AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LİNEER OLMAYAN GECİKMELİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN SALINIMLILIK DAVRANIŞI

LİNEER OLMAYAN GECİKMELİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN SALINIMLILIK DAVRANIŞI YÜKSEK LİSANS TEZİ Ayşe CANER Danışman Doç. Dr. Sermin ÖZTÜRK MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran 2019

AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LİNEER OLMAYAN GECİKMELİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN SALINIMLILIK DAVRANIŞI Ayşe CANER Danışman Doç. Dr. Sermin ÖZTÜRK MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran 2019

BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocaepe Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü, ez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu ez çalışmasında; Tez içindeki büün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde eiğimi, Görsel, işisel ve yazılı üm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, Başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak aıfa bulunduğumu, Aıfa bulunduğum eserlerin ümünü kaynak olarak göserdiğimi, Kullanılan verilerde herhangi bir ahrifa yapmadığımı, Ve bu ezin herhangi bir bölümünü bu üniversie veya başka bir üniversiede başka bir ez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim. 19/06/2019 Ayşe CANER

ÖZET Yüksek Lisans Tezi LİNEER OLMAYAN GECİKMELİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN SALINIMLILIK DAVRANIŞI Ayşe CANER Afyon Kocaepe Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Maemaik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Sermin ÖZTÜRK Bu ez çalışması dör bölümden oluşmakadır. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılarak genel bir lieraür bilgisi verilmişir. İkinci bölümde, gerekli emel anımlar ve kavramlar anıılmışır. Üçüncü bölümde, lineer olmayan gecikmeli diferensiyel denklemlerin çözümlerinin salınımlılığı incelenmişir. Dördüncü bölümde, lineer olmayan gecikmeli fark denklemlerinin çözümlerinin salınımlılığı çalışılmışır. 2019, v+45 sayfa Anahar Kelimeler: Salınımlılık, Lineer olmayan gecikmeli diferensiyel denklem, Lineer olmayan gecikmeli fark denklemi. i

ABSTRACT M.Sc. Thesis OSCILLATORY BEHAVIOUR OF SOLUTIONS OF NONLINEAR DELAY EQUATIONS Ayşe CANER Afyon Kocaepe Universiy Graduae School of Naural and Applied Sciences Deparmen of Mahemaics Supervisor: Assoc. Prof. Sermin ÖZTÜRK This hesis consiss of four chapers. The firs chaper is devoed o he inroducion secion and provide a generel knowledge of lieraure. In he second chaper, he necessary basic conceps and definiions are inroduced. In he hird chaper, he oscillaion of soluions of nonlinear delay differenial equaions is invesigaed. In he fourh chaper, he oscillaion of soluions of nonlinear delay difference equaions is sudied. 2019, v+45 pages Keywords: difference equaion. Oscillaion, Nonlinear delay differneial equaion, Nonlinear delay ii

TEŞEKKÜR Yüksek lisans eğiimim boyunca iiz çalışma prensibiyle bana örnek olan ve yol göseren, çalışmamın her aşamasında yakın ilgi ve yardımlarını esirgemeyerek bana desek olan danışman hocam Sayın Doç. Dr. Sermin ÖZTÜRK'e eşekkürü bir borç bilirim. Ayrıca, bu ez çalışması boyunca maddi ve manevi deseklerinden dolayı aileme eşekkür ederim. Ayşe CANER AFYONKARAHİSAR, 2019 iii

İÇİNDEKİLER DİZİNİ Sayfa ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... ii İÇİNDEKİLER DİZİNİ... iv SİMGELER DİZİNİ... iv 1. GİRİŞ... 1 2. TEMEL TANIMLAR ve LİTERATÜR BİLGİSİ... 8 2.1 Gecikmeli Diferensiyel Denklemler... 8 2.2 Fark Denklemleri ve Gecikmeli Fark Denklemleri... 12 3. LİNEER OLMAYAN GECİKMELİ DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN SALINIMLILIĞI... 18 4. LİNEER OLMAYAN GECİKMELİ FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİNİN SALINIMLILIĞI... 28 5. KAYNAKLAR... 41 ÖZGEÇMİŞ... 45 iv

SİMGELER DİZİNİ Simgeler R Reel Sayılar Kümesi R + Poziif Reel Sayılar Kümesi R Negaif Reel Sayılar Kümesi N Doğal Sayılar Kümesi Z Tam Sayılar Kümesi R 0 R {0} Sürekli Fonksiyonların Kümesi Toplam Sembolü Π Çarpım Sembolü v

1. GİRİŞ Diferensiyel denklemler eorisi, doğada oluşan ve oluşabilecek gerçek haya problemlerini formüle eden en emel unsurlardan biridir. Aynı zamanda, mekanik, fizik ve diğer sosyal bilimlerde de yaygın bir kullanıma sahipir. Bilim, doğada ve erafımızda oluşan olayları incelerken ve bu olaylar hakkında öngörülerde bulunurken ilginç yaklaşım eorilerinde bulunur. Bazı olayları gözlemleyerek, geleceke oluşabilecek olayları ahmin eder ve bunun için ele aldığı olgunun veya sisemin maemaiksel bir modelini kurmayı amaç edinir. Faka birçok uygulama alanında, kurulan modelin, incelenen olgunun veya sisemin gelecekeki durumunun geçmişeki durumdan bağımsız olarak hareke edeceği varsayılarak hazırlanır. Uygulamaların çoğunda ele alınan bir sisemin nedensellik ilkesi arafından yöneildiği kabul edilir veya düşünülür. Yani, sisemin geçmişe bağlı konumuyla değil de, sadece şu anki konumu arafından idare edildiği düşünülür. Bu durumun sonucu olarak, olaya karşılık gelen denklem, olayın şu anki durumunu ve şu anki durumunun değişim oranı ele alınırsa, bu duruma en güvenli yaklaşım diferensiyel denklemlerdir. Aynı zamanda, sisem konumun değişim oranı ve konumunu içeren bir denklem arafından ifade ediliyorsa sisemin modellemesi genellikle ya adi (bayağı) diferensiyel denklemler ya da kısmi diferensiyel denklemler ile ifade edilir. Deaylı bir araşırma yapıldığında, nedensellik ilkesinin sadece mevcu konum için doğru bir yaklaşım olduğu ve genelde uygulamaların çoğunda doğru olmadığı düşünülür. Bunun yerine daha gerçekçi bir yaklaşım olan ve sisemin geçmişeki konumunu içeren modellemeler yapılır. Sisemin geçmişeki konumunu görmemezliken gelmek sisemin modellemesini anlamsız kılabilir. Yukarıda bahseiğimiz kuralın yalnızca bir ilk yaklaşım olduğunu ve bu yaklaşımda geçmişe dönük durumların da ele alınması modellemenin daha sağlıklı olmasını sağlar. Özellikle bazı problemlerde geçmişe dönük durumları modellemeye dahil ememek sisemi anlamsız kılar. Normal şarlarda dışarıdan algılanan bilgiler düşünüldüğünde ekiye karşı epki göseren her sisemde çok azda olsa bir gecikme oluşur. Çünkü; 1

dışarıdan alınan her ekiye karşı oluşurulan bir epki, zamana bağlı olarak oluşur. Yukarıda anlaılan bu epki maemaiksel modellemede geçmişe bağımlılığın oraya çıkığı en basi hal, durum değişkeninde geçmişe bağımlılık olup ürevinde böyle bir bağımlılığın söz konusu olmamasıdır. İşe bu ür denklemlere gecikmeli diferensiyel denklemler denir. Sonuç olarak, iser geçmişe bağımlılık göz önünde uulsun iser uulmasın, bir çok olayın maemaiksel modeli kurulmaya çalışılırken bir diferansiyel denklemin oluşurulması kaçınılmazdır. Dolayısıyla gecikmeli denklemlerin incelenmesi birçok bilim dalı için büyük önem arz emekedir. Gecikmeli diferensiyel denklemler, fark denklemleri ve nör gecikmeli diferensiyel denklemler ilk olarak 18. yüzyılda Volerra, Bernoulli, Laplace ve Condorce gibi bilim insanları arafından ele alınmışır. Gecikmeli diferensiyel denklemler eorisi ile yapılan ilk çalışmalar lieraüre 1770 yılından sonra girmiş olsa da, gecikmeli diferensiyel denklemler ile ilgili yapılan sisemaik ve kayda değer çalışmalar son 70 yılda oraya konmuşur. Gecikmeli diferensiyel denklemler eorisi, eknoloji, fizik, ekonomi, biyoloji, ve fizyoloji (işlev bilim) gibi bilim birçok bilim dalında çok fazla kullanım alanına sahipir. Faka; lieraür ele alındığında ve araşırıldığında bu kullanım alanlarının çok daha geniş yeni bilim alanına yayıldığını görmek mümkündür. Gecikmeli diferensiyel denklemler ıp biliminde de kullanılmaka ve bu bilim için oldukça büyük bir önem aşımakadır. Kanser hasalığı maalesef üm dünyada çok yaygın olarak görülen hasalıkların başında gelmekedir. Yalnızca Amerika'da her yıl bir milyonun üzerinde insan kansere yakalanmaka ve bunların 500.000'in üzerindeki kısmı kanser hasalığı dolayısıyla yaşamını yiirmekedir. Dolayısıyla, üm dünyada bilim adamlarının kanser hücreleri ile ilgili maemaiksel modelleme yapmaları çok doğal bir durumdur. Villasana ve Radunskaya (2003) çalışmalarında, kanser hücrelerinin çoğalması ve bağışıklık siseminin hücreleri ile bazı özel ilaçların kanser hücrelerinin arması üzerindeki ekilerini araşıran maemaiksel bir modelleme oraya koymakadır. Yukarıdaki çalışmada, maemaiksel modelleme yapılırken gecikmeli diferensiyel denklem kullanılmışır ve bu durum bu çalışmayı diğer çalışmalardan ayıran en büyük 2

