İ ç i n d e k i l e r TOPLAMA VE ÇIKARMA... ÇARPMA VE BÖLME... 0 İŞLEM ÖNCELİĞİ... PARANTEZ AÇILIMI... 6 ORTAK PARANTEZE ALMA... 668 PARANTEZ AÇMA... 698 SADELEŞTİRME... 887 DENKLEM ÇÖZÜMLERİ... 886 RASYONEL SAYILAR... 70 ONDALIK SAYILAR... ORAN VE ORANTI... 8 RASYONEL DENKLEMLER... 97 BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER... 786 ORANTININ KURULMASI... 8788 ORAN VE ORANTI... 899 BASİT EŞİTSİZLİKLER... 90 MUTLAK DEĞER... 08 ÜSLÜ İFADELER... 96 KÖKLÜ İFADELER... 78 ÇARPANLARA AYIRMA... 97 KÜMELER VE BAĞINTI... 79 FONKSİYONLAR... 9 İŞLEM... 0 MODÜLER ARİTMETİK... PROBLEMLER... 0 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ VE TABAN ARİTMETİĞİ... FAKTÖRİYEL VE BÖLÜNEBİLME KURALLARI... 8 OBEB OKEK... 96
Çarpma ve Bölme J İşlem özelliğini bildiğinize göre aşağıdaki örnekleri çözünüz. 8. (6 ) ( ). 9. ( ). 0. ( ). 7. 6 ( ). ( ) ( ). ( ) (6 ). 9 9( ). ( ) ( ) ( ) 6. ( ). ( ) 7. ( ) ( ). ( ) (9 ) 6. 7. 8. 9. 0...... 6. 7. 8. 9. 0. 0 8 0
Çarpma ve Bölme 6. 6 ( ). ( ) ( 6) 7. ( ) (7 7). ( ) ( ) 8. 6 ( ) 6. 6 ( ) 9. ( ) ( ) 7. 7 8 ( ) 0. ( ) ( ) 8. 9 8 ( ) 6. 6 6( ) ( ) 9. 9 6 6 7 ( ). 6 6( ) ( ). ( ) ( ) 0. 7 7( )..... 6. 7. 8. 9. 0...... 0 0 7 8 0 0 0
9 İçinde Bilinmeyenlerle İşlem Yapma J Bu zamana kadar sayılarla işlem yaptık. Artık biraz daha kendimizi geliştirmiş olarak görelim. Matematiğe bir adım daha kendimizi hazır hissedelim. İlk adımı attık. Artık temeli aldık. Bundan sonra sıra matematiğin bilinmeyenlerine geldi. Bilinmeyeni bulma bilinmeyenle işlem yapma zamanı geldi. Kolay gelsin.. x 7 x nasıl bir sayıdır bilmiyoruz. Ancak 7 sayısını biliyoruz. x ile 7 toplamak mümkün mü? Tabiki hayır. Bilinmeyen bir sayı ile bilinen bir sayı toplanmaz. J Günlük hayatta elma ile armut toplanmaz. Armutla armut toplanır. Elma ile elma toplanır. Bunu hiç unutmayınız. x x 7 x 7 x x 7 x 7. x x x Katsayılar toplanır veya çıkartılır. Bilinmeyen yanına çarpan olarak yazılır. 6. 8x x 0x 9x 0x x olarak kalır. 7. 0x 9x 6x 0x 6x 9x J Önce topla sonra çıkar. 6x 9x 7x 8. 7x x x x 7x x x x 8x 9x x 9. 6x x x x 6x x x x J İfadeler yer değiştirebilirler. 0x 8x x 0. 9x 6x 0x x 6x x 9x 0x 9x 9x 0x Parantez Açma J Aynı işaretli olanları topla, daha sonra çıkarma işlemi yap. Büyük olanın işaretini al.. x x x x den x çıkardım, x kalır. J elmadan elma yedim. elma kalır. x x. x x x 7x x x elma elma elma x x x 7 elma elma elma PARANTEZ AÇILIMI J Parantezleri açarken parantezin dışındaki sayı ile içindeki sayıların tamamını çarpacaksın. Bu işlemlerde en büyük hatanız bu. Önce işaretleri çarp sonra ifadeleri. Bunu kavradınız mı bu iş bitti.. (x ) x x 8 J Bunları elma değil de armut yapabilir miyiz? Evet yapabiliriz.. (x ) x x. 8x x 7x (Gizli var unutmayın!). (x ) 6 6x 6 6x
60 Parantez Açma. (x ) x 6x J (doğru) J 8 (doğru). (x ) x x 6 J ( ) ( ) () 8 ( ) 96 (doğru) J Unutmayın, matematik yalan konuşmaz. Gördüğünüzü yapın. Sizden başka bir şey istenmiyor. 6. (x ) x x 6. (x y ) x ( )y ( ) 7. (x ) x ( ) x 6 x y 6 J x in önünde gizli var. Unutmayınız!. (x y ) ()x ( )y ( ) x y 8. (x ) x ( ) x 6. (8x y ) 8 x ( )y ( ) 9. (x ) (x) () x 8x y 0. (x y) x y x y 7. (x y 6) x ( )y ( 6) x 6y J x elma y armut Aynı poşete konurlar. Ancak toplanmazlar veya çıkartılmazlar. 8. ( x y ) ( )x ( )y ( ) x y. (x y) x y x y J Unutmayın parantezin dışındaki ( ) işareti parantezin içindeki işaretleri tamamen değiştirir.. (x y ) x y x y 6 9. (x y ) x y 6x 6y 6. (x y ) x y ( ) x 8y 0. (x y ) ()x ()y ( ) x y J Geçmişi hatırlayalım. x x olsun x. (x ) (x ) x x 6 x 8
6 Parantez Açma. (x ) (x ) x. x [x ( x) ] 6. (x ) (x ) (x ). x [ ( x) x] 7. x( ) x( 8) (x ). 6(x ) [ (x ) (x )] 8. (x ) (x y) x. 6(x ) (x 8) (x ) x 9. x (x ) (x y). (x ) [x (x ) (x ) ] 0. (x y) (x ) (x ) 6. (x y ) (x y ) (x y)
66 Parantez Açma J Şimdi de iki parantez çarpımının sonucunu bulalım. İlk beş soru. yolla çözülecek. İkinci soru da. yolla çözülecek.. (x ) (x ) x(x ) (x ) x x x 6 x 6. (x ) (y ) (x ) y (x ) xy y x II. yolla çözüm 6. (x ) (x ) x x x 9 x 6x 9. (x ) (y ) (x ) y (x ) x y y x 6 J Önce işaretler sonra bilinmeyen veya sayılar çarpılır. 7. (x ) (x ) x x x x x J Çarpmanın değişme özelliği vardır. a) x x x x b) x x x x 8. (x ) (x ) 6x x x 0 6x 9x 0 J Tabanlar aynı ise bir taban üzerinde üstler toplanır.. (x ) (x ) x (x ) (x ) 9. (x y) (x y) x xy xy y x xy y x x x x x x 6x x 7x 0. (x ) (x ) 8x 6x x 9 8x 6x 9. (x ) (x ) x(x ) (x ). (x 7y ) (x ) x 7xy x y x x x x 6 x x 6 x x x 7xy y x x 7xy y. 6. 7. 8. 9. 0...... 6. x x 7 x x 8y 6 x y x y 8 x x 0x x x 0 x
69 ORTAK PARANTEZE ALMA J Çarpanlara ayırmanın en önemli konusudur. Burada bu konuyu işlememizin nedeni sayıları çarparak büyütmeden sonuca ulaşmaktır. Ortak parantezi bel lastiğine benzet. Çekilince açılır. Bıraktın mı herkes yerine gider.. x y (x y) Paranteze Alma. 7x x 68x 7 x x 7 x x 7x 7x(x x ) 6. 6x x 00 x x 6 (x x 6) 7. x y y x xy xy x xy y xy xy(x y ). 9 7 9 9 (7 ) 9 98 8. 90x 0xy x x 6x x y x x(6x y ). 76 76 76 ( ) 76. 0 0 0 0( 0) 0 0 9. 7 x 7 x 7 x 7 x x 7 x x 7 x 7 x( x x ). a b a c a(b c) 6. x y x x(y ) 0. (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x x ) (x ) (x ) 7. x x (x ). (x )x (x ) (x ) (x ) 8. 0 x x (x ). (x ) (x ) (x ) ( ) (x ) (x ) (x ) (x ) 9. 0 a 7 b a b (a b). 7x 9x 8 9 9x 9x 9 0. 60 a 80 b 60a 60 b 60(a b) 9(9x x ). x x (x ). 0x y 7xy xy xy x xy y xy. a a (a ) xy(x y ). x y (x y ). 7x 7 7 x 7 7(x ). a a a a a a (a ) 6. (x ) (x )x (x ) (x )y (x ) (x ) (x y)
70 Paranteze Alma J Aşağıdaki soruları çarpım durumuna getiriniz. 0. ab b a. a(x ) b(x ). x x x y y. (a b) (x ) (a b) (x ). x y xy x y. x y x y y x ax ay. xy x yx y. (x y) (x y) (y x)y x(x y). a x axt axy yt. x. (x y) (y x) 6. 8x x 6. (x y) (y x) 7. x(a b) a b 7. x x x 8. (a ) (a ) (a ) 8. cx 6ac 6x 9ax 9. xy 8x y 9. mx nx ny y x my..... 6. 7. 8. 9. 0. (x )(a b) x(a b) (x y)(xy a ) 0 (x ) x(x ) (a b)(x ) (a )(a ) 6xy( x) (a )(b )..... 6. 7. 8. 9. (x y)(x ) (x y)( xy) (y x)(xy ) (ax t)(ax y) 0 (y x) (x )(x ) (x a)(c x) (x y)(m n )
7 Parantez Açma J Gruplandırarak çarpanlara ayırma konusunu çarpanlara ayırmada çok daha teferruatlı göreceğiz. 8. (x y) (x y). ( a) a 9. x y x y. (x y) 8y x 0. (x y) (x y) 9x. (x z) (x z). 6(a ) (a ). x y x y. (a 8) (a ). a a a a. (x ) ( x ) 6. a a 6a a 8a. 6(a ) (a ) 7. (a b) (a b). 7( a) 6(a ) 6. 7. 8. 9. 0...... 6. 7. 8. 9. 0. a (x ) x y x y y x y (b a) (x ) x y a b a (a ) a a a
76 Parantez Açma 6. a (a ). 6 (x y) (x y ) 7. x ( x). (a b) (a b ) 8. (x y) 7(x y) a a 7 6. ( a ) 6 9 9 9 9. (x y) (x y) 6 8 7. ( a ) ( a ) 6 7 0. 6x y (x y) 8. a(9 8) a( 0) a. (x y) (x y ) 9. a( 8) a(7 ) (a ). 6a(b ) b(a ). 6(x ) 8(x ) 6 0. ( a ) ( a ) ( a ) 7..... 6. 7. 8. 9. 0...... 0 8z (y x) a a 7a b x y (x y) y a (a 6) x a a
9 Sadeleştirme J Elinizdeki 0 kg lık bir yükü uzun süre taşıyamazsınız. Yorulursunuz. Beyninizde bu kadar yükü taşımanıza gerek yok. J Sadeleştirme yaparken pay ve paydada olan ifadeler çarpım halinde olmalı. Toplama ve çıkarma işlemlerinde sayılar aynı ise bunların toplamı 0 olur.. 0 elma yedim. 7 6 7 9 8 0 7. x x 0 6 6 9. 8 8 6 9. x y x y. (x y) (y x) x y y x. 00 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 7. (x y) (x y) x x 6y x 6y x 6. xy x xy x y y x y 6a 7 x y a. 7x y 7 x y a a 7. (x ) x 8 x 8 x 8 a x b c m n. 0 a x b c m n 8. 9. 7 7 a a a a x x x x x x x x 6( x ) ( x 7) x ( x ) ( x 7) x 6. ( x ) x 7 x ( x ) x 7 x 0. 7 6 7 9 9 7 9 9 7 9 9 0 ( a b ) 7. 6( a b) 6( a b) ( a b ) ( a b ) 6( a b) 6( a b) ( a b )
9 Sadeleştirme ( x ) 6( y ) 7 ( x ) ( y ) 8. ( x ) ( y ) ( x ) ( y ). x y ( x y) ( x y) y x ( y x) ( x y) 7 0 J Paydadaki parantezi kaldıralım. J Pay ve paydayı aynı sayı ile çarparsak veya bölersek eşitlik bozulmaz. ( x ) x x 9. x x x a ( b ) a b 6 0. a b a b 6 6. 8 ( x ) 7x 8 x 7x x 7x x ( 7x) x 7x x 7x x x 0 J Şimdi de ortak paranteze alalım. Bu işlemi; çektiğinizde uzayan bıraktığınızda kısalan lastik gibi düşününüz. 7. ( x )( x ) ( x ) ( x )( x) ( x ). 6x x 6 x 6 6( x ) ( x ) x ( x ) ( x ) ( x )( x ) ( x ) [ ( x )] [ ( x ) ( x ) ( )( ). xy yz y ( x z) y ( x z) ( x z) 8. 6x y x y x y x y. x y x 6y x y ( x y) x y ( x y) ( x y) ( x y) 6 x 6 y x y x y x y 6 ( x y) ( x y) ( x y) ( x y). 6 ( x ) 6 x 8 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x ( 7 x) ( 7 x) 9. x y ( x ) x x y ( x ) x y x ( x ) x y x ( x ) x ( y x) x y x x
9 Sadeleştirme J Aşağıdaki işlemlerin en sade sonuçlarını bulunuz. 7. 6x 6 x 9 x 8 x. x 9y x y 8. ab ac a ab bc c b a c. 6x ( x ) x ( x ) 9. 7x ( x 6) ( x ). x 0 x 0. x y x y 6y x x y. ( x ) x 7 ( x ) x. a b b a. a 0b c a b c 6. x x( 7 ) 8 7 ( x ) x. a 6( a ) a b a ( a ) a b
9 EŞİTLİK DURUMLARINDA SADELEŞTİRME Sadeleştirme yaparken her iki tarafındaki işaretler ve kat sayılar aynı olmalı.. x y x J Her iki tarafa x ekleyelim. x x y x x & y Denklem Çözme DENKLEM ÇÖZÜMLERİ J Denklem çözümü için eşitlik olmalı. Bilinmeyen olmalı. Bilinmeyenenin değerinin bulunmasına denklem çözümü denir.. x 7 denklemini çözelim. x 7 7 7 & x 6. a b a a a b a a b. x y 7 y J Her iki tarafa y ekleyelim. x y y 7 y y & x 7 J Eşitliğin bir tarafında olan sayı diğer tarafa işaret değiştirerek geçer. () ise ( ) olarak geçer. ( ) ise () olarak geçer. Gerekçesi yukarıdaki denklem çözümü.. x 6 denklemini çözünüz. x 6 x 6 x. x x y z x x x x y z & y z J Denklemi çözmemiz için bilinenler eşitliğin bir tarfına toplanır. Bilinmeyenler diğer tarafa toplanır.. a a b c & b c 9 9. x x denklemini çözünüz. x x x x x 8 J Şimdi işlemi kısaltalım. 