BİYOİSTATİSTİK ÖRNEKLEME

BİYOİSTATİSTİK ÖRNEKLEME B Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT

*Bir araştırmada, üzerinde çalışılan konu için gerekli olan bilginin elde edilebilmesi için konu ile ilgili bütün verilerin tek tek araştırılmasına tamsayım denir. *Örneğin, Nüfus sayımları *Küçük gruplar için sayım yapmak kolay olabilir. Fakat büyük gruplar için, ancak çok büyük kuruluşlar veya devletler gibi güçlü örgütler sayım yapabilir. Çünkü sayım yapmak, çok pahalı, aşırı zaman alıcı ve çok fazla uygulayıcı gerektirir. Bu sebeple veri grubunun tamamını araştırmak yerine, bu veri grubunu temsil edebilecek niteliğe sahip, grubun genel özelliklerini yansıtabilecek karakterde olan, veri grubunun içinden alınan, bir miktar veri üzerinde çalışılır. Bu yöntem sayıma göre çok ucuz, çok hızlı, az zaman alıcı ve uygulanabilirdir. Örneğin, Seçim öncesi tahmin araştırmaları. M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik

*Ana kütle: Yapılan bir araştırmayla ilgili, bütün verilerin bulunduğu topluluğa ana kütle denir. Ana kütle örneklemin seçildiği ve elde edilen sonuçların genelleştirileceği gruptur. Belirli sınırlamalar getirilerek her türlü grup ana kütleye dönüştürülebilir. *Örneğin Sakarya Üniversitesi bir ana kütle olarak alınırsa, üniversitedeki bütün bireyler (memur, öğretim üyesi, öğrenci vs.) ana kütleyi oluşturur. *Eğer üniversitedeki öğretim üyeleri üzerinde araştırma yapılacak olursa, bütün fakülte ve yüksekokuldaki yardımcı doçent, doçent ve profesörler ana kütleyi oluşturur. 3 M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik

*Parametre: Ana kütlenin bütün verilerinden hesaplanan ölçülere parametre denir. *Parametre değerleri, ana kütlenin, sayısal belirleyici ölçüleridir. *Örneğin; ana kütlenin aritmetik ortalaması, standart sapması, oranı önemli karakteristikleridir. Ana kütlenin aritmetik ortalaması μ, standart sapması σ ve oranı ise P ile gösterilir. 4 M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik

*Örneklem: Üzerine çalışılan belirli bir evreni temsil edilebilecek kapasiteye sahip ve bu evrenden belirli kurallara göre alınmış, evrenin herhangi bir alt grubuna örneklem denir. *Örnekleme: Üzerinde çalışılan bir evrenden örneklem seçme işlemine ise örnekleme denir. *İnsanlar günlük hayatta, örneklemeyi sık kullanırlar. Örneğin, insanda bir hastalık olup olmadığını belirleyebilmek için bir miktar kan alıp incelenebilir. *Örneklemi gereğinden fazla almak, kaynak israfına, az almak ise araştırılan olayın eksik incelenmesine sebep olur. İyi bir örneklem; minimum zaman, minimum iş gücü ve minimum maliyetle, araştırılacak olay ile ilgili yeterli bilgiyi 5 elde edebilen örneklemdir. M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik

*Örnekleme yapmayı gerekli kılan sebepler kısaca şöyle sıralanabilir: 1. Maliyetlerden (test, muayene vs.) tasarruf sağlanması,. Zaman tasarrufu sağlanması, 3. Doğru bilgi sağlanması, 4. Ana kütlenin tam sayımının pratik olarak imkansız olması, 5. Tahribatlı muayene işlemlerinde bir zorunluluk olması 6 M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik

*Bilimsel araştırmanın mantığı tümdengelim ve tümevarıma dayanır. *Önce geniş bir kütleden (evren) o kütlenin belli özelliklerini temsil ettiğine inanılan dar bir kütle (örnek) çekilir (tümdengelim). *Sonra bu Örnek kütle üzerinde yapılan araştırmaların bulguları ışığında evren hakkında genellemeler yapılır (tümevarım). 7 M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik

*Bir ana kütleden rassal olarak seçilen, her biri n hacimli bütün örneklemlerin sayısı k olsun, *Birinci, n hacimli örneklemin birimlerinin X 11, X 1,..., X 1n olduğu kabul edilirse, bu örneklem ortalaması X 1, *İkinci, n hacimli örneklemin birimlerinin X 1, X,...X n olduğu kabul edilirse, bu örneklem ortalaması X, *k ncı, n hacimli örneklemin birimlerinin X kl, X k,..., X kn olduğu kabul edilirse, bu örneklem ortalaması X k olur. *Ana kütlenin tamamından elde edilen X 1, X,., X k ortalamalarının dağılımına ortalamaların örnekleme 8 dağılımı denir. M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik

*Ortalamaların örnekleme dağılımının ortalaması ana kütle ortalamasına eşittir. Yani, *μ X = X 1+X + +X k k = μ olur. *Örnekleme yapılırken, ilgili ana kütleden rassal olarak çekilen, sadece bir tane, n hacimli örneklem göz önüne alınarak, bu örnekleme ilişkin ortalama hesaplanır. Ana kütlesi 4 olan, hastaların boy uzunluğu; Boy Uzunluğu Hastalar (cm) A 160 B 150 C 140 D 170 ana kütle ortalaması μ = 160 + 150 + 140 + 170 9 4 = 60 4 = 155 M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik

*Bu 4 birimlik ana kütleden elde edilebilecek bütün ikili örneklemler Örneklem No Örneklem Gözlem Örneklem Birimleri Değerleri Ortalamaları 1 A,B 160,150 155 A,C 160,140 150 3 A,D 160,170 165 4 B,C 150,140 145 5 B,D 150,170 160 6 C,D 140,170 155 *biçiminde yazılarak, ortalamaların örnekleme dağılımları olan 155, 150, 165, 145, 160, 155 değerlerinin de ortalaması alınırsa, yine * μ = 155+150+165+145+160+155 6 = 930 6 = 155 bulunur.

*Kütlenin sınırlı ya da sınırsız olmasına göre ortalamaların örnekleme dağılımı farklılık gösterir. İadeli seçim durumunda kütle sınırlı bile olsa sınırsız hale gelmiş olur. Çünkü seçilen örnek hacmi istenildiği kadar büyük tutulabilir (kütle hacminden bile büyük olabilir). Eğer kütle sınırlı ve iadesiz seçim yapılıyorsa örnek hacmi kütle hacminden daha büyük olamaz. *Aşağıda küçük bir kütleden çekilen iadeli örnekler için ortalamaların örnekleme dağılımının nasıl oluştuğu deneysel olarak gösterilmiştir. 11 M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik

*Elemanları {1,, 3, 4, 5} rakamlarından oluşan bir kütle örnek olarak ele alındığında parametreleri; ( X i N ) 10 5 Xi N * Bu kütleden birim içeren örnekler iadeli olarak seçilirse toplam N n = 5 = 5 örnek seçilebilir. Bu 5 örneğin dağılımına ilişkin tablo aşağıda verilmiştir. Tabloda parantez içindeki değerler örnek ortalamalarıdır. Bu ortalama değerler kullanılarak ortalamalar için frekans dağılımı elde edilmiştir. Buna ortalamaların örnekleme dağılımı adı verilmektedir. 15 5 3

*Tablo: N=5 büyüklüğündeki kütleden n= büyüklüğünde çekilebilecek mümkün örnekler Birinci Seçim 1 3 4 5 İkinci Seçim 1 3 4 5 1;1 (1) ;1 (1,5) 3;1 () 4;1 (,5) 5;1 (3) 1; (1,5) ; () 3; (,5) 4; (3) 5; (3,5) 1;3 () ;3 (,5) 3;3 (3) 4;3 (3,5) 5;3 (4) 1;4 (,5) ;4 (3) 3;4 (3,5) 4;4 (4) 5;4 (4,5) 1;5 (3) ;5 (3,5) 3;5 (4) 4;5 (4,5) 5;5 (5)

*Yukarıdaki tablodaki ortalamalar için aşağıdaki dağılım elde edilir. X i f i fi X i X i 1 1 1-4 1,5 3-1,5 4,5 3 6-1 3,5 4 10-0,5 1 3 5 15 0 0 3,5 4 14 0,5 1 4 3 1 1 3 4,5 9 1,5 4,5 5 1 5 4 Toplam 5 75 5 X f i ( X X ) i

*Yukarıdaki örnekte ortalamaların örnekleme dağılımının ortalaması; fi X i 75 X 3 olup kütle ortalamasına (µ) eşittir. f 5 i *Ortalamaların örnekleme dağılımının varyansı ise x f i ( X i f X ) 5 5 1 x olarak bulunur. Kütle varyansı ile örnek ortalamalarının varyansı aynı sonucu vermemiştir. Kütle varyansından hareketle örnek ortalamalarının varyansını elde edebilmek için; x n i 1 işlemi yapılır. Örnekleme dağılımının varyansının karekökü, yani örnekleme dağılımının standart sapmasına ortalamanın standart sapması ya da kısaca standart hata adı verilir ve şöyle yazılır. x x 1 n ( )

*Yukarıdaki standart hata formülüne dikkat edilirse örnek hacmi (n) büyüdükçe standart hata küçülmektedir. Şu halde örnek hacminin artması kütle ile ilgili bilginin artmasına, dolayısıyla örnek ortalamasının giderek kütle ortalamasına yaklaşmasına sebep olmakta ve örnekleme hatasının azalmasına sebep olmaktadır. *Sonuç: Yukarıdaki örnekte elde edilen: E ( X ) X E[( X ) ] x ; x n n *Bağıntılar sadece bu örnek için değil, sınırlı kütlelerden iadeli seçimin yapıldığı ya da sınırsız kütlelerden yapılan örneklemeler için geçerlidir.

*Kütle hacmi N sınırlı iken örnek seçimi iadesiz olarak yapılıyorsa ve örnek oranı n N 0,05 ortalaması (beklenen değeri) ve varyansı; E ( X ) E[( X ) X ] x n *Yukarıdaki standart hata formülündeki oluyorsa ortalamaların örnekleme dağılımının N n ; x N 1 ifadesi sınırlı kütle düzeltme faktörü olarak adlandırılır. Bu ifade kütlenin sınırlı olduğu, n örnek seçiminin iadesiz yapıldığı ve örnekleme oranının 0,05 N olduğu durumlarda kullanılır. Diğer durumlarda kullanılmaz. n N n N 1 olur N n N 1

*Yukarıdaki örnekte örneklemenin iadesiz olarak yapıldığı kabul edilirse, çekilebilecek örnek sayısı: N N! 5! 10 n n!( N n)!!(5 )! olup, örnekleme dağılımı şöyle teşkil edilir. X i fi fi X i X i X f ( X X ) 1,5 1 1,5-1,5,5,0 1,0-1,0 1,00,5 5,0-0,5 0,50 3,0 6,0 0,0 0,00 3,5 7,0 0,5 0,50 4,0 1 4,0 1,0 1,00 4,5 1 4,5 1,5,5 Toplam 10 30 7,50 i i

*Dağılımın ortalaması: *Dağılımın varyansı: 7,5 *Standart hata: x 0,75 10 şeklinde bulunur. *Bu sonuçlar kütle parametreleri kullanılarak şöyle elde edilir. E( X ) X E[( X ) *Buradan standart hata ] x 3 n x X x N ( N 0,75 30 3 10 olarak yazılır. *Eğer kütle standart sapması bilinmiyor, onun yerine örneğin standart f sapmasından hareketle örnekleme dağılımının standart hatasının tahmini s N n değeri; x olur. n N 1 i f i X f i ( X n ) 1 i i f i X i ) 7,5 0,75 10 5 ( ) 0,75 5 1

*Örnek: Ortalaması 60 standart sapması 10 olan bir ana kütleden 36 birimlik bir örnek alındığında bu örneğin ortalamasının a) 6 den büyük olması olasılığını bulunuz b) 40 dan küçük olması olasılığını bulunuz. *Çözüm: * a) Verilenler μ = 60, σ = 10, n = 36 olup P(6 < X) sonucu istenmektedir. P(6 < X) için istenen alan olduğundan, *standart Z değeri *Z= X μ x = 6 60 = = 1 σ/ n 10/ 36 10/6 10 = 1, içiminde hesaplanır.

*Çözüm a)6 den büyük olması olasılığını bulunuz *Verilenler μ = 60, σ = 10, n = 36 olup P(6 < X) sonucu istenmektedir. P(6 < X) için istenen alan olduğundan, *standart Z değeri *Z= X μ x = 6 60 = = 1 σ/ n 10/ 36 10/6 10 = 1, içiminde hesaplanır. *biçiminde hesaplanır. Z değerine karşılık gelen olasılık ise, Z tablosundan 0,5 den bulunarak çıkarılırsa *P(1,)<Z)=0,5-P(0<Z<1,)=0,5-0,3849=0,115 0,1 bulunur. *Sonuç: 36 birimlik 100 örnek alınırsa, yaklaşık 1 örnek 6 den büyük olur.

*Çözüm b) 40 dan küçük olması olasılığını bulunuz *=60, =10, n=36 olup; P(X<40) istenmektedir. P(40<X60) P(X<40)=0,05-P(40<X<60) *olduğundan, standart Z değeri *Z= X μ x σ/ n = 40 60 10/ 36 = 0 10/6 = 10 10 = 1 biçiminde hesaplanır. Z değerine karşılık gelen olasılık ise, Z Tablosundan bulunamayacağından P(Z<-10)=0 olur. Çünkü P(0 < Z < 3) 0,5000 olmaktadır. Bulunan sonuca göre; örneğin ortalamasının 40 dan küçük olma olasılığı mümkün değildir.

Örnek: Bir grup insan, 15 tonluk bir ağırlığı taşıyabilmektedir. Ortalaması 100 kg ve standart sapması 10 kg olan ağırlıklardan, 15 tanesini, güvenle taşımaları olasılığını bulunuz. Çözüm: Verilenler μ = 100, σ = 10, n = 15 ve 15000 15 P(X<98,7) istenmektedir. = 98,7 olup, P(x<98,7) için istenen alan olduğundan, standart Z değer

*Z= X μ x σ/ n =98,7 100 = 13 = 1,6 10/ 15 10/1,3 *biçiminde hesaplanır. Z değerine karşılık gelen olasılık Z Tablosundan bulunarak 0,5 ten Çıkarılırsa, *(Z < -1,6) = 0,5 - P(-1,6 < Z < 0) = 0,5-0,445 = 0,0548 sonucu bulunur. *Bulunan sonuca göre; insan grubu 10 bin defa taşıma işlemi yaparsa, 548 ini güvenle taşıyabilecektir.

* İki ana kütleden rassal olarak alman iki örneklemin veri sayıları nj ve n olmak üzere bu iki örneklemin toplamı ve farkına ait değerlerin ortalaması, ana kütle ortalamalarının toplam ve farkının ortalaması,e X 1 X = μ 1 μ varyanslan ise E X 1 X = σ 1. σ n 1 n eşittir. * Ortalamalarının toplam ve farkının dağılımı, normal veya yaklaşık normaldir. Yani. X 1 X N(μ 1 μ, σ 1 n 1. σ /n Farklar için Z testi ise Z = X 1 X (μ 1 μ ) σ 1 n1.σ /n olur.

* Örnek 3) Değerleri X 1 N(6,16) ve X N(5,15) olan, normal ana kütlelerin, birincisi için 1 birimlik, İkincisinden ise 16 birimlik örneklem alınmış olsun, * X 1 X farkın 4 ten fazla olma olasılığını bulunuz. * Çözüm: Verilenler * μ 1 =6, σ 1 =16, n 1 =1 ve μ =5, σ =15, n 1 =16 * X 1 X = 4 den fazla olması için Z değeri * Z = X 1 X (μ 1 μ ) = σ 1 n1.σ /n 4 (6 5) = 3 = 3 = 1,9 16/1 15/16 16/1 15/16 1,51 Z değeri= 0,4767, 0,5 ten çıkarılırsa, P(l,99 < Z) = 0,5 - P(l,99 < Z) = 0,5-0,4767 = 0,033

* Örneklemede araştırılmak istenen ana kütle, ilgilenilen özellik hasta-hasta değil, iyileşti-iyileşmedi, başarılı-başarısız, doğruyanlış, erkek-kız, gibi iki sonuçlu olabilmektedir. Böyle bir ana kütleden, istenen özelliğin oranı araştırılabilir. * Ana kütlenin hacmi N ve bu ana kütlenin içinde ilgilenilen özellikteki birim sayısı R ise, ilgilenilmeyen özellikteki birim sayısı N-R tanedir. Bu durumda, ana kütlenin içinde ilgilenilen özellikteki birimlerin oranı p = (R / N) ve ilgilenilmeyen Özellikteki birimlerin oranı q = (N - R)/ N olur, p, ana kütle oranıdır, p + q = 1 olduğundan q =1 - p yazılabilir. Ayrıca R < N olacağından, p değerleri 0 < p < 1 aralığında olur.

* Örneğin, ana kütle sayısı 10 olan, X hastasına, Y ilacı verilerek, aşağıdaki tablo elde edilmiştir. Bu durumda, iyileşen hastaların ana kütle oranın Hastalar Tedavi sonrası 1 İyileşti İyileşmedi 3 İyileşti 4 İyileşmedi 5 İyileşti 6 İyileşmedi 7 İyileşti 8 İyileşmedi 9 İyileşti 10 İyileşti * p=6/10=0,60 olur. P + q=1 olduğundan iyileşmeyen hastaların ana kütle oranı ise q = l-p = 1-0,60 = 0,40 olur.

* Ana kütledeki birim sayısı az olduğu için, oranların örnekleme dağılımı kolayca hesaplanabilmiştir. Fakat ana kütledeki birim sayısı çok olduğu ve tamsayım yapılamadığı durumlarda, oranların örnekleme dağılımım hesaplamak oldukça zordur. Çünkü tamsayım yapılamadığı için R bilinemez ve dolayısıyla da p hesaplanamaz. Bu durumda, ilgili ana kütle rassal olarak çekilen, n hacimli bir örneklem alınarak, bu örneklemin kuramsal dağılımından faydalanılır. * Bir ana kütleden rassal olarak alınabilecek n birimlik bir örneklem içinde ilgilenilen özellikteki birim sayısı x ise, ilgilenilen özellikteki birimlerin örneklem oranı p'=x/n olur. * Ayrıca 0 < x < n olacağından, p değerleri 0 < p'< 1 aralığında olur.

* Bir ana kütlenin bütün birimlerini kullanarak, rassal olarak oluşturulan, n birimlik tüm örneklerde, ilgilenilen özelliğe ait oranların dağılımı (bölünmesi) p1, p,...,pk olmak üzere, bu dağılıma oranların örnekleme dağılımı denir. Oranların örnekleme dağılımının ortalaması ana kütle oranına eşittir. Yani, * μ p = p 1+p+.+p k =p k * Ana kütle ortalamasının varyansı σ = p(1 p) n veya σ = pq n * Kare kökü alınırsa standart hata, σ = p(1 p) n veya σ = * Formülde görüldüğü üzere, standart hata, ana kütle oranı ile örneklem hacmi olan n ye bağlıdır. Yani, p sabitken, örneklem hacmi arttıkça, standart hata küçülür. Dolayısıyla, ana kütleden seçilen örneklemin sayısı arttıkça, çıkarılacak sonuçlar daha güvenilir olur. pq n

* Merkezi Limit Teoremine göre; örneklemdeki birim sayısı yeterince artırıldığında, Örneklem oranının (p ) dağılımı, normal dağılıma yaklaşır. Uygulamada np 5 ve nq 5 şartlarını birlikte sağlayan örneklem büyüklüğü yeterli görülmektedir. * Rassal örneklem hacmi n>30 ve ana kütle ortalamasının (p), 0 veya l e yakın değerler almaması durumunda oranların örneklem dağılımı normal dağılıma yaklaşır. Bu şartları sağlayan örnekleme dağılımı ile ilgili problemlerde, standartlaştırılmış normal dağılım * Z= p p = p p σ p pq n dönüştürülür. formülü yardımıyla standart değerlere

* Süreklilik düzeltmesi yapılır. Süreklilik düzeltmesi ± (l/n)ile yapılır. Yani Z değeri hesaplanırken p yerine duruma göre p'+(l/n) veya p'-(l/n) yazılır. Oranların örnekleme dağılımı ile ilgili olasılık hesaplan için * Z= p p pq n * Z= p p p.q n = formülünden X n p n.p.q n.n = X n p n.p.q n = X n.p n.p.q formülü elde edilerek, Binom un normale yaklaşımı ile de yapılabilir.

* Örnek: Bir bölgede A hastalığına yakalanma oranı %60 dır. Bu bölgeden rasgele 00 kişi seçildiğinde bunlardan 130 veya daha fazlasının A hastalığına yakalanma olasılığını bulunuz. * Çözüm: Verilenler p = 0,60, n = 00, X = 130 ve * p'=130/00=0,65 olup. P(0,65 p ) istenmektedir. P(0,65 p ) için istenen alan * * olduğundan,

* standart Z değeri * Z= p p p.q n hesaplanır. = 0,65 1.00 0,60 0,60.0,40 00 = 0,0475 0,0346 = 1,37 biçiminde Z değerine karşılık gelen olasılık ise, Z tablosundan bulunarak 0,5 çıkarılırsa, * P(l,37 < Z) = 0,5 - P(0 < Z < 1,37) = 0,5-0,4147 = 0,0853 sonucu bulunur.

* Örnek: Beyin ameliyatları yapılırken hata yapma oranı %6 olarak bilinmektedir. 50 hasta örneklem olarak alındığında, bu örneklemde, hata yapma sayısının 4 den az olması olasılığını bulunuz. * Çözüm: Verilenler p = 0,06, n = 50 ve p'=4/50=0,08 olup, P(p'<0,08) istenmektedir. * Standart Z değeri Z= p p p.q n = 0,08 1.50 0,60 0,06.0,94 50 = 0,001 0,0336 = 0,97 * biçiminde hesaplanır. Z değerine karşılık gelen olasılık ise, Z tablosundan bulunarak 0,5 eklenirse; P(Z < 0,33) = 0,5 + P(0 < Z < 0,33) = 0,5 + 0,193= 0,693

* Örnekleme sürecinde 1. Araştırmanın ana kütlesi tanımlanır. Örnekleme çerçevesi belirlenir 3. Örnek büyüklüğü belirlenir 4. Uygun bir örnekleme tekniği ile veriler elde edilir.

* Araştırma ana kütlesine alınacak veya alınmayacak birimlerin belirlenmesi, zaman ve coğrafi yapının sınırlandırılması vb. açık, net ve anlaşılır bir biçimde yapılmalıdır. * Örnekleme çerçevesi ise, örneklemin alındığı ana kütlede bulunan bütün birimlerin yazılı olduğu listedir. Örneğin sağlık yönetimi öğrencileri için yapılan bir çalışmada, örnekleme çerçevesi bütün sağlık yönetimi öğrencilerinin yazılı olduğu listedir. Oluşturulan listeden, değişik örnekleme yöntemleri kullanarak, üzerinde çalışılacak örneklem elde edilir.

* Çok sayıda olay gözlemlendiğinde, olaylara zıt yönlerde ve çeşitli düzeylerde etki eden rassal nedenlerin etkileri büyük sayılar kanununca denkleşir, kuralına göre, örnek içindeki birim sayısı arttıkça, ana kütle hakkında yapılan genellemelerde de yanılma olasılığı azalacaktır. Bu sebeple, bir örneklem, hem ana kütlesini temsil etme büyüklüğüne sahip olmalı, hem de maliyet, zaman ve veri analizi için uygun olmalıdır. * En genel haliyle, örneklem büyüklüğünü etkileyen faktörler; araştırmanın hassasiyet derecesi, hata payı, istatistiksel analiz ve ana kütlenin büyüklüğü olarak sıralanabilir. * Büyük örneklem verilerinde (Pragmatik bilim adamlarına göre n>100 ve daha duyarlı bilim adamlarına göre n>400) test sonuçları normallik şartının sağlanmadığını gösterse de bunun pratikte çok fazla bir önemi yoktur. Böyle bir durumda histogram, kutu grafiği ve normal olasılık grafikleri incelenir. Dağılım normale yakın bir özellik gösteriyorsa, p değerinde normallik koşulunun sağlanmaması çok fazla önemli değildir * Ayrıca veri sayısı azaldıkça güvenilirliğin de azalacağı göz önünde bulundurulmalıdır.

* Örneklemler, alt kategorili ise (cinsiyet, yaş, eğitim vb.) her bir kategorinin örneklem büyüklüğü 30 veya daha fazla olmalıdır. * Çok değişkenli analiz için örneklem büyüklüğü, değişken sayısının 5 veya daha fazla katı olmalıdır. * Örneklem büyüklüğünün belirlenmesi için geliştirilen formüllerin, uygulanabilmesi için ihtiyaç duyulan bilgiler, çoğu zaman elde edilemez veya elde edilse bile kesin değerler değildirler. Bu sebeple, örneklem büyüklüğü tam olarak belirleyebilmek zor olmakla beraber, araştırmacılar için, bu formüller, iyi bir rehberdir. * Örneklem büyüklüğünün belirlenmesinde kullanılan bazı formüller aşağıda verilmiştir.

* a) Ana kütlenin varyansı biliniyor ve ana kütledeki birim sayısı (N) bilinmiyor ise; * n = σ.z α/ d *n= Örneklem büyüklüğü *σ = Ana kütlenin varyansı *Z / = Belirli bir anlamlılık düzeyinde, Z tablosuna göre bulunan teorik değer. Diğer bir deyişle, istenilen olasılık düzeyi için Z değeridir (= 0,05 için 1.96, = 0,01 için ;58) *d= Tahmin edilecek olan ana kütle ortalaması ile aynı ana kütleden alınan örneklem ortalaması arasındaki sapma miktarı (X - μ )

* b) Ana kütlenin varyansı biliniyor ve ana kütledeki birim sayısı (N) bilmiyorsa ise; * n = N.σ.Z α/ d N 1 +xσ.z α/ * c) Ana kütlenin varyansı bilinmiyor, ana kütledeki birim sayısı da (N) bilinmiyor ise; * n = S.t (α/);(n 1) d *t/:n-1: Belirli bir a anlamlılık düzeyinde, T tablosundan bulunur. *S : Örnek varyansı

* d) Ana kütlenin varyansı bilinmiyor, ana kütledeki birim sayısı (N) biliniyor ise; * n = N.S.t (α/);(n 1) d N 1 +S.t (α/);(n 1)

* a) Ana kütledeki birim sayısı (N) bilinmiyor ise; * n = p.q.z (α/) d *p= Ana kütledeki incelenen olayın gözlenme oranı (gerçekleşme olasılığı), incelenen olayın örneklemde gözlenme oranı ise p' biçiminde gösterilir. *q = 1 - p: Ana kütledeki incelenen olayın gözlenmeme oram (gerçekleşmeme olasılığı), incelenen olayın örneklemde gözlenmeme oranı ise q = 1 - p' biçiminde gösterilir. *d: Tahmin edilecek olan ana kütle oranı ile aynı ana kütleden alınan örneklem oranı arasındaki sapma miktarı (p' - p)

* b) Ana kütledeki birim sayısı (N) biliniyor ise; * n = N.S.Z (α/) d N 1 +Z α/.p.q.p.q

* Örnek: Bir araştırmada, X şehrindeki Y hastalığına yakalananların aylık ortalamaları bulunmak isteniyor, X şehrindeki yapılan araştırmalardan, Y hastalığına yakalananların aylık standart sapmalarının 5 kişi olduğu öğrenilmiştir. Yapılan çalışmada, 0,05 anlamlılık düzeyinde en fazla 10 kişilik bir yanılma payı amaçlıyorsa, Örneklem hacmi ne olmalıdır?

* Çözüm: * α = 0,05, σ = 5, Z 0,05/ = 1,96, d = 10 * n = σ.z α/ d = (5).(1,96) (10) = 401 100 = 4

* Örnek: Nüfusu 50000 olan bir X şehrindeki Y hastalığına yakalananların aylık ortalamaları bulunmak isteniyor. X şehrindeki yapılan araştırmalardan, Y hastalığına yakalananların aylık standart sapmalarının 5 kişi olduğu öğrenilmiştir. Yapılan çalışmada, 0,05 anlamlılık düzeyinde en fazla 10 kişilik bir yanılma payı amaçlıyorsa, Örneklem hacmi ne olmalıdır?

* Çözüm: * N = 50.000, α = 0,05, σ = 5, Z 0,05/ = 1,96, d = 10 * n = 4 N.σ.Z α/ d N 1 +xσ.z α/ = 50000.(5).(1,96) 10. 50000 1 +(5).(1,96)

* Örnek: Bir bölgedeki X hastalığının oranının %30 olduğu tahmin edilsin. Yapılan bir araştırmanın %99 güven aralığı ( = 0,01) ve d = 0,05 örnekleme hatası içereceği kabul edilirse, hastaların örneklemindeki hasta birey sayısı kaç olmalıdır? * Çözüm: * p = 0,30, q = 0,70, Z 0,01 =,58, d = 0,05 * n = p.q.z (α/) d = 0,30.0,70.(,58) (0,05) = 1,397844 0,005 559

* Örnek: Hasta sayısının 5000 olduğu bir bölgedeki X hastalığının oranı %30 olduğu tahmin edilsin- Yapılan bir araştırmanın %99 güven aralığı (= 0,01) ve d = 0,05 örnekleme tahmin hatası içereceği kabul edilirse, hastaların örneklemindeki hasta birey sayısı kaç olmalıdır? * Çözüm: * p = 0,30, q = 0,70, Z 0,01 =,58, d = 0,05, N=5000 * n = N.S.Z (α/) 503 d N 1 +Z α/.p.q.p.q = 5000.(,58).0,30.0,70 0,05. 5000 1 +(,58).0,30.0,70

* Bir ana kütlenin bütün birimlerini kullanarak, rassal olarak oluşturulan, n birimlik örneklerde, ilgilenilen özelliğe ait oranların dağılımı (bölünmesi) p1, p,..., pk, olmak üzere, bu dağılıma oranların örnekleme dağılımı denir. Oranların örnekleme dağılımının ortalaması ana kütle oranına eşittir. Yani, * μ p = p 1+p +.+p k =p olur. k * Ana kütle oranının varyansı, * σ = p(1 p) veya σ = pq n n alınırsa, standart hata biçiminde olduğundan, karekökü

*Örnek Seçiminde Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar. *1. Anakütlenin tanımı: Örnek alınacak kütleye ait birimler açık bir şekilde tanımlanarak kütlenin çerçevesi çizilmelidir. *. Örneğin temsilcilik niteliği: Örnek, üzerinde durulan özellik bakımından kütleye benzer durumda bulunmalı, onu temsil etmelidir. *3. Birimlerin eşit şansla seçimi: Kütle içinde yer alan tüm birimlerin örneğe seçilme şansları eşit kılınmalıdır. Her birim eşit şansla seçime katılmalıdır. *4. Tarafsızlık: Kütleden örnek birimlerinin seçimi sırasında, bu işi yapan kişinin tamamen tarafsız davranması gerekir. *5. Örnek hacmi: Örnek hacmi arttıkça örnek istatistiği kütle parametresine yaklaşır. Bunun için yeterli büyüklükte örnek seçilmelidir.

*Kütleden örneklerin seçilmesi işi olasılıklı ve olasılıksız olmak üzere iki şekilde yapılır. *Olasılıklı örneklemede, kütledeki tüm birimlerin örneğe girme şansları eşit kılınır. N tane birimden oluşan bir kütleden n birimden oluşan bir örnek seçilecekse, her bir birimin örneğe girme şansı eşit yani n/n olur. Olasılıklı seçimden dolayı örnek, kütleyi daha iyi yansıtır. *Olasılıksız örneklemede, birimlerin seçimi için bir kural yoktur. Bundan dolayı da her birimin seçilme şansı farklı farklıdır. Seçim tamamen keyfi yapılmakta ya da yalnız gönüllü olanlar örneğe dahil edilmektedirler. Birimlerin rastgele yöntemle seçilmemelerinden dolayı örneğin kütleyi temsil yeteneği azdır

1- Basit Rastgele Örnekleme *Üzerinde durulan özellik bakımından kütledeki birimler homojen bir şekilde dağılmışlarsa, örnek basit rassal yöntemle seçilir. Bu yöntemde birimlerin örneğe girme şansları eşit olup, örnek kütleden rassal olarak bir defada seçilir. *Örneğin, ana kütle, bir fabrikada çalışan 000 işçi olsun. Örneklem için, bu ana kütleden 300 işçi seçilmek istenilsin. Yapılacak basit tesadüfi seçim için 000 işçinin adlan l den 000 e kadar numaralandırılır ve bu numaralar bir torbaya atılır. Daha sonra bunlardan, 300 ü torbalan çekilerek ankete katılacaklar belirlenir. Bu işlem yapılırken her birbirine eşit seçilme şansı verebilmek için, seçilen her bir numara tekrar torbaya atılmalıdır. Eğer aynı numara birden fazla gelirse, bu durum göz ardı edilir ve her bir numara sadece, bir ankete karşılık gelir. Bu veriler bilgisayara aktarılarak, rasgele seç komutuyla da yapılabilir.

- Sistematik Örnekleme *Örnek seçim işlemlerinin kolay olması sebebiyle özellikle ana kütlenin büyük olduğu durumlarda kullanılan bir örnekleme yöntemidir. Kütle yapı itibarıyla basit rastgele örneklemede olduğu gibi aranan özellik açısından homojen bir yapıya sahipse sistematik örnekleme kullanılabilir. Basit rastgele örneklemeden farkı, birimlerin seçiminin tamamen rassal değil de sistematik bir şekilde yapılmasıdır. *Ana kütlenin hacmi N ve örneklem hacmi de n olmak üzere, (N / n) = k oranı hesaplanır. 1 den k ya kadar olan sayılardan herhangi biri, rassal olarak seçilir. Rassal olarak seçilen x sayısı, örnekleme alınacak birinci elemanın sıra numarasıdır. Örnekleme alınacak ikinci, üçüncü,..., n inci eleman sırasıyla x + k, x + k,..., x + (n - l)k olur. (N/n) = k büyütme faktörü denir.

- Sistematik Örnekleme *Örneğin, ana kütlenin hacmi 000 ve ömeklem hacmi 500 olmak üzere, büyütme faktörü, (000/500) = 4 olarak bulunur, l den 4 e kadar olan sayılardan herhangi biri, rassal olarak seçilir. Rassal olarak seçilen sayı 3 olsun. 3 sayısının rassal olarak seçilme olasılığı 1/4 dür. 3 sayısı, örnekleme alınacak birinci elemanın sıra numarasıdır. Örnekleme alınacak, ikinci, üçüncü,..., (n-l) inci eleman sırasıyla 3 + 4, 3 +.4, 3 + 3.4,... 3 + (500-1).4 olur. Yani sayılar 6, 10, 14,... 1998 inci elemanlardan oluşur. *Sistematik örnekleme, ana kütledeki elemanlara sıra numarası verilerek yapılabileceği gibi, alfabetik sıraya konularak ya da başka bir sistematik yolla da yapılabilir

3- Tabakalı Örnekleme *Üzerinde durulan özelliğin değerleri bakımından birimlerin homojen dağılmadığı, buna karşılık birbirlerine yakın değerlerin bir araya gelerek tabakalar oluşturduğu kütlelerde tabakalı örnekleme yöntemi uygulanabilir. *Ana kütlede var olan özelliğin oranı, örneklemeye de aynı oranda geçmelidir. Örnekle ana kütlesi 1000 olan hastaların 600 ü erkek, 400 ü bayan ise, ana kütlenin %60 ı erkek ve %40 ı bayan demektir. Bu ana kütleden 100 hasta alınırsa, ana kütledeki yüzde oranın, örnekleme geçmesi için, 100 hastadan 60 ı erkek, 40 ı bayan olmalıdır. Belirlenen alt tabakalardan örneklem alınırken, basit tesadüfi örnekleme kullanılabilir. Bu örnekleme yöntemiyle birden fazla değişken, aynı anda işleme tabi tutulabilir. Bu yöntemin uygulanabilmesi için sınırları belirlenmiş bir ana kütlenin tabakalarındaki birimlerin homojen olması ve tabakalar arasında gerçek bir farklılık bulunması gerekir.

4- Küme Örneklemesi *Küme örneklemesinin esası, birimlerin kütle içindeki kümelenme şekline dayanır. Eğer kütledeki birimler bir araya gelerek gruplar oluşturuyorlarsa ve bu gruplar birbirlerine benzer durumda olup her bir grup kendi içinde kütlenin tüm özelliklerini gösterir durumda ise küme örneklemesi yapılır. *Önce gruplar rassal olarak seçilir. Sonra, seçilen gruplardaki bütün birimler, örnekleme alınır. Bir birimin, rassal olarak seçilen, her hangi bir gruba dâhil olabilmesi için, o gruptaki, diğer birimlerle, ortak bir özelliğe sahip olması gerekir. Bu yöntemde, herhangi bir özellikten ziyade, coğrafi özellikler göz önüne alınarak kümeler oluşturulur. Kümelere göre örneklemede, her küme, bir örnekleme birimi gibi düşünülür ve rassal olarak seçilen küme örneklemi oluşturur. Örneğin, 10000 doktora ihtiyaç var ve her şehirde de 000 doktor varsa, rassal olarak 5 şehir seçilir ve bu şehirlerdeki bütün doktorlar, örnekleme dâhil edilir. Bu yöntemde örneklem hatası büyük olabilir. Küme sayısını artırıp, kümelerdeki birimlerin aazaltılması, bu örnekleme yöntemi için daha uygundur.

5- Kademeli Örnekleme *Kütlenin doğal olarak kademeli bir şekilde alt gruplara ayrılabildiği ve ilgilenilen özellik yönünden birimlerin homojen dağıldığı durumlarda tercih edilen bir yöntemdir.

*Olasılıklı olmayan örnekleme, birimlerin seçiminde keyfi seçim yönteminin uygulandığı örnekleme yöntemleridir. *Ana kütledeki her bir birimin, örnekleme girme olasılıkları (şansı) birbirine eşit olrnayıpp araştırmacının kendi inisiyatifini kullandığı örneklemeye, olasılığa dayalı olmayan veya yargısal (kasti) örnekleme denir. *Başka bir deyişle, örnekleme giren birimlerden birinin şansı diğerlerinden daha yüksek veya düşük olabilen örneklemeye, olasılığa dayalı olmayan örnekleme denir.

1- Kolayda Örnekleme: *Bu örnekleme yönteminde kolayca ulaşılabilir birimleri seçmek suretiyle bir örnek oluşturulmaya çalışılır. Örneklemede birimlerinin seçimi görüşmeci tarafından doğru zamanda doğru yerde bulunan birimler, gönüllü katılımcılar arasından yapılır. *Oldukça yaygın olarak kullanılan bu teknikte esas, ankete cevap veren herkesin örneğe dahil edilmesidir. En kolay bulunan denek en ideal olanıdır. Denek bulma işlemi arzu edilen örnek büyüklüğüne ulaşılıncaya kadar devam eder. Televizyonların düzenlediği telefon anketleri buna örnektir. İnternet ortamında gerçekleştirilen ve giderek yaygınlaşan anketlerde de bu yöntem kullanılır. Ulaşabilen ve arzu eden herkes (çoğunlukla birden çok kere) ankete katılır. Bu yöntemle en ucuz yoldan yüksek bir örnek kütle oluşturulabilir. Ancak örneğin oluşturulma yöntemi dikkate alındığında, kolayda örnekleme yöntemiyle elde edilen verilerin belli şüphe ile değerlendirilmesi gereği açıktır. Örnek kütlenin, ana kütleyi temsil etme gücünün çok düşük olması muhtemeldir. Bu yöntemin ideal olarak kullanılacağı yer pilot çalışmalarıdır. Ancak, elde edilen bulguların geneli temsil ettiğini iddia etmemek gerekir.

- Yargısal Örnekleme: *Örneği oluşturacak birimlerin seçimlerinin seçimi yapan kişilerin arzu, düşünce ve deneyimlerine dayanarak yapılmasına yargısal örnekleme denir. *Araştırmacı, araştırdığı konu ile ilgili sorulara cevap alabileceği kişilere ulaşmaya çalışır. Dolayısıyla, denekler rassal olarak seçilmeyip, araştırmacının ön yargısına bağlı olarak elde edilir. Örneğin üst düzey zenginlerle ilgili olarak yapılacak bir araştırma için, üst düzey zengin olarak kabul edilen deneklere ulaşılmalıdır.

3- Kota Örneklemesi: *Bu yöntemde tabakalı örnekleme yönteminde olduğu gibi anakütle alt kütlelere ayrılır. Araştırmacı her alt kütlenin temsili için kota koyar. Bu kota belirlenen tabakanın anakütleye oranına göre belirlenir. Kota örneklemede örneğe girecek elemanlar tesadüfen değil araştırmacını kendi isteğine göre belirlenir. *Tabakalı örnekleme yönteminin olasılığa dayalı olmayan biçimidir. Yani, ana kütlede var olan özelliğin oranı, Örnekleme aynı oranda geçmelidir. *Kota örneklemede sınırlı bir ana kütle, araştırmanın amacına uygun olarak araştırmacının öngördüğü belirli değişkenlere göre sınırlandırılır (tabakalandırılır). Bu değişkenler yaş, cinsiyet, eğitim durumu, meslek, hastalık olabileceği gibi, etnik köken, kırsal ve kentsel değişkenler de olabilir. Araştırmacı seçtiği değişkenler açısından ana kütleyi benzer alt gruplara ayırır. Çalışacağı birim sayısını da kendi olanakları çerçevesinde saptar. *Örneğin belirli bir hastalık üzerinde yapılacak araştırmada, hastanede yatan hasta sayısı 500 ise ve araştırmacı bunlardan 100 kişiyle görüşmeye karar vermişse araştırmada kullanılacak kota Q=100/500 =l/5,dir. Araştırmacı belirlediği değişkenlerin oluşturduğu her alt gruptan 0 hasta ile görüşecek demektir. Kota saptandıktan sonra tanımlanan her alt gruptan kota oranına uygun olmak kaydıyla istenilen hasta ile görüşülebilir

4- Kartopu Örneklemesi: *Anakütlenin elemanları tam olarak belirlenmezse ya da anakütle sınırını belirlemek mümkün değilse anakütleyi belirleyecek örneği oluşturmak zordur. Araştırmacı bu durumda örneği adım adım oluşturur. Kartopu olarak bilinen bu yöntemde araştırmacı ulaşabileceği ilk elemanı belirler. Bu elemandan elde ettiği bilgilerle diğer elemanlara ve bu şekilde zincirleme olarak anakütleyi temsil eden örneğe ulaşmaya çalışır.

5- Dilim Örneklemesi: *Tanımlanan anakütlenin birimleri geniş bir coğrafi alana dağılmışsa, birimlere ulaşmak hem masraflı hem de çok zaman alıcı olur. Anakütlenin bir dilimi yığını temsil edecek nitelikte görülürse, gerekli veriler yalnız bu dilimdeki birimlerden toplanarak tahminler bu verilerden yararlanılarak yapılır. Bir bankanın sadece şubelerinin olduğu yerlerden örnekleme yapması buna örnek gösterilebilir. Bu örnekleme araştırmacıya maliyet ve zaman acısından büyük yarar sağlar.

*Genellikle N harfi ile gösterilen kütle hacmi sınırlı veya sınırsız olabilir, ancak n harfi ile gösterilen örnek hacmi sınırlıdır. N büyüklüğündeki bir kütleden n büyüklüğünde çekilebilecek örnek sayısı sınırlı sayıda olmakla birlikte, sınırsız sayıda eleman içeren bir kütleden n büyüklüğünde çekilebilecek örnek sayısı da sınırsız olur. *N büyüklüğündeki bir kütleden n büyüklüğünde çekilen bir örnekte kütledeki birimlerin örneğe girme şansları eşit ise bu tür örneklemeye Basit Rassal Örnekleme adı verilir. Basit rassal örneklemede kütledeki birimler iadeli ya da iadesiz şekilde çekilebilirler. *Kütleyi betimleyen ortalama, varyans gibi ölçülere kütle parametreleri adı verilir. Eğer bu ölçüler örnekten elde ediliyorsa buna da örnek istatistiği adı verilir. Örnek istatistikleri kütle parametrelerinin bir tahminidir.

67 M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik