Hafta 7: FrekaNS BÖLGESİNE DOĞRU: FOURIER SERİLERİ. İçindekiler

Transkript

1 Hafa 7: FrekaNS BÖLGESİNE DOĞRU: FOURIER SERİLERİ İçindekiler 4. ek ve çif sinyaller (Odd & Even signals) Konjüge simeri ve konjüge ani-simeri özelliği Sürekli zaman periyodik sinyallerin Fourier serisi göserimi (Fourier series represenaion of coninuous ime periodic signals) Gibbs ekisi Fourier serisi yakınsama özelliği Fourier serisinin yakınsamadığı durumlar, Dirichle koşulları... 7 Sayfa

2 Bölüm 4: FrekaNS BÖLGESİNE DOĞRU: FOURIER SERİLERİ Bu kiap kapsamında; diğer sinyal işleme kiaplarından farklı olarak, sürekli zaman Fourier serileri (coninuous ime Fourier series) ek ve çif sinyallerin anımı ile anlaılmaya başlanacakır. 4. ek ve çif sinyaller (Odd & Even signals) Sürekli zamanda simerileri kendisine eşi olan sinyallere sürekli zaman çif (even) sinyaller adı verilir. Çif sinyaller Eşilik 4. de verilen özelliği sağlarlar. x() = x( ) (4.) Çif sinyallerin olduğu yerde ek sinyallerin olmaması beklenemez. Eşilik 4.2 de verilen özelliği sağlayan sinyallere ise ek (odd) sinyaller adı verilir. x() = x( ) (4.2) ek ve çif sinyallerin bu kadar ünlü olmalarının nedeni, Şekil 4. de sunulmuşur. Çif sinyaller düşey eksene (y-eksenine) göre simeri özelliği göserirken, ek sinyaller orijin nokasına göre simeri özelliği gösermekedirler. 5 x-cif() a. Sayfa 2

3 5 5 x-ek() b. Şekil 4. a. Çif sinyal ve b. ek sinyal örnekleri. Şekil 4. incelendiğinde, insan aklı iser isemez en basi ek ve çif sinyal nedir diye düşünmeden edemez. Acaba düşey eksene göre simerik en basi sinyal ile orijin nokasına göre simerik en basi sinyal nedir? Şekil 4.2 de yazarların aklına gelen en basi ek ve çif sinyal sunulmuşur. Eğer Sizin aklınıza daha basi ek ve çif sinyaller geliyorsa Siz de onları kareli kağıda çizmeken çekinmeyin..5.5 cos() a. Sayfa 3

4 .5.5 sin() b. Şekil 4.2 a. Çif sinyale örnek olarak kosinüs sinyali ve b. ek sinyale örnek olarak sinüs sinyali. 4.2 Konjüge simeri ve konjüge ani-simeri özelliği ek ve çif simeri özelliklerinin grafiksel olarak Şekil 4. ve Şekil 4.2 üzerinden am olarak anlaşıldığı varsayımından yola çıkarak, zamanda ek ve çif simeri özelliklerini kompleks (karmaşık) bölgeye aşırsak, zamanda konjüge simeri (conjugae symmeric) ve zamanda konjüge ani-simeri (conjugae ani-symmeric) özelliklerine varırız. Eşilik 4.3, Eşilik 4. de verilen denkleme çok benzemekle birlike * işarei kompleks konjüge işlemini ifade emekedir. Bu durumda x() fonksiyonunun (ya da sinyalinin) kompleks bir fonksiyon (kompleks değerler içeren bir sinyal) olduğunu söylemek sadece malumun ilanıdır. Eşilik 4.3 üzerine saalerce konuşulabilir, ancak çıkarılması gereken son derece basi iki sonuç vardır. Bunlardan birincisi, karmaşık (kompleks) değerlerinden dolayı x() fonksiyonunu çizmek Şekil 4. veya Şekil 4.2 deki kadar kolay olmayacakır. Bu kompleks fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını (ya da genlik ve fazını) Bölüm, Bölüm Sonu Soru ve Cevapları bölümünde irdelediğimiz üzere ayrı ayrı çizerek görselleşirmek gerekecekir. x () = x( ) (4.3.a) Varılması gereken ikinci sonuç daha basiir. x() fonksiyonunun sadece gerçel olması durumunda konjüge simerik fonksiyon çif (çif simerik) fonksiyona dönecekir. x () = x() = x( ) (4.3.b) Bu durum aslında çif simerik fonksiyonların kompleks konjüge fonksiyonların özel bir hali olduğu (zaman sinyali x() nin gerçel olması durumunda) gerçeği oraya çıkarmakadır. Sayfa 4

5 Madem güneşin sıcak, suyun ıslak olduğunu anlamaya başladık, arışmamızı sürekli zaman konjüge ani-simeri özelliği ile biirelim. Yine malumun ilanı Eşilik 4.4 ile verilen denklemi sağlayan x() sürekli zaman kompleks sinyaller konjüge ani-simerik sinyaller olarak adlandırılır. x() = x ( ) (4.4) Peki birçok kiapa yarım sayfa anlaılan ek ve çif sinyalleri neden bu kiapa iki sayfa anlaıp, kompleks konjüge ve kompleks ani-konjüge anımları ile birleşirdik. İşin sırrı çif ve ek sinyallerin anımında gizlidir. ek{x()} =/2(x() x( )) (4.5) Çif{x()} =/2(x() + x( )) (4.6) ek ve çif fonksiyon anımlarına göre yazdığımız Eşilik 4.5 ve Eşilik 4.6 çok güçlü bir eşiliği barındırmakadır. Bu iki denklemi oplamamız durumunda Eşilik 4.7 elde edilir. x() = ek{x()} + Çif{x()} (4.7) Basi bir maemaiksel özdeşlik gibi görünen Eşilik 4.7 nin çok ciddi anlamları bulunmakadır. Herhangi bir sürekli zaman x() fonksiyonunu ek ve çif sinyallerin oplamı olarak ifade edebiliriz. Bu cümleyi en az üç kez ekrar okuyunuz. ek ve çif fonksiyonların, kompleks konjüge ve kompleks ani-konjüge fonksiyonlar ile olan akrabalıkları da göz önüne alındığında herhangi bir kelimesi kompleks, gerçel üm sürekli zaman x() fonksiyonları için geçerli olacakır. Bir adım öeye giderek, Şekil 4.2 de sunulan emel ek ve çif fonksiyonlara dönersek acaba aşağıdaki önermeyi yapabilir miyiz? Sadece sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını kullanarak herhangi bir sürekli zaman x() fonksiyonunu ifade edebilir miyiz? Yukarıdaki önermenin son derece iddialı olduğunu belirmek herhalde gereksizdir. Şekil 4. ile Şekil 4.2 arasındaki emel fark Şekil 4.2 de verilen ek ve çif fonksiyonların aynı zamanda periyodik sinyaller olmasıdır. Bu durumda yukarıda sunulan önermeyi aşağıdaki şekilde revize emeyi öneriyorum. Sadece sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını kullanarak herhangi bir periyodik sürekli zaman x() fonksiyonunu ifade edebilir miyiz? Eşilik 4.7 bunu başarabileceğimizi ifade emekedir. Herhangi bir (arışmanın genelliğini korumak adına) karmaşık (ya da gerçel), periyodik, sürekli zaman sinyalini ek (sinüs) ve çif (kosinüs) fonksiyonların oplamı olarak ifade edebiliriz (miyiz?) Sayfa 5

6 Felsefenin kenara çekilip, ekrar maemaiğe söz bırakması gereken an gelmişir. İlk akla gelen denklem, Eşilik 4.8 de sunulmuşur. Bu denklem gereğince, Euler açılımından dolayı karmaşık üsel açılım kullanmak en manıklısı olmalıdır. e jω k = cos Ω k + j sin Ω k, x() = a k k= j = olmak üzere e jω k Eşilik 4.8 ile herhangi bir karmaşık, periyodik, sürekli zaman sinyali x(), karmaşık sinüs ve kosinüslerin oplamı şeklinde ifade edilebilecekir. Üsel fonksiyonun (e jω k ) önünde yer alan a k kasayıları, her bir üsel fonksiyonu farklı bir ağırlık ile oplama dahil edecekir. Eşilik 4.8 de yer alan sürekli zaman sinyalinin periyodik olduğu göz önüne alınır ise Eşilik 4.8, Eşilik 4.9 a indirgenebilir. (4.8) x() = a k k= e jkω Eşilik 4.8 ile Eşilik 4.9 arasındaki ek fark Eşilik 4.9 un emel frekans Ω ın am harmonik kaları olan kω frekanslarında sinüs ve kosinüslerin oplamı olarak ifade edilecek olmasıdır. Sinyalimiz x(); karmaşık, periyodik ve sürekli zaman sinyali olduğundan herhangi Ω k frekanslarındaki sinüs ve kosinüslerin oplamı olarak incelemek problemi gereksiz yere zorlaşıracakır. Sinyalimiz periyodik olduğundan emel bir frekans Ω erafında analiz emek işleri çok daha kolaylaşıracakır. Bu durumda ek bir sorun kalmışır. a k kasayılarını acaba nasıl hesaplayabiliriz? (4.9) 4.3 Sürekli zaman periyodik sinyallerin Fourier serisi göserimi (Fourier series represenaion of coninuous ime periodic signals) Bilim arihinde öyle konular ve öyle arışmalar vardır ki, başladıkları nokaları aşar, arışmayı başlaanın bile ahmin edemeyeceği yerlere varır. Yukarıda anımlanan problem 8 lü yılların başında Jean Bapise Joseph Fourier in aklına (Fourier, 87) akılmışır. Bu nedenle Fourier kelimesinin geçiği üm yerlerde özel isim olması iibarı ile büyük harf (Fourier) kullanılmalıdır. Bu problem aslında 75 li yıllarda Euler, Bernoulli ve Lagrange arafından da incelenmişir. Böylesine saygın isimlerin zamanını alan denklemi ekrar inceleyelim. x() = a k k= e jkω Sayfa 6

7 İnsanın ilk olarak aklına her iki arafı e jkω ile çarpmak geliyor, öyle değil mi? Ama burada hemen başka bir sorun su yüzüne çıkıyor: k nın hangi değeri ile? Çünkü k, eksi sonsundan arı sonsuza kadar değişen ve aslında sinüs ve kosinüslerin emel frekanslarının harmoniklerini göseren bir am sayı değişkeni. Oysa biz değişkenlerden kurulmaya çalışıyoruz. x()e jkω = a k k= e jkω e jkω Bu durumda biz her iki arafı e jnω ile çarpalım. Peki n nedir? Ne olursa olsun, am sayı olsun da. Mesela iserseniz n = olsun, ya da n =, dilediğiniz değeri vererek Eşilik 4. da yerine koyun. Çok ilginç sonuçlar elde eiğinizi göreceksiniz. x()e jnω = a k k= e jkω e jnω (4.) Buraya kadar gelmişken bu denklem burada bırakılmaz. Acaba bundan sonra ne yapmalıyız? Görebildiniz mi? Göremediyseniz üzülmeyin, Euler, Bernoulli ve Lagrange da görememişi. Fourier e kısme olan adım Eşilik 4. de verilmişir. x()e jnω d = { a k k= e kω e jnω } d (4.) Eşilik 4. de verilen, bir periyo boyunca alınan inegralin lieraürde çok büyük bir önemi vardır., periyodik x() sinyalinin emel periyodu olmak üzere, = f = 2π Ω İnegralin oplamı, oplamın inegraline eşi olacağından, (4.2) x()e jnω d = a k k= e jkω e jnω d = a k k= e j(k n)ω d (4.3) e j(k n)ω d inegrali kili önem kazanmakadır. Bu dersi alan bir öğrenci bu inegrali çok rahalıkla çözebilir. Benim ek vereceğim ipucu k = n olması durumu ile k n durumlarının Sayfa 7

8 mevzu bahis olduğuna dikka emeniz gerekliliğidir. k n için bu inegralin sonucu kocaman bir sıfır çıkmakadır. d =, k = n e jmω d =, k n, m Z (4.4) Doğrusal cebir derslerine geri dönersek, orogonalie gereği k nın n den farklı üm değerleri için Eşilik 4.4 e verilen inegral sıfır çıkmakadır. Diğer bir deyişle, Eşilik 4.3 ün sağ arafı sadece k = n olduğunda değerini vermeke, k nın diğer üm değerleri için oplama gelen değerler sıfır olduğundan sonucu ekilememekedir. Bu durumda a k kasayılarını Eşilik 4.5 aracılığı ile hesap emeyi başarmış oluruz. x()e jkω d = a k a k = x()e jkω d (4.5) Başladığımız nokaya geri dönersek, Eşilik 4.6 sürekli zaman, periyodik sinyaller için Fourier serisi çifi olarak adlandırılır. Bu kadar emeğin ardından a k haklı olarak Fourier serisi kasayıları, ilk denklem senez denklemi (a k kasayılarını kullanarak zaman sinyalini senez eiğimiz için) ve ikinci denklem ise analiz denklemi (zaman sinyalinin analizi sonucu Fourier serisi kasayılarını hesapladığımız için) olarak adlandırılır. x() = a k k= e jkω a k = x()e jkω d, = 2π Ω (4.6) Eşilik 4.9 dan bu arafa çok yol ka eiğimiz bilinci ile Fourier serisi çifini iyi bir incelemeye abi umaka fayda vardır. Bu iki denklem ezberlenemeyecek kadar mükemmeliye içermekedir. Aşağıdaki soruları Eşilik 4.6 ile verilen çifi içselleşirebilmeniz maksadıyla veriyorum. Sayfa 8

9 Bazı kaynaklarda verilen senez denkleminde kompleks eksponansiyel üzerinde eksi (- ) analiz denkleminde ise eksi olması gerekirken hiçbir işare bulunmamakadır (yani +). Acaba hangi denklem çifi doğrudur? üm ispaın başlangıç nokası olan Eşilik 4.9 dan iibaren diğer kaynaklarda yer alan Fourier serisi çifinin doğruluğunun ispaı (orogonalienin bir özelliği olarak) okuyucuya bırakılacakır. x() sürekli zaman periyodik sinyali gerçel ise a k kasayıları gerçel çıkmak zorunda mıdır? Denklem içinde bulunan j = ifadesi kafa karışırmakadır. x() sürekli zaman sinyali olduğuna göre neden senez denkleminde kesikli ifadeler için kullanılan oplam (sigma) işarei bulunmakadır? Kesikli olan nedir? oplama işareinin sınırları sonsuza kadar gimekedir. Bu durumda hangi periyodik sinyaller için sonsuz harmoniğin oplamı gerekmekedir. Senez denklemini bilgisayar üzerinde bir simülasyon için kullandığımda oplamı sonsuza kadar alamayacağıma göre sınırlı sayıda harmonik kullanmam durumunda bunun sürekli zaman periyodik x() sinyali üzerinde nasıl bir ekisi olacakır? Örnek 4. Başladığımız nokaya geri dönersek; sadece sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını kullanarak herhangi bir periyodik sürekli zaman x() fonksiyonunu ifade edebileceğimizi gördüğümüze göre, vardığımız sonuçların en basi sinyaller için nasıl çalışığını görmeken daha emel bir merak olamaz. Akla gelen en emel sinyaller a) x() = cos Ω b) x() = sin Ω c) x() = e jω olarak belirlenebilir. Mademki, herhangi bir sürekli zaman periyodik sinyali sinüs ve kosinüsler cinsinden ifade edebiliyoruz, o zaman acaba sinüs ve kosinüsü nasıl ifade ediyoruz? Sinüs ve kosinüslerden oluşan karmaşık üsel bir fonksiyonu acaba nasıl ifade ediyoruz? a. x() = cos Ω = e jω +e jω olarak yazılabileceğinden a 2 = ve a 2 = olduğu açıkır 2 (dileyen analiz denklemini kullanarak aynı sonuca varabilir), diğer a k değerlerinin sıfır olması gerekiği açıkır. Şekil 4.3.a da x() = cos Ω, Şekil 4.3.b de ise a k değerlerinin grafiği sunulmuşur. x() = cos Ω örneğimiz için a k kasayılarının gerçel (sadece reel) bileşenlerden oluşuğuna dikka ediniz. Sayfa 9

10 .5.5 cos() a a k k b. Şekil 4.3 a. x() = cos Ω, b. x() sinyalinin a k Fourier serisi kasayıları. b. x() = sin Ω = ejω e jω 2j olarak yazılabileceğinden a = 2j ve a = 2j olduğu açıkır (dileyen analiz denklemini kullanarak aynı sonuca varabilir), diğer a k değerlerinin sıfır olması gerekiği açıkır. Şekil 4.4.a da x() = sin Ω, Şekil 4.4.b de ve Şekil 4.4.c de ise a k Fourier serisi kasayılarının sırasıyla genlik ve faz değerlerinin grafiği sunulmuşur. x() = sin Ω örneğimiz için a k kasayılarının sadece sanal (purely imaginary) bileşenlerden oluşuğuna dikka ediniz. Bu nedenle a k kasayılarının çizimi sırasında bir sıkını yaşamayız ancak genel olarak a k kasayılarının karmaşık olabileceği gerçeğinden harekele genlik ve faz kısımları ayrı ayrı çizilmişir. Sayfa

11 .5.5 sin() a a k Genlik k b a k Faz k c. Şekil 4.4.a x() = sin Ω, b. x() sinyaline karşılık gelen Fourier serisi kasayılarının genlik göserimi ve c. x() sinyaline karşılık gelen Fourier serisi kasayılarının faz göserimi. Sayfa

12 c. x() = e jω olarak yazılabileceğinden a = olduğu açıkır (dileyen analiz denklemini kullanarak aynı sonuca varabilir), diğer a k değerlerinin sıfır olması gerekiği açıkır. Şekil 4.5 e sadece a k değerlerinin grafiği sunulmuşur zira e jω karmaşık bir fonksiyon olduğundan karezyen koordina siseminde göserimi mümkün değildir. Buna ek olarak x() = e jω sinyali için a k kasayılarının genlik ve faz kısımlarının ayrı ayrı çizimi okuyucuya bırakılmışır..5.5 a k k Şekil 4.5 x() = e jω karşılık gelen Fourier serisi kasayıları. Örnek olarak sunulan her üç sinyal (x() = cos Ω, x() = sin Ω ve x() = e jω ) sırasıyla purely real, purely imaginary ve purely real olduğundan doğrudan yukarıdaki gibi bir göserim ile ifade edilebilirler. Bakalım hepimiz gördüğümüzü anlıyor muyuz? Anladığımızı ne şekilde yorumluyoruz. Kosinüs sinyaline ai Fourier serisi kasayıları bizi yanılmasın, sinüs sinyali amamen gerçel olmasına rağmen Fourier serisi kasayıları karmaşık (haa sadece sanal, purely imaginary) çıkmışır. Buna ina karmaşık e jω sinyalinin Fourier serisi kasayıları (ürkçemizi doğru kullanmak gerekirse kasayısı) gerçel çıkmışır. Bu durumda gerçel sinyallerin gerçel ya da sanal Fourier serisi kasayıları vardır demek gibi bir genelleşirme mümkün görünmemekedir. Bununla birlike gerçel sinyallerin hem negaif indisli, hem de poziif indisli Fourier serisi kasayıları çıkmakadır. Benzer şekilde karmaşık zaman sinyallerinin sadece poziif indisli Fourier serisi kasayıları hesaplanmışır. Acaba bu bir raslanı mıdır? ek bir bileşene sahip (ek bir sinüs ya da ek bir kosinüs) zaman sinyaline ai sadece ek bir Fourier serisi kasayısı çıkmışır (a ). Bu durumda herhangi bir sinyali sinüs ve kosinüsler cinsinden ifade edebiliyoruz önermesini ersen okuduğumuzda Fourier serisi analizi herhangi bir periyodik, sürekli zaman sinyalini Fourier serisi kasayılarına parçalamaka, dağımakadır. Diğer bir deyişle herhangi bir periyodik, sürekli zaman Sayfa 2

13 sinyalinin kompozisyonunu Fourier serisi analizi ile görebilmekeyiz. ıpkı karmaşık bir malzemenin elemenlerine ayrışırılması ya da karmaşık bir kelimenin hecelerine bölünmesi gibi Elimizde çok güçlü bir araç olduğunu arık anlamış olmalıyız. Örnek 4.2 Arık sürekli zaman periyodik sinyallerin Fourier serisi göserimi konusunda üsa olduğumuza göre sinüs ve kosinüsen daha karmaşık sinyallerin analizine geçebiliriz diye düşünüyorum. Sürekli olarak aklıma akılan bir sorunun cevabını arayacağımız bir sinyal: Kare dalga. Bu sinyalin sürekli zaman, periyodik sinyallerin göseriminde özel bir yeri bulunmakadır, zira bir periyo boyunca sınırlı sayıda da olsa süreksizlik içermekedir. Acaba nasıl oluyor da, sinüs ve kosinüs gibi süreksizlik içermeyen sinyallerin oplamı süreksizlik içeren kare dalga gibi periyodik bir sinyali verebiliyor. Eşilik (4.7), emel periyodu, değerini alma süresi (duy cycle) 2 olan bir kare dalganın analiik denklemini ifade emekedir. x() = {, < <, 2 < < ve < < (4.7) 2 Şimdi, bu kare dalganın Fourier serisi kasayılarını Eşilik 4.8 deki adımlarla hesaplayalım: a k = x()e jkω d = [ x()e jkω d + x()e jkω 2 = [ + x()e jkω d + ] = ( jkω ) e jkω = = = e jkω [e jkω ] ( jkω ) = ejkω e jkω 2j = 2sin(kΩ ) kω = sin (k 2π ) πk 2 kω 2 d + x()e jkω d] = 4 (duy cycle 5%) için Eşilik 4.8, Eşilik 4.9 daki formu almakadır. (4.8) Sayfa 3

14 a k = 2 sin (k π 2 ) k π 2 (4.9) 4.3. Gibbs ekisi 5 harmonik göserimini inceleyeceğimiz periyodik ve simerik kare dalga için k nın -26 dan +26 ya aldığı değerler için Şekil 4.6.a daki x() kare dalga sinyalinin Fourier serisi kasayıları Şekil 4.6.b de, Eşilik 4.9 uyarınca elde edilmişir. Bu sinyalin farklı sayıda harmonik ile analizini kiabımızda sunulan MALAB kodlarını düzenleyerek elde edebilirsiniz..5.5 x() Kare Dalga a..5.4 Kare Dalga a k Kasayıları k b. Şekil 4.6 a. x() periyodik kare dalga sinyali ve b. x() sinyalinin Fourier serisi kasayıları. Eşilik 4.6 daki senez denkleminin özel bir hali Eşilik 4.2 de sunulmuşur. Eşilik 4.2, sürekli zaman periyodik sinyali sonsuz harmonik için değil, sadece 2N harmonik için Sayfa 4

15 senezlemekedir. Fourier serisi kasayılarının Şekil 4.6.b deki 5 harmoniği kullanılarak yeniden elde edilen x () sinyali Şekil 4.7 de görülmekedir. N x () = a k k= N e jkω fark() = x() x () (4.2) Şekil 4.7 de gözlemlediğiniz epeciklerin (ripples) süreksizlik bölgesine yaklaşıkça armasının nedeni sürekli zaman periyodik sinyalin N gibi sınırlı sayıda harmonik ile elde edilmesinden kaynaklanmakadır. Bu ekiyi ilk olarak (her ne kadar Henry Wilbraham arafından 848 yılında keşfedilmiş olsa da) Gibbs gözlemlediğinden, Gibbs ekisi (Gibbs, 898) olarak anılmakadır. MALAB kodlarını kullanarak farklı N değerleri için Gibbs ekisinin (Gibbs phenomenon) nasıl bir özellik göserdiğini incelemeniz faydalı olacakır. Her zaman olduğu gibi bir ipucu vererek aran N değerleri için epeciklerin süreksizlik nokalarına doğru sıkışığını ve sönümlemenin (overshoo) çok daha hızlı gerçekleşiğini gözlemleyebilirsiniz. Bu durumda epeciklerden kaynaklanan enerjinin (epeciklerin maksimum genliği değil) dikkae değer olmaması için N (3 yeer mi? Yoksa 3, mi olmalı) değerinin yeerince yüksek seçilmesi gerekiğini anlayabilirsiniz..5 Fourier Serisi Kasayilarinin 5 erimi Için x() Şekil 4.7 Sadece 5 harmonik kullanılarak elde edilen x () sinyali, Gibbs ekisi Sayfa 5

16 4.3.2 Fourier serisi yakınsama özelliği emel maemaik derslerinden bize öğreilen serilerin yakınsama özellikleridir. Diğer bir deyişle Fourier serisi analiz denkleminden elde eiğimiz a k değerleri sonlu değerler almaka mıdır? Diğer bir soru ise, a k değerleri sonlu değerler alsa bile, senez denklemine koyduğumuzda acaba bize sürekli zaman periyodik sinyali x() yi vermeke midir ya da ne kadar doğru vermekedir? Eşilik 4.2 de sunulan fark() sinyalinin her bir anı için farklı değerleri olacağından acaba a k değerlerini kullanarak elde edeceğimiz lim x () sinyali N Fourier serisi analizini gerçekleşirdiğimiz sürekli zaman periyodik x() sinyalinden ne kadar farklı olacakır? Enerji{ fark()} = fark() 2 d (4.2) Bu sorunun cevabı aslında basiir, eğer Eşilik 4.2 de verilen fark sinyalinin enerjisi sıfıra yakınsıyorsa, lim Enerji{ fark()} = Fourier serisi kasayılarının yakınsak olduğu anlamına N gelir. İşin gerçeği elekrik-elekronik mühendislerinin karşılaşması muhemel üm sürekli zaman periyodik sinyaller Fourier serisi kasayıları ile ifade edilebilir, yani yakınsakır..5.5 fark() Enerji{ fark()}=39.26 Şekil harmonik için fark() sinyali ve enerji değeri. MALAB kodlarını kullanarak farklı N değerleri için fark() sinyalinin enerjisinin nasıl değişiğini inceleyiniz. Sayfa 6

17 4.3.3 Fourier serisinin yakınsamadığı durumlar, Dirichle koşulları P.L. Dirichle adlı şahıs, şahsına münhasır sinyaller bulmuş ve bunları ana başlıklar alında kaegorize emeyi başarmışır. Dirichle koşulları (Dirichle,829) adını verdiğimiz koşulları sağlamayan sinyalleri sürekli zaman ve periyodik olmalarına rağmen Fourier serisi kasayıları ile ifade edemeyiz, çünkü bu sinyaller için Fourier serilerinin yakınsama özelliğinden bahsedemeyiz Fourier serisi yakınsama özelliği bölümü alında bahsedildiği üzere her ne kadar bu sinyaller ile elekrik-elekronik mühendislerinin karşılaşma olasılığı pek bulunmasa da sürekli zaman periyodik sinyallerin Fourier serisi göserimini verip, Dirichle koşullarından bahsememek olmaz. Koşul : Bir periyo boyunca x() mulak inegrali alınabilir olmalıdır. Eşilik 4.22 sağlandığında a k < olacağından üm sürekli zaman periyodik sinyaller için Koşul sağlanmalıdır. x() d < (4.22) Koşul 2: Sürekli zaman periyodik sinyalin bir periyodu boyunca sınırlı sayıda minimum ve sınırlı sayıda maksimum bulunmalıdır. Koşul 3: Sürekli zaman periyodik sinyal, bir periyodu boyunca sınırlı sayıda süreksizlik içermelidir. Sayfa 7