GERİ ÇEKME SİMPLİSEL CEBİRLER Özgün GÜRMEN Dumlıpınar Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Kütahya, ogurmen@dumlupinar.edu.tr Geliş Tarihi:02.11.2011 Kabul Tarihi:06.02. 2012 ÖZET Geri çekme simplisel obje Glenn [6] tarafından tanımlanmıştır. Bu çalışmada değişmeli cebirler için inceliyeceğiz. Anahtar Kelimeler: Simplisel cebirler, geri çekme obje. PULLBACK SIMPLICIAL ALGEBRAS ABSTRACT Pullback simplicial object had been defined by Glenn [6]. In this work we consider this object for commutative algebra case. Key Words: Simplicial algebra, Pullback object. 1. SİMPLİSEL CEBİRLER değişmeli k-cebirlerin bir ailesi olsun. : ;00 : ; 0 homomorfizmler olmak üzere, şartları sağlanıyorsa E=(,, ) üçlüsüne simplisel cebir denir. Buradaki homomorfizmlerine sırasıyla yüz ve dejenere operatörler denir [1,2]. Diyagram olarak, 35
E bir simplisel cebir olsun. olmak üzere : homomorfizmlerini tanımlayalım. Bu durumda zinciri bir komplekstir. Gerçekten de x için olduğundan simplisel özdeşliklerden Ç (x) = (x) (x) = (0) = 0 olup, = 0 dır. O halde NE bir komplekstir. Bu komplekse E simplisel cebirinin Moore kompleksi denir ve (NE,) veya kısaca NE ile gösterilir. Eğer, n > k için NE n = 0 ise E simplisel cebrinin Moore kompleksinin boyutu k dan küçük veya eşittir denir ve k ile gösterilir. Moore kompleksinin boyutu k olan simplisel cebirler kategorisi Simp(Ceb k ) ile gösterilir. E simplisel cebirinin n. Homotopi modülü n (E), E nin Moore kompleksinin n. homolojisine eşittir. Yani n (E) (NE,) şeklindedir [5]. Ç Ç 2. ÇAPRAZLANMIŞ MODÜLLER C bir R-cebir olsun. Bu durumda, değişmeli cebir etkisi olmak üzere : C R, R-cebir homomorfizmi her, için CM1. CM2. şartlarını sağlıyor ise = (C,R,) üçlüsüne veya : C R ye bir çaprazlanmış R-modül denir. 36
Teorem: Moore kompleksi 1 olan simplisel cebirler kategorisi, çaprazlanmış modüller kategorisine doğal denktir. [2] İspat: E 0, Moore kompleksi 1 olan simplisel cebir olsun. alalım. C = NE 1, R = NE 0 ve = NE 1 NE 0 NE 1 (x,a) x a = xs 0 (a) tanımlayalım. NE 2 ) = Çek Çek ve Moore kompleksinin boyutu 1 olduğundan Çek Çek = 0 dır. Böylece bu ideallerin üreteçleri her x,y NE 1 için y(s 0 şeklindedir. CM2. (x) y = s 0 = s 0 = xy (Çüü 0 olup : C R çaprazlanmış R-modüldür. Tersine, : C R çaprazlanmış R-modül olsun. R nin C üzerine etkisiyle C R yarı-direkt çarpımı tanımlayabiliriz., ve,, 0, olup 1-kat simplisel cebiri elde edilir. Buradan n-kat simplisel cebiri; (n tane) olup,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0,,, ; (0 j n-1) şeklindedir. Böylece E simplisel cebiri elde edilir. 3. GERİ ÇEKME SİMPLİSEL CEBİRLER,-cebir morfizmi yardımıyla : funktoru oluşturulabilir. Buradan, 37
: Funktorunun tanımlanabileceğini göstereceğiz. Bu funktora geri çekme simplisel funktoru denir. Dolayısıyla E Ob ( için objesine geri çekme (ko-indirgenmiş) simplisel cebir denir. Böylece her n için karesi bir geri çekmedir. Diğer bir deyişle dir. Her n için geri çekme diyagramlarını incelemeden önce Grothendieck yardımcı teoremini vereceğiz. Yardımcı Teorem (Grothendieck): p epimorfizm, p 0 ve p 1, p nin çekirdek ikilileri ve q 0 ve q 1, q nin çekirdek ikilileri, diyagramında, ve olsun. f 0 p i = q i f i (i = 0,1) f p = q f 0 38
geriçekme ise geri çekmedir. Sonuç Geri çekme karelerin bileşkesi yine bir geri çekmedir. Şimdi n = 1 için geri çekmeyi inceleyelim. Diyagramı geri çekmedir. Burada dir. Şimdi Gronthendieck Yardımcı Teoremini uygulayabilmek için diyagramının geri çekme diyagramı olduğunu göstermeliyiz. diyagramı verildiğinde olup 39
diyagramı bir geri çekmedir. Böylece Grothendieck Yardımcı Teoremi gereğince, diyagramı bir geri çekmedir. Demin verilmiş olan sonuç gereğince diyagramı bir geri çekmedir. Ayrıca,, ve 0, alınırsa 0, 0, simplisel eşitlikleri sağlanır. Böylece 1-kat geri çekme simplisel cebir elde edilir. n = 2 için olup dir. Buradan 40
2-kat geri çekme simplisel cebir elde edeceğiz. Burada, alınırsa, 0 2 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 0 1 0 1 1 1 1 1 d ( e, s) ( d ( e ), s) d ( e, s) ( d ( e ), s) d ( e, s) ( d ( e ), s) s ( e, s) ( s ( e ), s) s ( e, s) ( s ( e ), s) 10 1 1 0 1 1 0 1 ds ( e, s) d( s ( e, s)) d ( s ( e ), s) ( d ( s ( e )), s) 1 0 1 ( d s ( e ), s) 1 0 1 ( e, s) ( çünkü d s id) 1 1 0 ve 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ds( e, s) d( s( e, s)) d ( s ( e ), s) ( d ( s ( e )), s) 0 0 1 ( d s ( e ), s) 0 0 1 ( e, s) ( çünkü d s id) 1 0 0 Simplisel eşitlikleri sağladığını göstermiş oluruz. Benzer şekilde diğer özdeşlikleri sağladığıda gösterilebilir. Böylece n-kat geri çekme simplisel cebir 41
şeklindedir. Burada dejenere ve yüz homomorfizmleri,,,, olarak tanımlanır. ; 0 ; 0 1 Öngörü: = (C,R,) çaprazlanmış R-modül ve = (,, geri çekmesi olsun. E ve F sırasıyla ve lerden elde edilen simplisel cebirler ise F (E) dir. KAYNAKLAR [1] Andre M.,Homologie des Algebras Commutatives. Springer-Verlag 206, (1970). [2] Arvasi, Z., Porter T., Simplicial and Crossed Resolutions of Commutative Algebras,Journal of Algebras,181, 426-448. (1996) [3] Brown, R., Topology, Ellis Horwood Series in Mathematics and its applications Ellis Horwood, Ltd. 460 sf. (1988) [4] Brown, R.,Higgins, P., On the Connection between the Second RelativeHomotopy Groups of some Related Spaces, Proc. LondonMath. Soc.,3, 36, 193-212. (1978) [5] Curtis, E. B.,Simplicial Homotopy Theory, Adv in Math 6, 107-209 (1971) [6] Glenn P.G., Realization of Cohomology Classes in arbitrary exact categories, Journal of pure and applied Algebra 25, 33-105, (1982) 42