İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ
Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk fonksiyonu Dağılım fonksiyonun Olasılık fonksiyonlarının MATLAB kullanılarak elde edilmesi
Tanım Daha önceki bölümlerde olasılık hesaplamaları basit rastgele olaylar için toplama ve çarpma kuralı uygulanarak elde edilmişti. Ancak ilgilenilen rastgele olaya ait tüm olasılıkları Karşılaştırmaları istemin özel davranış göstergelerini ve bazı tahminleri kolaylıkla yapabilmek amacıyla tanımlanan rastgele değişkene bağlı matematiksel modeller kullanılmaktadır. Bu matematiksel modeller, rastgele değişkenlerin kesikli veya sürekli olmasına göre tanımlanmaktadır.
Kesikli Rastgele Değişkenler Rastgele değişken, aldığı sayısal değerlere göre iki farklı şekilde olabilir. Bu nedenle, rastgele değişkenler iki başlık altında ele alınır. Kesikli (Süreksiz) Rastgele Değişken Sürekli Rastgele Değişken Kesikli Rastgele Değişken: X rastgele değişkeninin R deki değer kümesi olan A sayılabilir veya sayılabilir olarak sonsuz bir küme ise X e kesikli (süreksiz) rastgele değişken denir. Örnek: Bir zar atışı, Paranın yazı tura atışı Bir fabrikanın haftalık üretimindeki kusurlu mal sayısı
Sürekli Rastgele Değişkenler X rastgele değişkeninin R deki değer kümesi olan A sayılamaz bir küme ise X e sürekli rastgele değişken denir. Değer kümesinin A = {X a X b } olarak yazılacağı görülmektedir. Rastgele değişkenlerin kesikli ve sürekli ayrımı, basit olarak; tanımlanan rastgele değişkenin tamsayı olma durumunda kesikli, diğer durumlarda sürekli şekliyle olabilir. Örnek: bir malzemenin çekme dayanımı bir sınıftaki öğrencilerin boy uzunluğu aracın belirli bir zamanda aldığı yol, bir koşuya katılanların bitirme süreleri
Olasılık Matematiksel Fonksiyonları İlgilenilen tüm olasılıkları, karşılaştırmaları, sistemin özel davranış göstergelerini ve bazı tahminleri kolaylıkla yapabilmek amacıyla tanımlanan değişkene bağlı matematiksel modeller kullanılmaktadır. Rastgele değişkene ait matematiksel modeller (fonksiyonlar): kesikli rastgele değişkenler için olasılık fonksiyonu sürekli rastgele değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak tanımlanır.
Olasılık Fonksiyonu Olasılık Fonksiyonu: X kesikli rastgele değişkenin değer kümesi P(X): X in olasılık fonksiyonu Olasılık Fonksiyonun Özellikleri: için
Olasılık Fonksiyonu Örnek 1: İki hilesiz zarın atılması olayını dikkate alalım. X; atılan iki zardaki sayıların toplamını gösteren rastgele değişkeni olsun. a)x in olasılık fonksiyonun bulunuz Aşağıdaki olasılık değerlerini, olasılık fonksiyonu kullanarak elde ediniz b)toplamın 7 veya 11 olması c) toplamın 8 den büyük olması d)toplamın 3 den büyük fakat 9 dan küçük olması
Olasılık Fonksiyonu Örnek 1 ÇÖZÜM: X rastgele değişkenin alacağı değerler 2,3,,12 olduğundan X rastgele değişkeni kesikli rastgele değişkendir. Olasılık fonksiyonun değerleri:
Olasılık Fonksiyonu Örnek 1 ÇÖZÜM devam: a)olasılık ifadesi şeklinde yazarsak : A-> toplamların 7 olması ve B-> toplamların 11 olması ise b) d)
Olasılık Fonksiyonu Örnek 1 ÇÖZÜM devam: p(x) 0.18 0.16 olasılık fonksiyonu 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 zarların toplamı
Olasılık Fonksiyonu Örnek 2: Hilesiz bir madeni paranın yazı veya tura gelme olasılığı grafiksel olarak Şekil de verilmektedir. 1 olasılık fonksiyonu 0.8 0.6 p(x) 0.4 0.2 0-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Yazı/Tura Şekilden de görüleceği gibi bir olayın ihtimali olasılık fonksiyonu değerini gösteren tek bir değer ile gösterilir.
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu X sürekli rastgele değişkenin değer kümesi f(x): X in olasılık yoğunluk fonksiyonu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonun Özellikleri:
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Olasılık yoğunluk fonksiyonları da, olasılık fonksiyonları gibi grafiksel olarak elde edilebilir ve ilgilenilen rastgele olayın olasılıkları kolaylıkla grafikten gözlemlenebilir. Bazı olasılık yoğunluk fonksiyonları
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Örnek 3: X, aşağıda verilen olasılık fonksiyonuna sahip bir sürekli rastgele değişken ise Olasılıklarını hesap ediniz.
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Örnek 3 Çözüm: a) Olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak bir sürekli rastgele değişkene ait olasılık hesaplaması aşağıdaki ifade ile gerçekleştirilir: Dolayısıyla Değerini hesaplamak için aşağıdaki ifade integralin hesaplanması gerekir. Ancak olasılık yoğunluk fonksiyonun tanımlı olduğu aralık dikkate alınarak
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Örnek 3 Çözüm: b) c) d)
Dağılım Fonksiyonu X rastgele değişkenin (kesikli veya sürekli) verilen bir değere eşit veya küçük çıkma olasılığı ile ilgilenilen olaylar olasılık hesaplamalarında önemli bir yer tutar. Örneğin: Makine elemanına gelen kuvvetlerin, emniyetli kuvvet değerinden daha küçük olma ihtimali vb.. Bu tür hesaplamalar için dağılım fonksiyonu kullanılır. Dağılım Fonksiyonu: Kesikli rastgele değişken Sürekli rastgele değişken Bu fonksiyona eklenik dağılım fonksiyonu (kümülatif dağılım fonksiyonu), (birikimli dağılım fonksiyonu) denir.
Dağılım Fonksiyonu Grafiği Dağılım fonksiyonu grafiği, olasılık fonksiyonu veya olasılık yoğunluk fonksiyonu ile belirtilen olasılıkların toplamını belirtir. Örnek 4 (kesikli rastgele değişken): Şekilde verilen basit mesnetli kiriş ve P1 ve P2 yüküne maruzdur. Uygulanan P1 yükünün 4,5 ve 6 değerleri alma olasılığı P(P1=4)=0.3 P(P1=5)=0.5 P(P1=6)=0.2 olsun. Olasılık fonksiyonu ve dağılım fonksiyonunu çiziniz.
Dağılım Fonksiyonu Grafiği Örnek 4 Çözüm: Olasılık fonksiyonu çiziminde: X ekseni: rastgele değişkenin alacağı değerleri Y ekseni: bu değerleri alma olasılığını göstermektedir Dağılım fonksiyonu ise; X ekseni: rastgele değişkenin alacağı değerleri Y ekseni: bu değerleri alma olasılıklarının eklenik toplamını göstermektedir
Dağılım Fonksiyonu Grafiği Örnek 4 Çözüm Devam: Olasılık fonksiyonu ve dağılım fonksiyonun grafiğini veren MATLAB kodları: Olasılık fonksiyonu dağılım fonksiyonun
Dağılım Fonksiyonu Grafiği Örnek 5 (sürekli rastgele değişken): Yüksek bir yapının rüzgar hesabında kullanılacak olan maksimum rüzgar hızı için aşağıda verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu kabul edilmiştir. a) Dağılım fonksiyonunu elde ediniz b) Olasılık yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonunu çiziniz c) Rüzgar hızının 80 km/h aşma olasılığını hesaplayınız.
Dağılım Fonksiyonu Grafiği Örnek 5 (sürekli rastgele değişken) Çözüm: a) Dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonun belirli bir aralıkta integre edilmesi ile elde edilebilir. İpucu: MATLAB sembolik hesaplama ile kolaylıkla elde edilebilir. syms f x f=0.033*exp(-0.033*x) F=int(f,x)
F(x) Dağılım Fonksiyonu Grafiği Örnek (sürekli rastgele değişken) Çözüm: b) Dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonun belirli bir aralıkta integre edilmesi ile elde edilebilir. f(x) 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0 20 40 60 80 100 Rüzgar Hızı 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 20 40 60 80 100 Rüzgar Hızı
Dağılım Fonksiyonu Grafiği Örnek (sürekli rastgele değişken) Çözüm: c) Rüzgar hızının 80 km/h aşma olasılığı dağılım fonksiyonu veya dağılım fonksiyonu grafiği yardımıyla elde edilebilir. Grafikten okunacak olasılık değeri İstenilen olasılık ise, tüm olasılık 1 e eşit olduğundan: 1 0.9 0.8 0.7 0.6 F(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 20 40 60 80 100 Rüzgar Hızı
Dağılım Fonksiyonu Kümülatif dağılım fonksiyonu sürekli artan (monotonic) bir fonksiyondur ve özelliğine sahiptir. Bir olayın y 1 ve y 2 arasında bir değer alma olasılığı o sürekli değişkenin y 1 ve y 2 deki dağılım fonksiyonu değerleri arasındaki farka eşittir. Yani; P( y y y ) F ( y ) F ( y ) 1 2 Y 2 Y 1
Dağılım Fonksiyonu Örnek 6: X sürekli rastgele değişkene ait olasılık fonksiyonu yanda verildiği gibi olsun. Aşağıdaki ifadelerin doğru olup olmadığını belirleyiniz. a) b) X in 1 civarında değer alma ihtimali 2 civarında değeri alma ihtimalinden daha büyüktür. c) d) X in 4 ten büyük değeri alma ihtimali oldukça azdır.
Gelecek Dersin Konusu Sıklıkla kullanılan anakütle dağılımları