AKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "AKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ"

Transkript

1 AKT MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ KESİKLİ RASLANTI DEĞİŞKENLERİ & KESİKLİ DAĞILIMLAR. X aşağıdaki olasılık foksiyoua sahip kesikli bir r.d. olsu. Bua göre;. ; x =.. ; x =. 4. ; x =. 5 p X (x) =. 3 ; x =. 8. ; x = { ; ö. d. a. X i taım aralığı ola R X i yazıız. b. P(X. 5) olasılığıı buluuz. c. P(. 5 < X <. 75) olasılığıı buluuz. d. P(X =. X <. 6) olasılığıı buluuz. a) X i taım aralığı olasılık foksiyoda elde edilir. X i taım aralığı X i olası tüm değerlerii içermektedir. O halde; R X = {.,.4,.5,.8, }. b) X.5 olayı sadece X;.,.4 veya.5 değerlerii aldığıda ortaya çıkar. O halde; P(X.5) = P(X {.,.4,.5}) = P(X =.) + P(X =.4) + P(X =.5) = p X (.) + p X (.4) + p X (.5) = =.5 c).5 < X <.75 olayı sadece X;.4 veya.5 değerlerii aldığıda ortaya çıkar. O halde; P(.5 < X <.75) = P(X {.4,.5}) = P(X =.4) + P(X =.5) = p X (.4) + p X (.5) =. +. =.4 d) P(X =. X <.6) koşullu olasılığı P(A B) = P(A B) P(B) P[(X =.) ve (X <.6)] P(X =. X <.6) = = P(X <.6) = formülü ile elde edilir. P(X =.) P(X <.6) p X (.) p X (.) + p X (.4) + p X (.5) = =. / 36

2 . X aşağıdaki olasılık foksiyoua sahip kesikli bir r.d. olsu. ; k = 4 ; k = 8 p X (k) = ; k = 8 ; k = 4 ; k = 4 { ; ö. d. Y r.d. Y = (X + ) olarak taımlası. Bua göre; a. Y i taım aralığı ola R Y yi yazıız. b. Y r.d.i olasılık foksiyouu buluuz ve olasılık foksiyou özelliklerii sağlayıp sağlamadığıı gösteriiz. Y r.d., X r.d.i bir foksiyoudur. Yai, rasgele bir deey yapılmakta ve X = x soucu elde edilmektedir, Y i değeri ise Y = (x + ) ile belirlemektedir. X bir r.d. olduğu içi, Y de bir r.d.dir. a) R Y i buluabilmesi içi R X = {,,,, } bilimesi gerekir. O halde; R Y = {y = (x + ) x R X } = {,, 4, 9}. b) R Y = {,, 4, 9} bilimektedir. Y r.d.i olasılık foksiyouu buluması içi p Y (), p Y (), p Y (4) ve p Y (9) değerlerii buluması gerekir. p Y () = P(Y = ) = P[(X + ) = ] = P(X + = ) = P(X = ) = p X ( ) = 8 p Y () = P(Y = ) = P[(X + ) = ] = P[(X + = ) veya (X + = )] = P[(X = ) veya (X = )] = p X ( ) + p X () = = 3 8 p Y (4) = P(Y = 4) = P[(X + ) = 4 ] = P[(X + = ) veya (X + = )] = P[(X = 3) veya (X = )] = p X ( 3) + p X () = + 4 = 4 p Y (9) = P(Y = 9) = P[(X + ) = 9] = P[(X + = 3) veya (X + = 3)] = P[(X = 4) veya (X = )] = p X ( 4) + p X () = + 4 = 4 / 36

3 O halde; Y r.d.i olasılık foksiyou aşağıdaki gibidir: y R Y p Y (y) = { 8 ; y = 3 8 ; y = 4 ; y = 4 4 ; y = 9 ; ö. d. p Y (y) = ise p Y (y) olasılık foksiyou özelliklerii sağlamaktadır. p Y (y) y R Y = = 3 / 36

4 3. X~Biom(, p) ve Y~Biom(m, p) olmak üzere X ve Y r.d. bağımsız iki r.d. olsu. Z r.d. Z = X + Y olarak taımladığıa göre Z r.d.i olasılık foksiyouu ve dağılımıı; a. Olasılık yasalarıda faydalaarak buluuz. b. Momet çıkara foksiyoları (MÇF) kullaarak buluuz. a) X~Biom(, p) olduğu içi, X r.d.; bağımsız Beroulli(p) dağılımlı X i r.d.i toplamı olarak; X = X + X + + X biçimide yazılır. Ayı şekilde, Y~Biom(m, p) olduğu içi, Y r.d.; m bağımsız Beroulli(p) dağılımlı Y i r.d.i toplamı olarak; Y = Y + Y + + Y m biçimide yazılır. O halde Z = X + Y r.d.; + m bağımsız Beroulli(p) dağılımlı r.d.i toplamı olarak; Z = X + X + + X + Y + Y + + Y m biçimide elde edilebileceğide Z~Biom( + m, p) dir. Z r.d.i dağılımı bu şekilde buluabileceği gibi, olasılık foksiyou da doğruda elde edilebilir. Öcelikle R Z = {,,,, m + } bilimesi gerekir. k R Z içi; p Z (k) = P(Z = k) = P(X + Y = k) yazılır. P(X + Y = k) olasılığı ise koşullu olasılık biçimide yazılarak ve toplam olasılık kuralı kullaılarak aşağıdaki şekilde elde edilebilir: p Z (k) = P(X + Y = k) = P(X + Y = k X = i)p(x = i) i= = P(Y = k i X = i)p(x = i) i= = P(Y = k i)p(x = i) i= i= (X ve Y bağımsız) (toplam olasılık kuralı) = ( m k i ) pk i ( p) m k+i ( i ) pi ( p) i (X ve Y Biom r. d. ) = ( m k i ) pk ( p) m+ k ( i ) = p k ( p) m+ k ( m k i ) ( i ) i= i= m + = ( k ) pk ( p) m+ k (Vodermode özelliği: ( m k i ) ( i ) O halde; Z~Biom( + m, p) dir. i= m + = ( k )) 4 / 36

5 b) Momet çıkara foksiyolar yardımıyla Z = X + Y r.d.i dağılımıı bulmak mümküdür. O halde; X~Biom(, p) M X (t) = (pe t + p) ve Y~Biom(m, p) M Y (t) = (pe t + p) m M Z (t) = E(e Zt ) = E[e (X+Y)t ] = E(e Xt e Yt ) = E(e Xt )E(e Yt ) (X ve Y bağımsız) yai Z~Biom( + m, p) dir. = M X (t)m Y (t) = (pe t + p) (pe t + p) m = (pe t + p) +m 5 / 36

6 4. Bir trafik sigortası portföyüde, hafta içi bir güde mesai başlagıcı ve bitişi saatleride gerçekleşe ve sigorta şirketie bildirile trafik kazası hasarı sayısı dakika başıa ortalama. ile Poisso dağılımıa uygu bulumuştur. Bua göre; a. Sigorta şirketii 5 dakikalık zama aralığıda hiçbir hasar bildirimi almaması olasılığı kaçtır? b. Sigorta şirketii dakikalık zama aralığıda 3 te fazla hasar bildirimi alması olasılığı kaçtır? a) X: 5 dakikalık zama aralığıda alıa hasar bildirimi O halde; X r.d. λ = 5(.) = ile Poisso dağılımıa sahiptir yai X~Poisso( λ = ) olduğu içi X r.d.i olasılık foksiyou p X (x; λ = ) = e λ λ x ; x =,,, biçimidedir. Sigorta şirketii 5 dakikalık zama aralığıda hiçbir hasar bildirimi almaması olasılığı; P(X = ) = p X () = e λ λ! x! = e () = e = b) Y: dakikalık zama aralığıda alıa hasar bildirimi O halde; Y r.d. λ = (.) = ile Poisso dağılımıa sahiptir yai Y~Poisso( λ = ) olduğu içi Y r.d.i olasılık foksiyou p Y (y; λ = ) = e λ λ y ; y =,,, biçimidedir. Sigorta şirketii dakikalık zama aralığıda 3 te fazla hasar bildirimi alması olasılığı; P(Y > 3) = P(Y 3) = [p Y () + p Y () + p Y () + p Y (3)] = [ e λ λ + e λ λ + e λ λ + e λ λ 3 ]!!! 3! = [ e () + e () + e (4) + e (8) ] = e ( ) = 9 3 e = y! 6 / 36

7 SÜREKLİ RASLANTI DEĞİŞKENLERİ & SÜREKLİ DAĞILIMLAR 5. X aşağıdaki olasılık yoğuluk foksiyoua sahip sürekli bir r.d. olsu. f X (x) = e x ; tüm x R Eğer Y r.d. Y = X olarak taımlamışsa, Y r.d.i kümülatif dağılım foksiyouu (cdf) buluuz. Y r.d., Y = X olarak taımladığıda Y i taım aralığı R Y = [, ) dir. y [, ) içi Y r.d.i kümülatif dağılım foksiyou (cdf); F Y (y) = P(Y y) = P(X y) = P( y X y) = = e x dx + e x dx y y y f X (x) dx = e x dx y y x x = x ; x y x =x = e ( x) dx + e x dx = [((ex ) y ) + (( e x ) y )] y biçimide elde edilir. O halde; y = [(e e y ) + ( e y ( e ))] = e y F Y (y) = { e y ; y ; ö. d. y y 7 / 36

8 6. X aşağıdaki olasılık yoğuluk foksiyoua sahip sürekli bir r.d. olsu. f X (x) = { 4x3 ; < x ; ö. d. Bua göre, P (X X > ) olasılığıı buluuz. 3 3 P (X 3 X > 3 ) = P ( 3 < X 3 ) P (X > 3 ) = /3 /3 /3 4 = ( 3 ) ( 4 3 ) 6 () 4 ( 4 = ) 8 = f X (x) dx f X (x) dx = /3 4x3 dx /3 4x 3 dx /3 = 5 8 =.875 = (x 4 /3 /3 ) (x 4 /3 ) 8 / 36

9 7. X aşağıdaki olasılık yoğuluk foksiyoua sahip sürekli bir r.d. olsu. Eğer Y r.d. Y = X f X (x) = { x (x + 3 ) ; < x ; ö. d. + 3 olarak taımlamışsa, Y r.d.i varyası Var(Y) yi buluuz. Var(Y) = Var ( X + 3) = Var ( X ) = 4Var ( X ) = 4 [E ( X ) (E ( X )) ] E ( X ) = x f X(x) dx = x x (x + 3 ) dx = (x + 3 x) dx E ( X ) = x f X(x) dx = x x (x + 3 ) dx = (x + 3 ) dx = [( x x 4 ) ] = 7 = [( x + 3x ) ] = 5 Var(Y) = 4 [E ( X ) (E ( X )) ] = 4 [ 5 (7 ) ] = / 36

10 8. Bir ders sorumlusuu ofis saatide soru sormak içi gele öğreci sayısı, birim zamada λ öğreci olacak şekilde Poisso dağılımıa uygu bulumuştur. Yai, Y r.d. t zama aralığıda ofise gele öğreci sayısı olarak taımlaırsa, Y~Poisso(λt) olur. Ofis saatii t = zamaıda başladığı düşüülsü. X r.d. ilk öğrecii geldiği zama olarak taımlaıyorsa X~Üstel(λ) olduğuu gösteriiz. İpucu: P(X > t) = P{[, t] aralığıda hiçbir öğrecii gelmemesi} Y: t zama aralığıda ofise gele öğreci sayısı Y~Poisso(λt) p Y (y; λt) = e λt (λt) y y! ; y =,,, X: Ofise ilk öğrecii geldiği zama olarak taımladığıda; P{[, t] aralığıda hiçbir öğrecii gelmemesi} = P(X > t) () olarak düşüülebilir. Bu olasılık ayı zamada t zama aralığıda ofise gele öğreci sayısıı sıfır olması yai Y = olması olasılığıdır. O halde; P{[, t] aralığıda hiçbir öğrecii gelmemesi} = P(Y = ) = p Y () = e λt (λt) = e λt () Souç olarak () ve () eşitliği birlikte düşüüldüğüde; P(X > t) = e λt olduğuda X r.d.i kümülatif dağılım foksiyou (cdf); F X (x) = P(X x) = P(X > x) = e λx olarak elde edilir. Bu kümülatif dağılım foksiyou; ortalamalı sahip üstel dağılımı cdf λ foksiyoudur. Bu durumda X~Üstel(λ) dir. Ofise ilk yai. öğrecii gelmesi ile. öğrecii gelmesi arasıda geçe süre (yai ofise ilk öğrecii geldiği zama) Üstel(λ) dağılımıa sahiptir. Daha geel olarak; k ici öğreci ile k + ici öğreci arasıda geçe süre Üstel(λ) dağılımıa sahiptir.! / 36

11 9. U~Uiform(, ) ve X = l( U) olarak taımladığıa göre X~Üstel() olduğuu gösteriiz. U r.d.i taım aralığı R U = (,) ike X = l( U) olarak taımladığıda X r.d.i taım aralığı R X = (, ) dir. x (, ) içi X r.d.i kümülatif dağılım foksiyouu (cdf); F X (x) = P(X x) = P( l( U) x) = P(l[( U) ] x) = P (l [ U ] x) = P ( U ex ) = P( U e x ) = P(U e x ) e x = f U (u) du e x U~Uiform(,) f U (u)= ; <u< = du = e x biçimide elde edilir. Bu kümülatif dağılım foksiyou; ortalamaya sahip üstel dağılımı cdf foksiyoudur. Bu durumda X~Üstel() dir. / 36

12 KOŞULLU & BİLEŞİK DAĞILIMLAR. X ve Y r.d. aşağıdaki tabloda verile bileşik olasılık foksiyoua sahip iki kesikli r.d. olsu. Y = Y = 4 Y = 5 X = 4 4 X = 6 8 X = Bua göre; a. P(X, Y 4) olasılığıı buluuz. b. X ve Y r.d.i marjial olasılık foksiyolarıı buluuz. c. P(Y = X = ) olasılığıı buluuz. d. X ve Y r.d. bağımsız mıdır? Gösteriiz. a) P(X, Y 4) = p XY (,) + p XY (,4) + p XY (,) + p XY (,4) = = b) X ve Y r.d.i marjial olasılık foksiyoları; p X (x) = p XY (x, y j ) y j R Y ; x R X ve p Y (y) = x i R X p XY (x i, y) ; y R Y formülleri ile elde edilir. Burada; R X = {,,3} ve R Y = {,4,5} tir. O halde; p XY (, y j ) y j R Y = p XY (,) + p XY (,4) + p XY (,5) = 6 ; x = p X (x) = p XY (, y j ) y j R Y = p XY (,) + p XY (,4) + p XY (,5) = 3 8 ; x = p XY (3, y j ) = p XY (3,) + p XY (3,4) + p XY (3,5) = { y j R Y 4 ; x = 3 / 36

