Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören"

Transkript

1 Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da yavrularının öğreniminin tamamlanması için hiçbir fedakârlıktan çekinmemelerini tavsiye ederim.

2 Bu kitabın her hakkı Çap Yayınları na aittir ve 2936 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası na göre Çap Yayınları nın yazılı izni olmaksızın, kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz, bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz. BU KİTAP, MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI TALİM VE TERBİYE KURULU BAŞKANLIĞI NIN TARİH VE 2 SAYILI KARARI İLE BELİRLENEN ORTAÖĞRETİM MATEMATİK DERSİ PROGRAMINA GÖRE HAZIRLANMIŞTIR. Dizgi Kapak Tasarım Emine İNCE Baskı Tarihi Şubat 203 Teşekkür Tevfik GÖRGÜN ve Burak KIRKDEVELİ ye katkılarından dolayı teşekkür ederiz. ISBN İLETİŞİM ÇAP YAYINLARI Akpınar Mahallesi 840. Cadde 857. Sokak 2 / 9 Çankaya / Ankara Tel: ii

3 ÖN SÖZ Oysa sizi... Medeni toplumlarda bireyler yeni bir cihazın kullanım kılavuzunu, bir kitabın ön sözünü, sinemaya gitmeden bir filmin eleştirisini vb. okur. Çünkü bu eylem için harcanacak ufak bir zaman, kazanımlarımızın kalitesi için feda edilebilir ölçüdedir. Herkes gibi siz de en kısa zamanda en az bilgiyle en çok soru çözme yeteneğine sahip olmayı isteme hakkına sahipsiniz. Bu bağlamda başarma azminiz bu kitabı almış olmanızdan anlaşılmaktadır. O halde tekerleği yeniden keşfetmeye çalışmadan yani gereğinden fazla zaman harcamadan bu kitabı yazarların stratejisine uygun kullanmalısınız. Kimileri el yordamıyla bu stratejileri bulmaya çalışacak, zaman kaybedecekler. Matematik dersinden geriye kalacak olan konular ve bilgiler değil doğru düşünme, sorunun çözümünde doğru stratejiler belirleme, hızlı ve doğru karar verme yetisi olacaktır. Oysa sizi yaşamınız boyunca diğerlerinden farklı kılacak ve başarıya götürecek olan, izleyeceğiniz bu stratejiler olacaktır. Farklı ve daima fark yaratan olmanız dileğiyle... YAZARLAR STRATEJİLER ÖZET ler okunmalı YAKLAŞIM lar gözden geçirilmeli BİRLİKTE ÇÖZELİM ler incelenmeli, SIRA SİZDE ler çözülmeli Hücre Testleri ve Karma Testler çözülerek bilgiler pekiştirilmelidir. iii

4 İÇİNDEKİLER Polinomlar... 5 Tanım... 5 Sabit Polinom - Sıfır Polinomu... 7 Polinomların Eşitliği... 8 Polinomlarda Değer Bulma... 9 Polinom Sabit Terimi ve Katsayılar Toplamı... 0 P(x) Polinomunun Tek ve Çift Dereceli Terimlerinin Toplamı... 2 Polinomlarda İşlemler... 3 Polinomlarda Eşitlik İçeren Toplama - Çıkarma Soruları... 4 Polinomlarda Çarpma İşlemi... 5 Basit Kesirlere Ayırma... 6 Polinomlarda Bölme İşlemi... 8 Polinomlarda Derece Kalan Teoremi a. P(x) = (x m) n Polinomunun (x a) İle Bölümünden Kalanı Bulma b. P(x) Polinomunun (ax - b) İle Bölümünden Kalanı Bulma c. P(mx + n) Polinomunun (x a) İle Bölümünden Kalanı Bulma d. P(x) Polinomunun (x n a) İle Bölümünden Kalanı Bulma e. P(x) Polinomunun (x a) (x b) İle Bölümünden Kalanı Bulma f. Polinomlarda Kalansız Bölme g. (x m)p(x) = Q(x) Şeklindeki İfadeler... 3 h. P(x) Polinomunun (x a) m İle Bölümünden Kalan Bulma n i. P( x m) Polinomu Verildiğinde k P( x r ) Polinomunu Bulma j. Bölünebilme İle İlgili Sorular ve Çözümler k. Hücre Testleri ( - 2)... 4 Çarpanlara Ayırma I. Çarpanlara Ayırma Yöntemleri Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlarına Ayırma Gruplandırarak Çarpanlarına Ayırma x 2 + bx + c Üç Terimlisinin Çarpanlarına Ayrılması ax 2 + bx + c İfadesinin Çarpanlarına Ayrılması İki Kare Farkı Özdeşliğinden Faydalanarak Çarpanlara Ayırma Tam Kare Özdeşliklerinden Faydalanarak Çarpanlarına Ayırma İki Küp Toplamı ve Farkından Faydalanarak Çarpanlara Ayırma Terim Ekleyip Çıkarma Yolu İle Çarpanlara Ayırma Değişken Değiştirerek Çarpanlarına Ayırma II. Pascal Üçgeni III. Polinomlarda EKOK ve EBOB IV. Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi V. Kesirlerin Toplam - Farkını İçeren Sadeleştirme Soruları VI. Polinom Denklemler... 7 VII. Rasyonel Denklemler VIII. Özdeşlikler IX. Sayısal Değer Hesaplamaları Hücre Testler ( - 3) Karma Testler ( - 4) iv

5 POLİNOMLAR TANIM n N ve a n, a n,..., a 2, a, a 0 gerçel sayılar olmak üzere, P(x) = a n x n + a n x n a 2 x 2 + a x + a 0 şeklindeki ifadelere bir bilinmeyenli n. dereceden polinom veya çok terimli denir. Polinomlar P(x), Q(x), R(x) şeklinde gösterilir. YAKLAŞIM P(x) = a n x n + a n x n a 2 x 2 + a x + a 0 polinomunda,. a n, a n,..., a 2, a, a 0 sayılarına P(x) polinomunun katsayıları, 2. a n x n, a n x n,..., a 2 x 2, a x, a 0 ifadelerine polinomun terimleri, 3. a 0 sayısına P(x) polinomunun sabit terimi, 4. En büyük dereceli terimin derecesine P(x) polinomunun derecesi, 5. En büyük dereceli x'in katsayısına başkatsayı denir. Bir ifadenin polinom olup olmadığını belirlemek için x'in kuvvetine bakılır. Bir polinomda x'in kuvveti:. Negatif olamaz. 2. Kesir olamaz. 3. Köklü bir sayı olamaz. Bir başka deyişle x'in kuvveti mutlaka doğal sayı olmalıdır.. Aşağıdaki ifadelerin polinom olup olmadığına karar veriniz. a. P(x) = x 5 3x b. P(x) = 7x3 + 2x2+ x c. P(x) = 3x 5 2x 2 + x + 4 d. P(x) = x 3 4 x x 5 2. P(x) = 3x 4 + 2x 3 5x + 7 Q(x) = 4x 3 2x R(x) = x 5 + 2x 3 polinomlarının derece, sabit terim ve başkatsayılarını bulunuz. BİRLİKTE ÇÖZELİM. 2. 5

6 5 3. P(x) = 3x m + 2xm 2 + 3x 3.. P(x) = (3m )x 5 + 2x 3 + 4x + n 2 polinomunun derecesi 3, sabit terimi ise, m. n çarpımını bulunuz P(x) = 3x m + 2xm 3 + 4x + ifadesi bir polinom belirtiyorsa, m değerlerini bulunuz. {3, 5, 9} 3. Aşağıdaki ifadelerin polinom olup olmadığına karar veriniz. a. P(x) = 3x 2 + 4x 5 b. P(x) = ifadesinin bir polinom belirtmesi için m'nin alabileceği değerleri bulunuz. 4. P(x) = (m + 5)x 6 + (n )x 4 + 3x + k + 2 polinomunun derecesi 4, başkatsayısı 2 ve sabit terimi 5 ise m, n, k değerlerini bulunuz. 3 x x c. P(x) = 7 x4+ 2x3 4 Polinom Polinom değil 4. SIRA SİZDE 2 4. P(x) = 5x m 2 + 2x4 m + 3x ifadesi bir polinom belirtiyorsa, m'nin alacağı değerler toplamını bulunuz. 5. P(x) = (a )x 5 + 2x 3 + 2x + b + a polinomunun başkatsayısı 3, sabit terimi 7 ise b sayısını bulunuz. m P(x) = m+ 2x + 2x4 m+ 3x ifadesi polinom belirtiliyorsa, m'nin kaç farklı değer alacağını bulunuz a) P b) PD C) P 6

7 SABİT POLİNOM SIFIR POLİNOMU TANIM SABİT POLİNOM P(x) = a n x n + a n x n a 2 x 2 + a x + a 0 polinomunda a n = a n = a n 2 =... = a 2 = a = 0 ise P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi sıfırdır.. P(x) = (a + )x 3 + (b 2)x 2 + (c 5)x + ab + c polinomu sabit polinom ise P(x) polinomunu bulunuz. 2. P(x) = (a + )x 3 + (b 2)x 2 + a + b + c sıfır polinomu ise c değerini bulunuz.. P(x) = (m + 3)x 3 + (2n ) x + m + n 5 polinomu sabit polinom ise P(x) polinomunu bulunuz. 2. P(x) = (a )x 5 + (a + b)x 4 + (a b + c)x 3 + d 5 2 polinomu sıfır polinomu ise ab + cd değerini bulunuz. BİRLİKTE ÇÖZELİM. 2. SIRA SİZDE SIFIR POLİNOMU P(x) = a n x n + a n x n a 2 x 2 + a x + a 0 polinomunda a n = a n = a n 2 =... = a 2 = a = a 0 = 0 ise P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir. 3. P(x) = (m )x 3 + (m + n)x + k + 2 polinomu sıfır polinomu ise mnk çarpımını bulunuz. 4. P(x) = (a + 2)x 3 + (b )x + 5 polinomu sabit polinom ise a b farkını bulunuz

8 POLİNOMLARIN EŞİTLİĞİ YAKLAŞIM İki polinomun birbirine eşit olması için. Katsayıları eşit terimlerin derecelerininde eşit olması gerekir. 2. Dereceleri aynı olan terimlerinin katsayılarının birbirine eşit olması gerekir. BİRLİKTE ÇÖZELİM. P(x) = (a + )x 3 + (2b )x 2 3 Q(x) = 3x 3 + 5x 2 + (c 2)x + d polinomları birbirine eşit ise a + bc d değerini bulunuz.. (x ) (x 2 + ax + b) = x 3 + 2x 2 + 3x 6 ise (a, b) ikilisini bulunuz. (3, 6) 2. P(x) = (m + )x 3 n + ( ) x 2 + 2x Q(x) = 2x 3 + 2x 2 + kx p polinomları birbirine eşit ise m + n p k değerini bulunuz x 2 (x + ) + 2x 3 5 = 3x 3 + mx 2 + nx + k eşitliğini gerçekleyen m, n ve k sayıları için m + n + k toplamını bulunuz. 4. SIRA SİZDE 4. P(x) = 3x 2 + x 2 Q(x) = ax 3 + 2x 2 + bx + c R(x) = x 3 + 5x 2 + 3x 7 polinomları için P(x) + Q(x) = R(x) ise ab + c değerini bulunuz 7 5. P(x) = 3x(x 2 + x) 2(x + ) Q(x) = ax 4 + 3x 2 + bx 3 2x + c polinomları için P(x) = Q(x) ise a + b + c toplamını bulunuz. x3+ ax2+ bx+ c 6. = x 2 x2 + eşitliğini sağlayan a, b, c sayıları için a + b + c toplamını bulunuz. 3 8

9 POLİNOMLARDA DEĞER BULMA YAKLAŞIM a R olmak üzere P(x) polinomunda P(a) değeri bulunurken x = a değeri polinomda yerine yazılır. ÖN BİLGİ Her polinom aynı zamanda bir fonksiyon olduğu için fonksiyonlardaki değer bulma işlemleri polinomlar içinde geçerlidir. Örneğin,. f(x) = 3x 2 + fonksiyonu için f( 2) = 3( 2) 2 + = 3 işleminde olduğu gibi 2. f(x + 3) = 2x 3 + 3x fonksiyonu için f(2) değeri bulunurken x + 3 = 2 ve x = değeri fonksiyonda yerine yazılır. Bu durumda, f( + 3) = 2( ) 3 + 3( ) ve f(2) = 6 elde edilir. BİRLİKTE ÇÖZELİM. P( 3x 2 ) = x 3+ 2x polinomu için P(2) değerini bulunuz. 2. P(x) = 3x 2 x + 2 polinomu için P(x + ) polinomunu bulunuz P(x ) = x 4 + ax 2 + 3x + b polinomu için P() = 4 ve P( ) = 2 ise a. b çarpımını bulunuz. 3. SIRA SİZDE. P(3x + ) = x 3 + 2x 2 5x P( 2x) = x 3 x + m polinomu için polinomu için P( 2) değerini bulunuz. P( ) = 5 ise m değerini bulunuz P(x) = x 2 2x polinomu için P( x + 3) polinomunu bulunuz. Çap Yayınları Çap Yayınları 4. P(x 2) = x 3 4x + polinomu için P( ) + P() toplamını bulunuz. 5 x 2 4x

10 POLİNOMUN SABİT TERİMİ VE KATSAYILAR TOPLAMI YAKLAŞIM P(x) = a n x n + a n x n a 2 x 2 + a x + a 0 polinomunda. Sabit terim bulunurken x = 0 değeri P(x) polinomunda yerine yazılır. P(0) =a 0 değeri P(x) polinomunun sabit terimidir. 2. Katsayılar toplamı bulunurken x = değeri P(x) polinomunda yerine yazılır. P() = a n + a n a 2 + a + a 0 toplamı P(x) polinomunun katsayılar toplamıdır. BİRLİKTE ÇÖZELİM. P(x) = ax 3 bx + c polinomunda sabit terim 3 ve katsayılar toplamı 4 ise a b + 3c değerini bulunuz.. 2. P(x 2) = x 3 2x 2 + 5x 4 polinomunun a. Sabit terimini bulunuz. b. Katsayılar toplamını bulunuz. 3. P(x ) = x 2 3x + m polinomu veriliyor. P(x + 2) polinomunun katsayılar toplamı 5 ise m değerini bulunuz. 4. P(x + ) + (x 2 + ). Q (x ) = x 2 4x + a eşitliği veriliyor. P(x + ) polinomunun katsayılar toplamı 3 ve Q(x) polinomunun sabit terimi 7 ise a değerini bulunuz. Çap Yayınları Çap Yayınları

11 SIRA SİZDE. P(x) = x 3 + 2x 2 + ax + b polinomunda sabit terim 3, katsayılar toplamı 4 ise 2a + 3b toplamını bulunuz. 2. P(x ) = x 4 + 2x 3 + 4x + m polinomu veriliyor. P(x) polinomunun katsayılar toplamı 9 ise m kaçtır? 2 3. P(x 2) = x 3 2x 2 + ax polinomu veriliyor. P(x + ) polinomunun katsayılar toplamı ise P(x) polinomunun sabit terimini bulunuz. 4. P(x ) + x 2 3x + 8 = 2. Q(x + ) ifadesi veriliyor. P(x + 2) polinomunun sabit terimi 2 ise Q(x + 3) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz P(x) polinomunun katsayılar toplamı 5, Q(x ) polinomunun sabit terimi 2 dir. Buna göre P(x). (x 3 + ) + (x + t). Q(x 2) = 20 eşitliğini sağlayan t sayısını bulunuz P(x + ) polinomunun sabit terimi 3, Q(x + ) polinomunun katsayılar toplamı 4'tür. P(x 2) + x Buna göre = 2x + t eşitliğini (x + )Q(x ) sağlayan t sayısını bulunuz P(x) = x 3 + x 2 + mx + n polinomunun sabit terimi, katsayılar toplamı 7 ise m. n çarpımını bulunuz P(x + 3) = x 3 + ax b polinomu veriliyor. P(x) polinomunun katsayılar toplamı 8, P(x + 2) polinomun sabit terimi 5 ise a + b toplamını bulunuz. 6

12 P(x) POLİNOMUNUN ÇİFT VE TEK DERECELİ TERİMLERİNİN TOPLAMI YAKLAŞIM. P(x) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları P() + P( ) toplamı bulunurken formülü kullanılır P(x) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı bulunurken P() P( ) formülü kullanılır. 2 BİRLİKTE ÇÖZELİM. P(x) = 3(x 2) 2 + x polinomunun çift ve tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamlarını bulunuz.. SIRA SİZDE. P(x) = (3x ) 3 2. P(x) = ax 3 2x polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamını bulunuz. YAKLAŞIM İki veya daha fazla değişken içeren polinomlara çok değişkenli polinomlar denir. P(x, y, z) polinomunun bir terimi x n. y m. z r ise bu terimin derecesi (n + m + r) dir.. P(x, y) = x 5 y 2 + x 4 y 4 + 2xy 2 polinomunun derecesini bulunuz. 2. P(x, y) = 2x 3 y 2 + x 2 y 2 xy polinomu için P(, ) değerini bulunuz. 28 Çap Yayınları Çap Yayınları ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR BİRLİKTE ÇÖZELİM. 2. polinomunda tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı 0 ise a değerini bulunuz. 2 2

13 POLİNOMLARDA İŞLEMLER YAKLAŞIM Polinomlarda toplama çıkarma işlemleri yapılırken dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır çıkarılır. P(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 ve Q(x) = b n x n + b n x n b x + b 0 olmak üzere, P(x) + Q(x) = (a n + b n )x n + (a n + b n )x n (a + b )x + (a 0 + b 0 ) P(x) Q(x) = (a n b n )x n + (a n b n )x n (a b )x + (a 0 b 0 ) dir. BİRLİKTE ÇÖZELİM. P(x) = 6x 3 + 2x 2 3x + 5 ve Q(x) = 4x 3 + 5x polinomları için a. P(x) + Q(x) b. P(x) Q(x) polinomlarını bulunuz.. P(x) = x 3 + 2x 2 3x + 5 Q(x) = 2x 5 polinomları veriliyor. P(x) + Q(x 2 ) toplamını bulunuz. x 3 + 4x 2 3x 2 2. P(x) = x 3 4x + 5 Q(x) = 2x 3 + 3x 2 x + polinomları için P(x) Q(x) farkını bulunuz. x 3 3x 2 3x P(x) = 3x + 5 Çap Yayınları Çap Yayınları. SIRA SİZDE 4. P(x) = 3x 4 Q(x) = x 3 2x + 3 polinomları için P(x 2 ) + Q(x) toplamını bulunuz. x 3 + 3x 2 2x 5. P(x) = 3x 2 2x + R(x) = 2x 5 2x + 5 Q(x) = x 5 + 2x 4 + 3x 2 polinomları için P(x) Q(x) + R(x) ifadesini bulunuz. 3x 5 2x 4 4x P(x) = ( a)x 4 + 3x 3 2x + 5 Q(x) = x 2 2x + 5 polinomları veriliyor. P(x 3 x) + Q( x) toplamını bulunuz. Q(x) = 3x 5 ax 4 2x polinımları için P(x) Q(x) farkını bulunuz. 3x 3 + x 2 x + 0 3x 5 + x 4 + 3x

14 POLİNOMLARDA EŞİTLİK İÇEREN TOPLAMA ÇIKARMA SORULARI YAKLAŞIM Eşitlikte verilen polinomun derecesi tahmin edilerek i.. ci dereceden bir polinom olduğu anlaşılırsa P(x) = ax + b, ii. 2. ci dereceden bir polinom olduğu anlaşılırsa P(x) = ax 2 + bx + c ifadeleri kullanılır. Polinomların eşitliği bilgisinden yararlanılarak katsayılar hesaplanır. BİRLİKTE ÇÖZELİM. P(x) + P(x + ) = 6x. eşitliğini sağlayan P(x) polinomunu bulunuz. 2. P(x + ) + P(x) = 2x 2 + 8x + 2 eşitliğini sağlayan P(x) polinomunu bulunuz. Çap Yayınları Çap Yayınları 2. SIRA SİZDE. P(2x + 3) + P(x) = 2x 2 eşitliğini sağlayan P(x) polinomunu bulunuz. 4x 2 2. P(x 2) + P(x) = 2x 2 4x eşitliğini gerçekleyen P(x) polinomunu bulunuz. x 2 2 4

15 POLİNOMLARDA ÇARPMA İŞLEMİ YAKLAŞIM P(x) ve Q(x) polinomları için P(x). Q(x) işlemi yapılırken P(x) polinomunun her terimi Q(x) polinomunun her bir terimi ile tek tek çarpılır (dağılma özelliği) ve bulunan polinomda dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır. BİRLİKTE ÇÖZELİM. P(x) = 2x 3 5x ve. Q(x) = x 3 + 2x 3 polinomları veriliyor. P(x). Q(x) polinomunu bulunuz. 2. (x 3 2x 2 + 3x 5). (x 4 + 2x 2 3x + ) ifadesinin açılımından elde edilecek terimlerden biri ax 5 ise a sayısını bulunuz.. P(x) = 2x 2 + 3x, Q(x) = x 3 2x 2 + ve R(x) = 3x 2 5x polinomları için [P(x) + Q(x)]. R(x) ifadesini bulunuz. 3x 5 5x 4 + 9x 3 5x 2 2. P(x) = 3x 2 + 4x 5 ve Q(x) = 2x 3 + x 2 2x + polinomları için P(x). Q(x) çarpımında x 4 lü terimin katsayısını bulunuz. Çap Yayınları Çap Yayınları 2. SIRA SİZDE 3. P(x) = x 2 2x + 3 ve Q(x) = x 3 2x polinomları veriliyor. Buna göre P(x + ). Q( x) çarpımını bulunuz. x 5 2x 3 + 8x 4. P(x) = 2x 3 ve Q(x) = 3x 2 x + 5 olduğuna göre 2P(x) + xq(x) ifadesini bulunuz. 7x3 x 2 + 5x 2 5

16 BASİT KESİRLERE AYIRMA YAKLAŞIM Px () ifadesinde Q(x) polinomu (mx + n) (px + q) Qx () şeklinde ise A B = (mx + n)(px+ q) mx + n + px + q Px () ifadesinde Q(x) polinomu (mx + n) k şeklinde ise Qx () A B K = + + g + (mx + n) k (mx + n) k (mx + n) k (mx + n) A B = + ( x+ 2)( x 5) x + 2 x 5 eşitliğini sağlayan A ve B sayılarını bulunuz. A B (x + 2) 2 = (x 2) x + 2 eşitliğini sağlayan A ve B sayılarını bulunuz. Ax + B C = + (x2+ 2)(x + ) x2+ 2 x+ eşitliğini sağlayan A, B, C sayıları için A + + değerini bulunuz. B C 3. Px () ifadesinde Q(x) polinomu Qx () (ax 2 + bx + x) (mx + n) şeklinde ise Ax + B C = + (ax2+ bx+ c)(mx + n) ax2+ bx + c mx + n olarak yazılır. (ax 2 + bx + x = 0 ve D < 0 ise) Bu üç durumdan hangisi olursa olsun payda eşitlenir ve polinom eşitliği kullanılarak bilinmeyenler hesaplanır. Dikkat edilmesi gereken payın paydadan en az bir derece düşük olarak yazılmasıdır. BİRLİKTE ÇÖZELİM

17 SIRA SİZDE ( x 3)( x+ ) ifadesini rasyonel iki ifadenin toplamı olarak yazınız. 2 x 2 olarak yazınız. x 3 x + ifadesini rasyonel iki ifadenin toplamı A B = + x(x+ ) x x + x x + eşitliğini sağlayan A ve B sayılarını bulunuz. 2 A B C = + + x 2(x 2) x2 x x 2 A =, B = eşitliğini sağlayan A, B, C sayılarını bulunuz.,, x + 3 A Bx + C = + (x + 2).(x2+ ) x+ 2 (x2+ ) olduğuna göre, A + B + C toplamını bulunuz. A Bx + C = + x 3 x x2+ x+ olduğuna göre, A + B + C toplamını bulunuz. A B = + (x + 3) 2 (x + 3) 2 x+ 3 olduğuna göre, A. B çarpımını bulunuz. A B C = + + ise x(x 2 ) x x x+ A + + toplamını bulunuz. B C

18 POLİNOMLARDA BÖLME İŞLEMİ YAKLAŞIM P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümünden elde edilen bölüm B(x) ve kalan K(x) ise, bu bölme işlemi P(x) : bölünen P(x) Q(x) Q(x) : bölen B(x) B(x) : bölüm K(x) K(x) : kalan şeklinde yazılır. Bu ifadenin açılımından P(x) = Q(x). B(x) + K ve der(k(x) < derq(x)) eşitliği elde edilir. K(x)'in derecesi Q(x)'in derecesinden en az bir derece küçük olduğunda bölme işlemi sonlandırılır.. 2x 4 + 3x 3 4x x 2 2x + bölme işleminde bölüm ve kalanı bulunuz. Çözüm: P(x) polinomu Q(x) polinomuna bölünürken aşağıdaki yol izlenir. P(x) in ilk terimi Q(x) in ilk terimine bölünür ve bölüm kısmına yazılır. Bölüm kısmına yazılan bu terim bölenin tüm terimleri ile çarpılır ve bölünenin altına aynı dereceli terimler alt alta gelecek şekilde yazılır. Yazılan bu ifade P(x) polinomundan çıkarılır. Çıkarma işleminden elde edilen polinom için aynı işlemler bölme sonlanana kadar devam eder. BİRLİKTE ÇÖZELİM 2. P(x) = x 3 + 2x 2 + ax + b polinomunun x 2 + x 4 ile bölümünden kalan 5x 7 ise a ve b değerlerini bulunuz. Çözüm: 8

19 SIRA SİZDE. Aşağıdaki bölme işleminde kalanı bulunuz. x 3 2x 2 + 4x 5 x 2 + 3x 9x 5 2. Aşağıdaki bölme işleminde kalanı bulunuz. 2x 3 + 5x + 4 x P(x) = x 2 + mx + n polinomunun x 2 + x 2 ifadesine bölümünden kalan 2x + 5 ise (m, n) ikilisini bulunuz. (3, 3) 4. P(x) = x 3 + x 2 + ax + b polinomunun x 2 + x ifadesine bölümünden kalan 3x ise a + b toplamını bulunuz. 5. P(x) = x 3 + 2x 5 polinomunun x 2 + x ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 4x 6 6. P(x) = x 4 + 2x 2 polinomunun (x ) 2 ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) dir. Q(x) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz P(x) = x 3 x + 2 polinomunun x 2 + ile bölümünden kalan mx + n ise (m, n) ikilisini bulunuz. ( 2, 3) 8. P(x) = x 3 + ax + b polinomunun x 2 2x ile bölümünden kalan 2x 3 ise a + b toplamını bulunuz

20 POLİNOMLARDA DERECE YAKLAŞIM Polinomlarda derece soruları çözülürken üslü sayıların kurallarından faydalanılır. Örnekten yola çıkarak derece ile ilgili özellikleri akılda tutmak daha kolaydır. P(x) = x 5 ve Q(x) = x 3 polinomları için. P(x). Q(x) = x 5. x 3 = x 5+3 = x 8 2. P(x) x5 = = x5 3 = x2 Q(x) x3 3. P(x) + Q(x) = x 5 + x 3 4. P(x 2 ) = (x 2 ) 5 = x 0 5. [P(x)] 4 = P 4 (x) = (x 5 ) 4 = x P(x + 2) = (x + 2) 5 = x P(x) + 2 = x P(x) + Q(x) = x 5 + x 3 9. P(x) Q(x) = x 5 x P(x) = 2x 5 d[p(x). Q(x)] = 8 P(x) d> H = 2 Q(x) d[p(x) + Q(x)] = 5 d[p(x 2 )] = 0 d[p 4 (x)] = 20 d[p(x + 2)] = 5 d[p(x) + 2] = 5 d[p(x)] + d[q(x)] = = 8 d[p(x)] d[q(x)] = 5 3 = 2 d[2p(x)] = 5 KURALLAR d[p(x)] = m, d[q(x)] = n ve m, n N, m > n olmak üzere. d[p(x). Q(x)] = m + n 2. d[p(x) ± Q(x)] = m P(x) 3. d> H = m n Q(x) 4. d 7P k(x) A= dp(x 7 k) A = m. k, k N 5. dp(x 7 + k) A= dp(x) 7 + ka= m 6. dp(x) 7 A" d 7Q(x) A= m" n 7. dk.p(x) 7 A = m ÖN BİLGİ. a m. a n = a m+n 2. am an = a m n 2. (a n ) m = a n.m BİRLİKTE ÇÖZELİM. d[p(x)] + d[q(x)] = 9 ve. P(x) d> H = ise Q(x) a. d[p(x 2 ). Q(x)] değerini bulunuz. b. d[p 2 (x). Q 3 (x)] değerini bulunuz. Çap Yayınları 20

21 BİRLİKTE ÇÖZELİM 2. P(x) ve Q(x) polinomları için 2. d[p 2 (x). Q 3 (x)] = 6 ve P(x) + 2 d> H = 3 Q(x ). olduğuna göre, d[p(x) + Q(x)] değerini bulunuz. 3. P(x) ve Q(x) polinomları için P(x 3)(x $ 2 + 3x ) d> H = 20 ve 2Q(x) 5 d[p(x)] + d[q(x)] = 0 olduğuna göre, d[p(q(x 4 ))] değerini bulunuz. d[p(x)] d[q(x)] 3 = ve d[p(x 3 ). Q(x 2 )] = 26 ise 2 d[p(x) + Q(x)] değerini bulunuz. 2. d[p 2 (x ). Q(2x)] = 2 P(x+ 2) d> H = 3 ise Q(x) 3 6 Çap Yayınları Çap Yayınları 3. SIRA SİZDE x.p(x ) 3. d> H = 6 Q(x) + 3 P(x) + 2 d> H = 3 ise Q(x 2 ) d[x 3. Q(x) + x 2. P(x 3 )] değerini bulunuz. P 3(x).Q(x) 4. d> H = 3 x 2 4 d[p(x + ). Q(x 2 )] = 0 ise d[p(x)] d[q(x)] değerini bulunuz. 23 d[p(x). Q(x)] değerini bulunuz. 3 2

22 KALAN TEOREMİ YAKLAŞIM Bir polinomun bir diğer polinoma bölümünden kalanını bulmak için bölme işlemi yapmak zorunlu değildir. Bölen polinoma bağlı olarak yapılacak işlemleri tek tek inceleyelim. BÖLME İŞLEMİNİ YAPMADAN KALAN BULMAK İÇİN. P(x) polinomunun (x a) ile bölümünden kalanı bulma YAKLAŞIM P(x) x a B(x) K bölme işlemi P(x) = (x a) B(x) + K şeklinde yazılır. Bu eşitlikte (x a) B(x) ifadesi sıfıra eşitlenir. (x a) ifadesinin kökü yani x = a yerine yazıldığında K kalanı bulunur. P(a) = (a a) B(a) + K P(a) = K BİRLİKTE ÇÖZELİM. P(x) = 3x 4 + 2x 3 5x 2 + 6x 4 polinomunun x + ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz.. P(x) = 2x 7 + 3x 4 + 5x 4 polinomunun x ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz P(x) = 3x x x 4 3 polinomunun x + ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. Çap Yayınları Çap Yayınları. SIRA SİZDE 3. P(x) = x 5 + 3x 3 + 2x + 32 polinomunun x + 2 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz P(x) = x 3 2x + 3 polinomunun x + 2 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz

23 2. P(x) = (x m) n şeklinde yazılabilen bir polinom olduğunda P(x) polinomunun (x a) ile bölümünden kalanı bulma YAKLAŞIM Paskal üçgeni kullanarak (x + y) n açılımından faydalanılarak açık şekli verilen bir polinomun kapalı şekli bulunur. (x + y) 0 = (x + y) = x + y 2 (x + y) 2 = x 2 y 0 + 2x y + x 0 y 2 = x 2 + 2xy + y (x + y) 3 = x 3 y 0 + 3x 2 y + 3x y 2 + x 0 y 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y (x + y) 4 =... (siz yapınız) (x + y) 5 =... (siz yapınız) BİRLİKTE ÇÖZELİM. P(x) = x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 4. polinomunun x + 4 ile bölümünden kalanı bulunuz. 2. P(x) = x 5 0x x 3 80x x 32 polinomunun x 3 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz.. P(x) = x 3 3x 2 + 3x polinomunun x 3 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 2. P(x) = x 5 5x 4 + 0x 3 0x 2 + 5x polinomunun (x + ) ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 8 Çap Yayınları Çap Yayınları 2. SIRA SİZDE 3. P(x) = x 3 6x 2 + 2x 8 polinomunun x + ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 4. P(x) = x 3 + 6x 2 + 2x polinomunun x edilen kalanı bulunuz. 27 ile bölümünden elde

24 3. P(x) Polinomunun (ax b) ile bölümünden kalanı bulma YAKLAŞIM P(x) = (ax b) B(x) + K eşitliğinde kalan bulmak için (ax b) ifadesinin kökü bulunur. P(x) de x yerine yazılır. P(x) = (ax b) B(x) + K b b x = değeri P(x) polinomunda yerine yazılır. P( ) a a = K kalanını verir. BİRLİKTE ÇÖZELİM. P(x) = 32x 4 + 2x 2 + 4x polinomun 2x + ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz.. P(x) = x 3 + 2x 2 3x + 5 polinomunun 2x 4 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz P(x) = 2x 4 + 3x 2 4x + 5 polinomunun 6x + 6 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz P(x) = 4x 2 4x + 5 Çap Yayınları Çap Yayınları. SIRA SİZDE 4. P(x) = x 3 + 4x 2 3x m polinomunun 3x + 6 ile bölümünden elde edilen kalan 4 ise m değerini bulunuz P(x) = 2x 2 4x + 5 polinomunun 2x + ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz P(x) = 8x 3 + 4x 2 2x + polinomunun 2x + ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 8 polinomunun 2x ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 2 24

25 4. P(mx + n) polinomunun (x a) ile bölümünden kalanı bulma YAKLAŞIM (x a) ifadesi ile bölünen polinomun ve soruda verilen polinomun birbirinden farklı olduğu bu tür sorulara dikkat edilmeli ve aşağıdaki yol izlenmelidir.. Hangi polinomun (x a) ile bölündüğüne dikkat edilmelidir. 2. x = a kökü bu polinomda yerine yazılmalıdır. 3. P(a) değerini bulmak için verilen diğer polinomda x yerine hangi değerin yazılacağı bulunmalı ve çözüme devam edilmelidir. BİRLİKTE ÇÖZELİM. P(x + 2) = x 3 2x 2 + 3x 5 polinomu veriliyor.. P(x) polinomunun x ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 2. P(x 3) = x 3 + 2x 2 + 5x + a polinomu veriliyor. P(x + ) polinomunun x + 2 ile bölümünden elde edilen kalan 7 ise a değerini bulunuz.. P(x 2) = x 3 x + 4 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalanı bulunuz P(x ) = x 3 4x polinomu veriliyor. P(x) polinomunun x + ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. Çap Yayınları Çap Yayınları 2. SIRA SİZDE 3. P(x) = x 3 2x 2 + 5x 3 polinomu veriliyor. P(x + 2) polinomunun x + 3 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 4. P(x 2) = x 4 + 2x 3 + 5x + m polinomu veriliyor. P(x 3) polinomunun x + ile bölümünden elde edilen kalan 9 ise m değerini bulunuz

26 5. P(x) polinomunun (x n a) ile bölümünden kalanı bulma YAKLAŞIM P(x) polinomunun. x 2 a ifadesi ile bölümünden kalanı bulmak için x 2 a = 0 ve x 2 = a yazılır. P(x) polinomu x 2 li ifadeler şeklinde yazılarak x 2 yerine a yazılır. Örneğin, P(x) = 4x 6 + 3x 5 2x 2 4 polinomunun P(x) = 4(x 2 ) 3 + 3(x 2 ) 2. x 2(x 2 ) 4 yazıldığı gibi. 2. x 3 a ifadesi ile bölümünden kalanı bulmak için x 3 a = 0 ve x 3 = a değeri yerine yazılır. Bu işlemi rahatça yapabilmek için P(x) polinomu x 3 lü ifadeler şeklinde yazılır. Örneğin, P(x) = 5x 2 + 2x 6 + 3x 4 2 polinomunun P(x) = 5(x 3 ) 4 + 2(x 3 ) 2 + 3(x 3 ). x 2 yazıldığı gibi. 3. (x 4 a), (x 5 a)..., (x n a) ifadeleri ile bölümünden kalanları bulmak için de aynı düşünce uygulanır. BİRLİKTE ÇÖZELİM. P(x) = x 4 + 3x 3 2x polinomunun x 2 + ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 2. P(x) = x 5 + 2x 3 4x polinomunun x ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz.. P(x) = x 5 2x 3 x + 4 polinomunun x 2 + ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 2. P(x) = 2x 6 + 3x 3 x + 2x + 4 polinomunun x ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. Çap Yayınları Çap Yayınları 2. SIRA SİZDE 3. P(x) = 6x 4 + 3x polinomunun x ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 4. P(x) = 4x 7 + 3x 4 + 4x 3 k polinomunun x 4 + ile bölümünden kalan 5 ise k değerini bulunuz. 2 x

27 6. P(x) polinomunun (x a) (x b) ile bölümünden elde edilen kalanı bulma YAKLAŞIM Bölme işleminde kalanın derecesi bölenin derecesinden en az bir derece küçüktür. Bu nedenle P(x) polinomu (x a) (x b) ile bölündüğünde kalan mx + n, P(x) polinomu (x a) (x b) (x c) ile bölündüğünde kalan mx 2 + nx + p olarak alınmalıdır. Daha sonra kökler birer birer polinomda ve kalan için alınan ifade de yerine yazılarak ve elde edilen denklem sistemi çözülerek kalan bulunur. BİRLİKTE ÇÖZELİM. P(x) polinomu. x ile bölündüğünde kalan 3, x + ile bölündüğünde kalan 5 ise, (x ) (x + ) ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 2. P(x) polinomunun (x ) (x + 3) ile bölümünden kalan 2x + ve P(x) polinomunun (x + ) (x 2) ile bölümünden kalan x + 4 ise P(x) polinomunun (x + ) (x + 3) ile bölümünden kalanı bulunuz. 3. P(x) polinomunun x 2 25 ile bölümünden kalan 4x + 3 ise P(x) in x + 5 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. Çap Yayınları Çap Yayınları

28 SIRA SİZDE. P(x) polinomunun x 2 4 ile bölümünden kalan 2x 5 ise P(x)'in x + 2 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz P(x) polinomunun x ve x + 2 ile bölümünden elde edilen kalanlar sırasıyla 3 ve 9 dur. P(x)'in (x ) (x + 2) çarpımı ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 4x 3. P(x) polinomunun (x + ) (x 3) ile bölümünden kalan 4x + 7 ise P(x)'in (x 3) ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz P(x) polinomunun x + ile bölümünden kalan 5, x 3 ile bölümünden kalan 'dir. P(x)'in (x + ) (x 3) ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. x 4 5. P(x) polinomunun (x + 2) (x 5) ile bölümünden kalan 5x + m ve x + 2 ile bölümünden elde edilen kalan 4 ise m değerini bulunuz P(x) polinomunun (x + ) (x 2) ile bölümünden kalan 7 ve (x ) (x + 3) ile bölümünden kalan 3'tür. P(x) polinomunun (x 2 ) ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 5x 2 7. P(x) polinomunun x 2 + 2x + 4 ile bölümünden elde edilen kalan 2x ve bölüm Q(x)'tir. Q(x)'in x 2 ile bölümünden kalan 5'tir. P(x) polinomunun x 3 8 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 5x 2 + 2x P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan x 2 + 2x + dir. Buna göre P(x) polinomunun x 2 2x + 4 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 4x 3 28

29 POLİNOMLARDA KALANSIZ BÖLME YAKLAŞIM P(x) x a B(x) 0 (x a) ifadesi P(x) polinomunun bir çarpanı ise ya da P(x) polinomu (x a) ile kalansız bölünüyorsa, bölme işleminin sonucunda elde edilen kalan sıfırdır. Bölme işlemi P(x) = (x a) B(x) + 0 şeklinde yazılır. Bir başka deyişle P(a) = 0'dır. BİRLİKTE ÇÖZELİM. P(x) = x 3 5x 2 + 4x + c. polinomu x + 2 ile kalansız bölünüyor. Buna göre c değerini bulunuz. 2. (x + ) ifadesi P(x) = x 4 2x 3 5x + a polinomunun bir çarpanıdır. Buna göre a değerini bulunuz. 3. P(x ) = x 3 2x + mx + 3 polinomu veriliyor. P(x) polinomu x + 2 ile kalansız bölündüğüne göre, m değerini bulunuz. 4. P(x + 2) = x 4 2x 2 + x n polinomu veriliyor. P(x + ) polimomunun x ile bölümünden elde edilen kalan 7'dir. Buna göre P(x ) polinomunun x 4 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. 5. P(x) = x 3 + mx + n polinomu x ve x + ile tam bölünüyor. Buna göre P(x 2) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz. Çap Yayınları Çap Yayınları

30 SIRA SİZDE. P(x) = 3x 4 2x 3 + 6x 2 + a polinomu x + ile kalansız bölünüyor ise, a değerini bulunuz. 2. (x 2) ifadesi P(x + ) polinomunun bir çarpanıdır. P(x) = x 3 2x 2 + p olduğuna göre, p değerini bulunuz P(x) = x 6 + 2x 3 + ax 2 + (b )x + c polinomu x 2 + ile kalansız bölünüyor. Buna göre, b + c a toplamını bulunuz P(x) = x x 6 + 3x 8 a + 2 polinomunun bir çarpanı x ise, a değerini bulunuz P(x) = x 3 + x 2 + ax + b polinomu x 2 x + 3 ile kalansız bölünüyor. Buna göre, a b farkını bulunuz (x 2 x + ) P(x) = 3x 3 x 2 + x + 2 eşitliğini sağlayan P(x) polinomunu bulunuz. 3x P(x) = 2x 2 + 3x + m polinomu x + 2 ile kalansız bölünüyor. Buna göre, P(x + ) polinomunun x 2 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz P(x) = (x 3) n (x ) m polinomu x 5 ile kalansız bölünüyor. Buna göre, m ve n doğal sayıları arasındaki bağıntıyı bulunuz. n = 2m 30

31 (x m). P(x) = Q(x) Şeklindeki İfadeler YAKLAŞIM (x m). P(x) = Q(x) biçimindeki eşitliklerde (x m) ifadesinin kökü x = m yerine yazılır ve sol taraf sıfır yapılarak Q(x) polinomunda yer alan bilinmeyen bulunur. Q(x) P(x) polinomu soruluyorsa, P(x) = bölme işlemi yapılır. Kalan sorulduğunda ise gereken bölme işlemleri x m yapılır ve kalan bulunur. BİRLİKTE ÇÖZELİM. (x + ) P(x) = x 4 + x 3 2x 2 + 3x + a eşitliğini sağlayan P(x) polinomunu bulunuz.. 2. (x 2 2x) P(x) = x 4 5x 2 + ax + b eşitliği sağlayan a ve b değerlerini bulunuz.. (x 2)P(x) = x 3 + x 2 x + a eşitliği veriliyor. P(x) polinomunun x 2 ile bölümünden kalanı bulunuz (x + )P(x) = x 4 + x 3 x 2 + m eşitliğini sağlayan m değerini bulunuz. Çap Yayınları Çap Yayınları 2. SIRA SİZDE 3. (x 2 + x)p(x) = 2x 3 + x 2 ax + b eşitliğini sağlayan a ve b sayılarının toplamını bulunuz. 4. (x )P(x) = x 3 + 2x 2 ax + eşitliğini sağlayan P(x) polinomunun x + ile bölümünden kalanı bulunuz. 3 3

32 P(x) POLİNOMUNUN (x a) n İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN BULMA YAKLAŞIM Bu tür sorularda iki ayrı yaklaşım vardır. Aşağıdaki rehber sorular iki ayrı yaklaşımla çözülmüştür. İnceleyiniz. BİRLİKTE ÇÖZELİM. P(x) = x 3 + x 2 + ax + b polinomunu (x + ) 2 ile Çözüm : tam bölünüyorsa, a + b toplamını bulunuz. 2. P(x) = x 3 + ax 2 +bx + c polinomu (x + ) 3 ile kalansız bölünüyor ise, a + b c değerini bulunuz. Çözüm: 32

33 SIRA SİZDE. P(x) = x 3 + 2x 2 + ax + b polinomu (x ) 2 ile tam bölündüğüne göre, a.b çarpımının değerini bulunuz P(x) = x 3 + ax 2 + bx + c polinomunun (x ) 3 ile kalansız bölünebilmesi için a, b, c değerlerini bulunuz. a = 3 b = 3 c = n P( x m) k polinomu verildiğinde P( x) r polinomunu bulma YAKLAŞIM n x m değeri ile çarpılır. m k = x n ifadesinden x r r = x k m ifadesini bulmak için n (x ) r.n k.m kuvveti alınır. Bütün x'li ifadelerin kuvveti r.n ( ) k.m ÖN BİLGİ. m a n n = a m 2. (a n ) m = a nm 3. m p ( a n m ) = anp BİRLİKTE ÇÖZELİM 3. P( x 2 ) = 2x6 3x 4 2x 2 polinomu veriliyor.. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz P( x) = 3x 2 x8+ 2x4+ 5 polinomu veriliyor. 4 Buna göre P( x) polinomunu bulunuz. Çap Yayınları 2. SIRA SİZDE 5. P( x 3) = 4x 9 2x6+ 3x 3 4 polinomu veriliyor. Buna göre P(x) polinomunun x ile bölümünden kalanı bulunuz P( x 2) = 4x 6 2x 2 3x8+ 8x4 polinomu veriliyor. Buna göre, P( x) polinomunu bulunuz. 4x 2 2x 9 3x 6 + 8x 3 33

34 BÖLÜNEBİLME İLE İLGİLİ SORULAR VE ÇÖZÜMLER SORULAR. Gerçel katsayılı P(x), Q(x) ve R(x) polinomları veriliyor. Sabit terimi sıfırdan farklı P(x) polinomu için, P(x). Q(x + ) = R(x) eşitliği sağlanıyor. P(x) in sabit terimi R(x) in sabit teriminin 3 katı ise, Q(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) B) C) D) 3 E) P(x) = 3x 3 (a + )x 2 bx + 2a + b + polinomu x 2 x ile tam bölünebildiğine göre, a + b kaçtır? A) 2 B) C) 0 D) E) 2 3. P(x) polinomu üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonu olmak üzere, P( ) = P( 2) = P(3) = 0 ve P(0) = 4 olduğuna göre, P() kaçtır? 2 A) B) C) 2 D) 4 E) ÇÖZÜMLER 34

35 4. Her x gerçel sayısı için, x 2 + 4x 2 = ax 2 (x + ) + b(x 2 + x) + cx(x ) olduğuna göre, 3a + 2b + c toplamını bulunuz. A) 7 B) 3 C) 0 D) 2 E) 5 5. (x 2 x + ) 20 = a40 x a2 x 2 + a x + a0 olduğuna göre, çift indisli terimlerin katsayıları toplamı olan a 40 + a a 2 toplamının değeri kaçtır? A) 3 20 B) C) D) 20 E) Katsayılar toplamı 4 olan bir P(x) polinomunun x 2 ile bölümünden kalan 9 dur. Buna göre, P(x) polinomunun x 2 3x + 2 ile bölümünden kalan hangisidir? A) 4x 5 B) 2x 4 C) 5x D) 3x 2 E) 4x 3 35

36 7. P(x+ ) + 2x 3 = x2 + 4x eşitliği veriliyor. Q(x ) + 5 Q(x) in katsayılar toplamı 3 ise, P(x) polinomunun x 3 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 22 B) 8 C) 6 D) 9 E) 2 8. a, b Z + olmak üzere, P(x) = (x 8) 2a + + (x 2) a + 4 b polinomunun x 6 ile tam bölünebilmesi için a ve b arasındaki hangi bağıntı sağlanmalıdır? A) a = 2b B) a + b = C) a = b D) a = b E) a + 2b = 9. P(x) x 2 2x + 4 Q(x) x + 2 Q(x) B(x) 3x + 3 olduğuna göre, P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan hangisidir? A) x 2 3x + 4 B) 2x 2 9x + 5 C) 3x 2 + 9x D) 4x 2 + x 7 E) 3x 2 + 9x 36

37 0. P(x) polinomunun x 2 x + ile bölümünden kalan 2x + 3 ise, [P(x)] 2 polinomunun x 2 x + ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 6x + 5 B) 2x + 4 C) 9x + 2 D) 2x + 6 E) 6x + 5. P(x) polinomunun (x 2 + ) (x 3) ile bölümünden kalan 2x 2 3x veriliyor. Buna göre, P(x) polinomunun x 2 + ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x B) 3x + 2 C) 2x 5 D) 3x 2 E) 4x 3 2. P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 2x, Q(x) polinomunun x ile bölümünden kalan x 5 olarak veriliyor. Buna göre, P(x). Q(x) polinomunun x ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) x + B) 9x + 2 C) 8x + 3 D) 6x + 7 E) 4x

38 3. Başkatsayısı 3 olan üçüncü derece bir P(x) polinomunun çarpanlarından biri (x 2 x + 3) tür. P( ) = 20 olduğuna göre, P(x) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır? A) 36 B) 30 C) 28 D) 26 E) P(x) polinomunun x 2 2x 8 ile bölümünden kalan x + 2 ise, [(P(x)] 2 polinomunun x 4 ile bölümünden kalan hangisidir? A) 6 B) 20 C) 22 D) 24 E) P( x 2) = x8+ 2x4+ 3x2+ polinomu veriliyor. Buna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) x 2 + 2x 6 + x 3 + B) x 2 + 2x 6 + 3x 3 + C) x 6 + 2x 4 + 3x 2 D) x 6 + 2x 8 3x 4 + E) x 8 + 2x 9 + 3x

39 6. P(x + 3) P(x ) P(x ) P(x +3) A(x) B(x) 2x 7 K(x) Yukarıda verilen bölme işlemlerine göre, K(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x 7 B) 2x + 7 C) 7x 2 D) 7x + 2 E) 3x 5 7. P(x,y) = (x y + 3) 88 + (x y + ) 99 polinomunun x y + 2 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 B) C) 0 D) E) 2 8. Başkatsayısı pozitif olmak üzere, P(x 2). P(x + ) = 9x 2 + 3x 20 eşitliğini sağlayan P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x 4 B) 3x C) 3x + 2 D) 3x + 3 E) 3x x. P(x) + P( x) = 2x 2 + x + 3 eşitliği veriliyor. P(2x ) polinomunun x 2 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 39

40 20. P(x) polinomunun başkatsayısı pozitif bir tam sayıdır. P(P(x)) = 25x 24 olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x 5 B) 4x 3 C) 5x 5 D) 5x 4 E) 25x 4 2. P(x) ve Q(x) polinom olmak üzere, 22. 2P(x + ) + Q(x + 2) = 2x 7 P(x + 2) Q(x + 3) = 3x + 7 ise, P(x) polinomunun x 2 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) x3+ x 2 7x+ 2 x 2 ifadesinin sadeleşmiş şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) x 2 + 3x B) x 2 + x 2 C) x 2 x D) x 2 + 3x E) x 2 2x P(x, y) = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 5 polinomu veriliyor. Buna göre, P(, ) değeri kaçtır? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 40

41 TEST : POLİNOMUN TANIMI, DERECE, BAŞKATSAYISI, SABİT POLİNOM VE SIFIR POLİNOMU. P(x) = 2 x + 3 P(x) = 3x 2 + 4x 2 P(x) = 3x 4 + 4x 2 2x P(x) = x 5+ 5x x P(x) = 7x4 + 2x 3 7x 2+ 5 Yukarıda verilen ifadelerden kaç tanesi polinomdur? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. P(x) = 4x6+ 3x 5+ (m ) + 2 x ifadesinin polinom belirtmesi için m ne olmalıdır? A) 3 B) 2 C) D) E) 0 2 m 3. P(x) = 3x + 2x5 m + 3x ifadesi bir polinom belirttiğine göre, m'nin alacağı değerler toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 0 4. P(x) = (m 2)x 5 + 3x 4 + 2x 2 + 5x + n polinomunun derecesi 4, sabit terimi 3 olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? A) 2 B) C) 0 D) E) 2 5. P(x) = (m + 2)x 7 + (m n + 5)x 3 + (n + k)x + 3 sabit polinom ise, m + n + k toplamı kaçtır? A) 2 B) C) 0 D) E) 2 6. P(x) = ax 3 + (b )x 2 + (ab + c)x + d sıfır polinomu ise, ab + cd toplamı kaçtır? A) 2 B) C) 0 D) E) P(x) = 3x n + 2x4 n + 3x 5 bir polinom belirttiğine göre, polinomun derecesi en fazla kaçtır? A) 6 B) 2 C) 8 D) 4 E) 2 8 P(x) = 4x m + 2xm 4 + 3x 5 bir polinom belirttiğine göre, m kaç farklı değer alır? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9. P(x) = ax 4 + (b )x 3 2x + c polinomunun derecesi 3, 0. başkatsayısı 4, sabit terimi 5'tir Buna göre a + b + c toplamı kaçtır? A) 5 B) 3 C) 0 D) E) 4 m+ 3 8 m+ m P(x) = 3x + 2x + x 3 m 3 polinom belirttiğine göre, m'nin alacağı değerler toplamı kaçtır? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5. B 2. C 3. E 4. B 5. A 6. C 7. A 8. B 9. C 0. C 4

42 TEST 2 : POLİNOMLARIN EŞİTLİĞİ VE POLİNOMDA DEĞER BULMA. P(x) = (a + )x 3 + 2x 2 + (c )x + 4 Q(x) = 4x 3 + bx 2 + 5x + 4 polinomları için P(x) = Q(x) ise, a + b + c toplamı kaçtır? A) 6 B) 9 C) D) 3 E) 5 2. P(x) = x 2 + 3x Q(x) = ax 3 + x 2 + bx 4 R(x) = 4x 3 + (c )x 2 + 7x + d polinomları için, 2P(x) + Q(x) = R(x) ise ad bc değeri kaçtır? A) 20 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2 2 3x 3. P x 3 4x2 c m = + 3x polinomu veriliyor. 5 Buna göre, P( 2) değeri kaçtır? A) 25 B) C) 9 D) 8 E) 7 4. P(x 2) = (x + 2) (x 2 + a) x + 3 polinomu için P( ) = 8 ise, a kaçtır? A) 2 B) C) D) 2 E) 3 5. P(x 3) = x(x 2 + 2x) + 3x + m polinomu veriliyor. P( 2) = 3 olduğuna göre, P( ) kaçtır? A) 9 B) 3 C) 0 D) 6 E) 5 6. P(x,y) = 3x 3 y 2 2xy polinomu veriliyor. Buna göre, P, ^ 3h değeri kaçtır? A) B) 2 C) 3 D) 6 E) 9 3x 2 7. P x 3 2x2 c m = + a polinomu veriliyor. 5 P(2) = olduğuna göre, P( ) kaçtır? A) 60 B) 46 C) 36 D) 27 E) P(x) = x 4 + (a )x 3 + bx 2 + 4x Q(x) = (x 2 2x ) 2 polinomları veriliyor. P(x) = Q(x) olduğuna göre, a + b kaçtır? A) 3 B) 2 C) D) 5 E) 7 2x + 5 A B = + olduğuna göre, (x + ) (x 3) x + x 3 A + B toplamı kaçtır? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3x A B Cx + D = + + x 2(x2+ ) x2 x x2+ olduğuna göre, AC + BD kaçtır? A) 9 B) 6 C) 3 D) 6 E) 9. C 2. A 3. B 4. C 5. A 6. C 7. C 8. C 9. B 0. D 42

43 TEST 3 : SABİT TERİM, KATSAYILAR TOPLAMI, ÇİFT VE TEK DERECELİ TERİMLERİN KATSAYILAR TOPLAMI. P(x) = (x 3 + x 2 + 3) 2 polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır? A) 25 B) 6 C) 9 D) 8 E) 4 2. P(x) = x 4 + 3x 2 x + 5 Q(x) = x 3 x olduğuna göre, P(x) Q( x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 3. P(x) = a(x 3 + 2) 3 polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı 42 ise a kaçtır? A) 4 B) 2 C) D) 3 E) 6 4. P(x 3) = x 2 2x a P(x 4) = R(x) + x 3 Q(x) = P(x + ). x 4 polinomları veriliyor. Q(x) polinomunun katsayılar toplamı 5 ise, R(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 6 B) 4 C) 6 D) 0 E) 2 3x 5 5. P x 3 4x2 c m = + x a polinomu veriliyor. 4 P(x) polinomunun katsayılar toplamı 5 ise, a kaçtır? 6. P(x + ) (x 2 + x 4) = 3.Q(x + 2) eşitliği veriliyor. P(x) polinomunun sabit terimi 4 ise, Q(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 5 B) 3 C) 2 D) 4 E) 5 7. P(x + 3) = Q(x 3) (x 2 + ) 3 + x + 3 eşitliği veriliyor. P(x+3) polinomunun katsayılar toplamı, Q(x 2) polinomunun sabit terimine eşittir. Buna göre, P(4) + Q( 2) kaçtır? A) 6 B) 4 C) D) 5 E) 0 8. P(3x + 2) polinomunun sabit terimi m 2 4m, P(x + ) polinomunun katsayılar toplamı m + 6 dır. Buna göre m'nin alacağı değerler toplamı kaçtır? A) 2 B) C) 3 D) 5 E) 7 9. P(x) = (x + ) 2 (x 3) (3x + ) polinomunun katsayılar toplamı M, sabit terimi N ise, M N kaçtır? A) 42 B) 37 C) 29 D) 8 E) 3 P(x+ 2) + x2 0. = x+ eşitliği sağlanıyor. Q(x+ 3) P(x) polimonunun sabit terimi 3 ise, Q(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 3 B) C) 0 D) 2 E) 4 A) B) 9 C) D) 3 E) 7. D 2. B 3. D 4. B 5. A 6. A 7. B 8. D 9. C 0. C 43

44 TEST 4 : POLİNOMALARDA İŞLEMLER. P(x) = x 3 + 2x 3 Q(x) = 2x 3 + x 2 x polinomları veriliyor. P(x). Q(x) = 2x ax olduğuna göre, a kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 2. x 3 + 2x 2 x + x 2 x + 3 A(x) K(x) Yukarıdaki bölme işleminde A(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 3 B) x + 6 C) x + 20 D) x 8 E) x 9 3. (x 2 x + 3). (x 3) 2 çarpımından elde edilecek x 3 lü terimin katsayısı kaçtır? A) 7 B) 6 C) 2 D) 3 E) 5 4. P(x 2) = 3x + 4 olduğuna göre, P(2x) + P(x + ) toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x + 0 B) 3x + 2 C) 2x + 9 D) 2x + 26 E) 9x P(x) = x 2 + 4x 3 Q(x) = x 3 x + 5 polinomları veriliyor. x.p(x) Q(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 5x 2 3x 5 B) 5x 2 4x 5 C) 4x 2 2x 5 D) 2x 3 + 4x 2 4x P(x) = 2x + 3 Q(x ) = x 2 x + polinomları veriliyor. Buna göre, (x 2 + ). P(x) + x.q(x ) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x 3 + 3x 2 + 3x + 3 B) 3x 3 + 2x 2 + 3x + 3 C) 3x 3 + 4x 2 + 3x + 3 D) 3x 3 + x 2 + 2x + 3 E) 3x 3 + 5x 2 + 3x P(x) = (x + a) 2 Q(x) = x 2 + 4x polinomları veriliyor. P(x) + Q(x) polinomunun katsayılar toplamı 20 ise a'nın pozitif değeri kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 8. P(x) = (x 2 x + ) 2 Q(x) = (x 3 + 2) 3 polinomları veriliyor. 3P(x) + 2Q(x) polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 34 B) 32 C) 24 D) 9 E) 5 9. P(x) = x 3 2 Q(x) = (x 2 + 5) 2 polinomları veriliyor. [P(x)] 2. Q(x) polinomunun derecesi kaçtır? A) 2 B) 0 C) 9 D) 7 E) 6 0. P(x) = x 3 + ax + b polinomu veriliyor. P( ) = 4, P() = 8 olduğuna göre, a + b kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 E) 2x 3 + 3x 2 5x 5. A 2. A 3. A 4. E 5. C 6. B 7. B 8. D 9. B 0. D 44

45 TEST 5 : POLİNOMLARDA DERECE. dpx 7 () A= 5, d7qx ( ) A = 2 olmak üzere, P 3(x) d> H kaçtır? Q(x) 2 A) 5 B) 2 C) D) 0 E) 8 2. P(x) = x 2 (x 4 x + ), Q(x) = (x 2 + 3) 2 polinomları için dp(x).q(x 7 ) A kaçtır? A) 2 B) 0 C) 8 D) 6 E) 4 3. P(x) = (x 2 x) 2 (x 3 x + 5), Q(x) = x n + 2x polinomları için dp(x).q 7 2 (x) A = 3 ise, n kaçtır? A) 6 B) 5 C) 3 D) 2 E) 4. dp(x) 7 A+ dq(x) 7 A = 9, dp(x 7 3).Q(x 2 + ) A = 2 olduğuna göre, P(x) d> H kaçtır? Q(x) A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 5. dpx 8 ^ 3 hq 2 (x) B = 3, P(x) + 2 d > H = Q(x) olduğuna göre, d7p(q(x)) A kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 6. d[p(p(x)] = 9, d[p(x). Q(x)] = 7 7. Q(x) olduğuna göre, d> H kaçtır? P(x) A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 dpx 7 () A = 2, dp 7 2(x).Q 3 (x) A = 2 ise dqx 7 () A dp(x) 7 A+ d7q(x) A kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 9 E) 2 8. (x 2 + )P(x ) = x 7 + x 5 x 3 + x 2 x + x 3 3x2+ x 3 ve Q(x) = olduğuna göre, x 3 dp(x).q(x) 7 2 A kaçtır? A) 4 B) 5 C) 9 D) 3 E) P(2x + ) + P( x) = 3x + 3, 0. x.q(x ) = x 4 + 2x 3 3x olmak üzere, P(x 3 ).Q 3(x) d> H kaçtır? x 2 3 ^ x+ h A) 2 B) 9 C) 6 D) 5 E) 3 P(2x + ) P(x + ) 32 K Yukarıdaki bölme işlemine göre, P(x) polinomunun derecesi kaçtır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2. C 2. B 3. C 4. D 5. A 6. A 7. D 8. C 9. C 0. C 45

46 TEST 6 : (x a) / (ax + b) İLE BÖLME. P(x) = x 3 + 2x 2 5x 7 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun x + ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) 9 C) D) 5 E) 7 2. P(x) = x 203 x x x 7 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun x + ile bölümünden kalan kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 3. P(x) = x 3 + 2x 2 + 3x + m polinomu veriliyor. P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan 5 ise, m kaçtır? A) 2 B) C) 0 D) E) 2 4. P(x 3) = x 3 2x 2 + 4x polinomu veriliyor. P(x 2) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 5. P(x) = 64x x 2 4x 5 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun 2x + ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) 9 C) 6 D) 5 E) 3 6. P(2x + ) = 27x 3 9x 2 3x 5 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun 3x ile bölümünden kalan kaçtır? A) 5 B) 2 C) 9 D) 7 E) 6 7. P(x) = x 3 x 2 + ( 2m)x polinomu veriliyor. P(x) polinomu x ile bölümünden kalan, P(x) polinomunun x ile bölümünden kalanına eşittir. Buna göre, m kaçtır? A) 2 B) C) D) E) x 5 8. P x4 2x 3 3x2 c m = polinomu veriliyor. 7 P(x + ) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 2 B) C) D) 2 E) 3 9. Q(x) = x(x + ) 2 x ve P(x) = Q(x ) + 2 polinomları veriliyor. P(x) polinomunun x 2 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) 2 0. P(x) = x 4 x 3 + mx + n polinomu veriliyor. P(x) polinomunun x + ile bölümünden kalan 3, x 2 ile bölümünden kalan 2 ise, m.n çarpımı kaçtır? A) 0 B) 8 C) 6 D) 3 E) 2. C 2. B 3. D 4. C 5. C 6. E 7. D 8. C 9. C 0. E 46

47 TEST 7 : P(x) in (x a) / (ax + b) İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN BULMA. P(x) = x 3 + 2x 2 + 3x + a polinomu veriliyor. P(x + 2) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan 4 ise, a kaçtır? A) 2 B) C) 0 D) E) 2 2. P(x + ) = x 3 x 2 + ax + polinomu veriliyor. P(x) polinomunun x 2 ile bölümünden kalan 3 ise, P(x 2) nin x 5 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 3 B) 2 C) D) 0 E) 9 3. P(x,y) = (x + y + 4) 4 + (x + y 2) 3 x y + 5 polinomu veriliyor. P(x,y) polinomunun (x y) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 43 B) 4 C) 40 D) 39 E) P(x + 2) = (x 3 2x + 4) 3 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun x 3 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 8 B) C) D) 8 E) P(x + 2) = x.q(x ) + x 2 5 eşitliğinde P(x) polinomunun x 3 ile bölümünden kalan 4 ise, Q(x) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) 9 B) 8 C) 5 D) 4 E) 3 6. P(x) = x 3 + mx + n polinomunun x 2 x + 3 ile bölümünden kalan 5x 7 olduğuna göre, m + n kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 7. P(x) polinomu x ile bölündüğünde bölüm x + 2 kalan 2x 3 tür. Buna göre, P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 7 B) 5 C) D) 4 E) 6 8. (x + )P(x 2) = x 3 + x + 2 eşitliği veriliyor. Buna göre, P(x ) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 9. P(x) = 8x 3 + 4x 2 6x 5 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun 2x + ile bölümünden kalan kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 0. P(2x 3) = 6x 4 eşitliği sağlanıyor. P(x 2) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 20 B) 8 C) 2 D) 0 E) 8. A 2. E 3. B 4. E 5. B 6. C 7. A 8. D 9. D 0. A 47

48 TEST 8 : P(x)'in (x n + a) İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN BULMA. P(x) = x x 6 + x 8 4 polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) 8 B) 6 C) D) 4 E) 9 2. P(x) = 3x 4 + 2x 3 5x 2 2 polinomunun x ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x + 20 B) 4x + 2 C) 2x 8 D) 2x + 9 E) 2x P(x) = x 30 3x x 0 + 5x 5 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) 20 B) 8 C) 5 D) 2 E) 9 4. P(x) = x 6 + 2x polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. P(x) = x 6 + 3x 4 + 3x 2 2 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçtır? A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 6. P(x) = x 2 + 2x + 5 polinomu veriliyor. P(x)'in x 2 2x + 7 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 2 B) 7 C) 9 D) 7 E) 2 7. P(x) = x 5 + 3x 2 2x + 7 polinomunun x 2 x + ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 B) x C) 5x D) x + 5 E) 5x 8. P(x) = x 3 + ax 2 2x + 3 polinomunun x 2 x + 2 ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre, a kaçtır? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9. P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 2 ve bölüm Q(x)'tir. Q(x) polinomunun x 2 + x + ile bölümünden kalan 2x olduğuna göre, P(x) polinomunun x 3 ile bölümünden kalan hangisidir? A) 2x 2 + x 5 B) 2x 2 + 3x 7 C) 2x 2 x 3 D) 2x 2 3x E) 2x 2 x 0. P(x) polinomunun x 2 + x ile bölümünden elde edilen bölüm x + 3, kalan 3x 2 ise, P(x) polinomunun x 2 x + ile bölümünden kalan hangisi olabilir? A) 4x 5 B) 6x 7 C) 7x + 9 D) 0x 7 E) 2x + 5. B 2. A 3. B 4. B 5. C 6. E 7. A 8. C 9. D 0. D 48

49 TEST 9 : P(x)'in (ax + b) (cx + d) İLE BÖLÜMÜNDEN KALANI BULMA. P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 8, P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan dir. Buna göre P(x) polinomunun (x ) (x + 2) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x + 5 B) 2x 4 C) 6x + 5 D) 2x + 7 E) 3x + 2. P(x) polinomunun katsayılar toplamı 3 ve x + 2 ile bölümünden kalan 9 dur. Buna göre P(x) polinomunun (x ) (x + 2) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x B) 2x 5 C) 3x 4 D) 3x E) 4x 3. P(x) polinomunun sabit terimi 5'tir. P(x) polinomunun x 3 ile bölümünden kalan 4'tür. Buna göre P(x) polinomunun x(x 3) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) x + B) x + 4 C) x + 5 D) 2x + 3 E) 3x P(x) polinomunun x 2 2x 3 ile bölümünden kalan 4, P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre P(x) polinomunun x 2 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x 4 B) x + 5 C) 4x + 3 D) 3x E) 5x 7 5. P(x) polinomunun x 2 x 2 ile bölümünden kalan, P(x) polinomunun x 2 25 ile bölümünden kalan 'dir. P(x) polinomunun x 2 4x 5 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x + B) 3x 2 C) 4x + D) 5x 3 E) 6x P(x 2) polinomunun katsayılar toplamı 5, P(2x + ) polinomunun sabit terimi 3'tür. P(x) polinomunun x 2 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x + B) 3x 2 C) 4x + D) 5x 3 E) 6x P(x) polinomunun (x + ) (x 2) ile bölümünden kalan 3, P(x) polinomunun (x 3) (x + 2) ile bölümünden kalan 2'dir. P(x) polinomunun (x + ) (x + 2) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) x 4 B) x C) x 3 D) x + 2 E) x P(x ) polinomunun sabit terimi 4, P(x + ) polinomunun katsayılar toplamı 5 tir. P(x) polinomunun (x + ) (x 2) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 5x 2 B) 4x 3 C) 3x + D) 2x + 4 E) x 3. A 2. B 3. E 4. D 5. A 6. C 7. A 8. C 49

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

Polinomlar. Rüstem YILMAZ

Polinomlar. Rüstem YILMAZ Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir

Detaylı

10 SINIF MATEMATİK. Polinomlar Çarpanlara Ayırma İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

10 SINIF MATEMATİK. Polinomlar Çarpanlara Ayırma İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler 10 SINIF MATEMATİK Polinomlar Çarpanlara Ayırma İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

5. P(x). Q(x) polinomunun derecesi 9, P(x) Q(x) 7. P(x) = (3m 1)x 3 4x 2 (n + 1) x+ k ve. Q(x) = 17x 3

5. P(x). Q(x) polinomunun derecesi 9, P(x) Q(x) 7. P(x) = (3m 1)x 3 4x 2 (n + 1) x+ k ve. Q(x) = 17x 3 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Polinomlar TEST I 1. Aşağıdakilerden hangisi bir polinomdur? A) = 4 x5 4x 4 5 + 7 x 4 5.. polinomunun derecesi 9, polinomunun derecesi 5 olduğuna

Detaylı

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız.

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız. POLİNOMLARDA Polinomlarda To plama ve Çıkarma P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) + Q(x) veya P(x) Q(x) işlemi yapılırken eşit dereceli terimlerin katsayıları işlemine göre toplanır veya çıkarılır. Örnek...1

Detaylı

KONU: Polinomlarda Bölme İşlemi. 6. P x x x 1

KONU: Polinomlarda Bölme İşlemi. 6. P x x x 1 ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Polinomlarda Bölme İşlemi Dersin Konusu 1. Px 4 x x polinomunun x 1 ile bölümünden kalan A) 0 B) 1 C) D) 4 E) 6. Px x x 1 polinomunun x + 1 ile

Detaylı

POLİNOMLARIN TANIMI. ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI:

POLİNOMLARIN TANIMI.  ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI: ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: Dersin Adı POLİNOMLARIN TANIMI 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan polinom belirtir? I. Dersin Konusu 1 5. P x x n 1 7 x 4 n 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

ünite12 POLİNOMLAR Polinomlar

ünite12 POLİNOMLAR Polinomlar ünite1 POOM = 1 Polinomlar 0 1 1. şağıdakilerden hangileri bir polinom değildir?. x 4 + 3. x 3 3x 5 +. x 6 1 V. x 4 1 + V. 5x 1 8 POOM POOM 5. P(x) = (a )x + (b + 3)x + ab 1 polinomu sabit bir polinom

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü * Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q

Detaylı

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 POLİNOMLAR Test -. I. P x x 5 II. III. P x x P x ifadelerinden hangileri polinom belirtir? 6. P x x x x 7 polinomunun katsayılar toplamı A) B) C) D) 0 E) 9 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere,

TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, MATEMAT K TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, 0 1 2 3 n P(x) = a x n a x n 1... a x 3 a x 2 a x n n 1 3 2 1 a ifadesine reel katsay l POL NOM denir. 0 a, a, a,..., a say lar na KATSAYILAR,

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek... POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 10. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 10. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 0. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI POLİNOMLAR ÇARPANLARA AYIRMA İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER V ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 0. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

KONU: ÇARPANLARA AYIRMA TARİH: YER:LAB.4 _PC5

KONU: ÇARPANLARA AYIRMA TARİH: YER:LAB.4 _PC5 KONU: ÇARPANLARA AYIRMA TARİH:29.11.2011 YER:LAB.4 _PC5 İçindekiler KONU HAKKINDA GENEL BİLGİ :...3 A.ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA :...3 B.GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA:...3 C.İKİ KARE FARKI OLAN İFADELERİN

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme

matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme çöz kazan matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme kpss 2015 ÖSYM sorularına en yakın tek kitap tamamı çözümlü geometri 2014 kpss de 94 soru yakaladık soru bankası Kenan Osmanoğlu, Kerem Köker KPSS

Detaylı

7. ( ) ( ) ( ) A)11 B)12 C)13 D)14 E)15 8. ( ) çarpanı A) 2 B) 1 C) 0 D)1 E) 2 A)1 B) 2 C)3 D) 4 E)5 10. ( ) (B) A) 9 B)10 C)11 D)12 E)13 11.

7. ( ) ( ) ( ) A)11 B)12 C)13 D)14 E)15 8. ( ) çarpanı A) 2 B) 1 C) 0 D)1 E) 2 A)1 B) 2 C)3 D) 4 E)5 10. ( ) (B) A) 9 B)10 C)11 D)12 E)13 11. 1. POLİNOMLAR 6 ( + + 6 ) ( + + ) çarpımında lü terimin katsayısı A)16 B)18 C) 0 D) E) 6. P( ) polinomunun 6 + ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalan P in derecesi en polinomları eşit olmaktadır. (

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

ise, a b=? (32) ile bölümünden kalan 64 ise sabit terimi kaçtır? (72)

ise, a b=? (32) ile bölümünden kalan 64 ise sabit terimi kaçtır? (72) 178. P( ) + ile bölümünden kalan a+ b dir. P( + 1) in 1 ile bölümünden kalan 10, P( + ) nin + 1 ile bölümünden kalan 4 4 P 179. ( ) ise, a b=? () + = + + 9 ise P( ) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden

Detaylı

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA 3. Ondalık Sayılarda İşlemler: Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama-çıkarma

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

KPSS soruda SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

KPSS soruda SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI KPSS 019 10 soruda 86 SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Komisyon KPSS LİSANS MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN 978-605-41-77-0 Kitapta yer alan bölümlerin

Detaylı

POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması

POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması POLİNOMLAR Polinomlar f: A B biçiminde tanımlanmış f(x) fonksiyonunda, A kümesi tanım kümesi ve B kümesi değer kümesidir. Fonksiyonlarda, fonksiyonu tanımsız yapan değerler tanım kümesinde yer alamaz.

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No MATEMATÝK - II POLÝNOMLAR - IV MF TM LYS1 04 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

Atatürk Anadolu. Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar

Atatürk Anadolu. Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 07 Bölme, Bölünebilme,

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

KILAVUZ SORU ÇÖZÜMLERİ Matematik

KILAVUZ SORU ÇÖZÜMLERİ Matematik 9. Çarpanlar ve Katlar b Dikdörtgenin alanı 4 cm olduğuna göre, kısa ve uzun kenarının çarpımı 4 cm 'dir. a. b = 4 a 6. Asal Çarpanlar A B C D E Yukarıda verilen asal çarpanlara ayırma işleminin son satırında

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

SORU BANKASI. kpss MATEMATİK GEOMETRİ SORU. Lise ve Ön Lisans. Önce biz sorduk. Güncellenmiş Yeni Baskı. Tamamı Çözümlü.

SORU BANKASI. kpss MATEMATİK GEOMETRİ SORU. Lise ve Ön Lisans. Önce biz sorduk. Güncellenmiş Yeni Baskı. Tamamı Çözümlü. Önce biz sorduk kpss 2 0 1 8 120 Soruda 85 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür Lise ve Ön Lisans MATEMATİK GEOMETRİ Tamamı Çözümlü SORU BANKASI Editör Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker

Detaylı

MATEMATİK 1 - FÖY İZLEME TESTLERİ. ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar. 4. a.b + a b 10 = x ve y farklı birer pozitif tam sayı,

MATEMATİK 1 - FÖY İZLEME TESTLERİ. ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar. 4. a.b + a b 10 = x ve y farklı birer pozitif tam sayı, MATEMATİK - FÖY İZLEME TESTLERİ 0/U UYGULAMA ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar. x, y, z birer rakam ve x < y < 6 < z olmak üzere, x + 3y z ifadesinin en büyük değeri A) B) 3 C) 6 D) 0 E) 9 4. a.b

Detaylı

önce biz sorduk KPSS Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde

önce biz sorduk KPSS Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde KPSS 2017 önce biz sorduk 120 Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde 30. yıl Editör Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker Yazar Komisyon KPSS Matematik-Geometri

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde ALES 2017 EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Eğitimde 30. yıl Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

CEVAP ANAHTARI 1-A 2-C 3-A 4-D 5-D 6-E 7-A 8-E 9-D 10-D 11-C 12-B 13-E 14-E 15-E 16-A 17-D 18-B

CEVAP ANAHTARI 1-A 2-C 3-A 4-D 5-D 6-E 7-A 8-E 9-D 10-D 11-C 12-B 13-E 14-E 15-E 16-A 17-D 18-B 1. BÖLÜM: TEMEL KAVRAMLAR - 3 1-A 2-C 3-A 4-D 5-D 6-E 7-A 8-E 9-D 10-D 11-C 12-B 13-E 14-E 15-E 16-A 17-D 18-B 1-D 2-B 3-B 4-E 5-C 6-D 7-C 8-E 9-B 10-A 11-C 12-E 13-C 14-D 15-E 16-D 1-A 2-B 3-A 4-E 5-A

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

Başlayanlara AKTİF MATEMATİK

Başlayanlara AKTİF MATEMATİK KPSS - YGS - DGS - ALES Adayları için ve 9. sınıfa destek 0 dan Başlayanlara AKTİF MATEMATİK MEHMET KOÇ ÖNSÖZ Matematikten korkuyorum, şimdiye kadar hiç matematik çözemedim, matematik korkulu rüyam! bu

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir.

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. 1 B)ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER: Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara Ayırma Yöntemleri: 1)Ortak Çarpan Parantezine Alma:

Detaylı

a) x +3 = 8 b) x -4 = -2 c) x -7 = 4 d) x +5 = 6 e) x +8 = 2 f) x -1= -8 x +3 = 5 denkleminin çözümünü bulunuz.

a) x +3 = 8 b) x -4 = -2 c) x -7 = 4 d) x +5 = 6 e) x +8 = 2 f) x -1= -8 x +3 = 5 denkleminin çözümünü bulunuz. Denklemler bilinmeyen - cebirsel ifade - 7 denklem Bir cebirsel ifade bir sonuca eşit oluyorsa buna denklem denir. Bazı denklemlerin çözümü yoktur, bazı denklemlerin sonsuz, bazı denklemlerin bir, iki,

Detaylı

KPSS ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK. Tamamı Çözümlü SORU BANKASI. 50 soruda SORU

KPSS ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK. Tamamı Çözümlü SORU BANKASI. 50 soruda SORU KPSS ÖABT 09 İLKÖĞRETİM MATEMATİK Tamamı Çözümlü SORU BANKASI 50 soruda SORU Komisyon ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ISBN 978-605--9-6 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

9SINIF MATEMATİK. Denklemler ve Eşitsizlikler

9SINIF MATEMATİK. Denklemler ve Eşitsizlikler 9SINIF MATEMATİK Denklemler ve Eşitsizlikler YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim ile

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 2

ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 2 ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1) 4y x xy 4 4y x xy 4 ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? 4 x 4 x x A) B) C) 4 x 4 x 4 x x x 1 D) E) 4 x x 1 1) İkili ikili gruplayarak ortak paranteze

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

KPSS 2019 VİDEO DESTEKLİ GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK KONU ANLATIMLI PRATİK BİLGİLER SINAVLARA EN YAKIN ÖZGÜN SORULAR VE AÇIKLAMALARI SORU

KPSS 2019 VİDEO DESTEKLİ GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK KONU ANLATIMLI PRATİK BİLGİLER SINAVLARA EN YAKIN ÖZGÜN SORULAR VE AÇIKLAMALARI SORU KPSS 09 0 soruda 86 SORU VİDEO DESTEKLİ GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK KONU ANLATIMLI PRATİK BİLGİLER SINAVLARA EN YAKIN ÖZGÜN SORULAR VE AÇIKLAMALARI Komisyon KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

3 7 üs(kuvvet) 5 2 ( 4 3 ( 7 5 (

3 7 üs(kuvvet) 5 2 ( 4 3 ( 7 5 ( Bu konuda üslü sayılarla ilgili kazanımları maddeler halide işleyeceğiz Normalde 8 sınıf matematik kazanımları üslü sayılar konusunda negatif üs kavramı ile başlamasına rağmen bu çalışma kağıdında 6sınıf

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

8.Sınıf MATEMATİK. Çarpanlar ve Katlar Konu Testi. Test sayısının tek bölenlerinin sayısı aşağıdakilerden

8.Sınıf MATEMATİK. Çarpanlar ve Katlar Konu Testi. Test sayısının tek bölenlerinin sayısı aşağıdakilerden Çarpanlar ve Katlar Konu Testi MATEMATİK 8.Sınıf Test-01 1. I. 1, her sayının bölenidir. II. 2, asal bir çarpandır. III. Her sayı kendisinin bir çarpanıdır. IV. Bir sayının çarpanları, aynı zamanda o sayının

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Çarpanlara Ayırma 5 52 Polinomlar 53 100 İkinci Dereceden Denklemler 101 120 Karmaşık Sayılar

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR TEST x, y, z sıfırdan farklı gerçel sayılar ve x y = a ve b gerçel sayılar olmak üzere, a + 3b = 18. y + z = 0.

TEMEL KAVRAMLAR TEST x, y, z sıfırdan farklı gerçel sayılar ve x y = a ve b gerçel sayılar olmak üzere, a + 3b = 18. y + z = 0. TEST - 3 TEMEL KAVRAMLAR. x, y, z sıfırdan farklı gerçel sayılar ve x y 0 4. a ve b gerçel sayılar olmak üzere, a + 3b 8 y + z 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) x.z > 0 B) z.y < 0 C)

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR - 1-2 ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR ÖĞRENME ALANI CEBİR İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere Şeklindeki açık önermelere, ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME BÖLME ve BÖLÜNEBİLME A. BÖLME A, B, C, K birer doğal sayı ve B 0 olmak üzere, bölme işleminde, A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir. A = B. C + K dır. Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

ŞAH VE MAT. Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz?

ŞAH VE MAT. Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz? ŞAH VE MAT Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz? O tarihlerde yazılmış olan pek çok evrakta satranç oyunundan söz ediliyor. Daha önce Çin'de de

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız

Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

9SINIF MATEMATİK. Temel İşlem Becerisi < 9. Sınıf

9SINIF MATEMATİK. Temel İşlem Becerisi < 9. Sınıf 9SINIF MATEMATİK Temel İşlem Becerisi < 9. Sınıf YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim

Detaylı

ezberbozan MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI KPSS 2018 eğitimde tamamı çözümlü 30.yıl

ezberbozan MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI KPSS 2018 eğitimde tamamı çözümlü 30.yıl ezberbozan MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2018 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30.yıl KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN: 978-605-241-121-6 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.08.0 ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 0-0 Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren uy gu lana cak olan prog ra ma gö re

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C )

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C ) Önce ÇARPMA ve Bölme, sonra Toplama ve Çıkarma. 3.4+10:5-3 = 12+2-3 = 11 ( C ) Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) 72:24+64:16 = 3+4 = 7 ( B

Detaylı