngıç dğr problmini çözünüz. Lpl dönüşümünün linrliğindn L y' ' L y' L y L ( ) = L y'' Y( ) y() L y' Y( ) y() L y Y( ) Y( ). Y( ) y'() Y( ) Y( ) y() y'() Y( ) y() Y( ) = DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN -

12 Y ( ), Y( ) F( ) olur. Ön F() nin lpl dönüşümü bulunur in b ( b ) b bnzilir f()=l - (F())= L L L = ( ) ( ) * ( ) f() L = in ( ( )) ( ) Diğr rfn f()=l - (F()) i u ()f(-)= L - ( - F()) idi. y= L - (Y())= L - ( - F())=u () ( ) in ( ) Ödv: y''+y'+y= (-5) y()=, y'()= 6.6. Konvolüyon İngrli Bzn bir Y() lpl dönüşümü, bilinn f() v g() fonkiyonlrının lpl dönüşümü oln F() v G() nin çrpımı olrk vrilbilir. Y() = F()* G(). Bu durumd Y() y f v g fonkiyonlrının çrpımının lpl dönüşümü olrk bkılbilir. DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN -

13 Torm (Konvolüyon Tormi) Eğr F()=L(f()) v G()=L(g()) > için vr i, H()= F() G()= L(h()), > () Burd h() h()= f ( ) g( ) d f ( ) g( ) d. () Burdki h() fonkiyonu f() v g() nin konvolüyonudur.v () dki ingrllr konvolüyon ingrllridir. Örnk (f*)()= f ( )d f ( ) d Eğr f()= o i. (f*)()= (f*)() f () dir. o( ) d in( ) =-in+ in= in. Örnk H()= ( ) r fonkiyonunu bulunuz L - (H()=? H() yi - v gibi düşünrk blodn bkılır bunlr v in nin ( ) dönüşümlridir. Torm 6.6. dn h()= in f ( ) g( ) d ( )in d Diğr bir yold öndn çözdüğümüz gibi H() yi bi kirlr yırrk bulbilirdik. DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN -

14 Örnk L ( H( )) L ( ) L ( F( ) G( )) fonkiyonunun r-lpl dönüşümünü ( 6) konvolüyon ormini kullnrk bulunuz. H( ) F( ) G( ) ( 6) ( 6) şklind yzılır f ( ) L ( ), ( ) ( ) in g L 6 olduğu dikk lınrk L ( H( )) L ( ) L ( F( ) G( )) ( 6) = f ( ) g( ) d f ( ) g( ) d. ingrllrindn işlm uygun olnı çilrk h()= L ( ) f ( ) g( ) d ()* in ) d. ( 6) Örnk h()= ( o ) ( o ) y''+y=g() y()=, y'()=- bşlngıç dğr problmini çözünüz. Y(S)-+ + Y()= G() vy Y()= G( ) Y()= G( ) blodn Bu dnklmin üçünü rimindki G() nin çrpnın dnir F()= DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN -

15 Y( ) F( ) G( ) bu ifdnin hr iki rfının r lpl dönüşümü lınır v r lpl dönüşümünün linrliği dikk lınrk L ( Y( )) L ( ) L ( ) L ( F( ) G( )) yrı L ( F( ) G( )) konvolüyon il bulunbilğindn L ( F( )) L ( ) olduğu dikk lınıp Lpl bloundn y()= o- in in ( ) g( ) d DİFERNSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMN -