Ünite 4 ÜÇNLR ŞLİ V NZRLİ ölüm 4.3. u ölümde Neler Öğreneceğiz? çıortay ve üçgenin açıortaylarının özelliklerini Üçgenin kenarortaylarının özelliklerini Orta dikme ve üçgenin kenar orta dikmelerinin özelliklerini Üçgenin yüksekliklerinin özelliklerini Neden Öğreneceğiz? Üçgenin yardımcı elemanları hem üçgenleri daha iyi tanımada hem de daha karmaşık geometrik şekilleri analiz etmede önemli bilgiler sunar. Örneğin üçgenin ağırlık merkezi kullanılarak daha karmaşık şekillerin ağırlık merkezleri bulunabilir. Üçgenin Yardımcı lemanları
ölüm 4.3. Üçgenin Yardımcı lemanları HZIR MIYIZ? 1. 3x + 14 5x 6 Şekilde [, nın açıortayı olduğuna göre x kaçtır? 5. şağıda kesişen d, k, l, n ve m doğruları ile ilgili verilen ifadelerdeki boşlukları uygun şekilde doldurunuz. d T k. ir doğrunun bir çembere teğet olmasının ne anlama geldiğini açıklayınız. 3. l H Yandaki şekilde noktasının l doğrusuna olan uzaklığını gösteren doğru parçası hangisidir? J L H l m n a.... noktaları d doğrusu üzerindeki doğrusal noktalardır. b.... noktaları k doğrusu üzerindeki doğrusal noktalardır. c. k ve l doğruları... noktasında kesişmektedir. ç. m ve d doğruları... noktasında kesişmektedir. 6. şağıda verilen üçgenleri açılarına göre sınıflandırınız. 4. şağıdaki ifadelerin yanlarındaki boşluğa doğru olanlar için yanlış olanlar için Y yazınız. 60 a. (...) İki doğru paralel değilse kesişirler. b. (...) Çakışık olmayan iki doğru birden fazla noktada kesişebilirler. c. (...) noktası [] nın orta noktası ise = dir. ç. (...), P ve noktaları doğrusal P noktası I 110 70 60 60 O H L 30 30 M P N ve noktaları arasında ve P = P ise 1 1 P = ve P = dir. J 774 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
MTMTİ TÖLYSİ u atölye çalışmasında bir açının açıortayı üzerinde alınan bir noktanın açının kollarına olan uzaklıkları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. raç ve ereçler: inamik geometri yazılımı dım 1 inamik geometri yazılımında bir çiziniz. dım Yazılımın çıortay özelliğini kullanarak nın açıortayını çiziniz. dım 3 çıortay üzerinde herhangi bir noktası alınız. dım 4 noktasından ve kenarlarına dik doğrular çiziniz. Çizdiğiniz dik doğruların ve kenarlarıyla kesim noktalarını sırasıyla ve H olarak isimlendiriniz. dım 5 H H H Yazılımın uzunluk ölçme özelliğini kullanarak, H, ve H değerlerini ölçünüz ve yandaki tablonun birinci satırını doldurunuz. rdından noktasını açıortay üzerinde sürükleyerek noktasının farklı konumları için tablodaki uzunlukların aldığı değerleri gözlemleyerek tablonun diğer satırlarını da doldurunuz. Sonuç Yukarıdaki tabloyu inceleyerek bir açının açıortayı üzerinde alınan bir noktadan açının kollarına çizilen dikmelerin uzunlukları ve bu dikmelerin açının kolları üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi belirleyiniz. elirlediğiniz ilişkilerin gerekçelerini açıklayınız.... Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 775
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları Neler Öğreneceğiz? ir açının açıortayını çizmeyi Üçgenin iç ve dış açıortaylarının özelliklerini nahtar Terimler çıortay İç çıortay Teoremi İç teğet çember ış teğet çember ış çıortay Teoremi 4.3.1. çıortay aşlarken Oda duvarlarının zeminle birleştiği yerlerde kenar pervazları (süpürgelik) bulunur. Marangozlar, kenar pervazlarını duvarların köşelerine yerleştirirken öncelikle duvarın köşe açısını belirlemek zorundadır. unun nedeni köşelerde süpürgeliklerin tam olarak birleşmesidir. çı belirlendikten sonra her bir pervaz uçlarından belirlenen açının yarısı ölçüsünde kesilir. öylece pervazlar duvarın köşelerinde tam olarak birleşir. Marangozlar aslında duvarın köşesinde oluşan açının açıortayını oluşturmaktadırlar. aha önceki yıllarda bir açıyı eş iki parçaya ayıran ışına açıortay denildiğini öğrenmiştik. şağıdaki çizim çalışmasında pergel-cetvel kullanılarak verilen bir açının açıortayının nasıl çizilebileceği açıklanmıştır. ir çının çıortayını Çizme 1. dım. dım eometrik Çizim Sembol ve österimler n, n T T S S Pergelin sivri ucu noktasına konularak açının kollarını T ve S noktalarında kesen bir yay çiziniz. 3. dım Pergeli TS nun yarısından fazla olacak şekilde açınız ve merkezi S olan bir yay çiziniz. 4. dım T N T N S S Pergelin açıklığını bozmadan merkezi T olan ve bir önceki yayı kesen farklı bir yay çiziniz. Yayların kesim noktasını N olarak isimlendiriniz. ile N noktalarını cetvelle birleştiriniz. 776 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
çıortay Yukarıdaki geometrik çizim çalışması sonucunda pergel ve cetvel kullanarak W nın açıortayını çizdiniz. Şimdi de çizmiş olduğunuz [N nın niçin W nın açıortayı olduğunu inceleyelim: T S N İlk çizilen yayın merkezi noktası ve bu yay açının kollarını T ve S noktalarında kestiğinden 6S@ b 6T@ ( 6S@ ve 6T@, merkezli çemberin yarıçapları)dir. enzer sebepten dolayı 6SN@, 6TN@ dir. yrıca 6N@, 6N@ olduğundan... eşlik kuralına göre TN b SN dir. ş üçgenlerin karşılıklı açıları eş olduğundan TN, SN olur. öylece [N, W nı iki eş parçaya ayırır. onu başında yapılan etkinlikte bir açının açıortayı üzerinde alınan bir noktanın açının kollarına olan uzaklıkları arasındaki ilişkiyi incelemiştik. şağıdaki teorem bu ilişkiyi göstermektedir. nahtar ilgi şağıdaki şekilde açının oluşturduğu iç ve dış bölgeler gösterilmiştir. Teorem İç bölge ış bölge N ir açının açıortayı üzerinde alınan herhangi bir noktadan açının kollarına çizilen dikmelerin uzunlukları eşittir. İspat: Verilenler: [N, nın açıortayı; [N, [] ^ [ ve [] ^ [ İstenen: = [N açıortay ise mn ( ) = mn ( ) dir. m ( ) = m ( ) = 90 olduğundan üçgeni ile üçgenlerinin üçüncü açılarının ölçüleri de eşit olur. _, b O halde, 6@, 6@ ` ise... eşlik kuralına göre, elde edilir., b a Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 777
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları ş üçgenlerin karşılıklı kenarları eş olacağından = olur. u teorem, [N açıortayı üzerinde alınan her noktanın, açının kollarına eşit uzaklıkta olduğunu göstermektedir., eşliği aynı zamanda = olduğunu da göstermektedir. Sonuç Yukarıdaki teorem bir üçgenin açıortayı üzerinde alınan herhangi bir noktanın açının kollarına eşit uzaklıkta olduğunu belirtmektedir. u teoremin karşıtı da doğrudur. ir açının iç bölgesinde alınan bir nokta açının kollarına eşit uzaklıkta ise bu nokta açının açıortayı üzerindedir. 1 7 cm x N Yandaki şekilde na ait açıortay [N olmak üzere [N açıortayı üzerinde alınan noktasının [] na olan uzaklığı 7 cm ise bu noktanın [] na olan uzaklığını bulalım. çıortay üzerinde alınan bir noktanın açının kollarına olan uzaklığı eşit olduğundan = = 7 cm olur. 5 cm 5 cm 5x 3x + 0 Yandaki şekilde verilen noktası nin iç bölgesindedir. noktasının nın kollarına olan uzaklıkları 5 er cm dir. m ( ) = 5x - ve m ( ) = 3x + 0 olduğuna göre m ( ) nın kaç derece olduğunu bulalım. 778 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
çıortay noktası nın kollarına eşit uzaklıkta olduğundan bu nokta W nın açıortayı üzerindedir. çıortay bir açıyı iki eş parçaya ayırdığından m ( ) = m ( ) olur. Verilenler yerine yazılırsa 3x + 0 = 5x ve buradan x = 11 olarak bulunur. m ( ) = 5 11- = 53 dir. 3 ir faul atışında, kalecinin kaleye gelen topu kurtarabilmesi için, topun izleyebileceği yollara eşit uzaklıkta olması gerekir. ksi takdirde kalenin bir tarafını daha çok açık bırakmış olur ki bu onun o tarafa uzanabilme potansiyelini düşürür. una göre kalecinin topun kaleye geldiği anda nasıl bir pozisyon alması gerektiğini bulalım. alecinin iyi pozisyon alması ve kalenin bir tarafını açık bırakmaması için, topun izleyebileceği en uç yollara (gol olmasını sağlayacak yollar) eşit uzaklıkta olması gerekir. olayısıyla kale direklerinin zemine değdiği noktaları ve, topun bulunduğu konumu noktası olarak isimlendirirsek, bir açının açıortayı üzerinde bulunan her nokta açının kollarına eşit uzaklıkta olduğundan kalecinin nın açıortayı üzerinde olması gerektiği sonucuna ulaşılır. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 779
MTMTİ TÖLYSİ u atölye çalışmasında bir üçgenin bir iç açıortayının bu açının karşısındaki kenar üzerinde oluşturduğu doğru parçalarının uzunlukları ile üçgenin o açıyı oluşturan kenarlarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. raç ve ereçler: inamik geometri yazılımı dım 1 dım dım 3 N inamik geometri yazılımı yardımıyla bir üçgeni çiziniz. üçgeninin açısına ait açıortayını çiziniz. u açıortayın kenarını kestiği noktayı N olarak isimlendiriniz. Yazılımın uzunluk ölçme özelliğini kullanarak üçgeninin ve kenar uzunlukları ile [N] ve [N] nın uzunluklarını bulup aşağıya yazınız. =... =... N =... N =... dım 4 Yazılımın ilgili özelliğini kullanarak uzunlukları aşağıdaki gibi oranlayınız. lde ettiğiniz oranlar arasındaki ilişkiyi yazınız. =... N =... N dım 5 üçgenini köşe noktalarından hareket ettirerek farklı üçgenler oluşturunuz. Oluşan her yeni üçgen için N ile oranlarındaki ilişkiyi inceleyiniz. ördüncü N adımda elde etiğiniz ilişki değişiyor mu?... dım 6 üçgeninin ve açılarına ait iç açıortaylarını çiziniz. üçgeninin iç açıortaylarının tümü aynı noktada mı kesişmektedir?... dım 7 üçgenini köşe noktalarından hareket ettirdiğinizde a. Oluşan dar açılı üçgenler için iç açıortaylar tek bir noktada mı kesişmektedir? b. Oluşan dik üçgenler için iç açıortaylar tek bir noktada mı kesişmektedir? c. Oluşan geniş açılı üçgenler için iç açıortaylar tek bir noktada mı kesişmektedir? ç. üçgeninin iç açıortaylarının kesim noktası her zaman üçgenin iç bölgesinde midir? Sonuç Yukarıda yapmış olduğunuz çalışmalar sonucunda bir üçgenin bir iç açıortayının karşı kenarda ayırdığı parçalarla üçgenin diğer kenarlarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi ve üçgenin iç açıortaylarının kesim noktası için elde ettiğiniz ilişkiyi yazınız....... 780 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
çıortay Üçgenin İç çıortayları ir üçgenin herhangi bir iç açısını eş iki parçaya bölen ışının, köşe ile karşı kenar arasında kalan parçasına, n n üçgenin o köşesine ait iç açıortayı denildiğini öğrenmiştik. Yandaki üçgeninde [N], W nı eş N iki açıya böldüğünden, açıortaydır. ir üçgeninin açısına ait açıortayın uzunluğu genellikle n ile gösterilir. ir üçgeninin açısına ait iç açıortayın karşı kenarı kestiği N noktasının karşı kenar üzerinde oluşturduğu [N] ve [N] nın uzunlukları ile üçgenin ve kenarlarının uzunlukları arasında bir ilişki bulunmaktadır. şağıdaki teorem bu ilişkiyi ifade etmektedir. İç çıortay Teoremi Teorem ir üçgende, herhangi bir iç açıortayın karşı kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, diğer iki kenarın uzunlukları oranına eşittir. N Yandaki şekilde [N], açısının açıortayı olmak üzere N N = dir. İspat: Verilenler: [N], W nın açıortayı N İstenen: N = noktasından geçen ve [N] na paralel olan bir doğru çizelim. u doğru kenarının uzantısını noktasında kessin. una göre, mn ( ) = mn ( ) (verilen) mn ( ) = m ( ) (yöndeş açılar) olduğundan mn ( ) = m ( ) (iç ters açılar) 1443 N m( ) = m ( ) bulunur. u durumda, üçgeni, ikizkenar üçgen olduğundan = olur. üçgeninde, [N] // [] olduğundan temel orantı teoremine göre, N = olur. = olduğundan bu eşitlikte N N yerine yazılırsa = elde edilir. N Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 781
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları 1 6 Yandaki üçgeninde [], açısına ait açıortaydır. = 4 cm 4 = 6 cm = cm olduğuna göre nu bulalım. üçgeninde [] açısına ait açıortay olduğundan, İç çıortay Teoremine göre = dir. una göre, 4 = den, = 3 cm olarak bulunur. 6 6 Yandaki şekilde [] ve [] sırasıyla ve açılarının açıortaylarıdır. = 6 br, = 8 br ve = 1 br 8 1 ise nun kaç br olduğunu bulalım. nahtar ilgi ve üçgenlerinde [] ve [] sırasıyla ve açılarının açıortaylarıdır. [], nın açıortayı olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremi uygulanırsa, =... (*) dir. d c a b una göre a c =b d dir. [], nın açıortayı olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremine göre, =... (**) dir. (*) ve (**) dan 6 una göre, = orantısı elde edilir. 8 = den = 9 br olarak bulunur. 1 78 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
çıortay 3 70 4 56 Yandaki şekilde [] ve [] sırasıyla ve nın açıortaylarıdır. [] [] = {} = 4 br = 70 br = 56 br ise nu bulalım. [], nın açıortayı olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremi uygulanırsa, =... (*) dir. [], nın açıortayı olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremi ne göre, =... (**) dir. (*) ve (**) dan una göre, 11 70 = den = 35 br elde edilir. 56 = x br olsun. una göre, = 35 x br olur. = orantısı elde edilir. [], üçgeninde açısına ait açıortay olduğundan, İç çıortay Teoremi ne göre, 4 x 3 x = orantısından, = & = 56 35 - x 4 35 - x den 105 3x = 4x ise 7x = 105 olur. uradan x = 15 br olarak bulunur. 4 6 4 8 Yandaki şekilde [], nın açıortayıdır., [] nın orta noktası = 6 br = 8 br = 4 br ise nu bulalım. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 783
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları [], nın açıortayı olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremine göre, 6 = elde edilir. una göre, = 6k, = 8k olarak alı- 8 nabilir. = orantısından,, [] nın orta noktası olduğundan = = 4k olur. [], üçgeninde V nın açıortayı olduğundan, İç çıortay Teoremine göre, = orantısından, 6k 4k = eşitliğinden = 6 br elde edilir. 4 Üçgenin iç açıortaylarını gözlemlediğiniz atölye çalışmasında üçgenin iç açıortaylarının bir noktada kesiştiğini belirlemiştiniz. Şimdi ulaşmış olduğunuz bu sonucu teorem olarak ifade edelim ve üçgenin iç açıortaylarının neden bir noktada kesiştiğini ispatlayalım. Teorem I R Üçgenin iç açıortayları bir noktada kesişir. N İspat Verilenler: bir üçgen; [N], [R], [] sırasıyla, ve açılarının iç açıortayları İstenen: [N] [R] [] = {I} I R ve açılarının açıortaylarını çizelim. u açıortaylar I noktasında kesişsin. 784 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
çıortay I R I noktasından üçgenin kenarlarına dik doğrular çizelim. çıortay üzerinde alınan bir noktadan açının kollarına çizilen dikmelerin uzunlukları eşit olduğundan I = I ve I = I olur. uradan I = I elde edilir. I R I noktası ile noktasını birleştirelim. ir açının kollarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta bu açının açıortayı üzerinde olduğundan [I] açıortay olur. ir diğer ifadeyle üçgenin iç açıortayları bir noktada kesişir. Yukarıdaki teoremde, iç açıortayların kesişimi olan I noktasının üçgenin kenarlarına olan uzaklıklarının birbirine eşit olduğu görülmektedir. u nedenle aşağıdaki sonucu yazabiliriz. nahtar ilgi Üçgenin iç açıortayları daima üçgenin iç bölgesinde kesişir. u nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. Sonuç Üçgenin iç açıortaylarının kesim noktası üçgenin kenarlarından eşit uzaklıktadır. İç açıortayların kesim noktası olan I, üçgenin kenarlarından eşit uzaklıkta olduğundan, I noktasını merkez, bu noktanın kenara olan uzaklığını da yarıçap kabul eden bir çember çizilebilir. u çembere üçgenin iç teğet çemberi denir. şağıdaki şekillerde bazı üçgenlerin iç teğet çemberleri gösterilmiştir. nahtar ilgi d R R R O N ar çılı Üçgen N ik Üçgen N eniş çılı Üçgen d doğrusu ile O merkezli çember tek noktada kesişirse d doğrusu çembere teğettir denir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 785
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları şağıdaki çizim çalışmasında verilen bir üçgenin iç teğet çemberinin dinamik geometri yazılımı kullanılarak nasıl çizilebileceği adım adım gösterilmiştir. Üçgenin İç Teğet Çemberini Çizme eometrik Çizim 1. dım. dım I R I R N ir dinamik geometri yazılımı kullanarak bir üçgeni çiziniz. Yazılımın çıortay özelliğini kullanarak üçgeninin iç açılarının açıortaylarını çiziniz. çıortayların kesim noktasını I olarak isimlendiriniz. Yazılımın ik oğru özelliğini kullanarak I noktasından kenarlardan herhangi birine dik doğru çiziniz. u dik doğrunun kenarı kestiği noktayı olarak isimlendiriniz. 3. dım 4. dım R Üçgeninizi köşelerinden tutarak hareket ettiriniz. Üçgenin farklı durumları için içteğet çemberi inceleyiniz. N Yazılımın Çember özelliğini kullanarak merkezi I olan ve noktasından geçen bir çember çiziniz. 786 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
çıortay 5 I 4 x 4 8 Yandaki şekilde, bir üçgen ve I noktası da bu üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. = 8 br I = = 4 br ise nu bulalım. α α k 8 I k 4 β β β x 4 I noktası üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olduğundan bu nokta iç açıortayların kesim noktasıdır. [I] açıortay olduğundan, üçgeninde İç çıortay Teoremine göre, I I = eşitliğinden I I una göre, I = k ise I = k olur. 8 = = olur. 4 m ^ h= ave mi ^ h= b olsun I = = 4 br olduğundan I üçgeni ikizkenar üçgen ve m( I) = m( I) olur. ir üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşit olduğundan I üçgeninde, m( I) = α+ β ve m( I) = α+ β olur. m( ) = m( ) + m( ) eşitliğinden α+ β = α + m ( ) olup m ( ) = β olur. m ( ) = m( I) = β ve m ( ) = m( I) = a olduğundan.. benzerlik kuralına göre, + I dır. = x olsun. una göre, I = eşitliğinden I 3k x = ise x = 6 br bulunur. k 4 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 787
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları 6 6 3 x I 5 Yandaki üçgeninde I noktası iç teğet çemberin merkezi = 5 br = 3 br = 6 br ise = x kaç birimdir? 6 x = 9k 3 3t I 5 5t 5k ir üçgenin iç teğet çemberinin merkezi iç açıortayların kesim noktası olduğundan, [] ve [], sırasıyla ve açılarının açıortayıdır. İç açıortaylar tek noktada kesiştiğinden [I], açısının açıortayı olur. [], açısının açıortayı olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremine göre, 9 = eşitliğinden = den = 9k olarak alınırsa, = 5k olur. 5 I 3 I üçgeninde [I] açıortay olduğundan, = eşitliğinden = eşitliğinden I 5 I I = 3t ise, I = 5t olur. üçgeninde [I] açıortay olduğundan, I = eşitliğinden, I 5 45 9 7 = x = 9k = = br bulunur. 7 6 3t 5 = den k = br bulunur. 14k 5t 7 Üçgenin ış çıortayları ir üçgenin herhangi bir iç açıortayının karşı kenar üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunluklarının üçgenin diğer kenar uzunlukları ile orantılı olduğunu öğrendik. şağıdaki teorem benzer bir ilişkinin dış açıortaylar için de geçerli olduğunu ifade etmektedir. ış çıortay Teoremi Teorem ir üçgeninde, açısının dış açıortayı kenarının uzantısını noktasında kesiyorsa, = dir. 788 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
çıortay İspat Verilenler: bir üçgen, [], W nın dış açıortayı İstenen: = noktasından doğrusuna paralel olan bir doğru çizelim. u doğru kenarını noktasında kessin. m ( ) = m ( ) (iç ters açılar) m( ) = m ( ) (yöndeş açılar) m( ) = m ( ) 13 olduğundan u durumda üçgeni bir ikizkenar üçgendir. Yani, = dir. üçgeninde, [] // [] olduğundan, Temel Orantı Teoremi nden, = olur. u eşitlikte yerine yazılırsa = olur. 7 Yandaki şekilde [], üçgeninin açısının dış açıortayı 5 = 5 br, = olduğuna göre nu bulalım. ış çıortay Teoremi ne göre = olduğundan + 5 = 5 dir. 10 uradan 5 = + 10 ve buradan = br olarak bulunur. 3 8 Yandaki şekilde m ( ) = m ( ) 4 3 = = = 4 br olduğuna göre nu bulalım. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 789
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları 180 α α α m ( ) = a olarak alalım. m ( ) = m ( ) olduğundan m ( ) = a olur. 3k k uradan m ( ) = 180 -a dır. = olduğundan m ( ) = 180 -a elde edilir. α 180 α 4 3k nin kenarını doğrultusunda uzatalım ve,, noktaları doğrusal olacak şekilde bir noktası alalım. u durumda m ( ) = a olmalıdır. uradan [], açısının dış açıortayı olur. 3 = = olduğundan = k dersek = = 3k olur. ış çıortay Teoremine göre, = ve buradan 4 = denklemi elde edilir. 4+ 3k 3 u denklem çözülürse 8 + 6k = 1 ise k = olur. = 3k+ 4 = 3 + 4 = 6br elde 3 3 edilir. 4 9 x N Yandaki üçgeninde [], açısına ait iç açıortay ve [N], açısına ait dış açıortaydır. = 4 br, = br, N = x ise x değerini bulalım. [], üçgeninde açısına ait iç açıortay olduğundan İç çıortay Teoremine göre, =... (*) dir. [N], aynı üçgende açısına ait dış açıortay olduğundan, ış N N çıortay Teoremine göre, =... (**) dir. (*) ve (**) dan = elde edilir. N N 4 6 x olayısıyla, = + orantısından, 4x = 1 + x den x = 6 br elde edilir. x Sonuç üçgeninde, açısının iç açıortayı [] ve dış açıortayı [] ise, = dir. 790 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
MTMTİ TÖLYSİ Önceki çalışmalarımızda üçgenin iç açıortaylarının bir noktada kesiştiğini öğrenmiştik. u atölye çalışmasında bir üçgenin iki dış açıortayının kesim noktasının sahip olduğu özelliği inceleyeceğiz. raç ve ereçler: inamik geometri yazılımı dım 1 inamik geometri yazılımını kullanarak bir üçgeni çiziniz. dım ve açılarının dış açıortaylarını çiziniz. u açıortayların kesim noktasını olarak isimlendiriniz. dım 3 noktası ile üçgeninin köşesini doğru parçası ile birleştiriniz. dım 4 Oluşan ile nın ölçülerini yazılımın ilgili özelliğini kullanarak bulunuz ve aşağıdaki tablonun ilk satırına yazınız. rdından üçgenini köşe noktalarından sürükleyiniz. m^ h ve m^ h nün farklı değerleri için tablonun diğer satırlarını doldurunuz. m( ) m( ) Sonuç lde ettiğiniz sonuçlara göre bir üçgenin iki dış açıortayının kesim noktası hakkında ulaştığınız sonucu açıklayınız.... Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 791
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları nahtar ilgi ir üçgende iki dış açıortay ile bu dış açılara komşu olmayan iç açının açıortayı tek noktada kesişir. Üçgenin dış açıortaylarının kesişimi ile ilgili yaptığınız atölye çalışmasında üçgenin iki köşesine ait dış açıortayların ve diğer köşeye ait iç açıortayın bir noktada kesiştiğini belirlemiştiniz. Ulaşmış olduğunuz bu sonucun tüm üçgenlerde niçin geçerli olduğu aşağıda açıklanmıştır. üçgeninde ve açılarının dış açıortayını çizelim. u açıortaylar noktasında kesişsin. L noktasından üçgenin kenarlarına dik doğrular çizelim. çıortay üzerinde alınan bir noktadan açının kollarına çizilen dikmelerin uzunlukları eşit olduğundan = L ve M = L olur. uradan M = elde edilir. M L noktası ile noktasını birleştirelim. M = ve bir açının kollarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta bu açının açıortayı üzerinde olduğundan [] açısının açıortayı olur. ir üçgenin iki dış ve bunlara komşu olmayan iç açısının iç açıortayının bir noktada kesiştiğini gösteren yukarıdaki açıklamadan, noktasının üçgenin kenarlarına veya kenarlarının uzantılarına olan uzak- M lıkları arasında, = L = M ilişkisinin olduğu görülebilir. olayısıyla noktasını merkez, bu noktanın kenarlara olan uzaklığını yarıçap kabul eden bir çember çizilebilir. u çembere üçgenin dış teğet çemberi denir. ir üçgenin üç tane dış teğet çemberi vardır. ış teğet çemberlerin merkezleri genellikle I a, I b ve I c ile gösterilir. şağıdaki şekilde üçgenin dış teğet çemberleri gösterilmiştir. 79 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
çıortay I c I b şağıdaki çizim çalışmasında verilen bir üçgenin dış teğet çemberlerinden birinin dinamik geometri yazılımı kullanılarak nasıl çizilebileceği gösterilmiştir. I a Üçgenin dış teğet çemberini çizme 1. dım eometrik Çizim. dım ir dinamik geometri yazılımı kullanarak bir üçgeni çiziniz. Yazılımın çıortay özelliğini kullanarak ve açılarının dış açıortaylarını çiziniz. çıortayların kesim noktasını olarak isimlendiriniz. 3. dım Yazılımın ik oğru özelliğini kullanarak noktasından kenarlardan herhangi birine dik doğru çiziniz. u dik doğrunun kenarı kestiği noktayı olarak isimlendiriniz. 4. dım enzer şekilde üçgenin diğer dış teğet çemberlerini de çiziniz. Üçgeninizi köşelerinden tutarak hareket ettiriniz. Üçgenin farklı durumları için dış teğet çemberleri inceleyiniz. Yazılımın Çember özelliğini kullanarak merkezi olan ve noktasından geçen bir çember çiziniz. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 793
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları Üçgenin çıortaylarının Oluşturduğu çıların Ölçüsü u bölümde üçgenin açıortaylarının kesişimleri ile oluşan açılar incelenecektir. unun için aşağıdaki örnek durumu inceleyelim. Müzikte bir çalgı aleti olarak kullanılan üçgen çalgının iç kısmına şekildeki gibi metalden yeni bir bölme yapılmak isteniyor. u yeni bölmenin köşe noktası olan nin, köşeleri, ve ile gösterilen üçgen çalgının kenarlarına eşit uzaklıkta olması isteniyor. Oluşan açısının ölçüsü ile açısının ölçüsü arasındaki ilişkiyi bulalım. Üçgen çalgı köşeleri olan,, noktaları ile bir üçgeni oluşturalım. noktası üçgeninin kenarlarına eşit uzaklıkta olduğundan iç teğet çemberinin merkezi ve dolayısıyla noktası aynı zamanda üçgeninin iç açıortaylarının kesim noktasıdır. m( V) m( W ) una göre m ( ) = ve m ( ) = dir. üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı 180 ve m( V) m( W ) m ( ) + + = 180 olduğundan m( V) + m( W ) m ( ) = 180 -... (*) olur. üçgeninde m( W ) + m( V) + m( W ) = 180 olduğundan m( V ) + m( W ) = 180 - m( W )... (**) dir. (**) eşitliğindeki 180 m( W ) değeri (*) de yerine yazarsak m( V) + m( W ) 180 - m( W ) m ( ) = 180 - = 180 - olduğundan m( W ) m ( ) = 90 + elde edilir. açısının ölçüsü açısının ölçüsünün yarısına 90 eklenerek bulunur. enzer şekilde üçgenin diğer açıortaylarının oluşturduğu açılar da bulunabilir. 794 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
çıortay şağıdaki tabloda bu ilişkiler sunulmuştur. üçgeninde [] ve [] iç açıortaylar olmak üzere m( W ) m ( ) = 90 + dir. üçgeninde [T] ve [T] dış açıortaylar olmak üzere T m( W ) m ( T) = 90 - dir. üçgeninde [S], açısına ait dış açıortay ve [S], açısına ait iç açıortay olmak üzere S ms ( ) = m( W ) dir. 1 Yandaki üçgeninde [I] ve [I] sırasıyla ve açılarına ait iç açıortaylardır. m ( ) = 70 ise m( I) değerini bulalım. 70 I m ( ) [I] ve [I] iç açıortaylar ve m( I) = 90 + 70 m( I) = 90 + = 90 + 35 = 15 elde edilir. olduğundan Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 795
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları 30 75 70 55 Yandaki şekilde m( I) = 75 m ( ) = 30 m ( ) = 70 ve I m( I) = 55 ise m( I ) kaç derece olduğunu bulalım. 75 30 75 70 55 55 Yandaki gibi [ ve [ olacak şekilde ve noktaları belirleyelim. m( I ) + m( I) + m ( ) = 180 olduğundan m( I ) = 75 ve m( I) + m( I ) + m( ) = 180 eşitliğinden m( I) = 55 bulunur. I olayısıyla [I] ve [I], üçgeninde sırasıyla ve açılarının dış açıortayları olur. ir üçgende iki dış açıortay ve diğer köşeye ait bir iç açıortay bir noktada kesiştiklerinden [I], üçgeninde açısına ait iç açıortay olur. ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180 olduğundan, m ( ) + m ( ) + m ( ) = 180 eşitliğinden m ( ) = 80 olur. ( ) [I] açıortay olduğundan m( m 80 I ) = = = 40 bulunur. 796 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
NİMİZİ SINYLIM çıortay avrama ve Muhakeme 1. şağıdaki şekillerden hangilerinde noktasının açısının açıortayı üzerinde olduğu kesinlikle söylenebilir? a. b. 3 c. 6 6 5 5 3. P a. T R H = b.? P P Yandaki şekilde noktası üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi ve noktası ise dış teğet çemberlerden birinin merkezidir. una göre aşağıda soru işareti ile gösterilen ifadeleri bulunuz.? =. şağıdaki ifadelerin önlerindeki boşluğa doğru olanlar için, yanlış olanlar için Y yazınız. a. (...) ar açılı bir üçgende iç teğet çemberin merkezi üçgenin içindedir. b. (...) ik üçgende üçgenin iç teğet çemberinin merkezi üçgenin hipotenüsü üzerindedir. c. (...) eniş açılı üçgende üçgenin iç açıortayları aynı noktada kesişmezler. ç. (...) Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi daima üçgenin iç bölgesindedir. d. (...) ir üçgenin üç tane dış teğet çemberi vardır. 4. O 6 13 O = 6 cm, O = 13 cm veriliyor. Yandaki şekilde [O, O nın açıortayı olmak üzere bu açıortay üzerindeki ve noktalarından O nın kollarına dikmeler çiziliyor. una göre aşağıdaki ifadelerden doğru olanların yanına, yanlış olanların yanına Y yazınız. a. (...) O = 6 cm b. (...) O =13 cm c. (...) = 7 cm ç. (...) = 5 cm Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 797
çıortay NİMİZİ SINYLIM 1.. lıştırmalar 8 6 Yandaki üçgeninde = 16 br 16 = 1 br α 1 = 8 br = 6 br m ( ) = a olduğuna göre m ( ) nin a cinsinden değeri nedir? 6 9 4 = 6 cm, = 9 cm, = 4 cm Şekildeki üçgeninde nde [], W nın açıortayı olduğuna göre kaçtır? 3. Şekildeki nde 5 4 [], V nın açıortayı = 4 cm = 5 cm olduğuna göre değeri kaçtır? 5. 6. 7. 3 H = 8 br, = 3 br olduğuna göre değeri kaçtır? N 8 40 m ( ) = 40 ise mn ( ) kaçtır? 70 I olduğuna göre m^ih kaçtır? H Yandaki üçgeninde [], açısının iç açıortayı ve [H] ise dış açıortayıdır. Yandaki üçgeninde [N], açısının iç açıortayı [], açısının dış açıortayı Şekildeki üçgeninde I, ve açılarının iç açıortayların kesim noktası ve m ( ) = 70 4. 6 3 Yukarıdaki üçgeninde [], açısının açıortayı, = 6 cm, = 3 cm, = 4 cm 4 8. 80 Yandaki şekilde I, üçgeninin, ve açılarının dış açıortaylarının kesim noktası ve m ( ) = 80 olduğuna göre kaçtır? m( I ) ise kaçtır? I 798 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
NİMİZİ SINYLIM çıortay 9. 40 N 3. I 110 1.. Şekildeki üçgeninde N noktası üçgenin dış teğet çemberinden birinin merkezi ve mn ( ) = 40 olduğuna göre m^h kaçtır? Uygulama ve Problem Çözme 9 olduğuna göre 1 6 oranı kaçtır? Yandaki şekilde noktası üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi = 1 br = 9 br = 6 br Şekildeki üçgeninde noktası iç teğet 8 çemberin 6 merkezi ve, ve noktaları doğrusaldır. = 8 br, = 6 br ve m( V) = 90 ise oranı kaçtır? 4. Yukarıdaki şekilde I ve noktaları sırasıyla üçgeninin iç teğet ve dış teğet çemberlerinin merkezileri ve m( I ) = 110 olduğuna göre m ( ) kaçtır? Şekildeki üçgen biçimindeki düzenekte sarı ışık kenarından mavi ışık ise kenarından içeriye dik olarak girmekte ve eşit hızda ilerlemektedir. Işıklar ilk kez kesiştiklerinde yeşil nokta oluşmaktadır. üzenekte =15 cm, = 9 cm, = 1 cm olduğuna göre [] kenarı üzerinde oluşan yeşil ışık ve köşelerine kaç cm uzaklıktadır? 5. Şekilde I, üçgeninin iç teğet çemberinin I merkezi ve, I, N doğrusal olmak üzere N 9 + = 15 cm = 9 cm I olduğuna göre IN oranı kaçtır? Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 799
MTMTİ TÖLYSİ u atölye çalışmasında bir üçgenin ağırlık merkezini (üçgenin sınırladığı bölgenin ağırlık merkezi) nasıl belirleyeceğimizi ve ağırlık merkezinin üçgenin kenarortaylarıyla olan ilişkisini inceleyeceğiz. raç ve ereçler: arton kâğıt, makas, kalem, cetvel. dım 1 ir kartona üçgen çiziniz ve makasla kesip çıkarınız. dım aleminizin arka düz kısmı ile üçgeni zemine paralel olacak şekilde dengeye getiriniz. dım 3 Üçgen dengede iken kalemin üçgene değdiği noktayı olarak işaretleyiniz. dım 4 Üçgenin köşelerini,, olarak isimlendiriniz. etvelinizi kullanarak üçgenin köşeleri ile noktasından geçen doğrular çiziniz. u doğruların üçgenin kenarlarını kestiği noktaları,, ile gösteriniz. 800 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
MTMTİ TÖLYSİ dım 5 etvelinizi kullanarak üçgenin, ve kenarlarında oluşan doğru parçalarının uzunluklarını belirleyiniz ve aşağıdaki tabloda uygun boşluklara yazınız. [] kenarı [] kenarı [] kenarı =... =... =... =... =... =... dım 6 Tabloya göre üçgenin, ve kenarlarında oluşan doğru parçalarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi açıklayınız. dım 7 etvelinizi kullanarak noktasının, üçgenin, ve köşeleri ile,, noktalarına olan uzaklıklarını ölçünüz. lde ettiğiniz sonuçları aşağıdaki tabloya yazınız. noktasının köşe noktalarına uzaklığı noktasının,, noktalarına olan uzaklığı Oranlar =... =... =... =... =... =... =... =... =... Tabloya göre noktasının üçgenin köşelerine olan uzaklıkları ile kenarlarına olan uzaklıklarının oranı arasındaki ilişkiyi açıklayınız....... Sonuç Yaptığınız işlemler sonunda üçgenin ağırlık merkezine ilişkin olarak belirlemiş olduğunuz özellikleri açıklayınız....... Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 801
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları Neler Öğreneceğiz? Üçgenin kenarortaylarının kesim noktası ve kenarortayla ilgili özellikleri nahtar Terimler enarortay ğırlık merkezi 4. 3.. Üçgende enarortay aşlarken nadolu nun en eski camilerinden biri olan Sivas Ulu amii, minaresinin eğikliği ile dikkat çekmektedir. aminin minaresi kendi eksenine göre 5 eğik durumdadır. Her yıl eğilmeye devam eden minarenin yıkılmaması için yenileme çalışmaları yapılmaktadır. Minarenin eğilmesine karşın henüz yıkılmamasının nedeni ağırlık merkezidir. inalarda ağırlık merkezinin en uygun noktada oluşturulması binanın her türlü yük altında daha dayanıklı olmasını sağlamaktadır. Sembol ve österimler V a unu biliyor muydunuz Önceki konularımızda bir üçgenin açıortaylarını ve bu açıortayların sahip olduğu temel özellikleri öğrendik. u konumuzda üçgenin diğer bir yardımcı elemanı olan kenarortayı ve temel özelliklerini öğreneceğiz. ir üçgende, bir köşeyi karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına, üçgenin o kenarına ait kenarortayı denildiğini öğrenmiştik. Yandaki şekilde üçgeninin kenarına ait kenarortayı çizilmiştir. üçgeninin a, b, c kenarlarına ait kenarortayların uzunlukları genellikle V a, V b ve V c ile gösterilir. Yapmış olduğunuz atölye çalışmasında bir üçgenin ağırlık merkezi ile ağırlık merkezinin üçgenin kenarortaylarıyla olan ilişkilerini belirlediniz. şağıdaki teorem bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini göstermektedir. Teorem ule yapan çocukların yaptıkları kulenin yıkılmaması için ağırlık merkezini doğru ayarlamaları gerekir. ir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir. 80 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
Üçgende enarortay İspat Verilenler: bir üçgen; [], [], [] sırasıyla, ve kenarlarına ait kenarortaylar unu biliyor muydunuz İstenenler: [] [] [] = {} ve kenarlarına ait ve kenarortaylarını çizelim. u kenarortaylar noktasında kesişsin. ve noktalarını birleştirelim. [] orta taban olduğundan [] // [] ve = dir. u durumda.. benzerlik kuralına göre + ve = = dir. Sivas Ulu ami nin minaresi 5 lik bir eğriliğe sahip olmasına karşın yıkılmamaktadır. unun nedeni minarenin ağırlık merkezinin düşey izdüşümünün, minarenin yer ile temas alanının içinde kalmasıdır. ğer önlem alınmaz ve minare eğrilmeye devam ederse, rüzgâr vb. dış kuvvetlerin etkisiyle minarenin ağırlık merkezi minarenin yer ile teması alanlarının dışına taşacak ve minare bu nedenle yıkılabilecektir. Şimdi de üçgeninde ve kenarlarına ait ve kenarortaylarını çizelim. u kenarortaylar noktasında kesişsin. ve noktalarını birleştirelim. [] orta taban olduğundan [] // [] ve = dir. u durumda.. benzerlik kuralına göre ' ' + ' ve = = dir. ' ve kenarlarına ait kenarortaylar, kenarına ait kenarortayı aynı oranda böldüğü için ve noktaları çakışıktır. u nedenle üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir. Yukarıdaki teorem üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini göstermektedir. İspattan da görülebileceği gibi bu nokta üçgenin kenarortaylarını belli bir oranda bölmektedir. şağıdaki sonuç bu durumu açıklamaktadır. unu biliyor muydunuz Planörün düzgün uçabilmesi için ağırlığın planörün kanatlarına eşit dağılabilmesi gerekir. u yüzden planöre binecek olan pilot, planörün ağırlık merkezinde bulunmalıdır. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 803
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları nahtar ilgi Sonuç enarortayların kesim noktası niçin üçgenin ağırlık merkezidir? ildiğiniz gibi bir doğru parçasının orta noktası bu doğru parçasının denge noktasıdır. m n k m k n ir üçgenin kenarortaylarının kesim noktasına üçgenin ağırlık merkezi denir. ğırlık merkezi üçgenin kenarortaylarını ye 1 oranında böler. =, =, = dir. ir üçgeninin sınırladığı bölge şekilde de görüldüğü gibi [] ye paralel doğru parçalarıyla doldurulabilir. u doğru parçalarının denge noktaları üçgeninin [] kenarına ait kenarortayını oluşturur. u nedenle üçgeninin ağırlık merkezi bu kenarortay üzerinde olur. enzer durum diğer kenarortaylar için de geçerlidir. O halde üçgenin ağırlık merkezi bu kenarortayların kesim noktasıdır. 1 Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezi = (4x ) br = (x + 3) br olduğuna göre nu bulalım. noktası, üçgeninin ağırlık merkezi olduğundan = dir. 4x uradan - = orantısından x = 4 br olarak bulunur. = + olduğundan = 4x + x + 3 = 5x + 1 ve buradan = 5 4 + 1 = 1 br x + 3 olur. Yandaki üçgeninde [] [] = {} 3 = = = cm = 3 cm olduğuna göre üçgeninin çevresinin tam sayı olarak en az ve en çok kaç cm olacağını bulalım. 804 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
Üçgende enarortay =, = ve [] [] = {} olduğundan noktası nin ağırlık merkezidir. noktası üçgeninin ağırlık merkezi olduğundan = cm ise = = 4 cm ve = 3 cm ise = = 6 cm olur. üçgeninde üçgen eşitsizliğine göre, 6 4 < < 6 + 4 ve < < 10 yazılır. üçgeninin çevresi kenar uzunluklarının toplamı olduğundan, + 4+ 6 < + 4+ 6 < 10 + 4 + 6 ve 1 < Ç( ) < 0 bulunur. 144444444443 Çevre O halde üçgeninin çevresi tam sayı olarak en az 13 cm ve en fazla ise 19 cm olarak bulunur. 3 Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezidir. 6 x [] ve [], açısının açıortayıdır. = 6 br olduğuna göre = x değerini bulalım. noktası üçgeninin ağırlık merkezi ve [] olduğundan [], kenarına ait kenarortay olup = dir. [], açısının açıortayı olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremine göre, = eşitliği yazılabilir. uradan 6 = eşitliğinden = 3 br bulunur. [] kenarortay olduğundan = dir. olayısıyla = x = 3 br elde edilir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 805
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları 4 Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezidir. T L [L] [] = {T} T = cm olduğuna göre nu bulalım. nahtar ilgi 3k L k k N M Üçgenin ağırlık merkezi ile orta tabanın kenarortay üzerinde ayırdığı uzunluklar köşeden başlamak üzere 3,1 ve sayılarıyla orantılıdır. L = 3k L = k N = k nahtar ilgi x T L T = x cm olsun. [L] // [] olduğundan TL + dir. enzer üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olduğundan = olur. L T 1 x u orantıdan = ve = x elde edilir. = T + + eşitliğinden = x olarak bulunur. üçgeninde noktası ağırlık merkezi olduğundan = ve x + = (x ) eşitliğinden x = 6 cm elde edilir. = x = 6 = 1 cm olarak bulunur. 5 4x H x + 6 Yandaki şekilde noktası üçgenin ağırlık merkezi H [] ve [H] // [] dir. H = 4x H = x + 6 olduğuna göre nu bulalım. k k M Üçgenin herhangi bir kenarortayı üzerinde alınan bir nokta, kenarortay uzunluğunu ye 1 oranında bölüyorsa bu nokta ağırlık merkezidir. 4x H x + 6 kenarına ait kenarortayını çizelim. noktası ağırlık merkezi olduğu için, = dir. [H] // [] olduğundan Temel Orantı Teoremine H göre, = eşitliği yazılabilir. H 4x u eşitlikten, = ve x = 6 cm elde edilir. x + 6 = H + H = 5x + 6 = 5 6 + 6 = 36 cm olarak bulunur. 806 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
Üçgende enarortay İnceleyelim 6 3 5 6 Yandaki üçgeninde [], kenarına ait kenarortay = 6 br = 3 br = 5 br Üçgenin ağırlık merkezinden yararlanarak dörtgenlerin ağırlık merkezlerini belirleyebiliriz. unun için aşağıdaki etkinliği yapabilirsiniz. ir kartona dörtgeni çizip makasla kesiniz. ise nu bulalım. 6 [] kenarortay ve = = olduğundan noktası üçgeninin ağırlık merkezi 3 olur. noktası ağırlık merkezi olduğundan [], kenarına ait kenarortay ve = dir. uradan 5 7 130 = ve = 10 br olarak bulunur. Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezi m ( ) = 130 = ise m ( ) değerini bulalım. etvelinizi kullanarak dörtgeninin [] nı çizerek dörtgeni iki üçgene ayırınız. u üçgenlerin ağırlık merkezlerini bularak 1 ve ile gösteriniz. 1 [] nı uzatarak kenarını kestiği noktayı ile isimlendirelim. [] kenarortay ve ağırlık merkezi olduğundan, = dir., [] nin orta noktası olduğundan 130 = = ve = olduğundan, = = elde edilir. m ( ) + m ( ) = 180 olduğundan m ( ) = 50 dir. üçgeni ikizkenar üçgen ve üçgenin iç açı ölçüleri toplamı 180 olduğundan m ( ) = 80 bulunur. ikizkenar üçgeninde m ( ) + m ( ) = m ( ) = 80 olduğundan m ( ) = 40 dir. m ( ) + m ( ) + m ( ) + m ( ) = 360 olduğundan 130 + 40 + 50 + m ( ) = 360 dir. u eşitlikten m ( ) = 140 olarak bulunur. enzer şekilde [] nı çiziniz ve aynı işlemleri yapınız. Oluşan bu iki üçgenin ağırlık merkezini 3 ve 4 ile gösteriniz. 3 4 [ 1 ] ve [ 3 4 ] doğru parçalarının kesim noktasını belirleyiniz. lde ettiğiniz nokta dörtgenin ağırlık merkezidir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 807
Üçgende enarortay NİMİZİ SINYLIM avrama ve Muhakeme 1. şağıda verilen boşlukları uygun ifadelerle tamamlayınız. a. Üçgenin ağırlık merkezi üçgenin... kesim noktasıdır. 3. Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezidir. = 1 cm b. ir üçgende ağırlık merkezi kenarortayları... oranında böler. olduğuna göre kaçtır? lıştırmalar 1. 3x x 5 + = 5x + olduğuna göre kaçtır? Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezi = 3x 4. 4 3 Yukarıdaki üçgeninde =, = 4 br, = br, = 3 br ise kaçtır?. noktası üçgeninin, noktası üçgeninin ağırlık merkezleridir. = 18 cm ise kaçtır? 5. 6 15 ise + kaçtır? [], üçgeninde kenarının kenarortayı [] // [] = 15 cm = 6 cm 808 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
NİMİZİ SINYLIM Üçgende enarortay 1. Uygulama ve Problem Çözme 1 M Yandaki şekilde noktası üçgeninin, M noktası üçgeninin ağırlık merkezidir. [] // [] // [] ve = 1 br 3. ise kaçtır? [] ve [], üçgeninin sırasıyla ve kenarlarına ait kenarortaylarıdır. [] // [] = 18 cm olduğuna göre; a. ve kaçtır? b. kaçtır?. + + kaçtır? Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezi ve üçgeninin kenarortaylarının uzunlukları toplamı 45 cm olduğuna göre, 4. ise kaçtır? noktası üçgeninin ağırlık merkezi [] // [] = cm Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 809
Üçgende enarortay NİMİZİ SINYLIM 5. Ç evre( ) una göre oranı kaçtır? Ç evre( ) Yanda verilen şekilde, ve noktaları üçgeninin kenarlarının orta noktalarıdır. 7. 8 olduğuna göre + kaçtır? Yandaki şekilde noktası üçgenin, noktası üçgeninin ağırlık merkezleri,,,, ve,, noktaları doğrusal = cm = 8 cm 6. 4 [] ve [], üçgeninin sırasıyla ve kenarlarına ait kenarortaylardır. =,, noktaları doğrusal ve = 4 cm ise kaçtır? 8. olduğuna göre kaçtır? x + 3x-6 Yandaki üçgeninde [] ve [] üçgeninde kenarortaydır. = x + = 3x 6 810 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
NİMİZİ SINYLIM Üçgende enarortay 9. L 6 4 olduğuna göre L + kaçtır? [] ve [] üçgeninde sırasıyla ve kenarlarına ait kenarortaylar [] // [] [] // [] L = 4 cm = 6 cm 1. H ise H = olduğunu gösteriniz. 6 Yandaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezi = 10. üçgeninde 1 16 3 iç teğet çemberin merkezi ağırlık merkezi [] // [] 13. = 3 cm = 1 cm = 16 cm 4 H L d ise kaçtır? Yukarıdaki şekilde noktası üçgeninin ağırlık merkezidir. noktasından geçen bir d doğrusu üçgenin ve kenarlarını sırasıyla ve noktalarında kesiyor. 11. üçgeninin kenarlarının orta noktaları,, olsun. üçgeninin kenarortaylarının uzunlukları toplamı 60 cm ise,, noktalarını köşe kabul eden üçgeninin kenarortaylarının uzunlukları toplamı kaç cm dir? [H] ^ d, [] ^ d, [L] ^ d = 4 br, L = br olduğuna göre H kaçtır? Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 811
MTMTİ TÖLYSİ u atölye çalışmasında bir üçgenin kenar orta dikmelerinin ve yüksekliklerinin kesim noktalarını inceleyeceğiz. raç ve ereçler: inamik geometri yazılımı dım 1 ir üçgeni çiziniz. üçgeninin kenarlarının orta noktalarını bulunuz. u noktalardan üçgeninin kenarlarına dikmeler çiziniz. (ynı işlemi yazılımın orta dikme özelliğini kullanarak da yapabilirsiniz.) H dım Çizdiğiniz kenar orta dikmelerinin kesim noktasını gözlemleyiniz. Tüm kenarların orta dikmeleri aynı noktada mı kesişmektedir?... dım 3 üçgenini köşe noktalarından tutarak sürükleyiniz. Üçgenin kenar orta dikmelerinin kesişimlerini gözlemleyerek aşağıdaki soruları cevaplandırınız. a. Oluşan dar açılı üçgenler için kenar orta dikmeler tek noktada mı kesişmektedir? b. Oluşan dik üçgenler için kenar orta dikmeler tek noktada mı kesişmektedir? c. Oluşan geniş açılı üçgenler için kenar orta dikmeler tek noktada mı kesişmektedir? üçgeninin kenar orta dikmelerinin kesim noktası her zaman üçgenin iç bölgesinde midir? çıklayınız....... Sonuç Yukarıda yapmış olduğunuz çalışmalar sonucunda üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktası için elde ettiğiniz ilişkileri yazınız....... 81 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
MTMTİ TÖLYSİ dım 4 Yazılımın ilgili özelliğini kullanarak çizdiğiniz kenar orta dikmeleri gizleyiniz. Şimdi de üçgeninin her bir kenarına ait yükseklikleri çiziniz. dım 5 Çizdiğiniz yüksekliklerin kesim noktasını gözlemleyiniz. ütün kenarlara ait yükseklikler aynı noktada mı kesişmektedir?... dım 6 üçgenini köşe noktalarından tutarak sürükleyiniz. Üçgenin yüksekliklerinin kesişimlerini gözlemleyerek aşağıdaki soruları cevaplandırınız. a. Oluşan dar açılı üçgenler için yükseklikler tek noktada mı kesişmektedir? b. Oluşan dik üçgenler için yükseklikler tek noktada mı kesişmektedir? c. Oluşan geniş açılı üçgenler için yükseklikler tek noktada mı kesişmektedir? üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası her zaman üçgenin iç bölgesinde midir? çıklayınız Sonuç Yukarıda yapmış olduğunuz çalışmalar sonucunda üçgenin yüksekliklerinin kesim noktası için elde ettiğiniz ilişkileri yazınız............. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 813
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları Neler Öğreneceğiz? Üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktasını Üçgenin çevrel çemberini Üçgenin yüksekliklerinin kesim noktasını 4. 3. 3. Üçgenin enar Orta ikme ve Yükseklikleri aşlarken Çekül, bir ipin ucuna küçük bir ağırlık bağlayarak düz, dikey bir çizginin elde edilmesi amacıyla oluşturulmuş bir araçtır. Marangozlar ve inşaat ustaları çekül kullanarak yaptıkları mobilya ya da duvarların zemine dik ve düz bir yüzey oluşturup oluşturmadığını belirler. nahtar Terimler Orta dikme Çevrel çember Yükseklik iklik merkezi P ir doğru parçasına orta noktasından dik olan doğruya, orta dikme denir. Yandaki şekilde P doğrusu [] nın orta dikmesidir. şağıdaki çizim çalışmasında pergel-cetvel kullanılarak verilen bir doğru parçasının orta dikme doğrusunun nasıl çizilebileceği açıklanmıştır. oğru Parçasının Orta ikmesini Çizme eometrik Çizim 1. dım. dım Sembol ve österimler etvelinizi kullanarak bir [] çiziniz. h a Pergelinizi nin yarısından fazla olacak şekilde açınız ve merkezi olan şekildeki gibi iki yay çiziniz. 3. dım 4. dım Pergelin açıklığını bozmadan merkezi olan bir önceki yayları kesen iki yay daha çiziniz. Yayların kesim noktalarını ve olarak isimlendiriniz. ve noktalarını cetvelle birleştiriniz. 814 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
Üçgenin enar Orta ikme ve Yükseklikleri Yukarıdaki geometrik çizim çalışması sonucunda pergel ve cetvel kullanarak [] nın orta dikmesini çizdiniz. Çizmiş olduğunuz doğrusunun niçin [] nın orta dikmesi olduğunu açıklayalım: ve noktalarını yandaki şekildeki gibi ve noktaları ile birleştirelim. Yaylar çizilirken pergelin açıklığı değiştirilmediğinden = = = olur. u durumda =, = ve = olduğundan, (... şlik uralı) dir. enzer üçgenlerin karşılıklı açıları eş olduğundan, dir. üçgeni ikizkenar ve [], açısının açıortayı olduğundan hem kenarortay hem de yüksekliktir. olayısıyla bu doğru [] nın orta dikmesidir. Yukarıdaki çizimde ve merkezli yaylar çizilirken pergelin açıklığı bozulmadığından ve noktalarına eşit uzaklıktaki iki nokta ( ve noktaları) belirlenmiştir. u ilişki bir doğru parçasının kenar orta dikmesi üzerinde alınan her noktanın doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıkta olduğunu göstermektedir. una göre kenar orta dikmeler için aşağıdaki sonucu yazabiliriz. Sonuç ir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan her nokta, doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktadır. ğer P, doğrusu [] nın orta dikmesi ise P = dir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 815
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları 1 Şekilde doğrusu [] nın orta dikmesi ve x + 14 = x + 14 = 4x + olduğuna göre nu bulalım. 4x + ir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan her nokta doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıkta olduğundan = dır. uradan 4x + = x + 14 eşitliğinden x = 6 ve = 4x + = 4 6 + = 6 olarak bulunur. ir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan her noktanın doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıkta olduğunu öğrendik. şağıdaki sonuç bunun karşıtının da doğru olduğunu belirtmektedir. Sonuç ir doğru parçasının uç noktalarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, bu doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir. ğer = ise noktası [] nın orta dikmesi üzerindedir. Yandaki şekilde 8 8 = = 8 cm 5 5 = = 5 cm = 1 cm 1,, noktaları doğrusal olduğuna göre değerini bulalım. 816 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
Üçgenin enar Orta ikme ve Yükseklikleri ir doğru parçasının uç noktalarından eşit uzaklıkta bulunan bir nokta bu doğru parçasının orta dikmesi üzerinde olduğundan [], [] nın orta dikmesidir. u durumda [] ^ [] dir.,, noktaları doğrusal olduğundan noktası da [] nın orta dikmesi üzerindedir. olayısıyla = = 1 cm dir. Matematik atölyesinde bir üçgeninin kenar orta dikmelerinin tek noktada kesiştiğini belirlediniz. şağıdaki teorem ulaştığımız bu sonucu ifade etmektedir. Teorem N L ir üçgenin kenar orta dikmeleri tek noktada kesişir. H İspat Verilenler: bir üçgen, N, L ve H noktaları kenarların orta noktaları İstenen: enar orta dikmeler bir noktada kesişir. H L ir üçgeninin ve kenarlarına ait kenar orta dikmelerini çizelim. u orta dikmelerin kesim noktası olsun. noktasını üçgenin ve köşelerine birleştirelim. ir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan her nokta doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıkta olduğundan =... (*) dir. Şimdi de noktasını ile birleştirelim. enzer sebeplerden dolayı =... (**) dir. ikkat ir üçgenin kenar orta dikmeleri üçgenin köşelerinden geçmek zorunda değildir. N H L (*) ve (**) dan = olur. u durumda noktası, ve noktalarına eşit uzaklıkta olur. ir doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktaki her nokta doğru parçasının orta dikmesi üzerinde olduğundan noktası [] nin orta dikmesi üzerindedir. u ise üçgenin kenar orta dikmelerinin bir noktada kesiştiğini gösterir. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 817
ölüm 4.3 Üçgenin Yardımcı lemanları Yukarıdaki ispattan aşağıdaki sonuca ulaşılabilir. Sonuç N L ir üçgenin kenar orta dikmelerinin kesişim noktası üçgenin köşe noktalarından eşit uzaklıktadır. H Üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktası üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta olduğundan, merkezi üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktası olmak üzere üçgenin köşe noktalarından bir çember geçer. u çembere üçgenin çevrel çemberi ve bu çemberin merkezi olan kenar orta dikmelerinin kesim noktasına da üçgenin çevrel çemberinin merkezi denir. şağıdaki çizim çalışmasında verilen bir üçgenin çevrel çemberinin dinamik geometri yazılımı kullanılarak nasıl çizilebileceği adım adım gösterilmiştir. Üçgenin Çevrel Çemberini Çizme 1. dım. dım eometrik Çizim O O ir dinamik geometri yazılımı kullanarak bir üçgeni çiziniz. Yazılımın orta dikme özelliğini kullanarak üçgeninin kenar orta dikmelerini çiziniz. Orta dikmelerin kesim noktasını O olarak isimlendiriniz. 3. dım Yazılımın Çember özelliğini kullanarak merkezi O olan ve üçgenin köşelerinden geçen bir çember çiziniz. Üçgeni köşelerinden tutarak hareket ettiriniz. Üçgenin farklı durumları için çevrel çemberi inceleyiniz. 818 Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik
Üçgenin enar Orta ikme ve Yükseklikleri Yukarıdaki çizim etkinliğinde bir üçgenin çevrel çemberinin merkezinin her zaman üçgenin iç bölgesinde bulunmadığını gözlemlediniz. arklı üçgen çeşitlerine göre çevrel çemberin merkezi üçgenin içinde, üzerinde ya da dışında olmaktadır. Çevrel çemberin merkezi, üçgen eğer dar açılı ise üçgenin iç bölgesinde, dik açılı ise üçgenin kenarında ve geniş açılı ise üçgenin dışındadır. İnceleyelim âğıt katlayarak da bir üçgenin çevrel çemberinin merkezini belirleyebilirsiniz. unun için; 1. Makasla bir üçgen kesiniz. ar açılı üçgen ik üçgen eniş açılı üçgen. ir köşesinden tutup diğer köşesiyle birleşene kadar üçgeni katlayınız. 3 Şekildeki üçgeninde = 1 = [] ^ [] [] ^ [] = 1 br olduğuna göre değerini bulalım. 3. âğıdı tekrar açınız ve iz yerini kaleminizle çiziniz. =, = olduğundan noktası üçgeninin ağırlık merkezidir. yrıca [] ^ [], [] ^ [] ve ve noktaları bulundukları kenarların orta noktaları olduğundan [] ile [] sırasıyla [] ve [] kenarlarının kenar orta dikmeleridir. u durumda noktası aynı zamanda üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir. 4. iğer kenarlar için de aynı işlemleri tekrarlayınız. 5. Çizdiğiniz doğru parçalarının kesim noktası çevrel çemberin merkezidir. O halde noktası üçgeninin köşelerine eşit uzaklıktadır. u durumda = = 1 br olur. noktası ağırlık merkezi olduğundan = ve buradan = 6 br olarak bulunur. Ünite 4. Üçgenlerde şlik ve enzerlik 819