özellik olmuşur. Bu nedenle; gecikmeli diferensiyel denklemler eorisi son yıllarda yapılan çalışmalar nedeniyle gelişmesi yönünde poziif bir ivme kazanmışır. Bir gecikmeli diferensiyel denklem, τ(): R R reel değerli bir fonksiyon, lim τ() = ve τ() < koşulları sağlanmak üzere y () = f(, y(), y(τ())) şeklindedir. Görüldüğü üzere y () nin değişim oranı sadece y() değerine değil, aynı zamanda y(τ()) değerine de bağlıdır. y () + y( 2) y ( 1 2 ) = 0 x () 2x () + 3x ( 3 2 ) = 0 z () 3z ( sin ) z ( 3 ) = 0 denklemleri gecikmeli denklemlere örnek olarak verilebilir. Bir gecikmeli diferensiyel denklem argümanındaki sapmanın durumuna göre ileri, karışık ipli (mixed ype), gecikmeli (delay) diferansiyel denklemler olarak adlandırılabilir. Örneğin, x () = x( + 2) + 1 diferensiyel denklemi bir ileri diferensiyel denklem, y () = 3y( 1) 2y( + 1) diferensiyel denklemi ise, bir karışık ipli diferensiyel denklemdir. Salınımlılık eorisi diferensiyel denklemleri içine alan modern eorinin önemli ve iyi bilinen bir dalıdır ve eknoloji, doğal ve sosyal bilimlerde uygulanan problemlerde 3

oraya çıkan salınımlılık olayları ile ilgili çalışmalardır. Klasik salınımlılık eorisine, eorik bir bakış açısı ile yaklaşığımızda verilen denklemlerde veya sisemlerde salınımlı çözümlerin var olup olmaması ve bu ip çözümlerin asimpoik anımlarının var olduğunu düşünebiliriz. Salınımlı çözümler, dinamik sisemlerin birçoğunun emel özelliğidir. Dahası, salınmlı nonlineer denklemlerin oraya çıkmasına da neden olmuşur. Bu sisemlerde gecikme erimi geri, ileri veya rasgele olabilir. Bu fakörler orijinal sisemde oraya çıkan salınmlılık yapısına zarar verebilmekedir. Geçmişen günümüze sisemaik olarak araşırmacıların konuya olan ilgisi giderek armaka ve hali hazırda bu konu hızlı bir gelişim gösermekedir. Konuya ilgi giikçe armakadır. Bu konuda, yayımlanmış birçok bilimsel kiap ve makale bulunmakadır. Bu ip denklemlerin yaygın kullanım alanları konrol eorisi, maemaiksel biyoloji, maemaiksel ekonomi, sisemler eorisi ve klasik analizdir. z () + q()z(τ()) = 0, T (1.1) lineer diferensiyel denklemini ele alalım. Burada, q() > 0, T için, τ() ve lim τ() = şarları alında Myhkis (1950), (1.1) denkleminin üm çözümlerinin salınımlı olması için limsup[ τ()] < ve liminf[ τ()]liminfq() > (1/e) şeklinde gerek ve yeer koşul anımlamışır. Bu çalışma, (1.1) şeklindeki gecikmeli diferensiyel denklemlerin salınımlılığı için yapılan ilk sisemaik çalışma olarak kabul edilmekedir. Bunun dışında, Koplaazde ve Chanurija (1982), (1.1) denkleminin üm çözümlerinin salınımlı olması için gerek ve yeer koşulun, τ() monoon olmayan yada azalmayan olmak üzere, 4

liminf q(s)ds 1/e τ() şarının sağlanması olduğunu ispalamışlardır. Diğer arafan, eğer τ() q(s)ds 1/e ise (1.1) denkleminin salınımlı olmayan bir çözüme sahip olduğunu gösermişlerdir. Daha sonra Gyori ve Ladas (1991), z () + qz( τ) = 0 (1.2) denklemi için q, τ R olmak üzere, (i) (1.2) denkleminin üm çözümleri salınımlıdır. (ii) qτ > 1/e ifadelerinin birbirine denk olduğunu gösermişlerdir. Fark denklemleri ile zamana bağlı çeşili doğa olaylarının incelenmesinin, doğal bir ifadesi olarak karşılaşılmakadır. Zamana bağlı değişkenlerin kullanıldığı olayların çoğu ayrık (kesili) olduğundan bu ür denklemler önemli maemaiksel modelleri oluşururlar. Daha da önemlisi fark denklemleri, diferensiyel denklemler için ayrıklaşırma (discreizaion) meodlarının incelenmesinde de karşımıza çıkar. Fark denklemleri eorisinde elde edilen pek çok sonuç hemen hemen bunlara karşılık gelen diferensiyel denklemlerin ayrık benzerleridir. Bununla birlike, fark denklemler eorisi, buna karşılık gelen diferensiyel denklemler eorisinden daha zengindir. Fark denklemleri eorisinin uygulamaları, konrol eorisinde kararlılık durumunun incelenmesinde, biyolojide canlı popülasyon sayısının araşırılmasında, ekonomide borsa harekelerinin izlenmesinde, ıp biliminde hücre harekelerinin incelenmesinde ve bir çok bilim dalında kullanılmakadır. 5

Son yıllarda fark denklemlerinin çözümlerinin davranışı ve özellikle salınımlılığı ile ilgili bir çok çalışma yapılmakadır. Erbe ve Zhang (1989), p n negaif olmayan reel erimli dizi ve k Z olmak üzere xn + 1 xn + pnxn k = 0 ; n = 0,1,2, (1.3) lineer, oonom olmayan, gecikmeli fark denkleminin büün çözümlerinin salınımlı olması için liminf p k k n > n (k + 1) k+1 olması gerekiğini ispalamışlardır. Yine; Ladas, vd. (1989), yukarıda verilen oonom olmayan fark denkleminin üm çözümlerinin salınımlılığı için yeer şar vermişlerdir. Ladas (1990), çalışmasında p R, k Z olmak üzere xn + 1 xn + pxn k = 0, n = 0,1,2, (1.4) lineer, oonom fark denkleminin üm çözümlerinin salınımlılığı için gerek ve yeer şarın (i) k = 1 ise p 1; (ii) k = 0 ise p 1; (iii) k {, 3, 2} {1,2, } ise p > kk (k+1) k+1 ifadelerinin denk olması gerekiğini gösermişir. 6

Diferensiyel denklemler ile bunların ayrık benzerleri olan fark denklemlerinin çözümlerinin salınımlılıkları arasında ilgi çekici benzerlikler vardır. Ancak, bu her zaman geçerli olmayabilir. Örneğin; x () + p()x( k) = 0 (1.5) gecikmeli diferensiyel denklemini ele alalım. (1.4) fark denklemi (1.5) diferensiyel denkleminin ayrık benzeridir. k = 0 için (1.5) diferensiyel denklemi x() = x(0) exp ( p(s)ds) 0 şeklinde bir çözüme sahipir ve bu çözüm hiç bir zaman salınımlı değildir. Faka (1.3) fark denklemi k = 0 için n 1 xn = [ (1 p j )] x n0 j=n 0 şeklinde bir çözüme sahipir. Dolayısıyla bu çözüm j n 0 için 1 p j < 0 olduğunda salınımlı çözüme sahipir. Daha sonraki yıllarda, Yu vd. (1994), Tang ve Zhang (2001), (1.3) fark denkleminin büün çözümlerinin salınımlılığı için yeni krierler elde emişlerdir. Bunun dışında, Yu vd. (1993), Yu ve Tang (2000), (1.3) fark denkleminde p n nin salınımlı bir dizi olması durumunda bu denklemin büün çözümlerinin salınımlılık durumunu incelemişlerdir. Yukarıda verilen bilgilerin ışığında, bu yüksek lisans ez çalışmasında birinci merebeden lineer olmayan gecikmeli diferensiyel denklemler ve birinci merebeden lineer olmayan gecikmeli fark denklemlerinin çözümlerinin salınımlılık davranışları incelenmişir. 7

