Regresyon ve İnterpolasyon Rıdvan YAKUT
Eğri Uydurma Yöntemleri Regresyon En Küçük Kareler Yöntemi Doğru Uydurma Polinom Uydurma Üstel Fonksiyonlara Eğri Uydurma İnterpolasyon Lagrange İnterpolasyonu (Polinomal İnterpolasyon ) Newton İnterpolasyonu
Eğri Uydurma Yöntemleri Eğri uydurma için, veri hatalarına bağlı olarak birbirinden ayrılan iki yaklaşım vardır: Regresyon: Hata oranı büyük değerlerin, her bir veri noktasından geçmeyen, verilerin genel eğilimini tek bir eğri ile gösterimidir. (deneysel veriler için) İnterpolasyon: Hata oranı küçük değerlerin, iyi bilinen ayrık noktaların her birinden geçecek şekilde eğri veya eğri uydurularak gösterimidir.
Regresyon ve İnterpolasyon
Regresyon Regresyon analizi yaparken en çok kullanılan yöntemlerden biri en küçük kareler yöntemidir. En Küçük Kareler Yöntemi gerçek yaşamın çeşitli alanlarında herhangi bir uygulama ile toplanan veriler tablo şekline getirilerek incelenir ve toplanan veriyi modelleyen bir fonksiyon bulunmaya çalışılır.
Regresyon Analizi Çoğu zaman bu veri tablosuna tam olarak uyan bir fonksiyon bulmak mümkün olmaz; veri tablosuna en iyi uyan fonksiyon belirlenmeye çalışılır. Bir veri tablosuna en iyi uyan fonksiyonu bulma sürecine regresyon analizi denir.
En Küçük Kareler Yöntemi Verilerde önemli hatalar olduğunda, interpolasyon uygun değildir ve ara değerleri tahmin etmek için kullanıldığında tatmin edici sonuçlar vermez. Genellikle deneysel veriler genellikle bu tiptedir ve en küçük kareler yöntemi ile gösterimi daha iyi sonuçlar verir.
Doğru Uydurma Verilerinin belirli bir doğruyla gösterilebilmesi durumunda doğru uydurma yöntemine başvurulur. Veriler İnterpolasyon En küçük kareler yöntemi
Doğru Uydurma Bu yöntemde doğruya yaklaşımdaki hataların karelerinin toplamını minimum yapacak doğru denklemi araştırılır. y = a 0 + a 1 x + E E = y gerçek y yaklaşık = y (a 0 + a 1 x) S r = n i=1 ε 2 i = n i=1 (y a 0 a 1 x i ) 2 a 0 : kesme noktası a 1 : eğim E: hata veya artık S r : hataların kareleri toplamı
Doğru Uydurma Hatanın karelerinin toplamını minimum yapacak a 0 ve a 1 değerleri, bu değerlerin türevlerinin sıfıra eşitlenmesiyle bulunur. Son durumda a 0 ve a 1 aşağıdaki gibi olur: n a 0 + X i a 1 = Y i X i a 0 + X i 2 a 1 = X i Y i
Doğru Uydurma Aşağıdaki denklem takımı çözülerek a 0 ve a 1 değerleri bulunur a 0 = y a 1 x = y i n a 1 x i n a 1 = n x iy i x i y i n x i 2 ( x i ) 2 Not: x i y i ile x i y i ve x i 2 ile ( x i ) 2 birbirlerinden farklı ifadelerdir.
Doğru Uydurmada Hata Eğri uydurmanın uyumluluğunu belirlemek için korelasyon katsayısı (r) ile belirlenir. Doğrusal regresyon için korelasyon katsayısı aşağıdaki eşitlik ile hesaplanır: r = n x i y i x i y i n x i 2 ( x i ) 2 n y i 2 ( y i ) 2
Örnek Tablodaki değerler için düz bir doğru uydurun. x i y i 1 0.5 2 2.5 3 2.0 4 4.0 5 3.5 6 6.0 7 5.5
Çözüm a 1 = n x iy i x i y i n x i 2 ( x i ) 2 = 7 119.5 28 24 7 140 28 2 = 0.839 a 0 = y a 1 x = 3.429 0.839 4 = 0.073 y = A + Bx = 0.073 + 0.839x r = n x i y i x i y i n x i 2 ( x i ) 2 n y i 2 ( y i ) 2 = 7 119.5 28 24 7 140 28 2 7 105 24 2 = 164.5 176.53 = 0.932
Hesap Makinesi İle Çözüm Tablo değerlerinin girilmesi ; MODE 3(STAT) 2(A+BX) Tablo değerleri girildikten sonra AC tuşuna basılarak veriler kaydedilir. x 2 = SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 1 x= SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 2 y 2 = SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 3 y= SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 4 x y= SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 5 A= SHIFT 1(STAT) 5(Reg) 1 B= SHIFT 1(STAT) 5(Reg) 2 r= SHIFT 1(STAT) 5(Reg) 3
Polinom Uydurma Bazı mühendislik verilerinin belirli bir şekli olsa da düz bir doğruyla gösterilmesi mümkün değildir. Böyle durumlarda bir eğri, verilere daha uyumlu olabilir ve polinom uydurmak doğru daha doğru sonuçlar verir. Doğrusal regresyona uymayan veriler Parabolik eğrinin kullanımı
Polinom Uydurma En küçük kareler yöntemi, yüksek dereceli polinomlara eğri uydurmak için kolayca genişletilebilir: y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + E E = y gerçek y yaklaşık = y a 0 + a 1 x + a 2 x 2 S r = n i=1 ε i 2 = n i=1 (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) 2
Polinom Uydurma Hatanın karelerinin toplamını minimum yapacak a 0, a 1 ve a 2 değerleri, bu değerlerin türevlerinin sıfıra eşitlenmesiyle bulunur. Son durumda aşağıdaki eşitlikler elde edilir: n a 0 + ( x i )a 1 + ( x i 2 )a 2 = y i ( x i )a 0 + ( x i 2 )a 1 + ( x i 3 )a 2 = x i y i ( x i 2 )a 0 + ( x i 3 )a 1 + ( x i 4 )a 2 = x i 2 y i
Örnek Tablodaki değerleri 2. dereceden polinoma yaklaştırın. x i y i 0 2.1 1 7.7 2 13.6 3 27.2 4 40.09 5 61.1
Çözüm n a 0 + x i a 1 + x i 2 a 2 = y i 6a 0 + 15a 1 + 55a 2 = 152.6 x i a 0 + x i 2 a 1 + x i 3 a 2 = x i y i 15a 0 + 55a 1 + 225a 2 = 585.6 x i 2 a 0 + x i 3 a 1 + x i 4 a 2 = x i 2 y i 55a 0 + 225a 1 + 979a 2 = 2488.8
Çözüm Cramer yöntemiyle çözüm uygulanırsa; 1. A= 152.6 15 55 585.6 55 225 2488.8 225 979 B= 6 152.6 55 15 585.6 225 55 2488.8 979 C= 6 15 152.6 15 55 585.6 55 225 2488.8 D= 6 15 55 15 55 225 55 225 979 2. a 0 = deta detd = 9716 3920 = 2.479 a 1 = detb detd = 9248.4 3920 = 2.359 y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = 2.479 + 2.359x + 1.861x 2 a 2 = detc detd = 7294 3920 = 1.861
Hesap Makinesi İle Çözüm Tablo değerlerinin girilmesi ; MODE 3(STAT) 3(_+CX 2 ) Tablo değerleri girildikten sonra AC tuşuna basılarak veriler kaydedilir. x 2 = SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 1 x= SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 2 y 2 = SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 3 y= SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 4 x y= SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 5
Hesap Makinesi İle Çözüm x 3 = SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 6 x 2 y= SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 7 x 4 = SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 8 A= SHIFT 1(STAT) 5(Reg) 1 B= SHIFT 1(STAT) 5(Reg) 2 C= SHIFT 1(STAT) 5(Reg) 3
Üstel Fonksiyonlara Eğri Uydurma y = a 0 x a 1 şeklindeki lineer olmayan denklemin, kuvvet fonksiyonunu elde etmek için her iki tarafın doğal logaritması alınır: In y = In(a 0 x a 1) In y = In(a 0 ) + a 1 In(x) In y= Y In a 0 =A a 1 =B In x=x alınırsa: Y=A+BX E = n i=1 (Y İ A Bx i ) 2
Üstel Fonksiyonlara Eğri Uydurma Hatanın karelerinin toplamını minimum yapacak A ve B değerleri, bu değerlerin türevlerinin sıfıra eşitlenmesiyle bulunur. Son durumda aşağıdaki eşitlikler elde edilir: n A + X i B = Y i X i A + X i 2 B = X i Y i
Örnek Tablodaki değerlere en uygun y = a 0 x a 1 eğrisini bulunuz. x i y i 2.0 5.1 2.3 7.5 2.6 10.6 2.9 14.4 3.2 19.0
Çözüm n A + X i B = Y i 5A + 4.709B = 11.617 X i A + X i 2 B = X i Y i 4.709A + 4.574 = 11.328 A = In a 0 = 0.314 a 0 = e 0.314 = 0.730 B = a 1 = 2.800 y = a 0 x a 1 = 0.730x 2.800
Hesap Makinesi İle Çözüm Tablo değerlerinin girilmesi ; MODE 3(STAT) 2(A+BX) Tablo değerleri girildikten sonra AC tuşuna basılarak veriler kaydedilir. x 2 = SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 1 x= SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 2 y 2 = SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 3 y= SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 4 x y= SHIFT 1(STAT) 3(Sum) 5 A= SHIFT 1(STAT) 5(Reg) 1 B= SHIFT 1(STAT) 5(Reg) 2 r= SHIFT 1(STAT) 5(Reg) 3
İnterpolasyon Yöntemleri (Ara Değer Bulma) Veri noktalarının dağılımına göre genel olarak iki yaklaşım vardır. Veri noktalarının farkına göre en çok kullanılan yöntemler: Veri noktaları eşit aralıklı dağılmayan polinomlar için Langrange İnterpolasyonu Veri noktaları eşit aralıklı dağılan polinomlar için Newton İnterpolasyonu
Lagrange İnterpolasyonu f n x = i=0 n L i x f(x i ) L i x = j=0 j i 1. dereceden Lagrange f 1 x = L 0 f x 0 + L 1 x f x 1 n x x j = x x 0 (x x 1 )...(x x i 1 )(x x i+1 )...(x x n ) x i x j (x i x 0 )(x i x 1 ).(x i x i 1 )(x i x i+1 )...(x i x n ) f 1 x = x x 1 (x 0 x 1 ) f x 0 + x x 0 (x 1 x 0 ) f x 1 2. dereceden Lagrange f 2 x = L 0 f x 0 + L 1 x f x 1 + L 2 x f x 2 f 2 x = x x 1 x x 2 (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) f x 0 + x x 0 x x 2 (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) f x 1 + x x 0 x x 1 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) f x 2 Not: Mavi yazılan denklemler sınavda verilerek n. dereceden denklikler türetilecek
Örnek y = sin(πx) fonksiyonu için Lagrange interpolasyonu türetiniz. x 0 1/6 1/2
Çözüm x f(x)=y f(x)=y 0 sin 0 0 1/6 sin π/6 1/2 1/2 sin π/2 1 f x = x 1 6 x 1 2 1 6 1 2 0 + x x 1 2 1 6 1 6 1 2 1 2 + x x 1 6 1 2 1 2 1 6 1 = 7 x 3x2 2
Örnek y = f(x) fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir. f(323.5) değerini Lagrange yöntemiyle bulunuz. x y 321.0 2.50651 322.8 2.50893 324.2 2.51081
Çözüm f x = f(323.5) x y x y x 0 y 0 321.0 2.50651 x 1 y 1 322.8 2.50893 x 2 y 2 324.2 2.51081 f 323.5 = (323.5 322.8)(323.5 324.2) (321.0 322.8)(321.0 324.2) 2.50651 + (323.5 321.0)(323.5 324.2) (322.8 321.0)(322.8 324.2) 2.50893 + (323.5 321.0)(323.5 322.8) (324.2 321.0)(324.2 322.8) 2.51081 f 323.5 = 0.0851 2.50651 + 0.6944 2.50893 + 0.3906 2.51081 = 2.5096
Newton İnterpolasyonu f n x = f x 0 + x x 0 f x 1, x 0 + x x 0 x x 1 f x 2, x 1, x 0 + + x x 0 x x 1 x x n 1 f x n, x n 1,, x 2, x 1, x 0 f x n, x n 1,, x 2, x 1, x 0 = f x n,x n 1,,x 2,x 1 f x n 1,,x 2,x 1,x 0 x n x 0 1. dereceden polinom 2. dereceden polinom 3. dereceden polinom
Newton İnterpolasyonu 1. dereceden Newton f 1 x = f x 0 + f x 1 f x 0 x 1 x 0 (x x 0 ) 2. dereceden Newton f 2 x = f x 0 + f x 1 f x 0 x 1 x 0 x x 0 + f x2 f x1 x2 x1 f x 1 f x0 x1 x0 x 2 x 0 x x 0 x x 1
Örnek 1. dereceden Newton interpolasyonunu kullanarak In(2) değerini, a. In(1) In(6) arasında tahmin ediniz. b. In(1) In(4) arasında tahmin ediniz.
Çözüm f 1 x = f x 1 + f x 2 f x 1 x 2 x 1 x x 1 a. f 1 2 = In 1 + E t = %48.3 In 6 In 1 6 1 2 1 = 0.3584 b. f 1 2 = In 1 + E t = %33.3 In 4 In 1 4 1 2 1 = 0.4621
Örnek In(1) In(4) In(6) noktalarını kullanarak In(2) için 2. dereceden polinom uydurunuz.
Çözüm f x2 f x1 f 2 x = f x 0 + f x 1 f x f x 1 f x0 0 x2 x1 x1 x0 x x x 1 x 0 + x x 0 x 2 x 0 x x 1 0 In(2) = In(1) + In(4) In(1) 4 1 2 1 + In(6) In(4) In(4) In(1) 6 4 4 1 6 1 2 1 2 4 In 2 = 0 + 0.4621 1 0.0519 1 2 = 0.5658 E t = 0.6931 0.5658 0.6931 100 = %18.37