T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLİŞKİLİ VERİ ANALİZİNDE LİNEER KARMA MODELLERİN YAPILANDIRILMASI

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİERİ ENSTİTÜSÜ İLİŞKİLİ VERİ ANALİZİNDE LİNEER KARMA MODELLERİN YAPILANDIRILMASI Neslhan İYİT DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Konya 008

2 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİERİ ENSTİTÜSÜ İLİŞKİLİ VERİ ANALİZİNDE LİNEER KARMA MODELLERİN YAPILANDIRILMASI Neslhan İYİT DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI B tez 6/ / 008 tahnde aşağıdak jü taafından oyblğ/oyçoklğ le kabl edlmşt Doç.D. Aşı GENÇ Pof.D. Hamza EROL Pof.D. Sadllah SAKALLIOĞLU (Danışman (Üye (Üye Yd.Doç.D. M.Feda KAYA Doç.D. Galp OTURANÇ (Üye (Üye

3 ÖZET Doktoa Tez İLİŞKİLİ VERİ ANALİZİNDE LİNEER KARMA MODELLERİN YAPILANDIRILMASI Neslhan İYİT Selçk Ünvestes Fen Blmle Ensttüsü Matematk Anablm Dalı Danışman: Doç.D. Aşı GENÇ 008, 6 Sayfa Jü: Pof.D. Sadllah SAKALLIOĞLU Pof.D. Hamza EROL Doç.D. Aşı GENÇ Doç.D. Galp OTURANÇ Yd.Doç.D. M.Feda KAYA B çalışmada tekalı ölçümle çn lnee kama modellede (lnea mxed models (LMM bağımlı değşkenn vayans-kovayans mats yapısının; vayans bleşenle (vaance components (VC, bleşk smet (compond symmety (CS, Toepltz (Toepltz (TOEP ve bnc deeceden otoegesf (fst-ode atoegessve [AR(] homojen vayans-kovayans modelle le yapılandıılmamış (nstcted (UN, köşegen (banded man dagonal [UN(], heteojen bleşk smet (heteogeneos compond symmety (CSH, heteojen Toepltz (heteogeneos Toepltz (TOEPH, heteojen bnc deeceden otoegesf (heteogeneos fst-ode atoegessve [ARH(], Hynh-Feldt (Hynh-Feldt (HF, bnc deeceden ant-bağımlı (fst-ode ante-dependence [ANTE(], bnc deeceden faktö analtk (fst-ode facto analytc [FA(] ve yapılandıılmamış koelasyonl (nstcted coelatons (UNR heteojen vayans-kovayans modelle

4 kllanılaak yapılandıılmasının bağımlı değşkenn otalama vektö yapısına lşkn paamete tahmnle, hpotez testle ve güven aalıklaı üzene etkle nceleneek geekl statstksel sonç çıkaımlaı yapılmıştı. B tez çalışması altı bölümden olşmaktadı. Bnc bölüm tez çalışmasına gş teşkl etmekte ve öncek çalışmalaı çemekted. İknc bölümde tez çalışmasının altyapısı çn geekl göülen temel tanım ve kavamla velmşt. Üçüncü bölümde lnee kama modellede (LMM otalama vektö yapısı le vayans-kovayans mats yapısının modellenmes amacıyla sabt-etkle ve vayans bleşenle çn paamete tahmn poblem le asgele-etklen tahmn poblem ele alınmış, geekl statstksel sonç çıkaımlaının yapılablmes amacıyla hpotez testle ve güven aalıklaı olştlmşt. Dödüncü bölümde tekalı ölçümle çn lnee kama modellede (LMM vayans-kovayans mats yapısının modellenmes amacıyla kllanılan homojen ve heteojen vayans-kovayans modelle ele alınmıştı. Olabllk oan test (lkelhood ato test (LRT ve blg ktele (nfomaton ctea (IC yadımıyla ygn vayanskovayans modelnn seçm velmşt. Çalışmanın özgün kısmı olan beşnc bölümde lk aşamada tekalı ölçüm vele üzene yapılandıılan genel lnee model (geneal lnea model (GLM le lnee kama modeln (LMM özel dmlaı olan asgele kesen teml model (andom ntecept model (RIM, asgele kesen tem ve eğml model (andom ntecept and slope model (RISM kaşılaştıılmıştı. İknc aşamada se asgele kesen tem ve eğml modelde (RISM ye alan bağımlı değşkenn vayans-kovayans mats yapısının homojen ve heteojen vayans-kovayans modelle aacılığıyla modellenmesnn bağımlı değşkenn otalama vektö yapısı üzendek etkle ncelenmş ve geekl statstksel sonç çıkaımlaı yapılmıştı. Çalışmanın son bölümü olan altıncı bölümde se tez çalışmasından elde edlen sonçla ve gelecektek çalışmala çn önele ye almıştı. Anahta Kelmele: Sabt-etk, asgele-etk, vayans bleşen, tekalı ölçüm, lnee kama model, asgele kesen teml model, asgele kesen tem ve eğml model, genelleştlmş en küçük kaele yöntem, (kısıtlandıılmış en çok olabllk yöntem, Newton-Raphson yöntem, Fshe Scong yöntem, EM algotması, Hendeson kama model denklemle, homojen vayans-kovayans model, heteojen vayans-kovayans model, blg kte.

5 ABSTRACT Ph.D. Thess CONSTITUTION OF LINEAR MIXED MODELS IN THE ANALYSIS OF CORRELATED DATA Neslhan İYİT Selck Unvesty Gadate School of Natal and Appled Scences Depatment of Mathematcs Spevso: Assoc.Pof.D. Aşı GENÇ 008, 6 Page Jy: Pof.D. Sadllah SAKALLIOĞLU Pof.D. Hamza EROL Assoc.Pof.D. Aşı GENÇ Assoc.Pof.D. Galp OTURANÇ Asss.Pof.D. M.Feda KAYA In ths stdy, fo epeated meases n lnea mxed models (LMM, the effects of consttton of the vaance-covaance matx stcte of the dependent vaable by sng; vaance components (VC, compond symmety (CS, Toepltz (TOEP and fst-ode atoegessve [AR(] homogeneos vaance-covaance models and also nstcted (UN, banded man dagonal [UN(], heteogeneos compond symmety (CSH, heteogeneos Toepltz (TOEPH, heteogeneos fst-ode atoegessve [ARH(], Hynh-Feldt (HF, fst-ode ante-dependence [ANTE(], fst-ode facto analytc [FA(] and nstcted coelatons (UNR heteogeneos vaance-covaance models

6 v on the paamete estmates, hypothess tests and confdence ntevals elated to the mean vecto stcte of the dependent vaable ae nvestgated and necessay statstcal nfeences ae made. Ths thess stdy conssts of sx chaptes. The fst chapte ncldes ntodcton and pevos stdes. In the second chapte, necessay fndamental concepts ae gven abot the backgond of the thess stdy. In the thd chapte, fo the am of modelng the mean vecto stcte and the vaance-covaance matx stcte n lnea mxed models (LMM, paamete estmaton poblem fo fxed-effects and vaance components and also andom-effects pedcton poblem ae consdeed. Also n ths chapte, fo the am of makng necessay statstcal nfeences, hypothess tests and confdence ntevals ae consttted. In the foth chapte, homogeneos and heteogeneos vaance-covaance models fo the am of modelng vaance-covaance matx stcte n lnea mxed models (LMM fo epeated meases ae consdeed. And also selecton of appopate vaance-covaance model by sng lkelhood ato test (LRT and nfomaton ctea (IC s gven. In the ffth chapte, whch s the ognal pat of ths stdy, n the fst stage geneal lnea model (GLM and andom ntecept model (RIM, andom ntecept and slope model (RISM as a specal case of lnea mxed models (LMM fo epeated meases ae compaed. In the second stage, the effects of modelng vaance-covaance matx stcte of the dependent vaable by sng homogeneos and heteogeneos vaance-covaance models on the mean vecto stcte of the dependent vaable n andom ntecept and slope model (RISM ae nvestgated and necessay statstcal nfeences ae made. In the sxth chapte, whch s the last pat of ths stdy, conclsons fo ths stdy and sggestons fo the fte stdes ae gven. Key Wods: Fxed-effect, andom-effect, vaance component, epeated mease, lnea mxed model, andom ntecept model, andom ntecept and slope model, genealzed least sqaes method, (estcted maxmm lkelhood method, Newton-Raphson method, Fshe Scong method, EM algothm, Hendeson mxed model eqatons, homogeneos vaance-covaance model, heteogeneos vaance-covaance model, nfomaton ctea.

7 v TEŞEKKÜR B çalışmanın konsnn seçmnde ve geçekleşmesnde bana yön veen, yapıcı telkn ve tenktle le seveek çalışmamı sağlayan çok değel hocam Sayın Doç.D. Aşı GENÇ e, b tez çalışmasının he aşamasında olml önele ve katkılaı le ben yönlendp blmsel ve manev desteğn esgemeyen Sayın Pof.D. Hamza EROL hocama ve değel jü üyelene, tüm mesa akadaşlaıma ve hayatımın he aşamasında yaptığı fedakalıklala yanımda olan tek valığım sevgl annem Sevm FİLİZER e en çten dyglaımla teşekkü edem.

8 v İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR...v İÇİNDEKİLER...v ŞEKİLLER DİZİNİ...x ÇİZELGELER DİZİNİ...x KISALTMALAR...x. GİRİŞ ve ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR..... Gş..... Öncek Çalışmala. 6. TEMEL TANIM ve KAVRAAR Faktö ve Düzey Kavamı. 0.. Faktölen Etkleşm ve Otak Değşken Kavamı Sabt-Etk, Rasgele-Etk ve Vayans Bleşen Kavamı Kama Model Kavamı...5. Gözlem Değe, Deney Bm ve Bloklama Kavamı...6. Tekalı Ölçüm ve Denek Kavamı Denek-İç Etk ve Denekle-Aası Etk Kavamı...8. Lnee ve Kaesel Fomlaın Tüevle Poztf ve Negatf Tanımlı Mats Gass-Makov Teoem..... Rao-Came Eştszlğ B Matsn Tesnn Tüev B Matsn Genelleştlmş İnvesnn Tüev B Matsn Detemnantının Tüev Fshe İnfomasyon Mats Kaesel Fomlaın Beklenen Değe Tahmn Edclenn Asmptotk Dağılımlaı İdempotent (Eşgüçlü Mats Gadyent Vektöü ve Hessan Mats Newton-Raphson (NR Yöntem Fshe Scong (FS Yöntem.. 8

9 v.. EM Algotması Paçalanmış Matsn Detemnantı X X Paçalanmış Matsnn Genelleştlmş İnves Neyman-Fshe Faktozasyon...6. k-paametel Üstel Ale...7. Çok Değşkenl Koşll Nomal Dağılım Sch Tümleyenle Yöntem Koşll Beklenen Değe LİNEER KARMA MODELLER Lnee Kama Modellede Paamete Tahmn Poblem En küçük kaele (OLS yöntem Genelleştlmş en küçük kaele ( yöntem En y lnee yansız tahmn edc (BLUE En çok olabllk ( yöntem tahmn edclenn asmptotk vayans-kovayans matsle tahmn edclenn asmptotk dağılımlaı Kısıtlandıılmış en çok olabllk (RE yöntem RE tahmn edclenn asmptotk vayans-kovayans matsle RE tahmn edclenn asmptotk dağılımlaı ve RE tahmnlenn teatf yöntemle yadımıyla hesaplanması ve RE tahmnlenn Newton-Raphson (NR teatf yöntem yadımıyla hesaplanması ve RE tahmnlenn Fshe Scong (FS teatf yöntem yadımıyla hesaplanması ve RE tahmnlenn EM algotması yadımıyla hesaplanması v. ve RE tahmnlenn teatf yöntemle yadımıyla hesaplanmasında başlangıç değenn bellenmes ve ddma kalı Lnee Kama Modellede Rasgele Etklen Tahmn Poblem Hendeson kama model denklemlenn (HMM elde edlmes Hendeson kama model denklemlenden (HMM en y lnee yansız tahmn edclen (BLUE ve BLUP elde edlmes Hendeson kama model denklemlenden (HMM elde edlen en y lnee yansız tahmn edclen (BLUE ve BLUP vayans-kovayans matsle Lnee Kama Modellede Hpotez Testle ve Güven Aalıklaı... 90

10 v 4. TEKRARLI ÖLÇÜER İÇİN LİNEER KARMA MODELLERDE VARYANS-KOVARYANS MATRİS YAPISININ MODELLENMESİ Tekalı Ölçüm Vele İçn Lnee Kama Modellede Model Yapılandıma Süec Tekalı Ölçümle İçn Vayans-Kovayans Modelle Tekalı ölçümle çn homojen vayans-kovayans modelle Vayans bleşenle (VC vayans-kovayans model Bleşk smet (CS vayans-kovayans model Toepltz (TOEP vayans-kovayans model v. Bnc deeceden otoegesf [AR(] vayans-kovayans 0 model Tekalı ölçümle çn heteojen vayans-kovayans modelle Yapılandıılmamış (UN vayans-kovayans model Köşegen [UN(] vayans-kovayans model Heteojen bleşk smet (CSH vayans-kovayans model v. Heteojen Toepltz (TOEPH vayans-kovayans model v. Heteojen bnc deeceden otoegesf [ARH(] vayanskovayans model v. Hynh-Feldt (HF vayans-kovayans model v. Bnc deeceden ant-bağımlı [ANTE(] vayans-kovayans model v. Bnc deeceden faktö analtk [FA(] vayans-kovayans model x. Yapılandıılmamış koelasyonl (UNR vayans-kovayans model Tekalı Ölçümle İçn Lnee Kama Modellede Uygn Vayans-Kovayans Modelnn Seçm UYGULAMA Kanda Toplam Kolesteol Düzeylene İlşkn Tekalı Ölçüm Velene Genel Lnee Model (GLM Yaklaşımının Uyglanması Kanda Toplam Kolesteol Düzeylene İlşkn Tekalı Ölçüm Velene Lnee Kama Model (LMM Yaklaşımının Uyglanması Kanda toplam kolesteol düzeylene lşkn tekalı ölçüm vele üzene asgele kesen teml modeln (RIM yapılandıılması Kanda toplam kolesteol düzeylene lşkn tekalı ölçüm vele üzene asgele kesen tem ve eğml modeln (RISM yapılandıılması 8 6. SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR... 58

11 x ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl.. Lnee modellen gelşm şeması. Şekl 4.. Şekl 5.. Şekl 5.. Lnee kama modellede otalama vektö yapısı le vayanskovayans mats yapısı aasındak lşk ve b yapılaın model üzenden yapılacak statstksel sonç çıkaımlaına etkle Rasgele kesen teml model (RIM yapısında ye alan bağımlı değşkenn zamana bağlı olaak mamele gplaı ve deneklee-özgü değşm. Rasgele kesen tem ve eğml model (RISM yapısında ye alan bağımlı değşkenn zamana bağlı olaak mamele gplaı ve deneklee-özgü değşm... 30

12 x ÇİZELGELER DİZİNİ Çzelge 4.. Tekalı ölçümle çn vayans-kovayans modelle Çzelge 4.. Lnee kama modellede ygn vayans-kovayans modelnn belleneblmes amacıyla öne süülen modelle kaşılaştımada 0 kllanılan blg ktele. Çzelge 5.. Nomal kan kolesteol düzeyle... Çzelge 5.. Çzelge 5.3. Çzelge 5.4. Çzelge 5.5. Çzelge 5.6. Çzelge 5.7. Çzelge 5.8. Çzelge 5.9. Çzelge 5.0. Çzelge 5.. Kanda toplam kolesteol düzeylene lşkn denek başına 4 tekalı 4 ölçümün alındığı önek ve düzen Kanda toplam kolesteol düzeylene lşkn tekalı ölçüm vele çn nomallk vasayımının sınanmasında kllanılan tek öneklem 6 Kolmogoov-Smnov test sonçlaı Kanda toplam kolesteol düzeylene lşkn tekalı ölçüm vele çn vayanslaın homojenlğ vasayımının sınanmasında kllanılan 7 Levene test sonçlaı... Mamele gplaına göe kanda toplam kolesteol düzeylene lşkn tekalı ölçüm çftle aasındak gp-ç koelasyon 0 matsle. Toplam kolesteol düzeylene lşkn tekalı ölçüm vele çn ele 40 alınan model yapılaına alınması düşünülen sabt-etklen test.. Toplam kolesteol düzeylene lşkn tekalı ölçüm vele çn ele alınan model yapılaında ye alan sabt-etklee lşkn paamete 43 tahmnle... Toplam kolesteol düzeylene lşkn tekalı ölçüm vele çn ele alınan RIM ve RISM model yapılaında ye alan asgele-etklen 46 tahmnle... Toplam kolesteol düzeylene lşkn tekalı ölçüm vele çn ele alınan model yapılaında ye alan asgele-etklee lşkn kovayans 48 paamete tahmnle.. Toplam kolesteol düzeylene lşkn denek başına 4 tekalı ölçümün alındığı ve yapısındak heteojenlğn modellenmesnde ele alınan 50 vayans-kovayans matslenn tahmnle... Toplam kolesteol düzeylene lşkn tekalı ölçüm vele çn ele alınan model yapılaının kaşılaştıılmasında kllanılan ym-ylğölçütle... 55

13 x KISALTMALAR GLM: Genel Lnee Model LMM: Lnee Kama Model RIM: Rasgele Kesen Teml Model RISM: Rasgele Kesen Tem ve Eğml Model : Genelleştlmş En Küçük Kaele Yöntem BLUE: En İy Lnee Yansız Tahmn Edc (Sabt-Etkle İçn BLUP: En İy Lnee Yansız Tahmn Edc (Rasgele-Etkle İçn : En Çok Olabllk Yöntem RE: Kısıtlandıılmış En Çok Olabllk Yöntem NR: Newton-Raphson Yöntem FS: Fshe Scong Yöntem EM: Expectaton-Maxmzaton Algotması HMM: Hendeson Kama Model Denklemle SW: Sattethwate Yöntem VC: Vayans Bleşenle Vayans-Kovayans Model CS: Bleşk Smet Vayans-Kovayans Model TOEP: Toepltz Vayans-Kovayans Model AR(: Bnc Deeceden Otoegesf Vayans-Kovayans Model UN: Yapılandıılmamış Vayans-Kovayans Model UN(: Köşegen Vayans-Kovayans Model CSH: Heteojen Bleşk Smet Vayans-Kovayans Model TOEPH: Heteojen Toepltz Vayans-Kovayans Model ARH(: Heteojen Bnc Deeceden Otoegesf Vayans-Kovayans Model HF: Hynh-Feldt Vayans-Kovayans Model ANTE(: Bnc Deeceden Ant-Bağımlı Vayans-Kovayans Model FA(: Bnc Deeceden Faktö Analtk Vayans-Kovayans Model UNR: Yapılandıılmamış Koelasyonl Vayans-Kovayans Model LRT: Olabllk Oan Test AIC: Akake Blg Kte BIC: Schwaz Bayesan Blg Kte AICC: Hvch ve Tsa Blg Kte HQIC: Hannan ve Qnn Blg Kte CAIC: Bozdogan Blg Kte

14 . GİRİŞ ve ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR.. Gş Kama model tanımı lk olaak Esenhat (947 taafından velmşt. Esenhat (947 yapmış oldğ çalışmasında sabt ve asgele etkl modelle sıasıyla Model I ve Model II olaak sınıflandııken, hem sabt hem de asgele etkle çeen kama etkl modelle Model III olaak tanımlamıştı. Kama modellele lgl yapılan lk çalışmala se 0.yüzyılın otalaında genetk alanında yapılmıştı. Hendeson (950, 969, 973, 977, 984 hayvan ıslahı ve genetk çalışmalaında yetştlecek b sonak hayvan ıklaının en veml dölle veecek şeklde üetleblmes amacıyla, kama modelle yadımıyla genetk değelenn tahmnle en yüksek olaak elde edlen ebeveynlen seçm üzene blmsel çalışmala yapmışladı. Böylece kama modellen gelşm; hem genetk hem de lnee model teolenn gelşmne öneml katkıla sağlamıştı (Rao ve Pod 997. Kama modellen gelşm le paalellk gösteen lnee modellen gelşmnn daha y anlaşılablmes amacıyla Şekl. de lnee modellen gelşm şeması velmşt. Süekl ve lşksz ve (Genel Lnee Model Süekl olmayan ve lşksz ve (Genelleştlmş Lnee Modelle Süekl ve lşkl ve (Lnee Kama Modelle Süekl olmayan ve lşkl ve (Genelleştlmş Lnee Kama Modelle Şekl.. Lnee modellen gelşm şeması (Rao ve Pod 997

15 Şekl. de ye alan lnee kama modelle (LMM çn model denklem; Y = Χβ + Z + ε (. fomnda olp, Y ; N boytl bağımlı değşken vektöünü, X; N ( p+ boytl sabt-etklee lşkn tasaım matsn, β; ( p+ boytl sabt-etklee lşkn paamete vektöünü, Z; N boytl asgele-etklee lşkn tasaım matsn, ; boytl asgele-etk temle vektöünü ve ε ; N boytl asgele hata vektöünü temsl etmekted (Seale 997. Eştlk (. le velen lnee kama model (LMM denklemnde ye alan ve ε asgele vektöle üzene klan temel vasayımla aşağıdak gb sıalanabl (Seale ve ak. 99; 0 ov E ve C E olmak üzee = = = D ~ ( 0, D = = = = E ε 0 ve C ov ε E εε N olmak üzee ε ε N (. R I ~ ( 0,R ( ε ( ε N (.3 C ov, = C ov, = 0 (.4 Badan Y ; N boytl bağımlı değşken vektöünün otalama vektöü ve ε üzene Eştlk (. ve Eştlk (.3 le velen vasayımladan yaalanaak, E ( Y =Xβ (.5 vayans-kovayans mats se Eştlk (.4 le velen vasayımdan yaalanaak, fomnda elde edl. denklem; V= C ov( Y = ZDZ + R (.6 Dkkat edlse Şekl. de ye alan genel lnee model (GLM çn model Y = Χ β + ε (.7 Eştlk (. le velen lnee kama model (LMM denklemnn C ov( ε = I ve Z = 0 olmak üzee özel b hald. Lnee modelle teosnde ye alan b modelle bbnden faklı kılan en öneml özellk se aaştımacının model kma amacının faklılığında yatmaktadı. Genel lnee modeln (GLM amacı; Eştlk (.5 le velen Y ; bağımlı değşken ε N

16 3 vektöünün otalama vektö yapısını β ; sabt-etklee lşkn paamete vektöünü kllanaak modellemek ken, lnee kama modeln (LMM amacı; bağımlı değşkende meydana gelen değşmn kaynağı ; asgele-etk temle vektöüne bağlı oldğndan, Eştlk (.6 le velen Y ; bağımlı değşken vektöünün vayanskovayans mats yapısını ; asgele-etk temle vektöüne bağlı olaak modelleyeblmekt (Kaps ve Lambeson 005. Deney bmlenden elde edlen vele çoğnlkla kümelendlmş halde oldğndan lşkl ve dm otaya çıkmaktadı. B dm aynı kümede gplandıılan bmle aasında koelasyon, faklı kümelede gplandıılan bmle aasında se değşen vayanslılığın gözlemlenmesne yol açmaktadı. Özellkle de aynı deney bm üzenden tekalı ölçümlen alındığı çalışmalada vele bb le lşkl olp, deney bmle aasında değşen vayanslılık gözlemlenmekted. B şeklde tekalı ölçümlen alındığı longtdnal (znlğna, süel vele üzene dayandıılan çalışmalada ve yapısının lşkl olma dmnn da göz adı edlmeden modele katılması geekmekted. B noktada ve yapısında ye alan tekalı ölçümlen bbyle lşksz ve homojen vayansa sahp oldğ vasayımı üzene dayanan genel lnee model (GLM yapısı tekalı ölçümlen modellenmes çn oldkça kllanışsız gözükmekted. B yüzden tekalı ölçüm velenn statstksel analznde aynı deney bm üzenden alınan tekalı ölçümlen sahp oldğ lşkl ve yapısı üzene hçb kısıtlayıcı vasayım koymadan, vayans-kovayans mats yapısının esnek olaak modellenmesne mkan tanıyan lnee kama model (LMM yaklaşımının kllanılması önelmekted (İyt ve ak. 006, Wolfnge ve Chang 999. Y ;. denek üzenden alınan tüm tekalı ölçümlen olştdğ boytl bağımlı değşken vektöünü temsl etmek üzee; (,,, n n Y = Y Y K Y (.8 n ; he b denek başına eşt olmayan sayıda alınan tekalı ölçüm sayısını ve N; toplam denek sayısını göstemek üzee Lad ve Wae (98 taafından tekalı ölçüm vele çn lnee kama model (LMM denklem;

17 4 Y = X β + Z + ε ; N (.9 fomnda velmşt. Eştlk (.9 le tekalı ölçümle çn velen lnee kama model (LMM denklemnde ye alan matsn, β ; sabt-etklee lşkn paamete vektöünü, X ;.deneğe at sabt-etklee lşkn tasaım Z ;.deneğe at asgeleetklee lşkn tasaım matsn, ;.deneğe at asgele-etk temle vektöünü ve ε ;.deneğe at asgele hata vektöünü temsl etmekted. Eştlk (.9 le tekalı ölçümle çn velen lnee kama model (LMM denklemnde ye alan ;.deneğe at asgele-etk temle vektöü; ;.deneğn bağımlı değşken üzendek asgele-etksn temsl etmek üzee tek b asgele değşkenden olşyosa, elde edlen lnee kama model (LMM denklemnn özel dm asgele kesen teml model (RIM olaak adlandıılı. Böylece RIM aacılığıyla denek etksnn modele dahl edlmes; denekle-aası heteojenlğn modellenmes avantajını da beabende getmekted (İyt ve Genç 005b, İyt ve Genç 007. Eştlk (.9 le tekalı ölçümle çn velen lnee kama model (LMM denklemnde ye alan ;.deneğe at asgele-etk temle vektöü; ;.deneğn bağımlı değşken üzendek bnc asgele-etks le ;.deneğn tekalı ölçümlen alındığı zaman faktöünün düzeylene göe bağımlı değşken üzendek knc asgele-etksn temsl etmek üzee k asgele değşkenden olşyosa, elde edlen lnee kama model (LMM denklemnn özel dm asgele kesen tem ve eğml model (RISM olaak adlandıılı. Böylece RISM aacılığıyla hem denekle-ç hem de denekle-aası heteojenlğn modellenmes mümkün olmaktadı (İyt ve Genç 005b, İyt ve Genç 007. B özellğ tbayle tekalı ölçüm velen statstksel analznde lnee kama modeln (LMM kllanımının sağladığı en öneml avantaj; hem denekle-ç değşkenlklen hem de denekle-aası faklılıklaın tek b model altında modelleneblmesne mkan sağlamasıdı (Ye 005. Eştlk (.9 le tekalı ölçümle çn velen lnee kama model (LMM denklemnde ye alan. denek çn yapısı; Y bağımlı değşken vektöünün otalama vektö

18 5 β ;,,, E Y = = K N (.0 X vayans-kovayans mats yapısı se; C ov Y =V = Z DZ + R ; =,, K, N (. olaak modellen (Ftzmace ve ak Böylece tekalı ölçüm velenn lnee kama model (LMM yaklaşımı le statstksel analz aaştımacıya hem Eştlk (.0 le velen. denek çn bağımlı değşkene lşkn otalama vektö yapısını hem de Eştlk (. le velen denekleç vayans-kovayans mats yapısını modelleyeblme mkanı sağlamaktadı. Lnee kama modellede (LMM tekalı ölçüm olması dmnda otaya çıkan lşkl vede vayans-kovayans mats yapısının modellenmes amacıyla kllanılan lteatüde 3 faklı vayans-kovayans model vadı (Bagella ve ak. 000, Wolfnge 996, Ftzmace ve ak. 004, Ye 005, Gomez ve ak Bnla sıasıyla; vayans bleşenle (VC, bleşk smet (CS, Toepltz (TOEP ve bnc deeceden otoegesf [AR(] homojen vayans-kovayans modelle le yapılandıılmamış (UN, köşegen [UN(], heteojen bleşk smet (CSH, heteojen Toepltz (TOEPH, heteojen bnc deeceden otoegesf [ARH(], Hynh-Feldt (HF, bnc deeceden ant-bağımlı [ANTE(], bnc deeceden faktö analtk [FA(] ve yapılandıılmamış koelasyonl (UNR heteojen vayans-kovayans modelled. Lnee kama modellede (LMM vayans-kovayans mats yapısının modellenmes amacıyla ykaıda velen 3 faklı kovayans model aasından ygn modeln seçm aşamasında olabllk oan test (LRT le blg ktelenden (IC yaalanılı. B blg ktele sıasıyla; Akake Blg Kte (AIC (Akake 974, Schwaz Bayesan Blg Kte (BIC (Schwaz 978, Hannan ve Qnn Blg Kte (HQIC (Hannan ve Qnn 979, Bozdogan Blg Kte (CAIC (Bozdogan 987 le Hvch ve Tsa Blg Kte (AICC (Hvch ve ak. 989 d. B çalışmanın amacı; tekalı ölçümle çn lnee kama modellede (LMM Eştlk (. le velen. denek çn bağımlı değşken vektöünün vayanskovayans mats yapısının ykaıda velen 3 faklı kovayans model kllanılaak modellenmesnn Eştlk (.0 le velen. denek çn bağımlı değşken vektöünün otalama vektö yapısına lşkn paamete tahmnle, hpotez testle ve güven aalıklaı üzene etklen ncelemek ve geekl statstksel sonç çıkaımlaını

19 6 yapmaktı. Çünkü lnee kama modellede (LMM otalama vektö yapısında ye alan paametele çn geçel sonç çıkaımlaını elde etmek ancak geçek vayanskovayans mats yapısının doğ olaak modelleneblmes le mümkündü. Ayıca yapılan b çalışmada bağımlı değşkene lşkn gözlemlen bbyle lşksz ve he b deney bm çn homojen vayans-kovayans mats yapısına sahp oldğ vasayımına dayanan genel lnee modeln (GLM bağımlı değşkene lşkn otalama vektö yapısını modellemek amacıyla kllanılmasının ne kada elveşsz oldğ lnee kama model (LMM yaklaşımı le kaşılaştımalı olaak ele alınacaktı... Öncek Çalışmala Tekalı ölçüm velenn statstksel analz şletme, davanış blmle, zaat, ekoloj ve jeoloj başta olmak üzee pek çok dspln dalında kaşımıza çıkmaktadı. Son yıllada özellkle tekalı ölçüm velenn analznde statstksel hesaplama teknklenn de gelşmesyle blkte, tekalı ölçümle üzene yapılan çalışmalaın sayısı da oldkça atmıştı. Tekalı ölçümle üzene lteatüde ye alan başlıca çalışmala aasında Evett (995, Cnaan ve ak. (997, Albet (999 le Oma ve ak. (999 taafından yapılan çalışmala sayılabl. İyt ve Genç (005b, 007 tekalı ölçüm vele çn genel lnee model (GLM le lnee kama modeln (LMM özel dmlaı olan asgele kesen teml model (RIM, asgele kesen tem ve eğml modeln (RISM kaşılaştıılması üzene yaptıklaı çalışmalaında asgele kesen tem ve eğml modeln (RISM tekalı ölçüm velen modellemede en y model yapısı oldğn göstemşled. İyt ve Genç (005a tekalı ölçüm vele çn genel lnee model (GLM le lnee kama model (LMM AIC, BIC, AICC ve CAIC blg ktele yadımıyla kaşılaştıaak, tekalı ölçüm velen modellemede lnee kama modeln (LMM genel lnee model (GLM le ekabette üstünlüklene değnmşled. Keselman ve ak. (998 lnee kama modellede (LMM vayans-kovayans mats yapısının modellenmes üzene yaptıklaı çalışmalaında UN ve AR( kovayans modellenden, eşt olmayan öneklem hacmlene ve mamele gplaına

20 7 göe eşt olmayan vayans-kovayans mats yapılaına sahp ve setle üeteek tekalı ölçüm çalışmalaında AIC ve BIC blg ktelenn geçek vayanskovayans mats yapısını bellemedek başaı oanlaının aaştıılması üzene çalışmışladı. Gomez ve ak. (005 CS, CSH, AR(, ARH(, TOEP ve TOEPH kovayans modelle çn sabt-etklee lşkn paametelen F-testlende I.tp hata oanlaını ncelemek amacıyla b smülasyon çalışması yapmışladı. Gomez ve ak. (005 yapmış oldklaı smülasyon çalışmasında mamele öneklem hacmlenn eşt oldğ ve olmadığı k dm çn BIC le tayn edlen en y kovayans modellenn I.tp hata oanlaının hedef değelee AIC le tayn edlen en y kovayans modellenden he zaman çn daha yakın çıktığını göstemşled. Ayıca lnee kama modellede (LMM ygn vayans-kovayans mats modelnn seçm üzene lteatüde Gady ve Helms (995, Robetson (996, Jennch ve Schlcte (986 le Lttell ve ak. (000 taafından yapılan çalışmala mevctt. Lnee kama modellede (LMM vayans-kovayans mats modelnn seçmnn otalama vektö yapısında ye alan sabt-etklee lşkn paametelen testnde I.tp hata oanlaını nasıl etkledğ üzene se Ye (005 le Wolfnge (996 taafından yapılan çalışmala mevctt. Robetson (996 le Lttell ve ak. (000 lnee kama modellede (LMM ygn vayans-kovayans mats modelnn seçmnde AIC ve BIC blg ktelenn pefomanslaını ncelemş, Ye (005 le Feon ve ak. (00 se b blg ktelenn he zaman çn geçek vayanskovayans mats yapısını doğ olaak belleyeblme özellğne sahp olmadığını göstemşled. İyt ve ak. (006 tekalı ölçüm vele çn lnee kama modellede (LMM vayans-kovayans mats yapısının modellenmes amacıyla UN, VC, AR(, TOEP, HF ve CS kovayans modelle aasından ygn modeln AIC ve BIC blg ktele kllanılaak seçm üzene yapmış oldklaı çalışmalaında BIC blg ktenn doğ kovayans modeln bellemede AIC blg ktene göe daha düşük pefomansa sahp oldğn göstemşled. Cnaan ve ak. (997 dengelenmemş tekalı ölçüm vele çn lnee kama modellede (LMM vayans-kovayans mats yapısının modellenmes amacıyla

21 8 kllanılan kovayans modelle aasından ygn modeln gafk teşhs yöntemle le seçmnn otalama vektö yapısının modellenmesne etkle üzene çalışmışladı. Dawson ve ak. (997 tekalı ölçüm vele çn lnee kama modellede (LMM vayans-kovayans mats yapısının UN, UN(, VC, CS, AR( ve TOEP kovayans modelle le modellenmesnn tekalı ölçümlen sahp oldğ koelasyon yapısını tayn etmede etkle üzene çalışmışladı. Lnee kama modellele (LMM lgl lteatüde ye alan b çalışmalaın ışığı altında yapılan tez çalışması aşağıda velen bölümleden olşmaktı. B çalışmanın knc bölümü tez çalışmasının altyapısı çn geekl göülen temel tanım ve kavamlaı çemekted. Çalışmanın üçüncü bölümünde lnee kama model (LMM yapısı ayıntılı olaak ele alındıktan sona, lnee kama modellede (LMM otalama vektö yapısı le vayans-kovayans mats yapısının modellenmes amacıyla paamete tahmn poblem üzende dlmşt. Bna göe lnee kama modellede (LMM sabtetklee lşkn paametelen tahmn poblemnde Eştlk (.6 le velen V matsnn blndğ dm çn genelleştlmş en küçük kaele (genealzed least sqaes ( yöntem, blnmedğ dm çnse Newton-Raphson (NR, Fshe Scong (FS ve EM (Expectaton-Maxmzaton algotması teatf yöntemle kllanılaak en çok olabllk (maxmm lkelhood ( yöntem velmşt. Lnee kama modellede (LMM V matsnn elemanlaı olan vayans bleşenlenn tahmn poblemnde se yne NR, FS ve EM algotması teatf yöntemle kllanılaak, vayans bleşenlenn ve kısıtlandıılmış en çok olabllk (estcted maxmm lkelhood (RE tahmn edcle elde edlmşt. Lnee kama modellede (LMM tahmn poblemnn son aşamasında se Hendeson kama model (Hendeson mxed model (HMM denklemle klaak asgele-etklen tahmn poblem ele alınmıştı. HMM denklemlenn eşanlı çözümünden lnee kama modellede (LMM sabt ve asgele-etkle çn en y lnee yansız tahmn edcle (best lnea nbased estmato, best lnea nbased pedcto (BLUE ve BLUP elde edlmşt. B bölümde son olaak modelde ye alan sabt ve asgele-

22 9 etkle le vayans bleşenle çn geekl statstksel sonç çıkaımlaının yapılablmes amacıyla hpotez testle ve güven aalıklaı olştlmşt. Çalışmanın dödüncü bölümünde lnee kama modellede (LMM tekalı ölçüm olması dmnda otaya çıkan lşkl vede vayans-kovayans mats yapısının modellenmes ele alınmıştı. B amaç doğltsnda öncelkle tekalı ölçüm vele çn lnee kama modellede (LMM model yapılandıma süec velmşt. Daha sona tekalı ölçümle çn lnee kama modellede (LMM vayans-kovayans mats yapısının modellenmes amacıyla kllanılan homojen vayans-kovayans modelle le heteojen vayans-kovayans modelle tek tek ele alınmıştı. B bölümde son olaak tekalı ölçümle çn lnee kama modellede (LMM vayans-kovayans mats yapısının modelleneblmes amacıyla ygn kovayans modelnn olabllk oan test (LRT le AIC, BIC, HQIC, CAIC ve AICC blg ktele (IC yadımıyla seçm velmşt. Çalışmanın özgün kısmı beşnc bölümde velmşt. B bölümde tekalı ölçüm velenn modellenmesnde genel lnee model (GLM yaklaşımı le lnee kama model (LMM yaklaşımı kaşılaştımalı olaak ele alınmıştı. B amaç doğltsnda klnk b deneme düzen üzene yapılandıılan yglama çalışmasında toplam kolesteol düzeylene lşkn tekalı ölçüm vele üzene genel lnee model (GLM le lnee kama modeln (LMM özel dmlaı olan asgele kesen teml model (RIM, asgele kesen tem ve eğml model (RISM yapılandıılmıştı. RIM ve RISM modelle çn model yapılandıma süecnde sabtetklee lşkn ve NR teatf yöntemne dayalı paamete tahmnle, kovayans paametelenn yne NR teatf yöntemne dayalı ve RE tahmnle le asgele-etklen HMM denklem tahmnle elde edlmşt. RISM modelnde ye alan bağımlı değşkenn vayans-kovayans mats yapısının ele alınan 3 faklı kovayans model aacılığıyla modellenmesnn bağımlı değşkenn otalama vektö yapısı üzendek etkle; sabt-etklee lşkn paamete tahmnlenn elde edlmes, hpotez testle ve güven aalıklaının olştlması yolyla ncelenmş ve geekl statstksel sonç çıkaımlaı yapılmıştı. Çalışmanın son bölümü olan altıncı bölümde se tez çalışmasından elde edlen sonçla ve önele ye almıştı.

23 0. TEMEL TANIM ve KAVRAAR velmşt. B bölümde, tez çalışması çn geekl olan tanımla ve temel blgle.. Faktö ve Düzey Kavamı Bağımlı değşken üzende etkl olableceğ düşünülen ve aaştımacı taafından bellenen kontol edlebl değşkenle faktö olaak adlandıılı. Faktöün aldığı değele se düzey olaak adlandıılı (Saha ve Ageel Faktölen Etkleşm ve Otak Değşken Kavamı B faktö düzeynn bağımlı değşken üzendek etksnn b dğe faktö düzeynn bağımlı değşken üzendek etksne bağlı olması dm faktölen etkleşm olaak adlandıılı. Deney temelden etkledğ vasayılan faktöle otak değşken olaak adlandıılı (Ebaş ve Olmş 005. Öneğn; yen önelen b tedav yöntemnn yüksek kolesteolü düşüme üzene etksnn aaştııldığı b deney düzennde, kşnn deney öncesnde sahp oldğ başlangıç kolesteol düzey deney soncnda sahp olacağı kolesteol düzeyn etkleyebleceğnden b faktö otak değşken olaak adlandıılı..3. Sabt-Etk, Rasgele-Etk ve Vayans Bleşen Kavamı Faktöün düzeyle, faktöün mümkün tüm düzeyle aasından özel olaak seçlmşse, faktöün bağımlı değşken üzendek etks sabt-etk olaak adlandıılı. Faktöün düzeyle, faktöün mümkün tüm düzeyle aasından asgele seçlmşse, faktöün bağımlı değşken üzendek etks asgele-etk olaak adlandıılı. Rasgele-etkl faktöün bağımlı değşkenn yapısındak toplam değşm açıklama payına vayans bleşen adı vel (Saha ve Ageel 000.

24 .4. Kama Model Kavamı Faktölen bazılaının düzeyle mümkün tüm düzeyle aasından asgele seçlmş ve dğe faktöle önceden bellenmş düzeylee sahp se, bağımlı değşken le faktö düzeyle aasındak lşky veen modele kama model adı vel. Bağımlı değşken le faktö düzeyle aasındak lşk lnee b fomda se elde edlen modele lnee kama model adı vel (Saha ve Ageel Gözlem Değe, Deney Bm ve Bloklama Kavamı Bağımlı değşkene lşkn alınan ölçüm değelene gözlem değe adı vel. Faktö düzeylenden etklenen ve üzenden ölçüm alınan deneydek en alt bme deney bm adı vel. Aynı deney bmlenden olştlan gplama şlemne bloklama adı vel (Ebaş ve Olmş 005. Öneğn; yüksek kolesteolü düşümede aynı kaaktestk özellklee sahp b hasta gb üzende k faklı tedav yöntem denenmek stense, tedav yöntem bloklama değşken olaak alınabl..6. Tekalı Ölçüm ve Denek Kavamı Tekalı ölçümle aynı deney bm üzenden alınan (ölçümlenen bağımlı değşkene lşkn gözlem değeled. B ölçümle genellkle deney bmle üzenden bell zaman aalıklaı le alını. Bnnla beabe tekalı ölçümle zaman faktöünün yanı sıa faklı koşlla veya konmla altında aynı deney bm üzenden alınan çokl ölçümle olaak ta tanımlanabl. Tekalı ölçümle le yapılan çalışmalada üzenden gözlem/ölçüm değelenn alındığı deney bmle denek olaak adlandıılı (Ye Denek-İç Etk ve Denekle-Aası Etk Kavamı Aynı deney bm üzenden ölçümlen bell aalıklala alındığı zaman faktöü denekle-ç etk olaak adlandıılı. Mamele, cnsyet, ık gb bağımsız değşkenle se aldıklaı değele sadece denekten deneğe değşebldğ çn denekleaası etk olaak adlandıılı (Ftzmace ve ak. 004.

25 .8. Lnee ve Kaesel Fomlaın Tüevle a : n sabtlen b vektöü olmak üzee, ( a x ( x a a x = = a, = 0 x x x A : n n tpnde smetk b mats olmak üzee, ( x Ax ( x Ax x = Ax, = A x şeklnde elde edl (Akdenz ve Öztük 996. (. (..9. Poztf ve Negatf Tanımlı Mats A : n n tpnde b mats olmak üzee, A =A n y R çn y A y > 0 şatlaını sağlıyosa A matsne poztf tanımlıdı den. n n tpnde ( a A= kk matsnn poztf tanımlı b mats olması çn geek ve yete şat k =,, K, n çn, olmasıdı. A : n n tpnde b mats olmak üzee, A = A a a L a k a a a L > M M O M ak ak L akk k det 0 (.3 A < n y R çn y y 0 şatlaını sağlıyosa A matsne negatf tanımlıdı den (Akdenz ve Öztük Gass-Makov Teoem Eğe aşağıda velen 3 şat sağlanıyosa, A( Y tahmn edcs θ paamete vektöünün en y lnee yansız tahmn edcsd (BLUE;

26 3 ( A( Y tahmn edcs Y ; bağımlı değşken vektöünün lnee b fonksyond, B A Y = Y (.4 ( A( Y tahmn edcs θ paamete vektöünün yansız b tahmn edcsd, ( E A Y = θ (.5 E B * Y = θ özellğn sağlayan hehang b sabt B * mats çn A( Y tahmn edcs θ nın tüm lnee yansız tahmn edcle aasında mnmm vayansa sahp olanıdı, ov B C ov Y C Y B * (.6 Gass-Makov teoemnn ( şatının sağlanması çn A( Y ˆ = θ tahmn edcsnn vayansının Rao-Came eştszlğnn alt sınıına eşt olması geekmekted (Seale ve ak Rao-Came Eştszlğ ˆ θ ; θ nın lnee ve yansız b tahmn edcs olmak üzee, C ov ( ˆ θ ln f E θ ( x (.7 Rao-Came eştszlğnn alt sınıını sağlayan ˆ θ ; θ nın lnee, yansız tahmn edcle aasında mnmm vayansa sahp olanıdı (Seale ve ak B Matsn Tesnn Tüev Faz edelm k; A mats AA = I koşln sağlamak üzee tekl olmayan b mats olmak üzee, A kae matsnn elemanlaı t skalenn fonksyonlaı olsn. B dmda A matsnn tesnn tüev, A t = A A A t (.8

27 4 şeklnde bln. B eştlkten haeket edeek eğe A mats sngle (tekl b mats se, A (genelleştlmş nves alını (Seale B Matsn Genelleştlmş İnvesnn Tüev A : n m mats çn AA A = A özellğn sağlayan A : m n matsne A matsnn genelleştlmş nves den. B dmda A matsnn genelleştlmş nvesnn tüev, şeklnde bln (Seale 98. A t = A A A t (.9.4. B Matsn Detemnantının Tüev Faz edelm k; A mats AA = I koşln sağlamak üzee tekl olmayan b mats olmak üzee, A kae matsnn elemanlaı t skalenn fonksyonlaı olsn. B dmda A matsnn detemnantının tüev, ln A t şeklnde bln (Seale 98. t A A t = (.0.5. Fshe İnfomasyon Mats θ paamete vektöünün tahmn edcs olaak elde edlen ˆ θ çn en kllanışlı özellkleden b; ˆ θ nın büyük-öneklem veya asmptotk ( N vayans-kovayans matsnn kolaylıkla hesaplanabl olmasıdı. l = ln L( θ Y log-olabllk fonksyon olmak üzee I ( θ ; Fshe nfomasyon mats, I ( θ l l = E = E θ θ θ θ m j, j (. şeklnde tanımlanmış olp, Fshe nfomasyon matsnn tes; ( ˆ I Cov θ θ (.

28 5 ˆ θ nın asmptotk vayans-kovayans matsn ve. Dkkat edlse ˆ θ nın asmptotk vayans-kovayans matsn elde etmek çn θ nın tahmn edcs olan ˆ θ ya veya ˆ θ nın öneklem dağılımına htyaç dylmadığı açıkça göülmekted (Seale ve ak Kaesel Fomlaın Beklenen Değe A; n n tpnde smetk kae mats, Y ; n boytl b asgele vektö olmak üzee Y AY kaesel fomnn beklenen değe; ( A = A ov + A E Y Y t C Y E Y E Y (.3 şeklnde elde edl (Akdenz ve Öztük Tahmn Edclenn Asmptotk Dağılımlaı Y ; asgele değşken vektöünün dağılımı ne olsa olsn N, θ nın tahmn edcs olan ˆ θ ; θ otalama vektöü ve I θ vayans-kovayans mats le asmptotk olaak nomal dağılıma sahpt (McClloch ve Seale 00. ˆ θ ~ AN θ, I( θ (.4.8. İdempotent (Eşgüçlü Mats A : n n tpnde kae b mats olmak üzee, = ( = eştlğn AA A A A sağlıyosa A matsne dempotent (eşgüçlümats den. Bm mats üzee b özellğ dama sağla. I = I olmak İdempotent matslele lgl bazı öneml özellkle şöyle sıalanabl (Akdenz ve Öztük 996; A : n n mats dempotent ve ank ( A = n se A = I dı. Bm mats dışında tüm eşgüçlü matsle tekld yan eksk anklıdı. A : n n tpnde smetk ve dempotent b mats se,

29 6 A mats de smetk ve dempotentt. I A mats de smetk ve dempotentt. ank ( I A = n A dı. AA = A A se A A ve AA matsle smetk ve dempotenttle. v ank ( A t ( A = dı..9. Gadyent Vektöü ve Hessan Mats olmak üzee, n f : R R (,,, x f x = f x x K x f x f x f x = M f x n n (.5 fonksyonna, f fonksyonnn x vektöüne göe tüev den ve gadyent vektöü olaak adlandıılı. f f = x x x j n n (.6 olaak tanımlı mats fonksyonna se f fonksyonnn Hessan mats den (Akdenz ve Öztük Newton-Raphson (NR Yöntem Newton-Raphson (NR yöntem b kök blma algotması olp lnee olmayan fonksyonlaı maksmze etmek çn en sık kllanılan teatf yöntemleden bd. B yöntemde f ( θ fonksyonn maksmze eden f θ = 0 θ (.7

30 7 tüevnn b kökü blnmaya çalışılı. Eştlk (.7 le velen f ( θ fonksyonnn θ paamete vektöüne göe bnc deeceden kısm tüev olan f θ θ fades; θ paamete vektöünün başlangıç tahmn değe olaak alınan θ 0 etafında knc metebeye kada Taylo sesne açılısa; ( θ elde edl. Eştlk (.8 sıfıa eştlense, ( θ f f = f ( θ = f ( θ 0 + θ θ 0 θ θ θ (.8 olp badan da, ( θ f f ( θ + θ θ = θ θ (.9 ( θ f θ = θ 0 f θ 0 θ θ (.0 kökü elde edl. Blnan b kökten yaalanaak, m + nc teasyon adımı çn θ paamete vektöünün tahmn değe; m m ( m = f ( + f ( θ θ θ θ θ θ ( m θ = θ (.a veya f ( + θ = θ H θ θ m m m m (.b olaak elde edl. Eştlk (.a ve Eştlk (.b le velen fadelee Newton- Raphson genel teasyon denklemle adı vel. Eştlk (.b le velen teasyon denklemnde ye alan ( m H θ ve ( m ( m f θ fadele sıasıyla θ = θ noktasında f ( θ fonksyonnn knc deeceden kısm tüevlenn mats olan Hessan matsn ve f ( θ fonksyonnn bnc deeceden kısm tüevlenn vektöü olan gadyent vektöünü temsl etmekted. Eştlk (.a ve Eştlk (.b den m + nc teasyon adımında ye alan θ paamete vektöünün tahmn değen blablmek çn f ( θ fonksyonnn

31 8 bnc ve knc deeceden kısm tüevlene htyaç oldğ açıkça göülmekted (Seale ve ak Fshe Scong (FS Yöntem Fshe Scong (FS yöntem Newton-Raphson (NR yöntemne altenatf olaak lnee olmayan fonksyonlaı maksmze etmek çn kllanılan b başka teatf yöntemd. B yöntemn Newton-Raphson (NR yöntemnden tek fakı; Eştlk (.b le velen Newton-Raphson genel teasyon denklemnde m + nc teasyon adımı çn θ paamete vektöünün tahmn değe hesaplanıken, θ = θ noktasında, f ( θ fonksyonnn Hessan mats (FS yöntemnde Fshe nfomasyon matsnn ( m H θ yene Fshe Scong I θ hesaplanmasıdı. Yan Hessan mats kend beklenen değeyle ye değştmş olmaktadı. Fshe nfomasyon matsnn hesaplanması üzene dayanan Fshe Scong (FS yöntemnn Newton-Raphson (NR yöntemnden en öneml üstünlüğü; maksmze edlmek stenen f ( θ fonksyonnn knc deeceden kısm tüevlenn mats olan Hessan matsn hesaplama zolğnn olmamasıdı. değe; Böylece m + nc teasyon adımı çn θ paamete vektöünün tahmn m m ( m = + E f ( + f ( θ θ θ θ θ θ θ = θ( m (.a veya f ( + θ = θ + I θ θ m m m m (.b olaak elde edl. Eştlk (.a ve Eştlk (.b le velen fadelee Fshe Scong genel teasyon denklemle adı vel (Seale ve ak. 99.

32 9.. EM Algotması EM (Expectaton-Maxmzaton algotması, asgele değşkenlen aldığı geçel değeleden bazılaının gözlemlenemedğ veya kayıp oldğ dmlada paametelen tahmnlen elde etmek çn kllanılan genel b teatf yöntemd. = (,, K, n ; f ( y; θ, (,,, k Y Y Y Y θ = θ θ θ Θ k K R otak olasılık yoğnlk fonksyonna sahp ktleden alınan b öneklem olsn. Y, Y, K, Yn len heps gözlenmşse, θ paamete vektöünün tahmn edcs, l ( θ ; y ; tam logolabllk fonksyonnn, ( θ; = ln ( θ; = ln ( ; θ l y L y f y θ ya göe maksmze edlmesyle elde edl. EM algotması; l ( θ ; y maksmze edlmesnn kolay fakat lg ( ; y g (.3 ; tam log-olabllk fonksyonnn θ ya göe θ ; gözlenen log-olabllk fonksyonnn maksmze edlmesnn zo oldğ dmlada kllanışlıdı. Y ; asgele değşken vektöünün aldığı geçel değeleden b kısmı gözlenemedğnde l ( ; y θ maksmze edlememekted. EM algotması se g koşll beklenen değen teatf olaak maksmze ede. Y ; tam vey, vele göstemek üzee Y ( Y g, Y k Y veldğnde l ( θ ; y Y g ; gözlemlenen veya tamamlanmamış vele, nn Y k se; kayıp = şeklnde fade edlse EM algotması m nc ( m teasyon adımı çn, θ = θ noktasında, kısaca aşağıda velmşt. E-adımı: ( m Q θ; θ = E l θ; Y Y g = y, θ g koşll beklenen değe hesaplanı. ( m = K l y f y y = d y ( m ( θ;, θ θ k g k

33 0 M-adımı: ( θ E l ; Y Y g = y, θ g ( m koşll beklenen değen maksmze eden θ paamete vektöünün değe, b sonak adımda ( m θ + n yene kllanılaak, yakınsama geçekleşnceye kada E ve M adımlaı teka edl. Algotmanın yakınsadığı değe θ nın tahmn olaak elde edl (Lttle ve Rbn Paçalanmış Matsn Detemnantı B : n n boytl kae b mats ve B 0 olsn. B B B = B B B mats n = n + n olmak üzee B : n n, B : n n, B : n n ve B : n n bçmnde paçalansın. B mats tekl olmayan b mats se, B matsnn detemnantı B = B B B B B (.4 şeklnde hesaplanı (Seale 98, Seale ve ak X X Paçalanmış Matsnn Genelleştlmş İnves X mats = [ ] X X X fomnda paçalanmış b mats olsn. X X X X X X X = X X = [ ] X X X X X fomndak X X paçalanmış matsnn genelleştlmş nves; olmak üzee, (.5 M = I X X X X ( I X X = + ( X MX I X X ( X X 0 X X X X X X (.7

34 fomnda elde edl. Eştlk (.5 le velen X X paçalanmış mats tekl olmayan (nonsngla b mats se, ( X X ; X X matsnn genelleştlmş nvesnn blnması çn Eştlk (.7 le velen fade ( tesnn blnması çnde geçeld (Seale 98, Seale ve ak. 99. X X ; X X matsnn.5. Neyman-Fshe Faktozasyon X, X,, X n d f x θ θ = θ θ θ R K ~... (,, (,,, k K k Θ otak olasılık yoğnlk fonksyonna sahp ktleden alınan b öneklem olsn. ( (,,, n, (,,, n,, m (,,, n T = T X X K X T X X K X K T X X K X ; m boytl statstğnn θ paamete vektöü çn yetel olması çn geek ve yete şat; (,, K,, θ = (,, K,, (,, K,, K, (,, K,, θ (,, K, f x x x g T x x x T x x x T x x x h x x x n n n m n n olmasıdı. Bada h fonksyon sadece x, x, K, xn n negatf olmayan b fonksyond ve θ dan bağımsızdı, g fonksyon se sadece T, T, K, Tm ve θ nın negatf olmayan b fonksyond (Akd k-paametel Üstel Ale X, X,, X n d f x θ θ = θ θ θ R K ~... (,, (,,, k K k Θ otak olasılık yoğnlk fonksyonna sahp ktleden alınan b öneklem olsn. Eğe f ( x, θ fonksyon k f ( x, θ = h( x c( θ exp t ( x w ( θ (.8 = fomnda yazılablyosa üstel aled. Bada k { f x, θ, θ R } Θ dağılımla ales k-paametel h x ve t ( x, =,, K, k fonksyonlaı (paameteye bağlı olmayan sadece x n b fonksyond. se sadece paametelen b fonksyond (Akd 005. c θ ve w ( θ ; =,, K, k fonksyonlaı

35 .7. Çok Değşkenl Koşll Nomal Dağılım x x ~ V V N µ, µ V V = x çok değşkenl nomal dağılımına sahp olsn. x veldğnde x asgele değşken vektöü; olmak üzee, ( W = V V V V x x ~ N µ + V V ( x µ, W çok değşkenl koşll nomal dağılımına sahpt. x veldğnde x asgele değşken vektöü se; olmak üzee, W = V V V V x x ~ N µ + V V ( x µ, W çok değşkenl koşll nomal dağılımına sahpt (Seale ve ak. 99. (.9 ( Sch Tümleyenle Yöntem Tekl olmayan paçalanmış b matsn tes A C B D fomnda tanımlanmış olmak üzee, ( - - A B A 0 -A B = + D CA B CA I C D 0 0 I D CA B matsne A matsnn Sch tümleyen adı vel (Seale 98, Seale ve ak. 99. Masagla ve Styan (974a, 974b D CA B = D +D C A BD C BD (.3a ve A mats yene A mats alaak, D + CA B = D D C A + BD C BD (.3b olmak üzee k temel Sch tümleyenn tanımlamışladı.

36 3.9. Koşll Beklenen Değe X ve Y asgele değşkenlenn otak olasılık yoğnlk fonksyon f ( x, y le koşll olasılık yoğnlk fonksyon f ( x y le göstelmek üzee X asgele değşkennn beklenen değe, = = xf ( x y f ( y dxdy (, E X xf x y dxdy = xf x y dx f y dy = olaak elde edl (Seale ve ak. 99. E X y f y dy = EY E X y (.3

37 4 3. LİNEER KARMA MODELLER Alışılagelmş genel lnee model (GLM denklem; Y = Χ β + ε (3. fomnda olp model denklemnde ye alan Y ; N boytl bağımlı değşken vektöünü, X; N ( p ( p + boytl sabt etklee lşkn tasaım matsn, β ; + boytl sabt etklee lşkn paamete vektöünü, ε ; N boytl asgele hata vektöünü temsl etmekted. Model denklemnde ye alan ε = Y E( Y = Y Χ β olmak üzee sıfı otalama; E( ε = 0 ve ε nn he b elemanı, aynı ε vayans le, bb le lşksz olmak üzee ε nn vayanskovayans mats; C ov( ε = I (3. ε N fomndadı. B şeklde elde edlen modellede lg; β nın elemanlaının sabt, blnmeyen katsayıla olaak alınması üzene ken, modele asgele etk temlenn de lave edlmesyle blkte; Y ; Y = Χβ + Z + ε (3.3 N boytl bağımlı değşken vektöü, X; N ( p lşkn tasaım mats, ( p + boytl sabt etklee β ; + boytl sabt etklee lşkn paamete vektöü, Z; N boytl asgele etklee lşkn tasaım mats, ; boytl asgele-etk temle vektöü, ε ; N boytl asgele hata vektöü olmak üzee lnee kama model (LMM denklemn ve (Seale 997. Model denklemnde ye alan ε ; asgele hata vektöü E( Y =Χ β ve E( Y U = = Χ β + Z fadelenden yaalanaak ε = Y E( Y şeklnde tanımlanı (Seale ve ak. 99. Dkkat edlse Eştlk (3. le velen genel lnee model (GLM denklem C ov ε = ε I N ve Eştlk (3.3 le velen lnee kama model (LMM denklemnn Z = 0 olmak üzee özel b hald. Lnee modelle teosnde ye alan b modelle bbnden faklı kılan en öneml özellk se aaştımacının model kma amacının

38 5 faklılığında yatmaktadı. Genel lnee modeln (GLM amacı; Y ; bağımlı değşken vektöüne lşkn otalama vektöünü β ; sabt etklee lşkn paamete vektöünü kllanaak modellemekt. Lnee kama modeln (LMM amacı se; bağımlı değşkende meydana gelen değşmn kaynağı ; asgele-etk temle vektöüne bağlı oldğndan, Y ; bağımlı değşken vektöünün vayans-kovayans mats yapısını ; asgele-etk temle vektöüne bağlı olaak modelleyeblmekt (Kaps ve Lambeson 005. ve ε vektölenn otalama ve vayans özellklen tanımlamadan önce, Eştlk (3.3 le velen lnee kama model denklemnde ye alan β ve vektöle aasındak fakı vglamakta yaa vadı. β ; sabt ve blnmeyen katsayıla vektöü olaak tanımlanı. se; modelde ye alan bağımlı değşken üzende asgele etkl faktölen tüm düzeylen temsl etmek üzee asgele-etk temle vektöü olaak tanımlanı. nn elemanlaı; asgele-etk temle olaak adlandıılan asgele değşkenlen gözlemlenemeyen geçel değelen çe. Dolayısıyla model hem β ; sabt-etk temlen, hem de ; asgele-etk temlen çemekted. Kama model adı da badan gelmekted (Seale 997. Eştlk (3.3 le velen lnee kama model denklemnde ye alan ; asgeleetk temle vektöünü, ; modelde ye alan asgele etkl faktölen sayısı olmak üzee, [ ] = L (3.4 şeklnde tane alt-vektöe paçalayaak gösteeblz. Eştlk (3.4 te ye alan he b ; =,, K alt vektöü se q ;. asgele etkl faktöün düzeylenn sayısı olmak üzee, =,,, K q (3.5 q boytl olp modelde ye alan. asgele etkl faktöün düzeylenn bağımlı değşken üzendek etklene lşkn vektöle temsl etmekted. ; =,, K vektöü üzene temel vasayımla;

39 6 olmak üzee, D = 0, ov = Iq ; E C ( j C ov, = 0 j I 0 L 0 q 0 Iq L 0 = C ov( = M M O M 0 0 L I q q q = = (3.6 (3.7 fomnda elde edl (Seale ve ak. 99. Böylece ; asgele-etk temle vektöünü, ( ( M q q q = = M M q ( q q M = M q q = (3.8 şeklnde elde edez. Badan ; asgele-etk temle vektöüne bağlı olaak Z; asgele etklee lşkn tasaım matsn, Z ;. asgele etkl faktöün düzeylenn bağımlı değşken üzendek etklene lşkn tasaım matsn temsl etmek üzee, Z Z L Z q Z Z L Zq Z = M M O M Z N Z N L Z Nq N q (3.9

40 7 Z Z L Zq Z Z L Z q Z Z L Zq Z Z L Zq Z Z L Zq Z Z L Zq Z = L M M O M M M O M M M O M Z N ZN Z Nq Z N q N Z N Z Nq Z N ZN Z L L Nq N q L N q Z = N [ ( Z ( Z N q L ( Z N q olmak üzee, şeklnde paçalasak, [ L ] Z = Z Z Z [ ] N q ] Z= Z Z L Z (3.0 ( Z ( ( Z ( ( Z ( = = N q q N q q N q q ( Z ( N q q M = + + K + (3. olmak üzee Eştlk (3.3 le velen lnee kama model denklem; fomnda elde edl. Y = Χβ + Z + ε Y = Xβ + Z + ε (3. = Eştlk (3.3 le velen lnee kama model denklemnde ye alan ve ε asgele vektöle üzene klan temel vasayımla aşağıdak gb sıalanabl (Seale ve ak. 99; = = = ~ ( 0, D E 0 ve C ov E D olmak üzee E ε 0 ve C ov ε E εε R ε I N olmak üzee ε N (3.3 = = = = ~ ( 0,R ( ε ( ε N (3.4 C ov, = C ov, = 0 (3.5

41 8 Badan Y ; N boytl bağımlı değşken vektöünün otalama vektöünü ve ε üzene Eştlk (3.3 ve Eştlk (3.4 le velen vasayımladan yaalanaak, = ( Χβ + Z + ε E Y E =Xβ (3.6 vayans-kovayans matsn se Eştlk (3.5 le velen vasayımdan yaalanaak, = ov( β + + ε V= C ov Y C Χ Z ov( ε = ZC ov Z + C =ZDZ + R fomnda elde edez. Böylece Y ; N boytl bağımlı değşken vektöünün; Y ~ ( X, ZDZ R (3.7 N β + (3.8 dağılımına sahp oldğ açıkça göülmekted. Badan Eştlk (3.7 le velen V= C ov( Y =ZDZ + R Y ; bağımlı değşken vektöünün vayans-kovayans matsn Eştlk (3.7 ve Eştlk (3.0 le velen göstemlee bağlı olaak modelde ye alan asgele etkl faktölee göe paçalasak, L ( Z ( Z I 0 0 q N q L 0 Iq L 0 q N N q + N N q N q V= C ov Y = Z Z Z ε I M M O M M 0 0 I L q ( Z q N ( Z ( Z q N = ( Z ( Z L ( Z + ε I M ( Z q N q N N q N N q N q ( ( K ( N q N q N q = Z Z + Z Z + + Z Z + I ε = q N q N N q N = Z Z + ε I (3.9 ( N q N q N

42 9 fom elde edl. ε ; N boytl asgele hata vektöü de Eştlk (3.3 le velen lnee kama model denklemnn Z + ε bleşen yadımıyla tanımlanan asgele etkle kısmına at oldğndan, 0 = ε, 0 = ε, q0 = N ve Z0 = I N (3.0 olaak alınısa, Eştlk (3. yadımıyla modelde ye alan asgele etkl faktölee göe paçalanmış fomda velen lnee kama model denklem, Y = Xβ + Z + ε = Y = + Xβ Z (3. = 0 le Eştlk (3.9 yadımıyla modelde ye alan asgele etkl faktölee göe paçalanmış fomda velen Y ; bağımlı değşken vektöünün vayans-kovayans mats, ( N q = 0 V= C ov Y =ZDZ + R = Z Z (3. fomna ndgen. Eştlk (3. ve Eştlk (3. le velen b fomülasyonla Hatley ve Rao (967 taafından gelştlmş olp lnee kama modellede dengelenmemş ve (nbalanced data dm çn büyük kolaylıkla sağlamaktadı. Lnee kama modelle çn Eştlk (3.3 yadımıyla velen model denklem, Eştlk (3.3, Eştlk (3.4 ve Eştlk (3.5 yadımıyla velen lnee kama model denklem üzene klan temel vasayımla le lnee kama modelle çn geekl olan göstemle veldkten sonak aşama model spesfkasyonn yapılmasıdı. Lnee kama model spesfkasyonn doğ şeklde yapılablmes çn de çalışmaya başlamadan önce modele gecek sabt ve asgele etkl faktölen aaştımacı taafından tayn edlmes geekmekted. Böylece modele gecek sabt ve asgele etkle bellendkten sona, lnee kama model yapısının sabt-etkle kısmını olştan X β bleşen le asgele-etkle kısmını olştan Z + ε bleşennn tahmn poblemnn ele alınması gelmekted. Lnee kama modellede tahmn poblem; Sabt etklee lşkn paametelen tahmn, q N