2. TEMEL TANIMLAR ve LİTERATÜR BİLGİSİ 2.1 Gecikmeli Diferensiyel Denklemler Birinci merebeden bir lineer gecikmeli diferensiyel denklem 1 i m, τ i () ve q i () C[[₀, ), R] olmak üzere denklemi ile anımlanır. m z () + q i ()z(τ i ()) = 0 (2.1) i=1 m = 1 için (2.1) denklemi z () + q()z(τ()) = 0 (2.2) şeklinde ifade edilir. Birinci merebeden lineer olmayan gecikmeli diferensiyel denklem ise 1 i m, τ i () ve q i () C[[₀, ), R], f C(R, R) olmak üzere şeklinde anımlıdır. m z () + q i ()f i (z(τ i ())) = 0 (2.3) i=1 m = 1 için (2.3) denklemi z () + q()f (z(τ())) = 0 (2.4) şeklinde ifade edilir. Tanım 2.1.1 τ i R+, τ i () = τ i ve τ = max{τ₁, τ₂,..., τ m } olmak üzere 1 için z, [₁, ) aralığında sürekli diferensiyellenebilir ve z, (2.1) denklemini sağlıyorsa z 8

C[[ 1 τ, ), R] fonksiyonuna (2.1) denkleminin bir çözümüdür denir ve bu çözüm [₁, ) üzerinde bir çözüm olarak adlandırılır (Ladde e al. 1987). 1 bir başlangıç nokası olmak üzere, φ C[[ 1 τ, 1 ), R] şeklinde bir başlangıç fonksiyonu verilmiş olsun. Böylece, (2.1) denklemi 1 τ 1 için z() = φ() (2.5) şeklinde [₁, ) aralığında bir ek z çözümüne sahipir. Tanım 2.1.2 Bir diferensiyel denklemin aşikar olmayan bir çözümü z olsun. Eğer z, çözümü sonsuz sayıda sıfıra sahipse, yani; lim n n = olacak şekilde bir { n } dizisi vardır öyle ki z({ n }) = 0 ise z çözümüne salınımlıdır denir. Aksi akirde salınımlı değildir denir. Salınımlı olmayan bir çözüm, ya ergeç poziif ya da ergeç negaifir. Yani, > ₁ için z() 0 olacak biçimde en az bir ₁ vardır. Eğer denklemin her çözümü salınımlı ise denklemin üm çözümleri salınımlıdır, salınımlı olmayan en az bir çözümü varsa denklemin çözümleri salınımlı değildir denir (Ladde e al. 1987). Tanım 2.1.3 Aşikar olmayan bir z çözümü T herhangi bir sayı olmak üzere (T, ) aralığında işare değişiriyorsa z çözümüne salınımlıdır denir (Ladde e al. 1987). z () + z() = 0 diferensiyel denklemi için z₁() = sin salınımlı bir çözüm iken, z () z() = 0 denklemi için z₂() = e + e çözümü ise salınımlı olmayan bir çözümüdür. Bazı salınımlılık durumları ise gecikme erimleri ile oluşur. Örneğin; z () + z() = 0 ve 9

z () z() = 0 diferensiyel denklemlerinin çözümleri salınımlı olmamasına karşın, z () + z ( π 2 ) = 0 ve z () + z( π) = 0 gecikmeli diferensiyel denklemlerin çözümleri sırasıyla z = sin ve z = cos fonksiyonları olduğundan bu çözümler salınımlıdır (Ladde e al. 1987). Eğer bir z çözümü salınımlı değilse, z ya ergeç poziif ya da ergeç negaif olmak zorundadır. Yani, T için z() poziif olacak şekilde T R vardır ya da T için z() negaif olacak şekilde T R vardır. Eğer bir gecikmeli diferensiyel denklemin salınımlı olmayan poziif bir z() çözümü var ise, buna karşılık gelen negaif bir z() çözümü de mevcuur. Bu nedenle bir gecikmeli diferensiyel denklem salınımlı olmayan bir çözüme sahipse bu çözüm ya poziif bir çözüm ya da negaif bir çözümdür. Ayrıca, (2.1) denkleminin üm çözümleri salınımlı ise bu, her ₁ ₀ başlangıç nokası ve her φ C[[₁ σ, ₁), R] başlangıç fonksiyonu için, (2.1) ve (2.5) başlangıç değer probleminin ek çözümü olan z çözümü salınımlıdır anlamına gelmekedir. Yani; z sonsuz çokluka sıfıra sahipir. Diğer arafan (2.1) denkleminin salınımlı olmayan bir çözüme sahip olduğunu ispalamak isediğimizde ise, (2.1) denkleminin poziif ya da negaif bir z çözümüne sahip olduğunu ispalamamız yeerlidir. Gyori ve Ladas (1991), bazı gecikmeli diferensiyel denklemler için aşağıdaki salınımlılık koşullarını elde emişlerdir. Teorem 2.1.1 q, τ R olmak üzere, z () + qz( τ) = 0 (2.6) 10

gecikmeli diferensiyel denklemini göz önüne alalım. Bu durumda, aşağıdaki ifadeler birbirine denkir. (i) (2.6) denkleminin her çözümü salınımlıdır. (ii) qτ > 1/e dir. (Gyori and Ladas 1991). Teorem 2.1.2 i = 1,2,..., m için q i, τ i R+ olmak üzere, m z () + q i ()z( τ i ) = 0 denkleminin her çözümünün salınımlı olması için yeer koşul i=1 olmasıdır (Gyori and Ladas 1991). m q i τ i > 1 e i=1 Teorem 2.1.3 q C[[₀, ), R+], τ > 0 olmak üzere z () + qz( τ) = 0, 0 (2.7) gecikmeli diferensiyel denklemini göz önüne alalım. Eğer τ q(s)ds > 1 e ise (2.7) denkleminin üm çözümleri salınımlıdır. Eğer q C[[₀ σ, ), R+], τ > 0 olmak üzere τ q(s)ds 1 e ise (2.7) denklemi salınımlı olmayan bir çözüme sahip olur (Gyori and Ladas 1991). 11

Teorem 2.1.4 ₀ için τ() ve lim τ() = ve τ() azalmayan olmak üzere z () + q()z(τ()) = 0 (2.8) gecikmeli diferensiyel denklemini göz önüne alalım. Bu durumda limsup τ() q(s)ds > 1 ise (2.8) denkleminin üm çözümleri salınımlıdır (Ladas e al. 1972). Teorem 2.1.5 ₀ için τ() ve lim τ() = olsun. Bu durumda, τ() monoon olmayan bir fonksiyon olmak üzere liminf q(s)ds > 1 e τ() ise (2.8) denkleminin üm çözümleri salınımlıdır. Diğer yandan limsup τ() q(s)ds < 1 e ise (2.8) denklemi salınımlı olmayan bir çözüme sahipir (Koplaadze and Chanurija 1982). 2.2 Fark Denklemleri ve Gecikmeli Fark Denklemleri n N olmak üzere ek değişkenli x n fonksiyonu için öeleme (shif) operaörü Ex n = x n+1 ve ileri fark operaörü 12

Δx n = x n+1 x n ile anımlanır (Mickens 1990). Buradan E k x n = x n+k olduğu kolayca görülebilir. Ayrıca; I özdeşlik (birim) operaörü olmak üzere Δ = E I ve E = Δ + I dır. Buna göre, Δ k x n = (E I) k x n ve benzer şekilde olarak elde edilir (Mickens 1990). k = ( 1) i ( k i ) E k i x n i=0 k = ( 1) i ( k i ) E k i x n+k i i=0 k E k x n = ( k i ) Δ k i x n i=0 Tanım 2.2.1 n N bağımsız değişken ve x n, N üzerinde anımlı reel (veya kompleks) değerli bir fonksiyon olsun. x n, x n+1,, x n+k erimleri arasında verilen bir fonksiyonel bağınıya k. merebeden bir fark denklemi denir (Agarwal 2000). Bir fark denklemi k, σ N 1 olmak üzere, F(n, x n, x n+1,, x n+k, x n 1,, x n σ ) = q n (2.9) şeklinde ifade edilir. Tanım 2.2.2 Bir fark denkleminin merebesi, denklemdeki en büyük indis ile en küçük indis arasındaki farkır (Agarwal 2000). 13

Teorem 2.2.1 Δ ve E operaörleri lineerdir. Yani a, b R olmak üzere (i) Δ[ax n + by n ] = aδx n + bδy n (ii) E[ax n + by n ] = aex n + bey n eşilikleri sağlanır (Elaydi 1999). Lemma 2.2.1 İleri fark operaörü için (i) n 1 k=n 0 Δx k = x n x n0 (ii) ( n 1 k=n 0 x k ) = x n özellikleri sağlanır (Elaydi 1999). Lemma 2.2.2 İleri fark operaörü için çarpım ve bölüm kuralı sırasıyla, (i) Δ[x n. y n ] = Ex n. Δy n + y n. Δx n (ii) Δ[ x n y n ] = y n x n x n y n y n Ey n şeklinde anımlıdır (Mickens 1990). Tanım 2.2.3. x R ve k Z+ olmak üzere x (k) = x(x 1) (x k + 1) polinomuna "faköriyel polinomu" denir (Elaydi 1999). Lemma 2.2.3 x R ve k Z+ bir sabi olmak üzere (i) Δx (k) = kx (k 1) (ii) Δ n x (k) = k(k 1) (k n + 1)x (k n) 14

(iii) Δ k x (k) = x (k) = k! eşilikleri sağlanır (Elaydi 1999). Tanım 2.2.4 Eğer bir fark denklemi, k a in x n+i = b n i=0 (2.10) formunda verilirse bu fark denklemine k. merebeden lineerdir denir. Eğer en az bir n N için b n sıfırdan farklı ise, bu durumda (2.10) fark denklemine homogen olmayan, lineer fark denklemi denir (Agarwal 2000). Tanım 2.2.5 Eğer fark denklemi, k a in x n+i = 0 i=0 (2.11) şeklinde verilirse (2.11) fark denklemine homogen, lineer fark denklemi denir (Agarwal 2000). p i ler sabiler ve p k 0 olmak üzere k. merebeden x n+k + p 1 x n+k 1 + + p k x n = 0 (2.12) fark denklemini ele alalım. Bu denklemde λ n çözüm kabul edilip denklemde yerine yazılırsa λ k + p 1 λ k 1 + + p k = 0 (2.13) denklemi bulunur. Buna (2.12) fark denkleminin karakerisik denklemi ve λ lara ise (2.13) denkleminin karakerisik kökleri denir. (2.12) fark denkleminin çözümü için, karakerisik denklemin köklerine bağlı olarak çözümler bulunur (Elaydi 1999). 15

Tanım 2.2.6 Eğer her poziif N amsayısı ve n N için x n x n+1 0 ise x n aşikar olmayan çözümüne sıfır erafında salınımlıdır denir. Aksi halde x n çözümüne salınımlı olmayan çözüm denir. Başka bir şekilde ifade edersek, eğer bir x n çözümü belli bir yerden (n değerinden iibaren) sonra sadece poziif ya da sadece negaif değilse sıfır erafında salınımlıdır denir (Elaydi 1999). Teorem 2.2.2 p R, k Z olmak üzere x n+1 x n + px n k = 0 (2.14) (k + 1). merebeden, oonom fark denklemini gözönüne alalım. Bu durumda (2.14) fark denkleminin her çözümünün salınımlı olması için gerek ve yeer şar aşağıdaki ifadelerden birinin sağlanmasıdır. (i) k = 1 ise p 1; (ii) k = 0 ise p 1; (iii) k {, 3, 2} {1,2, } ise p > kk (k+1) k+1 (Ladas 1990, Gyori and Ladas 1991). Teorem 2.2.3 Kabul edelim ki; i = 1,2,, m için p i (0, ) ve k i {0,1,2, } veya p i (, 0) ve k i {, 2, 1} şarları sağlansın. Bu durumda, m p i (k i + 1) k i+1 i=1 k i k i > 1 16

sağlanıyorsa, x n+1 x n + p i x n ki = 0 fark denkleminin her çözümü salınımlıdır (Ladas 1990, Gyori and Ladas 1991). m i=1 17

3. LİNEER OLMAYAN GECİKMELİ DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN SALINIMLILIĞI Bu bölümde, birinci merebeden lineer olmayan gecikmeli y () + p()f (y(σ())) = 0 (3.1) diferensiyel denkleminin çözümlerinin salınımlılığı ile ilgili yapılan çalışmalar incelenecekir. Burada, p() 0, σ() 0 ve ₀ için σ() ve lim σ() = (3.2) f C(R, R) ve y 0 için yf(y) > 0 (3.3) dır. Bu bölümde, Fukagai ve Kusano (1984) ve Öcalan vd. (2017) emel kaynak olarak alınmışır. Ladde vd. (1987) çalışmasında, (3.1) denkleminin çözümlerinin salınımılığı için aşağıdaki salınımlılık krierlerini vermişlerdir. Teorem 3.1 (3.1) denklemi için (i) R+ için σ() <, σ C(R+, R) olsun. Ayrıca σ(), R+ üzerinde kesin olarak aran bir fonksiyon ve lim σ() =, (ii) p() fonksiyonu bölgesel olarak inegrallenebilir ve p() 0, (iii) f C(R, R), y 0 için yf(y) > 0, f aran bir fonksiyon ve lim ( y 0 y f(y) ) = N < şarları sağlansın. Bu durumda limsup σ() ise (3.1) denkleminin üm çözümleri salınımlıdır. p(s)ds > N 18

Sonuç 3.1 Teorem 3.1, f fonksiyonunun hem lineer hem de yarı lineer olma durumunu içerir. N = 0 olursa f fonksiyonu yarı lineer bir fonksiyon olur. Tanım 3.1 Eğer lim ( y 0 y f(y) ) = ise f fonksiyonu genelleşirilmiş süperlineer fonksiyon olarak adlandırılır (Ladde e al. 1987). Teorem 3.2 (i), (ii) ve (iii) şarları sağlansın. Eğer liminf p(s)ds > N e σ() oluyorsa (3.1) denkleminin üm çözümleri salınımlıdır (Ladde e al. 1987). Örnek 3.1 y () 2 y(λ) = 0, 0 < λ < 1 (elnλ) gecikmeli diferensiyel denklemi gözönüne alalım. Buradan σ() 2 p(s)ds = (elnλ)s ds = 2 e > N e λ elde edilir. Böylece Teorem 3.2 gereğince verilen denklemin üm çözümleri salınımlı olur (Ladde e al. 1987). Ladde vd. (1987), birinci merebeden lineer olmayan gecikmeli diferensiyel denklemlerin çözümlerinin salınımlılığı için yukarıda verilen salınımlılık krierlerini aşağıda belirilen sonuca genişlemişlerdir. 19

Teorem 3.3 1 i m olmak üzere, (i) R+ için σ i C(R+, R) olmak üzere σ i () <, σ i () fonksiyonları R+ üzerinde kesin olarak aran ve lim σ i () =, (ii) p i () fonksiyonu bölgesel olarak inegrallenebilir ve p i () 0, (iii) f i C(R, R), y 0 için yf i (y) > 0, f i fonksiyonları aran fonksiyonlar ve lim ( y 0 y f(y) ) = olsun. Eğer veya m liminf ( p i(s)ds) σ () i=1 > N e oluyorsa limsup σ () m ( p i (s)ds) > N i=1 m y () + p i () f i (y(σ i ())) = 0 (3.4) i=1 denkleminin üm çözümleri salınımlıdır. Burada, σ () = max{σ₁(),..., σ m ()} ve N = max{n₁,..., N m } şeklinde anımlanmışır (Ladde e al. 1987). Teorem 3.4 0 için σ() azalmayan bir fonksiyon, σ(), lim σ() =, ve y 0 için yf(y) > 0, f sürekli bir fonksiyon ve δ = limsup y 0 y f(y) < (3.5) 20

olsun. Eğer liminf p(s)ds > δ e σ() (3.6) ise (3.1) denkleminin üm çözümleri salınımlıdır. İspa: Çelişki için kabul edelimki; y(), (3.1) denkleminin bir ergeç poziif çözümü olsun. (3.6) şarı olmasını gerekirir. α [p()]d < [p()]d = α şarı (3.1) denkleminin bir sınırlı salınımsız çözümüne sahip olması için gerek ve yeer şar olduğundan lim y() = dur. Kabul edelimki; δ > 0 olsun. Bu durumda, (3.5) eşisizliğinden T için f(y()) 1 y() (3.7) 2δ olacak şekilde oldukça büyük T > α seçilebilir. Yeerince büyük her için σ( ) < < olacak şekilde bir vardır öyleki σ( ) [p(s)]ds δ 2e ve [p(s)]ds δ 2e (3.8) eşisizlikleri sağlanır. T olacak şekilde yeerince büyük bir varolsun. (3.1) denklemi [σ( ), ] ve [, ] üzerinde inegre edilip, (3.7) ve (3.8) eşisizlikleri kullanılırsa, y() y(σ( )) = y(σ( )) y() = σ( ) σ( ) 1 2δ [p(s)] f (y(σ(s))) ds [p(s)] f (y(σ(s))) ds σ( ) 1 4e y(σ()) [p(s)] y(σ(s))ds 21

ve y( ) y() = [p(s)] f (y(σ(s))) ds y() y( ) = [p(s)] f (y(σ(s))) ds 1 2δ [p(s)] y(σ(s))ds 1 4e y(σ( )) olur. Yukarıda elde edilen bu iki eşisizlik birlike düşünüldüğünde yeerince büyük T 1 T için, y() 1 4e y(σ( )) 1 (4e) 2 y(σ()) veya y() 1 (4e) 2 y(σ()), T 1 elde edilir. y(σ()) θ = liminf y() (3.9) olsun. Bu durumda 1 θ (4e) 2 olduğundan θ sonludur. Şimdi, (3.1) denklemi y() ye bölünüp [σ(), ] üzerinde inegre edilirse, log y() y(σ()) + σ() f (y(σ(s))) [p(s)] ds = 0 y(s) log y() y(σ()) + σ() f (y(σ(s))) y(σ(s)) [p(s)] ds = 0 y(σ(s)) y(s) 22

elde edilir. Bu son eşiliğin her iki arafının al limii alınıp (3.9), (3.6) ve (3.5) ifadeleri kullanılırsa, log θ = θ e (3.10) elde edilir. Ancak, her x > 0 için log x x e olduğundan (3.10) eşiliğinin sağlanması mümkün değildir. Bu bir çelişkidir. Dolayısıyla, (3.1) denklemi bir ergeç poziif çözüme sahip değildir. Yani, (3.1) denkleminin üm çözümleri salınımlıdır. Teorem 3.5 (3.4) denkleminin bir özel formu olan y () + p()f(y(σ₁()),..., u(σ m ())) = 0 (3.11) diferensiyel denklemini ele alalım. Burada 1 i m ve a için p() ve σ i () fonksiyonları [a, ) aralığı üzerinde sürekli fonksiyonlar, p() 0, σ i () lim σ() =, olsun. Ayrıca Rm üzerinde 1 i m ve y₁y i > 0 için y₁f(y₁,..., y m ) > 0, sürekli f(y₁,..., y m ) fonksiyonu ve negaif olmayan α i sabileri m için i=1 a i = 1 olmak üzere, y₁ α 1 y m α m N = limsup y i 0 f(y₁,..., y m ) < 1 i m olsun. Diğer yandan 1 i m ve a için σ i () σ () olacak şekilde azalmayan σ () fonksiyonu var ve liminf p(s)ds > N e σ () ise (3.11) denkleminin üm çözümleri salınımlıdır. ve Öcalan vd. (2017) çalışmalarında, σ() için yukarıda verilen (3.2) şarı sağlanmak üzere σ() nin non-monoon veya azalmayan olması durumunda, (3.1) denkleminin üm çözümlerinin salınımlılığı için aşağıdaki yeer şarı vermişlerdir. k() supσ(), 0 (3.12) s olsun. Burada, üm 0 için σ() k() ve k() nin azalmayan bir fonksiyon 23

olduğu açıkır. Bunun dışında kabul edelim ki; (3.1) denklemindeki f fonksiyonu için şarı sağlansın. limsup y 0 y = N, 0 N < (3.13) f(y) Teorem 3.6 (3.2), (3.3) ve (3.13) sağlansın. Eğer liminf p(s)ds > N e σ() (3.14) ise (3.1) denkleminin üm çözümleri salınımlıdır. İspa: Çelişki için (3.1) denkleminin salınımlı olmayan poziif bir y() çözümüne sahip olduğunu kabul edelim. Bu durumda, her ₁ için y(), y(σ()) > 0 olacak şekilde ₁ ₀ mevcuur. Ayrıca (3.1) denkleminden, y () = p()f (y(σ())) 0, ₁ elde edilir. Dolayısıyla, y() azalan bir fonksiyondur. y() azalan olduğundan negaif olmayan sonlu bir limii vardır. Yani; lim y() = m 0 mevcuur. (3.14) şarından p()d = (3.15) α olur. Böylece (3.15) ifadesinin varlığı göz önünde bulundurulduğunda, (3.1.1) denkleminin üm salınımsız çözümleri iken sıfıra yakınsadığından Ladde e al. (1987) daki Teorem 3.1.5 den, lim y() = 0 elde edilir. N > 0 olsun. Diğer yandan, (3.13) ifadesi yardımıyla f(y()) 1 2N y(), 2 (3.16) olacak şekilde ₂ > ₁ seçilebilir. Diğer arafan, Erbe vd. (1995) deki Lemma 2.1.1 den liminf p(s)ds σ() = liminf p(s)ds k() (3.17) 24

dir. Böylece (3.1) denklemi, σ() δ() eşisizliği, y() nin azalan bir fonksiyon olması ve (3.16) eşisizliği yardımıyla şeklini alır. Ayrıca (3.14) ve (3.17) den y () + 1 p()y(k()) 0, ₃ (3.18) 2N p(s)ds l > N e, 3 2 (3.19) k() olacak şekilde l > 0 sabii vardır. Böylece (3.19) dan, p(s)ds > N 2e k() ve p(s)ds > N 2e (3.20) olacak şekilde (k(), ) bulunabilir. (3.18) eşisizliği, y() fonksiyonunun azalan olması kullanılarak k() den a inegre edilirse, veya y( ) y(k()) + 1 2N k() y( ) y(k()) + 1 2N y(k( )) p(s)y(k(s))ds 0 k() p(s)ds 0 elde edilir. Böylece (3.20) den, bulunur. (3.18) eşisizliği, dan ye inegre edilirse, y(k()) + 1 2N y(k( )) N 2e < 0 (3.21) veya y() y( ) + 1 2N p(s)y(k(s))ds 0 y() y( ) + 1 2N y(k()) p(s)ds 0 bulunur. (3.20) ifadesi yardımıyla, y( ) + 1 2N y(k()) N 2e < 0 (3.22) 25

olur. Böylece, (3.21) ve (3.22) eşisizlikleri birleşirildiğinde, elde edilir ve olur. Ayrıca y( ) > y(k()) 1 4e > y(k( )) ( 1 4e ) 2 y(k( )) y( ) < (4e) 2, 4 u = y(k( )) y( ) > 1 (3.23) olarak anımlanırsa 1 u < (4e)² olduğundan, u sınırlıdır. Diğer arafan (3.1) denklemi y() ile bölünüp k() den ye inegre edilirse, y (s) ds + y(s) k() ln y() y(σ()) + f (y(σ(s))) p(s) ds = 0 y(s) k() f (y(σ(s))) y(σ(s)) p(s) ds y(σ(s)) y(s) k() ifadeleri elde edilir. y() azalan bir fonksiyon olduğundan ln y() y(k()) + f (y(σ(s))) y(k(s)) p(s) ds y(σ(s)) y(s) k() = 0 0 olur. Ayrıca γ,, γ iken k() < γ < olacak şekilde anımlanırsa, k() olur. O halde son eşisizlik, ln y(k()) y() f (y(σ(γ))) y(σ(γ)) y(k(γ)) y(γ) p(s)ds k() (3.24) olur. Buradan, (3.24) ifadesinin her iki arafının al limii alınırsa ln u > (u/e) bulunur. Faka, her x > 0 için ln x (x/e) olduğundan bu imkansızdır. Bu bir çelişkidir. N = 0 olması durumu da aynı şekilde göserilebilir. Böylece ispa amamlanır. 26

Örnek 3.2 y () + 1 y(σ()) ln(10 + y(σ()) ) = 0, > 0 (3.25) e birinci merebe lineer olmayan gecikmeli diferensiyel denklemini gözönüne alalım. Burada, σ() fonksiyonu, şeklindedir. (3.12) den 1, [3k, 3k + 1] σ() = { 3 + 12k + 3, [3k + 1,3k + 2], k N 0 5 12k 13, [3k + 2,3k + 3] k() sup s 1, [3k, 3k + 1] σ() = { 3 + 12k + 3, [3k + 1,3k + 2], k N 0 5 12k 13, [3k + 2,3k + 3] elde edilir. p() = (1/e) ve f(y) = y ln(10 + y ) olarak alınırsa ve N = limsup y 0 liminf y f(y) = limsup y 0 p(s)ds σ() y y ln(10 + y ) = 1 ln 10 = 1 e > N e = 1 e ln 10 elde edilir. Yani, Teorem 3.6 nın üm şarları sağlanır. Böylece (3.25) denkleminin üm çözümleri salınımlıdır. 27

4. LİNEER OLMAYAN GECİKMELİ FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİNİN SALINIMLILIĞI Bu bölümde, y n+1 y n + q n f(y n k ) = 0, n = 0,1,2, (4.1) şeklinde lineer olmayan gecikmeli fark denkleminin çözümlerinin salınımlılığı incelenecekir ve emel kaynak olarak Tang ve Yu (2002) alınmışır. Burada, {q n } negaif olmayan bir sayı dizisi, k bir poziif amsayı ve f C(R, R), y 0 için yf(y) > 0 (4.2) dir. (4.1) denkleminin lineerleşirilmiş şekli ise; y n+1 y n + q n y n k = 0, n = 0,1,2, (4.3) ile anımlıdır. (4.1) denkleminin {y n } dizisinin erimleri ne amamen negaif ne de amamen poziif olmuyorsa {y n } çözümüne salınımlıdır, aksi halde çözüm salınımsızdır denir. Erbe ve Zhang (1989), çalışmalarında liminf q k k n > (k + 1) k+1 şarı sağlanıyorsa (4.3) denkleminin üm çözümlerinin salınımlı olduğunu ispalamışlardır. Daha sonra, Ladas vd. (1989), yukarıda verilen şarı gelişirerek liminf n 1 q i i=n k > ( k k + 1 ) k+1 şarı alında (4.3) denkleminin üm çözümlerinin salınımlı olacağını belirmişlerdir. 28

Tang (1998), çalışmasında farklı eknikler kullanarak (4.3) denkleminin salınımlılığı için yeerince büyük n için, ve n 1 q i ( k k+1 k + 1 ) i=n k (4.4) n 1 q n {[1 1 k ( q i n=k i=n k ( k k k+1 k + 1 ) )] 1} = (4.5) şarlarını elde emişir. Bunun yanı sıra Tang ve Yu (1999a) ve Tang ve Yu (1999b), (4.3) denkleminin salınımlılığı için verilen yukarıdaki şarı gelişirerek sırasıyla; ve n+k q n [ k + 1 k ( q i) n=0 i=n+1 1 k+1 1] = n+k n+k n+k q n [ q i ln ( q i + 1 sgn q i ) n=0 i=n i=n i=n n+k n+k n+k q i ln ( q i + 1 sgn q i )] = (4.6) i=n+1 i=n+1 i=n+1 şarları alında (4.3) denkleminin üm çözümlerinin salınımlı olduğunu ispalamışlardır. Tang ve Yu (2000c), (4.6) salınımlılık şarına karşı bir aşağıdaki örneği vererek, (4.1) lineer olmayan fark denklemi ile (4.3) lineerleşirilmiş fark denkleminin f(x) lim x 0 x = 1 (4.7) şarı sağlansa bile farklı salınımlılık davranışı göserdiklerini ispalamışlardır. 29

Örnek 4.1 Lineer olmayan gecikmeli k k y n+1 y n + ( (k + 1) k+1 + 1 n + 1 ) f(y n k) = 0, n = 0,1,2, fark denklemini gözönüne alalım. Burada, y, y 1 (k + 1)k+1 1 + k f(y) = k y 1 + ((k + 1) k+1 /k k )ln(k/(k + 1))/ln k/(k + 1) k+1 y, 0 < y < 1 { 0, y = 0 dır. Buradan kolayca görülebilir ki; (4.2) ve (4.7) sağlanır ve denklem y n = [ k k+1 ]n şeklinde bir poziif çözüme sahipir. Ancak (4.4) ve (4.5) den bu denklemin lineerleşirilmiş denklemi olan k k y n+1 y n + ( (k + 1) k+1 + 1 n + 1 ) y n k = 0, n = 0,1,2, denkleminin her çözümü salınımlıdır (Tang and Yu 2000c). Yukarıdaki örneken de görülebileceği gibi (4.3) lineerleşirilmiş denklemin çözümlerinin salınımlılık davranışından, (4.1) lineer olmayan denklemin çözümlerinin salınımlılık davranışına ulaşılamaz. Bu nedenle, lineer olamayan (4.1) denklemi için salınımlılık krierleri elde emek oldukça önemli bir problemdir. İlk olarak, kabul edelim ki; (4.1) denklemindeki f(x) lineer olmayan fonksiyonu için, (A): i. h(x), R + üzerinde azalmayandır, ii. h( x) = h(x) ve lim x 0 h(x) = 0, 1 0 iii. h(x) dx <, x 30

iv. f(x) x 1 h(x), 0 < x < ε 0 olacak şekilde ε 0 > 0 ve bir h(x) C(R, R + ) fonksiyonu vardır. Bunun dışında, S n = {q i > 0: n k i n 1} ve S n kümesindeki elemanların sayısı da k n ile göserilsin. Buradan açıkır ki; 0 k n k dır. Lemma 4.1 (4.2) şarı ve q n = n=0 (4.8) şarının sağlandığını kabul edelim. O halde, (4.1) denkleminin salınımlı olmayan her çözümü n için monoon olarak sıfıra yakınsar. Lemma 4.2 (4.2), (4.8) ve (A) kabulü sağlansın. Eğer (4.1) denklemi bir salınımlı olmayan çözüme sahip ise o halde, ergeç dir. n+k q i 3 2 i=n Lemma 4.3 (4.2), (4.8) ve (A) kabulü sağlansın. Eğer {y n }, (4.1) denkleminin salınımlı olmayan bir çözümü ise n 1 x n B (1 q i 2 ), n > N i=n olacak şekilde bir B > 0 reel sayısı ve bir N amsayısı vardır. İspa. {y n } dizisinin ergeç poziif olduğunu kabul edelim. n N için y n > 0 olacak şekilde bir N amsayısı vardır ve 31

y n+1 y n + 1 2 q ny n 0, n N dir. Buradan B = y N olmak üzere olur. Böylece ispa amamlanır. n 1 y n B (1 q i 2 ), n > N i=n Lemma 4.4 (4.2) şarı (A) kabulü ve liminf n n 1 q i i=n k > 0 (4.9) eşisizliği sağlansın. Eğer {y n }, (4.1) denkleminin salınımlı olmayan bir çözümü ise o zaman y n k y n < m olacak şekilde bir reel m > 0 sayısı vardır. İspa. Kabul edelim ki, {y n } ergeç poziif bir dizi olsun. n N için y n > 0 olacak şekilde bir N amsayısı vardır ve y n+1 y n + 1 2 q ny n k 0, n N dır. Yu ve Zhang (1993) deki Lemma 2. gereğince y n k limsup n y n yazılabilir. Böylece ispa amamlanır. 16 (liminf n 1 q i n i=n k ) 2 < 32

Teorem 4.1 Kabul edelim ki; (4.2) şarı, (A) kabulü, (4.7) şarı ve n+k q n [(k n + 1) ( q i ) n=0 i=n+1 1 k n +1 k n ] = (4.10) sağlanıyorsa (4.1) denkleminin her çözümü salınımlıdır. İspa: Çelişki için kabul edelimki, (4.1) denklemi n n 0 için y n > 0 olacak şekilde salınımlı olmayan bir {y n } çözümüne sahip olsun. Lemma 4.1, (4.9) ve (A) kabulünden, n n 1 için n 1 i=n k q i anımlanmış olmak üzere > 0 olacak şekilde bir n 1 n 0 amsayısı ve ε 0, (A) daki şekilde 0 < y n < ε 0, y n+1 y n 0 ve 0 < h(y n k ) < 1, n n 1 yazılabilir. Yukarıdaki ifade ve (A) kabulünden f(y n k ) (1 h(y n k ))y n k, n n 1 elde edilir. Bu ifade (4.1) de yerine yazılırsa y n+1 y n + q n y n k (1 h(y n k )) 0, n n 1 (4.11) olur. μ n = 1 y n+1, n n y 1 alınırsa, 0 μ n < 1 dir. (4.11) den, n μ n q n n 1 (1 μ i ) 1 y n k q n h(y n k ), n n 1 + k i=n k elde edilir. Lemma 4.4 ve arimeik geomerik oralama eşisizliği kullanılarak y n n 1 μ n q n (1 1 ( μ k i ) kn ) mq n h(y n k ), n n 2 n 1 + k n i=n k veya n n 2 için, 33

μ n n+k q i i=n+1 n+k n 1 n+k q n ( q i ) (1 1 ( μ k i ) kn ) mq n ( q i ) h(y n k ) n i=n+1 i=n k i=n+1 elde edilir. Lemma 4.2, Lemma 4.3 ve yukarıdaki son eşisizlik göz önüne alındığında, n n 3 maks{n, n 2 } için μ n n+k q i i=n+1 n+k q n ( q i ) (1 1 n 1 k n ( μ k i ) ) 3 n k 1 n 2 mq nh (B (1 q i 2 ) ) i=n+1 i=n k i=n bulunur. n n (1 q i 2 ) 1 1 2 q i i=n k i=n k 1 4, n n 3 olduğundan n n 3 için n k 1 n (1 q i 2 ) = (1 q i 2 ) (1 q 1 i 2 ) 4 (1 q i 2 ) i=n i=n n i=n k n i=n (4.12) elde edilir. Burada, n β n = (1 q i 2 ) i=n ve n n 3 için n k 1 E n = 3mq n h (B (1 q i i=n ) /2 2 ) olarak alalım. 4Bβ N 1 < 1 olacak şekilde N n 3 olsun. (4.12), h(x) fonksiyonunun azalmayan olmasından ve (A) kabulünün (iii) şıkkından 34

1 3 n k qi E = m q h B 1 2 2 n n n= N* n= N* i= N n= N* n= N* n= N* n= N* 0 N* 1 ( 4 ) n 1 = 3m h 4B n 1 ( ) h n = 3m 3m 3m 3 m qnh B 2 n 1 ( ) n ( ) n 1 n 1 h x dx n x h( x) dx x n elde edilir. Burada, α n = 4Bβ n armayan ve lim n α n = 0 dır. n n 3 için alınırsa n k 1 E n = 3 2 mq nh (B (1 q i 2 ) ) i=n n+k n+k n 1 μ n q i i=n+1 q n ( q i ) (1 1 ( μ k i ) kn ) E n n i=n+1 i=n k yazılabilir. Son eşisizliken, r 0 ve x < k n için r (1 y n ) k y + (kn + 1)r(k n k +1) k n n 1 olduğundan n n 3 için μ n n+k q i i=n+1 q n n 1 μ i + q n [(k n + 1) ( q i ) i=n k n+k i=n+1 1 (k n +1) k n ] E n 35

elde edilir. Bu eşisizliğin N dan T > N + 2k ya oplamı alınırsa, T n+k T n 1 μ n n=n q i q n i=n+1 n=n T μ i i=n k q n [(k n + 1) ( q i ) n=n n+k i=n+1 1 (k n +1) T k n ] E n n=n olur. Toplamın sırası değişirilirse, T n 1 T k n+k q n μ i n=n i=n k μ n q i n=n i=n+1 bulunur. Son eşisizlik bir önceki ifadede yerine yazılırsa, T n+k μ n q i n=t k+1 i=n+1 T q n [(k n + 1) ( q i ) n=n n+k i=n+1 1 (k n +1) T k n ] E n n=n elde edilir. Burada 0 μ n < 1 olduğundan bir önceki eşisizliken T n+k q i n=t k+1 i=n+1 T q n [(k n + 1) ( q i ) n=n n+k i=n+1 1 (k n +1) T k n ] E n n=n yazılabilir. T n=n E n < olduğundan (4.10) ve bir önceki eşisizliken olur. Diğer arafan, Lemma 4.2 den, T n+k lim q i T n=t k+1 i=n+1 = (4.13) T n+k q i n=t k+1 i=n+1 3 2 k elde edilirki, bu durum (4.13) ile çelişir. Böylece ispa amamlanır. 36

Haırlama 4.1 Teorem 4.1 in ispaından (4.3) lineer denklemi için (4.9) koşulunun gerekli olmadığı kolayca görülmekedir. Bu yüzden aşağıdaki sonuç verilebilir. Sonuç 4.1 Kabul edelimki (4.10) sağlansın. Bu durumda, (4.3) denkleminin her çözümü salınımlıdır. Teorem 4.2 (4.2) ve (4.7) sağlansın ve kabul edelimki, k liminf [(k n + 1 n +1 ) n k n n+k q i ] > 1 (4.14) i=n+1 olsun. Bu durumda (4.1) denkleminin her çözümü salınımlıdır. İspa: Çelişki için kabul edelimki, (4.1) denklemi n n 0 için y n > 0 olacak şekilde salınımlı olmayan bir {y n } çözümüne sahip olsun. (4.14) den n n 1 için n+k (k n + 1) ( (1 φ)q i ) i=n+1 1 k n +1 k n φ olacak şekilde bir n 1 amsayısı ve φ (0,1) vardır. Buradan, n+k q n [(k n + 1) ( (1 φ)q i ) 1 k n +1 k n ] = n=0 i=n+1 yazılır. Sonuç 4.1 den y n+1 y n + (1 φ)q n y n k = 0, n = 0,1,2, (4.15) denklemi yalnızca salınımlı çözümlere sahipir. Diğer arafan, (4.7) kullanılarak f(y n k ) y n k > 1 φ, n n 2 olacak şekilde bir n 2 n 1 amsayısı vardır. Bu ifade (4.1) ile birlike düşünüldüğünde, 37

y n+1 y n + (1 φ)q n y n k 0, n n 2 olur. Bu durum ise yukarıdaki eşisizliğin bir ergeç poziif çözümünün olduğunu göserir. Sonuç olarak, (4.15) denklemi de bir ergeç çözüme sahipir. Bu çelişkinin elde edilmesiyle ispa amamlanır. Teorem 4.3 (4.2), (4.9), (4.10) sağlansın ve f(x) x M x r+1, x ε 0 olacak şekilde ε 0 > 0, r > 0 ve M 0 var olsun. Bu durumda, (4.1) denkleminin her çözümü salınımlıdır. İspa: h(x) = M x r olsun. Bu durumda (A) kabulünün sağlandığı kolayca görülür. Dolayısıyla, Teorem 4.1 den Teorem 4.3 sağlanır. Böylece ispa amamlanır. Örnek 4.2 q 3n = 0, q 3n+1 = q 3n+2 = c, n = 0,1,2, olmak üzere y n+1 y n + q n y n 3 = 0, n = 0,1,2, (4.16) lineer gecikmeli fark denklemini gözönüne alalım. n 4 için k n = 2 ve n+3 q i = 2c, n = 0,1,2, i=n+1 olduğu açıkır. Eğer, c > 4 27 ise k liminf [(k n + 1 n +1 ) n k n n+k q i i=n+1 ] = 4 27 c > 1 olacakır. Teorem 4.2 den (4.16) denkleminin her çözümü salınımlıdır. Diğer arafan eğer, c 4 ise Erbe ve Zhang (1989) a göre 27 x n+1 x n + cy n 2 = 0, n = 0,1,2, 38

gecikmeli fark denklemi bir ergeç poziif {x n } çözümüne sahipir. y 3n+1 = y 3n = x 2n, y 3n+2 = x 2n+1, n = 0,1,2, olsun. Bu durumda, y 3n+1 y 3n = 0 = q 3n y 3n 3 y 3n+2 y 3n+1 = x 2n+1 x 2n = cx 2n 2 = q 3n+1 y 3n+1 3, y 3n+3 y 3n+2 = x 2n+2 x 2n+1 = cx 2n 1 = q 3n+2 y 3n+2 3 olur ki, bu durumda {x n }, (4.16) denklemini sağlar ve dolayısıyla {x n } in, (4.16) denkleminin bir ergeç poziif çözümü olduğu görülür. O halde (4.16) denkleminin her çözümünün salınımlı olması için gerek ve yeer koşul c > 4 27 olmasıdır. Örnek 4.3 q 5n = q 5n+1 = 0, q 5n+2 = q 5n+3 = q 5n+4 = c 0.23, n = 0,1,2, ve f(x) = { x[1 + (1 + ln2 x )] 1, x 0 0, x = 0 olmak üzere y n+1 y n + q n f(y n k ) = 0, n = 0,1,2, (4.17) lineer olmayan gecikmeli fark denklemini gözönüne alalım. 1, x > 1 h(x) = {(1 + ln 2 x ) 1, 0 < x < 1 0, x = 0 olsun. Buradan görülür ki, (4.2) ve Tang ve Yu (2000) nun çalışmalarındaki (H) kabulü sağlanır. Basi bir hesaplama ile, k 5n = 3, k 5n+2 = 2, k 5n+2 = q 5n+3 = 1, q 5n+4 = 2, n = 0,1,2, ve 39

5n+4 i+3 q i i + 1) ( q j ) [(k i=5n j=i+1 1 (k i +1) ] = c[(2 2c 1) + (2 c 1) + (3 c 2)] 0.0353, n = 0,1,2, olduğu kolayca görülebilir. Dolayısıyla, n+3 q n n + 1) ( q j ) [(k n=5 j=n+1 1 (k n +1) k n ] = olur ki; Teorem 4.1 den (4.17) denkleminin her çözümü salınımlıdır. 40

5. KAYNAKLAR Agarwal, R.P. (1992). Difference Equaions and Inequaliies. Marcel Dekker, New York. Arino, O., Gyori, I. and Jawhari, A. (1984). Oscillaion crieria in delay equaions. Journal of Differenial Equaions, 53: 115-123. Berezansky, L. and Braverman, E. (2011). On some consans for oscillaion and Sabiliy of delay equaions. Proceedings of he American Mahemaical Sociey, 139 (11): 4017-4026. Bildik, N. (2012). Bilim ve eknolojide gelişmişliğin maemaiksel emeli. Celal Bayar Üniversiesi Yayınları, Manisa. Braverman, E. and Karpuz, B. (2011). On oscillaion of differenial and difference equaions wih non-monoone delays. Applied Mahemaics and Compuaion, 218: 3880-3887. Chazarakis, G. E. and Öcalan Ö. (2016). Oscillaions of differenial equaions wih non-monoone rearded argumens. LMS Journal of Compuaion and Mahemaics, 19 (1): 98-104. Chazarakis, G. E. and Öcalan Ö. (2015). Oscillaions of differenial equaions wih several non-monoone argumens. Dynmical Sysems, 30 (3): 310-323. Elaydi, S. (1999). An inroducion o difference equaions, Springer-Verlag, New York. Elber, A. and Savroulakis, I. P. (1990). Oscillaions of firs order differenial equaions wih deviaing argumens. In recen rends in differenial equaions, World Science Publishing Company, 172: 163-178. Elber, A. and Savroulakis, I. P. (1995). Oscillaion and non-oscillaion crieria for delay differenial equaions. Proceeding of he American Mahemaical Sociey, 123: 1503-1510. Erbe, L. H. and Zhang, B. G. (1988). Oscillaion of firs order linear differenial equaions wih deviaing argumens. Differenial Inegral Equaions, 1: 305-314. 41

Erbe, L.H. and Zhang, B.G. (1989). Oscillaion of discree analogue of delay equaions. Differenial Inegral Equaions, 2: 300-309. Erbe, L. H., Kong, Q. and Zhang, B. G. (1995). Oscillaion Theory for Funcional Differenial Equaions. Marcel Dekker, New York. Fukagai, N. and Kusano, T. (1984). Oscillaion heory of firs order funcional differenial equaions wih deviaing argumens. Annali di Maemaica Pura ed Applicaa, 136: 95-117. Gopalsamy, K. (1992). Sabiliy and Oscillaions in Delay Differenial Equaions of Populaion Dynamics. Kluwer Academic Publishers. Grammaikopoulos, M. K., Koplaadze, R. G. and Savroulakis, I. P. (2003). On he oscillaion of soluions of firs order differenial equaions wih rearded argumens. Georgian Mahemaical Journal, 10: 63-76. Gyori, I. and Ladas, G. (1991). Oscillaion Theory of Delay Differenial Equaions wih Applicaions. Clarendon Press, Oxford. Hun, B. R. and Yorke, J. A. (1984). When all soluions x = n i=1 q i ()x( T i ()) oscillae. Journal of Differenial Equaions, 53: 139-145. Koplaadze, R. G. and Chanurija, T. A. (1982). Oscillaing and monoone soluions of firs-order differenial equaions wih deviaing argumens. (Russian), Differensial'nye Uravneniya, 8: 1463-1465. Ladas, G., Philos, Ch. G. and Sficas, Y. G. (1989). Sharp condiion for he oscillaion of delay difference equaion. Journal of Applied Mahemaics and Simulaion, 2:101-112. Ladas, G. (1990). Explici condiion for he oscillaion of diference equaions. Journal of Mahemaical Analysis and Applicaions, 153: 276-286. Ladas, G. (1979). Sharp condiions for oscillaions caused by delay. Applicable Analysis, 9: 93-98. Ladas, G., Laskhmikanham, V. and Papadakis, J. S. (1972). Oscillaion of high-order rearded differenial equaions generaed by rearded argumens. Delay and Funcional Differenial Equaions and Their Applicaions, Academic Press, New York, 219-231. 42

Ladas, G. and Savroulakis, I. P. (1982). Oscillaion caused by several rearded and advanced argumens. Journal of Differenial Equaions, 44: 134-152. Ladde, G. S., Laskhmikanham, V. and Zhang, B. G. (1987). Oscillaion heory of differenial equaions wih deviaing argumens. Monographs and Texbooks in Pure and Applied Mahemaics, 110: Marcel Dekker, Inc., New York. Mickens, R. E. (1990). Difference Equaions, Van Nosrand Reinhold, New York. Myshkis, A. D. (1950). Linear homogeneous differenial equaions of firs order wih deviaing argumens. (Russian), Uspekhi Maemaicheskikh Nauk, 5: 160-162. Öcalan Ö., Kılıç N., Şahin S. and Özkan U. M. (2017). Oscillaion of nonlinear delay differenial equaion wih non-monoone argumens. Inernaional Journal of Analysis and Applicaions, 14 (2): 147-154. Tang, X. H. (1998). Oscillaion of delay difference equaion wih variable coefficiens. Journal of Cenral Souh Universiy of Technology, 29 (3): 287-288. Tang, X. H. and Yu J. S. (1999a). Oscillaion of delay difference equaions. Compuers&Mahemaics wih Applicaions, 37: 11-20. Tang, X. H. and Yu J. S. (1999b). A furher resul on he oscillaion of delay difference equaions. Compuers&Mahemaics wih Applicaions, 38: 229-237. Tang, X. H. and Yu J. S. (2000a). Oscillaion of delay difference equaions in a criical sae. Applied Mahemaical Leers, 13: 9-15. Tang, X. H. and Yu J. S. (2000b). Oscillaion of delay difference equaions. Hokkaido Maemaical Journal, 29: 213-228. Tang, X. H. and Yu J. S. (2000c). Oscillaion of nonlinear delay difference equaions. Journal of Mahemaical Analysis and Applicaions, 249: 476-490. Tang, X. H. and Yu J. S. (2002). Oscillaion of nonlinear delay difference equaions. Journal of Compuaional Applied Mahemaics, 146: 395-404. Tang, X. H. and Zhang R. Y. (2001). New oscillaion crieria for delay difference equaions. Compuers and Mahemaics wih Applicaions, 42:1319-1330. Tang, X. H. (2004). Oscillaion of firs order delay differenial equaions wih disribued delay. Journal of Mahemaical Analysis and Applicaions, 289: 367-378. 43

Villasana, M. and Radunskaya, A. (2003). A delay differenial equaion model for umor growh. Journal of Mahemaical Biology. 47 (3): 270-294. Yan, J. and Qian, C. (1992). Oscillaion and comparison resul for delay difference equaions. Journal of Mahemaical Analysis and Applicaions, 165: 346-360. Yu, J. S. and Tang, X. H. (2000). Sufficien condiions for he oscillaion of linear delay difference equaions wih oscillaing coefficiens. Journal of Mahemaical Analysis and Applicaions, 250: 735-742. Yu, J. S. and Wang, Z. C. (1994). Asympoic behavior and oscillaion in delay difference equaions. Funkcialaj Ekvacioj, 37: 241-248. Yu, J. S., Zhang B. G. and Qian X. Z. (1993). Oscillaion of delay difference equaions wih deviaing coefficiens. Journal of Mahemaical Analysis and Applicaions, 177: 432-444. Yu, J. S., Zhang B. G. and Wang, Z. C. (1994). Oscillaion of delay difference equaions. Applicable Analysis, 53: 117-124. 44

ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Ayşe CANER Doğum Yeri ve Tarihi : Kiel-ALMANYA, 12.05.1977 Yabancı Dili : İngilizce İleişim (Telefon/e-posa) : 0505 346 06 42 / aysecaner77@homail.com Eğiim Durumu (Kurum ve Yıl) Lise : Afyon Lisesi, (1991-1994) Lisans : Selçuk Üniversiesi, Maemaik Bölümü, (1995-2000) Çalışığı Kurum/Kurumlar ve Yıl : Milli Eğiim Bakanlığı, İscehisar Çok Programlı Lisesi (Hacı Süleyman Selek Çok Programlı Lisesi), 2002-2004. Milli Eğiim Bakanlığı, Aaürk Lisesi, 2004-2007. Milli Eğiim Bakanlığı, Zübeyde Hanım Mesleki Teknik Anadolu Lisesi, 2007-2017. Milli Eğiim Bakanlığı, TOKİ Sosyal Bilimler Lisesi, 2017-45