Statik Biçimde Oyunlar. Murat Donduran

Statik Biçimde Oyunlar Murat Donduran Mart 18, 2008

2

İçindekiler 1 Tam Bilgi İle Statik Oyunlar 5 1.1 Giriş................................ 5 1.2 Normal Biçimde Oyunlar..................... 8 1.2.1 Mahkumlar Çıkmazı................... 11 1.2.2 Kesinlikle Mahkum Stratejilerin Elenmesi (KDES) ile Çözüm........................... 13 1.2.3 Rasyonelleştirilebilir Stratejiler............. 15 1.2.4 Cinsiyetler Savaşı..................... 24 1.2.5 Nash Dengesi....................... 25 1.2.6 Karma-stratejili Oyunlar................. 29 1.2.7 Dengenin Varlığı..................... 33 1.3 Stratejik Biçimde Oyunlar.................... 35 1.3.1 Stratejik Biçimde Oyunların Tipik Uygulamaları.... 40 1.3.2 Cournot Duopolü..................... 40 1.3.3 Bertrand Duopolü.................... 43 1.3.4 Son-Teklif Tahkimi (Final-Offer Arbitration)...... 44 1.3.5 Ortanca Seçmen Kuramı................. 47 1.3.6 Ortak Mülkiyet Kaynaklarının Kullanımı........ 50 1.3.7 İkinci-Fiyat Müzayedesi................. 52 1.4 Çoklu Nash Dengeleri, Odak Noktaları ve Pareto Optimalite. 55 3

4 İÇINDEKILER

Bölüm 1 Tam Bilgi İle Statik Oyunlar 1.1 Giriş Oyun teorisi stratejik karşılıklı etkileşimleri (interaction) modelleyen uygulamalı matematiğin bir dalıdır. Karşılıklı etkileşim durumu bir ajanın ödemesinin bir başka ajanın seçtiği stratejiye bağlı olmasından kaynaklanmaktadır. Oyunların sınıflandırılmasında birçok yol olanaklıdır. Bunlardan biri statik ve dinamik olarak ayırmadır. Statik oyunlarda kararlar aynı anda alınmaktadır. Ayrıca, oyuncular tek bir eylem seçmekte ve oyun böylelikle sona ermektedir. Böyle oyunlar tek atışlı oyunlar olarak da algılanmaktadır. Dinamik oyunlarda kararlar ardışıktır. Çoklu zaman periodları oyuncular için birden fazla hareket fırsatı gibi olanaklar sağlamaktadır. Bu kitapta varsayılan tüm oyunların aksi belirtilmedikçe kesin ortak özellikleri vardır. Bunlar; sonlu bir oyuncular kümesi vardır (bu küme; insanlar, bir grup insan veya bilgisayar programları, doğa, ev gibi daha soyut varlıklar olabilir). Her oyuncu oyunun kurallarına dair kusursuz bilgi sahibidir. Oyunun içindeki farklı noktalarda, her oyuncunun bir dizi seçim veya hamleleri vardır. Bu seçim dizisi sonludur. Oyun, sonlu sayıda hamleden sonra son bulmaktadır. Oyun sona erdikten sonra, her oyuncu sayısal bir ödeme almaktadır. Bu sayı, sayının tam değerinden bir kayıp olarak yorumlandığında, negatif olabilir. Örneğin, satranç gibi bir oyunda kazanmanın puanı +1, kaybetmenin -1 ve berabere kalmanın 0 kabul edilmektedir. Ayrıca, bir oyun aşağıdaki özellikleri alabilir de almayabilir de: Şans hamleleri olabilir. Bir kart oyununda ellerin dağıtılması bir şans hamlesidir. Satrançta şans hamlesi yoktur. Bazı oyunlarda, oyunun her noktasında, her oyuncu oyunun 5

6 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR tüm geçmişini bilmektedir. Bu, tic-tac-toe ve tavlada doğru fakat briçte doğru değildir (çünkü diğer oyunculara dağıtılmış kartlar gizlidir). Bu özelliğe sahip bir oyuna kusursuz bilgi altında oyunlar denmektedir. Bir kusursuz bilgi oyunu da şans hamlesi taşıyabilir. Örnek olarak tavla verilebilir çünkü bu oyunda zar atılır. Az önce söylendiği gibi oyuncular oyunun sonunda sayısal bir ödeme almaktadırlar. Gerçek karşılaşma durumlarında, ödeme çoğu zaman mutluluk, tatmin, prestij veya tam tersleri gibi nicel olmayan bir şeyler olabilir. Bunlar gibi psikolojik ödemelere sahip oyunlar üzerinde çalışmak için, ilk olarak bu ödemeleri sayısal değerlerle dönüştürmek gerekmektedir. Örneğin bir oyuncunun kesin bir oyunda üç ödülden birini kazanabildiğini varsayalım: Paris te bir hafta, Hawaii de bir hafta, diş doktoru koltuğunda sekiz saat. Farklı insanlar bu ödüllere farklı mutluluk dereceleri belirleyeceklerdir. Fransız kültüründeki bir insanın bunlara sırasıyla 100, 25, -100 değerlerini biçmesi mantıklı olabilir. Bir sörfçüye göre dereceler 10, 100, -100 olabilir. Yani nicel olmayan puanların sayısal puanlara dönüştürülmesi her zaman mantıklı bir tavır içinde yapılmalıdır. Önceki bölümde, alternatif seçimler kümesinden en iyi seçimin nasıl tanımlanabileceği tartışılmıştır. Karar alıcı, doğru alternatifi seçerek, açık şekilde çıktıyı ve bundan dolayı, elde ettiği fayda ya da tatmini de etkileyebilir. Bu her zaman doğru değildir. Bir çok durumda, bir bireyin iyiliği sadece ne yaptığına değil aynı zamanda diğer bireylerin yaptığı seçimlerden kaynaklanan çıktılara da bağlıdır. Bazı örneklerde, karşılıklı birbirine bağımlılık kavramı öyle büyüktür ki durumları tanımlamada açık şekilde hesaba katılmalıdır. Örneğin, küresel ısınma fenomenini tartışmada herhangi bir ülkenin politikalarını değiştirerek önemli bir şekilde bunu etkilemesini tavsiye etmek ludicrous olmaktadır. Küresel ısınma açıkça: küresel bir fenomendir. Bundan dolayı, küresel ısınmanın herhangi bir analizinde buna dikkat edilmelidir. Fakat bu, sorunu çözmede kullanılan doğru stratejinin ne olacağı hakkında soruları artırmaktadır. Her bir ülke nasıl cevap verecektir? Diğer ülkelerin reaksiyonu ne olacaktır? ve diğerleri gibi... Açıkçası, önceki bölümde analiz edilen durumlardan bütünüyle farklı bir durumdur. Burada stratejik davranma önemlidir ve optimal stratejinin ne olacağı çok açık değildir. Örnek: USAir ve American Airlines (AA) Chicago dan New York a roundtrip fiyatlama hakkında karar alsınlar. İki havayolu da 500$ fiyat isterlerse, USAir in karı 50 milyon $ ve AA nın karı 100 milyon $ olur. USAir 500$ ve AA 200$ isterlerse, AA nın karı 200 milyon $ olur ve USAir 100 milyon $

1.1. GIRIŞ 7 kaybeder. Bununla beraber, USAir 200$ ve AA 500$ isterlerse, USAir 150 milyon $ kar elde eder, AA 200 milyon $ zarar elde eder. Her ikisi de 200$ isterlerse, havayolları 10 milyon $ zarar elde ederler. Bu anlatılan bilgiler tablo (1.1) de gösterilmektedir. American Airlines 500$ 200$ 500$ 50,100-100,200 USAir 200$ 150,-200-10,-10 Tablo 1.1: Bilet-Fiyatlama Oyunu Örnek havayolu endüstrisinde neler olduğunu göstermektedir. Her iki havayolu şirketi için fiyat değişimlerini koordine etmenin en iyisi olacağını not etmek önemlidir çünkü böyle bir koordinasyon olmaksızın havayolları şirketleri adilane ciddi kayıplar elde ederek kapanacaklardır. Bu tür durumlarda, aşağıdaki üç unsur her zaman öne çıkmaktadır: İki yada daha fazla katılımcı vardır Her katılımcının alternatif seçimler kümesi vardır Her çıktı için, her katılımcının aldığı bir ödeme vardır Bunlar, stratejik biçimde bir oyun olarak gerekli bileşenlerdir. Daha biçimsel bir dilde, stratejik biçimli bir oyun oyuncular kümesinden oluşmaktadır. Her oyuncu için bir strateji kümesi vardır ve oyunun her çıktısı (ya da strateji kombinasyonu) için oyuncuların ödemeleri vardır. Oyunu oynayan oyuncuların oyun hakkında tam olarak bilgilendirilmesi ile muhtemelen ne olacağını sorarak başlanabilir. Diğer bir değişle, bir oyun olarak modellenebilen veri bir durumda, oyunun en makul çıktısına karar vermede hangi öne çıkan prensipler kullanılmalıdır? İlk olarak strateji kümelerinin küçük ve sonlu olduğu iki-kişili oyunlar analiz edilecektir. Oyunların daha ilginç bazı unsurları en çok giriş düzeyindeki oluşumda ortaya çıkmaktadır. Bastırılmış stratejilerin elenmesi sayesinde elde edilen baskın stratejiler ve çözümleri incelenecektir. 1 Daha sonra Nash dengesi kavramına değinilecektir. Mahkumlar 1 Bastırılmış strateji yerine bazen mahkum stratejiler kullanılacaktır. Ayrıca, baskın yerine de egemen (dominant) kelimesi yer yer kullanılmaktadır.

8 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR Çıkmazı, iki-kişili matris oyunu, birkaç diğer matris oyunları analiz edilecektir. Baskın stratejiler ve Nash dengesi daha genel bir bağlamda tekrar tanıtılmaktadır. Daha sonra uygulamalara geçilmektedir. Cournot duopolü aynı ürünü satmak için rekabet eden iki firmanın üretmeleri gereken çıktıyı nasıl bulduklarını göstermektedir. Ortanca seçmen modeli adayların pozisyonlarındaki ideolojik kaymaları anlamada oyun teorisinin kullanımını göstermektedir. Ortak mülkiyet kaynaklarının çıkarılması konusundaki örnek bazen aksi teşviklerin varlığını anlamada oyun teorisinin nasıl kullanışlı olduğunu açıklamaktadır. Son örnek en yüksek teklif verenin kazandığı ancak ikinci yüksek teklifi ödediği ikinci-fiyat müzayedesi ile ilgilenmektedir. Bu bölüm karma stratejileri kullanarak oyunları nasıl çözüleceği tartışılarak devam etmektedir. Bu bölümün sonundan itibaren daha teknik ve lisans düzeyinin üstünde olan konular vardır. Kusursuz denge, ilişkili denge ve Nash dengesinin yorumu ile bölüm sona ermektedir. 1.2 Normal Biçimde Oyunlar Her oyunun belirli özellikleri ve elemanları vardır. Statik oyunlarda, bu elemanlar kümeler ve fonksiyonlar ile tanımlanmaktadır. Bir oyunun normal biçimde sunulması oyuncu kümesinin, her oyuncu için strateji kümesinin ve her oyuncu için ödeme fonksiyonunun olması demektir. N oyuncu sayısını belirtsin. Buna göre aşağıdaki şekilde gösterilebilir; N = {1, 2, 3,..., n} (1.1) n oyuncu sayısını belirtmektedir. Her oyuncu strateji kümesinden seçim yapmaktadır. Strateji kümesi bir oyuncunun oyun sırasında kullanabileceği eylemlerini göstermektedir. Bazı durumlarda strateji kümesi küçük olabilir, örneğin yüksek fiyat ya da düşük fiyat istemek gibi. Ancak bazı durumlarda da çok büyük olabilir, örneğin satranç, dama gibi oyunlarda tahtada olanaklı bütün hareketler birer stratejidir. s ij, i. oyuncunun j stratejisi olarak ifade edilecektir. i oyuncusu için bütün stratejilerinin kümesi S i ile gösterilir; S i = {s i1, s i2, s i3,..., s iti } (1.2) t i, i oyuncusu için toplam kullanılabilir stratejilerin sayısıdır. oyuncuların stratejilerinin kümesi S ile gösterilmektedir. Bütün

1.2. NORMAL BIÇIMDE OYUNLAR 9 S = {S 1, S 2, S 3,..., S n } (1.3) Son olarak, oyuncuların ödeme fonksiyonları çıktı olarak tanımlanmaktadır. Genelde, bir oyuncunun ödemesi (fonksiyonu) bütün oyuncuların seçtiği stratejilere bağlıdır. i oyuncusu için ödeme fonksiyonu π i ile gösterilmektedir: π i = π i (s 1, s 2, s 3,..., s i,.., s n ) (1.4) s i, i oyuncusu tarafından seçilmiş stratejiyi göstermektedir. Buradan, stratejik biçimdeki oyun tanımlanabilir. Γ = (N, {S} i N, {π} i N ), N oyuncu sayısına sahip bir oyunu göstermektedir. Örnek: Reklam veren iki firma oyunu yukarıdakileri kavramak için kullanılabilir. Öncelikle aşağıdaki varsayımları ortaya konmalıdır: 1. İki firma bir malı sabit (dışsal) fiyatla satmaktadır. 2. Reklam piyasa talebinin düzeyini etkilememektedir. 3. Her firma reklam düzeyini yüksek veya düşük olarak seçmektedir. 4. Her firmanın piyasa payı firmalar tarafından seçilmiş göreceli reklam düzeyine bağlıdır. İki oyuncunun (firmanın) iki stratejisinden (yüksek, düşük) oluşan strateji kümesi vardır; bir firma için strateji kümesi; S i = {A L, A H } (1.5) Ödeme fonksiyonlarını yazmak için, ek değişkenler tanımlanmalıdır. Π 0 endüstri için kar düzeyi olsun. m jk firmanın j stratejisini (j = L ya da j = H) seçtiğinde diğer firmanın da k stratejisini (k = L ya da k = H) seçtiğindeki piyasa payı olsun. Ayrıca, m jk + m kj = 1 dir. Dört olanaklı reklam kombinasyonu vardır. Firma 1 için skor fonksiyonları aşağıdaki şekilde olacaktır; Π 1 (A H, A H ) = m HH Π 0 A H Π 1 (A H, A L ) = m HL Π 0 A H Π 1 (A L, A H ) = m LH Π 0 A L Π 1 (A L, A L ) = m LL Π 0 A L (1.6)

