ÇIRKLIK VE YYGIN EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK VE MESLEK MTEMTİĞİ 2 YZRLR Cfer Tyyr DEMİRHN Cndn Dilek ÖZBEK DEVLET KİTPLRI LTINCI BSKI..., 2012
MİLLÎ EĞİTİM BKNLIĞI YYINLRI... : 4348 DERS KİTPLRI DİZİSİ... : 1205 12.?.Y.0002.3533 Her hkkı sklıdır ve Millî Eğitim Bknlığın ittir. Kitbın metin, soru ve şekilleri kısmen de ols hiçbir surette lınıp yyınlnmz. Editör Dil Uzmnı Görsel Tsrım Progrm Geliştirme Uzmnı Rehberlik Gelişim Uzmnı Ölçme Değerlendirme Uzmnı : Türkn EJDER : yhn BYRK : Neslişh EROĞLU : Mine ÖZTÜRK : Esen ŞENOL : İmrn KILIÇ ISBN 978-975-11-2888-1 Millî Eğitim Bknlığı Tlim ve Terbiye Kurulu nun 25.12.2006 gün ve 408 syılı krrı ile ders kitbı olrk kbul edilmiş, Destek Hizmetleri Genel Müdürlüğü nün 19.03.2012 gün ve 3398 syılı yzısı ile ltıncı def 30.963 det bsılmıştır.
İÇİNDEKİLER Üçüncü Dönem SYILR I. ÜN TE DENKLEMLER 1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler...1 2. Birinci Dereceden ki Bilinmeyenli Denklemler...4 Konu De erlendirme...7 3. Dört fllem Problemlerinin Denklem Yrd m yl Çözümü...8 Konu De erlendirme...10 GEOMETRİ II. ÜN TE ÇEMBER, D RE, DÜZGÜN BEfiGEN VE DÜZGÜN LTIGEN 1. Çember...11 2. Düzgün Beflgen ve Düzgün lt gen...12 Konu De erlendirme...13 ÖLÇME III. ÜN TE LN ÖLÇÜMLER 1. Çember ve Çember Prçs n n Uzunlu u...14 2. Dire ve Dire Diliminin ln...15 Konu De erlendirme...18 İSTTİSTİK IV. ÜN TE Ç ZG GRF Çizgi Grfi i...21 Konu De erlendirme...22 - VII -
Dördüncü Dönem SYILR I. ÜN TE ORN VE ORNTI 1. Orn ve Ornt Kvrm...23 2. Ornt n n Özellikleri...24 3. Dördüncü Ornt l...25 4. Ort Ornt l (Geometrik Ort)...25 5. Ornt l Çokluklr...26 Konu De erlendirme...29 6. Yüzde Problemleri...30 7. Fiz Problemleri...32 Konu De erlendirme...33 GEOMETRİ II. ÜN TE GEOMETR K C S MLER Prizmlr...34 ÖLÇME III. ÜN TE HC M ÖLÇÜMLER 1. Üçgen Prizmn n, Kre Prizmn n, Dikdörtgenler Prizms n n, ve Silindirin Hcminin Hesplnms...38 2. Pirmit ve Koninin Hcminin Hesplnms...42 Konu De erlendirme...46 İSTTİSTİK IV. ÜN TE D RE GRF...47 Konu De erlendirme...49 Sözlük...50 Kynkç...53 - VIII -
ÜÇÜNCÜ DÖNEM Öğrenme lnı: SYILR I. ÜNİTE DENKLEMLER kl n zd tuttu unuz bir sy y 15 ekleyiniz, 4 ile çrp n z, 8 ç kr n z, 4 e bölünüz, 13 ç kr n z, kln n söyleyiniz. Size hngi sy y tuttu unuzu söyleyeyim. 1. B R NC DERECEDEN B R B L NMEYENL DENKLEMLER çinde en z bir bilinmeyen bulunn ve bilinmeyenin kuvveti (üssü) 1 oln denklemlere, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. ÖRNEKLER 1. 3x + 1 = 7 ( x in kuvveti 1 dir.) 2. 2y - 3 = 5 ( y nin kuvveti 1 dir.) 3. z + 9 = 10 ( z nin kuvveti 1 dir.) denklemleri birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir. x + b = 0 denklemini s lyn x gerçek sy s n denklemin kökü, kökü bulm ifllemine denklemin çözümü denir. Köklerin oluflturdu u kümeye de denklemin çözüm kümesi denir.çözüm kümesi Ç ile gösterilir. x + b = 0 denkleminin kökü; b b x + b = 0 x = b x = olur. Çözüm kümesi Ç = bulunur. ( ( NOT 1. Denklemin her iki trf n yn sy eklendi inde vey iki trftn yn sy ç kr ld nd eflitlik bozulmz. 2. Denklemin her iki trf yn sy ile çrp ld nd vey s f rdn frkl bir sy y bölündü ünde eflitlik bozulmz. 3. Toplm durumund oln bir sy, eflitli in di er yn n iflreti de ifltirilerek geçirilir. - 1 -
1. Örnek: 4x - 6 = 30 denkleminin çözüm kümesini bull m. Çözüm: 4x - 6 = 30 4x = 30 + 6 4x = 36 4x 36 = 4 4 x = 9 Ç = {9} 2. Örnek: 6x - 15 = 5 + 2x denkleminin çözüm kümesini bull m. Çözüm: Önce denklemde bilinmeyenler bir trf, bilinenler bir trf geçirilir. 6x - 15 = 5 + 2x 6x - 2x = 5 + 15 4x = 20 4x 20 = 4 4 x = 9 Ç = {9} 3. Örnek: 7x + 5-3x = 12-2x + 1 denkleminin çözüm kümesini bull m. Çözüm: 7x + 5-3x = 12-2x + 1 4x + 5 = 13-2x 4x + 2x = 13-5 6x = 8 6x 6 = 8 6 x = 8 (py ve pyd 2 ile sdelefltirilirse) 6 x = 4 3 Ç = 4 3 bulunur. olur. LIŞTIRMLR fl dki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. 1. x + 8 = 9 2. 2x + 3 = x + 5 3. 9x + 12 = 6x + 15 4. 20x - 4 = 5x + 46 5. 8x = 56-2 -
DENKLEM YRDIMIYL PROBLEMLER N ÇÖZÜMÜ 1. Örnek: 3 fzls n n 2 kt 26 oln sy kçt r? Çözüm: Soruyu denklem yrd m yl flöyle çözebiliriz: rnn sy x olsun. 2 ( x + 3 ) = 26 2x + 6 = 26 2x = 26-6 2x = 20 2x 2 = 20 2 x = 10 olur. 2. Örnek: ki sy n n toplm 240 t r. Büyük sy, küçük sy n n 3 kt oldu un göre büyük sy kçt r? Çözüm: Soruyu denklem yrd m yl çözelim: Küçük sy x olurs büyük sy 3.x olur. küçük sy + büyük sy = 240 x + 3x = 240 4x = 240 4x 4 = 240 4 x = 60 (küçük sy ) Büyük sy = 3.x = 3. 60 = 180 olur. 3. Örnek: Hngi sy n n 10 eksi inin 3 kt n n 6 fzls 96 d r? Çözüm: Soruyu denklem yrd m yl çözelim: rnn sy x olsun. 3 (x-10) + 6 = 96 3x - 30 + 6 = 96 3x - 24 = 96 3x = 96 + 24 3x 3 = 120 3 x = 40 olur. - 3 -
2. B R NC DERECEDEN K B L NMEYENL DENKLEMLER çinde, b, c R ve 0, b 0 olmk üzere x + by = c fleklinde iki bilinmeyen bulunn eflitliklere, birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemde, bilinmeyenlerden birine verilen her reel de er için ikinci bilinmeyenin de reel de eri olur. 2x + y = 1 denkleminde x = 0 için y = 1 x = 1 için y = -1 x = -1 için y = 3 bulunur. (0,1), (1,-1), (-1,3)... ikililerinin her biri 2x+y = 1 denklemini s lr. Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemi s lyn (x,y) ikililerinin her birine bu denklemin çözümü, denklemi s lyn tüm (x, y) lerin oluflturdu u kümeye de denklemin çözüm kümesi denir. ki bilinmeyenli denklemleri çözebilmek için iki denklem verilmelidir. Verilen denklemlere denklem sistemi de denir. Denklem sistemini çözmek için fl dki yöntemler kulln l r. ) Yerine Koym Metodu ile Çözüm Kümesinin Bulunms Denklemlerden birinde bilinmeyenlerden birinin de eri, di erinin de eri türünden bulunrk di er denklemde yerine yz l r. Böylece bir bilinmeyenli denklem elde edilir. Burdn iflleme devm edilerek bilinmeyenler bulunur. 1. Örnek: 3x + 3y = 6 Ynd verilen denklem sisteminin çözüm kümesini bull m. Çözüm: x + 2y = 8 123 x + 2y = 8 x = 8-2y de erini birinci denklemde yerine yzl m: 3x + 3y = 6 3. ( 8-2y ) + 3y = 6 24-6y + 3y = 6 24-3y = 6 24-6 = 3y 18 3 = 3y 3 6 = y x = 8-2y x = 8-2. 6 x = 8-12 x = -4 olur. Ç = (-4,6) 2. Örnek: 4x - 2y = 8 Verilen denklem sistemini çözelim. x + 3y = 9 123 Çözüm: x + 3y = 9 x = 9-3y de erini birinci denklemde yerine yzl m: - 4 -
4x - 2y = 8 4 (9-3y) - 2y = 8 36-12y - 2y = 8 36-14y = 8 36-8 = 14y x = 9-3y x = 9-3.2 x = 9-6 x = 3 olur. Ç = (3,2) 28 14 = 14y 14 2 = y b) Yok Etme Metodu ile Çözüm Kümesinin Bulunms Bu yöntemde; verilen denklemler, bilinmeyenlerden birinin kt sy lr toplm ifllemine göre birbirinin tersi olck flekilde geniflletilir vey sdelefltirilir. E er verilen denklemlerde bilinmeyenlerden birinin kt sy lr, toplm ifllemine göre birbirinin tersi ise geniflletme vey sdelefltirme yp lmz. Sdelefltirme y d geniflletme yp ld ktn sonr denklemler trf trf toplnrk tek bilinmeyenli durum getirilir. Bu denklemde elde edilen kök, verilen denklemlerden birinde yerine konulrk di er bilinmeyen bulunur. 1. Örnek: x + y = 4 denklem sisteminin çözüm kümesini bull m. x - y = 2 Çözüm: x + y = 4 denklemdeki y lerin kt sy lr toplm ifllemine göre birbirinin x - y = 2 tersidir. Bu durumd trf trf toplmk yeterlidir. 123 123 x + y = 4 x - y = 2 2x = 6 x = 3 olur. x + y = 4 denkleminde x = 3 yzl m: 3 + y = 4 y = 4-3 y = 1 olur. Çüzüm kümesi; Ç = { (3,1)} bulunur. - 5 -
2. Örnek: x + 2y = -4 denklem sisteminin çözüm kümesini bull m. 2x + y = 1 123 Çözüm: x + 2y = -4 Birinci denklemi -2 ile geniflletelim: 2x + y = 1-2 / x + 2y = -4 2x + y = 1-2x - 4y = 8 123 + 2x + y = 1-3y = 9 y = 9 : (-3) y = -3 bulunur. x + 2y = -4 denkleminde y = -3 yzl m: x + 2.(-3) = -4 x - 6 = -4 x = -4+6 x=2 bulunur. Bu durumd çözüm kümesi; Ç ={(2,-3)} olur. 3. Örnek: 2x + 3y = 26 denklem sisteminin çözüm kümesini bull m. x - 2y = -8 123 Çözüm: 2 / 2x + 3y = 26 Birinci denklemi 2 ile ikinci denklemi 3 ile geniflletelim: 3 / x - 2y = -8 4x + 6y = 52 123 + 3x - 6y = -24 7x = 28 x = 4 bulunur. 2x + 3y = 26 denkleminde x = 4 yzl m: 2.4 + 3.y = 26 3y = 26-8 3y = 18 y = 6 bulunur. Ç= {(4,6)} olur. - 6 -
KONU DE ERLEND RME 1. fl dki denklemlerin çözüm kümesini bulunuz. ) 16 + x = 35 b) 6z = 42 c) 12x - 7x = 45 d) x - 6 = 24 e) 6x - 7 = 5x + 2 f) m - 6 = 13 g) y = 4 h) x + x + x + x = 16 ) 2y + 3y - 5y+y = 7 4 2. fl dki denklemlerin çözüm kümesini bulunuz. ) 3. (x+2) = 18 b) 2. (x-3) + 6 = 14 c) 5x - 3 = 2. (x-1) d) 4x = 3(x+7) - 5 3. fl dkilerden hngisi denklemdir? ) 6x + 1 b) 2x - 17 > 0 c) 7x + 50 = 2 d) x + 40 e) x + 2x + 4x + 65 4. x + y = 3 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. x - 2y = 12 123 5. x - 3 = y denklem sisteminde y nin de eri kçt r? x + y = 5 123 6. x = 4, y = 0,2. ise x kçt r? y 7. = b ve 2 - b = 6 ise + b kçt r? 3 4 8. 1 x + 1 y = 3 123 2 + 1 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. 3 y = 5-7 -
3. DÖRT filem PROBLEMLER N N DENKLEM YRDIMIYL ÇÖZÜMÜ 1. Örnek: Bir sokkt prk etmifl oln otomobil ve motosikletlerin sy s 25, tekerleklerinin sy s 86 d r. Sokkt kç tne otomobil ve kç tne motosiklet oldu unu bull m. Çözüm: Otomobillerin sy s x ise motosikletlerin sy s 25 - x olur. Otomobillerin dörder, motosikletlerin ikifler tekerle i oldu undn; 4. x + ( 25 - x ). 2 = 86 olrk denklem kurulur. 4x + 50-2x = 86 2x = 86-50 2x = 36 x = 36 : 2 x = 18 tne otomobil vrd r. 25 - x = 25-18 = 7 tne motosiklet vrd r. 2. Örnek: mge ile bbs n n yfllr n n toplm 46 d r. Üç y l önce, mge nin yfl, bbs n n yfl n n dörtte birine eflitti. mge ve bbs n n bugünkü yfllr n bull m. Çözüm: 3 y l önce fiimdi mge Bbs mge Bbs x yfl nd 4x yfl nd x+3 yfl nd 4x + 3 yfl nd fiimdiki yfllr n n toplm : ( x+3 ) + ( 4x + 3) = 46 x + 3 + 4x + 3 = 46 5x + 6 = 46 5x = 46-6 5x = 40 x = 40 : 5 x = 8 mge'nin 3 y l önceki yfl d r. 4.8 = 32 bbs n n 3 y l önceki yfl d r. fiimdiki yfllr : 8 + 3 = 11 mge nin flimdiki yfl 32 + 3 = 35 bbs n n flimdiki yfl - 8 -
3. Örnek: Bir miktr pr 12 çocu eflit miktrlrd d t l yor. E er bu pr her çocu 1 TL dh z verilseydi 15 çocu d lbilecekti. D t ln pr kç TL dir? Çözüm: D t ln pr miktr sbittir. Her çocu verilen x TL olsun. 12 çocu d t ln pr = 15 çocu d t ln pr 12. x = 15 ( x - 1) olur. 12x = 15x - 15 15 = 15. x - 12x 15 = 3x x = 15 : 3 x = 5 TL bulunur. D t ln pr, 12.5 = 60 TL dir. 4. Örnek: Bir s n ftki ö rencilerin bir k sm n befler, bir k sm n ise yedifler kitp verilmifltir. S n ftki 32 ö renciye 196 kitp d t ld n göre kç ö renci 5 kitp lm flt r? Çözüm: Ö renci sy s : 32 Kitp sy s : 196 5 kitp ln ö renci sy s x 7 kitp ln ö renci sy s 32 - x olur. 5.x + 7. ( 32 - x) = 196 5x + 7.32-7x = 196 5x - 7x = 196-224 -2x = - 28 x = - 28 : (-2) x = 14 bulunur. 5. Örnek: Bir kumfl 8 eflit prçy bölünüyor. Prçlrdn her birinin boyu 20 cm dh k s olsyd 9 eflit prçy yr lckt. Bun göre, kumfl n boyu kç cm dir? Çözüm: lk kesimdeki her bir prç x cm olsun. Bu durumd kumfl 8.x cm olur. kinci kesimde bir prç x - 20 cm olc n göre kumfl 9. (x - 20) cm olckt r. Sonuç olrk; 8.x = 9. (x - 20) olur. 8.x = 9.x - 9.20 180 = x Bun göre kumfl n boyu, 8.180 = 1440 cm dir. - 9 -
6. Örnek: 3 kg fleftli ile 2 kg muz 8 TL, 2 kg fleftli ile 3 kg muz 9 TL dir. Bun göre 5 kg fleftli ile 5 kg muz kç TL dir? Çözüm: 1 kg muz = x TL 1 kg fleftli = y TL olsun. Bu durumd, 3 kg fleftli ile 2 kg muzun fiyt 3y + 2x = 8 denklemi ile, 2 kg fleftli ile 3 kg muzun fiyt : 2y + 3x = 9 denklemi ile ifde edilir. Burdn; 2x + 3y = 8 denklemler trf trf topln rs, 123 3x + 2y = 9 + 5x + 5y = 17 TL 5 kg muz ile 5 kg fleftlinin fiyt bulunmufl olur. KONU DE ERLEND RME 1. Bir bb 46, k z 10 yfl ndd r. Kç y l sonr bbs n n yfl k z n n yfl n n 3 kt olur? 2. Nilsu, tnesi 15 kurufltn 12 tne yumurt l yor. Eve gelirken 2 yumurt k r l yor. Bu durumd yumurtlr n tnesi kç kurufl gelmifltir? 3. Bir ust bir ifli tek bfl n 18 günde yp yor. Bu ust iflin 5 6 s n kç günde ypr? 4. Bir miktr k ym 20 pkete konuyor. E er her pkete 200 grm dh fzl k ym konsyd 15 pket olckt. Toplm k ym kç kg d r? 5. 8 limon 1 kg, 1 kg limon ise 88 kurufltur. Mehmet bu limonlrdn 10 tne l rs kç kurufl verir? 6. Bir çiftlikteki 60 tvfln n bir k sm üçer, bir k sm dörder yvruluyor. Bu yvrulr n toplm 204 oldu un göre tvflnlrdn kç dörder yvru do urmufltur? 2 7. Bir kvnoz yr s n kdr dolu iken 360 grm, ü dolu iken 400 grm geliyor. Bu 3 kvnozun bofl rl kç grmd r? - 10 -
Öğrenme lnı: GEOMETRİ I I. ÜNİTE ÇEMBER, DİRE, DÜZGÜN BEŞGEN VE DÜZGÜN LTIGEN Çember çizmeniz gereken nck pergelinizin olmd bir ortmd, çemberi ns l çizersiniz? 1. ÇEMBER nsnl n en büyük bulufllr ndn biri tekerlektir. Tekerlek, günümüzde otomobillerde ve uçklrd, kulln lms ndn vzgeçilemeyen önemli bir rçt r. Tekerle in en bsit hâli çemberdir. Yumuflk bir teli, yuvrlk biçimde bükerek bir çember ypbilirsiniz. rflimed de çemberlerle u rflm fl, htt Roml skerlere son sözü Çemberlerimi bozmy n. olmufltur. Düzlemde sbit bir O nokts ndn, sbit bir r uzkl nd bulunn noktlr n tümünün kümesine, çember denir. O nokts n merkez, O nokts n çemberin herhngi bir nokts n birlefltiren do ru prçs n yr çp, çemberin iki nokts n birlefltiren do ru prçs n kirifl, merkezden geçen kirifle de çp denir. T..M r d fl bölge B r r O r C iç bölge E [O] çemberin yr çp d r. O = r yr çp uzunlu udur. [BC] çemberin çp d r. BC = 2. r B O C L Çemberin çp n n uzunlu u yr çp n n uzunlu unun iki kt d r. T nokts çemberin iç bölgesinde, M nokts çemberin d fl bölgesindedir. K [KL] ve [BC] birer kirifltir. Bir çemberde en uzun kirifl çpt r. - 11 -
2. DÜZGÜN BEfiGEN VE DÜZGÜN LTIGEN Kenr uzunluklr ve ç lr n n ölçüleri eflit oln çokgenlere düzgün çokgen denir. Köflegen ÜÇGEN KRE DÜZGÜN BEfiGEN DÜZGÜN LTIGEN Düzgün çokgenlerin bir köflesinden çizilen köflegenlerle,kenr sy s n n iki eksi i kdr üçgen çizilebilir. Bu üçgenlerin lnlr birbirlerine eflittir. Krenin dört kenr vr. ( 4-2 ) = 2 üçgen Düzgün beflgenin befl kenr vr. ( 5-2 ) = 3 üçgen Düzgün lt genin lt kenr vr. ( 6-2 ) = 4 üçgen Yni kenr sy s n n dersek ( n - 2 ) tne eflit lnl üçgen çizebiliriz. Bir düzgün lt gen çizelim: O merkezli r yr çpl çember çizilir. ç kl yr çp kdr oln pergel, çember yy üzerinde herhngi bir nokty konulur ve yy n kestirilmesi s ln r. Pergel ç kl bozulmdn kesti i yy n üzerine konulur tekrr kesmesi s ln r. Bu ifle devm edilir. Kesim noktlr ndn geçen kirifller çizilir. O r Meydn gelen fleklin düzgün lt gen oldu u görülür. fiekle göre düzgün lt genin kenr uzunluklr ve ç ölçülerinin eflit oldu u görülür. Düzgün çokgenin kenr sy s n n dersek bir iç ç s n n ve bir d fl ç s n n ölçüleri fl dki gibi hespln r: Düzgün lt gen Bir iç ç n n ölçüsü, Bir d fl ç n n ölçüsü, ( n - 2 ). 180 n 360 n 'dir. 'dir. - 12 -
1. Örnek: Bir düzgün beflgenin bir iç ç s n n ve d fl ç s n n ölçülerini bull m. Çözüm: Bir iç ç n n ölçüsü = 5-2. 180 5 Bir d fl ç n n ölçüsü = 360 = 72 5 = 540 5 = 108 E D 2. Örnek: Düzgün lt genin iç ç lr n n ölçüleri toplm n bull m. Çözüm: Bir iç ç = 6-2. 180 6 ç ç lr toplm = 6. 120 = 720 dir. = 120 lt tne iç ç oldu undn; B C KONU DE ERLEND RME 1. Dikdörtgenin köflegen sy s kçt r? ) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. Düzgün lt genin bir d fl ç s kç derecedir? ) 60 B) 75 C) 120 D) 150 E) 200 3. Düzgün beflgen ile düzgün lt genin iç ç lr n n ölçülerinin toplm kç derecedir? ) 540 B) 720 C) 800 D) 1020 E) 1260 4. Düzgün beflgenin d fl ç lr n n ölçüleri toplm kç derecedir? ) 360 B) 420 C) 540 D) 600 E) 720 5. Bir kenr 15 cm oln düzgün beflgenin çevresi kç cm dir? ) 30 B) 45 C) 75 D) 90 E) 105 6. Düzgün lt genin iç ç lr n n ölçüleri toplm ile d fl ç lr n n ölçüleri toplm rs ndki frk kç derecedir? ) 72 B)108 C) 180 D)270 E) 360-13 -
Öğrenme lnı: ÖLÇME I I I. ÜNİTE LN ÖLÇÜMLERİ rb lsti inin yn yüzeyinin ln n bulmk için hngi bilgilere ihtiyç duyrs n z? 1. ÇEMBER VE ÇEMBER PRÇSININ UZUNLU U ) Çemberin Uzunlu u Yr çp uzunlu u r birim oln bir çemberin uzunlu u; Ç = 2. π. r 'dir. O r p 3,14 22 7 Etkinlik: De iflik çplrd diresel eflylr, mezur, bnt temin ediniz. Diresel eflylr n çevre uzunlu unu ve çp n ölçünüz. Elde edilen sonuçlr n birbirine orn n bulunuz. Buldu unuz sy n n ne nlm geldi ini rflt r n z. 1. Örnek: Yr çp 4 cm oln çemberin uzunlu unu bull m. ( π = 3 ) Çözüm: Ç = 2. π. r Ç = 2. 3. 4 = 24 cm olur. 2. Örnek: Uzunlu u 66 cm oln çemberin yr çp n n kç cm oldu unu bull m. (π = 3) Çözüm: 66 = 2. π. r 66 = 2. 3. r 66 6 = 6.r 6 11 = r O b) Çember Prçs n n Uzunlu u r x r Yr çp r ve merkez ç s x derece oln bir çemberde merkez ç n n gördü ü B yy n n uzunlu u; B = x 360. 2. π. r'dir. B - 14 -
O 1. Örnek: O merkezli çemberde yr çp 5 cm dir. 120 lik merkez ç n n gördü ü B yy n n uzunlu u kç cm dir? (π = 3) 120 r = 5 cm B Çözüm B = x 360. 2. π. r = 120 360. 2.3.5 B = 10 cm'dir. 2. Örnek: Yr çp 8 cm oln çemberde 160 lik merkez ç n n gördü ü yy n uzunlu unun kç cm oldu unu bull m. (π = 3 l n z.) Çözüm B = x 360. 2.π.r 160 = 160 360.2.3.8 O 8 cm B = 64 cm'dir. 3 2. D RE VE D RE D L M N N LNI ) Direnin ln Bir çember ile iç bölgesinin birleflimine dire denir. O r O r O r + = O merkezli r yr çpl çember O merkezli r yr çpl çemberin iç bölgesi - 15 - O merkezli r yr çpl dire
Ynd bir direnin 8 prçy yr ld n görüyoruz. Bu prçlr kesip y rrk fl dki gibi yn yn getirelim. 1. Ç 2 (Yr çevre) 123 4 cm 1 2. Ç ( Ç = 2.π.r'dir.) = 1 Ç'dir. Yukr dki direyi dh fzl prçy bölersek elde edilen flekil prlelkenr yklfl r. Bu durumd direnin ln n prlelkenr n ln ndn yrrlnrk bulbiliriz. =.h = 1 2. Ç.r = 1. 2.π.r. r, = π r 2 olur. 2 fiimdi flekildeki direnin ln n bull m: = π. 4 2 = 16.π cm 2 dir. 1. Örnek: Yr çp n n uzunlu u 4,9 cm oln direnin çevre uzunlu unun kç cm, ln n n kç cm 2 oldu unu bull m. π = 22 7 Çözüm: Ç = 2.r.π = r 2. π Ç = 2. 4,9. 22 7 Ç = 30,8 cm dir. = 4,9. 4,9 22 7 = 75,46 cm 2 dir. 2. Örnek: Çevresinin uzunlu u 88 cm oln direnin ln n n kç cm 2 oldu unu bull m. π = 22 7 Çözüm: Ç = 2π. r r = Ç 2π r = 88 2. 22 7 = π. r 2 = 22 7. 14.14 2 = 616 cm r = 88. 7 r = 2.7 r = 14 cm'dir. 2 22-16 -
3. Örnek: yn merkezli iki çemberin yr çplr n n uzunluklr r 1 = 7 cm ve r 2 = 14 cm olrk verilmifltir. Bu çemberler rs nd kln trl ln n kç cm 2 oldu unu bull m: π = 22 7 Çözüm : Trl ln = Büyük Direnin ln - Küçük Direnin ln = π.r 2 2 - π. r1 2 O r 1 r 2 = 22 7 14.14-22.7.7 7 = 616-154 = 462 cm 2 dir. b) Dire Diliminin ln B = x. π. r 2 dir. 360 r O α r 1. Örnek: fl d merkezi O nokts, yr çp 6 cm oln 90 merkez ç l dire diliminin içi trnm flt r. Trl ln n kç cm 2 oldu unu bull m. ( π = 3 ) Çözüm : Direnin tmm 360 oldu undn 360 ye krfl l k; Direnin ln = π. r 2 = 3.6.6 = 108 cm 2 dir. O 6 cm 90 ye krfl l k gelen dire diliminin ln ; = 90 360. 108 = 462 cm 2 bulunur. - 17 -
2. Örnek: fiekilde O merkezli, 8 cm yr çpl dire çizilmifltir. m(ob) = 150 ise trl ln kç cm 2 dir? Trl ln n merkez ç s = 360-150 Çözüm : = 210 dir. Dire diliminin ln = 210 360. π. 82 O 150 8 cm = 112 π cm 2 dir. 3 B KONU DE ERLEND RME C 40 O B 1. fiekildeki O merkezli çemberin yr çp n n uzunlu u 2 cm, m(oc) = 40 dir. Trl oln COB diliminin ln kç cm 2 dir? (π = 3) 2. fiekilde yr çplr 9 cm ve 4 cm oln yn merkezli iki dire çizilmifltir. Trl ln kç cm 2 dir? (π = 3) O 4 cm 9 cm 3. Yr çp 15 cm oln direnin ln kç π cm 2 dir? 4. Çevresi 123 cm oln direnin ln kç cm 2 dir? - 18 -
5. fl d verilen flekillerin her birinde, trl ln kç cm 2 dir? (π = 3,14) 5 cm 10 cm 4 cm 10 cm B O 1 O 2 5 cm C D,B,C ve D te etin de me noktlr, O 1 ve O 2 merkezli çemberler efltir. D C O 1 O 2 12 cm B BCD dikdörtgen, O 1 ve O 2 merkez, B = 12 cm, BC = 8 cm dir. - 19 -
6. Yr çp 7 cm oln çemberin uzunlu u fl dkilerden hngisidir? (π = 3) ) 35 b) 42 c) 47 d) 49 e) 52 7. Yr çp 8 cm oln direnin ln fl dkilerden hngisidir? (π = 3) ) 64 b) 72 c) 192 d) 218 e) 364 8. Çevresinin uzunlu u 66 cm oln direnin yr çp kç cm? (π = 3) ) 3 b) 11 c) 13 d) 16 e) 18 9. Çevresi ve ln sy c eflit oln direnin yr çp kç birimdir? ) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10-20 -
Öğrenme lnı: İSTTİSTİK IV. ÜNİTE ÇİZGİ GRFİĞİ Cumhuriyet lt n fiytlr n n son bir ydki fiyt de iflimini, hngi grfikte dh koly gösterebilirsiniz? Ç ZG GRF Çizgi grfikleri dh çok bir de iflkenin zmn içinde ulflt de erleri birbiriyle k yslmy yrr. Zmn b l olrk s ckl ktki de iflmenin ns l oldu u, bir bebe in gelifliminin s l kl olup olmd d çizgi grfiklerle izlenebilir. Bu örneklerden de çizgi grfikleri yrd m yl bir de iflkenin bflk bir de iflkenin etkisi lt ndki de ifliminin incelendi i nlfl lmktd r. Ço u kez zmn içinde bir de iflkenin durumu incelenmektedir. H z b l olrk l nn yol, bir gz uygulnn bs nc b l olrk hcimdeki de iflim çizgi grfikleriyle görsel hâle getirilebilir. Koordint eksenlerinin pozitif k s mlr çizilerek, koordint düzleminin sdece birinci bölgesi dikkte l n r. Koordint eksenleri st, s ckl k, y l, y fl, l fl-st fl, üretim-y l gibi frkl çokluklr belirtmek için kulln l r. Bu ikililerin efllendi i noktlr birinci bölgede iflretlenir. Noktlr birlefltirilirse çizgi grfi i oluflur. Örnek : 38 kiflilik bir s n ft Türkçe dersinden l nn notlr fl dki tblod belirlenmifltir. S kl k tblosunu oluflturl m: Notlr 0 1 2 3 4 5 Ö renci Sy s 6 10 9 8 5 Yukr dki de erleri çizgi grfi inde gösterelim: 10 Ö renci sy s 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Notlr - 21 -
750 700 650 600 550 500 Ö renci sy s Y llr 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Örnek : Yndki grfikte bir okulun ö renci sy s n n y llr göre de iflimi gösterilmektedir. 2003-2004 y llr rs ndki rt fl miktr n n 2000-2001 y llr rs ndki rt fl miktr ile yn olc biliniyor. Bun göre 2004 y l ndki ö renci sy s kç olckt r? Çözüm : 2000 y l nd 550 ö renci 2001 y l nd 600 ö renci vrd r. rt fl miktr 600-550 = 50 ö rencidir. 2003 y l nd 700 ö renci vrd r. 2004 y l nd 700 + 50 = 750 ö renci olckt r. KONU DE ERLEND RME 1. fiekildeki grfik, bir ml n l fl fiyt ile mliyeti rs ndki b nt y göstermektedir. Bun göre mliyeti 32 TL oln ml n l fl fiyt kç TL dir? l fl fiyt (TL) 60 50 40 30 Th l üretimi (ton) 2 0 2, 3, 4, 5 ve 6. sorulr yndki grfikte verilen bilgileri dikkte lrk yn tly n z. 4 Mliyet fiyt (TL) 20 0 2000 Y l 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2. 2002 ve 2003 y llr nd toplm kç ton th l üretilmifltir? 3. 7 y ld toplm kç ton th l üretilmifltir? 4. 7 y l için, y ll k ortlm kç ton th l üretimi yp lm flt r? 5. 2001, 2004 ve 2006 y llr ndki toplm üretim kç tondur? 6. Bu grfi e göre çiftçi için, üretim ç s ndn en verimli ve en verimsiz y llr hngileridir? Bu y llrd kç ton üretim yp lm flt r. - 22 -
DÖRDÜNCÜ DÖNEM Öğrenme lnı: SYILR I. ÜNİTE ORN VE ORNTI Knd k r k bir kz, gökte uçn kzlr selmlyrk, Hey! 100 kz nereye böyle? demifl. Kzlr n flefi cevp vermifl. Biz, 100 kz de iliz. Bize bizim kdr, bizim yr m z kdr, yr m z n yr s kdr bir de sen eklenirsen nck 100 kz oluruz. demifl. cb gökte uçn kç kz vrm fl? 1. ORN VE ORNTI KVRMI ) Orn Birimleri yn oln iki çoklu un birbirine bölünerek krfl lflt r lms n ORN denir. Orn birimsizdir. ve b sy lr n n ikisi birden s f r olmmk üzere, n n b ye orn vey :b b biçiminde gösterilir. Örnek : Ece nin 400, Yi it in 700 TL si vrd r. Ece nin prs n n Yi it in prs n orn n n ne kdr oldu unu bull m: Çözüm : Ece'nin prs Yi it'in prs = 400 TL 700 TL = 4 7 dir. UYRI * yn cinsten ve yn birimle ölçülen çokluklr ornlnbilir. * Bir orn n py ve pyds, s f rdn frkl yn sy ile çrp lbilir ve yn sy y bölünebilir. * Orn birimsizdir. b) Ornt c c ki vey dh fzl orn n eflitli ine ornt denir. ve ornlr eflit ise b = d bir b d ornt d r. içler : b = c : d d fllr - 23 -
2. ORNTININ ÖZELL KLER 1. Bir ornt d, içler çrp m d fllr çrp m n eflittir. = c ise.d = b.c olur. b d 1. Örnek : 6 = 12 ornt s nd x sy s n bull m. x 18 Çözüm : x.12 = 6.18 x = 6.18 12 x = 9 bulunur. 2. Örnek : x = 21 ornt s n s lyn x sy s n bull m. 16 48 Çözüm : x. 48 = 16. 21 x = 16. 21 48 x = 7 bulunur. 2. Bir ornt d içlerin vey d fllr n yeri de ifltirilebilir. b = c d ise c = b d olur. = c ise d = b d b c olur. 1. Örnek : fl dki örnekte içler yer de ifltirmifltir. nceleyelim: 4 5 = 12 15 4 12 = 5 15 1 = 1 3 3 2. Örnek : fl dki örnekte d fllr yer de ifltirmifltir. nceleyelim: 8 14 = 24 42 42 14 = 24 8 3 = 3-24 -
3. Bir ornt d ornlr n pylr ile pydlr yer de ifltirebilir. = c ise b = d b d c dir. fl dki örnekte pylr ile pydlr yer de ifltirmifltir. nceleyiniz. 9 = 18 14 = 28 14 28 9 18 4. Eflit ornlr n pylr n n toplm py, pydlr n toplm pydy yz lrk elde edilen yeni orn önceki ornlr eflittir. = c = e g + c + e + g = = k = k b d f h b + d + f + h Örnek : fl dki örne i inceleyiniz. 2 5 = 4 10 = 8 20 = 16 40 = k 2 + 4 + 8 + 16 = 30 = 6 = 2 = k 5 + 10 + 20 + 40 75 15 5 3. DÖRDÜNCÜ ORNTILI, b, c, x reel sy lr olmk üzere, = c ornt s ndki x sy s n, b, c sy lr n n dördüncü ornt l s b x denir. Örnek : x = 4 9 3 ornt s nd x in kç oldu unu bull m. Çözüm : x 9 = 4 3 x.3 = 4.9 x = 36 3 x = 12 bulunur. ornt s nd x sy s n ile b nin ort orn- 4. ORT ORNTILI (GEOMETR K ORT) x,, b pozitif reel sy lr olmk üzere x = x b t l s vey geometrik orts denir. x.x =.b x 2 =.b x =.b dir. - 25 -
Örnek : 2 ile 8 sy lr n n ort ornt l s oln sy y bull m. Çözüm : 2 x = x 8 = x 2 = 2.8 x 2 = 16 x = 4 bulunur. 5. ORNTILI ÇOKLUKLR ) Do ru Ornt l Çokluklr yn birimle ifde edilebilen, birlikte yn ornd ço ln y d zln çokluklr do ru ornt l çokluklr denir. 1. Örnek : 4 günde 36 m 2 fyns döfleyen bir ustn n 5 günde kç m 2 fyns döfledi ini bull m. Çözüm : rt yor 4 günde 36 m 2 5 günde x m 2 rtr D.O 4 36 = 4.x = 5.36 5 x x = 45 m 2 bulunur. 2. Örnek : 20 kg undn 600 ekmek yp l rs 8 kg undn kç ekmek yp l r? Çözüm : zl yor 20 kg undn 600 tne ekmek 8 kg undn x tne ekmek zl r D.O 20. x = 8. 600 x = 8. 600 20 x = 240 tne yp l r. - 26 -
b) Ters Ornt l Çokluklr Bir iflçi bir duvr 36 günde örüyor. Her iflçinin birim zmnd yn miktrd ifl ypt vrsy l yor. flçi sy s de iflti inde duvr n örülme süreleri de de ifliyor. fl dki tbloyu inceleyelim: flçi Sy s 1 2 3 4 6 12 18 36 rt yor Süre (gün) 36 18 12 9 6 3 2 1 zl yor Tblod görüldü ü gibi iflçi sy s n n rt fl n b l olrk iflin bitirilme süresi zlmkt vey iflçi sy s zl rken iflin bitirilme süresi yn ornd rtmktd r. yn tür iki çoklukt de erlerden biri ço l rken di eri yn ornd zl yors bu çokluklr ters ornt l d r. ile b ters ornt l ise.b = k biçiminde yz l r. k ye ornt kt sy s denir. 1. Örnek : Bofl bir hvuzu, her biri yn miktr su k tn 5 musluk 66 stte dolduruyor. yn hvuzu nitelikleri yn oln 11 musluk kç stte doldurur? Çözüm : rt yor 5 musluk 66 st 11 musluk x st zl r T.O 11. x = 5. 66 x = 5. 66 11 x = 30 stte doldurur. 2. Örnek : 12 iflçi bir ifli 8 günde bitiriyors yn ifli yn nitelikli 24 iflçi kç günde bitirir? Çözüm : rt yor 12 iflçi 8 günde 24 iflçi x günde zl r x. 24 = 12. 8 x = 12. 8 24 x = 4 günde bitirebilir. - 27 -
dokur? c) Bileflik Ornt : ki yd dh çok ornt türünü bulundurn ornt lr bileflik ornt denir. Örnek : 12 iflçi 90 metrelik bezi 36 günde dokurs 6 iflçi yn endeki 150 m bezi kç günde 1. Çözüm : 12 iflçi 36 gün 90 metre bez dokur. 6 iflçi x gün 150 metre bez dokur. T.O D.O * Bileflik ornt d bilinmeyenin de erini bulmk için, bilinen ornlr n her biri bilinmeyenin bulundu u ornl yr yr krfl lflt r l r. * flçi sy s n n sbit kld n düflünürsek; - Bez uzunlu u rtt kç gün sy s d rtr. Gün sy s ile bez uzunlu u do ru ornt l olur. * Bez uzunlu unun sbit kld n düflünürsek; - flçi sy s zld kç gün sy s rtr. flçi sy s ile gün sy s ters ornt l olur. x = 12. 36. 150 = 120 günde dokur. 6. 90 2. Çözüm: 1. Durumd 12 iflçi 36 günde 90 metre bez dokur. 2. Durumd 6 iflçi x günde 150 metre bez dokur. 1. yp ln ifl ( di erleri çrp m ) = 2. yp ln ifl ( di erleri çrp m ) 90 12. 36 = 150 6. x x = 120 günde dokur. - 28 -
