RTÖĞRTİM MTMTİK 0 RS KİTI Turgut rel Millî ğitim knlığı Tlim ve Terbiye Kurulunun 00504 gün ve 9 syılı (ekli listenin 6 ıncı sırsınd) Kurul Krrı ile 04-05 Öğretim Yılındn itibren 5 (beş) yıl süre ile ders kitbı olrk kbul edilmiştir ulgurlu Mhllesi Üçpınrlr ddesi Nu: 89 Küçükçmlıc - Üsküdr / İstnbul Telefon: 0 6 7 5 4 ks: 0 6 545 87 69
İTÖR Mehmet eşir Hkyeri İL UZMNI Nedime Özcn rıkdl ÖLÇM V ĞRLNİRM UZMNI sr minoğlu Özmercn PRGRM GLİŞTİRM UZMNI oşkun Küçüktepe RHRLİK GLİŞİM UZMNI Niht kbş GÖRSL TSRIM UZMNI Vuslt Merve Özkn SKI YRİ V YILI d Mtbcılık nkr - 04 ISN 978-605-4508-09-9
İstiklâl Mrşı Korkm, sönmez bu şfklrd yüzen l snck; Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ock benim milletimin yıldızıdır, prlyck; benimdir, o benim milletimindir nck Çtm, kurbn olyım, çehreni ey nzlı hilâl! Khrmn ırkım bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl? Sn olmz dökülen knlrımız sonr helâl Hkkıdır Hkk tpn milletimin istiklâl en ezelden beridir hür yşdım, hür yşrım Hngi çılgın bn zincir vurckmış? Şşrım! Kükremiş sel gibiyim, bendimi çiğner, şrım Yırtrım dğlrı, enginlere sığmm, tşrım Grbın âfâkını srmışs çelik zırhlı duvr, enim imn dolu göğsüm gibi serhddim vr Ulusun, korkm! Nsıl böyle bir imnı boğr, Medeniyyet dediğin tek dişi klmış cnvr? rkdş, yurdum lçklrı uğrtm skın; Siper et gövdeni, dursun bu hyâsızc kın oğcktır sn v dettiği günler Hkk ın; Kim bilir, belki yrın, belki yrındn d ykın stığın yerleri toprk diyerek geçme, tnı: üşün ltındki binlerce kefensiz ytnı Sen şehit oğlusun, incitme, yzıktır, tnı: Verme, dünylrı lsn d bu cennet vtnı Kim bu cennet vtnın uğrun olmz ki fed? Şühed fışkırck toprğı sıksn, şühed! ânı, cânânı, bütün vrımı lsın d Hud, tmesin tek vtnımdn beni dünyd cüd Ruhumun senden İlâhî, şudur nck emeli: eğmesin mbedimin göğsüne nâmhrem eli u eznlr -ki şehdetleri dinin temeli- bedî yurdumun üstünde benim inlemeli zmn vecd ile bin secde eder -vrs- tşım, Her cerîhmdn İlâhî, boşnıp knlı yşım, ışkırır ruh-ı mücerret gibi yerden n şım; zmn yükselerek rş değer belki bşım lgln sen de şfklr gibi ey şnlı hilâl! lsun rtık dökülen knlrımın hepsi helâl bediyyen sn yok, ırkım yok izmihlâl; Hkkıdır hür yşmış byrğımın hürriyyet; Hkkıdır Hkk tpn milletimin istiklâl! Mehmet Âkif rsoy
Gençliğe Hitbe y Türk gençliği! irinci vzifen, Türk istiklâlini, Türk umhuriyetini, ilelebet muhfz ve müdf etmektir Mevcudiyetinin ve istikblinin yegâne temeli budur u temel, senin en kıymetli hzinendir İstikblde dhi, seni bu hzineden mhrum etmek isteyecek dâhilî ve hâricî bedhhlrın olcktır ir gün, istiklâl ve cumhuriyeti müdf mecburiyetine düşersen, vzifeye tılmk için, içinde buluncğın vziyetin imkân ve şeritini düşünmeyeceksin! u imkân ve şerit, çok nmüsit bir mhiyette tezhür edebilir İstiklâl ve cumhuriyetine kstedecek düşmnlr, bütün dünyd emsli görülmemiş bir glibiyetin mümessili olbilirler ebren ve hile ile ziz vtnın bütün kleleri zpt edilmiş, bütün tersnelerine girilmiş, bütün ordulrı dğıtılmış ve memleketin her köşesi bilfiil işgl edilmiş olbilir ütün bu şeritten dh elîm ve dh vhim olmk üzere, memleketin dâhilinde iktidr ship olnlr gflet ve dlâlet ve httâ hıynet içinde bulunbilirler Httâ bu iktidr shipleri şhsî menftlerini, müstevlîlerin siysî emelleriyle tevhit edebilirler Millet, fkr u zruret içinde hrp ve bîtp düşmüş olbilir y Türk istikblinin evlâdı! İşte, bu hvl ve şerit içinde dhi vzifen, Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtrmktır Muhtç olduğun kudret, dmrlrındki sil knd mevcuttur Mustf Keml ttürk 4
MUST KML TTÜRK 5
İçindekiler rgnizsyon Şemsı 8 ÜNİT: SYM 9 : Sırlm ve Seçme 0 : Sym Yöntemleri 0 : Sırlm (Permütsyon) ve ktöriyel Kvrmı : Seçme (Kombinsyon) 0 4 : Pscl Üçgeni, Pscl Özdeşliği 5 : inom Teoremi 5 Ünite Ölçme ve eğerlendirme Sorulrı 9 ÜNİT: LSILIK : Koşullu lsılık : Koşullu lsılık : ğımlı ve ğımsız lylrın lsılıklrı : ileşik lylrın lsılıklrı 5 Ünite Ölçme ve eğerlendirme Sorulrı 9 ÜNİT: NKSİYNLRL İŞLMLR V UYGULMLRI 4 : onksiyonlrın Simetrileri ve ebirsel Özellikleri 4 : onksiyon Grfikleri ve önüşümler 4 : onksiyonlrd ört İşlem 47 : İki onksiyonun ileşkesi ve ir onksiyonun Tersi 49 : onksiyonlrd ileşke İşlemi 49 : ir onksiyonun Tersi 5 : onksiyonlrl İlgili Uygulmlr 58 : İki Miktr rsındki İlişkinin onksiyon Kvrmı ile çıklnmsı 58 : Problem lerinde onksiyon Grfik ve Tblolrının Kullnılmsı 58 Ünite Ölçme ve eğerlendirme Sorulrı 6 4 ÜNİT: NLİTİK GMTRİ 67 4: oğrunun nlitik İncelemesi 68 4: nlitik üzlemde İki Nokt rsındki Uzklık 68 4: oğru Prçsını elli rnd ölen Noktnın Koordintlrı 7 4: oğrunun enklemi, İki oğrunun irbirine Göre urumlrı 80 44: nlitik üzlemde ir Noktnın ir oğruy Uzklığı 97 4 Ünite Ölçme ve eğerlendirme Sorulrı 00 5 ÜNİT: ÖRTGNLR V ÇKGNLR 07 5: örtgenler ve Özellikleri 08 5: Özel örtgenler 0 5: Ymuk, Prlelkenr, şkenr örtgen, ikdörtgen, Kre ve eltoit ile İlgili çı ve Uzunluk ğıntılrı 0 5: Ymuk, Prlelkenr, şkenr örtgen, ikdörtgen, Kre ve eltoidin ln ğıntılrı 56 5: örtgenlerin ln ğıntılrının Problem Çözme ve Modellemede Kullnılmsı 56 6
5: Çokgenler 84 5 Ünite Ölçme ve eğerlendirme Sorulrı 9 6 ÜNİT: İKİNİ RN NKLM V NKSİYNLR 05 6: İkinci ereceden ir ilinmeyenli enklemler 06 6: İkinci ereceden ir ilinmeyenli enklemler 06 6: Krmşık Syılr 6: İkinci ereceden ir ilinmeyenli enklemlerin Kökleri ile Ktsyılrı rsındki ğıntılr 6: İkinci ereceden onksiyonlr ve Grfikleri 7 6: İkinci ereceden ir eğişkenli onksiyonlr ve Grfikleri 7 6: İkinci ereceden enklem ve onksiyonlrl Modellenebilen Problemler 5 6 Ünite Ölçme ve eğerlendirme Sorulrı 9 7 ÜNİT: PLİNMLR 45 7: Polinom Kvrmı ve Polinomlrl İşlemler 46 7: Gerçek Ktsyılı ve ir eğişkenli Polinomlr 46 7: Polinomlr Kümesinde İşlemler 49 7: ir Polinomun ( ) İle ölümünden Kln 57 74: Polinomun Kökleri (Sıfır Yerleri) 58 7: Polinomlrd Çrpnlr yırm 6 7: Polinom ve Rsyonel enklemlerin Kümeleri 68 7: Rsyonel İfdeler 68 7: Polinom ve Rsyonel enklemler 70 7 Ünite Ölçme ve eğerlendirme Sorulrı 74 8 ÜNİT: ÇMR V İR 77 8: Çemberin Temel lemnlrı 78 8: Çember ve Çemberin lemnlrı 78 8: Çemberde Kiriş Özellikleri 80 8: Çemberde çılr 84 8: Çemberde Teğet 0 84: irenin Çevresi ve lnı 0 8 Ünite Ölçme ve eğerlendirme Sorulrı 7 9 ÜNİT: GMTRİK İSİMLR 9: Ktı isimlerin Yüzey lnlrı ve Hcimleri 4 9: ik Prizmlr 4 9: ik Pirmitler 8 9: ik iresel Silindir 47 94: ik iresel Koni 5 95: Küre 59 9 Ünite Ölçme ve eğerlendirme Sorulrı 65 ÜNİT SNU ÖLÇM V ĞRLNİRM SRULRI YNIT NHTRI 7 LIŞTIRM SRULRI YNIT NHTRI 7 SÖZLÜK 79 KYNKÇ 8 SML V İŞRTLR 8 7
RGNİZSYN ŞMSI 5 ÜNİT ÖRTGNLR V ÇKGNLR 5 : örtgenler ve Özellikleri 5 : Özel örtgenler 5 : Çokgenler 50 50 40 ünymız yklşık olrk küre biçimindedir nun üzerinde bir üçgen çizmeye klktığımızd o üçgenin iç çılrının toplmı 80 dereceden büyük olur Yukrıdki resim ve şekillerde bu durum gösterilmektedir ys ortdki düzlem hritd bir üçgenin iç çılrının toplmı 80 derecedir Küresel Geometri Öklid (uclides) dışı geometrilerin vrlığı, 9 yüzyıld keşfedildi unu keşfeden dört mtemtikçi şunlrdır: Guss (777-855), N Lobchevsky (79-856), J olyi (80-860) ve Riemnn (86-866) u keşif, üny nın düz değil de yuvrlk olduğunun kıl düzeyindeki keşfinden sonr orty çıkmış ve Öklid geometrisinin mutlk doğru olmdığı nlşılmıştır vid Hilbert, 899 d Geometri nin Temelleri (Grundlgen der Geometri) dlı ypıtınd Öklid in ypmk istediğini (bugünkü nlmd) çok dh mtemtiksel olrk ypmıştır Öklid geometrisi düzlemde geçerlidir ve yerel olrk iyi bir yklştırmdır üny o denli büyüktür ki, küçük uzklıklrı ölçerken bu üny nın eğriliği göze çrpmz Örneğin önümüzdeki kâğıt düzdür ve ord çizeceğimiz üçgenin iç çılrı toplmı 80 derecedir Sonr mtemtikçiler Öklid-dışı geometrileri keşfettiler Prlel doğrulr, düz bir yüzey üzerinde kesişmez Küresel bir yüzeyde bütün doğrulr kesişebilir Hiperbolik bir yüzeyde kesişmeyen birçok doğru bulunur Öklid geometrisini, bir duvr ustsı kullnbilir; m okynust giden bir denizci kullnmz Öklid-dışı geometrilerin keşfedilmesi, slınd bin yıllr dyns d bzı sistemlerin biricik olmdığını gösterdi Öklid geometrisi, kendi içinde tutrlıdır ve olnklı geometri sistemlerinden sdece biridir Yukrıdki şekilde görüldüğü gibi üny üzerindeki bir üçgenin iç çılrı toplmı 80 dereceden büyüktür; m bir hrit üzerindeki üçgenin iç çılrı toplmı 80 derecedir Ünite girişlerinde ünitedeki bölüm bşlıklrı ve ünite konusu ile ilgili trihte ypıln çlışmlr kısc nltılmıştır 07 tkinlik rç ve Gereçler u bölümde progrm kznım ifdelerindeki çıklmlrd öğrencilere keşfettirilmesi istenen konulr it etkinlik ypılmıştır unlrı ilelim İşlenişlerde kznımlr it bilinmesi gereken bilgilerin verildiği bölümdür İnceleyerek Öğrenelim İşlenişlerde kznımlr it öğretilmesi istenen temel özellikler hkkınd geniş çıklmlrın, incelemelerin ypıldığı bölümdür lıştırmlr Kznımlr it pekiştirme çlışmlrının verildiği bölümdür ÜNİT ÖLÇM V ĞRLNİRM SRULRI Ünitede bulunn tüm kznımlr it soru çeşitliliğinin sğlnrk verildiği bölümdür 8
ÜNİT SYM : Sırlm ve Seçme h,diyorlr ki benim hesplmlrım Yılı insn pusulsın uydurdu,hı? ğer öyleyse tkvimden oğmmış yrını ve ölü dünü koprlım Ömer Hyym (044 - ) Yunncd binome sözcüğü iki terim içeren ifdeler için kullnılır inom teoremi denilen ( + y) n = c n 0 mn + c n mn y + c n mn y + c n m n r y r + + n r c n myn özdeşliği ünlü şir, yzr, mtemtikçi, filozof ve stronom Ömer Hyym (044 - ) trfındn keşfedilmiştir Kynk: inom Ktsyılrı ve Pscl Üçgeni 9
: SIRLM V SÇM : Sym Yöntemleri : Sırlm (Permütsyon) ve ktöriyel Kvrmı : Seçme (Kombinsyon) 4 : Pscl Üçgeni, Pscl Özdeşliği 5 : inom Teoremi SYM YÖNTMLRİ ir kümenin elemnlrını symk için, kümenin ypısın göre değişik yöntemlere bşvurbiliriz İlk kl gelen yöntem + = {,,,, n } sym syılrı kümesi ile verilen küme rsınd bire bir eşleme ypmktır u yönteme eşleme yolu ile sym denir Günlük yşmd bir kümenin elemnlrını syrken o kümenin elemnlrını + = {,,, } kümesinin elemnlrı ile bire bir eşleriz = {, e, ı, i, o, ö, u, ü} + = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, } Yukrıd verilen kümesinin ilk elemnı() ile, ikinci elemnı(e) ile ve sırsıyl devm edip en son elemnı(ü) 8 ile eşleştiğinden kümesinin sekiz elemnlı olduğunu söyleriz Toplm Yoluyl Sym,, sonlu ve ikişer ikişer yrık kümeler olsun u kümelerin birleşiminden oluşn kümenin elemn syısı, S( ) = s() + s() + s() olur Herhngi ikisi yrık oln sonlu kümelerin birleşiminden oluşn bir kümenin elemn syısını bu yöntemle bulmy symnın toplm kurlı denir Gençlik ve Spor yrmı etkinliği ypıln bir sttt hlk oyunlrı gösterisi ypn 0, krobsi hreketleri ypn 6, voleybol oynyn 8,futbol oynyn 0 öğrenci bulunduğun göre bu etkinlikte gösteri ypn kç öğrenci vrdır? ullım Stttki tüm öğrenciler, hlk oyunlrı gösterisi ypnlr, krobsi gösterisi ypnlr, voleybol oynynlr ve futbol oynynlrdn oluştuğu için bu sttd gösteri ypn toplm 0 + 6 + 8 + 0 = 44 öğrenci vrdır 0
ir mnvdn 4 tne muz, 6 tne elm ve 8 tne portkl ln bir müşteri toplm kç tne meyve lmıştır? ullım Müşterinin ldığı muz, elm ve portkllrdn oluşn meyvelerin syısı 4 + 6 + 8 = 8 tnedir Çrpm Yoluyl Sym y y Yukrdki tslk çizimde verildiği gibi bir kentinden kentine,, gibi üç frklı yol ve kentinden kentine de y, y gibi iki frklı yol olsun dn ye gitmek için, X = {,, } kümesinden bir yol ve den ye gitmek için de Y = {y, y } kümesinden bir yol kullnılcğındn dn ye birbirinden frklı gidiş yollrı; X Y = {(,y ), (,y ), (, y ), (, y ), (, y ), (, y )} kümesinin elemnlrı ile bellidir u kümenin elemn syısı s(x Y) = s(x)s(y) = = 6 olduğundn dn ye 6 frklı yoll gidilebilir Tslk şekilde de görüldüğü gibi, (, y ), (, y ), (, y ),, (, y ) sırlı ikililerinden her biri dn ye frklı bir gidiş yolu belirtmektedir Yukrıdki gibi, iki şmlı bir işin şmsı m frklı yoll ve şmsı n frklı yoll ypılbiliyos bu iş mn frklı yoll ypılır (mn + ) u durum den fzl şmlı işler için de geçerlidir u şekilde ypıln sym işlemine symnın çrpm kurlı denir 6 frklı gömleği ve 4 frklı pntolonu oln bir kişi bu kıyfetler rsındn gömlek ve pntolonu kç frklı şekilde seçebilir? ullım Gömleklerin bulunduğu küme G = {g, g, g, g 4, g 5, g 6 } ve pntolonlrın bulunduğu küme P = { p, p, p, p 4 } olduğundn G P = {(g, p ), (g, p ), (g, p ), (g, p 4 ), (g, p ), (g, p ), (g, p ), (g, p 4 ),, (g 6,p ), (g 6,p 4 )} kümesinin her bir elemnı bir gömlek ile bir pntolon seçimini ifde ettiğinden bu seçimlerin syısı s(g P) = s(g)s(p) = 6 4 = 4 olur Her bir gömlek için 4 frklı pntolon seçeneği olduğundn, 6 gömlek ve 4 pntolon rsındn gömlek ile pntolon seçimi 64 = 4 frklı şekilde olmktdır
0 kişilik bir sınıftn bir bşkn ve bir bşkn yrdımcısı kç frklı şekilde seçilebilir? ullım 0 kişilik bir sınıftn 0 frklı sınıf bşknı seçilebilir Sınıf bşknını seçtikten sonr kln 9 kişiden de 9 frklı bşkn yrdımcısı seçilebileceğine göre bşkn ve yrdımcısının seçimi çrpım kurlın göre 09 = 80 frklı şekilde olbilir R = { 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} rkm kümesinin elemnlrı ile; Üç bsmklı kç syı, b Üç bsmklı kç çift syı, c Üç bsmklı ve rkmlrı frklı kç syı, ç Üç bsmklı, rkmlrı frklı kç tek syı, d Rkmlrı frklı 00 den küçük ve üç bsmklı kç çift syı yzılbilir? ullım Üç bsmklı bir syının yüzler bsmğı 0 olmycğındn bu bsmk 9 frklı şekilde, onlr bsmğı 0 frklı şekilde ve birler bsmğı yine 0 frklı şekilde seçebileceğinden çrpım kurlın göre bu rkmlrl 900 = 900 tne üç bsmklı syı yzılbilir b Üç bsmklı bir çift syı yzılırken birler bsm- ğını {0,, 4, 6, 8} kümesinden, onlr bsmğını {0,,,,, 8, 9} kümesinden ve yüzler bsmğını {,,,, 8, 9} kümesinden seçeceğimizden çrpım kurlın göre 905 = 450 tne üç bsmklı çift syı yzılbilir Yüzler smğı nlr smğı irler smğı 9 0 0 Yüzler smğı nlr smğı irler smğı 9 0 5 c Üç bsmklı ve rkmlrı frklı syılr yzcğımız- Yüzler nlr irler dn, smğı smğı smğı yüzler bsmğı 9 frklı şekilde (0 kullnılmz!), 9 9 8 onlr bsmğı 9 frklı şekilde (0 rkmdn biri yüzler bsmğınd kullnıldı!) ve birler bsmğı 8 frklı şekilde (0 rkmdn ikisi yüzler ve onlr bsmğınd kullnıldı!) seçilebileceğinden birbirinden frklı 998 = 648 tne üç bsmklı ve rkmlrı frklı syı yzılbilir ç Tek syılrın birler bsmğı tek syı olcğındn, Yüzler nlr irler birler bsmğı 5 frklı şekilde (beş tne tek rkm vr!), smğı smğı smğı yüzler bsmğı 8 frklı şekilde (0 kullnılmz ve rkmlrdn biri kullnıldı!), 8 8 5
onlr bsmğı 8 frklı şekilde (iki rkm kullnıldı!) seçilir Sonuçt üç bsmklı ve rkmlrı frklı tek syılr 588 = 645 = 0 tnedir ikkt edilirse rkmlrı frklı üç bsmklı tek syı yzılırken öncelikle birler bsmğının tek syı olm koşulu dh sonr d yüzler bsmğının 0 olmycğı ve rkmlrın frklı oluşu göz önünde bulundurulmuştur d Yzılck üç bsmklı syının 00 den küçük çift syı olmsı için, yüzler bsmğının {, } kümesinden, birler bsmğının {0,, 4, 6, 8} kümesinden seçilmesi, gerekir Rkmlr d frklı olcğındn yüzler bsmğının durumun göre yrı yrı inceleyelim Yüzler bsmğınd rkmı olnlr 85 = 40 tne, yüzler bsmğınd rkmı olnlr 84 = tne olduğundn 40 + = 7 tne üç bsmklı rkmlrı frklı ve 00 den küçük çift syı yzılbilir SIRLM (PRMÜTSYN) V KTÖRİYL KVRMI Spor toto oyunund ilk on üç mçın hepsini de doğru thmin etmek için birbirinden frklı en z kç tne kolon oynmk gerekir? ullım Her bir mçın üç frklı sonucu olcğındn çrpım kurlın göre on üç mçın = frklı sonucu olbilir tne u yüzden tne frklı kolon ( sırlı on üçlü ) yzmk gerekir unlrı ilelim Her biri n elemnlı oln,,, r gibi r tne küme verilsin(n, r + ) bileşeni kümesinden, bileşeni kümesinden,, r bileşeni r kümesinden lınrk oluşturuln tüm sırlı r lilerin syısı s( r ) = s( )s( ) s( r ) = nn n = n r olur r tne s() = n ve s() = m olsun Æ kç frklı fonksiyon tnımlnbilir? ullım kümesinin her bir elemnını kümesinde ylnız bir elemn götüren eşleme fonksiyon olduğundn; elemnı kümesindeki m frklı elemnl, elemnı kümesindeki m frklı elemnl, n elemnı kümesindeki m frklı elmnl eşlenebilir Çrpım kurlın göre Æ birbirinden frklı mmm m 4444 = mn = s() s() tne fonksiyon tnımlnbilir ntn e n b b b m n m m m f
4 kişinin ktıldığı bir yrışmd sırlm kç değişik biçimde olbilir? ullım Yrışmnın birincisi 4 elemnlı bir kümeden seçilir belli olunc ikincisi elemnlı bir kümeden ve bu şekilde, üçüncüsü elemnlı bir kümeden, dördüncüsü elemnlı bir kümeden seçilecektir Çrpım kurlın göre 4 kişinin ktıldığı bu yrışmd birbirinden frklı 4 = 4 tne değişik sonuç olbilir İnceleyerek Öğrenelim ktöriyel Kvrmı ir elemnlı {} kümesinin sırlnışı (dizilişi) tek türlüdür ( tnedir) İki elemnlı {, b} kümesinin frklı dizilişlerinin syısı b ve b olmk üzere tnedir ( = ) Üç elemnlı {, b, c} kümesinin elemnlrını sırlmk istediğimizde sıry elemnlı kümeden, sıry elemnlı kümeden, sıry elemnlı kümeden seçim ypılcğındn frklı diziliş syısı = 6 dır bc bc cb cb bc cb ört elemnlı {, b, c, d} kümesinin frklı dizilişlerinin syısı 4 = 4 tnedir n elemnlı bir kümeyi sırlmk istersek, sır n frklı şekilde, (n ) n sır (n ) frklı şekilde, n n n sır (n ) frklı şekilde, (n ) sır (n (n )) = frklı şekilde, n sır (n (n )) = frklı şekilde olcğındn çrpım kurlın göre n(n )(n ) tne frklı sırlm elde edilir urd, n(n )(n ) çrpımı kısc n! ile gösterilip n fktöriyel diye okunur Sonuçt; n! = n ^n-h ^n-h = n(n )! = n(n ) (n )! olur Örneğin bun göre, 44444 44444 ( n - )! 4 = 4! = 4!, =! =!, =!,! = olur 0! = olrk tnımlnır şğıd verilen işlemleri yplım 0! ( n - )! b 8! ( n - )! c 6!- 85! 6! - 5! ktöriyel kvrmındn, 0! 0 98! = = 09 = 90 olur 8! 8! 4
( n - )! b ( n - )! = ( n-)( n-)! ( n - )! = n c 6!- 85! 6! - 5! = 65!- 85! 65!- 5! = 5! - 8 5! 55! 45! 4 = = olur 55! 5 ( n+ )! + n( n - )! nn ( - )! ifdesini en sde biçimde yzlım ( n+ )! + n( n - )! nn ( - )! = ( n+ ) n! + n! nn ( - )! = n!( n+ + ) nn ( - )! = ( n+ ) n( n-)( n- )! nn ( - )! (n + ) (n ) = n + n bulunur n olmk üzere ( n + )! n! + ( n-)! = 5 denklemini çözelim ( n + )! = 5 n! + ( n- )! n! = 5 ( n - )! ( n + )! ( n+ ) n! = 5 n( n- )! + ( n - )! ( n- )!( n+ ) nn ( - )! = 5 n = 5 bulunur ( n - )! = 5 ( n + )! n! - ( n - )! ( n - )! = 8 ise n syısını bullım ( n + )! n! - ( n - )! ( n - )! = 8 ( n+ ) n( n-)( n- )! n! - ( n-)( n-)! ( n - )! = 8 ( n+ ) n( n -)! n! - ( n - )! ( n - )! = 8 ( n+ ) n( n- )! - n( n- )( n- )! ( n - )! = 8 n( n- )! 6 n+ -( n-) @ = 8 ( n - )! n(n + n + ) = 8 n = 8 n = 4 bulunur 5
T =! +! +! + + 00! syısının birler bsmğınd hngi rkm vrdır? ullım! =! =! = 6 4! = 4 5! = 0 6! = 70 00!= T = olduğundn! +! + + 00! toplmının birler bsmğı + + 6 + 4 = syısının birler bsmğı oln syısı olur 0 kişinin ktıldığı bir tletizm yrışmsınd ilk üç kç değişik biçimde olbilir? ullım Yrış bşldığınd 0 kişiden herhngi biri olbilir u yüzden yrışın birincisi 0 frklı kişiden biridir irinci belli olduktn sonr ikinci geriye kln 9 kişiden biri, üçüncü ise geriye kln 8 kişiden biri olcğındn çrpım kurlın göre ilk üç 098 = 70 frklı biçimde gerçekleşebilir İnceleyerek Öğrenelim n lemnlı ir Kümenin r li izilişlerinin (Permütsyonlrının) Syısı n elemnlı bir kümenin elemnlrı ile sırlı r liler elde etmeye çlışırsk (r n); sır n şeklinde, sır (n ) şeklinde, r sır (n ) şeklinde,, n (n ) (n ) n r + r sır (n (r )) = (n r + ) şeklinde olcğındn çrpım kurlın göre n elemnlı bu kümenin tüm r li dizilişlerinin syısı n(n )(n ) (n r + ) tnedir (r, n + ) n elemnlı bir kümenin tüm r li dizilişlerinin syısını P (n, r) ile gösterirsek, Pnr (, ) = n( n-)( n-) ( n-( r- )) = ^n- rh! 64447444 8 n( n-)( n- r+ )( n-r) ( n- r)! = n! ( n- r)! Pnr (, ) = n! ( n- r)! elde edilir ikkt edilirse, Pnn (, ) = n! n! n! = = = n! = n( n - ) olur ( n- n)! 0! 6
= {,,, 4 } ve = {b, b, b, b 4, b 5 } olmk üzere Æ bir- birinden frklı kç - fonksiyon tnımlnbilir? ullım b b Æ bire bir eşleme ypılcğındn kümesinden ilk seçilen 4 b 4 elemn (örneğin ) kümesindeki 5 frklı elemnl d eşlenebilir b 5 elemnı kümesindeki elemnlrdn biri ile eşlenirse elemnı geriye kln 4 elemndn biri ile, 4 elemnı geriye kln elemndn biri ile, 5 4 4 elemnı geriye kln elemndn biri ile eşlenebilir Sonuçt Æ birbirinden frklı - eşlemelerin syısı 54 = 0 tnedir f b 4 4 4 f p, f p,, f p b b b b4 b b b b5 b b b4 b5 Yukrıd verilen eşlemelerde görüldüğü gibi = {,,, 4 } kümesinden = {b, b, b, b 4, b 5 } kümesine ypıln tüm - fonksiyonlrın syısı, kümesinin 4 lü dizilişlerinin syısı kdrdır u yklşıml d Æ - fonksiyonlrın syısı, P (5, 4) = 5 4 = 0 olrk bulunur = {, b, c, d, e} kümesinin, eşli dizilişlerinin syısını, b Üçlü dizilişlerinin syısını bullım 5 elemnlı kümesinin beşli dizilişlerinin syısı P(5, 5) = 54 = 5! = 0 dir b kümesinin üçlü dizilişlerinin syısı P(5, ) = 54 = 60 olur P(n, ) = P(n, ) + 50 olduğun göre n + syısı kçtır? ullım P(n, ) = P(n, ) + 50 n(n ) = n(n ) + 50 n(n ) = n(n ) + 5 n n = n n + 5 n = 5 n = 5 bulunur 7
4 mtemtik, 4 fizik ve kimy kitbı bir rf; Kç frklı biçimde sırlnır? b Mtemtik kitplrı ynyn olmk koşulu ile kç frklı biçimde sırlnır? c ynı dersin kitplrı ynyn olmk koşulu ile kç frklı biçimde sırlnbilir? ullım 4 mtemtik, 4 fizik ve kimy olmk üzere toplm kitp bir rf yn yn, P (,) = 09 =! frklı şekilde sırlnbilir b M, M, M, M 4,,,, 4, K, K, K Mtemtik kitplrı bir rd olmk koşulu ile bu kitplrı sırlmk istersek 4 mtemtik kitbı nesne, diğer 7 kitp 7 nesne olmk üzere toplm 8 nesnenin ynyn dizilişlerini düşünmeliyiz u şekilde 8! frklı diziliş elde edilir 4 mtemtik kitbının d kendi rlrındki frklı dizilişleri göz önünde bulundurulurs rnn syı 4! 8! olur c M, M, M, M 4,,, 4 K, K, K Önce ynı dersin kitplrını bir nesne gibi düşünüp sırldıktn sonr bu kitplrın kendi rlrındki frklı dizilişlerini de göz önünde bulundurursk; 4 mtemtik, 4 fizik ve kimy kitbı ynı dersin kitplrı ynyn olmk koşulu ile ynyn,!(4!4!!) = 6(446) = 5766 = 076 frklı biçimde sırlnır = {, 4, 6, 8} kümesinin elemnlrıyl, en z iki bsmğındki rkm ynı oln üç bsmklı kç syı yzılbilir? ullım = {, 4, 6, 8} kümesinin elemnlrı ile yzılbilecek (rkmlrı tekrrlı vey tekrrsız) tüm üç bsmklı syılrdn, rkmlrı frklı üç bsmklı syılr çıkrılırs geriye en z iki bsmğı ynı oln syılr klır kümesinin elemnlrı ile yzılck tüm üç bsmklı syılrın syısı 444 = 64 ve rkmlrı frklı oln üç bsmklı syılrın syısı 4 = 4 olduğundn en z iki bsmğı ynı oln üç bsmklı 64 4 = 40 tne syı yzılbilir 8
lıştırmlr ir inştt çlışn 6 demirci, elektrikçi, 5 su tesistçısı, 4 sıvcı ve 4 boycı olduğun göre bu inştt kç kişi çlışmktdır? li lışveriş için gittiği bir mğzd 4 frklı gömlek, frklı pntoln ve frklı çift ykkbı beğendiğine göre bunlr rsındn gömlek, pntolon ve çift ykkbıyı kç frklı şekilde seçebilir? {0,,,, 4, 5} kümesindeki rkmlrl: 4 bsmklı kç syı yzılbilir? b 4 bsmklı kç tek syı yzılbilir? c 4 bsmklı rkmlrı frklı kç syı yzılbilir? ç 4 bsmklı rkmlrı frklı kç çift syı yzılbilir? d bsmklı, rkmlrı frklı ve 400 den küçük kç çift syı yzılbilir? 4 lışveriş sonrsınd 6 tne 5 kuruş, tne 50 kuruş ve tne lirlık bozuk pr veren kimse kç lir ödeme ypmıştır? 5 koşucunun ktıldığı bir koşud ilk üç kç frklı şekilde olbilir? 6 lfbemizdeki hrfleri kullnrk nlmlı y d nlmsız hrfli kç frklı kelime yzılbilir? 7 = {, b, c, d} kümesinden = {,, } kümesine, Kç frklı fonksiyon tnımlnbilir? b Kç frklı - fonksiyon tnımlnbilir? 8 MHTP kelimesindeki hflerle nlmlı y d nlmsız; Kç frklı sözcük yzılbilir? b T ile bşlyıp M ile biten kç frklı sözcük yzılbilir? 9 0 öğrenci yn yn ön sırd ve 4 öğretmen yn yn rk sırd olmk üzere fotoğrf çektirmek istiyorlr Kç değişik biçimde fotoğrf çektirilebilir? 0 şğıd verilen ifdeleri en sde biçimde yzınız 46!- 5! b 7! - 6! 58!- 47! 6! - 9 7! c ^n - h! n! ^n+ h ^n + h! ^n + h! şğıdki eşitlikleri sğlyn n syılrını bulunuz ^n+ h! n! = 0 b ^n + h! ^n - h! = 0 c ^n + h! n! + ^n-h! = 5 şğıdki ifdelerde verilen n syılrını bulunuz P^n, h- = Pn ^, h b Pn ^ + 4, h= Pn ^, h 9
SÇM (KMİNSYN) = {, b, c, d} kümesi verildiğinde bu kümenin elemnlrı ile oluşturulck üçlü gruplr; {, b, c},{, b, d},{, c, d} ve {b, c, d} olmk üzere 4 tnedir u lt kümelerden her birine kümesinin bir üçlü seçimi (kombinsyonu) denir Her üçlü seçimden! = 6 frklı diziliş elde edileceğinden; {, b, c} Æ (, b, c), (, c, b), (b,, c), (b, c, ), (c,, b), (c, b, ) {, b, d} Æ (, b, d), (, d, b), (b,, d), (b, d, ), (d,, b), (d, b, ) {, c, d} Æ (, c, d), (, d, c), (c,, d), (c, d, ), (d,, c), (d, c, ) {b, c, d} Æ (b, c, d), (b, d, c), (c, b, d), (c, d, b), (d, b, c), (d, c, b) kümesinin elemnlrı ile 46 = 4 frklı üçlü diziliş elde dilir Gerçekten P(4, ) = 4 = 4 4 olur un göre, dört elemnlı kümesinin tüm üçlü seçimlerinin syısı c m vey (4, ) sembolü ile gösterilirse, c 4! P, m = ^4 h olduğunu söyleyebiliriz İnceleyerek Öğrenelim n elemnlı bir sonlu kümenin r elemnlı tüm lt kümelerinin syısı n gösterilsin ^r # nh c m! r = P^nr, h olduğundn, r n Pnr ^, h c m = = r r! n! olur ^n- rh! r! n c m y d (n, r) ile r 6 elemnlı bir kümenin elemnlı kç lt kümesi vrdır? ullım 6 elemnlı bir kümenin ikili seçimlerinin syısı, 6 P^6, h 65 c m = = = 5! olur İçlerinde Keml in de bulunduğu 8 kişilik bir gruptn; ) kişilik komisyon, b) Keml in de bulunduğı kişilik komisyon kç frklı şekilde seçilebilir? ullım 8 876 ) 8 kişinin bulunduğu bir gruptn kişilik bir komisyon seçimi c m = = 56 frklı biçimde olbilir b) İçlerinde Keml in de bulunduğu kişilik komisyonlr, Keml dışınd kln 7 kişi rsındn seçilen ikililerle oluşcğındn bu komisyonlrın syısı, c m = = tnedir 7 76 0
c 6 m= c 8 m olduğun göre n syısını bullım n n+ 6 8 6! 8! 6! 876! c m= c m& = & = n n+ ^6 - nh! n! ^8- ^n+ hh! ^n+ h! ^6 -nh! n! ^6- nh! ^n+ h! ^n+ h! = 8 7 n! & ^n+ h^n+ h n! = 8 7 n! & ^n+ h^n+ h = 8 7 n+ = 8 ve ^n+ h = 7 & n = 6 bulunur G Şekildeki çembersel 7 nokt ile Kç frklı üçgen b ir köşesi oln kç frklı dörtgen çizilebilir? ullım 7 765 u yedi noktnın herhngi bir üçlü seçimi bir üçgen belirteceğinden, c m = = 5 frklı üçgen çizilebilir b ir köşesi oln tüm dörtgenler, diğer ltı nokt rsındn ypılck üçlü seçimlerin syısı kdr olcğındn, 6 654 c m = = 0 tne bir köşesi oln dörtgen çizilebilir 8 erkek ve 0 kız öğrenciden oluşn bir sınıftn erkek ve kız öğrenciden oluşn bir beşli grup kç frklı şekilde seçilebilir? ullım 8 erkek öğrenci rsındn bir ikili seçimi c 8 m frklı şekilde ve 0 kız öğrenci rsındn bir üçlü seçimi c 0 m frklı şekilde ypılcğındn çrpım kurlın göre bu sınıftn ikisi erkek ve üçü kız oln beşli grup, 8 0 87 0 98 c m c m = = 8 0 = 60 frklı biçimde seçilebilir
üzlemde herhngi üçü doğrusl olmyn 6 nokt verilsin u 6 noktnın herhngi ikisinden geçen kç doğru vrdır? ullım 6 5 4 5 4 6 frklı nokt rsındn ypıln her ikili seçim bir doğru belirteceğinden 6 65 bu ltı noktnın herhngi ikisinden geçen c m = = 5 frklı doğru vrdır 6 İnceleyerek Öğrenelim n elemnlı bir kümesinin 0 elemnlı ve n elemnlı birer tne lt kümesi olduğundn ( ve ) n n c m= c m = olur 0 n r # n r, n olmk üzere, n n! n c m = = c m olduğundn r ^n- rh! r! n- r n n c m= c m olur r n- r n n c m= c m & n = + y vey = y y 4 n elemnlı bir kümenin tüm lt kümelerinin syısı, n n n n c m 0 + c m + c m + + c m n = n olur 6 elemnlı bir kümenin en z elemnlı kç tne lt kümesi vrdır? ullım 6 6 6 6 6 6 elemnlı bir kümenin en z elemnlı lt kümelerinin syısı c m+ c m+ c m+ c m+ c m = 4 5 6 olsun u kümenin tüm lt kümelerinin syısı 6 6 6 6 6 6 6 6 c m+ c m+ c m+ + c m= & c m+ c m + = 0 444444 6 0 + 6 + = 64 = 64 7 = 57 olur
4 5 7 8 c m+ c m+ c m- c m işleminin sonucunu bullım 0 5 7 4 5 7 7 76 c m=, c m= 5, c m= c m = = ve 0 5 8 8 c m= c m = 8 olduğundn, 7 4 5 7 8 c m+ c m+ c m- c m = + 5+ - 8 = 9 bulunur 0 5 7 PSL ÜÇGNİ PSL ÖZŞLİĞİ 5 4 0 6 0 4 5 = 0 0 stır + = + + = + + + = + 4 + 6 + 4 + = 4 + 5 + 0 + 0 + 5 + = 5 stır stır stır 4 stır 5 stır Yukrıd verilen üçgen biçimindeki syısl tblo Pscl üçgeni olrk bilinir Pscl üçgeninde tepeden şğı doğru stırlr 0,,,, n stır olrk dlndırılırs herhngi bir n stırd n elemnlı n n n n bir kümenin 0,,,, n elemnlı lt küme syılrı oln c m, c m, c m,, c m syılrı bulunmktdır 0 n Örneğin 5 stırd 5 elemnlı bir kümenin 0,,,, 4 ve 5 elemnlı lt küme syılrı oln; 5 5 5 5 5 5 c m=, c m= 5, c m= 0, c m= 0, c m= 5 ve c m = syılrı bulunmktdır 0 4 5 n n n n c m 0 + c m + c m + + c m n = n olduğundn Pscl üçgeninde herhngi bir n stırd bulunn bütün syılrın toplmı n olur (n ) Pscl üçgeninin bir n stırınd, r sırd bulunn syı ile (r + ) sırdki syı toplnırs (n + ) stırdki (r + ) syı elde edilir Yukrıd verilen Pscl üçgeninde, 5 0 4 0 0 5 0 4 0 0 0 5 4 5 4 5 4 4 4 5 5 + 4 = 5 4 4 5 c m+ c m= c m 0 4+ 6 = 0 4 4 5 c m+ c m= c m 6+ 4 = 0 4 4 5 c m+ c m= c m ve genel olrk n n n + c m+ c m= c m r r + r + olmktdır u son yzdığımız bğıntı Pscl özdeşliği olrk bilinir Pscl özdeşliği vey Pscl üçgeni (Hyym üçgeni) olrk isimlendirilen bu kvrmlr; rlrınd Ömer Hyym ın d bulunduğu Hint, Çin ve İslm medeniyetlerindeki mtemtikçi ve düşünürler trfındn Pscl dn çok önceleri ele lınmış ve incelenmiştir Görüldüğü gibi mtemtiksel bilginin oluşumund frklı kültür ve medeniyetlerden bilim insnlrının rolü olbilmektedir
İnceleyerek Öğrenelim n n n + r, n olmk üzere c m+ c m= c m olduğunu gösterelim (r n) r r + r + n n n ^n-h ^n-^r- hh n ^n-h ^n-rh c m+ c m= + r r + r! ^r + h! (r + ) = = n ^n-h ^n- r+ h ^r+ h+ n ^n-h ^n- r+ h^n- rh ^r + h! n ^n-h ^n- r+ h^r+ + n- rh n ^n-h ^n- r+ h^n + h = ^r + h! ^r + h! (r + ) ^n+ h n ^n-h ^n-^r -hh n + = = c m ^r + h! r + elde edilir 6 6 7 8 c m+ c m+ c m+ c m toplmını bullım 4 n n n + c m+ c m= c m özdeşliği kullnılırs, r r + r + 6 6 7 8 7 7 8 8 8 9 9876 c m+ c m+ c m+ c m= c m+ c m+ c m= c m+ c m= c m= = 97 = 4 9 = 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 8 c m c m bulunur n n n+ n+ n+ c m + c m+ c m+ c m= c m eşitliğini sğlyn n syısını bullım 4 5 6 7 n n n+ n+ n+ n+ n+ n+ n + c m + c m+ c m+ c m= c m& c m+ c m+ c m= c m 4 4 5 6 7 4444 5 4444 6 7 n + n + c m c m 5 6 n+ n+ n+ n+ n + c m+ c m= c m& c m= c m n + = 7 + n = 6 bulunur 4444 6 4444 7 7 n+ c m 7 4
İNM TRMİ, y, n, r ve r n olmk üzere; n n n n n y y y r y n ^ n n n n r r 0 n y n + h - - - = c m + c m + c m + + c m + + c m olur İspt n ^+ yh = ^+ yh ^+ yh ^+ yh ^+ yh olduğundn bu n tne ifdenin çrpımını in zln kuv- 44444444 44444444 ntne vetlerine göre düzenleyelim Önce prntezli n tne ifdenin hiçbirinden y terimi seçmezsek tüm prn- n tezlerde terimleri birbiri ile çrpılır ve çılımd terim n c m elde edilir İkinci dımd prntezlerden herhngi bir tnesinden y terimi (diğerlerinden terimi) lıp çrprsk terim 0 n n- c m y elde edilir u şekilde n prntezden r tnesini seçip bunlrdn y(diğerlerinden ) terimini lıp çrpılırs n (r + ) terim r n- r y r c m elde edilir Sıryl devm ederek son dımd n tne prntezin her birinden y terimi seçilip çrpılırs (n + ) terim c m n n yn elde edilir un göre; n n ^+ yh = ^+ yh^+ yh^+ yh ^+ yh = n n n - n y 444444 4444444 4 r n - y n c m + c m + + c m r r + + c m 0 n y n olur ntne lde ettiğimiz, n n n n n ^ y n n y n r y y n + h - - = c m + c m + + c m + + c m 0 r n binom (iki terimli) çılımınd; n n n n c m, c m, c m,, c m ktsyılrı Pscl üçgeninin n stırındki syılrdır ve (n + ) tnedir 0 n n ştn (r + ) terim r n- r y r c m ve çılımdki her bir terimde ile y nin kuvvetleri toplmı (n r) + r = n olur ( y) n ifdesinin çılımınd tne terim olduğun göre, n syısını bullım ( y) n çılımınd (n + ) terim olduğundn, n + = n = 0 bulunur 5
( + y) 5 ifdesinin çılımını bullım 5 5 5 5 5 5 5 ^ 5 4 4 5 + yh = c m + c m y+ c m y + c m y + c my + c my 0 4 5 = 5 + 5 4 y + 0 y + 0 y + 5 y 4 + y 5 = 5 + 5 4 y + 0 y +0 y + 5 y 4 + y 5 bulunur in zln kuvvetlerine göre ypıln bu çılımdki her terimde ile y nin kuvvetlerinin toplmının 5 olduğun ve ktsyılrın Pscl üçgeninin 5 stırındki syılr olduğun dikkt edelim 5 4 6 4 0 0 5 ( y) ifdesinin çılımını bullım ^- yh = ^+ ^- yhh = c m ^- yh 0 + c m ^- yh + c m^- yh + c m 0 ^-yh 0 = + ( y) + 4y + ( 8y ) = 6 y + y 8y olduğundn, ( y) = 6 y + y 8y bulunur ( + ) ifdesinin çılımını bullım 0 0 ( + ) = c m + c m + c m + c m 0 = + + 4 + 8 = + 6 + + 8 bulunur 6
( + y) 4 ifdesinin çılımını bullım ( + y) 4 = c 4 0 m( ) 4 + 4 c m( ) (y) + 4 c m( ) (y) + c 4 m( ) (y) + c 4 4 m(y)4 = 8 + 4 6 y + 6 4 4y + 4 8y + 6y 4 = 8 + 8 6 y + 4 4 y + y + 6y 4 ( y) 0 çılımınd terimlerden biri 6 y 4 olduğun göre syısını bullım 0 0 r r ^ 0 - yh - = + c m ^- yh + çılımınd r 0 0 - r r 6 4 c m ^- yh = y olsun un göre; r r = 4 olcğındn; 6 y 4 0 6 y 4 0 y y y 4 4 4 6 4 6 4 4 0 6 4 4 = c m ^- h = c m & = c m & = c 0 m 4 4 bulunur c + m 0 çılımındki sbit terimi bullım c + m 0 = ( + ) 0 0 = + c m 0 r ( ) r + çılımınd r 0 c m 0 r ( ) r = r 0 c m 0 r r = r 0 0 r c m r r r terimi sbit terim ise olmk üzere 0 biçiminde olcğındn burd in kuvveti 0 r = 0 r = 5 olmlıdır un göre sbit terim, 5 0 c m 0 5 = 5 0 c m 0 0 = 5 c 0 m 0 = 5 0 c m olur 5 5 5 5 7
lıştırmlr ynı düzlemde çizilen 4 frklı çember en fzl kç noktd kesişir? ir çiçekçide 5 frklı tür çiçek ve çeşit vzo vrdır u çiçekçiden vzo içerisinde frklı tür çiçek kç değişik biçimde seçilebilir? N 6 üçgeninin kenrlrı üzerinde N, N, N,,N 8 noktlrı N N 5 verilmiştir Köşeleri bu 8 noktdn üçü oln kç frklı üçgen çizilebilir? 7 N 8 N 4 N N N 4 Merkezi İzmir de bulunn bir şirket İstnbul ve nkr illerine 4 pzrlm elemnını gönderecektir Her iki ile de en z bir pzrlmcı gideceğine göre bu 4 pzrlmcı kç değişik şekilde görevlendirilebilir? 5 n n n c m+ c m= c m ise n syısı kçtır? 4 6 8 elemnlı bir kümenin en z elemnlı kç tne lt kümesi vrdır? 7 ( 6 + 5 + 4 + + )(4 4 + + ) çrpımı ypıldığınd 6 teriminin ktsyısı kç olur? 8 ( y ) n çılımınd terimlerden biri 6 y 6 ise syısını bulunuz 9 4 6 4 5 0 0 5 = 0 = = = 464 = 4? Yndki Pscl üçgeninin stırlrının belirtildiği syılr ile in kuvvetleri rsındki ilişki görülmektedir İlk beş stırd görülen bu ilişki 5, 6,, n stırlrd d vr mıdır? rştırınız 0 4 6 4 5 0 0 5 6 5 0 5 6 Pscl üçgenini oluşturn syılr rsınd şekilde görüldüğü gibi + = + + = 6 + + + 4 = 0 + + + 4 + 5 = 5 bğıntılrı vrdır u bğıntılrın genel olrk doğru olup olmdığını rştırınız 8
ÜNİT ÖLÇM V ĞRLNİRM SRULRI li nin kitplığınd mtemtik, fizik, biyoloji, kimy ve tne de Türkçe kitbı bulunduğun göre bu kitplıkt toplm kç kitp vrdır? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 {0,,,, 4} kümesinin elemnlrı ile üç bsmklı ve rkmlrı frklı kç syı yzılbilir? ) 4 ) 44 ) 46 ) 48 ) 50 4 kişinin ktıldığı bir bilgi yrışmsınd,, ve 4 kç frklı şekilde olbilir? ) 8 ) 0 ) 4 ) 6 ) 8 4 dn ye üç frklı yol ve den ye ise frklı yol vrdır dn ye gidip tekrr y dönen bir kimse kç frklı şekilde gidip dönebilir? ) 6 ) 4 ) ) 0 ) 8 5 ^n + h! şğıdkilerden hngisine eşittir? n^n- h! n + ) n ) n + ) n + ) n - ) n + n 6 n olmk üzere P(n, ) = P(n, ) + olduğun göre n syısı kçtır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 7! + 44! + 55! + + 99! işleminin sonucu şğıdkilerden hngisidir? )! )! ) 0! ) 0! +! ) 0!! 8 {,,, 4, 5} kümesinin beşli dizilişlerinin kç tnesi ile bşlyıp 5 ile biter? ) 6 ) 8 ) 0 ) ) 4 9
9 = {, b, c} kümesinden = {, y, z, p, t} kümesine kç frklı - fonksiyon tnımlnbilir? ) 48 ) 60 ) 7 ) 80 ) 84 0 s() = s() = 4 ise Æ kç frklı fonksiyon vrdır? ) 48 ) 50 ) 56 ) 60 ) 70 Üçü kız, üçü erkek oln 6 rkdş ynyn fotoğrf çektirmek istiyorlr Kızlrın ynyn olduğu kç değişik diziliş olbilir? ) 4 ) 6 ) 48 ) 96 ) 44 n n n + n + c m+ c m+ c m= c m olduğun göre n syısı kçtır? 4 5 7 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) = {,,, 0,,, } kümesinin üç elemnlı lt kümelerinden kç tnesinin elemnlrı çrpımı pozitif bir syı olur? ) 8 ) 0 ) ) 4 ) 6 4 ir konfeksiyon mğzsınd 4 değişik gömlek ve çeşit pntolon beğenen bir kimse bunlr rsındn gömlek ve pntolonu kç frklı şekilde seçebilir? ) 6 ) 8 ) 9 ) 0 ) 6 5 c - m ifdesinin çılımınd bir terim 6 ise syısı kçtır? ) 5 ) 56 ) 60 ) 64 ) 68 4 6 c - m ifdesinin çılımınd sbit terim kçtır? ) 6 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 7 ynı düzlemdeki 5 çember en çok kç noktd kesişir? ) 0 ) 4 ) 8 ) 0 ) 4 8 ( + y) n çılımınd bştn 6 terim ortnc terim olduğun göre n syısı kçtır? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 0
ÜNİT LSILIK : Koşullu lsılık lise Pscl (6-66) ermt ve Pscl mtemtiksel olsılıklr kurmının kuruculrıydı lsılıklrl ilgili problemlere yvş yvş ilgi duyulmy bşlnmsının ilk nedeni sigortcılığın gelişmesiydi yrıc mtemtikçilerin bu konud düşünmesini teşvik eden bir bşk etken, oyun zrlrı y d krtlrıyl kumr oynyn soylulrın sorduğu belirli sorulrdı Poisson göre: ir düny dmının şns oyunlrı ile ilgili olrk sofu bir Jnsenci ye sorduğu bir problem, olsılıklr hesbının bşlngıç noktsıydı u düny dmı, Pscl probleme des points ile ilgili bir soruyl yklşn, engin bilgiye ship oln centilmen Mere şövlyesi idi Pscl bu problemle ilgili sorulr ilişkin yzışmy bşldığı ermt l birlikte olsılık kurmının temellerini ttı (654) Kynk: Kıs Mtemtik Trihi
: KŞULLU LSILIK : Koşullu lsılık : ğımlı ve ğımsız lylrın lsılıklrı : ileşik lylrın lsılıklrı Üstlerinde,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ve 0 syılrı yzılmış 0 tne topun bulunduğu torbdn rstgele bir top çekildiğini ve bu topun numrsının gizlenerek sdece çift syı olduğunun söylendiğini düşünelim un göre çekilen topun numrsının 4 ten büyük bir çift syı olm olsılığının kç olduğunu bullım 6 0 8 4 5 9 7 Çekilen topun numrsının 4 ten büyük çift syı olmsı olyı ise = {6, 8, 0} olur Çekilen topun numrsının çift syı olm olyı, = {, 4, 6, 8, 0} ve bu olyd örnek uzy = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} kümesidir den 0 kdr numrlnmış bu toplrdn bir tnesi çekildiğinde eğer çift numrlı olduğu söylenmeseydi çekilen topun 4 ten büyük çift numrlı olmsı olsılığı P ( ) = = olurdu s( ) s( ) 0 ys çekilen topun numrsının bir çift syı olduğu söylenerek örnek uzyı drltılmış ve = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} iken = = {, 4, 6, 8, 0} olmuştur u yüzden s ( ) s ( ) P ( ) = = = olmlıdır s ( ) s ( ) 5 olyının gerçekleştiği bilindiğine göre olyının gerçekleşme olsılığını P( \ ) ile gösterirsek, s ( ) s ( ) P( \ ) = = = olur ( = ) s ( ) s ( ) 5 urd P( \ ) = s ( + ) s ( ) s ( + ) s ( ) P ( + ) = = P( \ ) = s ( ) P ( ) s ( ) P ( ) P( ) bulunur
unlrı ilelim ve olylrı örnek uzyınd eş olsı iki oly ve P() > 0 olsun olyının gerçekleştiği bilindiğine göre olyının gerçekleşme olsılığın nın ye bğlı koşullu olsılığı ( nın koşullu olsılığı) denir ve P( \ ) ile gösterilir P ( ) P ( ) P( \ ) = olur ve benzer düşünceyle nin koşullu olsılığı P( \ ) = P ( ) P ( ) bulunur Çift zr tıldığınd üste gelen syılrın ynı olduğu bilindiğine göre zrlrın ikisinin de 6 gelme olsılığını bullım Üste gelen syılrın ynı olmsı olyı = {(, ), (, ), (, ), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} üste gelen syılrın 6 olmsı olyı = {(6, 6)} olsun olyının gerçekleşmesi hlinde olyının olsılığı, P( \ ) = P( ) P( ) s ( ) s ( ) s ( ) = = = bulunur s ( ) s ( ) 6 s ( ) R = {,,, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemnlrı kullnılrk rkmlrı frklı ve iki bsmklı tüm syılr tek tek krtlr yzılrk bir torby konuluyor Torbdn rstgele seçilen bir krttki syının çift syı olduğu bilindiğine göre onlr bsmğındki rkmı olm olsılığı kçtır? ullım Torbdki krtlr yzıln syılr örnek uzyı oluşturur ve = {,, 4, 5, 6, 7,,,, 76} s() = 76 = 4 dir Çekilen krtın çift numrlı olmsı olyı olsun = {, 4, 6, 4, 6,, 7, 74, 76} s() = 6 = 8 ve krtın onlr bsmğı oln çift syı olmsı olyı = {, 4, 6} s() = = olur P ( ) s ( ) s ( ) Sonuçt P ( / ) = = = = = bulunur P ( ) s ( ) s ( ) 8 6 ĞIMLI V ĞIMSIZ LYLRIN LSILIKLRI ve, örnek uzyınd iki oly olsun olyının gerçekleşmesi vey gerçekleşmemesi olyının olsılığını değiştirmiyors, olyı olyındn bğımsızdır denir ve bğımsız iki oly ise P() = P( \ ) olur ğımsız olmyn ve olylrın bğımlı olylr denir ve bğımlı bu iki oly için P() P( \ ) olur
İnceleyerek Öğrenelim lsılıkt Çrpım Kurlı ve, örnek uzyınd eş olsı her hngi iki oly olsun P ( ) P( \ ) = P( ) = P()P( \ ) olur ğer ve bğımsız iki oly P ( ) ise P( \ ) = P() olduğundn, bğıntısın göre P( ) = P()P() elde edilir ir zr tıldığınd; üste tek syı gelmesi olyı, çift syı gelmesi olyı ve sl syı gelmesi olyı olsun, ve olylrının birbiri ile bğımlı olup olmdığını bullım Tek zr tılmsı olyınd örnek uzy = {,,, 4, 5, 6} = {,, 5}, = {, 4, 6} ve = {,, 5} ve = {, 5} olur ile olylrının bğımsız olup olmdıklrın bklım olyının gerçekleşmesi durumund olyının olsılığı; P ( ) s ( ) P ( / ) = = = ve diğer yerden P() = P ( ) s ( ) s ( ) s ( ) = = olduğundn 6 P() P( \ ) olmktdır olyının gerçekleşmiş olmsı olyının olsılığını değiştirmiştir u yüzden ile bğımlı iki olydır ve olylrın bkılırs = ve olyı ols d olms d olyının olsılığı değişmez P( \ ) = P() olduğundn ile bğımsız iki olydır P() = oldu- 4 ve, örnek uzyının herhngi iki olyı olsun P() =, P( ) = 5 5 ğun göre; ve bğımsız olylr ise kçtır? b ve yrık olylr ise kçtır? ullım ve ile bğımsız olylr ise P( ) = P()P() dir 4 P( ) = P() + P() P( ) = + - & = c - m & = 5 5 5 5 5 5 5 = bulunur b ve yrık ise = P( ) = P( ) = 0 olduğundn, P( ) = P() + P() P( ) = P() + P() olur un göre, 4 = + & = bulunur 5 5 5 4
ir zr ve bir mdeni pr birlikte tıldığınd prnın tur ve zrın tek syı gelme olsılığını bullım Prnın tur gelmesi olyı ve zrın tek syı gelmesi olyı olsun ve bğımsız olylr olduğundn prnın tur ve zrın tek gelme ihtimli, P( ) = P()P() = = = olur 6 4 Gerçekten pr ve zrın birlikte tılmsınd örnek uzy = {(Y, ), (Y, ), (Y, ), (Y, 4), (Y, 5), (Y, 6), (T, ), (T, ), (T, ), (T, 4), (T, 5), (T, 6)} prnın tur gelmesi = {(T, ), (T, ), (T, ), (T, 4), (T, 5), (T, 6)} zrın tek syı gelmesi = {(Y, ), (T, ), (Y, ), (T, ), (Y, 5), (T, 5)} ve = {(T, ), (T, ), (T, 5)} bulunur s ( ) 6 6 P( ) = = =, P ( ) = =, P ( ) = = ve P ( ) P ( ) = = s ( ) 4 olduğundn P( ) = P()P() olmktdır olyısıyl ile bğımsız iki olydır 4 İLŞİK LYLRIN LSILIKLRI ir torbd ynı büyüklükte 4 mvi, kırmızı ve 5 srı bilye vrdır Torbdn çekilen bilyeler tekrr torby tılmdığın göre, üst üste bilye çekilirse bilyenin de srı renkli olm olsılığı kçtır? ullım İlk çekilen bilyenin srı olmsı olyı çekilen bilyenin srı olmsı olyı çekilen bilyenin srı olmsı olyı olsun ilyeler tekrr torby tılmdığındn, 5 4 P() =, P() = ve P() = olur, ve olylrının 0 üçünün de gerçekleşme olsılığı ( ve ve nin olsılığı) 5 4 P( ) = P()P()P() = = bulunur ikkt edilirse; 0 5 4 P() =, P() = ve P() = iken ve ve olylrının üçünün de gerçekleşme 0 5 4 ihtimli P( ) = olup <, < ve < olmktdır 0 Sonuçt gerçekleşmesini istediğimiz olylrın syısı rttıkç bunlrın hepsinin de gerçekleşme olsılığının zldığını söyleyebiliriz 5
Mehmet in mtemtik sınvındn geçme olsllığı, izik sınvındn geçme olsılığı ve 5 Kimy sınvındn geçme olsılığı olduğun göre, bu üç dersten sınv giren Mehmet in Mtemtik, izik ve Kimy derslerinden geçme olsılığını bullım Mtemtikten geçme olsılığı P(M) =, fizikten geçme olsılığı P() =, kimydn geçme 5 olsılığı P(K) =, olduğundn bu üç dersten de geçme olsılığı, P(M K) = P(M)P()P(K) = 5 = olur 5 İnceleyerek Öğrenelim ir örnek uzyınd ile olyı bğımsız ise ile ƒ olyı d bğımsızdır Gösterelim, için = ( ) ( ) ve = ƒ olur un göre; ve ƒ yrık olylr olduğundn, P() = P[( ) ( ƒ)] = P( ) + P( ƒ) P( ƒ) = P() P( ) ve ile bğımsız olylr ise P( ) = P()P() olcğındn; P( ƒ) = P() P()P() = P() - P ( ) = P()P(ƒ) ise c 4 4m P ( l) P( ƒ) = P()P(ƒ) olduğundn ile ƒ olylrı bğımsızdır Mehmet'in üniversite sınvını kznm olsılığı, lif'in ise tür u iki oly birbirinden bğımsız olduğun göre, Mehmet vey lif'in sınvı kznm olsılığını, b Ylnız lif'in bu sınvı kznm olsılığını, c Her ikisinin de bu sınvı kznmmsı olsılığını bullım Mehmet'in sınvı kznm olsılığı P(M) = lif'in sınvı kznm olsılığı P() = olsun Mehmet vey lif'in sınvı kznm olsılığı, P(M ) = P(M) + P() P(M ) = 7 + - $ = - = olur 9 9 6
b lif in kznmsı ve Mehmet in kznmmsı olsılığı (ylnız lif in kznm olsılığı) 4 P( Mƒ) = P()P(Mƒ) = $ c - m = $ = olur 9 c lif in kznmm ve Mehmet in kznmm (her ikisini de kznmm) olsılığı, P(ƒ Mƒ) = P(ƒ)P(Mƒ) = c - mc - m = $ = olur 9 Üç kutudn birincisinde 4 srı, 6 yeşil bilye, ikinci kutud srı, 5 yeşil bilye ve üçüncü kutud srı, yeşil bilye vrdır Rstgele bir kutu ve sonr d bu kutudn bir bilye çekiliyor Çekilen bu bilyenin srı olm olsılığını bullım I II III 4 S 6 Y S 5 Y S Y 4 0 6 0 5 0 0 5 5 Srı bilyenin I kutudn gelmesi olyı Srı bilyenin II kutudn gelmesi olyı Srı bilyenin III kutudn gelmesi olyı S Y S Y S Y olsun Srı bilye I kutudn vey II kutudn vey III kutudn gelebileceğine göre çekilen bilyenin srı olmsı olsılığı; 4 4 P( ) = P() + P() + P() = $ + $ + $ = c + + m 0 8 5 0 8 5 6 + 5 + 6 47 = c m = olur 40 0 (4) (5) (8), ve mkineleri bir konfeksiyon tölyesinin sırsıyl %40, %0 ve % 40 ornınd üretimini ypmktdır u mkinelerden gelen üretimin sırsıyl %, % ve %4 ü htlı olduğun göre, üretilen mllrdn rstgele seçilen bir mlın mkinesinden gelen bir htlı ürün olm olsılığını bullım 7
% 40 % 0 % 40 % htlı % htlı % 4 htlı Htlı üretimin mkinesinden gelmesi olyı olsun, 0 6 P ( ) = $ = = olur 00 00 000 500 lıştırmlr İki zr tıldığınd üste gelen syılr toplmının 8 olduğu bilindiğine göre, syılrdn birinin diğerinin ktı olm olsılığı kçtır? {,,, 4, 5} kümesinin elemnlrı kullnılrk rkmlrı frklı iki bsmklı syılr tek tek küçük toplrın üstüne yzılrk bir torby konuluyor Torbdn rstgele çekilen bir toptki syının tek syı olduğu bilindiğine göre, onlr bsmğının olm olsılığı kçtır? 4 beyz, siyh topun bulunduğu bir torbdn rt rd iki top çekiliyor Toplr tekrr torby konulmmk koşulu ile her iki topun d siyh olm olsılığı kçtır? 4 ir torbd ynı büyüklükte 4 mvi, kırmızı ve 5 srı bilye vrdır Torbdn geri tılmmk koşulu ile rt rd bilye çekiliyor Çekilen üç bilyenin de mvi renkli olm olsılığı kçtır? 5 torbsınd 4 mvi, kırmızı, torbsınd mvi, kırmızı top vrdır u torblrdn birisi seçilip içinden bir top çekiliyor Çekilen topun torbsındn gelen mvi top olm olsılığını bulunuz 6 Ynyn durn vzolrdn sinde beyz, kırmızı; sinde beyz, 4 kırmızı çiçek vrdır ynı nd her iki vzodn d birer çiçek lınıp diğer vzoy konuluyor u işlemin sonucund vzolrdki beyz ve kırmızı çiçeklerin bşlngıçtki ile ynı syıd olm olsılığı kçtır? 7 ir torbd eşit syıd srı ve mvi bilyeler vrdır u torbdn geri konulmmk koşulu ile rt rd çekilen iki bilyenin de mvi renkli olm olsılığı olduğun göre, ilk durumd torbd 9 kç bilye vrdır? 8
ÜNİT ÖLÇM V ĞRLNİRM SRULRI İçinde kırmızı, siyh top bulunn bir torbdn rstgele çekilen bir top, içerisinde kırmızı, siyh top bulunn ikinci bir torby tılıyor u işlem sonucund, ikinci torbdn rstgele çekilen bir topun siyh olm olsılığı kçtır? ) 5 ) 7 ) ) ) Çift zr tıldığınd üste gelen her iki syının d sl olduğu bilindiğine göre, bu iki syının toplmlrının 5 olm olsılığı kçtır? ) 9 ) 9 ) ) 9 4 ) 9 5 Rkmlrı {,,, 4, 5, 6} kümesinin elemnlrındn oln üç bsmklı bir syı seçiliyor u syı çift ise yüzler bsmğının 5 olm olsılığı kçtır? ) 6 ) ) ) ) 4 4 torbsınd mvi 4 kırmızı, torbsınd mvi kırmızı bilye vrdır u torblrdn birisi seçilip içinden bir bilye çekiliyor ve bu bilyenin kırmızı olduğu görülüyor u bilyenin torbsındn çekilme olsılığı kçtır? ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 4 ) 7 5 5 ir çift zr tılıyor Üste gelen syılr toplmının 9 olduğu bilindiğine göre, zrlrdn birinin olmsı olsılığı kçtır? ) 8 7 ) 7 6 ) 6 5 ) ) 6 ynı sınv giren Mert, Sibel ve li'nin bu sınvı kznm olsılıklrı sırsıyl 5, 8 5 ve tür u öğrencilerin sınv bşrılrı birbirinden bğımsız olduğun göre; Mert ve Sibel'in kznıp li'nin kznmm olsılığı kçtır? ) ) 4 ) 5 ) 6 ) 8 9
7 ir mdeni pr ve bir zr ynı nd tılıyor Prnın tur ve zrın sl vey tek syı gelme olsılığı kçtır? ) 6 ) 4 ) ) ) 4 8 Yn yn durn üç vzodn I sinde kırmızı, beyz gül, II sinde kırmızı, beyz gül III sünde kırmızı, 4 beyz gül vrdır Vzolrın birinden rstgele bir kırmızı gül lınıyor u gülün III vzod bulunn kırmızı gül olm olsılığı kçtır? ) 6 ) 5 ) 5 ) 4 ) 9 6 kız, 5 erkek öğrenci rsındn iki öğrenci seçildiğinde sinin kız ve sinin erkek olm olsılığı kçtır? ) ) 4 ) 5 ) ) 0 İçinde kırmızı, mvi ve beyz top bulunn bir torbdn rstgele seçilen bilyeden her birinin frklı renkte olmsı olsılığı kçtır? ) 4 ) 4 4 ) 9 8 ) ) 5 4 ) 8 ) 6 ir mdeni pr def tıldığınd en z bir kere yzı gelme olsılığı kçtır? ) 7 8 ) 4 ) 5 8 ) 6 kız ve 5 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptn temsilci seçilecektir Seçilen bu iki temsilciden birinin kız, diğerinin erkek olm olsılığı kçtır? ) ) ) 4 40 ) 5
ÜNİT NKSİYNLRL İŞLMLR V UYGULMLRI : onksiyonlrın Simetrileri ve ebirsel Özellikleri : İki onksiyonun ileşkesi ve ir onksiyonun Tersi : onksiyonlrl İlgili Uygulmlr NİLS URKİ cole Normle Superieure (Pris Yüksek Öğretmen kulu) eski öğrencilerinden oluşn genç rnsız mtemtikçilerinin 9 yıllrınd kurduğu topluluğun tkm dı Nicols ourbki dir Senede iki y d üç kez ypıln toplntılrd, bir konud kitp y d bölüm düzenlenecekse bunu ypmk isteyen bir üyeye görev verilir önerilen bölüm üzerine görüşünü hzırlr ir y d iki yıl sonr çlışm tmmlnınc, ourbki kongresine getirilir, ynen yüksek sesle okunur Her ispt nokt nokt incelenir ve cımsızc eleştirilir ir bölümün bskıy verilmesi için ortlm 8- yıl geçmesi gerekmektedir Örneğin bugün çıkn çlışm, ilk kez 8- yıl önce trtışılmıştır Toplulukt yş sınırı ellidir u kurl dışındki tek kurl hiç bir kurl olmyışıdır, yni oylnmyck bir şey yoktur, m her konud oy birliği gerekir ir üye kötü bulduğu bir bölümü veto eder öylece o bölüm bskıy gitmeyip yeniden incelemeye lınır Nicols ourbki tkm topluluk dıyl yyımlnn ve periyodik olrk elden geçirilip düzeltilen dev bşvuru kitplrı lements de mthemtiques (Mtemtikte temel bilgiler) ile çğdş mtemtikte büyük etki bırktılr ourbki nin mtemtiğe ktkılrı özellikle yüksek ve ortöğretim mtemtik müfredt progrmlrın önemli ölçüde ynsımıştır Kynk: Mtemtik ünysı ergisi 4
: NSİYNLRIN SİMTRİLRİ V İRSL ÖZLLİKLRİ : onksiyon Grfikleri ve önüşümler : onksiyonlrd ört İşlem NKSİYN GRİKLRİ V ÖNÜŞÜMLR d üzlemde bir e eğrisi ve d doğrusu verilsin Şekilde görüldüğü gibi e eğrisinin e eƒ her noktsının d doğrusun göre simetriklerinden oluşn eƒ eğrisine, e eğrisinin d P Pƒ doğrusun göre simetriği denir ir çokgenin vey bir eğrinin düzlemde bir yerden bir yere belli bir doğrultu ve yönde yer değiştirme hreketine öteleme denir Şekilde f eğrisinin yty doğrultud f pozitif yönde 4 birim ve dh sonr d düşey olrk negtif yönde birim öte- lenmesiyle fƒ eğrisi elde edilmiştir u bölümde y = f() kurlı ile verilen bir fonksiyonun fƒ grfiği ile y = f() + b, y = f( ), y = kf(), y = f(k), y = f() ve y = f( ) kurlı ile verilen fonksiyonlrın grfikleri rsındki ilişkiyi inceleyeceğiz (, b, k ) f: Æ, f() = fonksiyonu verilsin f() + b f( ) c f() ç f() d f() e f( ) fonksiyonlrının grfiğini çizerek bu grfiğin, f() = fonksiyonunun grfiğine hngi dönüşüm uygulndığınd elde edilebileceğini bullım Y f() + f: Æ, f() = ise, g() = f() + = + olduğundn, f() (0, 0), (, ), (, ), (, y) f ve (0, ), (, ), (, ), (, y + ) g olur f ve g fonksiyonlrının grfiğini çizdiğimizde, f fonksiyonunun grfiğinin Y ekseni doğrultusund pozitif yönde birim ötelenmesi X ile g fonksiyonunun grfiğinin elde edildiği görülür Sonuçt f() + b fonksiyonunun grfiği, f() fonksiyonunun grfiğinin Y ekseni boyunc b birim ötelenmesi ile elde edilir (b > 0 ise pozitif yönde, b < 0 ise negtif yönde öteleme ypılır) Y b f() = h() = f( ) = ( ) olduğundn, y = f() = (0, 0), (, ), (, ) f ve y = h() = ( ) (, 0), (, ) (, ) h olur f() f( ) f ve h fonksiyonlrının grfiği çizildiğinde; f() grfiğinin X ekseni boyunc pozitif yönde birim ötelenmesi ile f( ) fonksiyonunun X grfiğinin elde edildiğini görürüz un göre f( ) fonksiyonunun grfiğinin, f() fonksiyonunun grfiğinin X ekseni boyunc birim ötelenmesi ile elde edildiğini söyleyebiliriz ( > 0 ise pozitif yönde, < 0 ise negtif yönde öteleme ypılır) 4
c f() = k() = f() = olduğundn; y = k() = (0, 0), (, ), (, ) k olur f ve k fonksiyonlrının grfikleri incelendiğinde k() = f() fonksiyonunun grfiğinin koll- rının f() fonksiyonunun kollrındn dh kplı olduğu görülür Y f() f() X ç f() = p() = f() = () = 4 olduğundn, y = p() = 4 (0, 0), (, 4), (, 4) p olur p() = f() = 4 fonksiyonunun grfiği ynd verilmiştir Y 4 f() f() X d f() = r() = f() = olduğundn, y = r() = ise (0, 0), (, ), (, ) r olur Y f() f() fonksiyonunun grfiği, şekilde görüldüğü gibi f() grfiğinin X eksenine göre simetriğidir X f() e f() = s() = f( ) = ( ) = f() = f( ) olduğundn f() ile f( ) fonksiyonlrının grfiği çkışır f( ) in grfiği f() grfiğinin Y eksenine göre simetriğidir Y f() = f( ) y (, y) (, y) X f() = + fonksiyonunun grfiği birim sğ ve b birim yukrı doğru ötelenerek g() = 6 + fonksiyonunun grfiği elde ediliyor un göre + b toplmını bullım (, b 0) f() = + = ( ) ve g() = ( ) + olduğundn g() = f( ) + =, b = + b = 4 bulunur 4
f:, f() = fonksiyonu verilsin f() b f( ) fonksiyonlrının grfiğini çizerek bu grfikleri f fonksiyonunun grfiği ile krşılştırlım f() = f() = olduğundn y = ise, f() Y f() (, y) (0,0), (, ), (, ) f (0,0), (, ), (, ) f olduğundn f ve g fonksiyonlrının grfikleri şekildeki gibidir ikkt edilirse (, y) f (, y) f olur u durumd f() fonksiyonunun grfiği f() fonksiyonunun grfiğinin X eksenine göre simetriğidir (, y) X b y = f() = h() = f( ) = ( ) = Y f() = (, y) (, y) olduğundn y = h() = ise (0, 0), (, ), (, ), (, 8) h (0, 0), (, ), (, ), (, 8) f X olduğundn h() = f( ) = fonksiyonunun grfiği yndki gibi olur urd her (, y) f için (, y) h olduğundn f( ) fonksiyonunun grfiği f() grfiğinin Y eksenine göre simetriğidir f( ) = unlrı ilelim Çift onksiyon f: [, ] Æ fonksiyonu verilsin Her [, ] için f( ) = f() ise f çift fonksiyondur f (, y) Y (, y) y = f() = f( ) (, y) f ve (, y) f olduğundn çift fonksiyonlrın grfikleri Y eksenine göre simetriktir Tek onksiyon f: [, ] Æ fonksiyonu verilsin Y X [, ] için; y (, y) f f( ) = f() ise f tek fonksiyondur f tek fonksiyonu verildiğinde; y = f() = f( ) (, y) f (, y) f olduğundn tek fonksiyonlrın grfikleri bşlngıç noktsın (orijine) göre simetriktir (, y) y X 44
f:, f() = + ve g: Æ, g() = fonksiyonlrının tek vey çift olup olmdıklrını bullım f: Æ, f() = + ise f( ) = ( ) + = (, y) Y (, y) + ve y f() = f( ) = + olduğundn f çift fonksiyondur y = f() = + çift fonksiyonund, (0, ) f, (, ) ve (, ) f, (, y) ve (, y) f olduğundn, f fonksiyonunun grfiği Y eksenine göre simetriktir ( ) g: Æ, g() = g( ) = ( ) = = g() X olduğundn g tek fonksiyondur Y f() = y = f() = (0, 0), (, ), c, m, c-, - m, (, ) f y (, y) 8 8 için (, y) ve (, y) f olduğundn y = fonksiyonunun grfiği ynd görüldüğü gibi bşlngıç noktsın göre simetrik olur X ƒ(, y) y Grfik çizme özelliği oln bir dinmik geometri / mtemtik yzılımı y d grfik hesp mkinsı yrdımıyl f: Æ, f() = + fonksiyonunun grfiğini çizerek bu grfiği; f( ) b f() c f( ) fonksiyonlrının grfiği ile krşılştırlım Yzılımı çıp Giriş bölümüne sğ trft yer ln sekmesi yrdımıyl f() = + yzrk f() fonksiyonunun grfiğini dh sonr d f( ) = ( ) ( ) + ( ) = fonksiyonunun grfiğini çizdirelim Şekilde görüldüğü gibi f() ile f( ) grfikleri Y eksenine göre simetriktir u grfikler birbirinden frklı olduğundn f fonksiyonu çift değildir 45
b Yzılımı çıp Giriş bölümüne sğ trft yer ln sekmesi yrdımıyl f() = + yzrk f() fonksiyonunun grfiğini dh sonr d f() = ( + ) = + fonksiyonunun grfiğini çizdirelim Şekilde görüldüğü gibi f() ile f() grfikleri X eksenine göre simetriktir c Yzılımı çıp Giriş bölümüne sğ trft yer ln sekmesi yrdımıyl f() = + yzrk f() fonksiyonunun grfiğini dh sonr d f( ) = + + fonksiyonunun grfiğini çizdirelim Şekilde görüldüğü gibi f() ile f( ) grfikleri birbirinden frklı olduğundn f tek fonksiyon değildir f:, f() = b g: Æ, g() = 0 fonksiyonlrınının tek vey çift olup olmdıklrını bullım f çift fonksiyon ise f( ) = f() olcğındn, f() = f( ) = ( ) ( ) = + f() f( ) bulunur un göre f çift fonksiyon değildir f tek fonksiyon ise f() = f( ) olcğındn, f() = f( ) = (( ) ( )) = ( + ) = ve f() f( ) f tek fonksiyon d değildir Sonuçt f ne çift ne de tek fonksiyondur b g() = 0 g( ) = 0 g() = g( ) olduğundn Y g çift fonksiyondur g() = 0 g( ) = 0 = 0 g() = g( ) olduğundn g tek fonksiyondur Sonuçt y = g() fonksiyonu hem çift hem de tek fonksiyon u örnekte görüldüğü gibi bir fonksiyon hem tek hem de çift fonksiyon olbileceği gibi tek vey çift fonksiyon olmybilir y = 0 X 46
NKSIYNLR ÖRT İŞLM olmk üzere f: Æ ve g: Æ fonksiyonlrı için; f + g: Æ, (f + g) () = f() + g() fonksiyonun f ile g fonksiyonunun toplmı, f g: Æ, (f g) () = f() g() fonksiyonun f ile g fonksiyonlrının frkı, fg: Æ ; (fg) () = f()g() fonksiyonun f ile g fonksiyonlrının çrpımı denir f f f ( ) için g() 0 ise, : Æ, c m ( ) = fonksiyonun f fonksiyonunun g g g g ( ) fonksiyonun bölümü, k olmk üzere y = kf() fonksiyonun d f fonksiyonunun k syısı ile çrpımı denir kf ile gösterilir un göre (kf) () = kf() olur f f: Æ ve g: Æ ise f + g, f g, fg ve (g() 0) fonksiyonlrının tnım kümesi g olur f: Æ, f() = + ve g: Æ, g() = fonksiyonlrı veriliyor f + g fonksiyonunun grfiğini çizerek f ve g fonksiyonlrı ile krşılştırlım f() = + ve g() = Y Y ise f g f + g (f + g) () = f() + g() = + + = ( + ) olur (0, ), (, ) f, (0, 0), (, ), (, ) g ve (, ), (, 0), (0, ) f + g olduğundn f, g ve f + g fonksiyonlrının grfikleri yndki gibi olur X X f: Æ, f() = + ve g: Æ, g() = fonksiyonlrı verilsin f f + g b f g c fg ç g fonksiyonlrını bullım f + g: Æ, (f + g) () = f() + g() = ( + ) + = + b (f g) () = f() g() = + = (f g) () = c (fg) () = f()g() = ( + ) = + f f ( ) d c m ( ) = = + olur ( 0) g g ( ) 47
f: {,, 0,, } Æ, f() = ve g: {,, 0,, } Æ, g() = fonksiyonlrı veriliyor un göre, f g fonksiyonunun tnım ve görüntü kümesini bullım f g fonksiyonunun tnım kümesi = {,, 0,, } {,, 0,, } = {, 0, } olduğundn (f g) () = {(f g) ( ), (f g) (0), (f g) ()} olur (f g) () = f() g() = ( ) ( ) = 4 + = 4 olduğundn, (f g) ( ) = 4( ) ( ) = 4 + = 5 (f g) (0) = 40 0 = (f g) () = 4 = 4 = bulunur Sonuçt (f g) () = {5,, } olur lıştırmlr Ynd verilen f ve g fonksiyonlrının grfiklerine ( f+ g)( -) göre ifdesinin değerini bulunuz ( fg)( 0) f: Æ, f() = fonksiyonu verilsin f() + b f() c f() ç) f( ) d f() e f( ) Y f g fonksiyonlrının grfiklerini çizerek f fonksiyonunun grfiğinden hngi dönüşümle elde edilebileceğini bulunuz X f: Æ fonksiyonunun grfiği ynd verilmiştir un göre, f( + ) b f() Y f c f( ) ç ( f() fonksiyonlrının grfiklerini çiziniz 4 f: [, ] Æ, f() = X g: [0, ] Æ, g() = fonksiyonlrı verilsin f + g fonksiyonunun tnım ve görüntü kümesini bulunuz b f, g ve f + g fonksiyonlrının grfiklerini çizerek krşılştırınız 5 Gerçek syılr kümesinde f() = + ve g() = fonksiyonlrı veriliyor un göre; (f + g) () b (fg) (0) f c c m^- h g değerlerini bulunuz 48
: İKİ NKSİYNUN İLŞKSİ V İR NKSİYNUN TRSİ : onksiyonlrd ileşke İşlemi : ir onksiyonun Tersi onksiyonlrd ileşke İşlemi y g z f ve g fonksiyonlrının bileşkesini şekildeki gibi rt rd iki işlem ypn bir mkineye benzetebiliriz u bileşke mkinede bir girdisi önce f bölümünde işlenerek y = f() olrk g bölümüne girecek ve ord d işlenerek z = g(y) olrk çıkcktır u şekilde önce f sonr g bölümlerinin işlem yptığı bu bileşke mkineyi gof ile gösterirsek (gof) () = z olur iğer yndn, f() = y ve g(y) = g(f()) = z olduğundn ve den (gof) () = z = g(f()) olduğu görülür unlrı ilelim ileşke onksiyon f: Æ ve g: Æ fonksiyonlrı verilsin kümesindeki her elemnı f ve g fonksiyonlrı yrdımı ile kümesinde ylnız bir elemn gönderen eşlemeye f ile g fonksiyonlrının bileşkesi denir Yndki şemd görüldüğü gibi önce f sonr d g nin işlem yptığı bileşke fonksiyon gof ile gösterilir urd o bileşke işlemini gösteren semboldür f g y z f() = y, g(y) = z g(f()) = z ve (gof) () = z olduğundn (gof)() = g(f()) elde edilir enzer düşünceyle (fog) () = f(g()) olur gof f: Æ, f() = + ve g: Æ, g() = fonksiyonlrı verilsin (gof) () ve (gof) () b (fog) () ve (fog) () değerlerini bullım (gof) () = g(f()) ve f() = +, g() = olduğundn; (gof) () = g(f()) = g( + ) = (+ ) = + 4 (gof) () = + 4, (gof) () = + 4 = 4 + 4 = 8 bulunur b (fog) () = f(g()) ve f() = +, g() = olduğundn, (fog) () = f(g()) = f() = + (fog) () = + = 6 bulunur ikkt edilirse, (fog) () = +, (gof) () = + 4 ve (fog) () (gof) () olmktdır u yüzden fonksiyonlrd bileşke işleminin değişme özelliği yoktur 49
Metin İstnbul'un Kdıköy ilçesinde, li Mnis'nın khisr ilçesinde ve Kerem urs'nın Mudny ilçesinde doğmuştur = {Metin, li, Kerem}, = {Kdıköy, khisr, Mudny} ve = {İstnbul, Mnis, urs} olmk üzere, f: Æ, kümesinin her bir elemnı doğduğu ilçe ile eşlenecektir g: Æ, kümesindeki her ilçe bğlı bulunduğu il ile eşlenecektir biçiminde tnımlnn fonksiyonlrı inceleyelim f g Metin Kdıköy İstnbul Şemd görüldüğü gibi; li khisr Mnis f(metin) = Kdıköy, g(kdıköy) = İstnbul Kerem Mudny urs f(li) = khisr, g(khisr) = Mnis f(kerem) = Mudny, g(mudny) = urs olup gof (gof) (Metin) = İstnbul, (gof) (li) = Mnis ve (gof) (Kerem) = urs olmktdır f fonksiyonu kümesindeki kişileri doğduğu ilçelere ve g fonksiyonu bu ilçeleri bğlı bulunduğu illere eşlemektedir gof fonksiyonu d kümesindeki her bir kişiyi doğrudn doğduğu il ile eşleyerek önce f sonr d g fonksiyonunun yptığı bileşke eşlemeyi ypmktdır onksiyonlrd bileşke işleminin birleşme özelliğinin vr olduğunu gösterelim f: Æ, g: Æ ve h: Æ fonksiyonlrı verilsin Æ y y Æ z z Æ k [(hog)of] () = (hog) (f()) = (hog) (y) = h(g(y)) = h(z) = k ve [ho(gof)] () = h[(gof) ()] = h[g(f())] = h(g(y)) = h(z) = k olduğundn [(hog) of] () = [ho (gof)] () olmktdır u yüzden fonksiyonlrd bileşke işleminin birleşme özelliği vrdır f: Æ prçlı fonksiyonu,, sls f ( ) = ), sl değilse biçiminde tnımlnıyor un göre (fof) () değerini bullım (fof) () = f(f()) ve sl bir syı olduğundn f() = = 4 olur Sonuçt, (fof) () = f(f()) = f(4) = 4 = 8 bulunur 50
f() = ve g() = + fonksiyonlrı için (fog)() + (gof)() = n ise n syısını bullım (fog)() = f(g()) = f( + ) = f(5) = 5 = 5 (gof)() = g(f()) = g( ) = g() = + = ve (fog)() + (gof)() = 5 + = 8 = 7 = n n = 7 bulunur Ynd verilen f ve g fonksiyonlrının grfiklerine göre, g( - ) + ( fog)( ) değeri kçtır? ullım f( - 4) g Y Grfikte (, ) g g( ) =, (, ) g g() = (, ) f f( ) = ve ( 4, ) f f( 4) = olduğundn 4 X g( - ) + ( fog)( ) + fg ( ( )) + f( - ) = = f( - 4) - - + = =- - f bulunur ir onksiyonun Tersi 4 h 4 6 4 g 4 6 8 4 f 4 6 8 h g f = {,,, 4}, = {, 4, 6, 8} ve = {, 4, 6} olmk üzere yukrıd verilen, h: Æ, g: Æ ve f: Æ fonksiyonlrının yptığı eşlemelerde okun yönünü ters çevirdiğimizde elde edilen eşlemeleri, h : Æ, g : Æ ve f : Æ ile gösterelim ve h, g, f eşlemelerinin fonksiyon olup olmdıklrını inceleyelim h : Æ eşlemesinde, tnım kümesi oln nin her bir elemnı değer kümesinde ylnız bir elemnl eşlenmemiştir h : 4 Æ ve 4 Æ eşlemeleri nedeniyle h eşlemesi fonksiyon değildir 5
g : Æ eşlemesinde, 6 Æ, 6 Æ 4 ve 8 elemnı eşlemeye ktılmmıştır u yüzden g eşlemesi de fonksiyon değildir f : Æ eşlemesinde tnım kümesi oln nin her elemnı değer kümesinde ylnız bir elemnl eşlendiğinden f bir fonksiyondur ikkt edilirse f eşlemesi bire bir ve örten olduğundn f eşlemesi bir fonksiyon olmuştur g ve h fonksiyonlrı bire bir ve örten olmdığındn g ve h eşlemeleri fonksiyon olmmktdır İnceleyerek Öğrenelim Ters onksiyon f: Æ, f = {(, y) : ve y } bire bir ve örten fonksiyon olmk üzere, f : Æ, f = {(y, ) : (, y) f} fonksiyonun f nin ters fonksiyonu denir ve f ile gösterilir Şem- f f y d verilen f: Æ fonksiyonund ve y için, f f y olduğundn, f() = y f (y) = olur (f of) () = f (f()) = f (y) = (f of) () = olduğundn (f of) fonksiyonu kümesinde bir birim fonksiyondur bu yüzden f of = I yzılır enzer şekilde, y için (fof ) (y) = f(f (y)) = f() = y (fof ) (y) = y olduğundn fof = I olur Sonuçt f: Æ bire bir ve örten fonksiyon ise f nin bileşke işlemine göre tersi f : Æ fonksiyonu d (bire bir ve örten) bir fonksiyondur nlitik düzlemde (, y) noktsının y = doğrusun göre simetriği (y, ) olduğundn f = {(, y) : y = f()} ile f = {(y, ) : f (y) = } fonksiyonlrının grfikleri y = doğrusun göre simetriktir f: Æ bire bir ve örten bir fonksiyon ise, (, y) f (y, ) f (, y) (f ) olduğundn (f ) = f olur = {, 0,, } olmk üzere f: Æ, f() = bire bir ve örten fonksiyonu verilsin un göre f : Æ fonksiyonunun kurlını bullım Y f (, y) f (y, ) y = X f fonksiyonu bire bir, örten ve f() = olduğundn f f() = = {f( ), f(0), f(), f()} olur f( ) = ( ) =, f(0) = 0 =, f() = = ve 0 f() = = olduğundn = f() = {,,, } olur f f = {(, ), (0, ), (, ), (, )} ise f = {(, ), (, 0), (, ), (, )} eşlemesi de bir fonksiyondur f fonksiyonu için eşleme kurlı f() = ise f fonksiyonu için eşleme kurlı f () değerini bullım 5
f() = y f (y) = olduğundn, y = y = + = f (y) f (y) = y + ters fonksiyonunun eşleme kurlı olur Gerçekten, f - ( ) = + & f - (- ) = - + = - =- & f () = + f ( ) = - 0 f (- ) = - + = = 0 & f ( ) = 0 - f ( ) = + = & f () = ve - 4 f ( ) = + = = & f () = olmktdır f: Æ, f() = + b fonksiyonun ters fonksiyonunu bullım ( 0) f() = y f (y) = olduğundn, y- b f() = + b = y = = f (y) f - b () = olur f fonksiyonu bire bir ve örten olduğundn f fonksiyonu d bire bir ve örten bir fonksiyondur nlitik düzlemde f fonksiyonunun grfiği yndki şekilde verilmiştir un göre f fonksiyonunun grfiğini çizelim Y f f ile f birbirinin tersi iki fonksiyon ise (, y) f için (y, ) f ve (, y) noktsının y = doğrusun göre simetriği de (y, ) olduğundn f fonksiyonunun grfiği şekilde görüldüğü gibi f fonksiyonunun grfiğinin y = doğrusun göre simetriği lınrk çizilir (, y) Y f X y = f X (y, ) oldu- - f: {} Æ {}, f() = fonksiyonunun tersini bullım - - f() = y = y = y y y = y - y - y = (y ) = = f (y) f - - () = bulunur f ( ) = y - - ğundn ters fonksiyonun tnım kümesi (f nin değer kümesi) {} olmlıdır 5 - -
+ b f() = c + d tnım ve değer kümesini bullım kurlı ile verilen f fonksiyonunun ters fonksiyonunu ve f fonksiyonunun en geniş f() = y + b c + d = y + b = cy + dy dy + b = cy - dy + b dy + b = (cy ) = = f cy - (y) f - d + b () = c - olur Sonuçt + b - - d + b f ( ) = & f ( ) = c + d c - - d d c + d 0 ve c 0 ve! olcğındn f: '- Æ $ olur c c c c f ve g fonksiyonu Æ bire bir ve örten, I birim fonksiyon olsun (fog) = g of olduğunu gösterelim (fog) ile (g of ) fonksiyonlrı için, (fog) o (g of ) = ((fog)og )of = (fo(gog ))of ( o işleminin birleşme özelliği) = (foi)of (gog = I) = fof = I (I birim fonksiyon) (g of ) o (fog) = ((g of )of) og = (g o(f of))og ( o işleminin birleşme özelliği) = (g oi)og (f of = I) = g og = I (I birim fonksiyon) olduğundn (fog) ile (g of ) birbirinin tersi fonksiyonlrdır Sonuçt (fog) = g of olur Ynd grfiği verilen f fonksiyonu ve örtendir un göre, ifdesinin değerini bullım f( 5) + f - ( 4) ( fof)( ) f 4 Y f fonksiyonun grfiğine göre, (5, 4) f f(5) = 4, (0, 4) f f(0) = 4 f (4) = 0 5 X (, 0) f f() = 0 olduğundn, - f( 5) + f ( 4) ( fof)( ) 4 0 4 4 = - + = - = - =- ff (( )) f( 0) 4 bulunur 4 54
Gerçek syılr kümesinde tnımlı bir f fonksiyonu için f( ) = 4 olduğun göre; f(4) değerini, b f() kurlı yrdımı ile f(4) değerini bullım f( ) = 4 ve f( ) = f(4) = 4 = 6 bulunur u değer f( ) = 4 ifdesinde yerine yzılırs, f(6 ) = 6 4 f(4) = 4 = 8 bulunur b f( ) = 4 ifdesinde = t = t + yzılırs f(t) = (t + ) 4 f(t) = t + 4 4 = t f(t) = t f() = bulunur un göre f(4) = 4 = 8 olur - Gerçek syılr kümesinde tnımlı f fonksiyonu için, fc m = + olduğun göre; f() değerini b f() kurlını bulduktn sonr f() değerini bullım - - - fc m = + ve f c m = f( ) & = & = 5 bulunur un göre, - 5-4 fc m = + ifdesinde = 5 yzılırs, fc m = 5+ & fc m = 6 & f( ) = 6 olur - - b fc m = + ifdesinde, = y ve = y + yzılırs, f(y) = (y + ) + f(y) = y + f() = + ve f() = + = 8 bulunur (fog) () = ve f() = + olduğun göre g() fonksiyonunu bullım (fog) () = f(g()) = ve f() = + olduğundn, f(g()) = g() + = g() = 5 bulunur Gerçek syılr kümesinde tnımlı f ve g fonksiyonlrı için f() = 4 ve (gof) () = olduğun göre; g(0) değerini b g() kurlı yrdımıyl g(0) değerini bullım 55
f() = 4 ve (gof) () = g(f()) = olduğundn, g(f()) = g( 4) = g( 4) = g(0) 4 = 0 = değerini g( 4) = g(0) = bulunur bğıntısınd yzrsk b Yol: (gof) () = g(f()) = g( 4) = olduğundn g( 4) = g(y) y = 4 ve y 4 = + değerleri bğıntısınd yerine yzılırs g( 4) = y + 4 + 4 g(y) = c m g() = c m ve 0+ 4 g(0) = c m = = elde edilir Yol: (gof) () =, f() = 4 f () = + 4 ve (gof)of = go(fof ) = goi = g ((gof)of ) () = g() olur un göre; g() = ((gof)of ) () =(gof) (f + 4 + 4 ()) = (gof) c m= c m ve 0+ 4 g(0) = c m = = bulunur lıştırmlr oğl syılr kümesinde tnımlı f() = ve g() = fonksiyonlrı için (fog) () ve (g of ) () kurllrını bulup krşılştırınız - f: {} Æ {}, f() = - f fonksiyonunun kurlını bulunuz fonksiyonu tnımlnıyor Yndki f ve g fonksiyonlrının grfiklerine göre; Y (gof)() b (gof)( ) f g c (fog )(0) değerlerini bulunuz X 56
4 Ynd verilen şekilde, f() = ve g fonksiyonunun grfikleri verilmiştir Y f g un göre (gof og)(0) değerini bulunuz X 5 f() = 4 ve g() = ( ) fonksiyonlrı veriliyor un göre, (gof ) () fonksiyonunu bulunuz 6 f( 4) = olduğun göre f() fonksiyonunu bulunuz 7 (fog) () = - ve f() = olduğun göre g() fonksiyonunu bulunuz + + 8 fc m = olduğun göre uygun koşullrd f() fonksiyonunu bulunuz - - 9 Gerçek syılr kümesinde tnımlı f ve g fonksiyonlrı için f() = 4 ve (g of) () = olduğun göre g() fonksiyonunu bulunuz 0 Ynd verilen f ve g fonksiyonlrının grfiklerine göre; 5 Y g (fog) () + f ( ) g () ifdesinin değerini bulunuz 4 5 7 X f şğıd verilen f ve g fonksiyonlrının grfiklerinden fydlnrk f ve g fonksiyonlrının grfiklerini çiziniz Y f Y g X X 57
: NKSİYNLRL İLGİLİ UYGULMLR : İki Miktr rsındki İlişkinin onksiyon Kvrmı ile çıklnmsı : Problem lerinde onksiyon Grfik ve Tblolrının Kullnılmsı onksiyonlr konusu mtemtiğin günlük hytt en çok kullnıln konulrındn biridir u bölümde fonksiyonlrın günlük yşmd krşımız çıkn uygulmlrını göreceğiz ir oto kirlm şirketi müşterilerinden kir ücreti olrk gün 60 lir ve dh sonrki her bir gün için 40 lir ücret tlep etmektedir un göre ödenen ücreti, kirlm süresinin (gün) bir fonksiyonu olrk yzıp hftlık kir ücretinin kç lir olduğunu bullım Kir ücreti gün 60 gün 60 + 40 gün 60 + 40 lir olduğundn rcı gün kirlyn müşterilerinin ödeyeceği ücret f() = 60 + ( )40 fonksiyonu ile bellidir un göre hftlık (7 gün) kir ücreti, (ücret fonksiyonund = 7 yzılırs) f(7) = 60 + (7 )40 = 60 + 640 = 00 lir olur Hcmi 6 m (6000 litre) oln boş bir su deposun dkikd 50 litre su kıtn bir musluk vrdır un göre depo boşken bu musluk çıldığınd t dkik sonrki deponun boş kısmının hcmini veren fonksiyonu ve 00 dkiknın sonund depodki boş kısmın hcmini bullım dkikd 50 litre su gelirse, t dkikd 50t litre su gelir un göre t dkik sonund depodki boş kısmın hcmi V(t) = 6000 50t bğıntısı ile bulunur ikkt edilirse depodki boş kısmın hcmi zmn bğlı değişmektedir Sonuçt 00 dkiknın sonund depodki boş kısmın hcmi V(00) = 6000 5000 = 6000 5000 = 000 litre = m olur 58
Y 8 7 Sıcklık( ) 4 6 7 8 X 6 8 4 Zmn(s) Yukrıdki grfik bir kış günü 0 ile 4 stleri rsınd ölçülen hv sıcklıklrını göstermektedir un göre, stlere göre değişen bu sıcklık fonksiyonunun; Pozitif değerler ldığı rlıklrı, b Negtif değerler ldığı rlıklrı, c rtn, zln vey sbit değer ldığı rlıklrı, d Gün içindeki en küçük ve en büyük değerlerini bullım Zmn bğlı bu sıcklık fonksiyonu; grfiğin yty eksenin üstünde olduğu noktlrd pozitif, ltınd olduğu noktlrd negtif değerler lır, grfikte görüldüğü gibi 0 - ve 8-4 stleri rsınd grfik yty eksenin üst trfınddır ve bu stler rsınd pozitif sıcklıklr ölçülmüştür Grfiğin X eksenini kestiği noktlr sıcklık fonksiyonunun sıfır yerleri (kökleri) olur Grfikte görüldüğü gibi st, 8 ve 4 iken sıcklık 0 olmuştur Grfiğin Y eksenini kestiği nokt sıcklık fonksiyonunun st 0 iken ldığı değer oln dir b Grfiğin yty eksenin ltınd olduğu yerlerde fonksiyon negtif değerler lır Şekilde görüldüğü gibi st - 8 rsınd iken hv sıcklığı negtif değerlerdedir c Grfikte görüldüğü gibi 0-4, - 6 ve 8-4 stleri rsınd zln sıcklık değerleri ölçülmüştür 6-7 ve 6-8 stleri rsınd sıcklık sırsıyl ve 7 sbit değerlerini lmıştır 4-6 ve 7 - stleri rsınd sıcklık giderek rtmıştır d Grfikte görüldüğü gibi gün içindeki en düşük sıcklık gece 4 te ve en yüksek sıcklık öğle vkti te 8 olrk ölçülmüştür 59
nlitik düzlemde y = m, =, = b ve = c doğrulrı verilsin üzlemin I bölgesinde X ekseni, y = m doğrusu ve = doğrusu ile sınırlı bölgenin lnı f() olrk tnımlndığın göre ( 0, ) dik ymuksl bölgesinin lnını f fonksiyonu ile belirleyelim nlitik düzlemde verilen şekilde 0 için ( ) = f() Y = = b = c y = m f() b c X olrk tnımlndığındn ( ) = f(b) ( ) = f(c) ve () = ( ) ( ) = f(c) f(b) olur 7 Y G f 5 4 9 5 6 8 nlitik düzlemde f: Æ fonksiyonunun grfiği verilmiştir [ 9, 5] b [ 5, ] c [, ] ç [, 6] d [6, 8] e [8, ] rlıklrınd f fonksiyonunun ortlm değişim hızını bullım X f fonksiyonunun grfiğinde ( 9, ) noktsındn ( 5, 5) noktsın kdr tüm (, y) noktlrı için 9 5 ve f() 5 olduğundn [ 9, 5] rlığınd fonksiyonun ortlm değişim hızı [] nın eğimi oln f( 5) f( 9) 5 m = - - - - = = olur (y = f()) -5- (- 9) - 5 + 9 4 ikkt edilirse [ 9, 5] rlığınd fonksiyon rtn değerler ldığındn değişim hızı pozitif bir syıdır 60
b f fonksiyonunun grfiğinde ( 5, 5) noktsındn (, ) noktsın kdr tüm (, y) noktlrı için, 5 ve f() 5 olduğundn [ 5, ] rlığınd fonksiyonun ortlm değişim hızı ([] nın eğimi) f( ) f( 5) 5 m = - - - - = = - olur -- (- 5) - + 5 [ 5, ] rlığınd f fonksiyonu zln değerler ldığındn değişim hızı negtif bir syıdır c (, ) noktsındn (, ) noktsın kdr (, y) f noktlrı için ve y = olduğundn [, ] rlığınd fonksiyonun değişim hızı: f( ) f( ) m = - - - (- ) - 0 = = = 0 olur + 5 [, ] için f() = sbit değerini ldığındn bu rlıkt fonksiyonun değişim hızı sıfırdır ç (, ) noktsındn (6, 5) noktsın kdr oln (, y) f noktlrı için, 6 ve f() 5 olduğundn [, 5] rlığınd fonksiyonun değişim hızı f( 6) f( ) 5 m = - - = = olur 6-6 - [, 5] rlığınd doğrusl oln f fonksiyonunun değişim hızı grfiği oln [] nın eğimidir d f fonksiyonunun [6, 8] rlığındki ortlm değişim hızı, f( 8) - f( 6) 8-6 4 5 = - =- olur e Grfiğe bkıldığınd f fonksiyonunun [8, ] rlığındki ortlm değişim hızı, f( ) - f( 8) 7-4 = = = bulunur - 8-8 unlrı ilelim onksiyonun rtlm eğişim Hızı (, y ), (, y ) f olmk üzere bir f fonksiyonunun [, ] rlığındki ortlm değişim hızı, m = f ( ) - f ( ) y - y - = - olur Y y y f X 6
lıştırmlr Uzun yold ortlm 00 km de 5 lt ykıt hrcyn bir otomobilin deposunun hcmi 45 lt dir eposu dolu olrk yol çıkn bu otomobilin deposund kln ykıtı (y litre) ldığı yolun ( km) bir fonksiyonu olrk yzınız nlitik düzlemde (8, 7), (5, 7), (5, 4), (, 4), (, ) noktlrı ve = doğrusu veriliyor ( + ) = doğrusu ile birlikte değişen şekildeki trlı ln değeri f() olrk tnımlndığın göre f(6) değerini bulunuz 7 4 Y = f() 5 8 X nlitik düzlemde f: [ 4, 6] Æ fonksiyonunun grfiği verilmiştir Y un göre; f() = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz b f() = gerçekleyen kç frklı syısı vrdır? c f fonksiyonunun rtn olduğu, zln olduğu rlıklrı bulunuz 4 5 5 6 X ç f fonksiyonunun pozitif değer ldığı, negtif değer ldığı rlıklrı bulunuz d f fonksiyonunun tnımlı olduğu rlıktki en küçük ve en büyük değerlerini bulunuz 4 4 5 Y 8 4 6 7 Y Yukrıdki verilen f fonksiyonunun grfiğine göre; [ 8, 4] b [ 4, ] c [, 6] ç [6, 7] rlıklrındki ortlm değişim hızını bulunuz 6
ÜNİT ÖLÇM V ĞRLNİRM SRULRI Şekilde f() = fonksiyonu ile g fonksiyonunun grfiği verilmiştir g fonksiyonunun grfiği; f fonksiyonunun grfiğinin X eksenine göre simetriği lındıktn sonr, Y ekseni boyunc negtif yönde birim ve X ekseni boyunc pozitif yönde birim ötelenmişi olduğun göre g() şğıdkilerden hngisidir? Y f 4 X g ) ( ) ) ( ) + ) ( ) + ) ( ) ) ( + ) şğıd verilen grfiklerden hngisi bir çift fonksiyon grfiğidir? ) Y X ) Y X ) Y X ) Y ) Y X X şğıdkilerden hngisi bir tek fonksiyon grfiğinin belirleyici özelliğidir? ) X eksenine göre simetriktir ) Y eksenine göre simetriktir ) şlngıç noktsın göre simetriktir ) şlngıç noktsındn geçer ) Y eksenini tek bir noktd keser 4 Ynd f fonksiyonunun grfiği verilmiştir g() = f( ) + olduğun göre g( ) + g(4) toplmı kçtır? Y 4 f 4 4 5 X ) ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 6
5 Şekilde f( ) fonksiyonunun grfiği verilmiştir un göre f() + f() f( 5) toplmı kçtır? Y f( ) 5 X ) ) ) 4 ) 5 ) 6 6 f() fonksiyonunun grfiği ynd verilen şekildeki gibi olduğun göre, f( ) fonksiyonunun grfiği şğıdkilerden hngisi olbilir? Y f X ) Y ) Y ) Y X X X ) Y ) Y X X 7 Şekilde f ve g fonksiyonlrının grfikleri verilmiştir f un göre, ( f+ g)( ) -c m ( 0) ifdesinin değeri kçtır? g Y f g X ) 0 ) ) ) ) 4 64
8 (fog) () = + 4 ve g() = + olduğun göre, f() şğıdkilerden hngisidir? ) + ) + ) ) ) 9 de tnımlı f: (, y) Æ (, y + 4) fonksiyonu veriliyor f((, y)) = (, ) ise + y kçtır? ) ) 0 ) ) ) 0 f ( ) = - ve g() = olduğun göre, (fog) ( ) değeri kçtır? ) ) 0 ) ) ) - Gerçek syılr kümesinde tnımlı f fonksiyonu için, fc m = - ise, f ( ) kçtır? ) ) ) ) 4 ) 5 f() = 4 ve g() = ( ) fonksiyonlrı veriliyor un göre, (gof ) () şğıdkilerden hngisine eşittir? ) ) ) ) ) + 4 f() = + ve (fog) () = + 5 + 4 olduğun göre, g() şğıdkilerden hngisidir? ) ) + ) + ) ) 4 nlitik düzlemde f doğrusl fonksiyonu ile g fonksiyonunun grfiği verilmiştir un göre (f og) ( 6) değeri kçtır? g Y f 6 4 X ) 6 ) 5 ) ) ) 6 65
5 f: Æ fonksiyonunun grfiği şekilde verilmiştir un göre f() = denkleminin kç frklı gerçek syı kökü vrdır? 4 Y f X ) ) ) 4 ) 5 ) 6 6 Ynd f: [ 4, 5] Æ fonsiyonunun grfiği verilmiş- tir un göre f fonksiyonunun [, 0] rlığındki değişim hızı kçtır? 4 Y 4 5 X ) ) 0 ) ) ) 5 7 lektrik üreticisi bir firm bonelerinden ylık lir sbit bonmn ücreti ve kullnıln her kw elektrik için de 0,6 lir kullnım ücreti lmktdır un göre yd kw elektrik kullnn bir bonenin ftur ücreti y lir olduğun göre, ile y rsındki bğıntı hngisidir? 4 4 4 ) y = + ) y = ) y = 5 5 5 4 ) y = + ) y = + 5 8 f: [ 5, 6] Æ [, 5] fonksiyonunun grfiği ynd verilmiştir un göre f fonksiyonunun rtn olduğu rlıklrdki tm syılrın toplmı kçtır? f Y 5 5 4 6 X ) 6 ) 5 ) 4 ) ) 66
4 ÜNİT NLİTİK GMTRİ 4 : oğrunun nlitik İncelenmesi Rene escrtes (596-650) Tourine li bir rnsız oln Rene escrtes, bir centilmen olrk yşdı ir süre rnge prensi Murice in ordusund hizmet verdikten sonr yıllrc Hollnd d yşdı, dh sonr İsveç krliçesinin dvetiyle geldiği Stockholm de öldü 7 yüzyılın diğer önemli düşünürleri gibi, escrtes d buluşlrı ve bilimde gerçeği bulmyı kolylştırck genel bir düşünce yöntemi rdı dönemde sistemli bir tutrlılığ ship tek doğ bilimi meknikti Mekniği nlmnın nhtrı mtemtik olduğu için, evreni nlmk için de mtemtik en önemli rç hline gelmişti yrıc mtemtikteki ikn edici ifdeler de bilimdeki gerçeğin bulunbileceğinin prlk bir örneğiydi önemin meknikçi felsefesi, Pltonculr ınkine benzer bir sonuc ulştı m nedenleri frklıydı Pltonculr evrendeki uyum, Krtezyenler (escrtes çılr) ise kl dynn genel bir yönteme inndıklrı için, mtemtiği bilimlerin krliçesi olrk gördüler escrtes Geometri yi genel birleştirme yönteminin, cebir ve geometriyi birleştiren bir uygulmsı olrk yyımldı Genel kbul edilen görüşe göre, bu kitbın en büyük önemi, nlitik geometri denen lnın yrtılmsıydı Kynk: Kıs Mtemtik Trihi 67
4 : ĞRUNUN NLİTİK İNLNMSİ 4: nlitik üzlemde İki Nokt rsındki Uzklık 4: oğru Prçsını elli rnd ölen Noktnın Koordintlrı 4: oğrunun enklemi, İki oğrunun irbirine Göre urumlrı 44: nlitik üzlemde ir Noktnın ir oğruy Uzklığı NLİTİK ÜZLM İKİ NKT RSINKİ UZKLIK Koordint (Syı) oğrusu P br Q 0 y ir doğru kümesi ile gerçek syılr kümesi; oğrunun her noktsın bir gerçek syı, Her gerçek syıy doğrunun bir noktsı olck şekilde bire bir eşlenebilir (etvel ksiyomu) un göre bir P noktsı syısı ile eşlenirse, P noktsının koordintı dir denir ve P noktsı koordintı ile birlikte P() olrk yzılır u şekilde sonsuz uzunlukt bir cetvel oln gerçek syılr doğrusu elde edilir Yukrıd verilen syı doğrusund rdışık iki tmsyı rsındki uzklık birim lınırs; () ve () noktlrı rsındki uzklık = = = birim () ile ( ) noktlrı rsındki uzklık = ( ) = = birim () ile (0) noktlrı rsındki uzklık = 0 = 0 = birim olur ikkt edilirse syı doğrusund iki nokt rsındki uzklık bu iki noktnın koordintlrı frkının mutlk değerine eşittir Sonuçt syı doğrusunun iki noktsı, y-, # y ise, P() ve Q(y) ise PQ = y = y = ) olur - y, y ise, Gerçek syılr doğrusund ( ) ve () noktlrı veriliyor nu bullım 0 Ynd verilen syı doğrusund görüldüğü gibi rdışık iki tm syının belirttiği iki nokt rsındki uzklık birim olduğundn, = ( ) = 5 birim olur 68
Gerçek syılr doğrusund ( 4), (6) ve () noktlrı verilsin = ise syısını bullım 4 0 6 Syı doğrusu üzerindeki ( 4), (6) ve () noktlrı için şekilde = ( 4) = 6 = = olur 8 Gerçek syılr doğrusund ( ), () ve (8) noktlrı veriliyor = ve < < 8 olduğun göre syısını bullım k k Şekilde görüldüğü gibi, 8 = k = = k ve = + = k + k = k olur (k + ) ( ) ve (8) = 8 ( ) = 9 = k k = = birim bulunur (), (8) = 8 = = 8 = 5 bulunur unlrı ilelim Syı oğrusund rt Noktnın Koordintı c b, ve doğrusl üç nokt olsun = ise noktsın [] nın ort noktsı denir (), (b) ve (c) noktlrı verilsin [] nın ort noktsı (c) ise, c = + b olur Gösterelim Syı doğrusund görüldüğü gibi noktsı [] nın ort noktsı olduğundn, = c = b c c = + b c = + b bulunur Syı doğrusund ( ) ile (9) noktlrının ort noktsı (c) ise c syısını bullım Syı doğrusund () ile (b) noktlrının ort noktsı (c) ise c = + b olduğundn, - + 9 8 c = = = 4 bulunur 69
ik Koordint Sistemi üzlemde bşlngıç noktlrınd dik oln iki syı doğrusunun oluşturduğu sisteme dik koordint sistemi denir Y y II ölge I ölge (, +) (+, +) X III ölge (, ) IV ölge (+, ) Şekilde X syı doğrusun yty eksen (psisler ekseni) Y syı doğrusun düşey eksen (ordintlr ekseni) noktsın bşlngıç noktsı (orijin) ve üzerinde dik koordint sistemi tnımlnmış düzleme de nlitik düzlem dı verilir üzlemde bir noktsının X ekseni üzerindeki dik iz düşümü syısı ve Y ekseni üzerindeki dik iz düşümü y syısı ile belirtiliyors (, y) ikilisine noktsının koordintlrı denir ve noktsı koordintlrı ile birlikte (, y) yzılır nlitik düzlemde (, y) noktsı verildiğinde, syısın noktsının psisi (yty () bileşeni) y syısın noktsının ordintı (düşey () bileşeni) denir ik koordint sistemi bir düzlemi yukrıdki şekilde görüldüğü gibi 4 bölgeye yırır ksenler bölgelere dhil değildir un göre, (, y) noktsı I bölgede ise > 0 y > 0, II bölgede ise < 0 y > 0, III bölgede ise < 0 y < 0, IV bölgede ise > 0 y < 0, X ekseni üzerinde ise y = 0 (, 0) Y ekseni üzerinde ise y = 0 (0, y) olur (, y) noktsı nlitik düzlemin IV bölgesinde olduğun göre, ( y, ) noktsı hngi bölgededir? ullım (, y) noktsı IV bölgede olduğundn, ( > 0 y < 0) y < 0 < ( y > 0 > 0) elde edilir Sonuçt ( y, ) I bölgede bir noktdır 70
G Y X Ynd verilen birim kreli düzlemde bşlngıç noktsı olduğun göre;,,,,,, G ve H noktlrının koordintlrını yzlım H G 6 4 Y 4 5 H 5 6 X noktsının X ve Y ekseni üzerindeki dik iz düşümlerini belirten syılr sırsıyl 6 ve olduğundn (6, ) olur enzer düşünceyle, (, 4), ( 4, ), (5, ), (, 0), (, ), G( 6, 0) ve H(0, 5) bulunur = { : } ve = { : 0 < } kümeleri verilsin kümesinin elemnlrını nlitik düzlemde gösterelim Y 4 X 0 4 = {0,,,, 4} ve = {0,, } olduğundn, = {(0, 0), (0, ), (0, ), (, 0), (, ), (, ),, (4, 0), (4, ), (4, )} olur kümesinin grfiği yukrıdki şekildeki gibidir 7
v İnceleyerek Öğrenelim y İki Nokt rsındki Uzklık Y nlitik düzlemde (, y ) ve (, y ) noktlrı verildi- ğinde, = ( - ) + ( y- y) olur Gösterelim y X y y Y y y y y H X H // X ve H //Y çizilirse şekildeki H dik üçgeninde, H = ve H = y y olduğundn Pisgor Teoremi ile = H + H = ( ) + (y y ) = ( - ) + ( y- y) olur (, 6) ve (6, ) noktlrı rsındki uzklık kç birimdir? ullım (, y ) ve (, y ) = ( - ) + ( y- y) olduğundn, (, 6) ve (6, ) = ( 6- (- )) + ( - 6) = 8 + 6 = 0 birim bulunur nlitik düzlemde P(, y), (, ) ve (, ) noktlrı verilsin P = P olduğun göre ile y rsındki bğıntıyı bullım üzlemde (, ), (, ) ve P(, y) olsun (, y ) d P = P olduğundn; (, ) (, ) P(, y) ( - (- )) + ( y- ) = ( - ) + ( y- ) ( + ) + (y ) = ( ) + (y ) + 4 + 4 + y y + = 4 + 4 + y 4y + 4 4 y + 5 = 4 4y + 8 8 + y = 0 bulunur 7
(, 0) ve (, + ) ve = 5 br ise syısının lbileceği değerleri bullım = ( -( - )) + ( + - 0) = 4 + ( + ) = 5 6 + ( + ) = 5 ( + ) = 9 + = & = ) bulunur + =- & =- 4 ĞRU PRÇSINI LLİ RN ÖLN NKTNIN KRİNTLRI (i) Şekildeki gibi [] ve = k ise noktsın [] nı k ornınd içten bölen nokt denir (ii) [] ve olsun = p ise noktsın [] nı p ornınd dıştn bölen nokt denir Şekilde,,, doğrusl noktlr ve = 4 = 4 olduğun göre ve noktlrının [] nı hngi ornd böldüğünü bullım 4k k k = 4 = 4 = 4k ve = = k (k + ) olcğındn, [] ve 4 4 = noktsı [] nı ornınd içten böler [] ve olduğundn noktsı [] nı 0 ornınd dıştn böler ( ) 0k = = k 0 7
v İnceleyerek Öğrenelim ir oğru Prçsını elli rnd İçten ölen Noktnın Koordintlrı nlitik düzlemde (, y ), (, y ) ve (, y) [] verilsin = k ise = k + + k ve y = y + ky + k olur Gösterelim (k + ) y y y Y ƒƒ ƒƒ ƒƒ Şekildeki gibi, ve noktlrının X ve Y eksenleri üzerindeki dik izdüşümleri sırsıyl ƒ, ƒ, ƒ ve ƒƒ,ƒƒ, ƒƒ olsun ƒ ƒ ƒ X ƒƒ =, ƒƒ =, ƒƒƒƒ = y y, ve ƒƒƒƒ = y y olur ƒ // ƒ // ƒ ve ƒƒ // ƒƒ// ƒƒ olduğundn Tles Teoremi'ne göre; l l - = & k = & k - k = - & = l l - + k, + k m m y- y = & k = & ky - ky = y- y & y( + k) = y + ky & y = m m y y - bulunur y ky + + k (, ), (4, ) ve = ise [] nı içten bölen noktsının koordintlrını bullım (, y) [], = k = olduğundn; = y = k + + k y + ky + k = = - + $ 4 = + - + + $ (- ) = + 5 8 4-5 = - + 8 5 5 = 5 = _ b = b b b ` & b b b b (, ) olur 74
- (, ) (, y) ( 4, ) nlitik düzlemde doğrusl noktlr rsındki koordint değişimleri bu noktlr rsındki uzklıkl doğru orntılı olrk rtr vey zlır u yüzden noktsının koordintlrını şğıdki gibi orntı yoluyl d bulbiliriz Yukrıd verilen şekilde, = =, = ve = 5 olur ( + ) un göre; psis eğişimi rdint eğişimi 5 (, ) (4, ) 5 br rtış + 5 = 4 5 (,) (, ) 5 br zlm 5 = (, ) (, ) br rtış = + = (,) (,y) br zlm y = = bulunur Sonuçt (, y) = (, ) olur İnceleyerek Öğrenelim ir oğru Prçsını elli rnd ıştn ölen Noktnın Koordintlrı nlitik düzlemde (, y ), (, y ) ve (, y) noktlrı için [], olsun = k ise k - = - k, y = Y y ƒƒ ƒƒ y y ƒƒ y - ky - k olur Gösterelim (k + ) Şekilde görüldüğü gibi,, noktlrının X ekseni üzerindeki dik izdüşümleri ƒ, ƒ, ƒ ve Y ekseni üzerindeki dik izdüşümleri ƒƒ, ƒƒ, ƒƒ olsun ƒ ƒ ƒ X ƒƒ = ı, ƒƒ =, ƒƒƒƒ = y y ve ƒƒƒƒ = y y olur ƒ // ƒ // ƒ ve ƒƒ // ƒƒ // ƒƒ olduğundn Tles Teoremi'ne göre; = l l l l - & - = k & - = k-k & ( - k) = - k & = k - - k ve m m m m = y- y & y- y = k & y- y = ky-ky & y( - k) = y - ky & y = y ky - - k bulunur 75
nlitik düzlemde (, ) ve (, 0) noktlrı veriliyor [] nı bullım 5 = ornınd dıştn bölen noktsının koordintlrını ve ile nu 5 (, ) (, 0) (, y) 5 = = k =, = 5 = olduğundn, ve noktlrının konumu tslk şekildeki gibi olur (k, + ) (, y) noktsı [] nı k = 5 ornınd dıştn böldüğünden, = - k - k = - 5 $ 5 - - 5 (- 4) = = - 5 - = 6 y = y - ky - 5 $ 0 = = - k 5 ( - ) - =- & ( 6, - ) olur (, ) ve (6, ) olduğundn = ( 6- ) + (-- ) = 5 + 5 = 5 br (, 0) ve (6, ) olduğundn = ( 6- ) + (-- 0) = + = br bulunur - 5 (,) (,0) (,y) + +5 Yukrıdki şekli göz önünde bulundurrk orntı yoluyl, (, ) noktsındn (, y) noktsın psis 5 br rtcğındn = + 5 = 6 ve ordint 5 br zlcğındn y = 5 = bulunur Sonuçt ( 6, ) olur = ( - ) + ( - 0) = 4+ 4 = = & = br olduğundn = 5 = 5 br ve = = br bulunur 76
tkinlik c b b Syı doğrusund () ile (b) noktsının ort noktsı (c) ise c = + olduğunu öğren- miştik Şimdi nlitik düzlemde verilen iki noktnın ort noktsının koordintlrını bullım y Y ƒƒ uu etvelinizle bir dik koordint sistemi çiziniz uu lde ettiğiniz nlitik düzlemde [] nı ve ort noktsı oln noktsını işretleyiniz ƒƒ uu,, noktlrının X ve Y eksenleri üzerindeki dik izdüşüm doğrulrı için ƒ // ƒ // ƒ ve ƒƒ // ƒƒ // ƒƒ y ƒƒ olur mu? Nedenini söyleyiniz y u u = olduğun göre, ƒƒ = ƒƒ ve ƒ ƒ ƒ X ƒƒƒƒ = ƒƒƒƒ olur mu? luyors gerekçesini söyleyiniz uu (, y ), (, y ) ve (, y) olduğun göre bu koordintlrı eksenler üzerinde belirtiniz X ekseni üzerinde syısının belirttiği nokt, ile syılrının belirttiği noktlrın ort noktsı olduğun göre, syısını ve cinsinden yzınız Y ekseni üzerinde y syısını y ve y cinsinden yzınız unlrı ilelim nlitik üzlemde rt Noktnın Koordintlrı Y ƒƒ nlitik düzlemde (, y ) ile (, y ) noktlrının ort noktsı y ƒƒ +, y + y c m olur y ƒƒ ƒ ƒ ƒ X nlitik düzlemde (, 4), (, 7) ve (, 9) noktlrı veriliyor üçgeninde [] ve = ise nu bullım (,9) (,y) (,7) Tslk şekilde görüldüğü gibi, Z ] = - + =-4 = & [ 9 7 y = + (, y) = ( 4, 8) ve ] = 8 \ = ( - (- 4)) + ( 8- (- 4)) = 5 + = br (, 4) bulunur 77
( 4,y 4 ) (,y ) (, y) nlitik düzlemde prlelkenr (, y ), (, y ), (, y ) ve ( 4, y 4 ) ise + = + 4 ve y + y = y + y 4 olur Gösterelim (,y ) (,y ) prlel kenrınd [] [] = {(, y)} ise = ve = olduğundn, + + 4 = = bulunur & + = + 4 ve y+ y y + y 4 = y = & y + y = y y + 4 nlitik düzlemde prlelkenr, (, ), (7, ) ve (9, 6) olduğun göre nu bullım (, y) (9, 6) (, ) (7, ) Şekilde görüldüğü gibi prlelkenr olduğundn, + 9 = 7+ & = (, y) ise; ) + 6 = + y & y = 6 & ( 6, ) olur (7, ) ile (, 6) noktlrı rsındki uzklık, = ( 7- ) + ( - 6) = 4 + 4 = 4 br bulunur tkinlik G (,y ) (,y ) (,y ) uu (, y ), (, y ) ve (, y ) olmk üzere üçgenini ve bunun [] kenrortyını çiziniz uu üçgeninin ğırlık merkezi G(, y) ise G [] ve G = olur mu? Söyleyiniz G u u = olduğun göre noktsının koordintlrını ve noktlrının koordintlrı cinsinden bulunuz G G noktsı [] nı G = ornınd içten bölen bir nokt olduğun göre G noktsının koordintlrını ve noktlrının koordintlrı cinsinden bulunuz 78
unlrı ilelim Üçgenin ğırlık Merkezinin Koordintlrı (,y ) Köşe koordintlrı (, y ), (, y ), (, y ) oln üçgeninin ğırlık merkezi G(, y) ise, G(,y) (,y ) (,y ) = + + ve y = y+ y+ y olur Köşeleri, ( 6, 7), (, 6) ve (, ) oln üçgeni veriliyor u üçgenin ğırlık merkezinin bşlngıç noktsın uzklığı kç birimdir? ullım üçgeninde G(, y) ğırlık merkezi ise; 6 ( ) = - + - + 7 6 =- ve y = + + = 5 & G( -, 5) olduğundn G noktsının (0, 0) noktsın uzklığı, G = (- - 0) + ( 5-0) = (- ) + 5 = 4+ 5 = 9 br olur lıştırmlr olmk üzere, + + = 9 denklemini sğlyn ve syılrını syı doğrusu kullnrk bulunuz Koordint doğrusund ( ), (8), [] ve = ise, noktsının koordintı kçtır? irim krelere bölünmüş bir kğıt üzerinde bir nokt bşlngıç noktsı seçilerek (4, ) noktsı şekilde belirtilmiştir un göre, noktsının koordintlrı toplmı kçtır? 4 (, + 4) noktsı nlitik düzlemin II bölgesinde ise in lbileceği tm syı değerleri toplmını bulunuz ( ) 5 nlitik düzlemde X ekseni üzerinde olup (, 0) ve (, 4) noktlrın eşit uzklıkt oln noktnın psisi kçtır? 79
d d 6 Köşe koordintlrı (0, ), (4, ) ve (6, 5) oln üçgeninde [] kenrının ort noktsı, [] kenrının ort noktsı olduğun göre, kç br dir? 7 (0, ), (, ) ve (, b) [] dır,, doğrusl noktlr ve = olduğun göre, syısının lbileceği frklı değerler toplmı kçtır? 8 (, 6), (, ) noktlrı veriliyor [] ve = olduğun göre, noktsının koordintlrı toplmını bulunuz 5 9 m, n olmk üzere, ( m, ) noktsı Y ekseni üzerinde ve (, n + ) noktsı X ekseni üzerinde olduğun göre, m + n syısı kçtır? 0 (, y) (5, 6) prlelkenrınd (, ), (, ), (5, 6) ve (, y) ise, kç br dir? (, ) (, ) üçgeninin köşelerinin koordintlrı (, ), (4, ) ve (, 6) ise, [] kenrın çizilen kenrortyın uzunluğunu bulunuz ĞRUNUN NKLMİ, İKİ ĞRUNUN İRİRİN GÖR URUMLRI ir oğrunun ğim çısı ve ğimi d Y ß X d 4 ir doğrunun X ekseni ile pozitif yönde yptığı çıy eğim çısı, bu çının tnjntın d doğrunun eğimi denir ve m ile gösterilir Yukrıdki nlitik düzlemde verilen d, d, d ve d 4 doğrulrının eğim çılrı sırsıyl α, 90, β, 0 ve eğimleri m = tnα, m = tn 90, m = tnβ ve m 4 = tn0 olur ir doğrunun eğimini bulurken, 0 < α < 90 m = tnα > 0, 90 < α < 80 m = tnα < 0, α + β = 80 tnα = tnβ, tn0 = 0 ve tn90 = tnımsız olduğun dikkt edelim! 80
Y d d 4 d d d 5 50 45 60 X nlitik düzlemde verilen d, d, d, d 4 ve d 5 doğrulrının eğim çılrını ve eğimlerini bullım d doğrusunun eğim çısı 60 ve eğimi m = tn60 =, d doğrusunun eğim çısı 90 ve eğimi m = tn90 = Tnımsız, d doğrusunun eğim çısı 0 ve eğimi m = tn0 = 0, d 4 doğrusunun eğim çısı 80 45 = 5 ve eğimi m 4 = tn5 = tn45 =, d 5 doğrusunun eğim çısı 80 50 = 0 ve eğimi m 5 = tn0 = olur İnceleyerek Öğrenelim İki Noktsı ilinen oğrunun ğimi Y nlitik düzlemde (, y ) ve (, y ) noktlrındn geçen doğrunun eğimi, y y y - m = - olur Gösterelim y y y H X doğrusunun eğim çısı şekilde verildiği gibi α olsun ve noktlrının dik izdüşüm doğrulrı ile H dik üçgeni oluşturulurs bu üçgende; % m( H) = α, H = ve H = y y olduğundn doğrusunun eğimi, H m = tn α = = H y y - - bulunur 8
nlitik düzlemde (, 0) ve (4, ) noktlrındn geçen doğrunun eğimini ve eğim çısının ölçüsünü bullım y- y - 0 m = = = = - 4 - ve bu doğrunun eğim çısı α ise m = tnα = α = 45 bulunur (, ), (, 5) ve (4, ) noktlrı doğrusl olduğun göre, syısını bullım (, ) (, 5) (4, ) Tslk şekilde görüldüğü gibi, ve noktlrı doğrusl ise m = m olcğındn; 5- - 5 4 5 4 5 = & & ( - ) - (- ) 4 - ( - ) + = - 4- + + = - =- 5 - + = 4 = 5 bulunur (, ) ve (, y) noktlrı veriliyor doğrusunun eğim çısının ölçüsü 60 olduğun göre y syısını bullım doğrusunun eğimi, m = y- - y- = tn 60c & = & y = bulunur İnceleyerek Öğrenelim ğimi ve ir Noktsı ilinen oğrunun enklemi Y (, y ) noktsındn geçen bir doğrunun eğimi m olrk verilmiş olsun (m ) u doğrunun herhngi bir P(, y) P(, y) noktsı için m P = m olcğındn; (, y ) y- y = m & y- y m( ) - = - X (, y ) noktsındn geçen ve eğimi m oln doğrunun denklemi olur 8
(, ) noktsındn geçen ve eğimi m = oln doğrunun denklemini bullım (, ) noktsındn geçen bu doğrunun herhngi bir noktsı P(, y) olsun P(, y) oğrunun eğimi m = verildiğinden, (, ) y - m ( ) P = & = & y- = + - (- ) y = + 5 bu doğrunun denklemi olur (, ) noktsındn geçen ve eğim çısının ölçüsü α = 5 oln doğrunun denklemini bullım u doğrunun eğimi m = tn5 = tn45 = olduğundn, y y = m( ) y = ( ) ( ) y = + y = + 5 (, ) noktsındn geçen bu doğrunun denklemi olur eniz kenrınd bir kyığı en z st kirlmk isteyen gençlerden, ilk iki sti için peşin 40 lir ve dh sonrki her bir st için 5 lir kir isteniyor Kirlm süresi st, ödenen ücret y lirdır un göre; ile y rsınd bğıntıyı, b u bğıntı bir doğru denklemi ise bu doğrunun eğimini, c urd eğimin ödenen ücrete etkisinin ne olduğunu bullım İlk iki st peşin 40 lir ve dh sonrki her bir st için 5 lir ödeneceğinden; Ödenecek ücret y = ( )5 + 40, ( ) olur İlk iki st için = yzılırs; y = ( )5 + 40 = 40 ve örneğin st için ödenecek ücret, = için y = ( )5 + 40 = 5 + 40 = 55 lirdır b y = ( )5 + 40 y = 5 0 + 40 y = 5 + 0 olduğundn bu denklem bir doğru denklemidir ve eğimi m = 5 olur c ğim ilk iki st hriç dh sonr geçen her bir st için düzenli ödenen kir ücretidir Çünkü, st için ödenen 40 lir, st için ödenen 40 + 5 = 55 lir, 4 st için ödenen 55 + 5 = 70 lir, 5 st için ödenen 70 + 5 = 85, stten sonrki her bir st için ödenen ücret, eğim kdr m = 5 lir olmktdır 8
İnceleyerek Öğrenelim İki Noktsı ilinen oğrunun enklemi Y nlitik düzlemde (, y ) ve (, y ) noktlrındn geçen doğrunun herhngi bir noktsı P(, y) olsun Şekilde görüldüğü gibi m = m P olduğundn, (, y ) P(, y) (, y ) X y- y y- y = - - (, y ) ve (, y ) noktlrındn geçen doğrunun denklemi olur (, ) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun denklemini bullım P (, y) (, ) (, ) Tslk şekilde görüldüğü gibi doğrusunun değişken bir noktsı P(, y) lındığınd m = m P olcğındn doğrusunun denklemi, -( -) -( -) y - = - & y - = = y = ( ) y = vey y = 0 olur - Y b (, 0) ve (0, b) noktlrındn geçen şekildeki doğrusunun denklemi, y + = olur Gösterelim b X b 0 b (, 0) ve (0, b) olduğundn doğrusunun eğimi m = - =- dır 0 - P(, y) doğrusunun herhngi bir noktsı olsun m = m P olcğındn, b y - 0 y y y - = &- - = & - + = 0 & + = - b b b X eksenini ve Y eksenini noktsınd kesen doğrunun denklemi olur 84
nlitik düzlemde kre; (0, ), (4, 0) ve doğrusu noktsındn geçtiğine göre () kç br olur? ullım Y (0, ) (, ) (4, 0) X doğrusu X eksenini 4 syısınd ve Y eksenini syısınd kestiğinden denklemi, y + = + y = 4 4 kre ve = = (, ) 4 + = 4 = 4 = bulunur Sonuçt () = 4 6 = c m = br olur 9 unlrı ilelim ksenlere Prlel oğrulrın enklemi Y d b P(, b) X X eksenine prlel oln d doğrusu Y eksenine (0, b) noktsınd dik olsun d doğrusunun tüm noktlrının ordintlrı b syısı olcğındn d doğrusunun denklemi y = b olur enzer düşünceyle X ekseninin denklemi de y = 0 olur Y e P(, y) X Y eksenine prlel bir doğru X eksenine (, 0) noktsınd dik olsun Şekildeki e doğrusunun tüm noktlrının psisi syısı olcğındn bu doğrunun denklemi = olur un göre Y ekseninin denklemi de = 0 olur e Y e d nlitik düzlemde verilen d ve d doğrulrı X eksenine, e ve e doğrulrı Y eksenine prleldir 4 X un göre, d, d, e, e, doğrulrının ve eksenlerin denklemlerini yzlım d e doğrusunun denklemi = 4, e doğrusunun denklemi = ve Y ekseninin denklemi = 0 olur enzer biçimde d doğrusunun denklemi y =, d doğrusunun denklemi y = ve X ekseninin denklemi y = 0 olur 85
Y e (, ) d Şekilde (, ) noktsındn geçen d ve e doğrulrı sırsıyl X ve Y eksenine prlel olduğun göre bu doğrulrın denklemlerini yzlım X d doğrusu Y eksenine syısının belirttiği noktd dik olduğundn d doğrusunun tüm noktlrının ordintı tür u nedenle denklemi y = olur enzer düşünceyle e doğrusunun denklemi de = dir unlrı ilelim şlngıç Noktsındn Geçen oğrunun enklemi Y (0, 0) noktsındn geçen bir doğrunun eğimi m olsun (m ) u doğrunun herhngi bir noktsı P(, y) ise m P = m olcğındn, P(, y) y - 0 = m y = m X - 0 (0, 0) bşlngıçtn geçen doğrulrın denklemi olur n Y n nlitik düzlemde şekildeki n doğrusun çıorty doğrusu, n doğrusun d çıorty doğrusu denir un göre n ve n doğrulrının denklemini bullım 45 45 45 45 X n doğrusunun eğim çısı 45 ve eğimi m = tn45 =, n doğrusunun eğim çısı 5 ve eğimi m = tn5 = olur şlngıç noktsındn geçen bu doğrulrın denklemleri y = m biçiminde olcğındn, m = için çıorty doğrusunun denklemi y =, m = için çıorty doğrusunun denklemi y = olur 86
nlitik düzlemde bşlngıç noktsındn ve (, ) noktsındn geçen doğrunun denklemini bullım şlngıçtn geçen doğrulrın denklemleri y = m biçimindedir (, ) d: y = m olduğundn = m m = olmlıdır un göre şekildeki bşlngıçtn ve (,) noktsındn geçen doğrunun denklemi y = olur Y d X İnceleyerek Öğrenelim enklemi ilinen oğrunun ğimi enklemi y = m + n biçiminde oln bir doğrunun eğimi in ktsyısı oln m syısıdır Çünkü d: y = m + n doğrusu verildiğinde, = 0 y = m0 + n y = n (0, n) d, n n y = 0 0 = m + n = - `-, 0j d ve m m n n - 0 n (0, n) ile `-, 0j noktlrındn geçen d doğrusunun eğimi = = m m n n 0 -`- j m m olur enklemi + by + c = 0 biçiminde oln bir doğrunun eğimi de m = - syısıdır Çünkü; b c + by + c = 0 by = c y = c- m $ - biçiminde yzılırs, bu son b b denklemde in kt syısı m =- doğrunun eğimi olur b d : y =, d : y = ve d : y + = 0 doğrulrının eğimlerini bullım enklemi y = m + n biçiminde oln doğrulrın eğimi in ktsyısı oln m syısı olduğundn, d : y = doğrusunun eğimi m =, d : y = doğrusunun eğimi m = olur enklemi + by + c = 0 biçiminde oln bir doğrunun eğimi m =- olduğundn, b d : y + = 0 doğrusunun eğimi m =- = bulunur (- ) 87
m olmk üzere denklemi (m + ) (m )y + m = 0 oln doğrunun eğimi olduğun göre bu doğrunun Y eksenini kestiği noktyı bullım oğrunun eğimi olduğundn, ( m + ) m + - = & = m + = m m = - ( m - ) m - bulunur u değer verilen denklemde yerine yzılırs doğrunun denklemi, ( + ) ( ) y + = 0 y + 4 = 0 olur 4 4 = 0 0 y + 4 = 0 y = (0, ) noktsı doğrunun Y eksenini kestiği nokt olur İnceleyerek Öğrenelim irbirine Prlel vey ik ln oğrulrın ğimleri rsındki ğıntılr Y irbirine prlel iki doğrunun eğim çılrı eşit olduğundn eğimleri de eşittir Şekilde, d d d // d m = m = tnα olur X Y irbirine dik iki doğrunun eğimleri çrpımı ( ) dir d d Şekildeki d doğrusunun eğimi m, d doğrusunun eğimi de m olsun 90 + X d ^ d m m = olur Gösterelim Şekilde d ^ d ve d doğrusunun eğim çısının ölçüsü α ise, dik üçgeninden d doğrusunun eğim çısı (90 + α) olur un göre d doğrusunun eğimi m = tn(90 + α) = cotα, d doğrusunun eğimi m = tnα ve m m = cotαtnα = bulunur d : y + = 0 ve d : + y = 0 doğrulrı birbirine dik olduğun göre, syısını bullım d doğrusun eğimi, m = - =, - d doğrusunun eğimi m = - ve d ^ d olduğundn; m m = c- m =- & = bulunur 88
nlitik düzlemde d: y + = 0 doğrusun (, 0) noktsındn çizilen prlel doğru Y eksenini hngi noktd keser? ullım d Tslk şekilde görüldüğü gibi d doğrusun noktsındn çizilen P(, y) (, 0) e prlel e doğrusu için d // e m d = m e = - = olur - y - 0 un göre her P(, y) e için m P = m e = y = 4 - e doğrusunun denklemi olur u denklemde = 0 yzılırs y = 0 4 = 4 (0, 4) rnn nokt olur d doğrusun (, 0) noktsındn çizilen prlelin Y eksenini kestiği nokt olur nlitik düzlemde (, ) ve (, ) noktlrı verildiğinde [] nın ort dikmesinin denklemini bullım d (, ) (0, ) (, ) Yukrıdki tslk şekilde görüldüğü gibi [] nın ort noktsı (, y) olmk üzere, - + 0 + 4 = = = 0, y = = = ve (0, ) olur (0, ) noktsındn geçip doğrusun d dik oln doğru d ise dik doğrulrın eğimleri çrpımı - olcğındn m d m = m d c m = m -( -) d c m = m 4 d = bulunur Sonuçt (0, ) noktsındn geçen ve eğimi m d = oln d doğrusunun denklemi, y - = y = + y = 0 olrk bulunur - 0 89
e Y 4 d nlitik düzlemde verilen d ve e doğrulrı birbirine diktir Şekildeki verilere göre, d doğrusunun Y eksenini kestiği noktnın ordintı bullım X X eksenini (, 0) noktsınd ve Y eksenini (0, 4) noktsınd kesen e doğrusunun denklemi; y 4 + = & 4+ y = ve eğimi m 4 e = - olur d doğrusunun eğimi m d olsun d ^ e m d m e = olduğundn, 4 md$ c- m =- & m d = bulunur 4 (, 0) noktsındn geçen ve eğimi 4 oln d doğrusunun denklemi, y - 0 - (- ) = 4 y 9 & & 4y 9 & y + = 4 = + = 4 + 4 ve = 0 için y 9 9 9 = $ 0 + y, 4 4 & = & c0 m noktsı d doğrusunun Y eksenini kestiği nokt olur 4 4 lıştırmlr şğıd verilen ifdelerde boş bırkıln yerleri doğru olck şekilde doldurunuz enklemi y = oln doğrunun eğimi enklemi y = 4 oln doğrunun eğimi enklemi y + = 0 oln doğrunun eğimi nlitik düzlemde (, 4) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun eğim çısı kç derecedir? şlngıçtn ve (, ) noktsındn geçen doğrunun denklemini yzınız 4 d : y = + n doğrusun dik ve (, ) noktsındn geçen doğrunun denklemini bulunuz 5 (, ), (, ), (, ) ve (, 4) noktlrı veriliyor // olduğun göre, syısını bulunuz 6 (, 4) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun X eksenini kestiği noktnın koordintlrını bulunuz 90
7 nlitik düzlemde (, ) ve (0, 4) noktlrı veriliyor [] nın ort dikme doğrusunun denklemini bulunuz 8 İki rkdş bir spor slonund ms tenisi oynmk istiyor Slon shibi ilk st için 0 lir, sonrki her bir st için 5 lir oyun ücreti istiyor yun süresi st, ödenecek ücret y lir ise, ile y rsınd bir bğıntı bulunuz u bğıntı doğrusl bir denklem olduğun göre doğrunun eğimini bulunuz 9 d Y nlitik düzlemde d ^ d, (0, ), (, 0), (, 0) ve d d = {} olduğun göre, d doğrusu Y eksenini hngi noktd keser? d X v İnceleyerek Öğrenelim üzlemde İki oğrunun irbirine Göre urumlrı d : + b y + c = 0 ve d : + b y + c = 0 doğrulrı verilsin b b = &- =- & m m b b b = ve! & m m b! olur un göre doğru denklemlerinde krşılıklı ve y terimlerinin kt syılrı ornı eşit ise doğrulrın eğimleri eşit, frklı ise eğimler frklıdır Şimdi d : + b y + c = 0 ile d : + b y + c = 0 doğrulrının birbirine göre durumlrını inceleyelim d b c = = ise b c + b y + c = 0 denklemi d + b y + c = 0 denkleminin bir ktıdır slınd bu iki denklem ynı denklem ve belirttikleri d ile d doğrulrı d ynı (çkışık) doğrulrdır d doğrusun it her nokt (d doğrusunun d denklemini sğldığı için) d doğrusunun d bir noktsıdır u durumd, + b y+ c = 0 denklemlerinin her ikisini de sğlyn sonsuz syıd nokt vrdır + by+ c = 0 enklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemnlıdır d b c =! & m m b c = olduğundn frklı oln d ve d d doğrulrı birbirine prleldir + by+ c = 0 u iki doğrunun ortk noktsı olmdığındn sisteminin çözüm kümesi olur + by+ c = 0 9
d d b! ise düzlemde eğimleri frklı bu iki doğru şekildeki b gibi bir noktsınd kesişir + by+ c = 0 (, y) noktsının koordintlrı sisteminin çözümü oln (, y) + by+ c = 0 ikilisidir 4 d m m = ise d ile d doğrulrı şekildeki gibi dik kesişirler d Grfik çizme özelliği oln bir dinmik mtemtik / geometri yzılımı y d grfik hesp mkinesi yrdımıyl; : + y =, b: + y = 4, c: + y = 4 ve d: y = doğrulrının grfiklerini çizerek inceleyelim Y 5 c 4 d 5 4 X 0 4 5 b 4 5 inmik mtemtik / geometri yzılımını çrk Giriş bölümüne + y = yzıp nter tuşun bsrk : + y = doğrusunu, + y = 4 yzıp nter tuşun bsrk b: + y = 4 doğrusunu, + y = 4 yzıp nter tuşun bsrk c: + y = 4 doğrusunu, y = yzıp nter tuşun bsrk d: y = doğrusunun grfiklerini çizdirelim Şekilde görüldüğü gibi ile c doğrulrının denkleminde krşılıklı tüm ktsyılr ornı eşit olduğundn c = = m ile c çkışık doğrulrdır 4 ile b doğrulrının eğimleri ynı olduğundn // b ve ile d doğrulrının eğimleri frklı olduğundn 5 7 c, - m noktsınd kesişirler ynı nedenle, b d = {} ve c, m olur d : y + = 0 ile d : y + = 0 doğrulrının düzlemdeki konumlrını belirleyelim Her iki denklemde krşılıklı kt syılr ornı - = = olduğundn bu iki denklem ynı denk- - lemdir yrıc d denkleminin her iki trfını ile çrprsk d denklemini elde ederiz zmn d doğrusun it her nokt, d doğrusunun d denklemini sğlycğındn d doğrusunun d bir noktsı olur u durumd d ile d çkışık iki doğru olur 9
d : y + = 0 ile d : + y + = 0 doğrulrının düzlemdeki konumlrını belirleyelim oğru denklemlerinde ve y terimlerinin kt syılrı ornı - olduğundn doğrulrın eğimleri frklıdır olyısıyl d ve d tslk şekildeki gibi kesişen iki doğrudur d d = {} olduğundn noktsının koordintlrı her iki doğrunun denklemini de sğlr d d - y+ = 0 ) denklem sisteminin çözümü noktsının koordintlrı olur unun için her iki denklem trf trf toplnrk + y+ = 0 sistem çözülürse; y + = 0 + + y + = 0 4 + 0 + 4 = 0 ( ) y + = 0 y = olur ve (, ) bulunur = d : y + 4 = 0 ile d : ( ) + ( + )y + = 0 doğrulrı prlel olduğun göre syısını bulup bu iki doğrunun grfiklerini çizelim d // d - = - + + = + = = ve d doğrusunun denklemi - 4 c - m+ c + my+ = 0 & + y+ = 0 + 4y + 6 = 0 d : +y + = 0 olur d ve d nin grfiklerini çizelim d : y + 4 = 0 = 0 y = 4 y = = (0, ) d y = 0 = 4 ( 4, 0) d Y d d : + y + = 0 - - = 0 y = (0, ) d y = 0 = (, 0) d olur nlitik düzlemde ile ve ile noktlrı belirtilerek d ve d doğrulrının grfikleri şekildeki gibi çizilir 4 d X 9
d: y + = 0 doğrusun dik oln ve (, ) noktsındn geçen doğrunun denklemini bullım P(, y) (, ) Tslk şekilde görüldüğü gibi d: y + = 0 doğrusun dik oln ve (, ) noktsındn geçen doğru e olsun e d: y + = 0 ik doğrulrın eğimleri çrpımı ( ) e eşit olduğundn m d m e = c- mm - e = me = m e = olur e doğrusunun herhngi bir noktsı y - P(, y) ise m P = m e = =- y = + y = + 5 e doğrusunun denklemi olur - Y 6 d d nlitik düzlemde verilen d ve d doğrulrının kesim noktsı noktsıdır Şekilde verilenlere göre ( ) kç br olur? & ullım X Y 6 d h 4 d X X eksenini (, 0) ve Y eksenini (0, ) noktsınd kesen d doğrusunun denklemi, y + = & + y = ve benzer y şekilde d doğrusunun denklemi, & y 6 - + 6 = - + = bulunur + y = denklemleri trf trf çıkrılırs, - + y = 6 = 6 = = ve + y = ise + y = y = 4 (, 4) noktsı d ile d doğrulrının kesim noktsı olur üçgeninde = ( ) = 6 br ve [] kenrın it yükseklik uzunluğu noktsının ordintı 4 syısıdır Sonuçt ( ) = = = br olur & $ h 6$ 4 94
enklemleri y = 0 ve + y = 0 oln doğrulrın kesim noktsındn geçen ve X eksenine prlel oln doğrunun denklemini bullım + y = 0 Y y = 0 d: + y = 0 doğrusu ile e: y = 0 doğrusunun X f ortk noktsı (, y) olsun noktsının koordintlrı ) -y- = 0 + y = 0 sisteminin ortk çözümüdür d e Sistemdeki denklemler trf trf toplnırs = 0 = ve + y = 0 + y = 0 y = ve (, ) bulunur Sonuçt (, ) noktsındn geçen ve X eksenine prlel oln şekildeki f doğrusunun denklemi y = olur Y 45 d d (, y) X nlitik düzlemde; (, y), (, 0), (0, ), (0, ), d d = {} ve d doğrusunun eğim çısı 45 olduğun göre + y toplmını bullım X ve Y eksenlerini sırsıyl ve noktlrınd kesen d doğrusunun denklemi y - + = + y =, d doğrusunun eğimi m = tn 45 = ve (0, ) noktsındn geçen y -(-) d doğrusunun denklemi = y + = y = olur d - 0 d = {} olduğundn, y = sisteminin çözümü noktsının koordintlrı olur Sistemdeki denklemler trf + y = trf toplnırs, 5 5 5 9 y = 5 y = ve y = = = + = 9 5 9 5 4 (, y) = c, m ve + y = + = = 7 bulunur 95
lıştırmlr Y nlitik düzlemde, d : + y 6 = 0 ve d : + y 6 = 0 doğrulrının grfikleri verilmiştir un göre şekildeki dörtgeninin lnı kç br olur? d d X Y nlitik düzlemde (0, ), (, 0) noktlrı verilsin doğrusunun denklemini yzınız X d : y + = 0 ile d : ( ) y 4 = 0 doğrulrı birbirine prlel olduğun göre syısını bulunuz 4 d : y + = 0 ile d : 4y + c = 0 doğrulrı çkışık olduğun göre, + c toplmını bulunuz 5 d : y = 0 ve d : + y 4 = 0 doğrulrının kesim noktsındn ve bşlngıçtn geçen doğrunun denklemini bulunuz 6 enklemleri y + 5 = 0 ve + y + = 0 oln doğrulrın kesim noktsının eksenlere oln uzklıklrı toplmını bulunuz 7 enklemleri + y + 5 = 0, y + = 0 ve by + 6 = 0 oln doğrulr, ynı noktdn geçtiğine göre b syısını bulunuz m + y - = 0 8 m, n olmk üzere, ) denklem sisteminin çözüm kümesi olduğun göre m syısını ( - m ) + 4y + = 0 bulunuz 9 ( m+ ) + y+ n = 0 ) m, n + + ( m- ) y+ n- = 0 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemnlı olduğun göre, m + n syısını bulunuz 96
NLİTİK ÜZLM İR NKTNIN İR ĞRUY UZKLIĞI nlitik düzlemde (, y ) noktsının d: + by + c = 0 doğrusun oln uzklığı H = + by+ c + b olur Gösterelim Y ( y, y ) α d: + by + c = 0 c b = y H X nlitik düzlemde şekildeki gibi bir noktsı ve d doğrusu verilmiş olsun [H] ^ d ise noktsının d doğrusun uzklığı H olur Yukrıd verilen şekilde; (, y) d + by + c = 0 y = - c - b c = y y = y - - - = y b + c by c by c + + + + + = = b b b ve d doğrusunun eğim çısının ölçüsü α ise H dik üçgeninde m(pple) = olur α + b b d: + by + c = 0 doğrusunun eğimi, m d = tnα = - ve bun göre b yndki dik üçgende cosα = b + b bulunur iğer yndn yukrıdki şekilde H dik üçgeninde, H cos α = = H b $ H = + by+ c + by+ c b olduğundn ve bğıntılrındn; b b $ H + by+ c = cos α = & H = by c b + + + + b bulunur 97
(5, ) noktsının d: 4y + 8 = 0 doğrusun oln uzklığını bullım ir (, y ) noktsının + by + c = 0 doğrusun oln uzklığı h = (5, ) noktsının d: 4y + 8 = 0 doğrusun uzklığı, + by+ c + b olduğundn, H = $ 5-4( - ) + 8 + (-4) = 5 + + 8 5 5 = = 7 br bulunur 5 nlitik düzlemde d: y = doğrusunun (, 5) noktsın en ykın noktsının koordintlrını bullım (, 5) Tslk şekilde görüldüğü gibi d için [] ^ d ise d doğrusunun noktsın en ykın noktsı olur P(, y) d: y = m d = ve ^ d m = ( ) olur P(, y) için m P = m olcğındn, d: y = y - 5 = y 5 = + 4 + y = 9 - doğrusunun denklemi olur d = {} noktsını bulmk için, - y = sistemini çözelim + y = 9 lttki denklemde = y + yzılırs (y + ) + y = 9 4y + 4 + y = 9 5y = 5 y = ve y = = = 4 bulunur Sonuçt d doğrusunun noktsın en ykın noktsı (4, ) olur (, y) noktsının d: y = 4 doğrusun oln uzklığı br olduğun göre y syılrını bullım d: y = 4 4y = 0 ve (, y) noktsının d doğrusun uzklığı br olduğundn, = $ - 4y 6-4y 6-4y = 0 & y =- & = & 6-4y = 0 & ) bulunur 5 6-4y =- 0 & y = 4 + (- 4) 98
İnceleyerek Öğrenelim Prlel İki oğru rsındki Uzklık H d d üzlemde prlel iki doğru rsındki uzklık doğrulrdn biri üzerinde lınn bir noktnın diğer doğruy oln uzklığıdır d // d d : + by + c = 0 ve d : + by + c = 0 olur (, y) d lındığınd noktsının d doğrusun uzklığı d ile d rsındki uzklık olcğındn şekilde, H = + by + c + b bulunur iğer yndn, (, y) d + by + c = 0 + by = c olduğundn bu değer son bulunn ifdede yerine yzılırs + by + c = 0 ile + by + c = 0 doğrulrı rsındki uzklık, H = + by + c + b = - c+ c + b & H = c - c + b olur İki doğru kesişiyor vey çkışıyor ise bu iki doğru rsındki uzklık sıfırdır m olmk üzere m + y = ve + (m + ) y = denklemleri ile verilen iki doğru prlel olduğun göre bu iki doğru rsındki uzklık kç birimdir? ullım d : m + y = 0 ve d : + (m + ) y + = 0 doğrulrı prlel ise, m - = m + olcğındn m(m + ) = m + m = 0 (m + )(m ) = 0 ise m = ve m = bulunur m = için doğrulr çkışık olcğındn m = m = olmlıdır un göre, d : + y = 0 ve d : + ( + ) y + = 0 + y + = 0 + y + = 0 olur c =, c = ve = b = olduğundn bu iki doğru rsındki uzklık, h = c- c & h = -- = 4 = br olur + b + d : 4y = 0 ve d : y = 5 doğrulrı rsındki uzklık kç birimdir? ullım (0, 0) d d : 4y = 0 y = 0 m = d : y 5 = 0 m = ve olduğundn d ve d doğrulrı ynd verilen şekildeki gibi prleldir d H (0, 0) d : y = 0 olduğundn noktsının d doğrusun uzklığı d ile d rsındki uzklıktır un göre bu uzklık, H = 0- $ 0-5 + (- ) 5 5 = - = = 5 br bulunur 5 5 99
4 ÜNİT ÖLÇM V ĞRLNİRM SRULRI Y X Yukrıd verilen koordintlndırılmış bölgede, ve durklrı doğrusl bir yol üzerindedir (, ), (8, 7) ve = ise, durğının koordintlrı toplmı kçtır? ) 8 ) 9 ) 0 ) ) prlelkenr (, ), (7, ), (9, 6) ise, noktsının koordintlrı toplmı kçtır? ) ) 6 ) 9 ) ) 5 nlitik düzlemde (, 6) ve (7, ) noktlrı verilsin [] nın ort noktsının bşlngıc uzklığı kç birimdir? ) ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 4 Köşe koordintlrı (, ), (, ) ve (4, ) oln üçgeninde [] kenrın çizilen kenrorty uzunluğu kç birimdir? ) ) ) 4 ) ) 4 00
5, b olmk üzere, (b, b) noktsı nlitik düzlemin II bölgesinde ise, ( b, b ) noktsı hngi bölgededir? ) I ) II ) III ) IV ) I ve III = ornınd içten bölen nokt- 6 (, ) ve (, 8) noktlrı veriliyor [] nı sının koordintlrı çrpımı kçtır? ) ) ) ) 4 ) 5 7 (, 4) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun eğim çısı kç derecedir? ) 45 ) 60 ) 0 ) 5 ) 50 8 enklemi y + = 0 oln doğruy dik ve (, ) noktsındn geçen doğrunun denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) y = ) y = ) y = + ) y = + ) y = + 9 Tslk şekilde verilen üçgeninde [H] ^ [], (, ), (, 4) ve (, ) ise, H doğrusunun denklemi şğıdkilerden hngisidir? H ) 7 + 4y = 0 ) 7 4y = 0 ) 4 + 7y = 0 ) 4 7y + = 0 ) y = + 0
0 nlitik düzlemde (, ) ve (, 5) olmk üzere [] nın ort dikmesinin denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) y = + 6 ) y = 6 ) y = 6 ) y = + 6 ) y = + 6 nlitik düzlemde (0, ) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun denklemi hngisidir? ) + y + = 0 ) + y + = 0 ) + y = 0 ) y + = 0 ) y = + d : k + y = 0 ile d : (k ) y + = 0 doğrulrı prlel olduğun göre, k syısı şğıdkilerden hngisidir? ) - ) ) - ) ) d : y + = 0 ile d : ky + m = 0 doğrulrı çkışık olduğun göre, k + m toplmı kçtır? ) ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 4 d : y + = 0 ile d : + y + = 0 doğrulrının kesim noktsındn ve bşlngıçtn geçen doğrunun denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) y = ) y = ) y = ) y = ) y = 0
5 enklemleri, + y + = 0, y + = 0 ve 4y + k = 0 oln doğrulr ynı noktdn geçtiğine göre, k syısı kçtır? ) ) ) ) ) 6 Y Koordint düzleminde gösterilen trlı yrı çık düzleminin noktlrı şğıdki bğıntılrdn hngisini sğlr? X ) + y + 6 < 0 ) y 6 > 0 ) + y 6 > 0 ) + y 6 < 0 ) y 6 < 0 7 nlitik düzlemde (, ) ile (m, m ) noktlrı d: y + =0 doğrusunun frklı trflrınd bulunduklrın göre, m syısı hngi rlıktdır? ) (, 5] ) (, 5) ) [, 5) ) [5, ) ) (5, ) 8 Y Koordint düzleminde (0,) ve (,0) olduğun göre, üçgensel bölgesinin noktlrı şğıdki sistemlerden hngisini sğlr? X ) + y > ) + y ) + y > 0 0 > 0 y > 0 y 0 y > 0 ) + y ) + y 0 0 0 y 0 y > 0 0
9 8 oy (cm) Ynd verilen grfik boylrı cm oln iki mumun zmn göre değişimini göstermektedir un göre, I mum bittiğinde II mumun boyu kç cm olur? 4 I II Zmn (st) ) ) 4 ) 5 ) 6 ) 8 0 y (, 4 ) % nlitik düzlemde şekilde m ( ) = 60c göre, ( ) kç br olur? ve (, 4 ) olduğun 60 ) ) ) ) ) nlitik düzlemde y + 4 = 0 denklemi ile verilen doğruy (, ) noktsındn çizilen dikmenin X eksenini kestiği noktnın psisi kçtır? ) ) ) 4 ) 5 ) 6 Y nlitik düzlemde verilen şekilde kre, (0, ) ve (, 0) olduğun göre, noktsının koordintlrı toplmı kçtır? X ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 04
d Y = 6 d : y = +, d : y = - + 5 ve d : = 6 doğrulrı verilsin nlitik düzlemde d y = +, d, d ve Y eksenin d y = - + 5 X sınırldığı trlı bölgenin lnı kç br olur? d ) 9 ) 0 ) ) ) 4 Y X nlitik düzlemde verilen şekilde = {}, (0, 4), (4, 0), (0, ) ve (6, 0) olduğun göre, () kç br olur? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 5 d : y = 0 ile d : m y + = 0 doğrulrı d: y = doğrusu üzerinde kesiştiklerine göre, m syısı şğıdkilerden hngisidir? ) ) ) 4 ) 5 ) 6 6 + y 6 = 0 ve + ( + )y + 4 = 0 denklemleri ile verilen doğrulr prlel olduğun göre, syısı şğıdkilerden hngisi olbilir? ) ) 0 ) ) ) 7 Y (, ) nlitik düzlemde verilen şekilde =, (, ) olduğun göre, ( ) kç br olur? X ) ) 7 ) 4 ) 9 ) 5 05
y 8 b 0 olmk üzere, denklemi - + = oln doğru eksenleri ve noktlrınd kesmektedir ( ) = 0 br olduğun göre, b + syısı kçtır? 4 b ) ) ) ) 4 ) 5 9 nlitik düzlemde verilen üçgeninde (, 0), (, ) ve ğırlık merkezi G(, 5) olduğun göre, V b kenrorty uzunluğu kç birimdir? ) 5 ) 9 ) ) 5 ) 8 0 nlitik düzlemde köşelerinden biri bşlngıç noktsı oln üçgeninde (, ) ve (6, 0) veriliyor üçgeninin ğırlık merkezi G olduğun göre, G kç birimdir? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 Tbnlrı d : + 4y = 0 ve d : 6 + 8y + 6 = 0 doğrulrı üzerinde bulunn ymuğunun lnı 0 br olduğun göre, + toplmı kç birimdir? ) 7 ) 8 ) 0 ) ) (, ) noktsının 5 + y + + = 0 doğrusun uzklığı birim olduğun göre, syısının lbileceği değerler toplmı kçtır? ) 4 ) ) ) ) 06
5 ÜNİT ÖRTGNLR V ÇKGNLR 5 : örtgenler ve Özellikleri 5 : Özel örtgenler 5 : Çokgenler 50 50 40 ünymız yklşık olrk küre biçimindedir nun üzerinde bir üçgen çizmeye klktığımızd o üçgenin iç çılrının toplmı 80 dereceden büyük olur Yukrıdki resim ve şekillerde bu durum gösterilmektedir ys ortdki düzlem hritd bir üçgenin iç çılrının toplmı 80 derecedir Küresel Geometri Öklid (uclides) dışı geometrilerin vrlığı, 9 yüzyıld keşfedildi unu keşfeden dört mtemtikçi şunlrdır: Guss (777-855), N Lobchevsky (79-856), J olyi (80-860) ve Riemnn (86-866) u keşif, üny nın düz değil de yuvrlk olduğunun kıl düzeyindeki keşfinden sonr orty çıkmış ve Öklid geometrisinin mutlk doğru olmdığı nlşılmıştır vid Hilbert, 899 d Geometri nin Temelleri (Grundlgen der Geometri) dlı ypıtınd Öklid in ypmk istediğini (bugünkü nlmd) çok dh mtemtiksel olrk ypmıştır Öklid geometrisi düzlemde geçerlidir ve yerel olrk iyi bir yklştırmdır üny o denli büyüktür ki, küçük uzklıklrı ölçerken bu üny nın eğriliği göze çrpmz Örneğin önümüzdeki kâğıt düzdür ve ord çizeceğimiz üçgenin iç çılrı toplmı 80 derecedir Sonr mtemtikçiler Öklid-dışı geometrileri keşfettiler Prlel doğrulr, düz bir yüzey üzerinde kesişmez Küresel bir yüzeyde bütün doğrulr kesişebilir Hiperbolik bir yüzeyde kesişmeyen birçok doğru bulunur Öklid geometrisini, bir duvr ustsı kullnbilir; m okynust giden bir denizci kullnmz Öklid-dışı geometrilerin keşfedilmesi, slınd bin yıllr dyns d bzı sistemlerin biricik olmdığını gösterdi Öklid geometrisi, kendi içinde tutrlıdır ve olnklı geometri sistemlerinden sdece biridir Yukrıdki şekilde görüldüğü gibi üny üzerindeki bir üçgenin iç çılrı toplmı 80 dereceden büyüktür; m bir hrit üzerindeki üçgenin iç çılrı toplmı 80 derecedir Kynk: wwwtominsnnet 07
5 : ÖRTGNLR V ÖZLLİKLRİ 5: örtgenin Temel lemnlrı ve Özellikleri ÖRTGNİN TML LMNLRI V ÖZLLİKLRİ γ θ d γ ß c α ß α b θ ışbükey dikdörtgen İçbükey dörtgen Herhngi üçü doğrusl olmyn dört noktyı birleştiren doğru prçlrının oluşturduğu kplı şekle dörtgen, kplı şeklin içine dörtgenin iç bölgesi, dışın dörtgenin dış bölgesi, dörtgen ile iç bölgesinin birleşimine dörtgensel bölge denir u kitpt dörtgensel bölgenin lnı yerine kısc dörtgenin lnı deyimini kullncğız Yukrıdki şekillerde verilen dörtgenlerinde,, ve noktlrı dörtgenin köşeleri, [], [], [] ve [] dörtgenin kenrlrı, =, = b, = c ve = d kenr uzunluklrıdır (, b, c, d + ) Şekillerde ölçüleri m ( W ) = α, m( W ) = β, m ( X ) = θ ve m( X ) = γ oln çılr iç çılr, iç çılrın bütünleyenlerine ise dış çılr denir ışbükey örtgen: ir dörtgende tüm iç çı ölçüleri 80 dereceden küçük ise bütün köşelerde bükülme şeklin dışın doğru olduğundn bu tür dörtgenlere dışbükey (konveks) dörtgen denir İçbükey örtgen: örtgende en z bir iç çı ölçüsü 80 dereceden büyük ise o köşedeki bükülme şeklin içine doğru olduğundn bu tür dörtgenlere iç bükey (konkv) dörtgen denir dörtgeninde rdışık olmyn köşeleri birleştiren [] ve [] n köşegen dı verilir u kitptki nltımd dörtgen denilince dışbükey dörtgen nlşılmlıdır 08
örtgende çılr İnceleyerek Öğrenelim İçbükey ve dışbükey dörtgenlerde iç çı ölçülerinin toplmı 60 olur Gösterelim γ γ α α α ß α ß Yukrıdki şekillerde görüldüğü gibi bir dörtgeninde [] köşegeni çizlirse elde edilen ve üçgenlerinde, + α+ ß+ θ = 80 olur u eşitlikler trf trf toplnırs, α+ γ + θ = 80 ( + ) + ß + ( + ) + γ = 80 + 80 + ß + + γ = 80 = 60 bulunur örtgende dış çı ölçüleri toplmı 60 olur Gösterelim d γ θ c Şekilde dörtgeninde iç çılrın bütünleyenlerinin ölçüsü, b, c ve d dış çı ölçüleridir α β b un göre, + b + c + d = (80 α ) + (80 β ) + (80 ) + (80 γ ) = 480 ( α + β + + γ ) = 480 80 = 80 = 60 olur Şekildeki içbükey dörtgeninde verilenlere göre, θ = α + β + olur Gösterelim α ß θ Şekilde görüldüğü gibi = {} olsun % m ( ) = α+ θ ve üçgeninde dış çı ölçüsü = α + β + olur α ß 09
70 bir dörtgen, [], [], [] ve [] iç çıortylrdır Şekilde m ( ) = 70c % ise m ( ) = kç derecedir? ullım d d L 70 K c c b b Şekilde [], [], [] ve [] çıorty olduğundn dörtgeninde iç çı ölçüleri toplmı, + b + c + d = 60 + b + c + d = 80 olur iğer yndn ve üçgeninde, + + b+ = 80c c+ d+ 70c = 80c olduğundn bu eşitlikler trf trf toplndığınd, + b+ c+ d + + 70 = 80 + 80 + 70 = 80 = 0 bulunur 444444 80c 0 dörtgeninde, [] ve [] dış çıorty, m ( X ) = 90c m( X ) = 0c, olduğun göre, % m( ) = kç derecedir? ullım 60 0 Şekilde % % m ( ) = m( ) = * % % m( ) = mk ( ) = b olsun b b dörtgeninde dış çı ölçülerinin toplmı, + b + 90 + 60 = 60 + b = 0 + b = 05 K bulunur Sonuçt üçgeninde, + + b = 80 + 05 = 80 = 75 olur 0
bir dörtgen [] ve [] çıortylr m ( W ) = 60c ve m( W ) = 80c olduğun göre m ( % ) = kç derecedir? ullım 60 80 Şekildeki gibi, d d c % % c m ( ) = m( ) = α % % 4 olsun m ( ) = m( ) = β dörtgeninde, 60 80 m ( W) + m( W ) + m ( X) + m( X ) = 60c 60 + 80 + c + d = 60 c + d = 60 40 = 0 c + d = 0 ve üçgeninde + c + d = 80 + 0 = 80 = 70 bulunur bir dikdörtgen ~ ~ 0 70 [] ve [ çıortylr m( W ) = 70c m( X ) = 0c olduğun göre m( % ) = kç derecedir? ullım ~ ~ c c 0 80 70 m ( % ) = m ( % ) = % % 4 m ( ) = m ( ) = c olsun ve dörtgenlerinde iç çı ölçüleri toplmı 60 olduğundn, + 0 + c + 80 = 60 = + 70 + c + 80 + 0 = 70 + = 0 70 = 0c- 70c 60c = = 0c bulunur
İnceleyerek Öğrenelim b b ir dörtgeninde rdışık köşelerdeki iki iç çıorty [] ve [] olsun Şekilde, % m ( X) + m( X ) m( ) = = olur Gösterelim dörtgeninde iç çı ölçüleri toplmı, m ( W) + m( W ) + m ( X) + m( X ) = 60c & + b+ m ( X) + m( X ) = 60c m ( X) + m( X ) ( + b) + = 80 ve üçgeninde ( + b) + = 80 olduğundn, m ( X) + m( X ) = olur c c dörtgeninde rdışık olmyn iki köşedeki iç çıorty [] ve [ olsun Şekilde, [] ve [ çıortylrının belirttiği dr çının ölçüsü, % m( ) = = m( X )- m( W ) olur Gösterelim Şekildeki iç bükey dörtgeninde ve dörtgeninde iç çı ölçüleri toplmı 60 olduğundn; + m( W ) + c + (80 + ) = 60 = + m( X ) + c + 80 m( X )- m( W ) m( W ) + = m( X) - & = m( X) - m( W) & = bulunur Yukrıdki şekilde dörtgeninin çiziminde, m( X ) m( W ) & m( X )- m( W ) 0 & m( X )- m( W ) = m( X )- m( W ) olduğun dikkt edelim 80 0 Ynd verilen dörtgeninde [ ve [) iç çıorty, m ( W ) = 80c ve m ( X ) = 0c olduğun göre kç derecedir? ullım [ ve [) çıortylrının belirttiği dr çının ölçüsü şekilde, = m ( W) - m ( X) 0c- 80c = = 0c bulunur
dörtgeninde; 60 G [] ve [] dış çıortylr, m ( W ) = 90c m ( X ) = 60c ise m( % ) = kç derecedir? ullım Şekilde m( ) = m( ) = ve m( ) = m(g ) = ß olsun dörtgeninde, köşesinde dış çı ölçüsü 90 ve köşesinde dış çı ölçüsü 80 60 = 0 olduğundn dış çı 60 ölçüleri toplmı, 0 G 90 + + 0 + = 60 ( + ) = 50 + = 5 bulunur içbükey dörtgeninde, 60 = + + ve + = 5 olduğundn, 60 = + 5 = 5 bulunur 0 dörtgeninde [] iç çıorty, [] dış çıorty m ( W ) = 90c, m( X ) = 0c ise m ( % ) = kç derecedir? ullım 0 Şekildeki dörtgeninde m ^ h = m ^ h = α, m ^ h = m ^ h = β olsun 80 % m ( ) = 80 ve iç çı ölçüleri toplmı, 90 + + (80 ) + 0 = 60 40 = ( ) = 0 bulunur iğer yndn üçgeninde dış çı ölçüsü, = + = = 0 elde edilir
lıştırmlr 60 70 y G Şekilde bir dörtgen, % mg ( ) = 70, % m( ) = 60, m ( % ) = ve m( G % ) = y ise + y toplmı kç derecedir? dörtgeninde [], [], [] ve [] iç çıortylr 00 % m( ) = 00c ise m ( % ) = kç derecedir? dörtgeninde [] ve [ iç çıortylr, m( W ) = 90c, m( X ) = dir un göre, şekildeki m( % ) = kç derecedir? 4 08 dörtgeninde [] ve [] iç çıortylrdır m( W ) = m ( W ) ise m ( W ) = kç derecedir? 5 K 60 dörtgeninde [] [] = {K}, % = = 8 cm, m( K) = 60 ve ile kenrlrın ort noktlrı olduğun göre, kç cm dir? 4
örtgenin lnı c Şekildeki gibi iki kenr uzunluğu ve bu kenrlr rsındki çının sinüs değeri bilinen bir üçgeninin lnının & ( ) = c sin α olduğunu 9 sınıf mtemtik derslerinde öğrenmiştik u bilgiden fydlnrk köşegen uzunluklrı ve köşegenler rsındki çının sinüs değeri bilinen bir dörtgenin lnının nsıl hesplnbildiğini görelim İnceleyerek Öğrenelim dörtgeninde köşegen uzunluklrı = e, = f ve köşegenler rsındki çının ölçüsü α ise dörtgeninin lnı, ( ) = esin f α olur Gösterelim f e K 80 [] [] = {K}, K = e, K = e, K = f, K = f olsun un göre e + e = e ve f + f = f olur & & & & & K ( ) + K ( ) + ( K) + K ( ) = ( ) e f ve sin(80 α ) = sinα olduğundn; () = e f sinα + e f sin(80 α) + e f sinα + e f sin(80 α) = e f sinα + e f sinα + e f sinα + e f sinα = sinα(e f + e f + e f + e f ) = sinα [f (e + e ) + f (e + e )] = sinα (e f + e f ) = sinαe(f + f ) ve sonuçt () = efsinα elde edilir Sonuç d c H b Köşegenleri dik oln bir dörtgeninde e$ f () = efsin90 () = olur 5
dörtgeninde köşegen uzunluklrı = 4 cm, ll = 6 cm ve köşegenler rsındki çının ölçüsü 60 ise bu dörtgensel bölgenin lnını bullım dörtgeninin lnı; ef sin α 4 6 sin 60c () = = 60 = sin60 = e o = 8 cm olur içbükey dörtgeninde = e, l = f ve köşegenler % rsındki çının ölçüsü m( ) = α ise () = efsin olduğunu gösterelim Şekilde K dışbükey dörtgen olck şekilde K [ seçilsin (K) = lklllsin ve e (K) = lklllsin eşitlikleri trf trf çıkrılırs, (K) (K) = sin ( K K ) K () = sin () = efsin elde edilir 6
tkinlik uu ir dörtgeni ve kenr ort noktlrının birleştirilmesiyle G oluşturuln GH dörtgenini şekildeki gibi çiziniz u u = e, = f ve köşegenler rsındki çının ölçüsünü olrk lınız H uu üçgeninde [] nın ort tbn olduğunu dikkte lrk nu = e türünden bulunuz uu üçgeninde [GH] nın ort tbn olduğunu dikkte lrk GH nu d e türünden bulunuz u u I ve GH uzunluklrını krşılştırınız uu üçgeninde [G] ve üçgeninde [H] nın ort tbn olduğunu dikkte lrk G ve H uzunluklrını f türünden yzınız u u [] // [] // [GH] ve [H] // [] // [G] olduğun göre HG, G çılrı ve H, GH çılrının ölçülerini türünden yzınız tkinlik bsmklrındn elde ettiğiniz bilgileri kullnrk GH dörtgeninin prlelkenr olup olmycğını gerekçeleri ile belirtiniz u u + toplmını e ve f türünden yzınız u u + G + GH + H toplmını e ve f türünden yzınız + ile + G + GH + H toplmlrının sonuçlrını krşılştırrk Ç(GH) yi veren bir eşitlik yzınız uu dörtgensel bölgesinin lnını veren bğıntıyı yzınız HG üçgeni ile G üçgeninin lnlrını veren bğıntılrın toplmını yzınız (Üçgenlerin ln bğıntılrınd sin yı kullnınız) () bğıntısı ile HG ( & ) + G ( & ) toplmını krşılştırrk dörtgeninin bölgesinin lnı ile GH dörtgeninin lnı rsındki bğıntıyı yzınız unlrı ilelim G dörtgeninde,, G ve H kenrlrın ort noktlrı, = e ve = f ise GH dörtgeni bir prlelkenr, H Ç(GH) = e + f, () = (GH) olur 7
H Resimdeki dörtgeni biçimindeki bir bhçede ölçüm ypıldığınd,, G ve H kenrlrın ort noktlrı, [] ^ [G], = 4 m, G = 5 m olduğu görülmüştür G hçedeki GH bölgesine gül ekilip geriye kln yerler çimlendirilecektir un göre, gül ekilen bölgenin ve çimlendirilmiş bölgenin lnını, bölgesinin köşegen uzunluklrını ve gül ekilen bölgeyi çevrelemek için kç metre tel gerektiğini bullım 4 H 5 G,, G ve H ort noktlr olduğundn bhçedeki GH bölgesi bir prlelkenr htt bir çısının ölçüsü 90 olduğundn dikdörtgen olur Gül bhçesinin lnı, (GH) = 45 = 0 m, () = (GH) = 0 = 40 m ve çimlendirilmiş bölgenin lnı S = 40 0 = 0 m bulunur üçgensel bölgesinde [G] ort tbn olduğundn, = G = 5 = 0 m ve üçgensel bölgesinde [] ort tbn olduğundn, = = 4 = 8 m olur Sonuçt gül ekilen bölgeyi çevrelemek için, Ç(GH) = + = 0 + 8 = 8 m tel gerekir nlitik düzlemde köşelerinin koordintlrı (, ), (7, ), (5, 4) ve (, 4) oln dörtgeni veriliyor dörtgeninin kenrlrının ort noktlrını köşe kbul eden dörtgenin çevresini bullım Y dörtgeninin kenrlrının ort noktlrı,, G, H olsun (, 4) (5, 4) Ç(GH) = + olduğundn iki nokt rsındki uzklık bğıntısı ile, H (, ) X (7, ) = ( 5- (- )) + ( 4- (- ) = 8 + 6 = 0 birim = ( 7- ) + ( 4- (- )) = 6 + 6 = 6 birim bulunur Sonuçt GH prlelkenrının çevresi, Ç(GH) = + = 0 + 6 birim olur 8
lıştırmlr şğıdki ifdelerde boş bırkıln yerlere uygun kelimeleri yzınız Herhngi bir dörtgenin kenrlrının ort noktlrını birleştirerek elde edilen dörtgen bir ir dörtgeninin köşegen uzunluklrı toplmı, bu dörtgenin kenr ort noktlrını birleştiren dörtgenin eşittir ir dörtgeninin lnı bu dörtgenin kenrlrının ort noktlrını birleştiren dörtgenin lnının ktıdır G dörtgeninde [] ve [] köşegenlerinin ort noktlrı sırsıyl H ve dir 4 H 6 =, G = G, = 6 cm ve = 4 cm ise, GH dörtgeninin çevresi kç cm dir? içbükey dörtgeninde,,, G ve H kenrlrın ort noktlrıdır H Ç(GH) = +, G b (GH) = () olduğunu gösteriniz 4 Ynd verilen üçgeninde; [H] ^ [], = cm, = 6 cm olduğun göre, içbükey dörtgeninin lnını bulunuz H 5 H G dörtgeninde,, G ve H kenrlrının ort noktlrı, [] ^ [], = 6 cm, = 8 cm olduğun göre, (GH) kç cm olur? 9
5 : ÖZL ÖRTGNLR 5: Ymuk, Prlelkenr, şkenr örtgen, ikdörtgen, Kre ve eltoit ile İlgili çı ve Uzunluk ğıntılrı 5: Ymuk, Prlelkenr, şkenr örtgen, ikdörtgen, Kre ve eltoidin ln ğıntılrı 5: örtgenlerin ln ğıntılrının Problem Çözme ve Modellemede Kullnılmsı YMUK V YMUĞUN ÖZLLİKLRİ Ymuk: h H n z iki kenrı prlel oln dörtgene ymuk denir Ymuğun prlel oln kenrlrın ymuğun tbnlrı, prlel olmyn kenrlrın yn kenrlr (yklr), tbnlrı tşıyn doğrulr rsındki tbnlr dik doğru prçsın d ymuğun yüksekliği denir Şekilde [H] ^ [] ise ymuğunun yüksekliği h dir ir ymukt bir yn kenrl tbnlrın oluşturduğu iç çı ölçülerinin toplmı 80 olur ymuğund [] // [] ise m ( W) + m( X ) = 80, m( W ) + m ( X ) = 80 olur İkizkenr Ymuk: h h K L Yn kenrlrının uzunluklrı eşit oln ymuğ ikizkenr ymuk denir İkizkenr ymukt tbn çılrının ölçüleri eşittir Ynd verilen ikizkenr ymuğund, [] // [] ve = ise m ( W) = m( W ) ve m ( X) = m( X ) olur ik Ymuk: h Yn kenrlrındn biri tbnlr dik oln ymuğ dik ymuk denir Yndki dik ymuğund, [] // [] ve ^ olduğundn [] ymuğun yüksekliği olur 0
00 ymuk, [] // [] % m ( ) = 00c %, m( ) = 50c, 6 = 6 cm, = cm ise = kç cm dir? ullım 50 00 6 6 50 80 80 6 50 % % m( ) = m ( ) = 80 % 50 + 80 + m ( ) = 80 ( ) ve sonuçt ll = = + 6 = 9 cm bulunur [] // [] olduğundn yn kenrl tbnlrın oluşturduğu iç çı ölçülerinin toplmı, m ( W) + m( X ) = 80 & m ( W) + 00 = 80 & m ( W ) = 80 bulunur köşesinden [] // [] çizilirse prlelkenr olcğındn, = = cm, = = 6 cm ve yöndeş çılrdn, elde edilir üçgeninde iç çı ölçüleri toplnırs, % m = 50 l = = 6 cm 96 % ymuk, [] // [], m ( ) = 96 [] ^ [], = ve = ise m ( % ) = kç derecedir? ullım 4 96 4 ymuğunun [] köşegeni çizilirse, üçgeni [] yüksekliği tbnı iki eş prçy yırdığı için ikizkenr olur = olduğundn, % % m( ) = m ( ) = α ve = verildiği için % % m ( ) = m ( ) = 4, [] // [] olduğundn d iç ters çılrın ölçüleri = 4 = olur % Sonuçt m ( ) = = + 4 = + 4 = 6 bulunur
tkinlik L c K y y ir ymuğund; [] // [], = ve = c olsun Yn kenrlrın ort noktlrını birleştiren doğru prçsının + c tbnlr prlel ve uzunluğunun olduğu şğıd isptlnmktdır oş bırkıln yerleri doldurunuz Verilen: [] // [], = =, = = y İstenen: [] // [] // [] ve = + c İfdeler Gerekçeler = {K} üzlemde prlel olmyn doğrulr bir noktd kesişir K K & = K de [] // [], Temel rntı Teoremi y K K = y K K 4 = 4 =, y = verildi & 5 5 K de Temel rntı Teoremi Krşıtı 6 L = c 6 üçgeninde [L] ort tbn 7 7 üçgeninde [L] ort tbn 8 = L + L 8 c 9 = + 9 İstenen unlrı ilelim Ymukt rt Tbn: c Yn kenrlrın ort noktlrını birleştiren doğru prçsın ymuğun ort tbnı denir rt tbn tbnlr prleldir Şekildeki ymuğund [] // [] =, =, = ve = c ise = + c ve [] // [] // [] olur
inmik mtemtik / geometri yzılımını kullnrk bir ymukt iç çıortylrın ort tbn üzerinde dik kesiştiğini görelim K h M h inmik geometri yzılımını çıp sğ kısımdki geometri sekmesini tıklyrk doğru prçlrı ile bir ymuğunu çizelim [] // [] olsun Yzılımın üst kısmındki 4 kutud bulunn ( ) çıorty seçeneği yrdımıyl,, ve köşelerindeki çıortylrını çizerek kesim noktlrını şekildeki gibi ve ile isimlendirelim h h Yzılımın çı ölçme rcı L N ( ) yrdımıyl m( ) = m( ) = 90 ve ve uzunluk ölçme rcı ( ) yrdımıyl ile noktlrının tbnlr uzklıklrı K = L = M = N = h bulunur Şekilde MK, NL dikdörtgen ve // KM // LN olduğundn ort tbnı tşıyn doğru olur Görüldüğü gibi bir ymukt iç çıortylr ort tbn üzerinde dik kesişmektedir ymuğund, [] // [] // [] [] ve [] çıortylr, 6 = cm, = 6 cm ise + toplmı kç cm dir? ullım H L K P Önce bir ymukt yn kenrl tbnlrın oluşturduğu ve köşesindeki iç çıortylrın ort tbn üzerinde dik kesiştiğini gösterelim noktsındn geçen ve tbnlr dik oln [HL] ile [K] ^ [] çizilirse, [] çıorty olduğundn, H = K ve [] çıorty olduğundn K = IL sonuçt H = K = L bulunur un göre çıortylr ort tbn üzerindeki noktsınd kesişirler % % % % m ( ) = m ( ) = α, m ( ) = m ( ) = β ve [] // [] olduğundn, + = 80 + = 90 üçgeninde m( W ) = 90c olur [] // [] ve noktsı tbnlr eşit uzklıkt olduğundn [] uztıldığınd elde edilen [P] ymuğun ort tbnıdır [P] dik üçgeninin hipotenüsünün kenr ortyı olduğu için de P = P = P = cm bulunur Sonuçt, ymuğunun ort tbn uzunluğu, P = + P = + = 6 = + + = cm elde edlir
bir ymuk, [] // [] // [], 4 =, = 7 cm = 4 cm ise = kç cm dir? ullım 7 k k K k Şekilde [K] // [] çizilirse oluşn K prlelkenrınd, k L 4 7 K = L = =, L = 4, K = 7 = L = k ve = KL = k elde edilir Yöndeş çılrdn, ml ( % ) = mkm ( % ) = α % % ve m ( ) = m ( ) olur benzerlik kurlın göre & & 4 - k L + K & = = 6 4 = 7 9 = = cm bulunur 7-4k 4 İnceleyerek Öğrenelim K c P L ymuğund [] // [], = = c ve [] [] = {P} olsun P noktsındn geçen ve tbnlr prlel oln [KL] verildiğinde, c c PK = PL = ve KL = + c + c olur Gösterelim K cp c P ck L [] // [] olduğundn benzerlik kurlın göre, P & + P & & & & &, PL + ve KP + olur k p P P P = = P c P = k, P = & ) ck olur (kp + ) P = p, P = cp & & PK P PK cp c KP + & = & = & PK = ( + c) p + c & & PL P PL ck c PL + & = & = & PL = ( + c) k + c olduğundn PK $ c = PL = ve + c KL c = bulunur + c 4
4 ymuk, [] // [] // [KL] K P L [] [] = {P}, = cm, = 4 cm olduğunu göre, PL, KP ve KL uzunluklrını bullım - Şekildeki gibi bir ymuğund KL 4 48 KL = = = 6 cm ve KP = LP = cm bulunur + 4 6 c c = ve KP = LP = olcğındn, + c + c - K 4 y P L y [] // [] // [KL] olduğundn iç ters çılrın ölçüleri, % % % % m ( ) = m ( ) = α, m ( ) = m ( ) = β ve enzerlik benzerlik kurlın göre, & & P P 4 P P P P = & = + & = = = &) P P P = y & P = y bulunur (, y + ) % % Yöndeş çılr oln mpl ( ) = m ( ) = α olduğundn bir iç çısı ortk PL ve üçgenleri de benzerlik kurlın göre benzerdir Sonuçt, PL P PL = & = = & PL = cm bulunur 4 4 % % irer çısı ortk ve yöndeş çılrdn mpk ( ) = m ( ) = β oln PK ve üçgenleri de benzerlik kurlın göre benzer olduğundn; KP P KP y = & = = & KP = cm, KL = KP + PL = + = 6 cm bulunur 4y 4 te verilen koşullrd dim KP = PL olduğun dikkt edelim! 5
H 4 7 ymuğund [] // [], K = 0 cm, = 4 cm ymuğun yüksekliği H = 7 cm olduğun göre, K üçgeninin lnını bullım 0 7 h H h 4 K h 0 İç ters çı çiftleri eş olduğundn, % % % % m ( ) = mh ( ) = α ve m( ) = m( ) = β olur benzerlik kurlın göre, K & + K & ve yükseklik ornlrı d benzerlik ornın eşit olduğundn şekilde, 7 - h 4 = = ( 5-5h = h& 7h = 5& h = 5cm h 0 5 bulunur 0 5 Sonuçt K üçgeninin lnı = 5 cm olur İnceleyerek Öğrenelim K c L ymuğund [] // [], [] ort tbn, = ve = c olsun rt tbnın köşegenler rsınd kln prçsının uzunluğu, KL = - c olur Gösterelim ymuğund [] ort tbn olduğundn c üçgeninde [K], üçgeninde [L] ort tbn olur c K L c dolyısıyl K = L = c olur üçgeninde [L], üçgeninde de [K ort tbn ve L = K = olduğundn KL = L K = - c = - c bulunur 6
ymuğund [] // [] [] [] = {K}, [] [] = {L} = cm, =, KL = + K + L olduğun göre, [] ort tbnının uzunluğu kç cm dir? ullım ymugund [] ort tbn olduğundn, ve üçgenlerinde sırsıyl [K] ve [L] ort tbn olur K + L u nedenle, K = L = = = = + ( + ) + = + bulunur iğer yndn, = + = + 6 + = + = ve = + = + = 8 cm olur İnceleyerek Öğrenelim b K b İkizkenr ymukt köşegenler eştir Şekilde [] // [] ve = ise = olur Köşegenlerin kesim noktsındn geçen yükseklik ikizkenr ymuğun simetri eksenidir Gösterelim b c K ymuğund [] // [], II = = b, =, = c ve [] [] = {K} olsun İkizkenr b ymukt tbn çılrının ölçüleri m( % ) = m ( % ) olduğundn, KK eşlik kurlın göre, & &, & =, % % m ( ) = m ( ) = α ve m ( % ) = m ( % ) bulunur İç ters çılrın eşitliğinden, % % % % m ( ) = m ( ) = m( ) = m ( ) = K = K ve K = K KK eşlik kurlın göre, K K olur Sonuçt şekilde K noktsındn geçen ymuğun yüksekliği K ve K ikizkenr üçgenlerinin tbnlrını iki eş prçy böler ve ikizkenr ymuğun simetri ekseni olur 7
4 ikizkenr ymuk, [] // [], % =, m( ) = 45c ve l = 4 cm olduğun göre, ymuğun ort tbnının ve yüksekliğinin uzunluğunu bullım 45 c c 45 c K 45 45 45 H 45 Ymuğun, [H] yüksekliği çizilirse H ikizkenr dik üçgeninde H = H = 4 cm olur [] köşegeni de çizilirse, [] [] = {K} ise =, K = K, K = K ve K ile K ikizkenr dik üçgenler olur K noktsındn geçen yükseklik ikizkenr ymuğun simetri ekseni olduğundn şekildeki ikizkenr dik üçgenlerde, =, = c ise ymuğun yüksekliği H = + c = 4 cm bulunur Sonuçt köşegenleri dik şekildeki ikizkenr ymukt ort tbn uzunluğu ile yükseklik uzunluğu birbirine eşit ve = + c = H = 4 cm bulunur ( ) + ( c) h c h ikizkenr ymuğund, [] // [] ve = olsun [H] ^ [], [K] ^ [], = ve = c ise H = K = - c H K b K = H = + c olduğunu gösterelim h H c c h K b Şekilde K = H = + c = c Şekildeki ikizkenr ymuğund; =, m ( W) = m( W % % ) = α ve mh ( ) = mk ( ) = β olduğundn K eşlik kurlındn & & H, K H = K = ve HK dikdörtgeninde = HK = c bulunur = + c + = + c = olduğundn, H = K = = - c bulunur - + c + c = olur 8
5 Şekilde verilen ikizkenr ymuğund [] // [], =, = cm ve = 5 cm ise ymuğun yüksekliğinin kç cm olduğunu bullım 5 [H] ^ [] çizilirse, h - 5 H = = 4 cm ve H = 9 cm bulunur dik üçgeninde [H] ^ [] olduğundn, 9 H 4 Öklid ğıntısı ile h = 49 h = 6 cm elde edilir Resimdeki rbnın ikizkenr ymuğu biçimindeki ön cmınd, [] // [], = = 5 cm, = 80 cm, = 0 cm olduğun göre, ymuk biçimindeki cmın yüksekliği kç cm dir? ullım 80 5 h h H 5 80 K Ymuk biçimindeki cmınd [K] ^ [] ve [H] ^ [] çizilirse HK dikdörtgen ve K eşlik kurlın göre, H &, K & olduğundn H = K = ve HK = 80 cm olur = + 80 + = 0 = edilir 0-80 = 0 cm elde H dik üçgeninde Pisgor Teoremi kullnılırs, 5 = 0 + h h = 48 cm bulunur 9
4 ikizkenr ymuğund, [] // [] ve = dir [] ^ [], = 8 cm, = 4 cm olduğun göre, kç cm dir? ullım 8 K Köşegenlerin kesim noktsındn geçen [KL] yüksekliği ikizkenr 45 45 ymuğun simetri ekseni ve [] ^ [] olduğundn şekilde 45 P 45 45 4 45 4 L H K = K = PK = cm, L = L = PL = 4 cm olur KLH dikdörtgeninde yükseklik KL = H = + 4 = 6 cm ve K = HL = cm H = 4 = cm olcğındn H dik üçgeninde Pisgor Teoremi ile = H + H = + 6 = 40 = 0 cm elde edilir İnceleyerek Öğrenelim c Köşegenleri dik oln bir dik ymuğund [] // [], [] ^ [], [] ^ [], =, = c h ve ymuğun yüksekliği = h ise h = c olur Gösterelim c Şekilde görüldüğü gibi // [] çizilsin c h = {} olmk üzere bir prlelkenr olcğındn = = c ve [] ^ [] olur Sonuçt dik üçgeninde [] ^ [] olduğundn Öklit ğıntısı ile h = c bulunur 0
h dik ymuk, [] // [], [] ^ [], [] ^ [], = 9 cm ve = cm ise ymuğun yüksekliği kç cm dir? ullım 9 h 9 Şekildeki gibi [] // [] çizerek = {} isimlendirilirse yöndeş çılrın eşliğinden [] ^ [] ve prlelkenrınd = = cm olur dik üçgeninde Öklid ğıntısı n göre, h = 9 = 7 h = cm bulunur ymuğund; [] // [] [], [], [] ve [] çıortylr 4 6 = 0 cm, = 4 cm, = 6 cm, = cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım 0 K 0 L ir ymukt yn kenrlr ile tbnlrın oluşturduğu çılrın çıortylrı, ort tbn üzerinde dik kesiştiğinden [] yn kenrlr doğru uztılırs [KL] ort tbn, [K], dik üçgeninde hipotenüsün kenrortyı ve [L], dik üçgeninde hipotenüsün kenrortyı olur u yüzden, K = K = K = cm ve L = L = L = cm KL = + + = 7 cm ort tbnın uzunluğu olrk bulunur Sonuçt KL = + 0 + & 7 = & = 4 cm olur
lıştırmlr ymuğund; [] // [] // [], K [] [] [] = {K} = cm, = 6 cm ise kç cm dir? 6 4 ymuğund; [] // [], 6 4 [] ve [] iç çıortylr, =, = 6 cm, = = 4 cm olduğun göre, = kç cm dir? ymuk, [] // [] // [] dir II = II, = 9 cm ve = cm ise = kç cm dir? 9 4 4 K ymuk, [] // [], [] [] = {K}, [] [] = {}, =, K = cm, = 4 cm olduğun göre, K = kç cm dir? 5 4 K L M ymuk, [] // [], [] [] = {K}, [] ort tbn, = 4 cm, = 0 cm ise LM = kç cm dir? 0
6 4 dik ymuk, [] // [], [] ^ [] =, = 4 cm, = cm ise ymuğunun çevre uzunluğu kç cm dir? 7 Köşegenleri dik kesişen bir ymuğund; [] // [], = cm, = 6 cm olduğun göre, ort tbn uzunluğu kç cm dir? 8 dik ymuk, [] // [], [] ^ [], 7 =, = 5 cm, = cm, = cm ve = 7 cm ise 5 kç cm dir? 9 6 ikizkenr ymuk, [] // [], =, = 6 cm, = 6 cm ve ymuğun yüksekliği cm dir un göre, bu ymuğun çevre uzunluğu kç cm dir? 6 0 ikizkenr ymuk, [] // [], [] ^ [], = = 8 cm ve = ise ymuğun yüksekliği kç cm dir?
PRLLKNR V PRLLKNRIN ÖZLLİKLRİ b b Krşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgene prlelkenr denir Prlelkenrd krşılıklı kenrlr ve krşılıklı çılr eş, komşu çılr bütünlerdir Şekildeki prlelkenrınd, = =, = = b m ( W) = m ( X ) = α, m( W ) = m( X ) = β ve + = 80 olur bir prlelkenr, m ( % ) = m ( % ), 60 % m ( ) = 60c, = ise m( % ) = kç derecedir? ullım 0 = 60 60 b b b 60 60 K % % m( ) = m( ) = 0c ve sonuçt m ( ) Prlelkenrd krşılıklı kenrlr eş olduğundn, = = = b ve üçgeninde m ( X) = m( W ) = 60c bulunur prlelkenr olduğundn, //, iç ters ve yöndeş çılr eş olduğundn d % = mk ( ) = m ( X) = 60 = 0 % = 0 + + 60 = 80 = 90 bulunur İnceleyerek Öğrenelim K ir prlelkenrd köşegenler birbirini ortlyrk keser Şekilde [] [] = {K} ise K = K ve K = K olur Gösterelim ß K ß prlelkenrınd [] // [] ve = = olduğundn şekilde K eşlik kurlın göre; & & K, K & K = K ve K = K olur 4
8 prlelkenrınd; 6 K [] [] = {K} ll = 6 cm, ll = 8 cm ve = cm olduğun göre, kç cm dir? ullım 6 6 v K 8 v 6 Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn lk = lk = 6 cm ve K = K = v olur üçgeninde Kenrorty Teoremi ni kullnırsk, 6 + 8 = v + & 00 = v + 7 & v = 8 & v = 4 & v = 4 cm ve = v = 4 cm bulunur İnceleyerek Öğrenelim 8 Prlelkenrd rdışık iki köşedeki iç çıortylr ort tbn üzerinde dik kesişir K Şekildeki prlelkenrınd [K], [K] çıorty ve [] ort tbn ise [K] ^ [K] ve K [] olur Gösterelim H P ß ß K T 8 [K] ve [K] çıorty olduğundn, % % mk ( ) = mk ( ) = α, % % mk ( ) = m( K) = β ise [] // [] α + β = 80 α + = 90 ve K üçgeninde [K] ^ [K] bulunur iğer yndn çıorty üzerindeki her nokt çının kollrın eşit uzklıkt olduğundn şekilde, KT = KH = KP KP = KT K noktsı prlelkenrının ort tbnı üzerinde olur 5
4 0 prlelkenrınd; [], [], [] ve [] çıorty, = 0 cm, = 4 cm ise, kç cm dir? ullım K 0 L ir çıortyın her noktsının çının kenrlrın oln uzklıklrı eşit olduğundn, [] prlelkenrın ort tbnı üzerindedir doğrusu prlelkenrın yn kenrlrını K ve L noktlrındn keserse ve üçgenleri dik üçgenler ve hipotenüse it kenrortylr hipotenüste yırdığı prçlrl eş olcğındn; K = K = K = cm ve L = L = L = cm olur = = KL = 0 cm verildiğinden = KL K L = 0 = 0 4 = 6 cm bulunur Sonuçlr: Krşılıklı kenrlrı eş oln her dörtgen bir prlelkenrdır Gösterelim b b Şekildeki gibi bu dörtgenin [] köşegeni çizilirse, ve tüm kenrlrı eş iki üçgen olur b KKK eşlik kurlındn b &, & ve ş üçgenlerde krşılıklı çılr eş olduğundn, % % m ( ) = m ( ) = [] // [] % % m( ) = m( ) = β [] // [] bulunur ikkt edilirse burd İki doğru bir kesenle kesildiğinde iç ters çı çiftleri eş ise bu iki doğru prleldir krşıt teoremini kullndık 6
ir dörtgeninde, [] // [] ve = ise, bir prlelkenrdır Gösterelim [] köşegeni çizildiğinde, [] // [] olduğundn, % % m( ) = m( ) =, = = ve = olduğundn KK eşlik kurlındn, & &, = bulunur Sonuçt krşılıklı kenrlrı eş oln dörtgeni bir prlelkenr olur Köşegenleri birbirini ortlyn bir dörtgeni prlelkenrdır Gösterelim K K dörtgeninde [] [] = {K}, K = K ve K = K olsun % % & & m( K) = mk ( ) = olduğundn, KK eşlik kurlın göre, K, K olur % % % % olyısıyl, = =, m( K) = mk ( ) = β ve m( ) = m( ) = θ bulunur Şekilde iç ters çı çiftleri eş olduğundn [] // [] elde edilir sonuc göre, krşılıklı iki kenrı hem prlel hem de eş oln dörtgeni bir prlelkenrdır 7
prlelkenr, 4 G bir üçgen, lgl = 4 cm, lgl = cm ise, = kç cm dir? ullım 4 G b Şekilde G =, G = b olsun [] // [] olduğundn, % % % % m ( ) = m ( ) =, m ( ) = m ( ) = β ve benzerlik kurlındn & & G ~ G olur [] // [] olduğundn yine iç ters çılr m( % ) = m( % % % ) = θ ve ters çılr mg ( ) = mg ( ) & & olduğundn benzerlik kurlın göre G ~ G olur ve benzerliklerinde ortk orn olduğundn, b 4 4 = = & = + = 8 = 6 cm bulunur 4 b ( + ) + prlelkenrınd; K L ve kenrlrın ort noktlrı, [] [] = {K}, [] [] = {L} ve = 6 cm olduğun göre, KL kç cm dir? ullım K L L = = L = ve K = KL = L = bulunur Sonuçt = 6 = 6 = ve KL = = cm olur [] köşegenini de çizersek, [] [] = {} olsun Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn, = ve = olur ikkt edilirse, üçgeninde K ğırlık merkezidir ve K = K = = = olur üçgeninde de L ğırlık merkezi olduğundn, 8
Ynd verilen düzlemsel şekilde prlelkenr, 4 [ƒ] // [ƒ] // [ƒ] // [ƒ], ƒ, ƒ, ƒ ve ƒ d olmk üzere, ƒ ƒ ƒ lƒl = cm, lƒl = 4 cm ve lƒl = cm olduğun göre, ƒ kç cm dir? ullım d ƒ prlelkenrınd, K 4 [] [] = {K}, ƒ = olmk üzere, [] ile [] köşegenleri ve [KKƒ] // [ƒ] çizilsin d ƒ ƒ ƒ Kƒ ƒ Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn, + 4 ƒƒ ymuğund [KKƒ] ort tbn ve KKƒ = olur enzer şekilde, ƒƒ ymuğund d [KKƒ] ort tbn ve [KKƒ] = + olur Sonuçt + 4 = KKƒ = + + 4 = + = 6 cm bulunur P 6 H 4 prlelkenrınd; [P] ve [P] çıortylr [PH] ^ [], H = 6 cm, H = 4 cm ve PH = cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım 5 K 5 P noktsındn geçen 5 [KL] // [] çizilirse, iç ters çı çiftlerinin eşliğinden P % % % mp ( ) = m( P) = mpk ( ) = % % % 5 L H 4 mp ( ) = m( P) = mpk ( ) = β [P] ^ [P] ve PK = K = K = L = L = 5 cm burdn HL = cm bulunur PLH özel dik üçgeninde PL = cm ve sonuçt KL = = = + 5 = 7 cm olur 9
G R Resimde dikdörtgeni biçimindeki ms örtüsünde,, G, H kenrlrın ort noktlrıdır H S Q P = 50 cm, Q = 60 cm ise, PQRS dörtgensel bölgesinin çevresini bullım P 5 G R Ms örtüsünde, = G ve [] // [G] G prlelkenr ve H S 0 5 P 0 Q [G] // [] H = ve [H] // [] H prlelkenr ve [] // [H] ve den PQRS bir prlelkenr olur Q üçgeninde [P] // [Q] Temel rntı Teoremi ne P göre, = = P = PQ ve Q = 60 cm olduğundn, PQ P = PQ = SR = 0 cm olur enzer şekilde P üçgeninde, H S [HS] // [P] Temel rntı Teoremi ne göre, = = S = SP ve P = 50 cm H SP verildiğinden, S = SP = RQ = 5 cm olur Sonuçt Çevre(PQRS) = (0 + 5) = 0 cm bulunur prlelkenrınd [] ve [] iç çıortylr, [], = 8 cm ise, prlelkenrının çevre uzunluğu kç cm dir? ullım 8 b b b 8 b İç ters çılrın ölçüleri eşit olduğundn şekilde, % % % m( ) = m ( ) = m( ) = ve % % % m( ) = m ( ) = m ( ) = β olur ve üçgenleri ikizkenr ve = = b ve = = b olduğundn, = b = 8 b = 4 cm bulunur prlelkenrınd tüm kenr uzunluklrını toplrsk, Ç() = 8 + 8 + 4 + 4 = 4 cm bulunur 40
lıştırmlr şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) Krşılıklı çılrı eş oln her dörtgen prlelkenrdır ( ) Köşegenleri birbirini ortlyn her dörtgen prlelkenrdır ( ) ir dörtgende krşılıklı iki kenr hem prlel hem de eş ise bu dörtgen prlelkenrdır H prlelkenr, H dik üçgen, 4 5 [H] ^ [H], [] ^ [], = 0 cm, = 5 cm ve = 4 cm ise, noktsının [] kenrın uzklığı kç cm dir? 0 prlelkenrınd, [] ve [] çıortylr, 6 8 = 6 cm, = 8 cm ise, prlelkenrının çevresi kç cm dir? 4 6 prlelkenrınd, [] [] = {K}, [KH] ^ [], K H 5 = = 5 cm, = 6 cm ise, KH = kç cm dir? 5 G prlelkenr, G bir üçgen ve 4 [] [G] = {} dir = cm, G = 4 cm ise, = kç cm dir? 4
6 5 4 ƒ ƒ prlelkenrının köşesinden geçen bir d doğrusu verilmiştir, ve köşelerinin d doğrusu üzerindeki dik izdüşümleri ƒ, ƒ, ƒ ve ƒ = 4 cm, ƒ = 5 cm ise, ƒ uzunluğu kç cm dir? 7 6 8 K prlelkenrınd, [] [] = {K}, [] ve [] çıortylr, = 6 cm, = 8 cm ise, = kç cm dir? 8 K prlelkenr, K dik üçgen [] ^ [K], m ( % ) = mk ( % ) 4 = 4 cm, K = cm ise, = kç cm dir? 9 6 H G prlelkenrınd, [H], [H], [] ve [] çıortylr, = 0 cm, = 6 cm, HG = cm ise, G = kç cm dir? 0 0 prlelkenr, [H] ^ [], % [] [H] = {K}, m( ) = 0c, K H 0 K = ise, m ( % ) = kç derecedir? 4
ŞKNR ÖRTGN V ŞKNR ÖRTGNİN ÖZLLİKLRİ Tüm kenrlrı eş oln dörtgene eşkenr dörtgen denir Krşılık kenrlrı eş olduğundn eşkenr dörtgen bir prlelkenrdır ve prlelkenrın tüm özelliklerini tşır αα Şekildeki eşkenr dörtgeninde [] köşegeni çizlirise KKK eşlik kurlın göre, &, & & m( ) = m( ) [] köşegeni çıorty olur αα ß ß ß ß eşkenr dörtgeninde [] köşegeni çizlirse KKK eşlik kurlın göre, &, & & m( ) = m( ) [] köşegeni de çıortydır İkizkenr üçgenlerde tepeden çizilen çıorty tbn dik olup tbnı ortldığındn şekilde görüldüğü gibi bir eşkenr dörtgende köşegenler diktir ve birbirini ortlr ir prlelkenrın köşegenleri dik ise bu prlelkenr eşkenr dörtgen olur Gösterelim K bir prlelkenr, [] ^ [] ve [] [] = {K} olsun Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn, & & & & K = K ve K = K olur K, K, K ve K dik üçgenlerinde krşılıklı dik kenrlr eş olduğundn KK eşlik kurlın göre, K, K, K, K & & & & olur Sonuçt = = = = bulunur Köşegenleri dik bir prlelkenr eşkenr dörtgendir 4
Resimdeki eşkenr eşkenr dörtgeni biçimindeki uçurtmd [] ve [] çıtlrının uzunluklrı, = 80 cm, = 60 cm ise, uçurtmyı çevreleyen ipin uzunluğu kç cm dir? ullım 50 40 50 şkenr dörtgende köşegenler birbirini resimdeki gibi noktsınd dik ortldığındn, = = 0 cm ve = = 40 cm bulunur 0 0 40 dik üçgeninde Pisgor Teoremi ile = 50 cm olcğındn, Ç() = 450 = 00 cm olur eşkenr dörtgeninde, m( % ) = m ( % % ) ve m ( ) = c olduğun göre, m ( % ) = kç derecedir? ullım % % m( ) = m ( ) = olsun eşkenr dörtgeninde [] köşegeni çıorty olduğundn, % % % % m( ) = m( ) = m( ) = m( ) = olur üçgeninde iç çı ölçüleri toplmı, + + = 80 = 48 = 6 ve üçgeninde iç çı ölçüleri toplmı, + 4 = 80 + 46 = 80 + 64 =80 = 6 bulunur 44
İKÖRTGN V İKÖRTGNİN ÖZLLİKLRİ b K b çılrındn biri dik çı oln bir prlelkenr dikdörtgen denir u yüzden dikdörtgen prlelkenrın tüm özelliklerini tşır Tüm iç çılrı dik çı olduğundn bir dikdörtgende köşegenler birbirine eştir Şekildeki dikdörtgeninde, = ve dolyısıyl K = K = K = K olur K dikdörtgeninde; [] [] = {K} % m ( ) = c, = K ise, m( K % ) = kç derecedir? ullım K 74 74 ikdörtgende köşegenler eş olup birbirini ortldığındn, K = K = K = K olur u durumd K ikizkenr üçgen % % ve iç ters çılrdn m( ) = m ( ) = c olduğundn, % % m( K) = m( K) = 74c sonuçt K üçgeninde dış çı ölçüsü, 74 = + = 4 bulunur H G Ynd verilen fotoğrf çerçevesinin en dışındki dikdörtgeninde, = 0 cm, = 4 cm dir Çerçevenin klınlığı 5 cm olduğun göre, içte fotoğrf konulck GH dikdörtgensel bölgesinin kenr uzunluklrını bullım 5 5 H 5 G 5 4 Çerçevenin klınlığı 5 cm olduğundn şekilde, = 0 = + 0 = 0 cm, = 4 = G + 0 G = 4 cm olur 5 5 5 5 0 45
dikdörtgen, [] [] = {K}, % K m ( ) = 6c ve = ise, mk ( % ) = kç derecedir? ullım 6 [] köşegenini çizelim [] [] = {L} olsun 8 K = = ve köşegenler birbirini ortldığındn L üçgeninde, L = L ve L % % m( ) = m ( ) = 6c elde edilir 6 6 8 iğer yndn = olduğundn, üçgeninde m( % ) = m ( % ) ve dış çı ölçüsü % % % 6 = m( ) & m( ) = m ( ) = 8 olur Sonuçt K üçgeninin dış çı ölçüsü, % mk ( ) = = 6 + 8 = 54 bulunur İnceleyerek Öğrenelim dikdörtgeni ile bir P noktsı verilsin Şekilde dim, P P + P = P + P olur Gösterelim K Şekildeki gibi P noktsındn geçen [KH] // [] çizilirse & & & & PH, PK, PH, PK dik üçgen; b P b H H = K = ve H = K = olur PH = b ve KP = b ise dik üçgenlerde Pisgor Teoremi ile P + P = ` + b j+ ` + b j= + + b + b 4 olduğundn P + P = ` + b j+ ` + b = j + + b + b P + P = P + P bulunur 46
8 dikdörtgeninde [P] ^ [], P = 8 cm ve P = cm olduğun göre P = kç cm dir? ullım P dik üçgeninde [P] ^ [] olduğundn Öklit ğıntısı ile 8 4 P = P P P = 8 = 6 P = 4 cm bulunur dikdörtgen olduğundn şekilde, P P + P = P + P + 4 = + 8 + 6 = 68, = 5 = cm bulunur dikdörtgeninde P dış bölgede bir nokt ise, P + P = P + P olduğunu gösterelim P b y y ƒ P b ƒ P noktsındn geçen ƒƒ // [] doğrusunu çizerek ƒƒ dikdörtgenini oluşturlım ƒp = =, ƒp = = b, ƒ = ƒ = ve = = y olrk isimlendirilirse, ƒp ve Pƒ dik üçgenlerinde Pisgor Teoremi nden, P = +, P = b + ( + y) P + P = + b + + (+y) bulunur Pƒ ve Pƒ dik üçgenlerinde Pisgor Teoremi nden, P = + ( + y), P = b + P + P = + b + + ( + y) elde edilir ikkt edilirse, lpl + lpl = + b + + ( + y) = P + P olmktdır 47
P dikdörtgen, P dış bölgesinde bir noktdır [] [] = {K}, L = LP, P = cm, L K P = 6 cm, P = 5 cm ise KL = kç cm dir? ullım P [P] çizilirse dikdörtgen olduğundn, P + P = P + P 5 + P = 6 + L K P = 0 P = 5 cm bulunur ikdörtgende köşegenler birbirini ortldığındn lkl = lkl olur L = PL verildiğinden P üçgeninde [KL] ort tbn ve P 5 sonuçt, KL = = = = 5 cm bulunur lıştırmlr şğıdki ifdelerde boş bırkıln yerlere uygun kelimeleri yzınız ir çısı dik çı oln prlelkenr denir ikdörtgende köşegen uzunluklrı 4 58 dikdörtgen, [] [] = {}, % m ( ) = 4c %, m ( ) = 58c, = ise, m ( % ) = kç derecedir? dikdörtgen, [H] ^ [], H H = cm, H = cm ise, H = kç cm dir? 48
4 K dikdörtgeninde, [], [] ile [] çıortylr, = ise, m( K % ) = kç derecedir? 5 6 dikdörtgeninde, [] ^ [], = cm, = 6 cm ise, = kç cm dir? KR V KRNİN ÖZLLİKLRİ 45 45 45 45 45 45 45 45 Tüm kenrlrı birbirine eş oln dikdörtgene kre denir Kre ynı zmnd bir eşkenr dörtgen de olduğundn köşegenleri çıortydır ve birbirini dik ortlr kresinde = ise ve ikizkenr dik üçgenlerinden = = olur G Resimde kre biçimindeki sermiklerle kplı kresel bölgesi verilmiştir elirtilen,,, G ve noktlrının doğrusl olduğunu gösterelim Resimdeki sermikler kresel bölge biçiminde olduğundn, % % % mg ( ) = mg ( ) = m ( ) = 45 + 90 + 45 = 80, G, ; G,, ve,, kendi rlrınd doğrusl, sonuçt,,, G, noktlrı d doğrusl olur 49
K kre, dik üçgen, = ise, mk ( % ) = kç derecedir? ullım K 45 45 45 45,5 = [] köşegeni çizilirse, = = olcğındn ikizkenr üçgen olur Tbn çılrının ölçüsü olsun Krede köşegenler çıorty olduğundn, üçgeninde dış çı ölçüsü, 45 = =,5 ve K üçgeninde dış çı ölçüsü, = 45 + 7,5 = 67,5 bulunur H G ve G birer kre, [H] ^ [], H = cm, = cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım G 45 45 H 45 45 = 6 G kresinde [] köşegeni çıorty olduğundn; [, = cm ve H = H = H = + = cm olur H ikizkenr dik üçgeninde Pisgor Teoremi ile, = = 6 cm bulunur 50
Y (, ), (4, ), (4, 4) ve (, 4) olmk üzere, kresi bşlngıç noktsı etrfınd pozitif yönde 90 döndürüldüğünde noktsın krşılık gelen ƒ noktsının koordintlrını bullım X Y ƒ ƒ ƒ ƒ K 4 H X % Şekilde m ( l) = 90c olcğındn, = ƒ, mh ( % % % ) =, mh ( ) = β & mk ( l ) = β % ve mk ( l ) = olur K eşlik kurlındn, & & H = K = birim H, K l & ) H = Kl = 4 birim Sonuçt ƒ(, 4) bulunur lıştırmlr şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) Krede köşegenler diktir ve birbirini ortlr ( ) Kre bir dikdörtgendir ( ) Krede her iki köşegen de çıortydır kre, eşkenr üçgen ise, m( % ) = kç derecedir? bir kre dik üçgen, [] ^ [], = cm, = 6 cm ise, kç cm dir? 6 5
4 bir kre [] ^ [], 8 = = ve = 8 cm ise, kç cm dir? 5 ir dörtgende tüm kenrlrın ort noktlrı birleştirildiğinde oluşn şeklin bir kre olmsı için bu dörtgende olmsı gereken koşullrı bulunuz 6 ile G kre, = 5 cm, = G ise, G kresinin çevre uzunluğu kç cm dir? G 7 5 kre [] ^ [], % m ( ) = 5c ise, m ( % ) = kç derecedir? 8 ve G birer kre, G K [] [] = {K} = = 6 cm ise, KG = kç cm dir? 5
LTİ V LTİİN ÖZLLİKLRİ α ß α ß Köşegenlerinden biri, iki ikizkenr üçgenin tbnı oln dörtgene deltoid denir Şekildeki deltoidinde = =, = = b ve % % m( ) = m( ) = α+ β olur b b Şekilde ve ikizkenr üçgenlerinin tepelerini birleştiren [] köşegeni α ß K α ß çizildiğinde [] [] = {K} ise [] çıorty, [] ^ [] ve K = K olur Gösterelim KK eşlik kurlın göre olduğundn, b b m ( % ) = m ( % ) % % ve m ( ) = m ( ) olur İkizkenr üçgenlerin tepesinden çizilen iç çıorty tbn dik ortldığındn deltoidinde çıorty oln [] köşegeni [] köşegenini dik ortlr Şekilde [] ^ [] ve K = K olur 6 H G 6 r 45 r 45 45 45 r r 8 8 Resimde deltoidi biçimindeki bhçenin çimlerini sulmk için iç bölgede tüm kenrlr eşit uzklıkt bir nokty su fıskiyesi konulmuştur [] ^ [], [] ^ [], = = 6 m, = = 8 m ise, fıskiyenin bulunduğu noktnın kenrlr uzklığı kç m dir? ullım eltoidde tüm iç çıortylr iç bölgede bir noktsınd kesiştiğinden noktsının kenrlr uzklığı eşit olur Çünkü şekilde, [] çıorty = [] çıorty = H [] çıorty H = G [] çıorty = G ve sonuçt, = = G = H = r olur hçenin lnı, 68 () = c m = 48 = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) olduğundn, 48 = 8 r 8 r 6 r 6 r 8r 4 + + + & 48 = & 48 = 4r & r = m bulunur 7 5
dikdörtgeninde; [], [] ^ [], =, = cm ve = 6 cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım 6 dik üçgeninde [K] kenrortyı çizildiğinde, K = K = K = cm ve = verildiğinden K dörtgeni bir deltoid olur u deltoidde [K] çıorty olduğundn, dik üçgeninde çıorty teoremini kullnırsk, 0 K K = & = = & = bulunur K 6 dik üçgeninde = = = olcğındn, + 9 = () = 8 = 7 = cm ve = = 6 cm bulunur Sonuçt = = cm olduğundn, = = 6 = cm bulunur urd dik üçgeninin bir iç çı ölçüsü 0 oln özel bir dik üçgen olduğun dikkt edelim! Şekilde ymuk; [] // [], deltoid, =, = 7 cm ve = cm olduğun göre, = kç cm olur? ullım 7 Şekildeki gibi [] çizilirse deltoid olduğundn, [] çıorty ve = = cm olur [] // [] m( ) = m( ) = olduğundn, ikizkenr üçgen ve = = 7 cm = = 7 = 4 cm bulunur 7 54
örtgenlerin Sınıflndırılmsı örtgenleri değişik özelliklerine göre sınıflndırbiliriz Krşılıklı kenrlrı prlel (prlelkenr) olnlr; dikdörtgen, eşkenr dörtgen ve kre prlelkenrın tüm özelliklerine shiptir Köşegenleri birbirini ortlr, krşılıklı kenrlr ve çılr eştir, komşu çılr bütünlerdir Köşegenleri birbirine dik olnlr; kre, eşkenr dörtgen ve deltoiddir İki köşegeni de çıorty olnlr ise kre ve eşkenr dörtgendir şğıdki temel şem d dörtgenlerin krşılıklı kenr çiftlerinin prlel olup olmmsın göre bir sınıflndırm ypılmıştır İnceleyiniz örtgenler eltoid n z iki kenrı prlel olnlr Ymuk Prlelkenr ik İkizkenr ikdörtgen Kre Ymuk Ymuk şkenr örtgen Köşegenlerinden biri, iki ikizkenr üçgenin tbnı oln dörtgenler hngi dörtgenlerdir? ullım b b Şekillerde dikkt edilirse [] köşegeni; deltoid, eşkenr dörtgen ve krede ile ikizkenr üçgenlerinin ortk tbnıdır 55
lıştırmlr şğıdki ifdelerde boş bırkıln yerlere uygun kelimeleri yzınız Kre ve eşkenr dörtgen özel bir eltoidde köşegenler birbirine eltoidin iki iç çı ölçüsü deltoid ve = dir 5 L K H [] [H] = {L}, [] [] = {K}, H = K, L = 5 cm, HL = cm olduğun göre, deltoidinin çevre uzunluğu kç cm dir? bir üçgen, deltoiddir =, = 6 cm, = 8 cm ve = 7 cm olduğun göre, = kç cm olur? 4 4 6 deltoid, =, [] [] = {} = 4 cm, = 6 cm ve ( ) = 6 cm olduğun göre ( ) kç cm olur? YMUĞUN LNI c ymuğund; [] // [], =, = c ve yükseklik h olsun h h + c () = c mh olur Gösterelim Şekildeki gibi ymuğund [] köşegeni çizilirse, & & h ch + c ( ) = ( ) + ( ) = + = c m h olur ikkt edilirse ymuğun lnı, ort tbn uzunluğu ile yüksekliğinin çrpımın eşittir 56
6 ikizkenr ymuk; [] // [], =, [] ^ [], = 0 cm, = 6 cm ise, () kç cm olur? ullım 0 6 h H 6 K ikizkenr ymuğund [H] ve [K] yükseklikleri çizilirse, 0-6 H = K = = cm, K = 8 cm olur lkl = h ise, dik üçgeninde Öklid ğıntısı ile, h = K K h = 8 = 6 h = 4 cm bulunur Sonuçt ymuğunun lnı, + c 0 + 6 () = c mh = 4 = 8 4 = cm olur bir ymuk; [] // [], 4 = 6 cm, = cm, = cm ve = 4 cm ise, () kç cm olur? ullım 6 4 4 5 h [] // [] çizersek, prlelkenr dolyısıyl, = = 4 cm, = = cm = 5 cm olur Kenr uzunluklrı, cm, 4 cm ve 5 cm oln üçgeni Pisgor Teoremi ni sğldığı için bir dik üçgen, [] ^ [] ve 4 & 5 h = ( ) = bğıntısındn h = bulunur 5 + c ( 6+ ) Sonuçt, ( ) h 7 84, cm = c m = = = = 84 olur 5 5 0 57
4 dik ymuğund; [] // [], [] ^ [], [] ^ [] = 9 cm ve = 4 cm ise () kç cm olur? ullım 9 4 h 4 9 Ymuğun yüksekliği = h olsun köşesinden [] // [] çizildiğinde = {} ise prlelkenr olduğundn = = 4 cm ve [] ^ [] olur dik üçgeninde Öklid ğıntısı ile, h = 49 h = 6 cm bulunur Sonuçt, 9+ 4 ( ) 6 6 9 = c m = = cm olur S ymuğund; [] // [], & & =, ( ) = S, ( ) = S olsun & ( ) = S + S S & b () = ( ) olduğunu gösterelim K h S c H h Ymuğun yüksekliği H = KL = h olsun noktsı ort tbn üzerinde olduğundn K = L = h olur un göre şekilde h S L ( ) S + S = c h h + c c $ $ m+ c $ $ m= c m $ h = 4 olduğundn, & ( ) = ( ) & ve sonuçt ( ) = S+ S & ve () = ( ) bulunur 58
4 4 ymuğund; [] // [], [] ^ [], = ve ll = ll = 4 cm ise, ymuğun lnını bullım S 4 4 8 S ymuğund = olduğundn [] çizildiğinde, & & ( ) = S ve ( ) = S olsun & ( ) = S + S S + S = ymuğun lnı, () = ( ) = 8 = 6 cm olur 44 = 8 cm bulunur S S 4 S ymuğund [] // [], [] [] = {}, ^ & h= S, ^ & h = S, ^& h= S, ^& h= S 4 olsun S S = S, b S = S = S ise S = S S 4, c () = ` S + S4j olduğunu gösterelim h S c S 4 S S h ymuğund [] // [] olduğundn, ile üçgenlerinde [] tbnlrı ve bu tbnlr it yükseklikler eştir olyısıyl lnlrı d eşit olcğındn, ch ^ & h= = ^ & h S + S 4 = S + S 4 S = S elde edilir & b S = S = S olsun Yükseklikleri eş & ile ornı, tbn uzunluklrı ornın eşit olcğındn şekilde, S S 4 = = & S = S S elde edilir S S 4 & ve & ile üçgenlerinde lnlr c ` S + S4j = S+ S4+ S S4 = S + S + S S 4 4 = S+ S4+ S = S+ S4+ S = S+ S+ S+ S4 = ( ) olduğu kolyc görülür 59
ymuğund; [] // [] // [], = = 6 cm, () = 5() ise, = kç cm dir? ullım K S S 5S 6 = 6 cm, = cm, () = 5S ve () = S olsun = {K} noktsı için K & + K & ve benzerlik ornı k = = olduğundn ( benzerlik kurlı) lnsl orn, 6 & K ( ) & = c m = & K ( ) = S ve (K ) = 9S olur & ( K) 9 & & Yine benzerlik kurlındn K + K ve lnlr ornı benzerlik ornının kresi olduğundn, S 4S = & = & = 4 cm bulunur ymuğund; [] // [], K [] [] = {K}, (K ) = 4 cm, ( K) = 6 cm ise, ymuğunun lnını bullım S 4 K 6 S [] // [] olduğundn, ( K) = ( K) = S lınırs, yükseklikleri ortk üçgenlerin lnlrı ornı 6 K S = = & S = 64 & S = 8 cm olur S K 4 Sonuçt () = 6 + 8 + 4 + 8 = 6 cm bulunur 60
İnceleyerek Öğrenelim nlitik üzlemde Köşelerinin Koordintlrı Verilen Üçgenin lnı y Y y y ƒ ƒ ƒ X Köşeleri (, y ), (, y ) ve (, y ) oln üçgeninin lnı, ( ) = [ (y y ) + (y y ) + (y y )] olur Gösterelim Şekilde görüldüğü gibi,, noktlrının X ekseni üzerindeki dik izdüşümleri ƒ, ƒ, ƒ olsun ƒƒ, ƒƒ ve ƒƒ dörtgenleri birer dik ymuk ve & ( ) = (ƒƒ) + (ƒƒ) (ƒƒ) olduğundn, & l + l l + l l + l ( ) = e o$ ƒ ƒ + e o$ l l - e o $ l l y + y y + y y + y = c m $ ( - ) + e o( - )-e o$ ( ) - = ( y + y y y + y y + y y y + y y + y ) = [ (y y ) + (y y ) + (y y )] bulunur nlitik düzlemde (0, ), (, ) ve (, ) olmk üzere üçgeninin lnını bullım & (, y ), (, y ), (, y ) ise ( ) = [ (y y ) + (y y ) + (y y )] olduğundn & ( ) = [0 ( ) + ( )( ) + ( ( ))] 7 = [0 ( ) + ( + )] = (0 + + 5) = br bulunur 6
nlitik düzlemde köşelerinin koordintlrı (6, 7), (, ) ve (8, 4) oln üçgeninin lnını bullım 7 Y 4 ƒ ƒ ƒ 6 8 X üçgenini nlitik düzlemde gösterelim,, köşelerinin X ekseni üzerindeki dik iz düşümleri sırsıyl ƒ, ƒ ve ƒ olsun, şekilde dikkt edilirse; ( ) = (ƒƒ) + (ƒƒ) (ƒƒ) olur ƒ =, ƒ = 7, ƒ = 4, ƒƒ = 6 = 4, ƒƒ = 8 6 = br, ƒƒ = 8 = 6 br ve ƒƒ, ƒƒ ve ƒƒ birer dik ymuktur un göre, & 7 7 4 4 9 ( ) 4 6 = + + + - + 6 = 4+ - 6 = 8 + - 8 = br bulunur lıştırmlr şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) ir ymuğun lnı ort tbn uzunluğu ile yüksekliğinin çrpımın eşittir ( ) Her dörtgende olduğu gibi ymukt d kenrlrın ort noktlrını köşe kbul eden dörtgenin lnı, ymuğun lnının yrısıdır ymuk; [] // [], = = 4 cm, = 5 cm ve () = () ise = kç cm dir? 4 5 6
4 dik ymuk; [] // [], 8 [] ^ [], = 4 cm, = cm, = cm ve = 8 cm ise, ( ) kç cm olur? 4 ymuğund; [] // [], 5 =, = = 5 cm, 5 = 6 cm olduğun göre, 6 () kç cm olur? 5 4 ymuğund; [] // [], % m ( ) = 0c, = = 6 cm, = 4 cm ise, 6 0 () kç cm olur? 6 5 bir ymuk, [] // [] // [], = 5 cm, = 5 cm, () = () ise, 5 ll = kç cm dir? 7 K ymuk; [] // [], [] [] = {K}, (K ) = 4 cm, ( K) = 5 cm olduğun göre, () kç cm olur? 6
8 dik ymuk; [] // [], [] ^ [], =, = = 0 cm, = cm olduğun göre, dörtgeninin lnını bulunuz 0 9 ymuk; [] // [] // [], [] [] = {} ( ) = 8 cm ise, ( ) kç cm olur? 0 ikizkenr ymuğund [] // []; =, = 5 cm, = 6 cm ve = cm olduğun göre, () kç cm olur? PRLLKNRIN LNI b α h b h prlelkenrınd; =, = b, bu kenrlr it yükseklikler h, h b ve m ( W ) = olsun b () = h = bh b = bsin olur Gösterelim prlelkenrınd [] köşegeni çizildiğinde KKK eşlik kurlın göre, &, & & ( & ) = ( & ) olduğundn; & h ( ) = ( ) = e o = c b sinm = h b sin =, & () = ( ) bulunur b$ hb = e o = bh b ve sonuçt () = h = bh b = bsin Resimdeki trlnın prlelkenrı biçimindeki bölgesinde = 60 m ve [] ile [] kenrlrı rsındki uzklık 40 m olduğun göre, bölgesinin lnını bullım 64
prlelkenrsl bölgesi [] köşegeni ile birbirine eş ve üçgensel bölgelerine yrılıp, bu bölgelerin lnlrı d eşit olduğundn, () = ( ) + ( ) = ( ) 60 40 60 40 = c m = 400 m bulunur S S prlelkenr ve [] olsun & & ( ) = S ve ( ) = S ise, & & ( ) = S + S ve () = ( ) olduğunu gösterelim S S Şekildeki gibi [] // [] çizelim u durumd ve birer prlelkenrdır prlelkenrsl bölgesi [] köşegeni ile eşdeğer S S & & iki üçgensel bölgeye yrılır ve ( ) = ( ) = S olur enzer biçimde prlelkenrsl bölgesi [] köşegeni ile eşdeğer üçgensel bölgelere yrılır ve & & & ( ) = ( ) = S olur Sonuçt, ( ) = S + S & ve () = (S + S ) = ( ) bulunur prlelkenrsl bölgesi [] ve [] köşegenleri ile eşit lnlı dört üçgensel bölgeye yrılır Gösterelim Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn, S K S S S lkl = lkl ve lkl = lkl olur Tbn ve yükseklikleri eş oln üçgenlerin lnlrı d eşit olcğındn, ^& Kh= K ^& h= K ^& h= K ^& h= S bulunur 65
İnceleyerek Öğrenelim S S 4 P S S prlelkenr ve P iç bölgede herhngi bir nokt olsun Şekildeki üçgensel bölgelerin lnlrı S, S, S ve S 4 ise, S + S = S + S 4 () = (S + S ) = (S + S 4 ) olur Gösterelim 4 4 P K L Şekildeki gibi P noktsındn geçip [] kenrın prlel oln [KL] ve [] kenrın prlel oln [] çizilirse; PK prlelkenr ve P ( ) = PK ( ) LP prlelkenr ve P ( ) = LP ( ) PL prlelkenr ve PL ( ) = P ( ) KP prlelkenr ve KP ( ) = P ( ) & & & & P ( ) + P ( ) = P ( ) + ( P) = + + + 4 ve ( ) = `( P ) + ( P ) j= `( P ) + P ( ) j olmktdır prlelkenr; [P] ^ [P], 8 P 4 P = 4 cm, P = 8 cm ve () = 48 cm ise, ( P) kç cm olur? ullım () = [ P ( & ) + P ( & )] olduğundn; 48 & & & 48 = c + P ( ) m& 4 = 6 + P ( ) & ( P) = 8 cm bulunur 66
K prlelkenrınd; P [], P [] // [], [] // [KL], [] [] [KL] = {P} olsun (PL) = 6 cm ise, (PK) kç cm olur? ullım L K [] // [] // [] ve [] // [] // [KL] olduğundn, S S S P S S 6 LP, PL, KP ve PK dörtgenleri prlelkenrdır LP ve KP prlelkenrsl bölgelerinde köşegenin yırdığı üçgensel bölgelerin lnlrı sırsıyl S, S ve (PK) = S olsun L ( ) = ( ) S + S + S = S + S + 6 S = 6 cm bulunur Yndki şekilde, prlelkenr, ve kenrlrın ort noktlrıdır ( ) ( ) un göre, ve ornlrı kçtır? ( ) ( ) ullım S S S S [] köşegeni çizilirse, tbn ve yükseklikleri eş oln üçgenlerin lnlrı eşit olcğındn, ^ & h= ^ & h = S ^ & h = ^ & h = S S ( ) = ( ) = = S olur Sonuçt ( ) S ( ) S = = ve = = ( ) 4S 4 ( ) 4S bulunur 67
M G Şekildeki prlelkenrınd,,, G ve H kenrlrın ort noktlrıdır H N K L un göre, şekilde,, ve köşelerini krşı kenrlrın ort noktlrın birleştiren [G], [H], [], [] doğru prçlrı ile belirlenen KLMN dörtgeninin bir prlelkenr ve KLMN ( ) ( ) = olduğunu gösterelim 5 G S b S S M L S H N b S K S S b S b Şekilde l = l = Gl = Gl =, Hl = Hl = l = l = b olsun İç ters çılr eş olduğundn şekilde K eşlik kurlındn, GM &, K & & &, HN, L ve bu eş üçgenlerin lnlrı GM ^ & h= K ^& h= S HN ^& h= L ^& h= S olur Krşılıklı kenrlrı eş ve prlel oln G ve H dörtgenleri prlelkenr olduğundn KLMN dörtgeni de prlelkenrdır [G] // [] ve [H] // [] olduğundn benzerlik kurlın göre, MG & + L, & & & & & & &, K + N, L + K, HN + M ve bu üçgenlerde benzerlik ornı k =, lnsl orn k = olur un göre ln dğılımı ypıldığınd; 4 (MGL) = (KN) = S ve (MNH) = (LK) = S elde edilir prlelkenrının lnının üne eşit G ve H üçgenlerinin lnlrı eşit olcğındn, 4 4S + S = 4S + S S = S = S bulunur (S, S ) & & öylece, şekilde G ( ) = 5S, () = 4 G ( ) (KLMN) = 0S 6S = 4S bulunur Sonuçt KLMN ( ) 4S = = olur ( ) 0S 5 68 = 45S = 0S ve
prlelkenr; = =, = 5 KL, (KL) = cm ise, L K () kç cm olur? ullım 5 h Şekilde lkll = lınırs, = 5 KL = 5 = 5 = 5 = = = = 5 olur L K Prlelkenrın yüksekliği h olsun KL bir ymuk ve yüksekliği h olduğundn, 5+ (KL) = h = 4h = h = cm sonuçt () = h = 5h = 5 = 45 cm bulunur prlelkenr, ile kenrlrın ort noktsı olsun ( ) ( ) = olduğunu gösterelim 8 üçgeninde [] ort tbn olduğundn; S S S benzerlik kurlın göre ~, benzerlik ornı k = ve lnsl orn k = olur 4 ( ) = S ise ( ) = 4S ve () = 4S = 8S, ( ) 8S ( ) = ( ) = = = S ( ) = 8S S S S = 8S 5S = S 4 4 & ( ) S ve sonuçt = = bulunur (S R + ) ( ) 8S 8 69
lıştırmlr şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) Prlelkenr bir köşegeni ile eşit lnlı iki üçgene yrılır ( ) Prlelkenrın her iki köşegeni de çizilirse eşit lnlı dört üçgen elde edilir ( ) Prlelkenrd herhngi bir köşenin krşı kenrın ort noktsın birleştirilmesi ile oluşn üçgenin lnı, prlelkenrın lnının üdür 4 prlelkenr; bir üçgen, L K [], [KL] // [], K = K ve & KL ( ) = 4 cm ise () kç cm olur? 5 prlelkenrınd; =, =, = cm ve = 5 cm olduğun göre, () kç cm olur? 4 8 6 H prlelkenrınd; [H] ^ [], [] ve [] çıortylr, H = 6 cm, H = 8 cm ise, & ( ) kç cm olur? 5 G dörtgeninde;,, G ve H H K kenrlrın ort noktlrı, [K] ^ [G] ve H = K = cm olduğun göre, () kç cm olur? 70
6 prlelkenr ile kenrlrın ort noktlrıdır () = 40 cm ise, & ( ) değerini bulunuz 7 K prlelkenrınd,, G kenrlrın ort noktlrıdır G L [] [G] = {L}, [] [] = {K} ise, KL ( ) ornı kçtır? & K ( ) 8 prlelkenrınd P iç bölgede bir nokt & P ( ) = 5 cm ve P () = 0 cm olduğun göre, & P ( ) değerini bulunuz 9 prlelkenr; [] ^ [], =, = 6 cm ve = cm ise, () değerini bulunuz 6 0 prlelkenr = 5 = ve ( ) = 0 cm olduğun göre () değerini bulunuz 7
ŞKNR ÖRTGNİN LNI eşkenr dörtgeninde [] ^ [] olduğundn = e, = f ise köşegenleri dik oln bir dörtgende olduğu ef gibi () = olur şkenr dörtgen bir prlelkenr olduğundn prlelkenrd verilen ln bğıntılrı eşkenr dörtgende de geçerlidir eşkenr dörtgen; [] [] = {K}, [KH] ^ [], K H = 4 cm ve H = 9 cm ise, () kç cm olur? ullım 9 H 4 9 6 K 6 H 4 şkenr dörtgende köşegenler birbirini dik ortldığındn K dik üçgendir [KH] ^ [] verildiğinden Öklid ğıntısı ile, KH = H H KH = 49 = 6 KH = 6 cm bulunur KKK eşlik kurlın göre, K &, K & ve bu eş üçgenlerin yükseklikleri K = HK = 6 cm olduğundn, H = 6 + 6 = cm olur Sonuçt () = H = = 56 cm bulunur H eşkenr dörtgeninde; [], [H] ^ [] [] ^ [], H = cm, = cm ve = 6 cm olduğun göre, () kç cm olur? ullım 6 6 H K [H] dikmesi [] kenrın doğru uztılırs, [] köşegeni çıorty olduğundn; = K = cm HK = + = 5 cm, () = HK = 65 = 0 cm bulunur 7
oyutlrı 8 m ve 4 m oln dikdörtgen biçiminde bir kilim üzerine şekildeki gibi birbirine eş eşkenr dörtgen biçiminde motif dokunmuştur şkenr dörtgen motiflerden birinin kpldığı lnı bullım H G K P Şekildeki eşkenr dörtgen motifler birbirine eş olduğundn, = G ve HK = KP olur ikdörtgen biçimindeki kilimde; = 8 m = + G = = G = 4 m, = 4 m = HK + KP = HK HK = KP = m bulunur Sonuçt bir eşkenr dörtgen biçimindeki motifin kpldığı ln, HK 4 KH ( ) = = = 4 m bulunur eşkenr dörtgeninde; [] köşegen, = = cm ve = cm ise, () kç cm olur? ullım 8 K 5 [] köşegeni çizilirse; [] ^ [], K = K ve K = K olcğındn, 6 K = = 8 cm, K = 8 = 5 cm ve K dik üçgeninde Pisgor Teoremi ile K = - 5 = 44 = cm bulunur = K = = 4 cm ve () = 4 6 = = 9 cm olur 7
lıştırmlr şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) şkenr dörtgenin lnı köşegen uzunluklrı çrpımının yrısıdır ( ) şkenr dörtgende köşegenler diktir ( ) şkenr dörtgende köşegenler çıortydır ve birbirini dik ortlr ( ) Tüm kenrlrı eş oln prlelkenr eşkenr dörtgen denir eşkenr dörtgen; [H] ^ [], H = 6 cm, H = 4 cm ise, () kç cm olur? 6 H 4 eşkenr dörtgen; [], [] ^ [], =, = cm ve = cm ise, () kç cm olur? 4 eşkenr dörtgen, bir üçgen, 4 [] ^ [], = = 4 cm ise, () kç cm olur? 4 İKÖRTGNİN LNI b ir dikdörtgeninde = birim ve = b birim ise şekilde görüldüğü gibi dikdörtgensel bölgede bulunn birim krelerin syısı b olduğundn dikdörtgeninin lnı () = b birimkre olur 74
dikdörtgeni biçimindeki bir kâğıt prçsı şekildeki gibi köşesi [] kenrı üzerindeki bir noktsı ile çkışck şekilde [] boyunc ktlnıyor = 0 cm ve ktlnmış üçgensel bölgesinin lnı 5 cm olduğun göre, () kç cm olur? ullım 0 b 0 0 b = 5 & Kâğıdı [] boyunc ktldığımızd çkıştığındn bu üçgenler eştir u yüzden, = = 0 cm ve = = olur & ile ( ) = 5 cm verildiğinden, 0 = 5 & = 5 cm bulunur Şekilde çı değerleri isimlendirilirse, benzerlik kurlın göre, & + & ve benzerlik ornı = = olduğundn, 0 5 = = ve = b = b olur dikdörtgeninde, = + b = 0 ve = b + 5 = olduğundn, + b = 0 denklem sisteminde denkleminin ktını lıp, b = 5 denklemi ile trf trf toplrsk, 5 + 0 = 0 = 4 cm olur Sonuçt: = = 4 = 8 cm ve () = 08 = 80 cm bulunur dikdörtgen, dik üçgen, H [] ^ [], [H] ^ [], = H ve () = 7 cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım dik üçgeninde [H] ^ [] olduğundn Öklid ğıntısı n göre, olduğundn, = H = H = = () = 7 = cm bulunur 75
G H 6 8 45 45 45 G 45 6 6 6 H 6 6 6 45 45 45 45 8 dikdörtgeninde; [G], [G], [] ve [] çıortylr, = 6 cm, = 8 cm ise, (GH) kç cm olur? ullım,, G ve H çıortylrın kesim noktsı olduğundn, H,, ve G ikizkenr dik üçgenler olur = = 6 cm H = H = = = 6 cm, = = 8 cm G = G = = = 8 cm, H = = 8 6 = cm GH bir kre olur Sonuçt (GH) = = 4 cm bulunur lıştırmlr şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) ikdörtgende köşegenler diktir ( ) ikdörtgenin lnı dik kenr uzunluklrı çrpımın eşittir ( ) ikdörtgenin lnı köşegen uzunluklrı çrpımının yrısıdır dikdörtgeninin içine birbirine eş oln 4 tne dikdörtgen yerleştirilmiştir Çevre() = 8 cm olduğun göre, () kç cm olur? ir dikdörtgeninin lnı 60 cm ve bir köşegeninin uzunluğu cm olduğun göre, çevre uzunluğu kç cm dir? 4 K G dikdörtgen; 6 8 [] // [], [] // [GH] // [KL], (NH) = 6 cm, (MLHN) = 4 cm, M N 4 6 (MNGK) = 8 cm ve (MK) = 6 cm ise, () kç cm olur? L H 76
5 dikdörtgeninde; [H] ^ [], H = cm; 8 H = 8 cm olduğun göre, ( H) kç cm olur? H 6 dikdörtgen; [] ^ [], 6 m( % ) = m( % ), = 0 cm, 0 = 6 cm ise, ( ) kç cm olur? 7 Çevre uzunluğu 0 cm oln bir dikdörtgensel bölgenin lnının lbileceği en büyük değer kç cm olur? KRNİN LNI Kre tüm kenrlrı birbirine eş oln bir dikdörtgen olduğundn şekildeki bir kenr uzunluğu oln kresinin lnı () = = olur oyutlrı 00 cm ve 40 cm oln dikdörtgen biçimindeki bnyo zemini, bir kenr uzunluğu 0 cm oln kre biçimindeki sermiklerle kplncktır Zeminin tmmını kplmk için kç tne sermik kullnılır ullım ir sermiğin kpldığı ln 00 cm ve zemini tmmen kplmk için tne sermik kullnıls, 40 00 00 = 4000 = = 80 = 80 bulunur 0 0 77
G 8 Şekilde ve G birer kredir = 8 cm ve trlı bölgenin lnı (G) = 55 cm ise, nun kç cm olduğunu bullım G 8 8 G kresinin bir kenr uzunluğu cm olsun Trlı bölgenin lnı, 55 = 64 = 9 = cm olur G kresinin köşegen uzunluğu, = = cm, kresinin köşegen uzunluğu, = 8 cm olduğundn, = 8 - = 5 cm bulunur 4 G kre,, ve G kenrlrın ort noktlrı, H [G] [] = {H}, [] [] = {K}, = 4 5 cm ise, K trlı KH dörtgeninin lnını bullım S S L N S S G H 4S S K S M S S köşesini krşı kenrın L ort noktsın birleştirirsek, K eşlik kurlındn, GH &, K &, M &, LN & ve (GH) = (K) = (M) = (LN) = S olur Şekildeki benzer üçgenlerin ln dğılımlrı ypılırs, () = ( 4 5) = 45S = 0S = 80 S = 4 cm, (MNHK) = 0S 6S = 4S ve sonuçt, (KH) = S + 4S = 7S = 74 = 8 cm bulunur 78
dik üçgen G kre, [] ^ [], = 4 cm, G ve = 5 cm olduğun göre, (G) kç cm olur? ullım 4 5 dik üçgeninde m ( X ) =, m( W ) = β, = G = olsun 4 G 5 u durumd, + = 90 m ( % ) = % ve mg ( ) = β olur benzerlik kurlındn, & & 4 + G & = = 0 (G) = 0 cm 5 bulunur kre; [] ^ [K], [], 6 =, = 5, = 6 cm olduğun göre, ( K) kç cm olur? ullım K 5 M 5 6 5 K 5 5 N Şekilde noktsındn geçen [MN] // [] çizilirse, = 6 cm = cm, = 5 cm, N = M = M = cm, N = N = 5 cm olur benzerlik kurlın göre, M & + KN & olduğundn, M KN KN 5 5 5 = & = & KN = ve K = 5 - = cm M N 5 bulunur Sonuçt, & K N 5 K ( ) = = 5 = 5 cm olur 4 79
kre; bir üçgen, K [] [] = {K}, =, ( K) = cm, ( K) = 5 cm ise, = kç cm dir? ullım K S 5 Şekilde ( K) = S olsun () = 4( ) = ( ) ( ) = ( ) S + 5 = (S + ) S + 5 = S + 6 S = 9 cm olur () = ( ) = (S + 5) = (9+5) = 48 cm ise = 48 = 4 cm bulunur kre; [] ^ [], [] = [], = cm ise, () kç cm olur? ullım H [H] ^ [] çizilir ve m( % ) = %, m ( ) = β olrk isimlendirilirse, H dik üçgeninde de mh ( % ) = %, m ( ) = β olur = = olduğundn K eşlik kurlın göre, &, H & = H = H = cm = 4 cm bulunur Sonuçt dik üçgeninde Pisgor Teoremi kullnılırs, () = = + 4 = 0 cm bulunur 80
lıştırmlr ir kenr uzunluğu metre oln kre biçimindeki bir mutfk duvrı, bir kenrı 0 cm oln kre biçimindeki sermiklerle kplncktır un göre mutfk duvrının tmmının kplnmsı için kç tne sermik gereklidir? G Şekilde ve G kre, = 0 cm ve (G) = 64 cm olduğun göre, II = kç cm dir? 0 K G H kre;, ve G kenrlrın ort noktlrı, [G] [] = {H} [G] [] = {K} ve ll = 0 cm olduğun göre, HK dörtgeninin lnı kç cm olur? 0 4 kre, [] ^ [], =, = cm ise, () kç cm olur? 5 kre, bir üçgen, % m ( ) = 5c, = 4 cm ise, () kç cm olur? 5 4 8
LTİİN LNI ir deltoidinde =, = e, = f olsun K [] ^ [] olduğundn bu deltoidin lnı () = e $ f olur Resimdeki deltoidi biçimindeki uçurtmd,, G, H kenrlrın ort noktlrı ve = dir Uçurtmyı ypmk için kullnıln çıtlrın uzunluğu, = = 80 cm olduğun göre, uçurtm kâğıdı ile kplnn GH yüzeyinin lnı kç dm olur? ullım G H S G S S S H,, G ve H kenrlrın ort noktlrı olduğundn üçgeninde [G], üçgeninde [H] ort tbn ve [G] // [] // [H] olur benzerlik kurlındn göre, G & + & & &, H + ve bu üçgenlerde benzerlik ornı k = ve lnsl orn k = 4 olur KK eşlik kurlındn G &, H & olduğundn, ( G) = ( H) = S, ( ) = ( ) = 4S (GH) = 8S S = 6S olur 80 80 ( ) = 8 S = = = 00 & S = 400 cm olduğundn, (GH) = 6S = 6400 = 400 cm = 4 dm bulunur 8
dik ymuk, deltoid [] // [], [] ^ [], = = = cm ise, () kç cm olur? ullım deltoidinde [] köşegeni çizilirse çıorty olcğındn, % % m ( ) = m ( ) = ve iç ters çılrdn % m( ) = bulunur ikizkenr üçgen olduğundn, = = 6 cm elde edilir 6 ikizkenr dik üçgeninde Pisgor Teoremi ile = 6 ikizkenr dik üçgeninde ise, = cm olur cm, 6 Sonuçt () = = = 8 cm bulunur lıştırmlr 6 dik ymuk, deltoid, [] // [], [] ^ [], = = 5 cm ve = 6 cm ise, () kç cm olur? 5 deltoid,,, G ve H kenrlrın ort noktlrı H G =, = 8 cm ve = 9 cm, olduğun göre, trlı GH bölgesinin lnı kç cm olur? deltoidinde = ve [] olmk üzere =, [] [] = {} olmktdır ( ) = 9 cm olduğun göre, ( ) kç cm olur? 8
5 : ÇKGNLR 5 : Çokgenler ve Çokgenlerde çılr n å n ß n 6 ß å ß å İç bölge 5 å ß 4 ış bölge n ve n olmk üzere,,,, n herhngi rdışık üçü doğrusl olmyn noktlr olsun [ ] [ ] [ n ] birleşim kümesine n kenrlı (köşeli) bir çokgen denir,,,, n noktlrın çokgenin köşeleri, [ ], [ ],, [ n ] doğru prçlrın çokgenin kenrlrı, kplı şeklin içine iç bölge, dışın dış bölge, bir çokgen ile çokgenin iç bölgesinin birleşim kümesine de çokgensel bölge denir rdışık olmyn iki köşeyi birleştiren doğru prçsın köşegen denir Şekilde å, å,, å n iç çı ölçüleri; ß, ß,, ß n dış çı ölçüleri ve [ 4 6 ] bir köşegendir şğıd verilen şekillerin çokgen olup olmdıklrını bullım şekil şekil şekil 4 şekil 5 şekil 6 şekil 5 Şekil rdışık üç köşesi doğrusl ve yrık iki iç bölgesi olduğu için; 6 Şekil ise ylnız doğru prçlrındn oluşmdığı için çokgen değildir,, ve 4 şekiller birer çokgendir tkinlik n 4 uu Şekildeki gibi n tne kenrı oln (n ) bir çokgen çiziniz u çizim bir vrsyımdır unun için n köşeye ykın son kenrlrı kesik çizgilerle belirtiniz uu İstediğiniz belli bir köşeden geçen tüm köşegenleri çiziniz elli bir köşeden geçen köşegenlerin tümü ile şeklin içinde kç tne yrık üçgensel bölge oluşturulbilir? Sonucu n syısı cinsinden bulunuz uu u üçgenlerin hepsinde iç çı ölçülerini çizdiğiniz şekilde belirtiniz ütün bu üçgenlerin iç çı ölçülerinin toplmı, çokgenin iç çı ölçüleri toplmın eşit olur mu? İnceleyiniz Çokgenin iç çı ölçülerinin toplmını veren bğıntıyı n kenr syısı cinsinden yzınız 84
unlrı ilelim 4 4 n kenrlı bir çokgende belli bir köşeden çizilen köşegenlerle (n ) tne yrık üçgensel bölge oluşur u yüzden n kenrlı bir çokgende iç çı ölçülerinin toplmı (n )80 olur (n, n ), Şekildeki n çokgeninde iç çı ölçüleri toplmı n n + + n = (n )80 olur İç çı ölçülerinin ritmetik ortlmsı 50 oln bir çokgen kç kenrlıdır? ullım n bir doğl syı olmk üzere n kenrlı bir çokgenin iç çı ölçüleri,,, n olsun + + + n ( n - ) 80 = 50 & = 50 (n )8 = 5n n n 8n 6 = 5n n = 6 n = bulunur örtgende, beşgende ve ltıgende iç çı ölçülerinin toplmını bullım örtgende iç çı ölçülerinin toplmı (4 ) 80 = 60, beşgende iç çı ölçülerinin toplmı (5 ) 80 = 540 ve ltıgende iç çı ölçülerinin toplmı (6 ) 80 = 70 olur n ß n tkinlik 4 å å å n å ß ß uu efterinize n kenrlı n dışbükey çokgenini çizip bu çokgenin iç çı ölçülerini å, å,, å n ile isimlendiriniz uu Her bir köşede kenrı uztrk o köşedeki dış çı ölçüsünü köşe numrsın göre ß, ß,, ß n ile isimlendiriniz uu ir köşedeki dış çı ölçüsünün, o köşedeki iç çı ölçüsünün bütünleri olduğunu öğrenmiştiniz un göre her bir köşedeki dış çı ölçüsünü, o köşedeki iç çı ölçüsü cinsinden bulunuz ß uu ış çı ölçülerinin toplmı ß + ß + + ß n syısını iç çı değerleri cinsinden yzınız uu Son bulduğunuz dış çılr toplmınd å + å + + å n iç çı ölçüleri toplmı yerine bunun n kenr syısın bğlı eşitini yzıp toplm işlemini sonuçlndırınız n kenrlı herhngi bir dışbükey çokgende dış çı ölçülerinin toplmı olrk hngi sbit syıyı buldunuz? çıklyınız 85
unlrı ilelim ß 4 4 ß n olmk üzere n kenrlı bir çokgende dış çı ölçüleri toplmı 60 derecedir (n ) Şekildeki n çokgeninde dış çı ölçüleri toplmı, + + + n = 60 olur n ßn ß ß K 80 % bir beşgen, m ( ) = 90c %, m ( ) = 5c, % mk ( ) = 80c dir un göre, ve köşelerindeki dış çı 5 ölçüleri toplmı + y kç derecedir? ullım y ir dış çının ölçüsü, ynı köşedeki iç çı ölçüsünün bütünleri olduğundn; dış çı ölçüsü köşesinde 90, köşesinde 45 ve köşesinde 00 olur beşgeninde dış çı ölçülerinin toplmı, 90 + y + 45 + 00 + = 60 + y + 5 = 60 + y = 5 bulunur ir dışbükey çokgende ynı köşedeki dış çı ölçüsünün, iç çı ölçüsüne ornı 7 bu köşedeki dış çının ölçüsü kç derecedir? ullım olduğun göre å 7å Çokgenin bir köşesinde dış çı ölçüsü å ve iç çı ölçüsü 7å lınırs, å + 7å = 9å = 80 å = 0 bulunur u köşedeki dış çı ölçüsü å = 0 = 40 olur 86
ir dışbükey çokgende üç tne iç çı ölçüsü 00, 0 ve 0 derecedir iğer iç çılr birbirine eş ve ölçüleri 50 olduğun göre bu çokgen kç kenrlıdır? ullım 80 00 0 70 Şekilde görüldüğü gibi n kenrlı bu çokgende verilenler yzılırs dış çı ölçülerinin toplmı; 80 + 70 + 60 + (n )0 = 60 olcğındn, n 50 0 (n )0 = 50 n = 5 n = 8 bulunur 80 50 50 60 0 50 0 İç çı ölçüleri toplmı dış çı ölçüleri toplmının 5 ktı oln dış bükey çokgen kç kenrlıdır? ullım n kenrlı bir çokgende iç çı ölçülerinin toplmı (n )80, dış çı ölçüleri toplmı 60 ve verilen çokgende (n )80 = 560 olduğundn n = 5 n = 0 n = bulunur Sonuçt bu çokgen kenrlıdır ış bükey bir beşgende dış çı ölçüleri,, 4, 5 ve 6 syılrı ile orntılı olduğun göre bu beşgenin en büyük iç çı ölçüsünün kç derece olduğunu bullım 6α 4α α α 5α beşgeninde dış çı ölçüleri,, 4, 5 ve 6 olsun Her dışbükey çokgende dış çı ölçülerinin toplmı 60 olduğundn + + 4 + 5 + 6 = 60 0 = 60 = 8 bulunur ış çı ölçüsünün en küçük olduğu köşede iç çı ölçüsü en büyük olcğındn bu beşgenin en büyük iç çı ölçüsü şekilde m(pple) = 80 = 80 8 = 80 6 = 44 bulunur 87
üzgün Çokgenler ß ß ß ß n ß ß ß 4 ß Kenr uzunluklrı ve tüm iç çı ölçüleri birbirine eşit oln çokgene düzgün çokgen denir Çokgenlerde dış çı ölçüleri toplmı 60 olduğundn şekildeki n kenrlı düzgün çokgende, n tne + + + = 60 n = 60 = 60c bir dış çı ölçüsü olur n un göre bir iç çı ölçüsü, 60c 80c n - 60c ( n - ) 80 = 80 = 80 = = n n n bulunur 60 60 60 üzgün üçgen (şkenr üçgen) üzgün dörtgen (Kre) üzgün beşgen üzgün ltıgen Pergel ve çı ölçer yrdımı ile bir düzgün sekizgen çizerek bir dış çı ölçüsünün ve bir iç çı ölçüsünün kç derece olduğunu bullım 7 5 6 4 r r r r r r r r α ß Pergel yrdımı ile merkezli ve r yrıçplı çember çizerek bu çemberi birbirine eş 8 yy prçsın yırlım u yylrın,,,, 8 uç noktlrını birleştiren doğru prçlrıyl 8 sekizgenini çizelim ir çemberde eş yylrın kirişleri de eş olcğındn şekildeki 8 sekizgeninin tüm kenrlrı eşit uzunluktdır K K K eşlik kurlın göre yukrıdki şekilde 8,, 4,, 8 ikizkenr üçgenleri birbirine eş olduğundn 8 sekizgeninin tüm iç çı ölçüleri dolyısıyl tüm dış çı ölçüleri eşit olup bir düzgün çokgen olur u düzgün çokgenin bir dış çı ölçüsü, bir iç çı ölçüsü ise, 60c β = = 45 ve = 80 = 80 45 = 5 bulunur 8 üzgün çokgenin çizimine yrdımcı oln merkezli çembere düzgün çokgenin çevrel çemberi denir u çemberin merkezi düzgün çokgenin ğırlık merkezidir Yukrıdki şekilde [ ], [ ],, [ 8 ] yrıçplrı birer çıortydır irbirine eş,, 8 ikizkenr üçgenlerinin tepe çılrının ölçüsü β = = 45 düzgün çokgenin bir dış çı ölçüsüne eşittir 60 8 88
ir düzgün beşgende bir dış çı ölçüsü ile bir iç çı ölçüsünün kç derece olduğunu bullım ß å ß=7 å=08 å ß üzgün beşgende tüm dış çı ölçüleri birbirine eşit bir ß değeri 60 olduğundn dış çılr toplmı 5ß = 60 ß = = 7 bulunur 5 ynı köşede bir dış çı ile bir iç çı ölçüsü bütünler olduğu için de å = 80 ß = 80 7 = 08 bir iç çının ölçüsü olur ß å ß unlrı ilelim ß ß ß å ß ß üzgün eşgen: Tüm kenr uzunluklrı ve iç çı ölçüleri birbirine eşit oln beşgendir 60 ir dış çısının ölçüsü ß = = 7c, 5 bir iç çısının ölçüsü å = 80 7 = 08 olur Şekildeki noktsı çevrel çemberin merkezi ve düzgün beşgenin ğırlık merkezidir,,,, birbirine eş ikizkenr üçgenlerdir üzgün beşgende [], [], [], [] ve [] iç çıortylrdır üzgün beşgende tüm köşegenlerin birbirine eş olduğunu gösterelim Şekildeki düzgün beşgeninde tüm kenrlr birbirine eş ve tüm iç çılrın ölçüsü m(pple) = m(pple) = m(pple) = m(pple) = m(pple) = 08 olduğundn KK eşlik kurlın göre, ve = = = = bulunur 89
düzgün beşgen = = olduğun göre, m( % ) = kç derecedir? ullım 6 08 6 [] köşegeni çizilirse = olcğındn eşkenr üçgendir ikizkenr üçgeninde m( W ) = 08cve % % 7c m ( ) = m ( ) = = 6c olduğundn = m( ) m( ) = 60 6 = 4 bulunur unlrı ilelim üzgün ltıgen: ütün kenr uzunluklrı ve iç çı ölçüleri birbirine eşit oln ltıgendir ir dış çı ölçüsü 60 = 60º ve 6 bir iç çı ölçüsü 80 60 = 0 olur Çevrel çemberin merkezi oln noktsı, düzgün ltıgenin de ğırlık merkezidir,,,, ve birbirine eş eşkenr üçgenlerdir üzgün çokgende bir kenr uzunluğu ise, = = = olur ve bu [], [] ve [] köşegenleri çıortydır P N Şekilde dikdörtgen ve KLMNPR düzgün ltıgendir üzgün ltıgenin çevresi 6 cm olduğun göre () kç cm olur? ullım R M K L 90
60 P 6 N 60 0 6 6 R 6 6 60 60 K 6 L M üzgün ltıgenin tüm kenrlrı eşit uzunlukt ve çevresi 6 cm olduğundn bir kenr uzunluğu; KL = LM = MN = NP = PR = RK = 6 cm olur 60 üzgün ltıgenden bir dış çı ölçüsü ß = = 60 6 olduğundn şekildeki KR özel dik üçgeninde K = cm, ve R = cm bulunur K eşlik kurlın göre KR LM NM PR olduğundn, L = N = P = K = cm ve R = M = M = R = cm olur Sonuçt () = = (6 ) = 7 cm bulunur Yndki düzgün ltıgen ise, dörtgeninin bir dikdörtgen olduğunu gösterelim b üzgün ltıgenin bir kenr uzunluğu 4 cm ise, kç cm olur? ullım 0 0 0 0 0 0 üzgün ltıgende bir dış çı ölçüsü 60 = 60 ve bir iç çı öl- 6 çüsü 80 60 = 0 olduğundn ve ikizkenr üçgenlerinde tbn çılrı 0 bulunur urdn, % % % % m( ) = m( ) = m( ) = m( ) = 0c- 0c = 90c olduğundn dikdörtgendir b 4 0 60 H 60 0 4 ikizkenr üçgeninde [H] ^ [] çizilirse, % % H = H ve mh ( ) = mh ( ) = 60c olur H özel dik üçgeninde, = 4 cm H = cm ve H = cm bulunur Sonuçt = H = = 4 cm olur 9
lıştırmlr İç çı ölçülerinin toplmı, dış çı ölçülerinin toplmının ktı oln çokgende kenr syısı kçtır? ışbükey bir beşgende dış çı ölçüleri,,, 4 ve 5 syılrı ile orntılıdır un göre bu çokgende en büyük iç çının ölçüsü kç derecedir? ir dışbükey çokgende iç çı ölçülerinden en çok kç tnesi dr çı olbilir? 4 İç çı ölçüleri toplmı 900 oln dışbükey çokgende belli bir köşeden geçen köşegenler ile kç tne üçgen oluşur? 5 ir iç çısının ölçüsü 50 oln düzgün çokgen kç kenrlıdır? 6 düzgün beşgen, eşkenr üçgen olduğun göre, m( % ) = kç derecedir? 7 K düzgün ltıgen K = K, = cm olduğun göre, K kç cm dir? 8 bir düzgün çokgen m( ) = 60 ise, düzgün çokgeninde kenr syısı kçtır? 60 9 düzgün ltıgen KL kre ise, m( M) = kç K L M derecedir? 9
5 ÜNİT ÖLÇM V ĞRLNİRM SRULRI G dörtgeni biçiminde bir rzinin kenrlrının ort noktlrını birleştirerek oluşturuln GH dörtgensel bölgesinin çevresi tel örgülerle kptılcktır H Şekilde = 00 m, = 0 m örgü kullnılır? ise, kç metre tel ) 90 ) 95 ) 00 ) 05 ) 0 dörtgeninde; [] ^ [], = = 8 cm ise, () kç cm olur? ) ) 4 ) 6 ) 8 ) 40 dörtgeninde, [] ^ [], [] ^ [], [H] ^ [] ve = dir () = 5 cm olduğun göre, H = kç cm dir? H ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 4 H G dörtgeninde;,, G, H kenrlrın ort noktlrı; [] ^ [], = 5 cm ve = 4 cm olduğun göre, (GH) dörtgeninin kç cm olur? ) ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 9
5 y dörtgeninde; [], [], [] ve [] çıortylr, m( % ) = % ve m ( ) = y ise, + y kç derecedir? ) 90 ) 00 ) 0 ) 60 ) 80 6 80 dörtgeninde [] ^ [], [K] ve [K çıortylr, m(pple) = 80 ise, m( KL) = kç derecedir? L K ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 0 7 K 60 dörtgeninde [] [] = {K}, m( K) = 60, =, = = cm, = 6 cm ise, kç cm dir? ) ) ) ) ) 8 70 iç bükey dörtgeninde; [] ve [] dış çıortylr, % m ( ) = 00c %, m( ) = 70c ise, % m( ) = kç derecedir? 00 ) 80 ) 00 ) 0 ) 40 ) 50 94
9 6 K prlelkenr; = cm, = 6 cm, = 8 cm, [K] ve [] çıortylrdır un göre, = kç cm dir? 8 ) ) ) 4 ) 5 ) 6 0 9 eşkenr dörtgen; prlelkenrdır K = cm, K = 9 cm ise, prlelkenrlrının çevresi kç cm dir? K ) 48 ) 50 ) 5 ) 56 ) 60 5 ymuk, [] // [] 6 H [H] ^ [] mh ( % ) = mh ( % ) = 5 cm = 6 cm ise, kç cm dir? ) 8 ) 9 ) 0 ) ) ymuk, [] // [] 5 60 =, = = 5 cm, = cm % = cm, m ( ) = 60c = kç cm dir? ise, ) ) ) ) 4 ) 5 95
dik ymuk, [] // [], [] ^ [] [] çıorty, = cm, = 0 cm ise, 0 kç cm dir? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 4 M ymuk; [] // [], P M = M, K = K L L = L ise, N K NKL ( ) + MPL ( ) NP ( ) ornı kçtır? ) 5 ) 4 ) ) ) 5 ikizkenr ymuk, [] // [] = K N P L [KL] ort tbn, [P] ^ [] KL + P = cm, NP = cm ise, () kç cm olur? ) 6 ) 8 ) 0 ) 4 ) 0 6 0 6 K ymuk; [] // [] [K], [K] çıorty, ( + ) = +, K = 6 cm, K = 0 cm ise, () kç cm olur? ) 50 ) 60 ) 70 ) 80 ) 40 96
7 70 K prlelkenr; + =, =, % m ( ) = 70c ise, mk ( % ) = kç derecedir? ) 5 ) 8 ) 0 ) 0 ) 5 8 7 prlelkenr, köşegenlerin kesim noktsı, [P] ^ [], P = 7 cm, P = cm ise, = kç cm dir? P ) 8 ) 9 ) 0 ) ) 9 K prlelkenr, 4 mk ( % ) = m( % ) % %, mk ( ) = m ( ) = cm, = 4 cm, = 7 cm ise, = kç cm dir? 7 ) ) ) ) 4 ) 5 0 M prlelkenr, N L 4 N = N, L = L, 5 M = M, 4 K = K, () = 70 cm ise, (KLMN) kç cm olur? K ) ) 4 ) 7 ) 0 ) 97
prlelkenr, ymuk, ( ) = 7 cm ( ) = cm ise, ( ) kç cm olur? ) ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 0 dikdörtgen, [] köşegen, [] [] = {}, = cm, = cm, = 0 cm ise, = kç cm dir? ) ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ve KLN birer prlelkenr, [N] ve [N] çıorty, N L un göre, KLN ( ) ( ) ornı kçtır? K ) 4 ) ) ) ) 4 L prlelkenr, [LM] // [], [RN] // [] R K N P = PM, (MNK) = 0 cm ise, (RKL) kç cm olur? P M ) 0 ) 0 ) 40 ) 50 ) 60 98
5 eşkenr dörtgen, % % % [] köşegen, mk ( ) = mk ( ) = mlk ( ), K KL = 4 cm, L = cm ise, Çevre() kç cm dir? 4 L ) 0 ) 5 ) 0 ) 6 ) 40 6 H K eşkenr dörtgen, [K] ^ [], [P] ^ [P], HK = cm, P = 9 cm ise, H = kç cm dir? P ) ) ) ) ) 7 N M eşkenr dörtgen, M = K = M = cm, [KM] ^ [NT] ise, N = kç cm dir? K T ) ) ) 4 ) 4,5 ) 5,5 8 eşkenr dörtgen, dikdörtgen, =, % % m ( ) = m ( ) ise, % m ( ) kç derecedir? ) 5 ),5 ) 0 ) 7 ) 45 99
9 4 dikdörtgen, [K] ^ [], = 4 cm, = 6 cm, 6 K = cm ise, = kç cm dir? K ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 0 dikdörtgen, [] [] = {}, 8 [] ^ [] = 6 cm, = 8 cm ise, = kç cm dir? 6 ) ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 6 K H dikdörtgen, [] ^ [], [K] ^ [] [H] ^ [], =, K = 6 cm, H = H = cm, K = cm ise, trlı ln kç cm olur? ) 60 ) 6 ) 66 ) 69 ) 70 dikdörtgeni eş dikdörtgene yrılmıştır [] [K] = {T} ise, T K dikdörtgeninin çevresi T nun kç ktıdır? L ) ) 5 ) 0 ) 5 ) 50 00
P noktsı dikdörtgensel bölgenin bir elemnıdır 0 P P = cm, P = P kç cm dir? 0 cm, P = 8 cm ise, 8 ) ) 5 ) 5 ) 6 ) 4 4 H Ynd verilen düzlemsel şekilde, dikdörtgen, [H] ^ d, [H] // [K] // [L] // [M], 8 H = 4 cm, L = cm, M = 8 cm ise, d (HK) kç cm olur? M L K ) ) ) ) 4 ) 5 5 dikdörtgen,, ve doğrusl noktlr, 5 = % m ( ) = 5c ise, ornı kçtır? ) ) ) ) ) 6 dikdörtgen, [K] ^ [K], [HK] ^ [] H 4 K = 4 H, K = 4 cm ise, dikdörtgeninin lnı kç cm olur? ) ) 48 ) 64 ) 7 ) 80 0
7 kre, [] köşegen, 7 K = cm, = 6 cm, K = 7 cm, L = 4 cm ise, 6 Ç(LK) kç cm dir? 4 L ) 0 ) ) ) ) 8 8 kre, % % m( ) = m ( ) = 5c 5 ise, kresinin çevresi nun kç ktıdır? 5 ) 4 ) ) 4 ) 8 ) 6 9 kre, [] [] = {} m ( % ) = m ( % ) [] [] = {} = cm ise, Çevre() kç cm dir? ) 4 ) 6 ) 8 ) 4 ) 8 40 K H kre, [H] ^ [L], [] ^ [L] KL = 5 cm, K = cm ise, (K) kç cm dir? 5 L ) 04 ) 4 ) 4 ) 4 ) 40 0
4 K kre, =, ( ) = 6 cm, ( K) = 0 cm ise, krenin bir kenrı kç cm dir? ) 5 ) 0 ) 4 5 ) 8 ) 0 4 düzgün ltıgen, KL bir üçgen, K = L ve = cm ise, ( KL) kç cm olur? K L ) 4 ) ) 6 ) 6 ) 8 4 K 4 düzgün ltıgen, L = L, L K = 4 cm, = 6 cm ise, (LK) kç cm olur? 6 ) ) 5 ) 6 ) 8 ) 8 44 düzgün beşgen, 4 bir dörtgen, = 4 cm ise, Ç() kç cm dir? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 0
45 L K bir dikdörtgen GHKL düzgün ltıgen, ve Çevre(GHKL) = cm ise, () kç cm olur? H G ) 6 ) 8 ) 9 ) 0 ) 46 bir düzgün beşgen, =, % m ( ) = 4c ise, 4 m ( % ) = kç derecedir? ) 0 ) 5 ) 40 ) 45 ) 50 47 İç çı ölçülerinin toplmının dış çılr toplmın ornı 4 oln çokgen kç kenrlıdır? ) 0 ) ) ) ) 4 48 ir iç çısının ölçüsü 50 oln bir düzgün çokgende belli bir köşeden geçen köşegenlerle en çok kç üçgen oluşur? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 49 M N L K G düzgün dokuzgen, KLMN düzgün ltıgen, G düzgün beşgen ise, m(k G) = kç derecedir? ) 60 ) 70 ) 7 ) 80 ) 85 50 düzgün beşgen G bir üçgen eşkenr üçgen olduğun göre, m( ) = kç derecedir? G ) 0 ) ) 4 ) 6 ) 8 04
6 ÜNİT İKİNİ RN NKLM V NKSİYNLR 6 : İkinci ereceden ir ilinmeyenli enklemler 6: İkinci ereceden onksiyonlr ve Grfikleri Pierre de ermt (60-665) ermt slınd bir vukttı m mtemtiğe müthiş bir ilgisi vrdı Mtemtik dünysınd dı mtör mtemtikçi olrk nılır mtör sözcüğü bsite lınmsın, günümüzde pek çok syı kurmcı, onun kendisinden iyi olduğunu ifde eder ermt üzerinde çlıştığı kitp oln iophntos un ritmetik sının kenrın bir çok not lmış ve teorem isptlmıştı Htt öyle ki ondn sonr bu kitp yeni bilgiler eklenerek bsılmıştı u notlrdn birinin, mtemtik dünysının 50 yıl kdr gündeminde klcğını kim bilebilirdi? ermt ın Son (üyük) Teoremi, y, z + ve n > olmk üzere, n + y n = z n denkleminin hiçbir n syısı için tm syı çözümü yoktur ermt bu hipotezin bulunduğu syfnın kenrın şöyle yzmıştı: Çok güzel bir ispt buldum m bury yzmk için yeterli yer yok limizde sonsuz tne denklem vr, deniyoruz m ifdeyi sğlyn (, y, z) üçlüsü bulmıyoruz Öyleyse ermt doğru söylüyor, deyip son noktyı koymıyoruz u çözümsüzlüğün isptlnmsı gerekir Trihsel süreçte belli değerler için ifdenin doğruluğu isptlnıyor (n =, 4, 5) İsptın her doğl syı için doğruluğu nck ermt ın ölümünde 8 yıl sonr, 99 te İngiliz mtemtikçi ndrew Wiles trfındn ypılbildi İspt üzerine çlışmy 0 yşınd bşlyn bu mtemtik şığı insn olms, belki hipotez, bugün hâlâ bir çözüm bekleyenler rsınd olcktı! Kynk: wwwbiltektubitkgovtr 05
6 : İKİNİ RN İR İLİNMYNLİ NKLMLR 6: İkinci ereceden ir ilinmeyenli enklemler 6: Krmşık Syılr 6: İkinci ereceden ir ilinmeyenli enklemlerin Kökleri ile Ktsyılrı rsındki ğıntılr İKİNİ RN İR İLİNMYNLİ NKLMLR, b, c ve 0 olsun + b + c = 0 biçimindeki ifdelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir u denklemi sğlyn syılrın denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir +b + c = 0 denkleminde syısı denklemin bilinmeyeni ve, b, c syılrı ise denklemin ktsyılrıdır Verilen ikinci dereceden bir denklemi çözmek, denklemin çözüm kümesini bulmk demektir Yukrıdki tnım göre, = 0, = 0, = 0, + = 0 ve = 0 denklemlerinden her biri ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir = 0, + + = 0 ve + = 0 ise ikinci dereceden bir denklem değildir ( ) + ( + ) = 4 olrk verilen denklemi + b + c = 0 biçiminde yzrk, b ve c ktsyılrını bullım ( ) + ( + ) = 4 4 + 4 + + 4 = 0 + = 0 olduğundn, =, b = ve c = bulunur {0} olmk üzere = 0 biçimindeki bir denklemin çözüm kümesini bullım = 0 = 0 = 0 = 0 vey = 0 olduğundn, denklemin birbirine eşit iki kökü vrdır ve çözüm kümesi Ç = {0} olur 8 = 0 denklemini çözelim 8 = 0 4 = 0 ( ) ( + ) = 0 - = 0 & = ) + = 0 & =- olduğundn denklemin çözüm kümesi Ç = {, } olur u durumd denklemin köklerine, simetrik kökler dı verilir 06
+ = 0 denklemini çözelim + = 0 + 4 = 0 = 4 olur ki kresi negtif syıy eşit oln bir gerçek syı olmdığındn bu denklemin çözüm kümesi Ç = olur = 0 denklemini çözelim = 0 ( ) = 0 = 0 & = 0 * bulunur - = 0 & = Sonuçt denklemin çözüm kümesi, Ç = ' 0, olur 4 + = 0 denklemini çözelim 4 + = 0 ( )( ) = 0 - = 0 & = ) - = 0 & = olduğundn denklemin çözüm kümesi Ç = {, } olur 4 + = 0 denklemini çözelim 4 + = 0 + = 0 ( ) = 0 ( ) ( ) = 0 - = 0 & = ) - = 0 & = olduğundn denklemin birbirine eşit iki kökü vrdır = = olduğundn denklemin çözüm kümesi, Ç = {} olur 07
+ 4 5 = 0 denklemini çrpnlrın yırm özelliklerinden yrrlnrk çözelim + 4 5 = 0 + 4 + 4 4 5 = 0 ( + ) = 0 ( + + ) ( + ) = 0 ( + 5)( ) = 0 + 5 = 0 & =-5 ) - = 0 & = olduğundn çözüm kümesi Ç = { 5, } olur ikkt edilirse çözümde + 4 5 = 0 ifdesi ( + ) = 0 biçimine dönüştürülüp iki kre frkı özdeşliği kullnılrk çözüm kümesi bulunmuştur + + = 0 denklemini çözelim + + = 0 + + ( ) + = 0 ( + ) + = 0 ( + ) = bulunur Her için ( + ) 0 olduğundn, bu denklemin kökleri yoktur ve Ç = olur İnceleyerek Öğrenelim İkinci ereceden ir ilinmeyenli enklemin Kökleri, b, c, 0 ve b 4c = olsun ( ) + b + c = 0 denkleminin gerçek köklerinin (vrs) b T = - + b T ve = - - olduğunu gösterelim ( Yunn lfbesinin dördüncü hrfidir ve delt diye okunur) b c + b + c = 0 c + + m = 0 b c + + = 0 b elde edilir u son denklemde teriminin ktsyısı oln c m nın yrısının kresi denklemin sol trfın eklenip çıkrılırs eşitlik değişmeyeceğinden; b e 4 o b b b c b b - 4c + + - + = 0 & + - = 0 4 4 c m e o 4 ( 4) olur Son denklemde b 4c = yzılırs, b T b T b T c + m - e o = 0 & e + + oe + - o = 0 J b T b T b T + + $ + - K = - - e o e o K = 0 & K b T K = - + bulunur L 08
urd + b+ c = ( ) ( ) olduğun dikkt edelim Kökleri veren b T = - + b T ve = - - bğıntılrın bkıldığınd; (i) = b 4c > 0 ise T olduğundn + b + c = 0 denkleminin b T = - - b T ve = - + gibi frklı iki gerçek kökü vrdır (ii) = b 4c = 0 ise T = 0 olduğundn + b + c = 0 denkleminin kökleri = = - b olur u durumd köklere çkışık iki kök (vey iki kt kök) denir (iii) = b 4c < 0 ise b T T bir gerçek syı olmdığındn = - + b T ve = - - kökleri de gerçek syı değildir dolyısıyl +b + c = 0 denkleminin gerçek kökü yoktur + b + c = 0 denkleminin köklerinin durumu = b 4c syısı ile yırt edildiğinden bu syıy diskriminnt (yırç) denir şğıd verilen denklemlerin çözüm kümelerini bullım 4 = 0 b + 8 = 0 c + + = 0 4 = 0 denkleminde =, b = ve c = 4 olur = b 4c = ( ) 4 ( 4) = 9 + 6 = 5 > 0 olduğundn denklemin frklı iki gerçek kökü vrdır u kökler; b T ( ) 5 5 = - + = -- + = + b T ( ) 5 5 = 4 ve $ = - - = -- - = - =- $ olur Sonuçt denklemin çözüm kümesi Ç = {, 4} bulunur b + 8 = 0 6 + 9 = 0 denkleminde =, b = 6, c = 9 ve = b 4c = ( 6) 49 = 6 6 = 0 olduğundn denklemin birbirine eşit iki gerçek kökü vrdır b ( 6) 6 = = - = - - = = bulunur enklemin çözüm kümesi Ç = {} olur $ c + + = 0 denkleminde = b = c = ve = b 4c = 4 = 4 = < 0 T = -, olduğundn denklemin gerçek kökü yoktur 09
m olmk üzere (m + ) + (m ) + m = 0 denkleminin birbirine eşit iki gerçek kökü olduğun göre, m syısını bullım enklemin birbirine eşit iki kökü olmsı için = b 4c = 0 olmlıdır Verilen denklemde = m +, b = m ve c = m olduğundn; = (m ) 4(m + ) (m ) = 4m 4m + 4 (m ) = 4m 4m + 4m + 4 = 5 4m = 0 m = 4 5 bulunur m {0} olmk üzere m (m + ) + m = 0 denkleminin frklı iki gerçek kökü olduğun göre, m nin en küçük tmsyı değeri kçtır? ullım Verilen denklemin frklı iki gerçek kökü olduğundn, = b 4c > 0 olmlıdır enklemde ktsyılr = m, b = (m + ) ve c = m olduğundn; = (m + ) 4(m) m > 0 4m + 4m + 4m > 0 4m + > 0 m > - ve m nin en küçük tmsyı değeri 0 olur 4 (m + ) + m (m + ) = 0 denkleminin köklerinden biri olduğun göre diğer kökün kç olduğunu bullım = syısı verilen denklemin bir kökü olduğundn, denklemi sğlr (m + ) + m (m + ) = 0 4m + 4 + 4m m 9 = 0 5m = 5 m = bulunur un göre verilen denklem, ( + ) + ( + ) = 0 + = 0 + 6 = 0 olur u denklemde ktsyılr = b =, c = 6 ve yırç (diskriminnt) = b 4c = 4( 6) = 5 > 0 olduğundn kökler, Z b T 5 5 4 ] = - + = - + = - + = = $ [ b T 5 6 ] = - - = - - = - =- \ bulunur Sonuçt rnn diğer kök = olur 0
lıştırmlr şğıd verilen denklemler rsındn, ikinci dereceden bir bilinmeyenli olnlrı belirleyiniz ( ) ( + ) = 0 b ( ) ( + ) = 0 c - + = 0 şğıdki denklemleri + b + c = 0 biçimine getirerek;, b ve c ktsyılrını bulunuz = + 5 b = + + şğıd verilen denklemleri çözünüz - - + = b 5y - 7 y + = y - y + t t c 4 t + + t - = 4 şğıd verilen denklemleri çözünüz 4 = 0 b t - t = 0 c + b = 0, (, b, 0) 4 5 şğıd verilen denklemleri çözünüz 4 = 0 b t 8t + 5 = 0 c 9 + 4 = 0 6 şğıd verilen denklemleri çrpnlrın yırrk çözünüz + 5 = 0 b 4y 4y + = 0 c t + t = 0 7 şğıd verilen denklemleri kümesinde çözünüz 5 + = 0 b 7 = 0 8 şğıdki denklemlerin çkışık iki kökü olduğun göre m syılrını bulunuz + (m ) + 9 m = 0 b (m + ) + 4 = 0 9 şğıdki denklemlerin köklerinin vrlığını m ve n gerçek syılrın bğlı olrk inceleyiniz 6m 7m = 0 b + (m + n) + mn = 0 0 m m + m + = 0 denkleminin gerçek kökü olmdığın göre m syısı hngi rlıktdır?
KRMŞIK SYILR = {0,,,, } kümesinde + = 0 denklemini çözerken, = olduğundn bu denklemin doğl syılr kümesinde çözümünün olmdığı görülerek çözümün olduğu, = {,,,, 0,,,, } tmsyılr kümesi tnımlnmıştır tmsyılr kümesinde = 0 denkleminin çözümü oln = syısı olmdığındn bu denklemin çözümü oln Q = { b :, b ve b 0 } rsyonel syılr kümesi tnımlnmıştır = 0 = = ve = - olduğundn; syısının rsyonel olmyn (irrsyonel) bir gerçek syı olduğunu knıtlyrk Qƒ rsyonel olmyn gerçek syılr kümesini ve = Q Qƒ gerçek syılr kümesini tnımıştık ( Q ) Öyleyse gerçek syılr kümesini de genişleterek + b + c = 0 denkleminde < 0 olmsı hlinde çözümün olbileceği yeni bir syı kümesi elde edebiliriz Örneğin + = 0 denklemini ele llım + = 0 = = -, = - olsun - syısının gerçek syı olmdığını biliyoruz + = 0 denklemini sğlyn ve kresi ( ) oln yeni bir syı tnımlyrk snl birim dını verip ile gösterelim un göre - = = olur öylece; + = 0 = = ve = olur diyebiliriz Sonuçt bu tür denklemlerin çözüldüğü gerçek syılr kümesini de kpsyn krmşık syılr kümesi dını vereceğimiz yeni bir syı kümesi tnımlycğız Snl birim oln = - syısını kullnrk - 4, - 9 ve - - 8 syılrının eşitlerini bullım - 4 = (- ) 4 = - 4 =, - 9 = (- ) $ 9 = 9 - = ve - - 8 = ( -) 8( - ) = 8 = 6 = 4( - ) =- 4 olur urd -, - 8 olduğundn - - 8! (- )( - 8) olduğun dikkt edelim!
şğıd verilen işlemleri - = lrk ypınız ) - - 9 b) - + -48 - - 9 = ( -) 9( - ) = 9 = = ( - ) =- b - + - 48 = ( - ) + 48( - ) = + 48 =- + 4 + = 0 denklemini - = lrk çözelim + = 0 denkleminde = b 4c = ( ) 4 = 4 8 = 4 < 0 olduğundn b ( ) 4 4( ) = - + = -- + - = + - = + b = + ve = - - = - denklemin kökleri olur urd kökleri veren bğıntıdn dolyı = + = olduğun dikkt edelim! İnceleyerek Öğrenelim Snl irimin Kuvvetleri Snl birim = - olrk tnımlndığındn, Z ] =-, [ = =-i ] 4 \ = ( ) = (- ) = olur un göre n olmk üzere, 0 = 4 = 8 = = 4n = ( 4 ) n = () n = = 5 = 9 = = 4n + = 4n = = = 6 = 0 = = 4n + = 4n = ( ) = = 7 = = = 4n + = 4n = ( )= olur
89 syısının değerini bullım 89 = 88 = ( 4 ) = = = olur 04 syısının değerini bullım 04 = 0 = ( 4 ) 50 ( ) = 50 ( ) = ( ) = olur 00 0 0 + + - 4n ifdesini + b biçiminde yzlım (n + ) 00 0 0 4 5 4 5 4 5 5 5 5 + + ( ) + ( ) + ( ) + + (- ) + - = = 4n 4 n n = = =- - - - ( ) (- )( ) - - bulunur unlrı ilelim Krmşık Syılr Kümesi, b ve = olmk üzere + b biçimindeki syılr krmşık (kompleks) syılr denir ir krmşık syıyı genel olrk z = + bi biçiminde ve bu syılrın kümesini de ile göstereceğiz hlde krmşık syılr kümesi, = {z = + b :, b, = } olur z = + b krmşık syısınd, syısın krmşık syının gerçek kısmı denir ve Re(z) = biçiminde gösterilir b syısın ise krmşık syının snl kısmı denir ve b = Im(z) olrk gösterilir ( imginry snl nlmın gelen İngilizce bir sözcüktür) Her için = ( + 0 ) olduğundn her gerçek syı bir krmşık syıdır olyısıyl olur ir Krmşık Syının şleniği + b ve b syılrındn birine diğerinin eşleniği denir z krmşık syısının eşleniği z ile gösterilir un göre, z = + b ise z = b olur 4
krmşık syılr kümesinde z 4z + 5 = 0 denklemini çözerek köklerin gerçek ve snl kısımlrın yzlım z 4z + 5 = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleminde =, b = 4, c = 5 ve = b 4c = ( 4) 45 = 6 0 = 4 < 0 olur un göre kökler, b T ( 4) 4 4 4( ) 4 Re( z ) z = - + = -- + - = + - = + = = + & ) $ Im( z) = b T z = - - = Re(z ) =, Im(z ) = olur unlrı ilelim İki Krmşık Syının şitliği z = + b ve z = c + d krmşık syılrı verilsin u iki krmşık syının eşit olmsı için gerek ve yeter koşul, gerçek kısımlrının birbirine ve snl kısımlrının d birbirine eşit olmsıdır un göre, z = z = c ve b = d olur z = ( + y), z = + y ve z = z ise (, y) ikilisini bullım z = z ( + y) = + y + y = + y = ) & ) -( + y) =- + y = elde ediliyor u iki denklem trf trf çıkrılırs, + y ( + y) = + y y = y = ve + y = + ( ) = = 4 (, y) = (4, ) bulunur z = + + - 9, z = 6 + ( b) ve z = z olduğun göre, b syılrını bullım z = + + 9( - ) = ( + ) +, z = 6 + ( b) ve z = z ise, + = 6 & = 4 * 5 bulunur = ( - b) & = - b & = $ 4- b & b = 5 & b = 5
tkinlik kümesinde z z + = 0 ikinci dereceden ve bilinmeyeni z oln denklemin ktsyılrını yzınız enklemin yırçı (diskriminntı) oln syısını bulunuz enklemin köklerini = - snl birim cinsinden yzınız Köklerden biri z = + y biçiminde ise diğeri dim z = y olur mu? Nedenini trtışınız z + bz + c = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleminde, b, c ve < 0 ise denklemin snl kökleri dim birbirinin eşleniği olur mu? İnceleyiniz unlrı ilelim İkinci dereceden bir bilinmeyenli ve gerçek ktsyılı bir denklemin snl kökleri birbirinin eşleniğidir z + bz + c = 0 denkleminde, b, c olmk üzere köklerden biri z = + y ise diğeri z = z = y olur Krmşık syılr kümesinde z 4z + = 0 denkleminin köklerini bullım = b 4c = ( 4) 4 = 6 5 = 6 < 0 b T z = - + b T ve z = - - olduğundn, ( 4) 6 4 6i z = -- + - = + = + bulunur Gerçek ktsyılı ikinci derece denklemin snl kökleri birbirinin eşleniği olduğundn z = z = bulunur KRMŞIK SYILR KÜMSIN İŞLMLR: Krmşık syılr kümesi gerçek syılr kümesinin genişletilmişi olduğundn bu küme üzerindeki işlemler gerçek syılr kümesinde olduğu gibidir Toplm Çıkrm İşlemi z = + b ve z = c + d krmşık syılrı verildiğinde; z + z = + b + c + d = ( + c) + (b + d) z z = + b (c + d ) = ( c) + (b d) olur - 4 + - + işleminin sonucunu bullım - 4 + - + = + + = 6 olur 6
z = ve z = + olduğun göre, z + z ve z z syılrını bullım z + z = + + = z z = ( + ) = = 4 olur İnceleyerek Öğrenelim Krmşık Syılr Kümesinde Toplm İşleminin Özellikleri Her z = + b ve z = c + d krmşık syılrı için, z + z = + b + c + d = ( + c) + (b + d) ve, b, c, d ( + c), (b + d) olduğundn kümesi toplm işlemine göre kplıdır Her z = + b için z + 0 = 0 + z = z olduğundn 0 = 0 + 0 syısı kümesinin birim (etkisiz) elemnıdır z = + b, z = c+ d, z = e + f krmşık syılrı için; (z + z ) + z = ( + c) + (b + d) + e + f = ( + c + e) + (b + d + f) ve z + (z + z ) = + b < + (c + e) + (d + f) = ( + c + e) + (b + d + f) olduğundn (z + z ) + z = z + (z + z ) olur dolyısıyl kümesinin toplm işlemine göre birleşme özelliği vrdır 4 Her z için z + ( z) = ( z) + z = 0 olduğundn z = + b syısının toplm işlemine göre tersi z = b olur 5 z = + b, z = c + d için, z + z = ( + c) + (b + d) = (c + ) + (d + b) = z + z olduğundn kümesinde toplm işleminin değişme özelliği vrdır Çrpm ölme İşlemi kümesinde z = + b ve z = c + d olsun z z = ( + b )(c + d ) = c + d + bc + bd = (c bd) + (d + bc) ve z z + b = c + d ( c- d ) = ( + b )( c-d ) c - d + bc - bd ( c + bd) + ( bc - d) = = ( c+ d )( c-d ) c - cd + cd -d c + d olur 7
Her z = + b için zz = + b, z + z = ve z z = b olduğunu gösterelim z = + b z = b zz = ( + b ) ( b ) = b + b b = + b z + z = ( + b ) + ( b ) = z z = + b ( b ) = b olur z = 4 ise z + z, z z ve zz değerlerini bullım z = 4 z = + 4 olur un göre, z + z = 4 + + 4 = = 6, z z = 4 ( + 4 ) = 4 4 = 8 zz = ( 4 ) ( + 4 ) = + 4 = 5 olur z = i krmşık syısının çrpm işlemine göre tersini bullım ir z syısının çrpm işlemine göre tersi z = olduğundn, z z = - ( + ) = + + = + ( ) + = + bulunur Gerçekten, 4 4 - zz = ^- h e + o = + - - = + = olur 4 4 4 4 4 4 4 4 z = 4 ve z = ise z z syısını bullım z z 4 ( 4 )( ) - - + 4 + 4 - - 4 ( ) 6 = = = = + - - = + = + bulunur - + ( + ) 8
- c m işleminin sonucunu bullım + ( ) 6 - - - + 6 - - 6 6 6 c m = > H = e o = c m = c - m = (- ) = olur + ( + ) + + + - z = - 4, z = + - 9 olduğun göre z z syısını bullım z = 4( - ) = ve z = + 9( - ) = + olduğundn, z z ( )( ) - - - 4 6 7 6 4 7 = = = - - + = - - = - - olur + + ( - ) İnceleyerek Öğrenelim Krmşık Syılr Kümesinde Çrpm İşleminin Özellikleri Her z = + b ve z = c + d krmşık syısı için, z z = ( + b ) (c + d ) = (c bd) + (d + bc) ve (c bd), (d + bc) olduğundn z z olur u nedenle kümesi çrpm işlemine göre kplıdır Her z = + b için = + 0 olmk üzere, z = z = ( + b ) ( + 0 ) = + b = z olduğundn = + 0 krmşık syısı çrpm işlemine göre etkisiz (birim) elemndır Her z = + b {0} için, - z = z = - bi b = = - i b b b b $ + + + + ( - b ) olduğundn sıfır hriç her krmşık syının çrpm işlemine göre tersi vrdır 9
4 z = + b, z = c + d, z = e + f için; z (z z ) = ( + b ) [(c + d ) (e + f )] = ( + b ) [(ce df) + (de + cf) ] = [(ce df) b(de + cf)] + [(de +cf) + b(ce df)] = [ce df bde bcf] + [de + cf + bce bdf)] = [(c bd) e (d + bc)f] + [(c + bd)f + (d bc)e] = [(c bd) + (d + bc) ](e + f ) = [( + b ) (c + d )] (e + f ) = (z z )z olduğundn kümesinde çrpm işleminin birleşme özelliği vrdır 5 z = + b ve z = c + d için, z z = ( + b ) (c + d ) = (c bd) + (d + bc) = (c db) + (d + cb) = (c + d ) ( + b ) = z z olduğundn kümesinde çrpm işleminin değişme özelliği vrdır 6 z (z + z ) = z z + z z = (z + z )z olduğundn çrpm işleminin toplm işlemi üzerine sğdn ve soldn dğılm özelliği vrdır z + (z ) = 4 ise z syısının çrpm işlemine göre tersini bullım z = + y z = y verilen bğıntıd yerine yzılırs; + y + ( y ) = 4 + y + y = 4 ( ) y = 4 - = 4 & = ) bulunur - y =- & y = z = + y = + & z = = + ( - ) - = - = - = z - olur + 8 4 4 z = ( iz) olduğun göre z syısını bullım z = ( z) z = z z + z = + z( + ) = + + - - 4 + 4-4 z = = = = - + + 5 5 5 ( - ) olur 0
wwwww lıştırmlr şğıdki verilen ifdeleri = - cinsinden yzınız - - 9 + - 6 b - + - 5 şğıdki işlemleri yzınız + 6 + 50 b 000 00 + 00 00 şğıdki denklemleri krmşık syılr kümesinde çözünüz + 8 = - b + 4 + 6 = 0 c + = 0 4 şğıdki eşitlikleri sğlyn ve y syılrını bulunuz + + y = y + 6 b 4 = y 5 şğıd verilen krmşık syılrın gerçek ve snl kısımlrını yzınız + b - 9 + c - -4 6 şğıdki krmşık syılrı + b biçiminde yzınız ( + - 5 ) + ( - 49 ) b ( + 5 ) ( 5 ) 7 şğıdki ifdeleri, gerekli işlemleri yprk + b biçiminde yzınız ( - ) ( - )( + ) b ( ) 8 şğıdki krmşık syılrın toplm ve çrpm işlemine göre terslerini bulunuz b + c + 9 şğıd verilen z krmşık syılrının eşleniklerini bulunuz z = 4 b z = c z = + 0 şğıdki eşitlikleri sğlyn z syılrını bulunuz z = 6 4 b (z ) = 6z c z + = ( z) + z
İKİNİ RN İR İLİNMYNLİ NKLMLRİN KÖKLRİ İL KTSYILRI RSINKİ ĞINTILRI + b + c = 0 denkleminin kökleri ile ktsyılrı rsındki bğıntılrı inceleyelim = b 4c > 0 ise denklemin birbirinden frklı b T = - + b T ve = - - gibi iki gerçek kökünün olduğunu biliyoruz un göre, b T b T b T b T b b + = - + + - - = - + - - = - =- ve b b ( b) ( ) T T T b T b ( b 4c) = - + - - = - - - - - e oe o = = 4 4 4 4c = = 4 c elde edilir unlrı ilelim + b + c = 0 denkleminin iki gerçek kökü ve olsun u denklemde kökler toplmı + = b c - ve kökler çrpımı = olur = 0 denkleminin kökler toplmını ve çrpımını bullım Verilen denklemde =, b =, c = ve = ( ) 4( ) = 7 > 0 olduğundn ve gibi frklı iki gerçek kök vrdır b ( ) + = - = - - c = ve $ = = - olur m (m ) + m + = 0 denkleminin kökleri rsınd 4 ( + ) = bğıntısı olduğun göre m syısını bullım
+ b + c = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleminin kökleri ve ise b + =- ve = c olduğundn, m (m ) + m + = 0 denkleminde kökler toplmı + = m+ kökler çrpımı = olur un göre, m m -, m m - m + 4 ( + ) = 4c m - c m = 9m 0 = m m m 0 m = 0 m = - bulunur 6 + 4 = 0 denkleminin kökleri ve olduğun göre + + ifdesinin değerini bullım + ( ) + + + = + + + + + = ( + )( + ) $ + ( + ) + b ( 6) 6 + 4 = 0 denkleminde =, b = 6 ve c = 4 olduğundn 6 + = - = - - =, c 4 = = = 4 değerleri bğıntısınd yerine yzılırs, ( ) 6 8 + + + = + + + = = bulunur $ ( ) 4 6 + + + + + + c = 0 bullım denkleminin kökleri ve dir = 6 olduğun göre c syısını enklemde =, b = olduğundn + = - b -(- ) = - = 6 ) sistemi çözülürse 4 + = = 8 = bulunur = olur = denklemin sıfır yeri (kökü) olduğundn + c = 0 + c = 0 c = 0 bulunur
(m + ) + m = 0 denkleminde kökler toplmı kökler çrpımın eşit olduğun göre m syısını bullım u denklemin kökleri ve olsun + = olduğundn, m+ m- = m + = m m = bulunur m + = 0 denkleminin kökleri rsınd + = bğıntısı olduğun göre m syılrını bullım u denklemde + = -(- m) = m ve = = olur + = ( + ) = m = m = 6 m = 4 ve m = 4 bulunur m + 8 = 0 ile 6 + m + = 0 denklemlerinin birer kökü ortk olduğun göre m {6} syısını bullım Verilen iki denklemin ortk kökü 0 diğer kökleri sırsıyl ve olsun Z ( m) 0+ = - - ] = m [ ( 6) ] 6 0+ = - - = \,, 0$ = 8 ) 0$ = m + olur u iki sistemde denklemler trf trf çıkrılırs = m 6 ve 0 ( ) = 8 m = 6 m bulunur un göre, 6 - m 0 ( ) = 6 m 0 (m 6) = 6 m 0 = = m - 6 iki denklemin de ortk kökü olur Sonuçt m + 8 = 0 ( ) m ( ) + 8 = 0 m + 9 = 0 m = 9 bulunur 4
Kökleri Verilen İkinci ereceden enklemin luşturulmsı Kökleri ve syılrı oln ikinci dereceden bir denklem, ( )( ) = 0 vey ( )( ) = 0 ( 0) biçiminde olcğındn, ( )( ) = 0 ( + ) + = 0 bğıntılrı yrdımıyl kökleri ve olrk verilen ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi vey kökler toplmı ( + ) ve çrpımı verilen ikinci dereceden denklemi yzbiliriz un göre kökler toplmı T = + ve kökler çrpımı Ç = oln ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem T + Ç = 0 biçimindedir Kökleri ve ( ) oln ikinci dereceden denklemi, b Kökler toplmı, çrpımı ( 4) oln ikinci dereceden denklemi yzlım Kökleri ve oln ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ( )( ) = 0 biçiminde olcğındn burd = ve = yzılırs, ( )( ( )) = 0 ( )( + ) = 0 + = 0 rnn denklem olur b Kökler toplmı ve kökler çrpımı bilinen ikinci derece denklem ( + ) + = 0 biçiminde olcğındn bu denklemde + = ve = 4 yzrsk, 4 = 0 denklemi elde edilir Snl köklerinden biri z = oln gerçek ktsyılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi yzlım Gerçek ktsyılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin snl kökleri birbirinin eşleniği olcğındn z = z = + olur un göre z + z = ve z z = + = 5 olur Kökleri z ve z oln ikinci dereceden denklem (z z )(z z ) = 0 z (z + z )z + z z = 0 biçiminde olcğındn bu son denklemde z + z = ve z z = 5 yzılırs, z z + 5 = 0 denklemi elde edilir Toplmlrı 4 ve çrpımlrı 5 oln iki gerçek syıyı bullım u syılr ve olsun T = + = 4 ve Ç = = 5 olduğundn, T + Ç = 0 4 5 = 0 olur u denklemde = ( 4) 4( 5) = 6 + 0 = 6 olduğundn, b T ( 4) 6 4 6 = - + = -- + = + 4 6 = 5 ve $ = - =- bulunur Gerçekten = 5 ve = syılrının toplmlrı T = 4 ve çrpımlrı Ç = 5 olur 5
Toplmlrı 6 5 ve çrpımlrı 6 oln iki gerçek syıyı bullım 5 u syılr ve olsun + = T = 6 denkleminde bu değerler yzılırs, ve = Ç = 6 olduğundn T + Ç = 0 5 - + = 0 & 6-5+ = 0 denklemi elde edilir u son denklemde 6 6 = b 4c = ( 5) 46 = 5 4 = olduğundn kökler, b T ( 5) 5 = - + = -- + = + b T 5 4 = ve = - - = - $ 6 = = bulunur 5 Gerçekten = ve = syılrının toplmı T = + = ve çrpımı Ç = $ = 6 olur 6 lıştırmlr Kökleri ve oln ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin ( + ) + = 0 biçiminde olduğunu göz önünde bulundurrk şğıdki denklemlerde kökler toplmını ve çrpımını bulunuz + 6 = 0 b 0 = 0 c + 4 + = 0 Kökleri şğıd verilen ikinci dereceden gerçek ktsyılı denklemleri yzınız =, = b =, = Snl köklerinden biri z = oln gerçek ktsyılı ikinci dereceden denklemi yzınız 4 Toplmlrı 4 çrpımlrı 60 oln iki syı (vrs) bulunuz 5 m 5 (m ) + m = 0 denkleminde kökler çrpımı = olduğun göre m syısı kçtır? 6 + b + c = 0 denkleminin kökleri ve olduğun göre, + ifdesini, b, c türünden yzınız 7 6 + m = 0 denkleminin kökleri, ve = olduğun göre m syısını bulunuz 6
6 : İKİNİ RN NKSİYNLR V GRİKLRİ 6: İkinci ereceden ir eğişkenli onksiyonlr ve Grfikleri 6: İkinci ereceden enklem ve onksiyonlrl Modellenebilen Problemler İKİNİ RN İR ĞİŞKNLİ NKSİYNLR V GRİKLRİ, b, c ve 0 olmk üzere, f: Æ, f() = + b + c biçimindeki fonksiyonlr gerçek syılr kümesinde tnımlı ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon denir Örneğin; h() =, g() = ve f() = + fonksiyonlrı ikinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlrdır f: Æ, f() = + b + c fonksiyonu verildiğinde, f = {(, y) : y = + b + c, 0 } kümesinin düzlemde belirttiği şekle f fonksiyonun grfiği denir İkinci dereceden bir fonksiyonun grfiği, prbol dı verilen ve şğıdki gibi tnımlnn bir nokt kümesidir unlrı ilelim k Prbol: üzlemde sbit bir noktsın ve sbit bir d doğrusun eşit uzklıktki noktlrın meydn getirdiği şekildeki f P f nokt kümesine (eğrisine) prbol denir H T d Şekilde noktsındn geçip d doğrusun dik oln k doğrusun prbolün simetri ekseni ve simetri ekseninin prbolü kestiği T noktsın prbolün tepe noktsı denir Yukrıd verilen şekilde f eğrisi üzerindeki her P noktsı, d doğrusun ve noktsın eşit uzklıktdır ve f prbolü k doğrusun göre simetriktir f: Æ, f() = fonksiyonunun grfiğini çizelim Y f f() = olduğundn = 0 için y = f(0) = 0 = 0 (0, 0) f 4 = için y = f() = = (, ) f X = için y = f( ) = ( ) = (, ) f = için y = f() = = 4 (, 4) f = için y = f( ) = ( ) = 4 (, 4) f olur u noktlrı nlitik düzlemde gösterip diğer noktlrı d prbol olck şekilde çizersek f() = fonksiyonunun grfiği yndki gibi olur ikkt edilirse y = prbolünde (0, 0) tepe noktsı ve Y ekseni ( = 0 doğrusu) simetri eksenidir 7
Y f()= f: Æ, f() = fonksiyonundn fydlnrk dönüşümler yrdımıyl f( ) b f( ) + c f() fonksiyonlrının grfiklerini çizelim X f() = Y = T (,0) f( ) X f( ) = ( ) = 4 + 4 fonksiyonunun grfiği, f() = grfiğinin X ekseni boyunc pozitif yönde birim ötelenmişi olduğundn o d bir prboldür ve tepe noktsı T (, 0), simetri ekseni de = doğrusudur b f() Y = T (,) f( ) + f( ) f( ) + = ( ) + = 4 + 6 fonksiyonunun grfiği; f() = grfiğinin X ekseni boyunc pozitif yönde birim ve dh sonr d Y ekseni boyunc pozitif yönde birim ötelenmişi olduğundn o d bir prboldür u prbolün tepe noktsı T (, ) ve simetri ekseni = doğrusudur T (,0) X c Y f() = f() = fonksiyonunun grfiği de şekilde görüldüğü gibi f() = grfiğinin X eksenine göre ynsımsı (simetriği) olduğundn bir prboldür Tepe noktsı (0, 0) dır X f() = 8
İnceleyerek Öğrenelim Y = r f ()=( r) +k Şekilde görüldüğü gibi, f () = prbolünün tepe noktsı (0, 0), k f () = T (r,k) f ()=( r) T X (r,0) f () = ( r) prbolünün tepe noktsı T (r, 0) ve f () = ( r) + k prbolünün tepe noktsı T (r, k) olur ( > 0) Sonuçt f() = ( r) + k biçimindeki ikinci derece fonksiyonlrın grfikleri oln prbolde tepe noktsı T(r, k) ve simetri ekseni = r doğrusudur (, r, k, 0) f: Æ, f() = + b + c fonksiyonu verilsin im f() = ( r) + k biçiminde yzılbilir ve bu durumd r =- ve k = f() r = tepe noktsınının koordintlrı olur b 4c - b 4 Gösterelim R V f() = b c S + b + c = b b b c W c + + m= S + + - + 4 4 W S ( 4) W T X b 4c - b = = c+ m + G 4 b = 4c b - - - ; c m + elde edilir 4 urd b - = r ve 4c - b 4 = k olrk dlndırılırs, f() = + b + c = ( r) + k ikkt edilirse f() = ( r) + k, f() = + b + c fonksiyonunun tepe noktsı koordintlrı ile yzılışıdır (,b,c,r,k, 0) olur İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler konusund öğrendiğimiz f() = ( )( ) ifdesine ise f() = + b + c fonksiyonunun ve kökleri ile yzılışı denir Sonuçt, f() = + b + c = ( r) + k = ( ) ( ) olur f() = + b + c fonksiyonunun kökleri ve ise f( ) = f( ) = 0 olduğundn (, 0) ve (, 0) grfiğin X eksenini kestiği noktlrdır un göre; = b 4c < 0 ise gerçek kök olmdığındn prbol X eksenini kesmez = b 4c = 0 ise çkışık kök olduğundn prbol X eksenine teğet olur = b 4c > 0 ise frklı iki kök olduğundn prbol X eksenini frklı iki noktd keser f(0) = c (0, c) grfiğin Y eksenini kestiği noktdır > 0 ise f prbolünün kollrı yukrıy doğru, < 0 ise şğıy doğru olur 9
Grfik çizme özelliği oln bir dinmik mtemtik / geometri yzılımı yrdımı ile f() = fonksiyonlrının nın değişen değerlerine göre grfiklerini çizip inceleyelim ( 0, ) f f f Y y = y = y = inmik mtemtik / geometri progrmını çrk sürgü ( ) seçeneğini seçerek, sürgünün yerini çizim thtsınd belirleyelim u seçenekte krşımız çıkn pencerede syısını istediğimiz rlıkt ve istediğimiz miktrd değişimini belirledikten sonr Giriş: bölümüne sekmesi yrdımıyl f() = yzrk grfiği çizdirelim Sürgüde yerine 05,,, 05, ve X değerlerini seçtiğimizde elde edilen grfikler ynd fƒ fƒ fƒ y = y = y = verilen şekildeki gibi olur ikkt edilirse y = prbollerinde büyüdükçe prbolün kollrı kpnmkt ve küçüldükçe kollr çılmktdır f: Æ, f() = fonksiyonunun grfiğini çizelim İkinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlrın grfikleri bir prbol olduğundn, prbol çiziminde belirleyici oln; (i) Prbolün X ve Y eksenlerini kestiği noktlr, (ii) Prbolün tepe noktsı, bulunrk çizim ypılır y = f() = fonksiyonunun köklerini bullım y = 0 = 0 ( )( + ) = 0 = ve = olduğundn (, 0), (, 0) f prbolün X eksenini kestiği noktlrdır y = f() = fonksiyonund, = 0 y = ve (0, ) f prbolün Y eksenini kestiği noktdır f() = grfiğinde tepe noktsı T(r, k) olduğundn, b ( ) r =- =- - = ve k = f(r) = f() = = 4 T(, 4) bulunur b b ikkt edilirse r = - - + = c m = olmktdır 0
Y = f X nlitik düzlemde (, 0), (, 0), (0, ) ve tepe noktsı T(, 4) yrdımıyl f prbolünü çizelim, ve noktlrındn geçmek zorund oln prbolün tepe noktsı T ise şekildeki gibi, kollrı yukrı doğru oln f prbolü çizilir urd = doğrusu prbolün simetri eksenidir 4 T(, 4) f() = ifdesinde = > 0 olduğundn prbolün kollrının yukrı doğru olduğun dikkt edelim Grfikten de görüldüğü gibi bu durumd fonksiyonun en küçük değeri tepe noktsının ordintı oln k = 4 syısıdır unlrı ilelim k Y T f Y r f X T r k X Şekil Şekil f: Æ, f() = + b + c fonksiyonlrının grfikleri bir prbol ve bu prbolün tepe noktsı T(r, k) olduğundn f() = + b + c ifdesinde; (i) < 0 ise prbolün kollrı şekilde olduğu gibi şğı doğru olur u durumd f() tepe noktsınd en büyük değerini lır ve f(r) = k syısı fonksiyonun ldığı en büyük değerdir (ii) > 0 ise şekildeki gibi prbolün kollrı yukrı doğrudur ve f() tepe noktsınd en küçük değerini lır u durumd d f(r) = k syısı fonksiyonun lbileceği en küçük değerdir f: Æ, f() = ( ) + fonksiyonunun grfiğini çizelim Y = f f() = ( ) + = ( r) + k ise =, r = ve k = olur un göre prbolün tepe noktsı T(r, k) = T(, ), = f() = ( ) + = 5 (, 5) f, 5 T = f() = ( ) + = 5 (, 5) f, = 0 f(0) = (0 ) + = (0, ) f olduğundn,, ve T noktlrı yrdımı ile f prbolü yukrıdki gibi çizilir Prbolün simetri ekseni = doğrusu ve f() in en küçük değeri k = f() = olur X
f: Æ, f() = + 8 + 0 fonkiyonunun grfiğini çizelim f() = + 8 + 0 f() = + 8 + 0 = 0 8 0 0 fonksiyonun kökleri grfiğinin X eksenini kestiği noktlrın psisleri olduğundn, = 0 = ( 0) ( + ) = 0 ) (0, 0) ve (, 0) =- + prbolün X eksenini kestiği noktlrdır b T(r, k), r =- ve k = f(r) olduğundn, - 8 r = = 4 k = f(4) = 4 + 84 + 0 = 6 + + 0 = 6 ve T(r, k) = T(4, 6) ( - ) prbolün tepe noktsı olur f grfiğinin Y eksenini kestiği nokt (0, y) biçiminde olduğundn, Y 6 0 = 4 T = 0 y = f(0) = 0 + 80 + 0 = 0 (0, 0) f prbolün Y eksenini kestiği noktdır (0, 0), (, 0), (0, 0) ve tepe noktsı T(4, 6) yrdımıyl f() = + 8 + 0 fonksiyonunun grfiği oln prbol şekildeki f gibi olur ikkt edilirse = r = 4 doğrusu prbolun simetri ekseni ve f() in en büyük değeri k = f(4) = 6 olmktdır 0 4 X nlitik düzlemde (0, ), (, ) ve (, 4) noktlrındn geçen prbolün denklemini bullım f() = + b + c fonksiyonunun grfiği oln prbol, ve noktlrındn geçtiğinden; (0, ) f = 0 + b0 + c c =, (, ) f = + b + c = + b + + b = 0 (, 4) f 4 = + b + c 4 = 9 + b + 9 + b = 6 + b = bulunur + b = 0 + b = sistemi çözülürse; + 0 = 0 ( ) = = + b = 0 b = ve sonuçt =, b =, c = olduğundn, f() = + b + c = + + f() = + + bulunur
f: Æ, f() = ( + )( 4) fonksiyonunun grfiğini çizelim 9 8 Y T f 4 X f prbolünün X eksenini kestiği noktlr (, 0) ve (, 0) olduğundn, =- y = f() = 0 ( + ) ( 4) = 0 ) = 4 (, 0), (4, 0) f fonksiyonunun X eksenini kestiği noktlrdır b + 4 r =- = = - + = k = f() = ( + ) ( 4) = 9 olduğundn tepe noktsı T(, 9) ve fonksiyonun Y eksenini kestiği nokt (0, 8) olur u noktlr yrdımı ile f prbolü şekildeki gibi çizilir Y f nlitik düzlemde (, 0), (5, 0) ve (0, ) noktlrındn geçen şekildeki f prbolünün denklemini bullım 5 X İkinci dereceden fonksiyonun ve kökleri ile ifdesi f() = ( )( ) olduğundn şekilde = ve = 5 f() = ( )( 5) olur (0, ) f = (0 )(0 5) = 5 = ve 5 f ( ) = ( - )( - 5) = ( - 6+ 5) = - + & f ( ) = - + bulunur 5 5 5 5 5 5
f Y 4 nlitik düzlemde verilen f prbolü X eksenine T(, 0) tepe noktsınd teğettir (0, 4) f olduğun göre f() kurlını bullım T X Grfiğin X eksenini kestiği noktlr f() = + b + c fonksiyonunun kökleridir Şekilde f prbolü X eksenine teğet olduğundn T(, 0) f f( ) = 0 ve f() fonksiyonunun birbirine eşit iki kökü = = olur u durumd, f() = ( )( ) = [ ( )][ ( )] = ( + )( + ) = ( + ) f() = ( + ) (0, 4) f 4 = (0 + ) 4 = 4 = f() = ( + ) = ( + ) = ( + ) = + + 4 olur ikkt edilirse f fonksiyonun grfiği X eksenine teğet ise f() = + b + c ifdesinde = b 4c = 0 ve f() = ( ) biçiminde (tm kre) olmktdır T Y 6 4 nlitik düzlemde tepe noktsı T(, 6) oln f prbolü verilmiştir (0, 4) f olduğun göre f() kurlını bullım f X f() = ( r) + k oldu- İkinci dereceden f fonksiyonunun tepe noktsı koordintlrı ile ifdesi ğundn şekilde; T(, 6) r =, k = 6 f() = ( ( )) + 6 f() = ( + ) + 6 olur (0, 4) f 4 = (0 + ) + 6 = 4 = f() = f() = - ( + ) + 6 = - + 4 bulunur - ( + 4 + 4) + 6 = 4 - ve - + 6
İKİNİ RN NKLM V NKSİYNLRL MLLNİLN PRLMLR Çevresi 4 br oln dikdörtgen biçimindeki bir bhçenin lnı en çok kç br olbilir? ullım Şekildeki gibi bu bhçe dikdörtgensel bölgesi olsun hçenin çevresi, ( + ) = 4 + = br olduğundn = = = = olur u bhçenin lnı = ( ) = + = () + syısın bğlı ikinci dereceden bir fonksiyon olduğundn () ln fonksiyonunun en büyük değeri tepe noktsının ordintı oln k syısıdır () = b + =, b =, r = - - = = 6 ve ( - ) k = (6) = 6 + 6 = 6 + 7 = 6 br bu bhçenin lnının en büyük değeridir Çevresi 4 br oln dikdörtgen biçimindeki bir bhçenin lnının, kenr uzunluklrı = = 6 br olduğund ( kre iken) en büyük değerine ulştığın dikkt edelim! f: Æ, f() = + + m fonksiyonunun grfiği X eksenine teğet olduğun göre m syısı kçtır? ullım - f fonksiyonu X eksenine teğet ise f() = + + m = 0 denkleminin birbirine eşit iki kökü olcğındn bu denklemde = 0 olmlıdır un göre + + m = 0 denkleminde, =, b =, c = m ve = b 4c = 0 4 4( )(m) = 0 4 + 8m = 0 8m = 4 m = - bulunur - f() = + + m = ( + ) + + m = ( ) + m + = ( r) + k ifdesinde k = m + olmktdır f fonksiyonu X eksenine tepe noktsınd teğet olcğındn T(r, k) noktsı X ekseni üzerinde dolyısıyl k = 0 olmlıdır un göre bğıntısındn k = m + = 0 m = - bulunur 5
Toplmlrı 0 oln iki syının çrpımının en büyük değerini bullım Toplmlrı 0 oln iki syı ve (0 ) olsun u iki syının çrpımı Ç() = (0 ) = + 0 değişkenine bğlı dereceden bir fonksiyondur Çrpım fonksiyonu en büyük değerini tepe noktsınd lcğındn, Ç() = b 0 + 0 =, b = 0, r =- =- = 0 ve ( - ) k = Ç(r) = Ç(0) = 0 + 00 = 00 + 00 = 00 toplmlrı 0 oln iki syının çrpımının en büyük değeridir ikkt edilirse toplmlrı 0 oln (, 9), (, 8), (, 7), (4, 6),, (0, 0) gibi syı çiftlerinden birbirine eşit oln ikilinin çrpımlrı en büyük olmktdır (00 = 00) kresinde = 4 br, [], [] ve = olduğun göre bölgesinin lnının en çok kç br olbileceğini bullım 4 Verilenlere uygun şekildeki kresi çizildiğinde; = =, = 4 ve = 4 & & () = () ( )- ( ) 4 44 ( - ) 4 = 4 - - = 6 (4 ) = 6 8 + 4 = + 4 + 8 olup in bir fonksiyonudur 4 un göre () = + 4 + 8 ikinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonund =, b = 4, c = 8 ve = < 0 olduğundn () fonksiyonu en büyük değerini tepe noktsınd lır b 4 4 r = - - - = = = ( - ) - 6 k = (r) = () = + 4 + 8 = 6 4 = br dörtgeninin lnının en büyük değeridir Gerçekten grfik çizme özelliği oln bir dinmik geometri / mtemtik yzılımı yrdımıyl, Giriş bölümüne denklem sekmesi yrdımıyl ln değişimini veren () = + 4 + 8 yzrk bu ln fonksiyonunun grfiği çizdirilirse ynd görüldüğü gibi = için ln değeri () = br olrk en büyük değerini lır
G H Şekildeki üçgeni biçimindeki bir rsnın içindeki G dikdörtgensel bölgesine bir bin temeli kzılcktır G [], [], [H] ^ [], = br ve H = 8 br olduğun göre temelin tbn lnı (G) en çok kç br olur? ullım G K y H G dikdörtgeninde = G =, = y ise (G) = y olur Şekilde benzerlik kurlın göre, G & + & ve benzer üçgenlerde yükseklikler ornı d benzerlik ornın eşit olduğundn, G K 8 y 8 y = & = - & = - = 4 y y = 4 y = H 8 4 - ve 4-4 G ( ) = $ y = c m = - =- + 8 = ( ) olur () = - + 8 ikinci derece ln fonksiyonund = -, b = 8 ve c = 0 olduğundn b 8 8 4 r = - =- = = = 6-4 4 c m ve k = (r) = (6) = - (6) + 86 = 4 + 48 = 4 br G dikdörtgensel bölgesinin lnının en büyük değeri olur & $ 8 ikkt edilirse ( ) = = 48 br iken üçgensel bölge içindeki G dikdörtgeninin lnının en büyük değeri = = 4 br olmktdır & ( ) 48 7
lıştırmlr f: y = + prbolünün tepe noktsının koordintlrını bulunuz f: Æ, f() = 4 + 6 fonksiyonunun grfiğini çiziniz 5 Y T nlitik düzlemde verilen f prbolünün tepe noktsı T(, 5) ve (0, ) f olduğun göre f() kurlını bulunuz X 4 f() = + + m + fonksiyonunun en büyük değeri 4 olduğun göre m syısını bulunuz 5 f() = + 4 + m fonksiyonunun en küçük değeri ise m syısını bulunuz 6 f() = 4 + m fonksiyonunun grfiği X eksenine teğet olduğun göre m syısını bulunuz 7 nlitik düzlemde (0, ), (, ) ve (, ) noktlrındn geçen prbolün denklemini yzınız 8 Y Şekildeki grfikte (0, ), (, 0) ve (4, 0) olduğun göre, f prbolünün denklemini yzınız f 4 X 9 Toplmlrı 6 oln iki syının çrpımının en büyük değerini bulunuz 0 Çevresi 60 m oln dikdörtgen biçiminde bir bhçenin lnı en çok kç m olbilir? 8
6 ÜNİT ÖLÇM V ĞRLNİRM SRULRI 0 = 0 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) '-, 4 ) ', - ) ', 5 5 4 5 4 ) '-, - ) '-, 5 4 5 4 f() = + olduğun göre f( ) şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 8 + 8 ) 8 + ) 9 + ) 9 + ) 8 + f() = + 6 fonksiyonunun y = ( r) + k biçimindeki yzılışı şğıdkilerden hngisidir? ) y = ( + ) + 4 ) y = ( + ) + 5 ) y = ( ) + 5 ) y = ( ) + ) y = ( ) + 4 4 Tepe noktsı T(, 0) oln ve (0, ) noktsındn geçen prbolün denklemi hngisidir? ) y = ( ) ) y = ( ) ) y = ( + ) ) y = ( + ) ) y = + 5 nlitik düzlemde (, 0), (0, ) ve (, ) noktlrındn geçen prbolün denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) y = + + ) y = ) y = + ) y = + + ) y = 9
6 şğıdkilerden hngisi - - = denkleminin bir köküdür? ) ) 4 ) 6 ) 7 ) 8 7 f() = (m ) 6 + m fonksiyonunun grfiği oln prbolün simetri ekseni = doğrusu olduğun göre m syısı kçtır? ) ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 8 m + m 4m + = 0 denkleminin kökleri bir gerçek syı olduğun göre m syısı hngi rlıkt olmlıdır? ) < m ) m > ) m ) m < ) < m < 9 m + m = 0 denklemnde kökler toplmı ten büyük olduğun göre m hngi rlıktdır? ) < m ) 0 < m < ) 0 < m ) m < ) < m < 0 0 Kökleri = ve = + oln ikinci derece denklem şğıdkilerden hngisidir? ) + = 0 ) + + = 0 ) = 0 ) + + = 0 ) = 0 (m ) m + m + = 0 denkleminde kökler çrpımının ( ) olmsı için m syısı şğıdkilerden hngisi olmlıdır? ) ) ) ) ) 4 40
Æ f ve g fonksiyonlrı için f() = ve g() = olduğun göre, (fog) () + fonksiyonunun grfiği şğıdkilerden hngisi olbilir? ) Y ) Y ) Y X X X ) Y ) Y X X + y = ) sisteminin çözümü oln (, y) ikilisi şğıdkilerden hngisidir? + y = 4 ) (, 4) ) (, 4) ) (4, ) ) ( 4, ) ) (4, ) 4 Y T f Şekildeki f prbolünün tepe noktsı T dir (, 0), (, 0) ve (0, 6) noktlrı prbolün üzerinde olduğun göre, T ( ) kç birim & kredir? X ) ) 4 ) 5 ) 6 ) 8 5 + b + c = 0 denkleminin kökleri ve syılrıyl orntılı olduğun göre b ve c syılrı rsındki bğıntı hngisidir? ) b = c ) b 6c = 0 ) b 4bc = 0 ) 6b 5c = 0 ) 5b 8c = 0 4
6 İki musluk birlikte çıldığınd boş bir hvuz 6 stte dolmktdır irinci musluğun bu hvuzu doldurm süresi, ikinci musluğun doldurm süresinden 5 st fzl olduğun göre ikinci musluk bu boş hvuzu kç stte doldurur? ) 0 ) ) ) ) 5 7 ikdörtgen biçimindeki bir rsnın çevresi 0 m olduğun göre bu rsnın lnı en çok kç m olbilir? ) 800 ) 900 ) 000 ) 00 ) 00 8 üçgeninde [H] ^ [], = 0 cm, H = 6 cm, [] ve [] olduğun göre şekildeki G dikdörtgeninin lnı en çok kç cm olur? H G ) 0 ) ) 5 ) 8 ) 0 9 5 4 Y T nlitik düzlemde verilen f prbolünün tepe noktsı T(, 5) ve (0, 4) f olduğun göre f() şğıdkilerden hngisine eşittir? f X ) - + + 6 ) - + 4 ) + + 4 4 4 ) - + + 4 ) + + 4 4 4 0 ksenleri (, 0), (5, 0) ve (0, 5) noktlrınd kesen prbolün denklemi hngisidir? ) y = 6 + 4 ) y = 4 ) y = 4 + 4 ) y = 6 + 5 ) y = + 6 5 4
= - olmk üzere bir kökü z = 4 oln gerçek ktsyılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem şğıdkilerden hngisidir? ) 5 + 6 = 0 ) 6 + 5 = 0 ) 6 5 = 0 ) + 6 + 5 = 0 ) + 5 6 = 0 = - olmk üzere z = - - - 48 + - 75 + 5 krmşık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 5 + ) 5 - ) 5 + ) ) 5 = olmk üzere f() = 49 + 4 47 + 4 8 fonksiyonu için f( ) şğıdkilerden hngisidir? ) 5 ) 4 ) ) 5 ) 4 z krmşık syısının eşleniği z ve hngisidir? 5 - z = e o olduğun göre z z şğıdkilerden + ) 64 ) 6 ) 6 ) 4 ) 5 z = + olduğun göre ( z ) 4 şğıdkilerden hngisidir? ) 4 ) ) ) 4 ) 6 6 z = 4 olduğun göre - z+ z c m şğıdkilerden hngisidir? z- z ) - 4 ) 4 ) 4 ) -4 ) 4 + 4
7 z = + + + + + 6 syısının gerçek kısmı kçtır? ) 4 ) ) ) ) 0 8 + (5 + b ) = + 5 olduğun göre b syısı kçtır? ) 8 ) ) ) 5 ) 8 9 z = + - + ise i + - z şğıdkilerden hngisidir? ) ) - + 7 5 ) 7-5 ) --7 5 ) - 5 0 ( + ) z + z = olduğun göre Im(z) kçtır? ) 4 ) ) ) 4 ) 5 z = ise z 0 şğıdkilerden hngisidir? ) ) ) 8 ) ) + + z = c + m ise z şğıdkilerden hngisidir? - - ) + ) + ) - ) ) 44
7 ÜNİT PLİNMLR 7 : Polinom Kvrmı ve Polinomlrl İşlemler 7 : Polinomlrd Çrpnlr yırm 7 : Polinom ve Rsyonel enklemlerin Kümeleri İskenderiyeli iophntus Mtemtik trihi ile kynklrın çoğund ebir in bsı olrk gösterilen iophntus yşdığı çğd mevcut oln mtemtik bilgilerini kuşkusuz bir kısmını geliştirerek toprlmış ve günümüze ulşmsını sğlmıştır iophontus un hytı hkkınd hiç birşey bilinmediği gibi hngi trihler rsınd yşdığı d tm olrk bilinmemektedir Hytı hkkınd en yrıntılı nck tmmen uydurulmuş olm olsılığı d bulunn yegne bilgi, milttn sonr 500 yıllrınd Metrodorus trfındn derlenmiş oln bir Yunn ntolojisinde yer ln şğıdki bilmece problemdir çocukluk dönemi ömrünün sı kdrdı, ömrünün si dh geçince evlendi evlendikten sonr ömrünün si dh geçince skl uzttı ve 5 yıl sonr bir oğlu oldu ğlu, bbsı- 6 7 nın ömrünün yrısı kdr yşdı bsı oğlunun ölümünden 4 yıl sonr öldü u bilmece problemin çözümünden iophntus un 84 yıl yşdığı orty çıkr ve bu nedenle pek çok kitpt iophntus un 00-84 yıllrı rsınd yşdığı yzılıdır Mtemtik bilimine doğunun etkisi iophntus un ritmetic eserinde (yklşık 50 eser) dh belirgindir Toplm syısı kesin olrk bilinmeyen orijinl kitplrındn ylnızc ltısı günümüze ulşmıştır u kitplrdki belirsiz denklemlerin ustc ele lınışı eski bil ve belki de Hindistn dki cebirin, Yunn uygrlığının ışıltısı rksınd klmyıp birkç etkin kişi trfındn geliştirildiğini gösterir unun nsıl ve ne zmn gerçekleştiğini ve iophsntus un kim olduğunu -belki de Yunnlılşn bir billi dir- bilmiyoruz iophntus un kitbı eski Yunn-Rom uygrlığındn kln en büyüleyici eserlerden biridir iophntus un topldığı problemler geniş bir yelpzeyi içerir ve çözümleri zekicedir iophntus lemesi şğıdki denklemlerin ve bu denklem kümelerinin çözümlerinin bulunmsındn oluşuyordu + b + c = y, + b + c + d = y, + b = c, - c = b, = b + c iophntus un tipik özelliği, ylnızc pozitif, kesirli çözümlerle ilgilenmesi ve kesirsiz çözümleri olnksız olrk nitelemesidir Kullndığı ktsyılrı rlığı pozitif, kesirli çözümü bulmk için dikktlice seçerdi u denklemler rsınd günümüzde Pell denklemleri olrk tnınn şu denklemleri görürüz: 6y =, 0y = Kynk: Kıs Mtemtik Trihi 45
7 : PLİNM KVRMI V PLİNMLRL İŞLMLR 7: Gerçek Ktsyılı ve ir eğişkenli Polinomlr 7: Polinomlr Kümesinde İşlemler 7: ir Polinomun ( ) İle ölümünden Kln 74: Polinomun Kökleri (Sıfır Yerleri) GRÇK KTSYILI V İR ĞİŞKNLİ PLİNMLR 0,,, n, n ve bir bilinmeyen olmk üzere 0 + + + + n n biçiminde tnımlnn ifdelere gerçek ktsyılı bir değişkenli n dereceden polinom (çok terimli) denir ve p() ile gösterilir p() = 0 + + + + n n polinomund; 0,,,, n syılrın ktsyılr, 0,,,, n n ifdelerinin her birine polinomun terimi, 0 terimine sbit terim, n n teriminde in kuvveti oln n syısın bu terimin derecesi, derecesi en büyük oln terimin ktsyısın bş ktsyı ve bu terimin derecesine de p() in derecesi denir der[p()] ile gösterilir şğıd verilen ifdelerden polinom olnlrı belirleyerek ktsyılrını ve derecesini yzlım p() = + + + + 4 b q() = + + 5 c r() = + + d s() = 5 + p() = + + + + 4 ifdesinde in kuvvetleri doğl syı olduğundn p() bir polinomdur,,, ve bu polinomun ktsyılrı ve ( ) sbit terim, ( 4 ) ise en büyük dereceli terimdir un göre der[p()] = 4 olur teriminde in kuvveti 5 olduğundn q() polinom de- 5 b q() = + + ğildir ifdesinde 5 c r() = + + = + + ifdesinde değişkenlerinden birinin kuvveti ( ) olduğundn r() polinom değildir d s() = 5 + = + 0 + 0 + 0 4 + 5 olduğundn değişkeninin kuvvetleri birer doğl syı olup s() bir polinomdur u polinomun ktsyılrı, 0,, 0, 0 ve olup sbit terim ve bşktsyı tür der[s()] = 5 olur 46
unlrı ilelim Sbit Polinom p() = 0 + + + + n n polinomund = = n = 0 ve 0 0 ise p() = 0 ifdesine sbit polinom denir un göre p() =, q() = ve r() = - birer sbit polinomdur Sbit polinomlrın derecesi sıfırdır Sıfır Polinomu p() = 0 + + + + n n polinomund 0 = = = = n = 0 ise p() = 0 polinomun sıfır polinomu denir Sıfır poinomunun derecesi belirsizdir İki Polinomun şitliği p() ve q() gibi iki polinomun dereceleri ynı ve ynı dereceli terimlerin ktsyılrı d eşit ise bu iki polinom eşit polinomlr denir Örneğin p() = + ile q() = + polinomlrı eşit polinomlrdır un göre, p() = 0 + + + n n ve q() = b 0 + b + + b n n polinomlrı verildiğinde, p() = q() 0 = b 0, = b,, n = b n olur Polinom onksiyon p() = 0 + + + n n polinomund bilinmeyeni herhngi bir kümeden y d mtemtik sistemden seçilebilir Özel olrk lınmsı durumund, p: Æ, p() = 0 + + + n n ifdesi bir fonksiyon olrk düşünülebilir u durumd p ye polinom fonksiyon denir ve bu fonksiyonun değişkenidir u kitpt polinom denildiğinde gerçek ktsyılı ve bir değişkenli polinomlr nlşılmlıdır p() = + b + ve q() = d c + + polinomlrı verilsin p() = q() olduğun göre + b + c + d toplmını bullım p() = q() ise ynı dereceli terimlerin ktsyılrı eşit olduğundn, d =, c = c =, b = b = ve = olur Sonuçt + b + c + d = + ( ) + ( ) + = bulunur (b + ) + 5 = e + (d + ) + 4 + (c ) + c 5 olduğun göre, b, c, d, e syılrını bullım Yukrıd 5 dereceden bilinmeyenli iki polinom eşit olrk verildiğinden krşılıklı ynı dereceli terimlerin ktsyılrı eşit olur un göre; e =, d + = 0 d =, (b + ) = 4 b + = b =, c = ve c = = = bulunur 47
p() = ( b 8) + (b ) + b sbit bir polinom olduğun göre p() değerini bullım p() sbit polinom olduğundn li terimlerin ktsyılrı sıfır olmlıdır un göre; b 8 = 0 ve b = 0 b = 8 ve b = = 8 = 0 bulunur = 0 ve b = syılrı polinomd yerine yzıldığınd, p() = (0 8) + ( ) + 0 = 0 + 0 + 0 p() = 0 olduğundn p() = 0 bulunur p() = + b 6 + b sıfır polinomu olduğun göre, b çrpımını bullım p() = + b 6 + b = 0 b = 0 + b 6 = olmlıdır (p() = + 0 = 0) un göre, - b = 0 sistemi çözülürse = 4 = b = bulunur + b = 4 Sonuçt b = = 4 olur p( ) = ( ) 4 + 4 8 ise p() polinomunu, b q( + ) = + 5 ise q() polinomunu bullım p( ) = ( ) 4 + 4( + ) 6 p( ) = ( ) 4 + 4 ( ) 6 p() = 4 + 4 6 olur b q( + ) = + 5 = ( + ) + olduğundn + = t yzılırs q(t) = t + q() = + bulunur İnceleyerek Öğrenelim p() = 0 + + + + n n polinomu verildiğinde; p(0) = 0 + 0 + 0 + n 0 = 0 P(0) = 0 olduğundn p(0) polinomun sbit terimine eşittir p() = 0 + + + n = 0 + + + + n olduğundn p() polinomun ktsyılrının toplmın eşittir 48
p() = + 4 + 5 6 4 polinomund p(0) + p() toplmını bullım p(0) = ve p() = + 4 + 5 6 = p(0) + p() = + = olur p() polinomunun sbit terimi ve p( + ) = 6 5 + 4 + olduğun göre, p() değerini bullım p(0) = verildiğinden yukrıdki eşitlikte = yzılırs p( + ) = ( ) 6 ( ) 5 + ( ) 4 + p(0) = + + + = = bulunur un göre p ( + ) = 6 5 + 4 olduğundn bu ifde = yzılırs, p( + ) = 6 5 + 4 p() = + = bulunur PLİNMLR KÜMSİN İŞLMLR Toplm İşlemi p() = 0 + + + + n n ve q() = b 0 + b + b + + b m m polinomlrınd n < m olsun un göre; p() + q() = ( 0 + b 0 ) + ( + b ) + ( + b ) + + ( n + b n ) + b n + n + + + b m m olur Sonuçt iki polinomun toplmı, ynı dereceli terim ktsyılrı toplnıp diğer terimler ynen yzılrk bulunur p() = + + ve q() = + + ise p() + q() polinomunu bullım p() + q() = ( + + ) + ( + + ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) + = + 4 + + olur p() + q() = q() + p() olcğındn polinomlr kümesinde toplm işleminin değişme özelliği vrdır unlrı ilelim Her p() = 0 + + + + n n polinomu için, p() + 0 = 0 + p() = p() olduğundn q() = 0 (sıfır polinomu) polinomlr kümesinde toplm işlemine göre birim elemndır un göre p() = 0 + + + n n polinomunun toplm işlemine göre tersi p() = ( 0 + + + n n ) = 0 n n polinomudur 49
p() = + + 4 + 4 polinomunun toplm işlemine göre tersini bullım p() polinomunun toplm işlemine göre tersi, p() = ( + + 4 + 4 ) = + 4 4 olur Gerçekten, p() + ( p()) = ( + + 4 + 4 ) + ( + 4 4 = ( + ) + ( ) + ( ) + ( 4 + 4) + ( ) 4 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 4 = 0 olur Çıkrm İşlemi p() = 0 + + + n n ve q() = b 0 + b + + b m m polinomlrınd n < m olsun un göre, p() q() = ( 0 b 0 ) + ( b ) + + ( n b n ) n b n + n + b m m tnımlnır biçiminde p() = + 4 + 4 ve q( ) = + + 4 ise p() q() polinomunu bullım p() q() = ( + 4 + 4 ) ( + + 4 ) = + 4 + 4 + 4 = ( ) + 4 + (0 + ) + ( ) + ( ) 4 = 6 + 4 + 4 + 4 bulunur p() q() q() p() olcğındn polinomlr kümesinde çıkrm işleminin değişme özelliği yoktur p() = + 4 ve q( ) = + polinomlrı verilsin p( ) q() polinomunu bullım p() = + 4 p( ) = ( ) ( ) + 4 = + + 4 q( ) = + q() = ( ) + ( ) = olduğundn p( ) q() = ( + + 4) ( ) = + + 4 + + = 5 + 6 bulunur 50
p( + ) + p( ) = 8 + + olduğun göre, p() polinomunu bullım p( + ) + p( ) = 8 + + olduğundn p() = 4 + b + c biçiminde olmlıdır un göre; p( + ) = 4( + ) + b( + ) + c = 4( + 4 + 4) + b + b + c = 4 + 6 + 6 + b + b + c = 4 + (6 + b) + 6 + b + c p( ) = 4( ) + b( ) + c = 4( + ) + b b + c = 4 8 + 4 + b b + c = 4 + (b 8) + 4 b + c, p( + ) + p( ) = 8 + (6 + b + b 8) + 0 + b + c = 8 + (8 + b) + 0 + b + c ve p( + ) + p( ) = 8 + + 8 + (8 + b) + 0 + b + c = 8 + + 8+ b = & b =- ' 0 + b+ c = & 0- + c = & c =- 6 & c =-8 olur Sonuçt p() = 4 + b + c = 4 8 bulunur Çrpm İşlemi Önce bir polinomun k syısı ile çrpımını tnımlylım p() = 0 + + + + n n ve k olmk üzere, kp() = k( 0 + + + n n ) = k 0 + k + + k n n olur Örneğin p() = + ve syısı verildiğinde p() = ( + ) = 4 + 6 olur İki polinomun çrpımı, çrpm işleminin toplm işlemi üzerine dğılm özelliğinden fydlnılrk ypılır olrk p() = + ile q() = + polinomlrının çrpımı, p()q() = q()p() = ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) = + + + = + + + = + + + bulunur ikkt edilirse der[p()] = ve der[q()] = iken der[p()q()] = + = olmktdır Gerçek syılr kümesinde çrpm işleminin değişme özelliği olduğundn p()q() = q()p() olur olyısıyl polinomlr kümesinde çrpm işleminin değişme özelliği vrdır p() = + + ve q() = polinomlrının çrpımını bullım q()p() = ( )( + + ) = ( + + ) ( + + ) = + + + 4 = + 4 4 bulunur 5
unlrı ilelim Sıfırdn frklı iki polinomun çrpımının derecesi, çrpnlrın dereceleri toplmın eşittir Genel olrk p() 0, q() 0 için der[p()] = m ve der[q()] = n ise der[p()q()] = m + n olur Polinomlr kümesinde toplm işlemine göre kplılık, birleşme, birim elemn, ters elemn ve değişme özellikleri vrdır Polinomlr kümesi çrpm işlemine göre kplıdır ve değişme, birleşme özelliği vrdır 4 Polinomlrd çrpm işleminin toplm işlemi üzerine dğılm özelliği vrdır ölme İşlemi p() ve q() iki polinom, der[p()] der[q()] ve q() 0 olmk üzere p() = q()b() eşitliğini sğlyn b() polinomu vrs, p() polinomu q() polinomun tm bölünür denir p() 0 q() b() p() = q()b() u bölme işleminde p() bölünen, q() bölen ve b() bölüm polinomu dını lır şk bir ifdeyle de q() ve b() polinomlrı p() polinomunun bölenleri y d çrpnlrı olrk dlndırılır urd, p ( ) p() = q()b() der[p()] = der[q()] + der[b()] olduğundn b() = (q() 0) için q ( ) p ( ) der[b()] = der= G = der[p()] der[q()] olur q( ) p() = polinomunun bölenlerini bullım p() = = ( ) ( + + ) olduğundn q() = ve b() = + + polinomlrın p() polinomunun bölenleri (çrpnlrı) denir un göre, ( ) polinomu ( ) polinomun bölünürse bölüm ( + + ) olur enzer biçimde ( ) polinomu ( + + ) polinomun bölünürse bölüm ( ) olur + + ( ) + + ( ) 0 0 5
unlrı ilelim p() ve q() iki polinom, der[p()] der[q()] ve q() 0 olsun Yndki bölme işleminden görüldüğü gibi p() = q()b() + k() ve der[k()] < der[q()] olck biçimde b() ve k() polinomlrı vrdır u durumd p() polinomun bölünen, q() polinomun bölen, b() polinomun bölüm ve k() polinomun kln polinom denir Kln polinom k() = 0 ise p() = q()b() olup p() polinomu q() polinomun tm bölünür Polinomlrd bölme işlemi ypılırken, bölünen ve bölen polinomlr değişkeninin zln kuvvetlerine göre sırlnırlr ölme işleminde iki syının bölme işlemindeki yöntem ynen uygulnır Klnın derecesi, bölenin derecesinden küçük oluncy kdr bölme işlemine devm edilir Herhngi iki polinomun bölümü her zmn bir polinom olmdığındn polinomlr kümesi bölme işlemine göre kplı değildir p() k() q() b() p() = + 6 4 + 4 polinomunu q() = polinomun bölelim 4 4 + 6 + ( 4 ) 4 0 + 6 + ( ) 0 4 + 6 + ( 4 + 4) 0 + + p() polinomunu in zln kuvvetlerine göre yzrsk p() = 4 4 + 6 + olur Yndki bölme işlemi iki gerçek syının bölme işlemine benzer şekilde ypılmıştır İnceleyiniz Görüldüğü gibi p() polinomunun q() polinomun bölümünde bölüm b() = 4 ve kln k() = + polinomudur ölme özdeşliğinden, 4 4 + 6 + = ( ) ( 4) + + (p() = q()b() + k()) olur 5
p() = 4 4 + 6 ve q() = 4 + 4 polinomlrı verilsin p() = q()b() + k() ve der[k()] < der[q()] bğıntısını gerçekleyen b() ve q() polinomlrını bullım 4 4 + 6 ( 4 4 + 4) 4 + 4 0 + + ( + + ) 0 Görüldüğü gibi bölüm b() = ve kln k() = 0 dır un göre, 4 4 + 6 = ( 4 + 4)( ) olduğundn p() polinomu q() polinomun tm bölünür p() ve q() polinomlrı için der [p()] = 4 ve der[q()] = olduğun göre r( ) = polinomunun derecesini bullım der[q()] = q() = + ve q( ) = ( ) + der[q( )] = = 6 der[p()q( )] = der[p()] + der[q( )] = 4 + 6 = 0 olur (der[p()]) = 4 > der[q()] = ) olduğundn der[p() + q()] = 4, p ( ) q ( ) p ( ) + q ( ) p( ) q( ) der= G = der[p()q( )] der[p() + q()] = 0 4 = 6 bulunur p ( ) + q ( ) lıştırmlr şğıdki ifdelerden polinom olnlrı bulunuz ) p() = 4 + b) q() = π + Ω c) r ( ) = - + - - d) s() = Ω + + şğıdki ifdelerin polinom olmsı için n syısının lbileceği değerleri bulunuz n ) p() = + n + 5 n b) q() = - + n şğıdki polinomlrın derecesini, sbit terimini ve bşktsyısını bulunuz ) p() = ( ) ( 4 - - + + + ) b) q ( ) = - 4 p() = 4 9 6 + olduğun göre p( ) değerini bulunuz 54
5 p() = ( + b ) + ( b 4) + b + polinomu sbit polinom olduğun göre, p(04) değeri kçtır? 6 ( ) p() = m + (n + ) + 4 olduğun göre, p() polinomunun sbit terimini bulunuz 7 + + = ( 4) + + + 4 olduğun göre,, ve syılrını bulunuz 8 p() = + b + c + d ve q() = ( 4) ( 6 + 7) polinomlrı veriliyor p() = q() olduğun göre + b + c + d toplmı kçtır? 9 p() = 4 + ve q() = polinomlrı verilsin p() q() b p()q() c işlemlerinin sonucunu bulunuz p ( ) q ( ) 0 p() + p( ) = + + olduğun göre, p() polinomunun sbit terimini ve ktsyılr toplmını bulunuz der[p()] = 4 ve der[q()] = olduğun göre; 4 q( ) p ( ) $ q ( ) r ( ) = b s ( ) = p ( ) p ( ) + q ( ) polinomunun derecesini bulunuz İkinci dereceden öyle bir p() polinomu bulunuz ki p( + ) p() = 4 olsun 55
İR PLİNMUN ( ) İL ÖLÜMÜNN KLN ir p() polinomu verildiğinde p() = 0 gerçekleyen syılrın bu polinomun kökü (sıfır yeri) denir Örneğin p() = 4 + polinomu verildiğinde, p() = 0 4 + = 0 ( ) ( ) = 0 = ve = p() polinomunun kökleri olur Gerçekten, p() = 4 + p() = 4 + = 0 ve p() = 4 + = 0 bulunur Şimdi bir p() polinomunun ( ) polinomun bölümünden klnı kolyc bulmmızı sğlyn teoremi görelim Kln Teoremi ir p() polinomunun ( ) ile bölümünden elde edilen kln p() olur Gösterelim p() polinomunun ( ) ile bölümünde bölüm b() ve kln k olsun un göre p() = ( ) b() + k olur u ifdede yerine yzılırs, p() = ( )b() + k = 0b() + k = 0 + k = k p() = k p() k b() elde edilir p() = 0 ise p() polinomu ( ) y tm bölündüğünden p() = ( ) b() olur Sonuçt, p() = 0 ( ) ifdesi p() polinomunun bir çrpnı olur p() = 4 + + polinomunun ( + ) ile bölümünden klnı bullım + = 0 = olduğundn p() polinomunun ( + ) ile bölümünden kln, p( ) = ( ) 4 ( ) + ( ) + ( ) = 6 + 4 + 8 = 45 olur p() = + polinomunun ( ) ile bölümünden kln kçtır? ullım p() polinomunun ( ) ile bölümünden kln k syısı olsun = 0 = olduğundn k = p() = + = + = bulunur 56
İnceleyerek Öğrenelim ir p() polinomunun (m + n) ile bölümünde bölüm b() ve kln k olsun (m, n, k, m 0) ölme özdeşliğinden p() = (m + n)b() + k olur u bğıntıd m + n = 0 = n - yzılırs m n n p`- j= 8m`- j+nb() + k = 0b() + k = k bulunur m m p() k m + n b() n Sonuçt p() polinomunun (m + n) polinomun bölümünden kln k = p`- j olur m p() = + polinomunun ( 4) ile bölümünden klnı bullım 4 4 = 0 = = olduğundn bu bölme işleminde kln, k = p() = + = 4 8 + = 7 olur ir p() polinomunun ( ) ile bölümünden kln ve ( + ) ile bölümünden kln ( ) olduğun göre bu polinomun ( 6) polinomun bölümünde klnı bullım p() 6 b() m + n p() polinomunun ( 6) ile bölümünden kln en fzl dereceden (m + n) biçiminde bir polinom olcğındn bölme özdeşliğine göre; p() = ( 6)b() + m + n = ( ) ( + )b() + m + n olur(m, n ) p() = ( )( + )b() + m + n = 0 + m + n = m + n = p( ) = ( ) ( + ) b( ) + ( ) m + n = 0 m + n = m + n = elde edilir m + n = m + n = denklem sistemi çözülürse, 5m = ( ) = 5 m = ve m + n = + n = n = bulunur Sonuçt p() polinomunun ( 6) ile bölümünden kln k() = m + n = = olur 57
p() = 5 + 4 4 + 5 6 polinomunun ( ) ile bölümünden elde edilen klnı bullım p() polinomunun ( ) ile bölümünde bölüm b() ve kln k() olsun p() der[k()] < olcğındn k() = m + n biçiminde olur p() = ( ) b() + k() olduğundn p() polinomund yerine yzılırs k() polinomu elde edilir un göre; k() b() p() = ( ) + ( ) 4 + 5 6 biçiminde yzılbileceğinden bu ifdede yerine yzılırs, k() = () + () 4 + 5 6 = + 4 + 5 6 = 8 + 8 bulunur p() = 4 + + polinomunun ( + ) ile bölümünden elde edilen klnı bullım p() polinomunun ( + ) ile bölümünde bölüm b() ve kln k() olsun p() + p() = ( + )b() + k() olduğundn b() p() = 4 + + = ( ) ( ) + + k() polinomund yerine ( ) yzılırs bğıntısındn k() klnı elde edilir un göre, k() = ( ) ( ) + ( ) + = 4 + 4 k() = 4 + 4 bulunur PLİNMUN KÖKLRİ ir p() polinomu verildiğinde p() = 0 gerçekleyen syılrın p() polinomunun kökleri denir Kt syılrı tm syı ve bş ktsyısı oln polinomlrın vrs tm syı kökleri sbit teriminin çrpnlrı rsınd olur lerle bzı polinomlrın köklerini bullım Kökleri, ve oln üçüncü dereceden ve bşktsyısı oln bir polinom yzlım ş ktsyısı olup kökleri, ve oln bir polinom p() = ( + )( )( + ) biçimindedir Gerçekten bu polinomd p() = p( ) = p( ) = 0 olur p() = ( + )( )( + ) = ( )( + ) = + p() = + olduğundn p() polinomund sbit terim oln ( ) = ( ) syısının çrpnlrının; polinomunun kökleri oln =, = ve = syılrı olduğun dikkt edelim! 58
p() = 6 + 6 polinomunun köklerini bullım Kt syılrı tm syı ve bş ktsyısı oln polinomlrın tm syı kökleri, sbit terimin çrpnlrı rsındn olcğındn p() polinomund sbit terim ( 6) nın çrpnlrı ±, ±, ± ve ±6, p() polinomunun kökü olbilir eneyerek bunlrdn hngisinin kök olduğunu bulbiliriz p() = 6 + 6 = 6 + 6 = = 0 = köktür un göre p() in ( ) biçiminde bir çrpnı vrdır p() = 6 + 6 = ( ) ( + + b) biçiminde yzılbilir 6 + 6 = ( ) ( + + b) ise 6 + 6 = + + b b 6 + 6 = + ( ) + (b ) b olduğundn, = 6 = 5, = b = b ( 5) b = 6 bulunur p() = ( ) ( + + b) ifdesinde = 5 ve b = 6 değerleri yzılırs, p() = ( ) ( 5 + 6) elde edilir - = 0 & =, p ( ) = 0 & * - 5+ 6 = 0 & ( -)( - ) = 0 & = ve = bulunur öylece dereceden p() polinomunun kökleri =, = ve = olur p() = 4 + 4 polinomunun köklerini bullım Ktsyılrı tm syı ve bş ktsyısı oln bir polinomun (vrs) tm syı kökleri, sbit terimin çrpnlrı rsındn olur Sbit terim oln 4 ün ilk kl gelen çrpnı lınırs, p() = 4 + 4 = 4 + 4 = 0 olduğundn p() in bir kökü = olur un göre, p() = 4 + 4 = ( ) ( + b + c) olcğındn, 4 + 4 = + b + c b c b- =- 4 & b =- ve -4 - + 4 = + ( b- ) + ( c-b) - c & ' c- b =- & c+ =- & c =-4 p() = ( ) ( + b + c) = ( ) ( 4) olur Z- = 0 & = ] ] -- 4 = 0 & ( - 4)( + ) = 0 & ve 4 p ( ) = ( -)( - - 4) = 0 & =- = [ - 4 ] \ + olur Sonuçt p() polinomunun kökleri, ve 4 olrk bulunur 59
lıştırmlr p() = 5 + 8 ve q() = olduğun göre p() polinomunun q() polinomun bölümünde bölüm ve kln polinomlrını bulunuz p() = 4 + 4 polinomunun ( ) polinomun bölümünden klnı bulunuz ( 4) p() = + m + 8 olduğun göre, p() polinomunun ( ) ile bölümünden kln kçtır? 4 p() = 4 + 5 + m + 4 polinomu ( + ) ile tm bölündüğüne göre ( + ) ile bölümünden kln kçtır? 5 p() = + m + 6 polinomunun bir çrpnı ( ) olduğun göre, ( + ) ile bölümünden kln kçtır? 6 ir p() polinomunun ( ) ile bölümünden kln, ( + ) ile bölümünden kln olduğun göre bu polinomun ( ) polinomun bölümünden kln polinomu bulunuz 7 p() = + 0 + 6 + + polinomunun ( ) ile bölümünden klnı bulunuz 8 p( ) = ( + ) q( + ) + 5 bğıntısı verilsin p( + ) polinomunun ( + ) ile bölümünden kln ( ) olduğun göre, q() polinomunun ( 4) ile bölümünden kln kçtır? 9 p() = 4 + 4 polinomunun köklerini bulunuz 0 p() = 4 + 4 polinomunun köklerini bulunuz m olmk üzere, p() = m 4 (m + ) + + m polinomun ( + ) ile bölümünden kln 8 olduğun göre m syısı kçtır? ( ) p() = + q( + ) olmk üzere q() polinomunun ( ) ile bölümünden elde edilen kln ise p() kçtır? 60
7 : PLİNMLR ÇRPNLR YIRM 7: Gerçek Ktsyılı Polinomlrd Çrpnlr yırm Syılrı çrpnlrın yırdığımız gibi bzı polinomlrı kendinden küçük dereceli polinomlrın çrpımı olrk yzbiliriz Örneğin, 4 = = ( ) ( + ) olur urd ( ) ve ( + ) polinomlrın 4 polinomunun çrpnlrı (bölenleri) denir unlrı ilelim ir polinomun birden fzl polinomun çrpımı olrk ifde edilmesine bu polinomun çrpnlrın yrılışı denir ir p() polinomunun q() 0 polinomun bölümünde bölüm b() ve kln 0 ise bölme özdeşliğinden p() = q()b() olur ir bğıntıd q() ve b() polinomlrın p() polinomunun çrpnlrı denir u durumd p() çrpnlrın yrılbilen bir polinomdur p() 0 q() b() p() = 4 9 polinomunu çrpnlrın yırlım b = ( b)( + b) özdeşliğini kullnırsk, p() = 4 9 = () = ( )( + ) p() = ( )( + ) olur p() = polinomunu çrpnlrın yırlım p() = + = ( ) ( + ) olduğundn ( + ) ve ( ) ifdeleri p() polinomunun sl çrpnlrıdır 6
p() = 4 polinomunu çrpnlrın yırlım p() = 4 = ( ) = ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( + ) olduğundn p() in sl çrpnlrı ( ), ( + ) ve ( + ) olur ğılm Özelliğinden ydlnrk Çrpnlr yırm gerçek syılr kümesinde çrpm işleminin toplm işlemi üzerine dğılm özelliği olduğunu biliyoruz, b, c için (b + c) = b + c ve (b + c) = b + c olur u özelliği tersine uygulyıp ortk çrpn prntezine lrk bzı polinomlrı çrpnlrın yırbiliriz şğıdki ifdeleri ortk çrpn prntezine lrk çrpnlrın yırlım + y z b 9 + c y + 6 + y + 4y d + + y z = ( + y z) b 9 + = () () + 4 () = ( + 4 ) c y + 6 + y + 4y = (y + ) + y(y + ) = (y + ) ( +y) d + = ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) + b + 6 + 4b ifdesinde bzı terimleri gruplndırrk ortk çrpn yrdımıyl çrpnlr yırlım + b + 6 + 4b = ( + 6) + (b + 4b) = ( + ) + b( + ) = ( + ) ( + b) olur 6
6 5y 6 + 5y b y y + c 4 8 + d b + 4y y 4b ifdelerini gruplndırrk çrpnlrın yırlım 6 5y 6 + 5y = (6 6) (5y 5y) b y y + = (y y) + ( ) = 6( ) 5y( ) = y( ) + ( ) = ( ) ( + y) = ( ) (6 5y) c 4 8 + = 4 ( ) ( ) = ( ) (4 ) = ( ) ( ) ( + ) d b + 4y y 4b = (b 4b) + (4y y) = b( ) + y( ) = b( ) y( ) = ( ) (b y) = ( )(b ) Özdeşliklerden ydlnrk Çrpnlr yırm Özdeşlikler yrdımı ile polinomlrı çrpnlrın yırbiliriz unun için şğıdki özdeşlikler iyi bilinmelidir ( + y) = + y + y, ( y) = y + y ( + y) = + y + y + y, ( y) = y + y y y = ( y) ( + y) ( + y ) = ( + y) y = ( y) + y y = ( y) ( + y + y ) n y n = ( y) ( n + n y + n y + + y n + y n ) ve n tek syı iken, n + y n = ( + y) ( n n y + y n + y n ) olur u özdeşliklerden üçüncüsünün doğru olduğunu gösterelim ( y) ( n + n y + + y n ) = = ( n + n y + + y n ) y( n + n y + + y n ) = n + n y + n y + + y n n y n y y n y n = n y n bulunur n tek syı iken, n y n = ( y) ( n + n y + + y n + y n ) özdeşliğinde y yerine ( y) yzılırs; n ( y) n = ( ( y)) [ n + n ( y) + + ( y) n + ( y) n ] n + y n = ( + y) [ n n y + n y + y n + y n ] elde edilir 6
şğıdki polinomlrı iki kre frkı özdeşliği yrdımıyl çrpnlrın yırlım p() = b q() = 4 8 ) = ( 4) = ( ) = ( ) ( + ) b) 4 8 = 4 9 = ( ) 9 = ( 9) ( + 9) = ( ) ( + ) ( + 9) olur şğıdki verilen ifdeleri iki küp frkı vey toplmındn fydlnrk çrpnlrın yırlım 6 y 6 b 8 7y c + 64 d b 6 c 6 y 6 = ( ) (y ) = ( y )( + y ) = ( y)( + y + y )( + y)( y + y ) b 8 7 y = () (y) = ( y) [() + ()(y) + (y) ] = ( y)(4 + 6y + 9y ) c + 64 = + 4 = ( + 4)( 4 + 6) d b 6 c = (b c) = ( b c)[ + b c + (b c) ] = ( b c)( + b c + b 4 c ) şğıdki ifdeleri özdeşliklerden fydlnrk çrpnlrın yırlım 4 6 y + y y 4 b 4 4 b 4 b + 6 b 4 c + 0y z + 5 + 5y 0z 4 6 y + y y 4 = ( y + y y 4 ) = [( y) (y ) ] = ( y + y ) ( y y ) b 4 4 b 4 b + 6 b 4 = 4 b ( 6 + 9) 4 = 4 [ b ( ) ] = 4[b( ) ] [b( ) + ] c + 0y z + 5 + 5y 0z = ( + 0y) + (5 + 5y) z 0z = ( + 5y) + 5( + 5y) 6z( + 5) = ( + 5y)( + 5) 6z( + 5) = ( + 5)( + 5y 6z) 64
ir Polinomu Terim kleyip Çıkrrk Çrpnlrın yırm zı polinomlr uygun bir terim ekleyip çıkrıldığınd özdeşlikler yrdımı ile çrpnlrın yrılbilir un göre şğıdki örnekleri inceleyelim 4 + y + y 4 ifdesini çrpnlrın yırlım 4 + y + y 4 = 4 + y + y 4 + y y = ( 4 + y + y 4 ) y = ( + y ) y = ( + y y) ( + y + y) p() = + polinomunu çrpnlrın yırlım p ( ) = + - = c + - m= + + c - m- 6 6 ( 8) > H 9 = ; c + + m- = = c + m - c m G = c+ - mc+ + m 6 6 4 4 4 4 4 4 4 = c- mc+ m = c - m( + ) = ( )( + ) 4 4 eğişken eğiştirme Yöntemi İle Çrpnlr yırm Çrpnlr yırm işlemi yprken bir grup ifdeyi sdelik için tek bir değişkenle gösterebiliriz şğıdki örnekleri inceleyelim ( + b + c) ( b c) ifdesini çrpnlrın yırlım + b + c = ve b c = y olrk lınırs, ( + b + c) ( b c) = y = ( y) ( + y) bulunur Son ifdede ve y yerine ilk değerleri yzılırs ( + b + c) ( b c) = ( + b + c + b + c) ( +b + c + b c) = ( + b + 4c) ( + b + c) olur 65
( y) + ( + y) ifdesini çrpnlrın yırlım = y ve b = + y olrk dlndırılırs, ( y) + ( + y) = + b = ( + b) ( b + b ) olduğundn; ( y) + ( + y) = ( y + + y) [( y) ( y) ( + y) + ( + y) ] = [ 6y + 9y ( (y) ) + + 6y + 9y ] = [ 6y + 9y + 9y + + 6y + 9y ] = ( + 7y ) elde edilir p() = + b + c Polinomunun Çrpnlr yrılmsı 0 olmk üzere p() = + b + c polinomunu çrpnlrın yırlım p() polinomu, + b + c = (m + n) (p + q) = mp + (np + qm) + nq m n p q biçiminde yzbilmemiz için = pm, c = nq ve b = np + mq koşullrını sğlyn m, n, p, q syılrı olmlıdır u durumd + b + c = (m + n) (p + q) biçiminde çrpnlr yrılbilir + + polinomunu çrpnlrın yırlım + + ifdesinde + = ve = olduğundn + + = ( + ) ( + ) olur + + p() = + 0 polinomunu çrpnlrın yırlım p() ifdesinde tm kre ifdeler oluşturup iki kre frklı özdeşliğini kullnrk çrpnlrın yırbiliriz p() = + 0 = ( 6) 6 + 0 = ( 6) 6 = ( 6) 4 = ( 6 4) ( 6 + 4) = ( 0) ( ) olur 6 polinomunu çrpnlrın yırlım 6 +4 polinomund 6 =, = 4( ) ve ( ) + 4 = olduğundn 6 = ( + 4)( ) biçiminde çrpnlrın yrılır 66
lıştırmlr şğıdki ifdeleri çrpnlrın yırınız 5 + b 5 y 8y + 7y c 5 şğıdki ifdeleri çrpnlrın yırınız ( ) ( ) b (m + n) ( + y) + (m n) ( + y) c ( c) (m + 5n) ( + c) (m + 5n) şğıdki ifdeleri çrpnlrın yırınız 4 9y b 5 c 49 b 6c ç 4 y 5 d 4m y n e 4 şğıdki ifdeleri çrpnlrın yırınız + 9b 4c 6b b b + y + ( by) c ( + y + z) ( y + z) ç y + 4y 9 5 şğıdki ifdeleri, çrpnlrın yırınız 8 64y b + 8 c ( y) y ç 6 y 6 6 şğıdki ifdeleri çrpnlrın yırınız + 8 + 5 b + 9 + 0 c 5b + 4b ç 4 5 y 4y 7 şğıdki ifdeleri çrpnlrın yırınız 6 7 0 b 5 90 + 7 c + 7 4 ç 4 + y 4 8 ( + ) ( ) ifdesini çrpnlrın yırınız 9, y olmk üzere + y = 0 ve y = 8 olduğun göre + y ifdesinin değerini bulunuz 0, y olmk üzere, y = 6 ve y y = 9 olduğun göre y frkını bulunuz 67
7 : PLİNM V RSYNL NKLMLRİN KÜMLRİ 7: Rsyonel İfdeler 7: Polinom ve Rsyonel enklemler RSYNL İLR biçimindeki ifdelere rsyonel ifde- p() ve q() polinomlrı verilsin q() 0 olmk üzere, + ler denir Örneğin rsyonel bir ifdedir + + p ( ) q ( ) Rsyonel ifdelerde toplm, çıkrm, çrpm ve bölme işlemleri rsyonel syılrd olduğu gibi p ( ) ypılır gibi bir rsyonel ifdenin pyı ile pydsı r() 0 polinomu ile çrpılırs, q ( ) p ( ) p ( ) $ r ( ) = elde edilir urd soldki ifdeye sğdki ifdenin sdeleşmiş (kısltılmış) q ( ) q ( ) $ r ( ) biçimi, sğdki ifdeye de soldki ifdenin genişletilmişi denir Sdeleştirme işlemi, verilen p() ve q() polinomlrı çrpnlrın yrılrk ypılır - 8 + + 4 ifdesini sdeleştirelim - 8 + + 4 = ( - )( + + 4) + + 4 = - olur 4 - + $ 4 + - ifdesini sdeleştirelim ( ) 4 ( ) - + $ - + $ = $ 4 + - ( + ) ( - ) = = olur $ 68
- + 4- - 8-4 işlemini yplım c m - + 4- - 8-4 = + ( - ) 4 - - = + 4 ( - ) - 4- - 4- = - syısı ±, ± ve 4 ten frklı olmk üzere, yzlım + ( --) + $ : - 4 + -4 + 4 ifdesini en sde biçimde + -- + ( + ) ( - )( + ) + 4 $ : = $ $ = olur - 4 + -4 + 4 ( - )( + ) ( + 4)( -) + - - + -8 + - + 5+ 6 Uygun koşullrd $ e o : işlemini yplım 9-6 + + -- + 8 = ( 4)( + ), 9 6 = () 4 = ( 4) ( + 4) 4 + + = ( + )( ), + + + +4 + = ( + 4) ( + ) + 5 + 6 = ( + )( + ) ve = ( + ) ( ) olduğundn; + + + - - + -8 + - + 5+ 6 ^- 4h( + ) ^+ h^-h ^+ h^+ h $ e o : = e o : 9-6 + + -- ( - 4)( + 4) ^+ 4h^+ h ^+ h^-h ^ + h ^+ 4h^+ h ^+ h^-h = $ = ^ + 4h ^+ h^-h ^+ h^+ h + + elde edilir 69
PLİNM V RSYNL NKLMLR p() ve q() polinomlrı verildiğinde; p() = 0 biçimindeki ifdelere polinom denklem, q() 0 olmk üzere p ( ) = 0 biçimindeki ifdelere ise rsyonel denklem denir enklemi sğlyn syılrın denklemin kökleri dı verilir Rsyonel q ( ) denklemlerde, p ( ) q ( ) = 0 p() = 0 ve q() 0 olur e - o = denklemini çözelim( 0) e - o = & 4 & 4 & 5 c - = - = = m bulunur un göre verilen denklemin çözüm kümesi Ç = {5} olur + + - = 5 denklemini çözelim( 0, ) + + + - = 5 & + - + = 5 & + + + - + = 5 + + = 5 & = 4 & = 4+ & =- & =-4 + + bulunur un göre verilen denklemin çözüm kümesi Ç = { 4} olur 70
+ - 4 - = - + - 4 denklemini çözelim( ±) + - 4 ( + )( + ) -( -)( - ) 4 - = & - + - 4 ( - )( + = ) - 4 + 4+ 4-( - 4+ 4) - 4 = 4 + 4+ 4- + 4-4 4 & = -4-4 - 4 8 4 8 4 4 ( ) & 0 & - 4 = -4-4 - - 4 = - - 4 = 0 0 - - = = = 0 & ) Ç & * & = ' bulunur - 4-4! 0 ± - 7+ 6 = 0 denkleminin çözüm kümesini bullım + -4-7+ 6-7+ 6 = 0-7+ 6 = 0 = 0 & ) & ) &!-4 ve! + -4 + -4! 0 ( + 4)( -)! 0 olmlıdır 7 + 6 = 0 denklemini çözelim ğer vrs p() = 7 + 6 polinomunun tm syı kökleri, sbit terim oln 6 nın çrpnlrı rsındn olcğındn 6 nın bir çrpnı oln syısı için p() = 7 + 6 = 0 = p() polinomunun bir köküdür un göre, p ( ) p() = ( )b() - 7 + 6 işlemi ile b() = + 6 bulunur Sonuçt ( ) p() = ( ) b() = ( ) ( + 6) 7 + 6 = ( ) ( + ) ( ) = 0 olduğundn ( ) + 6 =, = ve = bulunur olcğındn denklemin çözüm kümesi Ç = {, } olur 6 + 6 ( 6 + 6) 0 7
Grfik çizme özelliği oln bir dinmik mtemtik/geometri yzılımı y d grfik hesp mkinesi yrdımı ile gerçek syılr kümesinde p() = 5 4 fonksiyonunun grfiğini çizerek p() = 0, p() = ve p() = denklemlerinin çözüm kümelerinin elemn syısını bullım inmik metemtik / geometri yzılımı ile Giriş bölümüne p() = 5 4 yzlım p() fonksiyonund in kuvvetlerini yzrken klvyenizin shift + tuşlrın ynı nd bsrk ^ sembolünü çıkrttıktn sonr kuvveti yzlım onksiyonunun grfiği şekildeki gibi çizdirilir ikkt edilirse, =, = 0 ve = p() fonksiyonunun kökleridir Gerçekten p( ) = ( ) 5 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) = + + = 0 p(0) = 0 ve p() = 5 4 = 6 8 4 4 = 0 olur p() = denkleminin kökleri, p() in grfiği ile y = fonksiyonunun grfiğinin kesim noktlrı oln, ve noktlrının psisleri olduğundn üç tnedir u nedenle 5 4 = denkleminin çözüm kümesi üç elemnlıdır p() = denkleminin kökü p() in grfiği ile y = doğrusunun kesim noktsı oln noktsının psisidir ve bu denklemin çözüm kümesi bu nedenle bir elemnlıdır + + = - - 6 + + = - - 6 denklemini çözelim ( ve 6) ( + ) ( 6) = ( ) ( + ) 4 = + - 9 = 6 = bulunur 7
lıştırmlr şğıd verilen rsyonel ifdeleri en sde biçimde yzınız - y 4-4y b 4-4 + c - y + 4+ 4y + y+ y şğıdki verilen işlemleri yprk sonucu en sde biçimde yzınız y y - y - + y - - y b + - ( - y)( - z) ( y - )( z - y) ( - z)( y - z) şğıd verilen işlemleri yprk sonucu en sde biçimde yzınız - y - y $ + y + y - y b $ y - 4 - y 4 + 4 + 9 c $ 6 + + 9-4 şğıdki ifdeleri en sde biçimde yzınız 4 5 8 y 7 y : 4 8y 4 y b e - : o c + m y y c - b 4+ b $ + b + b 5 şğıdki işlemleri ypınız - - + 4 + + - b - y - + y - y + y - y - + y c 8b + b- - b 4b + b- - b + 4+ + 5+ 4-6 $ : -- + 7+ - 9 ifdesini en sde biçimde yzınız 7 şğıdki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz 5 = 4 b ( + ) ( + 7) = ( + ) ( + ) c ( + 5) ( ) = ( + ) 8 5( ) ( + ) ( 5)( + ) 6 = 0 denklemini çözünüz 9 0 - - = denklemini çözünüz - 7 7
7 ÜNİT ÖLÇM V ĞRLNİRM SRULRI şğıdkilerden hngisi bir polinom değildir? ) 5 ) 4 ) 0 ) - - ) p() = (m ) + (n + ) p +, q() = ( ) + ( + ) + + ve p() = q() olduğun göre, m + n + p toplmı şğıdkilerden hngisidir? ) ) ) 0 ) ) p() = (m ) + (n ) + p polinomu sıfır polinomu olduğun göre m + n + p toplmı kçtır? ) ) ) ) 4 ) 5 4 ( )p() = + olduğun göre p() polinomu şğıdkilerden hngisidir? ) 4 ) + 4 ) 6 ) + 6 ) 5 p() = + + olduğun göre, p( ) hngisidir? ) ) ) + + 6 ) + + ) - f4- p $ c+ m y y y işleminin sonucu şğıdkilerden hngisidir? ) - y ) y ) ) y- ) y 7 4-48 4+ + + = denkleminin kökü kçtır? 5 5 ) ) ) ) 5 ) 6 8 0 olmk üzere, b = ( )b denkleminde şğıdkilerden hngisine eşittir? ) ) b ) 0 ) ) 74
9 Uygun şrtlrd - - = - denkleminin kökü hngisidir? 7-0 + - ) 0 ) 7 ) 4 ) ) 0 {0} ve - = olduğun göre c - m ifdesinin syısl değeri şğıdkilerden hngisidir? ) ) ) ) 4 ) 5 p() polinomunun ( ) ile bölümünden kln, ( ) ile bölümünden kln ( ) olduğun göre, p() polinomunun ( + ) ile bölümünden kln şğıdkilerden hngisidir? ) 5 ) 5 4 ) 5 + 4 ) 4 + 5 ) 4 5 p() = + polinomunun ( ) ile bölümünden kln kçtır? ) ) 0 ) ) ) - 7+ - 4 --6 $ : ifdesinin en sde hli şğıdkilerden hngisidir? - 5+ 4 -- - - 4 - + ) ) ) ) ) - + + + y- + y 4 y y + + - ifdesi şğıdkilerden hngisine eşittir? ) y ) - y ) + y - + y + -y ) + -y - + y ) - y 5 p() = + + b polinomu ( ) ile tm bölündüğüne göre, + b syısı hngisidir? ) ) 0 ) ) ) + b + b 6 c - mc + m ifdesi şğıdkilerden hngisine eşittir? + b - b ) ) ) 4 ) 5 ) 6 75
+ y + y 7 : - y - y ) y ifdesi uygun koşullrd hngisine eşittir? ) y ) y ) y - ) 8 p( ) = 6 4 + m polinomu veriliyor p(4) = 5 olduğun göre m syısı kçtır? ) 0 ) 8 ) 6 ) 4 ) 9 der[p()] =, der[q()] = olduğun göre, der[p( )q( )] şğıdkilerden hngisidir? ) 8 ) 0 ) ) ) 7 0 p( ) = ( + )q() eşitliği veriliyor q() polinomunun ( ) ile bölümünden kln 4 ise, p() polinomunun ( ) ile bölümünden kln kçtır? ) ) 4 ) ) 40 ) 46 - - 5 + 6 = + olduğun göre + toplmı kçtır? (, ) - - ) ) 4 ) 5 ) 6 ) 8 p( ) + p( + ) = + 0 olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı kçtır? ) ) ) ) ) dikdörtgeni biçimindeki bir krton prçsının kenr uzunluklrı = br ve = br dir krtonunun köşelerinden şekildeki gibi kenr uzunluğu br oln kre biçimindeki prçlr çıkrılıp lınrk üstü çık dikdörtgenler prizmsı biçiminde bir kutu ypılıyor u kutunun hcmini veren v() polinomu şğıdkilerden hngisidir? ) 4 0 + 6 ) 4 + 0 + 6 ) 4 0 6 ) 4 0 ) 4 0 8 76
8 ÜNİT ÇMR V İR 8 : Çemberin Temel lemnlrı 8 : Çemberde çılr 8 : Çemberde Teğet 84 : irenin Çevresi ve lnı İnsnoğlu; çember dediğimiz kendine özgü, düzgün yuvrlk şeklin frkın birçok şeyin keşfinden önce vrmıştır u şekli diğer insnlrın ve bşk cnlılrın gözbebeklerinde ve gökyüzündeki Güneş ve oluny d görmüştür Tekerleğin icdındn sonr çember ve çembersel bölge(dire) üzerine rştırmlrını rtırmış; bir çemberin çevresinin uzunluğunun, çemberin en büyük kiriş uzunluğun ornının sbit olduğunu bulmuştur u sbit değer dh sonrlrı Yunnc'd çevre(çember) nlmın gelen kelimelerin ilk hrfi oln "π" ile gösterilmiştir Çember ve dire üzerine ypıln çlışmlrın bilimsel nitelik kznmsı MÖ 000 yıllrınd Mezopotmy toprklrınd gerçekleşmiştir stronomi çlışmsı ypn Mezopotmylılr üny nın Güneş etrfındki yörüngesini merkezinde Güneş oln bir çember gibi kbul ederek üny nın izlediği yolu istsyon, her bir istsyonu d bir günlük konklmlrl 0 durğ yırmışlrdır Her istsyond bulunn tkımyıldızlrın dizilişini doğdki bir cnlıy benzeterek bugünkü burçlrın isimlendirmesini ypmışlrdır Mezopotmylılrın, direnin merkezini ess lrk direyi 60 dilime bölmeleri, çemberin çı ve kiriş özelliklerinin bulunmsınd temel teşkil etmiştir Kynk: Kıs Mtemtik Trihi 77
8 : ÇMRİN TML LMNLRI 8: Çember ve Çemberin lemnlrı 8: Çemberde Kiriş Özellikler ÇMR V ÇMRİN LMNLRI r P üzlemde sbit bir noktsın sbit r birim uzklıktki noktlrın kümesine merkezli r yrıçplı çember denir ve (, r) ile gösterilir Şekilde çemberin her P noktsı için P = r birimdir r Merkezi ve yrıçp uzunluğu verilen bir çember çizilebilir üzlemde bütün çemberler birbirine benzerdir Yrıçp uzunluklrı eşit çemberlere eş çemberler denir Çemberde Kiriş, Çp ve Kesen Çemberin frklı iki noktsını birleştiren doğru prçsın kiriş, merkezden geçen kirişe ise çp denir Şekilde [] kiriş, [] ise çptır Çemberin iki noktsındn geçen şekildeki doğrusun kesen dı r verilir Çemberde Yy X Y Çemberin bir prçsın yy dı verilir Şekildeki [] kirişi çemberi X 7 ve Y 7 yylrın yırmıştır 7 7 olur u yylrın ölçüleri toplmı m( X) + m( Y) = 60 Çemberde Teğet Ç Çemberin ylnız bir noktsındn geçen doğruy teğet denir Şekilde Ç çember kümesi ve t doğrusu için Ç t = {} ise, t doğrusun çemberin teğeti, noktsın d değme noktsı denir t teğetinin çemberin merkezine en ykın noktsı değme noktsı olduğundn şekilde ^ t olur t 78
Çemberde eş kirişlerin yylrının d eş olduğunu gösterelim r r X r r Şekildeki çemberde = = ise 7 7 olduğunu göstermeliyiz m( X) = my ( ) [], [], [] ve [] yrıçplrı çizilirse = = = = r olduğundn KKK eşlik kurlın göre, 7 7 & & % %, & m( ) = m( ) & m( X) = m( Y) olur Çember yrdımı ile bir düzgün sekizgen ve bir de düzgün onltıgen çizerek, hngisinin çevre uzunluğunun çemberin çevresine dh ykın olduğunu görelim 9 0 4 5 6 8 7 6 5 4 Çemberi birbirine eş 6 yy prçsın yırsk eş yylrın kirişleri de eş olcğındn 6 bir düzgün onltıgen ve 5 5 bir düzgün sekizgen olur ikkt edilirse düzgün onltıgenin çevre uzunluğu düzgün sekizgene göre çemberin çevre uzunluğun dh ykındır ğer bu çemberde kenrlı bir düzgün çokgen çizilecek ols, çevre uzunluğu çemberin çevresine dh d ykın olur un göre, bir düzgün çokgenin kenr syısı sınırsız rttırılırs bir çember oluşcğını söyleyebiliriz İnceleyerek Öğrenelim üzlemde ir Çember ile ir oğrunun irbirine Göre urumlrı Ç Ç Ç r H r d r H r d H d Şekil Şekil Şekil üzlemde merkezli, r yrıçplı Ç çemberi ve d doğrusu için [H] ^ d olsun H > r ise doğru ile çember kesişmez şekilde d Ç = olur H = r ise doğru çembere teğettir şekilde d Ç = {H} olur H < r ise doğru çemberi frklı iki noktd keser şekilde d Ç = {, } olur 79
Ç d Şekildeki merkezli Ç çemberinde [] çp, d Ç = {, }, = ve & ( ) = olduğun göre, bu çemberin yrıçp uzunluğunu bullım cm = olduğundn = r lınırs r r r r r d = r olur = = r olduğundn eşkenr üçgendir ir kenr uzunluğu r oln eşkenr üçgenin lnı, r 4 = & r = 4 & r = cm çemberin yrıçp uzunluğu olur ÇMR KİRİŞ ÖZLLİKLRİ tkinlik I d P ÇMR H uu uu uu uu rç ve Gereçler Pergelinizle bir (, r) çemberi n ve bunun [] kirişini çiziniz Pergel n etvel yrdımı ile [] nın ort etvel dikmesi oln d doğrusunu çiziniz d doğrusunun her P noktsı içi P = P olur mu? Nedenini yzınız Çlıştığınız düzlemde ve noktsın eşit uzklıktki bütün noktlr d doğrusu üzerinde midir? Trtışınız Çemberin merkezi ve = = r olduğundn d olur mu? İnceleyiniz II uu Pergelinizle bir (, r) çemberi ve bunun bir [] kirişini çiziniz uu etvelinizle [] kirişini ort noktsını bulrk H ile isimlendiriniz r r & u u [], [] ve [H] nı çiziniz ikizkenr mıdır? İnceleyiniz H ikizkenr üçgeninin tepesi oln noktsını, tbnın ort noktsı oln H noktsın birleştiren [H], [] n dik olur mu? Nedenini yzınız 80
unlrı ilelim ir çemberde, kirişin ort dikmesi çemberin merkezinden geçer Şekildeki merkezli çemberde, H = H ve d ^ [] d olur H d ir çemberde kirişin ort noktsını çemberin merkezine birleştiren doğru kirişe diktir Şekildeki merkezli çemberde, H = H H ^ [] olur H d ir çemberde merkezden kirişe çizilen dikme, kirişi ve yylrını ortlr Çünkü şekildeki ikizkenr üçgeninde H ^ [] ise H = H ve m ( % ) = m ( % ) olur r r H d Şekildeki merkezli çemberde, [] ^ [], [] // [], = 8 cm ve = 4 cm 8 r 4 olduğun göre, çemberin yrıçp uzunluğu r kç cm dir? ullım 8
irbirine prlel [] ve [] kirişlerine noktsındn geçen [HK] dikmesi çizilirse, 4 H å 4 ß r 4 ß r K å H = H = 4 cm, K = K = cm ve å + ß = 90 olmk üzere, % % % % mh ( ) = m ( ) = α, m( ) = mk ( ) = β olur = = r olduğundn K eşlik kurlın göre, K & = H & H = K = 4 cm ve H = K = cm olur Sonuçt K dik üçgeninde Pisgor Teoremi nden r = + 4 r = 5 cm bulunur dikdörtgen, = 0 cm, = cm dir Ynd verilen [] çplı çember [] kenrını ve noktlrınd kestiğine göre, = kç cm dir? ullım 0 H = 5 5 5 [H] ^ [] çizilirse, H, H dikdörtgen ve [] kirişi iki eş prçy yrılcğındn, = = H = H = H =, = = ve + = 5 = cm olur [] yrıçpı çizildiğinde H dik üçgeninde, 5 = + = 4 cm bulunur İnceleyerek Öğrenelim ir çemberde frklı uzunlukt iki kirişten uzun olnın merkeze dh ykın olduğunu gösterelim P y y r H Şekildeki merkezli r yrıçplı çemberde [] ve [] birer kiriş ve II < II olsun [] ve [] kirişlerine sırsıyl [H] ve [P] dikmelerini dh sonr d [] ve [] yrıçplrını çizelim IHI = IHI =, IPI = IPI = y ve y < y < olur r H ve P dik üçgenlerinde Pisgor Teoremi kullnılırs, IHI = r, IPI = r y ve y < r < r y IHI < IPI IHI < IPI elde edilir Sonuçt > olduğundn [] kirişi merkeze dh ykındır 8
K ir çemberde vey eş çemberlerde birbirine eş iki kirişin merkeze oln uzklıklrının eşit olduğunu ve bu kirişlerin yy ölçülerinin de eşit olduğunu gösterelim H Şekildeki merkezli r yrıçplı çemberde = olsun K r r r r H [], [], [] ve [] yrıçplrını çizersek KKK şlik kurlın göre, &, & olduğundn, % % m ( ) = m ( ) & m( 7) = m( 7 ) ve krşılıklı kenrlrın yükseklikleri K = H olur P Çember içindeki herhngi bir P noktsındn geçen en kıs kirişin P den geçen çp dik oln kiriş olduğunu gösterelim P H H h h h Çemberin içindeki bir P noktsındn geçen sonsuz syıd kiriş çizilebilir unlr rsınd P den geçen çp, dik oln [] kirişini ve [] ile [] kirişlerini çizelim Merkezden bu kirişlere çizilen dikmeler sırsıyl h, h ve h olsun Şekilde oluşck H P, H P, dik üçgenlerinin tümünde h kenrı hipotenüs olcktır ir dik üçgende hipotenüs uzunluğu dim dik kenr uzunluklrındn büyük olcğındn, h < h, h < h, elde edilir Sonuçt merkezden h kdr uzunluktki [] kirişi P den geçen kirişler rsınd merkezden en uzkt oln kiriştir olyısıyl P den geçen en kıs kiriş P den geçen çp dik oln [] kirişidir Ynd verilen şekilde çemberlerin merkezi, = cm, = cm ve = cm dir üyük çemberin [] kirişi küçük çemberi ve noktlrınd kestiğine göre, kç cm dir? ullım 8
H [H] ^ [] çizelim H = H = ve H = olcğındn H ve H dik üçgenlerinde Pisgor Teoremi ile H = H = H 4 = ( ) 4 = (7 6 + ) 4 = 7 + 6 8 = 6 = olur = = = cm ve sonuçt = + = + = 4 cm bulunur 6 8 0 Şekildeki [] çplı yrım çemberde, = 0 cm, = 8 cm ve = 6 cm dir [] // [] // [] olduğun göre, [] ve [] kirişleri rsındki uzklık kç cm dir? ullım 5 5 H K 4 5 5 Çemberin merkezinden birbirine prlel, [] ve [] kirişlerine [H] dikmesini çizersek, K = K = 4 cm, H = H = cm, Pisgor Teoremi ile K dik üçgeninde K = 5-6 = cm ve H dik üçgeninde H = 5-9 = 4 cm olur Sonuçt HK = 4 = cm bulunur lıştırmlr şğıdki ifdelerde boş bırkıln yerlere uygun kelimeleri yzınız Çember içindeki bir P noktsındn geçen en kıs kiriş, P den geçen çp Çemberin merkezinden bir kirişine indirilen dikme kirişi ve kirişin yyını Merkezden eşit uzklıktki kirişler Çemberde eş kirişlerin yylrı d Çemberde en uzun kiriş 84
Şekilde verilen çemberde [] [] = {} [] ^ [], = cm, = 6 cm, 6 4 = 4 cm ve = cm dir un göre, bu çemberin yrıçpı kç cm dir? Şekilde çeyrek çemberin merkezi [] ^ [], [] [] = {} 5 7 m ( % ) = m ( % ), = 5 cm, = 7 cm olduğun göre, çemberin yrıçpı kç cm dir? 4 merkezli ve 8 cm yrıçplı bir çemberin içindeki bir P noktsının merkeze uzklığı P = 4 cm dir un göre P den geçen en kıs kirişin uzunluğunu bulunuz? 5 8 r merkezli çemberde [] ^ [], [] // [], = 4 cm ve = 8 cm olduğun göre yrıçp uzunluğunu bulunuz 4 6 0 Şekildeki [] çplı yrım çemberde 6 = 0 cm, = 6 cm ve = cm dir [] // [] // [] olduğun göre [] ile [] kirişleri rsındki uzklığı bulunuz 85
8 : ÇMR ÇILR 8: Çemberde Merkez çı, Çevre çı, Teğet-Kiriş çı, İç çı ve ış çı Merkez çı Köşesi çemberin merkezinde oln çıdır Merkez çının ölçüsü kollrı rsındki yyın ölçüsüne eşittir Şekilde % m ( ) = m( 7 ) = α olur Çevre çı Köşesi çember üzerinde ve kenrlrı çemberin keseni oln çıy çevre çı denir ir çevre çının ölçüsünün gördüğü yyın ölçüsünün (ynı yyı gören merkez çı ölçüsünün) yrısı olduğunu gösterelim ß α ß ß α Şekildeki gibi [] çpı ve [], [], [] yrıçplrı çizilirse = = = r olduğundn & & ve ikizkenrdır m ( ) = m ( ) = β & m ( ) = β ve m ( ) = m ( ) = α & m ( ) = α olduğundn 7 % % m ( ) = α+ β = ( α+ β) = m ( ) = m( ) bulunur Yrım çemberin ölçüsü 80 olduğundn çpı gören çevre çının ölçüsü 90 olur Şekilde, % % 80 m ( ) = m ( ) = = 90 bulunur 80 86
ir çemberde prlel iki kirişin yırdığı yy prçlrının eş olduğunu gösterelim Şekildeki çemberde [] // [] olsun [] çizilirse iç ters çılrdn, 7 7 % % m ( ) = m ( ) = α & m ( ) = m( ) = α bulunur 7 merkezli çembersel bir yrış pistinin bölümü noktsındki 60 lik görüş çısın ship bir kmer ile izlenmektedir ynı yeri merkezinden görüntüleyecek kmernın görüş çısı kç derece olmlıdır? ullım 60 Çemberde merkez çı ölçüsü ynı yyı gören çevre çı ölçüsünün iki ktı olduğundn merkezine konuln kmernın görüş çısı 0 olmlıdır Şekilde çemberin merkezi ve bir dörtgendir m( ) = 00, 00 m( ) = 40 olduğun göre m( ) = kç derecedir? ullım 40 60 40 r 60 60 00 r 40 r Şekildeki gibi [] yrıçpı çizilirse, = = = r olduğundn ve üçgenleri ikizkenr üçgendir un göre, m( ) = m( ) = 40 m( ) = m( ) = m( ) = 60 ve Sonuçt m( ) = 00 + 60 = 60 bulunur 87
45 Şekilde [] çplı yrım çember dikdörtgeninin kenrlrın, ve noktlrınd teğettir %,, K doğrusl noktlr ve mk ( ) = 45 olduğun göre, ornını bullım K r r 45 45 r K r T r 7 r r X r merkezli yrım çemberinin tmmını çizip [ ışınının çemberi kestiği nokty T dersek, değme noktsı merkeze birleştiğinden; [T] ^ [] [T] ^ [] ve burdn m( XT 7 ) = 90 bulunur % mk ( ) = 45 verildiğinden [K ışını d T noktsındn geçer ikkt edilirse ve birer kredir benzerlik kurlın göre, & & T K r K TK + T & = & = T r r K = r K = r % mt ( ) 80 % m ( ) = = = 90 & mt ( ) = 45 üçgeninde [K] çıorty olur urdn Teğet-Kiriş çı bulunur iğer yndn, olduğundn r K = = K r r + r = = elde edilir r Köşesi çember üzerinde oln ve bir teğet ile bir kirişin belirlediği çıy teğet-kiriş çı denir ir teğet kiriş çının ölçüsü kenrlrı rsınd kln yyın ölçüsünün yrısıdır Şekildeki çemberde, % m( ) = 7 m ( ) olur Gösterelim 88
90 - r 90 - r Şekildeki gibi [] ve [] çizilirse [] ^ ve = = r olur % m( ) = α olsun u durumd üçgeninde % % % m ( ) = m ( ) = 90 - α & m ( ) = α = m ( 7) bulunur ikkt edilirse bir teğet-kiriş çının ölçüsü, çevre çıd olduğu gibi gördüğü yy ölçüsünün yrısıdır Şekildeki merkezli çemberde doğrusu çembere noktsınd teğettir % % m ( ) = 0, m ( ) = 5 X 0 5 % olduğun göre, m ( ) kç derecedir? ullım r 40 r 0 0 X 5 [] yrıçpını çizersek ikizkenr üçgeninde, m ( % ) = m ( % ) = 0 & m ( % ) = 40 = m( 7 ) bulunur 7 7 % m( ) m ( ) = 5 = ( m( ) = 0 olduğundn, 7 7 7 bulunur 7 m( X) = m( ) - m( ) = 40-0 = 0 Sonuçt m( ) = elde edilir m( X) 0 = = 55 ir çemberde ynı yyı gören çevre çı ile teğet kiriş çının ölçülerinin eşit olduğunu gösterelim Şekilde doğrusu çembere noktsınd teğet olsun teğet kirişi çısı ile çevre çısı ynı yyını görür u durumd, 7 % % m ( ) m ( ) = m ( ) = olur 89
İç çı ß Çemberin içinde bir noktsınd kesişen iki doğrunun meydn getirdiği çılr iç çı denir Şekilde = {}, m ( % ) =, m 7 % ( ) = α ve m( ) = β olsun = α+ β olur Gösterelm ß ß Şekildeki gibi [] çizilirse elde edilen çevre çılrın ölçüsü, % α % β m ( ) = ve m ( ) =, olur üçgeninde dış çı ölçüsü, α β α+ β = + = bulunur Sonuçt bir iç çının ölçüsü gördüğü yy ölçüleri toplmının yrısın eşittir 50 40 Şekildeki çemberde doğrusu noktsınd teğet, % % [] [] = {K} m ( ) = 40 ve m ( ) = 50 ise, K m( K % ) = kç derecedir? ullım 50 K 40 80 7 7 % Çevre çının ölçüsü m ( ) = 50 & m( ) = 00 % teğet kiriş çının ölçüsü m ( ) = 40 & m ( ) = 80 olur Sonuçt K iç çısının ölçüsü, = 7 7 m( ) + m( ) 00 + 80 = = 90 bulunur ve 00 90
ış çı å å å ß ß ß P P P Şekil Şekil Şekil Köşesi çemberin dışınd oln ve kenrlrı çemberi kesen vey teğet oln çılr dış çı denir Yukrıdki şekillerde verilen PW çemberde bir dış çıdır ir dış çının gördüğü büyük yyın ölçüsü α, küçük yyın ölçüsü β ve bu dış çının ölçüsü m( W P) = ise = α- β olur unu şekilde gösterelim å Şekilde m( W P) =, m ( 7 ) = α ve m( 7 ) = β olsun ß ß [] çizlirse oluşn çevre çılrın ölçüsü % m ( ) = α % β ve mp ( ) = P üçgeninde dış çı ölçüsü, olur α β & α β & α - = + = - = β bulunur P şekilde olduğu gibi bir P dış çısının kenrlrı çembere ve noktsınd teğet, m( 7 ) = β ve m( W P) = ise + β = 80 olur ß ß P ß Çünkü şekilde [] çizilirse 7 % % m( ) β m( P) = m( P) = = ve P üçgeninde iç çı ölçüleri toplmındn, β β + + = 80 & β + = 80 bulunur 9
80 K Şekildeki çemberde, [] [] = {K}, % % m( P) = 40, m( K) = 80 ise, mp ( % ) = kç derecedir? ullım 40 P Çevre çının ölçüsü m ( % ) = ise gördüğü yyın ölçüsü m 7 ( ) = ve köşesi K oln iç çının ölçüsü, 80 = 7 7 7 m ( ) + m( ) + m( ) = 7 7 60 = + m( ) m( ) = 60 bulunur Köşesi P oln dış çının ölçüsü, 7 7 m( ) - m( ) m( W 60 -- P) = & 40 = 40 = 80 = 40 = 0 bulunur 0 Şekilde [] çplı yrım çember ile P üçgeni verilmiştir % % mp ( ) = 0, m( P) = 0 ise, m ( % ) = kç derecedir? ullım 0 P 0 P üçgeninde dış çı ölçüsü 0 0 P % m( ) = 0 + 0 = 0 m( 7 ) = 60 bulunur m ( 7 7 ) = ve m ( ) = 0 olduğundn yrım çemberin ölçüsü 60 + + 0 = 80 = 00 = 50 bulunur 9
[] çplı çemberde [] // [], % % m( ) = ise, m ( ) = kç derecedir? ullım 46 46 [] çizilirse ynı yyı gören çevre çılrın ölçüleri eşit % % olcğındn, m ( ) = m ( ) = ve % % [] // [] m ( ) = m ( ) = olur 7 7 urdn m ( ) = m( ) = 46 7 olduğundn yrım çemberin ölçüsü, m ( ) = 7 7 7 = 80 46 + + 46 = 80 m ( ) + m( ) + m( ) + 9 = 80 = 88 = 44 bulunur Şekildeki çember yylrı birbirlerine, ve noktlrınd teğet olduğun göre, 7 7 7 olduğunu gösterelim m( ) + m( ) + m ( ) = 80 å Å, ve noktlrındki ortk teğetler çizilirse ynı yyı gören teğet kiriş çılrın ölçüleri eşit olduğundn şekildeki üçgeninde iç çı ölçüleri toplmı, 7 7 7 + ß + Å = 80 m( ) + m( ) + m ( ) = 80 å ß Å ß bulunur 9
Şekildeki çemberler birbirlerine noktsınd dıştn teğettir % t doğrusu çemberlere ve noktlrınd teğet ise m( ) = 90 olur Gösterelim t noktsındki ortk teğeti çizilirse = {} olsun noktsındn çemberlere çizilen teğet prçlrı, t å å ß ß olc- = = olur Şekildeki ikizkenr üçgenlerde, % % % % m( ) = m ( ) = α ve m ( ) = m ( ) = β ğındn, üçgeninde iç çı ölçüleri toplmı % å + ß = 80 å + ß = 90 = m( ) bulunur 56 Şekilde merkezli çemberde [ noktsınd teğet ve [ çemberi ve noktlrınd kesmektedir m( ) = 56, = olduğun göre, m( ) = kç derecedir? ullım 56 ir teğet değme noktsındn geçen yrıçp dik olduğundn şekilde m(pple) = 90 olur [] yrıçpı çizilirse = = = r olcğındn eşkenr üçgendir 94 0 r 60 60 r r 60 un göre m( ) = 60 m( ) = 80 60 = 0 olur dörtgeninde iç çı ölçüleri toplmı 60 olcğındn şekilde 90 + 56 + 0 + m( ) = 60 ve m( ) = 60 66 = 94 bulunur Sonuçt m( ) = = 94 + 60 = 54 olur 94
Şekilde [] kirişi içteki çembere noktsınd teğet ve m( ) = 00 verilmiştir Çemberler noktsınd içten teğet olduğun göre, m ( % ) = kç derecedir? ullım 7 T P 7 7 Çemberlerin merkezleri ve P olsun, P, doğrusldır [ ışını çemberi noktsınd kessin [P] ve [] yrıçplrı çizilirse P = P ve = olur % % % m ( ) = m ( ) = mp ( ) [P] // [] olur iğer yndn değme noktsını P merkezine birleştiren yrıçp, [P] ^ [] [] ^ [] elde edilir merkezinden [] kirişine çizilen dikme kirişi ve yyını iki eş prçy böldüğünden, 7 7 m ( ) 00 % m( T) 50 m( ) = m( T) = = = 50 & m ( ) = = = = 5 bulunur Şekilde ve çemberlerin kesim noktlrı, bir üçgendir % m ( ) = 0 ise m ( % ) = kç derecedir? ullım å ß å 0 ß [] ortk kirişini çizersek ynı yyı gören çevre çılrın ölçüleri eşit olcğındn, % % % % m ( ) = m ( ) = α ve m ( ) = m ( ) = β olur üçgeninde å + ß = 50 olduğundn, % m ( ) = å + ß = 50 bulunur 95
İnceleyerek Öğrenelim Üçgende Sinüs Teoremi üçgeninde kenr uzunluklrı, b, c ve merkezli çevrel çemberin yrıçpı R olmk üzere, c R b b c = = = R sin( W ) sin( W ) sin( X ) olur Gösterelim R Yndki şekilde m ( W ) = α & m( ) = α olur & [] olmk üzere çizilirse [] çemberin çpı olduğundn m ( ) = 90 % bulunur dik üçgeninde, 7 % m( ) α m ( ) = = = α sinα = = & sin( W ) = & = R olur R R sin( W ) b c enzer şekilde = R ve = R olcğındn, sin( W ) sin( X ) b c = = = R bulunur sin( W ) sin( W ) sin( X ) ve 7 R 45 üçgeninde m ( W ) = 45 ve = cm olduğun göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yrıçpını bullım üçgeninin çevrel çemberinin yrıçpı R olsun = R & = R & = R & R = cm sin( W ) sin 45 bulunur 96
& üçgeninde kenr uzunluklrı, b, c ve çevrel çemberin yrıçpı R olsun ( ) = olduğunu gösterelim c b üçgeninde sinüs teoremine göre = R & sin( W ) = olduğundn, sin( W ) R & bc ( ) = bc$ sin( W) = b$ cc m= R 4R bulunur bc 4R Köşeleri bir çember üzerinde oln şekildeki dörtgeninde m(pple) + m(pple) = 80 ve m(pple) + m(pple) = 80 olduğunu gösterelim 80 Şekildeki dörtgeninde çevre çının ölçüsü m ( W ) = α & m( 7 ) = α & m( 7 ) = 60 - α olduğundn 7 m( ) m ( X 60 - α ) = = = 80 - α & m ( W) + m ( X ) = 80 olur enzer şekilde m( W ) + m( X ) = 80 olduğu görülür şğıd köşeleri çember üzerinde oln dörtgenlerde verilen çılrı inceleyiniz H G S R 80 P Q 97
Şekildeki dörtgeninde, m ( % ) = m ( % ) % %, m ( ) = m ( ) ve % % m ( ) = 54 olduğun göre, m ( ) = kç derecedir? ullım 54 54 ynı yyı gören çevre çılrın ölçüleri eşit olduğundn şekilde, % % % m ( ) = m ( ) = = m( ) ve % % % m ( ) = m ( ) = = m( ) olur üçgeninde 54 + + + 80 = 6 = 4 bulunur P Şekildeki çemberler ve noktlrınd kesişmektedir % m( ) = 50 ve P merkezli çember küçük çemberin merkezinden geçtiğine göre, m ( % ) = kç derecedir? ullım 50 P 0 merkezli çemberin [] ve [] yrıçplrı çizilirse, dörtgeninin köşeleri P merkezli çember üzerinde olur m ( W) + m ( X) = 80 & 50 + m ( X ) = 80 m ( X ) = 0 bulunur merkezli çemberde merkez çının ölçüsü, 50 % 7 7 % 0 m ( ) = 0 & m( ) = 0 & m( ) = 60-0 = 0 & m ( ) = = = 5 bulunur 98
6 üçgeninde [] ^ [], [] ^ [] ve % m( ) = 6 olduğun göre, % m ( ) = kç derecedir? ullım 6 8 dörtgeninde [] ve [] köşegenleri ve kenrlrl oluşn çılrd, % % m( ) = m ( ) = 90 olduğundn dörtgeninin köşeleri [] çplı çember üzerinde olur % un göre m ( ) = 90 6 = 8 ve ynı yyı gören çevre çılr eş olduğundn m ( ) = m ( ) = = 8 % % bulunur Resimdeki futbol shsının ort yuvrlğının (çemberinin) merkezinin bulunduğu yeri (bşlm noktsını) çemberde kiriş özelliklerini kullnrk bullım rt yuvrlğın çemberi üzerinde,,, gibi herhngi dört nokty kzıklr çkıp, kzıklr bğlı gergin bir iple dörtgenini oluşturlım Çemberde kirişlerin ort dikmeleri merkezden geçtiğinden [] ve [] kirişlerinin ort dikmelerinin kesim noktsı ort yuvrlk çemberinin merkezi olur (bşlm noktsı) 99
lıştırmlr şğıdki ifdelerde boş bırkıln yerlere uygun kelimeleri yzınız ir çemberde çpı gören çevre çının ölçüsü Çemberde prlel kirişler rsınd kln yylrın ölçüsü ynı yyı gören çevre çı ve teğet kiriş çılr K 86 Köşeleri çember üzerinde oln dörtgeninde [] ve [] köşegen, [] [] = {K}, m ( % ) = m( K % ) = 86 m ( % ) = dir Şekilde doğrusu çembere noktsınd teğet olduğun göre, kç derecedir? Şekildeki [] çplı yrım çembere [P noktsınd % teğettir m( ) = 65 ise, m( P % ) = kç derece- 65 P dir? 4 0 K 80 Şekilde,, ve çembersel noktlr [] [] = {K} % % m( K) = 80, m ( ) = 0 ve doğrusu çembere noktsınd teğet ise, m ( % ) = kç derecedir? 5 70 50 8 [] çplı çemberde % m( ) = 50, % m( ) = 70, = 8 cm ise, = kç cm dir? 00
6 0 merkezli yrım çemberde % m ( ) = 0 ise, % m ( ) = kç derecedir? 7 50 Şekilde [, [ ve [] çembere sırsıyl, ve noktlrınd teğettir % m ( ) = 50 ise, % m ( ) = kç derecedir? 8 Şekildeki çemberler noktsınd içten teğettir İçteki çemberin bir noktsındki teğeti [] ve m( 7 ) = 40 ise, m ( % ) = kç derecedir? 9 Şekildeki merkezli çemberde 40 95 % m( ) = 40, % m( ) = 95 ise, % m ( ) = kç derecedir? 0 ve çemberlerin kesim noktlrı, m( ) = 50 ve m( ) = olsun Şekildeki büyük çember küçük çemberin merkezinden geçtiğine 50 göre, kç derecedir? 0
8 : ÇMR TĞT 8: Çemberde Teğetin Özellikleri Şekildeki t doğrusu merkezli çembere noktsınd teğet olsun Teğetin değme noktsını merkeze birleştiren doğru ise 80 m ( 7 % ) = 80 ve bir teğet-kiriş çı olduğundn, 7 % m ( ) 80 m ( ) = = = 90 bulunur t öylece çemberin herhngi bir noktsındki teğetinin, değme noktsındn geçen yrıçp dik olduğu bir kez dh görülür P ir çembere dışındki bir noktdn çizilen teğet prçlrının uzunluklrı eşittir Şekilde [P ve [P çembere ve noktlrınd teğet ise P = P ve [P çıortydır Gösterelim r r Yndki P ve P dik üçgenlerinde Pisgor Teoremi ile P = P r = P P = P bulunur & & % % KKK eşlik kurlın göre P, P & m( P) = m( P) = α olduğundn şekilde [P çıortydır P İki çemberin ortk dış teğet prçlrı eştir Şekilde ve merkezli çemberlerin dış ortk teğetleri ve doğrulrı için = {P} olsun,, ve değme noktlrı ise = ; P,, noktlrı doğrusl ve [P çıorty olur Gösterelim Şekilde [P ve [P merkezli çembere teğet olduğundn P = P olur r r [P ve [P ışınlrı merkezli çembere ve noktlrınd teğet olduğundn P = P olduğundn ve eşitlikleri trf trf çıkrılırs, P P = P P = bulunur [P çıorty olduğundn [P olmlıdır 0
ymuk, [] // [] = 6 cm, = cm dir Şekildeki [] çplı yrım çember, ymuğun üç kenrın, ve noktlrınd teğet olduğun göre yrım çemberin çpı kç cm dir? ullım 6 ß ß r r r 6 6 å å Çemberin bir teğeti değme noktsındn geçen yrıçp dik olduğundn şekildeki merkezli yrım çemberde; [] ^ [], [] ^ [] ve [] ^ [] dır Çembere dışındki ve noktlrındn teğetler çizildiğinden; = = cm, = = 6 cm ve m( ) = m( ) = ß, m( ) = m( ) = å olur [] // [] olduğundn, å + ß = 80 å + ß = 90 ve dik üçgendir u dik üçgende Öklid ğıntısı kullnılırs, r = 6 = 8 r = cm ve çemberin çpı, = r = = 6 cm bulunur İki çemberin ortk iç teğet prçlrının eşit uzunlukt ve merkezler ile teğetlerin kesim noktsının ynı doğru üzerinde olduğunu gösterelim y å Å å å P å y t Şekilde ve merkezli çemberlere ve noktsınd teğet oln t teğeti ve ile noktlrınd teğet oln t teğeti verilmiştir u teğetler iki merkezin rsındn geçtiği için ortk iç teğet dını lır t t t = {P} ve teğet prçlrının eşliğinden P = P =, P = P = y olduğundn ortk iç teğet prçlrının uzunluğu = = + y bulunur [P ile [P çıorty ve, P, noktlrı doğrusl olduğundn şekilde, % Å + å = 80 m ( P) = å + Å + å = Å + å = 80 ve sonuçt, P, noktlrı doğrusl olur 0
Şekildeki [] çplı yrım çember dörtgeninin kenrlrın, ve noktlrınd teğettir K [] [} = {K}, [] // [] olduğun göre, K = K olduğunu gösterelim c y K c [] çp,, ve teğetlerin değme noktlrı olduğundn, dik ymuk olur Teğet prçlrı = =, = = c K = ve K = y olsun [] // [] // [] olduğundn, benzerlik kurlın göre, K & + & & & ve K + olur Temel rntı Teoremi'nden = K K = c K = ck & ) = K + K = ( + c)k olcğındn, K = k K ck c y K k c = = & = ve = = = & y = ve ( + c) k + c c ( + c) k + c + c c = y = bulunur (k + c + ) 4 b t ve merkezli çemberler noktsınd dıştn teğettir t ortk teğetinin değme noktlrı ve olmk üzere, =, = b ve = 4 cm ise b çrpımını bullım å ß å ß b b t noktsındki iç ortk d teğeti çizilirse d = {} olsun Çemberlere noktsındn çizilen teğet prçlrı, = = = cm ve [] ile [] çıorty olur Şekilde, å + ß = 80 å + ß = 90 ve ^ [] olduğundn dik üçgeninde Öklid ğın- d tısı ile = 4 = b bulunur 04
K Şekildeki yrıçplrı frklı çemberler K noktsınd dıştn teğet,, ve [] ortk teğetlerdir,,,, K değme noktlrı ve = 4 cm olduğun göre, Ç() kç cm dir? ullım å K å å P Çemberlerin yrıçplrı frklı olduğundn ve teğetleri bir P noktsınd kesişir P noktsındn çemberlere çizilen teğet prçlrı için; P = P, P = P = olur enzer şekilde ve noktlrındn çemberlere çizilen teğet prçlrı, = K = = = K = = olcğındn = = 4 = = = 4 cm bulunur P P Şekilde = olduğundn Temel rntı Teoremi nin krşıtı gereği [] // [] olur u durumd bir ymuk ve [] bu ymuğun ort tbnıdır = + & + = = 4 = 8cm ve sonuçt Ç() = + + + = 8 + 4 + 4 = 6 cm bulunur G Şekilde tüm kenrlrı merkezli çembere teğet oln dörtgeninde; Krşılıklı kenr uzunluklrı toplmının eşit olduğunu, H b İç çı ortylrın çemberin merkezinden geçtiğini gösterelim 05
d G c d c H b Şekilde merkezli çembere dışındki,, ve noktlrındn teğetler çizildiğinde, H = =, = = b, = G = c, G = H = d olduğundn dörtgeninde krşılıklı kenr uzunluklrı toplmı + = + = + b + c + d olur b b ir çembere dışındki bir noktdn iki teğet çizildiğinde bu noktyı merkeze birleştiren doğru çıorty olduğundn şekilde [], [], [] ve [] dörtgeninin iç çıortylrıdır 9 5 Kenrlrı merkezli cm yrıçplı çembere teğet oln şekildeki dörtgeninde = 5 cm ve = 9 cm olduğun göre () kç cm olur? ullım 9 d b 5 Şekilde görüldüğü gibi [], [], [] ve [] yrıçplrı çizilirse & & & & ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) olur u dörtgeninde krşılıklı kenr uzunluklrı toplmı eşit olcğındn + = + 5 + 9 = b + d b + d = 4 olur un göre 5 b 9 d 5+ b+ 9+ d 4 + b+ d 4 + 4 () = + + + = c m = c m = c m = 4 cm bulunur 06
Ynd verilen şekilde prlelkenr ve dörtgeninin tüm kenrlrı merkezli çembere teğettir = cm ve = 5 cm ise, üçgeninin çevre uzunluğu kç cm dir? ullım 5 prlelkenr olduğundn, = = + 5 = 8 cm ve = olur dörtgeninin kenrlrı çembere teğet olduğundn + = + 5 + 8 = + + = cm + = cm olur Sonuçt Ç( ) = + + = + = 6 cm bulunur irbirine teğet iki çemberin değme noktlrı ile merkezleri ynı doğru üzerindedir Gösterelim ve P merkezli çemberler şekildeki gibi noktsınd dıştn teğet olsun u çemberlerin noktsındki ortk teğeti t çizilirse, m ( % ) = mp ( % ) = 90 & mp ( % ) = 80 bulunur ( t) urdn, ve P noktlrının doğrusl olduğunu söyleyebiliriz Çemberler şekildeki gibi içten bir noktsınd teğet olurs, değme noktsındn teğete dik çizilen ışın her iki çemberin de merkezinden geçmek zorund olduğundn yine, ve P doğrusl noktlr olur t 90 90 P P Şekil Şekil 5 P t Şekildeki ve P merkezli çemberlerin yrıçplrı 5 cm ve cm dir P = 0 cm ise, iç ortk teğet prçsının uzunluğu kç cm dir? ullım 07
5 5 H P t eğme noktlrını merkeze birleştiren yrıçplr teğete dik olduğundn şekilde HP dik üçgeni oluşturulduğund PH dikdörtgen olur u durumd; P = H = cm, = PH =, H = 5 + = 8 cm olur PH dik üçgeninde Pisgor Teoremi ni kullnırsk, P = H + PH 0 = 8 + = PH = = 6 cm bulunur 4 P t Şekildeki ve P merkezli cm ve 4 cm yrıçplı çemberler noktsınd dıştn teğettir t ortk teğetinin değme noktlrı ve ise, kç cm dir? ullım H 4 P t Teğet çemberlerde merkezler ve değme noktsı doğrusl olduğundn, [P] ve [PH] ^ [] çizilirse, HP dikdörtgen, HP dik üçgen ve P = H = H = cm, P = 6 cm olur PH dik üçgeninde Pisgor Teoremi ile = 6 = = 4 cm bulunur M Şekildeki M, N, ve P merkezli çemberlerden her biri diğer üçüne teğettir,,, değme noktlrı, [] çp ve = 0 cm ise, MN üçgeninin çevresinin uzunluğu kç cm dir? ullım N P y M y N 5 y P M ve merkezli çemberler noktsınd içten teğet olduğundn, M ve noktlrı doğrusldır [] yrıçpını çizelim = = = 5 cm olur M merkezli çemberin yrıçp uzunluğu M = M = ve N merkezli çemberin yrıçp uzunluğu, N = N = y olsun M ve N merkezli çemberler noktsınd dıştn teğet olduğundn M, ve N doğrusl noktlr olur u durumd N = 5 y ve M = 5 olur Sonuçt, Ç(M N) = MN + N + M = ( + y) + (5 y) + (5 ) = 0 cm bulunur 08
lıştırmlr Şekilde verilen, ve merkezli çemberlerden her biri diğer ikisine dıştn teğettir = 0 cm, = 6 cm ve = 8 cm olduğun göre bu çemberlerin yrıçp uzunluklrını bulunuz K M L N dikdörtgen; KLM kre, = cm, = 5 cm dir Şekilde ÁLN, merkezli 5 cm yrıçplı bir çember yyı olduğun göre, KLM kresinin lnı kç cm olur? 5 dikdörtgen; = cm, L ve M merkezli, çemberler eş çemberlerdir K Şekilde K, L ve M merkezli çemberler birbirlerine ve dikdörtgenin kenrlrın teğet olduğun göre, köşeleri K, L ve M oln üçgenin çevresi kç cm dir? L M 4 P % ve teğetlerin değme noktlrı m( P) = 60, 4 60 P = 4 cm dir Şekildeki çemberin P noktsındn en uzkt oln noktsı olduğun göre, P kç cm olur? 5 0 Şekilde dikdörtgen, = 0 cm ve = cm dir [] çplı yrım çember [] kenrını ve noktlrınd kestiğine göre, = kç cm olur? 09
84 : İRNİN ÇVRSİ V LNI 84: irenin Çevresi ve lnı İRNİN ÇVRSİ ütün çemberler birbirine benzerdir enzer şekillerde krşılıklı uzunluklr ornı sbit bir syı olduğundn herhngi bir çemberde, Çevre uzunluğu Çp uzunluğu =,459 sbit syısı olur u sbit syı Yunnc d çevre (çember) nlmın gelen kelimelerin ilk hrfi oln π ile gösterilir π =,459 syısı rsyonel olmyn bir gerçek syıdır un göre r yrıçplı bir çemberin çevre uzunluğu Ç ise Ç = π Ç = πr bulunur r merkezli r = cm yrıçplı bir çemberde ölçüsü 60 oln çısının gördüğü yyın uzunluğunu bullım 60 Çemberin çevresi Ç = π = 6π cm ve tm çı 60 Æ 6π uzunluğund yyı görürse 6π 60 6π 60 Æ görür, orntısıyl = = = π birim bulunur 60 6 0
unlrı ilelim Çemberde Yy Uzunluğu merkezli r yrıçplı çemberde bir merkez çının ölçüsü, % m ( ) = α olsun 60 Æ πr å r Æ orntısı ile şekildeki yyının uzunluğu 7 πr = å olur 60 Resimdeki lokomotifin büyük tekerleğinin yrıçpı öndeki küçük tekerleğin yrıçpının ktıdır üyük tekerlek 6 tm dönme (tur) yptığınd küçük tekerlek kç tur ypr? ullım Küçük tekerleğin yrıçpı r ise büyük tekerleğin yrıçpı r ve büyük tekerleğin çevresi, Ç = π(r) = 4πr olduğundn büyük tekerlek 6 tur ttığınd lokomotif 6(4πr) = 4 πr kdr yol lır 4 r Küçük çemberin çevresi Ç = πr olduğundn küçük tekerlek bu yolu lmk için π = tur πr ypmlıdır Hreket eden bir rçt tekerleklerin belli bir yolu lmk için yptıklrı turlrın syısı yrıçplrı ile ters orntılı olduğundn bu problemi, r Æ 6 tur r Æ tur ters orntısındn r6 = r = tur olrk d bulbiliriz
İRNİN LNI 5 n r r r h r r r r r 4 r n ve n olmk üzere, n kenrlı bir düzgün çokgen ile bunun merkezli çevrel çemberini düşünelim u düzgün çokgenin; bir kenr uzunluğu, iç teğet çemberinin yrıçpı h ve çevrel çemberinin yrıçpı d r olsun un göre düzgün çokgenin çevresi Ç = n ve düzgün çokgenin lnı S = nc h m = ^n$ h h = Ç $ h olur n syısının sınırsız büyüdüğünü düşünürsek bu durumd; üzgün çokgenin çevresi Æ Çemberin çevresine n Æ üzgün çokgenin lnı Æ irenin lnın İç teğet çember yrıçpı h Æ Çevrel çemberin yrıçpı r syısın dönüşeceğinden direnin lnı, S = (Çevre uzunluğu) r = (πr) r = πr olur unun bir sonucu olrk, r r r r S S Sr yrım direnin lnı, 7 S r = r = π r $ πr = çeyrek direnin lnı, 7 S r = π r r = $ πr = 4 α derecelik 7 dire diliminin lnı, S = r vey πr S = $ α 60 olrk bulunur
r Yndki şekilde verilen merkezli dire diliminde r 7 = cm ve yrıçp r = cm dir un göre, dire diliminin lnını bullım Şekildeki dire diliminin lnı üçgende ln hesbın benzer biçimde, r S r = 7 r $ = $ = br bulunur 4 Merkez çılrının ölçüleri 0, 45, 60, 90, 0, 50 ve yrıçplrı r = dilimlerinin lnlrını bullım 6 cm oln dire å derecelik dire diliminin lnı S = rr 60 å olduğun göre; 0 lik dire diliminin lnı S = r ^ 6h 0 r 4 = = r cm, 60 45 lik dire diliminin lnı S = 60 lik dire diliminin lnı S = 4r 8 4r 6 = r cm, = 4r cm, 90 lik dire diliminin lnı 4π S 4 = = 6r cm, 4 0 lik dire diliminin lnı 4π S 5 = = 8r cm, 50 lik dire diliminin lnı 4π S 6 = 5 = 0 r cm bulunur
ynı merkezli vey frklı merkezli şekillerdeki gibi direler verilsin Her iki şekilde de büyük direnin yrıçpı r, küçük direnin yrıçpı r olduğun göre, trlı hlk lnlrını r ve r cinsinden bullım S S üyük direnin lnındn, küçük direnin lnını çıkrırsk şekillerdeki trlı hlknın lnı, S = πr πr = π(r r ) olur Şekilde = = K = K ise, ynı merkezli K S L 7 KL 7,, 7 7,, çember yylrının belirttiği lnlrın S 5S S, S, 5S, değerinde olduğunu gösterelim Tüm çemberler birbirine, merkez çısı eşit oln tüm dire dilimleri de birbirine benzer olduğundn şekilde KL + ve benzerlik ornı K KL ( ) = olduğundn = c m = olur ( ) 4 (KL) = S ise, () = 4S ve burdn hlk prçsının lnı (LK) = 4S S = S bulunur KL + ve benzerlik ornı K = olduğundn bu dire dilimlerinin lnlrı ornı KL ( ) = c m = olur un göre, ( ) 9 (KL) = S () = 9S () = () () = 9S 4S = 5S bulunur u şekilde devm edilirse şekilde belirtilen bölgelerin ln değerleri yukrıdn şğıy doğru S, S, 5S, 7S, syılrı olur (S + ) 4
0 dik üçgeninde [] ^ [] % m( ) = 0 ve = cm dir merkezli, cm yrıçplı çember yyı ile merkezli çember yyı noktsınd teğet olduğun göre, trlı lnlr toplmı kç cm olur? ullım özel dik üçgeninde 0 60 = cm ise, = 4 cm ve = cm olduğundn = 4 = cm bulunur ve merkezli dire dilimlerinin yrıçplrı eşit ve cm, merkez çı ölçüleri toplm 0 + 60 = 90 olur hâlde trlı ln cm yrıçplı bir çeyrek direnin lnın eşittir Sonuçt bu ln S = r = r cm bulunur 4 0 6 merkezli 6 cm ve yrıçplı dire diliminin merkez çı ölçüsü 0 olduğun göre, trlı dire prçsının lnını bullım 0 6 6 0 0 H S r = 6 cm yrıçplı 0 derecelik dire diliminin lnı, () = r 6 = r cm olur üçgeninde [H] yüksekliği çizildiğinde özel dik üçgenlerden, H = cm ve H = H = cm olur un göre, üçgensel bölgesinin lnı 6 ( ) = = 9 cm ve trlı ln S =π 9 cm bulunur 5
lıştırmlr Şekilde bisikletin büyük tekerleğinin yrıçpı, küçük tekerleğin yrıçpının ktıdır isiklet yol giderken büyük tekerlek 6 devir(tm dönme) yptığınd küçük tekerlek kç devir ypr? ulunuz Şekilde [] merkezli yrım direnin çpı; dik üçgen, [] ^ [], m ( ) = 40, = 6 cm, 40 6 7 = olduğun göre, trlı ln kç cm dir? dikdörtgen, noktsı 6 cm yrıçplı çeyrek çemberin merkezi ve = 6 cm dir 6 Şekildeki trlı ln değerleri eşit olduğun göre, = kç cm dir? 4 Şekildeki merkezli 6 cm yrıçplı çemberde 6 % m( ) = 5 olduğun göre 7 kç cm dir? 5 5 Resimdeki trfik levhsınd dikdörtgeninin köşeleri çember üzerindedir = 0 cm, = 0 cm ise, Kırmızı renkle boynmış bölgenin lnı kç cm olur? 6