MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital kuralını kullanmadan aşağıdaki limitleri hesaplayınız: ) lim 0 sin(9) + cos 3 3 ) lim 0 3) lim sin e =? (0) =? (9) ) lim 3 7 =? ( 9) 3 9 5) L = lim 0 6) L = lim sin. sin =? ( ) ( ) + ifadesinin limitini hesaplayınız. cevap:(limit mevcut değil.) 7) L = lim 0 tan( 3 ) + tan 3 tan + 3 + 5 3 8) lim 9) lim 0 tan 5 ifadesinin limitini hesapalayınız. cevap:(0) ( ) 3 limitini hesaplayınız. cevap: ( ) ifadesini hesaplayınız. cevap: 3 ifadesini hesaplayınız. cevap:(5)
.. Süreklilik şeklinde verilen f() fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. f() fonksiy- { sin ) f() =, 0 a, = 0 onunun = 0 noktasındaki sürekli olduğu a değerini bulunuz. ) f() = { 0, = 0. sin, 0 (a = 0) Ayrıca lim f() =? ( ) olmak üzere f fonksiyonu = 0 da sürekli midir? cevap:(süreklidir) 3) g() = fonksiyonu = 0 da sürekli midir? cevap:(süreklidir.) e ( + a) if > 0 ) f() = if = 0 ise f() i her yerde sürekli yapacak a ve b yi bulunuz. (Cevap: b + if < 0 a =, b R) Bölüm 3: Türev 3... Teğet ve Normal Denklemler ) 3y + 3 y = 6 eğrisine P 0 (, ) noktasında teğet doğrusunu bulunuz. (y = + 5) ) f() = sin sin fonksiyonunu ve I = ( π, π) aralığını düşünelim.i aralığında yatay teğete sahip olan noktaları bulunuz. ( = π ve = π ) 3... Türev ) f() = d cos ) (tan( )) =? d + d f d () =? ( 3 ) d 3) d (sin + (ln( ))) =? {, ) f() = a olarak tanımlanan fonksiyon = de türevlenebildiğine göre a ve b + b, > noktalarını bulunuz. (a =, b = 3) [ ( )] ( ( ) ( ) [ ]) d 5) sec =? cevap: sec. tan. d + + + ( + ) 6) y = sin olmak üzere dy d =? 7) y = arctan ( 9 ) ise dy d =? 8) f() = α olmak üzere f fonksiyonunu bulunuz. 9) f() = y, f() = ve sin(y y 3 ) + = 0 verilmiştir. f () i bulunuz. Cevap: 3 0) y = arcsin(sec (e )) verilmiştir. dy d i bulunuz.
3.6 Kapalı Fonksiyonların Türevi ) Verilen kapalı fonksiyonlar için y i bulunuz. a) 3 + y y + y 3 = b) sin(y) + cos(y) = 0 c) + y = sin(y) d) + y = y e) sin(y) = cos(y ) ) Aşağıda belirtilen değerleri bulunuz. a) 5 y + y 3 = 8 ise y (0) =? (Cevap: y (0) = 6 ) b) = sin (y) + y ise y ( ) π, π =? (Cevap: y ( ) () π π, π = ) π 3) Aşağıdaki eğriler için belirtilen noktadan geçen teğet ve normal doğruların denklemini yazınız. a) 3 + y y + y 3 =, p(, 0) b) sin(y) + y =, p(, 0) c) e y + y sin(π) e = 0, p(, ) d) y sin( + y) =, p(, ) 3.7 Ters Fonksiyonun ve Logaritma Fonksiyonun Türevleri ) f() = 5 + 3 + ise f in noktasındaki eğimini hesaplayınız. cevap: (f ) () = ) f() = 3 + + olsun. a) f() in birebir olduğunu gösteriniz. b) g = f ise g (3) =? (Cevap: g (3) = ) 3) f() = 5 olsun. a) > için f() in birebir olduğunu gösteriniz. b) df d =f(5)=0 =? ) Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini logaritmik türev yardımıyla bulunuz. ( ) 9 a) ( + ) 3 ( ) 3 ( + ) 3 ( + ln ) b) y = 7 3 + (3 + 5) 5 c) y = + 3
d) y = sin () tan () ( 3 + ) e) y = + 5) Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz ( a) ln ) + ( b) log 0 c) + ln ln ) 3.8 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ) f() = sin(arcsin( + )) =? ise f () =? ) f() = arcsin(sin + a) =? ise f () =? 3) f() = arccos(tan + ) =? ise f () =? ) f() = arcsec( + ) tan( + ) 5) f() = =? ise f () =? arcsin() =? ise f () =? ( 6) f() = arctan + 7) f() = arctan( ) ise f () =? 3.9 Bağıl Oranlar ) + arccos() ise f () =? (0, ) ) Bir böcek t = 0 anında düz bir yolda 3ft/dk hızla kuzeye doğru yürümeye başlamıştır. dk sonra, ikinci böcek aynı yerden doğuya doğru 5f t/dk hızla yürümeye başlamıştır. Birinci böcek f t yol aldığında, iki böcek arasındaki uzaklığın değişme hızı nedir? ( 3 6 ) ) Bir çemberin yarıçapı cm/s sabit hızla büyüyor. Çevre uzunluğu 00πcm olduğunda, çemberin alanındaki değişim hızı nedir? (00π) 3) İki araba aynı noktadan hareket ediyor. Biri 60km hızla güneye, diğeri 0km/sa hızla batıya doğru gidiyor. saat sonra arabalar arasındaki uzaklığın artış hızı ne olur? (8) ) Bir üçgenin alanı cm /da oranında artarken yüksekliği cm/da oranında artıyor. Üçgenin yüksekliği 0cm ve alanı 00cm olduğunda tabanın değişim hızı nedir? ( 8 5 ) 5) km yükseklikte ve 500km/sa hızla yatay olarak uçan bir uçak, bir radar istasyonu üzerinden geçiyor. 3 Uçak istastyondan km uzakta olduğunda uçaktan istasyona olan uzaklığın artış hızı ne olur? (500 )
6) Şekildeki depo başlangıçta su ile doludur.. r h r = 5m ve h = 0m dir. Suyun yüksekliği l olduğunda, depodan l m /sn oranında su sızmaktadır. Su yüksekliği 8m olduğunda su yüksekliğindeki değişim hızını bulunuz. * Hacim: V (t) = 3 πr (t)l(t) 3.0 Doğrusal Yaklaşımlar ve Diferansiyeller ) f() = + e ( ) ise fonksiyonun = deki doğrusal yaklaşımını bulunuz. Hangi değerleri için hata 0.0 den küçük olur? ) f() = olsun a) = 3 de f() in doğrusal yaklaşımını bulunuz. (L() =?) b) L() i kullanarak (3 h, 3 + h) aralığında f() fonksiyonu yaklaşık olarak hesaplanırsa hatanın 0.00 den küçük olması için h en fazla kaç olabilir. 3) f() = 3 + 5 olsun. a) = de f() fonksiyonunun doğrusal yaklaşımını bulunuz. (L()=?) b) Hata fonksiyonunu bulunuz ( f() L() ) c) [ h, + h] olduğunda hata 00 ise h en fazla kaç olabilir. ) f() = 3 + π cos( π ) olsun. d ve dy diferansiyellerini kullanarak f(.0) değerini bulunuz. 5) Doğrusal yaklaşım kullanarak aşağıdaki ifadeleri yaklaaşık olarak bulun. a) 0 b) sin( 0 ) c).0 d) 3 6 6) ye + e y + y = + ise f(0.0) i doğrusal yaklaşım kullanarak yaklaşık olarak hesaplayınız. 5
Bölüm : Türevin Uygulamaları. Fonksiyonların Ekstremum Değerleri ) f() = 3 + 0 + eğrisinin minimum noktasını açıklayarak bulunuz. (C: = 0) ) f() = 3 6 + 6 ise yerel maksimum veya minimum değerlerini bulunuz. (C: = (yerel maksimum) ve = (yerel minimum)) 3) f() = 3 3 ise yerel maksimum veya minimum değerlerini bulunuz. (C: = (yerel minimum)) ) f() = ise yerel maksimum veya minimum değerlerini bulunuz. (C: = 0(yerel maksimum) ve = (yerel minimum)) 5) f() = ise yerel maksimum veya minimum değerlerini bulunuz. (C: = 0(yerel maksimum) ve = (yerel minimum)) 6) f() = 3 ise yerel maksimum veya minimum değerlerini bulunuz. (C: = (yerel maksimum) ve = 0, = (yerel minimum)) 7) f() = ln ise yerel maksimum veya minimum değerlerini bulunuz. (C: = e(yerel minimum)) 8) f() = sin() + cos(), [0, π 3 ] ise mutlak maksimum veya minimum değerlerini bulunuz. (C: = π (mutlak maksimum)) 9) f() = e, [0, ] ise mutlak maksimum ve minimum değerlerini bulunuz. (C: = (mutlak maksimum)) 0) f() = ln, [, 3] ise yerel maksimum ve minimum değerlerini bulunuz. maksimum)) (C: = e (mutlak ) f() fonksiyonu [0, ] aralığında sürekli olmak üzere, i) f(0) = 0 ii) < f (), eğer (0, ) ise iii) < f () < 0, eğer (, ) ise olarak veriliyor. Bu durumdaf( ) > olduğunu gösteriniz;. Ortalama Değer Teoremi ve Rolle Teoremi ) P () = 0 5 denkleminin kaç reel kökü vardır? ) f() = 7 + 5 + + = 0 denkleminin sadece bir reel çözümü olduğunu gösteriniz. 3) Aşağıdaki fonksiyonlar için Ortalama Değer Teoremini sağlayan c noktasını bulunuz. a) f() = +, [0, ] b) f() = 3 3 +, [0, 3] ) + 3 = 0 denkleminin kaç reel kökü vardır? 6
