4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem [ a, kapalı aralığından IR e bir onksiyonu ] a, açık aralığındaki bir c noktasında sıırdan arklı bir türeve saipse er x ] c, c [ ( ( ile ( aynı işarette olacak biçimde [ a, aralığının x c kapsadığı bir ] c, c [ aralığı İspat. Önce ( >0 kabul edelim. onksiyonu c noktasında türevlenebilir ( ( olduğundan er poziti sayısı x c olduğunda ( x c olacak şekilde sayısına bağlı bir poziti sayısı Özel olarak, ( ( ( poziti sayısı de x c olduğunda ( x c olacak şekilde ( sayısına bağlı bir poziti sayısı Buna göre ( ( x c olduğunda ( ( ( ( olur. Buradan x c ( ( x c olduğunda ( ( olur. O alde x c ( ( x ] c, c [ ] a, olduğunda 0 elde edilir.. Burada x c ] c, c [ aralığı [ a, aralığının alt kümesi olacak şekilde bir nın seçilebileceği de görülmektedir. Böylece ispat tamamlanmış olur. (Burada min{, c a, b } olarak alınabilir. c 4...Teorem [ a, den reel sayılar kümesi e bir onksiyonu ] a, nin bir c noktasında türevlenebir olsun. Bu takdirde eğer ( 0 ise c nin öyle bir ] c, c [ komşuluğu vardır ki bu komşulukta onsiyonu artandır. İspat. ( 0 olduğunu kabul edelim. Teorem 4.. den dolayı c noktasının bir komşuluğundaki bütün x ler ( ( 0 x c 98
olur. Buna göre x c olduğunda ( ( olur c olduğunda ( ( olur. Bu da onksiyonunun bu ] c, c [ komşuluğunda artan olduğunu verir. Böylece teoremin ispatı tamamlanmış olur. 4...Teorem [ a, den reel sayılar kümesi e bir onksiyonu ] a, nin bir c noktasında türevlenebir olsun. Bu takdirde eğer ( 0 ise c nin öyle bir ] c, c [ komşuluğu vardır ki bu komşulukta onsiyonu azalandır. İspat. ( 0 olduğunu kabul edelim. Teorem 4.. den dolayı c noktasının bir komşuluğundaki bütün x ler ( ( 0 x c olur. Buna göre x c olduğunda ( ( olur c olduğunda ( ( olur. Bu da onksiyonunun bu ] c, c [ komşuluğunda azalan olduğunu verir. Böylece teoremin ispatı tamamlanmış olur. 4..4.Teorem (Fermat Teoremi. Kapalı bir [a, aralığından IR ye bir onksiyonunun ]a, açık aralığının bir c noktasında bir yerel maksimumu ya da yerel minimumu varsa ve onksiyonu c noktasında türevlenebiliyorsa ( 0 dır. İspat. onksiyonunun c noktasında bir yerel maksimumunun olduğunu kabul edelim. Bu takdirde er x ] c, c [ ( ( olacak şekilde bir poziti sayısı özelliğini sağlayan er sayısı ( c ( ve dolayısıyla ( c ( 0 dır. Poziti lar ( c ( 0 dır ve negati lar ( c dir. Buradan ve ( lim 0 ( 0 ( c ( 0 99
( lim 0 ( c ( 0 bulunur. onksiyonunun c noktasında türevi var olduğundan dolayı soldan türevi ve sağdan türevi vardır ve biribirine eşittir. Dolayısıyla ( ( 0 ve ( ( 0 dır. Buradan ( 0 elde edilir. Şimdi de onksiyonunun c noktasında bir yerel minimumunun olduğunu kabul edelim. Bu takdirde er x ] c, c [ ( ( olacak şekilde bir poziti sayısı özelliğini sağlayan er sayısı ( c ( ve dolayısıyla ( c ( 0 dır. Poziti lar ( c ( 0 dır ve negati lar ( c dir. Buradan ve ( lim 0 ( lim 0 ( 0 ( c ( 0 ( c ( 0 bulunur. onksiyonunun c noktasında türevi var olduğundan dolayı soldan türevi ve sağdan türevi vardır ve biribirine eşittir. Dolayısıyla ( ( 0 ve ( ( 0 dır. Buradan ( 0 elde edilir. Böylece teoremin ispatı tamamlanmış olur. Bu teoremin karşıtı er zaman doğru olmak zorunda değildir. Diğer bir deyişle, bir onksiyonunun bir c noktasında türevinin sıır olması o c noktasında bir yerel maksimum ya da bir yerel minimumunun olmasını gerektirmez. Bunu aşağıdaki örnekte görüyoruz. Örnek. ( x şeklinde verilen onksiyonun 0 noktasında türevi 0 dır ancak 0 noktasında bu onksiyonun ne yerel maksimumu ne de yerel minimumu 00
4..5.Tanım. Reel sayılar kümesinin bir alt kümesinden reel sayılar kümesi e bir onksiyonu verilsin. Eğer ( 0 oluyorsa c ye onksiyonunun bir kritik noktası denir. Buna göre ( 0 eşitliğini sağlayan x ler onksiyonunun kritik noktaları olacaktır. Örnek. :] 0,5[ IR, ( x x onksiyonunun kritik noktalarını bulalım. ( x olduğundan dolayı ( 0 ise x dir. x. noktası bir kritik noktadır. 4..6. Teorem (İkinci türev testi. onksiyonu [ a, kapalı aralığında sürekli ve ] a, açık aralığında türevlenebilir olsun ve c noktası onksiyonunun bir kritik noktası olsun ve ( türevi var olsun ve sıırdan arklı olsun. Bu takdirde eğer ( 0 ise c de bir yerel minimum vardır ve eğer ( 0 ise c de bir yerel maksimum İspat. onksiyonu [ a, kapalı aralığında sürekli ve ] a, açık aralığında türevlenebilir olsun ve c noktası onksiyonunun bir kritik noktası olsun ve ( türevi var olsun ve ( 0 bulunsun. ( yazalım. Kabulümüzden g ( 0 dır. Teorem 4.. den dolayı ] c, c [ komşuluğunda g onksiyonu artan olacak şekilde poziti bir sayısı Buna göre er x ] c ve er x ] c, c [ dir. g ( ( 0 olduğundan dolayı er x ] c g ( 0 ve er x ] c, c [ 0 dir. ( olduğundan dolayı x ] c ( 0 ve er x ] c, c [ 0 ( dir. Dolayısıyla onksiyonu ] c aralığında azalan ve ] c, c [ aralığında artandır. O alde onksiyonunun c noktasında bir yerel minimumu Şimdi de [ a, kapalı aralığında sürekli ve ] a, açık aralığında türevlenebilir olan ve c noktası da kritik noktası olan ve ( türevi var olan onksiyonunun c de ikinci türevi negati bulunsun yani ( 0 bulunsun. ( yazalım. Kabulümüzden dolayı g ( 0 dır. Teorem 4.. den dolayı ] c, c [ komşuluğunda g onksiyonu azalan olacak şekilde poziti bir sayısı Buna göre er x ] c 0
ve er x ] c, c [ dir. Kabulümüzden g ( ( 0 olduğundan dolayı er x ] c g ( 0 ve er x ] c, c [ g ( 0 dir. ( olduğundan dolayı x ] c ( 0 ve er x ] c, c [ ( 0 dir. Dolayısıyla onksiyonu ] c aralığında artan ve ] c, c [ aralığında azalandır. O alde onksiyonunun c noktasında bir yerel maksimumu Bu da teoremin ispatını tamamlar. Örnek ( x x onksiyonunun kritik noktalarını bulunuz varsa yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini bulunuz. Örnek. x ( x onksiyonunun kritik noktalarını bulunuz varsa yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini bulunuz. Aşağıda ikinci türev testinin genelleştirmesini ispatsız olarak veriyoruz. 4..7. Teorem (n inci türev testi. onksiyonunun ] a, açık aralığında n inci türevi var ve bu ninci türev [ a, kapalı aralığında sürekli ve ( (... ( n ( 0 ( n ve ( 0 olsun. Bu takdirde (i Eğer n çit ve ( n ( 0 (ii Eğer n çit ve ( n ( 0 oluyorsa c de bir yerel minimum oluyorsa c de bir yerel maksimum (iii Eğer n tek ise c de ne yerel maksimum ne de yerel minimum 4..8.Teorem (Rolle Teoremi. Eğer bir onksiyonu [ a, kapalı aralığında sürekli, ] a, açık aralığında türevlenebilirse ve ( oluyorsa bu takdirde ( 0 olacak şekilde bir c ] a, İspat. onksiyonu [ a, kapalı aralığında sürekli olduğundan en büyük değerini ve en küçük değerini alır. min x [ a, ( m ( x ve max x [ a, ( M ( olacak şekilde x x [a, elemanları, Eğer M m ise er x [ a, m ( M eşitsizliğinden onksiyonunun sabit bir onksiyon olduğu elde edilir ki bu durumda sabit onksiyonun türevi 0 olduğundan dolayı ( 0 olur ki c olarak 0
aralıkda angi noktayı alırsak alalım ( 0 olur. m M durumunu inceleyelim. Bu durumda m M olacaktır. ( olduğundan onksiyon m ile M den en az birini aralığın uç noktalarında almaz, yani, aralığın de alır. Kabul edelim ki m değerini aralığın de alsın. Ara değer teoremini kullanırsak, ( x 0 olur. Eğer M değerini aralığın de alırsa yine ara değer teoremini kullanırsak, ( x 0 olacakdır. Bu da teoremin ispatını tamamlar. 4..9.Sonuç. Eğer bir onksiyonu [ a, kapalı aralığında sürekli, ] a, açık aralığında türevlenebilirse bu takdirde ( 0 eşitliğini sağlayan iki arklı x değerleri arasında in türevini sıır yapan bir değer vardır, yani ( 0 olacak şekilde x c x özelliğini sağlayan bir c sayısı İspat. Rolle teoreminde a x, b x ve ( 0 alınırsa ispat emen görülür. Örnek 4..0.Teorem (Dierensiyel Hesabın Ortalama Değer Teoremi. Eğer bir onksiyonu [ a, kapalı aralığında sürekli, ] a, açık aralığında ( türevlenebilirse bu takdirde ( b a c ] a, olacak şekilde en az bir İspat. Her x [ a, b x G( ( [ ( ] b a onksiyonunu tanımlayalım. G ( G( 0 dır ve G onksiyonu [ a, kapalı aralığında sürekli ve ] a, açık aralığında türevlenebilirdir. Rolle teoreminden dolayı G ( 0 olacak şekilde bir c ] a, G ( ( [ ( ] b a olduğundan dolayı ( [ b a ve dolayısıyla ( ] 0 0
( [ b a ( ] olacak şekilde bir c ] a, bulunmuş olur. Bu da teoremin ispatını tamamlar. a ile b arasındaki er bir c sayısı 0 eşitsizliğini sağlayan bir sayı olmak üzere c a ( b şeklinde yazılabileceğinden dolayı ortalama değer teoremini aşağıdaki şekilde iade edebiliriz: onksiyonu [ a, kapalı aralığında sürekli, ] a, açık ( aralığında türevlenebilirse bu takdirde ( a ( b olacak b a şekilde en az bir ]0, [ sayısı Örnek. :[,5] IR onksiyonu ( x olarak verildiğine göre bu onksiyonun ortalama değerini bulunuz. ( (5 ( 5 5 8 7 Çözüm. ( 9 olur. b a 5 O alde onksiyonunun ortalama değeri 9 dır. ( x olduğundan dolayı 7 c den 9c 7 ve buradan da c ve bundan da ortalama değer teoremindeki c sayısı olarak c bulunur 4...Sonuç Eğer er x [ a, ( 0 ise onksiyonu sabit onksiyondur. İspat. a x x b özelliğini sağlayan erangi iki x sayılarını alalım. Dierensiyel esabın ortalama değer teoreminden, ( x ( x x x ( olacak şekilde bir c x, x [ ( 0 ] ( x ( x olduğundan dolayı 0 x x bulunur. Buradan x ( x 0 ve ( dolayısıyla ( x ( bulunur. a x x b özelliğini sağlayan er x sayıları ( x ( bulunduğundan onksiyonunun sabit onksiyon olduğu elde edilir. Bu da sonucun ispatını tamamlar. 4...Sonuç. Eğer bir onksiyonu [ a, kapalı aralığında sürekli, ] a, açık aralığında türevlenebilirse ve er x ] a, ( 0 04
oluyorsa bu takdirde onksiyonu [ a, aralığında kesin olarak monoton artandır. İspat. a x x b özelliğini sağlayan erangi iki x sayılarını alalım. Dierensiyel esabın ortalama değer teoreminden, ( x ( x ( x x olacak şekilde bir c x, x [ ( 0 ] ( x ( x olduğundan dolayı 0 x x bulunur. Buradan x ( x 0 ve ( dolayısıyla ( x ( x bulunur. a x x b özelliğini sağlayan er x sayıları ( x ( x bulunduğundan onksiyonunun kesin olarak monoton artan onksiyon olduğu elde edilir. Bu da sonucun ispatını tamamlar. 4...Sonuç. Eğer bir onksiyonu [ a, kapalı aralığında sürekli, ] a, açık aralığında türevlenebilirse ve er x ] a, ( 0 oluyorsa bu takdirde onksiyonu [ a, aralığında kesin olarak monoton azalandır. İspat. a x x b özelliğini sağlayan erangi iki x sayılarını alalım. Dierensiyel esabın ortalama değer teoreminden, ( x ( x ( x x olacak şekilde bir c x, x [ ( 0 ] ( x ( x olduğundan dolayı 0 x x bulunur. Buradan x ( x 0 ve ( dolayısıyla ( ( x bulunur. a x x b özelliğini sağlayan er x sayıları ( x ( bulunduğundan onksiyonunun kesin olarak monoton azalan onksiyon olduğu elde edilir. Bu da sonucun ispatını tamamlar. 4..4.Teorem (Genelleştirilmiş Ortalama Değer Teoremi. Eğer ve g onksiyonları [ a, kapalı aralığında sürekli, ] a, açık aralığında ( türevlenebilirse bu takdirde olacak şekilde en az bir c ] a, ( İspat. Her x [ a, 05
( G( ( [ ] onksiyonunu tanımlayalım. G ( G( 0 dır ve G onksiyonu [ a, kapalı aralığında sürekli ve ] a, açık aralığında türevlenebilirdir. Rolle teoreminden dolayı G ( 0 olacak şekilde bir c ] a, G ( ( olduğundan dolayı G ( ( ve dolayısıyla ( ( ( ( olacak şekilde bir c ] a, bulunmuş olur. Bu da teoremin ispatını tamamlar. a ile b arasındaki er bir c sayısı 0 eşitsizliğini sağlayan bir sayı olmak üzere c a ( b şeklinde yazılabileceğinden dolayı genelleştirilmiş ortalama değer teoremini aşağıdaki şekilde iade edebiliriz: onksiyonu [ a, kapalı aralığında sürekli, ] a, açık aralığında türevlenebilirse bu takdirde ( ( a ( b a ( b olacak şekilde en az bir ]0, [ sayısı 06