BÖLÜM II. FOURIER DÖNÜŞÜMÜ. Giriş Yr ürmizd gözl joizi olaylar zamaa yada uzalığa bağlı olara glişir. Gözl joizi olay zamaı bir osiyou is zama oramı im Domai uzuluğu bir osiyou is uzalı oramı Spac Domai sözousudur. Şay olay rasa bağlı olara gözlmiş yai rası bir osiyou is ras oramı Frqucy Domai da söz dilir. Hrhagi bir oramda ayddilmiş joizi siyaldi bilgilri amamıı bu oramda açı sçi görüp işlyip souçları dğrldirm olay haa olaalı olmayabilir. Bu gibi durumlarda vri gözldiği oramda başa bir orama aarılara iclip irdldi sora bir souca varılır. Grir is iici bir aarma il vrii gözldiği il orama gri döülbilir. Örği; zama oramıda ayddilmiş bir sismi siyal ras oramıa aarılara ismy bilşlri ayıladıa sora rar zama oramıa gri döülbilir. Fras oramıda yapıla bu ayılama işlmi zama oramıda yapılma issydi bir aım sorularla arşılaşılabiliirdi. Buu gibi hrhagi bir oramda gözlmiş bir siyali başa bir orama aarılmasıa döüşüm v aarma ilri d döüşüm yömlri dir. Fourir Laplac Hal Hilbr Z döüşümü gibi çşili döüşüm yömlri glişirilmişir. oram v döüşüm avramlarıı daha iyi alaşılması içi ras çözümlmsi yapa ışı prizmasıı gözd gçirilmsi daha yararlı olacaır Şil.. Byaz ışığı opi prizmaya vrildiği araa A arlı rasa ydi ayrı r şlidi bilşlrii ld dildiği araa da B diylim. rsi prizmaı B araıda bu ydi r vrilirs A araıda byaz ışı ld dilcğii biliyoruz. Burada gr A bölgsi grs B bölgsi ayı bilgiyi aımlamaa aca olaya baış açısı arlıdır.
Yuarıdai ör sadc byaz ışığı iclmsi aya haıda hiç bir bilgi vrmybilir. Bua arşılı prizmada gçirilip ayrışırılara arlı rasai bilşlri diğr bir dyişl sprumu ld dilirs bilşlrii dalga boyu vya rasları miarları v birbirlri oraları iclr byaz ışığı vr ayağı bilşimi ısısı v ou mydaa gir malzmi yapısı haıda ço ayrıılı bilgilr ld dilbilir. Buu gibi zama srilrii zama vya güç sprumlarıı iclmsi ou yapısı vya orijii haıda ömli bilgilr vrbilir. Diğr yollarla bu bilgilri sağlaması olaalı olmayabilir. Şil. Byaz ışığı opi sprumu Logarima işlmi aslıda bir döüşüm işlmid başa birşy dğildir. Örği çarpma işlmii yapma içi çarpalar öc Log oramı a döüşürülür. Hsaplamalar bu oramda yapılır Bilidiği gibi çarpma işlmi Log oramıda oplama işlmi döüşür. Daha sora rs döüşüm işlmi Ai Logarimi Oram il orijial orama döülür Şil.. Orjial Oram r- Oramı İmaj Oramı s- Oramı r'yi içr oram Uygu Döüşüm İşlmi Fosiyo Fs olur. r- Oramıda Problmi Çözümü Şil. Logarimi döüşüm aış şması rs Döüşüm İşlmi 8 s- Oramıda Çözüm
Örği; 8 3 8 Log 3 656 3.869738 Döüşüm yömlri vri işlmciy büyü olaylılar sağlar. Döüşüm işlmid; vrii özllilri dğişirilmd zama oramıda ras oramıa vya uzalı oramıda dalga sayısı oramı gibi başa bir orama gçilmdir. Iyi bir döüşüm yömii gri döüşümü d olmalıdır Şil.3. Örği; zama oramıda ras oramıa gçilmiş is ras oramıda rar zama oramıa döülbilmlidir. X ORAMI Y ORAMI Şil.3 Iyi bir döüşüm yömi çi yölü olmalıdır... Sprum Kavramı Zama oramıda gözlmiş vrilri ras oramıa aarılması il ld dil vrilr sprum adı vrilir. Zama oramıdai rji vya gli gibi büyülülri ras oramıda ras vya dalga sayısı gibi paramrlr gör dğişimii blirm içi ullaılır. Mamai olara şlid gösril bir siyali sprumu Fω il vrilir. Buradai ω açısal rasır. Sprumu iad d Fω osiyou armaşı compl olup aşağıdai ii şild birisi il gösrilbilir Al Sadi 98 s. 7. Grçl v saal ısımları oplamı olara F ω a ω ib ω Grçl v saal ısımları çarpımı şlid i ω ω φ F ω F. Burada; [ ] / F ω a ω + b ω b ω φ ω + a ω olup F ω modülü gli a ± ±... φω argümaı is az sprumu olara adladırılır. 9
. Fourir Döüşümü Fourir döüşümü; bir aım siüsoidal osiyoları oplamıda oluşuğu düşüül bir osiyouu bilşlri ayırıp hr bilşi gliğii buluması sasıa dayaır. Daha öc dğiildiği gibi Fourir döüşümü zama oramıda im domai ras oramıa rqucy domai gçişi sağlaya rsiir bir araçır. Şil. d byaz ışı yri sismi siyali oyara ara yri is oram dyimlri ullaılara döüşüm avramıa doğru bir gçiş sağlaabilir Şil.4. ZAMAN Şil.4 Fras aalizi yapa opi prizma; zama vya özl oramıdai byaz ışığı ras oramıda r sprumua döüşürür. Zama oramıdai bir olayı ras oramıdai gösrimi ou sprumu dir. Zama oramıdai bir dizi gli dğri il alaıla bilgii ras oramıdai gösrimi gli v az sprumu il olur. Glilri rası osiyou olara gösrilişi gli sprumu v yi az açılarıı rası osiyou olara gösrilişi is az sprumu dir. Glilri arlrii rası osiyou olara gösrilişi güç yoğuluğu sprumu dir v zama dizisii öz ilişi osiyouu Fourir döüşümü şdğrdir. Fourir döüşümü amamıyl doğrusal bir işlmdir. Yai oramlarda birid zama vya ras yapıla bir işlmi diğr oramda mulaa bir arşılığı vardır. Bilgii hr ii oramdai alaımları şi silidir. Aca bazı işlmlri grçlşirilmsi oramlarda domai birid diğri gör daha olay olabilir.
Ço giş bir uygulama alaıı oluşu v çşili oulardai bir ço problmi çözümüd ullaılmaa olması diyl Fourir döüşümü üzrid olduça ayrıılı biçimd durulacaır. Bu döüşüm gli v az dğrlri gibi ii ömli izisl büyülü oluşup armaşı bir sayı il iad dilir... Fourir Kuramı Frasız mamaiçisi Josph Fourir i 87 d oraya oyduğu v di adıyla bili Fourir uramıa gör bazı uşulları sağlaya hrhagi bir osiyou sosuz sayıda rigoomri osiyoları oplamı olara gösrilbilir Şil.5. Fourir uramı bazı uşullarda gçrlidir. Drichl uşulları olara bili bu ısılamalar aşağıda özlmişir Drichl 89. - osiyou pryodiir. Yai + olup buradai pryod v ± ±... dir. osiyou pryodi dğil aa sıırlı bir aralıa aımlamış is sosuz sayıdai siüsoidal dğişimlri oplamı blirl aralıa yi y yalaşmalıdır. Bu aralığı dışıda oplam i rarlarıı gösrcir. Şil.5 Hrhagi bir osiyo blirli şarlarda sosuz sayıda siüsoidi oplamı oplamı şlid gösrilbilir.
- osiyou sürli azıda blirli aralılarda sürli olmalı v sürsizlilri sayısı sıırlı olmalıdır. 3- osiyouu bir pryod içidi masimum v miimum sayısı solu olmalıdır. 4- osiyou bir pryod aralığıda solu yai / / d solu < igralii yaısamalıdır. Fourir srisi açılaca bir osiyouu bu şarları hpsii d sağlaması şar dğildir. Bu dl Fourir aalizi p ço osiyoa uygulaabilir. Zira uygulamada arşılaşıla osiyoları p çoğu yuarıdai uşullarda az birii sağlar... Fourir Srilri Fourir uramıa gör Drichl oşullarıı sağlaya bir osiyou aşağıdai gibi sosuz sayıda siüs v osiüs rimlrii oplamıda oluşa rigoomri bir sri il gösrilbilir. a + a cosω + a cos ω + a cos3ω +L L + b siω + b si ω + b3 si 3ω +L 3 a + a cosω + b siω. Bu sriy Fourir srisi dir. Burada idisi harmoi a a v b bu harmoilrai Fourir asayıları olup ω /Τ açısal rasır. Vril bir osiyouu Fourir srisi açılımıa harmoi aaliz dir. Yuarıda vril dlm. a + c cos + ω φ şlid d yazılabilir. Burada c harmoi osiyou dir. Burada harmoi gliği; a b c + cos ω φ + gl rimi osiyouu.ci
v φ az açısı a φ a b / olara iad dilir. Fourir asayılarıı bulma içi. dlmii hr ii araı sırası il cos ω v m si mω il çarpılıp siüs v osiüs osiyolarıı v / m si m si d cos m cos d m m cos si d Büü m v dğrlri içi orogoali dili özlliği göz öü alıara am bir pryod aralığıda igr dilirs aa v b a a b d cos ω d si ω d. Fourir asayıları buluur. Buradai m v amsayılardır. Görüldüğü gibi a / asayısı osiyouu arimi oralamasıdır. Pryodi bir osiyou Fourir srisi il gösrilmsi bu osiyou dğişi raslardai siüzoidlri oplamı olara gösrmir. ω ω rasıdai siüoidal bilş sriy açıla osiyou ici harmoiği dilir. Il harmoiği rası ω cps dvir/saiy vya Hz Hrz olup ml açısal ras dir. pryodu is osiyou pryodua şiir v ml pryod olara adladırılır. 3
Dlm. il vril Fourir srilri sosuz sayıda rim alıdığı zama yai bird sosuza adar dğrlr vrildiğid aca osiyou am olara gösrilbilir. Solu sayıda rim alıırsa bulua oplam i bir sürsizli civarıdai dğrlrid büyü dğrlr gösrir. Bu dğrlr gliği sürsizli uzalaşıça Kalama Gliği Fourir Srisii İl 3 rimii oplamı Fourir Srisii İl 9 rimii oplamı Şil.6 sr ağzı osiyouu Fourir srisi açılımıda solu sayıda rimi alıması GIBSS olayıı doğurur Al Sadi 98 azala salıımlar gösrir. rim sayısıı arırılması sürsizlii haaı büyülüğüü azalmaz aa i sürli ısımları içi daha iyi bir yalaşım sağlar. Bu şild haaları salıımlar gösrmsi gibss olayı dir Şil.6...3 v Çi Fosiyoları Fourir Srilri Fourir srisi açılaca ola osiyouu çi yai - vya d. d olması halid böyl bir osiyou Fourir srisi; + a a cosω.3 olup büü dğrlri içi b dır. 4
Şay sriy açılaca osiyo yai - - vya d is böyl bir osiyou Fourir srisi b si ω.4 olup büü dğrlri içi a v a dır. Çi osiyoları Fourir srisi açılımıda yalızca osiüslü rimlr olduğuda dlm.3 il vril açılıma osiüs srisi dilir. osiyoları açılımıda yalızca siüslü rimlr buluduğuda.4 açılımıa siüs srisi dilir..3 Fourir Srilrii Karmaşı compl Şli Fourir srilrid rigoomri osiyolar yri armaşı ompls iadlr ullaılara sri il ilgili hsaplar basilşirilbilir. Dlm. il vril srid rigoomri iadlr yri Eulr ormülü il vril cos ω iω + iω iω iω si ω i üsl arşılıları oulara. dlmi aşağıdai iω iω iω iω a + + a + b i şlid yazılabilir. Burada /i -i v i - / olduğu dia alıara yi bir düzlm il yuarıdai dlm a ib a ib a iω + iω + +.5 şlid yazılır. Burada a içi c a ib 5
v içi c a + ib oulara iω iω c + [ c + c ] armaşı Fourir srisi ld dilir. So olara yuarıdai.6 dlmi aşağıdai şild iω c + c + yazılara armaşı Fourir srisi c iω.6 iω c.7 şlid ld dilir. Bu iad aşağıdai şild d yazılabilir bir ço yayıda bu iad ullaılır. c + c ω + φ cos.8 Burada c cosω+φ rimi osiyouu ici harmoiği c asayısıa harmoi gliği v φ açısıa is harmoiği az açısı dir. Ödv:.7 vya şdğri ola. bağıısıda.8 bağıısıa gçiş işlmii gösriiz. c il a v b asayıları arasıdai ilişi aşağıdai şild ld dilir..6 bağıılarıda > içi a ib c bu bağııda a v b dğrlrii oyarsa c cos d i cos [ isi ] d si d c d i.9 ilişisi ld dilir. Bzr şild c a + ib i d. 6
buluur. Hr iisii.9 v. birli ± ±... amsayı olma üzr i c d ormül il gösrbiliriz.. Uygulamada grç olaylar gözlip ölçülür. Bu baımda joizi vrilri işlip problmlri çözümüd ullaıla hsaplamalar grç büyülrl ilgili olduğuda armaşı olara bulua souçlar grç büyülülr çvrilmlidir. Eğr bir grçl osiyo is.6 dlmid c - asayısı c i armaşı şliği compl cojuga c * c - dir. Bu durumda.7 dlmi * c c c şlid yazılır. Burada iφ [ a b ] v c c iφ. c +.3 φ a b / a dir. Bu bağıılar dışıda büü dğrlri içi doğrudur c asayısıa harmoi gliği v φ açısıa is harmoi az açısı dildiği daha blirilmişi. Bu c Fourir asayılarıı açısal ras ω ya arşı grai çizimi osiyouu gli sprumu v ayı şild φ az açılarıı çizimi is az sprumuu adı vrlir. Bu sprumları grçl ral v saal imagir bilşlrl iadsi: a a c i * c + c i c + c R c * c c i c c I c.4 b i m olduğuda göz öü alıara.3 dlmid çıarılabilir. Burada R v I m oasyoları c i grçl v saal ısımlarıı blirmdir..4 Fourir Igrali v Fourir Döüşümü Buraya adar ola iclmlrd osiyou pryodi abul dildi. Oysa uygulamada arşılaşıla problmlrd çoğu z pryodi osiyo bulumaz. Bu ür olaylar bir z mydaa glir v bir daha rarlamaz. Pryodi olmaya bu ür osiyolar içi Fourir srisi ullaılmaz. Bu durumda icl boyudai vri sosuzda pryodimiş gibi düşüülr uygu bir açılım ld dilbilir. Bu ür problmlri çözümü yai pryodi olmaya osiyoları Fourir srilri il gösrilbilmsii Fourir igrali sağlar. 7
Hr solu -/ / aralığıda Dirichl oşullarıı sağlamaya v - + aralığıda yaısaya osiyouu armaşı compl Fourir srisii v yi iω c c / ω / olduğuu biliyoruz. ω.7 i d. So bağııda gçici olara dğiş döüşümü yapalım v c i dğrii il bağııdai yri /ω oyalım..5 / / iωo iω d v burada yri oyara / iωo iω d ω.6 / şlid yazalım. olur ml ras ω / sosuz üçü dğr alır. ω ω sürli bir dğiş döüşür. Yai birbirii izly ardışı ii ras arasıdai ar ω + ω + + ω ω + ω ω ço üçü olur. Bu durumda ω ω çarpımı sürli bir ω dğişi yalaşır..6 bağıısıda ω ω alıırsa i ω d i ω ω.7 olur. sosuz v ω dω ya giiği limi durumuda ω da ω ya gidr ω harmoi raslarıa gör hsaplaa c asayılarıı çizimi sürlili azaır v.7 bağıısıdai oplam igral döüşür: iω iω d dω.8 8
Bu bağııya pryodi olamaya osiyolar içi Fourir igrali dir. Içi igrald yri oyarsa iω d F ω.9 i ω ω F dω. olur. Bu so ii bağıı pryodi osiyolar içi olmaya zama v ras vya Fourir oramı aımlamalarıdır..9 bağıısı osiyouu Fourir döüşümü. bağıısı da Fω ı rs Fourir döüşümü dür. Fω v y Fourir çii dir..8 bağıısı il vril Fourir igralii gçici vrilri Fourir çii.9 v. igrallrii gçrli olması içi d sıırlı <. olmalıdır. Bu oşul yrli aca hr zama grli dğildir. Fourir igralii varlığı içi Dirichl oşullarıı bazılarıı sağlaması grir. Buu dışıda i sıırlı bir aralıa sürsizlilrii sıırlı olması gibi uygulamada arşılaşıla vrilr içi hr zama sağlaa oşul yrli olmaadır. Fω armaşı olduğuda F ω a ω ib ω F i ω φ ω yazılabilir. Burada Fω armaşı osiyou modülü iφω is argümaı dır. b ω saal F ω Φω a ω grçl Şil.7 Fourir sprumuu bilşlri F ω a ω b ω φω a b ω a ω..3 9
Fω ya i gli sprumu φω ya az sprumu dir. φω yri baz -φω ullaılır. Bua da az-gcim sprumu dir. Ömli aım v irdlmlr yapılır ullaıla ω açısal rası yri uygulamada rası ullaılır. Bu dl.9 v. bağıılarıda ω v dωd dğişimi yapılırsa i d F.4 i F d.5 biçimlri ld dilir. F armaşı olduğuda F a ib.6 iφ F.7 yazılabilir. a v b F i grçl v saal bilşlridir. i gli sprumu F a + b.8 v az sprumu b φ a a.9 bağııları il vrilir. Fourir döüşümüd dia dilmsi gr bir ou F i birimidir..4 bağıısıda görülcği gibi F i birimi vrisii birimi il i birimii çarpımıa şiir. Örği i VolV i is saiys olması durumuda F i birimi Vs olacaır. Eğr s yri /Hz yazılaca olursa F i birimi V/Hz olara vrilbilir. Bu birim ras başıa düş gli yoğuluğu olara biliir v özllil F gli yoğuluğu sprumu olara da adladırılır. F i azıı vr.9 bağıısıda φ birimsiz yai radya olmasıa arşı yuarıda açılaa F i biçimi çağrışım yapması içi φ az yoğuluğu sprumu olara da adladırılırmaadır.
grçl bir osiyo olduğuda F i grçl v saal bilşlri a v b sırasıyla osiüs v siüs döüşümlrid ld dilir. Ayrıca aa- yai a bir çi osiyo b -b- yai b bir osiyodur. Bular.4 bağıısıda i cos i si oulara gösrilbilir: olur. Yai F i d cos d i si d a ib.3 a cos d.3 b si d.3 dir. So ii bağııda yri - oulduğuda a cos d cos d a.33 b si d si d b.34 olur. aa- v b- -b olduğuda F a ib a + ib F.35 olur. Burada * simgsi armaşı şliği gösrm içi ullaılmışır..35 bağıısı bir grçl osiyou Fourir döüşümüü şli simri olduğuu gösrir. Buu rsi d doğrudur. Yai Fourir döüşümü şli simri gösr bir grçl osiyodur. Grçl osiyoları gli yoğuluğu sprumu F çi osiyo az yoğuluğu sprumu is osiyodur..7 bağıısıda F iφ F.36 F F iφ.37 olur. grçl osiyou içi F-F* olduğuda so ii bağııda F iφ F iφ.38 olur. Mod v az bilşlri şildiğid
olur. F φ F φ Fourir döüşümü il ld dil F i biçimi osiyouu osiyo vya çi osiyo olması durumua gör özl biçim alır. Hr osiyou +.39 +.4 4.4 biçimid çi v o osiyolarıı oplamı olara yazılabilir..39 dlmii Fourir döüşümü alıaca olursa F F + F F.4 biçimid çi v osiyoları Fourir döüşümlrii oplamı olara yazabiliriz. Burada F F i d.43 i d.44 dir..3 il vril Eulr şiliği ullaılara v -ip i y gör cos cos.45 si si.46 i i.47 biçimidi simri özllilri gözöü alıdığıda.43 v.44 dlmlri aşağıdai biçimd yazılabilir. F cos d.48 d F si.49 Fourir döüşümüü v çi osiyolara uyguladığıda oluşa bu dlmlr osiüs v siüs döüşümü olara biliirlr. Yuarıdai dlmlrd açıça görülmdir i F çi osiyo F osiyodur. Pryodi vrilr içi
gösril Parsval uramı Fourir dizilrid Fourir döüşümü gçr yapıldığı gibi ω a ω ω ω gçiş işlmlri yapıldığıda d F d.5 olur. Görüldüğü gibi pryodi olmaya vrii zama v ras oramıdai rjilri şiir. Vrii rjisi sıırlı büyülü olduğuda sosuz aralıai oralama rji vya güç ço üçü olur. Sosuz sayıda pryodi bilşlri hr birii aısı ço üçü olması grir. Çüü sosuz sayıda pryodi bilşd oluşa pryodi olmaya osiyou oplam rjisi sıırlıdır. F y osiyouu rji yoğuluğu sprumu dir. F i rji yoğuluğu olduğu Parsval şiliği ullaılara açılaabilir. grilim vrisi olsu. Bir dirci üiği rji V s dir v.5 bağıısıı sol araıda vrilmişir. Ayı bağııı sağ araıda ras y gör alıa igrali ayı birimi vrmsi içi F i birimii V s/hz V s olması grir. Yai F birim rasai rji yai rji yoğuluğudur. Grç yuarıda dğiildiği gibi bir rasai rji sıırdır. Bir ço vri grilim çvrilip algıladığıda F y rji yoğuluğu dilmsi alışılaglmiş bir adladırmadır. F birim rasai rji yoğuluğu yai güç olduğuda F y güç sprumu dm büü oramlarda ölçül vrilr içi gçrli bir adladırmadır. 3
ablo. Bazı osiyoları Fourir döüşümlri. Fosiyo Fourir döüşümü a Didörg / si ω / ω sýc / ω / b Fourir çiği si a a a si Π w a c Π cosw si w w / si w+ w / + w w w+ w w w si + si c w + w d Üçg osiyo si c w A > sg > i - < w Dira dla osiyou δ - δ d g δw h u < δ w - i w i cos w δ w+ w + δ w w j si w iδw+w - δw-w u cos w iw δ w+ w + δ w w w w l u si w i w δ w w δ + - w w w w m w u -a a iw a + w o Laplac Fosiyou -a a a + w p Gauss Fosiyou a a w / 4a 4
Şil.8 ablo. d vril osiyolar v Fourir döüşümlri 5
Şil.8 Dvamı ablo. d vril osiyolar v Fourir döüşümlri 6
7.5 Fourir Srisi Açılım Ör Problmlr Ör < < + < < il vril osiyouu Fourir srisi açıız. F / -/ - Çözüm Fosiyo osiyo olduğuda a a olacaır. d b ω si ω + + ω d d b si. si. ω + ω d d b si si ω ω + ω ω + b cos cos ω ω ω + ω ω b cos cos cos cos b ω cos cos [ ] b cos cos
b cos cos cos - cos b cos çi sayılar içi b cos 4 sayılar içi b olacaır. Bua gör souç; 4 si ω si ω + si 3ω + si 5ω +... 4 3 Harmoi glilrii hsaplaması: c a + b a olduğu içi Bua gör: c 4 c 4 3 3 c 4 5 5... Harmoi azlarıı hsaplaması: b φ a a 5 c b olara hsaplaır. a olduğu içi a 4 4 4 φ a φ3 a 3 φ5 a 5 b olacaır. φ olara hsaplaır.... Ör - aralığıda aımlamış ola pryodlu osiyouu Fourir srisi açıız. F - - Çözüm olduğu içi osiyou osiyodur. 8
Buradai örğimiz bu özlliğ sahip olduğuda dolayı osiyodur. Yai; osiyolarda a a olmaadır. -<< b si ω b si ω d d u d du si ω ω du cos ω u cos ω ω ω cos ω b cos ω + ω ω ω cos b d d cos ω + si ω ω ω b cos + si cos + si b cos cos + si + si b cos + cos + si + si b b b cos + cos b b cos. si 4 si si + si3 +... 3 4 Ör 3 - aralığıda aımlamış pryodlu osiyouu üçg dalga Fourir srisi açıız. 9 F - -
Ör 4 - aralığıda aımlamış pryodlu aşağıdai osiyouu Fourir srisi açıız. < < < < ± Ör 5 - aralığıda aımlı pryodu ola - osiyouu Fourir srisi açıız. Ör 6 < < osiyouu Fourir srisi açıız. F A - Çözüm 6 Fosiyo olduğu içi a v a asayıları sıırdır. b / / si ω d A b si ω d dğiş döüşümü yapılara udv uv vdu u du d dv si ω v ω d cos ω ω cos ω ω cos ω d cos ω + si ω ω ω ω 3
si ω cos ω ω ω b A ω ω si cos si.cos ω b A si cos ω ω b A cos A b cos A gli dğri yri our is; b cos ld dilir. Bu durumda üm dğrlri içi Siüs srisi olduğuda b si ω si ω b olur. si ω si ω si 3ω si 4ω... 3 4 vril dğrlri içi ld dil gli v azlar osiyou harmoilrii vrir. Örği; N içi; si ω.ci harmoi N içi si ω.ci harmoi N3 içi si 3ω 3.ci harmoiir. 3 Harmoiği gli v azları a v b asayılarıda hsaplaır. 3
a b c + v φ az açısı a φ a b / Sıırıcı harmoi gliği a asayısıı mula dğridir Örği 3. Harmoiği gliği az açısı a c + φ 3 3 b3 3 a b 3 / a 3 Bu ör çözümd a olduğuda gli yalızca b asayısıı mula dğridir: az açısı olur. c φ 3 3 a 3 3 3 a Ör 7 A < < osiyouu armaşı Fourir srisi açıız. F A - Çözüm 7 A A iω c iω iω d d u d du dv iω d v döüşümlri ullaılara iω iω 3 d
c c ω A A iω iω i ω iω iω i ω i [ ] No i cos isi am sayı c α / A iω içi A A A i i / i i / cos / + isi / i / i Bu durumda c A buluur. A i / i yazılabilir. Yai c A i / dir. A A c d d olara buluur. Fourir srisi is; iω c + c olduğua gör A A + A A / iω i + ω + i / olara ld dilir. Bu soucu Fourir döüşümüü rigoomri şli döüşürm isrs; c a c a ib c a + ib olduğua gör A c A a a A 33