5) 5 + in sadece bir kökü olduğunu gösteriniz. 6) f() = fonksiyonu [0, 0] aralığında tanımlansın. Ortalam Değer Teoremini sağlayan kaç farklı (+) c değeri vardır?( c değerlerinin bulmanıza gerek yoktur.) 7) f() = 3 + π π cos( ) = 0 denkleminin sadece bir reel kökü olduğunu gösteriniz. 8) f() = 5 + 5 fonksiyonunun sadece bir reel kökü olduğunu gösteriniz. 9) f() = sin() + cos() 3 + 5 = 0 denkleminin en az bir kökü olduğunu gösteriniz. Toplam kaç kök vardır?.3 Monoton Fonksiyonlar ve Birinci Türev Testi ) f() = 3 5 + + fonksiyonunun artan olduğu aralıkları bulunuz. 3 ) f() = ( ) fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz. 3) f() = fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz. ) f() = sin fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz. 5) f() = 7 3 3 7 fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz. 6) f() = 5 fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz. 7) f() = cos + sin, [ π, π] fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz. 8) f() = ln( + ) fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz.. Simetri, Asimtot ve Grafik Çizimleri ) f() = + ise fonksiyonun (a) Tanım aralığını bulunuz. (b) = 0 noktasında asimptotunun mevcut olup olmadığına bakınız (c) Artan ve azalan aralıklarını belirleyiniz. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz. Eğer varsa asimptotlarını belirtiniz. ) y = 3) y = + ) y = +3 +5 5) y = + 3 6) y = tan 7) y = ln 7
8) y = e ( ) 9) y = + 0) y = e ) y = ) f () = sin + cos fonksiyonunun [0, π] aralığında grafiğini çiziniz. π 3π 5π 7π π 3) f () = e fonksiyonunun grafiğini çiziniz. e ) f () = fonksiyonunun grafiğini çiziniz. - 8
5) f () = fonksiyonunun grafiğini çiziniz. (ln ) 9 e 3 (0, e 3 ) aralığı aşağı konkav, diğer aralıklar yukarı konkavdır. 6) f () = fonksiyonunun grafiğini çiziniz. e e - + ve + noktaları büküm noktalarıdır..5 Maksimum Minimum Problemleri ) Çarpımları, toplamları maksimum olan iki pozitif tamsayıyı bulunuz. (C:, ) ) Alanı 000m olan dikdörtgenler içinde çevre uzunluğu en küçük olanın boyutlarını bulunuz. (C: 0 0, 0 0) 3) 0m uzunluğundaki bir tel iki parçaya kesiliyor. Bir parçasından kare, diğer parçasıdan eşkenar üçgen yapılıyor. Karenin ve üçgenin toplam alanın a) maksimum b) minimum olması için tel nasıl kesilmelidir. ) 30cm uzunluğundaki bir metal tel şekildeki gibi kıvrılıyor ve üstü kapatılıyor. 9
0cm 0cm 0cm 0cm θ 0cm 0cm θ Kıvrılan parça ile yer arasında kalan açı θ olmak üzere, alanı maksimum yapan θ açısını bulunuz. (C: θ = 36) 5) 000cm lik bir malzemeden tabanı kare, üstü açık bir kutu yapılmak istenirse; en büyük hacimli kutunun boyutları ne olur? (C: Taban kenarı:500cm, yükseklik:cm) 6) m uzunluğundaki bir tel parçası iki parçaya bölünüyor. Bir parçasından çember şekil, kalan parçasından kare şekil yapılıyor. Çember ve karenin alanları toplamını maksimum ve minimum yapmak için tel nereden bölünmelidir. (C: = (minimum), = / (maksimum)).6 Belirsiz Durumlar ve L Hopital Kuralı Aşağıdaki limitleri bulunuz. ) lim 0 + e tan() limitini hesaplayınız. (C: ) ) lim h 0 3 h h =? (C: ln 3) 3) lim + (C: 6) ) lim 0 cos (C: /6) 5) lim θ 0 cos θ θ sin θ 6) lim (C: ) 3 + + 3 + 5 + 3 (C: ) ( cos ) (C: 0) ) (C: 0) 7) lim ( 8) lim 0 + + 9) lim sin 3 + sin (C: /3) 0
( ) 0) lim sin (C: 0) + ln( + ) ) lim 0 sin ) lim (C: 0) 3) lim 0 +(sin )ln (C: ) ) lim ln (C: e) 3 5) lim (C: ) 9 (C: ) Bölüm 5: İntegraller Anti-Türev Aşağıdaki fonksiyonların anti-türevlerini bulunuz. ) 3 ) π sin(π) 3) 8 sec () ) e 3 5) 3 6) ( ) 7) π