BİYOİSTATİSTİK. Ödev Çözümleri. Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Ödev Çözümleri Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr

Ödev 2 Çözümleri 2

Ödev 2 Bu veri setinden yararlanarak aşağıdakileri hesaplayınız. 1. Merkezi eğilim ölçütlerinden 1. Aritmetik Ortalama 2. Geometrik Ortalama 3. Harmonik Ortalama 2. Merkezi yayılım (değişim) ölçütlerinden; 1. Değişim Aralığı 2. Standart Sapma 3. Varyans X: Yaş (yıl) x i x 1 6 x 2 2 x 3 3 x 4 5 x 5 5 x 6 7 x 7 10 x 8 9 x 9 7 x 10 3 x 11 5 x 12 8 x 13 7 x 14 5 x 15 5 Toplam 87 3

X: Yaş (yıl) x i x 1 6 x 2 2 x 3 3 x 4 5 x 5 5 x 6 7 x 7 10 x 8 9 x 9 7 x 10 3 x 11 5 x 12 8 x 13 7 x 14 5 x 15 5 Toplam 87 Aritmetik Ortalama x = n i=1 n x i 4

X: Yaş (yıl) x i x 1 6 x 2 2 x 3 3 x 4 5 x 5 5 x 6 7 x 7 10 x 8 9 x 9 7 x 10 3 x 11 5 x 12 8 x 13 7 x 14 5 x 15 5 Toplam 87 x = Aritmetik Ortalama n i=1 n x i = 6 + 2 + + 5 15 = x 1 + x 2 + + x n n = 87 15 = 5,8 5

X: Yaş (yıl) x i x 1 6 x 2 2 x 3 3 x 4 5 x 5 5 x 6 7 x 7 10 x 8 9 x 9 7 x 10 3 x 11 5 x 12 8 x 13 7 x 14 5 x 15 5 Toplam 87 GO Geometrik Ortalama n x1 x2... n x n n xi i 1 6

X: Yaş (yıl) x i x 1 6 x 2 2 x 3 3 x 4 5 x 5 5 x 6 7 x 7 10 x 8 9 x 9 7 x 10 3 x 11 5 x 12 8 x 13 7 x 14 5 x 15 5 Toplam 87 Geometrik Ortalama GO n x1 x... 2 n x n n xi i 1 GO = 6 2 5 1 15 = 8,3349 10 10 1 15 = 5,3463 7

X: Yaş (yıl) x i x 1 6 x 2 2 x 3 3 x 4 5 x 5 5 x 6 7 x 7 10 x 8 9 x 9 7 x 10 3 x 11 5 x 12 8 x 13 7 x 14 5 x 15 5 Toplam 87 Harmonik Ortalama HO n i 1 n 1 xi 8

X: Yaş (yıl) x i x 1 6 Harmonik Ortalama x 2 2 x 3 3 x 4 5 x 5 5 x 6 7 HO n i 1 n 1 x i x 7 10 x 8 9 x 9 7 x 10 3 x 11 5 HO = 15 1 6 + 1 2 + + 1 5 = 15 3,098016 x 12 8 x 13 7 x 14 5 = 4,842 x 15 5 Toplam 87 9

X: Yaş (yıl) x i x 1 6 x 2 2 x 3 3 x 4 5 x 5 5 x 6 7 x 7 10 x 8 9 x 9 7 x 10 3 x 11 5 x 12 8 x 13 7 x 14 5 x 15 5 Toplam 87 Değişim Aralığı Değişim Aralığı = En büyük değer En küçük değer 10

Değişim Aralığı En küçük Değişim Aralığı = En büyük değer En küçük değer En büyük Değişim Aralığı = 10 2 = 8 11

X: Yaş (yıl) x i x 1 6 x 2 2 x 3 3 x 4 5 x 5 5 x 6 7 x 7 10 x 8 9 x 9 7 x 10 3 x 11 5 x 12 8 x 13 7 x 14 5 x 15 5 Toplam 87 s 2 = Varyans n x i x 2 i=1 n 1 12

X: Yaş (yıl) x i x 1 6 x 2 2 x 3 3 x 4 5 x 5 5 x 6 7 x 7 10 x 8 9 x 9 7 x 10 3 x 11 5 x 12 8 x 13 7 x 14 5 x 15 5 Toplam 87 s 2 = Varyans n x i x 2 i=1 n 1 x = 5,8 = x 1 x 2 + x 2 x 2 + + x 15 x 2 15 1 = 6 5,8 2 + 2 5,8 2 + + 5 5,8 2 14 = 70,4 14 = 5,0286 13

X: Yaş (yıl) x i x 1 6 x 2 2 x 3 3 x 4 5 x 5 5 x 6 7 x 7 10 x 8 9 x 9 7 x 10 3 x 11 5 x 12 8 x 13 7 x 14 5 x 15 5 Toplam 87 s = Standart Sapma n x i x 2 i=1 n 1 14

X: Yaş (yıl) x i x 1 6 Standart Sapma x 2 2 x 3 3 x 4 5 x 5 5 x 6 7 x 7 10 x 8 9 x 9 7 x 10 3 x 11 5 x 12 8 x 13 7 x 14 5 x 15 5 Toplam 87 s = = 5,0286 = 2,2424 n x i x 2 i=1 n 1 15

Ödev 3 Çözümleri 16

40 kişinin diastolik kan basıncı değerleri (mm Hg) aşağıda verilmiştir. 90 84 80 82 105 80 90 75 75 80 68 92 90 94 110 74 90 92 96 80 70 74 62 80 82 80 80 80 66 78 80 75 90 88 110 80 75 80 88 75 a) Sınıflanmamış verilerde aritmetik ortalama ve standart sapmayı hesaplayınız. b) Sınıflanmış verilerde aritmetik ortalama ve standart sapmayı hesaplayınız. 17

a) 90 84 80 82 105 80 90 75 75 80 68 92 90 94 110 74 90 92 96 80 70 74 62 80 82 80 80 80 66 78 80 75 90 88 110 80 75 80 88 75 Aritmetik Ortalama x = n i=1 n x i = 90 + 84 + + 75 40 = 3320 40 = 83 18

Varyans s 2 = n x i x 2 i=1 n 1 = x 1 x 2 + x 2 x 2 + + x 15 x 2 40 1 x = 83 = 90 83 2 + 84 83 2 + + 75 83 2 39 = 4422 39 = 113,38 19

Standart Sapma s = n x i x 2 i=1 n 1 = 113,38 = 10,65 20

b) 90 84 80 82 105 80 90 75 75 80 68 92 90 94 110 74 90 92 96 80 70 74 62 80 82 80 80 80 66 78 80 75 90 88 110 80 75 80 88 75 Değişim Aralığı Değişim Aralığı = 110 62 = 48 Sınıf sayısı 5 olsun SınıfAralığı = 48 5 = 9,6 10 21

Frekans Tablosu Sınıflar Frekans f i 62-71 4 72-81 19 82-91 10 92-101 4 102-111 3 Toplam 40 22

Sınıflandırılmış Veride Aritmetik Ortalama 23

Sınıflandırılmış Veride Aritmetik Ortalama Sınıflar Frekans Sınıf Orta Değeri f i x i f i x i 62-71 4 66,5 266 72-81 19 76,5 1453,5 82-91 10 86,5 865 92-101 4 96,5 386 102-111 3 106,5 319,5 Toplam 40 3290 x i = Üst Sınır + Alt Sınır 2 24

Sınıflandırılmış Veride Aritmetik Ortalama Sınıflar Frekans Sınıf Orta Değeri f i x i f i x i 62-71 4 66,5 266 72-81 19 76,5 1453,5 82-91 10 86,5 865 92-101 4 96,5 386 102-111 3 106,5 319,5 Toplam 40 3290 x = f i = 40 x i f i = 3290 x if i f i = 3290 40 = 82, 25 25

Sınıflandırılmış Veride Varyans ve Standart Sapma 26

Sınıflandırılmış Veride Standart Sapma Sınıflar Frekans Sınıf Orta Değeri f i x i f i x i x i -ort. (x i -ort.) 2 f i (x i -ort.) 2 62-71 4 66,5 266-15,75 248,06 992,25 72-81 19 76,5 1453,5-5,75 33,06 628,19 82-91 10 86,5 865 4,25 18,06 180,63 92-101 4 96,5 386 14,25 203,06 812,25 102-111 3 106,5 319,5 24,25 588,06 1764,19 Toplam 40 3290 4377,50 s = f i x i x 2 n 1 = 4377, 50 39 = 10, 59 27

ÖRNEK SENARYO 15 yıllık hizmet geçmişi bulunan MediDENT diş hastanesinin İzmir in üç ilçesinde şubesi bulunmaktadır. Fakat son zamanlarda üst üste açılan yeni diş hastaneleri nedeniyle hastane hasta kaybına uğramıştır. Hastane yönetimi, bu konu ile hastane şubelerinin yöneticilerini çağırarak bir toplantı yapar. Yapılan toplantıda, hastaların diş tedavilerine yönelik uygun kampanyalar düzenlemek amacıyla hasta profilinin çıkartılması gerektiğine karar verilmiştir. 28

Hasta profilini çıkarmak üzere ne tür ön bilgilere gereksinim duyardınız? - MediDENT ten hizmet alan hastaların bilgisi - MediDENT şubelerinin bilgisi Her şubenin günlük hasta kapasitesini öğrenmek Günlük hasta sayılarını öğrenmek 29

Hasta profilini çıkarmak için hangi bilgilerin alınmasını uygun bulursunuz? Cinsiyet Yaş Ailedeki birey sayısı Öğrenim durumu Gelir düzeyi Mesleği İletişim Bilgileri Kronik hastalık varlığı Hastaneye geldiğinde aldığı tedavi Hastalığın ne zamandır sürdüğü Hastaneye geliş amacı Bir hastaneden bekledikleri Şu ana kadar hastaneye kaç kez geldiği Hastane hakkında olumlu olumsuz görüşleri 30

Hastane Yöneticisi, MediDENT ten hizmet alan hastaların bilgisine kolaylıkla ulaşılabileceğini belirterek, üç ayrı şubeden sağlık hizmeti alan hastaların belirlenmesini ister. Hasta sayısının belirlenmesinin araştırmanın planlanması açısından çok önemli olduğunu düşünmektedir. SORU: MediDENT ten hizmet alan hasta sayısı nasıl bulunabilir? Her şubenin günlük ve aylık hasta kayıtları gözden geçirilir. 31

Son iki yıllık hasta bilgileri incelediğinde, üç ayrı şubeden sağlık hizmeti alan toplam hasta sayısının 8576 olduğunu öğrenilir. Hastane kayıtlarını incelediğinde, hasta TC kimlik numarası, başvuru nedeni, doğum tarihi, hasta adı, hasta adresi, hasta iletişim bilgileri, muayene günleri ve yapılan tedaviler gibi bilgilerin yer aldığı görülür. SORU: Yeni bilgilerden hareketle kitleyi tanımlayınız. MediDENT diş hastanesinden son iki yılda sağlık hizmeti alan hastalar 32

SORU: Bu çalışma için çerçeveyi tanımlayınız. MediDENT diş hastanesinden son iki yılda sağlık hizmeti alan hastaların listesi SORU: Siz olsaydınız, hasta profilini çıkarmak üzere nasıl bir çalışma önerirdiniz? Örneklem çekilebilir SORU: Siz olsaydınız, hasta profilini çıkarmak için gerekli bilgileri hastalardan nasıl elde ederdiniz? - Anket yaparak - Karşılıklı görüşme - Telefonda görüşme 33

Bu araştırma için ayrılan zamanın kısıtlı olması nedeniyle tüm hastalarla görüşülemeyeceğinden ve araştırmada veri toplama işleminin bir haftada bitirilmesi gerektiğinden, örnekleme yapmaya karar verilir. Bu çalışma için hazırlanacak anketin, sağlık hizmeti alan 100 hastalık bir örneklemi içermesi gerektiği belirtilir. Yapılan toplantıda sağlık hizmeti alan hastalardan 100 kişinin nasıl belirleneceğini tartışılır. Bornova Şubesi yöneticisi, tüm hastalara sıra numarası verip bu numaraları bir torbaya koymayı ve buradan rasgele 100 tane numara çekmeyi önerir. Fakat Hastane Yönetimi, Bornova Şubesi yöneticisinin önermiş olduğu Basit Rasgele Örnekleme Yöntemi ne itiraz eder. 34

SORU: Sizce Hastane Yönetimi neden itiraz etmiş olabilir? - Bornova Şubesi Yöneticisinin önerdiği yöntem tamamen rasgele uygulanacak bir seçim olduğundan bu araştırma için uygun değildir. - Bu yöntemle seçilecek tüm hastalar aynı şubeden gelebilir. (Seçilen örneklem, şubelerin tümünü yansıtmaz) 35

Siz olsaydınız, anket uygulanacak 100 hastayı nasıl belirlerdiniz? -Tabakalı rasgele örnekleme: Şubelere göre gruplandırılıp, gruplar arasından yine rasgele seçilebilir. -Sistematik örnekleme: Hastaları numaralayıp, 1 ile 10 arasında rasgele bir sayı seçip k birim ekleyerek seçilebilir. -Küme Örneklemesi: Hastalar, hastaneye gelme yıllarına göre gruplandırılıp, içlerinden örneklem seçilebilir. 36

Hastane yöneticisi, bu rasgele seçilecek 100 hastanın tüm şubeleri aynı oranda temsil edemeyeceğini ve tümünün aynı şubeden de gelebileceğini söyleyerek, yapılacak araştırmadan yeterli sonuçlar elde edilemeyeceğini belirtir. Ayrıca her şubenin hasta profilinin ayrı ayrı belirlenmesinin önemli olduğunu ve dolayısıyla araştırmanın bu amaca yönelik yeniden gözden geçirilmesini talep eder. Bu nedenle 3 şube de ayrı ayrı incelenmelidir. Her şubenin farklı hasta profiline yönelik şube bazında farklı kampanyalar düzenlenmesi gerekebilir. 37

SORU: Bu durumda nasıl bir örnekleme planı yapılabilir? Tabakalı örnekleme yönteminin kullanılması uygundur. Şubeler kendi içinde birer kitle gibi düşünülerek, üç tabakaya ayrılır. Her tabakadan basit rasgele örnekleme yöntemi ile örneklem seçilebilir. Şubelere göre hasta sayısı değişiyorsa bu dikkate alınabilir. (Daha çok hastası olan şubeden daha çok hasta örnekleme seçilmelidir) 38

Hastane yöneticisi, şubelerin kendi içinde sağlık hizmeti alan hasta profili açısından homojen, şubeler arasında da heterojen olduğunu belirterek seçimin; Gaziemir de 3430 hastadan 40, Bornova da 2144 hastadan 25 ve Çiğli de 3002 hastadan 35 inin rasgele seçilerek anket yapılmasını belirtir. 39

SORU: Seçilecek hastaları şubeler arasında nasıl dağıtmış olabilir? Şubelerdeki hasta sayılarına bakarak ağırlıklarına göre dağıtmıştır. Gaziemir : (3430/8576)*100 = 40 Bornova : (2144/8576)*100 = 25 Çiğli : (3002/8576)*100 = 35 40

SORU: Siz Hastane Yöneticisinin yerinde olsaydınız Gaziemir deki 3430 hasta içinden anket uygulanacak 40 hastayı nasıl seçerdiniz? - Tamamen rasgele seçilebilir. - Sistematik örnekleme ile seçilebilir. 41

Bornova Şubesi Yöneticisi, şubeler arasında verilen hizmet anlamında bir fark olmadığını söyleyerek, sağlık hizmeti alan hasta profili açısından şubelerin kendi içinde heterojen, şubeler arasında homojen olduğunu belirtir ve başka bir örnekleme yöntemini önerir. SORU: Bu varsayım altında oluşturulacak örnekleme yöntemine ne ad verilir? Küme Örneklemesi 42

Hastane Yöneticisi, Bornova Şubesi Yöneticisinin önerisini değerlendirip kabul eder, çünkü şubelerde verilen sağlık hizmeti açısından bir fark olmadığını belirtir. Sağlık hizmeti alan hasta profili açısından şubelerin kendi içinde heterojen, şubeler arasında homojen olduğunu belirterek küme örneklemesi yöntemini uygulamaya karar verir. 43

DİŞ HEKİMLİĞİ ALANINDA YAPILAN ÇALIŞMALARDA ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİNİN KULLANIMI 44

KAYNAK: https://tez.yok.gov.tr/ulusaltezmerkezi/tezsorgusonucyeni.jsp

KAYNAK: http://www.tdb.org.tr/tdb/v2/yayinlar/arastirma_dizisi/arastirmadizisi_5.pdf

KAYNAK: http://www.hastaneinfeksiyonlaridergisi.org/managete/fu_folder/2004-04/html/2004-8-4-304-309.htm

Alıştırmalar 1. DişFa marka elektrikli diş fırçası üreten bir firma, son zamanlarda İzmir deki bayilerinden oldukça fazla şikayet gelmesi üzerine, halen satılmakta olan elektrikli diş fırçalarının durumunu belirlemek üzere bir örnekleme yapmaya karar verir. Sizden bir örnekleme planı oluşturmanız istense, çalışmanızda kitle birimi, örnekleme birimi, çerçeve ve kitleyi nasıl tanımlarsınız? Kitle birimi: İzmir deki bayilerdeki DişFa marka elektrikli diş fırçası Örnekleme Birimi: İzmir deki DişFa marka elektrikli diş fırçasını satan bayi Kitle: İzmir deki bayilerdeki DişFa marka elektrikli diş fırçalarının tümü Çerçeve: İzmir deki DişFa marka elektrikli diş fırçası satan tüm bayilerin listesi

2. Sistematik örneklemenin, basit rasgele örneklemeye göre avantaj ve dezavantajları nelerdir? Kısaca açıklayınız. Avantajları; - Basit rasgele örnekleme yöntemine göre kitle üzerinde daha fazla yayılır. - Örneklemi daha kısa zamanda, daha az hata ile oluşturmak mümkündür. Dezavantajları; - Eğer çerçeve oluşturulurken sistematik bir yol izlenmiş ise (çift sayılar kız, tek sayılar erkek) oluşturulacak olan örneklem kesinlikle kitleyi yansıtmayacaktır. - Eğer seçilen birey görüşmeyi kabul etmezse, anket sayısı eksik kalabilmektedir.

3. Örneklemenin genel olarak hangi özellikleri taşıması gerekir? Örneklem, kitleyi en iyi şekilde temsil etmelidir. Örneklemeden elde edilecek istatistikler, kitle parametrelerini mümkün olan en iyi şekilde tahmin etmelidir. Örneklemin seçimi kolay ve maliyeti düşük olmalıdır.

4. YÖK, İzmir ilindeki özel ve devlet üniversitelerinde okuyan üniversite son sınıf öğrencilerinin genel bilgi düzeylerini ölçmek amacıyla, seçilecek öğrencilere bir test uygulanmak istemektedir. Kullanılabilecek en uygun örnekleme yöntemini önerip, bu çalışmadaki kitle birimi, örnekleme birimi, çerçeve ve kitleyi tanımlayınız. Tabakalı örnekleme yöntemi uygulanabilir. İzmir deki devlet üniversitelerini 1. tabakaya, özel okulları 2. tabakaya yerleştirildiğinde, tabakalar içinde homojenlik, tabakalar arasında ise heterojenlik sağlanır. Her tabakadan basit rasgele ya da sistematik örnekleme ile öğrenci seçilebilir. Böylece İzmir ilindeki üniversite son sınıf öğrencilerinin genel bilgi düzeylerini tahmin ederken, özel ve devlet üniversiteleri için ayrı ayrı bilgi verebiliriz. Kitle birimi: Öğrenci Çerçeve: Üniversitelerin listesi Örnekleme birimi: Üniversiteler Kitle: Tüm öğrenciler

5. Örneklemede rasgelelik ne demektir? Rasgelelik neden gereklidir? Örneklem seçiminde, kitledeki her elemana eşit şans verilmesi rasgeleliktir (randomness). Bu şansın eşitlenmemesi durumunda örneklemeden elde edilecek sonuçlardaki hatalar rasgele olmayacağı için sonuçlar yanlı (biased) olur. Yansız sonuçlar elde edebilmek için rasgelelik koşullarına uyulması gerekir.

6. KAR-çelik firması 2014 yılında ürettiği son serideki televizyonlardan şikayet gelmesi üzerine, dağıtılan televizyonların bozuk çıkma oranını araştırmak istemektedir. Bayilere dağıtılan tüm televizyonların tek tek kontrol edilmesi mümkün değildir. Bu durumda örnekleme yapılması uygun görülmüştür. Bu çalışmada kitle birimi, örnekleme birimi, çerçeve ve kitleyi nasıl tanımlarsınız? Kitle Birimi Kitle Örnekleme Birimi Çerçeve :Son seride üretilen televizyon :Son seride üretilen tüm televizyonlar :Bayiler :Bayilerin listesi

7. Tam sayımın avantaj ve dezavantajlarını belirtiniz. Tam sayım yapmanın mümkün olamayacağı bir kaç örnek veriniz. Tam sayım; ilgilendiğimiz parametreyi doğrudan elde etmemizi sağlar. Sonucunda her birimden tek tek bilgi alındığı için çıkan sonuç güvenilir olacaktır. Ancak tam sayımın oldukça önemli dezavantajları vardır. Zaman kaybı sağlar. Maliyeti yüksek olur. Bilgiye geç ulaşılır. Fazla emek harcanır. Kitledeki bazı birimlere ulaşmak imkansızdır. Bazı araştırmalarda örnekleme tek çözümdür. Örnek Bardakların dayanıklılığının belirlenmesi Portakal verimliliğinin incelenmesi Üretilen ampullerin ortalama ömürlerinin bulunması Mermi fabrikasında mermilerin menzillerinin ortalamasının bulunması Yeni bir ilacın etkisinin araştırılması

8. İzmir deki bir semtte hane başına ortalama elektrik tüketimi tahmin edilmek istendiğinde, bu çalışma için kitle birimi, örnekleme birimi ve çerçeve aşağıdakilerden hangisidir? Kitle birimi: kişiler; örnekleme birimi: haneler; çerçeve: hanelerin listesi Kitle birimi: haneler; örnekleme birimi: evler (apartmanlar); çerçeve: evlerin (apartmanların) listesi Kitle birimi: evler (apartmanlar); örnekleme birimi: mahalleler; çerçeve: mahallelerin listesi Kitle birimi: kişiler; örnekleme birimi: mahalleler; çerçeve: kişilerin listesi

9. Örneklem seçmenin en temel amacını aşağıdaki şıklardan hangisi en doğru şekilde belirtmiştir? a)kitleyi tümüyle temsil etmektir. b)ucuz ve çabuk bilgi elde etmektir. c)seçilen her bireyle görüşebilmektir. d)az sayıda birey inceleyerek kitle hakkında tahminlerde bulunmaktır.

10. Örnekleme yöntemleri arasından seçim yaparken kullanılacak kriter, kitleyi en iyi temsil edecek örneklemi seçmektir. DOĞRU 70

11. Türkiye de yapılan nüfus sayımları, örneklemenin uygulama alanlarından birisidir. YANLIŞ 71

12. Kimi zaman kitle ile ilgili bazı bilgilere ancak örnekleme yolu ile ulaşılabilir. DOĞRU

13. Mahallelerdeki hane halklarının örneklem birimi olarak alındığı bir araştırmada, o hane halkından birisi olabilir. 73

13. Mahallelerdeki hane halklarının örneklem birimi olarak alındığı bir araştırmada, gözlem birimi o hane halkından birisi olabilir. 74

14. Basit rasgele örneklemede her bireyin örnekleme seçilme olasılığı....

14. Basit rasgele örneklemede her bireyin örnekleme seçilme olasılığı...eşittir....

15. Bir bölgede yaşayan çocuk sahibi kadınların, çocuk bakımı bilgi düzeyleri hakkında fikir edinmek amacı ile bir örnekleme çalışması yapılmak istenmektedir. Bu çalışmada eğitim düzeyleri de dikkate alınacak olursa... örnekleme yöntemini kullanmak uygun olur. 77

15. Bir bölgede yaşayan çocuk sahibi kadınların, çocuk bakımı bilgi düzeyleri hakkında fikir edinmek amacı ile bir örnekleme çalışması yapılmak istenmektedir. Bu çalışmada eğitim düzeyleri de dikkate alınacak olursa..tabakalı rasgele.. örnekleme yöntemini kullanmak uygun olur. 78

16. Çerçevedeki tüm birimlerin gözlendiği bir çalışmaya... denir.

16. Çerçevedeki tüm birimlerin gözlendiği bir çalışmaya...tamsayım... denir.

Haftaya derste anlatılacak konular Olasılıkta Temel Kavramlar