c A i / a A A i ib / i i / olduğuda i / A i b / b A a [ a cos ω + b si ω ] + A + A si ω A A si ω A A si ω + si ω + si3ω +... 3.6 Fourir Döüşümü Ör Çözümlri Ör A d / < < d / / < < d / v d/ < < / şlid aımlaa didörg pulsu Fourir sprumuu hsaplayıız. -/ -d/ F d/ / / / d / d / p iω A p iω d d A iω p iω d / d / A d d p iω p iω iω Eulr bağıılarıda i si α p iα p iα olduğuda A iω i si ω d A si ω ω d 34
d d buluur. Sağ araı ω / ω il çarparsa; d ωd d ωd si ω si ω A A ω ω d ωd ω d si ω Ad ωd ω olduğuda d d ω olur. Böylc d si Ad d Görüldüğü gibi grçl bir osiyodur v az sprumu sıırdır. Bu osiyo sic osiyou olara biliir. Ad d sic F zama osiyouu armaşı Fourir srisi açılımı; Ad d sic p iω olara yazılabilir. Ayrı ras sprumuu ld m içi d v y dğr vrm grir. Örği d/s /4s olsu. ω ω 8 / 4 d / / 4 5 Ad A 5 olara buluur. Ad d si d si A 5 5 5 35
so bağııda. dğrlr vrilr ω rasları içi gli sprumları hsaplaır. Sprum oramıdai örlm aralığı ω ω ω 8 dir. si m d olduğuda m yai m3.. dğrlri içi 55. Dğrlri 5 içi gli sprumu sıır olur. ablo.: Vril dğrlri içi gli dğrlri.7 - Gli Gli.6.6.5 -.56.56 -.4.454.454-3.33 3.33.3-4.4 4.4. -5. 5.. -5 5-6 -.94 6 -.94. - -8-6 -4-4 6 8-7 -.3 7 -.3 -. -8 -.4 8 -.4 -. -9 -.6 9 -.6 Şil.. Gli sprumu << içi çizilmişir..7 Fourir Döüşümüü Özllilri Bir ço uramsal v uygulamalı çalışmada Foruir döüşüm işlmlrid olaylı v çabulaşırma sağlaya özllilrid yararlaılır. Aşağıda buları birçoğu örlrl açılamışır..7. Doğrusallı v oplama Özlliği 36
v y i Fourir döüşümü X v Y olsu. +y i Fourir döüşümü X+Y dir; Kısaca; i i i + y d d + y d.5 + y X + Y.5 yazılabilir. işari soludai v sağıdai osiyou bir Fourir çii oluşurduğuu simglr. Doğrusallı özlliği iid azla osiyo içi d gçrlidir. Bu özlli Fourir döüşümüü doğrusal düzlr uygulaabilcğii gösrir. Grç y v varsa oplaa diğr düz osiyolarıı dilri birr doğrusal olmaya düz osiyoları da olabilirlr..7. Baışımlılı Özlliği X.53 olsu X.54 dir. rs Fourir döüşümü bağıısıda yri - oulduğuda i X d olur. v dğişlri aralarıda dğişirildiğid.55 i X d.56 ld dilir yai.54 doğrulaır. Baışımlılı özlliği birço uramsal çalışmalarda işlmlri olaylaşırır..7.3 Zama Kayması Özlliği i yi adar aydırmala ld dil - ı Fourir döüşümü X olur: i - X.57 s - alıara.57 özlliği doğrulaabilir: 37
A R I - /8 A R A I R - A - /4 R A I -A - / R I -A Şil.9 Zama ayması özlliği. i i s+ d s i i ds i s s ds X.58 Şil.9 d osiüs osiyou aydırılara Fourir döüşümüü zama ayması özlliği irdlmişir. Baışımlı v grç bir osiyo ola cos i Fourir döüşümü grç bir osiyodur. Kaymayla baışımlılı aybolduğuda Fourir döüşümü aybolduğuda Fourir döüşümü grçl v saal bilşlr içrir. Kayma gliği ilmz sadc az dğişir. Kosiüs osiyou içi aymadai Fourir döüşümü i X cos i si X olduğuda gli i X + si X X.59 X cos.6 38
olur. Faz açısı φarca-b/a aymaya bağlı olara dğişir..57 bağıısıda vril ayma özlliği gör hr rasai bilş di rasıyla oraılı az gcimsi uğrar büyüy rasla az açısıda büyür..7.4 Fras Kayması Özlliği X ras sid sabii adar aydırıldığıda ld dil X- ı rs Fourir döüşümü i olur: i X Bu özlli rs Fourir döüşümü bağıısıda s - alıara doğrulaabilir. i d X s i s+ ds X.6.6 i i i s X s ds X grçl olduğuda X- ı rs Fourir döüşümü cos olur. Yai ras oramıda cos il çarpmaya dir. Bua modülasyo dir..7.5 Zama Ölçlmsi Özlliği i Fourir döüşümü X olsu. sıırda arlı grç bir sabi olması oşuluyla i Fourir döüşümü / X/ olur: X.63 Bu özlli s alıara doğrulaabilir: i is s / ds d s X 39.64.63 döüşüm çiid alımışır. Çüü < alıdığıda / işar dğişirir. Şil. da daha öc şil.9 da Fourir döüşümü vril didörg dalga içi zama örlmsi özlliği gösrilmişir. Didörg osiyo zama oramıda gişldiç ras oramıda daralmaadır. Buu rsid doğrudur. Fras v zama oramıdai
rji şi olduğuda darala ras osiyouu sıır rası yörsid gliği büyümdir..7.6 Fras Ölçlmsi Özlliği X i rs Fourir döüşümü olsu. ı grç bir sabi olması oşuluyla X i rs Fourir döüşümü / / dır. X.65 rs Fourir döüşümü bağıısıda s alıara bu özlli doğrulaabilir: i i s / ds X d X s.66 Zama ölçlmsi bzr biçimd ras oramı daralılması zama oramı gişlmsi gişlmsi d zama oramı daralmasıa yol açar. Şil. d yi didörg dalga biçimi ullaılara bu özlli açılamışır. Fras v zama oramları rjilrii şiliğii sağlaması içi ras ölçlmsi büyüyüc zama oramı osiyou didörg dalga gliği büyümdir. 4
Şil. Zama ölçlmsi özlliği ör..7.7 Fourir Çiii Ora Bağıı Özlliği Sayısal Fourir döüşümü hsaplamalarıı hızladırmada yararlaıla bir özlli Fourir döüşümü v rs Fourir döüşümüü ayı bağıı ullaılara hsaplaabilmsidir. Gösrilbiliri * i * X d.67 dir. Burada * armaşı şliği simglmdir. -i çirdği Fourir döüşümüd olduğu gibi grli armaşı şl çvirmlri yapılara v X ayı bilgisayar programıyla hsaplaabilir. 4
Şil. Fras ölçlmsi özlliği ör..7.8 Zama v Fourir ürvlri Özllilri rs Fourir döüşüm bağıısıı ii yaıı ici ürvlri alıırsa d i X.68 d olur. Burada i ürvlrii var olduğu varsayılmışır. Fourir döüşüm bağıısıı ii yaıı ici ürvlrid d X i.69 Fourir çii ld dilir. i ürvii alıması il oluşa siyali sprumu X sprumuu y oraılı çoğala bir dğrl çarpılmasıa şdğrdir. 4
.7.9 Zama v Fras İgrallri Özlliği Yuarıdai ürv özlliğid harl i igrali ola siyali Fourir döüşümü aşağıdai şild buluur: d i X.7 Bzr şild X sprumuu ras oramıda igrali il ld dil sprumu rs Fourir döüşümü il arasıdai ilişi aşağıdai gibidir: i X d.7 Görüldüğü gibi i igrali alıması il oluşa siyali sprumu X sprumu / y oraılı bir dğiş il çarpılmasıa şdğrdir..7. Eşli Özlliği a-ib armaşı osiyouu şliği *a+ib i Fourir döüşümü X * - dir: olur. * * X.7 i a ib d i a ib d i a + ib.73 X.74 X *.7. Evrişim Kovolüsyo Özlliği d.75 Gr uramsal ürmlrd v grs gözlmsl vrilri aaliz v işlmsid yararlaıla ço ömli bir olaa vrişim uramıdır. Bu urama gör zama vya ras oramıdai vrişim ras vya zama oramıda çarpım yapara grçlşirilbilir. * h X.H.76. h X* H.77 * vrişimi ovolüsyo simglr. Yuarıdai Fourir çiii doğrulama içi 43
y * h τ h τ dτ.78 vrişim işlmii hr ii araıı Fourir döüşümü alısı: y i i d τ h τ dτ d.79 y y alıara v sağ araa igrali sırası dğişirilr Y i τ h τ d dτ ld dilir. s -τ alıdığıda ayraçları içi h s i s+ τ iτ is iτ ds h s ds H olur. Bu souç.8 bağıısıa oulduğuda.8.8 iτ H τ dτ H X Y ld dilir. Bua zama vrişim uramı dir. Bu özlli izly biçimd özlbilir:.8 * h y.83 X H Y.84.77 Fourir çii ras vrişim özlliğidir v yuarıda vril zama vrişim uramıa bzr biçimd vya.76 çiii baışımlılı bağıısı.56 ya oyara doğrulaabilir. Sismi uygulamalarda olduğu gibi uzu v ço sayıda vrii bilgisayarlarda işlmsid vrişim uramıda yararlaara işlmlr ömli ölçüd hızladırılır. Daha sora dğiilc hızlı Fourir döüşümü yömiyl Fourir döüşümü işlmi çabulaşırıldığıda öc vri v uygulaaca işlci Fourir döüşümlri alıara çarpılır. Daha sora bu çarpımı rs Fourir döüşümü alıara çıış vrisi ld dilir..7. İlişi Korlasyo Özlliği Uygulamada ömli bir Fourir çiid ilişi osiyou v ou Fourir döüşümüdür. v h osiyolarıı ilişisi c h τ h + τ d.85 bağıısıyla vrilir. Buu hr ii araıı Fourir döüşümü c i i τ τ dτ h + τ d h dτ.86 alııp v sağ araai igrallri sırası dğişirilirs 44
c i h h + τ τ dτ d olur. s +τ alıırsa ayraçları içi h s i s i is i ds h s ds H olur. Bu souç.87 bağıısıa oulduğuda.87.88 i ch H d h cos d + i si d H R + i.9 olur. i Fourir döüşümü i d cosd - i - - sid R - iτ olduğuda.9 v.9 bağıılarıda olur. Kısaca * c h H X.9 c h τ c.93 h yazılır. Bu souca çapraz-ilişi özlliği dir. Bu souç ilişiy gir iici osiyou Fourir döüşümüü şliğii alıması dışıda vrişim özlliğii ayısıdır. Evrişim işlmii ilişi işlmid arıı osiyolarda birii alaması olduğu aımsaırsa bu bzrli olayca alaşılır. Yuarıda bir çi osiyo olduğuda X grçl olacağıda XX * olur. Bu durumda vrişim v ilişi işlmlri yuarıda dğiil özllilrd şdğr olur. Eğr h yai hr ii osiyo özdş is.85 bağıısı özilişi bağıısıa döüşür..93 ilişi özlliğid c * τ X X X c.94 olur. Bua özilişi özlliği dir. İi vrii çapraz ilişisii vya bir vrii özilişisii hsaplamasıda vrişim özlliğid olduğu gibi hızlı Fourir döüşümüd yaralaılara v ilişi uramı ullaılara işlmlr hızladırılabilir. Diğr ömli bir 45
ullaım gçici vrilri güç v çapraz güç yoğuluğu sprumlarıı hsaplamasıdır. Gçici vrilri güç yoğuluğu sprumları vrilri Fourir döüşümü ullaılara gösrilbilir..7.3 Çi osiyolar Ev Fucios Eğr - is i Fourir döüşümü balışımlı simri v grçldir: R cos d.95 Yi.4 bağıısıda yararlaara i F d cos d i si cos d R d.96 olur. Saal rim sıırdır çüü igrali içi bir osiyodur. cos bir çi osiyo cos bir çi osiyo olduğuda cos cos[ ] v F F -; yai Fourir döüşümü d bir çi osiyodur. Bu özlliği rsi d doğrudur. Yai Grç v çi osiyou rs Fourir dömüşümü d bir çi osiyodur. Ayrı osiyolar içi çi osiyo özlliği; - is: N R cos N...N -.97.7.4 osiyolar Odd Fucios Eğr o - o - is o i Fourir döüşümü d rs baışımlı v saal bir osiyodur. Bu.4 bağıısıda yararlaılara aılaabilir. o o d F cos d i si d o o 46
i o si d i Im.98 Grçl ısmı igrali sıırdır. Çüü bir çi osiyo il osiyou çarpımı yi bir osiyodur. si bir osiyo olduğuda si si ; Fourir döüşümü osiyodur. [ ] o o Ayrı osiyolar içi osiyo özlliği; o - o - is: N o i i Im o si N...N -.99 Şil.: Fourir döüşümü il Fourir dizisi arasıdai ilişiy şmai bir ör..7.5 Dalga Şli Ayırımı Wavorm Dcomposiio Hrhagibir osiyo v çi osiyoları oplamı olara ayırılabilir; + + + 47
. + o Çüü büyü parazlri içi çi v osiyo aımıı doğrular..96 v.98 bağıılarıda. bağıısıı Fourir döüşümü F R + i Im F F. + o Burada F R v FoiIm dir. Fourir döüşümüü bu özlliği ayrı Fourir döüşümü hsaplamalarıı hızladırmada ullaıla özllilrd biridir. Ayrı osiyolar içi dalga biçimi ayırım özlliği: + + + + o v F R + i Im F + Fo burada F R v F i Im o ablo.3 :Fourir döüşümüü bazı özllilri X y Y + y X + Y X i Doğrusallı Baışımlılı Zama Kayması Fras Kayması i X Zama Ölçlmsi X Fras Ölçlmsi X Ora Bağıı * * X Zama Igrali Fras Igrali d i X &&& i X d Zama ürvi d / d i X Fras ürvi i d X / d Eşl * * X Evrişim * y X. Y. y X * Y 48
* Ilişi τ * y X. Y c y.8 Fourir Sprumu Buraya adar ola iclmlrd ras oramıa gçr vrilri priyodi vya gçici olduğu varsayılara Fouri dizilri vya Fouri döüşümü ullaıldı. Ayrıca yi buraya adar ola iclmlrd vrilri sürli olduğu v sürli vrilrl işlm yapabilcğimiz varsayıldı. Aca uygulamada arşılaşıla durum yuarıdai varsayımları grçlmz. Hrşyd öc ldi vri sıırlı bir gözlmi soucudur. Ayrıca vri ya ayrı olara gözlmiş vya bilgisayarda işlm soma içi sürli vri örlm aralığı il ayrı şl döüşürülmüşür. Hr ii dl vrii ras oramıa gçirilmsid sorularla arşılaşılmaadır. Bu soruları iclmsid öc sıırlı v ayrı vrilri ras oramıa gçirilmsid ullaıla hsaplamayı yid aımlama grmdir. Eğr limizdi sıırlı uzuluğudai vriyi il gösrc olursa bu vriy dğişirilmiş bir Fourir döüşümü uygulaara ras oramıda ϖ yı ld driz: vya ϖ il iϖ ω d. i d.3 Bu dlml aımlaa y uygulamada Fourir Sprumu adı vrilir. Görüldüğü gibi bu dlm Fourir döüşümüd Dlm.9 arlıdır. Igral sıırları doğal olara solu uzulua vri içi - v yri -/ v / olmuş v daha ömlisi igral öü / çarpaı lmişir. Bu dl d hsapladığıda birim vri gli birimi il şi olup Fourir döüşümüdi gibi gli yoğuluğu dğildir. Aslıda Fourir sprumu dlmidi Fourir dizisi il ld dil spruma bzmdir yalız gözlm uzuluğu i aa pryod a ya şi olması v sürli raslar yri özl raslar / a ullaılması durumuda Fourir dizilri il ld dil çizgi sprumua şi olacaır. Yuarıdai dlrl Fourir sprumu aımı gçrli bir aımdır v.96 dlmi gr çizgi sprumu grs Fourir döüşümü içi ullaılabilir. Ayrıca blirm griri öci bölümd ou 49
dil üm Fourir döüşümü özllilri Fourir sprumu içi gçrlidir. Bu Fourir döüşümü içi üm dlmlrd X yri X ullaılara aılaabilir. Fourir sprumu ayrıca aımlamaı v Fourir dizisi v döüşümü il bağıı iclmi yararı uygulamadai adladırma arışılığıı gidrm içidir. Grçd Fourir çizgi sprumu X yi vr Fourir döüşümü il bulua v X yi vr.9 dlmi v sorada Fourir sprumu olara adladırıla X yi vr.96 dlmi arlıdır. Bu dlmlrl vril ras oramı gösrimlr içrdilri varsayımlar v üsli izisl birimlr açısıda da arlıdırlar v uygulamada ullaıla dlm il ilgili avramlara v adladırmaya öz gösrilmlidir..8. Ayrı Vrilr Solu uzulua vrisi içi örlm aralığı ullaılara..n- il zamalarıda örlmiş vri ld dilir. Vri boyu olduğua gör / N oplam vri sayısıı vrcir. Örlmiş vri il Fourir sprumu X N N i.4 şlii alır. Bu yazılım doğruda programlama içi ullaılabilir v hrhagi bir ras içi gçrlidir. Aca hsaplamada sürli ras ullaılamıyacağıa gör sürli rasıda örlmsi grmdir. Eğr ras örlmsi sçilr olursa raslarıda X vya ısalılmış olara hsaplaabilir X N N i Ε so hsaplaaca ras Nyquis rası N.5 olduğua gör...k içi hsaplaa sprumda N K dolayısıyla K olacaır. Eğr ras örlm aralığı N sçilc olursa K N olaca yai vri sayısıı yarısı sayıda rasda sprum ld dilcir. sçimii Fourir sprumuu doğruda Fourir çizgi sprumua şi ıldığıa yai gözlm uzuluğu N içidi gözlmi pryodi bir vrii aa pryodua şi olduğu varsayılmış olacağıa öcd dğiilmişi. Eğr vri aslıda sosuz is v N sadc gözlm uzuluğua şis doğal ras sçilbilirliği / olacaır. Bu dl birbirlri uzalığı / ola 5
ii ras bilşii görülbilmsi içi ras örlm aralığı / d daha üçü v az / olmalıdır. So olara ras oramıda aımı vrilmiş bir vrii zama oramıda rar urulması ousuda bazı özllilri ısaca blirm yrid olacaır. Fourir uramıa gör zama oramıdai vri sprumu rs Fourir döüşümü il vrilir: i X d.6 Eğr limizd Fourir sprumu X varsa şiir. Ayrıca bu sprum aralıları il örlmiş yai X i sıırlı Fourir döüşümü is yuarıdai dlmd X yri X yazılabilir. Sprumu Nyquis rası il sıırlı olduğu göz öü alıırsa aşağıdai ormül il zama oramıa gçilbilir. K i X K Zama oramıda sürli yri N K.7 zamalarıda hsaplama yapılaca olduğuda i N X K.8 K olacaır vya K ullaılara K N i K X.9 K K il zama oramıda ld dilcir. Zama oramıda ömli ou ld dil vrii pryodi olma zorululuğudur. Haırlaacağı gibi aralıları il örlmiş bir vrii sprumu pryodi olur. Yai d bir dii rarlar. Ayı biçimd N ras aralığı il örlmiş bir sprumu zama oramıdai vrisi / aralıla dii rarlayacaır. Bu dl N uzuluğudai bir vrii sprumu hsaplaır ras aralığı srbs olmala birli ğr zama oramıa rar gri döüldüğüd aralığıda ayı vri ld dilm isiyorsa döüş alımalıdır..8. Ço Boyulu Fourir Döüşümü v Fourir Sprumu 5
Bir ço gözlmsl vri uzamsal oramda ço boyulu olara gözlir. Yralı jolojı yapılarıı araşırılması içi yryüzüd vya havada yapıla gravi alaı mayi ala v bzri joizi ölçmlr uzaa algılama vrilri opi yömlrl yapıla gözlmlr -ışıları görüülri -boyulu B uzamsal vrilr örlrdir. Zama v uzamsal oramlarda algılaa v ısaca zama uzalı vrilri dil gözlmlrd uygulamada ço sı 3 boyulu 3B vrilri oluşururlar. Yryüzüd bir doğrulu boyuca bird azla oumda algılaa sismi yasıma v ırılma vrilri dprm sismogramları B zama uzalı vrilridir. Yryüzüd B uzamsal oramda srili alıcı dizilrl algılaa sismi vrilr ulrasoi vrilr 3B zama uzalı vrilri örlrdir. Yryüzüd B alıcı düzlr v yr içid urulu alıcılarda oluşa yai 3B alıcı düzlrl algılaa vrilr 4 boyulu 4B zama-uzalı vrilridir. Zama dördücü boyuu oluşurur. Yuarıda dğiil vrilri algılamasıda ullaıla alıcı dizilri v oa aya dışıda ala bzr vrici düzlri ras v dalga sayısı oramlarıdai davraışlarıı irdlmsi içid ço boyulu Fourir döüşümü uramıa grsim vardır. Fourir döüşümü il ço boyulu vrilri aalizlrii yapılması yaıda bu vrilrl ilgili uygulamalarda da yaralaılır. Örği ço boyulu vrilr süzgç uygulamaları ras oramıda B vrilrdi gibi hızlı Fourir döüşümü olaağıda yararlaılır. Uygulamada arşılaşıla vrilr azla 3B v bazd dör boyulu olabilirlr. Aşağıda vril N-boyulu Fourir döüşüm çilri içi doğada arşılaşıla vri boyularıı bir sıırlayıcı isi your yai N>4 olabilir. N sayıda. N sürli dğişlri bağlı N-boyulu... N osiyouu vrisii Fourir döüşümü X. N d.. N sürli dğişlri bağlı bir N-boyulu Fourir çiidir v izly biçimd yazılır: X... N N... Ayrı vrilr içi N-boyulu Fourir çii i + + +... N...... N N d d... d N i + + +... N... X... N N d d... d N.. 5
53 + + + M M M M M M i N N N N N N N............. + + + M M M M M M i N N N N N N N N X M M M................3 dir. Yuarıda.5 bağıısıda...m v N...M N ;.6 bağıısıda...m v N...M N dir. Uygulamada ço 3B v B Fourir döüşümüd yararlaılır. 3B sismi örülrii pi sprumlarıı hsaplamasıda 3B süzgç düzlmd v 3B göç işlçlrii hsaplamasıda Fourir döüşümüd yararlaılır. 3B vrilrii ras oramı aalizlri yapıldıa sora bu vrilri süzgçlmsi içi düzl ço izli süzgç pi yaıları ras oraımda iclir. 3B Fourir çilri.3.6 bağıılarıda N3 alıara olayca yazılabilir. Uygulamada B vrilrl daha ço arşılaşıldığıda B Fourir döüşümüü bzr aca daha yaygı ullaım alaları vardır. Ii boyulu vrilri sprumlarıı hsaplaması v uygu sıırlı boyda süzgçlri düzlmsi sismi vrilr içi ço izli süzgç düzlmd uramsal illri glişirilmsi bu süzgçlri ras yaılarıı hsaplaması v sismi vrilri göç işlmlri bazı uygulama alalarıdır. Bu yazıı izly bölümlri daha ço B vrilrl ilgili arışmaları içrmdir. B Fourir çii + dy d y v u X vy u i.4 du dv v u X y vy u i +.5 dir. Yuarıdai çi yazılır.3 v.4 bağıılarıda N oulması yri olaylı içi al aısı olmaya u v v y dğişlri ullaılmışır. B ayrı Fourir çii + M M M M i X.6 + M M M M i M M.7 dir. Boyu uzu B gözlmsl vrilri Fourir döüşümlrii v rs Fourir döüşümlrii hsaplamasıda hızlı Fourir döüşüm yömlrid yararlaılır. Hızlı Fourir döüşümüd sıırlı boyda B v ço boyulu süzgç düzlmd v