13 p XY (x i, ) x i R X = p XY (,) + p XY (,) + p XY (3,) = ; y = p Y (y) = p XY (x i, 4) x i R X = p XY (,4) + p XY (,4) + p XY (3,4) = 4 ; y = 4 x R X y R Y p XY (x i, 5) = p XY (,5) + p XY (,5) + p XY (3,5) = { x i R X 4 ; y = 5 p X (x) = ise p X (x) olasılık foksiyou özelliklerii sağlamaktadır. p X (x) = = x R X p Y (y) = ise p Y (y) olasılık foksiyou özelliklerii sağlamaktadır. p Y (y) = = y R Y c) P(Y = X = ) bir koşullu olasılıktır ve aşağıdaki gibi elde edilir: P(Y = X = ) = P(X =, Y = ) P(X = ) = p XY(,) p X () = / /6 = =.5 d) X ve Y r.d.i bağımsız olduğuu göstermek içi tüm x i R X ve tüm y j R Y içi P(X = x i, Y = y j ) = p XY (x i, y j ) = p X (x i )p Y (y j ) = P(X = x i )P(Y = y j ) olduğu gösterilmelidir. Bu eşitliği boza e az bir tae (x i, y j ) buluması bağımsızlık durumuu bozar. (x i =, y j = ) kombiasyou bua bir örektir: P(X =, Y = ) = p XY (,) = = 3 8 = p X()p Y () = P(X = )P(Y = ) O halde; X ve Y r.d. bağımsız değildir. 3 / 36

14 . X ve Y r.d. aşağıdaki bileşik olasılık yoğuluk foksiyoua sahip sürekli r.d. olsu. Bua göre, cx + ; x, y, x + y f X,Y (x, y) = { ; ö. d. a. (X, Y) i taım aralığı ola R XY yi x y düzlemide grafik yardımıyla gösteriiz. b. c sabitii buluuz. c. X ve Y r.d.i marjial olasılık yoğuluk foksiyoları f X (x) ve f Y (y) yi buluuz. d. P(Y < X ) olasılığıı buluuz. (İpucu: Bu olasılığı bulabilmek içi, itegral bölgesi taım aralığı da dikkate alıarak yeide belirlemeli ve bu bölge üzeride f X,Y (x, y) i itegrali alımalıdır.) a) (X, Y) i taım aralığı R XY = {(x, y) x, y, x + y } biçimidedir ve grafiği aşağıda verildiği gibidir: b) c sabitii bulmak içi bileşik oyf i özellikleride faydalaılır: x f X,Y (x, y) dx dy = (cx + ) dy dx = (x,y) R XY x= y= y = x [(cxy + y) y = ] dx = [(cx( x) + ( x))] dx = (cx cx + x) ( c c 3 + ) = c 6 = c = 3 dx = [( cx cx3 x + x 3 ) x = x = ] = 4 / 36

15 c) R X = R Y = [,] dir. R XY = {(x, y) x, y, x + y } f X (x) içi y i sıırları: {y, x + y } = {y, y x} = { y x} f X (x) = x f X,Y (x, y) dy = (3x + ) dy y= x y= y = x = (3xy + y) y = = 3x( x) + ( x) = 3x 3x + x = 3x + x + f X (x) = { 3x + x + ; x ; öd R XY = {(x, y) x, y, x + y } f Y (y) içi x i sıırları: {x, x + y } = {x, x y} = { x y} f y (y) = y f X,Y (x, y) dx = (3x + ) dx x= = 3( y) y x= = (3y 8y + 5) = ( 3x + ( y) = 3( y + y ) f Y (y) = { (3y 8y + 5) ; y ; öd + x) x = y x = + y x R X f X (x) dx = ise f X (x) olasılık yoğuluk foksiyou özelliklerii sağlamaktadır. f X (x) dx = ( 3x + x + ) dx x R X = [( 3x3 3 + x + x) ] = ( + + ) = y R Y f Y (y) dy = ise f Y (y) olasılık yoğuluk foksiyou özelliklerii sağlamaktadır. f Y (y) dy = (3y 8y + 5) dy y R Y = [(3y3 3 8y + 5y) ] = ( 4 + 5) = 5 / 36

16 d) P(Y < X ) olasılığıı buluabilmesi içi, itegral bölgesi taım aralığı da dikkate alıarak aşağıdaki grafikteki gibi yeide belirlemeli ve bu bölge üzeride f X,Y (x, y) i itegrali alımalıdır. Sıırlar kesişim oktasıa bağlı olarak değişeceğide, öcelikle bu okta bulumalıdır. Kesişim oktası; y = x eğrisi ile x + y = doğrusuu kesiştiği oktadır. Bu oktayı bulabilmek içi ortak çözüm yapılmalıdır. Yai, y = x = x de x = x x + x = (x )(x + ) = x = ve x = acak x bölgesi ele alıdığı içi kesişim oktası x = olarak elde edilir. Öte yada; Taralı Bölge: {(x, y) x, y x } {(x, y) x, y x} x P(Y < X ) = (3x + ) dy dx + (3x + ) dy dx x= y= x x= y= y = x = [(3xy + y) y = ] dx y = x + [(3xy + y) y = ] dx x= x= = (6x 3 + x ) dx + (3x 3x + x) dx x= x= = [( 6x4 4 + x3 3 ) / ] + [( 3x3 + x 3 + x) / ] = ( ) + (( + + ) ( )) = = / 36

17 . X ve Y r.d. aşağıdaki bileşik olasılık yoğuluk foksiyoua sahip sürekli r.d. olsu. Bua göre, f X,Y (x, y) = { 6e (x+3y) ; x, y ; ö. d. a. X ve Y r.d. bağımsız mıdır? Gösteriiz. b. E(Y X > ) koşullu beklee değerii buluuz. (İpucu: Burada X ve Y r.d.i bağımsız olup olmaması durumua dikkat ediiz!!!) c. P(X > Y) olasılığıı buluuz. (İpucu: Bu olasılığı bulabilmek içi, itegral bölgesi taım aralığı da dikkate alıarak yeide belirlemeli ve bu bölge üzeride f X,Y (x, y) i itegrali alımalıdır.) a) X ve Y r.d.i bağımsız olduğuu göstermek içi tüm x R X ve tüm y R Y içi f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) olduğu gösterilmelidir. O halde; öcelikle f X (x) ve f Y (y) marjial oyf ler bulumalıdır. X r.d.i marjial oyf si: f X (x) = f X,Y (x, y) dy = 6e (x+3y) dy R Y = e x = 6e x ( e 3y 3 ) = e x (e e ) f X (x) = { e x ; x ; öd Y r.d.i marjial oyf si: f Y (y) = f X,Y (x, y) dx = 6e (x+3y) dx R X = 3e 3y = 6e 3y ( e x ) = 3e 3y (e e ) f Y (y) = { 3e 3y ; y ; öd 7 / 36

18 x R X f X (x) dx = ise f X (x) olasılık yoğuluk foksiyou özelliklerii sağlamaktadır. f X (x) dx = e x dx x R X = ( e x ) = (e e ) = y R Y f Y (y) dy = ise f Y (y) olasılık yoğuluk foksiyou özelliklerii sağlamaktadır. Souç olarak; f Y (y) dy = 3e 3y dy y R Y = 3 ( e 3y 3 ) = (e e ) = f X,Y (x, y) = 6e (x+3y) = (e x )(3e 3y ) = f X (x)f Y (y) yazılabildiğide X ve Y r.d.i bağımsızdır. b) E(Y X > ) koşullu beklee değeri X ve Y r.d.i bağımsız olup olmaması durumua göre icelemelidir. X ve Y r.d.i bağımsız olduğuda; olur. Y r.d.i oyf si ola E(Y X > ) = E(Y) f Y (y) = { 3e 3y ; y ; öd icelediğide Y r.d.i Üstel dağılımlı olduğu görülmektedir. f Y (y) = { λe λy ; y ; öd olarak ifade edile Üstel(λ) dağılımlı r.d.i beklee değeri olduğuda; E(Y) = λ E(Y X > ) = E(Y) = 3 8 / 36

19 c) P(X > Y) olasılığıı buluabilmesi içi, itegral bölgesi taım aralığı da dikkate alıarak yeide belirlemeli ve bu bölge üzeride f X,Y (x, y) i itegrali alımalıdır. P(X > Y) = 6e (x+3y) dx dy = y= x=y 6e 3y ( e x y ) dy y= = 3e 3y (e e y ) dy = y= = 3 5 (e e ) = 3 5 3e 5y y= dy = ( 3e 5y 5 ) 9 / 36

20 3. X ve Y r.d. aşağıdaki bileşik olasılık yoğuluk foksiyoua sahip sürekli r.d. olsu. Bua göre, 6xy ; x, y f X,Y (x, y) = { x ; ö. d. a. (X, Y) i taım aralığı ola R XY yi x y düzlemide grafik yardımıyla gösteriiz. b. X ve Y r.d.i marjial olasılık yoğuluk foksiyoları f X (x) ve f Y (y) yi buluuz. c. X ve Y r.d. bağımsız mıdır? Gösteriiz. d. Y = y verilmişke X i koşullu olasılık yoğuluk foksiyou f X Y (x y) yi buluuz. e. y içi E(X Y = y) koşullu beklee değerii buluuz. f. y içi Var(X Y = y) koşullu varyasıı buluuz. a) (X, Y) i taım aralığı R XY = {(x, y) x, y x} biçimidedir ve grafiği aşağıda verildiği gibidir: b) R X = R Y = [,] dir. R XY = {(x, y) x, y x} f X (x) içi y i sıırları: { y x} f X (x) = f X,Y (x, y) dy = 6xy dy = 6x ( y x ) = 3x(x ) = 3x R Y x f X (x) = { 3x ; x ; öd / 36

21 R XY = {(x, y) x, y x} f Y (y) içi x i sıırları: { x, x y} = { x, x y } = {y x } f Y (y) = f X,Y (x, y) dx = 6xy dx = 6y ( y ) = 3y( y 4 ) = 3y 3y 5 y R X x f Y (y) = { 3y 3y5 ; y ; öd x R X f X (x) dx = ise f X (x) olasılık yoğuluk foksiyou özelliklerii sağlamaktadır. f X (x) dx = 3x dx x R X = 3 ( x3 3 ) = ( ) = y R Y f Y (y) dy = ise f Y (y) olasılık yoğuluk foksiyou özelliklerii sağlamaktadır. f Y (y) dy = (3y 3y 5 ) dy y R Y = 3 ( y y6 6 ) = 3 ( 6 ) = c) X ve Y r.d.i bağımsız olduğuu göstermek içi tüm x R X ve tüm y R Y içi olduğu gösterilmelidir. Souç olarak; f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) f X,Y (x, y) = 6xy (3x )(3y 3y 5 ) = f X (x)f Y (y) olduğuda X ve Y r.d.i bağımsız değildir. d) f X Y (x y) = f X,Y (x,y) f Y (y) = 6xy (3y 3y 5 ) = 6xy 3y( y 4 ) = x y 4 x f X Y (x y) = { y 4 ; y x ; öd / 36

22 e) E(X Y = y) koşullu beklee değeri aşağıdaki şekilde elde edilir: x E(X Y = y) = xf X Y (x y) dx = x ( y4) dx y y = = y 4 (x3 3 y ) = y6 ( 3 y 4) y 4 x dx y f) Var(X Y = y) koşullu varyası aşağıdaki şekilde elde edilir: Var(X Y = y) = E(X Y = y) [E(X Y = y)] E(X Y = y) = x f X Y (x y) dx = x x ( y4) dx y y = = y 4 (x4 4 y ) = y8 ( y 4) y 4 x3 dx Var(X Y = y) = y8 ( y 4) [ y6 ( 3 y 4)] y / 36

23 4. X ve Y r.d. aşağıdaki bileşik olasılık yoğuluk foksiyoua sahip sürekli r.d. olsu. x + y ; x, y f X,Y (x, y) = { ; ö. d. Bua göre, E(XY ) beklee değerii buluuz. E(XY ) = xy f X,Y (x, y) dx dy = xy (x + y) dx dy = (x y + xy 3 ) dx dy (x,y) R XY = ( x3 y 3 + x y 3 ) dy = ( y 3 + y3 ) dy = ( y3 9 + y4 8 ) = = / 36

24 5. X ve Y r.d. stadart ormal dağılıma sahip ve bağımsız r.d. olsu. Ayrıca, Z = X Y { W = X + Y taımlası. Bua göre, f Z,W (z, w) bileşik olasılık yoğuluk foksiyou elde ediiz. Z = X Y ve W = X + Y ise X = Z + W ve Y = Z + W olur. Bu durumda, Z ve W i bileşik oyf ile elde edilir. f Z,W (z, w) = f X,Y (x = z + w, y = z + w) J x x z w X = Z + W ve Y = Z + W J = y y = = z w f X,Y (x = z + w, y = z + w) elde edilmesi içi X ve Y r.d. stadart ormal dağılıma sahip ve bağımsız r.d. oldukları bilimektedir. O halde; X~N(,) f X (x) = π e x / ; < x < Y~N(,) f Y (y) = π e y / ; < y < X ve Y bağımsız f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) = ( π e x / ) ( π e y / ) = π exp + y ) [ (x ] f X,Y (x = z + w, y = z + w) = π exp [ ((z + w) + (z + w) ) ] = π exp + zw + w + z + 4zw + 4w ) [ (z ] = π exp + 5w + 6zw) [ (z ] Souç olarak; Z ve W i bileşik oyf f Z,W (z, w) = π exp + 5w + 6zw) [ (z ] ; z, w R 4 / 36

25 6. X ve X sürekli r.d.i olasılık yoğuluk foksiyou aşağıdaki gibidir: f X,X (x, x ) = { 6x x ; < x <, < x < ; ö. d. Eğer Y r.d. Y = X X olarak taımlamışsa, Y r.d.i olasılık yoğuluk foksiyou g Y (y) yi elde ediiz. y = x x ve y = x olarak taımladığıda x = y /y ve x = y olacağıda Jacobia; x x y y J = y x x = y y = y y y g(y, y ) = f X,X (x = y, x y = y ) J = 6 ( y ) (y y ) <y =x < = 6y y y = 6y ; < y /y <, < y < y g Y (y) = g Y (y ) = g(y, y )dy R Y Aralıklar: < y /y <, < y < < y < y ve < y < g Y (y ) = 6y dy = 6y y = 6y y ( y ) y g Y (y) = { 6y( y) ; < y < ; öd 5 / 36

26 SIRA İSTATİSTİKLERİ 7. X, X, X 3 aşağıda olasılık yoğuluk foksiyou verile bir kitlede çekile 3 birimlik rasgele öreklem olsu: x ; < x < f X (x) = { ; ö. d. a. mi{x, X, X 3 } ü dağılımı medyaıı aşması olasılığıı buluuz. (ipucu: Dağılımı medyaı m olmak üzere, medyaı bulmak içi F X (m) = eşitliğide faydalaılır.) b. X () X () X (3) sıra istatistikleri olmak üzere; X () ve X (3) arasıdaki korelasyo katsayısıı buluuz. a) Dağılımı medyaı m olmak üzere, F X (m) = eşitliğide m elde edilir. x F X (x) = f X (s)ds = s ds = (s x ) = x ; < x < x F X (m) = m = mi{x, X, X 3 } ü dağılımı medyaıı aşması olasılığı; m = P(mi{X, X, X 3 } > m) = P(X () > m) = F X() (m) = [ ( F X (m)) ] =3 = ( F X (m)) 3 = ( 3 ) = 8 b) X () ve X (3) arasıdaki korelasyo katsayısı; ρ(x (), X (3) ) = Cov(X (), X (3) ) = E(X ()X (3) ) E(X () )E(X () ) Var(X () )Var(X () ) Var(X () )Var(X () ) Öcelikle X () ve X (3) sıra istatistiklerii marjial ve bileşik oyf si bulumalı, ardıda beklee değer ve varyaslar hesaplamalıdır. f X(k) (x (k) ) =! (k )! ( k)! [F X(x (k) )] k [ F X (x (k) )] k f X (x (k) ) 6 / 36

27 f X() (x () ) = 3! ( )!(3 )! [F X(x () )] [ F X (x () )] 3 f X (x () ) f X (x)=x ; F X (x)=x = 6[x () ][ x () ](x () ) = (x 3 () x 5 () ) ; < x () < f X(3) (x (3) ) = 3! (3 )!(3 3)! [F X(x (3) )] 3 [ F X (x (3) )] 3 3 f X (x (3) ) f X (x)=x ; F X (x)=x = 3[x (3) ] (x (3) ) = 6x 5 (3) ; < x (3) < f X(i),X (j) (x (i), x (j) ) =! (i )! (j i )! ( j)! [F X(x (i) )] i [ F X (x (j) )] j *[F X (x (j) ) F X (x (i) )] j i f X (x (i) ) f X (x (j) ) X () ve X (3) sıra istatistiklerii bileşik oyf si 3! f X(),X (3) (x (), x (3) ) = ( )! (3 )! (3 3)! [F X(x () )] [ F X (x (3) )] 3 3 *[F X (x (3) ) F X (x () )] 3 f X (x () ) f X (x (3) ) f X (x)=x ; F X (x)=x = 6[(x () )] (x () ) (x (3) ) = 4x 3 () x (3) ; < x () x (3) < Beklee değer ve varyasları elde edilmesi; E(X () ) = x () f X() (x () )dx () = [(x 4 () x 6 () )]dx () = x () [(x 3 () x 5 () )]dx () = [( x 5 () 7 5 x () 7 ) ] = 4 35 = / 36

28 E(X () ) = x () f X() (x () )dx () = [(x 5 () x 7 () )]dx () = x () [(x 3 () x 5 () )]dx () = [( x 6 () 8 6 x () 8 ) ] = Var(X () ) = E(X () ) [E(X () )] = (4 35 ) =.9796 E(X (3) ) = x (3) f X(3) (x (3) )dx (3) = E(X (3) ) = x (3) f X(3) (x (3) )dx (3) = x (3) [6x 5 (3) ]dx (3) = x (3) [6x 5 (3) ]dx (3) = 6 x 6 (3) dx (3) = 6 x 7 (3) dx (3) Var(X (3) ) = E(X (3) ) [E(X (3) )] = 3 4 (6 7 ) =.536 = 6 [( x 7 (3) 7 ) ] = 6 7 = 6 [( x 8 (3) 8 ) ] = 3 4 E(X () X (3) ) = x () x (3) f X(),X (3) (x (), x (3) ) (x (),x (3) ) R X() X (3) dx () dx (3) x (3) x (3) = x () x (3) (4x 3 () x (3) ) dx () dx (3) = 4 x () = 4 x (3) ( x () 5 x (3) ) 5 dx (3) = 4 5 x (3) 4 x (3) dx () dx (3) (x 5 (3) )dx (3) = (x (3) 8 ) = 3 5 =.6 E(X ()X (3) ) E(X () )E(X () ) (.85743) = = Var(X () )Var(X () ).9796(.536) 8 / 36

29 LİMİT TEOREMLERİ &LİMİT DAĞILIMLARI 8. Bir çalıştaya 64 misafir davetlidir ve öğle yemeğide sadviç verilecektir. Bir misafiri 4, ve 4 olasılıklarıyla sırasıyla, veya sadviç yiyebileceği düşüülmektedir. Her bir misafiri yiyeceği sadviç sayısıı diğer misafirlerde bağımsız olduğu varsayılmaktadır. Bu durumda, sadviç eksikliği yaşamaması kousuda 95 % emi olmak içi kaç sadviç hazırlaması gerekmektedir? (İpucu: i. misafiri yiyeceği sadviç sayısı X i olmak üzere P(Y = i= X i y). 95 i sağlaya y değeri araştırılmaktadır. = 64 3 olduğu içi öreklem yeterice büyüktür.) X i : i. misafiri yiyeceği sadviç sayısı ve Y = i= X i olmak üzere P(Y y).95 i sağlaya y değeri araştırılmaktadır. P(Y y) =.95 yapa y değeri, miimum sadviç değerii verecektir. = 64 3 olduğu içi öreklem yeterice büyüktür ve Merkezi Limit Teoremi kullaılabilir. Z döüşümü ile elde edile Z = Y E(Y) r.d. stadart ormal dağılıma sahiptir. O halde, Var(Y) 64 X i öcelikle E(Y) ve Var(Y) bulumalıdır. Y = i= olarak taımladığıda; 64 E(Y) = E ( X i i= Var(Y) = Var ( X i /4 ; x = p Xi (x) = { / ; x = /4; x = ) X i 64 ler bağımsız = E(X i ) 64 i= 64 i= = [ 4 () + () + 4 ()] = = 64 i= ) X i 64 ler bağımsız = Var(X i ) i= i= = [E(X i ) (E(X i )) ] = [( 4 ( ) + ( ) + 4 ( )) ] = = 64 ( ) = 3 i= O halde; araa değer MLT yardımıyla aşağıdaki gibi elde edilir: Y E(Y) y E(Y) y P(Y y) =.95 P ( ) =.95 P (Z ) = Φ (y Var(Y) Var(Y) 3 3 ) =.95 y 64 3 = Φ (.95) =.645 y = 73.3 Souç olarak; sadviç eksikliği yaşamaması kousuda 95 % emi olmak içi 74 sadviç hazırlaması gerekmektedir. i= 64 i= 9 / 36

30 9. X, X,, X bağımsız ve ayı dağılımlı (i.i.d) r.d. dizisidir. X i r.d.i dağılımı; olasılık yoğuluk foksiyou f Xi (x) = λe λx ; x > biçimide ifade edile Üstel(λ = ) olsu. Öreklem ortalaması X ele alıdığıda, P(. 9 X. ). 95 olması içi i kaç olması gerektiğii merkezi limit teoremi yardımıyla buluuz. Merkezi Limit Teoremi de Z döüşümü ile elde edile Z = X E(X ) dağılıma sahiptir. O halde, öcelikle E(X ) ve Var(X ) bulumalıdır. Var(X ) r.d. stadart ormal E(X ) = E ( i= X i = E(X i ) ) = E ( X i i= ) X i ler bağımsız = E(X X i ler ayı dağılımlı i) = [E(X i)] i= Var(X ) = Var ( i= X i E(X ) = E(X i ) ) = Var ( X i i= = [Var(X i)] = Var(X i) Var(X ) = Var(X i) f Xi (x)=λe λx ; x> E(X i )= λ = ) X i ler bağımsız = Var(X i) i= f Xi (x)=λe λx ; x> Var(X i )= λ = O halde; araa değer MLT yardımıyla aşağıdaki gibi elde edilir:.9 E(X ) P(.9 X.).95 P ( Var(X ) X E(X ). E(X ) Var(X ) Var(X ) ).95 X i ler ayı dağılımlı P.9 Z..95 P(. Z. ).95 ( ) P(Z. ) P(Z. ).95 Φ(. ) Φ(. ).95 Φ( z)= Φ(z) Φ(. ) [ Φ(. )].95 Φ(. ).95 Φ(. ).975. Φ (.975) = Z / 36

31 . α = 8 ve θ = 6 parametreleri ile gamma dağılımıa sahip X r.d.i oyf aşağıdaki gibidir: f X (x) = Γ(α)θ α x α e x/θ a. P ( X 6 ) olasılığıı miimum değerii Chebyshev Teoremi ile buluuz. 3 b. P ( X 6 ) olasılığıı Merkezi Limit Teoremi i kullaarak buluuz. 3 E ( X 3 ) = 3 E(X) = 3 αθ = (8)(6) = 6 3 Var ( X 3 ) = 9 Var(X) = 9 αθ = (8)(36) = 3 9 a) Chebyshev Teoremi e göre; P ( X 3 E (X 3 ) ε) Var (X 3 ) ε P ( X 3 P ( X 8 ) ) =.3 =.68 mi {P ( X 8 )} =.68 3 X 3 E(X 3 ) b) Merkezi Limit Teoremi e göre Zdöüşümü Z = olacağıda; Var( X 3 ) P ( X 3 6 ) = P ( X 3 6 ) = P ( X 3 E (X 3 ) ) X = P ( Var ( X 3 E (X 3 ) 3 ) Var ( X 3 ) Var ( X 3 ) ) = P ( Z ) = P(.7678 Z.7678) = (.466) 3 3 =.93 3 / 36

32 . X, X, X 3, aşağıdaki dağılım fosiyoua sahip r.d. dizisi olsu. F X (x) = { ( ) x X i dağılımda Üstel() e yakısadığıı gösteriiz. ; x > ; ö. d. Taım: X, X,, X bir raslatı değişkei dizisii dağılım foksiyoları F (x) = P(X x) olmak üzere sırasıyla F, F,, F olsu. Bua ilavete, dağılım foksiyou F X (x) ola bir X r.d. olsu. Sürekli x değerleri içi (F i sürekli olduğu yerlerde) lim F (x) = F X (x) ise X dizisi ike dağılımda X r.d.ye yakısamaktadır. Yai kısaca; lim F D (x) = F X (x) X X Not: F (x) dizisii F X (x) gibi bir limitii olması yetmez. F X (x) i dağılım foksiyou özelliklerii sağlaması gerekir. lim F X (x) = { lim [ ( x ) ] ; x > ; ö. d. = { lim ( x b ) lim ; x > [+c ] =e cb ;c=,b=x = { e x ; x > ; ö. d. ; ö. d. = F X (x) F X ( ) =, F X ( ) = olduğu ve herhagi bir süreksizlik oktası olmadığı içi lim F (x) = F X (x) dir. Yai, X, X,, X raslatı değişkei dizisii limit dağılımı vardır ve bu limit dağılımı F X (x) = { e x ; x > ; ö. d. dağılım foksiyoua sahip Üstel() dir. Yai X D X ; X~Üstel() dir. 3 / 36

33 . X ~Uiform(, ) olsu. Herhagi bir r içi X r yai X, X, X 3, dizisii r. momette a yakısadığıı gösteriiz. Herhagi bir r içi eğer lim E( X X r r ) = X X olur yai X, herhagi bir r içi r ici momette X e yakısamaktadır. Ayrıca; r ici momette yakısaklık içi E( X r ) < koşulu araır. O halde; E( X r X ~Uiform(, ) X > ) / = E[(X ) r ] = x r f X (x)dx = x r dx = x r dx = ( xr+ r + / ) = r + ( r,< r) < / / r. momette a yakısama içi; lim E( X r ) = kotrol edilmelidir. lim E( X r ) = lim E( X r X ~Uiform(, ) X > ) = lim E[(X ) r ] = lim [ r + ( r)] = r olduğuda X herhagi bir r içi r ici momette a yakısamaktadır yai X olur. 33 / 36

34 3. X ~Üstel() yai f X (x) = e x ; x > olsu. X p yai X, X, X 3, dizisii olasılıkta a yakısadığıı gösteriiz. ε > olmak üzere; lim P( X ε) = lim P( X ε) X > Öcelikle X i dağılım foksiyou buluur: F X (x) = f X (s) ds = e s ds O halde; x Eğer lim P( X ε) = X p olur. x = lim [P(X ε)] = lim [F X (ε)] = ( e s x ) = (e x ) = e x ; x > lim P( X ε) = lim [F X (ε)] = lim [ e ε ] = lim [e ε ] = Souç olarak; lim P( X ε) = olduğuda X p olur. 34 / 36

35 ÖRNEKLEM DAĞILIMLARI 4. X ~Normal(, 4), X ~Normal(, ) ve X 3 ~Normal(, 9) ola birbiride bağımsız ormal dağılımlı r.d. olsu. Bu göre; a. 5 serbestlik derecesie sahip ki-kare dağılımlı (χ 5 ) bir istatistik buluuz. b. 3 ve 4 serbestlik derecesie sahip F dağılımlı (F 3,4 ) bir istatistik buluuz. c. 6 serbestlik derecesie sahip t dağılımlı (t 6 ) bir istatistik buluuz. (NOT: İstatistikleri elde ederke üç r.d.i tamamıı kullaıız!) X~N(,) X χ X ~N(,4) ( X ) χ ; X ~N(,) X χ ; X 3 ~N(,9) ( X 3 3 ) χ a) X i χ νi ike i= X i χ ν ; ν = i= ν i ( X ) + X + ( X 3 ) 3 X ν b) X i χ νi ike F ν,ν olduğua göre, X ν [( X ) [( X ) veya 3 ( X ) + X + ( X 3 3 ) + X + ( X 3 3 ) c) X N(,) ve Y χ ν ise T = X Y/ν t ν olduğua göre, [ (X ) ( X ) + X + ( X 3 3 ) + X + ( X 3 ) 3 ] 3 F 3,4 ] 4 ] 6 t 6 35 / 36

36 5. Bağımsız X, X,, X raslatı değişkeleri göz öüe alısı. X i ; i =,,, raslatı değişkeleri ν i ; i =,,, serbestlik dereceleriyle ki-kare dağılımıa sahip olsu. Y = i= X i raslatı değişkeii ν = i= ν i serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımıa sahip olduğuu MÇF yardımıyla taıtlayıız. X i χ νi ise M Xi (t) = ( t) ν i/ M Y (t) = E[e Yt ] = E[e (X + X + +X )t ] = E[e X t e X t e X t ] X i lerbağ.sız = E[e Xt ]E[e Xt ] E[e Xt ] = ( t) ν i ν= ν i i= i= = ( t) ( ν i i= M Y (t) = ( t) ν Y = X i χ ν ; ν = ν i i= i= ) İYİ ÇALIŞMALAR 36 / 36

AKT201 Matematiksel İstatistik I Yrd. Doç. Dr. Könül Bayramoğlu Kavlak

AKT201 Matematiksel İstatistik I Yrd. Doç. Dr. Könül Bayramoğlu Kavlak AKT20 Matematiksel İstatistik I 207-208 Güz Dönemi AKT20 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 Son Teslim Tarihi: 29 Aralık 207 Cuma, Saat: 5:00 (Ödevlerinizi Arş. Gör. Ezgi NEVRUZ a elden teslim ediniz.) (SORU

Detaylı

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise YTÜ-İktisat İstatistik II Örekleme ve Öreklem Dağılımları BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tae ese arasıda taelik bir öreklem seçilmesii istediğii düşüelim. eseli olaaklı her öreklemi seçilme şasıı eşit kıla seçim

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

2016 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME. aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir? n exp 1.

2016 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME. aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir? n exp 1. 06 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI Soru Toplam hasar miktarı S i olasılık ürete foksiyou X x i PS ( t) = E( t ) = exp λi( t ) ise P S(0) aşağıdaki seçeeklerde hagiside verilmiştir? A) 0 B) C) exp λ i

Detaylı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı 5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.

Detaylı

4/16/2013. Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin

4/16/2013. Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin 4/16/013 Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyası içi Tahmi Kitle ve Öreklem Öreklem Dağılımı Nokta Tahmii Tahmi Edicileri Özellikleri Kitle ortalaması içi Aralık Tahmii Kitle Stadart Sapması içi Aralık Tahmii

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

BEKLENEN DEĞER. 6. Ders. Tanım: X, bir rasgele değişken ve g : R R, B B R için x : g x B B R özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere:

BEKLENEN DEĞER. 6. Ders. Tanım: X, bir rasgele değişken ve g : R R, B B R için x : g x B B R özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere: 6. Ders BEKLENEN DEĞER Taım: X, bir rasgele değişke ve g : R R, B BR içi x : gx B BR özelliğie sahip bir foksiyo olmak üzere: i) X kesikli ve ii) X sürekli ve gx fx olduğuda, x EgX gxfx gx fxdx olduğuda,

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

AKTÜERLK SINAVLARI OLASILIK VE STATSTK SINAVI ÖRNEK SORULARI. için. 01 olaslk younluk fonksiyonu aa daki seçeneklerden hangisinde yer.

AKTÜERLK SINAVLARI OLASILIK VE STATSTK SINAVI ÖRNEK SORULARI. için. 01 olaslk younluk fonksiyonu aa daki seçeneklerden hangisinde yer. SORU : AKTÜERLK SINAVLARI OLASILIK VE STATSTK SINAVI ÖRNEK SORULARI X raslat deikeii olas l k youluk foksiyou 8x, x f(x) = 0, ö.d olarak verilmitir. Bua göre 0< y içi Y = raslat deikeii X olaslk youluk

Detaylı

ˆp x p p(1 p)/n. Ancak anakütle oranı p bilinmediğinden bu ilişki doğrudan kullanılamaz.

ˆp x p p(1 p)/n. Ancak anakütle oranı p bilinmediğinden bu ilişki doğrudan kullanılamaz. YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 1 ANAKÜTLE ORANININ (p GÜVEN ARALIKLARI (BÜYÜK ÖRNEKLEMLERDE Her birii başarı olasılığı p ola birbiride bağımsız Beroulli deemeside öreklemdeki başarı oraıı ˆp

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

EME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9

EME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9 ..7 EME 37 Girdi Aalizi Prosedürü SİSTEM SIMÜLASYONU Modelleecek sistemi (prosesi) dokümate et Veri toplamak içi bir pla geliştir Veri topla Verileri grafiksel ve istatistiksel aalizii yap Girdi Aalizi-II

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü umutokka@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN idrolik Aabilim Dalı Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü Bölüm 5 Örekleme

Detaylı

6. Uygulama. dx < olduğunda ( )

6. Uygulama. dx < olduğunda ( ) . Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır.

Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. Kümülatif Dağılım Fonksiyonları Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. F X (x) = P (X x) = x f X(x ) dx Sürekli

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

İstatistik Ders Notları 2018 Cenap Erdemir BÖLÜM 5 ÖRNEKLME DAĞILIMLARI. 5.1 Giriş

İstatistik Ders Notları 2018 Cenap Erdemir BÖLÜM 5 ÖRNEKLME DAĞILIMLARI. 5.1 Giriş İstatistik Ders Notları 08 Ceap Erdemir BÖLÜM 5 ÖRNEKLME DAĞILIMLARI 5. Giriş Öreklem istatistikleri kullaılarak kitle parametreleri hakkıda çıkarsamalar yapmak istatistik yötemleri öemli bir bölümüü oluşturur.gülük

Detaylı

5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n )

5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) 5. Ders Yeterlilik Yeterlilik Ilkesi: Bir T(X ; X ; :::; X ) istatisti¼gi, hakk da yeterli bir istatistik olacaksa hakk da herhagi bir souç ç kar m T arac l ¼g ile (X ; X,...,X ) öreklemie ba¼gl olmal

Detaylı

OLASILIK DAĞILIŞLARI. Ek 1. Moment Türeten Fonksiyon

OLASILIK DAĞILIŞLARI. Ek 1. Moment Türeten Fonksiyon 6 OLASILIK DAĞILIŞLARI 6.. Kesikli Olasılık Dağılışları 6.. Kesikli Uıform Dağılışı 6... Beroulli Dağılışı 6..3. Biom Dağılışı 6..4. Hyer-Geometrik Olasılık Dağılışı ( İadesiz Örekleme ) 6..5. Geometrik

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahminleme ve Hipotez Testlerine Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahminleme ve Hipotez Testlerine Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahmileme ve Hipotez Testlerie Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üiversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİN. Prof. Dr. Levent ŞENYAY VIII - 1 İSTATİSTİK II

İSTATİSTİKSEL TAHMİN. Prof. Dr. Levent ŞENYAY VIII - 1 İSTATİSTİK II 8 İSTATİSTİKSEL TAHMİN 8.. İstatistiksel tahmileyiciler 8.. Tahmileyicileri Öellikleri 8... Sapmasılık 8... Miimum Varyaslılık 8..3. Etkilik 8.3. Aralık Tahmii 8.4. Tchebysheff teoremi Prof. Dr. Levet

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P.

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P. 4. Ders tkilik Küçük varyasl olmak, tahmi edicileri vazgeçilmez bir özelli¼gidir. Bir tahmi edicii, yal veya yas z, küçük varyasl olmas isteir. Parametrei kedisi () veya bir foksiyou (g()) ile ilgili tahmi

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI

ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI 7 ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI 7.. Niçi Örekleme Yapılır 7.. Olasılıklı Örekleme 7... Basit Şas Öreklemesi 7... Tabakalı Örekleme 7... Küme Öreklemesi 7..4. Sistematik Örekleme 7.. Olasılıklı Olmaya

Detaylı

5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi

5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi 5. Drs Dağılımlarda Rasgl Sayı Ürtilmsi Trs Döüşüm Yötmi sürkli bir rasgl dğişk v bu rasgl dğişki dağılım foksiyou olsu. Dağılımı dstk kümsi üzrid dağılım foksiyou arta v bir-bir bir foksiyo olmaktadır.

