Danışman Yrd. Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ
|
|
- Mehmed Kahveci
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 YÜKSEK MERTEBEDEN FARK DENKLEMLERİNİN SALINIMLILIK DAVRANIŞI YÜKSEK LİSANS TEZİ Emrah KARAMAN Danışman Yrd. Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran 2010
2 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ YÜKSEK MERTEBEDEN FARK DENKLEMLERİNİN SALINIMLILIK DAVRANIŞI EMRAH KARAMAN DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. MUSTAFA KEMAL YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran 2010
3 O AY SAYFASI Yrd. Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ın danışmanlığında Emrah KARAMA tarafından hazırlanan Yüksek Mertebeden Fark Denklemlerinin Salınımlılık Davranışı başlıklı bu çalışma, lisansüstü eğitim ve öğretim yönetmeliğinin ilgili maddeleri uyarınca../.../.. tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans tezi olarak oy birliği/ oy çokluğu ile kabul edilmiştir. Ünvanı, Adı, SOYADI Đmza Başkan Doç. Dr. Özkan ÖCALAN Üye Doç. Dr. Mehmet KARABACAK Üye(Danışman) Yrd. Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu nun../../.. tarih ve sayılı kararıyla onaylanmıştır. Doç. Dr. Rıdvan ÜNAL Enstitü Müdürü i
4 ĐÇĐ DEKĐLER Sayfa o TEZ JÜRĐSĐ ve E STĐTÜ O AYI i ĐÇĐ DEKĐLER ii ÖZET iii ABSTRACT iv TEŞEKKÜRLER v SĐMGELER DĐZĐ Đ vi 1. GĐRĐŞ 1 2. TEMEL KAVRAMLAR Fark Analizi ve Genel Tanımlar Lineer Fark Denklemleri Teorisi Lineer Homogen Sabit Katsayılı Fark Denklemlerinin Çözümleri Fark Denklemlerinin Çözümlerinin Salınımlılığı YÜKSEK MERTEBEDE LĐ EER OLMAYA EUTRAL GECĐKMELĐ FARK DE KLEMLERĐ Đ SALI IMLILIK SO UÇLARI Yüksek Mertebeden Lineer Olmayan Neutral Gecikmeli Fark Denklemlerinin Salınımlılık Davranışı (3.1) Denkleminin Salınımlılığı için Yeter Şartlar SALI IMLI KATSAYILI YÜKSEK MERTEBEDE LĐ EER OLMAYA GECĐKMELĐ FARK DE KLEM- LERĐ Đ SALI IMLILIK DAVRA IŞI Salınımlı Katsayılı Yüksek Mertebeden Lineer Olmayan Neutral Gecikmeli Fark Denklemlerinin Çözümlerinin Salınımlık Analizi 30 KAY AKLAR 36 ÖZGEÇMĐŞ vii ii
5 ÖZET YÜKSEK MERTEBEDEN FARK DENKLEMLERĐNĐN SALINIMLILIK DAVRANIŞI Yüksek Lisans Tezi Emrah KARAMA Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ Bu yüksek lisans tezi dört bölümden oluşmaktadır. Đlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. Đkinci bölümde, fark analizi, lineer fark denklemleri teorisi, lineer homogen sabit katsayılı fark denklemlerinin çözümleri ve fark denklemlerinin salınımlılığı ile ilgili temel bilgiler verilip bunlara ilişkin bazı teorem ve lemmalar verilecektir. Üçüncü bölümde, m ( y + p y ) + q f ( y ) = 0, n N (1) n n n k şeklindeki yüksek mertebeden lineer olmayan neutral gecikmeli fark denklemi incelenmiştir. Bu bölümde, (1) denkleminin tüm çözümlerinin salınımlılığı için yeter şartlar verilmiştir. Orijinal sonuçlarımızın yer aldığı dördüncü bölümde ise, n n l f ( yτ ) + qh( yσ ) 0, n N (2) m ( yn + pn ( n) n ( n) = şeklindeki yüksek mertebeden lineer olmayan fark denklemi ele alınmıştır ve bu denklemin sınırlı çözümünlerinin salınımlığı için yeter şartlar elde edilmiştir. 2010, 38 sayfa Anahtar Kelimeler: Fark denklemi, salınımlılık, neutral, gecikme, salınımsızlık. iii
6 ABSTRACT OSCILLATORY BEHAVIOUR OF HIGHER ORDER DIFFERENCE EQUATIONS M. Sc. Thesis Emrah KARAMA Afyon Kocatepe University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Assist. Prof. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ This thesis consists of four chapters. The first chapter has been devoted to the introduction. In the second chapter, some main topics for difference calculus, theory of linear difference equations, solutions of linear homogeneous autonomous difference equations, oscillations of difference equations have been given and some known theorems and lemmas concerning these concepts have also been recalled. In the third chapter, the higher order nonlinear neutral delay difference equation m ( y + p y ) + q f ( y ) = 0, n N (1) n n n k is studied. In this chapter, sufficient conditions for oscillation of all solutions of (1) are given. In the four chapter, where our original results are given, the higher order nonlinear delay difference equation n n l f ( yτ ) + q h( yσ ) 0, n N (2) m ( yn + pn ( n) n ( n) = is considered and sufficient conditions for oscillation of bounded solutions of this equation are given. 2010, 38 pages Key Words: Difference equation, oscillation, neutral, delay, nonoscillation. iv
7 TEŞEKKÜRLER Bu çalışmayı bana vererek çalışmamın her safhasında yakın ilgi ve yardımlarını esirgemeyen değerli hocalarım Yrd. Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ a, Doç. Dr. Özkan ÖCALAN a, Arş. Grv. Başak KARPUZ a, Arş. Grv. Aziz SAĞLAM a ve manevi desteklerini esirgemeyen aileme teşekkür ve şükranlarımı sunmayı bir borç bilirim. Emrah KARAMAN AFYONKARAHĐSAR, Haziran 2010 v
8 SĐMGELER DĐZĐ Đ Simge Adı Ε N Z Kaydırma operatörü Đleri fark operatörü Doğal sayılar Tamsayılar R Reel sayılar n n 1 ( ) Toplam operatörü Çarpım operatörü 1 λ C e b a Ters fark operatörü Karakteristik denklemin kökü Kompleks sayılar Euler sayısı (2, ) Belirsiz integral Belirli integral vi
9 ÖZGEÇMĐŞ Kişisel Bilgiler Adı Soyadı : Emrah KARAMAN Doğum Yeri : EREĞLĐ/KONYA Doğum Tarihi : Medeni Hali : Bekar Cinsiyeti : Erkek Yabancı Dili : Đngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) Đlköğretim : Konya Ereğli Dumlupınar Đlköğretim Okulu ( ) Lise : Konya Ereğli Atatürk Lisesi ( ) Lisans : Afyon Kocatepe Üniversitesi Matematik Böl. ( ) Yüksek Lisans :Afyon Kocatepe Üniversitesi (2008- ) Çalıştığı Kurum-Kurumlar ve Yıl Söğüt Çözüm Dergisi Dershaneleri ( ) Afyonkarahisar Atatürk Lisesi (2010) Yayınlar Bu çalışmanın dördüncü bölümünde ele alınan f ( yτ ( n) ) + qnh( yσ ( n ) = 0, n N m ( yn + pn ) tipindeki yüksek mertebeden lineer olmayan fark denkleminin çözümlerinin salınımlılık durumlarını araştırdığımız Oscillatory behaviour of a higher-order nonlinear neutral type functional difference equation with oscillating coefficients isimli çalışma AMG2010 da bildirili olarak sunulmuştur ve yayın için gönderilmiştir. vii
10 1 GİRİŞ Fark denklemleri ile zamana bağlı çeşitli doğa olaylarının incelenmesinin doğal bir ifadesi olarak karşılaşılmaktadır, zamana bağlı değişkenlerin kullanıldığı olayların pek çoğu ayrık (kesikli) olduğundan bu tür denklemler önemli matematiksel modelleri oluşturur. Daha da önemlisi, fark denklemleri, diferensiyel denklemler için ayrıklaştırma (discretization) metodlarının incelenmesinde de karşımıza çıkar. Fark denklemleri teorisinde elde edilen pek çok sonuç hemen hemen bunlara karşılık gelen diferensiyel denklemlerin ayrık benzeridir. Bununla birlikte, fark denklemler teorisi, karşılık gelen diferensiyel denklemler teorisinden daha zengindir. Örneğin, birinci mertebeden bir diferensiyel denklemin benzeri olan bir fark denklemi ghost çözümlere veya kaotik yörüngelere sahip olabilmesine rağmen bu durum ancak yüksek mertebeden diferensiyel denklemler için söz konusudur. Sonuç olarak, fark denklem-leri teorisinin ilginç olduğunu ve yakın gelecekte daha fazla öneme sahip olacağını gözlemleyebiliriz. Böylece, fark denklemleri teorisinin uygulamaları, kontrol teori-sinde kararlılık durumunun incelenmesinde, biyolojide canlı populasyon sayısının araştırılmasında, ekonomide borsa hareketlerinin izlenmesinde, tıp biliminde hücre hareketlerinin incelenmesinde ve bir çok bilim dalında kullanılmaktadır. Son yıllarda fark denklemlerinin çözümlerinin davranışı ve özellikle, salınımlılığı ile ilgili bir çok çalışma yapılmaktadır. Ladas 1990 yılındaki çalışmasında x n+1 x n + px n k = 0, n = 0, 1, 2,... (1.1) p (0, ), k Z + lineer, otonom, gecikmeli fark denkleminin bütün çözümlerinin salınımlılığı için gerek ve yeter şart vermiştir. Erbe ve Zhang 1989 yılındaki çalışmalarında x n+1 x n + p n x n k = 0, n = 0, 1, 2,... (1.2) p n negatif olmayan reel terimli dizi ve k Z + olmak üzere lineer, otonom olmayan, gecikmeli fark denkleminin bütün çözümlerinin salınımlılığı için yeter şart vermişlerdir. Yine aynı yıl 1989 yılında, Ladas, Philos ve Sficas yukarıdaki otonom olmayan fark denkleminin bütün çözümlerinin salınımlılığı için yeter şart vermişlerdir. Diferensiyel denklemler ile bu denklemlerin ayrık benzerleri olan fark denklemlerinin 1
11 çözümlerinin salınımlılıkları arasında ilgi çekici benzerlikler vardır. Ancak, bu her zaman geçerli olmayabilir. Örneğin; x (t) + p(t)x(t k) = 0 (1.3) gecikmeli diferensiyel denklemini ele alalım. (1.2) fark denklemi (1.3) diferensiyel denkleminin ayrık benzeridir. k = 0 için (1.3) diferensiyel denklemi ( t ) x(t) = x(t 0 ) exp p(s)ds t 0 şeklinde bir çözüme sahiptir ve bu çözüm hiç bir zaman salınımlı değildir. Fakat (1.2) fark denklemi k = 0 için x n = [ n 1 j=n 0 (1 p j ) şeklinde bir çözüme sahiptir. Dolayısıyla bu çözüm j n 0 için 1 p j < 0 olduğunda salınımlı çözüme sahiptir. Daha sonraki yıllarda, örneğin 1994 yılında Yu, Zhang ve Wang, 2001 yılında Tang ve Zhang çalışmalarında (1.2) fark denkleminin bütün çözümlerinin salınımlılığı için yeni kriterler elde etmişlerdir. Ayrıca, 1993 yılında Yu, Zhang ve Qian, 2000 yılında Yu ve Tang (1.2) fark denkleminde p n nin salınımlı bir dizi olması durumunda bu denklemin bütün çözümlerinin salınımlılık durumunu incelemişlerdir. Fark denklem çözümlerinin salınımlılığı ile ilgili olarak literatürde bulabildiğimiz ilk ] x n0 çalışmalardan birisinde Ladas, Philos ve Sficas 1989 yılında, A n+1 A n + p n A n k = 0, n = 0, 1, 2,... (1.4) p n negatif olmayan reel sayı dizisi ve k pozitif bir tamsayı olmak üzere, lineer gecikmeli fark denkleminin bütün çözümlerinin salınımlılık durumunu incelemişlerdir. Bunun sonucunda (1.4) denkleminin bütün çözümlerinin salınımlı olması için yeter şartını elde etmişlerdir. 1 lim inf n k n 1 i=n k p i > k k (k + 1) k+1 2
12 2 TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, yüksek lisans tezimizde ihtiyaç duyacağımız, bilinen bazı tanım, teorem ve lemmaları vereceğiz. İlk önce fark analizi ve fark denklemleri tanıtılacak ve daha sonra fark denklemlerinin çözümleri hakkında bilgiler verilecektir. Son olarak fark denklemlerinin salınımlılığı hakkında bilinen bazı tanım ve teoremler hatırlatılacaktır. 2.1 Fark Analizi ve Genel Tanımlar n N olmak üzere x n fonksiyonu için kaydırma (öteleme) operatörü Ex n = x n+1 ve ileri fark operatörü x n = x n+1 x n şeklinde tanımlanır (Goldberg 1958, Elaydi 1999, Agarwal 2000). E k x n = x n+k olduğu kolaylıkla görülebilir. k x n i hesaplamak için I özdeşlik operatörü olmak üzere, = E I ve E = + I ifadelerini kullanabiliriz. O zaman, bulunur. Benzer şekilde, olduğu görülür. k x n = (E I) k x n k ( ) k = ( 1) i E k i x n i i=0 k ( ) k = ( 1) i x n+k i i i=0 E k x n = k i=0 ( ) k k i x n i ve E nin temel özellikleri, y ve Ey nin değerlerini hesaplamak için önemlidir. c 1 ve c 2 keyfi sabitler, y 1 ve y 2 farklı iki fonksiyon ise (a) [y 1 (k) + y 2 (k)] = y 1 (k) + y 2 (k), 3
13 (b) [cy(k)] = c y(k), (c) [c 1 y 1 (k) + c 2 y 2 (k)] = c 1 y 1 (k) + c 2 y 2 (k), (d) y 1, y 2,..., y n ; n tane fonksiyon ve c 1, c 2,..., c n keyfi sabitler olsun. O zaman [c 1 y 1 (k) + c 2 y 2 (k) c n y n (k)] = c 1 y 1 (k) + c 2 y 2 (k) c n y n (k), (e) k bir tamsayı olmak üzere y(k), y fonksiyonunun k daki değerini gösterirse ve a, b(b a) herhangi iki tamsayı ise y(a) + y(a + 1) y(b) toplamı yerine b y(k) yazılır. k=a (f) Toplam operatörü ile ilgili aşağıdaki kuralları bilmek gerekir. y ve z keyfi iki fonksiyon ve c keyfi bir sabit olmak üzere (f 1 ) (f 2 ) (f 3 ) n c = nc, k=1 n cy(k) = c n y(k), k=1 k=1 n (y(k) ± z(k)) = n y(k) ± n z(k), k=1 k=1 k=1 (g) (A + B) n = n k=0 n(n 1)...(n k+1) A k B n k veya (A + B) n = n ( n ) k k A k B n k, k=0 (h) y(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, a 0, a 1, a 2,..., a n keyfi sabitler ve a n 0 olsun. O zaman y nin n. ileri farkı bir sabit fonksiyondur ve n y = n!h n a n dir. Eğer p > n ise p y(k) = 0 olur. (i) [u(k).v(k)] = Eu(x). v(x) + v(x) u(x), (j) E I ve E + I, (k) 0 I ve E 0 I, (l) 2 E 2 2E + I ve 3 E 3 3E 2 + 3E I, (m) E E (n) ve E dizin kuralına uysun. m n n m m+n ve E m E n E n E m E m+n, m ve n negatif olmayan tamsayıları için, 4
14 (o) n (E I) n, (p) n = n k=0 ( n ) k ( 1) n k E k, (r) n pozitif tamsayı olmak üzere n y(x) = 1958). n k=0 ( n ) k ( 1) n k E k y(x)(goldberg Tanım n N olmak üzere x n, N üzerinde tanımlı reel (veya kompleks) değerli bir fonksiyon olsun. x n, x n+1,..., x n+k (2.1) ifadelerini kapsayan bir bağıntıya (denkleme) k ıncı mertebeden bir fark denklemi denir (Agarwal 2000). Tanım Bir fark denkleminin mertebesi, denklemdeki en büyük indis ile en küçük indis arasındaki fark olarak tanımlanır. Örneğin; x n+3 3x n+2 + 7x n+1 = 0 denklemi ikinci mertebeden bir fark denklemidir (Agarwal 2000). Tanım Eğer (2.1) fark denklemi, k a in x n+i = b n (2.2) i=0 formunda verilirse k ıncı mertebeden olan (2.1) fark denklemine lineerdir denir. Eğer en az bir n N için b n sıfırdan farklı ise, bu durumda (2.2) fark denklemine homogen olmayan lineer fark denklemi denir (Agarwal 2000). Eğer (2.1) fark denklemi, k a in x n+i = 0 (2.3) i=0 şeklinde verilirse (2.3) fark denklemine homogen lineer fark denklemi denir (Agarwal 2000). Tanım Fark denklerinde, bilinmeyen fonksiyonun gecikmeli ve gecikmesiz terimlerinin en yüksek mertebeden farkını içeren denklemlere nötral (neutral) tipten fark denklemi denir(agarwal 2000). 5
15 2.2 Lineer Fark Denklemler Teorisi Bu kısımda k ıncı mertebeden lineer fark denklemleri hakkında bilinen bazı tanım ve teoremler verilecektir. k ıncı mertebeden, homogen olmayan, lineer fark denklemini x n+k + p 1n x n+k p kn x n = g n (2.4) formunda yazabiliriz. Burada p in ve g n, n n 0 için tanımlı reel değerli fonksiyonlar ve n n 0 için p kn 0 dır. Teorem Aşağıdaki başlangıç değer problemi bir tek x n çözümüne sahiptir x n+k + p 1n x n+k p kn x n = g n x n0 = a 0, x n0 +1 = a 1,..., x n0 +k 1 = a k 1 (Elaydi 1999). Şimdi (2.4) fark denkleminin x n+k + p 1n x n+k p kn x n = 0 (2.5) şeklindeki lineer, homogen şeklini yazalım ve aşağıdaki tanımları hatırlatalım. Tanım Eğer n n 0 için a 1 f 1n + a 2 f 2n a r f rn = 0 olacak şekilde hepsi birden sıfır olmayan a 1, a 2,..., a r sabitleri var ise n n 0 için f 1n, f 2n,..., f rn fonksiyonlarına lineer bağımlıdır denir. Eğer n n 0 için a 1 f 1n + a 2 f 2n a r f rn = 0 eşitliği sadece a 1 = a 2 =... = a r = 0 durumunda sağlanıyorsa, n n 0 için f 1n, f 2n,..., f rn fonksiyonlarına lineer bağımsızdır denir (Elaydi 1999, Lakshmikantham ve Trigiante 1988). Tanım (2.5) fark denkleminin k tane lineer bağımsız çözümlerinin kümesine, temel çözümler kümesi denir (Elaydi 1999, Lakshmikantham ve Trigiante 1988). 6
16 Tanım x 1n, x 2n,..., x rn çözümlerinin Casoration determinantı veya kısaca Casoration, C n ile gösterilir ve x 1n x 2n... x rn x C n = det 1(n+1) x 2(n+1)... x r(n+1) (2.6).... x 1(n+r 1) x 2(n+r 1)... x r(n+r 1) ile verilir. Casoration determinantı diferensiyel denklemlerdeki wronskiyenin diskret benzeridir (Elaydi 1999, Kelley ve Peterson 1991). Lemma (Abel Lemması) x 1n, x 2n,..., x kn çözümleri (2.5) fark denkleminin çözümleri olsun. Bu durumda Casoration determinantı n n 0 için ( n 1 ) C n = ( 1) k(n n 0) C n0 (2.7) ile verilir (Elaydi 1999). i=n 0 p ki Teorem (2.5) fark denkleminin x 1n, x 2n,..., x kn çözümlerinin, temel çözümler kümesi olması için gerek ve yeter şart, n 0 Z + için C n0 0 olmasıdır (Elaydi 1999). Tanım {x 1n, x 2n,..., x kn }, (2.5) fark denkleminin temel çözümler kümesi olsun. Bu durumda a i ler keyfi sabitler olmak üzere (2.5) fark denkleminin genel çözümü x n = k a i x in ile verilir(elaydi 1999). i=1 2.3 Lineer Homogen Sabit Katsayılı Fark Denklemlerinin Çözümleri Bu kısımda ilk önce k ıncı mertebeden sabit katsayılı, lineer, homogen fark denkleminin çözümleri hakkında, daha sonrada k ıncı mertebeden lineer, homogen olmayan fark denkleminin çözümleri hakkında bilinen bazı tanım ve teoremleri hatırlatacağız. Şimdi aşağıdaki k ıncı mertebeden fark denklemini ele alalım. x n+k + p 1 x n+k p k x n = 0 (2.8) 7
17 Burada p i ler sabit ve p k 0 dır. (2.8) denkleminde λ n i çözüm kabul edip denklemde yerine yazarsak λ k + p 1 λ k p k = 0 (2.9) denklemi bulunur. Buna (2.9) fark denkleminin karakteristik denklemi ve λ lara ise (2.9) denkleminin karakteristik kökleri denir. (2.8) fark denkleminin çözümü için, karakteristik denklemin köklerine bağlı olarak üç durum sözkonusudur; 1.Durum: (2.9) karakteristik denkleminin λ 1, λ 2,..., λ k kökleri reel ve birbirinden farklı ise, bu durumda {λ n 1, λ n 2,..., λ n k} ifadesi (2.8) fark denkleminin temel çözümler kümesi olur ve (2.8) in genel çözümü, a i ler keyfi sabitler olmak üzere k x n = a i λ n i (2.10) i=1 şeklinde verilir (Goldberg 1958, Elaydi 1999). 2.Durum: (2.9) karakteristik denkleminin λ 1, λ 2,..., λ r kökleri reel ve sırasıyla m 1, m 2,..., m r katlı ise (2.8) denklemini (E λ 1 ) m 1 (E λ 2 ) m 2... (E λ r ) m r x n = 0 (2.11) şeklinde yazabiliriz. (E λ i ) m i x n = 0, 1 i r denkleminin temel çözümler kümesi G i = {λ n i, nλ n i,..., n mi 1 λ n i } olduğundan (2.11) in temel çözümler kümesi G = r G i olur ve (2.11) in genel çözümü i=1 r x n = λ n i (a i0 + a i1 n + a i2 n a imi 1n mi 1 ) (2.12) i=1 şeklinde verilir (Goldberg 1958, Elaydi 1999). 3.Durum: (2.9) karakteristik denklemi λ 1 = α + iβ, λ 2 = α iβ kompleks köklerine ve λ 3 λ 4... λ k şeklindeki reel köklere sahip olsun. Bu durumda genel çözüm x n = c 1 (α + iβ) n + c 2 (α iβ) n + c 3 (λ 3 ) n + c 4 (λ 4 ) n c k (λ k ) n şeklinde olur. Burada α = r cos θ, β = r sin θ, r = α 2 + β 2, θ = tan 1 ( β ) olmak α üzere x n = r n [a 1 cos(nθ) + a 2 sin(nθ)] + c 3 (λ 3 ) n + c 4 (λ 4 ) n c k (λ k ) n (2.13) 8
18 olur ve (2.13) de A = a a 2 2, a 1 = c 1 + c 2, a 2 = i(c 1 c 2 ), w = tan 1 ( a 2 a 1 ) alarak genel çözümü x n = Ar n cos(nθ w) + c 3 (λ 3 ) n + c 4 (λ 4 ) n c k (λ k ) n (2.14) şeklinde yazarız (Goldberg 1958, Elaydi 1999). Örnek x n+3 7x n x n+1 12x n = 0, x 0 = 0, x 1 = 1 başlangıç değer probleminin çözümünü bulalım. Çözüm. Bu denklemin karakteristik denklemi λ 3 7λ λ 12 = 0 şeklinde olur ve karakteristik denklemin kökleri λ 1 = λ 2 = 2, λ 3 = 3 olarak bulunur. Böylece denklemin genel çözümünü x n = (a 0 + na 1 )2 n + b 1 3 n şeklinde yazarız. Verilen başlangıç şartlarını denklemde yerine yazarsak a 0 = 3, a 1 = 2 ve b 1 = 3 bulunur. Böylece problemin çözümü x n = (3 + 2n)2 n 33 n olur. Şimdi k ıncı mertebeden lineer, homogen olmayan x n+k + p 1n x n+k p kn x n = g n (2.15) fark denklemini ele alalım. Burada n n 0 için p kn 0 dır. (2.15) fark denkleminin çözümü, homogen kısmın genel çözümü x cn ve homogen olmayan kısmın bir özel çözümü x pn olmak üzere x n = x cn + x pn ile verilir. Aşağıdaki teorem bu gerçeği ifade eder. Teorem (2.15) fark denkleminin genel çözümü x n = x pn + k a i x in i=1 9
19 şeklinde verilir. Burada {x 1n, x 2n,..., x kn } (2.15) fark denkleminin homogen kısmının temel çözümler kümesidir (Elaydi 1999). (2.15) fark denklemini belirsiz katsayılar metodu ile çözerken g n in farklı durumlarında özel çözümler genel olarak aşağıdaki şekilde aranır; (a) g n = a n ise x pn = c 1 a n, (b) g n = n k ise x pn = c 0 + c 1 n c k n k (c) g n = n k a n ise x pn = c 0 a n + c 1 na n c k n k a n (d) g n = sin b n, cos b n ise x pn = c 1 sin(bn) + c 2 cos(bn) (e) g n = a n sin b n, a n cos b n ise x pn = (c 1 sin(bn) + c 2 cos(bn))a n (f) g n = a n n k sin b n, a n n k cos b n ise x pn = (c 0 + c 1 n c k n k )a n sin(bn) + (d 0 + d 1 n d k n k )a n cos(bn). 2.4 Fark Denklemlerinin Çözümlerinin Salınımlılığı Bu kısımda fark denklemlerinin ve fark denklem sistemlerinin salınımlılığı ile ilgili bilinen bazı tanım ve teoremler verilecek. Tanım Eğer her pozitif N tamsayısı ve n N için x n x n+1 0 ise x n aşikar olmayan çözümüne sıfır etrafında salınımlıdır denir. Aksi halde x n çözümüne salınımlı olmayan çözüm denir. Başka bir şekilde ifade edersek, eğer bir x n çözümü belli bir yerden (n değerinden itibaren) sonra sadece pozitif ya da sadece negatif değilse sıfır etrafında salınımlıdır denir (Agarwal vd 2000, Györi ve Ladas 1991, Elaydi 1999). Tanım k ıncı mertebeden bir fark denklem sisteminin bir {x n } çözümü x n = [x 1 n, x 2 n,..., x r n] T olsun. Eğer her bir {x i n} bileşeni salınımlı ise {x n } çözümüne salınımlıdır denir. Diğer durumda yani, bir {x i n} bileşeni belli bir yerden sonra pozitif ya da negatif ise {x n } çözümüne salınımlı olmayan bir çözüm denir. Burada n = 0, 1, 2,... için x n R r dir (Györi ve Ladas 1991). 10
20 Teorem k, l N ve j = k,..., l için p j R olmak üzere, l x n+1 x n + p j x n+j = 0, n = 0, 1, 2,... (2.16) j= k fark denklemini gözönüne alalım. Bu durumda aşağıdaki durumlar birbirine denktir. (i) (2.16) fark denkleminin her çözümü salınımlıdır. (ii) (2.16) fark denklemine ait l λ 1 + p j λ j = 0 j= k karakteristik denkleminin pozitif kökü yoktur (Györi ve Ladas 1991). Teorem p R ve k Z için, x n+1 x n + px n k = 0 (2.17) şeklindeki (k + 1) inci mertebeden otonom fark denklemini gözönüne alalım. Bu durumda (2.17) fark denkleminin her çözümünün salınımlı olması için gerek ve yeter şart aşağıdaki ifadelerden birinin sağlanmasıdır: (i) k = 1 ise p 1; (ii) k = 0 ise p 1; (iii) k {..., 3, 2} {1, 2,...} ise p > (Györi ve Ladas 1991, Ladas vd 1989). k k (k + 1) k+1 Teorem {q n } bir pozitif reel sayı dizisi ve l de pozitif bir tamsayı olmak üzere eğer lim inf n n 1 s=n l q s > ( l ) l+1 l
21 ise v n + q n v n+l 0 (2.26) eşitsizliği belirli bir n den sonra pozitif çözüme sahip değildir (E. Thandapani, R. Arul, P. S. Raja 2002). Teorem {q n } bir pozitif reel sayı dizisi ve l de pozitif bir tamsayı olmak üzere ise lim inf n n+l 1 s=n q s > ( l ) l+1 l + 1 v n q n v n+l 0 (2.27) eşitsizliği belirli bir n den sonra pozitif çözüme sahip değildir (E. Thandapani, R. Arul, P. S. Raja 2002). Teorem {q n } bir pozitif reel sayı dizisi ve l de pozitif bir tamsayı olmak üzere ise 1 lim inf n k n 1 i=n k p i > k k (k + 1) k+1 (2.28) A n+1 A n + p n A n k = 0, n = 0, 1, 2,... (2.29) fark denkleminin her çözümü salınımlıdır (G. Ladas, Ch. G. Philos, Y. G. Sficas 1989). İspat. Kabul edelim ki (2.29) denkleminin salınımlı olmayan bir çözümü {A n } olsun. Yani {A n } belirli bir n den sonra pozitif olsun. Bu durumda A n+1 A n = p n A n k 0 bulunur ve buradan {A n } nin pozitif sayıların azalan bir dizisi olduğu görülür. (2.28) denkleminden ve {A n } nin azalan olmasından A n+1 A n + p n A n 0 12
22 yada elde edilir. Bunun sonucun da 1 k n 1 i=n k p n 1 A n+1 A n p i 1 k n 1 i=n k ( 1 A ) i+1 A i (2.30) bulunur. α = olmak üzere (2.28) den yeterince büyük n için α < β 1 k k k (k + 1) k+1 (2.31) n 1 i=n k p i (2.32) olacak şekilde bir β sabiti seçebiliriz. Böylece (2.30) dan yeterince büyük n için β 1 k n 1 i=n k ( 1 A ) i+1 A i (2.33) elde edilir. (2.33) gözönüne alınarak, aritmetik ve geommetrik ortalamalar arasındaki eşitsizlikten yeterince büyük n için β 1 n 1 k i=n k ( n 1 1 ( 1 A i+1 A i ) = 1 1 k i=n k yazılır. Buradan da yeterince büyük n için n 1 i=n k A i+1 A i ) 1/k ( ) 1/k A i+1 A i = 1 An+1 A n k ( An+1 ) 1/k 1 β (2.34) A n k bulunur. Buda gösterir ki 0 < β < 1 dir. Şimdi görülür ki dır. Sonuç olarak 0 < λ 1 için max [(1 0 λ 1 λ)λ1/k ] = k (k + 1) 1+ 1 k = α 1 k 1 λ α 1 1 k λ k elde edilir ve (2.34) den yeterince büyük n ler için β α A n A n k (2.35) 13
23 dır. (2.35) eşitsizliğinin (2.29) denkleminde kullanılmasıyla yeterince büyük n ler için ( ) 2 β A n A n k α elde edilir. Bundan yararlanarak her m = 1, 2,... için bir N m vardır öyle ki n N m için bulunur. (2.32) den görülür ki yeterince büyük n için ( ) m β A n A n k (2.36) α n i=n k p i n 1 i=n k p i kβ dır. Böylece yeterince büyük n için M kβ > 0 olmak üzere n i=n k p i M (2.37) dir. Aşağıdaki eşitsizlik sağlanacak sekilde m yi seçelim. ( ) m ( ) 2 β 2 > (2.38) α M Bu eşitsizliği seçmek mümkündür. Çünkü (2.32) den β > α dır. Bu durumda yeterince büyük n için n n 0 olmak üzere (2.38) de seçilen özel m için (2.36) sağlanır. Aynı zamanda (2.32) ve (2.37) sağlanır ve n n 0 için {A n } azalandır. Şimdi (2.37) den ve n n 0 + k için bir n k n n olacak şekilde n tam sayısı vardır öyle ki n i=n k p i M 2 ve n i=n p i M 2 dir. (2.29) denkleminden ve {A n } nin azalan olması gerçeğinden A n 1 A n k = n i=n k = n i=n k ( n (A i+1 A i ) i=n k M 2 A n k p i A i k p i ) A n k elde edilir. Böylece M 2 A n k A n k (2.39) 14
24 bulunur. Benzer olarak A n+1 A n = n (A i+1 A i ) i=n = n p i A i k i=n ( n ) i=n p i A n k M 2 A n k elde edilir ve böylece bulunur. (2.39) ve (2.40) dan M 2 A n k A n (2.40) bulunur ki (2.36) nın uygulanmasıyla ( ) 2 M A n k A n 2 ( ) m β A n k α A n ( ) 2 2 M elde edilir. Bu da (2.38) ile çelişir ki böylece teoremin ispatı tamamlanır. Teorem Kabul edelim ki 0 p < 1 ve 0 < α < 1 olsun. Bu durumda (x n px n l ) + q n x α n k = 0, n = 0, 1, 2,... denkleminin her çözümü salınımlıdır ancak ve ancak q n = dur (G. Zhang 2002). n=0 Lemma m n 1 olsun ve u(k) fonksiyonuda N(a) = {α, α+1, α+2,...} da tanımlansın. Bu durumda, (i) lim inf k m u(k) > 0 ise, 0 i m 1 olmak üzere lim k i u(k) =, (ii) lim sup m u(k) < 0 ise, 0 i m 1 olmak üzere lim i u(k) = dur k k (R. P. Agarwal, 2000). 15
25 İspat. lim inf k m u(k) > 0 demek her k N(k 1 ) için m u(k) c > 0 olacak şekilde yeterince büyük k 1 N(a) vardır anlamına gelir. m u(l) = ( m 1 u(k)) = m 1 u(l + 1) m 1 u(l) k 1 ( m 1 u(l + 1) m 1 u(l) = m u(l) m 1 u(l + 1) m 1 u(l) ) = l=k 1 k 1 l=k 1 m u(l) m 1 u(k) m 1 u(k 1 ) = m 1 u(k) = m 1 u(k 1 ) + k 1 l=k 1 m u(l) k 1 l=k 1 m u(l) m 1 u(k) m 1 u(k 1 ) + c(k k 1 ) olur ve buradan lim m 1 u(k) = elde edilir. i = m 1 için ispat tamamlanmış k olur. Şimdi daha küçük mertebeden için (i) ifadesinin doğruluğunu gösterelim. lim k m 1 u(k) = olması lim inf k m 1 u(k) > 0 anlamına gelir. Yukarıdaki adımlar takip edilerek lim m 2 u(k) = elde edilir. Bu adımlar ardışık olarak tekrarlandığında (i) ifadesinin ispatı k tamamlanır. (ii) durumu da benzer şekilde ispatlanır. lim sup m u(k) < 0 demek her k N(k 2 ) k için m u(k) c < 0 olacak şekilde yeterince büyük k 2 N(a) vardır anlamına gelir. m 1 u(k) = m 1 u(k 2 ) + k 1 l=k 2 m u(l) m 1 u(k) m 1 u(k 2 ) + c(k k 2 ) ise dır. lim k m 1 u(k) = 16
26 3 YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER OLMAYAN NEUTRAL GECİKMELİ FARK DENKLEMLE- RİNİN SALINIMLILIK SONUÇLARI 3.1 Yüksek Mertebeden Liner Olmayan Neutral Gecikmeli Fark Denkleminin Çözümlerinin Salınımlılık Davranışı Çalışmanın bu kısmında m (y n + p n y n k ) + q n f(y n l ) = 0, n N = {0, 1,...} (3.1) tipindeki yüksek mertebeden neutral gecikmeli fark denklemi ele alınmıştır. Burada operatörü y n = y n+1 y n şeklinde tanımlanan bilinen fark operatörü, k ve l negatif olmayan tamsayılar, {p n } ve {q n } reel diziler ile q n 0, n N ve tüm u 0 için f : R R ve uf(u) > 0 olan sürekli bir fonksiyondur, σ = max{k, l} ve N 0 negatif olmayan tamsayılardır. Her n N 0 için (3.1) denkleminin bir çözümü {y n } olsun her y n sabit işaretli ise y n salınımlı değilidir aksi taktirde y n çözümü salınımlıdır denir. Burada (3.1) denklemini sınırlandıralım ve (A 1 ) {q n } sıfır olmasın ve (A 2 ) F : R R sürekli bir fonksiyonu azalmayan ve u, v > 0 için F ( uv) F (uv) KF (u)f (v) u 0 için f(u) F (u), F (u) u olsun, burada K pozitif bir sabittir. γ > 0 ve uf (u) > 0 Son yıllarda fark denklemlerinin çözümlerinin salınımlılık davranışlarıyla ilgili olarak bir çok çalışma yapılmıştır yılında R. P. Agarwal, E. Thandanpani ve P. J. Y. Wong yüksek mertebeden neutral olan (3.1) denkleminin salınımlılık davranışını incelemişlerdir. 17
27 Aşağıda vereceğimiz teoremlerde (3.1) denkleminin çözümünün salınımlılığı için yeter şartlar elde edilmiştir. Bunun için aşağıdaki şartların sağlandığını kabul edelim. (C 1 ) 0 p n < 1; (C 2 ) 0 p n P 1 < 1, burada P 1 bir sabit; (C 3 ) 1 < P 2 p n 0, burada P 2 > 0 bir sabit; [ n 1 (C 4 ) lim inf n s=n l q s F (C 5 ) her M (0, 1) için lim inf n (C 6 ) qs =. ( (1 p s l ) ( ) ) ] s l (m 1) > ( ) l l+1 1 ; 2 m 1 l+1 K 2 γf (1/(m 1)!) [ n 1 s=n l q s F ( ( s l ) ) ] (m 1) > ( ) l l+1 1 ; 2 m 1 l+1 K 2 γf (M) Vereceğimiz teoremlerde (3.1) denkleminin çözümünün salınımlılık kriterlerini elde etmek için aşağıdaki lemmalar kullanılmıştır. Lemma Kabul edelimki tüm n N için q n 0 olsun ve ise lim inf n [ n 1 s=n l q s ] > ( ) l+1 l (3.2) l + 1 (i) v n+1 v n + q n v n l 0, n N ise pozitif çözüme sahiğ değildir; (ii) v n+1 v n + q n v n l 0, n N ise negatif çözüme sahiğ değildir; (iii) v n+1 v n + q n v n l = 0, n N ise salınımlıdır. Lemma (Ayrık Kneser Teoremi) n a N için z n tanımlı olsun. Burada n a için m z n sabit işaretli olmak üzere z n > 0 ve z n 0 olsun. Bu durumda 0 j m olmak üzere m z n 0 için (m + j) tek ve m z n 0 için (m + j) çift olacak şekilde bir j tamsayısı vardır öyle ki j m 1 ise ( 1) j+i i z n > 0; n a, j i m 1 18
28 ve j 1 ise i z n > 0; n a, 1 i j 1 dir (R. P. Agarwal, 2000). İspat. İspat için iki durum söz konusudur. Durum 1. n a N için m z n 0 olsun. İlk olarak n a N için m 1 z n > 0 olduğunu ispatlayalım. Eğer bunun aksini düşünürsek N(a) da n 1 a sayısı vardır öyle ki m 1 z n1 0 dır. m 1 z n azalan olduğundan N(a) da sabit olarak tanımlanamaz. Bu durumda bir n 2 N(n 1 ) vardır öyle ki dır. Fakat Lemma den m 1 z n m 1 z n2 m 1 z n1 0, bütün n N(n 2 ) lim z n = k bulunur. Bu da z n > 0 olması ile çelişir. Böylece N(a) da m 1 z n > 0 dır ve bir yeterince küçük j sayısı vardır öyle ki m + j toplamı tek, 0 j m 1 ve ( 1) j+i i z n > 0; n a, j i m 1 dir. Şimdi de j > 1 ve j 1 z n < 0, n N(a) olsun. Yine Lemma den j 2 z n > 0, n N(a) bulunur. Bu iki eşitsizliğin sonucu olarak, ( 1) j 2+i i z n > 0; n a, j 2 i m 1 elde edilir. Bu da j nin tanımıyla çelişir. Böylece j 1 z n < 0, n N(a) eşitsizliği yanlıştır ve j 1 z n 0 dır. ( 1) j+i i z n > 0; n a, j i m 1 eşitsizliğinden j 1 z n azalmayandır ve böylece lim k j 1 z n > 0 19
29 olur. Eğer j > 2 ise Lemma den lim k i z n =, 1 i j 2 elde edilir. Böylece bütün büyük n N(a) ve 1 i j 1 için i z n > 0 dır. Böylece ispatın birinci kısmı tamamlanır. Durum 2. n a N için m z n 0 olsun. n 3 N(n 2 ) olsun öyle ki m 1 z n3 0 dır. Bu durumda m 1 z n azalmayan olduğundan sabit olarak tanımlanamaz ve bir n 4 N(n 3 ) sayısı vardır öyle ki bütün n N(n 4 ) ler için m 1 z n > 0 dır. Böylece bulunur ve Lemma den lim k m 1 z n > 0 lim k i z n =, 1 i j 2 elde edilir. Böylece bütün büyük n N(a) ve 1 i j 1 için i z n > 0 dır. Bu m = j için teoremi sağlar. Bütün n N(a) için m 1 z n < 0 olması durumunda Lemma den bütün n N(a) için m 2 z n > 0 bulunur. İspatın bundan sonraki kısmı Durum 1 in benzeridir. Lemma n a N için z n tanımlansın ve m z n 0 olmak üzere z n > 0 olsun ve özdeş olarak sıfır olmasın. Bu durumda yeterince büyük bir n 1 a N vardır bu durumda z n (n n 1) m 1 m 1 z 2 (m 1)! m j 1 n ; n n 1 20
30 dir. Burada j Lemma deki gibi tanımlanmıştır. Ayrıca eğer z n artan ise 1 ( n ) m 1 z n m 1 z (m 1)! 2 m 1 n ; n 2 m 1 n 1 dir (R. P. Agarwal, 2000). İspat. Lemma den söyleyebiliriz ki N(a) da j i m 1 olmak üzere ( 1) j+i 1 i z n > 0, j i m 1 olur ve bütün büyük n n 1 N(a) için 1 i j 1 olmak üzere dır. Bu eşitsizlikleri kullanarak elde edilir. Buradan i z n > 0 m 2 z n = m 2 z + m 1 z l 2n l=n m 1 z l m 1 z 2n(n) (1) l=n m 3 z n = m 3 z m 2 z l 2n l=n 2n l=n l=n (l) (1) m 1 z 2l (l n) (1) m 1 z 2l m 1 z 2 2 n 1 2! (n)(2) j z n m 1 z 2 m j 1 n j 1 z n = m z n1 + n 1 n 1 l=n 1 m z l 1 (m j 1)! (n)(j m 1) 1 (l n (m j 1)! 1) (j m 1) m 1 z 2 m j 1 l l=n 1 1 (m j)! (n n 1) (j m) m 1 z 2 m j 1 n bulunur. Böylece, (j 1) kez tekrardan sonra elde edilir. z n (n n 1) m 1 m 1 z 2 (m 1)! m j 1 n ; n n 1 21
31 3.2 (3.1) Denkleminin Salınımlılığı için Yeter Şartlar Teorem (a) (3.1) denkleminde m çift olsun. Eğer (C 1 ) ve (C 4 ) sağlanırsa, (3.1) denkleminin her çözümü salınımlıdır. (b) (3.1) denkleminde m tek olsun. Eğer (C 2 ) ve (C 5 ) sağlanırsa, (3.1) denkleminin her çözümü ya salınımlıdır ya da n iken sıfıra gider(agarwal, Thandapani, Wong 1996). İspat. (3.1) denkleminin salınımlı olmayan bir çözümü {y n } olsun. n n 0 N 0 için y n > 0, y n l > 0 ve y n k > 0 dır. z n = y n + p n y n l olmak üzere n n 0 için z n y n > 0 ve m z n = q n y α n k < 0, (3.2) olduğundan, m z n = q n y α n k < 0 dır. Dolayısıyla Lemma den m 2 için m 1 z n > 0, n n 0 (3.3) olur. İddia ediyoruz ki z n 0 dır. Eğer m = 1 ise, (3.1) denkleminden z n 0 olduğu açıktır. m 2 için bunun aksini kabul edelim. Yani n n 1 n 0 için z n > 0 olsun. Bu durumda n n 2 n 1 için (1 p n )z n z n p n z n k = y n + p n p n k y n 2k (3.4) y n, elde edilir.. z n pozitif ve artan olduğundan, Lemma ve (3.4) eşitsizliği gözönüne alındığında y n (1 p n )z n (1 p ( n) n ) (m 1) m 1 z (m 1)! 2 m 1 n, n 2 m 1 n 2 (3.5) 22
32 bulunur. (A 2 ) ve (3.5) eşitsizliğini kullanarak n n 3 n 2 için f(y n l ) F (y n l ) ( ( ) (m 1) (1 p n l ) n l F m 1 z n l) (m 1)! 2 m 1 ( ) ( ( ) ) (m 1) K 2 1 n l γf F (1 p n l ) m 1 z (m 1)! 2 m 1 n. elde edilir. (3.2) ve yukarıdaki son eşitsizlikten { m 1 z n } in ( ) ( ( ) ) (m 1) w n + q n K 2 1 n l γf F (1 p n l ) w (m 1)! 2 m 1 n l 0 eşitsizliğinin pozif bir çözümü olduğu görülür. Bu durum (C 4 ) şartından bu Lemma ile çelişir. Dolayısıyla z n 0 dır. Lemma de z n 0 olduğundan j = 0 olmalıdır. Dolayısıyla ( 1) i i z n > 0, 0 i m 1, n n 0 (3.6) olur. Eğer m çift ise (3.6) eşitsizliği ile (3.3) eşitsizliği çelişir. Böylece Teoremin (a) kısmının ispatı tamamlanır. Şimdi m tek olsun. Kabul edelim ki n iken y n sıfıra gitmesin. z n 0 olduğu için n iken z n c dır. Burada 0 < c < dır. Bu durumda bir ε > 0 ve bir n 4 > n 0 tamsayısı vardır öyle ki o < ε < c 1 P P 1 < c, ve c ε < z n z n k < c + ε, n n 4 (3.7) bulunur. Böylece (3.4) eşitsizliği ve (3.7) eşitsizliğinden n n 4 için y n z n p n z n k z n P 1 z n k > (c ε) P 1 (c + ε) (3.8) = c 1 z n olur. Burada c 1 = [(c ε) P 1 (c + ε)]/(c + ε) (0, 1) 23
33 dır. j, Lemma deki gibi tanımlansın, n n 5 n 4 için z n = z n z 2 j+1 m n z 2 j+1 m n > c 2 z 2 j+1 m n (3.9) elde edilir, burada c 2 = (c ε)/(c + ε) (0, 1) dir. Lemma 3.1.3, (3.8) ve (3.9) eşitsizlikleri kullanılarak n n 6 n 5 için y n > c 1 c 2 z 2 j+1 m n (2 c 1 c j+1 m n n 6 ) (m 1) 2 m 1 z (m 1)! n c 1c 2 (m 1)! 2(j+1 m)(m 1) (n 2 m n 6 ) (m 1) m 1 z n olduğu görülür. Buradan n 2 m+1 n 6 + m 2 için elde edilir, burada y n c 1c 2 (m 1)! 2(j+1 m)(m 1) 1 n (m 1) m 1 z 2 m 1 n ( c n ) (m 1) (3.10) 3 2 m 1 z m 1 n c 3 = c 1 c 2 2 (j m)(m 1) /(m 1)! (0, 1) dır. (3.10) ve (A 2 )eşitsizliklerinden n n 7 n 6 için ( (n ) ) (m 1) l f(y n l ) F (y n l ) K 2 γf (c 3 )F m 1 z n l 2 m 1 elde edilir. (3.2) eşitsizliğinden ve yukarıdaki son eşitsizlikten { m 1 z n } in ( (n ) ) (m 1) l w n + q n K 2 γf (c 3 )F w n l 0 2 m 1 eşitsizliğinin pozif bir çözümü olduğu görülür. Bu durum, (C 5 ) şartından dolayı Lemma ile çelişir. Böylece Teoremin (b) kısmının da ispatı tamamlanmış olur. Teorem Eğer (C 3 ) ve (C 5 ) sağlanırsa, (3.1) denkleminin her çözümü ya salınımlıdır ya da n iken sıfıra gider(agarwal, Thandapani, Wong 1996). İspat. (3.1) denkleminin salınımlı olmayan bir çözümü {y n } olsun. n n 0 N 0 için y n > 0, y n l > 0 ve y n k > 0 dır. Bundan başka kabul edelim ki n için y n sıfıra gitimesin. z n = y n + p n y n l olmak üzere n n 0 için z n y n ve aynı zamanda (3.2) eşitsizliği sağlansın. 24
34 İddia ediyoruz ki y n 0 dır. Bunun aksini kabul edelim yani n n 1 > n 0 y n > 0 olsun. Bu durumda (C 3 ) şartı dikkate alındığında n n 2 n 1 için için elde edilir. z n y n + p n y n (1 P 2 )y n > 0 (3.11) Böylece Lemma ve (3.3) eşitsizliğinden y n sınırsız olduğundan (3.11) den aynı zamanda z n nin de sınırsız olduğu görülür. Böylece n n 2 için z n > 0 dır. Lemma den dolayı, y n z n 1 ( n ) (m 1) m 1 z (m 1)! 2 m 1 n ; n 2 m 1 n 2 elde edilir. Sonuç olarak yukarıdaki son eşitsizlikten ve (A 2 )den, n n 3 n 2 için ( ) ( (n ) ) (m 1) f(y n l ) F (y n l ) K 2 1 l γf F m 1 z (m 1)! 2 m 1 n l elde edilir. (3.2) eşitsizliğinden ve yukarıdaki son eşitsizlikten { m 1 z n } in ( ) ( (n ) ) (m 1) w n + q n K 2 1 l γf F w (m 1)! 2 m 1 n l 0 (3.12) eşitsizliğinin pozitif bir çözümü olduğu görülür. Bu durum (C 5 ) şartından dolayı Lemma ile çelişir. Böylece y n 0 dır. Sonuç olarak n iken y n c dir, burada 0 < c < dur. z n nin tanımından ve (C 3 ) şartından dolayı lim inf n z n = (1 + lim inf n p n)c (1 P 2 )c > 0 bulunur. Dolayısıyla z n pozitif ve (3.3) eşitsizliğini sağlar. z n y n ve y n artmayan olduğundan z n de artmayandır. Böylece n iken z n d dır, burada 0 < d < dur. ε (0, d) verilsin. Bir n 4 > n 0 tam sayısı vardır öyle ki d ε < z n < d + ε, n n 4 (3.13) dır. j, Lemma deki gibi tanımlansın. Bu durumda n n 5 n 4 için sırasıyla (3.13) eşitsizliğinin ve Lemma ün kullanımıyla z n = z n z 2 j+1 m n z 2 j+1 m n > d ε d+ε z 2 j+1 m n d ε d+ε d ε d+ε (2 j+1 m n n 5 ) (m 1) m 1 z (m 1)! n 1 (m 1)! 2(j+1 m)(m 1) (n 2 m n 5 ) (m 1) m 1 z n 25