uygulamada da yararlaılır. Ço boyulu Fourir döüşümlri hsaplaır işlmlr B Fourir döüşümü idirgr B hızlı Fourir yömi ullaılabilir. Örği.9 bağııısıyla vril B Fourir döüşümü. bağıısıdai gibi yazılara işlmlr içi oplamda dışa doğru yapılabilir: X.8 M M i M M Bu bağııda sabi uulduğuda öşli ayraçlar içidi oplam B olur. öc bu içi oplam hsaplaara bua s dilsi. s zama v rası osiyoudur. Daha sora sabi uulara dışai oplam hsaplaara X ld dilir. B vrisi v Fourir döüşümü X armaşı olabilir. i gli sprumu; grçl X X X * + saal X.9 v az sprumu; φ arca saal X / grçl X. dir. * armaşı şlği gösrmdir. Dairsl baışımlı v ışısal baışımlılı gösr B osiyoları vrilri az sprumları büü raslarda sıırdır. Bu özlli.7 v.8 bağıılarıda üsl rim yri şdğr siüs v osiüs osiyoları yazılara yai i u+ uy cos u + uy isi u + uy. Eulr bağıısı ullaılara olayca doğrulaabilir. y v Xu v baışımlı olduğuda siu+vy il çarpımları osiyoları oluşururlar. osiyou - aralığıda igrali sıır olduğuda.3 bağıısıda saal X olur. B Fourir döüşümüü B Fourir döüşümü bzr özllilri vardır. ablo.4 d uygulamada arşılaşıla özllilr suulmuşur. Bu özllilri varlığı B Fourir döüşüm özllilri gibi doğrulaabilir. ablo.4 d vril özllilrd uygulamada giş biçimd yararlaılır. Örği vrişim özlliği B süzgçlmd bilgisayar zamaıda büyü azaçlar sağlar. Süzgç asayıları v vrii daha öc dğiildiği gibi B hızlı Fourir döüşümü yömid yararlaılara Fourir döüşümlri alıır. Bras oramıda çarpımları grçlşirilr bu çarpımı B hızlı Fourir döüşümd 54
55 yararlaılara rs Fourir döüşümü yai zama oramı B süzgç çıışı ld dilir. B Fourir döüşümüü iici ürv özlliği gözlmsl vrilri işlmsid ullaılagl bir zama oramı yömi ola iici ürv işlmii ras oramıda -4 u +v işlciyl çarpmaya şdğr olduğuu gösrmdir. Bu işlç yüs rasarı gçir dairsl baışımlı bir süzgç özlliği gösrdiğid görüü v uzaa algılama vrilrid siyallri sıırlarıı blirgilşirilmsid ullaılır. Burada vurgulama isil ürv özlliğii uygulaa işlci aalizi v ras yaııı blirlmsidir. ablo.4 B Fourir döüşümüü bazı özllilri y Xuv Ölçlm b v a u X ab by a Doğrusallı v u G v u X y g y + + Kayma v u X b y a bv au i + Evrişim. * v u G v u X y g y Özilişi v u c X τ τ Parsval dv du v u X dy d y 4 ürv v u X v i u i y y m m v u ux i y y ı v u vx i y y y ı y v u X u y y ıı 4 v u v y y y ıı yy 4 v u uvx y y y ıı y 4 v u X v u y y 4 + +
Ör.s v N ola; 3-.5-.5 ola ayrı zama osiyouu 3 4 5 6 7 8 9 Zamad Gli cm 3 - a Fourir srisi açıız b Fourir asayılarıı çiziiz c Fourir asayılarıda gli v az sprumlarıı çiziiz d Fosiyou il arasıdai dğrii hsaplayara çiziiz Fourir asayılarıı MN içi hsaplayıız v çiziiz Fourir asayılarıda gli v az sprumlarıı MN içi hsaplayıız çiziiz. Bu ör Fourir srilrii ayrı vrilr içi vril rigoomri iadlri ullaılara çözülcir. Açılama Sürli osiyouu boyu is şi aralıları il örlmiş sayısallaşırılmış osiyou vri boyu oa sayısı N/ olacaır. Bua gör ω N olur. Ayrı sayısallaşırılmış osiyou N r şlid gösrbiliriz. Bu durumda ayrı osiyolar içi Fourir sriy açılım iadsi M r a + r a M a cos r + b si r + cos Mr Burada MN/ dir. Yuarıdai bağıı vri çi NM sayıda oada oluşa osiyolar içi ullaılır. Görüldüğü gibi sri M- adar açılır v a M asayısıa ai so rim sorada llir. Bu durumda a asayısı M adar hsaplaır b asayısı M- adar hsaplaır. N a r cos r...m N r N b r si r...m - N r 56
Noa sayısıı NM+ olması durumuda so rim ullaılmaz. Çüü a v b asayıları M sayıdadır. Bu durumda rigoomri oplam M- dğil M adar alıır. Bua gör sriy açılım iadsi; r r a + M a cos r + b si r şlii alır. Fourir asayıları N a r cos r...m N r N b r si r...m N r No: Hr ii durumda da b asayısı olmadığı içi b içi ı d a içi sıırda başladığıa dia diiz.. Aşama: Fourir asayılarıı hsaplaması s N olduğua gör ml ras /N /.Hz dir. Noa sayısı çi olduğuda NM M5 olara buluur. a asayıları içi; a + cos. + 3 cos. 3 + + 6 cos. 6 + + 9 cos. 9 cos. + 4 cos. 4 + 7 cos. 7 + a. cos + cos + 3cos + cos + cos. 5cos cos + cos + cos +. 5cos cos olduğuda a. + + 3 + +. 5 + + +. 5. 6 içi; a + cos. **8 +.5cos. **9 a.99 57 cos. 5 cos. 5 8 cos. 8.cos. ** + cos. ** + 3cos. ** + cos. **3 + cos. ** 4.5cos. **5 cos. ** 6 + cos. ** 7
içi; a.cos. * * + cos. * * + 3cos. * * + cos. * *3 + cos. * * 4.5cos. * *5 cos. * * 6 + cos. * * 7 + cos. * *8 +.5cos. * *9 a -.778 bzr şild; a 3 -.4 a 4.8 a 5. hsaplaır. b asayıları içi; b.si. ** + si. ** + 3si. ** + si. **3 + si. ** 4.5si. **5 si. ** 6 + si. ** 7 + si. **8 +.5si. **9 b.55 b.95 b 3.5 b 4.59 sriy açılım bağıısıda bu dğrlri yri oyarsa; M a r a + M a cos r + b si r + cos rm r r. 6 r +. 99cos. r +. 55si. r. 778cos. r +. 95si. r. 4cos. r3 +. 5si. r3 +. 8cos. r4 +. 59si. r4 + cos. * 5 burada r y da a adar dğrlr vrildiğid r osiyouu dğrlri ld dilir. r i dğri arırıldığıda osiyou disii rarladığı görülcir. Bu da ayrı osiyou ± aralığıda pryodi olduğu varsayımıda ayalamaadır. Harmoi glilri; c / a + b bağıısıda c.6 c.447 c.784 c 3.4 c 4.36 58
Harmoi az açıları; φ a b a bağıısıda φ. φ -.87 φ. φ 3. φ 4 -.5 Harmoi gli v azlarıı rası osiyou olara çizilmsi il gli v az sprumları ld dilir. Hsaplamalar /<</ aralığı yri <</ aralığıda hsapladığı içi yalızca pozii s üzrid yr ala sprral dğrlr ld dilmişir. Ngai s ai dğrlr pozii dğrlri armaşı şliği olduğu içi gai raslara ai gli dğrlrid hiçbir işlm grmz i az açılarıı rs işarlilrii alıması grir. Bua gör N << N rasları arasıdai dğrlr aşağıdai abloda vrildiği gibidir. ras a b gli az -.5... -.57 -.4.8.59.36.5 -.3 -.4.5.4 -. -. -.778.95.784 -. -..99.55.447.87..6..6...99.55.447 -.87. -.778.95.784..3 -.4.5.4..4.8.59.36 -.5.5....57 abloda ras dğrlrii.5<<.5 aralığıda oluğua dia diiz. s olduğuda Nyqus ras N / /.5 olara buluur. Nyqus ras bir sprumda görülbilc yüs rasır. Nyqus rası diğr adı alama rasıdır. Çüü N rasıda daha büyü raslar içi hsaplama yapılırsa spral dğrlr hr N dğrlri içi rarlaacaır. 59
3.4. -.5..5 ras Hz -3.4 -.5 -.4 -.3 -. -.....3.4.5 ras Hz Şil 3:.5<<.5 ras aralığı içi b asayıları üs v a asayıları ala - 3.4. ras Hz -.5..5-3.4 ras Hz -.5 -.4 -.3 -. -.....3.4.5 Şil 4:..5<<.5 ras aralığı içi az üs v gli ala sprumları. gli v az sprumlarıı a v b asayılarıı davraışlarıa ço bzdilri dia diiz. 6
3.4 a z...5..5. -3.4 gli..5..5. r a s H z Şil 5: <<Hz arasıda hsplamış gli v az sprrumları. Spral dğrlri hr N.5Hz dğri içi rarladığıa yai aladığıa dia diiz. Aşağıdai Forra programı vril ayrı bir osiyou Fourir asayılarıı gli v az sprumlarıı hsaplar v sriy açılar. Bu program Fourir asayılarıda Fourir sprumu hsaplar Bu program oa sayısıı v çi olması durumları çalışır. igiriş vrisi ai a asayıları bi b asayıları d orlm aralıgı ml ras yi ourir srisi ampiourir asayılarıda hsaplaa gli sprumu phasiourir asayılarıda hsaplaa az sprumu dimsio :a:b:y: &:phas:f: op5il'ourir.vr'saus'old' op6il'ourir.da' daa pid/3.4597./ rad5* NN NNN- rad5*iin wri*9iiin 9 FORMAI3F8.3 MNN/ MMM WRIE**'M'M./NN*d ourir asayıları hsaplaıyor wri** 'a asayilari' 6
do 5 MM a. do in aa+i*cos.*pi**i* a.*a/nn*d 5 wri** a wri** 'b asayilari' do 5 MM b. do in bb+i*si.*pi**i* b.*b/nn*d 5 wri** b sprum hsaplaıyor. do 3 imm ampisqrai**+bi** phasiaa-bi/ai 3 ONINUE DO 45 IN YY. LLM i*m.q.nnllm- DO 4 KLL YYYY+AK*OS.*pi**K*I+BK*SIN.*pi**K*I 4 ONINUE YIA/.+yy i*m.q.nnyiyi+am/.*cos.*pi**m*i 45 ONINUE WRIE**'FOURIER AILIMI' WRIE*36YIIN 36 FORMAF8.3 DO 5 IMM I NN 5 FI/ wri635fiaibi ampiphasi imm 35 orma58.3 sop d Ayrı Fourir Döüşümü.s v N ola 3 -.5 -.5 ola ayrı zama osiyou Fourir v rs Fourir döüşümlrii hsaplayıız. /N/.Hz N /.5Hz dir. Gli cm 3-3 4 5 6 7 8 9 Zamad 6
Açılama Ayrı Fourir döüşümlri r N r p ir N r N N bağııları il hsaplaır. pir Fourir döüşümü rs Fourir döüşümü r içi;.p i. + p i. + 3p i. + p i 3. + p i 4..5p i 5. p i 6. + p i 7. + p i 8. +.5p i 9..p + p + 3p + p + p.5p p + p + p +.5p p olduğuda. + + 3 + +. 5 + + + +. 5. 8 3 4 5 bzr şild hsaplaır. Aşağıdai abloda <<.Hz arasıda hsplaa Fourir döüşümüü grçl saal bilşlri il gli v az sprum dğrlri vrilmişir. Grçl v saal bilş dğrlrii.5 bağıısıda vrildiği gibi a v b asayılarıı yarısıa şi olduğua dia diiz. ras Grçl bilş Saal bilş Gli Faz..8..8...495 -.57.73.87. -.389 -.48.39 3..3 -. -.3. 3..4.4 -.9.8.5.5....57.6.4.9.8 6.3.7 -..3. 3.64.8 -.389.48.39 3.63.9.495.57.73 5.466..8..8. 63
6.8 a z 3.4...5. gli..5. r a s Hz Şil 6: <<.Hz içi Gliala v az üs sprumları Bu program ayrı Fourir döüşüm iadsii ullaara Fourir sprumu hsaplar igiriş vrisi-ayrı zama osiyou rqiras ampigli sprumu phasi az sprumu-pi arasıda aımlamışır yi çiışr-spral dğr spiourir asayılarıda hsaplaa sprum dras arımı örlmsi dörlm aralığı OMPLEX Y:Y dimsio :AMP:phas:FRQ: DAA PI/3.4597/ op5il'ourir.vr'saus'old' op6il'ourir.da' rad5* NN NNN- rad5*iin wri*9iiin 9 FORMAI3F8.3 DF./ D. DO KNN DO IN YMPLX-*PI*K*DF*I YKYK+XI*EXPY YKYK/NN WRIE**YK ONINUE sprum hsaplaıyor. do 3 inn FRQII*DF 64
AMPiABSYI phasiaa-aimagyirealyi wri ** AMPiphasi 3 ONINUE do 35 inn 35 iphasi.l.phasiphasi+*pi WRIE6*NN DO 5 INN RREALYI AIMAIMAGYI 5 WRIE65FRQIRAIMAMPIPHASEI 5 FORMA5F.3 sop d Ayrı rs Fourir Döüşümü Öci ör bir osiyouu ayrı Fourir döüşümü hsaplamışır. Şimdi hsaplaa Fourir döüşümüü rsii yai rs Fourir döüşümüü hsaplayalım. Ayrı rs Fourir döüşüm bağıısı aşağıdai gibidir. N r p ir N Bu bağııda da görülcği gibi yapılaca işlm AFD il ço bzrdir yalızca üsl iadi işari dğişmişir. Bu program rs Fourir Döüşümü hsaplar yigiriş vrisispral vriarmaşı dras arımı d zama örlmsi yi çıış zama osiyou OMPLEX Y:XXX dimsio : DAA PI/3.4597/ op5il'ourir.da'saus'old' op6il'ourir.da' rad5* NN NNN- DO INN rad53frqxrxiaxpx WRIE*3FRQXRXIAXPX YIMPLXXRXI 3 FORMA5F.3 DF./NN D. DO IN XX. DO KN XMPLX.*PI*K*DF*I*D 65
XIXI+YK*EXPX WRIE*8XI WRIE68XI 8 FORMAF8.4 ONINUE sop d ************************ XFOUR.FOR ***************************** JFZ VERİ-İŞLEM II DERSİ İÇİN YAZILMIŞIR Bu program ayrı Fourir döüşüm iadsii ullaara Fourir sprumu hsaplar igiriş vrisi-ayrı zama osiyou rqiras ampigli sprumu phasi az sprumu-pi arasıda aımlamışır yi çiışr-spral dğr spiourir asayılarıda hsaplaa sprum dras arımı örlmsi dörlm aralığı ******************** MAYIS- MFÖ ********************* OMPLEX Y:Y dimsio :AMP:phas:FRQ: DAA PI/3.4597/ op5il'xfour.ver'saus'old' op6il'xfour.son' rad5* NN NNN- rad5*iin wri*9iiin 9 FORMAI3F8.3 DF./ D. DO KNN DO IN YMPLX-*PI*K*DF*I YKYK+XI*EXPY YKYK/NN WRIE**YK ONINUE sprum hsaplaıyor. do 3 inn FRQII*DF AMPiABSYI phasiaa-aimagyirealyi wri ** AMPiphasi 3 ONINUE WRIE64 do 35 inn 35 iphasi.l.phasiphasi+*pi DO 5 INN RREALYI AIMAIMAGYI 66
5 WRIE65FRQIRAIMAMPIPHASEI 4 FORMA5'FREKANS''GERÇEL BİL''SANAL BİL''GENLİK'3 & 'FAZ' 5 FORMA5F.3 sop d XFOUR.VER VERİ DOSYASI 4 3 XFOUR.SON SONUÇ DOSYASI FREKANS GERÇEL BİLEŞEN SANAL BİLEŞEN GENLİK FAZ......5 -.5..5 3.4.5....57.75 -.5..5 3.4..... ************************* FOURIER.FOR **************************** JFZ-VERİ-İŞLEM-II DERSİ İÇİN YAZILMIŞIR. Bu program Fourir asayılarıı rigoomri bağıılarda hsaplar bu asayılarda Fourir sprumu hsaplar. Bu program oa sayısıı v çi olması durumları çalışır. igiriş vrisi ai a asayıları bi b asayıları d orlm aralıgı ml ras yi ourir srisi ampiourir asayılarıda hsaplaa gli sprumu phasiourir asayılarıda hsaplaa az sprumu N.ANIAZ-JFZ VERİ İŞLEM-I H.ÖZDEMİR-JFZ VERİ İŞLEM-II M.F. ÖZER-JFZ VERİ İŞLEM-II M. BAH974 SPERAL ANALYSIS IN GEOPHYSIS mo-mayıs/ ***************************************************************** dimsio :a:b:y: & amp:phas:f: opui5il'ourir.vr'saus'old' opui6il'ourir.son' daa pid/3.4597./ rad5* NN NNN- rad5*iin wri*9iiin 9 FORMAI3F8.3 MNN/ MMM WRIE**'M'M./NN*d ourir asayıları hsaplaıyor 67
wri** 'a asayilari' do 5 MM a. do in aa+i*cos.*pi**i* a.*a/nn*d 5 wri** a wri** 'b asayilari' do 5 MM b. do in bb+i*si.*pi**i* b.*b/nn*d 5 wri** b sprum hsaplaıyor. do 3 imm ampisqrai**+bi** phasiaa-bi/ai 3 ONINUE DO 45 IN YY. LLM i*m.q.nnllm- DO 4 KLL YYYY+AK*OS.*pi**K*I+BK*SIN.*pi**K*I 4 ONINUE YIA/.+yy i*m.q.nnyiyi+am/.*cos.*pi**m*i 45 ONINUE WRIE**'FOURIER AILIMI' WRIE*36YIIN 36 FORMAF8.3 DO 5 IMM I NN 5 FI/ wri634 34 orma'fras''a-asay''b-asay''gli'3'a & z' wri635fiaibi ampiphasi imm 35 orma58.3 sop d FOURIER.VER VERI DOSYASI 4 3 FOURIER.SON SONUÇ DOSYASI Fras a-asay b-asay gli az. 4.. 4...5 -.....5....57 68