6. x x y z y & z 7 7 J Bulunan sonuca çözüm kümesi denir. Ç. K. { 8} şeklinde gösterilir. 9 7. x 8 x 8 x 9 x a & a x y x y x y x y 6x 6y 6x 6y 8. z & z 0 9. x( x ) x( x ) y & y 0 0. 6(x y) (x ) 6x 6y 6x 8 & 6y 8. x 6 denklemini çözünüz. x 6 x 0 & x & x J Denklem çözümlerinde bilinmeyenin katsayısı daima olmalı. Bilinmeyenin yanındaki sayı çarpım halinde ise her iki tarafı aynı sayıya bölersek veya çarparsak eşitlik bozulmaz. Şimdilik böyle kalsın...... 6. 7. 8. 9. 0... a b
Denklem Çözme J Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümesini bulunuz. (x in değerini bulunuz.) 7. x [0 (x )] 8 8. x 6( 7x ) ; E x ( ) ( 6) 6 8. (x 6) 7() 9(x ). x x 9. 8(x 6) 8 8 8. 6 0 (x ) 7(8) (x 6) 0. (8 x) (x 9). 9(x ) x x (6) 6. (x ) 0 x. (x ) 60 0 80. (6) 6x 9 8 x 6 6. 6(x ) (x 6) (x ). x 6 6 78.. 6. 7. 8. 9. 0...... 6. 7. 9 0 6 6 7 9 0
. 7x (x ) x. () (6x) 7 0 ( ) Denklem Çözme. x 0 0 (x 6). 7x 7 ( x) ( ) 6. (x 9) ( x) (60). 0x ( x 9) > H x ( x ) 9 ( 7) 7. x (x ) () 0 8 6. cx m ( x ) 0 8. x 7 7. (x ) 9. x 6 6. (9 x) 6 7 0 0. 0x 00 0 (6 x) 7. (x 6) (x ) (7)..... 6. 7. 8. 9. 0.... 6 6
Rasyonel Sayılar RASYONEL SAYILAR J Yavaş yavaş matematiğin özelliklerini inceliyoruz. Konumuz çok kolay bir konu. İyi analiz edin, acele etmeyin, biliyorum demeyin.. 6 J Paydası olan her sayıya rasyonel sayı denir. J. etkinlikte aldığım değerle. etkinlikte aldığım değer aynı değil mi? Aynı. O zaman kesrin değeri değişmez.. Pay Kesir çizgisi Payda. (. etkinliğe geldim.) 6. : (üç bölü dört). Bir rasyonel sayıdır. J Tam sayılar rasyonel sayılardır.. 0 Bir rasyonel sayı değildir. Paydanın (0) olması mümkün değildir. J Çapraz çarpımlar birbirine eşitse kesirler denktir. 6 6. & & 8 6 Kesirler denktir. 8 8. 6. 7. 8 6 8 6 Denk kesirler. 0 8 Denk kesirler. 6 7 7 Denk kesirler.. 0 0 Bir rasyonel sayıdır. Pay (0) olabilir. 8. Denk kesirler. J Payda 0 Paydanın (0) a eşit olması mümkün değildir. 9. Denk kesirler. 6 0. Denk kesirler. Denk Kesirler J Pay ve paydayı aynı sayı ile çarpar, aynı sayı ile bölersek kesrin değeri değişmez. J Kesirler iki gruba ayrılır: a) Bileşik (Tam Sayılı) Kesirler.. 7.. 6 Üç eşit parçadan parçasını aldım.. 8. 6. 6 0 7
Rasyonel Sayılar J Dikkat ettiniz mi? Paydaki sayı, paydadaki sayıdan büyük. İşte bu kesirlere bileşik kesir denir. Bu sayıları tam sayılı kesir olarak yazalım.. Topla Çarp Paydayı aynen yaz ( ) kesir çizgisinin hizasına yaz. 0. 7 Payda Tam Pay 7. Topla 0 Çarp Paydayı aynen yaz J ile arasında çarpım yok. Dikkat edin. 6. 7 6 Topla 7 6 7 7. Payda 7 Tam Pay 7 7 Çarp Paydayı aynen yaz J Sayı tam sayılı kesre çevirilirken işaretine bakılmadan çevirme işlemini yap. Sonra işareti koy.. 00 6 Payda Tam 6 b) Basit Kesirler.... 6 7 8 7 7 8 8. 8 9. 6 6. 7 9 0 J Tam sayılı kesri bileşik kesir haline çevirelim. J Dikkat ettiniz mi? Paydası payından büyük olan kesirlere basit kesir denir.. x. 7 Topla Çarp Topla x 7 7 Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma J Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmemiz için paydalar eşit olması gerek. Paydalar eşit değilse kesirleri genişleterek paydalar eşitlenir. Daha sonra paylar toplanır veya çıkartılır. Ortak payda aynen yazılır. Çarp Paydayı aynen yaz. Çarp Topla 8 9 Paydayı aynen yaz. (Bir bütün)
RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA J Rasyonel sayılarda çarpma işleminde pay ile pay çarpılır, paya yazılır. Payda ile payda çarpılır, paydaya yazılır. J Öncelik parantez içindir. 8. ( ) ( ) Rasyonel Sayılar J Dört işlemde öncelik çarpma ve bölmenindir.. 7 7 8 9. ( ). 0. 7 7 7 7 J Tam sayının paydasına yazarak çarpmayı yapınız. 7 7. 7 6 6. 0 6. c mc mc m f pf pf p c m c m c m ( ) ( ) ( ) 7. c m f p c m ( ) 8 0. c m f c 6 p m 6 ( ). c m c m c m c m 6 7 6 6 7 6 ( ) 6 f p f p f 6 p f 7 p ( ) ( ) ( 6) ( 7) 6 7 c m c m c m c m 6 7 7. 6 7 7 7 c m 7 7 6 6 ( ) ( )
Rasyonel Sayılar 6. 7 7 9 9 7 7 7. 6 0 0 0 0 0 9. 6 6 0 6 0 0 ( ) ( ) ( ) 6. c m c m c m... c m 8 0 f... p f p f p f p f p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c m c m c m c m... c m 6... J Paralel olarak sadeleşmelerine dikkat ettiniz mi? 7. c m c m c m... c m 9 f... p f p f p f 9 p ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 c m c m c m c m... c m 9... 8 9 9 8. 60 0 6 0 0 6 6 6 ( ) 6 9. 8 8 ( ) ( ) ( ) 0 6 6 6 6 0 0. 7 7 7 0 7 70 70 ( ) ( 0) ( ) 0 70 70
Toplama ve Çıkarma TOPLAMA Matematiğin en kolay ve en basit konusu diye bilinir. Doğrudur. Ancak bunu bilmediğin zaman tüm formülleri uygulasan bile anlamı yok. Çünkü sonuç yanlıştır. Matematiği öğrenmek istiyorsanız bu iki konuyu öğrenmek zorundasınız. Bu işlemleri yaparken hiç hata yapmamanız gerekir. Hata yapmayana kadar soru çözün. Bilimin büyüğü küçüğü olmaz. Sıkılmadan devam edin. Mutlu olacaksınız. Başaracaksınız. Başardıkça zevk alacaksınız. Takımınız kazandığı maçlardaki keyif gibi zevk alacaksınız. Aynı işaretli iki sayı toplamı Sayıların işaretlerine bakılmaksızın toplanır. Sonuca ortak işaret verilir. ÇIKARMA Çıkarma işleminde sayıların işaretlerine bakılmaksızın sayı çıkartılır ifadenin sonuna büyüğünün işareti alınır. J J 7 6 J 6 7 J 9 Uyarı: Sayılar ikiden fazla ise aynı işaretli olan sayılar toplanır, ortak işaret verilir. Daha sonra büyüğünden küçüğü çıkartılır. Sonuca büyüğün işareti verilir. J 7 0 (, aynı işaretli) J 8 J 6 Uyarı: Sayının işareti yoksa () olarak kabul edilir. 7 6 7 6 Uyarı: İşaret daima önde olur. Sol taraftaki işaret sağdaki sayıya aittir. J 8 (artı sekiz olarak okunur.) J 6 (eksi altı olarak okunur.) J 6 8 (, aynı işaretli) J J J 8 J 0 J 6 9 J ( ) ( 8) 0 J ( 6) ( 0) 6 J () () (6) J 6 7 0 7 J 9 8 J 6 7 9 6 9 7 0 Topla Topla J 6 8 7 6 7 8 0 Topla Topla J 6 8 7 işlemi yap işlemi yap 0 J 6 9 7 6 J 6 7 9 0 J 8 9 8 (8 8) ( ) 9 0 0 0 0 9 9
Toplama ve Çıkarma Uyarı: 6. 9 6 7 Toplamada ve çıkarmada (0) sıfırın hükmü yoktur. J ekmek 0 ekmek ekmek J 9 ekmek 0 ekmek 9 ekmek (Sıfırın etkisi yok) J 0 (Sıfırın etkisi yok) 7. 7 6. 6 8. 9 6. 9. 9. 0. 6. 6. 6. 9 6 0. 7 6... 6. 7. 8. 9. 0...... 6. 6 8 0 0 9 9 0 8 6
0 Toplama ve Çıkarma. 7. 6 7. 6 9 8. 6 9. 6 9 7 6. 6 7 8. 7 6 7. 9 6. 9 6 8 8. 7 8 6 9 7 6. 8 6 9. 6 6 7 7 7. 7 0. 6 7 8 8. 6 8..... 6. 7. 8. 9. 0.... 7 6 8
7 ÇARPMA VE BÖLME J Çarpma demek toplamanın kısaltılmış şeklidir. Çarpım tablosunu mutlaka öğrenmelisiniz. Çarpım tablosunu bilmeyenler kendilerine veya saat zaman ayırarak bu işi kolayca hallederler. Uyarı: Çarpma ve Bölme Baş tarafta gizli bir vardır. İlerki konularda bize çok lazım. J Bu işi yapanlar sizden daha zeki değil, sadece matematiğe daha çok zaman ayırıyorlar. J En büyük hatanız çarpma ile toplama veya çıkarma işlemlerini karıştırmanız. Önceki soruları tam olarak çözdü iseniz bu hatanız giderilmiş olacak. Kolay gelsin. İnanın kolay olacaktır. J Sizlere karadeniz usulû bir işaret çarpımı anlatayım. Dost bir insan olarak düşün. Düşman olarak düşün. () () 8 (Dostumun dostu benim de dostumdur.) ÇARPIM TABLOSU J Çarpım tablosunu bilmeyen sadece sizler değilsiniz. Sizler gibi yüzbinlerce öğrenci vardır. Çarpım tablosu size günlük hayatta en çok lazım olan bir sistemdir. Öncelikle ikişer ikişer saymayı, üçer üçer saymayı, dörder dörder saymayı... öğrenin. Defterlerimizin arkasından çarpım tablosunu kaldırdılar. Onun için bu tabloyu sizlere verelim. J Bunları bileceksiniz, ezberlemeyeceksiniz. () ( ) 8 (Dostumun düşmanı benim de düşmanımdır.) ( ) () 8 (Düşmanımın dostu benim de düşmanımdır.) ( ) ( ) 8 (Düşmanımın düşmanı benim dostumdur.) x x x 6 x 8 x x 6 x 9 x x x 8 x x 6 () (), () ( ), ( ) (), ( ) ( ) x 0 x x 0 J Bu işaretler bölme işlemi için de geçerlidir. x 6 x 6 8 x 6 Uyarı: Çarpmada sayıların yerleri değişirse işlemin sonucu değişmez. Buna dikkat ediniz. x 7 x 8 6 x 9 8 x 7 x 8 x 9 7 x 7 8 x 8 x 9 6 Uyarı: x 0 0 x 0 0 x 0 0 Parantezin anlamı çarpım demektir. Lütfen unutmayınız. J Daha önce ifade ettim toplamanın kısaltılmış şeklidir. J ( ) 6 J () 6 J () ( ) 0 J ( ) 0 J ( ) ( ) J (bir tane iki) x (iki tane iki) x 6 (üç tane iki) x (dört tane üç)
8 Çarpma ve Bölme x x 0 x x 0 6 x 6 6 x 6 x 8 6 x 7 x 7 7 x 7 x 7 x 8 J x x 6 x 6 90 önce çarp x x 6 x 8 90 önce çarp x x 6 0 6 x 0 6 x 6 6 7 x 7 x 6 J Toplamanın tersi çıkarma, çarpmanın tersi bölmedir. x 7 x 8 0 x 9 6 x 7 6 x 8 8 6 x 9 7 x 7 9 7 x 8 6 7 x 9 6 J 6 8 x 7 7 8 8 x 0 0 6 x 0 60 7 x 0 70 J 7 8 x 9 8 9 9 8 x 8 8 x 6 9 x 9 9 x 8 0 x 0 0 x 0 J 9 x 9 9 8 x 8 x 8 x 0 8 x 6 8 8 x 7 6 8 x 8 6 8 x 9 7 8 x 0 80 9 x 7 9 x 6 9 x 9 x 6 9 x 7 6 9 x 8 7 9 x 9 8 9 x 0 90 0 x 0 0 x 0 0 x 0 0 x 6 60 0 x 7 70 0 x 8 80 0 x 9 90 0 x 0 00 J Çarpmanın diğer bir semboli de (.) noktadır. Nokta gördünüz mü çarpım demektir. J J J 8 7 7 7 Bu tabloları sizler bir saat içinde halledersiniz. J Tabloda işaret ettiğim gibi çarpma işleminde değişme özelliği vardır. J x 9 9 x 6 x x 0 7 x 8 8 x 7 6 9 x x 9 Bu örnekleri çoğaltarak zihinden yapmaya uğraşınız. Çok daha zevk alacaksınız. J Sizlere günlük hayattan bir örnek vereceğim. J Ayakkabınızı çıkarmadan çorabınızı çıkarabiliyormusunuz? J Atletinizi giymeden gömlek giyebiliyormusunuz? J kırmızı kalem 0 mavi kalem kaleminiz olmaz mı? J 0 kalem olur. J Bu çarpmalar ikiden fazla olabilir. Yer değiştirmesinde bir sakınca yoktur. J ( x ) x 6 x x ( x ) x Öncelik parantez içine verilir. J ( ) 8 J ( ) 0 Ne yaparsanız yapın kaleme ulaşamazsınız. J Demek ki her işlemin bir sırası vardır. Öncelik çarpma ve bölmenindir. Daha sonra toplama ve çıkarmanındır.
Rasyonel Sayılar J Aşağıdaki soruların sonuçlarını bulunuz.. : f p 7. 7 c m c m c m c m 6. 8 9 : : 9. ( ) c m 7. : c m 7. ; : c me 8. ; c me: c m. c m c m c m c m c m 9. : 0...... 6. 7. 60 7 8
0. c c c c c c c c m m m m m m m m... c m. : J L K K K K c N P O O O O m. 6. 7. :..... 6. 7. 8. 9. 9 8 8 7 8 8 Rasyonel Sayılar
7 ONDALIK SAYILAR Payın, paydaya tam olarak bölünmemesine ondalık sayı denir.. 0 0 00, (Bir tam onda beş) Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme. 0, 0 0. 0, 0 0 Ondalık Sayılar 00 0., 0 00 00 00. 0 0 0 00, (İki tam onda dört) 000 00 0., 0 00 000 000 9 9 000 8 8. 0 8, (Üç tam yüzde yirmi beş) 00 0 67., 0 00 00 00 0 67 0 0 0 00 J a,bc a sayısı tam kısım, bc sayısı ondalık kısım.. 7, (Bir tam onda dört) 0 0 00 Devirli Ondalık Sayılar Payın paydaya devamlı bölümüne devirli ondalık sayı denir.. 7 8 6 0 8, (İki tam binde yüz yirmi beş) 0 6 0 0 00. 0 9 0 9,..., (Bir tam, üç devreden)
8. 9 7 0 8. 7 0 8 0 8 9,..., (Üç tam, iki devreden) 0 8,66..., 6 Ondalık Sayılarda Toplama ve Çıkarma Ondalık Sayılar J Toplama ve çıkarmada virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır. Daha sonra toplama ve çıkarma yapılır..,0,,6 0,.,70,,6. 0, 0,7., 0,6,00, 0,6 Devirli Ondalık Sayıları Rasyonel Sayıya Çevirme Devirli Ondal k Say Tü m Say Devretmeyen Say Devreden kadar 9, Virgülden Sonraki Devretmeyen kadar 0 Ondalık Sayılarda Çarpma J Sayıları çarparken hiç virgül yokmuş gibi çarpılır. Daha sonra virgülden sonra kaç basamak varsa o kadar basamak olacak şeklide virgülle ayrılır.., 9 9. 0,, x Sağdan dört rakam sonra virgül koy 9., 9 06 06 0,696 0., 90 90 0. 0,... 0, 99 99. 0, 0,... 990 990.,, x 0 6 8,0 8 Sağdan üç rakamdan sonra virgül koy
9 Ondalık Sayılar J Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. 7.,,. 6 0, 8 6 0, 0 0, 8. 0, 00 0, 00. 0, 0, 0, 9., 0, 08. 0,6 0,76., 0, 0, 0. 9 0, 0, 0 0,.,,., 0, 0, 08 0, 07 0, 6. 0, 0,. 0, 0, 0, 00... 6. 7. 8. 9. 0.... 0, 99 60 6, 7 0 0,6,
60 Ondalık Sayılar. 0, 0, 0, 00 9., 6 0, 07 0, 0 0, 0, 0 0, 00. 0, 89 0, 6 0. 0,, 8 0, 008 0, 0,. 0, 0 0, 09, 9 0, 00 0, 0., 6,, 7 7, 6. ^0, h ^99, 9h. 0, 8, 0, 0, 6 0, 6 7. 7, 0, 6 0, 0, 09 0, 6 0, 0. 0, 08 0, 88, 7, 0, 8. 0, 0, 7 0..... 6. 7. 8. 9. 0... 9 0 8 7, 0,,08, 7 0,
6 ORAN VE ORANTI J Aynı birimde olan iki ifadenin birbirine bölümüne oran denir. J Çapraz çarpımlar birbirine eşittir. a b c k (k sayısına orantı sabiti denir.) d Oran ve Orantı. a b (oran) a b c e (üçlü orantı) d f J a : c : e b : d : f şeklinde gösterilebilir.. (oran) 7. Ali nin yaşı 8. Ahmet in yaşı 9 ise Ali nin yaşının Ahmet in yaşına oranı; 8 (oran) 9. a a nın değerini bulunuz. a a & a. 0 (oran) 7. a. (oran) J Oranın birimi yoktur. J İki veya daha çok oranların birbirine eşitlenmelerine orantı denir. ise a nın değerini bulunuz. (a ) a 6 a 6 a a. x.. a c (ikili orantı) b d m n z a (üçlü orantı) t b ise x in değerini bulunuz. x x x 6 x 6 x 0. 8 9 (orantı) J Orantıda içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir. 6. x x x x x 7. a c a d b c b d 7. x x (x ) (x ) x x. 6 8 6 8 x x 7 x
6 Oran ve Orantı 8. ( x ) x ( x ) x. x y x y x in değerini bulunuz. ifadesinde y x oranını bulalım. 9. (x ) (x ) (x ) (x ) x x x x x x x x in değerini bulunuz. x x x (x y) (x y) x y x 6y y 6y x x 8y x 8 y x y y x 8 y J Bu ifadeyi önce düzenleyelim. 0.. x x 6 x & & ( ) Şimdi içler dışlar çarpımı yapabiliriz. (x ) x 8 x 8 x x 0 x in değerini bulalım. x x x x (x ) x x 6 x 6 x x x ifadesinde x in değerini bulalım. 6 x 6 x x & x (x ) x x x 6 x 6 x x x.. x y x y ifadesinde y x oranını bulalım. (x y) (x y) x y x y x y 7 8 x x y y 6x 6y 6 x 6 y (Her iki tarafı 6 y 6 y 6y ye bölelim) y x 8 ifadesininin y x oranını bulalım. 8 x 7 y x 7 8x 7y & 8 y 8 y y 8 Uyarı: x y k (Ayrı ayrı k ye eşitleyelim.) 7 8 x k 7 x 7k y k 8 y 8k x y 7 k x & 8 k y 7 8 olarak da düşünülebilir. 8
7 Rasyonel Denklemler. x 6 7. x 9 8 7. x 7 8. 0x 0 0x 0. x 9. ( x ) 6 ( 7 ). x x 8x 0 0. ( ) 8. 0x 0 0. (x 6) 7(x ) (x ) 6. x 6. ( x ) x 6 ( x )... 6. 7. 8. 9. 0... 9 9 8 8
7 Rasyonel Denklemler. 0x ( 0) 0 8. 0 0 0 0 x. 00 0x 9. x 7 x. x 0. 7( x) x ( x ) 6. x 7 x. ( x ) ( x ) ( x ) x 600 7. 0( x ) 0. x ( x ) ( x ) x..... 6. 7. 8. 9. 0... 9 7 8 7 6
8 BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a, b, c gerçek sayılar, a 0, b 0 ve x ile y bilinmeyenler olmak üzere, ax by c 0 denklemlerine birince dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir. Bu denklemlerin çözümü için iki tane denklem olmalıdır.. x y x y olduğuna göre x ve y yi bulunuz. J Denklemin çözümü için bilinmeyenlerden bir tanesinin kat sayıları eşit ve ters işaretli olmalı.. x y Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler x y olduğuna göre çözüm kümesini bulunuz. J Bilinmeyenlerden birinin kat sayısını eşitleyerek ters işaretli olmasına dikkat ediniz. / x y (her iki tarafı ile çarpalım.) x y x 6y 8 x y y & y x y x & x ( ) x y x y x 6 & x J Denklemlerin birinde x yerine yaz y yi bul. Ç. K. c, m x x y y Çözüm kümesi olarak (x, y) şeklinde yazılır. Ç. K. (, ) olarak belirtilir.. x y 6 x y olduğuna göre çözüm kümesini bulunuz. J y nin kat sayıları eşit ikinci denklemin her iki tarafını ( ) ile çarpalım. x y 6 / x y x y 6 x y x x y y y Ç. K. (, ) dir.. 8 x y x y olduğuna göre x y nin değerini bulunuz. 8 x y x y 0 0 x & & x x 0 0 8 & 8 & 8 & x y y y y & y x y & x y