TAM SAYILARLA İŞLEMLER

TAM SAYILARLA İŞLEMLER 5 4 3 2 1 1 TAM SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİ Devlet Meteoroloji İşleri Genel Müdürlüğü, bilimsel ve teknolojik gelişmeler ışığında meteorolojik gözlemler, hava tahminleri ve iklim değişiklikleri konusunda çalışmalar yapar. Bir araştırmaya göre, 211 yılı Doğu Anadolu Bölgesi nde en düşük ortalama sıcaklık yaklaşık olarak 3 C olarak ölçülmüştür. Doğu Anadolu Bölgesi nde en yüksek ortalama sıcaklık değeri ise, en düşük ortalama sıcaklık değerine göre 11 C fazladır. Buna göre, en yüksek ortalama sıcaklık değerini bulalım. Verilen problemdeki verileri sayma pulları ile modelleyerek çözelim. 5 4 3 2 1 1 (3) (3) (11) 5 4 5 4 3 2 1 1 3 2 1 1 (3) (11) = (8) En yüksek ortalama sıcaklık değeri 8 C olarak bulunur. Aynı problemi sayı doğrusunda modelleyerek çözelim. (3) 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (11) (3) 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (11) (3) 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (8) (3) ( 11) = (8) 9

Matematik Sayı doğrusu modelinde toplama işlemi yapılırken dan başlanır. İlk sayı pozitif ise sağa doğru, negatif ise sola doğru ilerlenir. Bulunan noktadan eklenen sayı için de aynı uygulama yapılır. Toplanan sayıların işaretleri zıt ise mutlak değerce büyük olan sayıdan küçük olan çıkarılır, mutlak değeri büyük olan sayının işareti yazılır. (8) (5) = 3 (4) (11) = 7 Siz Yapınız (5) (8) işlemini sayma pulları ile modelleyerek yapınız. (9) (4) işlemini sayı doğrusunda modelleyerek yapınız. (39) (44) işlemini yapınız. Berna nın 5 TL borcu vardır. Berna 3 TL daha borç alırsa toplam kaç TL borcu olacağını bulalım. Verilen problemi önce sayma pulları ile daha sonra sayı doğrusunda modelleyerek çözelim. (5) (5) (3) (5) (3) = (8) 5 TL borcu olduğu için 5 negatif pul eklenir. 3 TL borç aldığı için 3 negatif pul daha eklenir. (5) Toplam 8 negatif pul olur. 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 (3) (5) 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 (3) (5) 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 (8) (5) (3) = (8) Berna nın toplam borcu 8 TL olarak bulunur. 1

Toplanan sayıların işaretleri aynı ise sayıların işaretleri dikkate alınmadan toplanır, işaret aynen yazılır. (3) (4) = 7 (1) (5) = 6 Siz Yapınız (4) (5) işlemini sayma pulları ile modelleyerek yapınız. (1) (6) işlemini sayı doğrusunda modelleyerek yapınız. Aşağıdaki işlemleri yapınız. (32) (12) (45) (55) (5) (5) işleminin sonucunu bulalım. 5 5 4 5 3 2 1 1 2 3 4 5 (5) (5) = bulunur. Toplamları (sıfır) olan iki tam sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir. sayısı negatif ya da pozitif tam sayılara ait değildir. Toplama işleminin değişme özelliği vardır. (3) (2) = (2) (3) 1 = 1 Toplama işleminin birleşme özelliği vardır. (2) [(3) (4)] = [(2) (3)] (4) (2) (1) = (1) (4) 3 = 3 TAM SAYILARLA ÇIKARMA İŞLEMİ Devlet Meteoroloji İşleri Genel Müdürlüğünün tahminlerine göre pazartesi günü hava sıcaklığı 2 C, salı günü ise 4 C olacaktır. Buna göre bu iki günün sıcaklık farkını bulalım. Pazartesi Salı 2 C 4 C Problem, matematik cümlesi ile (4) (2) olarak ifade edilebilir. 11

Matematik (4) (2) işleminin sayma pulları ile modelleyerek yapalım. (4) (4) [(2) (2)] (4) [(2) (2)] (2) (4 pozitif puldan 2 negatif pul çıkarabilmek için 2 negatif pul olmalıdır. Fakat 2 negatif pul olmadığı için (4) ün değerini bozmayacak şekilde 2 pozitif ve 2 negatif pul eklenir.) (4) (2) = (6) Pazartesi ve salı günleri hava sıcaklıkları farkı 6 C olarak bulunur. (5) (1) işlemini sayma pulları ile modelleyerek yapalım. (5) (5) [(1) (1)] 1442443 (5) ten (1) çıkarabilmemiz için 1 tane pozitif pula ihtiyaç vardır. Bu yüzden (5) in değerini bozmayacak şekilde 1 pozitif ve 1 negatif pul eklenir. (5) [(1) (1)] (1) 1442443 (5) (1) = (6) 12

(4) (3) =? Ayşe öğretmen, tahtadaki işlemin sonucunu Mert ten bulmasını istiyor. Haydi, Mert e yardım edelim. Verilen işlemi sayma pulları ile modelleyerek yapalım. (4) (4) (3) (4) (3) = (1) Tahtada yapılan işlemin sonucu (1) olarak bulunur. Verilen işlemi toplama işlemine dönüştürerek yapalım. (4) (3) = (4) (3) = 1 Tam sayılarla çıkarma işlemi, toplama işlemine dönüştürülerek de yapılabilir. 1. adım: Eksilen sayı aynen yazılır. 2. adım: Çıkarma işlemi toplama işlemine dönüştürülür. 3. adım: Çıkan sayının işareti değiştirilir (, ). 4. adım: Toplama işlemi yapılır. 2 7 ve [2 (7)] işlemlerini yaparak sonuçlarını karşılaştıralım. 2 7 = 9 2 (7) = 9 Sonuçları (9) aynı olduğu için 2 7 = 2 (7) olarak yazılabilir. a b işlemi a (b) olarak yazılabilir. a b = a (b) 13

Matematik Siz Yapınız Aşağıda verilen işlemleri sayma pulları ile modelleyerek yapınız. (6) (4) (3) (5) (8) (2) Aşağıda verilen işlemleri yapınız. (7) (4) (15) (9) (99) (1) 1 33 : 21 SBS (7) 5 (3) işlemi yapılırken, aşağıdakilerden hangisinde hata yapılmamıştır? A) (7) 5 (3) = (7) (2) = 9 B) (7) 5 (3) = (12) (3) = 9 C) (7) 5 (3) = (7) (2) = 5 D) (7) 5 (3) = (2) (3) = 5 Çözüm İki toplama işleminden oluştuğu için işlem önceliği gereği işlemler soldan sağa doğru yapılır. (7) 5 (3) = [(7) (5)] (3) (a b = a (b)) = (2) (3) = (5) olarak bulunur. Verilen çözümlerden uygun olan seçenek belirlenir. Doğru Seçenek D : 28 SBS Aşağıdaki tabloda Elazığ ilinin dört günlük hava sıcaklık değerleri verilmiştir. Tabloya göre gece ve gündüz sıcaklıkları farkı hangi gün en fazladır? Tablo: Elazığ ın Dört Günlük Hava Sıcaklık Değerleri ( C) Günler Pazartesi Salı Çarşamba Perşembe Zaman Gece 9 5 1 2 Gündüz 4 3 8 4 A) Pazartesi B) Salı C) Çarşamba D) Perşembe Çözüm Gece ve gündüz sıcaklıkları farkını hesaplamak için gündüz sıcaklıklarından gece sıcaklıklarını çıkaralım. Gündüz Gece Fark Pazartesi 4 9 4 (9) = 5 Salı 3 5 3 (5) = 8 Çarşamba 8 1 8 (1) = 7 Perşembe 4 2 4 (2) = 6 Günler için ayrı ayrı sıcaklık farklarını incelediğimizde farkın en fazla olduğu günün salı (8) olduğu görülür. Doğru Seçenek B 14

TAM SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ Bir buz pateni pistinin sıcaklığı C dir. Pistin sıcaklığı her 5 dakikada 2 C düşmektedir. Buna göre 2 dakika sonra pistin sıcaklığının kaç C olacağını bulalım. Sıcaklık her 5 dakikada 2 C azalacağından 2 dakika sonraki sıcaklık, (2) (2) (2) (2) = 8 C olarak bulunur. Aynı işlemi 4 x (2) = 8 olarak da ifade edebiliriz. 4 x (2) işlemini sayma pulları ile modelleyerek yapalım. Sıfır pul ile başlanır. () 4 grup (2) pul eklenir. 4 x (2) 4 x (2) = (8) Buz pateninin 2 dakika sonraki sıcaklığı 8 C olarak bulunur. 15

Matematik (3) x (5) işlemini sayma pulları ile modelleyerek yapalım. Sıfır pul ile başlanır. () (Üç grup 5 negatif pul elde edebilmek için ın değerini bozmayacak şekilde 5 i negatif, 5 i pozitif olan 3 grup pul eklenir.) () Birinci çarpan (3) negatif olduğundan 3 grup pul çıkarılır. (3) x (5) (3) x (5) = (15) 16

Tam sayılarla çarpma işlemlerini sayma pulları ile modellerken; 1. adım: Her zaman sıfır pulla başlanır. 2. adım: Birinci çarpan, ikinci çarpan sayısı kadar olan pullardan kaç grup ekleneceğini ya da çıkarılacağını gösterir. Birinci çarpan pozitif ise o sayıda gruplanmış pul eklenir. Birinci çarpan negatif ise o sayıda gruplanmış pul çıkarılır. 3. adım: İkinci çarpanın işareti, grupların içinden çıkacak ya da eklenecek pulların işaretini belirler. Aşağıdaki çarpma işlemlerini inceleyiniz. (2) x (3) = 6 (5) x (2) = 1 (4) x (2) = 8 (3) x (4) = 12 Tam sayılarla çarpma işleminde, aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitiftir.. =. = Tam sayılarla çarpma işleminde, zıt işaretli iki sayının çarpımı negatiftir.. =. = Siz Yapınız Aşağıda verilen işlemleri sayma pulları ile modelleyerek yapınız. (4) x (4) (6) x (2) (3) x (4) işlemini yapınız. (5) x (1) işlemini yapınız. 17

Matematik x 3 2 1 1 2 3 3 9 6 3 3 6 9 2 6 4 2 2 4 6 1 3 2 1 1 2 3 1 3 2 1 1 2 3 2 6 4 2 2 4 6 3 9 6 3 3 6 9 Verilen çarpma tablosunu inceleyerek çarpma işleminin özelliklerin bulalım. ile yapılan çarpma işlemlerinin sonucu (sıfır) dır. x (2) = Herhangi bir sayının 1 ile çarpımı yine kendisini verir. (3) x 1 = 3 Çarpanların yerlerinin değişmesi işlem sonucunu değiştirmez. (2) x (3) = (3) x (2) = 6 Çarpma işleminde etkisiz eleman 1, yutan eleman dır. Çarpma işleminin değişme özelliği vardır. a x b = b x a [(3). (2)]. (4) ile (3). [(2). (4)] işlemlerini yapalım ve işlem sonuçlarını karşılaştıralım. [(3). (2)]. (4) = (6). (4) = (24) (3). [(2). (4)] = (3). (8) = (24) İşlem sıraları değiştiği hâlde sonuç değişmemiştir. Tam sayılarla çarpma işleminde birleşme özelliği vardır. a x (b x c) = (a x b) x c 18

Siz Yapınız Aşağıda verilen işlemleri yapınız. (999). (1) x 1. (49) 1. (1998) Aşağıda verilen işlemlerde verilmeyen sayıları çarpma işleminin özelliklerini (değişme ve birleşme) kullanarak belirleyiniz. [(5). (2)]. (9) =. [(2). (9)] (1). (99) =. (1) Aşağıda verilen işlemleri çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliğini kullanarak yapalım. (9). (15) işleminde ikinci çarpanı (5) = (1) (5) biçiminde yazıp çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğini uygulayalım. a) (9). (15) = (9). [(1) (5)]. (15) = (1) (5) = [(9). (1)] [(9). (5)] = (9) (45) = (135) (9). (15) = (135) Her iki işlemin sonucu da aynıdır. b) (12). (6) = (12). [(4) (1)]. [(4) (1) = (6)] = [(12). (4)] [(12). (1)] = (48) (12) = (72) (12). (6) = (72) Her iki işlemin de sonucu aynı çıkmıştır. Tam sayılarla çarpma işleminde çarpma işleminin, toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği vardır. a. (b c) = a. b a. c a. (b c) = a. b a. c Siz Yapınız (8). (5). (1) işlemini çarpma işleminin birleşme özelliğinden yararlanarak yapınız. (5). (12) işlemini çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerindeki dağılma özelliklerini kullanarak yapınız. a. (b c) ile (c b). a ifadelerinin birbirine eşit olup olmadıklarını belirleyiniz. 19

Matematik : 28 SBS x 8, 3, 2 sayıları yukarıdaki semboller yerine hangisindeki gibi yerleştirilirse elde edilen işlemin sonucu en büyük olur? A) 8 3 2 B) 3 8 2 C) 2 3 8 D) 8 2 3 Çözüm Verilen işlem zinciri çarpma ve toplama işlemlerinden oluşmaktadır. İşlemin sonucuna en çok etki edecek işlem çarpma işlemi olacaktır. Çarpma işleminin değerini en büyük yapacak sayılar seçilir. (8) x (3) = (24) (8) x (2) = 16 24 < 16 x = (8) x (2) (3) = (16) (3) = (19) olur. İşlemin en büyük değeri (19) dur. Bunu sağlayan: = (8) = (2) = (3) değerleridir. Doğru Seçenek D : 211 SBS 1 2 6 8 12 Mete, şekildeki gibi puanlanmış hedef tahtasına 12 atış yapıyor. Pozitif tam sayıların olduğu her bölgeye ikişer ok, negatif tam sayıların olduğu her bölgeye üçer ok isabet ettiriyor. Mete isabet ettirdiği her ok için o bölgedeki puanı aldığına göre, toplam kaç puan kazanmıştır? A) 54 B) 16 C) 1 D) 88 Çözüm Pozitif tam sayıların olduğu her bölgeye 2 atış, negatif tam sayıların olduğu her bölgeye 3 atış yapılırsa; Toplam puan = 2. 6 2. 8 2. 12 3. (2) 3. (1) = 12 16 24 (6) (3) = 52 (36) = 16 olur. Doğru Seçenek B 2

TAM SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ Bir denizaltı 4 saniyede 12 metre derinliğe inebilmektedir. Su yüzeyindeki bir denizaltının 1 saniyede kaç metre derinliğe inebileceğini bulalım. Problemi matematiksel cümle ile (12) : (4) şeklinde ifade ederiz. (12) : (4) işlemini sayma pulları ile modelleyerek yapalım. () 1. grubu çıkar. 2. grubu çıkar. 3. grubu çıkar. (12) ((12) yi elde ettiğimiz için pul ekleme işlemine son verdik.) (12) yi elde etmek için 3 grup (4) çıkardık. Buna göre; (12) : (4) = (3) olur. 21

Matematik (8) : (2) işlemini sayma pulları ile modelleyerek yapalım. () 1. grubu çıkar. 2. grubu çıkar. 3. grubu çıkar. 4. grubu çıkar. (8) (8) i elde ettiğimiz için pul ekleme işlemine son verdik. (8) i elde etmek için 4 grup (2) çıkardık. Buna göre; (8) : (2) = (4) olur. Pozitif sayıda (2) ekleyerek (8) i elde edemeyeceğimiz için sonuç negatif olur. Negatif sayıda pul eklemek demek o sayıda pulu çıkarmak demektir. (15) : (5) işlemini sayma pulları ile modelleyerek yapalım. () 1. grup eklendi. 2. grup eklendi. 22

3. grup eklendi. (15) (15) i elde ettiğimiz için pul ekleme işlemine son verdik. (15) i elde etmek için 3 grup (5) ekledik. Buna göre; (15) : (5) = (3) olur. Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitiftir. : = : = Zıt işaretli iki tam sayının bölümü negatiftir. : = : = Siz Yapınız (12) : (3) işlemini sayma pulları ile modelleyerek yapınız. Aşağıda verilen işlemleri yapınız. a) (18) : (6) b) (2) : (5) c) (2) : (1) ( 36) ( 4) ( 5).( 2) ç) d) ( 6) ( 3) PROBLEM ÇÖZME Problem çözerken belli bir strateji izlemek hem problemin çözümünü kolaylaştırır hemde hata yapma ihtimalini azaltır. Bu stratejilerden en yaygın olanı Polya nın (George Polya 1887-1985) problem çözme basamaklarıdır. Bu strateji, genel olarak dört basamaktan oluşmaktadır. Şimdi bu basamakları inceleyelim. I. Problemi Anlama Bu basamakta; Problemi dikkatli bir şekilde okuma, Bilinen verilerin ne olduğu, neyin sorulduğu ve koşulların ne olduğu, Verilen koşulların sağlanmasının mümkün olup olmadığı veya koşulların verilmeyeni bulmak için yeterli olup olmadığı, Gerektiğinde verileri şekille ifade etme veya uygun bir gösterimle yazma gibi durumlar incelenerek problemin anlaşılması sağlanır. 23