4 SİMPLEKS ÇÖZÜMLERİN ROGRAMLANMASI Üçüncü bölümdeki açıklamalardan sonra doğrusal programlamanın 3 temel bileşeni; amaç fonksiyonu, kaynak sınırlılıkları ve girdi-çıktı katsayılarının birbiriyle yakın ilişki içinde olduklarını öğrenmiş bulunuyoruz. Programlamanın temel bileşenlerinin yakın ilişki içinde olmalarına bağlı olarak simpleks programlamayı anlatırken programın bir özelliğini diğerinden ayrı tutarak açıklamak zordur. Bölümde; üretim faaliyetleri, sınırlayıcı faktörler, teknik katsayılar (girdi-çıktı katsayıları) ve amaç fonksiyonu ayrı ayrı ele alınmış olsalar da aralarındaki ilişkilerin gözden ırak tutulmaması gerekir. 4.1 Faaliyetler Üçüncü bölümde doğrusal programlamada kullanılan faaliyet türlerinden ikisini tanımış bulunuyoruz: reel faaliyetler ve artık faaliyetler. Bu bölümde iki faaliyet türü daha tanıtılacaktır: transfer faaliyetleri ve yapay faaliyetler. Bu faaliyetler reel faaliyetlerden sayılmazlar, simplex tablonun yatay sıralarında yer alırlar ve işletme kaynaklarına (arazi, iş gücü, sermaye) benzer rol oynarlar. Yapay faaliyetlere programlamada neden yer verildiğini ve bunların rollerinin ne olduğunu öğrendikten sonra, nasıl programlanacaklarının öğrenilmesi gerekmez. Çünkü birçok bilgisayar programında, artık faaliyetler için olduğu gibi yapay faaliyetler için de gerekli yazılımlar hazır olarak önceden yapılmıştır. Önemli olan programlamada yer alacak reel faaliyetlerle ilgili olarak; maksimum, minimum ve eşitlik şeklindeki sınırlamaların doğru biçimde belirtilmesidir.
Doğrusal Programlama 46 4.1.1 Reel faaliyetler Reel faaliyetler çeşitli şekillerde olabilir. Bunlardan en yaygın olanlar: üretim faaliyeti, ara ürünlerin üretimi, hasat faaliyeti, satış faaliyeti, girdi kiralama faaliyeti, satın alma faaliyetidir. Bunların dışında başka tür ve nitelikte faaliyetler de plana dahil edilebilir. Örneğin sabit masraflar veya aile harcamaları için yapılan ödemelere başlangıç planında yer verilebilir. Mısır üretiminde olduğu gibi bazı üretim faaliyetleri farklı amaçlarla yapılabilir. Mısır, işletmede yetiştirilen hayvanların yem ihtiyacını karşılamak için yeşil aksamını değerlendirmek amacı ile yetiştirilebileceği gibi (ara ürün) büyümeye bırakılarak danesi için de yetiştirilebilir. Bu takdirde her iki faaliyetin planda yer alacak miktarlarını belirlemek üzere ayrı faaliyetler olarak (silaj mısır üretim ve hasadı, dane mısır üretim ve hasadı) plana dahil edilirler. İşletmede üretilen bazı ürünlerin (yem gibi) satılmayıp işletmede hayvancılık faaliyetlerinde kullanılması alternatifini değerlendirmek için satış faaliyeti, üretim ve hasattan ayrı olarak plana sokulur. Programlamada birçok faaliyeti bir araya toplamak da mümkündür. Bunun en yaygın şekli bir ürünün yetiştirilmesini, hasadını ve pazarlamasını ürün satış faaliyeti adı altında birleştirmektir. Bu yapılırken çift sayım (duplikasyon, İngilizce de double counting) hatasından kaçınılmalıdır. Çift sayım hatası, bazı masrafları iki defa saymaktır. Örneğin yem üretim faaliyetinde üretim masrafları dikkate alınmışsa hayvan net satış fiyatları içinde yem masrafları dikkate alınmamalıdır, alınırsa bu çift sayım hatasına yol açar. Bir ürüne ait faaliyetlerin bir başlık altında toplanmasında bazı masrafların gözden kaçması da mümkündür. Model kurulurken bu gibi hataların yapılmamasına dikkat edilmelidir. Üretim girdilerinin kiralanması (arazi, makine kiralama gibi) veya satın alınması (yem satın alma gibi) ayrı faaliyetler olarak plana dahil edilebilir. Faaliyetler bir münavebe sırası içinde plana geliyorsa, örneğin iki yıl mısır, bir yıl yulaf ve iki yıl çayırdan ibaret bir münavebe faaliyeti düşünülüyorsa, birimi 5 dekar olarak seçilmelidir (2 dekar mısır, 1 dekar yulaf ve 2 dekar çayır= MMYÇÇ). Bazı hayvancılık faaliyetlerinde de benzer bir durum söz konusudur. Bir faaliyeti diğerinden ayıran girdi-çıktı katsayılarının farklı olmasıdır. Kullandığı girdilerden bir tanesindeki farklılık bile faaliyetlerin ayrı faaliyetler olarak
4.Simpleks Çözümlerin Programlanması 47 değerlendirilmesi için yeterlidir. Örneğin üretimde kullanılan kimyasal gübrelerden birinin bile farklı olması, faaliyetlerin ayrılmasını gerektirir (Dekara 25 kg amonyum sülfatın verildiği buğday üretim faaliyeti ile dekara 20 kg amonyum sülfatın verildiği buğday üretim faaliyeti gibi). Model kurulurken dikkat edilmesi gereken bir diğer husus, faaliyetlerin üretim birimlerinin ne olacağıdır. Bitki veya hayvancılık faaliyetlerinin üretiminde (litre, kg, ton, baş vb.), arazi kullanımında (dekar, hektar), iş gücü kiralamada (adam/gün, adam/saat, erkek iş gücü birimi) veya sermaye transferinde (TL, Dolar, Euro) birimlerin ne olacağına önceden karar verilmelidir. Birimlerin seçilmesinde önemli olan, girdiçıktı katsayılarının elde edilmesinde ve yorumlanmasındaki kolaylıktır. Bunun için genellikle bitki üretiminde birim dekar, hayvancılıkta büyük baş hayvan birimi (BBHB) veya üretim birimi (ÜB) ve sermayede TL dir. Bu yapılırsa hem zamandan kazanılmış, hem de anlam kargaşasına yol açılmamış olur. Örneğin üretim biriminin kg. yerine dekar olarak seçilmesi, girdi-çıktı katsayılarının belirlenmesinde büyük kolaylık sağlamakta ve işlem hatalarını azalmaktadır. 