10 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR Firma 2 için de aynı eşitlik yazılabilir. Verileri sayısal hale getirip ödeme fonksiyonlarını gösteren matris biçiminde oyun gösterilebilir. Aşağıdaki verilen değerlerle oyun matrisi düzenlenebilir: ve Π 0 = 1000, A H = 400, A L = 200 (1.7) m HH = 1/2, m LL = 1/2, m HL = 4/5, m LH = 1/5 (1.8) Böylece iki firma da yüksek düzeyde reklam yaptığında piyasa payını elli-elli alacaklardır. Brüt karlar 500 ve reklam maliyetinden sonra net kar 100 olacaktır. Çeşitli çıktıları hesapladıktan sonra ödeme matrisini aşağıdaki şekilde yazılabilir; Firma 2 L H L 300,300 0,400 Firma 1 H 400,0 100,100 Tablo 1.2: Reklam Savaşı Satırlar (sütunlar) firma 1 (2) nin strateji seçimlerini ve kombinasyonlarını belirtmektedir. Ödeme matrisindeki birinci (ikinci) sayı firma 1 (2) nin ödemesini göstermektedir. Firma 1 in kararı için, Firma 2 düşük düzey reklam seçsin. Firma 1 L stratejisini seçerek 300 kazanacak ya da H stratejisini seçerek 400 kazanacaktır. Böylece, H 1. firmanın en iyi cevabıdır (best response) 2. (Eğer 2. firma L stratejisini seçerse) 2. firma, H stratejisini seçerse, yine H en iyi cevaptır. Firma 1 için, düşük-reklam-stratejisi kesinlikle mahkum bir stratejidir. Firma 2 tarafından her olanaklı seçim için, firma H stratejisinden daha fazla ödeme almaktadır. Aynı sebeple, Firma 2 için de, H egemen stratejidir. İleriki bölümde mahkum stratejilerin elenmesi ile nasıl denge noktalarının bulunduğunu anlatılacaktır. Bu örnekte, her iki firmada da L stratejisini seçmediğinden, denge her ikisi için de H stratejisini seçmektedir ve 100 birim kar elde etmektir. (L, L) dengesi iki firma için de daha iyi olduğu halde, firmalar için L stratejisi bireysel olarak rasyonel değildir. Yukarıdaki oyunun genel biçimi mahkumlar çıkmazı olarak bilinmektedir. 2 Kitapta en iyi cevap yerine en iyi tepki de kullanılmaktadır

1.2. NORMAL BIÇIMDE OYUNLAR 11 1.2.1 Mahkumlar Çıkmazı En çok bilinen matris oyunu Mahkumlar Çıkmazıdır. Oyun, oyun-teorik fikirleri kullanarak en iyi anlaşılan sosyal fenomeni göstermektedir. Oyuncuların işbirliği yaparak daha iyi olacakları fakat yine de böyle davranmaya teşvikin olmadığı bir durumu tasvir etmektedir. Oyun -belki de en çok analiz edilmiş oyun olarak- Tablo (1.3) de matris şeklinde verilmiştir. Matris oyunu suç işlemiş iki bireyin suçu itiraf etmek veya sessiz kalmak arasındaki seçimi yaptıkları bir durum olarak tanımlanmaktadır. Birinin itiraf ettiği diğerinin sessiz kaldığı durumda, itiraf eden hapishaneye dönmemektedir. Aynı zamanda, itiraf etmeyen on yıl ceza almaktadır. Her ikisi de itiraf ettiğinde, her ikisi de beş yıl ceza almaktadır. Her ikisi de itiraf etmezse, her ikisi de birer yıl ceza alarak adil şekilde hapisten ayrılacaklardır. 2. Oyuncu 1. Oyuncu İnkar İtiraf İnkar -1,-1-10,0 İtiraf 0,-10-5,-5 Tablo 1.3: Mahkumlar Çıkmazı Matris oyunu açık şekilde iki oyuncu olduğunu ve her oyuncunun İnkar, İtiraf strateji kümesinin olduğunu göstermektedir. Ödemeler her çıktı için (a, b) çifti tarafından verilmektedir, a; 1. oyuncunun ödemesi ve b, 2.oyuncunun ödemesidir; burada, tabii ki, a ve b hapishanede geçen yılları temsil etmektedir. Matris tam olarak stratejik biçimde bir oyunu tanımlamaktadır. Oyunun incelemesinde, aşağıdaki özellikler dikkate alınmalıdır: 1. Oyuncular inkar stratejisini kullanarak bir bahise tutuşur ve böylece bir yıl ceza alırlar. 2. Bir oyuncunun inkar stratejisini seçmesi veri olduğunda, diğer oyuncunun itiraf stratejisini seçmeye teşviki vardır. 1. oyuncunun itiraf stratejisini kullandığında, 2. oyuncunun her seçimi için daha iyi bir ödeme alacaktır. Bunu görmek için, u 1 (, ) 1. oyuncunun

12 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR fayda fonksiyonu olsun 3 ve 2. oyuncu inkar stratejisini seçtiğinde, u 1 (itiraf, inkar) = 0 > - 1 = u 1 (inkar, inkar), 2. oyuncu itiraf stratejisini seçtiğinde, u 1 (itiraf, itiraf) = -5 > -10 = u 1 (inkar, itiraf). Yani, 2. oyuncunun ne seçtiğinin hiçbir önemi yoktur, 1. oyuncu için en iyisi itiraf stratejisini oynamaktır. İtiraf stratejisi 1. oyuncu için kesinlikle mahkum stratejisi denir. 2. oyuncunun stratejilerinin benzer incelemesi 2. oyuncu için kesinlikle baskın stratejinin itiraf stratejisi olduğunu açıklamaktadır. Herhangi bir iletişim ve koordinasyon şemasının yokluğunda, rasyonel bireylerin kesinlikle baskın stratejilerini oynayacakları beklenmektedir, çünkü kesinlikle mahkum bir stratejiden daha yüksek bir ödeme vermektedir. Mahkumlar Çıkmazına çözüm, bundan dolayı, (itiraf, itiraf) çiftidir. Bu, kesinlikle mahkum stratejilerin kullanılması çözümüdür. Kesinlikle mahkum stratejileri kullanan çözümün diğerine güvenerek inkar stratejisini seçtiğindeki çıktıdan daha kötü olan beş yıl cezayı her oyuncuya vereceği açıktır. İşbirliksiz şekilde oynama ile daha iyi ödeme almak için koordine olarak oynama arasındaki çatışmanın oyunun tahmin edilen çıktısına ne yapacağı açık değildir. Daha farklı bir şekilde de matris oyunu tanımlanabilir. Tanım 1.1. (Matris Oyunu): Bir matris oyunu iki-kişili bir oyundur ki, 1. oyuncu m eleman ile S 1 sonlu strateji kümesine sahiptir, 2. oyuncu n eleman ile S 2 sonlu strateji kümesine sahiptir ve oyuncuların ödemeleri (s 1, s 2 ) S 1 S 2 çıktılarının u 1 (s 1, s 2 ) ve u 2 (s 1, s 2 ) fonksiyonudur. Matris oyunu aşağıdaki gibi oynanmaktadır: Belirli bir zamanda 1. oyuncu s 1 S 1 stratejisini seçmekte ve aynı anda 2. oyuncu s 2 S 2 stratejisini seçmektedir ve bu bir kere yapıldığında her i oyuncusu u i (s 1, s 2 ) ödemesini almaktadır. S 1 = {s 1 1, s 1 2,..., s 1 n} (1.9) ve S 2 = {s 2 1, s 2 2,..., s 2 n} (1.10) a ij = u(s 1 i, s 2 j) (1.11) 3 u 1 (, ) fayda fonksiyonu oyunda ödeme fonksiyonuna karşılık gelmektedir. Bundan dolayı, yer yer π 1 (, ) yerine u 1 (, ) kullanılmaktadır.

1.2. NORMAL BIÇIMDE OYUNLAR 13 b ij = u(s 1 i, s 2 j) (1.12) Yukarıdaki eşitliklerden hareketle, n m matris biçiminde düzenlenebilir. 2. Oyuncu Strateji s 2 1 s 2 2 s 2 n s 1 1 (a 11, b 11 ) (a 12, b 12 ) (a 1n, b 1n ) 1. Oyuncu s 1 2 (a 21, b 21 ) (a 22, b 22 ) (a 2n, b 2n )....... s 1 m (a m1, b m1 ) (a m2, b m2 ) (a mn, b mn ) Tablo 1.4: İki-kişili Matris Oyunu Mahkumlar çıkmazı matris oyunudur. Strateji kümeleri iki eleman tarafından bütünlenmiştir. Böylece bir strateji diğerine mahkum olduğunda, oyuncu hangi stratejiyi oynayacağını bilmektedir. Mahkum ve kesinlikle mahkum kavramları açıkça genel kavramlardır ve takip eden her matris oyunu için tanımlanabilir. 1.2.2 Kesinlikle Mahkum Stratejilerin Elenmesi (KDES) ile Çözüm Bazı oyunlarda, mahkumlar çıkmazı gibi, (KDES) ile dengeyi bulmak olanaklıdır. Tekrar eden ya da ardıl (successive) elenmesi sonucunda, oyunun denge noktasına ulaşılmaktadır. Tanım 1.2. Kesinlikle Mahkum Stratejilerin Elenmesi. Eğer ki bazı stratejiler aşağıdaki koşulu sağlıyorsa; n-oyunculu bir oyunda, i oyuncusu için bir s i stratejisi kesinlikle mahkumdur. Diğer oyuncuların olanaklı bütün stratejileri için π i (s 1, s 2,..., s i,..., s n ) > π i (s 1, s 2,..., s i,..., s n ) (1.13) Rasyonel birey mahkum bir stratejiyi hiçbir zaman seçmeyeceğinden, bu strateji elenmektedir. Yani, orijinal bir Γ oyununda mahkum stratejiler olduğunda, Γ oyununa özdeş ancak mahkum stratejiler hariç yeni bir Γ 1 oyun oluşturabiliriz. Mahkum stratejiler oynanmayacağından yeni oyunun

14 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR dengesi Γ oyunun da dengesi olacaktır. Ayrıca bu süreç her oyuncunun tek bir stratejisi kalıncaya kadar devam ettiğinde, bu oyunun dengesini oluşturan stratejileri orijinal Γ oyununun da dengesi olacaktır. Aşağıdaki matris oyununu kesinlikle mahkum stratejilerin tekrarlı elenmesi yöntemi kullanılarak çözülebilir. 2. Oyuncu L C R T 1,0 1,3 3,0 1. Oyuncu M 0,2 0,1 3,0 B 0,2 2,4 5,3 Tablo 1.5: Örnek Oyunu incelemede, 2. Oyuncu için C stratejisinin R stratejisini kesinlikle bastırmaktadır. Bundan dolayı, 2. oyuncu R stratejisini eleyecektir ve oyunu kısaltacaktır. 2. Oyuncu L C T 1,0 1,3 1. Oyuncu M 0,2 0,1 B 0,2 2,4 Tablo 1.6: Örnek 2. Oyuncu L C T 1,0 1,3 1. Oyuncu B 0,2 2,4 Tablo 1.7: Örnek Kısaltılmış oyunda, 1. oyuncu için T kesinlikle M stratejisini bastırmaktadır, böylece 1. oyuncu M stratejisini eleyecektir ve oyunu kısaltacaktır.

1.2. NORMAL BIÇIMDE OYUNLAR 15 Sonuçta oyun 2 2 boyutlu bir matris oyunudur ve 2. oyuncunun kesinlikle mahkum stratejisi C stratejisidir, böylece L elenecektir. 1. oyuncu T ve B arasında seçim yapabilir. Açıkça, B stratejisini seçecektir. Bundan dolayı, kesinlikle bastırılmış stratejilerin tekrarlı elenmesi ile çözüm (B, C) strateji çiftidir. Maalesef, birçok oyun için bu yöntem kullanılamaz. Bu gibi durumlarda çeşitli denge bulma yöntemleri vardır. 1.2.3 Rasyonelleştirilebilir Stratejiler Rasyonelleştirilebilir stratejiler kavramına geçmeden önce, oyuncuların pür stratejileri üzerinde rastlantısal biçimde oynayabileceğinin üzerinde durulmalıdır. Temel Olasılık Notasyonu (S); S kümesi üzerinde olasılık dağılım kümesi olsun. σ (S) strateji dağılımı olarak adlandırılmaktadır. σ(s); s strateji profilinin σ altında olasılığıdır. σ taşımalığı (support), supp(σ) olarak yazılmaktadır, σ altında pozitif olasılık veren s stratejisinin kümesidir. supp(σ) = {s} olduğunda, σ(s) = 1 olan bazı s stratejileri varsa, σ yozlaşmıştır (degenerate). σ(s) = 1 ise, σ yerine s kullanılmaktadır. Benzer tanımlamalar σ i (S i ) ve σ i (S i ) için de geçerlidir. Basit bir örnekle olasılık dağılımı aşağıdaki matriste incelenebilir. s 2 ŝ 2 s 1 α β ŝ 1 γ δ Tablo 1.8: Örnek: Strateji Dağılımı Matris (1.8) 2 2 oyununda, σ değerlerini göstermektedir. Burada, α + β + γ + δ 0 ve α + β + γ + δ = 1 söz konusudur. Örneğin, s = (s 1, ŝ 2 ) ise, o zaman σ(s) = β olacaktır. Birbaşka örnek olarak, ileride cinsiyetler savaşı olarak incelenecek olan matris oyunudur. Kısaca, oyun aşağıdaki (1.9) matrisinde gösterilmiştir. σ(a, a) = σ(b, b) = 1/2 ve σ(a, b) = σ(b, a) = 0 olduğu açıktır. Oyun teorisi kestirimi olarak strateji dağılımının üç yorumu vardır;

16 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR a b a 1/2 0 b 0 1/2 Tablo 1.9: Cinsiyetler Savaşında Strateji Dağılımı 1. Subjektif. σ strateji dağılımı oyunun nasıl oynanacağına dair analistin subjektif tahminidir. Tahmin yozlaşmış olabilir, yani analist belirli bir s stratejisinin oynanacağına emindir. Fakat yozlaşmamış tahminlerin olduğu oyunlar çok sayıdadır. 2. Ampirik. σ fiili oyun tarafından oluşturulmuş ampirik bir dağılımdır. Oyun birçok kez belki farklı oyuncularla belki de aynı oyuncularla oynanmıştır ve σ(s) oynanan s stratejisinin sıklığıdır. 3. Objektif. Oyuncular fiili olarak rastlantısal oynamaktadır ve σ; S üzerinde rastlantısallık tarafından oluşturulmuş objektif olasılık dağılımıdır. Marjinal Dağılımlar σ strateji dağılımı her i oyuncusu için aşağıdaki şekilde tanımlanmış bir σ i (S i ) marjinal dağılımına neden olmaktadır; σ i (s i ) = σ(s i, s i ) (1.14) s i S 1 Örnek olarak aşağıdaki matris (1.10) verilebilir. σ 1 marjinal dağılımı σ 1 (s 1 ) = 1/3 ve σ 1 (ŝ 1 ) = 5/12 + 1/4 = 2/3 olacaktır. σ 2 marjinal dağılımı da σ 2 (s 2 ) = 1/3 + 5/12 = 3/4 ve σ 2 (ŝ 2 ) = 1/4 olacaktır. s 2 ŝ 2 s 1 1/3 0 ŝ 1 5/12 1/4 Tablo 1.10: İlişkili (Correlated) Dağılımlar Bir başka örnekte, marjinal dağılımlar birbirlerinden bağımsız olabilir. Matris (1.11) bu durumu göstermektedir. σ 1 (a) = σ 1 (b) = σ 2 (a) = σ 2 (b) = 1/2 olacaktır.

1.2. NORMAL BIÇIMDE OYUNLAR 17 a b a 1/4 1/4 b 1/4 1/4 Tablo 1.11: Bağımsız Dağılım Bağımsızlık ve Karma Stratejiler σ bağımsız ise, her s = (s 1, s 2,..., s N ) için aşağıdaki durum söz konusudur; σ(s) = σ 1 (s)... σ N (s N ) (1.15) Yukarıdaki matris (1.11) bağımsız dağılımı göstermektedir. σ bağımsız olsun. O zaman her i oyuncusu σ i değerine göre bağımsız şekilde rastlantısallaştıracakdır. Oyuncular gerçekten rastlantısallaştırabilirse o zaman gerçek stratejik biçim olarak oyun (I, {S i } N i=1) yerine (I, { (S i )} N i=1) ile gösterilecektir. σ i karma strateji olarak adlandırılmaktadır. Pür strateji yozlaşmış karma stratejidir. Açık şekilde, s i ; σ i (s i ) = 1 ile σ i karma stratejisidir. σ değerinin bağımsız olduğunu varsayarak, (σ 1,..., σ N ) karma strateji profilidir. Birçok oyun teorisi uygulaması bağımsız strateji dağılımlarına odaklanmaktadır. İleri de görülecek olan Nash Dengesi bağımsızlığı empoze etmektedir. Genelliği kaybetmeden bağımsızlık oyunun stratejik çevresinin tam tasviri ise kabul edilebilir. Oyuncular ilişkili (correlated) ise, ilişkiyi ortaya koyan bazı mekanizmalar olmak zorundadır. Örneğin, oyuncular oyun oynanmadan önce konuşuyorlarsa, oyunda ilişki söz konusu olabilir. Son olarak, pratikte, oyunlara stratejik çevrenin tam tasviri olarak görmek mantıklı olmayabilir. Analiz için bu durum çeşitli sonuçlar yaratmaktadır. Dolayısıyla, ilişkili olarak kabul etmek uygun olabilir. σ ilişkili ise, o zaman σ i (s i ) = s i S i σ(s i, s i ) tarafından S i üzerinde tanımlanan marjinal dağılım, σ i, bağımsızdır, buradan, ve σ i (s i ) = j i σ j (s j ), (1.16) σ(s) = σ i (s i )σ i s i. (1.17) σ bağımsız olsa bile, σ i ilişkili olabildiğinde, bazı i ve bütün s değerleri için aşağıdaki eşitlik olabilir,

18 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR Karma Stratejilerle Oynama σ(s) = σ i (s i )σ i s i (1.18) I, oyuncu sayısını, (S i ); i oyuncusunun stratejiler kümesini ve u i (.); i oyuncusunun ödeme fonksiyonunu belirtmektedir. Tanım 1.3. Bütün σ i j i (S j) değerleri için bir başka σ i (S i ) stratejisi varsa σ i (S i ) stratejisi, Γ N = [I, { (S i )}, {u i (.)}] oyununda, i oyuncusu için kesinlikle mahkumdur. Bu durumda, σ i stratejisi σ i stratejisine kesinlikle egemendir. Tanımı ve karma stratejilerin yapısını kullanrak, Γ N = [I, { (S i )}, {u i (.)}] oyununda, kesinlikle mahkum stratejilerin kümesi hakkında daha fazla şey söylenebilir. İlk olarak, i oyuncusu için σ i stratejisinin σ i stratejisi tarafından mahkum edildiğini test ederken, sadece i oyuncusunun rakibinin pür stratejilerine karşı iki stratejinin ödemeleri düşünülmelidir. Kısacası, yalnızca ve yalnızca bütün s i değerleri için, u i (σ i, s i ) > u i (σ i, s i ) varsa, bütün σ i değerleri için aşağıdaki durum olmalıdır, Dolayısıyla, aşağıdaki eşitlik yazılabilir, u i (σ i, σ i ) u i (σ i, σ i ) = u i (σ i, σ i ) > u i (σ i, σ i ) (1.19) s i S i [ ] σ k (s k ) [u i (σ i, s i ) u i (σ i, s i )] (1.20) k i Eşitlik (1.20) yalnızca ve yalnızca bütün s i stratejileri için [u i (σ i, s i ) u i (σ i, s i )] pozitif olursa, pozitif olacaktır. Önerme 1.1. Yalnızca ve yalnızca bütün s i S i stratejileri için u i (σ i, s i ) > u i (σ i, s i ) durumunu sağlayan bir başka σ i (S i ) stratejisi varsa, Γ N = [I, { (S i )}, {u i (.)}] oyununda, i oyuncusunun s i S i pür stratejisi kesinlikle mahkumdur. Önerme (1.1) rastlantısal oynama olanaklı olduğunda pür stratejinin mahkum olup olmama testini anlatmaktadır. Test i oyuncusunun rakibinin olanaklı

1.2. NORMAL BIÇIMDE OYUNLAR 19 her pür stratejisine karşı karma stratejilerinin pür stratejilerinden daha iyi olup olmadığına bakmaktadır. Bu gerçekle, s i pür stratejisi diğer pür stratejilerin rastlantısal kombinasyonu ile mahkum olabilir. Böylelikle, ek pür stratejiler elenebilir. Yani, bir stratejiyi mahkum hale getirmek için, pür strateji olsa bile, rastantısallık kapsayan alternatif stratejileri düşünmek mümkündür. Bunu görmek için aşağıdaki örnek yeterli olacaktır. Örnek: Aşağıdaki iki oyunculu matris oyununda 1. oyuncunun üç stratejisi vardır: U, M ve D. U stratejisi 2. oyuncu L stratejisini oynadığında harika bir strateji fakat R stratejisini oynadığında kötü bir stratejidir. Aynı şekilde, R stratejisine karşı D stratejisi harika bir strateji fakat L stratejisine karşı kötü bir stratejidir. Diğer taraftan, M stratejisi hem L hem de R stratejilerine karşı iyi stratejidir fakat harika değildir. Bu üç strateji de birbirlerine karşı kesinlikle mahkum değillerdir. Fakat 1. oyuncunun rastlantısallığına olanak verildiğinde, her biri 1 olasılıkla oynanan U ve D stratejileri 1. oyuncuya 2. oyuncunun stratejisi ne olursa olsun 5 beklenen ödemesini verecektir. 2 Buna göre, M stratejisi kesinlikle mahkum olacaktır. Şekil (1.1) bu durumu göstermektedir. 1. oyuncunun U, D ve M oynamasından ve 1U + 1D rastantısal stratejilerini oynamasından elde edilen beklenen ödemeleri R 2 uzayında 2 gösterilmektedir. 2. Oyuncu L R U 10,1 0,4 1. Oyuncu M 4,2 4,3 D 0,5 10,2 Tablo 1.12: Örnek Bir kere i oyuncu için mahkum olmamış stratejiler belirlendiğinde, karma stratejilerin mahkum olmamışlarını düşünmek gerekmektedir. Öncelikle, mahkum strateji kullanan herhangi bir karma strateji elenmelidir. s i pür stratejisi i oyuncusu için kesinlikle mahkum stratejisi ise, o zaman bu stratejiye pozitif bir olasılık atayan her karma strateji de böyledir.

20 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR u L 10 U 5 4 M RASLANTISAL STRATEJILER 1 1 U + D 2 2 4 5 D 10 u R Şekil 1.1: Pür Stratejinin Rastlantısal Stratejiler tarafından Mahkumiyeti Rasyonelleştirilebilir Stratejilerle Oynama Kesinlike mahkum stratejilerin elenmesi yöntemi yukarıda anlatılmıştır. Oyuncuların birbirlerinin rasyonelliğinin ortak bilgisini (common knowledge) ve oyunun yapısını kullanarak kesinlikle mahkum stratejilerin elenmesi doğrulanabilir. Genelde oyuncuların ortak bilgisi ve oyunun yapısı kesinlikle mahkum stratejilerden başka stratejilerin de elenmesine olanak vermektedir. Rasyonelleştirilebilir Stratejiler kavramı bu noktada devreye girmektedir. Rasyonelleştirilebilir Stratejiler kümesi oyuncular arasında ortak bilgi olan rasyonellikleri ve oyunda oyuncuların oynayabileceği stratejileri içermektedir. Bu altbölümde oyunlar kısaca aşağıdaki şekilde gösterilecektir. Γ N = [I, { (S i )}, {u i (.)}] (1.21) Tanım 1.4. Γ N = [I, { (S i )}, {u i (.)}] oyununda, σ i stratejisi, i oyuncusu için rakibine karşı bütün σ i (S i ) olduğunda ve, aşağıdaki koşulu sağlıyorsa, en iyi cevaptır; u i (σ i, σ i ) u i (σ i, σ i ) σ i stratejisi için hiçbir σ i stratejisi yoksa, σ i hiçbir zaman en iyi cevap değildir.

1.2. NORMAL BIÇIMDE OYUNLAR 21 σ i stratejisi, i oyuncusu rakibinin σ i oynayacağını tahmin ettiğinde optimal seçim ise, en iyi cevaptır. i oyuncusunun σ i stratejisi, karşı tarafın σ i seçimini doğrulayan σ i stratejisini oynaması hakkında oyuncunun inanışı yoksa hiçbir zaman en iyi cevap olmayacaktır. Kesinlikle mahkum stratejiler hiçbir zaman en iyi cevap olamaz. Bununla beraber, bazı stratejiler kesinlikle mahkum olmasa bile, hiçbir zaman en iyi cevap olmayabilirler. Böylelikle, hiçbir zaman en iyi cevap olmayıp elenen stratejiler en azından kesinlikle mahkum stratejiler gibi elenmesi gerekmektedir. Bundan başka, kesinlikle mahkum stratejiler durumunda, rasyonelliğin ortak bilgisi ve oyunun yapısı hiçbir zaman en iyi olmayan stratejilerin silinmesini tekrarlı şekilde yapabilir. Rasyonel oyuncu, bir kere rakibinin hiçbir zaman en iyi cevap olmayan stratejisini oynayabilme olanağını elediğinde, hiçbir zaman en iyi cevap olmayan stratejisini oynamayacaktır. Sonuçta, tekrarlı silme süreci ile varolan stratejiler kümesi, oyuncuların rasyonelliği ve oyunun yapısının ortak bilgi olduğu oyunlarda rasyonel oyuncular tarafından oynanan stratejiler kümesi olduğu söylenebilir. Bunlar rasyonelleştilebilir stratejiler olarak bilinmektedir [Bernheim(1984) ve Pearce(1984)]. Tanım 1.5. Γ N = [I, { (S i )}, {u i (.)}] oyununda, (S i ) kümesindeki hiçbir zaman en iyi cevap olmayan stratejilerin tekrarlı olarak elenmesinden sonra kalanları, i oyuncusunun rasyonelleştirebildiği stratejiler olarak bilinmektedir. Rasyonelleştirilebilir stratejiler kümesinde kesinlikle mahkum stratejilerin elenmesinden sonra kalan stratejiler olmayabilir çünkü tanımdaki tekrarlı sürecin her safhasına karşılık gelen kesinlikle mahkum stratejiler elenmektedir. Kesinlikle mahkum stratejilerin elenmesi durumunda, kaldırılan stratejilerin sırası sonda kalan stratejilerin kümesini etkileyemeyeceği gösterilebilir. Örnek: (Bernheim (1984) den alınmıştır) Tablo (1.13) örneğinde, iki oyuncu için rasyonelleştirilebilir pür strateji kümesi nedir? Silinmenin birinci safhasında b 4 stratejisi 1 olasılıkla b 2 1 ve b 3 stratejileri tarafından kesinlikle mahkum olduğundan hiçbir zaman oynanmayacaktır. b 4 silindiğinden, a 4 kesinlikle a 2 tarafından mahkum edildiğinden silinecektir. Bu noktada, başka strateji silinemez. a 1, b 3 için en iyi cevap, a 2 de b 2 için en iyi cevap ve a 3 de b 1 için en iyi cevaptır. Benzer şekilde, b 1, b 2 ve b 3 ; a 1, a 2 ve a 3 için en iyi cevaptır. Böylece, rasyonelleştirilebilir pür strateji kümeleri {a 1, a 2, a 3 } ve {b 1, b 2, b 3 } olacaktır. Her rasyonelleştirilebilir strateji için, diğer oyuncu hiçbir zaman en iyi cevap olmayan stratejisini oynayacağına inanan herhangi bir oyuncunun

22 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR 2. Oyuncu b 1 b 2 b 3 b 4 1. Oyuncu a 1 (0,7) (2,5) (7,0) (0,1) a 2 (5,2) (3,3) (5,2) (0,1) a 3 (7,0) (2,5) (0,7) (0,1) a 4 (0,0) (0,-2) (0,0) (10,-1) Tablo 1.13: Örnek hiçbir zaman güvenmeyen seçimi için doğrulama (justification) zinciri oluşturabilir. Örnekteki duruma göre, 1. oyuncu, 2. oyuncunun b 2 oynayacağına inanarak a 2 stratejisini seçmesiyle doğrulama olabilirki, 2. oyuncunun, 1. oyuncunun b 2 oynayacağını düşündüğüne inanması mantıklıdır ve birbirlerine bu mantıkla yaklaşmaktadırlar. Böylelikle, 1. oyuncu a 2 stratejisini oynamak için (sonsuz) bir doğrulama zinciri (a 2, b 2, a 2, b 2,...) kurabilir. Dizideki her elemanı kullanarak her alınan doğrulanmaktadır. Rasyonelleştirilebilir stratejiler kümesinin diğer elemanları da benzer şekilde doğrulanabilir. Bununla beraber, 1. oyuncunun a 4 stratejisini doğrulamaya çalıştığı düşünülsün. Sadece 2. oyuncunun b 4 stratejisi oynayacağına inanarak böyle yapılabilir, fakat 2. oyuncunun b 4 stratejisini doğrulama inanışı söz konusu değildir. Buradan, 1. oyuncu rasyonelleştirilebilir-olmayan strateji a 4 stratejisini doğrulayamaz. Adil şekilde zayıf koşullar altında oyuncunun en az bir rasyonelleştirilebilir stratejinin olduğu gösterilebilir. Maalesef, örnekte oyuncuların birçok rasyonelleştirilebilir stratejisi vardır. Yapılan tahminleri ileriye götürmek için, rasyonelliğin ortak bilgisi altında ek varsayımlara ihtiyaç vardır. Denge kavramı bu varsayımlarla oluşmaktadır. Örnek (Mas Colell ve diğerleri (1995) den alınmıştır): Rasyonelleştirilebilir stratejiler kümesinin kesinlikle mahkum stratejilerin elenmesi ile kalan kümeden da büyük olamaz. Bununla beraber, iki-oyunculu oyunlar için, σ i (karma) stratejisinin kesinlikle mahkum olmadığı zaman rakibin bazı strateji seçimlerine σ i en iyi cevap olduğundan bu iki küme özdeştir. Aşağıdaki örnekte bu durum söz konusudur. Matris (1.12) örneğinden devam edildiğinde, şekil (1.2) kolaylıkla çizilebilmektedir. M stratejisinden elde edilen ödemeler farklı olsun ve M stratejisi kesinlikle mahkum olmasın. O zaman şekil (1.2) de belirtildiği gibi, M stratejisinden elde edilen ödemeler U ve D stratejilerinin noktalarını bir-

1.2. NORMAL BIÇIMDE OYUNLAR 23 u L 1 1 1 1 {( u R, u L ) : u R + u L = u ( M, R ) + u 1 ( M, 2 2 2 2 1 R )} 10 U M 1 1, 2 2 0 D 10 u R Şekil 1.2: Mahkum Olmayan Stratejilerde En İyi Cevap Stratejisi birine bağlayan doğrunun üzerinde olacaktır. Burada M stratejisi en iyi cevap mıdır? Evet, bunu görmek için, 2. oyuncunun R stratejisini σ 2 (R) olasılığı ile oynadığında, (u R, u L ) ödemeleri ile herhangi bir stratejisinden 1. oyuncunun beklenen ödemesi σ 2 (R)u R + (1 σ 2 (R))u L olacaktır. Bundan dolayı, M stratejisi olarak aynı beklenen ödemeyi gösteren nokta (1 σ 2 (R), σ 2 (R)) ile olan doğrunun üzerinde olacaktır. Görüldüğü gibi, M stratejisi σ(r) = 1 2 olasılığı ile en iyi cevaptır; U yada D stratejisini oynayarak elde edilen herhangi bir beklenen ödemeden kesinlikle daha büyüktür. İki-oyuncudan daha fazla oyuncu olduğu durumda, daha mahkum olmamış ve hiçbir zaman en iyi cevap olmayan stratejiler olabilir. Bunun nedeni oyuncuların rastlantısallığının bağımsız olmasıdır. Örnek: Aşağıdaki üç-oyunculu oyunda, 2. oyuncu satırları, 3. oyuncu sütunları ve 1. oyuncu matrisi seçmektedir. Matrislerde sayılar 1. oyuncunun ödemeleridir. İddia şudur, q. oyuncunun s 3 1 stratejisi (en sağdaki matris) tekrarlı şekilde mahkum değildir, fakat rasyonelleştirilemez. σ 2 (s 1 2) = x ve σ 3 (s 1 3) = y olsun, 0 x, y 1 ile, σ 2 (s 2 2) = 1 x ve σ 3 (s 2 3) = 1 y olacaktır. s 3 1 kesinlikle mahkum ise, o zaman bütün σ 1 (S) = (S 2 ) (S 3 ) için aşağıdaki

24 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR s 1 3 s 2 3 s 1 2 0 2 s 2 2 0 3 s 1 1 s 1 3 s 2 3 s 1 2 3 0 s 2 2 2 0 s 2 1 s 1 3 s 2 3 s 1 2 2 0 s 2 2 0 2 s 3 1 Tablo 1.14: 3-oyunculu Matris Oyunu durumu sağlayan bazı σ 1 (S 1 ) vardır; U 1 (σ 1, σ 1) U 1 (σ 1, s 3 1) = σ 1(s 1 1)[1+x y 3xy]+σ 1(s 2 1)[2x+4y 2 3xy] > 0 Bu eşitsizlik σ 1 = (s 1 2, s 1 3) ve σ 1 = (s 2 2, s 2 3) için varolacaktır, örneğin; U 1 (s 1 2, s 1 3, σ 1) U 1 (s 1 2, s 1 3, s 3 1) = σ 1(s 2 1) 2σ 1(s 1 1) > 0 U 1 (s 2 2, s 2 3, σ 1) U 1 (s 2 2, s 2 3, s 3 1) = σ 1(s 1 1) 2σ 1(s 2 1) > 0 Diğer iki eşitsizlik σ 1)(s 1 1) > 2σ 1)(s 2 1) > 4σ 1)(s 1 1) anlamına gelecektir. Ancak, açık şekilde imkansızdır. Bundan dolayı s 3 1 kesinlikle mahkum değildir. Fakat s 3 1 hiçbir zaman en iyi cevap olamaz. Olsaydı, o zaman aşağadaki durumu sağlayan bazı σ 1 (S 1 ) değerleri olacaktı; U 1 (σ 1 ), s 3 1) U 1 (σ 1, s 1 1) = y x 1 + 3xy 0 U 1 (σ 1 ), s 3 1) U 1 (σ 1, s 2 1) = 2 2x 4y + 3xy 0 Bu eşitsizliklerin birincisi y (1 + x)/(1 + 3x) eşitsizliğine denktir ve ikincisi 1 x 2y(1 3x/4) eşitsizliğine denktir. (1 + x)/(1 + 3x) 1/2 olduğundan, bu ikinci eşitsizliğe bağlandığnda, x = 0 anlamına gelen, 1 x 1 3x/4 oluşmaktadır. Bunu ikinci eşitsizliğe ikame ederek 1 2 zıtlığına ulaşılacaktır. Buradan, s 3 1 hiçbir zaman en iyi cevap olamaz, bundan dolayı, rasyonelleştirilemez. 1.2.4 Cinsiyetler Savaşı Yukarıda üzerinde durulan çözüm yöntemleri baskınlık kavramına dayanmaktadır. Rakibin seçecegi herhangi bir stratejiye karşı en iyi tepkiyi veren stratejiler baskındırlar. Eğer tüm oyuncuların baskın stratejileri varsa, oyunun nasıl oynanacağını gösteren bir strateji kombinasyonu var demektir. En iyi tepkiler rakibin davranışına göre değişmektedir.

1.2. NORMAL BIÇIMDE OYUNLAR 25 Bu bölümde verilecek örnek en çok bilinen oyunlardan bir diğeridir: Cinsiyetler Savaşı (Battle of Sexes). Tablo (1.15) de cinsiyetler savaşı olarak adlandırılan oyunun bir varyantıdır. Cinsiyetler savaşı hakkındaki hikaye şöyledir: bir çift, biri erkek diğeri kadın, Opera ya da Boks maçına gitmek istemektedirler. Kadın operayı boksa tercih ederken, Erkek boks maçını tercih etmektedir fakat beraber zaman geçirmek istemektedirler. 2. Oyuncu L C T 1,1 0,0 1. Oyuncu M 0,0 1,1 Tablo 1.15: Cinsiyetler Savaşı Bu oyundaki hiç bir oyuncu için mahkum strateji yoktur. Kadın için en iyi tepki eğer kocası da giderse operaya gitmek olacaktır, ancak erkek boks maçına gitmeyi arzu ederse kadın da oraya gidecektir. Aynı durum erkek için de geçerlidir. Bu oyunda baskın strateji dengesi yoktur. Diğer yandan oyuncular eğer önceliği kendilerine verirlerse (safety first type of strategy), yani kendi maksimum stratejilerini oynarlarsa, erkek boks maçına kadın da operaya gidecektir. Daha ileri gidersek, bunun anlamı rakibin hamlesine karşılık oyuncuların hiç birinin en iyi tepkiyi veremeyeceğidir. Denge kavramı şudur: Rakibin davranışına göre en iyi tepkiyi veren ve her oyuncu tarafından oynanan strateji kombinasyonudur. 1.2.5 Nash Dengesi Hiçbir oyuncunun, diğer oyuncuların strateji seçimleri veri alındığında, stratejisini değiştirme güdüsü yok ise, bu strateji kombinasyonu bir Nash dengesidir. Tanım 1.6. Nash Dengesi: n oyuncu için bir (s 1, s 2,..., s n) vektörü strateji seçimlerinin belirli bir kümesi olsun. Bu stratejiler aşağıdaki koşulu i oyuncusuna elverişli her stratejisi için sağlarsa, bir Nash dengesi oluşturacaktır. π i (s 1, s 2,..., s i,..., s n) π i (s 1, s 2,..., s i,..., s n) (1.22) Nash dengesinde hiçbir oyuncunun s i stratejisinin değiştirme yolunda bir güdüsü yoktur. Bu tanımın iki özelliği öne çıkmaktadır. Birincisi, zayıf

26 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR eşitsizlik işaretidir. Yani, oyuncuların sadece pozitif güdüsü olmamalıdır. s i stratejisine eşit stratejiler olabilir. İkincisi; birden fazla strateji vektörü Nash dengesi olabilir. Yani, oyunda çoklu denge olabilir. Diğer bir değişle, Nash dengesi diğer oyuncunun ne yaptığı veri iken, hiçbir oyuncunun stratejisini değiştirmeye teşvikinin olmaması durumudur. Nash denge stratejisini oynamak bir oyuncu için optimaldir. Bu bağlamda, Nash dengesinin self-enforcing özelliği vardır. Yani, her iki oyuncu herkesin Nash dengesi oynayacağını biliyorsa, herkes gerçekten Nash dengesini oynamak isteyecektir çünkü böyle yapmak optimaldir. Nash dengesi oyun teorisi uygulamalarında çok geniş olarak kullanılmıştır. Belki de Nash dengesinin bu popülerliği için sebep; Nash dengesi olmayan bir çıktıya bakıldığında, diğer stratejilerini oynayarak daha iyi olan en az bir oyuncunun olmasıdır. (KBSE) ile Nash dengesi arasındaki bağlantı iki teorem ile gösterilebilir. Teorem 1.1. (KBSE) tekrarlı eleme ile bir denge elde edilmiş ise; bu denge oyunun tek Nash dengesidir. Teorem 1.2. Her Nash dengesi (KBSE) in tekrarlı elemesi ile vardır (survive). Bu teoremler zıtlık ile ispatlanabilir. Teoremleri anlamanın anahtarı tanımında yatmaktadır. KBSE olmayan bir strateji Nash dengesidir ve Nash dengesinde oynanmayan bir strateji (KBSE) dir. Nash dengesini göstermenin bir başka yolu da vardır. En iyi cevap fonksiyonu (best response function) strateji kümesi sürekli olduğunda kullanılmaktadır. İki oyunculu bir oyunda 1. oyuncuyu düşünelim. 2. Oyuncu tarafından seçilmiş her olanaklı strateji için 1. Oyuncunun en iyi cevap fonksiyonunu (BRF) hesaplanabilir. Veri bir s 2 stratejisine karşı yapılan en iyi cevap fonksiyonu aşağıdaki problemi çözen s 1 seçimi ile bulunur. max π 1 (s 1, s 2 ) (1.23) Sürekli strateji uzayı ve diferansiyeli alınabilir ödeme fonksiyonu ile, eşitlik (1.23) çözülebilir. Maksimum için birinci dereceden koşul 1. oyuncunun en iyi cevap fonksiyonu s 2 değişkeninin fonksiyonu olarak tanımlanacaktır. 1. Oyuncu için en iyi cevap fonksiyonu R 1 (s 2 ) olsun. Aynı şekilde, 2. Oyuncu için en iyi cevap fonksiyonu R 2 (s 1 ) olacaktır. Nash dengesi için her oyuncunun stratejisi birbirine en iyi cevap olmalıdır. Yani, Nash dengesi strateji çifti (s 1, s 2) eşanlı çözümdür.

1.2. NORMAL BIÇIMDE OYUNLAR 27 s 1 = R 1 (s 2 ) (1.24) s 2 = R 2 (s 1 ) (1.25) Örnek: İki örnek incelenecektir. Birincisi, kesik (discreet) değerlere sahip strateji seçimi diğeri sürekli strateji seçimi olacaktır. Birinci örnekte, iki oyuncu ve üç olanaklı strateji vardır. Oyunun matris biçimi aşağıdaki gibidir. 2. Oyuncu L C R T 3,3 2,1 3,1 1. Oyuncu M 2,4 2,4 0,4 B 1,5 0,2 6,5 KBSE ile bir denge yoktur. Oyununu çözmek için en iyi cevap yöntemi kullanılacaktır. 1. oyuncunun en iyi cevap fonksiyonunu bulmak için, her sütun (2. Oyuncunun strateji seçimi) incelenecektir ve en iyi satır (1. Oyuncunun strateji seçimi ) bulunacaktır. Aşağıdaki matriste 1. Oyuncunun en iyi cevap fonksiyonunun altı çizilidir. 2. Oyuncu L C R T 3,3 2,1 3,1 1. Oyuncu M 2,4 2,4 0,4 B 1,5 0,2 6,5 Görüldüğü gibi 2. Oyuncunun C stratejisine 1. Oyuncu 2 adet strateji ile karşılık vermektedir. Aynı yöntemle 2. Oyuncunun en iyi cevapları bulunabilir. Her satırda (1. Oyuncunun seçimi) en iyi cevapları gösterirsek, 2. Oyuncu L C R T 3,3 2,1 3,1 1. Oyuncu M 2,4 2,4 0,4 B 1,5 0,2 6,5 Bu oyunda üç tane Nash dengesi vardır. Bunlar, (T, L), (M, C) ve (B, R) dir. Matris biçiminde yazılmış bir oyunda en iyi cevapların altı çizilerek Nash dengesi bulunabilir.

28 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR Nash Dengesi Kavramının İçeriği Nash dengesini yetersiz bulan ve oyuncuların birbirleriyle ilgili tahminlerinin doğru olduğuna inanmayan bir durum var mıdır? Nash dengesinin bu kadar yaygın kullanılmasının altında temel argümanlar aslında basittir. Rasyonel tahminin sonucu olarak Nash Dengesi. Rasyonellik tek başına, oyuncuların, rakiplerinin ne oynayacağını doğru şekilde tahmin edebilmek zorunda olduklarını ima etmektedir. Ancak, oyuncuların tahminlerinin doğru olacağını göstermez. Oyunda tek bir kestirilmiş çıktı varsa gerekli koşul olarak Nash Dengesi. Oyun için tek bir kestirilmiş çıktı varsa, rasyonel oyuncular bunu anlayacaktır. Bundan dolayı, hiçbir oyuncu dengeden sapmak istemeyecektir, bu kestirilmiş çıktı Nash dengesi olacaktır. Oyuncular oyunu oynamanın açık (tek bir) yolu olduğuna dair inanışlara sahip ise, o zaman bu Nash dengesidir. Bu argüman sadece oyuncuların oyunu nasıl oynayacağı için tek bir kestirim olduğu ile alakalıdır. Bununla, beraber, rasyonelleştirilebilirlik tartışması rasyonelliğin ortak bilgisinin tek başına bunu gerçekleştiremeyeceğini göstermektedir. Odak (Focal) Noktaları. Bazen belirli çıktılar Schelling(1960) ın söylediği gibi, odak olarak adlandırılmaktadır. Örneğin, cinsiyetler savaşı oyununda Boks maçı Operadan daha iyi olsun. Boksun ödemesi (1000,1000) ve Operanınki (100,100) olsun. Aniden, Boks maçına gitmek en açık yol olacaktır. Odak noktaları kültürel şekilde de belirlenebilir. Kadın vahşi sporları seviyorsa, eşiyle Boks maçına gidebilir ya da naif ve entellektüel bir erkek eşiyle Operaya gitmekten çok fazla haz alacaktır. Kendine-yaptırım-gücü (self-enforcing) olan anlaşma olarak Nash Dengesi. Oyuncuların oyunu oynamadan önce bağlayıcı-olmayan iletişime girdiği kabul edilsin. Oyuncular oynanacak çıktıyı kabul ederse, bu doğal olarak oyun için en açık dengeye aday olacaktır. Bununla beraber, oyuncular kendilerini kabul edilmiş stratejilere bağlamayacağından, oyuncunun ulaşabileceği herhangi bir anlaşma kendine-yaptırımgücü olan bir anlaşma olmalıdır. Buradan, herhangi bir anlamlı anlaşma NAsh denge strateji profilini oynamayı kapsamak zorundadır. Tabiiki, oyuncular Nash dengesini oynayacakları anlaşmalara ulaşsalar bile, diğer oyuncuların sapacağını beklerlerse onlar da sapabilirler.

1.2. NORMAL BIÇIMDE OYUNLAR 29 Durağan sosyal gelenek olarak Nash Dengesi. Oyun tekrarlanan şekilde oynanıyorsa, zaman içinde oyunu oynamanın belirli bir yolu ortaya çıkabilir, yani bazı durağan gelenekler oluşabilir. Böyle olduğunda, geleneğin sürdürüleceği bütün oyunculara açık olabilir. Gelenek odak olacaktır. New Yorkluların hergün oynadığı oyun olarak Downtown Manhattan da yürümek iyi bir örnektir. Hergün, işe giden insanlar yürüme yolunun hangi tarafında yürüyeceklerine karar vermek ihtiyacındadırlar. Zaman içinde, durağan sosyal gelenek herkesin sağ tarafta yürümesidir. Bu gelenekten sapan bir birey ayaklar altında çiğneneceği gerçeği ile karşı karşıyadır. Tabiiki, herhangi bir gün, bir birey sol tarafta yürümeye karar verebilir ve diğer herkes aniden geleneklerin değiştiğini uman tahminler yapabilirler. Yine de, bu durumda herkes sağ taraftan yürür. Nash dengesinin mantıklı olması tahmini geçerlidir. Bir çıktı durağan sosyal gelenek olursa, Nash dengesi olmak zorundadır. Böyle değilse, bireyler meydana çıkmaya başladığı anda ondan sapacaklardır. Durağan sosyal gelenek oluşumunu formal olarak modellemek kolay değildir. Bir zorluk hergün tekrarlanan oyunun çok daha dinamik bir oyun olarak görülmesidir. Böylece, rasyonel oyuncuların oyunun tümünde stratejilerini seçtikleri düşünülürken, bazen orjinal conundrum noktasına geri dönülmelidir. Bu büyükçe oyunda neden Nash dengesi beklenmelidir? Örneğin, oyuncu rakibinin dün ne yaptıysa bugünde tekrarlayacağını tahmin edebilir. Böylece, hergün oyuncular dünkü oyunculara göre en iyi-cevabı oynayacaklardır. Bu sürecin durağan noktası olan stratejiler kombinasyonu oluşursa, (bugün oynama dünün aynısıdır) Nash dengesi olmak zorundadır. Bununla beraber, herhangi bir başlangıç noktasından, sürecin durağan bir çıktıya yakınsayacağı daha az açıktır. Yakınsama oyuna bağlı olmaktan çıkacaktır. 1.2.6 Karma-stratejili Oyunlar Bütün oyunlarda saf(pür)-nash dengesi yoktur. Nash dengesinde, saf stratejinin seçilme olasılığı 1 dir. Çeşitli iktisadi uygulamalarda karma stratejiler söz konusudur. Bu bölümde iki oyunculu oyunlar incelenecektir. İki oyunculu bir oyunda her oyuncunun m olanaklı saf stratejisi vardır. Stratejilerin sayısı aynı olabilir. s ij, i oyuncusunun j. stratejisi olsun. Bu stratejiyi oynamanın olasılığı p j olsun. İki oyuncu için, q k, k stratejisini oynama olasılığı olsun. p

30 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR ve q olasılık vektörlerini göstersin. Oyuncu 1 ve 2 için karma strateji kümesi aşağıdaki gibi yazılabilir: S 1 = {p : 0 p 1, S 2 = {q : 0 q 1, m p = 1} (1.26) j=1 m q = 1} (1.27) Saf stratejiler karma stratejiler kümesinin bir altkümesidir. s 1j saf stratejisi 1. Oyuncu için p j = 1 ve p i = 0 ifadelerinde karma strateji seçimi ile eşdeğerdir. Karma strateji Nash dengesini karakterize etmek için, oyuncuların ödemelerinin beklenen değerini hesaplamak gerekmektedir. π ijk, i. oyuncunun 1. Oyuncu j saf stratejisini ve 2. Oyuncu k saf stratejisini seçtiğindeki ödemesi olsun. i oyuncusu için beklenen ödeme olanaklı bütün çıktılarda ödemeler çarpı olasılıklardır. k=1 E(π 1 ) = p 1 q 1 π 111 + p 1 q 2 π 112 +... + p 1 q m π 11m + p 2 q 1 π 121 + p 2 q 2 π 122 +... + p 2 q m π 12m +... + p m q 1 π 1m1 + p m q 2 π 1m2 +... + p m q m π 1mm Kısacası, E(π 1 ) = m m p j p k π 1jk (1.28) j=1 k=1 Tanım 1.7. Karma Strateji Nash Dengesi. p ve q olasılık vektörleri bütün olanaklı p ve q karma stratejileri için aşağıdaki ifade sağlanıyorsa bir Nash dengesidir; ve m m p jp kπ 1jk j=1 k=1 m m p jp kπ 2jk j=1 k=1 m m p jp kπ 1jk (1.29) j=1 k=1 m m p jp kπ 2jk (1.30) j=1 k=1 Teorem 1.3. Her sonlu saf stratejili n-oyunculu oyunun en azından bir saf ya da karma stratejili Nash dengesi vardır.

1.2. NORMAL BIÇIMDE OYUNLAR 31 Bu teorem her oyunun bir sonucu olduğunu söylemektedir. Ancak, teorem sonucun nasıl bulunacağını söylememektedir. İki oyunculu, iki stratejili oyunlarda karma strateji çözümünü bulmak kolaydır. 2. Oyuncu L R T A, a B, b 1. Oyuncu B C, c D, d Oyunda T stratejisi p olasılığı ile oynandığında, ikinci strateji (1 p) olasılıkla oynanacaktır. Böylece 1. oyuncunun beklenen ödemesi aşağıdaki gibi olacaktır, E(π 1 ) = pqa + p(1 q)b + (1 p)qc + (1 p)(1 q)d (1.31) Veri q için, 1. Oyuncunun skoru p olasılığının doğrusal fonksiyonudur. 1. Oyuncunun ödeme fonksiyonunun türevi alındığında olasılığa göre türevi alındığında aşağıdaki eşitlik bulunacaktır, E(π 1 ) p = qa + (1 q)b qc (1 q)d = 0 (1.32) Birinci-dereceden koşulda, p ile ilgili bir değişken yoktur. Türev q olasılığına bağlı olduğundan, 1. Oyuncu türevin değerini seçemez. Değer pozitif, negatif ve sıfır olabilir. Pozitif ise oyuncu p = 1 olarak alacaktır. Negatif ise, p = 0 ve sıfır ise, p olasılığının olanaklı bütün düzeyleri için 1. oyuncunun ödemesi aynı olacaktır. Yani, oyuncu olanaklı bütün stratejiler arasında farksızdır: Herhangi bir karma strateji seçimi (saf stratejileri de kapsayan) aynı ödemeleri de içermektedir. Türev sıfıra eşit olduğunda, 1. Oyuncu için karma strateji oynamak bir denge olabilir. Dengeyi bulmak için aynı işlem 2. Oyuncu için de uygulanacaktır. E(π 2 ) = pqa + p(1 q)b + (1 p)qc + (1 p)(1 q)d (1.33) Birinci dereceden koşul aşağıdaki gibi olacaktır, E(π 2 ) q = pa pb + (1 p)c (1 p)d = 0 (1.34) Denge birinci türevlerin sıfıra eşitlenmesi ile bulunur.

32 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR Eşitlik (1.32) ve (1.34) eş-anlı olarak çözüldüğünde olasılıklar aşağıdaki gibi olacaktır; ve p = q = d c a b c + d D B A B C + D (1.35) (1.36) İki çözüm de 0 ile 1 arasında ise, karma-strateji dengesi vardır. Örnek: Aşağıdaki matris oyununun saf strateji Nash dengesi yoktur. 2. Oyuncu L R T 3, 1 2, 4 1. Oyuncu B 2, 2 3, 1 Beklenen faydaları aşağıdaki şekilde olacaktır. ve E(π 1 ) = 3pq + 1p(1 q) + 2(1 p)q + 3(1 p)(1 q) (1.37) E(π 2 ) = pq + 4p(1 q) + 2(1 p)q + 1(1 p)(1 q) (1.38) Beklenen fayda fonksiyonlarının birinci türevini alarak maksimizasyon problem çözülecektir: ve E(π 1 ) p E(π 2 ) q = 2q 1 = 0 (1.39) = 1 4p = 0 (1.40) Eşitlik (1.39) ve (1.40) den hareketle, p = 1/4 ve q = 1/2 olacaktır.

1.2. NORMAL BIÇIMDE OYUNLAR 33 1.2.7 Dengenin Varlığı Dengenin varlığı ile ilgili anlatıma geçmeden önce, yazı-tura oyunu incelensin. 2. Oyuncu Y azi T ura Y azi 1, 1 1, 1 1. Oyuncu T ura 1, 1 1, 1 1. Oyuncu 2. Oyuncunun q olasılıkla Yazı oynayacağını (1 q) olasılıkla tura oynayacağına inansın. Yani, karma strateji (q, 1 q) olacaktır. 1.oyuncunun yazı oynadığında beklenen ödemesi aşağıdaki şekilde olacaktır, q( 1) + (1 q)1 = 1 2q (1.41) Tura oynadığında beklenen ödemesi şu şekilde bulunur, q1 + (1 q)( 1) = 2q 1 (1.42) 1 2q > 2q 1 olduğundan, yalnızca ve yalnızca q < 1/2 ise, 1. oyuncunun en iyi saf cevabı yazı q < 1/2 için, tura q > 1/2 için ve her ikisinde farksız olduğu durum q = 1/2 olduğunda gerçekleşecektir. (r, 1 r) 1.oyuncunun karma stratejileri olsun. 0 ile 1 arasında her q değeri için r değerleri hesaplanabilir. r (q) ile gösterilir. (r, 1 r) 1.oyuncu için (q, 1 q) çiftine en iyi cevaptır. Sonuç Şekil 1 de görülmektedir. 1. Oyuncunun 2. Oyuncu (q, 1 q) olasılıklarını oynadığındaki beklenen ödemesi aşağıdaki gibi olacaktır, rq( 1)+r(1 q)1+(1 r)q1+(1 r)(1 q)( 1) = (2q 1)+r(2 4q) (1.43) rq, (Yazı, Yazı) gelme olasılığıdır. r(1 q), (Yazı, Tura) ve diğerleri böylece sıralanmaktadır. 1. Oyuncunun beklenen ödemesi (2 4q) > 0 olduğunda artan, (2 4q) < 0 olduğunda azalandır. 1. Oyuncunun en iyi cevabı eğer q < 1/2 ise, r = 1, q > 1/2 ise r = 0 olacaktır. Görüldüğü gibi iki yatay çizgidir. Herşey q = 1/2 durumunda değişmektedir. Oyuncu yazı ve turada farksızdır. q = 1/2 olduğunda 1. Oyuncu bütün karma stratejiler arasında farksızdır. Yani, r = 1/2 ise, [0, 1] aralığındadır.

34 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR q Yazi 1 Tura Tura 1/2 1 Yazi r Şekil 1.3: Yazı-Tura Oyununda Olasılıklar Nash Dengesinin Varlığı Nash teoremini tekrar edilecek olursa, şu şekilde yazılabilir. Teorem 1.4. (Nash (1950)): Nash Dengesi. n-oyunculu normal biçimdeki G = {S 1,..., S n ; u 1,..., u n } oyununda, her i için, n ve S i sonlu ise, karma stratejilerinde dahil olduğu en az bir Nash dengesi vardır. Bu teoremin ispatı için sabit nokta teoremi gerekmektedir. Basit bir örnek verirsek, f(x), [0, 1] aralığında sürekli bir fonksiyon olsun. O zaman Brouwer sabit nokta teoremine göre en az bir tane sabit nokta vardır - yani [0, 1] aralığında f(x ) = x olan bir x değeri vardır. Şekil (1.4) bir örnektir. Sabit nokta teoremini Nash dengesine uygulamanın iki adımı söz konusudur: (1) belirli bir karşılamanın (correspondence) herhangi bir sabit noktasının Nash dengesi olduğunu gösterme, (2) bu karşılamanın bir sabit noktası olması gereğini uygun bir sabit nokta teoremi ile göstermedir. İlgili karşılama n-oyuncu en iyi cevap karşılamasıdır. Kakutani sabit nokta teoremi kolaylıkla uygulanabilir. n-oyunculu en iyi cevap karşılaması (C) hesaplansın. Karma stratejilerin (p 1,..., p n ) keyfi bir kombinasyonu alınsın. Her i oyuncusu için, en iyi cev-

1.3. STRATEJIK BIÇIMDE OYUNLAR 35 1 x* f(x*) x* 1 Şekil 1.4: Sabit Nokta abını diğerlerinin karma stratejilerine (p 1,..., p i 1, p i+1,..., p n ) göre türetilsin. Her oyuncu için, en iyi cevaplar oluşturulsun. (p 1,..., p n) karma stratejilerinin bir kombinasyonu oyuncuların olanaklı kombinasyonlar kümesine dahil ise, bu C karşılamasının bir sabit noktasıdır. Yani, her i için, p i, i oyuncusunun (p 1,..., p i 1, p i+1,..., p n ) karma stratejisine en iyi cevabı olmak zorundadır. Böylece, (p 1,..., p n) Nash dengesidir. İkinci adım her oyuncunun en iyi cevap karşılamasının sürekli olmasına dayalıdır. Süreklilik sabit nokta teoremi için gereklidir. Şekil (1.5) de süreksiz bir fonksiyonda sabit noktanın olmadığı görülmektedir. 1.3 Stratejik Biçimde Oyunlar İki oyuncu arasındaki bir oyunun matris oyunu olarak yazılabileceğini yukarıda anlatılmıştır. Bir çok uygulamada, oyunlar genellikle ikiden fazla oyuncu arasında oynanmaktadır. Oyuncuların strateji kümeleri oyunun matris sunumuna sahip olmasını engeleyebilir. Bundan başka, matris oyunları için tanımlanmış oyunların nasıl çözüleceği hakkındaki birçok fikir daha genel oyun sınıfına kolayca genişletilebilir - stratejik biçimde oyunlar sınıfı. Stratejik biçimdeki

36 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR Şekil 1.5: Süreksiz Fonksiyon Durumu oyunlar daha biçimsel bir yolla aşağıdaki şekilde tanımlanacaktır. Tanım 1.8. Stratejik biçimdeki bir oyun (ya da normal biçimdeki bir oyun) basitçe bireyin 1, 2,..., n olarak etiketlenmiş kümesidir ve her oyuncunun, 1. S i seçim kümesi (i oyuncusunun strateji kümesi olarak da bilinir ve elemanları i oyuncusunun stratejileri olarak adlandırılır) ve 2. u i : S 1 S 2... S n R olan bir ödeme fonksiyonu vardır. Oyun aşağıdaki gibi oynanmaktadır: her k oyuncusu eşanlı olarak s k S k stratejisini seçmektedir ve bir kere bu yapıldığında her i oyuncusu u i (s 1, s 2,..., s n ) ödemesini almaktadır. n oyunculu s 1,..., s n strateji kümeli ve u 1,..., u n ödeme fonksiyonlu stratejik biçimde bir oyun aşağıdaki biçimde gösterilecektir: Γ = {s 1,..., s n ; u 1,..., u n } (1.44) Böylece, stratejik biçimdeki bir Γ oyununu tanımlamak için, oyuncuların ödeme fonksiyonu ve strateji kümesine ihtiyaç vardır. Her u i ödeme fonksiyonu, k oyuncusuna strateji kümesi üzerindeki her s k değişkeninin olduğu n değişkenli s 1, s 2,.., s n bir reel fonksiyondur. u i (s 1, s 2,..., s n ) fonksiyonunun değeri her k oyuncusu s k stratejisini oynadığında i oyuncusunun ödemesi

1.3. STRATEJIK BIÇIMDE OYUNLAR 37 olarak belirlenmiştir. Strateji kümelerinin kartezyen çarpımı S 1 S 2... S n strateji profil kümesi ya da oyunun çıktılarının kümesi olarak bilinmektedir ve (s 1, s 2,..., s n ) elemanları strateji profilleri veya strateji kombinasyonları olarak adlandırılmaktadır. Tabiiki, i oyuncusu için u i (s 1, s 2,..., s n ) ödemesi parasal kazanım veya kayıp ya da oyuncu için önemli bir tatmin tipi olabilir. Örnek: (Aliprantis ve Chakrabarti (2000) s.50 den alınmıştır) Bu, üç oyunculu 1, 2, 3 stratejik biçimde bir oyundur. Oyuncuların strateji kümeleri S 1 = S 2 = S 3 = [0, 1] dir. Ödeme fonksiyonları aşağıdaki şekilde verilmiştir, u 1 (x, y, z) = x + y z, u 2 (x, y, z) = x yz, ve u 3 (x, y, z) = xy z (1.45) Basitlik amacıyla s 1 = x, s 2 = y ve s 3 = z olsun. Oyuncular stratejilerini x = 1/2, y = 0 ve z = 1/4 olarak anons ettiğinde, ödemeleri u 1 (1/2, 0, 1/4) = 1/4, u 2 (1/2, 0, 1/4) = 1/2 ve u 3 (1/2, 0, 1/4) = - 1/4 olur. (1, 1, 0) strateji profili her oyuncuya daha iyi bir ödeme vermektedir. Bir kere stratejik biçimde oyun oynandığında, oyuncunun amacı ödemesini maksimize etmektir. Bununla beraber, bir oyuncunun ödemesi yalnızca ne seçtiğine değil aynı zamanda diğer oyuncuların ne seçtiğine bağlı olduğundan, birinin ödemesini maksimize etme konusu bir karar vericinin olduğu basit karar problemi durumlarından çok daha anlaşılmazdır. Bireysel oyuncu, diğer oyuncuların seçimlerini biliyorsa, diğerlerinin seçimlerini veri alarak ödemesini maksimize etmeyi seçebilir. Fakat o zaman, bütün diğer oyuncular aynı şeyi yapmak isteyeceklerdir. Gerçekten, bireysel ödemelerin eşanlı maksimizasyonundan elde edilen çıktılara bakmak gayet doğal görünmektedir. Böyle bir strateji profili genellikle - matris oyunları durumdaki gibi - Nash dengesi olarak adlandırılmakta ve aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır. Nash dengesi stratejik biçimdeki bir oyuna önerilen bir çözüm olarak mantıklı görünürken, yalnızca bir oyuncu diğerlerinin Nash dengesini oynayacağını biliyorsa, Nash dengesini oynamak oyuncunun çıkarınadır. Sık sık her oyuncunun bilmesi, her oyuncu her oyuncunun bunun bildiğini bilmesi ve daha diğerleri sonsuza kadar giderek zincirleme bir süreç gerekmektedir. Diğer bir değişle, oyuncuların Nash dengesini oynaması için ortak bilgi (common knowledge) olmak zorundadır. Gerçekte, bu basitçe her oyuncunun belirli Nash dengesini oynayacağını bildiği anlamına gelmektedir. Nash dengesi strateji profili self-enforcing bir profildir. Buradan, oyuncular hiçbir oyuncunun değiştirme güdüsünün olmadığı çıktılar ya da çözümleri aradığında, böyle bir gereksinimi sağlayan tek strateji profili Nash dengesidir.

38 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR Strateji kümeleri reel sayıların açık aralığı olduğunda, Nash dengesini bulmak için kullanışlı bir kriter vardır. Böyle bir durumda (s 1, s 2,..., s n) strateji profili oyunun dengesi olduğunda çözüm aşağıdaki gibidir. u i (s 1, s 2,..., s n) s i = 0 i = 1, 2,..., n (1.46) Bundan dolayı, Nash dengesi (1.46) sisteminin çözümleri arasındadır. (1.46) sisteminin tek bir çözümü olduğunda, bu, oyunun tek Nash dengesidir. Strateji kümesi açık aralık olan stratejik biçimdeki oyunlarda Nash dengesini belirlemek için basit bir test gereklidir. Matematiksel ifadelerle aşağıdaki şekilde formüle edilmektedir. Nash Denge Testi Γ, strateji kümelerinin açık aralık olduğu ve ödeme fonksiyonlarının iki kez türevinin alınabildiği bir stratejik biçimde oyun olsun. (s 1, s 2,..., s n) strateji profili aşağıdakileri sağlasın; 1. Her i oyuncusu için; u i (s 1, s 2,..., s n) s i = 0 (1.47) 2. Her s i ; u i (s 1, s 2,..., s n) fonksiyonunun tek durağan noktasıdır (s S i ) ve 3. 2 u i (s 1, s 2,..., s n) s 2 i < 0 (1.48) Örnek: Şimdi de sürekli stratejiler ile iki-oyunculu örneği inceleyelim. Her oyuncunun strateji kümesi aşağıdaki şekilde olsun; S i = {s i : s i 0} (1.49) Sözle ifade edildiğinde, her oyuncu strateji değişkeninin negatif-olmayan bir düzeyini seçmek zorundadır. İktisatta sıkça karşılaşılan bir durumdur. Örneğin, miktar, fiyat tüketim seçimleri negatif değerler alamaz. 1. Oyuncu ve 2. Oyuncu için ödeme fonksiyonlarını aşağıdaki gibi olsun:

1.3. STRATEJIK BIÇIMDE OYUNLAR 39 π 1 = 10s 1 s 2 1 s 1 s 2 3s 1 (1.50) π 2 = 10s 2 s 2 2 s 1 s 2 2s 2 (1.51) Oyun sürekli strateji kümesi ile oynandığından kesikli ödeme matrisini oluşturmak olanaklı değildir. Bunun yerine en iyi cevap fonksiyonları kullanarak Nash dengesi elde edilmektedir. Birinci dereceden koşullar aşağıdaki gibi olacaktır, π 1 s 1 = 10 2s 1 s 2 3 = 0 (1.52) π 2 s 2 = 10 2s 2 s 1 2 = 0 (1.53) s 1 ve s 2 için eşitliklerden değerleri çekersek aşağıdaki en iyi cevap fonksiyonlarına ulaşılacaktır: s 1 = 7 s 2 2 (1.54) s 2 = 8 s 1 (1.55) 2 Buradan, eşitlik (1.54) ve (1.55) eş-anlı olarak çözüldüğünde s 1 = 2 ve s 2 = 3 bulunacaktır. Örnek (Aliprantis ve Chakrabarti (2000) s.52 den alınmıştır): Üç kişili stratejik biçimde her oyuncunun strateji kümesi (0, ) açık aralığa eşit olan bir oyun düşünelim. Oyuncuların ödeme fonksiyonları aşağıdaki gibi olsun. u 1 (x, y, z) = 2xz x 2 y (1.56) u 2 (x, y, z) = 12(x + y + z) y (1.57) u 3 (x, y, z) = 2z xyz 2 (1.58) Oyunun Nash dengesini bulmak için, aşağıdaki eşitlik sistemi çözülmelidir, u 1 x = 0, u 2 y = 0 ve u 3 z = 0 (1.59)

40 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR Yukarıdaki türevler alındığında aşağıdaki birinci-dereceden koşullar bulunacaktır; u 1 x = 2z 2xy, u 2 3 y = x + y + z 1 ve u 3 z = 2 2xyz (1.60) Birinci-dereceden koşullardan aşağıdaki eşitlik sistemi yazılabilir; z = xy (1.61) x + y + z = 3 (1.62) xyz = 1 (1.63) Eşitlikler sisteminin tek çözümü x = y = z = 1 olacaktır. alarak Nash denge testi tamamlanacaktır. İkinci türevleri 1.3.1 Stratejik Biçimde Oyunların Tipik Uygulamaları Stratejik biçimdeki oyunların iktisat ve politika biliminden birçok örnekleri vardır. İktisattaki analiz edilen ilk oyunlardan biri 18. yüzyıl Fransız matematikçisi Augustin Cournot tarafından ortaya atılmıştır. 4 İki kişili oyunda çözüm hemen hemen bir yüzyıl sonra Nash dengesine uyarlanmıştır. Cournot duopol modeli tam olarak özdeş ürünler satan iki firmanın bireysel çıktı seviyelerine nasıl karar verdiklerini tanımlamaktadır. Sunulan model birçok yoldan basittir, fakat firmalar arasında rekabetin gerekli özelliklerinden bazılarını kucaklamaktadır ve endüstriyel organizasyon teorisinin temel taşı olmuştur. Modelin varyantları iki firma yerine n firma ya da miktarlar yerine fiyatlarda rekabet (Bertrand modeli) durumlarını kapsamaktadır. 1.3.2 Cournot Duopolü Stratejik biçimdeki bu oyun iki firma arasında oynanmaktadır. Firmalar 1 ve 2 olarak adlandırılacaktır. İki firma özdeş ürünler üretmektedir, 1. firma q 1 birim ve 2. firma q 2 birim ile üretim yapmaktadır. İki firma tarafından 4 Antoine-Augustin Cournot (1801-1877) Fransız matematikçi ve bilim felsefecisidir. Meşhur kitabı Recherches sur les Principes Mathematiques de la Theorie des Richesses (Paris, 1838) yayını ile, iki firmalı bir piyasada fiyat formasyon problemini ilk formüle edendir. Modern matematiksel iktisadın kurucularından biri olarak kabul edilmektedir.

1.3. STRATEJIK BIÇIMDE OYUNLAR 41 yapılan toplam üretim q ile gösterilmektedir; yani, q = q 1 + q 2 olacaktır. p(q) = A q piyasada ürünün birim başına fiyatı ve A sabit bir sayı olsun. q i birim çıktı üretmenin i firmasına toplam maliyeti c i q i varsayılsın. c i pozitif sabittir. Bu iktisadi model aşağıdaki gibi stratejik biçimdeki bir oyun olarak yazılabilir: İki oyuncu vardır: iki firma Her oyuncunun strateji kümesi firmanın seçebileceği pozitif miktarlar kümesidir. Yani, her oyuncunun strateji kümesi (0, ) dur. i firmasının ödeme fonksiyonu basitçe onun kar fonksiyonudur: π i (q 1, q 2 ) = (A q 1 q 2 )q i c i q i Firmalar tarafından karşılaşılan problem karını maksimize etmek için her birinin ne kadar üreteceğini nasıl belirleyeceğidir - her firmanın karının diğer firmanın çıktısına bağlı olduğunu unutulmamalıdır. Firmaların üretim miktarlarını bağımsız ve eşanlı olarak seçtiğini varsayacağımızdan, çözüm olarak Nash dengesini düşünmek mantıklıdır. Nash denge testini kullanarak oyunun Nash dengesini bulanabilir. Son olarak, not edelimki, π 1 (q 1, q 2 ) = (A q 1 q 2 )q 1 c 1 q 1 (1.64) π 2 (q 1, q 2 ) = (A q 1 q 2 )q 2 c 2 q 2 (1.65) Böylece, Nash denge testine göre, Nash dengesi (q 1, q 2) sistemin çözümü aşağıdaki gibidir, Düzenlendiğinde, π 1 (q 1, q 2 ) q 1 = 2q 1 q 2 + A c 1 (1.66) π 2 (q 1, q 2 ) q 2 = 2q 2 q 1 + A c 2 (1.67) 2q 1 + q 2 = A + c 1 (1.68) 2q 2 + q 1 = A + c 2. (1.69)

42 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR Eş-anlı olarak çözüldüğünde aşağıdaki değerler elde edilecektir, q 1 = A 2c 1 + c 2 3 q 2 = A 2c 2 + c 1 3 (1.70) (1.71) Son olarak, A > c 1 + c 2 olduğunda, Nash dengesinde iki firma pozitif çıktı üreteceğibulunacaktır. Burada biraz durmak ve Cournot duopol oyunun Nash dengesi hakkında düşünmek öğreticidir. Cournot duopolu bir piyasa olduğundan, bilmek istediğimizin piyasa dengesi olduğu kabul edilebilir. Bundan dolayı, olanaklıysa, piyasa denge koşullarını sağlayan (ˆq 1, ˆq 2 ) çifti ve ˆp fiyatı bulunmalıdır: 1. ˆp fiyatında talep edilen miktar ˆq(ˆp), 2. (ˆq 1, ˆq 2 ) firmaların ˆp fiyatında arz etmek isteyeceği miktardır. İddia, Nash dengesi (q 1, q 2) çıktı çiftinin tam olarak piyasa denge çıktısını verdiğidir. Gerçekten, firmalar q 1 ve q 2 miktarlarını ürettiğinde duopol piyasasında gerçekleşen fiyat aşağıdaki gibi olacaktır; p = A q 1 q 2 = A A 2c 1 + c 2 3 A 2c 2 + c 1 3 = A + c 1 + c 2 3 (1.72) p fiyatında talep edilen miktar, Aynı zamanda, q(p ) = A p = 2A c 1 c 2 3 (1.73) q1 + q2 = 2A c 1 c 2 (1.74) 3 Bu da q(p ) = q1 + q2 olduğunu göstermektedir. Böylece p fiyatında talep edilen miktar gerçekten Nash dengesinde firmaların ne ürettiğidir. Fakat firmalar bu fiyatta Nash dengesi çıktısını üretmek isteyecekler midir? Tabii ki cevap evettir; çünkü bu fiyatta firmanın Nash dengesi çıktısı firmanın karını maksimize eden çıktıdır: Buradaki önemli nokta şudur: Cournot duopol oyununda Nash dengesi tam olarak duopol için

1.3. STRATEJIK BIÇIMDE OYUNLAR 43 istenileni vermektedir, ismen duopol piyasa dengesi. Diğer örnek seçim platformlarının doğasına bakmaktadır. Modelin kuramsal detaylarının zenginliğinin kabul edilebildiği noktada, seçim platformunu seçmek için adayların olduğu bir durumda rasyonelliğe adil olarak derin bir bakış sağlamaktadır. Bir seçim platformu seçimi nadiren diğer adayların platformundan bağımsızdır ve aday olarak kazanma isteği seçimin sonuca giden tek yoludur. Bundan dolayı, kazanma bir aday için önemlidir, ideolojik spektrumda, pozisyonun adayın seçimini nasıl etkileyeceğini sormak ilginçtir. 1.3.3 Bertrand Duopolü Bertrand (1883) firmaların fiili olarak fiyat rekabeti yaptığını söylemektedir. Bu bölümde, iki duopolistin bu bağlamda nasıl davranacağı modellenecektir. Cournot dan farklı stratejik değişkenin çıktı değil fiyat olmasıdır. Bertrand modeli Cournot modelinden farklı bir modeldir. Farklılaştırılmış mallar durumunda, 1. ve 2. firmalar p 1 ve p 2 fiyatını sırasıyla seçiyorsa, tüketicinin i firmasından talep ettiği miktar aşağıdaki gibi olacaktır; q i (p i, p j ) = a p i + bp j (1.75) b > 0; i firmasının malının j firmasın için hangi derecede ikame olduğunu ifade etmektedir (Bu gerçekçi olmayan bir talep fonksiyonudur çünkü i firmasının talebi çok yüksek bir fiyat söylese bile pozitif olacaktır). Üretimin sabit maliyeti yoktur ve sabit marjinal maliyet c, c < a durumunu sağlamaktadır ve firmalar eş-anlı olarak hareket etmektedirler. Öncelikle, Nash dengesini bulmak için oyunu normal-biçimdeki oyunlara dönüştürmek gereklidir. Öncelikle negatif fiyatların olmadığı ancak negatifolmayan hertürlü fiyatın teklif edilebileceği varsayılmaktadır. Böylece, her firmanın strateji uzayı S i = [0, ) olarak gösterilebilir. Dolayısıyla, tipik bir strateji s i fiyat seçimi olacaktır, p i 0. Firmaların ödeme fonksiyonları kar fonksiyonlarıdır. Rakibinin p j fiyatını seçtiğinde ve kendisi de p i fiyatını seçtiğinde i firmasının karı aşağıdaki gibi olacaktır. π i (p i, p j ) = q i (p i, p j )[p i c] = [a p i + bp j ][p i c] Böylece, fiyat çifti (p i, p j) her firma için aşağıda p i için fonksiyonu çözerse, bir Nash dengesidir. max π i(p i, p 0 p i j) = max [a p i + bp 0 p i j][p i c]

44 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR i firmasının optimizasyon probleminin çözümü aşağıdaki gibi olacaktır; p i = 1 2 (a + bp j + c) Bundan dolayı, fiyat çifti (p i, p j) Nash dengesi ise, firmaların fiyat seçimi aşağıdaki gibi olacaktır; p 1 = 1 2 (a + bp 2 + c) (1.76) ve p 2 = 1 2 (a + bp 1 + c) (1.77) Eşitlik (1.76) ve (1.77) eş-anlı olarak çözüldüğünde, sonuç aşağıdaki gibi olacaktır; p 1 = p 2 = a + c 2 b 1.3.4 Son-Teklif Tahkimi (Final-Offer Arbitration) Kamu kuruluşunda çalışan bir çok işçi veya memur için grev hakkı yoktur; bunun yerine, ücret itilafları bağlayıcı tahkimler tarafından oluşturulmaktadır. Birçok itilaflı durum tahkimler yardımıyla çözülmektedir. Örnek olarak, tıbbi ihmal durumları ve hisse senedi sahiplerinin brokerlara karşı yaşadıkları itilaflar verilebilir. Tahkimin iki temel biçimi geleneksel ve sonteklif tahkimidir. Son-teklif tahkiminde, iki taraf da ücret teklifinde bulunmakta ve hakem anlaşma için tekliflerden birini seçmektedir. Geleneksel tahkimde, hakem serbest olarak herhangi bir ücreti kabul edebilir. Farber (1980) tarafından geliştirilen son-teklif tahkimi aşağıda incelenecektir. Tahkime giden taraflar ücretlerdeki anlaşmazlık için bir firma ile sendika olsun. Oyunun zamanlaması şu şekildedir; ilk olarak, firma ve sendika eş-anlı olarak tekliflerini sırasıyla w f ve w u olarak vermektedir. İkincisi, hakem iki tekliften birini seçmektedir (Gerçek anlamda dinamik bir oyun gibi görünse de, statik bir oyuna rahatlıkla dönüştürülebilir). Bunun için firma ve sendika hakemin davranışı hakkında varsayımda bulunarak hareket edeceklerdir. Hakemin ideal bir kurgusu olsun ve x olarak tanımlansın. Tarafların tekliflerini gördükten sonra, hakem x değerine en yakın teklifi kabul edecektir. w f < w u olacağı açıktır, hakem, x < (w f + w u )/2 ise, w f ücretini, x > (w f + w u )/2 ise, w u ücretini seçecektir (Şekil (1.6)). x = (w f + w u )/2 ise, hakem yazı tura atacaktır.

1.3. STRATEJIK BIÇIMDE OYUNLAR 45 w f w u x (w f +w u )/2 Şekil 1.6: Son-Teklif Tahkimi Hakem x değerini bilmekte fakat taraflar bilmemektedir. Taraflar x değerinin F (x) ile gösterilen kümülatif olasılık dağılımına göre rastlantısal olarak dağıldığına inanmaktadır. Kümülatif olasılık dağılımı da f(x) ilgili olasılık yoğunluk fonksiyonu ile gösterilmektedir. Hakemin davranışı ile, w f ve w u teklifleri ise, tarafların tekliflerinin seçilmesi olasılıklarına inanışı aşağıdaki şekilde olacaktır; ve P (w f ) = P { x < w } f + w u = F 2 ( ) wf + w u P (w u ) = 1 F 2 ( ) wf + w u Dolayısıyla beklenen ücretler aşağıdaki gibi olacaktır; ( ) [ ( )] wf + w u wf + w u w f P (w f ) + w u P (w u ) = w f F + w u 1 F 2 2 Bu noktada firmalar beklenen ücretleri minimize etmek isteyeceklerdir ayrıca sendikalar da maksimize etmek isteyeceklerdir. (wf, w u) teklif çifti oyunun Nash dengesi ise, wf aşağıdaki problemi çözecektir; ( ) [ ( )] wf + wu min w f F + wu wf + wu 1 F w f 2 2 2

46 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR Aynı şekilde, w u da aşağıdaki maksimizasyon problemini çözecektir; max w w u ff ( w f + w u 2 ) + w u [ 1 F ( w )] f + w u Böylece, ücret-teklif çifti (wf, w u) optimizasyon problemi için birinci-dereceden koşulları çözecektir; (wu wf) 1 ( w 2 f f + wu ) ( w ) f + w u = F 2 2 ve (wu wf) 1 ( w 2 f f + wu ) [ = 1 F 2 2 ( w )] f + w u Birinci-dereceden koşulların sol tarafları birbirlerine eşit olduğundan, sağ taraflar da eşit olmalıdır, böylece, ( w ) f + w u F = 1 2 2. (1.78) Yani, tekliflerin ortalaması hakemin tercih ettiği kurgunun medyanına eşit olmak zorundadır. Eşitlik (1.78) birinci-dereceden koşullarda yerine konduğunda, (wu wf) 1 = ( w ) (1.79) f f +wu Yani, teklifler arasındaki açık hakemin tercih ettiği kurgunun medyanında yoğunluk fonksiyonunun karşılıklı değerine eşit olmak zorundadır. Sezgisel olarak karşılaştırmalı-statik sonuçlar üretmek için, durumu örnekle desteklemek gerekmektedir. Hakemin tercih ettiği kurgu m ortalama ve σ 2 varyans ile normal şekilde dağılsın. Böylece yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olacaktır; { 1 f(x) = exp 1 } (x m)2 2πσ 2 2σ2 Normal dağılım ortalama etrafında simetrik olduğundan, dağılımın medyanı ortalamaya eşittir. Bundan dolayı, eşitlik (1.78) aşağıdaki şekilde olacaktır; w f + w u 2 = m 2 2

1.3. STRATEJIK BIÇIMDE OYUNLAR 47 Eşitlik (1.79) de aşağıdaki şekilde olacaktır; w u w f = 1 f(m) = 2πσ 2 Böylece Nash denge teklifleri elde edilecektir; πσ wu 2 = m + 2 ve πσ wf 2 = m 2 Böylece, dengede, tarafların teklifleri hakemin tercih ettiği kurgu beklentisinin etrafında gerçekleşecektir ve teklifler arasındaki açık tarafların bu kurgu hakkındaki belirsizlikleri artıkça artacaktır. 1.3.5 Ortanca Seçmen Kuramı Soldan a = 0 ve sağdan a = 1 ideolojik spektrum boyunca bir örnek (uniform) şekilde dağılan seçmenler düşünün. İki aday olsun, 1 ve 2, ve en fazla oyu alan kazansın. Her oy veren ideolojik pozisyonuna en yakın olan aday için oyunu versin. Adaylar bunu bilmekte ve sadece kazanmaya dikkat etmektedir. Beraberlik durumunda, kazanan yazı tura atışı ile belirlensin. Böyle bir senaryo ile, iki adayın seçileceği ideolojik pozisyon hakkında bir kestirim yapmak olanaklı mıdır? İki oyuncu arasında oynanan stratejik biçimdeki bir ideolojik pozisyon a i [0, 1] seçilmektedir. Diğer bir değişle, her oyuncunun strateji kümesi [0,1] dir. i oyuncusunun u i (a 1, a 2 ) ödeme fonksiyonu oyuncular tarafından (a 1, a 2 ) strateji profili benimsendiğinde elde edilen oy oranıdır. Oyuncuların ödeme fonksiyonları aşağıdaki gibidir; a 1 +a 2, a 2 1 < a 2 ; u 1 (a 1, a 2 ) = 0.50, a 1 = a 2 ; u 2 (a 1, a 2 ) = 1 a 1+a 2, a 2 1 > a 2. a 1 +a 2, a 2 1 < a 2 ; 0.50, a 1 = a 2 ; 1 a 1+a 2 2, a 1 > a 2. Bu formüllerin geçerliliğini doğrulamak için, a 1 > a 2 olan (a 1, a 2 ) strateji profili şekil (1.7) de, a 1 pozisyonuna a 2 pozisyonundan daha yakın ideolojiler [0, a 1+a 2 2 ] aralığı ile gösterilmiştir. Bu 1. aday için oy veren insanların

48 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR oranıdır, yani, u 1 (a 1, a 2 ) = a 1+a 2 olur. Benzer şekilde, [ a 1+a 2, 1] aralığı a 2 2 1 pozisyonundan a 2 pozisyonuna daha yakın ideolojileri temsil etmektedir ve böylece, u 2 (a 1, a 2 ) = 1 a 1+a 2 olur. Bu oyunun Nash dengesinin en çok olası 2 çıktının rakibin veri pozisyonunda en büyük oy sayısı için, her adayın boy ölçüşmesi olarak kabul edilmesi mantıklıdır. Bu açıdan bakıldığında iddia edilebilirki, oyunun tek Nash dengesi ( 1, 1) 2 2 olur. Şekil 1.7: Politik Spektrum Yukarıdaki iddialar adımlarla incelensin. Bunu yapmak için, Nash dengesi (s 1, s 2 ) çiftinde sabitlensin. ADIM I: s 1 = s 2. Zıtlık için, s 1 s 2 olsun. Durumun simetrikliğinden, s 1 < s 2 varsayılabilir. Bu durumda, 2. aday için her hangi bir a stratejisinin s 1+s 2 ve s 2 2 arasında u 2 (s 1, a) > u 2 (s 1, s 2 ) durumunu sağladığını görmek kolaydır. Şekil (1.8) e bakıldığında, (s 1, s 2 ) çiftinin Nash dengesi olmadığını göstermektedir, bu da zıtlıktır. Buradan, s 1 = s 2 olur. Şekil 1.8: Politik Spektrum-2 ADIM II: s 1 = s 2 = 1 2.

