Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar ve Farklı Yaklaşımlar *

Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri Educational Sciences: Theory & Practice 14(4) 1607-1627 2014 Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti. www.edam.com.tr/kuyeb DOI: 10.12738/estp.2014.4.2039 Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar ve Farklı Yaklaşımlar * Ayhan Kürşat ERBAŞ a Orta Doğu Teknik Üniversitesi Bülent ÇETİNKAYA c Orta Doğu Teknik Üniversitesi Cengiz ALACACI e İstanbul Medeniyet Üniversitesi Mahmut KERTİL b Marmara Üniversitesi Erdinç ÇAKIROĞLU d Orta Doğu Teknik Üniversitesi Sinem BAŞ f İstanbul Aydın Üniversitesi Öz Bütün dünyada olduğu gibi son yıllarda ülkemizde de akademik çalışmalara konu olan matematiksel modellemeyle ilgili geniş bir alan yazın bulunmaktadır. Fakat matematiksel modelleme ve ilgili kavramlar üzerine ortak bir anlayıştan bahsetmek mümkün değildir. Alan yazında öğrenme ve öğretme sürecinde matematiksel modellemenin kullanımı, model ve modellemenin tanımı, kuramsal altyapısı ve kullanılan modelleme sorularının niteliği gibi konularda farklı bakış açıları görülmektedir. Bu çalışmada iki konu üzerine odaklanılmıştır. İlk bölümde matematik eğitiminde matematiksel modellemeyle ilgili temel konu ve kavramlar incelenmiştir. İkinci bölümde ise modellemenin matematik eğitiminde kullanımıyla ilgili matematiği öğretmek için bir araç ve matematik öğretiminin amacı şeklinde özetlenebilecek iki farklı yaklaşım tartışılmıştır. Anahtar Kelimeler Matematik Eğitimi, Matematiksel Model, Matematiksel Modelleme, Problem Çözme. * Bu makaleye konu olan çalışma Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu (TÜBİTAK) tarafından 110K250 nolu araştırma projesi kapsamında desteklenmiştir. Bu makalede öne sürülen görüşler yazarlara ait olup TÜBİTAK ın görüşlerini yansıtmamaktadır. Ayhan Kürşat ERBAŞ, Türkiye Bilimler Akademisi Genç Bilim İnsanlarını Ödüllendirme Programı (TÜBA-GEBİP) tarafından desteklenmektedir (A.K.E./TÜBA-GEBİP/2012-11). a Sorumlu Yazar: Dr. Ayhan Kürşat ERBAŞ Matematik eğitimi alanında doçenttir. Çalışma alanları arasında cebir öğretimi ve öğrenimi, matematik öğretmen eğitimi ve öğretmen yeterlilikleri, matematik eğitiminde teknoloji entegrasyonu, problem çözme ve modelleme yer almaktadır. İletişim: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, 06800 Ankara. Elektronik posta: erbas@metu.edu.tr b Dr. Mahmut KERTİL Matematik Eğitimi alanında araştırma görevlisidir. İletişim: Marmara Üniversitesi, Atatürk Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, 34722 Kadıköy, İstanbul. Elektronik posta: mkertil@marmara.edu.tr c d e f Dr. Bülent ÇETİNKAYA Matematik Eğitimi alanında doçenttir. İletişim: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, 06800 Ankara. Elektronik posta: bcetinka@metu.edu.tr Dr. Erdinç ÇAKIROĞLU Matematik Eğitimi alanında doçenttir. İletişim: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü, 06800 Ankara. Elektronik posta: erdinc@metu.edu.tr Dr. Cengiz ALACACI Matematik Eğitimi alanında profesördür. İletişim: İstanbul Medeniyet Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Fakültesi, 34700 İstanbul. Elektronik posta: cengiz.alacaci@medeniyet.edu.tr Dr. Sinem BAŞ Matematik Eğitimi alanında yardımcı doçenttir. İletişim: İstanbul Aydın Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Öğretmenliği Bölümü, 34295 İstanbul. Elektronik posta: sinembas@aydin.edu.tr

KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Matematiksel modelleme en genel anlamda gerçek hayattan veya gerçekçi bir durumun matematiksel yöntemler kullanılarak analiz edilmesi sürecidir. Matematiksel modellemenin ilköğretimden yükseköğretime kadar bütün kademelerde matematik derslerinde kullanılması gerektiği fikri son yıllarda önem kazanmıştır. Öğrencilerin matematiği daha anlamlı ve gerçek hayatla ilişkili öğrenmelerine yardımcı olacağı düşüncesi ve mevcut problem türlerinin bu hedefi gerçekleştirmede yetersiz kalması, modellemenin matematik eğitiminde kullanılması fikrinin temel dayanağıdır. Günümüzde teknolojinin de hızla gelişmesiyle farklı alanlarda çalışacak olan bireylerden farklı becerilere sahip olmaları beklenmektedir. Bu bağlamda, bireylere gerçek hayatta problem çözme becerilerinin kazandırılmasının matematik eğitiminin asıl hedefi olması gerektiği; matematiksel modellemenin öğretim sürecinde kullanımının da bu hedefe ulaşmanın bir yolu olabileceği düşünülmektedir (Gravemeijer ve Stephan, 2002; Lesh ve Doerr, 2003a). Son yıllarda matematik eğitiminin her seviyesinde matematiksel modelleme uygulamaları üzerine çalışmalar yapılmakta (ör. Çiltaş ve Işık, 2013; Delice ve Kertil, 2014; Kertil, 2008) ve okul matematiğinde modelleme uygulamalarına daha fazla yer verilmesi gerekliliği vurgulanmaktadır (Department for Education [DFE], 1997; National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 1989; 2000; Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı [TTKB], 2011, 2013). Eğitim ortamlarında matematiksel modellemenin anlamı, amacı, öğrencilere sunuluş biçimi, öğretim programına entegre edilme biçimleri ve öğretmenlerin sahip olması gereken mesleki donanımlar gibi konularda kabul görmüş ortak bir anlayıştan söz etmek mümkün değildir (Kaiser, Blomhoj ve Sriraman, 2006; Niss, Blum ve Galbraith, 2007). Modelleme farklı alanlarda kullanılan yaygın bir terim olup matematik eğitimi alan yazını içinde bile oldukça farklı anlam, amaç ve yaklaşımlarla ele alınabilmektedir. Bu alanda çalışma yapmak isteyen araştırmacıların alan yazındaki farklı yaklaşımların farkında olması önemlidir. Bu çalışmanın amacı öncelikle matematik eğitiminde matematiksel modellemeye ilişkin temel konuların ve kavramların tartışılmasıdır. Ayrıca, öğretim sürecinde kullanılan yöntemler ve hedefler çerçevesinde modellemenin nasıl tanımlandığı, kuramsal altyapısı ve kullanılan soruların niteliği bakımından matematik öğretiminde araç veya matematik öğretiminin amacı olarak matematiksel modelleme yaklaşımları ele alınmaktadır. Matematiksel Modelleme ve İlgili Temel Kavramlar Modelleme, birçok alanda gerçek hayattan bir objenin veya bir durumun prototipini oluşturma anlamında kullanılan yaygın bir terimdir. Matematiksel modelleme ise gerçek hayat durumlarının işleyişi ve yapısını anlamlandırmak için matematiğin sembolik diline aktarılarak ifade edilmesi sürecidir (Gravemeijer, 2002). Matematiksel modelleme ve ilgili bazı temel kavramlar ilerleyen bölümlerde ele alınmıştır. Model ve Matematiksel Model: Lesh ve Doerr a (2003a) göre model, karmaşık sistemleri ve yapıları yorumlamak ve anlamak için zihinde var olan kavramsal yapılar ile bunların dış gösterimlerinin bütünüdür. Bir başka ifadeyle insanların doğayı anlayabilmek için keşfedip geliştirdikleri ve kullandıkları fikirler, gösterimler, kanunlar ve birtakım araç ve gereçler model kavramı ile ilişkilidir. Lehrer ve Schauble (2003) ise modeli, basit anlamda hiç aşina olmadığımız bir sistem ile önceden bildiğimiz sistemler arasında bağ kuran bir tür analoji olarak tarif etmektedirler. Bir analoji ve onunla ifade edilmeye çalışılan gerçek durum arasında mutlak bir uygunluktan söz edilemez. Aynı durum modeller için de geçerlidir. İnsanlar gerçek hayat durumlarının yorumlayıp anlamlandırmak için modeller ile düşünürler. Lehrer ve Schauble (2007) bu durumu model tabanlı düşünme olarak ifade etmekte ve bunun sürekli geliştiğini ve değiştiğini vurgulamaktadırlar. Model tabanlı düşünmenin ilk seviyesi fiziksel modellerdir. Örneğin, bir dönme dolabın küçük bir maketinin yapılması fiziksel bir modeldir. İkinci seviye ise gerçek hayat durumunun farklı gösterim sistemleri kullanılarak ifade edilmesidir. Örneğin, bir dönme dolabın genişletilmiş birim çember gibi düşünülerek koordinat düzlemine yerleştirilmesi, yarıçap ve merkez açı gibi semboller de kullanılarak matematiksel gösterim sisteminde ifade edilmesi bu seviyede bir modeldir. Kullanılan gösterimler basit olabileceği gibi daha üst düzey de olabilir. Üçüncü seviye ise sentaktik model olup, gerçek hayat durumunun yapısal özelliklerinin ve işleyişinin daha soyut ve bilimsel sembollerle ifade edilmesidir. Bu seviyede gerçek hayat durumu ile modeli arasında fiziksel bir benzerlik söz konusu değildir. Sabit hızda dönen bir dönme dolap üzerinde bulunan herhangi bir kapsülün zamana bağlı yerden yüksekliğini gösteren matematiksel formülün trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak ifade edilmesi sentaktik modele örnek olarak verilebilir. Son seviye ise gelişmekte olan (emergent) modellerdir. Bu seviyede ise incelenen gerçek hayat durumunun yapısal özellik- 1608

ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar... leri sentaktik modellerle matematiksel olarak ifade edilmesinden sonra başlangıçta hedeflenmeyen yeni ilişkilerin ve modellerin ortaya çıkarılması söz konusudur. Netice itibariyle, gerçek hayat durumu ile modeli arasında birebir aynılıktan bahsetmek mümkün olmayacağı için, her zaman daha iyi bir modele ulaşabilme söz konusudur. Bu ise insanların kendi modellerini geliştirme veya yeni modeller ortaya çıkarma uğraşının sürekli devam etmekte olduğu anlamına gelmektedir. Matematiksel modeller gerçek hayattan bir nesnenin veya durumun fiziksel özelliklerinin ötesinde daha çok yapısal özelliklerini ve çalışma prensiplerini açıklamakla ilgilenir (Lehrer ve Schauble, 2003, 2007; Lesh ve Doerr, 2003a). Örneğin, E = mc 2 formülü kütle, ışık hızı ve enerji arasındaki ilişkiyi açıklayan bir matematiksel modeldir. Fakat bir kişinin bu modele sahip olması yalnızca formülü kullanarak işlemler yapabilmesini değil, bu formülün temsil ettiği fiziksel yapıları anlayarak farklı bağlamlarda yorumlayabilmesini gerektirir. Dolayısıyla Lehrer ve Schauble ın (2007) farklı model seviyelerinin ikinci seviyesinden sonra matematiksel modeller söz konusu olur. Ancak, herhangi bir matematiksel gösterimi tek başına bir matematiksel model olarak kabul etmek doğru değildir. Lehrer ve Schauble a (2003) göre, gerçek hayattan bir durumun matematiksel bir modelinin oluşturulması sürecinde birden fazla matematiksel temsilin kullanılması ve birlikte yorumlanması söz konusudur. Bu nedenle, oluşturulan matematiksel bir modele gerçek hayat durumunun içerdiği bütün özellikleri aktarmak mümkün olmadığı gibi, tek bir matematiksel gösterimin de bir model olarak kabul edilmesi beklenmemelidir. Bir gerçek hayat durumunun yapısını anlamak için kullanılan farklı matematiksel gösterimler, işlemler ve fonksiyonel ilişkiler bir bütün olarak matematiksel modeli oluşturmaktadır. Örneğin, deprem ve gün uzunlukları gibi periyodik yapıya sahip durumları açıklamak için trigonometrik fonksiyonlar ve bu fonksiyonların farklı gösterimleri, maliyet hesaplarında değişim oranını açıklamak için türevin farklı gösterim ve yorumları birer matematiksel model olarak düşünülebilir. Matematiksel Model ve Somut Materyaller: Matematiksel model ve modelleme özellikle ilköğretim düzeyinde yaygın olarak somut materyal kullanımı olarak anlaşılmaktadır (Lesh, Cramer, Doerr, Post ve Zawojewski, 2003). Dienes e göre öğrencilerde önemli matematiksel düşünme becerilerinin gelişmesi için somut materyallerin etkili bir şekilde kullanımı somutlaştırma (embodiment) açısından oldukça önemlidir (1960 dan akt., Lesh ve ark., 2003). Öğrencilerdeki gelişim somuttan soyuta olduğu için somut materyal kullanımı, soyut matematiksel düşünme becerilerinin gelişimi için ilk adım olarak görülür. Bu sebeple, onluk taban blokları, birim küpler, örüntü blokları, simetri aynası, kesir takımı, şeffaf kesir kartları ve geometri şeritleri gibi materyallerin matematik eğitiminde kullanımı sıklıkla vurgulanmaktadır. Öğretim aracı olarak kullanılan somut materyallerin model olarak adlandırılması, matematiksel modellemenin somut materyal tasarlama ve kullanımı ile sınırlı olduğu algısına sebep olmaktadır. Oysa matematik eğitiminde matematiksel modelleme daha geniş bir anlamda kullanılmaktadır. Somut materyal kullanımı, model terimi ile modelleme alan yazınında ele alınmakla birlikte, bu çalışmada açıklanan dinamik bir süreç ifade eden matematiksel modelleme genel teriminin kapsamını yansıtmamaktadır. Hatta bu somut materyaller bazı matematiksel kavramların birileri tarafından oluşturulmuş, hazır ve statik modelleri olarak görülmekte ve bu nedenle yapılandırmacı ve sosyo-kültürel öğrenme teorilerini temel alan modelleme yaklaşımlarınca bireyin kendi zihinsel yapılandırma sürecinden geçmediği noktasında eleştirilmektedir (Gravemeijer, 2002). Matematiksel Modelleme Matematiksel modelleme matematik dışında birçok disiplinin de ilgi alanına giren, eğitimin her seviyesinde gerçek hayatla ilişkili, açık-uçlu ve uygulamalı problem çözme uygulamalarını kapsayan genel bir terimdir. Haines ve Crouch (2007) matematiksel modellemeyi, gerçek hayat problem durumlarının soyutlanarak matematik diline aktarıldığı, çözümlendiği ve sonra çözümün test edildiği döngüsel bir süreç olarak tarif etmektedirler. Öte yandan Verschaffel, Greer ve De Corte ye (2002) göre ise matematiksel modelleme, bir gerçek hayat durumundaki olayları ve bunlar arasındaki ilişkileri matematiksel olarak ifade etmeye çalışma ve matematiksel örüntüleri ortaya çıkarma sürecidir. Her iki tanımda da bir gerçek hayat durumunun fiziksel modelinin ötesine geçilerek yapısal özelliklerinin matematik yardımıyla incelenmesine işaret edilmektedir. Lesh ve Doerr (2003a) matematiksel modellemeyi mevcut kavramsal sistemlerin ve modellerin kullanıldığı, farklı bağlamlarda anlamlandırılarak geliştirildiği ve yeni modellerin ortaya çıkarıldığı bir süreç olarak ifade etmektedirler. Bu tanıma göre matematiksel modelleme, hem önceden bilinen kavramsal sistemleri ve modelleri kullanma hem de yenilerini oluşturma ve geliştirme anlamlarını içermesi bakımından statik ve dinamik yapıları içe- 1609

KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ ren bir terimdir. Başka bir deyişle, model bir süreç sonunda oluşturulmuş ürünü ifade ederken modelleme ise bir durumun fiziksel, sembolik ya da soyut modelini oluşturma sürecini ifade etmektedir (Sriraman, 2006). Benzer şekilde Gravemeijer ve Stephan (2002) da matematiksel modellemenin sadece gerçek hayat durumlarının hazır modeller kullanılarak matematik diline aktarmakla sınırlı olmadığını, gerçek hayat durumu içerisindeki olguların yeniden yorumlanıp düzenlenerek matematiksel kavramlarla ve gösterimlerle ilişkilendirilmesini de kapsadığını ifade etmektedirler. Matematiksel modellemede, gerçek hayat durumunun matematiğin sembolik diline başarılı bir şekilde aktarılabilmesi için öğrencilerin işlemsel ve aritmetik bilgilerin ötesinde uzamsal düşünme, yorumlama, tahmin etme gibi daha üst düzey matematiksel donanımlara sahip olmaları gerekmektedir (Lehrer ve Schauble, 2003). Bu anlamda, matematiksel modelleme bilimsel düşünmenin gereklilikleri olan oluşturma, keşfetme, uygulama, yorumlama ve değerlendirme gibi becerileri içerdiği için iki ayrı alan gibi görülen matematik ile fen bilimleri arasındaki yakın ilişkiyi de ön plana çıkarmaktadır. Matematiksel modellemenin öğretim sürecinde kullanımı bakımından temel iki yaklaşımdan bahsedilebilir (Gravemeijer, 2002; Niss ve ark., 2007). Birincisi, matematik derslerinde hazır bir şekilde verilen matematiksel bilgilerin gerçek hayat durumlarını analiz ederken uygulanabilmesi, dönüştürülebilmesi ve uyarlanabilmesidir. Bu yaklaşımda matematiksel modeller ve bu modellerin hangi gerçek hayat durumlarını yorumlamada kullanılabileceği bilgileri hazır verilmekte, öğrencilerden bir gerçek hayat durumuna uygun matematiksel modeli aramaları veya uyarlamaları beklenmektedir. İkinci yaklaşım ise bir gerçek hayat durumunu yorumlama sürecinde öğrencilerin kendi sembolik araçlarını ve modellerini geliştirmesidir (Gravemeijer ve Stephan, 2002; Lesh ve Doerr, 2003a). Bu yaklaşım öğrencilere kendi matematiksel modellerini oluşturma ve geliştirme fırsatını vermeyi önemsemektedir. Matematiksel Modelleme Süreci: Matematiksel modellemede, verilenleri kullanarak hedefe ulaşma sürecinde katı bir prosedür uygulaması söz konusu değildir (Blum ve Niss, 1991; Crouch ve Haines, 2004; Lesh ve Doerr, 2003a). Gerçek hayattan bir olgunun matematiksel modelini oluşturma sürecinde; matematiksel model ile modellenen gerçek durumu ayırt edebilme, hata payı ve uyumluluk bakımından değerlendirme, farklı ve daha iyi bir model ile ifade edebilme ihtimali göz önünde bulundurulması gereken unsurlardır. Matematiksel modelleme sürecinde verilenleri kullanarak bir çözüme ulaşma, çözümü gerçek hayat durumuyla karşılaştırma, eğer yeterli değilse çözümü geliştirme veya daha farklı bir çözüm geliştirme gibi çok basamaklı bir döngü vardır (Haines ve Crouch, 2007; Lehrer ve Schauble, 2003). Matematiksel modellemenin döngüsel bir süreç olduğu, alan yazında ortak bir fikir olarak vurgulanmaktadır (Zbiek ve Conner, 2006). Alan yazında matematiksel modelleme sürecindeki aşamaları açıklayan farklı model ve gösterimler mevcuttur. Örneğin, Lingefjärd a (2002a) göre döngüsel modelleme süreci; verilenleri belirleme ve sadeleştirme, problemi formülleştirme, değişkenleri belirleme, matematiksel ifadeleri formülleştirme, Şekil 1 Matematiksel Modelleme Süreci (NCTM, 1989, s. 138) 1610

ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar... bir matematiksel model seçme, grafik gösterimleri kullanma ve gerçek hayat durumu ile karşılaştırarak kontrol etme gibi yedi aşamadan oluşmaktadır. Modelleme süreci lineer olmayan, tekrarlı döngüler içeren ve beş temel aşmadan oluşan bir süreçtir (bkz. Şekil 1). Bu süreçler şunlardır: (i) Gerçek hayat problemini tanımlama ve sadeleştirme, (ii) bir matematiksel model oluşturma, (iii) modeli dönüştürme, geliştirme ve çözme, (iv) modeli yorumlama, (v) modeli doğrulama ve kullanma. Birinci aşamada, öğrenciler problem durumunu inceleyip verilen bilgileri belirleyerek problem durumunu anlayabilecekleri en sade hâle getirirler. İkinci aşamada, problem durumunu ifade edebilecek matematiksel gösterimlerden (grafik, denklem vs.) yararlanarak problemi matematiksel ifadeye aktarılar. Üçüncü aşama, probleme matematiksel bir çözüm bulabilmek için geliştirilen matematiksel gösterimleri dönüştürme ve analiz etmeyi içerir. Dördüncü aşamada, öğrenciler buldukları çözümün analiz ettikleri gerçek hayat durumu ile ne kadar tutarlı olduğunu incelerler. En son aşamada ise öğrenciler geliştirdikleri matematiksel modelin, üzerinde çalıştıkları gerçek problem durumunu ve benzer durumları açıklamada ne kadar geçerli ve kullanışlı olduğuna karar verirler. Oluşturulan matematiksel modelin asıl problem durumunu ne kadar açıkladığı değerlendirilerek aynı aşamaları tekrarlama ve alternatifler üretme söz konusu olduğu için modelleme sürecinde tekrarlı bir döngü vardır. Yukarıda örnek olarak sunulanlar haricinde modelleme sürecinin döngüsel yapısını daha detaylı açıklayan çok sayıda model ve gösterimler mevcuttur (bkz. Borromeo Ferri, 2006; Hıdıroğlu ve Bukova Güzel, 2013). Bu tür gösterimler öğrencilerin modelleme sürecinde geçtiği aşamaların idealleştirilmiş tanımlamalarından ibarettir. Fakat yine de, bu tür gösterim ve modeller, öğretmenler ve araştırmacılar için yol gösterici olabilir. Örneğin, modelleme etkinliklerini sınıfında uygulamak isteyen bir öğretmen, öğrencilerin hangi aşamalardan geçebileceği ve bu süreçte ne tür problemlerle karşılaşabileceği ile ilgili öngörülerde bulunabilir. Matematiksel Modelleme ve Problem Çözme Modelleme ile ilgili önemli sorulardan birisi, modelleme ile problem çözme arasında bir fark olup olmadığı; eğer varsa bu farkın ne olduğudur. Matematiksel modelleme en çok geleneksel sözel problemlerle (word problems) karıştırılabilmektedir. Reusser ve Stebler e (1997) göre geleneksel sözel problemler, öğrencilerde kitapta olan veya öğretmen tarafından sorulan her problemin çözülebilir ve çözülmesi gereken bir problem olarak düşünme; problem anlaşılmadı ise doğru matematiksel işlemleri seçmek için anahtar kelimelere veya daha önce çözülen benzer problemlere bakma gibi bazı didaktik kabullerin gelişmesine sebep olmaktadır. Ayrıca, sözel problemlerde gerçek hayat durumu gibi yansıtılan durumlar genellikle bir gerçek hayat durumu da değildir (Niss ve ark., 2007). Bu problemlerde bütün değişkenler belli, idealleştirilmiş ve gerçeklikten uzak, yapay bir durum söz konusudur. Sözel problemleri çözerken öğrenciler sıklıkla gerçek hayat durumlarını ve deneyimlerini göz önünde bulundurmadan sadece işlemlere odaklanmaktadırlar (ör. Greer, 1997; Nunes, Schliemann ve Carraher, 1993). Sözel problemlerdeki gerçekçi durumu öğrencilerin nasıl algıladıklarını matematiksel modelleme bağlamında inceleyen birçok çalışma vardır (Greer 1997; Verschaffel ve De Corte, 1997; Verschaffel, De Corte ve Borghart, 1997; Verschaffel ve ark., 2002). Bu çalışmalarda öğrencilerin sözel problemleri çözerken gerçek hayat durumlarını da göz önünde bulundurma becerilerini geliştirmek hedeflenmiştir. Kullanılan soru türleri aşağıdaki örnekte de görüldüğü gibi geleneksel sözel problemlere çok benzemekle birlikte, göz önünde bulundurulması gereken bir gerçek hayat durumu söz konusudur. 228 kişilik bir turist kafilesi yüksek bir binanın tepesinden şehri izlemek istemektedir. Binada kapasitesi 24 kişilik tek bir asansör bulunmaktadır. Asansör bütün kafileyi binanın tepesine çıkarabilmek için kaç sefer yapmalıdır? (Verschaffel ve De Corte, 1997, s. 584) Bu problemde, geleneksel sözel problemlerden faklı olarak (ondalık) kesir olarak çıkan bir sonucun öğrenciler tarafından nasıl yorumlandığını sorgulamaktadır. Burada öğrencilerin sözel problemlere verdikleri cevapları gerçek hayat bağlamında da test etme becerilerini geliştirme amaçlanmıştır. Yani 228 in 24 e bölümü sonucu kalan 12 kişi için asansörün bir sefer daha yapması gerektiği fikri öğrencilere kazandırılmaya çalışılmaktadır. Böylece bu tür sözel problemler matematiksel modelleme için başlangıç uygulamaları olabilir (Verschaffel ve De Corte, 1997). Ancak yine de, bu tür problemlerde idealleştirilmiş bir gerçek hayat durumunun bütün bilinenleri, bilinmeyenleri ve sonucu bulmak için yapılacak işlemler anahtar kelimelerle sorunun içerisinde gizlenmiştir. Lingefjard (2002b), modelleme sürecinde öğrencilerin yaşadıkları birçok alt sürecin problem çözme olduğunu ve matematiksel modelleme ile problem 1611

KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Tablo 1 Problem Çözme ve Matematiksel Modellemenin bir Karşılaştırması (Lesh ve Doerr [2003a] Lesh ve Zawojewski den [2007] derlenmiştir.) Geleneksel Problem Çözme Yaklaşımları Matematiksel Modelleme Verilenleri kullanarak belirli bir sonuca ulaşma süreci Çoklu döngü, farklı yorumlar Problem bağlamı idealleştirilmiş gerçek veya gerçekçi hayat Otantik gerçek hayat bağlamı durumları Öğrencilerden hazır öğretilmiş formül, algoritma, strateji, matematiksel fikir vb. yapıları kullanmaları beklenmektedir. Bireysel çalışma ön planda Öğrenciler modelleme sürecinde önemli matematiksel fikir ve yapıları geliştirme, gözden geçirme ve düzeltme aşamalarını yaşarlar. Grup çalışması vurgulanıyor (sosyal iletişim, matematiksel fikirlerin paylaşımı vs.) Gerçek hayatla ilişkili ve disiplinler arası bir doğaya sahip Modelleme sürecinde ise öğrenciler anlamlı gerçek hayat durumların matematiksel tarifini yapmaya çalışıyor. Gerçek hayattan soyutlanmış Öğrencilerden matematiksel sembol ve yapıları anlamlandırmaları bekleniyor. Belirli problem çözme stratejilerinin (farklı bir yaklaşım Birden fazla ve öğrenciler tarafından bilinçli olarak duruma geliştirme, bir şekil üzerine aktarma vb.) öğretilmesi ve benzer özel geliştirilen, belirgin olmayan çözüm stratejileri problemlerde kullanılması Tek doğru bir çözüm Birden fazla çözüm yaklaşımı ve çözüm (model) çözme arasında bir karşılaştırma yapmanın çok anlamlı olmadığını ifade eder. Fakat yine de, matematiksel modelleme ve geleneksel problem çözme arasındaki farklar ve benzerlikler birçok araştırmacı tarafından incelenmiştir (ör. Lesh ve Doerr, 2003a; Lesh ve Zawojewski, 2007; Mousoulides, Sriraman ve Christou, 2007; Zawojewski ve Lesh, 2003). Bu çalışmalarda geleneksel problemlerle kıyaslandığında matematiksel modelleme problemlerinin daha açık uçlu, öğrencilere farklı düşünme fırsatları sunan, daha gerçekçi ve anlamlı öğrenmeyi destekleyen özelliklere sahip olduğu ifade edilmektedir. Lesh ve Zawojewski (2007), Polya geleneğini devam ettiren problem çözme çalışmalarının betimsel düzeyde kalmakta olduğu ve öğrencilerin gerçek hayatta problem çözme becerilerini geliştirme sorununa bir çözüm sunmadığı için eleştirmektedir. Bu araştırmacılara göre problem çözme alan yazınında bahsedilen problemi anlama, bir strateji belirleme, uygulama ve test etme gibi aşamalar çalışmaların çoğunda ortaya çıkan ve farklı terimlerle adlandırılan sıralı yapıyı ifade etmektedir. Bununla birlikte, yine alan yazında belli başlı problem çözme stratejileri tanımlanmaktadır. Gerçek hayatta bireylerin ileriki yaşamlarında karşılaşabilecekleri problem durumları daha karmaşık olacaktır. Lesh ve Doerr (2003a) ve Lesh ve Zawojewski (2007) gibi araştırmacılar tarafından tartışılan fikirler doğrultusunda hazırlanan matematiksel modelleme ve problem çözmenin bir karşılaştırması Tablo 1 de verilmiştir. Matematiksel Modelleme Yaklaşımları Matematik ile gerçek hayat arasında bağ kurmaya çalışan her tür uygulama matematiksel modellemeyle ilişkilendirilebilir. Fakat farklı teorik altyapılar çerçevesinde matematik eğitiminde modelleme kullanımına yönelik farklı yaklaşımlar söz konusu olup uluslararası çalışmalarda da henüz ortak bir anlayış oluşmamıştır (Kaiser, Blum, Borromeo Ferri ve Stillman, 2011; Kaiser ve Sriraman, 2006). Bazı araştırmacılar modellemeyi matematik eğitiminde yapılandırmacılığın da ötesinde bir paradigma, eğitim ve öğretimi yorumlamada yeni bir yaklaşım olarak benimserken (Lesh ve Doerr, 2003a, 2003b) bir kısım araştırmacılar matematiksel modellemeyi gerçek hayat durumlarının matematiksel dilde ifade edilmesi, hazır verilen matematiksel yapıların, modellerin ve formüllerin gerçek hayatta uygulamaları olarak görmektedir (Haines ve Crouch, 2007). Matematiksel modelleme alanında yapılan çalışmalarda tartışılan konuların anlaşılması için bu farklı yaklaşımların benzer ve farklı yönleri irdelenmelidir. Ancak ne yazık ki, birçok araştırmacı tarafından dile getirilmekle birlikte henüz matematiksel modellemenin anlaşılmasındaki farklılıklara yönelik ayrıntılı ve sistematik bir şekilde analiz eden bilimsel çalışmalar yeterli düzeyde değildir (Kaiser, 2006; Kaiser ve Sriraman, 2006; Sriraman, Kaiser ve Blomhoj, 2006). Bu nedenle, matematiksel modellemenin öğrenimi ve öğretimi ile ilgili tüm dünyada kabul gören bir teoriden bahsetmek de henüz mümkün değildir (Kaiser ve ark., 2006). Aşağıda alan yazında karşımıza çıkan farklı matematiksel modelleme yaklaşımları ele alınmaktadır. International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) ve the International Community of Teachers of Mathematical Modelling and Applications (ICTMA) tarafından düzenlenen kongrelerde modellemeyle ilgili sunulan çalışmaların genel hedefleri ve teorik çerçeveleri göz önünde bulundurularak Kaiser (2006) ile Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından yapılan sınıflandırma bu konuda faydalı bir bakış açısı sağlamaktadır. Araştırmacılar sınırlı sayıdaki çalışmaları inceleyerek bunlara yön veren 1612

ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar... modelleme yaklaşımlarını 6 başlık altında sınıflandırmaktadırlar: (i) gerçekçi veya uygulamalı modelleme, (ii) bağlamsal modelleme, (iii) eğitimsel modelleme, (iv) sosyo-kritik modelleme, (v) epistemolojik veya teorik modelleme ve (vi) bilişsel modelleme. Bu sınıflandırmada her bir yaklaşım matematiksel modellemenin farklı bir yönünü ön plana çıkarmaktadır. Gerçekçi veya uygulamalı modelleme yaklaşımı, öğrencilerde problem çözme ve modelleme becerilerini geliştirmeyi hedeflemektedir. Bu yaklaşımda öğrencilere mühendislik ve diğer bilim dallarından problem durumları verilerek öğrendikleri matematiksel bilgileri farklı bağlamlarda uygulamaları önemsenmektedir. Bağlamsal modelleme yaklaşımında öğrencilere yapaylıktan uzak anlamlı gerçek hayat durumları verilmektedir. Böylece öğrencilerin matematiksel kavramları uygun bağlamlar içerisinde tecrübe ederek daha anlamlı öğrenebilecekleri varsayılır. Eğitimsel modelleme ise gerçekçi modelleme yaklaşımı ile bağlamsal modelleme yaklaşımının bir çeşit karması olarak düşünülebilir. Bu yaklaşımda matematiksel modelleme ile uygun öğrenme ortamlarının ve süreçlerinin oluşturularak öğrencilere kavramların öğretilmesini amaçlamaktadır. Sosyo-kritik modelleme yaklaşımı ise matematiğin sosyo-kültürel ve etno-matematik boyutlarına odaklanmaktadır. Bu yaklaşıma göre matematik öğretimi ile öğrencilere kendi yaşadığı topluma ve kültürel yapıya özgü kullanabileceği eleştirel düşünme becerileri kazandırılmalıdır. Bunu gerçekleştirmede matematiksel modelleme etkinliklerinin önemli olduğu düşünülmektedir. Bu çerçevede modelleme sürecinde öğrencilerin basitten karmaşığa doğru matematiği kullanarak tartışmaları onların eleştirel düşünme becerilerinin gelişmesine katkı sunacağı varsayılır. Epistemolojik veya teorik modelleme yaklaşımı ise matematiksel modellemede, matematiksel kavramlar arasındaki ilişkileri ve öğrencilerin bunlar üzerinde konuşmalarını ön planda tutmaktadır. Bu yaklaşıma göre modelleme etkinliklerindeki gerçekçi bağlam ikinci planda olup, içerisinde matematik olan her uğraş bir modelleme etkinliği olarak kabul edilir. Son olarak, bilişsel modelleme yaklaşımı ise modelleme sürecinde öğrencilerin yaşadıkları bilişsel ve üst bilişsel düşünme süreçlerinin analiz edilmesine odaklanmaktadır. Bu yaklaşıma göre modelleme etkinlikleri öğrencilerin düşünme süreçlerini anlama ve destekleme amacıyla öğretmenlere yol gösterici bir ortam sunmaktadır. Kaiser (2006) ile Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından öne sürülen sınıflandırma, sistematik bilimsel bir analizden ziyade araştırmacıların öznel yorumlarını içermektedir. Bu sınıflandırmadaki modelleme yaklaşımlarını birbirinden kesin sınırlarla ayırmak pek de mümkün değildir. Nitekim bunun yüzeysel bir sınıflandırma olduğunu bu araştırmacıların kendileri de belirterek matematiksel modelleme ve ilgili kavramları üzerine ortak anlayışı artırmak ve derinleştirmek için bu konuda daha ayrıntılı çalışmaların yapılması gerektiğini önermektedirler. Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından yapılan sınıflandırma farklı matematiksel modelleme yaklaşımlarını ve anlayışlarını ifade etmekle birlikte aralarındaki farkı net bir şekilde ortaya koymamaktadır. Matematiksel modellemenin matematik öğretiminde kullanım amacı bakımından daha basit bir sınıflandırma yapmak mümkündür. Genel olarak bakıldığında matematiksel modellemenin matematik eğitiminde kullanım amacına yönelik iki farklı yaklaşımdan söz etmek mümkündür: (i) matematik öğretiminin amacı, (ii) matematiği öğretmek için kullanılan bir yöntem (araç) (Galbraith, 2012; Gravemeijer, 2002; Julie ve Mudaly, 2007; Niss ve ark., 2007). Birinci yaklaşımda matematik öğretimi ile hedeflenen öğrencilerin modellerinin ve bu modelleri kullanarak matematiksel modelleme yapabilme becerilerinin geliştirilmesi hedeflenir. Matematiksel kavram ve modeller verildikten sonra gerçek hayat uygulamaları ile desteklenir. Bu yaklaşımda matematikten gerçek hayata (matematik gerçek hayat) doğru bir yönelim vardır. İkinci yaklaşımda ise matematiksel modelleme matematiksel kavram ve modellerin öğretilmesinde bir yöntem ve bağlam olarak kullanılır. Bu yaklaşımda ise gerçek hayattan matematiğe (gerçek hayat matematik) doğru bir yönelim söz konusudur. Birincisinde matematiksel yapılar, kavramlar ve modeller idealleştirilmiş gerçek hayat durumlarında uygulanacak birer hazır obje olarak ele alınırken ikincisinde ilgili matematiksel yapıların oluşturulması, geliştirilmesi ve genelleştirilmesini ifade eden sürece daha çok vurgu yapılmaktadır. İlerleyen kısımlarda bu iki modelleme yaklaşımı kuramsal altyapıları, matematiksel modelleme tanımları ve kullanılan soruların doğası bakımından incelenecektir. Matematik Öğretiminin Amacı Olarak Matematiksel Modelleme Bu yaklaşımda matematiksel modellemeye matematik ve matematik dışındaki disiplinler için öğrencilerde geliştirilmesi gereken temel beceriler açısından bakılmaktadır (ör. Blomhøj ve Jensen, 2007; Blum, 2002; Crouch ve Haines, 2004; Haines ve Crouch, 2001; Izard, Haines, Crouch, Houston ve Neill, 2003; Lingefjard, 2002a; Lingefjard ve Holmquist, 2005). Diğer bir deyişle, matematik öğ- 1613

KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ İçecek Kutusu İçi dolu bir metal içecek kutusu düşünün. Dolu kutuda 0,33 litre içecek bulunmaktadır. Kutunun altından küçük bir delik açıp üst kısmındaki kapağını açtığımızda kutudaki içecek 0,5 cm 3 /sn. hızla boşalmaya başlamaktadır. Kutu ve altındaki küçük delik içerisindeki bütün sıvının dökülebileceği şekilde konumlandırılmıştır. Başlangıçta kutunun kütle merkezinde bulunan sistemin ağırlık merkezi (Kutu ve içindeki içecek), yavaşça aşağıya doğru kaymakta ve sonra kutu boşalınca da başlangıç konumuna geri dönmektedir. a) Bu ağırlık merkezinin zamana bağlı hareketini açıklayan bir matematiksel model geliştiriniz. Modeli bir diyagram ile gösteriniz ve içecek kutusunun boşalma süresince sahip olabileceği en düşük ağırlık merkezi seviyesinin değerini en yaklaşık değeri ile hesaplayınız. b) Belli bir miktar içecek için kutu yandaki şekilde görüldüğü gibi konumlandırılabilmektedir. Kutudaki içecek miktarı ne kadar olduğunda bu işlem mümkündür? Varsayımlarınızı ve hesaplamalarınızı çözüm sürecinizde detaylandırarak açık bir şekilde gösteriniz. Şekil 2 İçecek Kutusu Problemi (Lingefjard dan [2002a] uyarlanmıştır.) retiminin amacı, öğrencilerin gerçek hayat durumları ile ilgili problemleri çözmek için ihtiyacı olan modelleme becerileri elde etmesini ve bu becerileri kullanabilmesini sağlamaktır. Lingefjard (2002a; 2002b) matematiksel modellemeyi soyut ve uygulamalı matematiğin bir parçası olarak görmektedir. Diğer bir deyişle sınıf ortamında öğretilen soyut matematik kavram ve konuları gerçek hayatta kullanılabileceği bağlamlarla birlikte öğretilmelidir. Lingefjard (2004), matematiksel modellemeyi bir otantik durumu gözlemleme, ilişkileri tahmin etme (saptama), matematiksel analizleri uygulama (denklemler, sembolik yapılar vs.), matematiksel sonuçları elde etme ve modeli tekrar yorumlamayı içeren bir süreç olarak tanımlamaktadır. Dolayısıyla Niss ve arkadaşlarının (2007) bahsettiği gibi önce matematiksel kavramların verildiği daha sonra bu kavramların uygulanabileceği gerçek hayat durumları üzerine çalışılan (matematik gerçek hayat) bir yaklaşım bulunmaktadır. Gravemeijer (2002) ise bunu başkaları tarafından oluşturulmuş ve öğrenci için statik yapıda hazır modeller olarak ifade etmektedir. Kullanılan modelleme problemlerine bakıldığında genel olarak ağır ve üst düzey matematik uygulamaları söz konusudur (bkz. Şekil 2). Ayrıca bu yaklaşımı kullanan araştırmacılara göre, matematiksel modelleme sadece matematik içinde değil disiplinlerarası düşünülmesi ve ele alınması gereken bir konudur (ör. Haines ve Crouch, 2001, 2007). Dolayısı ile diğer disiplinlerde de kullanılacak olan matematiksel modelleme becerileri iyi belirlenmeli ve bu becerileri geliştirmenin yöntemleri aranmalıdır. Bu araştırmacılar çalışmalarında matematik eğitiminin önemli amaçlarından biri olarak gördükleri matematiksel modelleme becerilerinin tanımlanması, geliştirilmesi ve ölçülmesi ile ilgili konulara odaklanmışlardır. Bunun için modelleme becerilerinin ve yeterliliklerinin neler olduğuna, nasıl geliştirileceğine ve nasıl ölçülebileceğine yönelik farklı görüşler ortaya çıkmaktadır (Henning ve Keune, 2007). Bu konuya bütüncül bir yaklaşımla bakılabilirken (Blomhøj ve Jensen, 2007), Crouch ve Haines (2004) gibi bazı araştırmacılar ise mikro-düzeyde bakmaktadır. Matematiksel modelleme becerilerine mikro düzeyde bakan Ross Crouch, John Davis, Andrew Fitzharris, Chris Haines, John Izard, Ken Houston ve Neville Neill gibi araştırmacılar, 1991-2005 yılları arasındaki çalışmaları sonucunda matematiksel modelleme becerilerini aşağıdaki gibi tanımlamışlardır (Lingefjard, 2004): 1. Aşağıdaki seçeneklerden hangisi sabit durumdayken hızlanan bir otomobilin zamana (t) bağlı olarak hızını veren en yakın matematiksel ifadedir? 2. Aşağıda verilen durum üzerine düşününüz. Araçların arka arkaya düz bir sıra halinde park edildiği bir caddeye arabanızı geri geri park etmek durumundasınız. Park edeceğiniz boşluk arabanızın yaklaşık 1,5 katıdır. Buna göre, manevranın başarılı bir şekilde gerçekleştirilebilmesi için aşağıdaki değişkenlerden hangisi en önemlidir? A) Arabanın dönme yarıçapı B) Geri gitmeye başlamadan önce arabanın park boşluğuna olan mesafesi C) Mevcut hava koşulları D) Kaldırıma çıkıp çıkmayacağınız E) Geri gitmeye başlamadan önce arabanızla paralelinizde park edilmiş arabalar arasındaki mesafe Şekil 3 Modelleme Becerilerini Ölçmeye Yönelik Soru Örnekleri 1614

ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar... Verilenleri belirleme ve sadeleştirme Hedefi belirginleştirme Problemi formülleştirme Değişkenleri, parametreleri ve sabitleri belirleme Matematiksel ifadeleri formülleştirme Bir matematiksel model seçme Grafik gösterimleri kullanma Gerçek hayat durumu ile karşılaştırarak kontrol etme Aynı grup tarafından mikro-düzeydeki bu modelleme becerilerini ölçmek için geliştirilen bir test, modelleme sürecinin her bir aşamasında öğrencilerden beklenen becerileri ayrı ayrı, mikro düzeyde ölçmeyi hedeflemektedir (Haines, Crouch ve Davis, 2000). Şekil 3 teki ilk soru, matematiksel bir model seçme becerisini ölçmeye yönelik iken ikinci soru, hedefi belirginleştirme becerisini ölçmeye yöneliktir. Matematiksel modellemeyi öğretmeyi amaçlayan yaklaşımlarda modellemenin öğretimi üzerine çalışmalar da ön plana çıkmaktadır (bk. Ärlebäck ve Bergsten, 2010; Lingefjard, 2002a). Bu bağlamda, Fermi problemleri matematiksel modellemenin öğretimi sürecinde kullanılabilecek problem türlerine örnek olarak verilmiştir (Ärlebäck, 2009; Ärlebäck ve Bergsten, 2010; Sriraman ve Lesh, 2006). Fermi problemleri; varsayımlarda bulunarak, sistematik bir düşünme biçimi ve sınırlı bilgi ile hesaplanması pek mümkün olmayan büyüklüklerle ilgili tahmin yürütmeyi içermektedir (Ärlebäck, 2009) (bkz. Şekil 4). Ünlü fizikçi Enrico Fermi ye atfedilen Şikago da kaç tane piyano akortçusu var? sorusu Fermi problemleri olarak isimlendirilen problem türünün klasik bir örneğidir (Sriraman ve Lesh, 2006). Ärlebäck a (2009) göre Fermi problemleri, öğrencilerin basit hesaplamalarla çözüme başlamadan önce varsayımlarda bulunarak sistematik tahminlerde bulunmalarını gerektiren açık uçlu, rutin olmayan problemlerdir ve matematiksel modellemenin öğretilmesi için mükemmel araçlardır. Sriraman ve Lesh e (2006) göre bu tür problemler bir matematiksel modelleme problemi olmaktan ziyade, modelleme problemleri için iyi birer başlangıç problemidir. Fermi problemleri diğer klasik problemlerle kıyaslandığında yaşadığımız çevre ile daha yakından ilişkili olup pedagojik olarak daha geniş ve anlamlı olanaklar sunmaktadır (Ärlebäck ve Bergsten, 2010). Özet olarak, matematik öğretiminin amacı olarak matematiksel modelleme yaklaşımında matematiksel modelleme hazır öğretilen soyut matematiksel kavram ve modellerin gerçek hayat uygulamalarını yapabilme olarak görülmekte ve matematik öğretiminden bağımsız olarak ayrıca modelleme beceri ve stratejilerinin öğretilmesi savunulmaktadır. Burada modelleme becerilerinin geliştirilmesi çok önemsenmekte ve bunun için de matematiksel kavramlar öğretildikten sonra çok sayıda gerçek hayat bağlamlı uygulama problemleri çözülmesinin ve hatta matematik dersinden ayrı olarak matematiksel modelleme dersi olmasının gerekliliği vurgulanmaktadır (Haines ve Crouch, 2001). Yine de, bu yaklaşım temelinde uygulanan modelleme problemleri, öğrencilere hem kendi yaşamları ile ilgili gerçek problemleri çözme deneyimi kazandırmakta hem de modelleme becerilerini geliştirerek öğrencilerde modelleme süreci ile ilgili zihinsel bir altyapı oluşturmaya yardımcı olmaktadır (Galbraith, 2012). Matematiği Öğretmek İçin Bir Araç (Yöntem) Olarak Matematiksel Modelleme Matematiksel modellemenin matematik eğitiminde kullanımına yönelik ikinci bir yaklaşım ise matematiksel modellemeyi matematiği öğretmek için bir araç olarak ele almaktadır. Bu bakış açısına göre matematiksel modelleme süreci, öğrencilerin kendi matematiksel bilgi ve modellerini oluşturup geliştirmek için kullanılabilecek öğretim aracıdır. Bunun için önemli matematiksel kavramlar ve fikirler, tarihsel gelişimine de uygun bir şekilde ve sezgiselden formele doğru, uygun problemler ve gerçek hayat durumları aracılığıyla öğretilmelidir (Lesh ve Doerr, 2003a). Geleneksel yöntemlerde öğrencilere hazır sunulan matematiksel bilgi ve modeller öğrencilerin zihninde bir süreçten geçmediği için anlamlı öğrenmenin gerçekleşmesi zordur. Bunun için, öğrencilere kendi matematiksel bilgi ve modellerini geliştirebilecekleri ortamlar sunmak gerekir. Matematik eğitiminde Model ve Modelleme Perspektifi (MMP) (Lesh ve Doerr, 2003a) ve Gerçekçi Matematik Eğitiminin ortaya koyduğu modelleme yaklaşımı (emergent modeling) (Gravemeijer, 1) Bir yüzme havuzunu doldurmak için kaç bardak suya ihtiyaç vardır? 2) İstanbul da bulunan ve Türkiye nin en yüksek binası olan Sapphire Towers ın girişindeki danışma görevlilerine en sık sorulan sorular şunlardır: Binanın en üst katında bulunan gözlem odasına asansör ne kadar zamanda çıkmaktadır? Eğer yürüyerek çıkmak istersek kaç dakika sürer? Şekil 4 Örnek Fermi Problemleri (Ärlebäck dan [2009] uyarlanmıştır.) 1615

KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ 2002; Gravemeijer ve Stephan, 2002) bu bakış açısına sahip yaklaşımlara örnektir. Model ve Modelleme Perspektifi (MMP): Lesh ve Doerr (2003a) tarafından öne sürülen Matematiksel Model ve Modelleme Perspektifi (MMP) matematikte öğrenmeyi, öğretmeyi ve problem çözmeyi açıklayan kapsamlı bir teorik yaklaşımdır. MMP kuramsal altyapı olarak yapılandırmacılık ve sosyo-kültürel teorileri temel alır. Bu yaklaşıma göre kişiler olayları, deneyimleri ve/veya problem durumlarını zihinlerinde var olan bilişsel sistemlerini (zihinsel modellerini) kullanarak yorumlamaya ve böylece anlamlandırmaya çalışmaktadırlar. Bu yorumlama sürecinde zihinsel modeller, söz konusu olay veya problem durumu ile ilgili bilgiyi düzenlemek, organize etmek ve anlamlı örüntüler bulmak için kullanılır. Modelleme sürecinde öğrencinin çözüm bulma, çözümü test etme ve alternatif çözüm üretme döngüsünde aktif rol alması ve sürecin sonunda bir matematiksel model geliştirmesi yapılandırmacılığın bireyin zihinsel gelişim sürecini merkeze alan yaklaşımını yansıtmaktadır (Lesh ve Lehrer, 2003). Ancak bu zihinsel modellerin kullanılabilmesi ve gelişimi bir takım gösterimlerle (dil, semboller, şekiller, teknolojik araçlar vs.) ifade edilebilmesi ile mümkündür. Modelleme sürecinde grup çalışması yapılması, grup tartışmaları neticesinde birçok döngüden geçerek çözüme ulaşılması sosyal bir öğrenme ortamını gerektirir. Bu yönüyle teori, bilişsel gelişimin sosyo-kültürel boyutunu da içermektedir (Lesh ve Doerr, 2003b; Lesh ve Lehrer, 2003). Zawojewski, Lesh ve English e (2003) göre geleneksel matematik problem çözme etkinliklerinde, elde edilmesi beklenen bir matematiksel (sayısal) sonuç olduğu için paylaşılmaya ihtiyaç yoktur ve bu nedenle sosyal yönü zayıftır. Ancak matematiksel modelleme etkinliklerinde model oluşturma ve modeli genelleme ilkeleri, geliştirilen bir modelin paylaşılabilir ve tekrar kullanılabilir olmasını öngörür. Modelleme etkinliklerinde grup çalışma sürecinde her bir öğrenci kendi gösterim yöntemleri ile problemi yorumlamakta ve bu yorumlar grupça tartışılmaktadır. Her bir model tartışılıp değerlendirildikten sonra da en uygun model oluşturulmaktadır. Oluşturulan model başkaları tarafından kullanılacağından, öğrenciler her bir süreci, yöntemi ve stratejiyi açıklamak durumundadır (Zawojewski ve ark., 2003). Burada yine grup çalışmasında grup üyelerinin birbirlerini değerlendirmesiyle öğretmen tek değerlendirme kaynağı olmaktan da çıkmaktadır. Ayrıca grup tartışması sürecinde grup üyelerinin iletişim becerilerini geliştirme fırsatı da ortaya çıkmaktadır. MMP ye göre matematik eğitiminin en önemli amacı öğrencilerin karşılaştıkları gerçek problem durumlarını yorumlayıp çözüm üretebilecekleri zihinsel modeller geliştirmelerine yardımcı olmaktır. MMP yaklaşımı model ve modelleme terimleri için kapsamlı bir tanım sunmaktadır. Lesh ve Doerr a (2003a) göre model, karmaşık sistemleri ve yapıları yorumlamak ve anlamak için zihinde var olan kavramsal yapılar ile bu yapıların dış temsillerinin bütünüdür. Modelleme ise olayları ve problemleri yorumlama (tanımlama, açıklama veya oluşturma) sürecinde problem durumlarını zihinde düzenleme, koordine etme, sistemleştirme ve organize edip bir örüntü bulma, zihinde farklı şemalar ve modeller kullanma ve oluşturma sürecidir (s. 11). Bu bağlamda model bir süreç sonunda oluşturulmuş ürünü ifade ederken modelleme ise bir durumun fiziksel, sembolik ya da soyut modelini oluşturma sürecini anlatmaktadır. MMP yaklaşımı modelleme problemleri için model-oluşturma (model-eliciting) etkinlikleri ifadesini kullanmakta ve bu etkinliklerin eğitim-öğretim sürecinde kullanılmasına önem vermektedir. Model-oluşturma etkinlikleriyle genel anlamda öğrencilere kısa bir zaman diliminde belirli matematiksel kavramların ve modellerin tarihsel gelişimindeki doğal süreci yaşatarak onlarda bu kavramları ihtiyaç olarak hissettirme ve sezgisel olarak ortaya çıkarma amaçlanmaktadır (Lesh ve Doerr, 2003a). MMP ye göre model-oluşturma etkinlikleri çok farklı bağlamlarda, farklı gruplara farklı amaçlar için kullanılabilir (Doerr ve Lesh, 2011). Sorunun içerdiği gerçek hayat bağlamının otantik ve amaca uygun olabilmesi için, etkinlikler oluşturulurken modelleme tasarım prensiplerinin sağlanmasına dikkat edilmelidir. Lesh, Hoover, Hole, Kelly ve Post (2000) tarafından belirlenen ve modelleme etkinliklerinde bulunması gereken özellikler Tablo 2 de gösterilmektedir. Tablo 2 deki prensipler göz önünde bulundurularak geliştirilen bir modelleme etkinliği Şekil 5 te gösterilmektedir. Şekil 2 deki İçecek Kutusu problemi ile kıyaslandığında bazı farklılıklar görülmektedir. İçecek Kutusu probleminde modellenmesi istenen durumun gerçekçiliği ve neden modellenmesi gerektiği açık değildir. Soru kalıpları bu durumu modelleyiniz şeklinde olup öğrenciden hazır bazı modelleri kullanması beklenmektedir. Şekil 5 te gösterilen Su Deposu probleminde ise daha gerçekçi bir senaryo vardır. Soru, hiçbir teknik ve matematiksel ifade kullanılmadan öğrenciyi bir çözüm bulmaya ve çözümü yazarak ayrıntılı olarak anlatmaya yönlendirmektedir. MMP ye göre modelleme etkinlikleri dersin herhangi bir anında bir uygulama problemi gibi tek başına, 1616

ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar... plansız bir şekilde uygulanmamalıdır. Matematikte belli bir konu ile ilgili temel matematiksel fikirlerin kazandırılması asıl hedef olmalıdır. Belli bir konu ile ilgili temel matematiksel fikirler belirlendikten sonra öğrencileri bu fikirlere yönlendirecek, onlarda bu fikirleri sezgisel olarak ortaya çıkarabilecek uygun model-oluşturma etkinlikleri tasarlanmalıdır. Bir modelleme etkinliğinin uygulanması öncesinde, sürecinde ve sonrasında planlanması gereken unsurlar şunlardır: (i) Etkinlikle hedeflenen kavramlar, matematiksel fikirler önceden belirlenmeli; (ii) Öğrenciler problemin bağlamına yabancı iseler bağlamın gerçekliğini ve öğrenci için anlamlılığını artırmak için bir ısındırma etkinliği yapılmalı; (iii) Uygulamanın hemen sonrasında modelleme esnasında öğrencilerin geliştirdikleri modelleri kullanabilecekleri devam etkinlikleri (model-keşfetme etkinlikleri) uygulanmalıdır (Lesh ve Doerr, 2003b). MMP ye göre modelleme etkinlikleri öncesiyle ve sonrasıyla düşünülerek iyi planlanmış, matematiksel bir veya birkaç kavramla ilgili model geliştirmeyi sağlayacak şekilde belli bir sıra ve düzende uygulanmalıdır. MMP, model-oluşturma ve devam etkinlikleri ile matematiksel konuların içerdiği ana fikirleri bir bağlam içerisinde geliştirmeyi ve öğretmeyi hedeflemektedir (Lesh ve ark., 2003). Tablo 2 Model-Oluşturma Etkinliklerine Yön Vermesi Beklenen Prensipler (Lesh ve arkadaşlarından [2000] uyarlanmıştır.) Prensipler Açıklama Model oluşturma prensibi Gerçeklik prensibi Öz değerlendirme prensibi Model açığa çıkarma (belgeleme) prensibi Model genelleştirme prensibi Etkili örnek model (prototip) prensibi Bu prensibe uygun düzenlenmiş etkinlik öğrenciye, sorulan durum için bir çözüm olacak model (yapı) oluşturmaya, geliştirmeye ya da düzenlemeye ihtiyaç olduğunu hissettirebilmeli ve etkinlik sonunda da öğrenci bir model oluşturabilmelidir. Modelleme etkinliği öğrencinin sahip olduğu bilgi ve deneyimleriyle anlamlı bir gerçek hayat problemini çözebilmesine olanak sağlamalıdır. Öğrenci, etkinlikte kendi yorumlarının ve vardığı sonuçların doğruluğunu kendi kontrol edebileceği gibi, oluşturduğu modelin geliştirilmesine veya düzeltilmesine ihtiyacın olup olmadığı hükmüne de kendisi karar verebilmelidir. Bu prensibe uygun şekilde hazırlanmış modelleme etkinlikleri, öğrencilerin, etkinlik boyunca problem durumuyla ilgili kendi düşünceleri ve çözüm yollarını açıkça ortaya çıkaracak yazılı bir doküman oluşturmalarını gerektirmelidir. Modelleme etkinlikleri, öğrencinin genel bir model oluşturmasına, dolayısıyla oluşturduğu modeli benzer başka durumlarda da kullanabilmesine olanak sağlamalıdır. Modelleme etkinlikleri, öğrencilerin yapısal olarak benzer başka durumları da yorumlamakta kullanabileceği, açıklama gücü yüksek bir örnek model oluşturabilmesine olanak sağlamalıdır. Bu özelliklere sahip olmasının yanında problem durumu mümkün olduğunca karmaşıklıktan uzak olmalı, öğrencinin mantıklı bir cevap üretebilmesine olanak sağlamalıdır. Gerçekçi Matematik Eğitiminde Modelleme Yaklaşımı (Ortaya Çıkan Modelleme Yaklaşımı): Alanda karşımıza çıkan ve ikinci yaklaşım altında değerlendirdiğimiz bir diğer önemli modelleme yaklaşımı Gerçekçi Matematik Eğitimi (Realistic Mathematics Education) (Freudental, 1991) teorisinin sunduğu modelleme yaklaşımıdır. Bir önceki bölümde bahsedilen MMP yaklaşımında olduğu gibi bu modelleme yaklaşımının kuramsal altyapısı da yapılandırmacılık ve sosyo-kültürel teorilere dayanmaktadır (Freudental, 1991; Gravemeijer, 2002). Bu yaklaşımda matematiksel kavramları ve matematiksel fikirleri hazır vermek yerine uygun bağlamlarda ve iyi planlanmış yönlendirmeler yaparak öğrencilerin kendilerinin keşfetmeleri sağlanır. Bunun amacı, öğrencilerde sezgisel olarak bazı matematiksel fikirleri geliştirmektir. Bu fikirler formel matematiksel araçlarla desteklendiğinde de daha anlamlı bir öğrenme olacağı düşünülmektedir. Yani duruma özel somut düşünme tarzından daha soyut ve genele (matematiksele) doğru bir gidiş söz konusudur. Bu yaklaşımda matematiksel modelleme sadece otantik problem durumlarının matematik diline aktarılması değil, aynı zamanda bu otantik durumun içerdiği olguları düzenleyerek yeni ilişkiler ortaya çıkarma olarak görülmektedir (Gravemeijer ve Stephan, 2002). Bu esasında öğrenciler için bir tür keşfetme sürecidir. Öğrencilerin her şeyi kendi kendine keşfetmesi beklenemeyeceği için de rehberlik yaparak keşfettirme (guided discovery/ reinvention) yöntemi kullanılır (Doorman ve Gravemeijer, 2009). Keşfettirme sürecinde öğrencilerin kendi formel olmayan, bağlama özel modeller geliştirmelerine imkân verdiğinden problem durumları kilit role sahiptir. Buradaki model sadece gerçek hayat durumunun fiziksel veya matematik diline aktarılarak gösterimi değil, onunla birlikte gelen ve modelin içeriğini oluşturan amaç, düşünme biçimi vb. her şeydir (Cobb, 2002). Bu bakış açısıyla modelleme, gerçek hayat durumlarını ve bunları anlamak, analiz etmek için kullanılan matematiksel bilgiyi ve düşünme biçimini düzenleme ve yeniden organize etme sürecidir. Soyut matematiksel düşünmeye geçerken modelleme ve modellerin anlamı değişebilir. İlk aşamada öğrencilere bağlama özel stratejiler ve kişisel modeller geliştirebilecekleri gerçek hayat problem durumları inceletilir. Öğrenci önce kendi gösterimlerini kullanarak formel olmayan modeller oluşturacaktır (model of). Devam eden süreçte öğrenciler bu kişisel modelleri ve model ile ilişkili matematiksel bilgilerini geliştirmeleri için desteklenir. Ki- 1617

KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Su Deposu Bir bilgisayar şirketi eğitim kurumlarına bilgisayar destekli eğitim amaçlı yazılım hazırlamaktadır. Şirkete bağlı bir ekip öğrencilerin grafik çizme ve yorumlama becerilerini geliştirmeye yardımcı olacak bir su deposu doldurma animasyonu üzerinde çalışmaktadır. Ekibin bu animasyonu oluşturabilmesi için su deposu doldurulurken depoda biriken suyun hacmine bağlı olarak su yüksekliğini gösteren bir grafiğe ihtiyacı bulunmaktadır. Ekibin matematikçi üyesi olarak sizden, yanda verilen depolar için bu grafikleri yaklaşık olarak çizmeniz ve herhangi bir şekle sahip bir su deposu için su miktarına bağlı olarak suyun yüksekliğini gösteren grafiğin nasıl çizileceğini anlatan bir açıklama hazırlamanız istenmektedir. Şekil 5 MMP Prensiplerine Göre Oluşturulmuş Bir Model-oluşturma Etkinliği (Carlson, Larsen ve Lesh ten [2003] uyarlanmıştır.) şisel gösterimleri ve bu gösterimlerin ifade ettiği matematiksel anlamın değişmesiyle model gelişir. Nihai olarak hedeflenen model gerçekte öğrenciler tarafından oluşturulmasa bile, onların modellerine en yakın formel modeller seçilmelidir. Böylece, öğrencilere formel model ile onların kişisel modelleri arasındaki yakın ilişki hissettirilmiş olur. En sonda geliştirilen modeller, bağlamdan bağımsız olarak matematiksel düşünme için birer formel ve soyut modellere dönüşmelidir. Bu sürecin sonunda üzerinde çalışılan gerçek hayat bağlamı içerdiği matematiksel kavramlar ve ilişkiler açısından daha formel ve anlaşılır bir yapıya kavuşmuş olur. Zihindeki bu iki model (model of ve model for) arasındaki süreç somuttan soyuta doğru bir gelişimi ifade etmektedir. Daha gelişmiş matematiksel düşünme becerisi için modelleme sürecinde soyut matematiksel modele (model for) ulaşmak asıl hedeftir. Bu bakış açısı ortaya çıkan modelleme yaklaşımıdır (Doorman ve Gravemeijer, 2009). Gravemeijer ve Doorman (1999, s. 123) kişisel modelden formel modele geçişi Galileo nun serbest düşme hareketini açıklama modelini ve yıllar içinde bunun nasıl geliştiği örneğini vererek şöyle açıklamaktadır: Galileo, serbest düşme yapan bir cismin her bir birimlik zaman aralığında düşerken kat ettiği mesafenin 1:3:5:7 gibi tek sayılar dizisi ile orantılı olduğunu belirlemiştir. Bu şekilde, düşen bir cismin her bir birimlik zaman aralığında aldığı mesafelerin lineer olarak arttığını tespit ederek zaman ile toplam mesafe arasında ikinci dereceden bir ilişki olduğunu belirleyen Galileo bunu Şekil 6 daki birinci çizimde olduğu gibi kare alanlarının farklarını alarak göstermiştir. Gravemeijer ve Doorman a (1999) göre Şekil 6 üzerindeki kare bölgelerin alanlarının farkı şeklindeki gösterim formel olmayan modeli temsil etmektedir. Zaman içinde bu model gelişerek ikinci şekilde grafik üzerinde görülen ve grafiğin altında kalan alanın zamana bağlı toplam mesafeyi verdiği fikrini gösteren formel model ortaya çıkmıştır. Burada model olarak gelişip değişen grafiğin kendisi değil, her bir aralıkta kat edilen mesafelerin ayrı ayrı toplanması işleminin, matematikteki integral fikrine dönüşmesidir. Ortaya çıkan modelleme yaklaşımına göre bir modelleme etkinliğinin ne gibi özelliklere sahip olması gerektiği MMP de olduğu kadar önem verilen bir konu değildir. Öğrenciler için anlamlı ve matema- Şekil 6 Serbest Düşme Hareketinin Matematiksel Modelleri (Gravemeijer ve Doorman, 1999, s. 123) 1618

ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar... tiksel olarak zengin gerçek hayattan bir durumun olması yeterlidir. Gerçek hayat problem durumu üzerine öğrencilerin nasıl çalıştırıldığı ve süreçte nasıl yönlendirildiği daha ön plandadır (Doorman ve Gravemeijer, 2002). Ortaya çıkan modelleme yaklaşımı öğrencilerin öğrenme sürecinin yanında, bu yaklaşıma uygun bir öğrenme ortamının nasıl olması gerektiğini ve tasarlanma sürecini de açıklamaktadır. Öğretim ortamı tasarlayıcısına düşen görev soyut ve formel matematiksel kavramları keşfettirmeye hizmet edebilecek problem durumları oluşturmaktır. Modelleme etkinliklerinin tek başına dersin faklı kısımlarında bir uygulama problemi gibi kullanılmasından ziyade, bu yaklaşımda, gerçek hayat durumlarından seçilen uygun öğrenme ortamlarının tasarlanarak öğrencilerin deneyimlerine sunulması vurgulanmaktadır. MMP yaklaşımı matematikte bir kavrama özel model geliştirme dizisi tasarlama (model development sequence) gerekliliğini vurgularken, ortaya çıkan modelleme yaklaşımı daha geniş bir bakış açısıyla, seçilen problem durumları üzerinden bütün konuyu kapsayacak şekilde bir öğretim ortamı tasarlamayı vurgulamaktadır. Tartışma Matematiksel modellemenin eğitim-öğretim sürecinde kullanılması son yıllarda daha fazla ön plana çıkmıştır. Aynı zamanda modellemenin algılanışı ve kullanımına yönelik farklı bakış açıları ortaya çıkmıştır (Kaiser ve Sriraman, 2006). Modelleme matematik öğretiminde amaç veya araç olmak üzere iki ana yaklaşım olarak görülmektedir (Blum ve Niss, 1991; Gabraith, 2012). Matematiksel modellemeyi amaç olarak gören birinci yaklaşımda, matematik eğitimi sürecinde öğrencilere hazır soyut modellerin sunulması ve bunların gerçek hayat durumlarında uygulamalarının yapılması ön plandadır. Bunun için matematik derslerinin dışında modelleme teknik ve becerilerini geliştirmeyi amaçlayan derslerin olması gerektiği vurgulanmakta ve modelleme daha çok lise ve üniversite düzeyinde ele alınmaktadır. Bu yaklaşımda, soyut matematiksel kavramları ve onların uygulanabileceği gerçek hayat durumları ile modelleme tekniklerinin ve becerilerinin öğretilmesi söz konusu olup daha çok sonuç ve beceri odaklıdır (Haines ve Crouch, 2001, 2007; Izard ve ark., 2003; Lingefjard, 2002b). Öte yandan, modellemeyi matematiği öğretmek için bir araç olarak gören ikinci yaklaşımda ise modelleme öğrencilerin kendi bilgilerini geliştirmelerini destekleyecek nitelikte bir bağlam olarak ele alınmakta ve bu çerçevede sürecin önemi vurgulanmaktadır (Lesh ve Doerr, 2003b; Gravemeijer, 2002). Bireylerin süreç içerisinde kendi modellerini sezgisel olarak açığa çıkarıp geliştirmesi hedeflenmektedir. Bu çerçevede modelleme kullanımının matematiksel iletişim ve sosyal becerilerin gelişmesi, kavramlar arası ilişkilerin kurulması, yeni kavramların da öğrenilmesi gibi ürünler söz konusudur. Bu yaklaşıma göre matematiksel modelleme lise ve üniversite düzeyinden önce ve erken dönemlerden itibaren eğitimin her kademesinde matematik derslerinin içinde yer almalıdır (Lehrer ve Schauble, 2003). Her iki yaklaşım matematik eğitimi açısından karşılaştırıldığında, vurgulanması gereken bazı noktalar şunlardır. Öncelikle birinci yaklaşımda teknik anlamda öğrencilerin matematiksel modelleme yapabilme beceri ve yeterlilikleri önemsenir. Üst düzey matematiksel bilgisi ve modelleme yöntem ve tekniklerinin kullanılması söz konusudur. Bu anlamda başlangıçta güçlü bir matematik bilgisi ve beraberinde belirli matematiksel modelleme teknikleri bilgisi de gereklidir. İkinci yaklaşımda ise öğrencilerin formel olmayan düşünme şekilleri ve çözüm yöntemleri daha çok önemsenmektedir. Formel olmayan düşünme süreçleri öğretilmesi hedeflenen matematiksel kavramı öğrencilere ihtiyaç olarak hissettirmek veya açığa çıkarmak suretiyle daha anlamlı bir öğrenme sağlamayı amaçlar. Bu çerçevede öğrencileri yeni bir kavram veya modeli öğrenmede daha aktif kılan modellemeyi matematiği öğretmek için bir araç olarak gören ikinci yaklaşımın pedagojik açıdan daha güçlü olduğu savunulabilir. Diğer taraftan modellemeyi amaç olarak gören birinci yaklaşıma uygun matematik öğretimi, üst düzey matematik bilgisi ve uygulamalarını gerektirdiğinden matematiksel yönden daha güçlü görünmektedir. Fakat bu yaklaşıma bağlı yapılan bir matematik öğretiminin öğrencilerde başarısızlık hissi oluşturması da mümkündür. Kullanılan modelleme soru türlerinde böyle bir ayrışmayı görmek mümkün olsa da bu iki yaklaşımı birbirinden kesin çizgilerle ayırmak mümkün değildir. Matematiksel modelleme uygulamalarının matematik öğretimi sürecinde kullanımı önemli olmakla beraber geleneksel öğretim metotlarının yerini alması söz konusu değildir. Burada özellikle Lesh ve Doerr (2003a) tarafından sunulan MMP ve ortaya çıkan modelleme (Gravemeijer, 2002) yaklaşımları matematiğin anlamlı öğretimi için uygun öğrenme ortamlarının tasarlanmasında matematiksel modelleme etkinliklerinin bir araç olarak nasıl kullanılabileceği konusunda eğitimcilere yol göstermektedir. MMP yaklaşımına göre öğretim 1619

KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ sürecinde kullanılacak olan modelleme etkinlikleri gerçekçilik ve etkili örnek olma gibi belirli özellikleri taşımalıdır (Lesh ve ark., 2000). Ortaya çıkan modelleme yaklaşımında ise kullanılacak bir etkinliğin öğrencilerde hedeflenen kavramları ortaya çıkartabilecek içeriğe sahip olması ve öğretmenin rehberliği önemlidir (Gravemeijer ve Stephan, 2002). Matematiksel modellemeyi matematiği öğretmek için araç olarak gören bu yaklaşımların temel argümanı matematiksel kavramların tarihsel gelişimine benzer sürecin kısa bir süre de olsa öğrencilere yaşatılmasıdır. Bu sayede öğrencilerin öğretilmek istenen kavramlara ihtiyaç hissetmeleri veya kendilerinin ortaya çıkarmaları sağlanabilir. Sonuç olarak matematiksel modellemeyi araç olarak gören yaklaşımlara göre modelleme uygulamaları öğrencileri öğrenme sürecine aktif olarak dâhil eden öğrenme ortamları sağlamaktadır. Hangi yaklaşımla olursa olsun matematik eğitim ve öğretim sürecinde modelleme uygulamalarının yer alması öğrencilerin gerçek hayat durumlarında problem çözme ve analitik düşünme becerilerini geliştirmesi açısından önemlidir. Bu nedenle matematiksel modellemenin öğretim sürecinde kullanılması bir çok ülkede önemsenmektedir (ör., DfE, 1997; NCTM, 1989, 2000; TTKB, 2011, 2013). Ülkemizde yenilenen matematik müfredatlarında da öğrencilere matematiksel modelleme yapabilme becerisi kazandırmak en önemli hedeflerden birisi olarak ifade edilmektedir (TTKB, 2013). Fakat ülkemizde matematiksel modellemenin öğretim sürecinde kullanımına yönelik çalışmaların yeterli olmadığı görülmektedir. Ayrıca matematiksel modellemeyi öğretim sürecinde kullanmak isteyen öğretmenler için de kaynak eksikliği söz konusudur. Bu konuda yapılacak çalışmaların sonucunda ortaya çıkacak olan birikimler ve tecrübeler hizmet öncesi ve hizmet içi öğretmen eğitiminde kaynak olarak kullanılabileceği gibi öğretmenlerin derslerde kullanabileceği daha somut kaynakların ortaya çıkmasına da öncülük edecektir. Fakat bu konuda çalışma yapmak isteyen araştırmacıların öncelikle matematiksel modelleme ile ilgili temel kavramların ve farklı yaklaşımların farkında olmaları gerekmektedir. Bu çalışmada matematiksel modellemenin ne olduğu, modelleme etkinliklerinin özellikleri, geleneksel problemlerden farklılıkları ve öğretim sürecinde kullanım amacı bakımından ortaya çıkan yaklaşımlar analiz edilerek tartışılmıştır. 1620

Educational Sciences: Theory & Practice 14(4) 1621-1627 2014 Educational Consultancy and Research Center www.edam.com.tr/estp DOI: 10.12738/estp.2014.4.2039 Mathematical Modeling in Mathematics Education: Basic Concepts and Approaches * Ayhan Kürşat ERBAŞ a Middle East Technical University Bülent ÇETİNKAYA c Middle East Technical University Cengiz ALACACI e İstanbul Medeniyet University Mahmut KERTİL b Marmara University Erdinç ÇAKIROĞLU d Middle East Technical University Sinem BAŞ f İstanbul Aydın University Abstract Mathematical modeling and its role in mathematics education have been receiving increasing attention in Turkey, as in many other countries. The growing body of literature on this topic reveals a variety of approaches to mathematical modeling and related concepts, along with differing perspectives on the use of mathematical modeling in teaching and learning mathematics in terms of definitions of models and modeling, the theoretical backgrounds of modeling, and the nature of questions used in teaching modeling. This study focuses on two issues. The first section attempts to develop a unified perspective about mathematical modeling. The second section analyzes and discusses two approaches to the use of modeling in mathematics education, namely modeling as a means of teaching mathematics and modeling as an aim of teaching mathematics. Keywords Mathematics Education, Mathematical Model, Mathematical Modeling, Problem Solving. * Work reported here is based on a research project supported by the Scientific and Technological Research Council of Turkey (TUBITAK) under grant number 110K250. Opinions expressed are those of the authors and do not necessarily represent those of TUBITAK. Ayhan Kursat Erbas is supported by the Turkish Academy of Sciences through the Young Scientist Award Program (A.K.E./TÜBA-GEBİP/2012-11). a Ayhan Kürşat ERBAŞ, Ph.D., is currently an associate professor of mathematics education. His research interests include teaching and learning of algebra, mathematics teacher education, teacher competencies, technology integration in mathematics education, and problem solving and modeling. Correspondence: Middle East Technical University, Faculty of Education, Department of Secondary Science and Mathematics Education, 06800 Ankara, Turkey. Email: erbas@metu.edu.tr b Mahmut KERTİL, Ph.D., is currently a research assistant of mathematics education. Contact: Marmara University, Atatürk Faculty of Education, Department of Secondary Science and Mathematics Education, 34722 İstanbul, Turkey. Email: mkertil@marmara.edu.tr c Bülent ÇETİNKAYA, Ph.D., is currently an associate professor of mathematics education. Contact: Middle East Technical University, Faculty of Education, Department of Secondary Science and Mathematics Education, 06800 Ankara, Turkey. Email: bcetinka@metu.edu.tr d Erdinç ÇAKIROĞLU, Ph.D., is currently an associate professor of mathematics education. Contact: Middle East Technical University, Faculty of Education, Department of Secondary Science and Mathematics Education, 06800 Ankara, Turkey. Email: erdinc@metu.edu.tr e Cengiz ALACACI, Ph.D., is currently a professor of mathematics education. Contact: İstanbul Medeniyet University, Faculty of Educational Sciences, 34700 İstanbul, Turkey. Email: cengiz.alacaci@medeniyet.edu.tr f Sinem BAŞ, Ph.D., is currently an assistant professor of mathematics education. Contact: İstanbul Aydın University, Faculty of Education, Department of Elementary Education, 34295 İstanbul, Turkey. Email: sinembas@aydin.edu.tr

EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE In the last two decades, mathematical modeling has been increasingly viewed as an educational approach to mathematics education from elementary levels to higher education. In educational settings, mathematical modeling has been considered a way of improving students ability to solve problems in real life (Gravemeijer & Stephan, 2002; Lesh & Doerr, 2003a). In recent years, many studies have been conducted on modeling at various educational levels (e.g., Delice & Kertil, 2014; Kertil, 2008), and more emphasis has been given to mathematical modeling in school curricula (Department for Education [DFE], 1997; National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 1989, 2000; Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı [TTKB], 2011, 2013). The term modeling takes a variety of meanings (Kaiser, Blomhoj, & Sriraman, 2006; Niss, Blum, & Galbraith, 2007). It is important for readers who want to study modeling to be cognizant of these differences. Therefore, the purpose of this study is twofold: (i) Presenting basic concepts and issues related to mathematical modeling in mathematics education and (ii) discussing the two main approaches in modeling, namely modeling for the learning of mathematics and learning mathematics for modeling. The following background information is crucial for understanding the characterization of modeling, its theoretical background, and the nature of modeling problems. Mathematical Modeling and Basic Concepts Model and Mathematical Model: According to Lesh and Doerr (2003a), a model consists of both conceptual systems in learners minds and the external notation systems of these systems (e.g., ideas, representations, rules, and materials). A model is used to understand and interpret complex systems in nature. Lehrer and Schauble (2003) describe a model as an attempt to construct an analogy between an unfamiliar system and a previously known or familiar system. Accordingly, people make sense of real-life situations and interpret them by using models. Lehrer and Schauble (2007) describe this process as modelbased thinking and emphasize its developmental nature. They also characterize the levels of modelbased thinking as hierarchical. Mathematical models focus on structural features and functional principles of objects or situations in real life (Lehrer & Schauble, 2003, 2007; Lesh & Doerr, 2003a). In Lehrer and Schauble s hierarchy, mathematical models do not include all features of real-life situations to be modeled. Also, mathematical models comprise a range of representations, operations, and relations, rather than just one, to help make sense of real-life situations (Lehrer & Schauble, 2003). Mathematical Models and Concrete Materials: In elementary education, the terms mathematical model and modeling are usually reserved for concrete materials (Lesh, Cramer, Doerr, Post, & Zawojewski, 2003). Although the use of concrete materials is useful for helping children develop abstract mathematical thinking, according to Dienes (1960) (as cited in Lesh et al., 2003), in this study, mathematical modeling is used to refer to a more comprehensive and dynamic process than just the use of concrete materials. Mathematical Modeling: Haines and Crouch (2007) characterize mathematical modeling as a cyclical process in which real-life problems are translated into mathematical language, solved within a symbolic system, and the solutions tested back within the real-life system. According to Verschaffel, Greer, and De Corte (2002), mathematical modeling is a process in which reallife situations and relations in these situations are expressed by using mathematics. Both perspectives emphasize going beyond the physical characteristics of a real-life situation to examine its structural features through mathematics. Lesh and Doerr (2003a) describe mathematical modeling as a process in which existing conceptual systems and models are used to create and develop new models in new contexts. Accordingly, a model is a product and modeling is a process of creating a physical, symbolic, or abstract model of a situation (Sriraman, 2006). Similarly, Gravemeijer and Stephan (2002) state that mathematical modeling is not limited to expressing real-life situations in mathematical language by using predetermined models. It involves associating phenomena in the situation with mathematical concepts and representations by reinterpreting them. To be able to express a reallife situation in mathematical language effectively, students must have higher-level mathematical abilities beyond just computational and arithmetical skills, such as spatial reasoning, interpretation, and estimation (Lehrer & Schauble, 2003). The Mathematical Modeling Process: No strict procedure exists in mathematical modeling for reaching a solution by using the given information (Blum & Niss, 1991; Crouch & Haines, 2004; Lesh & Doerr; 2003a). Researchers agree that modeling is a cyclical process that includes multiple cycles (Haines 1622

ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Mathematical Modeling in Mathematics Education: Basic... & Crouch, 2007; Lehrer & Schauble, 2003; Zbiek & Conner, 2006). In the literature, a variety of visual references describe the stages of the cyclic nature of the modeling process (Borromeo Ferri, 2006; Hıdıroğlu & Bukova Güzel, 2013; Lingefjard, 2002b, NCTM, 1989). For instance, the modeling process described in the earlier Standards document by NCTM (1989, p. 138) emphasizes that mathematical modeling is a non-linear process that includes five interrelated steps: (i) Identify and simplify the realworld problem situation, (ii) build a mathematical model, (iii) transform and solve the model, (iv) interpret the model, and (v) validate and use the model. Such types of diagrams can help readers and teachers understand the probable stages that students may experience during the modeling processes. Mathematical Modeling and Problem Solving: Mathematical modeling is often confused with traditional word problems. From the view of Reusser and Stebler (1997), traditional word problems cause students to develop some didactic assumptions about problem solving. Moreover, the real-life contexts in these problems are often not sufficiently realistic and thus fail to support students abilities to use mathematics in the real world (English, 2003; Lesh & Doerr, 2003; Niss et al., 2007). While working on such problems, students often simply focus on figuring out the required operations (e.g., Greer, 1997; Nunes, Schliemann & Carraher, 1993). Some studies focus on reorganizing word problems to enable students to gain competence in thinking about real-life contexts while solving them (Greer 1997; Verschaffel & De Corte, 1997; Verschaffel, De Corte, & Borghart, 1997; Verschaffel et al., 2002). Such versions of word problems can be used as warm-up exercises in preparation for modeling (Verschaffel & De Corte, 1997). While Lingefjard (2002b) argues that it is unreasonable to compare problem solving and modeling, the similarities and differences between them can be useful (Lesh & Doerr, 2003a; Lesh & Zawojewski, 2007; Mousoulides, Sriraman, & Christou, 2007; Zawojewski & Lesh, 2003). The following table briefly describes a few of the important differences between the two concepts. Mathematical Modeling Approaches Different approaches have been proposed with different theoretical perspectives for using modeling in mathematics education, and no single view is agreed upon among educators (Kaiser, Blum, Borromeo Ferri, & Stillman, 2011; Kaiser & Sriraman, 2006). To clarify the different perspectives on this issue and reach a consensus, these similarities and differences should be elaborated (Kaiser, 2006; Kaiser & Sriraman, 2006; Sriraman, Kaiser, & Blomhoj, 2006). Kaiser s (2006) and Kaiser and Sriraman s (2006) classification systems for presenting modeling approaches can be considered the leading perspective. According to this scheme, the perspectives are classified as (i) realistic or applied modeling, (ii) contextual modeling, (iii) educational modeling, (iv) sociocritical modeling, (v) epistemological or theoretical modeling, and (vi) cognitive modeling. Generally, modeling is also classified by its purpose in mathematics education, such as (i) modeling as the purpose of teaching mathematics or (ii) modeling as a means to teach mathematics (Galbraith, 2012; Gravemeijer, 2002; Julie & Mudaly, 2007; Niss et al., 2007). Table 1 A Comparison between Problem Solving and Mathematical Modeling (Adapted from Lesh & Doerr [2003a] and Lesh & Zawojewski [2007]) Traditional Problem Solving Mathematical Modeling Process of reaching a conclusion using data Multiple cycles, different interpretations Context of the problem is an idealized real-life situation or a Authentic real-life context realistic life situation Students are expected to use taught structures such as formulas, algorithms, strategies, and mathematical ideas Individual work emphasized Abstracted from real life Students are expected to make sense of mathematical symbols and structures Teaching of specific problem-solving strategies (e.g., developing a unique approach, transferring onto a figure) transferable to similar problems A single correct answer Students experience the stages of developing, reviewing, and revising important mathematical ideas and structures during the modeling process Group work emphasized (social interaction, exchange of mathematical ideas, etc.) Interdisciplinary in nature In modeling processes, students try to make mathematical descriptions of meaningful real-life situations Open-ended and numerous solution strategies, developed consciously by students according to the specifications of the problem. More than one solution approach and solution (model) possible 1623

EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE Modeling as the Purpose of Teaching Mathematics In this perspective, mathematical modeling is seen as a basic competency, and the aim of teaching mathematics is to equip students with this competency to solve real-life problems in mathematics and in other disciplines (Blomhøj & Jensen, 2007; Blum, 2002; Crouch & Haines, 2004; Haines & Crouch, 2001; Izard, Haines, Crouch, Houston, & Neill, 2003; Lingefjard, 2002a; Lingefjard & Holmquist, 2005). In this approach, initially, mathematical concepts and mathematical models are provided and later these ready-made concepts or models are applied to real-world situations (i.e., mathematics " reality) (Lingefjard, 2002a, 2002b, 2006; Niss et al., 2007). Mathematical models and concepts are considered as already existing objects (Gravemeijer, 2002). Researchers adopting this perspective focus on the issue of conceptualizing, developing, and measuring the modeling competencies (e.g., Haines & Crouch, 2001, 2007). In the literature, different viewpoints exist on this issue (Henning & Keune, 2007). While Blomhøj and Jensen (2007) adopt a holistic approach, other studies address this issue at the micro level (Crouch & Haines, 2004; Haines, Crouch, & Davis, 2000; Lingefjard, 2004). Furthermore, some studies focus on teaching mathematical modeling (Ärlebäck & Bergsten, 2010; Lingefjard, 2002a). Fermi problems, for example, are regarded as appropriate kinds of problems for teaching of modeling (Ärlebäck, 2009; Ärlebäck & Bergsten, 2010). Sriraman and Lesh (2006) contend that Fermi problems can be used as warm-up and starting exercises in preparation for modeling. Modeling as a Means for Teaching Mathematics In this approach, modeling is considered a vehicle for supporting students endeavors to create and develop their primitive mathematical knowledge and models. The Models and Modeling Perspective (Lesh & Doerr, 2003a) and Realistic Mathematics Education (Gravemeijer, 2002; Gravemeijer & Stephan, 2002) are two examples of this approach. Models and Modeling Perspective (MMP) The models and modeling perspective is a new and comprehensive theoretical approach to characterizing mathematical problem-solving, learning, and teaching (Lesh & Doerr, 2003a; 2003b) that takes constructivist and socio-cultural theories as its theoretical foundation. In this perspective, individuals organize, interpret, and make sense of events, experiences, or problems by using their mental models (internal conceptual systems). They actively create their own models, consistent with the basic ideas of constructivism (Lesh & Lehrer, 2003). Moreover, for productive use of models for addressing complex problem-solving situations, they should be externalized with representational media (e.g., symbols, figures). Model-eliciting activities (MEAs) are specially designed for use within the MMP. In MEAs, students are challenged to intuitively realize mathematical ideas embedded in a real-world problem and to create relevant models in a relatively short period of time (Carlson, Larsen, & Lesh, 2003; Doerr & Lesh, 2011). Lesh, Hoover, Hole, Kelly, and Post (2000) offered six principles to guide the design of MEAs: (i) the model construction principle, (ii) the reality principle, (iii) the self-assessment principle, (iv) the construct-documentation principle, (v) the construct shareability and reusability principle, and (vi) the effective prototype principle. In the implementation of MEAs, students work in teams of three to four. They are expected to work on creating shareable and reusable models, which encourage interaction among students. Therefore, the social aspect of learning is another component of the MMP (Zawojewski, Lesh, & English, 2003). According to Lesh et al. (2003), MEAs should not be used as isolated problem- solving activities. They should be used within model development sequences, where warm-up and follow up activities are also important. The Modeling Approach in Realistic Mathematics Education Similar to the MMP, the modeling approach assumed by RME is based on constructivist and socio-cultural theories (Freudental, 1991; Gravemeijer, 2002). In this approach, modeling goes beyond translating real-life problem situations into mathematics. It involves revealing new relations among phenomena embedded in the situations by organizing them (Gravemeijer & Stephan, 2002). In modeling, students initially work on real-life situations and create their primitive models, which are called model of. The term model describes not only the physical or mathematical representations of the phenomena, but also the components of students conceptual systems, such as their purpose and ways of thinking about the situation (Cobb, 2002). With the help of carefully designed real-life problems and learning environments that encourage students to discover sophisticated 1624

ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Mathematical Modeling in Mathematics Education: Basic... mathematical models, students proceed to create more abstract and formal models, which are called model for (Doorman & Gravemeijer, 2009). Accordingly, modeling is characterized as a process of moving from model of to model for, which is called as emergent modeling (Doorman & Gravemeijer, 2009; Gravemeijer & Doorman, 1999). Besides describing students learning process, this perspective also assumes principles about how a learning environment should be designed to support students emergent modeling processes. Discussion and Conclusion In recent years, using modeling in mathematics education has been increasingly emphasized (NCTM, 1989, 2000; TTKB, 2011, 2013). A variety of different perspectives have been proposed for the conceptualization and usage of modeling (Kaiser & Sriraman, 2006). These perspectives can be grouped into two main categories: (i) modeling as a means for teaching mathematics and (ii) modeling as the aim of teaching mathematics (Blum & Niss, 1991; Galbraith, 2012). In the first perspective, students are provided with predetermined models and are expected to apply these models to real-life situations. The ultimate goal is to improve students modeling competencies (Haines & Crouch, 2001, 2007; Izard et al., 2003; Lingefjard, 2002b). In the second perspective, the underlying assumption is that students can learn fundamental mathematical concepts meaningfully through a modeling process in which they need and intuitively discover mathematical concepts while addressing a real-life problem-solving situation (Lesh & Doerr, 2003a). In summary, the second approach (i.e., modeling as a means for teaching mathematics) seems more developed for pedagogical purposes. However, whatever approach is preferred and used, integrating modeling into mathematics education is important for improving students problemsolving and analytical thinking abilities. However, few studies have been conducted in Turkey on using modeling in mathematics education. Furthermore, there are insufficient resources (e.g., modeling tasks) for teachers who want to integrate modeling into their teaching. Thus, there is a need for more research on using modeling for different levels of education. This can enable the production of resources that can be used in pre-service and in-service teacher education programs. Sources including good examples of modeling tasks are needed for teachers. 1625

EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE References/Kaynakça Ärlebäck, J. B. (2009). On the use of realistic Fermi problems for introducing mathematical modelling in school. The Montana Mathematics Enthusiast, 6(3), 331-364. Ärlebäck, J. B., & Bergsten, C. (2010). On the use of realistic Fermi problems in introducing mathematical modelling in upper secondary mathematics. In R. Lesh, P. L. Galbraith, W. Blum, & A. Hurford (Eds.), Modeling students mathematical modeling competencies, ICTMA 13 (pp. 597-609). New York, NY: Springer. Blomhøj, M., & Jensen, T. H. (2007). What s all the fuss about competencies? In W. Blum, P. L. Galbraith, H. Henn, & M. Niss (Eds.), Modelling and applications in mathematics education. The 14th ICMI study (pp. 45-56). New York, NY: Springer. Blum, W. (2002). ICMI Study 14: Applications and modelling in mathematics education-discussion document. Educational Studies in Mathematics, 51(1-2), 49-171. Blum, W., & Niss, M. (1991). Applied mathematical problem solving, modelling, application, and links to other subjects-state, trends, and issues in mathematics instruction. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 37-68. Borromeo Ferri, R. (2006). Theoretical and empirical differentiations of phases in the modelling process. ZDM The International Journal on Mathematics Education, 38(2), 86-95. Carlson, M., Larsen, S., & Lesh, R. (2003). Integrating models and modeling perspective with existing research and practice. In R. Lesh & H. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: A models and modeling perspective (pp. 465-478). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Cobb, P. (2002). Modeling, symbolizing, and tool use in statistical data analysis. In K. Gravemeijer, R. Lehrer, B. Oers, & L. Verschaffel (Eds.), Symbolizing, modeling and tool use in mathematics education (pp. 171-196). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Crouch, R., & Haines, C. (2004). Mathematical modelling: transitions between the real world and mathematical model. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 35(2), 197-206. Delice, A., & Kertil, M. (2014). Investigating the representational fluency of pre-service mathematics teachers in a modeling process. International Journal of Science and Mathematics Education. doi: 10.1007/s10763-013-9466-0. Department for Education. (1997). Mathematics in the national curriculum. London, UK: DFE Welch Office. Doerr, H., & Lesh, R. (2011). Models and modelling perspectives on teaching and learning mathematics in the twenty-first century. In G. Kaiser, W. Blum, R. BorromeoFerri, & G. Stillman (Eds.), Trends in teaching and learning of mathematical modeling: ICTMA 14 (pp. 247 268). Dordrecht, The Netherlands: Springer. Doorman, L. M., & Gravemeijer, K. (2009). Emerging modeling: Discrete graphs to support the understanding of change and velocity. ZDM The International Journal on Mathematics Education, 38(3), 302-310. Freudental, H. (1991). Revisiting mathematics education. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Galbraith, P. (2012). Models of modelling: genres, purposes or perspectives. Journal of Mathematical Modeling and Application, 1(5), 3-16. Gravemeijer, K. (2002). Preamble: From models to modeling. In K. Gravemeijer, R. Lehrer, B. Oers, & L. Verschaffel (Eds.), Symbolizing, modeling and tool use in mathematics education (pp. 7-22). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Gravemeijer, K., & Doorman, M. (1999). Context problems in realistic mathematics education: A calculus course as an example. Educational Studies in Mathematics, 39, 111-129. Greer, B. (1997). Modelling reality in mathematics classrooms: The case of word problems. Learning and Instruction, 7(4), 293-307. Gravemeijer, K., & Stephan, M. (2002). Emergent models as an instructional design heuristic. In K. Gravemeijer, R. Lehrer, B. Oers, & L. Verschaffel (Eds.), Symbolizing, modeling and tool use in mathematics education (pp. 145-169). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Haines, C., & Crouch, R. (2001). Recognizing constructs within mathematical modelling. Teaching Mathematics and its Applications, 20(3), 129-138. Haines, C., & Crouch, R. (2007). Mathematical modeling and applications: Ability and competence frameworks. In W. Blum, P. L. Galbraith, H. Henn, & M. Niss (Eds.), Modelling and applications in mathematics education: The 14th ICMI study (pp. 417-424). New York, NY: Springer. Haines, C., Crouch, R., & Davis, J. (2000). Mathematical modelling skills: A research instrument (Technical Report No. 55). Hatfield, UK: University of Hertfordshire, Department of Mathematics. Henning, H., & Keune, M. (2007). Levels of modeling competencies. In W. Blum, P. L. Galbraith, H-W. Henn, & M. Niss (Eds.), Modelling and applications in mathematics education: The 14 th ICMI Study (pp. 225-232). New York: Springer. Hıdıroğlu, Ç. N. ve Bukova Güzel, E. (2013). Matematiksel modelleme sürecini açıklayan farklı yaklaşımlar. Bartın Eğitim Fakültesi Dergisi, 2(1), 127-145. Izard, J., Haines, C., Crouch, R., Houston, K., & Neill, N. (2003). Assessing the impact of teachings mathematical modeling: Some implications. In S. J. Lamon, W. A. Parker, & S. K. Houston (Eds.), Mathematical modelling: A way of life ICTMA 11 (pp. 165-177). Chichester, UK: Horwood Publishing. Julie, C., & Mudaly, V. (2007). Mathematical modelling of social issues in school mathematics in South Africa. In W. Blum, P. Galbraith, M. Niss, & H.-W. Henn (Eds.), Modelling and applications in mathematics education: The 14th ICMI study (pp. 503-510). New York, NY: Springer. Kaiser, G. (2006). Introduction to the working group Applications and Modelling. In M. Bosch (Ed.), Proceedings of the Fourth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME 4) (pp. 1613-1622). Sant Feliu de Guíxols, Spain: FUNDEMI IQS, Universitat Ramon Llull. Kaiser, G., & Sriraman, B. (2006). A global survey of international perspectives on modelling in mathematics education. ZDM The International Journal on Mathematics Education, 38(3), 302-310. Kaiser, G., Blomhøj, M., & Sriraman, B. (2006). Towards a didactical theory for mathematical modelling. ZDM The International Journal on Mathematics Education, 38(2), 82-85. Kaiser, G., Blum, W., Borromeo Ferri, R., & Stillman, G. (2011). Preface. In G. Kaiser, W. Blum, R. BorromeoFerri, & G. Stillman (Eds.), Trends in teaching and learning of mathematical modelling: ICTMA14 (pp. 1-5). Dordrecht, The Nedherlands: Springer. 1626