1
Doğal Sayılar Tanımlar Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollere denir. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Sayı: Rakamların çokluk belirten ifadesine denir. 365 sayısı 3-6-5 rakamlarından oluşmuştur. 2
Uyarı: Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı sayılar rakam değildir. 3 hem rakam hem de sayıdır. 25 sadece sayıdır. Doğal Sayılar Sayma sayıları: S={1,2,3,,n, } kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir. 3
Doğal Sayılar Doğal sayılar: N={0,1,2,,n, } kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir. Soru: Sayma sayılarının doğal sayılardan farkı nedir? 4
Doğal Sayılar Doğal Sayılarda Arada Olma: İki doğal sayı arasında bulunan doğal sayıların adedi, bu iki sayının farkından 1 eksiktir. 5
Doğal Sayılar Soru: 15 ile 25 arasında kaç doğal sayı vardır? Çözüm: 25 15 =10 10 1 = 9 Bu iki sayının aralarında 9 tane doğal sayı vardır. Soru: 12 ile 35 arasında kaç doğal sayı vardır? 6
Doğal Sayılar Sayı Basamağı: Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir. Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır. Örnek: 2314 sayısı 4 rakamdan oluşmaktadır. O zaman 4 basamaklıdır. Soru: 42364123 sayısı kaç basamaklıdır? 7
Doğal Sayılar Çözümleme: Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri, rakamların sayıda bulundukları basamaklar göz önüne alınmadan aldıkları değerlere sayı değeri denir. Basamak değerlerinin toplamı şeklinde gösterilişine o sayının çözümlenmiş biçimi denir. 8
1 2 10 1 10 2 Doğal Sayılarda Çözümleme a b c = 10 2 a + 10b + c 10 0 lar (birler basamağı) 10 1 ler (onlar basamağı) 10 2 ler (yüzler basamağı) 9
Doğal Sayılar ab = 10.a + b abc = 100.a + 10.b + c aaa = 111.a ab + ba = 10.a + b + 10.b + a = 11.a + 11.b = 11.(a+b) ab ba = 10.a + b (10.b + a) = 9.a 9.b = 9.(a-b) abc cba = 99.(a-c) olduğunu gösteriniz. 10
Z Tam Sayılar Tanımlar Z = {,-n,,-3,-2,-1,0,1,2,3,,n, } kümesinin her bir elemanına tam sayı denir. 11
Tam Sayılar Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi : Z -, pozitif tam sayılar kümesi: Z + ve sıfırı eleman kabul eden: {0} kümenin birleşim kümesidir. Buna göre; Z = Z - U Z + U {0} dır. 12
Tam Sayılar Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar Sıfırdan büyük her reel sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel sayıya negatif sayı denir. a < b < 0 < c < d olmak üzere, a, b negatif sayılardır. 13
Tam Sayılar c, d pozitif sayılardır. İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d>0) 5 + 9 = 14>0 İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b<0) -3 + (-5) = -8<0 Aynı işaretli iki sayının çarpımı ya da bölümü pozitiftir. 5.4=20>0 veya -5.-4=20>0 20/5=4>0 veya -20/-5=4>0 14
15
Tam Sayılar Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif olur. 6 2 = 4>0 Eğer eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur. 2 6 = -4<0 Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. 4 2 = 16>0 4 3 = 64>0 16
Tam Sayılar Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. -4 3 =(-4.-4.-4)=-64<0-4 2 =(-4.-4)=16>0 Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir. 9-4=5 4-9=-5 17
Tam Sayılar Bir tam sayının +1 e bölümü o sayının kendisine eşittir. 3/1=3, 100/1=100, 1234567/1=1234567 Bir tam sayının -1 e bölümü o sayının toplamaya göre tersine eşittir.(bir örnek ile gösteriniz) 18
Tam Sayılar Sıfırın sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü sıfırdır. 0/5=0 Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. 19
Tam Sayılar Mutlak Değer Sayı doğrusu üzerinde x reel sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığına x in mutlak değeri denir. -x 0 x -x x 20
Tam Sayılar x = x, x>0 ise 0, x=0 ise -x, x<0 ise Ödev: -5 + -2 + +8 - +10 sonucu kaçtır? işleminin 21
n Z Tam Sayılar Çift Sayı: olmak koşuluyla 2n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir. Ç={,-2n,,-4,-2,0,2,4,,2n, } biçiminde gösterilir. n Z Tek Sayı: olmak koşuluyla 2n-1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir. T={,-(2n-1), -3, -1, 1, 3,,(2n-1), } biçiminde gösterilir. 22
T: Tek sayı Ç: Çift sayı göstersin. Tam Sayılar T+T=Ç T-T=Ç T.T=T T+Ç=T Ç-Ç=Ç Ç.Ç=Ç Ç+Ç=Ç T-Ç=T T.Ç=Ç Ç+T=T Ç-T=T Ç.T=Ç n N T Ç n n için, = T = Ç dir. 23
Tam Sayılar NOT: Hem tek hem de çift sayı yoktur. Sıfır(0) çift sayıdır. Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur. 24
Tam Sayılar Ardışık Sayılar: Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir. n bir tam sayı olmak üzere; Ardışık dört tam sayı sırasıyla; n, n+1, n+2, n+3 tür. (4, 5, 6, 7) 25
Tam Sayılar Ardışık dört çift sayı sırasıyla; 2n, 2n+2, 2n+4, 2n+6 dır. (8, 10, 12, 14) Ardışık dört tek sayı sırasıyla; 2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7 dir. (5, 7, 9, 11) Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla; 3n, 3n+3, 3n+6, 3n+9 dur. (12, 15, 18, 21) 26
Tam Sayılar Ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir. Soru: 12+14+ +20 ardışık sayılarının ortanca terimi kaçtır? 27
Tam Sayılar İşlem Önceliği Toplama, çıkarma, bölme, çarpma ve üs alma işlemlerinden birkaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler belli bir sıraya göre yapılır. 28
Tam Sayılar 1) Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir. 2) Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır. 3) Çarpma-bölme yapılır. 4) Toplama-çıkarma yapılır. Uyarı: Çarpma ile bölmede öncelik söz konusu ise bu, parantezle belirlenir. 29
ALIŞTIRMALAR 1) Ardışık 4 doğal sayının toplamı 58 dir.bu sayılardan en büyüğü kaçtır? 2) [3 + 2.{5 22 : (2 12.2)}+4] =? 3) -(-3) - -5 + -8 =? -2 - -4 30
4) Ardışık 4 doğal sayının toplamı 58 dir.bu sayılardan en büyüğü kaçtır? Alıştırmalar 5) abc, bca, cab üç basamaklı doğal sayılardır. abc + bca + cab = 1443 ise abc üç basamaklı sayısı en fazla kaçtır? 31
Alıştırmalar 6) İki basamaklı rakamları asal olan en büyük tam sayı ile üç basamaklı en küçük tam sayının toplamı kaçtır? 7) 11 2 + 3 2 + 2 101, 2 100 + 23 3, 2 0 + 3 122 + 7 12 yukarıdaki işlemlerden hangisinin sonucu çift sayıdır? 32
8) x<0<y<z ise;,, işlemlerinin işaretlerini bulunuz? Alıştırmalar x z y z y x y x z 9) 2 + 4 + 6 + +12 dizisinin ortanca terimi kaçtır? 33
34