ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ YARIGRUPLARIN OTOMORFİZMLERİ VE TAKDİMLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2012

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YARIGRUPLARIN OTOMORFİZMLERİ VE TAKDİMLER YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu Tez / /2012 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir Prof. Dr. Hayrullah AYIK Doç. Dr. Gonca AYIK Yrd. Doç. Dr. Ersin KIRAL DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. M. Rifat ULUSOY Enstitü Müdürü Bu Çalışma TÜBİTAK-BİDEB Tarafından Desteklenmiştir Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ YARIGRUPLARIN OTOMORFİZMLERİ VE TAKDİMLER ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman : Prof. Dr. Hayrullah AYIK Yıl: 2012, Sayfa: 101 Jüri : Prof. Dr. Hayrullah AYIK : Doç. Dr. Gonca AYIK : Yrd. Doç. Dr. Ersin KIRAL Bu çalışmada bazı yarıgrup yapılarının otomorfizmleri ile ilgili olarak elde edilen bazı sonuçlar incelenmiştir. Özellikle, bu yarıgrupların otomorfizmleri ile iç otomorfizmleri arasındaki ilişkiler üzerinde durulmuş ve bazı ön koşullar altında bu yarıgrupların her bir otomorfizminin bir iç otomorfizm olduğu gösterilmiştir. Son olarak da belirli bir takdimin (yarıgrup takdimi olarak) tanımladığı yarıgrubun otomorfizmleri ile bu takdimin (grup takdimi olarak) tanımladığı grubun otomorfizmleri arasındaki ilişki incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Yarıgrup, Grup, Otomorfizm. I

4 ABSTRACT MSc. THESIS AUTOMORPHİSMS OF THE SEMİGROUP AND PRESENTATİONS DEPARTMENT OF MATHEMATICS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervisor : Prof. Dr. Hayrullah AYIK Year: 2012, Pages: 101 Jury : Prof. Dr. Hayrullah AYIK : Assoc. Prof. Dr. Gonca AYIK : Asst. Prof. Dr. Ersin KIRAL In this study, we survey some result concerning automorphisms of some semigroup constructions. In particular, we focus on the relationship between the automorphisms and the inner automorphisms of these semigroups and show that, under some precondition, each automorphism of these semigroups is an inner automorphism. Finally, we survey the relationship between the automorphisms of a semigroup determined by the certain presentation (as a semigroup presentation) and the automorphisms of a group determined by the same presentation (as a group presentation) Keywords: Semigroup, Group, Automorphism. II

5 TEŞEKKÜR Bu çalışmanın hazırlanması sırasında bilgi ve tecrübeleri ile beni aydınlatan, her aşamasında yardımlarını ve desteğini esirgemeyen, değerli zamanını ayırarak çalışmanın tamamlanmasını sağlayan, bilgisi ve kişiliği ile örnek aldığım saygıdeğer danışman hocam Prof. Dr. Hayrullah AYIK a sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca sonsuz desteği, sevgisi ve güveniyle daima arkamda duran sevgili babam Zeki BALIKÇI ve annem Latife BALIKÇI ya, sevgili aileme, sevgili dostum Zeynep KÜÇÜKAKÇALI ya, Ç. Ü. Matematik bölümünün saygıdeğer öğretim üyelerine ve araştırma görevlilerine yardım ve desteklerinden dolayı teşekkür ederim. Son olarak da yüksek lisans yaptığım süre içerisinde aldığım burstan dolayı TÜBİTAK Bilim İnsanı Destekleme Daire Başkanlığına teşekkür ederim. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ..I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER...IV ŞEKİLLER DİZİNİ....IV 1. GİRİŞ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Yarıgrup Tanımları Homomorfizmler Bağıntılar ve Denklik Kongrüanslar Green Denklik Bağıntıları Regüler (Düzgün) Yarıgruplar Doğuray Kümeleri Monojenik Yarıgruplar (Tek Doğuraylı Yarıgruplar) Takdimler S n OTOMORFİZMLERİ BAĞINTILARIN YARIGRUBUNUN OTOMORFİZMLERİ ÖRTEN DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNUN OTOMORFİZMLERİ DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARININ OTOMORFİZMLERİ TÜM DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARININ OTOMORFİZM GRUPLARI MONOJENİK YARIGRUPLARIN DİREKT ÇARPIM OTOMORFİZMLERİ...87 KAYNAKLAR...99 ÖZGEÇMİŞ..101 IV

7 V

8 ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA Şekil 2.1. Green Denklik Bağıntılarının Hasse Diyagramı.21 VI

9 VII

10 1.GİRİŞ 1. GİRİŞ Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904 te Monsieur l Abbé J. A. Séguier in Éléments de la Théorie des Groupes Abstraits adlı kitabında yer almış, 1926 ve 1928 yıllarında A. K.Sushkevich in bir sonlu yarıgrubun minimal idealinin yapısını belirlemesiyle gelişim sürecine başlamıştır. Bu dönemden itibaren çalışmalar hızla artmış ve nihayet 1950 li yılların sonunda yarıgrup teorisinin kendisi modern cebirin başlı başına bir alt dalı haline gelmiştir. Yarıgrupların zengin bir soru içeriğine sahip olmasının yanı sıra grup ve halka teorisi başta olmak üzere matematiğin diğer alanları ile olan bağlantısı yarıgrup teorisinin önemini arttırmıştır. Cebirsel yapıların otomorfizimlerinin oluşturduğu küme fonksiyonların bileşkesi işlemi ile grup olur. Her bir cebirsel yapı için bu grupların belirlenmesi cebirde önemli araştırma alanlarından birisidir. Birçok cebirsel yapının otomorfizm grupları çok uzun zamandır çalışılmaktadır. Yarıgrupların otomorfizm grupları da uzun zamandır çalışılmaktadır. Ayrıca yarıgupların takdimleri üzerine yapılan teorilerdeki gelişmeler ile cebir çalışmaları için geliştirilmiş ve hala geliştirilmekte olan GAP ve MAGMA gibi programların sayesinde yarıgrupların otomorfizim grupları üzerine yapılan çalışmalar daha da hız ve yoğunluk kazanmıştır. Biz de bu çalışmamızda bazı özel yarıgrupların otomorfizmleri ile ilgili çalışmaları derleyip bu yarıgrupların otomorfizmleri ile iç otomorfizmleri arasındaki ilişkileri inceleyeceğiz. Tezin ikinci bölümünde çalışmamızın kaynağını oluşturan temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, permütasyon grubu olan nin her otomorfizminin bir iç otomorfizm olduğunu ve 3 ve 6 için nin otomorfizmleri grubunun e izomorf olduğunu gösterdik. Dördüncü bölümde, bağıntılar yarıgrubu in her otomorfizminin bir iç otomorfizm olduğunu gösterdik. Beşinci bölümde, 6 için = { : ö } yarıgrubunun her otomorfizminin bir iç otomorfizm olduğunu gösterdik. Ayrıca 6 için 1

11 1.GİRİŞ = { : } yarıgrubunun her otomorfizminin bir iç otomorfizm olduğunu gösterdik. Altıncı bölümde, X sonsuz elemanlı bir küme ve S, in i içeren bir altyarıgrubu ( ) olmak üzere ( ) = ( ) olduğunu gösterdik. Ayrıca, X sonlu bir küme ve 6 ise ( ) = ( ) olduğunu gösterdik. Böylece, eğer ( \ ) ise nin tüm sabit dönüşümleri içerdiği sonucunu elde ettik. Yedinci bölümde, in her otomorfizminin bir iç otomorfizm olduğunu gösterdik. Sekizinci bölümde, verilen bir takdim tarafından (yarıgrup takdimi olarak) tanımlanan yarıgrubun otomorfizmleri ile bu takdim tarafından (grup takdimi olarak) tanımlanan grubun otomorfizmleri arasındaki ilişkiyi inceledik. 2

12 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.1 Yarıgrup Tanımları Bu bölümde ileride kullanacağımız yarıgrup teorisindeki önemli tanım ve teoremleri vereceğiz. Tanım S boştan farklı bir küme olsun. S S den S ye tanımlı bir µ fonksiyonuna S üzerinde bir (kapalı) ikili işlem denir. Her xy, S için x ve y elemanlarına uygulanan bu ikili işlem xµy şeklinde gösterilir. Eğer µ, S üzerinde bir ikili işlem ise (S,µ) ikilisine bir grupoid denir. Tanım (S,µ) bir grupoid olsun. Eğer µ ikili işlemi S üzerinde birleşme özelliğine sahip, yani her xyz,, S için xµ(yµz) =(xµy)µz ise (S,µ) grupoidine bir yarıgrup denir. Genelde ikili işlem yerine çarpma işlemi diyeceğiz ve bu işlemi ile; ve yarıgrubu ( S,) ile göstereceğiz. Eğer çarpma işleminin ne olduğu içerikten belli ise ( S,) yerine S ve x y yerine de xy yazacağız Tanım S yarıgrubu değişme özelliğine sahip, yani her xy, S için xy = yx ise S yarıgrubuna değişmeli yarıgrup denir. Tanım S bir yarıgrup ve z Solsun. Her a S için za = z ise z ye S nin bir sol sıfır elemanı, her a S için az = z ise z ye S nin bir sağ sıfır elemanı 3

13 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER denir. Eğer S 2 ve z Shem sol hem de sağ sıfır eleman ise z ye S nin sıfır elemanı denir. Bir yarıgrupda birden fazla sağ veya sol sıfır eleman olabilir. Fakat, bir yarıgrupda sıfır eleman varsa aşağıdaki önermeden dolayı sıfır eleman tektir ve 0 ile gösterilir. Önerme Bir S yarıgrubunun sıfır elemanı varsa tektir. İspat: 0 ve 0', S nin iki sıfır elemanı olsun. O halde 0 = 00' ( 0, sıfır eleman olduğundan) = 0' ( 0', sıfır eleman olduğundan) olur. Tanım S bir yarıgrup ve e Solsun. Her a S için ea= aise e ye S nin bir sol birim elemanı, her a S için ae= aise e ye S nin bir sağ birim elemanı denir. Eğer e S hem sağ hem de sol birim eleman ise e ye S nin birim elemanı denir. Bir yarıgrupda birden fazla sağ veya sol birim eleman olabilir. Fakat, bir yarıgrupda birim eleman varsa aşağıdaki önermeden dolayı birim eleman tektir; ve genellikle 1 veya kısaca 1 ile gösterilir. Önerme Bir S yarıgrubunun birim elemanı varsa tektir. İspat: Önerme in ispatına benzer şekilde gösterilir. Tanım S bir yarıgrup olsun. Eğer S nin birim elemanı varsa S ye bir monoid denir. S herhangi bir yarıgrup olsun. O zaman 4

14 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER S S 1 1 S = S {} 1 1 S olarak tanımlanır; ve üzerinde bir ikili işlem, her 1 st, S için st st, S s t = 1 st = t s = 1 1 s = t = 1 şeklinde tanımlanır ise S den elde edilen monoid denir. 1 S bir monoid olup, 1 S e gerekir ise birim eleman eklenerek Tanım S bir yarıgrup ve e S olsun. Eğer 2 e = ee = e ise e ye S nin bir idempotent elemanı denir. S yarıgrubunun tüm idempotent elemanlarının kümesi ES ( ) ile gösterilir. Eğer S yarıgrubunun tüm elemanları idempotent yani ES ( ) = S ise S yarıgrubuna bir band denir. Eğer S yarıgrubu hem değişmeli hem de bir band ise S ye bir yarılatis denir. Tanım S bir yarıgrup olsun. Eğer için = ve = ise S ye bir grup denir. Bu tanım cebirin diğer dallarında çok kullanılmaz ve genellikle bu tanıma denk olan aşağıdaki tanımlar kullanılır. S bir yarıgrup olsun. - Eğer,, için es=s ve, için = koşulları sağlanıyorsa S ye bir grup denir. 5

15 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER -, için = = ve, için = = koşulları sağlanıyorsa S ye bir grup denir. Burada ye grubun birim elemanı ve ye de s elemanının tersi denir. Sadece birim elemandan oluşan {1} kümesi bir grup olup bu gruba aşikâr grup denir. Tanım S bir yarıgrup ve T S olsun. Eğer her ab, T için ab T, yani = = {, } ise T ye S nin bir altyarıgrubu denir ve T olup S şeklinde gösterilir. dir; S de bir sıfır eleman var ise {0} dir; ve S bir monoid ise {1} dir. Bu altyarıgruplara aşikar altyarıgruplar ve bunların dışındaki altyarıgruplara öz altyarıgruplar denir. S bir yarıgrup ve T de S nin bir altyarıgrubu olsun. Eğer T, S deki çarpma işlemiyle bir monoid oluyorsa T ye S nin bir altmonoidi, eğer bir grup oluyorsa T ye S nin bir altgrubu denir. Benzer şekilde bir monoidin altmonoidi, bir monoidin altgrubu ve bir grubun altgrubu kavramları tanımlanabilir. Tanım S bir yarıgrup ve de S nin bir altgrubu olsun. Eğer S nin olacak şekilde bir H altgrubu mevcut olduğunda = veya = olmak zorunda kalıyor ise G ye S nin maksimal altgrubu denir. Tanım S bir yarıgrup ve olsun. Eğer ve için yani ise I ya S nin bir sol ideali ve eğer ve için yani ise I ya S nin bir sağ ideali denir. Eğer I, S nin hem sol hem de sağ ideali ise I ya S nin bir ideali denir ve < ile gösterilir. = olup < dir; ve eğer S de bir sıfır eleman varsa {0} = {0} {0} ve {0} = {0} {0} olup {0}< dir. Bu ideallere aşikâr idealler 6

16 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER denir. S yarıgrubunun ve {0} olacak şekilde bir ideali varsa bu ideale öz ideal denir. Her ideal bir altyarıgruptur. Tanım G bir grup ve H, G nin bir altgrubu olsun. Herhangi bir için tanımlanan = { h: h } ve = {h : h } kümelerine sırasıyla H nin G deki sol koseti ve sağ koseti denir. Ayrıca, H nin G deki tüm sol kosetlerinin kümesi ( ) ve sağ kosetlerinin kümesi ğ( ) ile gösterilir. Teorem G bir grup ve olsun. O halde aşağıdaki önermeler birbirine denktir. (i) G nin ikili işlemi ( ) kümesine taşınabilir. (ii) için = dir. (iii) için = dir. (iv) için dir. İspat: Karakaş (2008), Ders 8, Teorem 1 e bakınız. Tanım G bir grup ve olmak üzere Teorem e denk olan önermelerden biri sağlanıyorsa N ye G nin bir normal altgrubu denir ve ile gösterilir. G değişmeli bir grup iken her altgrubu bir normal altgruptur. iken N nin her sol koseti aynı zamanda bir sağ koset olduğundan sağ koset ve sol koset yerine kısaca koset denir. Bu durumda N nin G deki tüm kosetlerinin ailesi = { } ile gösterilir. Bu küme, için 7

17 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER ( )( ) = ( ) şeklinde tanımlanan çarpma işlemi ile birim elemanı N olan bir grup olup bu işleme koset çarpımı ve bu gruba da G nin N ile olan bölüm grubu denir. 2.2 Homomorfizmler Tanım S ve T iki yarıgrup ve φ de S den T ye bir dönüşüm (fonksiyon) olsun. Eğer her xy, S için ( ) = ( ) ( ) ise φ ye bir homomorfizm denir. Tanım S ve T iki yarıgrup ve φ, S den T ye bir homomorfizm olsun. (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) Eğer φ birebir ise φ ye bir monomorfizm denir. Eğer φ örten ise φ ye bir epimorfizm denir. Eğer φ hem monomorfizm hem de epimorfizm ise φ ye bir izomorfizm denir. Eğer φ, S den S ye bir homomorfizm ise φ ye bir endomorfizm denir. Eğer φ, S den S ye bir izomorfizm ise φ ye bir otomorfizm denir. Eğer S den T ye bir izomorfizm mevcut ise S ile T ye izomorfik yarıgruplar denir ve S T şeklinde yazılır. S ve T iki monoid, ve φ de S den T ye bir (yarıgrup) homomorfizm olsun. Eğer S nin birim elemanın φ altındaki görüntüsü T nin birim elemanı, yani (1 ) =1 ise φ ye bir monoid homomorfizmi denir. Benzer şekilde yukarda ki diğer tanımlarda monoidler için genellenir. 8

18 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Tanım S ve T iki yarıgrup ve : bir homomorfizm olsun. O zaman = {(, ) : = } = = { : } olarak tanımlanan kümelere sırasıyla denir. nin çekirdek kümesi ve görüntü kümesi Tanım S ve T iki yarıgrup olsun. = {(, ):, } kümesine S ile T nin kartezyen çarpımı denir. S T kartezyen çarpım kümesi üzerinde tanımlanan çarpma (ikili) işlemi ss, S ve tt, T olmak üzere (,)( st s, t ) = ( ss, tt ) şeklinde tanımlanır ise S T de bir yarıgruptur. Bu yarıgruba S ile T nin direkt çarpımı denir. 2.3 Bağıntılar ve Denklik Tanım X ve Y boş olmayan iki küme olmak üzere altkümesine X ten Y ye bir bağıntı denir. X üzerinde bir bağıntı denir. X üzerindeki tüm bağıntıların kümesi in her bir X in her bir ρ altkümesine X ile gösterilir., =1 X = {( xx, ): x X} kümesi ve X X in kendisi de X üzerinde birer bağıntı olup bu bağıntılara sırasıyla boş bağıntı, birim bağıntı ve evrensel bağıntı denir. Tanım Her, için {( x, y) X X : z X için ( xz, ) ve ( z, y) } α o β = α β 9

19 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER şeklinde tanımlanan ikili işlem ile bir yarıgruptur. Bu yarıguba tüm bağıntılar yarıgrubu denir. Ayrıca in, birim elemanı olan bir monoid olduğu görülür. Her için ρ 1 = xy X X yx {(, ) :(, ) ρ} bağıntısına ρ nun ters bağıntısı (tersi) denir. Tanım ρ, X üzerinde herhangi bir bağıntı olsun. = { : için (, ) } = { : (, ) } = { : için (, ) } kümelerine sırasıyla bağıntısının tanım kümesi, in altındaki görüntü kümesi ve bağıntısının görüntü kümesi denir. Kolayca, her, için ve ( ) = olduğu görülür. Önerme Her,,,,,, için o o ve δ o α δ o β olur. ( o o o ) = o o o 10

20 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Tanım olsun. Eğer için 1 ise ya X üzerinde bir kısmi dönüşüm denir. in tüm kısmi dönüşümlerinin kümesi ile gösterilir için =1 ise ya X üzerinde bir (tam) dönüşüm denir.x üzerindeki dönüşümlerin kümesi ile gösterilir. = şeklinde gösterilir. bir (kısmi) dönüşüm ve (, ) ise genel olarak ( ) = veya Tanım ρ, X üzerinde herhangi bir bağıntı olsun. Eğer (i) 1 X ρ ise ρ ya yansımalı bağıntı; (ii) ρ ρ 1 = ise ρ ya simetrik bağıntı; (iii) ρ o ρ ρ ise ρ ya geçişmeli bağıntı; (iv) ise ya ters-simetrik bağıntı; denir. Eğer ρ bağıntısı yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahipse ρ ya X üzerinde bir denklik bağıntısı denir. Tanım , X üzerinde bir denklik bağıntısı ve olmak üzere = { : (, ) } kümesine bir denklik sınıfı denir. Ayrıca X in tüm denklik sınıflarının ailesi olan X ρ = { xρ: x X} kümesine de ρ vasıtasıyla oluşturulan X in bölüm kümesi denir. Önerme , X üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. O halde, için ya = ya da = dir. İspat: Karakaş (2008), Ders 1, Teorem 1 e bakınız. 11

21 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Tanım ρ, X üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. O zaman, x X için ( ) = olarak tanımlanan ρ * : X X ρ dönüşümü örten bir dönüşüm olup bu dönüşüme X üzerinde bir doğal dönüşüm denir. Tanım X, Y boş olmayan iki küme ve : bir fonksiyon olsun. O zaman o = {(, ) : = } şeklinde tanımlanan küme X üzerinde bir denklik bağıntısı olup bu bağıntıya çekirdeği denir ve = o şeklinde yazılır. nin Tanım X boş olmayan bir küme ve R, X kümesi üzerinde herhangi bir bağıntı ise R X X olduğundan R yi içeren denklik bağıntılarının ailesi boştan farklıdır. R yi içeren tüm denklik bağıntılarının kesişimi de bir denklik bağıntısıdır ve bu denklik bağıntısı R yi içeren en küçük denklik bağıntısıdır. Bu en küçük denklik bağıntısına R tarafından doğrulan denklik bağıntısı denir ve ile gösterilir. = { : ve, üzerinde bir denklik bağıntısı} Kolayca gösterileceği üzere = = bir denklik bağıntısı ise = = ( ) olur. 12

22 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Tanım X boş olmayan bir küme ve R, X üzerinde yansımalı bir bağıntı ( ) olsun. O zaman = o o = o o olur. Bu şekilde devam edilirse olur. Bu durumda X üzerinde bağıntısı = olarak tanımlanır. Önerme X boş olmayan bir küme olmak üzere X üzerindeki herhangi bir R yansımalı bağıntısı için tanımlanan, X üzerinde R yi içeren en küçük geçişmeli bağıntıdır. İspat: Eğer ( xy, ),( yz, ) R ise ( xy, ) vardır. O zaman m n R ve ( yz, ) R olacak şekilde, m n m n ( xz, ) R o R = R R + olup ( xz, ) R dur. Ayrıca R R olup R, R yi içeren bir geçişmeli bağıntıdır. Şimdi R un en küçük olduğunu gösterelim: T, R yi içeren herhangi bir geçişmeli bağıntı olsun. T geçişmeli olduğundan T o T T olup 13

23 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER 2 2 R T R = RoR To T T R T olur. Benzer şekilde devam edilir ise her n 1 için n R T olduğu ve dolayısıyla, R T olduğu gösterilir. Böylece R, R yi içeren en küçük geçişmeli bağıntıdır. Önerme X boş olmayan bir küme ve R, X üzerinde herhangi bir bağıntı olsun. O halde = [ ] olur. İspat: S = R R ve E = S olsun. Bir önceki önermeden E, R yi içeren 1 [ 1 X] yansımalı ve geçişmeli bağıntıdır. Ayrıca S simetrik olduğundan için S 1 = S olup, her n ( S ) = ( SoSoLoS) = ( S os olos ) = ( ) ( ) ( ) = = n S o S olo S SoSoLoS S olur. Böylece n n n E = S = S = S = S = E ( ) 1 U U( ) U n= 1 n= 1 n= 1 olup, E simetriktir. O halde E, R yi içeren bir denklik bağıntısıdır. zaman Ayrıca da X üzerinde R yi içeren bir başka denklik bağıntısı olsun. O 1X ve R R = 1 1 σ σ σ σ 14

24 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER olup S = R R σ olur. Ayrıca nın geçişmeli oluşundan 1 [ 1 X] SoS o = S 2 σ σ σ σ olur. Benzer şekilde devam edilir ise, her için, n S σ olacağından E= S σ olur. O halde E, R yi içeren en küçük denklik bağıntısıdır. 2.4 Kongrüanslar Tanım S bir yarıgrup ve R de S üzerinde bir bağıntı olsun. Eğer, her a S ve her (,),( st s', t') R için (i) ( as, at) (ii) ( sa, ta) Rise R bağıntısına sol uyumlu; Rise R bağıntısına sağ uyumlu; ve (iii) ( ss, tt ) Rise R bağıntısına uyumlu bağıntı denir. Ayrıca sol uyumlu denklik bağıntısına bir sol kongrüans; sağ uyumlu denklik bağıntısına bir sağ kongrüans ve uyumlu denklik bağıntısına kongrüans denir. Önerme S bir yarıgrup ve R, S üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. R nin bir kongrüans olması için gerek ve yeter koşul R nin hem sol hem de sağ kongrüans olmasıdır. İspat: Howie (1995), Proposition e bakınız. Tanım S bir yarıgrup ve R, S üzerinde bir denklik bağıntısı olmak üzere tanımdan kolayca görülüyor ki R nin bir kongrüans olması için gerek ve yeter koşul R nin nin bir altyarıgrubu olmasıdır. O halde nin altyarıgrubu olan ve, S üzerinde birer kongrüanstır. Bu kogrüanslara sırasıyla S nin aşikâr kongrüansı ve evrensel kongrüansı denir. 15

25 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Tanım S bir yarıgrup ve, S üzerinde bir kongrüans olsun. S nin edilen bölüm kümesi üzerinde bir çarpma işlemi, için ile elde ( )( ) = ( ) şeklinde tanımlansın., bu çarpma işlemi ile bir yarıgrup olup bu yarıgruba S nin ile elde edilen bölüm yarıgrubu denir. Kolayca görülüyor ki, eğer S birim elemanı 1 olan bir monoid ise da birim elemanı 1 olan bir monoiddir. Tanım S bir yarıgrup ve, S üzerinde bir kongrüans olsun. # : şeklinde tanımlanan homomorfizm denir. #, örten bir homomorfizm olup bu homomorfizme doğal Önerme S, T iki yarıgrup ve : bir homomorfizm olsun. Bu durumda = o = {(, ) : = } S üzerinde bir kongrüanstır. İspat: Howie (1995), Theorem ye bakınız. Teorem (1. İzomorfizm Teoremi) S, T iki yarıgrup ve homomorfizm ise dir. : örten bir İspat: : dönüşümü ( ) olarak tanımlansın. Bu dönüşümün = olacak şekilde bir homomorfizm olduğu kolayca 16

26 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER gösterilebilir. Ayrıca örten olduğundan = = olup da örten bir homomorfizmdir. Her, için ( ) = ( ) olsun. Bu durumda = olup (, ) ve buradan dir. Ayrıca olup Önerme den = dir. O halde bire-birdir. Tanım R, kümesi bir S yarıgrubu üzerinde herhangi bir bağıntı olsun. O zaman c R 1 {(, ):,,(, ) } c R = xay xby xy S ab R olarak tanımlanır. c Bu durumda kolayca görülür ki R, S yarıgrubu üzerinde R yi içeren en küçük sol ve sağ uyumlu bağıntıdır. Ayrıca Q da S üzerinde herhangi bir bağıntı olmak üzere ( ) = ( ) ( ) = bir kongrüans ise = dir. Tanım S bir yarıgrup ve R, S üzerinde herhangi bir bağıntı olsun. O halde olup S üzerinde R yi içeren en az bir kongrüans vardır. S üzerinde R yi içeren tüm kongrüansların arakesiti de R yi içeren bir kongrüans olup bu kongrüansa R tarafından doğurulan kongrüans denir ve # ile gösterilir. # = { ve ρ, üzerinde bir kongrüans}. 17

27 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Tanımdan kolayca görülür ki #, R yi içeren en küçük kongrüanstır. Teorem S bir yarıgrup ve R, S yarıgrubu üzerinde bir bağıntı ise olur. R # c = ( R ) e İspat: Howie (1995), Proposition e bakınız. 2.5 Green Denklik Bağıntıları Tanım S bir yarıgrup ve sağ ve iki taraflı idealleri sırasıyla olsun. S nin a elemanını içeren en küçük sol, = { } = { : } = { } = { : } = { } = { :, } olur. Bunun yardımı ile S üzerinde tanımlanan = {(, ) : = } = {(, ) : = } = {(, ) : = } bağıntılarına sırasıyla sol-green bağıntısı (L-Green), sağ-green (R-Green) ve Green bağıntısı (J-Green) denir. Bu bağıntıların birer denklik bağıntısı olduğu açıktır. Önerme S bir yarıgrup ve, olmak üzere (i) = ve = olacak şekilde, vardır. (ii) = ve = olacak şekilde, vardır. 18

28 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER (iii) = ve = olacak şekilde,,, vardır. İspat: ( ) = olup = olacak şekilde vardır. Benzer şekilde = olacak şekilde olduğu gösterilebilir. ( ) = ve = olacak şekilde, var olsun. = ve = olup = ve buradan (, ) dir. Diğerleri benzer şekilde gösterilebilir. Önerme S bir yarıgrup olmak üzere S üzerindeki sol-green bağıntısı L ve sağ- Green bağıntısı R değişmeli yani L o R=R o L dir. İspat: Howie (1995), Proposition e bakınız. Tanım S bir yarıgrup olsun. L, R sırasıyla S yarıgrubu üzerindeki L-Green ve R-Green bağıntıları olmak üzere H=L olarak tanımlanan denklik bağıntısına H-Green bağıntısı ve S yarıgrubu üzerinde L ve R bağıntılarını içeren en küçük denklik bağıntısını da D-Green bağıntısı denir. O halde = = ( ) olur. Dikkat edilirse L ile R simetrik ve yansımalı iki bağıntı olduğundan ( ) = ( ) ve olup ( ) ( ) = dir. Ayrıca o, o ve o = o olduğundan ( ) o ( ) =( o ) ( o ) ( o ) ( o ) = ( o ) ( o ) = o 19

29 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER ve ( ) ( o ) = [ ( o )] = o olduğu elde edilir. Dolayısıyla 2 için ( ) = o olur. O halde = ( ) = [( ) ( ) 1 ] = [( ) ( ) 1 ] = ( ) = ( ) ( ) = ( ) o = ( ) o = o olur. Bir S yarıgrubu üzerindeki L, R, J, H ve D Green denklik bağıntıları için, olup aralarındaki bu ilişki aşağıdaki diyagram ile ifade edilebilir. Bu diyagrama Hasse Diyagramı denir. 20

30 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER S S J Şekil 2.1 Green Denklik Bağıntılarının Hasse Diyagramı Önerme G bir grup ise L=R=J=H=D= olur. İspat:, için = = ( ) =( ) = = ( ) = ( ) olup = ve = alınırsa = ve = olacak şekilde, bulunmuş olur. O halde, için olup = dir. Benzer şekilde R=G olup L=R=J=H= D=G olduğu elde edilir. Önerme S değişmeli bir yarıgrup ise L=R=H=D olur. İspat: olsun. O halde = ve = olacak şekilde, vardır. S değişmeli olduğundan aynı zamanda = ve = olup olur. Böylece olduğu görülür. Benzer şekilde olup = = = olduğu elde edilir. Tanım S bir yarıgrup olmak üzere S üzerindeki L, R, H, D, J Green denklik bağıntılarına göre elde edilen denklik sınıflarının kümeleri sırasıyla, 21

31 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER,,, ve için a yı içeren L, R, H, D, J Green denklik sınıfları sırasıyla,,,, ile gösterilir. Eğer L, R, H, D, J Green denklik bağıntılarının S yarıgrubu üzerinde tanımlı olduğu içerikten belli olmuyor ise bu denklik bağıntıları sırasıyla,,,, ile gösterilir. S bir yarıgrup ve olmak üzere = olduğu ve D-Green denklik bağıntısının tanımından dolayı da olduğu açıktır. O halde bir D-Green denklik sınıfı D, ayrık L-Green denklik ve R- Green denklik sınıflarının birleşimidir. Bu yüzden Clifford ve Preston bir D sınıfını, her satırı bir R-sınıfını, her sütunu bir L-sınıfını ve her hücresi de bir H- sınıfını temsil eden bir yumurta kefesi olarak düşünmüşlerdir. Teorem (Green Teoremi) S bir yarıgrup ve, olmak üzere (i) Eğer (, ) ise = ve = olacak şekilde, var olup :, ve :, şeklinde tanımlanan ve dönüşümleri birbirinin tersi olan iki bire-bir ve örten dönüşümlerdir. Ayrıca, daki her bir H-sınıfını de bu H-sınıfının bulunduğu R-sınıfındaki H-sınıfına eşler. Benzer şekilde de deki her bir H-sınıfını da bu H-sınıfının bulunduğu R-sınıfındaki H-sınıfına eşler. (ii) Eğer (, ) ise = ve = olacak şekilde, var olup :, ve :, 22

32 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER şeklinde tanımlanan ve dönüşümleri birbirinin tersi olan iki bire-bir ve örten dönüşümlerdir. Ayrıca, daki her bir H-sınıfını de bu H-sınıfının bulunduğu L-sınıfındaki H-sınıfına eşler. Benzer şekilde de deki her bir H-sınıfını da bu H-sınıfının bulunduğu L-sınıfındaki H-sınıfına eşler. İspat: Howie (1995), Lemma ve Lemma ye bakınız. Sonuç , aynı D- sınıfında iki H-sınıfı ise = olur. İspat: Howie (1995), Lemma e bakınız. Sonuç S bir yarıgrup olsun. Eğer H, S de bir H-sınıfı ise = olur. Ayrıca = olduğunda H, S nin bir altgrubudur. = veya İspat: Howie (1995), Theorem e bakınız. Sonuç S bir yarıgrup ve H, S de bir H-sınıfı olsun. Eğer H bir idempotent eleman içeriyor ise S nin bir altgrubudur. Sonuç S de bir H-sınıfı en fazla 1 tane idempotent eleman içerir. 2.6 Regüler (Düzgün) Yarıgruplar Tanım S bir yarıgrup olsun. Eğer bir için = olacak şekilde bir varsa elemanına S nin bir regüler elemanı denir. Eğer S nin her elemanı regüler ise S ye bir regüler yarıgrup denir. Örneğin; S bir yarıgrup ve bir idempotent eleman ise e bir regüler elemandır. Ayrıca, her grup bir regüler yarıgruptur. Önerme S bir yarıgrup ve olsun. Eğer a bir regüler eleman ise ve sınıflarının her elemanı regülerdir. 23

33 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER İspat: S bir yarıgrup ve bir regüler eleman olsun. O halde = olacak şekilde vardır. Herhangi bir yani (, ) alalım. O zaman = ve = olacak şekilde, mevcut olup ( ) = ( ) = = = ( ) = = olduğundan regülerdir Benzer şekilde elemanının da regüler olduğu gösterilebilir. Sonuç S bir yarıgrup ve olsun. Eğer a bir regüler eleman ise nın her elemanı da regülerdir. Sonuçtan kolayca görülüyor ki bir D-Green denklik sınıfı D nin ya hiç regüler elemanı yoktur ya da tüm elemanları regülerdir. D nin tüm elemanları regüler ise D ye regüler D-sınıfı denir. Önerme Regüler bir D-sınıfında her L-sınıfı ve her R-sınıfı en az bir tane idempotent eleman içerir. İspat: D bir regüler D-sınıfı ve olsun. O halde = olacak şekilde vardır. Bu durumda ( )( ) = ( ) = ve ( )( ) = ( ) = olup xa ve ax birer idempotent elemandır. Ayrıca ( ) = ve ( ) = ve ( ) = ve ( ) = olup bu eşitliklerden sırasıyla ve yani ve olduğu görülür. Sonuç Regüler bir D-sınıfı en az bir tane idempotent eleman içerir. 24

34 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Önerme S bir yarıgrup ve bir idempotent eleman olsun. O zaman, nin bir sol birim elemanı ve nin bir sağ birim elemanıdır. İspat: e bir idempotent eleman ve olsun. O halde = olacak şekilde mevcut olup = ( ) = = = olur. Benzer şekilde, için = olduğu da gösterilebilir. Tanım S bir yarıgrup ve olmak üzere eğer = ve = olacak şekilde bir varsa x elemanına a nın bir tersi denir ve a nın tüm terslerinin kümesi V(a) ile gösterilir. Yani ( ) = { : =, = } olur. Eğer bir idempotent eleman ise = olup ( ) dir. Önerme S bir yarıgrup olmak üzere nin bir tersinin var olması için gerek ve yeter koşul nin regüler olmasıdır. İspat: nin bir tersi varsa aynı zamanda regüler olduğu tanımdan kolayca görülür. Tersine; regüler iken a nın bir tersinin var olduğunu gösterelim. regüler iken = olacak şekilde bir var olup = olarak alınır ise = ( ) = ( ) = = = ( ) ( ) = ( )( ) = ( ) = ( ) = = olduğundan y, a nın bir tersi olur. Teorem S bir yarıgrup, D bir D-sınıfı ve olsun 25

35 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER (i) ( ) ise dir. Ayrıca ve H-sınıfları sırasıyla ve idempotent elemanlarını içerir. (ii) için ve H-sınıfları e ve f idempotent elemanlarını içeriyor olsunlar. O halde =e ve = olacak şekilde ( ) vardır. Ayrıca dir. (iii) nın birden fazla tersini içeren H-sınıfı yoktur. İspat: Howie (1995), Teorem e bakınız. Önerme S bir regüler yarıgrup ve, olsun. (i) = olacak şekilde ( ) ve ( ) vardır. (ii) = olacak şekilde ( ) ve ( ) vardır. (iii) = ve = olacak şekilde ( ) ve ( ) vardır. İspat: Howie (1995), Proposition e bakınız. 2.7 Doğuray Kümeleri Tanım S bir yarıgrup ve olsun. S nin X kümesini içeren tüm altyarıgruplarının arakesiti de X kümesini içeren bir altyarıgrup olup bu altyarıgruba S nin X tarafından doğurulan altyarıgrubu denir ve ile gösterilir. = { :, } Dikkat edilirse, kümesini içeren en küçük altyarıgruptur. Ayrıca, X üzerindeki tüm sonlu çarpımların kümesinin, yani 26

36 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER = { : ;,,, } olduğu kolayca gösterilebilir. Benzer şekilde X tarafından doğurulan altmonoid ve X tarafından doğurulan altgrup da tanımlanabilir. Bunlar da sırasıyla = { : ;,,, } {1} ve = : ;, { 1,+1} =1,2,, olur. Tanımdan kolayca görülüyor ki = { : } olarak tanımlanır ise = olur. Eğer X kümesinin bir yarıgrup, monoid veya grup doğuray kümesi olduğu içerikten anlaşılıyorsa X tarafından doğurulan altyarıgrup, altmonoid veya altgrup kısaca ile gösterilir. S bir yarıgrup ve ise olduğu açıktır. Tanım S bir yarıgrup olmak üzere eğer = olacak şekilde bir kümesi var ise bu X kümesine S nin bir yarıgrup doğuray kümesi, X in elemanlarına S nin doğurayları ve S ye X tarafından doğurulan yarıgrup denir. Eğer = olacak şekilde S nin sonlu bir X altkümesi varsa S ye sonlu doğuraylı yarıgrup denir. Özel olarak, sonlu bir yarıgrup aynı zamanda kendisi için bir sonlu doğuray kümesi olup sonlu doğuraylıdır. = { } olacak şekilde bir mevcut ise S ye monojenik (tek doğuraylı) yarıgrup denir ve = şeklinde de yazılabilir. Benzer tanımlar monoid ve grup için de yapılabilir. Tanım S, sonlu doğuraylı bir yarıgrup olmak üzere 27

37 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER min : = ve sonlu tamsayısına S nin yarıgrup rankı denir ve rank ( ) ile gösterilir. Benzer şekilde monoid rankı ve grup rankı da tanımlanabilir. Önerme S, T birim elemanları sırasıyla 1,1 olan iki monoid ve X, Y sırasıyla S ile T nin birer doğuray kümesi olsun. O halde = {(,1 ): } {(1, ): } kümesi monoidinin bir doğurayıdır. İspat: (, ) olsun. O halde ve olup = ve = olacak şekilde, {1,2,, } ve, {1,2,, } vardır. Bu durumda (, ) = (, ) = (,1 ),1 (1, ) (1, ) olup = olur. Sonuç S ve T sonlu doğuraylı iki monoid ise de sonlu doğuraylıdır. Önerme S sonlu doğuraylı bir yarıgrup ve A, S nin herhangi bir doğuray kümesi olsun. O halde S nin bir doğuray kümesi olacak şekilde sonlu bir altkümesi vardır. İspat: S sonlu doğuraylı ve A, S nin herhangi bir doğuray kümesi olsun. = {,, }, S nin bir sonlu doğuray kümesi olmak üzere ( =1,, ) için = olacak şekilde,, ve vardır. = 28

38 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER,, olarak tanımlanır ise, sonlu bir kümedir ve = = olup, S nin bir sonlu doğuray kümesidir. 2.8 Monojenik Yarıgruplar (Tek Doğuraylı Yarıgruplar) S bir yarıgrup ve olsun. Eğer = { : } alınır ise dır. Ayrıca de bir altyarıgrup olduğundan = olur. Yani = { : } olur. Eğer S bir monoid ve ise tarafından doğurulan monojenik monoid = { : } {1} şeklinde tanımlanır. Eğer, her için ise : (,+) ve şeklinde tanımlanan dönüşüm bir izomorfizm olup (,+) olur. Eğer, en az bir çift için = ise = { : = } kümesi boş değildir. Böylece ve alttan sınırlı olduğundan nın bir tek en küçük elemanı mevcuttur. Ayrıca = { : = } kümesi de boş olmayıp bir tek en küçük elemanı gösterileceği üzere mevcuttur. Böylece, kolayca olur. = {,,,,, } ve = + 1 Tanım Yukarıdaki notasyonlarla ye nın indeksi ve ye nın periyodu denir. 29

39 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Teorem S bir yarıgrup,, nın indeksi ve periyodu olsun., {0,, 1} elemanları + 0 ( ) ve + 1 ( ) olacak şekilde seçilir ise = {,,, } kümesi birim elemanı olan ve tarafından doğurulan bir devirli gruptur. İspat: Howie (1995), Theorem ye bakınız Takdimler Tanım A boş olmayan bir küme olsun. Bu kümenin elemanlarını bir alfabe sisteminin tüm harfleri olarak düşünürsek her a,..., 1 an A, {0} için w a1 L an ifadesine uzunluğu n olan bir kelime denir; ve w kelimesinin uzunluğu (boyu) lwveya ( ) ile gösterilir. Eğer lw ( ) sonlu bir tamsayı ise w kelimesine bir sonlu kelime denir. Eğer lw= ( ) 0 ise w kelimesine boş kelime denir ve boş kelime ε veya 1 ile gösterilir. A boş olmayan bir küme (alfabe) olmak üzere, A üzerindeki tüm sonlu boş olmayan kelimelerin kümesi A + ile ve { } kümesi de ile gösterilir. Diğer bir ifade ile ve = { : ve,, } = { : ve,, } { } olarak tanımlıdır. 30

40 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Tanım kümesi üzerinde her a 1 L a n A + ve 1 b L b A + (, ) için m ( a 1 Lan)( b 1 Lbm) = a 1 Lab n 1 L bm şeklinde tanımlanan çarpma işlemi ile A + bir yarıgrup olup bu yarıgruba A üzerinde ki serbest yarıgrup denir. Benzer şekilde kümesi yukarıda tanımlanan işlemle birim elemanı 1 olan bir monoiddir ve bu monoide serbest monoid denir. Tanım A bir alfabe ve A + da A üzerindeki serbest yarıgrup olsun. + + R A A olmak üzere AR ikilisine bir yarıgrup takdimi denir. #, A + üzerinde R tarafından doğrulmuş kongrüans olmak üzere AR tarafından takdim # edilen yarıgrup bölüm yarıgrubu olarak tanımlanır. Bu durumda + AR = A R # olur. Eğer ise AR ikilisine bir monoid takdimi denir. #, üzerinde R tarafından doğrulmuş kongrüans olmak üzere AR monoid takdimi tarafından takdim edilen monoid ise # olarak tanımlanır. Önerme Her yarıgrubun bir takdimi vardır. İspat: S bir yarıgrup ve A, S nin bir doğuray kümesi olsun., A üzerindeki serbest yarıgrup ve i bir gömme dönüşüm olmak üzere ǀ = olacak şekilde bir tek : homomorfizmi vardır ve bu homomorfizm örten olup 1. İzomorfizm Teoremi nden 31

41 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER olur. ker bir kongrüans olup, ker nin bir kongrüans doğurayı (böyle bir doğuray mevcuttur, en azından = alınabilir) olmak üzere AR olur. Bir monoid aynı zamanda bir yarıgrup olduğundan hem yarıgrup hem de monoid takdiminden bahsedilebilir. Bu durumda yarıgrup takdimi ve monoid takdimi ile gösterilir. Tanım Eğer A ve R sonlu kümeler ise ye bir sonlu takdim ve eğer bir S yarıgrubunun/monoidinin sonlu bir takdimi varsa S ye sonlu takdimli yarıgrup/monoid denir. Tanım AR bir yarıgrup takdimi olsun. Eğer (, ) ise bu elemana ilişki (bağıntı) denir ve genellikle ( = ) veya sadece = şeklinde yazılır. Eğer = {,, } ve = { =,, = } (, {0}) şeklinde ise AR yerine,, =,, = yazılabilir., olmak üzere eğer ile tamamen aynı kelime ise şeklinde ve eğer ile kelimeler = nin aynı elemanını temsil ediyor yani (, ) # ise = şeklinde yazılır. Bu durumda =, S de sağlanıyor denir. Tanım bir yarıgrup takdimi ve w1, w2 A + veya ( vu, ) R için w1 αuβ, w 2 * olsun. α, β,(, ) A uv R αvβ ise w 2, R deki bir ilişki bir kez 32

42 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER uygulanarak w 1 den elde edilmiştir denir. Eğer w1 w2 veya her =1,, 1 için α i + 1, R deki bir ilişki bir kez uygulanarak kelimelerin sonlu bir α i elde edilmiş olmak üzere w α α L α w n 2 dizisi varsa w 2, w 1 den R deki ilişkiler kullanılarak elde edilmiştir denir. Ayrıca w = w, S = AR nin veya sadece R nin bir sonucu veya S de sağlanıyor denir. 1 2 Tanım Ρ= AR, S için bir takdim ve W A + olsun. Eğer W kümesi S nin her bir elemanını sadece bir elemanla temsil eden kelimelerden oluşuyor ise W ya S için kanonik veya normal form denir. Önerme = bir yarıgrup takdimi ve S, P tarafından tanımlanan yarıgrup olsun., olmak üzere w1 = w2 nin S de sağlanıyor olması için gerek ve yeter koşul w1 = w2 nin R nin bir sonucu olmasıdır. İspat: Howie (1995), Proposition a bakınız. Önerme = bir yarıgrup takdimi ve S, P tarafından tanımlanan yarıgrup olsun. Ayrıca T, bir B kümesi tarafından doğrulan yarıgrup olsun. Eğer : örten bir fonksiyon var ve :, nin tek genişlemesi olarak tanımlanan doğal homomorfizm olmak üzere (, ) için = ise T, S nin bir homomorfik görüntüsüdür. İspat: Ruskuc (1995), Proposition 2.1 e bakınız. Sonuç = ve = olsun. Eğer ise T, S nin bir homomorfik görüntüsüdür. 33

43 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER Sonuç S, takdimi ile tanımlanan yarıgrup ve = = serbest yarıgrup olsun. olup S, T nin bir homomorfik görüntüsüdür. Dolayısıyla her yarıgrup bir serbest yarıgrubun homomorfik görüntüsüdür. Teorem S bir yarıgrup A S ve S = A olsun. O zaman AR nin S için bir takdim olabilmesi için gerek ve yeter koşul (i) R deki tüm ilişkilerin S de sağlanıyor olması; ve (ii) her uv, A + için u = v bağıntısı S de sağlanıyor ise u = v bağıntısı R nin bir sonucu olmasıdır. İspat: Ruskuc (1995), Proposition 2.3 e bakınız. Sonuç S, kümesi tarafından doğurulan bir yarıgrup, A herhangi bir küme, : bir örten fonksiyon ve olsun. O halde ikilisinin S nin bir yarıgrup takdimi olması için gerek ve yeter koşul, nin tek genişlemesi olarak tanımlanan homomorfizm olmak üzere (i) (, ) için ( ) = ( ) olması; ve (ii), için ( ) = ( ) iken = ilişkisinin R nin bir sonucu olmasıdır. Sonuç S bir yarıgrup, A herhangi bir küme ve : bir fonksiyon olsun. O halde ikilisinin S nin bir yarıgrup takdimi olması için gerek ve yeter koşul, nin tek genişlemesi olarak tanımlanan homomorfizm olmak üzere (i) ( ) nin S için bir doğuray kümesi olması, (ii) (, ) için ( ) = ( ) olması, ve (iii), için ( ) = ( ) iken = ilişkisinin R nin bir sonucu olmasıdır. Önerme M bir monoid olsun. Eğer, M nin bir yarıgrup takdimi ise, birim elemanı temsil eden bir kelime olmak üzere, = M nin bir 34

44 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER monoid takdimidir. Diğer taraftan da eğer, nin bir monoid takdimi ise ve, daki ilişkilerde yerine e yazılması ile elde edilen ilişkiler kümesi olmak üzere,, =, =, = ( ) M nin bir yarıgrup takdimidir. Sonuç M bir monoid olsun. M nin sonlu takdimli monoid olması için gerek ve yeter koşul sonlu takdimli yarıgrup olmasıdır. 35

45 2.TEMEL TANIM ve TEOREMLER 36

46 3.Sn OTOMORFİZMLERİ 3. S n OTOMORFİZMLERİ Tanım 3.1. boş olmayan bir küme ve : bir dönüşüm olsun. Eğer birebir ve örten ise ya in bir permütasyonu denir. in tüm permütasyonlarının kümesi ile gösterilir. Eğer = = [ ] = {1,, } ise yerine kullanılır. ve olsun. = ( ) şeklinde gösterilir. Eğer ise = şeklinde yazılır. 3 için nin değişmeli grup olmadığı açıkça görülür. Her için 1 = olarak tanımlı 1 = : permütasyonuna birim permütasyon denir. Ayrıca elemanın tersini ile göstereceğiz. Tanım 3.2. boş olmayan bir küme olsun. Eğer bir için = ise e nın bir sabit noktası denir. Aksi halde sabit olmayan nokta denir. Ayrıca ( ) = { : = } ve h ( ) = { : } kümeleri tanımlanır. ve, 2 tamsayısı için h ( ) = {,, } olsun. Eğer =, =,, = ve = ise ya bir denir ve = (,,, ) şeklinde yazılır. Ayrıca 1 her için ( ) =1 şeklinde yani (1)=(2)= =( )= olan bir devire yani 2 devire bir transpozisyon denir. şeklinde tanımlıdır. Uzunluğu 2 Tanım 3.3. G bir grup (yarıgrup ve monoid) ve : bir fonksiyon olsun. Eğer her, için ( ) = ( )( ) ise φ ye bir endomorfizm denir. 37

47 3.Sn OTOMORFİZMLERİ G bir monoid olduğunda ayrıca 1φ = 1 ise φ ye bir monoid endomorfizmi denir. G nin tüm endomorfizmlerinin kümesi End(G) ile gösterilir. Önerme 3.4. End(G) bir yarıgruptur. İspat: ve, G nin iki endomorfizmi olsun. O zaman;, için ( ) o = ( ) = ( )( ) = ( ) ( ) = ( o ) ( o ) olup, o da G üzerinde bir endomorfizmdir. Dolayısıyla ( ) bir yarıgruptur. Hatta birim elemanı birim fonksiyon olan bir monoiddir. Tanım 3.5. Eğer φ End(G) hem bire-bir hem de örten ise φ ye G nin bir otomorfizmi denir. G nin tüm otomorfizmlerin kümesi ( ) ile gösterilir. Birim endomorfizm 1 =1 ( ) olup ( ) dir. Ayrıca bire-bir ve örten dönüşümlerin bileşkesi de birebir ve örten olup,, ( ) ise o bire-bir ve örten olur. Dolayısıyla ( ), ( ) nin bir altmonoididir. Ayrıca ( ) için de birebir ve örtendir. Her, için örten olduğundan = ve = olacak şekilde c, d G vardır. Dolayısıyla bir endomorfizm olduğundan ( ) = olur. Böylece ( ) = ( ) = = ( )( ) 38

48 3.Sn OTOMORFİZMLERİ olup ( ) dir. Yani ( ) bir gruptur. Tanım 3.6. G bir grup ve g olsun. : fonksiyonu için = şeklinde tanımlansın. O zaman, = = = = olup iyi tanımlı bire-bir fonksiyondur. Ayrıca ( ) = ( ) = ( ) = ( )( ) = ve her için ( ) olup ( ) = ( ) = olduğundan örtendir. Dolayısıyla ( ) dir. Bu şekilde tanımlanan ye bir iç otomorfizm denir. bir grup ve üzerindeki tüm iç otomorfizmlerinin kümesi ( ) ile gösterilir. Birim otomorfizm 1 = ( ) olup Inn( ) dir., ( ) olsun. O zaman her için o = = ( ) = h ( )h = ( h) ( h) = olduğundan o = ( ) dir. Ayrıca yukarıda h yerine yazılır ise görüleceği üzere 39

49 3.Sn OTOMORFİZMLERİ = ( ) olur. Böylece Inn(G) bir altgruptur. ( ( ) ( ). ) ( ) ve ( ) olsun. Her için = ( ) = ( ( ) ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) olduğundan = ( ) ( ) olur. O halde ( ) ( ) dir. G değişmeli grup ise her ( ) ve her için = = = olup =1 dir. O halde ( ) = {1 } dir. Önerme 3.7. S bir yarıgrup (grup), ( ) vea, S nin bir doğurayı olsun. = { } kümesi de S nin bir doğurayıdır. İspat: olsun. O zaman örten olduğundan = olacak şekilde vardır. = olduğundan = olacak şekilde,, vardır. Böylece = = ( ) = ( )( ) ( ) olur. S bir grup ise benzer şekilde = olduğundan = olacak şekilde,, vardır. Böylece =( ) olup 40

50 3.Sn OTOMORFİZMLERİ olur. = = ( ) = ( )( ) ( ) G, sonsuz elemanlı bir devirli grup olsun. (Z,+) olur. Z nin sadece iki doğurayı (1 1) vardır. bir otomorfizm ise 1 =1 veya 1 = 1 olmak zorundadır. 1 =1 = olup =1 dir. 1 = 1 = olup = 1 dir. ( ) = {1, 1 } dir. O halde ( ) dir. Tanım 3.8. için; ( ) = { : (, ) =1 } olarak tanımlanan fonksiyonuna Euler - fonksiyonu denir. p asal ise ( ) = 1; p asal ve ise ( ) = ; ve ayrıca, için (, ) =1 ise ( ) = ( ) ( ) olduğu kolaylıkla gösterilebilir. = =1 ={1,,, } (,+) { } tarafından doğurulan derecesi n olan devirli grup ve olsun. = (, ) olduğundan nın nin bir doğuray olması için gerek ve yeter koşul (, ) =1 olmasıdır. Böylece ( ) tane doğurayı vardır. = { \{0} (, ) =1} olsun. O zaman her, için in (, ) =1 (, ) =1 (, )=1 olduğundan olur. Her için (, ) =1 + =1 1( ) 41

51 3.Sn OTOMORFİZMLERİ olur. O zaman elemanı ( ) olacak şekilde seçilir ise 1( ) olur. Böylece, ( ) bir gruptur. Önerme 3.9. ( ) dir. İspat: : ( ) fonksiyonu ( ) için =1 olarak tanımlayalım., ( ) olsun. Eğer 1 = ve 1 = ise (, ) =1 ve (, ) =1 olduğundan 1,1 olur. f nin iyi tanımlı olduğu açık olup, eğer 1 =1 ise için = (1 ) = (1 ) = olduğundan f bire-birdir. f bire-bir ve örtendir. Eğer 1 = ve 1 = ise ( ) = ( ) = olduğundan f ( ) =1( ) = (1 ) = = (1 ) = = (1 )(1 ) = ( )( ) olup f bir homomorfizm ve dolayısıyla bir izomorfizmdir. Tanım G bir grup (yarıgrup) ve olsun. Eğer, her ( ) için = ise H ye G nin bir karakteristik altgrubu denir. Kısaca H ye charg denir. Önerme Eğer her ( ) için ise H bir charg dir. 42

52 3.Sn OTOMORFİZMLERİ İspat: Her ( ) için olsun. O zaman her ( ) için ( ) olup olur. = ( ) = ( ) olur. Dolayısıyla ve olup = olur. Örnek G bir grup (monoid) ise {1} ve G, G nin iki karakteristik altgrubudur. Teorem G bir grup ve ( ) = { : ç = } de G nin merkezi olsun. O zaman Z( ) olup ( ) ( ) dir. İspat: : ( ) fonksiyonunu her için = olarak tanımlayalım. f iyi tanımlı ve örtendir. Ayrıca her, için ( ) = = o = ( ) o ( ) olup f bir homomorfizmdir. = = için = için = için = ( ) olduğundan = ( ) olup 1. İzomorfizmTeoremi nden 43

53 3.Sn OTOMORFİZMLERİ olur. ( ) ( ) Teorem ( ) ( ) grubu ( ) grubunun bir altgrubuna izomorfiktir. İspat: ( ) ( ) ( ) fonksiyonunu her (, ) ( ) ( ) = için,, : fonksiyonu her (, h) için (, h), = (, h ) şeklinde tanımlı olmak üzere, (, ) =, olarak tanımlayalım. O zaman, her (, h ), (, h ) için (, h ) = (, h ) = ve h = h = ve h = h ( 1:1 ı ı) (, h ) = (, h ) (, h ), = (, h ), olup, iyi tanımlı ve bire-birdir. Ayrıca (, h) ç örten olduğundan = ve h = h olacak şekilde (, h ) vardır. Dolayısıyla (, h ), = (, h) olup, örtendir. Son olarak her (, h ), (, h ) için (, h ), (, h ), =((, h h )), =(( ),(h h ) ) = (, h h )=(, h )(, h ) = (, h ), (, h ), 44

54 3.Sn OTOMORFİZMLERİ olup, ( ) olur. Her (, ), (, ) için (, ) = (, ) = = = h = h ( (, h) ) (, h ) = (, h ) ( (, h) ), =, (, ) = (, ) olup iyi tanımlı ve birebirdir. Her (, h) için (, h) (, o, ) =(, h ), = ( ), (h ) = ( ), h( ) = (, h), olup bir homomorfizmdir. Örnek G, elementer abelyen p-grup (p asal) ise bir n pozitif tamsayısı için ( ), olur. İspat: = (n tane) olsun. O zaman = { = (1,0,0,,0), = (0,1,0,,0),, = (0,0,,0,1)} alınırsa = olur. ( ) için = ise = olacağından ( ) 0 dır. O halde : ( ), dönüşümü olarak tanımlanırsa ( ), olur. Tanım bir grup olsun. Eğer ( ) = {1} ve ( ) = ( ) ise ye complete grup denir. 45

55 3.Sn OTOMORFİZMLERİ Teorem ( ) dir. İspat: 3 ve ( ) olsun. Kabul edelim ki Shift( ) olsun. O zaman bir ikilisi için = olur. Ayrıca bir \{, } alalım. Eğer = ise = ( ) alındığında ( )( )= = = = olsaydı nın bire-birliğinden = \{, } çelişkisi elde edilirdi. Eğer ise = ( ) alınırsa ( )( ) = = = çelişkisi elde edilirdi. Bu durumda. Shift( )= yani Sonuç olarak 3 ise Z( ) = { } olur. = olur Önerme ( ) olsun. Eğer her transpozisyonun altındaki görüntüsü yine bir transpozisyon ise bir iç otomorfizmdir. İspat: ( ) olsun. altında (12),(13),,(1t) (2 ) transpozisyonlarının görüntülerini ele alalım. Hipotezden (12) = ( ) olacak şekilde bir ( ) transpozisyonu vardır. ( ) otomorfizmini {, } {1,2} = ise : (1 )(2 ) (1 )(2 ) şeklinde tanımlayalım. Böylece (1 )(2 )(12)(1 )(2 ) = ( ) 46

56 3.Sn OTOMORFİZMLERİ olduğundan (12) = (12) olur. Böylece (12) { } olur. Benzer şekilde her bir (1 ) (2 ) için iç otorfizmleri tanımlanır. Her 1 için = ( ) şeklinde tanımlanır ise (12), (13),, (1 ) ( ) olur. Bu iddiayı t üzerinden tümevarım ile yapalım. t=2 için = olup gösterildi ki (12) ( ) dir. Kabul edelim ki hipotez t için doğru olsun. ve diğer tüm iç otomorfizmler transpozisyonları koruduğundan otomorfizmi de transpozisyonu korur. Böylece (1 +1)=( ) olur. (12) ile ( ) ayrık olsaydı (12)( ) permütasyonunun derecesi 2 olurdu. Fakat (12)(1 +1) = (12) (1 +1)=(12)( ) olup (12)(1 +1) in de derecesinin 2 olması gerekirken (12)(1 +1)= (1, +1,2) olup derecesi 3 tür. Böylece (12) ile ( ) ayrık olamazlar. Dolayısıyla (1 +1)=(1 ) veya (1 +1)=(2 ) olur. Eğer ise (1 +1)=(1 ) (12),,(1 ) olup (1 ) { } olur ki bu 47

57 3.Sn OTOMORFİZMLERİ (1 +1)=(1 )= (1 ) çelişkisini verir. Böylece +1 olur. ( ) iç otomorfizmi : ( +1) ( +1) şeklinde tanımlı olsun. O halde (1 +1)=( +1)(1 +1)( +1)=(1 ) olduğundan (1 +1)= (1 +1) olur. Ayrıca her 2 için (1 ) = ( +1)(1 )( +1)=(1 ) olduğundan (ve dolayısıyla ) (1 ) sabit tutar. Böylece otomorfizmi (12), (13),,(1 ),(1 +1) transpozisyonlarını sabit tutar. Böylece özel olarak = şeklinde tanımlanır ise, = {(12),,(1 )} doğuray kümesini sabit tutar. Diğer bir ifade ile = ( ) olarak tanımlanır ise her (1 ) 2 için (1 ) = (1 ) 48

58 3.Sn OTOMORFİZMLERİ olduğunda (1 ) = (1 ) olur. = {(12),,(1 )} olduğundan için = olacak şekilde,, {(12),, (1 )} vardır. Dolayısıyla ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) olur. Not:, deki tüm transpozisyonların kümesi olsun., deki tüm ayrık iki transpozisyonların çarpım kümesi olsun. Bu şekilde, deki tüm ayrık k transpozisyonların çarpım kümesi olsun. Yani = {( ): }, = {( )( ): {, } {, } = } Benzer şekilde,, yazılır. Bu durumda = ( ), = ( ) ( )( ) ve benzer şekilde = ( 1) ( 2 +2)( 2 +1) 2! olur. nın tüm parçalanışlarının sayısı ( ) ile gösterilir. O zaman de ( ) tane devir yapısı vardır. Devir yapıları aynı olanlar eşlenik olduğundan de ( ) tane eşlenik sınıfı vardır. Bunlardan bazıları 49

59 3.Sn OTOMORFİZMLERİ,,, 2 dir. Otomorfimler dereceyi koruyacağından in görüntüsü bir olmak zorundadır. Yani ( ) ise ( ) = 1 2 olur. Ayrıca = olduğundan ( 1) ( 2 +2)( 2 +1) 2! = ( 1) 2 olup ( 2)( 3) ( 2 +1)=2! olur. 2 olduğundan ( 2) ( 2 +1) (2 2) (2 2 +1)= (2 2)! olur. Yani 2! (2 2)! olur ki bu durumda 4 için 2 (2 2) ( +1)=( + 2) ( +1) 4 =2 çelişkisi elde edilir. O halde 3 tür. =2 ise ( 1)( 2)( 3) 2 = ( 1) 2 olup 50

60 3.Sn OTOMORFİZMLERİ ( 2)( 3) =4 5 +2=0 yani = ± çelişkisi elde edilir. Bu ise 2 yi verir. =3 ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) 2 3! = ( 1) 2 olup ( 2)( 3)( 4)( 5) =24 eşitliği =6 için geçerlidir. >6 için çelişki elde edilir. Teorem ç ( ) olur. İspat: ( ) ise bir önceki önermeden ( ) = olduğundan ( ) olur. Böylece ( ) = ( ) dir. Teorem ( ) = ( ) dir. İspat: olup complete değildir. Çünkü merkezleyeni vardır. Teorem nın dış otomorfizmleri vardır. 51

61 3.Sn OTOMORFİZMLERİ İspat: ROTMAN, J. J., An Introduction to the Theory of Group. Theorem 7.9 bakınız. 52

62 4.BAĞINTILAR YARIGRUBUNUN OTOMORFİZMLERİ 4. BAĞINTILAR YARIGRUBUNUN OTOMORFİZMLERİ Önerme 4.1. olmak üzere ( ) = olması için gerek ve yeter koşul = olduğunda = olmasıdır. İspat: ( ) ( ) = ve = olsun. Eğer (, ) ise ( ) = olduğundan (, ) olacak şekilde bir vardır. Dolayısıyla (, ) olur ki bu = olması ile çelişir. O halde = olur. ( ) = olduğunda = olsun. Kabul edelim ki ( ) olsun. O zaman bir \ ( ) mevcut olup, = {(, )} alındığında = olup = olması gerekir ki bu bir çelişkidir. Bu durum ( ) = olduğunu gösterir. Önerme 4.2. olmak üzere ( ) = olması için gerek ve yeter koşul = olduğunda = olmasıdır. İspat: ( ) ( ) = ve = olsun. Eğer (, ) ise ( ) = olduğundan (, ) olacak şekilde bir vardır. Dolayısıyla (, ) olur ki bu = olması ile çelişir. O halde = olur. ( ) = olduğunda = olsun. Kabul edelim ki ( ) olsun. O zaman bir \ ( ) mevcut olup, = {(, )} alındığında = olup = olması gerekir ki bu çelişkidir. Bu durum ( ) = olduğunu gösterir. Önerme 4.3., olmak üzere ( ) ( ) olması için gerek ve yeter koşul = olacak şekilde için = olmasıdır. İspat: ( ) ( ) ( ) ve = olsun. Eğer olsaydı bir (, ) mevcut olurdu. Bu durumda (, ) ve (, ) olacak şekilde bir vardır. ( ) ( ) olduğundan (, ) olacak şekilde bir vardır. Dolayısıyla (, ) = çelişkisi elde edilir. Böylece = olur. 53