P A M U K K A L E Ü N İ V E R İ T E İ M Ü H E N D İ L İ K F A K Ü L T E İ P A M U K K A L E U N I V E R I T Y E N G I N E E R I N G C O L L E G E M Ü H E N D İ L İ K B İ L İ M L E R İ D E R G İ İ J O U R N A L O F E N G I N E E R I N G C I E N C E YIL : 1995 CİLT : 1 AYI : 1 AYFA : 5-51 GEÇİŞLİ HAL II İLETİMİ PROBLEMİNİN ONLU ELEMANLAR METODU İLE ÇÖZÜMÜ üleman TAŞGETİREN, Muzaffe TOPCU Pamukkale Ünvestes, Müendslk Fakültes, Makne Müendslğ Bölümü, Denzl ÖZET Makna tasaımında sıcaklık dağılımının bellenmes, genellkle malzeme seçm, çalışma esnasında nomaln dışında sıcaklık etksne mauz kalan paçalaın tasaımı gb konulada b lk adım oluştuu. Bu sıada da çeve şatlaının bellenmes, kamaşık geometlen modellenmes ve en temel sabt özellkle olan zotop malzemeden e doğultuda faklı özellkle gösteen kompozt malzemee kada çok çeştl malzemelen dkkate alınması geekmekted. Bu noktada elemanlaın em ısıl em de mekank analznde benze öntemlen kullanılıo olması nedenle sonlu elemanla metodu büük b kullanım mkanı bulu. Bu çalışma lamel gaftl dökme demden apılmış dkdötgen kestl b çubuğun 6 oc le oda sıcaklığı aasında tekalı ısıtılması ve su le soğutulması sıasında mevcut b çatlakta medana gelen değşmenn ncelendğ b pojenn lk basamağını oluştumaktadı (Taşgeten, 1992). Isıl döngü sıasında çubuk kestnde medana gelen sıcaklık dağılımının elde edlmes ve düzgün olmaan bu sıcaklık dağılımının oluştuduğu gelmelen esaplanması pojenn en öneml k basamağını teşkl etmekted. Bu çalışmada genel geçşl al ısı letm poblemnn k boutlu sonlu eleman fomülasonu velmş, gelştlmş olan blgsaa pogamı kullanılaak konvekson sını şatı etksndek dkdötgen kestl çubuk çn önek çözümle apılmıştı. Anata Kelmele: Geçşl Hal Isı İletm, onlu Elemanla Metodu, Temomekank Analz. OLUTION OF TRANIENT HEAT CONDUCTION PROBLEM BY THE FINITE ELEMENT METHOD ABTRACT Detemnaton of tempeatue dstbuton s geneall te fst step n te desgn of macne elements subjected to ubnomal tempeatues n te sevce lfe and fo selecton of mateals. Dung ts eat tansfe analss, te bounda and envomental condtons must be modeled ealstcall and te geomet must be well epesented. A vaet of mateals devatng fom smple constant popet sotopc mateal to compost mateals avng dffeent popetes accodng to decton of enfocements ae to be analsed. Ten, te fnte element metod fnds a lage applcaton aea due to ts use of same notaton n eat tansfe analss and mecancal analss of elements. In ts stud, te geneal fomulaton of two dmensonal tansent eat conducton s developed and a sample soluton s gven fo aectangula ba subjected to convecton baunda condton. Ke Wods: Tansent Heat Conducton, Fnte Element Metod, Temomecancal Analss 1. GİRİŞ onlu elemanla metodu, gelme analz, sıcaklık ve ısı tansfe analz, akışkanla mekanğ, elektk ve magnetk alanla gb müendslğn e alanında kullanılmaktadı. Ele alınan bu poblemle genellkle skale ve vektöel alan poblemle olaak k şeklde sınıflandıılı (Huebne, 1982 ve Candupatla, 1991). Bu çalışmada b skale alan poblem olan geçşl al ısı letm poblem ele alınacaktı. kale alan poblemlenn en çapıcı özellğ, müendslğn ve fzğn emen emen e dalında bulunablmesd. Bunla genellkle Helmoltz denklem olaak adlandıılan 5
Geçşl Hal Isı İletm Poblem,. Taşgeten, M. Topçu x k x k x z k z Q z (1) Radason 1 + 2 + 3 + Tanýmlý Isý Akýþý 2 aanan alan değşkend. Temal olaak zotopk otamda, k boutlu ısı akışını fade eden Foue kanunu : q k T x q k T x, (2) d. Buada T= T(x,,t) olaak otamdak sıcaklık alanı, qx ve q; x ve doğultulaındak ısı akışı, k; ısı letm T, x T katsaısı, ve ; de x ve doğultusundak sıcaklık değşmled. Medana gelen ısı akışı;qx ve ve Foue asası da ugulanısa, q q x qz Q c T x z t (3) sıasıla oğunluk ve özgül ısıı t se zamanı göstemekted. Bu ısı letm denklem olup b başlangıç ve çeştl sını şatlaına göe çözülü. T x,, T x, Başlangıç şatı, k boutlu al çn şeklnde olup, başlangıç alndek sıcaklık dağılımı olaak ele alını. Şekl 1 de göstelen csm çn sını şatlaı se, sıasıla sabt ada zamana ve koodnata göe tanımlanmış sıcaklık, sabt ada zamanla ve konumla değşen ısı akışı, taşınımla ısı akışı ve ışınımla ısı akışı şeklnded. Bu şatla aşağıdak şeklde fomüle edl. üzende T T x,, t 1 s 1 üzende q q n q n 2 üzende T T q n q n 3 üzende T q q n q n s x x s e x x s x x () Buada T1 üze sıcaklığı, nx, n üzen doğultu kosnüsle, qs bm alandan tanımlı ısı akışı, konveksonla ısı tansfe katsaısı, Te çeve sıcaklığı, -Boltzman apılan adasonla ısı taansfen göstemekted. 1 Tanýmlý ýcaklýk 3 x Konvekson Şekl 1. İk boutlu genel ısı letm çn çözüm bölges. 2. ONLU ELEMAN FORMÜLAYONU Şekl 1'de velen düğüm bulunan M adet elemana bölünü. B eleman çndek sıcaklık ve sıcaklık gadent aşağıdak gb göstel (Huebne, 1982 ve Candupatla, 1991). T x,, t N x, T t 1 T x x t N,, x x, T t 1 T x t N,, x, T t 1 Mats notasonu kullanıldığında se,,, (, ) ) T x t N x T(t T x x,, t T B( x, ) T(t) x,, t (5) (6) (7) olu. Buada [N] sıcaklık ntepolason mats, [B] se sıcaklık değşm ntepolason mats olaak adlandıılı. T e düğümün sıcaklığı {T(t)} de eleman düğüm sıcaklıklaı vektöüdü. Buada enej denklem olan (3) numaalı denkleme mnumum potansel enej lkes ugulanı, q q x Q c T Nd x t ve q q x x N d (8) (9) Müendslk Blmle Degs, 1995 1 (1) 5-51 6 Jounal of Engneeng cences 1995 1 (1) 5-51
Geçşl Hal Isı İletm Poblem,. Taşgeten, M. Topçu kısmı ntege edl ve fade enden azılısa, c T t N d N N q x q d Q. N. d q n. N. d x 1, 2, 3,... 1) olu. Yüze bölges e bölgede etkl olan sını şatlaının toplamı olaak fade edlebleceğ çn, son tem e b sını şatı çn aı ntege edlse, q n. N. d q. N. d s 1 2 e T T. N. d T q N. d 3 1, 2, 3,... (11) elde edl. onuçta genel denklem ve eleman denklemle aşağıdak gb bulunu. R. q. N. d şeklnded. Velen e b fade sıasıla şu şeklde tanımlanı. [C] eleman kapastans mats, [Kc], [K] ve [K] matsle eleman letm matsle olup sıasıla letm, taşınınm ve ışınım şatlaını fade etmekted. Taşınım ve ışınım matsle alnızca üze lgl sını şatına mauz elemanla çn esaplanı. {RT}, {RQ}, {Rq}, {R} ve {R} tanımlı düğüm sıcaklığı, ç ısı kanağı, tanımlı üze ısıt akışı, üze taşınımı ve ışınımdan kanaklanan ısıl ük vektöled. Elde edlen bu genel fade ele alınan poblemn duumuna göe çeştl şekllede düzenlenebl. Bunladan en çok kaşılaşılan döt önek aşağıda velmşt. 1- Lnee kaalı al ısı letm Kc K. T RQ Rq R (13) Kc K K T C T t Buada R R R R R C. c. N. N. d T K k B. B. d c K. N. N. d 3 t Q q (12) 2- Lnee geçşl al ısı letm C dt dt Kc K t. T t R Q Rq R 3- Nonlnee kaalı al K T K T K T. T c R T Rq T R T R T - Nonlnee geçşl al Q dt C T Kc T K T, t K T. T t dt R T, t Rq T, t R T, t R T, t Q (1) (15) (16) K. T. T. N. d RT q n. N. d RQ Q N. d Rq 1 q. N. d 2 R T. N. d 3 Elde edlen bu genel denklemle çözülecek pobleme göe enden düzenleneek çözüme geçl. 2.1. Genel Denklemn Çözümü Ele aldığımız taşınım sını şatına mauz k boutlu geçşl al poblem çn genel denklem dt Kc K ( t) T t R ( t) dt C (17) şeklnde elde edl. Yüze flm katsaısı üze sıcaklığına büük b bağlılık göstedğnden lgl mats ve vektöün üze sıcaklığına bağlı olaak esaplanması geekmekted (Şekl 2.). Bu aada sıcaklığa bağlı olaak Müendslk Blmle Degs, 1995 1 (1) 5-51 7 Jounal of Engneeng cences 1995 1 (1) 5-51
Geçşl Hal Isı İletm Poblem,. Taşgeten, M. Topçu değşen oğunluk, özgül ısı ve ısı letm katsaısı gb malzeme özellklenn de dkkate alınması ve lgl matslen bu değşen özellklee göe değşken olaak ele alınması geekld. Tüev sonlu fakla aklaşımı le, değşmlende enden esaplanması oluna gdlmes olabl. Isý taþýným katsaýsý (kw/m 2o C) 5 T T K K T t R t n1 n C c (18) şeklnde fade edldkten sona bazı aalamala apılaak, 1 C T t R K K T C T n c n n (19) elde edl. Bu denklemn çözümünde dkkat edlmes bellenmesd. Bell b değen üzendek aalıklada büük genlkl salınımlı değele elde edlken çok küçük alınması duumunda da çözüm zamanı çok uzamaktadı. Yapılan çalı t k 2 m büük özdeğe olmak üzee değenn alınablecek en büük değe olduğu elde edlmşt (Huebne, 1982). 2.2. Blgsaa Pogamı FORTRAN dlnde azılanan blgsaa pogamının akış şeması Ek-1'de velmşt. Çözüm bölgesnn elemanlaa aılması otomatk olaak azılanan pogamla apılmaktadı. Poblemn geometk olaak b şeklde tanımlanması em blgsaa zamanının kısaltılması em de sıcaklık dağılımının düzgün b şeklde esaplanablmes açısından önemld. Bu nedenle sıcaklık değşmnn ızlı olduğu üze bölgelenn daa küçük elemanlaa aılması fadalı olu. ıcaklıkla değşen malzeme özellkle bell sıcaklıkla çn glmekte aa değele lnee ntepolasonla pogam taafından esaplanmaktadı. Elemanla çn esaplanan matsle tüm sstem temsl edecek şeklde bleştlmekte ve daa sona çözüm denklem oluştuulmaktadı. Malzeme özellkle ve sını şatlaında zaman ve sıcaklığa bağlı olaak büük b değşklk olmaması duumunda, şlem baştan sona aklaşık olaak temsl edecek otalama değele alınaak aklaşık b çözümleme oluna gdlebl. Bu duumda eleman ve sstem matslenn değşen e değe çn esaplanmasına geek kalmadığından şlem sües büük oanda kısalmaktadı. Ele alınablecek ota b ol olaak ta matslen otalama sıcaklığın bell 3 2 1 Yüze ýcaklýðý ( o C) 1 2 3 5 6 7 (a) 9 8 7 6 5 2 o Isý taþýným katsaýsý (W/m C) Hava Hýzý (m/s) 1 5 1 3 Yüze ýcaklýðý o ( C) 1 2 3 5 6 7 (b) Şekl. 2. Yüze flm katsaısının üze sıcaklığıla değşm a) üzene 5 m3/saat debl ve.5 MPa basınçlı su püskütülen çubuk çn, b) adde medanesnden çıkan çubuklaın soğutma alanına gdeken üzelene üflenen ava çn [*]. 3. ÖRNEK ÇÖZÜM Hazılanan blgsaa pogamı le başlangıçta oc düzgün sıcaklık dağılımına sap dkdötgen kestl b çubuğun üzeden su püskütüleek soğutulması sıasında zamana bağlı olaak değşen sıcaklık dağılımının esabı apılmıştı. Kest smetk b apıda olduğundan üzeden taşınım sını şatı eksenle üzende se tanımlı ısı letm sını şatı öneklenmş olmaktadı. Poblemn sonlu eleman model Şekl 3'te Müendslk Blmle Degs, 1995 1 (1) 5-51 8 Jounal of Engneeng cences 1995 1 (1) 5-51
Geçşl Hal Isı İletm Poblem,. Taşgeten, M. Topçu velmşt. Elde edlen çözümle gafkle alnde göstelmşt. q=(ts-te) 5 q= q=(ts-te) 3 2 o x q= Boutla=1x6 mm Eleman aýsý=6 Düðüm aýsý=273 Şekl 3. Poblemn sonlu eleman model 1-2 - -3-2 -1 5 t=.1 sn 3 15 + 5-3 x 5- -3 3-15 - 5 3 2 1-3 -2-1 1 2 log (zaman) Şekl. Kest üzendek çeştl noktalada zamanla sıcaklık değşm -2 - -3-2 -1 t=.1 sn 5 5 3 2 3 1-2 - -3-2 -1 2 1-2 - -3-2 -1 t=.5 sn t=,2 sn Müendslk Blmle Degs, 1995 1 (1) 5-51 9 Jounal of Engneeng cences 1995 1 (1) 5-51
Geçşl Hal Isı İletm Poblem,. Taşgeten, M. Topçu 5 5 3 3 2 2 1 1-2 - -3-2 -1-2 - -3-2 -1 t=.5 sn t= 1 sn 5 5 3 3 2 1 t= 1 sn -2 - -3 t=2 sn -2-1 2 1 t= 2 sn -2 - -3-2 -1 5 5 3 3 2 1 2 1 t=2 sn -2 - -3-2 -1 t= 5 sn -2 - -3 Şekl 5. Dkdötgen pzması çubuğun 1/ lük kısmında sıcaklık dağılımının zamanla değşm. -2-1 Müendslk Blmle Degs, 1995 1 (1) 5-51 5 Jounal of Engneeng cences 1995 1 (1) 5-51
Geçşl Hal Isı İletm Poblem,. Taşgeten, M. Topçu. KAYNAKLAR Candupatla, T. R., Belegundu, A. D. 1991. Intoducton to Fnte Elements n Engneeng, Pentce Hall, UA Holman, J.P. 1976. Heat Tansfe, Mcgaw-Hll Kogakusa Ltd., ngapoe Huebne, K. H., Tonton, E. A. 1982. Te Fnte Element Metod fo Engnees, Jon Wle and ons, UA Taşgeten,. 1992. A tud on te Vaaton of tess Intenst Facto due to Temal tesses n Lamella Gapte Cast Ion, M. c. Tess, DEÜ, Fen Blmle Ensttüsü, İzm. * Te Tempcoe Pocess, Pocess Tecnolog and Opeatng Insuctons. BAÞLA Geomet ve malzeme le lgl blglen glmes ýcaklýða ve sýný þatlaýna baðlý olaak eleman matslenn esaplanmasý [C], [K], {R} vektö ve matslenn sstem çn oluþtuulmasý Çözüm Denklemnn Oluþtuulmasý C T t R K K T C T n 1 c n n Zaman Aalýðýnýn Bellenmes C. c. N. N. d T K k B. B. d K. N. N. d R c T. N. d Düðüm ýcaklýklaýnýn Hesabý ON EK-1. Blgsaa Pogamı Akış Şeması Müendslk Blmle Degs, 1995 1 (1) 5-51 51 Jounal of Engneeng cences 1995 1 (1) 5-51