4.1.2 Transfer Faaliyeti Transfer faaliyeti, işletmenin kaynak varlığına benzer fonksiyon gösterir. İşletmede bir üretim faaliyetinde üretilen ürün, transfer faaliyeti aracılığı ile diğer bir faaliyetin girdi ihtiyacını karşılamak üzere aktarılacağı gibi direkt satışa da konu olabilir. Örneğin üretilen mısırın, hayvancılık faaliyetine yem girdisi olarak aktarılması veya satışı, transfer faaliyeti marifeti ile yapılır. İş gücü transfer faaliyeti ile kiralanan iş gücünün, iş gücüne ihtiyacı olan faaliyetler arasında dağıtımı kolayca yapılabilir. Transfer faaliyetlerine ait rakamlar diğer kaynaklar gibi, B sütununda gösterilir ve başlangıç miktarı genellikle 0 dır. Ancak başlangıç planında işletmenin üretimde kullanması mümkün olan stokları varsa, bunlara ait miktarlar B sütununda gösterilir. 4.1.3 Yapay faaliyetler Minimum sınırlayıcıların bulunduğu programlarda optimum çözümlerin elde edilmesini garanti altına almak için yapay faaliyetler kullanılır. Yapay faaliyet sayesinde, bir faaliyetin gerekli görülen miktarının planda yer alması sağlanmış olmaktadır. Bir faaliyetin belirli bir miktarının plana dahil edilmesini sağlamak için, bu faaliyete diğerlerinden daha büyük bir satış fiyatının verilmesi gerekecektir. Bu değeri
Doğrusal Programlama 48 her hangi büyük bir rakam yerine M ile göstermek, pratik yararlar sağlayacaktır. Paket programlarda yapay faaliyetler için M değerleri otomatik olarak verilmekte ve optimum çözümler elde edilmektedir. Minimum sınırlamalara karar verildikten sonra, başlangıç planına alınmaları zor olmaz. 4.2 Sınırlayıcı Faktörler İşletmenin sahip olduğu üretim faktörleri sınırsız değildir. Böyle olsaydı, planlamaya gerek kalmazdı. Planlamada temel amaç, sınırlı kaynakların en etkin şekilde değerlendirilmesidir. Üretim planı ile ilgili sınırlamalar, üretim hedeflerine göre de yapılabilir. Bir kaynağın veya faaliyetin miktarının sınırlandırılmasının çeşitli sebepleri olabilir. Bunlar arasında en yaygın olanlarına bakalım. (1) Kaynak veya girdi sınırlılıkları. Arazi, iş gücü, sermaye ve işletme binalarının planlamada öngörülen miktarları üretimi sınırlar. (2) Dış faktörler. Hükümet programları örnek verilebilir. Bazı ürünlerin ekim alanları, kanuni sınırlamalara tabi olabilir (şekerpancarı, afyon, tütün gibi). (3) İşletmeci tercihleri. İşletmeci, kişisel tercihlerine bağlı olarak üretim planında bazı ürünlere kârlı olsalar bile yer vermeyebilir. Veya bu ürünlerin üretiminin belli sınırlar içinde kalmasını, üretim planına dahil edeceği sınırlarla sağlayabilir. Örneğin işletmeci çok kârlı olsa bile tütün yetiştiriciliğini işletme planına almayabilir, bazı ürünlerin üretim alanlarını pazarlama güçlükleri nedeni ile sınırlayabilir. (4) Münavebe planı ve risk faktörü. işletmecinin uyguladığı münavebe planı, faaliyetlerin belirli oranlar dahilinde üretime alınmasını gerektirir (%50 buğday, %50 nadas gibi). Bazı faaliyetlerin üretim planına belirli limitlerin altında alınmasında da, taşıdıkları risk faktörü (arz-talep ilişkisi, hastalıklar, hava şartlarının etkileri) etkilidir. İşletmenin üretim imkânlarını sınırlayan faktörler üç şekilden birinde gösterilebilir: maksimum sınır, minimum sınır ve eşitlik şeklindeki sınır. 4.2.1 Maksimum sınır Şimdiye kadar verilen örneklerdeki sınırlayıcılar, maksimum sınırlayıcılardır. İşletmenin sahip olduğu kaynaklar genelde bu sınıfa girer. Bir kaynağın üretim faaliyetlerine ayrılan miktarları, o kaynağın toplam miktarını aşamaz. Örnek olarak iş
4.Simpleks Çözümlerin Programlanması 49 gücünü verebiliriz. Aşağıdaki ifade, üç faaliyet (Xi) tarafından kullanılan iş gücü miktarının 180 saatten fazla olamayacağını göstermektedir: 180 6 X1 + 4 X2 + 12 X3 Eşitlik, X1 ile gösterilen faaliyetin bir biriminin 6 saat iş gücüne ihtiyacı olduğunu göstermektedir. İkinci faaliyetin 1 birim üretilebilmesi için 4 saat iş gücüne, üçüncü faaliyetin bir birim üretilmesi için 12 saat iş gücüne ihtiyaç vardır. Örnekte toplam iş gücü miktarı ise 180 saattir. Eşitlik yerine eşitsizlik ifadesinin kullanılması, üretim sürecinde iş gücünün tamamının kullanılmasının şart olmadığını göstermektedir. Tamamının kullanılması kârlı değilse bir miktar iş gücü (X4) kullanılmadan kalabilir. Tamamı kullanılmayan kaynakların artan kısmını göstermek için artık faaliyetler kullanılmaktadır. Atıl kalan iş gücünü eşitsizliğin sağına yazarak, eşitlik şeklinde gösterebiliriz: 180 = 6 X1 + 4 X2 + 12 X3 + 1 X4 Artık faaliyetin (X4) pozitif işaret taşıdığına dikkat ediniz. Bunun anlamı, planlamada işletme kaynaklarının tamamının kullanılmasının zorunlu olmadığıdır. Planlama sonucunda tamamı tüketilmeyen kaynaklar ve üretime alınmayan faaliyetler olabilir. 4.2.2 Minimum sınır İşletme programları yapılırken, minimum sınırlamaların kullanılması da gerekebilir. Örneğin yem bitkisi üretiminin 30 tondan az olmamasını isteyen bir işletmeci, üç yem bitkisi faaliyetini aşağıdaki gibi plana dahil etmek isteyebilir: 30 2 X1 + 3 X2 + 2 X 3 Yukarıdaki ifadeyi eşitlik şeklinde yazmak için, negatif işaret taşıyan yapay bir faaliyet * (X4) kullanılması gerektiğine dikkat ediniz: 30 = 2 X1 + 3 X2 + 2 X 3 1 X4 * İngilizce de artificial
Doğrusal Programlama 50 4.2.3 Eşitlik şeklinde sınır Maksimum ve minimum sınırlamalar kadar yaygın olmasa da, işletme planlarında eşitlik şeklinde sınırlamalara da yer verildiği durumlar vardır. İşletme arazisinin bir kısmının plantasyonlara ayrıldığı durumu ele alalım. Örneğin işletmenin 120 dekar fıstıklığı vardır ve bunun olduğu gibi planda kalması istenmektedir. Bu durumda program hazırlanırken artık faaliyet bulundurmaya gerek yoktur. Aşağıdaki eşitlik, 120 dekar fıstıklık arazinin optimum planda yer almasını sağlar. 120 = 1X1 Eşitlik şeklindeki sınırlamalarda, minimum sınırlayıcılar durumunda olduğu gibi yapay faaliyetlere ihtiyaç vardır. Yapay faaliyet (örneğin X1), bir faaliyetin istendiği miktarda planda yer almasını sağlar (Beneke and Winterboer, 1973, s.33). Bunun için kaynak sütununda (B) 120 rakamı bulunacak, X1 faaliyetinin altına da 1 katsayısı yazılacaktır. Her iki rakamın birimi de dekardır. Eşitlik şeklindeki sınırlamalara örnek olarak yem bitkisi üretimlerini de verebiliriz. Örneğin işletmeci tam olarak 300 dekar alanda yem bitkisi yetiştirmek istemektedir. Bunlardan birincisi mısır üretimidir (X1). İkinci faaliyet 4 yıllık bir münavebedir (mısır+mısır+yulaf+çayır gibi = MMYÇ). Üçüncü faaliyet ise soyadır (X3). Bunu eşitlik şeklinde yazalım: 300 = 1 X1 + 4 X2 + 1 X 3 4.3 Girdi-Çıktı Katsayıları Girdi-çıktı katsayıları veya diğer yaygın adı ile teknik katsayıların pozitif olanları, üretim faaliyetlerinin bir birim artırılması için kullanılması gereken kaynak miktarlarını gösterir. Teknik katsayılar arasında negatif işaretli olanlar da bulunabilir. Bunlar pozitif teknik katsayıların tam tersi bir anlam ifade ederler. Negatif katsayıların bulundukları hücreler, artan üretim miktarlarının kaynakları da artırdığını gösterir. Yem satın alma faaliyeti sütunu ile yem transfer faaliyeti sırasının kesiştiği yerdeki veya iş gücü
4.Simpleks Çözümlerin Programlanması 51 kiralama faaliyeti ile iş gücü kaynağını gösteren sıranın kesiştiği yerdeki negatif katsayının anlamı budur. Negatif katsayıların varlığı, programlama işinde yeni olanların zihnini karıştırmaktadır. Bunun için aşağıdaki örneğin incelenmesinde yarar vardır. B X 1 X 2 Arazi 200 1 0 İş gücü 80 7-1 Örnekte X1 ile gösterilen bir üretim faaliyeti olabilir (örneğin mısır üretimi). Bu faaliyetin 1 birim (1 dekar) artırılması durumunda B sütunu altında gösterilen arazi miktarı (örnekte 200 dekar) 1 dekar, iş gücü 7 saat azalacaktır. İkinci faaliyet ise (X2), iş gücü kiralama faaliyetidir. İş gücünün 1 birim (örneğin 1 saat) kiralanması durumunda; arazi kaynağında bir değişme olmamakta, iş gücü kaynağı ise 1 saat artmaktadır. 4.4 Amaç Fonksiyonu Bu bölümde sadece maksimizasyon modelleri üzerinde durulacaktır. Amaç, belirli faaliyetlerin en fazla işletme kârını sağlayacak bileşiminin bulunmasıdır. Bunun dışında minimizasyon amacı taşıyan modeller de vardır. Bu modeller, masrafı en az olan bileşimlerin ortaya konmasını sağlar. Yem rasyonlarının hazırlanması buna örnek verilebilir. Simpleks tablonun C i sütununda yer alan katsayılar, plana dahil faaliyetlerin 1 birim artırılması karşılığında, işletme brüt gelirinde ne kadar değişiklik olacağını işaret eder. Daha kestirme bir ifade ile bu katsayılar, faaliyetlerin birim miktarlarının brüt gelirlerini veya brüt fiyatlarını gösterir. Örneğin buğday satış faaliyeti önündeki katsayı (örneğin 30 X1), 1 dekar buğday satışından elde edilecek brüt geliri (30 TL) ifade eder. İşareti pozitiftir. İş gücü kiralama faaliyetinin katsayısı negatif işaret taşıyacaktır (örneğin 2 X2), çünkü 1 saatlik iş gücü kiralanması karşılığında işletmenin geliri değil, üretim masrafları (2 TL/saat) artmaktadır. Amaç fonksiyonunun katsayılarını seçerken çok dikkatli olmak gerekir. Eğer üretim birimi olarak kg. seçilirse, brüt gelir olarak da 1 kg. ürünün brüt geliri (kg. fiyatı - kilo başına değişken masraflar) kullanılmalıdır. Üretim birimi olarak dekar seçilirse, 1 dekar araziden elde edilen ürün, satış fiyatı ile çarpılarak gayri safi üretim değeri
Doğrusal Programlama 52 (GSÜD) bulunmalı ve bundan üretim faaliyetinin 1 dekarına isabet eden değişken masraflar düşülmelidir (transfer ve satın alma faaliyetlerinin masrafları hariç). Transfer ve satın alma faaliyetlerinin masrafları, program akışı içinde üretim masraflarına dahil edildiğinden, GSÜD den çıkarılması çift sayıma yol açar. Bir diğer husus sabit masrafların varlığıdır. Başlangıç planında sabit masrafların dikkate alınmasının pratik bir yararı yoktur, ayrıca bu masrafların üretim faaliyetlerine dağıtılması da çok zordur. Tanım olarak sabit masraflar, üretimle ilişkisi olmayan masraflar olduğundan plana sonunda da dahil edilebilirler. Bunun için optimum planın brüt gelirinden, sabit masrafların düşülmesi yeterlidir. 4.5 Planlama Süresi ve Sermaye Kullanımı Programlama tecrübesi olanlar bile, üretim planının yapıldığı süre ve bu süre zarfında sermaye kullanımı ile ilgili hususların plana dahil edilmesi aşamasında zorluk çekerler (Beneke and Winterboer, 1973, s. 41). Bunun için öncelikle doğrusal programlama hakkında yeterli bir bilgiye sahip olmak gerekir. Bu bakımdan konu ile ilgili açıklamalara burada yer verilmemiştir. Ele alınan örneklerde, tek dönemlik faaliyetler ve bu faaliyetlerin sermaye ihtiyaçları üzerinde durulmasının sebebi budur. 4.6 Simpleks Programlama Modelleri Yapılan açıklamaların daha iyi anlaşılması için basit problemlerden başlamak sureti ile çeşitli işletme modellerinin programlanması üzerinde duralım. Model 4.1 Üretim, hasat ve satış faaliyeti Program yapılırken üretim faaliyetlerini tanımlamanın birçok yolu vardır. Önemli olan bunu açık biçimde belirlemek ve girdi-çıktı katsayıları ile net fiyatları, tanımlanan faaliyete uygun olacak şekilde tespit etmektir. Birinci modelimizde her hangi bir faaliyete ait üretim, hasat ve pazarlama işlemleri X1 üretim, hasat ve satış faaliyeti başlığı altında ele alınmış ve bir arada değerlendirilmiştir. Örneği basit tutmak için sadece iki kaynak modele dahil edilmiştir: arazi (100 da) ve iş gücü (6000 saat). Üretimi, hasadı ve satışı yapılan faaliyet mısırdır (X1). Üretim birimi 1 dekardır.
4.Simpleks Çözümlerin Programlanması 53 Brüt gelir (TL/da) 130 Kaynaklar (Ci) B X1: dane mısır üretim, hasat ve satış faaliyeti Arazi (da) 100 İş gücü (saat) 6000 1 10 Önemli noktalar (1) Gerçek bir planda faaliyet sayısı ve kaynak çeşidi çok fazladır. Burada bir faaliyet ve iki kaynak verilmesinin sebebi, modelin esasları üzerinde yoğunlaşmak içindir. Artık faaliyetler kısmına ise, basitliği sağlamak açısından yer verilmemiştir. Paket programlarda maksimum ve minimum sınırlayıcılarla, eşitlik şeklindeki sınırlayıcılar belirtildikten sonra, artık faaliyetler bölümü otomatik olarak sisteme dahil edilmektedir. (2) Kaynak sınırlılıklarının işaretlerine dikkat edilmelidir 1. (3) Brüt gelir sırasındaki rakamlar yazılırken mısırın beklenen verimi (700 kg/da), birim fiyatı (= 0.50 TL/kg) ile çarpılmış ve bundan modelde yer almayan diğer değişken masraflar (toprak hazırlığı, tohum gübre, ilaç vd. karşılığı olan 220 TL/da) düşülmüştür: (700)(0.50) 220 = 130 TL. Bulunan değer, mısırın net fiyatıdır. Burada dikkat edilmesi gereken önemli nokta, modelde yer alan girdilerin (arazi ve iş gücü) masraflarının bu aşamada düşülmemiş olmasıdır. Dolayısı ile model çözümünde elde edilecek gelir, arazi ve iş gücü karşılığı elde edilecek gelirdir. (4) Dikkate alınmayan bir masraf kalemi de, sabit masraflardır. Tanım olarak sabit masraflar, üretim miktarına bağlı olmayan masraflardır. Modele dahil edilse de, edilmese de sonuç değişmeyeceğinden sabit masrafların programın başında dikkate alınması gerekmez. Planlama yapıldıktan sonra net işletme gelirinin bulunması için, optimum planın toplam brüt gelirinden sabit masraflar çıkarılmalıdır. 1 Bilgisayar programlarında eşitlikler genellikle yukarıdaki sıranın tersinde yazılmaktadır. Önce teknik katsayılar, daha sonra işaretler, en sonunda da B sütunundaki kaynak miktarları yazılmaktadır : maksimum sınırlayıcı: bi X i B; minimum sınırlayıcı: bi X i B
Doğrusal Programlama 54 Model 4.2 Transfer faaliyeti eşliğinde üretim faaliyeti ve satış faaliyeti İşletme planlarında satış faaliyetlerine üretim ve hasattan ayrı olarak da yer verilebilir. Programlamada bir ürünün üretimi, hasadı ve satışının birbirinden ayrılması bir ihtiyacın ürünüdür; bunu açıklayalım. Üretim faaliyetleri farklı amaçlarla yapılabilir. Yem üretimini ele alalım. Üretilen yem, işletmedeki hayvanlara verilebileceği gibi işletme dışına satışı da yapılabilir. Hangi işlem daha kârlı ise o yapılacaktır. Bunu sağlayacak değişiklik, işletme planına yem üretim faaliyeti ile yem satış faaliyetlerini ayrı ayrı yerleştirmek ve yem üretiminin işletmede değerlendirilmesi veya dışarıya satılmasını sağlayacak transfer faaliyetini ilave etmektir. Model bu amaçla geliştirilmiştir. Brüt gelir (TL) - 220 0.5 Kaynaklar ve transfer faaliyetleri (Ci) B X1 X2 Arazi (da) 100 1 0 İş gücü (saat) 6000 10 0 Mısır transferi (kg) 0-700 1 Önemli noktalar (1) X1 ile gösterilen mısır üretim ve hasat faaliyeti ile, mısır transfer sırasının kesiştiği yerdeki teknik katsayısı 700 dür. Bu katsayı, 1 dekar araziden elde edileceği tahmin edilen mısır verimini göstermektedir. İşareti negatiftir, çünkü üretim sonucunda elde edilecek mısır, işletmenin yem kaynağını artıracaktır. (Rakamın, eşitsizliğin soluna geçerse işaretinin değişeceğine dikkat ediniz.) (2) X2 ile gösterilen mısır satış faaliyeti ile mısır transferi sırasının kesiştiği yerdeki teknik katsayının işareti pozitiftir. Mısır satışı, transfer sırasındaki mısırdan yapılacak ve satış arttıkça transfer sırasındaki mısır miktarı azalacaktır. (3) Mısır üretim ve hasat faaliyetinin net fiyatı, negatif işaretlidir. Mısır üretim ve hasadı, masrafı gerektirir. Mısır satışı ise gelirdir. Bu açıdan mısır üretim ve hasat faaliyetinin net fiyatı negatif işaretlidir ve mısır üretim ve hasadı için dekara yapılan değişken masrafların toplamını gösterir. Mısır satış fiyatı da, 1 kg. mısırın satış fiyatıdır. Bu fiyattan sadece pazarlama masrafları düşülmüştür.
4.Simpleks Çözümlerin Programlanması 55 Model 4.3 Ara ürünler ve kiralama faaliyetleri Hayvancılıkla tarla tarımının beraberce yürütüldüğü programlarda, üretilen yem bitkilerinin işletmede hayvancılık faaliyetinde değerlendirilmesi veya işletme dışına satılması mümkündür. İşletmede üretilip yine işletmede üretim faaliyetlerinde girdi olarak değerlendirilen ürünlere ara ürünler denir. Brüt gelir (TL) - 220 0.5 1500-2 Kaynaklar (C i ) B X 1 X 2 X 3 X 4 Arazi (da) 100 İş gücü (saat) 6000 1 0 0 0 10 0 160-1 Mısır transferi (kg.) 0-700 1 600 Dışarıdan iş gücü kiralama (saat) 1000 0 0 0 1 İşletme kaynaklarının yeterli olmadığı durumlarda dışarıdan kaynak kiralama yoluna gidilebilir. Bazen işletme ihtiyacı olan bütün girdileri kiralayamaz, finansman durumu buna imkân vermez. Örneğimizdeki işletme, üretim döneminde maksimum 1000 saat iş gücü kiralama imkânına sahiptir. Önemli noktalar (1) X1, dane mısır üretimi ve hasadını, X2 mısır satışını göstermektedir. Üretilen mısırın satışı yapılabileceği gibi, işletmede yem olarak da (ara ürün) değerlendirilebilir. Sığırcılık faaliyeti (X3), bir üretim döneminde 600 kg. mısır talep ettiğinden, katsayının işareti pozitiftir. İşletme, üretim döneminde 1000 saat iş gücü kiralayacak sermayeye sahiptir. İş gücü kiralama faaliyeti X4 ile gösterilmiştir. Kiralık iş gücünün saati 2 liradır. (2) Sığır satış fiyatından iş gücü ve yem olarak tüketilen mısır hariç, diğer değişken masraflar düşülmüştür. İşletmede kullanılmak üzere yem olarak üretilen mısırın üretim masrafları, mısırın satış fiyatından düşülmemelidir. Bu yapılırsa çift sayıma yol açılmış olur. Ara ürünler için uygulanacak işlem budur.
Doğrusal Programlama 56 Model 4.4 Hasat faaliyetinin ayrılması Bazı ürünlerin yetiştirilmelerinde amaç birden fazla olabilir. Örneğin mısır danesi için yetiştirilebileceği gibi, üretim döneminde ortaya çıkacak talebe bağlı olarak silaj amaçlı da yetiştirilebilir. Model bu alternatiflere nasıl yer verileceğini göstermektedir (Daha net izlenmesi için sıfırlar yazılmamıştır.): Brüt gelir ( TL) - 200 0.5-20 -20 1500-2 Kaynak ve transferler B X 5 X 6 Arazi (da) 100 1 Hasat edilmemiş mısır (da) 0-1 1 1 Dane mısır transferi (kg.) 0 1-700 600 Silaj mısır transferi (ton) 0-3 5 İş gücü (saat) 6000 5 5 8 160-1 İş gücü kiralama (saat) 1000 1 Faaliyetler X1, hasat edilmemiş mısır faaliyeti, birimi dekar X2, dane mısır satışı, birimi kg X3, dane mısır hasadı, birimi dekar X4, silaj mısır hasadı, birimi dekar X5, sığır besi ve satış faaliyeti, birimi baş X6, iş gücü kiralama, birimi saat Önemli noktalar (1) Modelin getirdiği yenilik, hasat edilmemiş mısır transfer sırasıdır 2. Bu sıra, üretilen mısırı daneye veya silaja çevirmekte kullanılmaktadır. Faaliyet katsayılarına dikkat: X 3 + X 4 X 1 X 3 + X 4 X 1 0 (2) Hasat edilmemiş mısır sırasının birimi dekar, dane mısır sırasının birimi kilo, silaj mısır sırasının birimi tondur. Bu birimlerin seçilmesinin tek sebebi, girdi-çıktı katsayılarını daha pratik olarak elde etmektir. (3) Mısır faaliyetinin (X 1 ) masrafları, hasada kadar olan değişken masraflardır. X3 faaliyetinin masrafı, mısırı dane olarak hasat etme masrafıdır. X4 faaliyetinin masrafı, mısırı silaj olarak hazırlamanın masrafıdır. 2 İngilizce de standing (unharvested) transfer row
4.Simpleks Çözümlerin Programlanması 57 (4) Dane ve silaj mısır hasat faaliyetleri, hasat edilmemiş mısırdan 1 er dekar yer talep etmektedir. Model 4.5 Münavebe faaliyeti Ürünlerin belirli bir münavebe planı içinde, arka arkaya yetiştirilmeleri ve aynı tarlada her yıl aynı ürünün yetiştirilmemesi tavsiye edilir. Münavebe, tek faaliyet gibi düşünülmelidir. Bunun sebebi, münavebe planında yer verilen ürünlerin birbirlerinin verimlerini etkilemesidir. Münavebede yer alan ürünlerin girdi talepleri de tek başlarına yetiştirildikleri durumdan farklıdır. MMYÇ şeklinde gösterilen münavebe planında, aynı arazide iki yıl mısır, üçüncü yıl yulaf ve dördüncü yıl çayıra yer verildiği anlatılmaktadır. Örneği inceleyelim. Faaliyetler X1, 4 yıllık münavebe: mısır+mısır+yulaf+çayır (= MMYÇ) faaliyeti X2, sığır besisi ve satış faaliyeti Brüt gelir (TL) - 700 1500 Kaynaklar ve transfer faaliyetleri (Ci) B X1 X2 Arazi (da) 100 İş gücü (saat) 6000 Mısır transferi (kg.) 0 Yulaf transferi (kg.) 0 Çayır transferi (da) 0 4 0 30 160-1500 400-250 200-1 3 Önemli noktalar (1) Arazi sırasında 4 katsayısı görülmektedir, çünkü münavebe faaliyetinin 4 dekar araziye talebi vardır. Münavebenin iş gücü ihtiyacı da 4 dekar için hesaplanmıştır. (2) Münavebenin değişken masrafları, münavebede yer alan faaliyetlerin değişken masraflarının toplamıdır. (3) Mısır transfer sırasındaki verim, 2 dekar arazinin mısır verimidir. (4) Yulaf transfer sırasındaki verim, 1 dekar arazinin yulaf verimidir. (5) Bu şekli ile program noksandır. Programın bütünlüğünü sağlamak için mısır ve yulaf için satış faaliyetlerinin açılması ile birlikte arazi ve iş gücü kiralama faaliyetlerinin ilavesi gerekir.
Doğrusal Programlama 58 Model 4.6 Münavebe ve satış faaliyetlerinin birleştirilmesi Silaj mısırın hayvancılık faaliyetinde (X2) değerlendirildiği, elde edilen soyanın ise satışının yapıldığı üç yıllık mısır-mısır-soya münavebesini ele alalım. Mısırın yetiştirilip hasat edildiğine; münavebe planı içinde yer alan soyanın ise satışının yapılmakla birlikte bunun soya satış faaliyeti olarak planda gösterilmediğine dikkat ediniz. Program aşağıdadır: Brüt gelir ( TL) - 360 1500-2 250 Kaynaklar ve transfer faaliyetleri B X 1 X 2 X 3 X 4 Arazi (da) 100 İş gücü (saat) 6000 Mısır transferi (kg) 0 İş gücü kiralama (saat) 1000 3 1 25 160-1 - 1500 600 1 Faaliyetler X1, üç yıllık mısır+mısır+soya münavebesi, birimi 3 dekar X2, sığır besisi ve satışı, birimi baş X3, iş gücü kiralama (maksimum 1000 saat) X4, dışarıya arazi kiralama (250 TL/da) Önemli noktalar (1) Üretilen silaj mısır, transfer sırası aracılığı ile hayvancılık faaliyetine aktarılacak, soyanın ise satışı yapılacaktır. (2) Münavebenin maliyetini bulmak için, soyanın satışından elde edilecek gelirden münavebenin değişken masrafları çıkarılmalıdır. Soyanın verimi 350 kg., satış fiyatı 0.8 TL ise gayri safi üretim değeri 280 TL/da dır. Mısırın değişken masrafları 2 dekar için 440 lira, soyanın 200 TL ise münavebenin toplam masrafları 640 liradır. Bundan soyadan elde edilen gelir düşülürse, münavebenin masrafı 360 lira olarak bulunur. Aynı planın ikinci bir çözüm yolu daha vardır: münavebe masrafı 640 lira olarak alınıp, soya satış faaliyetinin açılması. Ancak bu yol uygulandığı takdirde, soya transfer sırasının açılması gerekir. Transfer sırası ile münavebe faaliyetinin kesiştiği hücreye
4.Simpleks Çözümlerin Programlanması 59 soyanın verimi (350 kg), soya satış faaliyetinin kesiştiği hücreye de 1 yazılmalıdır. Bu sayede münavebede yetiştirilen soyanın satışı sağlanmış olur. Model 4.7 Arazinin verim kabiliyetine göre sınıflandırılması İşletme arazisi verimi açısından farklı gruplara ayrılabilir. Arazi homojen bir yapı göstermiyorsa verimine göre sınıflandırılmalı ve her sınıf ayrı bir sınırlayıcı faktör gibi değerlendirilmelidir. Genellikle verim kabiliyeti farklı olan arazide yetiştirilen ürün çeşidi de farklıdır. Aşağıdaki örneği inceleyelim. Faaliyetler X 1, birinci sınıf arazide dane mısır yetiştirme ve hasat, birimi dekar X 2, birinci sınıf arazide mısır+mısır+soya münavebesi, birimi 3 dekar X 3, ikinci sınıf arazide mısır+mısır+yulaf+çayır münavebesi, birimi 4 dekar X 4, ikinci sınıf arazide mısır+mısır+yulaf+çayır+çayır münavebesi, birimi 5 dekar X 5, mısır satışı, birimi kg X 6, yulaf satışı, birimi kg X 7, soya satışı, birimi kg X 8, sığır besi ve satışı, birim baş X 9, iş gücü kiralama (maksimum 1000 saat) Brüt gelir (TL) - 220-640 -700-770 0.5 0.2 0.8 1500-2 Kaynaklar ve transfer X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 faaliyetleri (C i) B Birinci sınıf arazi (da) 30 1 3 İkinci sınıf arazi (da) 70 4 5 İş gücü (saat) 6000 10 25 30 32 160-1 Mısır transferi (kg.) 0-700 -1500-1100 -1100 1 300 Yulaf transferi (kg.) 0-250 -250 1 100 Soya transferi (kg.) 0-360 1 50 Çayır (da) 0-1 -2 1 İş gücü kiralama (saat) 1000 1 Önemli noktalar (1) Bir numaralı faaliyet (X 1 ), tek yıllık bir mısır üretim faaliyetidir, birinci sınıf arazide yapılmaktadır, verimi 700 kg/da dır. İkinci faaliyet (X 2 ), üç yıllık bir münavebedir (MMS), birinci sınıf arazide yapılmaktadır. Mısır verimi 2 dekar için 1500 kilodur. Üç
Doğrusal Programlama 60 ve 4 numaralı faaliyetler sırası ile 4 ve 5 dekarlık münavebeleri göstermektedir. Bütün ürün transferleri, kendilerine ait sıralarda gösterilmiştir. (2) Çayır transferi sırasının birimi dekardır. Her iki münavebede de çayır verimi aynı kabul edilmiştir. (Aksi takdirde ikinci bir çayır transfer sırası açılması gerekir.) Model 4.8 Farklı sınıflardaki arazide birden fazla reel faaliyet, transfer sırası ve hasat Model, verim kabiliyeti farklı olan arazide farklı amaçlarla hasat uygulanması ile ilgilidir. Faaliyetler X 1, birinci sınıf arazide mısır yetiştiriciliği faaliyetidir. Üretim birimi dekardır. X 2, mısır+mısır+soya münavebesidir. Birinci sınıf arazide yapılmaktadır, birimi 3 dekardır. X 3, ikinci sınıf arazide mısır+mısır+yulaf+çayır münavebesidir, birimi 4 dekardır. X 4, birinci sınıf arazide yetiştirilen mısırın dane olarak hasadıdır, birimi dekardır. X 5, ikinci sınıf arazide yetiştirilen mısırın dane olarak hasadıdır. Birimi dekardır. X 6, birinci sınıf arazide yetiştirilen mısırın silajlık olarak hasadıdır. Birimi dekardır. X 7, ikinci sınıf arazide yetiştirilen mısırın silaj olarak hasadıdır, birimi dekardır. X 8, sığır besi ve satışıdır, birimi baştır X 9, iş gücü kiralama (maksimum 1000 saat) faaliyetidir. X 10, mısır satış faaliyetidir. Brüt gelir (TL) -200-360 -650-20 -15-20 -15 1500-2 0.5 Kaynaklar ve transferler (C i) B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 Birinci sınıf arazi (da) 30 1 3 İkinci sınıf arazi (da) 70 4 İş gücü (saat) 6000 5 25 30 5 4 8 6 160-1 Birinci sınıf arazide hasat edilmemiş mısırın transferi (da) 0-1 -2 1 1 İkinci sınıf arazide hasat edilmemiş mısır transferi (da) 0-2 1 1 Dane mısır transferi (kg) 0-700 -500 400 1 Çayır transferi (da) 0-1 3 Mısır silajı transferi (ton) 0-4 - 3 5 İş gücü kiralama (saat) 1000 1
4.Simpleks Çözümlerin Programlanması 61 Önemli noktalar (1) Birinci sınıf arazide yetiştirilen mısırla, ikinci sınıf arazide yetiştirilen mısır transferlerinde birim dekar olarak seçilmiştir. Dane mısır transfer sırasındaki birim ise kg.dır. (2) Hasat edilmemiş mısırı, dane veya silajlık olarak transfer etmek için iki transfer faaliyetine ihtiyaç vardır. Bunun sebebi X 1 ve X 2 faaliyetlerinde verimlerin, X 3 faaliyetindeki verimden farklı olmasıdır; birinci sınıf arazide mısırın verimi 700 kg/da, ikinci sınıf arazide ise 500 kg/da dır. (3) Birinci sınıf arazideki mısırdan 4 ton silaj elde edilirken, ikinci sınıf arazideki mısırdan 3 ton silaj elde edilmektedir. (4) Sadece bir adet dane mısır transfer sırasına ihtiyaç olduğuna dikkat ediniz. Bunun manası, bir ve ikinci sınıf arazide yetiştirilen mısır verimlerinin aynı olmasıdır. Silaja ait sadece bir transfer sırasının olmasının sebebi de budur. (5) Mülk arazi yanında ortakçılıkla işletilen arazi de varsa aynı model kullanılabilir. Ortakçılık durumunda, mısır iki transfer sırasına bölünecek, bir tanesi ortakçılıkla işletilen arazi için kullanılacaktır. (6) Birinci sınıf arazide soya, ikinci sınıf arazide yulaf satışından elde edilen gelirler, amaç fonksiyonunda bu ürünlerin yer aldığı münavebe faaliyetlerinin masraflarından düşülmüştür.
Doğrusal Programlama 62 SORULAR Soru 1)Arazi varlığı 480 dekar, iş gücü varlığı 900 saat, üretime ayırdığı sermayesi 3750 lira ile sınırlı olan bir işletme aşağıda girdi-çıktı katsayıları ve brüt gelirleri verilen faaliyetleri üretim planına dahil etmeyi düşünmektedir. Çizim yöntemi ile: (1) girdi-çıktı katsayılarını 1 kg ürün için hesaplayarak; (2) girdi çıktı katsayılarını 1 dekar arazi cinsinden hesaplayarak optimum planın değişmediğini: B (a) Kriter eşitliğinden ( Z C m C b ); M B C m (b) optimal ürün bileşiminden ( ); M C b (c) eş-gelir doğrusunun eğiminden yararlanarak gösteriniz. (d) Optimum planın değişmesi için mısırın brüt gelirinin en çok ne olması gerekir? (e) İşletme araziyi kira ile tutmuş olsa değişen bunun dışında ne olur? (Üretim planı, üretim masrafları, kâr vb. ekonomik faktörleri dikkate alarak değerlendiriniz) Faaliyetler Arazi (da) Verim (kg/da) İş gücü (h/da) İşletme sermayesi (TL/da) Brüt gelir (TL/da) Buğday 1 202.5 1.5 7.125 32.4 Mısır 1 405 3 11.25 72.9 Soru 2) Bir haddehanede (çelik işletmesi) çelik kütükleri, çelik plakalar ve çubuklara dönüştüren merdane için haftalık iş planının yapılması isteniyor. Merdanenin plaka ve çubuk üretimi iş başarıları sırasıyla 200 ton/saat ve 140 ton/saattir. Çelik plakaların brüt getirisi 25 TL/ton, çubukların 30 TL/tondur. Alınan siparişlere göre haftalık üretim miktarının üst sınırları; çelik plakalar için 6000 ton, çelik çubuklar için 4000 tondur. Merdanenin haftalık iş kapasitesi 40 saattir. Brüt geliri en fazla yapan üretim bileşimini, grafik yöntemi kullanarak hesaplayınız. İşletmenin toplam brüt geliri ne kadardır? (9 Haziran 2004 Final) Soru 3) Bir işletmeci, yıllığını 5000 liraya kiraladığı 100 da arazide, aşağıda girdi-çıktı katsayıları, maliyetleri ve satış fiyatları gösterilen ürünleri yetiştirmeyi planlamaktadır. Faaliyetler Verim Satış fiyatı Değişken İş gücü (kg/da) (TL/kg) masraflar (TL/da) (EİB/da) Soya 100 1.0 40 5 Yem bitkisi 3000 0.05 60 10 İşlerin en fazla olduğu dönemde iş gücü 700 EİB saat (erkek iş gücü birimi) ile sınırlıdır. Üretim planında soyanın en fazla 80 dekar olması istenmektedir. Kiracının bilgisayarı yoktur ama doğrusal programlamayı grafik yöntemle çözecek bir yeğeni vardır! Yeğen bu işi biliyorsa;
4.Simpleks Çözümlerin Programlanması 63 a) Amaç fonksiyonunu nasıl yazmalıdır? b) Maksimum geliri sağlayan üretim bileşimi ne olmalıdır? c) Planın brüt ve net gelirleri nedir? d) Kiracı işten kaçmak istiyor ama birinci hedefi de maksimum kâr. Bu durumda iş gücü isteği daha az olan soyanın maksimum sınırda (80 da) plana gelmesi için fiyatının en az kaç lira olması gerekir? (14 Haziran 2005 Final) Soru 4) Aydın da zeytinliklerde yapılan budama verimi çok etkilemektedir. Zeytin ağaçları iki haftada bir budandığında üretim artmaktadır. Budanmamış ve kendi haline terk edilmiş bahçelere oranla budamanın yapıldığı bahçelerde iş gücü talebi artmakta ve elde edilen zeytinler daha büyük çaplı olmaktadır. Budama işleminin yapıldığı bahçelerde 1 fıçı zeytin elde etmek için 5 saat iş gücüne ve 1 dekar araziye ihtiyaç vardır. Budama işleminin yapılmadığı bahçelerde 1 fıçı zeytin elde etmek için gerekli iş gücü 2 saat, arazi ise 2 dekardır. İş gücü 250 saat, arazisi 150 dekar olan bir üretici talep şartlarından dolayı budanmış ağaçlardan elde ettiği 1 fıçı zeytini 20 liradan, budanmamış ağaçlardan elde ettiği 1 fıçı zeytini 30 liradan satmaktadır. Talepteki belirsizliklerden dolayı üretici en fazla 40 dekar arazide budama yapmayı tercih etmektedir. Doğrusal programlamanın grafik yöntemini kullanarak (a) maksimum geliri veren budanmış ve budanmamış zeytin miktarlarını; köşe çözümleri ve eş gelir doğrusunun eğiminden yararlanarak ayrı ayrı gösteriniz ve geliri hesaplayınız. (b) üreticinin her iki tip zeytin için ne kadar arazi ayırması gerekir? (c) bu sorunun çözümünde yaptığınız varsayımlardan sizce en zayıf olan ikisini açıklayınız (21 Haziran 2005 Final). Soru 5) Tarla arazisi 250 dekar olan bir tarım işletmesinin 40 dekar da fındık bahçesi vardır. İşletmenin üretim döneminde iş gücü kapasitesi 4000 saat, ahır yeri 100 m 2 ile sınırlıdır. İşletme silaj mısırı, buğdayın arkasından ikinci ürün olarak yetiştirmektedir. Süt sığırının geliri baş olarak hesaplanmıştır. Bir sığırın yıllık silaj mısır talebi 1500 kg, yem bitkisi talebi 500 kg, ahır talebi 10 m 2 dir. İşletme üretim döneminde saati 2 liradan 500 saat iş gücü kiralayabilmektedir. Planlama için gerekli diğer verilerle, girdiçıktı katsayıları aşağıda verilmiştir Faaliyetler Verim Satış fiyatı (TL/kg Masraflar İş gücü (saat/da (kg/da) ve TL/baş) (TL/da) ve saat/baş) Buğday 400 0.2 40 4.5 Silaj mısır 800 0.08 20 3.0 Dane mısır 600 0.25 80 7.0 Yem bitkisi 750 0.125 50 4.5 Fındık 100 5 300 1.5 Sığır 1650 400 350 a) Optimum işletme planı için başlangıç matrisini hazırlayınız. b) Problemi bilgisayarda çözümleyiniz. c) Yem bitkisi satışının optimum plan üzerindeki etkisini açıklayınız. d) Tarla arazisinin kiralanması düşünüldüğü takdirde, bu piyasa şartlarında teklif edilecek kira bedelinin üst limiti ne olmalıdır? e) Piyasada sığır fiyatlarının değişkenliği dikkati çekmektedir. Optimum plan, hangi sığır satış fiyatları arasında geçerlidir? (9 Haziran 2004 Final)
Doğrusal Programlama 64 Soru 6) Arazi varlığı 500 dekar, üretim döneminde toplam iş gücü 10 000 saat olan bir tarım işletmesi (buğday+mısır)+pamuk+çayır münavebesi ile sığır yetiştiriciliği yapmayı planlamaktadır. Münavebe planında mısır, buğdayın arkasından ikinci ürün olarak yetiştirilmektedir. Gerekli veriler aşağıdadır: Faaliyetler Verim (kg/da) Satış fiyatı (TL/kg ve TL/baş) Toprak hazırlığı, tohum, gübre ilaç, yem masrafları (TL/da) İş gücü (saat/da ve saat/baş) Buğday 270 0.08 9.4 4 Mısır 330 0.07 13.8 30 Pamuk 290 0.18 15.1 90 Çayır 0.0 1 Sığır 500 100 a 120 (a) İşletme dışından satın alınan kesif yem ve veteriner masraflarıdır. Bir sığırın ihtiyacı olan 500 kg mısır, 100 kg. yulaf kırması ve 4 da çayırın işletmeden karşılanması düşünülmektedir. İşletmenin ambarında 3 ton yulaf kırması vardır. İşletmeci dekarı 10 TL den arazi kiraya vermeye razıdır. Gereği halinde 8000 saati geçmemek şartı ile saati 1 TL den iş gücü kiralama imkânı da vardır. Simpleks başlangıç tablosunu, (a) münavebeyi üretim, hasat ve satış faaliyeti şeklinde düzenleyerek; (b) münavebeyi üretim ve hasat faaliyeti şeklinde düzenleyerek; (c) münavebede yer alan ürünleri ayrı, ayrı satış faaliyeti şeklinde düzenleyerek hazırlayınız (verimlerin değişmediğini, çayır meliorasyonunun sıfır olduğunu varsayınız). (d) Her üç alternatif planın bilgisayarda çözümlerini alınız ve sonuçları karşılaştırınız. İlk iki planda kârın aynı, üçüncü planda farklı olmasının sebebini açıklayınız. (e) Bilgisayar çıktısındaki verileri kullanarak optimum planda gölge fiyatlarını, kaynak ve fiyat sınırlılıklarını gösteriniz. (21 Haziran 2006 Final) Soru 7) Küçük bir süt sığırcılığı işletmesinin yöneticisi, kaynak kullanım etkinliğini artıracak optimum üretim planı arayışı içindedir. İşletmenin kısıtları aşağıda açıklanmıştır: Toplam tarım arazisi 27.3 hektar olup arazinin hububat tarımına elverişli kısmı 20 hektardır. Münavebe gereği olarak buğdaya ayrılacak arazi en fazla 3 hektardır. Sığırlara ayrılan ahır yeri 40 baş, koyunlara ayrılacak alan 200 ile sınırlıdır. Genç sığırlar (dana ve düveler) koyunlara ayrılan yerlerde kalacaklardır. Bir genç sığırın ahırda yer talebi, 3.2 koyun kadardır. Dana ve düvelerin toplamı, sığır sayısının yarısı kadardır. İş gücü kısıtı nisanda 450 saat, mayıs ve haziranda 600 saat, ağustos ayında 530 saat, eylülde 800 saat ve yılda 4200 saattir. Yönetici 60 lira karşılığında 1.9 hektar mera kiralama imkanına sahiptir Yürütülmesi planlanan faaliyetlerin arazi talepleri ve brüt gelirleri aşağıda verilmiştir:
4.Simpleks Çözümlerin Programlanması 65 Faaliyetler Arazi (ha) İş gücü talebi (saat) Brüt gelir Nisan May- Haz Ağustos Eylül Yıl (TL/birim) Arpa 1 12 20 8 55 187 Buğday 1 1 20 22 48 226 Süt sığırı I 0.606 6.8 15.7 7.7 14 90.4 235 Süt sığırı II 0.568 8 29.3 6.9 24.5 113.5 236 Süt sığırı III 0.610 6.6 20.2 8.2 16.3 93.8 240 Genç 0.025 1.4 2.2 1.3 3.3 19.3 16 hayvanlar Koyun 0 1.8 2.4 1.4 4.3 24.7 56 Mera kiralama Soru 8) Son 5 yıl içinde İbrahim beyin işletmesinde pamuk üretiminden elde ettiği toplam kâr, ortalama işletme kârının yüzde 85 i; tütünden elde ettiği toplam kâr, ortalama işletme kârının yüzde 50 si; domatesten elde ettiği toplam kâr, ortalama işletme kârının yüzde 65 i; karpuzdan elde ettiği toplam kâr, ortalama işletme kârının yüzde 130 u kadardır. Gelecek yıl için İbrahim beyin tasarladığı üretim planının temel kısıtları aşağıda verilmiştir: (a) işletme sermayesi 7000 TL yi aşmamalı, (b) işletme sermayesinin en az %10 u pamuğa ayrılmalı, (c) tütüne ayrılacak pay, diğer üretim dalları toplamına ayrılacak paydan fazla olmamalı, (d) işletme sermayesinin en az %30 u domates ve tütüne ayrılmalı, (e) tütün ve domatesin payı, en az pamuk ve karpuza ayrılacak payın 1.2 katı olmalıdır. Buna göre İbrahim beyin kârını en fazla yapacak üretim planını yapınız. Soru 9) Bir tavukçuluk işletmesi minimum masraflı bir yem bileşimi hazırlamak istiyor. Hazırlanacak günlük rasyonda her tavuk için en az 1.2 kg protein, en az 0.2 kg amino asit olması ve kalsiyum miktarının da 0.2 kg dan fazla olmaması gerekmektedir. Karışımda kullanılacak iki farklı yemin ihtiva ettiği madde miktarları aşağıdaki gibidir. Balık ununun fiyatı 0.9/kg, soya küspesinin fiyatı 0.65 TL/kg olduğuna göre minimum masraflı rasyonu sağlayacak doğrusal programlama amaç fonksiyonunu ve kısıtlayıcı faktör eşitliklerini yazınız (9 Haziran 2004 Final). Yem (kg) Kg protein/kg yem Kg kalsiyum/kg yem Kg amino asit/kg yem Balık unu 0.600 0.050 0.180 Soya küspesi 0.250 0.055 0.025 Soru 10) Bir gıda firması iki, farklı şehirde konserve fabrikası işletmektedir. A fabrikasının kapasitesi 460 ton/yıl, iş gücü masrafları 26 TL/ton; B fabrikasının kapasitesi 560 ton/yıl, iş gücü masrafları 21 TL/tondur. Firma imal edebildiği kadar konserveyi, tonu 50 liradan perakendecilere dağıtabileceğini tahmin etmektedir. Firma, konserve üretiminde ihtiyacı olan hammaddeyi 3 ayrı üreticiden temin etme alternatifine sahiptir. Her bir üreticiden sağlanabilecek maksimum hammadde miktarları ile üreticilerin satış fiyatları ve nakliye için firmanın yapacağı masraflar aşağıdaki gibidir:
Doğrusal Programlama 66 Üreticiler Miktar Çiftlik avlusu Nakliye maliyetleri (TL/ton) (ton/yıl) fiyatı (TL/ton) A fabrikasına B fabrikasına 1 200 11 3 3.5 2 310 10 2 2.5 3 420 9 6 4.0 Firmanın amacı, üreticilerden alınacak ve fabrikalara dağıtılacak hammadde miktarlarını, kârını en fazla yapacak şekilde belirlemektir. a) Firmanın planlama müdürü olarak problemi doğrusal programlama (DP) formunda yazınız. b) Böyle bir olayda, DP yöntemini kullanarak kâr hesaplanırken, üretim sürecinin bütün aşamalarında ne gibi varsayımlar yapılmış olabilir? c) Problemi bilgisayarda (BS) çözünüz. d) Bu şartlar altında fabrikaların üretim kapasitelerini artırım yatırımlarını destekler misiniz? e) BS çözümünüzde, C3 numaralı sınırlayıcının gölge fiyatını yorumlayınız. f) Fabrikalardan herhangi birinin, hammadde almadığı üretici var mıdır? Varsa, bu üretici ürününün fiyatını kaça düşürmelidir ki, kendisinden mal alınması, işletme kârını olumsuz etkilemesin? (14 Haziran 2005 Final) Soru 11) THY, cuma günleri Samsun dan havalanıp, Ankara ya inen ve oradan İstanbul a kalkan yeni bir uçak seferi başlatmak istiyor. Uçakta 3 farklı yolcu olabilir: Samsun dan Ankara ya gidenler Ankara dan İstanbul a gidenler Samsun dan direkt İstanbul a gidenler Uçak 165 kişiliktir ve iki sınıf koltuk vermektedir: A sınıfı B sınıfı Rekabet şartlarına bağlı olarak fiyatların aşağıdaki gibi duyurulması planlanmıştır: Samsun-Ankara Ankara-İstanbul Samsun-İstanbul A sınıfı 20 23 30 B sınıfı 10 13 20 Hava yolları pazarlama bürosu tahminlerine göre her iki sınıf bilet talebi üst sınırları aşağıdaki gibi olup ayrılacak sınıf kapasitelerinin bu sınırlardan fazla olmamasına dikkat edilecektir. Samsun-Ankara Ankara-İstanbul Samsun-İstanbul A sınıfı 10 30 20 B sınıfı 145 155 150 Her sınıfta ne kadar bilet satılmalıdır ki elde edilen gelir en fazla olsun? Başlangıç programını hazırlayınız. Her iki kalkışta da uçağın 165 kişilik kapasitesini ve sınıf talepleri üst sınırlarını aşmamaya dikkat ediniz (9 Haziran 2004 Final).