35 elde edilir. Dolayısıyla n 2 m+1 n 5 + m 2 için elde edilir, burada z n d ε 1 d+ε (m 1)! 2(j+1 m)(m 1) 1 n (m 1) m 1 z 2 m 1 n ( d n ) (m 1) (3.14) 1 2 m 1 z m 1 n d 1 = 2 (j m)(m 1) (d ε)/ [(d + ε)(m 1)!] (0, 1) dır. (3.14) ve (A 2 ) den n n 6 n 5 için ( (n ) ) (m 1) l f(y n l ) F (y n l ) F (z n l ) K 2 γf (d 1 ) F m 1 z n l 2 m 1 yazılır. Eğer m 1 z n = w n alınırsa ( ) α ( ) α(m 1) w n + q n (n k) α(m 1) (d 1 ) α 1 1 w α (m 1)! 2 m 1 n k 0 elde edilir. (3.2) eşitsizliğinden ve yukarıdaki son eşitsizlikten { m 1 z n } in ( ) α ( ) α(m 1) w n + q n (n k) α(m 1) (d 1 ) α 1 1 w α (m 1)! 2 m 1 n k 0 (3.15) eşitsizliğinin pozitif bir çözümü olduğu görülür. Bu durum (C 5 ) şartından Lemma ile çelişir. Bu da ispatı tamamlar. Teorem p n 1 olsun ve (C 6 ) sağlansın. (a) Eğer m çift ise, (3.1) denkleminin her çözümü salınımlıdır. (b) Eğer m tek ise, (3.1) denkleminin her çözümü ya salınımlıdır ya da n iken sıfıra gider(agarwal, Thandapani, Wong 1996). İspat. (1.1) denkleminin salınımlı olmayan bir çözümü {y n } olsun. n n 0 N 0 için y n > 0, y n l > 0 ve y n k > 0 dır. z n = y n +p n y n l olmak üzere n n 0 için z n y n > 0 ve aynı zamanda (3.2) ve (3.3) eşitsizlikleri sağlansın. (3.1) denkleminde n 0 dan (n 1) e kadar toplam alır ve (3.3) ve (A 2 )eşitsizlikleri kullanılarak, m 1 z n0 = n 1 s=n 0 q s f(y s l ) + m 1 z n > 26 n 1 s=n 0 q s f(y s k ) n 1 s=n 0 q s γy s l
36 elde edilir. Buradan da bulunur. ise İddia ediyoruz ki, lim s=n 0 q s y s l < (3.16) inf n y n > 0 s=n 0 q s < dur. Bunu ispatlamak için aksini kabul edelim. Yani ve olsun. Bu durumda s=n 0 q s = L = inf s n 0 y s l > 0 s=n 0 q s y s l L s=n 0 q s = yazılır. Böylece elde dilen bu sonuç (3.16) ile çelişir. Durum (a) m çift olsun. Lemma den görülür ki j tekdir ve böylece z n > 0, n n 0 dır. Buradan n n 1 > n 0 için 0 < z n z n k = y n y n 2k elde edilir ve y n > y n 2k, n n 1 dır. Sonuç olarak dır. Böylece (3.16) dan dur. Bu sonuçta (C 6 ) şartı ile çelişir. lim inf n y n > 0 q s < s=0 Durum (b) : m tek olsun ve n iken y n sıfıra gitmesin. Lemma den görebiliriz ki j çifttir. Eğer j 2 ise z n > 0, n n 0 olduğu görülür. Durum (a) daki gibi bir çelişki elde edilecektir. Eğer j = 0 ise Lemma den z n < 0, n n 0 27
37 elde edilir. Böylece n iken z n β dır, burada 0 < β < dur. ε (0, β) için bir n 1 > n 0 tam sayısı vardır öyle ki z n = y n + y n k > β ε > 0, n n 1 dir. Böylece dır. Buradan lim inf n y n > 0 q s < s=0 olduğu görülür. Bu sonuçta (C 6 ) şartı ile çelişir. Böylece ispat tamamlanmış olur. Teorem p n 1 olsun. Eğer (C 5 ) sağlanırsa, (3.1) denkleminin her çözümü ya salınımlıdır ya da n için sıfıra gider(agarwal, Thandapani, Wong 1996). İspat. (3.1) denkleminin salınımlı olmayan bir çözümü {y n } olsun. n n 0 N o için y n > 0, y n l > 0 ve y n k > 0 dır. bundan başka kabul edelim ki y n, n için sıfıra gitmesin ve z n = y n + p n y n k olmak üzere z n < y n ve (3.2) eşitsizliklerini sağlasın. Eğer z n < 0 ise o zaman y n < y n k olur ve böylece {y n } sınırlıdır. Bu da {z n } in sınırlı olduğunu gösterir. Eğer z n > 0 ise o zaman {z n } sınırlıdır. Burada yeterince büyük n ler için {z n } in sınırlı olmadığını göstereceğiz. Lemma ve Teorem nin ispatındaki işlemler kullanılarak (C 5 ) şartı ile bir çelişki elde edilir. Bu sonuç (3.12) nin bir pozitif çözümünün { m 1 z n } olduğunu verir. Böylece {z n } sınırlıdır. lim y n = µ > 0, ɛ (0, µ) verilsin, n n 1 için n 1 > n 0 olduğunda n y n l > µ ɛ olacak şekilde y n l vardır. Dolayısıyla f(y n l ) > F (y n l ) F (µ ɛ) n n 1 (3.17) 28
38 yazılır. (3.2) denklemi (s l) (m 1) ile çarpılır ve n 1 den n e kadar toplam alınırsa n n (s l) (m 1) q s f (y s l ) = (s l) (m 1) q s m z s (3.18) s=n 1 s=n 1 n s (m 1) m z s s=n 1 m 1 = ( 1) i i s (m 1) q s m i 1 z s+i i=0 <, n n 1, elde edilir. En son eşitsizlikte { m i 1 z s } de {z n } in sınırlı olduğunu kullandık ve bu son eşitsizliğin sınırlı olduğu görülür. (3.17) ve (3.18) den F (µ ɛ) n olduğu görülür ve buna denk olarak yazılır. Ancak, (C 5 ) şartındaki s=n 1 (s l) (m 1) q s <, n n 1, s=n 1 (s l) (m 1) q s <. (3.19) s=n 1 (s l) (m 1) q s <, bu durum (3.19) ile çelişir. Bu da ispatı tamamlar. 29
39 4 SALINIMLI KATSAYILI YÜKSEK MERTEBE- DEN LİNEER OLMAYAN GECİKMELİ FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİNİN SALI- NIMLILIĞI 4.1 Yüksek Mertebeden Lineer Olmayan Neutral Gecikmeli Salınımlı Katsayılı Fark Denklemlerinin Çözümlerinin Salı-nımlılık Davranışı Çalışmanın bu bölümde m [ y n + p n f ( y τ(n) )] + qn h ( y σ(n) ) = 0, n N (4.1) tipindeki yüksek mertebeden lineer olmayan fark denkleminin çözümünün salınımlılık sonuçları araştırılacaktır. Burada ileri fark operatörü, m {2, 3,...}, N = {0, 1, 2,...}, p : N R = (, ), {p n } n=1 reel değerli dizi, lim n p n = 0 ve q : N [0, ) salınımlı bir fonksiyondur. τ(n) : N Z, τ(n) n, ve n için τ (n) dur. σ(n) : N Z, her n N için σ(n) n ve n için σ(n), f, h C(R, R) azalmayan fonksiyonlar, her u 0 için uf(u) > 0 ve uh(u) > 0 dır. Her n min i 0 {τ (i), σ(i)} için y n : Z R fonksiyonu tanımlansın ve yeterince büyük n ler için (4.1) denklemini sağlsın. Son yıllarda yüksek mertebeden gecikmeli ve gecikmeli neutral fark denklemlerinin çözümlerinin salınımlılığı ve asimtotik davranışları ile ilgili bir çok araştırma yapılmıştır. Bu bölümdeki amacımız (4.1) denkleminin sınırlı çözümlerinin salınımlılık davranışları incelenecektir, buradaki z n fonksiyonu z n = y n + p n f ( y τ(n) ) (4.2) ve N(a) = {a, a + 1,...}, N (a, b) = {a, a + 1,..., b} dır. Teorem Kabul edelim ki m çift olsun. 30
40 (C 1 ) H : R R sürekli ve azalmayan bir fonksiyon olsun ve u,v > 0 için H( uv) H(uv) KH(u)H(v), u 0 için h(u) H(u), H(u) u eşitsizlikleri sağlansın. Burada K pozitif bir sabittir. (C 2 ) lim n p n = 0, γ > 0 ve H(u) > 0 (C 3 ) s=n 0 s m 1 q s = ve ( ( ) ) m σ (n) w n + q n KγH w 2 (m 1)! 2 m 1 σ(n) = 0 (4.3) birinci mertebeden fark denkleminin her çözümü salınımlı olsun. Bu durumda (4.1) denkleminin sınırlı her çözümü ya salınımlıdır ya da n iken sıfıra gider. İspat. Kabul edelim ki (4.1) denklemi salınımlı olmayan sınırlı bir y çözüme sahip olsun. Yani y pozitif olsun(y negatif olduğu zaman da ispat benzer şekilde yapılabilir). O halde n n 1 n 0 için y n > 0, y τ(n) > 0 ve y σ(n) > 0 dır. Ayrıca kabul edelim ki n için y sıfıra gitmesin. (4.1) ve (4.2) den m z n = q n h ( ) y σ(n) 0, n n1. (4.4) olur. Dolayısıyla α z n (α = 0, 1, 2,..., m 1) monoton ve sabit işaretlidir. y sınırlı ve n için sıfıra gitmediğinden ve (C 2 ) den lim n p n f ( y τ(n) ) = 0 dır. Bir n 2 n 1 için öyle bir z n = y n +p n f ( y τ(n) ) > 0 vardır öyle ki yeterince büyük n n2 için z n sınırlıdır. Çünkü m çift ve m z n 0 olduğundan (n + m) tektir. j = 1 için Lemma den z n > 0 sınırlıdır. Çünkü (Aksi taktirde z n sınırlı olmaz). n n 3 için ( 1) i+1 i z n > 0 (i = 0, 1, 2,..., m 1) (4.5) olacak şekilde n 3 n 2 vardır. Özellikle n n 3 için z n > 0 olduğundan z artandır. y sınırlı olduğu için (C 2 ) den lim n p n f ( y τ(n) ) = 0 dır. Bu durumda n n4 için (4.2) den y n = z n p n f ( y τ(n) ) 1 2 z n > 0, 31
41 olacak şekilde n 4 n 3 vardır. n n 5 için y σ(n) 1 2 z σ(n) > 0 (4.6) olacak şekilde bir n 5 n 4 bulunabilir. n n 5 için (4.4) ve (4.6) dan ( ) 1 m z n + q n h 2 z σ(n) 0, sonucu elde edilir. n n 2 için z tanımlı olduğundan, Lemma direk uygulandığında n n 2 için m z n 0 dır. z n > 0 olur. Yani z sıfır olamaz (z pozitif ve artan olduğu için Lemmanın 2. kısmı uygulanır). Dolayısıyla Lemma den y σ(n) 1 ( ) m 1 1 σ (n) m 1 z σ(n), n 2 m 1 n 2 (m 1)! 2 m 1 1. (4.7) olur. n n 6 n 5 için (C 1 ) ve (4.6) kullanılarak h(y σ(n) ) H(y σ(n) ) ( ( ) m σ (n) H m 1 z σ(n)) 2 (m 1)! 2 m 1 ( ( ) ) m σ (n) KH H( m 1 z 2 (m 1)! 2 m 1 σ(n) ) ( ( ) ) m σ (n) KγH m 1 z 2 (m 1)! 2 m 1 σ(n) elde edilir. Dolayısıyla (4.4) ve yukarıdaki eşitsizlikten { m 1 z n } in ( ( ) ) m σ (n) w n + q n KγH w 2 (m 1)! 2 m 1 σ(n) 0 eşitsizliğinin bir pozitif çözümü olduğu görülür. O halde ( ( ) ) m σ (n) w n + q n KγH w 2 (m 1)! 2 m 1 σ(n) = 0, n n 7 n 6 deklemi pozitif çözüme sahiptir. ispat tamamlanmış olur. Böylece Teorem den aşağıdaki Sonuç elde edilir. Bu (4.1) denkleminin salınımlılığı ile çelişir ve Sonuç Eğer lim inf n n 1 s=σ(n) ( ( ) ) m σ (s) q s H 2 (m 1)! 2 m 1 32 > 1 ekγ,
42 olursa (4.1) denkleminin sınırlı her çözümü ya salınımlıdır ya da n iken sıfıra gider. p n 1 ve m = 2 için Sonuç den lim inf n n 1 s=σ(n) q n H ( ) 1 4 σ (s) > 1 ekγ, olduğu için 2 y n + q n h ( y σ(n) ) = 0, n n0 fark denklemi salınımlıdır. Teorem Kabul edelim ki m tek ve (C 2 ), (C 3 ) sağlansın. Bu durumda (4.1) denkleminin sınırlı her çözümü ya salınımlıdır ya da n iken sıfıra gider. İspat. Kabul edelim ki (4.1) denklemi salınımlı olmayan sınırlı bir y çözüme sahip olsun. Yani y pozitif olsun(y negatif olduğu zaman da ispat benzer şekilde yapılabilir). O halde n n 1 n 0 için y n > 0, y τ(n) > 0 ve y σ(n) > 0 dır. Ayrıca kabul edelim ki n iken y sıfıra gitmesin. (4.1) ve (4.2) den m z n = q n h ( ) y σ(n) 0, n n1. (4.8) yani m z n 0 dır. Dolayısıyla α z n (α = 0, 1, 2,..., m 1) monoton ve sabit işaretlidir. lim n p n = 0 olduğundan öyle bir n 2 n 1 vardır öyle ki n n 2 için z n > 0 dır. y sınırlı olduğundan (C 2 ) ve (4.2) den n 3 n 2 vardır öyle ki n n 3 için z n sınırlıdır. m tek ve z sınırlı olduğundan Lemma den j = 0 (Aksi taktirde z sınırlı olmaz) için bir n 4 n 3 vardır ve n > n 4 için ( 1) i i z n > 0 (i = 0, 1, 2,..., m 1) dır. Özellikle n n 4 için z n < 0 olduğundan z azalandır. z sınırlı olduğundan lim n z n = L, ( < L < ) yazılabilir. Kabul edelim ki 0 L < olsun. Eğer L > 0 olduğu zaman n n 5 için z n > c > 0 olacak şekilde bir n 5 > n 4 ve bir c > 0 vardır. y sınırlı olduğu için (C 2 ) den lim n p n f ( ) y τ(n) = 0 olur. Böylece n n 6 için y n = z n p n f ( ) y τ(n) > c1 > 0 olacak şekilde n 6 > n 5 ve bir c 1 > 0 vardır. Böylece n n 7 için y σ(n) > c 1 > 0 olacak şekilde n 7 > n 6 vardır. (4.8) den m z n q n hc 1 n n 7 (4.9) 33
43 olur. (4.9) n m 1 ile çarpıldıktan sonra n 7 den n 1 e kadar toplam alınırsa F (n) F (n 7 ) h(c 1 ) n 1 s=n 7 q s s m 1, (4.10) elde edilir. Burada n 1 F (n) = ( 1) γ γ n m 1 m γ 1 z(n + γ) γ=2 dır. i = 0, 1, 2,..., m 1 ve n n 4 için ( 1) i i z n > 0 olduğundan n n 7 için F (n) > 0 dır. (4.10) dan yazılır. n iken (C 3 ) den F (n 7 ) h(c 1 ) F (n 7 ) h(c 1 ) n 1 n 1 s=n 7 q(s)s m 1 s=n 7 q s s m 1 = elde edilir. Bu bir çelişkidir. Böylece L > 0 olamaz. Bu sadece L = 0 durumunda sağlanır. Yani lim n z n = 0 dır. y sınırlı olduğu için (C 2 ) ve (4.2) den lim y n = lim z n lim p n f ( ) y τ(n) = 0 n n n elde edilir. Şimdi n n 1 için y n < 0 durumunu inceleyelim. (4.1) ve (4.2) den m z n = q n h ( y σ(n) ) 0 (n n1 ) elde edilir. Yani m z n 0 dır. Dolayısıyla α z n (α = 0, 1, 2,..., m 1) monoton ve sabit işaretlidir. lim n p n = 0 olduğundan öyle bir n 2 n 1 vardır öyle ki n n 2 için z n < 0 dır. y sınırlı olduğundan (C 2 ) ve (4.2) den n 3 n 2 vardır öyle ki n n 3 için z n sınırlıdır. Kabul edelim ki x n = z n olsun. Bu durumda m x n = m z n olur. Böylece x n > 0 ve n n 3 için m x n 0 dır. Buradan da x n nin sınırlı olduğu görülür. m tek ve z sınırlı olduğundan Lemma den j = 0 (Aksi taktirde z sınırlı olmaz) için bir n 4 n 3 vardır ve n > n 4 için ( 1) i i z n > 0 (i = 0, 1, 2,..., m 1) dır.. Yani i = 0, 1, 2,..., m 1 ve n n 4 için ( 1) i i z n < 0 dır. Özellikle n n 4 için z n > 0 dır. Böylece z n artandır. Bu yüzden lim n z n = L, ( < L 0). y n > 0 ınn ispatı için L = 0 olduğu gösterilebilir. Kalan kısım yani y n > 0 için ispat 34
44 benzer şekilde gösterilebilir. Yani lim n y n = 0 dır. Bu da bizim kabulümüz ile çelişir. Böylece ispat tamamlanmış olur. Örnek [y n + ( 1 ) n ] yn ( ) y 3 2 n 2 n 3 + y n 3 = 0, (4.11) burada m = 4, τ (n) = n 2, p n = ( 1/2) n, q n = 1/n 2, σ (n) = n 3, f(y) = y 3, h(y) = y 3 + y. H(u) = u olsun, indirgenmiş denklem ve K = γ = 1 olup, ( w n + 1 ( ) ) 3 1 n 3 w n 2 n 3 = olur. lim inf n n 1 s=n 3 ( ) s 3 > 1 s 2 2 3! 2 3 e, olduğundan dolayı, Teorem den (4.11) denkleminin sınırlı her çözümü salınımlıdır. Örnek [ ] [y ] 3 n + e 5n2 y 2 n 5 + 2y n n 3 y2 n 3 = 0, n 2 (4.12) burada m = 3, q n = 1/n 3, σ (n) = n 3, τ (n) = n 5, p n = e 5n2 f (y) = y 2 2y h (y) = y 2 dır. lim p n = lim = 0 n e 5n2 s m 1 q s = s 1 =. s=n 0 s=n 0 n 1 yazılabilir. Teorem nin şartlarını sağladığı için (4.12) denkleminin sınırlı her çözümü salınımlıdır. 35
45 5 KAYNAKLAR Agarwal, R. P., 2000, Difference Equations and Inequalities, Marcel Dekker, New York. Agarwal, R. P., 1997, Advanced Topics in Difference Equation, Kluwer Academic, London. Agarwal, R. P., Grace, S. R. and O Regan, D., 2000, Oscillation Theory for Difference and Functional Differential Equations, Kluwer Academic Publishers, The Netherlands. Agarwal, R. P., Thandapani, E., Wong, P. J. Y., 1997, Oscillations of higher-order neutral difference equations, Appl. Math. Lett. 10 (1), Agarwal, R. P., Grace, S. R., 1999, Oscillation of higher-order nonlinear difference equations of neutral type, Appl. Math. Lett. 12, Agarwal, R. P. and Grace, S. R., 2000, Oscillation of higher-order difference equations, Appl. Math. Lett. 13, Agarwal, R. P. and Grace, S. R., 1999, Oscillation of certain difference equations, Mathematical and Computer Modelling, 29, 1-8. Agarwal, R. P. and Patricia, Y. J. W., 1997, Advanced topics in difference equations, Kluwer Academic Publishers, Boston. Berezansky, L. and Braverman, E., 2006, On existence of positive solutions for linear difference equations with several delays, Adv. Dyn. Syst. Appl., 1, Bohner, M., Karpuz, B. and Öcalan, Ö., 2008, Iterated oscillation criteria for delay dynamic equations of first order, Adv. Difference Equ., , 12. Bolat, Y., Akın, Ö., 2004, Oscillatory behaviour of a higher-order nonlinear neutral type functional difference equation with oscillating coefficients, Appl. Math. Lett., 17,
ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ
ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıKESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Münevvere Mine KARAKAYA. Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI
KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Münevvere Mine KARAKAYA Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI Ocak 2015 BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıBir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
DetaylıProje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.
Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıx 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)
ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme
Detaylıİkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıLineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık
Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin
Detaylı1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri
Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
DetaylıBu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,
DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin
Detaylı3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.
0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.
DetaylıLeyla Bugay Doktora Nisan, 2011
ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı2. Dereceden Denklemler
. Dereceden Denklemler Yazım hataları olabilir. Tam olarak tashih edilmemiştir. Hataları osmanekiz000@gmail.com mail adresine bildirilseniz makbule geçer.. a + b + 5c = c(a + b) ise a b =? C: 9. ( 4) (
DetaylıBu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.
Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
Detaylıolsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
Detaylı1 Primitif Kökler. [Fermat ] p asal, p a a p 1 1 (mod p) a Z, a p a (mod p) [Euler] ebob(a, m) = 1, a φ(m) 1 (mod m) φ(1) := 1
Primitif Kökler [Fermat ] p asal, p a a p (mod p) a Z, a p a (mod p) [Euler] ebob(a, m) =, a φ(m) (mod m) φ : Z + Z + φ() := φ(m) := {x Z x < m, ebob(x, m) = } φ fonksiyonunun özellikleri: ) m >, φ(m)
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
DetaylıFEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
DetaylıSORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir.
2.4 Lebesgue Dış Ölçüsü ve Lebesgue Ölçüsü SORU : Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde G R kümesinin varlığınıgösteriniz? ÇÖZÜM : B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) =
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
DetaylıAnkara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu
Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve
Detaylı1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI
Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,
DetaylıPAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik
Detaylı10. DİREKT ÇARPIMLAR
10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü
DetaylıTaşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıAfyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi
Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 6 (06) 0330 (576-584) AKU J Sci Eng 6 (06) 0330 (576-584) DOI:
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden
Detaylı11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler
11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
DetaylıÇ.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2
SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
DetaylıKesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıT.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ
T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN
Detaylıiçin Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak
7. Bölüm Grupları olmak üzere grubunu nasıl inşa ettiğimizi hatırlayalım. grubunun alt grubu grubu tüm olacak şekilde tüm sınıflardan oluşmuştur. Sınıfların toplamını ile, yani ile tanımlamıştık. Şimdi
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
DetaylıFonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.
8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin
DetaylıLineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
Detaylı1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR
1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların
DetaylıDiziler. Tanım 9.1. a i0, a i1, a i2,..., a in,... (9.2)
2 86 Bölüm 9 Diziler Tanım 9. a 0, a, a 2,..., a n,... (9.) biçiminde sıralanmış sayılar kümesine dizi denilir. {a n }, (a n ) n=0, {a n} n=0 gibi gösterimler kullanılır. Bu gösterimlerde, i doğal sayısına
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
DetaylıÖrnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER
MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
Detaylı8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR
8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: ve iki grup ve f : G H bir fonksiyon
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
DetaylıSORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A
2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
Detaylı1. G IR IŞ. x n+1 x n +px n k =0; n=0;1;2;::: (1.1)
. G IR IŞ Fark denklemleri ile zamana ba¼gl çeşitli do¼ga olaylar n n incelenmesinin do¼gal bir ifadesi olarak karş laş lmaktad r. Zamana ba¼gl de¼gişkenlerin kullan ld ¼g olaylar n pek ço¼gu ayr k (kesikli)
Detaylıab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.
3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKTRUMLARI ÜZERİNE
Ekim 25 Cilt:3 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 547-554 DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKRUMLARI ÜZERİNE Hayri AKAY, Ziya ARGÜN Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Bölümü,
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıSağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar)
3.1.2.1. Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar) ÖRNEK: y + 4.y + 4.y = 5.sin2x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulalım: Homojen kısmın çözümü: y + 4.y + 4.y = 0
DetaylıOLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)
OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik
DetaylıİÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48
İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri
DetaylıCahit Arf Matematik Günleri 10
Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
Detaylı0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c
0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600
DetaylıMustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi
2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıÇözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3
p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A
DetaylıSAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
DetaylıII. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1
II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük
DetaylıKPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
DetaylıProf.Dr.Ünal Ufuktepe
İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda
DetaylıÖZEL EGE LĠSESĠ. ġeklġndekġ ĠFADELERĠN. SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR
ÖZEL EGE LĠSESĠ ġeklġndekġ ĠFADELERĠN SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠ: Ersin ĠSTANBULLU DANIġMAN ÖĞRETMEN: Defne TABU ĠZMĠR 2013 ĠÇĠNDEKĠLER 1.
Detaylı11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için
DetaylıTanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
Detaylı2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar
DetaylıAdi Diferansiyel Denklemler Teorisine Giriş (MATH360) Ders Detayları
Adi Diferansiyel Denklemler Teorisine Giriş (MATH360) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Adi Diferansiyel Denklemler Teorisine Giriş MATH360
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıB Ö L Ü M. ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir.
B Ö L Ü M 2 DOĞAL SAYILAR En basit ve temel sayılar doğal sayılardır, sayı kelimesine anlam veren saymak eylemi bu sayılarla başlamıştır. Fakat insanoğlunun var oluşundan beri kullanılan bu sayıların açık
Detaylı