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME Saısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 8. Hafta İNTERPOLASYON Saısal Çözümleme 2 İÇİNDEKİLER Ara Değer Hesabı İterpolaso Doğrusal Ara Değer Hesabı MATLAB ta İterpolaso Komutuu Kullaımı Lagrace

Detaylı

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER - Döemi Ders Notları Pro. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (Sürekli)

Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (Sürekli) Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (Sürekli) sürekli bir rastgele değişken olsun. Bu durumda kümülatif dağılım fonksiyonu şu şekilde tanımlanır. F ( ) = Pr[ ] Tipik bir KDF şu şekilde görünür:.0 F () 0 Kümülatif

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

Kümülatif Dağılım Fonksiyonları. F X (x) = P (X x) = P X (x) = P (X x) = p X (x ) f X (x) = df X(x) dx

Kümülatif Dağılım Fonksiyonları. F X (x) = P (X x) = P X (x) = P (X x) = p X (x ) f X (x) = df X(x) dx Kümülatif Dağılım Fonksiyonları Herhangi bir rastgele değişken için kümülatif dağılım fonksiyonu/cumulative distribution function (KDF/CDF) şu şekilde tanımlanır. F X (x) = P (X x) = x f X (x ) dx Sürekli

Detaylı

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK Soru 1 X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu x x, x> f ( x) = 0, dy. 1 werilmiş ve Y = rassal değişkeni tanımlamış ise, Y değişkenin 0< 1 X 1 y için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9- Döemi Karma Eğitim Ders Notları Doç. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları

Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Normal Dağılım Standart Normal Dağılım Binom Dağılımına Normal Yaklaşım Düzgün (uniform) Dağılım Üstel Dağılım Dağılımlar arası ilişkiler Bir rastgele değişkenin, normal

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

MONTE CARLO BENZETİMİ

MONTE CARLO BENZETİMİ MONTE CARLO BENZETİMİ U(0,) rassal değişkeler kullaılarak (zamaı öemli bir rolü olmadığı) stokastik ya da determiistik problemleri çözümüde kullaıla bir tekiktir. Mote Carlo simülasyou, geellikle statik

Detaylı

NOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ

NOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ NOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. KULLANILAN ŞEKİLLERİN VE NOTLARIN TELİF HAKKI KİTABIN YAZARI VE BASIM EVİNE AİTTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ Ekoometri: Sözcük

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ Bu bölümdeki yötemler, bilimeye POPULASYON PARAMETRE değeri hakkıda; TAHMİN yapmaya yöelik ve, KARAR vermekle ilgili, olmak üzere iki grupta icelemektedir. Parametre

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

x 2$, X nın bir tahminidir. Bu durumda x ile X arasındaki farka bu örnek için örnekleme hatası x nın örnekleme hatasıdır. X = x - (örnekleme hatası)

x 2$, X nın bir tahminidir. Bu durumda x ile X arasındaki farka bu örnek için örnekleme hatası x nın örnekleme hatasıdır. X = x - (örnekleme hatası) 4 ÖRNEKLEME HATASI 4.1 Duyarlılık 4. Güveilirik 4.3 Örek hacmi ve uyarlılık arasıaki ilişki 4.4 Örek hacmi ve göreceli terimler ile uyarlılık arasıaki ilişki 4.5 Hata kareler ortalaması Örekte ele eile

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir.

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir. HİPOTEZ TETLERİ İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adladırılır. Ortaya atıla doğru veya yalış iddialara hipotez deir. Öreği para hilesizdir deildiğide bu bir hipotezdir. Ortaya atıla iddiaya

Detaylı

4/4/2013. Ders 8: Verilerin Düzenlenmesi ve Analizi. Betimsel İstatistik Merkezsel Eğilim Ölçüleri Dağılım Ölçüleri Grafiksel Gösterimler

4/4/2013. Ders 8: Verilerin Düzenlenmesi ve Analizi. Betimsel İstatistik Merkezsel Eğilim Ölçüleri Dağılım Ölçüleri Grafiksel Gösterimler Ders 8: Verileri Düzelemesi ve Aalizi Betimsel İstatistik Merkezsel Eğilim Ölçüleri Dağılım Ölçüleri Grafiksel Gösterimler Bir kitlei tamamıı, ya da kitlede alıa bir öreklemi özetlemekle (betimlemekle)

Detaylı

2013 BİRİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI MATEMATİK

2013 BİRİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI MATEMATİK 03 BİRİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI MATEMATİK A SORU : lim x 8x 9 (x 3) x ifadsii dğri aşağıdaki sçklrd hagisid vrilmiştir? 0 5 7 SORU : cosax x f x foksiyouu x=0 oktasıda sürkli olması içi f(0) ı dğri

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

EME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi. Özet İstatistikler ve Histogram (Minitab)(1) Örnek: Eczane İçin Servis Süreleri

EME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi. Özet İstatistikler ve Histogram (Minitab)(1) Örnek: Eczane İçin Servis Süreleri EME 3117 1 2 Girdi Analizi SİSTEM SIMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et. Veri toplamak için bir plan geliştir. Veri topla. Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap. Girdi Analizi-I

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK DENEME SINAVI ÇÖZÜMLERİ ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ DENEME SINAVI / çözümlei. DENEME. Veile öemelede yalız III kesi olaak doğudu. Bu edele doğu cevap seçeeği B di..

Detaylı

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK)

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK) MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK) Prof. Dr. Meti OLGUN Akara Üiversitesi Ziraat Fakültesi Tarımsal Yapılar ve Sulama Bölümü HAFTA KONU 1 Giriş, temel kavramlar, statiği temel ilkeleri 2-3 Düzlem kuvvetler

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ

ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 4, Sayı, 3 97 ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ Yalçı KARAGÖZ Cumhuriyet Üiversitesi

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION): YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ 1 TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyou sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve aakütledeki tüm elemalar dikkate alıarak hesaplaabilir. Aakütledeki tek bir elema dahi işlemi

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 26 Her hakkı saklıdır Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda,

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyou sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve aakütledeki tüm elemalar dikkate alıarak hesaplaabilir. Aakütledeki tek bir elema dahi işlemi

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

Veri nedir? p Veri nedir? p Veri kalitesi p Veri önişleme. n Geometrik bir bakış açısı. n Olasılıksal bir bakış açısı

Veri nedir? p Veri nedir? p Veri kalitesi p Veri önişleme. n Geometrik bir bakış açısı. n Olasılıksal bir bakış açısı Veri edir? p Veri edir? Geometrik bir bakış açısı p Bezerlik Olasılıksal bir bakış açısı p Yoğuluk p Veri kalitesi p Veri öişleme Birleştirme Öreklem Veri küçültme p Temel bileşe aalizi (Pricipal Compoet

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

NİĞDE İLİ RÜZGAR ENERJİSİ POTANSİYELİ WIND ENERGY POTENTIAL OF NIGDE PROVINCE

NİĞDE İLİ RÜZGAR ENERJİSİ POTANSİYELİ WIND ENERGY POTENTIAL OF NIGDE PROVINCE Niğde Üiersitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi, Cilt 1, Sayı, (1), 37-47 NİĞDE İLİ RÜZGAR ENERJİSİ POTANSİYELİ Uğur YILDIRIM 1,* Yauz GAZİBEY, Afşi GÜNGÖR 1 1 Makie Mühedisliği Bölümü, Mühedislik Fakültesi,

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

6 (saatte 6 müşteri aramaktadır), servis hızı ise. 0.6e

6 (saatte 6 müşteri aramaktadır), servis hızı ise. 0.6e İST KUYRUK TEORİSİ ARASIAV SORULARI ( MAYIS ). Bir baaı müşteri hizmetleride te işi hizmet vermetedir. Müşteriler ortalama daiada bir arama yapmatadır bua arşı ortalama servis süresi ise daia sürmetedir.

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı