İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ EĞRİ EKSENLİ ÇUBUKLARIN TİTREŞİMLERİNİN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİYLE İNCELENMESİ VE DENEYSEL SONUÇLARLA KARŞILAŞTIRILMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ Müh. Tolga BOSTANCI Anabilim Dalı : MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ Programı : KONSTRÜKSİYON MAYIS 2002
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ EĞRİ EKSENLİ ÇUBUKLARIN TİTREŞİMLERİNİN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİYLE İNCELENMESİ VE DENEYSEL SONUÇLARLA KARŞILAŞTIRILMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ Müh. Tolga BOSTANCI Enstitü No : 503991061 Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 13 Mayıs 2002 Tezin Savunulduğu Tarih : 28 Mayıs 2002 Tez Danışmanı : Y. Doç. Dr. Ekrem TÜFEKÇİ Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Mustafa SAVCI ( İ.T.Ü.) Doç. Dr. Ata MUĞAN (İ.T.Ü.) MAYIS 2002
ÖNSÖZ Mühendislik problemleri çerçevesinde, çubuk teorisi ve eğri eksenli çubukların davranışları geniş bir yer tutar. Özellikle mukavemet, yapısal analiz gibi konuları içeren ders kitapları ve kaynaklarda, çubuk teorisi ile ilgili temel çalışmaları bulmak mümkündür. Eğri eksenli çubuk titreşimleri de araştırmacıların ilgisini her zaman çekmiştir. Değişik sınır şartlarında uygulanan dinamik yüklerin, çubuk davranışına olan etkileri incelenmiştir. Bu çalışmada da, farklı eksen ve kesitlere sahip çubukların öncelikle Sonlu Elemanlar Yöntemi ile modellenmesi ve teorik serbest titreşim frekanslarının elde edilmesi amaçlanmıştır. Elde edilen frekans değerleri ile çubukların davranış şekilleri; literatürdeki mevcut teorik değerler ve çalışmanın diğer aşaması olan deneysel uygulama sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Çalışmanın başlangıcından son aşamasına kadar, kıymetli fikirleri, tecrübesi ve konuya olan hakimiyeti ile bana yol gösteren; akademik çalışma prensiplerini öğreten ve lisans kariyerim dahil olmak üzere eğitimimin her noktasında yanımda olan saygıdeğer hocam Y. Doç. Dr. Ekrem TÜFEKÇİ ye teşekkürlerimi sunuyorum. Ayrıca, bir an olsun yardımlarını ve değerli bilgilerini esirgemeyen; kendileri ile birlikte çalışmaktan büyük mutluluk duyduğum Araş. Gör. Öznur ÖZDEMİRCİ ve Araş. Gör. Olcay OLDAÇ a da teşekkürü bir borç biliyorum. Bu akademik çalışmanın oluşması için, tüm imkanlarını seferber ederek destek olan; İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi Mukavemet Birimi nin çok kıymetli Öğretim Elemanları ve çalışanlarına şükranlarımı sunarken; mevcudiyeti ile daima gurur duyduğum ve güç aldığım aileme kucak dolusu sevgilerimi gönderiyorum. Mayıs, 2002 Tolga BOSTANCI ii
İÇİNDEKİLER TABLO LİSTESİ ŞEKİL LİSTESİ SEMBOL LİSTESİ ÖZET SUMMARY v vi xiv xv xvii 1. GİRİŞ 1 1.1. Çalışmanın Amacı 2 2. EĞRİ EKSENLİ ÇUBUKLARIN TİTREŞİMLERİNİN GENEL DENKLEMLERİ 4 2.1. Çubuk Statiğinin Genel Denklemleri 4 2.2. Çubuk Titreşimlerinin Genel Denklemleri 6 2.3. Eğri Eksenli Çubukların Serbest Titreşimleri 8 2.3.1. Sınır Şartları 9 3. SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE İLGİLİ GENEL BİLGİLER 11 3.1. Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM) 11 3.2. Sonlu Elemanlar Yönteminin Faydaları ve Sınırları 13 3.3. Sonlu Elemanlar Yönteminde Kullanılan Eleman Tipleri 15 3.4. Modellemedeki Varsayımlar ve Basitleştirmeler 18 3.5. Bir Sonlu Elemanlar Modelinin Hazırlanışında Dikkat Edilmesi Gereken Hususlar 21 4. ANSYS SONLU ELEMAN PAKET PROGRAMI 23 4.1. Modelleme ve Analiz Aşamaları 26 5. EĞRİ EKSENLİ ÇUBUKLARIN MODELLENMESİ 30 5.1. Modelleme Çalışmaları 31 5.1.1. Üç Boyutlu Elastik Kiriş Eleman (BEAM4) 32 5.1.2. Üç Boyutlu Yapısal Katı Eleman (SOLID73) 34 5.1.3. Kütle Eleman (MASS21) 34 5.1.4. Rijit Bölge Tanımlaması 35 5.2. Eğri Eksenli Çubuk Titreşimlerinin Frekanslarının ve Mod Şekillerinin Elde Edilmesi 36 iii
6. İVME ÖLÇER ve TİTREŞİM ANALİZÖRÜ 45 6.1. İvme Ölçer 45 6.2. Titreşim Analizörü 45 6.3. Titreşim Analizörünün Kontrol Düğmeleri 46 6.3.1. Enerji, Sıfırlama ve CRT Kontrolleri 46 6.3.2. Titreşim Giriş Modülleri 47 6.3.3. Kurulum ve Yükleme Kontrolleri 48 6.3.4. Ölçme Kontrolleri 51 6.3.5. İmleç Kontrolleri 51 6.3.6. Analiz Kontrolleri 53 7. DENEYSEL ÇALIŞMALAR 57 7.1. Deney Düzeneği 58 7.2. Deneylerin Yapılması ve Sonuçların Karşılaştırılması 61 7.2.1. Ankastre Serbest Mesnetli Çubuklar ile Yapılan Deneyler 62 7.2.2. Ankastre Ankastre Mesnetli Çubuklar ile Yapılan Deneyler 69 7.2.3. Serbest Serbest Mesnetli Çubuklar ile Yapılan Deneyler 75 7.2.4. Ankastre Sabit Mesnetli Çubuklar ile Yapılan Deneyler 81 7.2.5. Sabit Sabit Mesnetli Çubuklar ile Yapılan Deneyler 87 8. SONUÇLAR ve TARTIŞMA 92 KAYNAKLAR 96 EKLER 97 ÖZGEÇMİŞ 143 iv
TABLO LİSTESİ Tablo 7.1. Tablo 7.2. Tablo 7.3. Tablo 7.4. Tablo 7.5. Tablo 7.6. Tablo 7.7. Tablo 7.8. Tablo 7.9. Tablo 7.10. Tablo 7.11. Tablo 7.12. Tablo 7.13. Tablo 7.14. Tablo 7.15. Sayfa No Ankastre Serbest Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 63 Ankastre Serbest Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 65 Ankastre Serbest Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 67 Ankastre Ankastre Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 69 Ankastre Ankastre Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 71 Ankastre Ankastre Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 73 Serbest Serbest Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 76 Serbest Serbest Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 76 Serbest Serbest Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 79 Ankastre Sabit Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 82 Ankastre Sabit Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 82 Ankastre Sabit Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 85 Sabit Sabit Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 87 Sabit Sabit Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 89 Sabit Sabit Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait sonuçların karşılaştırılması... 89 v
ŞEKİL LİSTESİ vi Sayfa No Şekil 2.1. Çember Eksenli Çubuk... 9 Şekil 2.2. Parabol Eksenli Çubuk... 10 Şekil 3.1. Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM) ile Modelleme Örnekleri... 12 Şekil 3.2. Üç Boyutlu (3D) Elastik Çubuk Eleman... 15 Şekil 3.3. Sabit Gerilmeli Üçgen Eleman... 16 Şekil 3.4. Çifte Lineer Dörtgen Eleman... 17 Şekil 3.5.a. Üç Düğüm Noktalı Lineer Üçgen Eleman... 17 Şekil 3.5.b. Dört Düğüm Noktalı Lineer Kuadratik Eleman... 17 Şekil 3.5.c. Altı Düğüm Noktalı Eğrisel Üçgen Eleman... 17 Şekil 3.5.d. Sekiz Düğüm Noktalı Eğrisel Kuadratik Eleman... 17 Şekil 3.6. Hacim Elemanlar... 18 Şekil 4.1. ANSYS Ana Menü Pencerersi... 24 Şekil 4.2. Seçenekler Penceresi... 24 Şekil 4.3. Ön İşlemci, Çözümleme ve Son İşlemci Pencereleri... 25 Şekil 4.4. Eleman Tipi Penceresi... 26 Şekil 4.5. Gerçek Sabitler Penceresi... 26 Şekil 4.6. Malzeme Özellikleri Penceresi... 27 Şekil 4.7. Modelleme İşlem Penceresi... 27 Şekil 4.8. Ağ Yapısı İşlemcisi (Meshtool) Penceresi... 28 Şekil 4.9. Çözümleme İşlem Pencereleri... 29 Şekil 4.10. Mesnet Uygulama Penceresi... 29 Şekil 4.11. Mevcut Model için Çözümleme Başlatma Penceresi... 29 Şekil 5.1. BEAM4 3-boyutlu Elastik Çubuk Eleman... 32 Şekil 5.2. SOLID73 3-boyutlu Yapısal Katı Eleman... 34 Şekil 5.3. MASS21 Kütle Eleman... 35 Şekil 5.4. Rijit Bölge (Rigid Region) Uygulaması... 35 Şekil 5.5. Sonlu Sayıda Elemana Bölünmüş Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk... 36 Şekil 5.6. Deney düzeneğinde, Ankastre-Ankastre Mesnet pozisyonunda bulunan Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğun Görüntüsü... 37 Şekil 5.7. Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğun Görüntüsü... 37 Şekil 5.8. Sonlu Sayıda Elemana Bölünmüş Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk... 38 Şekil 5.9. SOLID73 Eleman Tipi ile Modellenmiş Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Ağ Yapısı... 39 Şekil 5.10. SOLID73 Eleman Tipi ile Modellenmiş Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk (Sabit-Sabit Mesnet)... 39 Şekil 5.11. SOLID73 Eleman Tipi ile Modellenmiş Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk (Ankastre-Sabit Mesnet)... 40
Şekil 5.12. SOLID73 Eleman Tipi ile Modellenmiş Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk (Sabit-Sabit Mesnet)... 40 Şekil 5.13. Sabit Mesnet Hareketinin Görüntüsü... 41 Şekil 5.14. Deney düzeneğinde Ankastre-Serbest Mesnet pozisyonunda bulunan Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğun Görüntüsü 41 Şekil 5.15. Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğun Görüntüsü... 42 Şekil 5.16. Sonlu Sayıda Elemana Bölünmüş Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk (Ankastre-Serbest, Ankastre-Ankastre, Serbest -Serbest Mesnetleme için)... 43 Şekil 5.17. Sonlu Sayıda Elemana Bölünmüş Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk (Ankastre-Sabit Mesnetleme için)... 43 Şekil 5.18. Sonlu Sayıda Elemana Bölünmüş Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk (Sabit-Sabit Mesnetleme için)... 44 Şekil 6.1. B&K Marka 2515 tipindeki Titreşim Analizörü... 47 Şekil 6.2. Titreşim Analizörü üzerindeki Kurulum ve Yükleme Kontrol Düğmeleri... 49 Şekil 6.3. Titreşim Analizörü üzerindeki Ölçme Kontrol Düğmeleri... 51 Şekil 6.4. Titreşim Analizörü üzerindeki İmleç Kontrol Düğmeleri... 52 Şekil 6.5. Titreşim Analizörü üzerindeki Analiz Kontrol Düğmeleri... 55 Şekil 7.1. Deney Düzeneğinin Görüntüsü... 58 Şekil 7.2. Sabit mesnetleme ile ilgili görüntü... 59 Şekil 7.3. Deneylerde kullanılan ölçme ve değerlendirme aletleri... 60 Şekil 7.4. Ankastre-Serbest Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk görüntüsü... 62 Şekil 7.5. Serbest uçta düzlem içi yerleştirilmiş transdüserin görüntüsü... 62 Şekil 7.6. Ankastre-Serbest Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem dışı transdüser, düzlem dışı darbe)... 64 Şekil 7.7. Ankastre-Serbest Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem içi darbe)... 64 Şekil 7.8. Ankastre mesnetlenmiş bir ucun görüntüsü... 65 Şekil 7.9. Şekil 7.10. Şekil 7.11. Şekil 7.12. Şekil 7.13. Şekil 7.14. Ankastre-Serbest Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem içi darbe)... 66 Ankastre-Serbest Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem dışı transdüser, düzlem dışı darbe)... 66 Ankastre-Serbest Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem içi darbe)... 68 Ankastre-Serbest Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem dışı transdüser, düzlem dışı darbe)... 68 Ankastre-Ankastre Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğun deney düzeneğindeki görüntüsü... 69 Ankastre-Ankastre Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem içi darbe)... 70 vii
Şekil 7.15. Ankastre-Ankastre Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem dışı transdüser, düzlem dışı darbe)... 70 Şekil 7.16. Ankastre-Ankastre Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğun deney düzeneğindeki görüntüsü... 71 Şekil 7.17. Ankastre-Ankastre Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem dışı transdüser, düzlem dışı darbe)... 72 Şekil 7.18. Ankastre-Ankastre Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem içi darbe)... 72 Şekil 7.19. Ankastre-Ankastre Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğun deney düzeneğindeki görüntüsü... 73 Şekil 7.20. Ankastre-Ankastre Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem dışı transdüser, düzlem dışı darbe)... 74 Şekil 7.21. Ankastre-Ankastre Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem dışı darbe)... 74 Şekil 7.22. Serbest-Serbest Mesnet Uygulaması ile ilgili görüntü... 75 Şekil 7.23. Serbest-Serbest Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem içi darbe) 77 Şekil 7.24. Serbest-Serbest Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem dışı transdüser, düzlem içi darbe)... 77 Şekil 7.25. Serbest-Serbest Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem dışı darbe)... 78 Şekil 7.26. Serbest-Serbest Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem içi darbe) 78 Şekil 7.27. Serbest-Serbest Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğun deney düzeneğindeki görüntüsü... 79 Şekil 7.28. Serbest-Serbest Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem dışı darbe)... 80 Şekil 7.29. Serbest-Serbest Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem dışı transdüser, düzlem içi darbe)... 80 Şekil 7.30. Sabit mesnetin deney düzeneği üzerindeki görüntüsü... 81 Şekil 7.31. Ankastre-Sabit Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem dışı darbe)... 83 Şekil 7.32. Ankastre-Sabit Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem dışı transdüser, düzlem içi darbe)... 83 Şekil 7.33. Ankastre-Sabit Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem içi darbe) 84 viii
Şekil 7.34. Şekil 7.35. Şekil 7.36. Şekil 7.37. Şekil 7.38. Şekil 7.39. Şekil 7.40. Şekil 7.41. Şekil 7.42. Şekil 7.43. Şekil A.1. Şekil A.2. Şekil A.3. Şekil A.4. Şekil A.5. Şekil A.6. Şekil A.7. Şekil A.8. Şekil A.9. Şekil A.10. Şekil B.1. Şekil B.2. Ankastre-Sabit Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem dışı transdüser, düzlem dışı darbe)... 84 Ankastre-Sabit Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğun deney düzeneğindeki görüntüsü... 85 Ankastre-Sabit Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem içi darbe)... 86 Ankastre-Sabit Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem dışı transdüser, düzlem dışı darbe)... 86 Sabit-Sabit Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem içi darbe)... 88 Sabit-Sabit Mesnetli Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem dışı transdüser, düzlem dışı darbe). 88 Sabit-Sabit Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem dışı darbe)... 90 Sabit-Sabit Mesnetli Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem dışı transdüser, düzlem dışı darbe). 90 Sabit-Sabit Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem dışı transdüser, düzlem dışı darbe)... 91 Sabit-Sabit Mesnetli Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuğa ait frekans spektrumu (düzlem içi transdüser, düzlem içi darbe) 91 Ankastre-Serbest Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod1... 98 Ankastre-Serbest Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod2... 98 Ankastre-Serbest Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod3... 99 Ankastre-Serbest Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod4... 99 Ankastre-Serbest Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod5... 100 Ankastre-Serbest Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod6... 100 Ankastre-Serbest Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod7... 101 Ankastre-Serbest Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod8... 101 Ankastre-Serbest Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod9... 102 Ankastre-Serbest Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod10... 102 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod1... 103 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod2... 103 ix
Şekil B.3. Şekil B.4. Şekil B.5. Şekil B.6. Şekil B.7. Şekil B.8. Şekil B.9. Şekil B.10. Şekil C.1. Şekil C.2. Şekil C.3. Şekil C.4. Şekil C.5. Şekil C.6. Şekil C.7. Şekil C.8. Şekil C.9. Şekil C.10. Şekil D.1. Şekil D.2. Şekil D.3. Şekil D.4. Şekil D.5. Şekil D.6. Şekil D.7. Ankastre-Ankastre Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod3... 104 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod4... 104 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod5... 105 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod6... 105 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod7... 106 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod8... 106 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod9... 107 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod10... 107 Ankastre-Sabit Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod1... 108 Ankastre-Sabit Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod2... 108 Ankastre-Sabit Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod3... 109 Ankastre-Sabit Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod4... 109 Ankastre-Sabit Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod5... 110 Ankastre-Sabit Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod6... 110 Ankastre-Sabit Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod7... 111 Ankastre-Sabit Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod8... 111 Ankastre-Sabit Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod9... 112 Ankastre-Sabit Mesnetli, Çember Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod10... 112 Serbest-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod1... 113 Serbest-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod2... 113 Serbest-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod3... 114 Serbest-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod4... 114 Serbest-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod5... 115 Serbest-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod6... 115 Serbest-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod7... 116 x
Şekil D.8. Şekil D.9. Şekil D.10. Şekil E.1. Şekil E.2. Şekil E.3. Şekil E.4. Şekil E.5. Şekil E.6. Şekil E.7. Şekil E.8. Şekil E.9. Şekil E.10. Şekil F.1. Şekil F.2. Şekil F.3. Şekil F.4. Şekil F.5. Şekil F.6. Şekil F.7. Şekil F.8. Şekil F.9. Şekil F.10. Şekil G.1. Şekil G.2. Serbest-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod8... 116 Serbest-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod9... 117 Serbest-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod10... 117 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod1... 118 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod2... 118 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod3... 119 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod4... 119 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod5... 120 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod6... 120 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod7... 121 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod8... 121 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod9... 122 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Sabit Kesitli Çubuk Mod10... 122 Ankastre-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod1... 123 Ankastre-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod2... 123 Ankastre-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod3... 124 Ankastre-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod4... 124 Ankastre-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod5... 125 Ankastre-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod6... 125 Ankastre-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod7... 126 Ankastre-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod8... 126 Ankastre-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod9... 127 Ankastre-Serbest Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod10... 127 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod1... 128 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod2... 128 xi
Şekil G.3. Şekil G.4. Şekil G.5. Şekil G.6. Şekil G.7. Şekil G.8. Şekil G.9. Şekil G.10. Şekil H.1. Şekil H.2. Şekil H.3. Şekil H.4. Şekil H.5. Şekil H.6. Şekil H.7. Şekil H.8. Şekil H.9. Şekil H.10. Şekil I.1. Şekil I.2. Şekil I.3. Şekil I.4. Şekil I.5. Şekil I.6. Şekil I.7. Ankastre-Ankastre Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod3... 129 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod4... 129 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod5... 130 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod6... 130 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod7... 131 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod8... 131 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod9... 132 Ankastre-Ankastre Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod10... 132 Ankastre-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod1... 133 Ankastre-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod2... 133 Ankastre-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod3... 134 Ankastre-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod4... 134 Ankastre-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod5... 135 Ankastre-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod6... 135 Ankastre-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod7... 136 Ankastre-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod8... 136 Ankastre-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod9... 137 Ankastre-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod10... 137 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod1... 138 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod2... 138 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod3... 139 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod4... 139 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod5... 140 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod6... 140 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod7... 141 xii
Şekil I.8. Şekil I.9. Şekil I.10. Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod8... 141 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod9... 142 Sabit-Sabit Mesnetli, Parabol Eksenli Değişken Kesitli Çubuk Mod10... 142 xiii
SEMBOL LİSTESİ A, A(x) : Diferansiyel denklem takımının katsayılar matrisi A : Çubuğun dik kesit alanı [m 2 ] b : Çubuk kesitinin derinliği [m] E : Elastiklik modülü [N/m 2 ] F : Tekil kuvvet [N] G : Kayma modülü [N/m 2 ] h : Çubuk kesitinin genişliği [m] IB : Burulma eylemsizlik momenti [m 4 ] In, Ib : Çubuk eğrisinin normal ve binormal eksenlerine göre kesitin eylemsizlik momentleri [m 4 ] Inb : Çubuk eğrisinin normal ve binormal eksenlerine göre kesiti çarpım eylemsizlik momenti [m 4 ] Ip : Kutupsal eylemsizlik momenti [m 4 ] kn, kb : Kayma gerilmesinin kesite üniform yayılmadığını gösteren sabitler M : Kesite etkiyen moment bileşeni [Nm] m : Çubuğa etkiyen dış yayılı moment bileşeni [N] p : Çubuğa etkiyen dış yayılı kuvvet bileşeni [N/m] R : Eğrilik yarıçapı [m] R0 : Referans noktasındaki eğrilik yarıçapı [m] s : Yay uzunluğu [m] : Yer değiştirme bileşenleri [m] y : Diferansiyel denklem takımının değişkenler vektörü u, v, w y 0 : Başlangıç değerleri vektörü : Yay açıklığı, yay ölçüsü [rad.] μ : Çubuğun birim boyunun kütlesi [kg] : Poisson oranı ρ : Özgül kütle [kg/m 3 ] Ω : Kesitin dönme bileşenleri [rad.] ω : Açısal frekans [rad/s] xiv
ÖZET Eğri Eksenli Çubukların Titreşimlerinin Sonlu Elemanlar Yöntemiyle İncelenmesi ve Deneysel Sonuçlarla Karşılaştırılması adını taşıyan bu çalışmada, çubuk teorisi ile ilgili mevcut bilgilere, sonlu elemanlar yöntemi ile desteklenmiş deneysel verilerin katkıda bulunması amaçlanmıştır. Birinci bölümde, çubuk teorisi hakkında kısaca bilgi verilmiş ve bu çalışma kapsamındaki aşamalar sırasıyla özetlenmiştir. İkinci bölümde, eğri eksenli çubukların titreşimlerinin genel denklemlerinden bahsedilmiştir. Çubuk statiğinin genel denklemlerine bağlı olarak, çubuk titreşimlerinin genel denklemleri ve çözümlerine değinilmiştir. Ayrıca, eğri eksenli çubukların serbest titreşimleri hakkında kısaca bilgi verilmiştir. Üçüncü bölüm, sonlu elemanlar yöntemi ile ilgili genel bilgileri içermektedir. Bu bilgiler kapsamında, sonlu elemanlar yönteminin tanımı ve tarihçesi, bu yöntemin faydaları ve sınırları, modellemedeki varsayımlar ve basitleştirmeler, sonlu elemanlar yöntemi içerisinde modelleme işlemi için kullanılan değişik eleman tipleri anlatılmaktadır. Tüm bunlara ilave olarak, sonlu elemanlar yöntemi ile yapılan modellemede dikkat edilecek hususlar da verilmektedir. Dördüncü bölüm kapsamında, çalışmada kullanılan Sonlu Elemanlar Paket Programı (ANSYS) ile ilgili detaylı açıklamalar bulunmaktadır. Bu açıklamalar, ANSYS Paket Programı nın işletimi ve kullanım özellikleri ile ilgili faydalı bilgiler içermekte olup, modelleme işlemindeki adımlar da belirtilmektedir. Beşinci bölüm dahilinde, bu çalışmada incelenen eğri eksenli çubukların modellenmesi anlatılmaktadır. Çubukların malzeme özellikleri yanında, modelleme işlemi için kullanılan eleman tipleri hakkında açıklamalar yapılmaktadır. Analiz işlemi yardımı ile titreşim frekanslarının elde edilmesindeki adımlar belirtilmektedir. xv
Altıncı bölümde, mevcut eğri eksenli çubukların değişik sınır şartlarındaki serbest titreşimlerinin analiz edilmesi için kullanılan ivme ölçer ve titreşim analizörü ile ilgili kullanım bilgileri bulunmaktadır. Bu düzenek yardımı ile elde edilen verilerin, sonlu elemanlar yöntemi analiz sonuçları ile karşılaştırılması sağlanmaktadır. Yedinci bölüm, çalışma kapsamında yapılan deneyleri ihtiva etmekte ve deneysel titreşim frekansları ile teorik olarak hesaplanan titreşim frekanslarının karşılaştırmasını içermektedir. Bu deneysel çalışmalar ve karşılaştırmalar, çeşitli şekiller ve tablolar ile desteklenmektedir. Sekizinci ve son bölümde ise, önceki bölümlerin, çalışmanın amacına uygunluğu tartışılmakta ve bununla birlikte deneylerin katkıları değerlendirilmektedir. Elde edilen deneysel ve teorik verilerin karşılaştırılması sonucunda, kullanılan sonlu elemanlar yönteminin, eğri eksenli çubuk titreşimlerinin incelenmesine yönelik uygunluğu üzerinde durulmaktadır. xvi
FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FREE VIBRATIONS OF CURVED BEAMS AND COMPARISON WITH EXPERIMENTAL RESULTS SUMMARY The purpose of this study is to be able to assist the existing studies on the beam theory by using empirical data supported by finite element method. In the first chapter, a brief explanation about the beam theory and also general information about the chapters placed in this study are given respectively. In the second chapter, the general equations of vibrations of curved beams are granted. Besides the general equations of static behavior of a beam, the general equations of vibrations of a beam are given meanwhile. The third chapter includes the general information on finite element method. The explanation and the history of finite element method, different types of elements used for modeling and assumptions in the modeling, the advantages and disadvantages of the analysis type are mentioned respectively. Furthermore, the particular points in modeling with finite elements method are also given separately. The fourth chapter especially includes detailed information about ANSYS which is used in this study. This information has some worthwhile data regarding to the process and usage of ANSYS. On the other hand, the general modeling steps are also given in this chapter. The modeling steps of existing curved beams, which are analyzed in this study, are expressed in the fifth chapter. The material properties are given. Moreover, the element types used in modeling of the curved beams are explained respectively. The vibration frequencies obtained by modal analysis in ANSYS is stated step by step. xvii
Within the sixth chapter, the operating instructions of the transducer and B&K accelerometer used for obtaining the spectrum of free vibration of the curved beams under different boundary conditions are given. These devices let the researcher make a comparison between the experimental results and the theoretical data taken by modal analysis with finite element method. The experimental studies and the comparison tables are all placed in the seventh chapter. This chapter is also supported by various photos and graphics in order to show the realization of the test setup. The comparison tables mention theoretical and experimental free vibration frequencies and percentage errors. The last chapter has a general evaluation about this study. The view of the experimental studies is discussed besides the honesty of whole study. According to the comparison between theoretical and experimental results, the ability of processed finite element method would be discussed for the analysis of free vibrations of curved beams in future applications. xviii
1. GİRİŞ Titreşim problemleri, mühendislik çalışmalarının geniş bir bölümünü oluşturmaktadır. Günümüzde, makina, inşaat ve yapı sektörü, otomotiv gibi öncü endüstri kollarında, pek çok mühendis titreşim problemleri üzerine çalışmakta ve çözüme giden en doğru yöntemi aramaktadır. Bahsedilen endüstri kollarındaki tasarım ve imalat aşamalarında yapısal elemanlar her zaman ön planda olmaktadır. İşte bu yapısal elemanlardan en çok kullanılanı da çubuklardır. Günümüze kadar pek çok bilim adamı ve mühendis, çubuklar ve çubuk teorisi üzerinde çalışmışlardır. Elastik çubukların hesabında, elastisite teorisinin kullanılması gerekmektedir. Ancak, elastisite teorisi ile ortaya çıkan problemler karmaşık bir durum içermektedir. Bu nedenle, yapılan araştırmalara bağlı olarak oluşturulan elastik çubuk teorisiyle ilgili eserlerde, problemi basitleştirmek için çubuk ekseni ve kesitle ilgili bazı özel varsayımlar ve kabuller yapılmaktadır. Böylelikle, özel haller için problem çözümü ortaya çıkmaktadır. Bu varsayımlar ve kabuller, bazen çubuk kesiti bazen de çubuk ekseni ile ilgili olup sadece bu durumlara uygulanabilecek denklem ve çözümler vermektedir. Basitleştirmeler, yalnız çubuk geometrisi hususunda olmamaktadır. Çubuğa etki eden dış kuvvetlerle ve mesnetleme şekilleriyle ilgili çeşitli varsayımlar da yapılmaktadır. Ayrıca, çubuk teorisinin verdiği genel denklemlerin bir çoğunda yaklaşık yöntemlerle çözüme gidilmektedir. Eğri eksenli çubuk titreşimlerini inceleyen çalışmalarda da, bu tür basitleştirmeleri görmek mümkündür. Bu çalışmalar, çubuk ekseni ve kesitle ilgili çeşitli varsayımlar yaparak, sadece bu durumları ele almaktadır. Çubuğa etki eden kuvvet ve kuvvet çiftleri için de basitleştirici kabuller yapılmaktadır. Bunun yanısıra, çubuk teorisinin verdiği genel denklemlerin bir çoğunda yaklaşık yöntemler kullanılarak çözüme gidilmiştir. Sayısal yöntemler ve bilgisayar teknolojinin gelişmesine paralel olarak da, yaklaşık sayısal çözümlere verilen önem giderek artmaktadır. Özellikle, sonlu elemanlar yöntemi ile yapılan çözümler, bu 1
çalışmalara ışık tutmakta ve farklı bakış açıları sağlamaktadır. Son yıllarda, mühendislik çalışmalarının büyük bir bölümünde, her geçen gün hızla geliştirilen ve sonlu elemanlar yöntemi içeren paket programlar kullanılmaktadır. Bu paket programlar, yapılan araştırmalara ve mühendislik hizmetlerine yardımcı olmaktadır. 1.1. Çalışmanın Amacı Günümüze kadar olan mevcut çalışmalara bakıldığında, genel olarak önceden bahsedilen basitleştirici varsayımlar yapılmış ve yaklaşık çözümler ortaya çıkarılmıştır. Bu çalışmalar temel alınıp, hızla gelişen analiz yöntemleri kullanılarak yeni çözümler ortaya çıkarmak kaçınılmazdır. Ayrıca, bu analiz yöntemleri ile yapılan teorik hesaplamalardan elde edilen verilerin, gerçek durum ile kıyaslanabilmesi için, deneysel verilerle de desteklenmesi gerçeği ortadadır. Bu sebeple, eğri eksenli çubukların titreşim problemlerinin ele alındığı çalışmada, öncelikle eğri eksenli çubukların titreşimlerinin genel denklemleri üzerinde durulmuştur. Ardından sonlu elemanlar yöntemi ile ilgili araştırma yapılmıştır. Kullanılacak paket program hakkında detaylı bilgiler edinilmiş ve uygulama için hazır hale gelinmiştir. Çember eksenli ve parabol eksenli çubukların, değişik kesitlere sahip olması durumunda, sonlu elemanlar yöntemi ile modellenmesi söz konusudur. Bu sebeple, ANSYS Sonlu Elemanlar Paket Programı yardımıyla, mevcut çubuklar, uygun eleman tipleri ile modellenmiş ve çözümleme için en uygun ağ yapısı oluşturulmuştur. Ardından, çubukların titreşim frekanslarının teorik olarak hesaplanabilmesi için yapısal analiz yöntemi kullanılmış ve gerekli veriler elde edilmiştir. Tüm bu çalışmalara bağlı olarak, elde edilen teorik verilerin gerçek durum ile karşılaştırılması amacıyla deneysel çalışmalar yapılmıştır. Deney düzeneği üzerinde yapılan bu çalışmalarda, değişik sınır şartları için mevcut çubukların serbest titreşimleri ölçülmüştür. Bu sınır şartları ankastre-serbest, ankastre-ankastre, serbestserbest, ankastre-sabit ve sabit-sabit olarak belirlenmiştir. Bu sınır şartları, çember eksenli sabit kesitli, parabol eksenli sabit kesitli ve parabol eksenli değişken kesitli çubuklara sırası ile uygulanmıştır. 2
Deneylerin yapıldığı düzenek, çubuklara farklı sınır şartlarının uygulanabilmesi için özel olarak dizayn edilmiştir. Sağlam bir zemin üzerine de montajı yapılmıştır. Özellikle, ankastre ve sabit mesnetleme yapılabilmesi için, çubuk kesitlerine uygun boyutlarda bağlama aparatları imal edilmiştir. Bu bağlama aparatları, deneylerin sırasına ve kullanılan çubuk tiplerine göre şekillendirilmiştir. Bu uygulamalar sırasında kullanılan, ivme ölçer ve titreşim analizörü vasıtası ile elde edilen frekans spektrumları, sonlu elemanlar yöntemi ile elde edilen yapısal analiz sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Bu karşılaştırmalarda, özellikle çember eksenli sabit kesitli çubuk için daha önce yapılmış çalışmalar da dikkate alınmıştır. Bu çalışmalardaki, bir başka sonlu elemanlar yöntemi ile elde edilmiş teorik verilere karşılaştırma tablolarında yer verilmiştir. Hazırlanan karşılaştırma tabloları, her çubuk ve sınır şartı için ayrı ayrı belirlenmiştir. Deneysel sonuçlarla, teorik sonuçlar arasındaki hata oranları tek tek dikkate alınarak yorumlanmıştır. Literatürdeki mevcut çalışmalar içerisinde, deneysel yoğunluğa ve karşılaştırmalı veri yorumlama özelliğine sahip bu çalışmanın daha da geliştirilmesi mümkündür. Eğri eksenli çubuklar üzerine, gelecekte yapılacak çalışmalar için bir kaynak olabilir. Buradaki çalışma şartlarına ilave olarak, narinlik oranı, derinlik/açıklık oranı ve açıklık gibi faktörlerin etkileri de gelecekteki araştırmalarda incelenebilir. 3
2. EĞRİ EKSENLİ ÇUBUKLARIN TİTREŞİMLERİNİN GENEL DENKLEMLERİ 2.1. Çubuk Statiğinin Genel Denklemleri Çubuk eksen eğrisi, üzerindeki herhangi bir noktaya bağlı, birbirine dik ve kesiti belirleyen iki birim vektörle, bir parametreli yönlendirilmiş ortam olarak ele alınmaktadır. Bu iki vektöre dik olan birim vektör, başlangıçta eğrinin teğeti ile çakışmaktadır. Şekil değiştirmeden sonraki kesit vektörleri, yine birim vektörler olup birbirlerine diktirler. Ancak, başlangıçtaki teğet birim vektörü, kesit içindeki vektörlere dik kalmasına rağmen, artık ne şekil değiştirmiş eksen eğrisine teğet ne de birim vektör olma şartı vardır. Böylece, çubuk dik kesitinin rijit olması varsayımı yapılmaktadır. Yani, dik kesit ötelenir ve döner; ancak, herhangi bir deformasyona uğramaz. Dik kesit şekil değişiminden sonra çubuk eksenine dik kalmayacaktır. Bu, kayma deformasyonu etkisiyle ortaya çıkan haldir. Düzlemsel çubuklar için, çubuk teorisinin genel denklemlerinde düzlem içi ve düzlem dışı bileşenler aynı denklemlerde bulunmazlar. Bu durumda düzlemsel eğri çubuğun kendi düzlemindeki eğilmelerini ifade eden denklemler; dw R( ) u d EA( ) F t du R( ) w Fn R( ) d GA( ) / k n b d d b R( ) M EI ( ) b b 4
5 b n b m R F R d dm ) ( ) ( t n t p R F d df () n t n p R F d df () (2.1) ve aynı şekilde, çubuğun kendi düzlemine dik doğrultudaki yer değiştirmelerini ifade eden denklemler; 0 ) / ( ) ( ) ( b b n F k GA R R d dv 0 ) ( ) ( n n t n M EI R d d 0 ) ( ) ( t p n t M GI R d d 0 ) ( b b p R d df 0 ) ( ) ( n b t n m R F R M d dm 0 ) ( t n t m R M d dm (2.2) olarak ortaya çıkarlar.
2.2. Çubuk Titreşimlerinin Genel Denklemleri Eksen eğrisinin uzamaları ve kayma deformasyonları etkilerinin göz önüne alındığı çubuk teorisinin genel denklemleri kullanılarak, çubukların titreşimlerini de incelemek mümkün olmaktadır. Bir maddesel sistemin hareketinden dolayı, bir t anında meydana gelen atalet kuvvetleri aktif dış kuvvetler olarak, sisteme etki eden gerçek kuvvetlerle birlikte göz önüne alınırsa; sistem bütün bu kuvvetlerin etkisinde, t anındaki konumunda dengede bulunur. Böylece; p n 2 u 2 t p b 2 v 2 t p t 2 w 2 t m n 2 2 n I n I 2 nb A t t 2 b m b 2 2 n I nb I 2 b A t t 2 b m t I p A t 2 t 2 (2.3) şeklinde eylemsizlik kuvvetleri ve kuvvet çiftleri olarak alınmalıdır. Burada; µ birim boyun kütlesi, A kesit alanı, In, Ib sırasıyla kesitin normal ve binormal eksenlerine göre eylemsizlik momentlerini, Ip kesitin polar eylemsizlik momentini, Inb ise aynı eksen takımındaki çarpım eylemsizlik momentini göstermektedir. Yer değiştirme büyüklükleri konumun ve zamanın fonksiyonlarıdır. Böylece tüm büyüklüklerin de konumun ve zamanın fonksiyonları olacağı açıktır. Kesit asal eksenleri ile, çubuk eksen eğrisinin normal ve binormal eksenlerinin çakıştığı düzlemsel eğri eksenli çubuğun kendi düzlemindeki eğilmelerini ifade eden denklemler; 6
7 F t EA R u d dw ) ( ) ( b n n R F k GA R w d du ) ( ) / ( ) ( b b b M EI R d d ) ( ) ( b b n b A I R F R d dm 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( w R F d df n t 2 ) ( ) ( u R F d df t n 2 ) ( ) ( (2.4) şeklinde ifade edilir. Çubuğun kendi düzlemine dik doğrultudaki serbest titreşimlerini ifade eden denklemler ise; 0 ) / ( ) ( ) ( b b n F k GA R R d dv 0 ) ( ) ( n n t n M EI R d d 0 ) ( ) ( t p n t M GI R d d 0 ) ( ) ( 2 v R d df b
dm n d M t R( ) F b I n ( ) 2 R( ) ( ) A( ) n 0 dmt M d n I p ( ) 2 R( ) ( ) A( ) t 0 (2.5) olarak yazılabilir. 2.3. Eğri Eksenli Çubukların Serbest Titreşimleri Düzlemsel eğri eksenli çubukların, kendi düzlemlerindeki serbest titreşimlerini ifade eden genel denklemler birinci mertebeden, değişken katsayılı, lineer diferansiyel denklem takımıdır ve ; dy( ) A( ) y( ) d (2.6) şeklinde matrisel bir diferansiyel denklem olarak ifade edilebilir. Bu diferansiyel denklemin kesin çözümünün mevcut olabilmesi için, (2.6) denkleminde bulunan A () katsayılar matrisinin tüm elemanlarının sabit olması gerekmektedir. Yani, ancak çember eksenli ve sabit kesitli çubukların serbest titreşimlerinin kesin çözümleri bulunabilir. Bu çözüm yöntemi, [2] de verilmiştir. A katsayılar matrisinin tüm elemanları sabit olmak üzere; dy( ) d Ay( ) (2.7) tipinde bir matrisel diferansiyel denklem olarak yazılabilir. Bu denklemin çözümü, y( y 0 ) 0 başlangıç değerleri vektörü bilinmek şartı ile; y A ( ) e y0 (2.8) olarak verilmektedir [1-4]. Burada e Aø terimi kesin olarak ifade edilebilir. 8
2.3.1. Sınır Şartları (2.8) denklemiyle verilen çözüm vektörünü oluşturabilmek için, önce y 0 başlangıç değerleri vektörü belirlenebilmesi için sınır şartları kullanılacaktır. Çubuğun her iki ucundaki sınır şartları yardımıyla oluşturulacak altı adet denklem yazılarak, referans konumundaki w0, u0, Ω0, Mb0, Fb0,Fb0 değerleri çözülecektir. Şekil 2.1 Çember Eksenli Çubuk Sabit Mesnet Hali: wa (-øa) = 0 ua (-øa) = 0 MbA (-øa) = 0 (A ucu için) wb (øb) = 0 ub (øb) = 0 MbB (øb) = 0 (B ucu için) (2.9) Ankastre Mesnet Hali: wa (-øa) = 0 ua (-øa) = 0 ΩbA (-øa) = 0 (A ucu için) wb (øb) = 0 ub (øb) = 0 ΩbB (øb) = 0 (B ucu için) (2.10) 9
Serbest Uç Hali: MbA (-øa) = 0 FtA (-øa) = 0 FnA (-øa) = 0 (A ucu için) MbB (øb) = 0 FtB (øb) = 0 FnB (øb) = 0 (B ucu için) (2.11) Sınır şartları kullanılarak yazılan bu denklemlerin tümünün sıfıra eşitlendiği görülmektedir. Bu nedenle, y 0 vektörünün bileşenlerinin, sıfırdan farklı çözümünün olabilmesi için, bu denklemlerin katsayılar matrisinin determinantı sıfıra eşitlenmelidir. Bu eşitlikten ω açısal frekans değeri çözülecektir. Böylece, çubuğa ait doğal frekanslar elde edilecektir. Şekil 2.2 Parabol Eksenli Çubuk Çember eksenli ve sabit kesitli çubuklara ait serbest titreşimlerin, kesin çözümlerinin bulunabileceği bilinmektedir [3]. Ancak, değişken eğrilikli veya değişken kesitli çubuklara ait serbest titreşimlerin kesin çözümü bilinmemektedir. Bu tip çubuklara örnek olarak, bu çalışmada, parabol eksenli sabit kesitli ve parabol eksenli değişken kesitli çubuklar seçilmiştir. 10
3. SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE İLGİLİ GENEL BİLGİLER Bu bölümde, sonlu elemanlar yöntemine ait genel bilgiler verilmiş ve yöntemin uygulanmasında kullanılan ANSYS paket programından bahsedilmiştir. Daha sonra, eğri eksenli çubukların titreşimlerinin frekans değerlerinin ve mod biçimlerinin elde edilmesinde kullanılan modal analize değinilerek yapılan çalışmadaki modal analiz anlatılmıştır. Çeşitli fiziksel özellikteki eğri eksenli çubukların serbest titreşimleri modal analiz yapılarak incelenmiştir. Elde edilen frekans değerlerinin literatürdeki sonuçlarla mukayesesi yapılmıştır. 3.1. Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM) Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM), ilk olarak 1940 lı yıllarda sayısal metodların geliştirilmesi ile birlikte Richard Courant tarafından yapılan çalışmalarla bilime tanıtılmıştır. Courant sürekli bir sistemi üçgensel parçalara ayırarak bir analiz yönteminde geliştirmiştir. 1956 yılında, Turner ve diğer bilim adamları bir üçgen eleman için rijitlik matrisini oluşturmuştur. Sonlu elemanlar terimi ise ilk olarak 1960 yılında Dr. Ray Clough tarafından kullanılmaya başlanmıştır. İlk gerçek kabuk elemanlar eksenel simetrik sistemler olup (Grafton ve Strome 1963) bunları silindirik ve diğer kabuk elemanları izlemiştir (1969). Sonlu Elemanlar Yöntemi, yapı analizi, ısı transferi, titreşim analizi, manyetik alan, akışkanlar mekaniği ve diğer birçok alanda uygulanmaktadır. 1970 li yıllardan itibaren genel amaçlı sonlu elemanlar paket programları ortaya çıkmaya başlamış ve 1990 lı yılların başlangıcı ile birlikte bu yöntem ve uygulamaları hakkında çok sayıda makale ve kitap yazılmıştır. 11
Bilgisayar kullanımının yaygınlaşması ve bilgisayarların kapasitelerinin artmasıyla birlikte, fizik ve mühendislik problemlerinin matematiksel çözümünde sayısal hesap yöntemleri oldukça kullanışlı olmaktadır. Bu yöntemler arasında en çok uygulama alanı bulanlardan biri de sonlu elemanlar yöntemi (Finite Element Method) dir. Mühendisliğin hemen hemen tüm alanlarında kullanılabilen bu yöntem gelişmiş ülkelerde uzunca bir zamandan beri mühendisler tarafından etkin bir hesap aracı olarak kullanılmaktadır. Sonlu elemanlar yöntemi sürekli katı cisimler ve bunlara uygun, sürekli matematik denklemler gerektiren geleneksel yöntemlerin tersine, incelenecek elemanı ya da sistemi, birbirine bağlı çok sayıda sonlu küçük elemandan oluşuyormuş gibi ele almaktadır. Sonlu elemanlar yönteminin temel kavramı sıcaklık, basınç veya deplasman gibi herhangi bir sürekli büyüklüğün, küçük ve sürekli parçalarının birleşmesi ile oluşan bir modele dönüştürülmesidir. Kısacası, mühendislerin karşılaştığı karmaşık ve zor fiziksel problemleri kabul edilebilir bir yaklaşıklıkla çözebilen sayısal bir çözüm yöntemidir [5,6]. Şekil 3.1 Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM) ile Modelleme Örnekleri Sonlu küçük eleman, istendiği gibi düzenlenebileceğinden, bütün karmaşık şekilleri oluşturacak şekilde de bir araya getirilebilir. Yöntemin hassaslığı da buradadır. Bu yöntemde, problemi sürekli denklemlerle ifade edilebilen basit geometrik şekillere yuvarlama söz konusu değildir. 12
Geleneksel sürekli formatlara dönüştürülen problemler çoğu kez yüksek dereceden matematik gerektirmektedir. Halbuki sonlu eleman yönteminde yalnızca basit cebirsel denklemler kullanılır. Tek sorun, bu denklemlerin çok sayıda olmasıdır. Dolayısıyla yöntem kavramsal olarak basit olmakla birlikte elle yapılamayacak kadar çok sayıda hesaplamayı gerektirmektedir. Bu hesaplamaların bilgisayarda yapılması halinde yöntem pratiklik kazanmaktadır. Sonlu elemanlar yönteminde, incelenecek olan sistem, sonlu sayıda elemana ayrılarak bir eleman ağına bölünür. Eleman çeşitli şekillerde olabilir ve birbirlerine köşe noktalarından bağlıdır. Bu noktalara düğüm noktası denmektedir. Daha sonra her eleman için gerekli olan diferansiyel denklemler yazılır. Bu diferansiyel denklemlerden elde edilen varyasyonel ifade, her elemana uygulanarak bir cebirsel denklem takımı elde edilir. Bu denklem takımının çözümü istenilen büyüklüğü verecektir. Yöntemin uygulama aşamasında, eleman tipi, eleman geometrisi, sonlu eleman sayısı, düğüm noktalarının numaralarının yerleşimi ve problemin kaç boyutlu olarak ele alınacağı belirlenmelidir [6]. 3.2. Sonlu Elemanlar Yönteminin Faydaları ve Sınırları Sonlu Elemanlar Yöntemi, elektronik hesaplama çağının bir ürünüdür. Bu nedenle, yöntemin diğer sayısal yöntemlerle bazı ortak özelliklerinin yanında yüksek hızlı bilgisayarlara daha uygun gelen özellikleri bulunmaktadır. Bu özelliklerden bazılarını şu şekilde belirtmek gerekir; - Geometrisi karmaşık şekillerin kolaylıkla incelenmesini sağlar. Çözümlemede değişik sonlu elemanlar kullanılabilir ve alt bölgelere bölerek çözümleme yapılabilir. - Değişik ve karmaşık malzeme özellikleri olan sistemlere rahatlıkla uygulanabilir. - Sürekli, süreksiz veya değişken yükler kolaylıkla ele alınabilir. 13
- Sınır şartları, sistemin temel denklemleri kurulduktan sonra ve basitçe denklemlere dahil edilebilir. - Genelleştirilebilir ve çok sayıda problemi çözmek için güçlü ve çok yönlü bir araç olarak kullanılabilir. - Hem fiziksel anlamı, hem de matematik temelleri vardır. Sonlu Elemanlar Yöntemi nin bu faydalı tarafları yanında bazı kısıtlamaları da bulunmaktadır; - Bazı karmaşık olaylara uygulamada zorluklar çekilse de son yıllardaki geliştirmeler sonucunda artık mühendisliğin her alanında çok yaygın kullanılmaktadır. - Ancak malzeme parametreleri veya katsayıları iyi tanımlanmışsa gerçekçi sonuçlar verebilir. - Genellikle büyük kapasiteli bilgisayar belleğine ve zamana ihtiyaç gösterir. - Doğru sonuç elde edebilmek için sürekli ortamın bölünmesi ve çok sayıdaki giriş bilgileri hatasız olmalıdır. Program verileri iyi kontrol altında tutulmalıdır. Diğer bütün sistemlerde ve çözümleme yöntemlerinde olduğu gibi Sonlu Eleman Yöntemi nden alınan sonuçlar da dikkatlice incelenmeli ve gerçek verilerle karşılaştırılarak en doğru sonuca ulaşılmalıdır [5]. 14
3.3. Sonlu Elemanlar Yönteminde Kullanılan Eleman Tipleri Sonlu elemanlar yönteminde kullanılan paket programa bağlı olarak birçok eleman alternatifi bulunmaktadır. Temelde aynı teorik altyapıya sahip olmalarına rağmen küçük bazı farklar ile birbirlerinden ayrılırlar. Elemanları aşağıdaki şekilde gruplandırabiliriz; 1. Üç Boyutlu (3D) Çubuk Eleman : Genel amaçlı bir sonlu eleman tipi olup, üç boyutlu işlem yapabilme kapasitesine sahiptir. Bu elemana aynı zamanda uzay çubuk eleman da denmektedir. Elemanı uzayda iki adet nod ile ifade etmek mümkündür. Her iki ucunda bulunan iki nod için 12 serbestlik derecesi vardır. Her bir nod için üç adet öteleme ve üç adet de dönme serbestliği söz konusudur. Elemanı tarif edebilmek için nod koordinatları, malzeme elastisite modülü, kayma modülü, kesit alanı, kesit atalet momenti değerleri, burulma sabiti ve çubuk eksenine dik doğrultudaki deformasyon faktörlerine ihtiyaç vardır. Şekil 3.2 Üç Boyutlu (3D) Elastik Çubuk Eleman 2. Sabit Gerilmeli Üçgen Eleman : Sabit kalınlığı olan, üç nod noktasını birleştiren ve toplam 6 serbestlik derecesi ile tarif edilebilen bir elemandır. Deplasman alanı eleman içinde ve kenarlar boyunca doğrusaldır. Eleman sınırları içerisinde ise gerilme değerleri sabittir. 15
Şekil 3.3 Sabit Gerilmeli Üçgen Eleman 3. Lineer Gerilmeli Üçgen Eleman : Sabit gerilmeli üçgen elemanların aksine köşe noktalarına ek olarak kenarları üzerinde de birer düğüm noktası bulunan elemanlardır. Her eleman 6 adet düğüm noktası ve 12 adet serbestlik derecesine sahiptir. 4. Çifte Lineer Dörtgen Eleman : İki boyutlu (2D) problemler için kullanılabilecek diğer bir eleman türü de çifte lineer dörtgen elemandır. Elemanın köşelerinde 4 adet düğüm noktası bulunmaktadır. Elemanın düğüm noktalarına göre serbestlik derecesi 8 adettir. Ayrıca kenar ortalarında da nod bulunan tipleri bulunabilir. 5. Kabuk Elemanlar : Kalınlıkları diğer boyutlarına göre oldukça küçük yapılardır. Genel anlamda bir zar niteliği taşıdıkları için düşey kuvvetleri taşıyamazlar. Dörtgen veya üçgen yapıda olabilirler, fakat üçgen elemanlar gerçek yapıya kıyasla daha rijit sonuçlar verir. Bu nedenle mümkün olduğunca dörtgen eleman kullanılmasında fayda vardır. 16
Şekil 3.4 Çifte Lineer Dörtgen Eleman Şekil 3.5 (a) Üç Düğüm Noktalı Lineer Üçgen Eleman (b) Dört Düğüm Noktalı Lineer Kuadratik Eleman (c) Altı Düğüm Noktalı Eğrisel Üçgen Eleman (d) Sekiz Düğüm Noktalı Eğrisel Kuadratik Eleman 6. Hacim Elemanlar : Genellikle katı geometrinin mevcut olduğu modellerde kullanılmaktadır. Genel olarak bir modelleme şekli gerektirmez, fakat oluşacak yüksek eleman sayısı sebebiyle oldukça yüksek kapasiteli bilgisayarlar gerektirir. 17
Şekil 3.6 Hacim Elemanlar 3.4. Modellemedeki Varsayımlar ve Basitleştirmeler Modelleme aşamasına geçilmeden önce, modelleme sırasında yapılacak bazı varsayımlar ve basitleştirmeler ile ilgili kısaca bilgi vermek gerekir [7]. Geometri - Kullanılan CAD geometrisinin gerçek parçayı yeterli ölçüde temsil edebilmesi şarttır. - Lineer olmayan geometrik pekleşmenin sistemin davranışını etkilememesi beklenir. - Deplasmanlar (yer değişimleri), lineer bir çözüm sağlayacak ölçüde küçük olmalıdır. - Kontrol edilen bölge dışındaki gerilme davranışı geometrik basitleştirmeler sonucunda farklı olabilir. Ancak bu hatalar kontrol bölgesini etkilememelidir. 18
- Yalnızca ilgilenilen bölgelerdeki parçalar modellenmelidir. - Kabuk eleman kullanılacak modellerde kabuk idealleştirilmesinin geçerli olabilmesi için parçanın kalınlığının, en ve boyuna kıyasla oldukça küçük olması gerekir. - İnce yüzeylerin birleşim noktalarındaki davranışları, özellikle kontrol edilmek istenen bölgeler dışında önem taşımazlar. - Yapının çubuk teorisini sağlaması için yeteri kadar ince ve uzun olması gerekir. - Estetik kaygı ile yapılan kısımlar, mukavemet açısından etkisiz kabul edilerek modelde göz ardı edilirler. - Yapıda çeşitli etkiler nedeniyle oluşabilecek kütle değişimleri göz ardı edilebilir. - Yapıya gelen kuvvetler belirli bir düzleme göre simetrik ise veya simetrik kabul edilebiliyorsa, model bu özellik sayesinde küçültülebilir. Malzeme Özellikleri Farklı mazlemeler aynı şartlarda farklı tepkiler verirler. Mühendislikte en sık kullanılan malzeme olan çelik, farklı alaşımda üretildiğinde ve farklı ısıl işlemlerden geçtiğinde değişik sonuçlar vermektedir. Doğru ve gerçeğe yakın analiz yapabilmek için kullanılacak malzemenin çok iyi tanımlanması gerekir. Malzeme izotropik, anizotropik veya ortotropik olabilir. İzotropik malzeme, geometriden bağımsız olarak her yönde ve kesitte aynı elastik özellikleri gösterir. Anizotropik malzeme ise farklı yönlerde farklı elastik özellikler gösterirler. Ortotropik malzeme de, anizotropik malzemenin başka bir çeşidi olup, malzeme birbirine dik yüzeylerde farklı elastik özelliklere sahiptir. Çoğu analiz, malzemenin izotropik ve homojen olduğu varsayılarak yapılmaktadır. Genel olarak malzemeye ait üç temel özellik belirtilir. Bunlar sırası ile; Elastiklik Modülü (E), Kayma Modülü (G) ve Poisson Sayısı (ν) dır. 19