Analiz III Aras nav Sorular 30. 11. 2006 1. (a) A = fx 2 R : x 2 4x 5 < 0g ise sup A =? (b) A R boş olmayan ve üstten s n rl bir küme olsun. > 0 ise sup(a) = sup A oldu¼gunu gösteriniz. 2. A = f(x; y) 2 R 2 : 1 < y < 0g kümesi veriliyor. (a) A kümesinin R 2 içinde aç k oldu¼gunu gösteriniz. (b) R 2 na =?; (R 2 na)e=?; @A =?; (R 2 na) =? 3. Aşa¼g daki önermeyi ispatlay n z: Önerme. (M; d) bir metrik uzay ve A M olsun. A kapal ise, terimleri A içinde olan her bir dizinin limiti A içindedir. 4. R 2 içindeki x n = 3 + 1 n ; 1 ; n = 1; 2; ::: n dizisinin limitinin (3; 0) oldu¼gunu yak nsakl k tan m n kullanarak gösteriniz. 5. (a) Aşa¼g daki serilerin R içinde yak nsak olup olmad klar n araşt r n z: (b) 1 P k=1 1X 1 k 2 + k ; k=1 X 1 e k k=1 1 ; e k serisi R 2 içinde yak nsak m d r? k 2 +k
Analiz III Final S nav Sorular 08.01.2007 1. A R boş olmayan ve alttan s n rl bir küme olsun. A kapal ise inf (A) 2 A oldu¼gunu gösteriniz. 2. A = f2 + 1=n : n = 1; 2; :::g [ f2g kümesinin her aç k örtüsünün sonlu bir alt örtüsünün bulunabilece¼gini gösteriniz. 3. (a) Y ¼g lma noktas n n tan m n yaz n z. (b) Dizisel kompakt (dizisel t k z) küme tan m n yaz n z. (c) Heine-Borel Teoreminin ifadesini yaz n z. (d) Arade¼ger Teoreminin ifadesini yaz n z. 4. (a) Ba¼glant s z küme tan m n yaz n z. (b) A = f(x; y) 2 R 2 : y 6= x 2 g kümesinin ba¼glant s z oldu¼gunu gösteriniz. 5. (a) Düzgün sürekli fonksiyon tan m n yaz n z. (b) f : R! R 3 ; f (x) = (x; x + 1; x + 2) fonksiyonunun düzgün sürekli oldu¼gunu gösteriniz. f ([0; 1]) kümesi neden kompaktt r? Aç klay n z.
Analiz III Bütünleme S nav Sorular 29.01.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n, nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) A = f(x; y) 2 R 2 : y x 2 g kümesi kompaktt r. (b) A = [0; 1) [ f1g kümesi ba¼glant l d r. (c) Bir (x n ) R dizisinin yak nsak bir alt dizisi varsa (x n ) dizisi de yak nsakt r ve ayn limite yak nsar. (d) f : (M; d)! (N; ) sürekli ve A M kümesi aç k ise f (A) kümesi de aç kt r. (e) Bir (M; d) metrik uzay nda bir alt kümenin kompakt olmas için gerekli ve yeterli koşul kapal ve s n rl olmas d r. 2. (a) Taml k aksiyomunun ifadesini yaz n z. (b) R de bir alt kümenin ba¼glant l olmas için gerekli ve yeterli koşulu ifade ediniz. (c) Ba¼glant l l k ile yol ba¼glant l l k aras ndaki ilişkiyi yaz n z. (d) Bir kümenin s n r ne demektir? Tan m n yaz n z. (e) Sürekli fonksiyonlar hangi durumda düzgün sürekli olur? 3. (M; d) bir metrik uzay, (x k ) bu uzay içinde bir dizi ve x k! x olsun. A = fx k : k = 1; 2; :::g [ fxg kümesinin kompakt oldu¼gunu kompaktl k tan m n kullanarak ispatlay n z.
