Ercan Kahya 1 Hidrolik. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Birsen Yayınevi, 2007, İstanbul
BÖLÜM 9 BOYUT ANALİZİ
9.1. GİRİŞ Mekanikteki herhangi bir büyüklük Newton hareket kanunundaki temel büyüklükler: uzunluk (L), zaman (T) ve kuvvet (K) bağlı olarak ifade edilebilir. (Not: Kuvvetin yerine kütleyi (M) temel büyüklük olarak seçilebilir) Temel büyüklüklerin boyutlarına "temel boyutlar:" L, T, K (ya da L, T, M) Newton hareket kanununa göre kütlenin boyutu:
[A]: Herhangi bir A büyüklüğünün boyutu ise, temel boyutlar cinsinden: "boyutsuz büyüklük" Bir büyüklüğün boyutu bu büyüklüğün tanımından elde edilir. Özgül ağırlığın boyutu: Dinamik viskozitenin boyutu:
Boyut analizinin esasını boyut homojenliği ilkesi oluşturur. BU NEDİR? Fiziksel olayları ifade eden bütün matematik denklemlerin sağlaması gereken koşuldur. Bunun için denklemlerdeki bütün terimlerin boyutlarının aynı olması gerekir. Buna "boyut homojenliği" denir. Örnek: Bernoulli denkleminde bütün terimler uzunluk boyutundadır. Bu özellik ile bu denklemler herhangi bir birim sisteminde yazılabilir.
NEYİ KANITLAR? Fizik kanunlarını ifade eden herhangi bir bağıntının boyutsuz büyüklükler cinsinden yazılabileceğini... BU TEOREM (Buckingham) ŞUNU İFADE EDER: n adet boyutlu Ai büyüklüğü arasındaki şeklinde bir bağıntı daima m=n-r adet boyutsuz πi büyüklüğü arasındaki şeklinde bir bağıntı haline dönüştürülebilir. r: Ai büyüklüklerinde görünen temel boyutların sayısıdır
πi büyüklüklerini elde etmek için önce A1, A2,..., An boyutlu büyüklükleri arasından r adedi şu koşulları sağlayacak şekilde seçilir: 1) Seçilen bu büyüklüklerden herhangi birinin boyutları diğer seçilenlerin boyutlarının bir kombinezonu olmamalıdır. 2) r adet temel boyutun herbiri seçilen büyüklüklerden en az birinde bulunmalıdır.
r =3 olduğunu kabul ederek yukarıdaki koşulları sağlayacak şekilde seçilen büyüklükleri A1, A2, A3 ise πi boyutsuz büyüklükleri için Bu ifadelerdeki bilinmeyen üsler: o şekilde belirlenir ki πi büyüklükleri gerçekten boyutsuz olsunlar.
ÖRNEK: Çapı D olan bir boruda laminer akım (Hagen-Poiseuille akımı) V ortalama hızı D boru çapına, akışkanın ρ özgül kütlesine, µ viskozitesine, ve basınç gradyanına bağlıdır: n = 5 boyutlu büyüklük arasındaki bu bağıntıyı boyutsuz büyüklükler cinsinden yazalım. Bu büyüklüklerde L, T, K temel boyutlarının her üçü de bulunduğuna göre (r =3), πi boyutsuz büyüklüklerinin sayısı m = n - r = 2 olacaktır.
A1, A2, A3 büyüklükleri olarak è V, D, ρ seçilebilir (Not: a- Bu üç büyüklükten herhangi birinin boyutları diğer ikisinin boyutlarının bir kombinezonu olarak ifade edilemez b- Üç temel boyutun hepsi bu büyüklüklerde bulunmaktadır Buna göre πi için:
Üsleri belirlemek için bütün büyüklüklerin boyutları yazılırsa: Denklemler boyut bakımından homojen olacağından, birinci denklemden:
İkinci denklemden: Buna göre:
Böylece boyutsuz büyüklükler arasında: Ya da: SONUÇ: Sadece boyut analizini kullanarak laminer boru akımında V hızı için bir ilişki elde edilmiştir. Daha önce elde ettiğimiz Hagen-Poiseuille denklemini düzenlersek, yukarıdaki bağıntının:
Boyutsuz büyüklük sayısı m = n - r = 1 söz konusu boyutsuz büyüklüğün hiçbir büyüklüğe bağlı olmaz yani sabittir ve sadece Pi teoremini kullanarak sonuca varılır. ÖRNEK: Boru akımında laminer rejimden türbülanslı rejime geçiş olayı. Bu olaydaki büyüklükler: V, D, ρ, µ Buna göre geçiş olayı: Bu boyutsuz büyüklüğün Reynolds sayısı olduğu hemen görülebilir. SONUÇ: Bu ifadedeki sabitin değerinin deneysel olarak belirlenir (Boru akımında 2000 alınır).
Pi teoremi ile denklemleri boyutsuz şekilde ifade etmenin yararları: 1- Doğadaki olaylar birim sistemlerinden bağımsız olduklarına göre bu olayları boyutsuz büyüklüklerle ifade etmek ilke olarak uygundur. 2- Boyutsuz ifade halinde değişken sayısı kadar (genellikle r =3) azaldığından söz konusu fonksiyonun incelenmesi ve deneysel olarak belirlenmesi büyük ölçüde kolaylaşır. (çok daha az sayıda sistemli deneyler yaparak problem çözülebilir) 3- Boyutsuz büyüklükler cinsinden yazılan bir denklemin herhangi bir birim sisteminde kullanılmasında herhangi bir güçlükle karşılaşılmadığı gibi sonuçların grafik ya da tablolar şeklinde ifadesi daha kolaydır. 4- πi boyutsuz büyüklükleri fiziksel bakımdan anlam taşıyan değişkenlerdir ve olayın benzerlik kriterlerini oluştururlar.
BÖLÜM 15 MODEL TEORİSİ
15.1. TANIMLAR Fiziksel Model: Fiziksel bir olayın (örneğin bir baraj dolu savağı üzerindeki akımın) laboratuvarda bir benzeridir. Prototip: Modelin temsil ettiği doğadaki sistemdir. v Model ve prototip è geometrik, kinematik ve dinamik benzerlik v Uzunluk için Lm: Model & Lp: Prototip v Her (Lm, Lp) çifti è Lr = Lm/ Lp oranı sabit ise, v Bu iki sistem birbirine geometrik benzerdir denir. v Lr: uzunluk ölçeği (Lr = 1/10; 1/20 gibi)
benzerlikler bulunabilir. Lmmmodelde modelde birolsun, uzunluk olsun, Prototipte, bu L bir uzunluk olsun, Prototipte, Lmmodelde bir uzunluk Prototipte, bu prototipbu n Geometrik benzer iki sistem ele alınsın: model ve gelen uz böyle her,llp pçifti Lpp ise, sabit sabit ise, bu iki iki sis her LLmm,için bu sis böyle herböyle L m, L Lçifti Liçin / LLLr pr==llmm/ /L sabit bu ikiise, sistem birbi p çifti r =için m w Vm: Model üzerinde bir noktada akışkanın hızı zerdir denir. uzunluk olarak hız = w Vp: denir. Prototipte bu noktaya karşıolarak gelen noktadaki zerdir LLr ruzunluk olarak zerdir L r denir. uzunluk Lr = 1/10;LLr1/2 r= n Her noktadaki (Vm, Vp) çifti için hesaplanan Vr = Vm / Vp sabit ise, model veprototip. prototip. M Geometrik benzer iki sistemele ele ve M Geometrik model vemodel prototip. Model üze Geometrik benzer ikibenzer sistemiki elesistem è noktada İki sistem arasında: kinematik benzerlik Bunoktada noktada Vm' olsun.prototipte Prototipte bunoktay nokta Bu Vm' olsun. bu Bu Vm' olsun. Prototipte bu noktaya ge olsun. olsun. böyle hernoktadaki noktadaki Vm'için çiftiiçin içinhesaplanan hesaplanan = olsun. her Vm' VVppçifti r r= böyle herböyle noktadaki Vm' Vp çifti hesaplanan Vr = Vm/VV Vp sistem Vm= Lmkinematik / Tm & Vp = Lp / Tp sistemkinematik benzerlik denir. Vm==Lmrrmv Lmrrm sistem kinematik Vm benzerlikbenzerlik denir. Vmdenir. = Lmrrmve Vp = L V r = VVr V p r == VV pp bulunur.vburada BuradaVVrpr=ye =VmN VmNppye ye Tr = Tm/Tp Trye Tm/Tpye yezaman zaman bulunur. Tr ==Tm/Tp bulunur. Burada zaman de Hız ölçeği: Zaman ölçeği: r = VmN
İvme için: w İvme ölçeği: a r = a m / a p tanımlanırsa w a r = L r / T r 2 sabit kalır è yörüngeler benzer Kinematik benzer iki sistem: Model ve prototipte birbirine karşı gelen noktalara etkiyen kuvvetler arasındaki oran sabit è iki sistem dinamik benzerdir F r = F m / F p F r : Kuvvet ölçeği & her noktada sabit kalmalı.
15.2. BENZERLİK KOŞULLARI v Model ve prototipten birinden diğerine geçiş è benzerlik koşulları v Örnek: Bir liman modelinde ölçülen dalga yüksekliği, prototipte ne kadar bir yüksekliğe karşı gelir? v Benzerlik koşullarının metotları: a) dinamik metot b) boyut analiz c) diferansiyel denklem metodu
Dinamik Metod v Model ve prototipe etkiyen kuvvetlerin aynı oranda değişmesi esası (Atalet K.)m = (Yerçekimi K')m = (Viskozite K.)m (Atalet K.)p (Yerçekimi K.)p (Viskozite K.)p Diferansiyel Denklem Metodu w Dinamik metotla ve boyut analizi metodu geometrik benzeşim zorunludur. w Olayı temsil eden diferansiyel denklemin bilinirse ilk iki metottan iyidir. w İzlenen yol: w w Olayın diferansiyeli denklemini boyutsuz yazılır Diferansiyel denklemde ortaya çıkan boyutsuz katsayıların model ve prototipte aynı değer alınır.
15.3. DİNAMİK METODA GÖRE BENZERLİK Benzerlik koşullarının elde edilebilmesi için kullanılabilecek en basit metod (Yerçekimi K.)m _ (Yerçekimi K.)p (Atalet K.)m (Atalet K.)p (Viskozite k')m _ (Viskozite k.)p (Atalet k')m. (Atalet k.)p Atalet kuvvetleri: Kütle x İvme = ρ L 3 (LT -2 ) Yerçekimi kuvveti: ρ g L 3
= Bu V =L{f V / (g L) 2 büyüklüğü è Fr: Froude sayısı
Viskoz kuvvetler: µ (LT -1 / L) L 2 Ilm (L m /L m ) Pm em (L m = IIp (Lp T;l / L p) L 2 p _ Pp L 3 p (Lp T;2) Bu V =L{f konarak (ρ V L) / µ büyüklüğü è Re: Reynolds sayıs
ÖNEMLİ SONUÇ: Dinamik benzerliğin sağlanması: Froude & Reynolds sayılarının model ve prototipteki eşit olması gerekir. Model Ölçeğinin Seçimi = g r = 1 Froude koşulundan hız ve uzunluk ölçekleri arasında V r 2 = L r
v Benzer şekilde Reynold bağıntısı açık olarak yazılırsa, 1 Genellikle modelde ve prototipteki akışkan: su è Vr =1 - Reynolds koşulundan, hız ve uzunluk ölçekleri arasında V r L r = 1
ÖNEMLİ SONUÇ: Yukarıdaki bağıntılardan Vr yok edilirse: Lr = 1 ya da Lm = Lp Yani model, prototiple aynı büyüklükte inşa edilmeli yerçekimi, sürtünme ve atalet kuvvetlerinin aynı oranda küçültülmesinin mümkün olmaması prototipteki olayı tam olarak yansıtacak bir model yapılamaması
NE YAPILMALI???! Kuvvetler: Atalet, yerçekimi ve sürtünme Prototipteki olayda, sürtünme ve yerçekimi kuvvetinden hangisi daha önemli ise o parametre esas alınır. Eğer hareketi kontrol eden kuvvetler: viskozite ve atalet kuvvetleri è Froude sayısı benzerlik sırasında göz önünde tutulmaz ve bu tip modeller Reynolds modelleridir. Eğer hareketi kontrol eden kuvvetler: yerçekimi ve atalet kuvvetleri è Reynolds sayısı hesaba katılmaz; bu tip modeller Froude modelleridir.
15.4. FROUDE MODELLERİ v Pratikte serbest yüzeyli akımların modelleri genellikle Froude modeli olarak yapılır. Örnek: Baraj dolu savağı, liman, bağlama, su alma ağzı vb. Bu modellerde; veya v e = 12 r r w Diğer büyüklüklerin ölçekleri è geometrik ölçek ile belirlenebilir.
Örnek 10.6 0,5 m kanalda 1/20 ölçekli bir dolu savak modeli Prototip savakta maksimum su 1,4 m göre (a) Modeldeki dolu savak su ne ve (b) Modelde 60 mm savak su debi 0,016 m 3 /s göre prototip birim geçen debi ne olur. (a) Modeldeki su 1 H m =L r Hp = -1,40 = 0,07 m 20 Froude benzerlik kanununa göre: Vm = _ V VLr V L2 -VLr L2 p p p p Q = Qm = 0,016 = 28,62 m 3 Is p (1/20)5/2 Prototip B =Bm = =10 m p L r 1/20 Prototip birim debisi: q =Qp =28,62 =2 86 m 3 Ism p B 10 ' p
15.5. REYNOLDS MODELLERİ v Pratikteki basınçlı akımlarınmodelleri genellikle Reynolds modeli olarak yapılır. Örnek: Suda çalışan türbinlerin (Francis ve Kaplan tipleri) santrifüj tulumbaların modelleri, uçakların maruz kaldıkları dirençler, denizaltıların derin sularda hareketi, kavitasyon araştırmaları, basınçlı borulardaki vanaların incelenmesi w Diğer büyüklüklerin ölçekleri è geometrik ölçek ile belirlenebilir.
Örnek 10.5 <1>160 mm bir boru 2 mis ile 15 C'da su iletmektedir. su <1>60 mm boruda hangi ki dinamik sahip olsunlar. Boru sürtünme ve atalet kuvvetleri etkili (10.8) denklemi ile verilen Reynolds benzerlik kanunu vm Lp 160 Vm =--.-Vp=-2=5,33m/s v p L m 60 Hatırlatma: Hız ölçeği Vm=Vm Lp =Vm V p Vp L m Vp L r