1.3. STRATEJIK BIÇIMDE OYUNLAR 49 Bunu doğrulamak için, s 1 = s 2 = 1 olduğu varsayılsın. Tekrar, durumun 2 simetrikliğinden, s 1 = s 2 < 1 olabilir. 2. aday s 2 1 < a < 0.5 olan herhangi bir a stratejisini seçtiğinde, u 2 (s 1, a) > u 2 (s 1, s 2 ) = 0.5 olduğu açıktır. Şekil (1.9) e bakıldığında, açıktırki (s 1, s 2 ) çiftinin Nash dengesi olduğu gerçeği doğru değildir ve böylece s 1 = s 2 = 1 gerçek olmalıdır. 2 Şekil 1.9: Politik Spektrum-3 Önceki iki adım (s 1, s 2 ) = ( 1, 1 ) strateji profilinin oyunun Nash dengesi 2 2 için tek olanaklı adayı olduğunu göstermektedir. Argümanı tamamlamak için, ( 1, 1 ) çiftinin gerçekten Nash dengesi olduğu gösterilecektir. 2 2 ADIM III: ( 1, 1 ) strateji profili Nash dengesidir. 2 2 Şekil (1.10) den, 2. aday ( 1 stratejisini seçtiğinde 1. aday u 2 1(( 1, ( 1)) = 2 2 0.5 faydasını a 0.5 herhangi bir stratejisini seçerek düzeltemez. Bundan dolayı, modelin kestirimi her adayın ortanca seçmenin ilgisini çekmeyi araştırmasıdır, ideolojik spektrumun dağılımının tam olarak ortasında bulunan oy verendir. Şekil 1.10: Politik Spektrum-4 Diğer örnek bazı yönlerden oyun teorisinin en ilginç uygulamalarından belki de biridir. Ters teşviklerin bazen ortak çıkara karşı nasıl çalıştığını göstermektedir. Örnek ortak şekilde sahiplenilmiş kaynakların sömürülmesine odaklanırken, dünya balık avı yerleri gibi, örneğin küresel ısınma ve

50 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR yağmur ormanlarının sömürülmesini için anlamı olduğunu göstermektedir. (genel biçime oturan birkaç durum anlatılmaktadır). Bir çok oyunda sunulan bir elemanı yüzeye taşımaktadır: mahkumlar çıkmazı dahil, işbirliksiz olarak oyuncuların oynadığında ne olacağını tanımlayan Nash dengesi her oyuncunun işbirliği sözleşmesi yaparak elde edeceğinden daha az aldığı bir çıktıya neden olabilir, ülkeler arasında balık avı haklarındaki tehditler gibi. 1.3.6 Ortak Mülkiyet Kaynaklarının Kullanımı Açık denizlerde balık avı alanlarına erişimi olan n ülke olsun. Ortak mülkiyet kaynakları olarak görülebilen dünya balık avı alanlarında aşırı avlanıldığı geniş şekilde kabul görmektedir. Yani, balık avcılığı miktarı öyle büyüktürki yakın gelecekte bazı türler yok olma tehlikesi geçirebilir. Oyun teorisinin temel başarılarından birisi - pratik bir kalkış noktasından - en çok arzulanan kolektif bakış açısından, neden ortak mülkiyet kaynaklarının sömürüldüğünü göstermiştir. Detaylı şekilde anlatılan argüman kaynağın tüketicileri arasında oynanan oyunun Nash dengesinin sosyal açıdan en çok arzulanan çıktıdan daha kötüye götürmesidir. Bunu stratejik biçimdeki bir oyunun basit modeli kullanarak yapalmaktadır. i oyuncusunun r i kadar kaynağa sahip olmasıyla toplam n oyuncu olsun. Kullanılan toplam kaynak R = n i=1 r i olacaktır. Aşağıdakiler oyunun belli başlı özelliklerini tanımlamaktadır; 1. r i birim kaynağın i oyuncusuna gelmesinin maliyeti sadece oyuncu tarafından r i miktarına değil aynı zamanda diğer oyuncular tarafından kullanılan R r i = i j r i miktarına bağlıdır. Bu maliyet C(r i, R r i ) ile gösterilmektedir. Maliyet fonksiyonu C : (0, ) (0, ) (0, ) aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır. C(r,R) C(r,R) (a) Bütün r > 0 ve R > 0 degerleri için, > 0, > 0, r R 2 C(r,R) > 0, 2 C(r,R) > 0 geçerlidir. Yani, kaynağı kullanmanın r 2 R 2 marjinal maliyeti kullanılan kaynağın toplam maliyeti ile artmaktadır. Buradan, ülkeler daha fazla yakalayarak, ek balık yakalamanın marjinal maliyeti artmaktadır. C(r,R) (b) Marjinal maliyet fonksiyonu, lim r r olmasını sağlamaktadır. = ve lim r C(r,R) R = (c) Basitleştirmek için, C maliyet fonksiyonu ayrılabilir fonksiyon biçiminde C(r, R) = κ(r) + K(R) alınacaktır. Bu durumda (a) kısmındaki özellik bütün r > 0 ve R > 0 değerleri için, κ (r) >

1.3. STRATEJIK BIÇIMDE OYUNLAR 51 0, κ (r) > 0, K > 0, K (R) > 0 şeklinde yazılabilir. Yukarıdaki tipte bir ayrılabilir maliyet fonksiyonuna örnek C(r, R) = r 2 + R 2 verilebilir. 2. Oyuncu r i birim kaynaktan u(r i ) kadar fayda almaktadır. u : (0, ) (0, ) fonksiyonunun her r > 0 değeri için u(r) > 0 ve u (r) < 0 durumlarını sağladığı varsayılmaktadır. Bu basitlik tüketilen r miktarı arttığında, ek r birimin değerinin düşeceği anlamına gelmektedir (Matematiksel ifade ile, u kesinlikle artan ve kesinlikle içbükey bir fonksiyondur). Sıfırda marjinal faydanın marjinal maliyetten daha büyük olduğu varsayılacaktır. Yani, aşağıdaki ifade kabul edilecektir, lim u (r) > lim κ (r) (1.80) r 0 + r 0 + Tanımlanan durum stratejik biçimde n-kişili oyun olarak şöyle yazılabilir: n oyuncu vardır. i oyuncusunun strateji kümesi (0, ), bütün reel sayıların açık aralığıdır. [Gerçekte, S i = (0, R max ) dır. R max kaynağın belirli bir maksimum miktarıdır. i oyuncusunun ödemesi aşağıdaki gibi olacaktır. π i (r 1, r 2,..., r n ) = u i (r i ) C(r i, R r i ) (1.81) = u i (r i ) [κ(r i ) K(R r i )]. (1.82) Nash denge testi ile, oyunun Nash dengesi sistemin (r 1, r 2,..., r n) çözümüdür. Buna göre, 1. < 0 kısıtı altında olacak- π i (r 1,...,r n ) r i = 0, i = 1, 2,..., n için, 2 π i (r 1,...,r n ) ri 2 tır. 2. R = n j=1 r j ve R r j = n türevlerin direk hesaplanması, j i r j π i (r 1,...,r n ) olduğunu dikkate alarak, kismi r i = u i (r i ) κ(r i ) = 0, i = 1, 2,..., n için esitliği vermektedir ve 2 π i (r 1,...,r n ) = u (r ri 2 i ) κ (r i ) < 0 olacaktır. [Bu kapanışta, her r > 0 değeri için, u i (r) < 0 ve κ (r) > 0 varsayımı kullanılmaktadır].

52 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR Durumun geometrisi r 1 = r 2 =... = r n = p eşitliğini garanti etmektedir. 5 Yani, (r1, r2,..., rn) Nash dengesinde her oyuncu tam olarak kaynağın aynı miktarını tüketir: r1 = r2 =... = rn = p = R n R = np dir. Böylece, ( R, R ) oyunun tek Nash dengesidir. Buradan, Nash dengesinde tüketilen n n R miktarı eşitliğin tek çözümüdür: u ( R n ) ( ) R = κ n (1.83) Yukarıda verilen Nash dengesi için koşula zıtlık olarak, sosyal optimum R, incelenebilir 6, { [ ( ) [ ( ) ( R R max n u κ K R R )]]} (1.84) r>0 n n n Bu problem bazı çebirsel kısaltmalardan sonra aşağıdaki şekilde olacaktır, ( ) ( ) ( ) R u R = κ n 1 + (n 1)K n n n R (1.85) Açıkça, Nash dengesinde kullanılan R kaynağının miktarı ortak mal için en iyi olan kaynağın R miktarında tüketiminden kesinlikle büyüktür. Bu noktada oldukça mantıklı bu sonucun altındaki sezgi şaşırtabilir. Nash dengesinde, oyuncu kaynağın kendi tüketiminin etkisi hakkında sadece maliyetiyle ilgilenecektir ve diğerlerine yüklenen maliyeti önemsemeyecektir. Bununla beraber, bireye maliyet işbirlikçi olarak topluma yüklenen maliyetten çok daha azdır. Kaynağın tüketiminin sosyal optimum miktarı için, herkese yüklenen maliyet hesaba alındığında ve topluma bütüncül maliyetinin ayarlanmasıyla tüketim miktarının sonucu olarak daha azdır. 1.3.7 İkinci-Fiyat Müzayedesi Diğer örnek ikinci-fiyat mezadı modeline dayalıdır. Buradaki konu mezattaki artığını maksimize etmek için bireyin teklif etmesi gereken miktardır. Açıkçası, ara zorluk teklif edenin aldığı artığın teklifi kazanıp kazanmadığına 5 Her r > 0 için u (r) < 0 olduğundan, u kesinlikle azalan bir fonksiyondur. Her r > 0 için κ (r) < 0 olduğundan, κ kesinlikle artandır. Böylece u (r) = κ (r) tek bir p çözümü vardır; şekil 2.5 e bakınız. 6 Sosyal optimum maksimum ortak (joint) ödemeye yönelen miktardır. Buradan, toplum oyundaki oyunculardan kuruluysa, o zaman sosyal optimum bize sosyal bakış açısından en çok arzulanan çıktıyı verecektir.

1.3. STRATEJIK BIÇIMDE OYUNLAR 53 Şekil 1.11: Ortak Kaynakların Kullanımı bağlı olması durumudur. Teklif kazanılıp kazanılmadığı diğerlerinin yaptığı tekliflere bağlı olduğundan, bireyin ödemesinin tekliflerin bütün dizilişine bağlı olduğu açıktır. Bundan dolayı, müzayedeler n-kişili stratejik biçimde oyunlar olarak yazılabilir. Pahalı bir tabloyu bir müzayedede satmak zorunda olan bir satıcı ve bazı miktarlarda değer veren n potansiyel alıcı vardır. Her k alıcısı tablo için kendi v k > 0 değerine sahiptir. Alıcılar eş-anlı olarak teklif vermek zorundadırlar; i alıcısının teklifi b i (0, ) şeklinde gösterilmektedir. İkinci-fiyat müzayedesinde, en yüksek teklif veren tabloyu almakta ve ikinci en-yüksek teklifi ödemektedir. En yüksek teklifle birden fazla alıcı olduğunda, kazanan en yüksek teklif verenler arasında yazı-tura atarak belirlenmektedir ve en yüksek teklifi ödemektedir. Kalanlar sıfır ödeme almaktadır. Bu müzayede aşağıdaki şekilde stratejik biçimde bir oyun olarak formüle edilebilir: 1. n oyuncu (n alıcı; mezatçı (müzadeyeyi düzenleyen) oyuncu olarak düşünülmemektedir), 2. Her oyuncunun strateji kümesi (0, ) dir.

54 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR 3. s ikinci en yüksek teklif olduğunda 7, k oyuncusunun ödemesi aşağıdaki beklenen fayda fonksiyonudur: v k s, b k > s; π k (b 1,..., b n ) = 0, b k < s; 1/r(v k s), r alıcı arasında k en yüksek teklife sahip ise. Bu oyun için (v 1, v 2,..., v n ) strateji profilinin Nash dengesi olduğunu iddia edilmektedir. Bu durum iki adımda incelenebilir. i oyuncusu b i > v i teklifi ile hiçbir zaman kazanamaz. Bunu görmek için, b i > v olsun ve b i = max j i b j olsun. Böylece, 5 durum söz konusudur. DURUM 1: b i > b i Bu durumda, diğer bazı teklif verenlerin daha yüksek teklifi vardır ve böylece i oyuncusu sıfır elde etmektedir. DURUM 2: v i < b i < b i Bu durumda, i teklif veren kazanmakta ve v i b i < 0 almaktadır. Bununla beraber, v i teklifini etse, ödemesi sıfır olacaktır - b i teklif ederek alınan en yüksek ödeme. DURUM 3: b i = b i i teklifi veren r alıcı arasında en yüksek tekliften biridir ve v i b i < 0 r değerini elde etmektedir. Fakat v i teklif ederek yüksek bir ödeme olan 0 elde edilebilir. DURUM 4: b i < v i Bu durumda, i teklif veren v i b i değerini v i teklif ederek almaktadır. DURUM 5: b i = v i Bu durumda, i teklif veren en yüksek teklif ile r alıcı arasından biridir ve v i b i r = 0 elde edecektir. Fakat v i teklifi vererek 0 elde etmektedir. i oyuncusu b i < v i teklifini vererek hiçbir zaman kazanamaz. b i = v i olduğunda, i oyuncusu sıfır ödemeye sahip olacaktır. Bu ödeme v i teklif edildiğinde elde edilecek ödeme olarak aynıdır. Diğer taraftan, b i vi olduğunda, i oyuncusu en az v i teklif ederse yapacağı kadar olacaktır. 7 k oyuncusu en yüksek teklifle tek oyuncu ise, s = max i k b i olduğunu belirtelim

1.3. STRATEJIK BIÇIMDE OYUNLAR 55 İkinci yol açık şekilde ortaya çıkacaktır.(v 1, v 2,..., v n ) strateji profili Nash dengesidir. Bundan dolayı, her teklif verenin tablolar için gerçek değerlerinde teklif vereceğini ve en yüksek değer ile teklif verenin kazanacağını ummak mantıklıdır. Teklif verenlerin diğer teklif verenlerin değerini bilmese bile bunun doğru olduğunu açıktır.

56 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE STATIK OYUNLAR

Kaynaklar 57