Çözümü Diferasiye Dekemer Editör: Prof. Dr. Ada BAKİ Yazarar: Prof. Dr. İhsa ÜNVER Öğr. Gör. Cema YAZICI 3. Baskı
Editör: Prof. Dr. Ada BAKİ Yazarar: Prof. Dr. İhsa ÜNVER - Öğr. Gör. Cema YAZICI ÇÖZÜMLÜ DİFERANSİYEL DENKLEMLER ISBN 978-605-38-88-0 DOI 0.457/97860538880 Kitap içeriğii tüm sorumuuğu yazararıa aittir. 08, PEGEM AKADEMİ Bu kitabı basım, yayım ve satış hakarı Pegem Akademi Yay. Eğt. Da. Hizm. Ti. AŞ'ye aittir. Aıa kuruuşu izi aımada kitabı tümü ya da böümeri, kapak tasarımı; mekaik, eektroik, fotokopi, mayetik, kayıt ya da başka yötemere çoğatıamaz, basıamaz, dağıtıamaz. Bu kitap T.C. Kütür ve Turizm Bakaığı badroü ie satımaktadır. Okuyuuarımızı badroü omaya kitapar hakkıda yayıevimize bigi vermesii ve badrosüz yayıarı satı amamasıı diiyoruz. Pegem Akademi Yayııık, 998 yııda bugüe uusararası düzeyde düzei faaiyet yürüte uusararası akademik bir yayıevidir. Yayımadığı kitapar; Yükseköğretim Kuruua taıa yükseköğretim kurumarıı kataogarıda yer amaktadır. Düyadaki e büyük çevrimiçi kamu erişim kataoğu oa WordCat ve ayrıa Türkiye de kurua Turademy.om ve Pegemideks.et tarafıda yayıarı taramaktadır, ideksemektedir. Ayı aada farkı yazarara ait 000 i üzeride yayıı buumaktadır. Pegem Akademi Yayıarı ie igii detayı bigiere http://pegem.et adreside uaşıabimektedir.. Baskı: Ağustos 07, Akara 3. Baskı: Eyü 08, Akara Yayı-Proje: Ayşe Açıkgöz Dizgi-Grafik Tasarım: Ayşe Nur Yıdırım Kapak Tasarım: Pegem Akademi Baskı: Ay-bay Kırtasiye İşaat Gıda Pazarama ve Tiaret Limited Şirketi Çetiemeç Buvarı 34.Cadde No:37A-B 03 47 58 55 Yayıı Sertifika No: 36306 Matbaa Sertifika No: 33365 İetişim Karafi Sokak No: 45 Kızıay / ANKARA Yayıevi: 03 430 67 50-430 67 5 Yayıevi Begeç: 03 435 44 60 Dağıtım: 03 434 54 4-434 54 08 Dağıtım Begeç: 03 43 37 38 Hazırık Kursarı: 03 49 05 60 İteret: www.pegem.et E-ieti: pegem@pegem.et
Prof. Dr. Ada BAKİ 960 yıda Toya da doğdu. 978 yııda girdiği Fatih Eğitim Fakütesi Matematik Eğitimi Böümüde 98 yııda mezu odu. 985 yııda KTÜ Fe Fakütesi Matematik Böümüde araştırma görevisi oarak akademik kariyerie başadı. YÖK bursu ie isasüstü eğitim içi yurtdışıa gitti. 990 yııda Kaada ı New Bruswik Üiversiteside yüksek isasıı tamamadı. 994 yııda Uiversity of Lodo, Istitute of Eduatio da doktorasıı (PhD i Mathematis Eduatio) tamamadı. 996 yııda Türkiye i ik matematik eğitimi doçeti ve 004 yııda da profesörü odu. 995 yııda KTÜ Fatih Eğitim Faküteside başaya öğretim üyeiği süresie birçok idari görevde buudu ve 4 doktora çaışmasıa daışmaık yaptı. Ayrıa, 00-03 yıarı arasıda ayı fakütei dekaı odu. Matematik eğitimi aaıda uusa ve uusararası ideksi dergierde yayıamış birçok makaesi yaıda 6 kitabı buumaktadır. Hae Trabzo Üiversitesi Fatih Eğitim Faküteside öğretim üyesi oarak görev yapmaktadır. Evi ve üç çouk babasıdır. Prof. Dr. İhsa ÜNVER 950 yııda Karabük Davutar Köyü'de doğdu. İköğretimii Karabük'te, ise öğreimii Bou Öğretme Okuu ve İzmir Borova Hazırık Lisesi'de tamamadı. 968 yııda girdiği İstabu Üiversitesi Matematik Böümüde 97 yııda mezu odu. Ayı döemde Yüksek Öğretme Okuuda matekatik öğretmei oarak mezu odu. 97-974 yıarı arasıda Edire Erkek Öğretme Okuu'da matematik öğretmeiği yaptı. 974 yııda KTÜ Fe Fakütesi Matematik Böümüe asista oarak girdi. Ayı üiversitede yüksek isas çaışamasıı 98 yııda ve doktora çaışmasıı da 985 yııda tamamadı. Başta matematik böümü omak üzere diğer böümerde Gee Matematik, Diferasiye Dekemer, İstatistik ve Oasıık derserii okuttu. 996 yııda doçet odu. 003 yııda profesör odu. 07 yııda emeki oa Prof. Dr. İhsa Üver evi ve iki çouk babasıdır. Öğr. Gör. Cema YAZICI 950 yııda Ardaha Suakyurt Köyü'de doğdu. İkokuu ayı köyde, ortaokuu Şavşat'ta okudu. Artvi Öğretme Okuu'da iki yı okudukta sora İstabu Yüksek Öğretme Okuua seçidi. 97 yııda İstabu Üiversitesi Fe Fakütesi Matematik ve Astroomi Böümü'de mezu odu. Mezu odukta sora matematik öğretmei oarak Diyarbakır Lisesi'de görev yaptı. 974 yııda Trabzo Fatih Eğitim Estitüsüde göreve başadı. Fatih Eğitim Estitüsüde görev yaptığı yıarda Aaiz I, Aaiz II, Teme Matematik, Geometri ve Astroomi derserii okuttu. YÖK Kauu ie birikte KTÜ'ye bağaarak Fatih Eğitim Fakütesi oa ayı kurumda öğretim görevisi oarak çaışmaya devam etti. 98-05 yıarı arasıda çaıştığı Eğitim Fakütesi İköğretim Böümü Matematik Eğitimi Aabiim Daı Başkaığıda Aaiz I ve Aaiz II derseri başta omak üzere Diferasiye Dekemer, Topooji, Geometri ve Kompeks Aaiz derserii okuttu. 05 yııda emeki oa Öğr. Gör. Cema Yazıı evi ve üç çouk babasıdır.
ÖN SÖZ ÇÖZÜMLÜ DİFERANSİYEL DENKLEMLER kitabı Fe, Eğitim ve Mühedisik Faküteerii isas programarıda okutua Diferasiye Dekemer dersii içerikerie uygu oarak hazıraa bir kayak kitap iteiğidedir. Bu çaışma isas programarıda diferasiye dekemer dersii okuta Prof. Dr. İhsa Üver ve Öğr. Gör. Cema Yazıı ı 30 yıı aşkı deeyimerii bir ürüü oarak ortaya çıkmıştır. Doayısıya bu kitap çok sayıda çözüm örekeri içermesi bakımıda hem Diferasiye Dekemer dersii okuta öğretim eemaarı içi hem de bu dersi aa öğreier içi kapsamı bir evap aahtarı özeiği taşımaktadır. ÇÖZÜMLÜ DİFERANSİYEL DENKLEMLER kitabı sekiz böüm oarak düzeemiştir. Birii böümde diferasiye dekemer hakkıda kısa bigier verierek; diferasiye dekemeri ede ediişi örekere gösterimiştir. İkii böümde birii mertebede birii dereede tüm diferasiye dekemeri pratik çözüm yoarı verimiş ve bu dekemere ait yüz ei üç öreği çözümü yapımıştır. Üçüü böümde birii mertebede yüksek dereede tüm diferasiye dekemer pratik çözümeri ie ieemiş, bu dekemere ait yetmiş örek çözümüştür. Ayrıa bu böümde birii mertebede dekemeri uyguaması oarak yörügeer ieemiş, geometrik yorumar yapımış ve fizikteki uyguamaarıa iişki öreker verimiştir. Dördüü böümde yüksek mertebede sabit katsayıı ieer homoje ve ieer diferasiye dekemeri çözümeri örekere ieemiş, öze çözüm buma yötemeri verierek; bu dekemere ait kırk tae diferasiye dekemi çözümü yapımıştır. Beşii böümde yüksek mertebede değişke katsayıı tüm dekem türeri sırasıya örekere ieeerek, bu dekemere ait öze döüşüm yötemeri gösterimiştir. Bu tür dekemere ait atmış diferasiye dekemi çözümü yapımıştır. Atıı böümde ieer diferasiye dekem sistemerii çözümeri çok sayıda örekere ieemiştir. Yedii böümde Lapae ve ters Lapae döüşümeri teme özeikeri ie ieemiş, çok sayıda öreker verimiş ve aıştırmaar çözümüştür. Ayrıa Lapae döüşümeri kuaıarak diferasiye dekemeri çözümü yapımıştır.
vi Çözümü Diferasiye Dekemer Sekizii böümde kuvvet serieri kısaa taıtıarak, adi ve düzgü teki okta komşuuğuda diferasiye dekemeri seri ie çözümü gösterimiş, yirmi adet diferasiye dekemi seri çözümü yapımıştır. Ayrıa, Besse, Legedre Gaus diferasiye dekemerii seri ie çözümeri gösterimiştir. Editör
İÇİNDEKİLER Ö Söz...v. BÖLÜM TEMEL BİLGİLER.. Gee Bigier..... Diferasiye Dekemeri Ede Edimesi...3. BÖLÜM BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Değişkeerie Ayrıabiir Diferasiye Dekemer...9.. Homoje Diferasiye Dekemer...5.3. Tam Diferasiye Dekemer...4.4. İtegrasyo Çarpaı...5.5. Lieer (Doğrusa) Diferasiye Dekemer...66.6. Berui Diferasiye Dekemi...76.7. Riati Diferasiye Dekemi...87.8. İkii Böüme İgii Örek Çözümer... 03 3. BÖLÜM BİRİNCİ MERTEBEDEN YÜKSEK DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER 3.. y ye Göre Poiom Şekideki Diferasiye Dekemer... 3 3.. Cairaut Diferasiye Dekemi... 30 3.3. Lagrage Diferasiye Dekemi... 37 3.4. F(,p)=0,G(y,p)=0 Tipideki Diferasiye Dekemer... 44 3.5. y=f(,p),=g(y,p) Tipideki Diferasiye Dekemer... 46 3.6. Uyguamaar... 56 a) Yörügeer... 56 b) Geometrik Yorum... 59 ) Fizik Uyguamaarı... 7
viii Çözümü Diferasiye Dekemer 4. BÖLÜM YÜKSEK MERTEBEDEN SABİT KATSAYILI LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER 4... Mertebede Sabit Katsayıı Lieer Homoje Diferasiye Dekemer... 79 4... Mertebede Sabit Katsayıı Lieer Diferasiye Dekemer... 85 5. BÖLÜM YÜKSEK MERTEBEDEN DEĞİŞKEN KATSAYILI DİFERENSİYEL DENKLEMLER 5.. Sabit Katsayıı Dekeme Döüşebie Dekemer... 7 a) Cauhy-Euer Diferasiye Dekemi... 7 b) Legedire Diferasiye Dekemi... 8 ) Öze Bir Döüşüme Çözüebie Diferasiye Dekemer... 9 5.. Değişke Katsayıı Lieer Homoje Diferasiye Dekemer... 33 Homoje Lieer Dekemi Mertebesii Düşürümesi... 34 5.3. Değişke Katsayıı Lieer Diferasiye Dekemer... 35 5.4. İkii Mertebede Lieer Diferasiye Dekemer... 37 İrdeeme... 46 5.5. Bağımsız Değişkei Değiştirimesi... 47 5.6. Bağı Değişkei (y yi) Buudurmaya Diferasiye Dekemer... 48 5.7. Bağımsız Değişkei ( i) Buudurmaya Diferasiye Dekemer... 49 5.8. Tam Diferasiye Dekemer (Sarrus Metodu)... 6 6. BÖLÜM LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ 6.. Lieer Diferasiye Dekem Sistemeri... 73
İçidekier i 7. BÖLÜM LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ İLE DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ 7.. Lapae Döüşümeri... 87 7.. Lapae Döüşümüü Teme Özeikeri... 9 7.3. Gamma Foksiyou... 93 7.4. Ters Lapae Döüşümü ve Teme Özeikeri... 94 7.5. Lapae Döüşümerii Diferasiye Dekemeri Çözümüde Kuaıması... 30 8. BÖLÜM SERİ YÖNTEMİYLE DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ 8.. Kuvvet Serieri... 35 8.. Lieer Diferasiye Dekemeri Kuvvet Serieri ie Çözümü... 37 8.3. Adi Nokta Etrafıda Çözüm ve Öreker... 39 8.4. Teki Nokta Etrafıda Çözüm Frobeius Metodu... 38 8.5. Besse Diferasiye Dekemer... 338 8.6. Legedre Diferasiye Dekemi ve Legedre Poiomarı... 339 8.7. Gaus Diferasiye Dekemii Seri Çözümü ve Öreker... 34 Kayakar... 343
Teme İtegra Formüeri i. r + d r d = ^r!-h. = r + 3. sid =- os + 4. osd = si + 5. se d = ta + 6. ose d =- ot + 7. se. ta d = se + 8. ose. ot d = ose + 9. tad =- os 0. otd = si. sed = se + ta. osed = ose - ot 3. e d = e 4. a a d = a 5. sih d = osh + 6. osh d = sih + 7. seh d = tah + 8. oseh othd =- ose h+ 9. seh tahd =+ se h+ 0. oseh othd =- ose h+ d d - a. = arta. = + a a a - a a + a 3. d + a = ^+ ah^+ bh b - a + b 4. d arsi d = a - a d 5. = +! a! a a 6. a - d = a - + arsi a a 7.! a d =! a! +! a 8. d - d = + + ^ + a h a ^ + a h a ^ + a h, ^ =,,... h
ii Çözümü Diferasiye Dekemer 9. si d = - si + 30. os d = + si + 4 4 3. ta d = ta - + 3. ot d =-ot - + 33. si d =- ^ + si hos + 3 34. os d = ^ os hsi + 3 35. 3 ta d = ta + os 36. 3 ot d =- ot + si 37. 3 se d = se ta+ se + ta 38. 3 ose d =- ose. ot+ ose - ot 39. sia si bd = 40. osa os bd = si^a- bh si^a+ bh - ^a- bh ^a+ bh si^a- bh os^a+ bh - ^a- bh ^a+ bh os^a- bh os^a+ bh 4. sia os bd =- - ^a- bh ^a+ bh 4. si d =- si os+ - si - - 43. os d = os si+ - os - - 44. ta d = ta - ta - - - 45. ot d =- ot - ot - - - d d d d
Teme İtegra Formüeri iii - 46. se d = se ta+ se - - - - d - 47. ose d =- ose ot+ ose - - - - d m 48. si os si = m+ - os m+ 49. sid = si - os + 50. osd = os +. si + - - + m + 5. sid =- os + os d - 5. osd =- si - si d 53. arsi d = arsi + - 54. arosd = aros - - si m os - d 55. arta d = arta - ^ + h+ 56. arotd = ar ot + ^ + h+ 57. arsed = ar se - + - 58. arosed = arose+ + - 59. arsi d = ^ - harsi + - 4 4 60. arta d = ^ + harta - 6. d = - + 6. d = - m+ + + +
iv Çözümü Diferasiye Dekemer 63. d - = 64. ^ h d = ^ h - ^ h d 65. e d = ^- he 66. e d e - = - e d a 67. e os bd = e a aosb+ bsi b a + b a a asib- bos b 68. e si bd = e a + b 69. tah d = ^osh h+ 70. oth d = sih 7. sehd = arta ^ e h 7. osehd = tah 73. sih d = sih - 74. osh d = sih + 4 4 75. tah d = - tah + 76. oth d = - oth + a 77. e osh bd = e a 78. e sih bd = e a a aosh b- bsih b a - b asih b- bosh b a - b a 79. a b d a a b arsi 8 + - = ^ - h - + + 8 a a 80. a d a a a 8! = ^! h! + +! + 8 a! a+ a " 8. d = a! - a 4 8. - a d a = - - aarse a 4
Teme İtegra Formüeri v a - 83. d =- a - - arsi a! a 84. d =-! a + +! a a 85. d =- a - + arsi a - 4 a a 86. d =! a " +! a! a d 87. =- a! a 4 a+ a! d 88. se a a ar = - a 89. 90. d a - d! a = "- + a - a = "! a a 9. ^a d - = a a - 3 / h 9. ^ d! a =! a! a 3 / h a 93. a d a a arsi 8 5 3 ^ - h = ^ - h - + + 8 a 3 a 94. a d a a a 8 5 3 ^! h = ^! h! +! + 8 3 4 4
vi Çözümü Diferasiye Dekemer 95. 3 0 - e d =! ^ = 0,,,... h 96. 97. 98. - r 3 e d = 0 Z 3 -..., = 4,,... r/ ] 4 si d = r/ os d = [ 0 0 4 -..., = 35,,... ] 3 5 \ Z r, = d ] 3 = [ 0 ^ 3 3 r + h - ]..., = 3,,... \ 4 -
. BÖLÜM TEMEL BİLGİLER.. Gee Bigier Taım.: bağımsız değişkei ie bu değişkee bağı foksiyou ve bu foksiyou çeşiti mertebede türeverii içere dekeme diferasiye dekem deir. Bu taıma göre; bağımsız değişke, y, e bağı foksiyo, y i türeveri; y, y m, y,..., y ^h omak üzere,, Fyy, m y,..., ^h ` y j = 0 dekemi. mertebede bir diferasiye dekemdir. Fyy `,, j = 0 birii mertebede diferasiye dekemdir. m Fyy `,,, y j = 0 ikii mertebede diferasiye dekemdir... ^h Fyy `,,,..., y j = 0. mertebede diferasiye dekemdir. Bir diferasiye dekemi e yüksek mertebei türevi dekemi mertebesidir. E yüksek mertebei türevi dereesi de diferasiye dekemi dereesidir. 3 y + y + = 0, y + y = 0, dy = _ + y i d, y + y - 4 = 0 dekemeri. mertebede diferasiye dekemerdir. m y + y = + dekemi 3. mertebede, d u du + - 3 u = 0 dekemi. mertebede, d d
Çözümü Diferasiye Dekemer dv dt 3 d v $ + 3v = 5 dekemi 3. mertebede diferasiye dekemerdir. 3 dt ( y ) -y si - = 0 dekemi. mertebede. dereede; m3 m y () + y + y + y = 0 dekemi. mertebede 3. dereede bir diferasiye dekemdir. m y + y ta = si dekemi. mertebede diferasiye dekemdir. ^h ^- h y + 5y + y + y + y = 0 dekemi i mertebede. dereede bir diferasiye dekemdir. ^h Taım.: Fyy `,,,..., y j = 0 bir diferasiye dekem osu. Bu diferasiye dekemi sağaya y çözümü veya itegrai deir. = f^h ifadesie söz kousu diferasiye dekemi bir Örek. : y + y-si- os+ = 0 dekemi verisi. y = si - bu dekemi bir çözümüdür. Gerçekte; y = os oduğuda os+ si--si- os+ = 0 our. Örek. : y - = 0 dekemi verisi. keyfi sabit omak üzere y = ifadesi dekemi gee çözümüdür. Gerçekte; y - = 0 " y = dir. İtegra aıırsa y = our. Taım.3: Bir diferasiye dekemi gee çözümü veya gee itegrai bir eğri aiesidir. Fyy `,, j = 0 dekemii gee çözümü (Gee itegrai) Gy ^,, h = 0 şekide bir eğri aiesidir. Burada keyfi sabittir. (, parametre) Fyy,, ^ `,..., y h j diferasiye dekemii gee çözümü G(, y,,,..., ) = 0 şekide bir eğri aiesidir.,,..., keyfi sabiterdir. Örek. 3: y = ise 3 ym=, y =, y = + (Gee çözüm) 6 3 Bir diferasiye dekemi gee çözümüde öze bir çözümü buuabiir. Buu içi keyfi sabiteri sayısı kadar şart verimeidir (Başagıç değer probemi).