Analiz IV Aras nav Sorular 16.04.2007 1. (a) Bir fonksiyon dizisinin bir fonksiyona düzgün olarak yak nsamas ne demektir? (10) (b) f n : [1; 2]! R; f n (x) = x= (1 + x) n ; n = 1; 2; ::: olmak üzere Z 2! 0 1 1X 1X Z 2 f n (x) dx = @ f n (x) dxa 1 n=1 oldu¼gunu gösteriniz. (15) 2. (a) Bir f : A R n! R m fonksiyonunun bir x 0 2 A noktas nda türevlenebilmesi ne demektir? (10) (b) Bir f : A R n! R m türevlenebilen fonksiyonunun Jacobian (türev) matrisini tan mlay n z. (10) (c) f : R 2! R 3 ; f (x; y) = (x 2 sin y; x 4 + y; e y ) ; g : R 3! R 2 ; g (x; y; z) = (z sin x; z cos y) fonksiyonlar n n türev matrislerini yaz n z. (5+5) 3. (a) z = x 2 y 2 +x yüzeyine (1; 0) noktas nda te¼get olan düzlemin denklemini bulunuz. (10) (b) z = sin u: cos v ve u = (x y) 2 ; v = x 2 y 2 oldu¼guna göre @z=@x ve @z=@y türevlerini hesaplay n z. (5+5) 4. (M; d) bir metrik uzay, A M ve (N; kk) bir normlu uzay olsun. (C b (A; N) ; kk 1 ) uzay hakk nda bilgi veriniz. (25) n=1 1
Analiz IV Final S nav Sorular 13.06.2007 1. Aşa¼g daki kavramlar tan mlay n z. (a) Türevlenebilen fonksiyon (b) Gradient (c) Hacimli küme (d) S f r ölçülü küme 2. (a) Lebesgue teoreminin ifadesini yaz n z. (b) Integral için ortalama de¼ger teoreminin ifadesini yaz n z. 3. (a) A R n s n rl bir küme ve f : A! R s n rl bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun integrallenebilirli¼gi ve integrali hakk nda bilgi veriniz. (b) A R n s n rs z bir küme ve f : A! R s n rl bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun integrallenebilirli¼gi ve integrali hakk nda bilgi veriniz. 1R 1R 4. (a) dydx integralini hesaplay n z. e y3 p 0 x (b) 0 < a < b ve B = f(x; y) : a 2 x 2 + y 2 b 2 ; x 0; 0 y xg oldu¼guna göre ZZ y 2 x dxdy 2 B integralini hesaplay n z. 5. (a) Küresel koordinatlar ve küresel koordinat dönüşümü hakk nda bilgi veriniz. (b) B; alttan z = p 3 (x 2 + y 2 ) konisi ve üstten x 2 + y 2 + z 2 = 4 küresi ile s n rl bölge oldu¼guna göre Z Z Z p x2 + y 2 + z 2 dxdydz B integralini hesaplay n z.
Analiz IV Bütünleme S nav Sorular 04.07.2007 1. (a) Bir f : A R n! R m fonksiyonunun bir x 0 2 A noktas nda türevlenebilmesi ne demektir? (b) A R n aç k bir küme ve f : A! R m A üzerinde türevlenebilen bir fonksiyon ise f fonksiyonunun A üzerinde sürekli olaca¼g n gösteriniz. 2. (a) S f r ölçülü küme ne demektir? (b) R kümesinin R 2 içinde s f r ölçülü oldu¼gunu gösteriniz. 3. (a) x 2 + y 2 = 4 çemberi ile y 2 2x 2 = 1 hiperbolü taraf ndan s n rlanan ve (0; 0) 2 B biçimindeki B bölgesinin alan n bulunuz. (b) B = (x; y) : 1 x 2 + y 2 4; x= p 3 y p 3x oldu¼guna göre R R arctan (y=x) dxdy integralini hesaplay n z. 4. z = p x 2 + y 2 konisi ile z = 6 x 2 y 2 paraboloidi taraf ndan s n rlanan bölgenin hacmini bulunuz. B