KONU DE ERLEND RME 1. fl dki ornt lrd verilmeyen terimleri bulunuz. ) 2 16 x 36 = b) = x 40 4 48 c) d) 9 20 80 = e) = 75 45 120 f) 10 30 = 15 x 1 16 = 4 2. 5 ile 45 sy lr n n geometrik orts kçt r? 3. 8 ile 32 sy lr n n ort ornt s kçt r? 4. 3, 4 ve 6 sy lr n n dördüncü ornt l s kçt r? 5. Günlük kznçlr eflit oln iflçilerden 8 i bir günde 240 TL kzn rs 5 i bir günde kç TL kzn r? 6. 10 iflçi bir okulun duvrlr n 20 günde boyrs 20 iflçi yn duvrlr kç günde boyr? 7. Ece günde 9 st çl flrk 20 günde 14 tk m elbise dikebiliyor. Ece, günlük çl flm süresini 3 st zlt rs 16 tk m elbiseyi kç günde dikebilir? 8. 50 m kumfltn 2 koltuk tk m döflenirse 450 m kumfl ile kç koltuk tk m döflenebilir? 9. Kp iml eden bir ifl yerinde 20 ç rk 40 det kp y 16 günde bitirebiliyor. 30 det kp y 12 günde kç ç rk bitirebilir? 10. 30 iflçi 450 m 2 lik hl y 27 günde dokuyor. 50 iflçi yn nitelikteki kç m 2 lik hl y 18 günde dokur? - 29 -
6. YÜZDE PROBLEMLER Pyds 100 oln kesir sy lr ile yp ln hesplmlr yüzde problemleri denir. Bu problemlerde yer ln yüzde ornlr % sembolüyle gösterilebilir. ÖRNEKLER: 1. 7 = % 7 2. 25 = % 25 3. 15 = % 15 100 100 100 4. 39 = % 39 5. 123 = % 123 6. 1 = % 1 100 100 100 UYRI: Bir kesri yüzde orn olrk yzmk için kesir, pyds 100 olck flekilde geniflletilir vey sdelefltirilir. fl dki ifllemleri inceleyiniz. 1. 5 20 = 5.5 20.5 = 25 100 = % 25 ( Kesri 5 ile genifllettik.) 2. 48 = 48 : 2 = 24 = % 24 (Kesri 2 ile sdelefltirdik.) 200 200: 2 100 1.Örnek : 600 sy s n n % 5 inin kç oldu unu bull m. Çözüm : rnn sy x olsun. x = 600. 5 100 x = 30 bulunur. - 30 -
UYRI : Yüzde problemlerinde çokluklr do ru ornt l d r. 2.Örnek : Bir gömle in fiyt 45 TL dir. Bu gömlek % 20 zrrl kç TL ye st l r? Çözüm : l fl - Zrr = St fl 100-20 = 80 l fl Fiyt St fl Fiyt 100 45 TL ise 80 x TL olur. D.O x = 80. 45 = 36 TL'dir. 100 3.Örnek : Bir okuldki ö rencilerin % 25 i berber, % 30 u mobilyc, % 15 i elektrikçi, klnlr d tornc d r. Okuld 800 ö renci oldu un göre kç tnesi tornc d r? Çözüm : % 25 + % 30 + % 15 = % 70 tir. Klnlr; % 100 - % 70 = % 30 u tornc d r. 800. 30 = 240 ö renci tornc d r. 100 4.Örnek : Bir vizeci 150 lmbn n % 60 n stm flt r. vizecinin kç lmbs klm flt r? Çözüm: 150. 60 100 = 150. 60 100 150-90 = 60 vize klm flt r. = 15. 6 = 90 lmb stm flt r. 5.Örnek : Bir m zd bulunn 150 sndelyenin % 20 si htl ise toplm kç tne s lm sndlye vrd r? Çözüm : 150. 20 100 = 150. 20 100 = 30 (htl sndlye sy s ) 150-30 = 120 (s lm sndlye sy s ) 6.Örnek : Hngi sy n n % 40 120 eder? Çözüm : x. 40 100 = 120 x. 40 = 120. 100 x.40 40 = 120. 100 40 x = 300 eder. - 31 -
7.Örnek : Hngi sy n n % 30 u 60 eder? Çözüm : x. 30 100 = 60 x. 30 = 60. 100 x.30 30 = 60. 100 30 x = 200 eder. 7. F Z PROBLEMLER Bnky % 30 fizle yt r ln 4600 TL, 2 y ld ne kdr fiz getirir? cümlesindeki terimleri sembolleriyle gösterelim: n pr ( kpitl ) = = 4600 TL Fiz yüzdesi = t = % 30 Zmn = n = 2 y l Fiz = f =? ( istenen ) ki çeflit fiz vrd r. 1. Bsit fiz: Olufln fizleri n pry ktmdn yp ln fiz hesb d r. 2. Bileflik fiz: Olufln fizleri n pry ktrk yp ln fiz hesb d r. Fiz y ll k, yl k, günlük olrk hesplnbilir. Fiz hesplr nd; 1 y = 30 gün, 1 y l = 360 gün l n r. Zmn y l ise f =. n. t, 100 zmn y ise zmn gün ise f =. n. t, 100. 12 f =. n. t 100. 360 olrk hespln r. - 32 -
1.Örnek : Fize yt r ln 160 TL % 20 den 5 y ld kç TL getirir? Çözüm : f =. n. t = 160. 5. 20 = 160 TL getirir. 100 100 2.Örnek : Fize yt r ln 1250 TL % 36 dn 40 günde kç TL fiz getirir? Çözüm : f = 1250. 40. 36 = 50 TL getirir. 100. 360 3.Örnek : Bir miktr pr % 70 ten 1 y l fizde klm flt r. E er % 85 ten fize verilseydi, y l sonund 7500 TL dh fzl fiz getirecekti. Bun göre fize verilen prkç TL dir? Çözüm: % 85 - % 70 = % 15 fzll kt r. 7500 TL nin krfl l % 15 frk krfl l d r. f =. n. t 100 7500 =. 1. 15 100 = 50 000 TL dir. KONU DE ERLEND RME 1. fl dki rsyonel sy lr yüzde orn olrk yz n z. ) 4 5 b) 9 2 c) 27 25 ç) 3 4 d) 21 60 2. fl d % 1 i verilen sy lr n tmm n bulunuz. ) %1 i 23 b) %1 i 47 c) %1 i 57 ç) %1 i 2,5 3. Bir düzine klemin 5 tnesini krdefline veren Cnsu, klemlerinin yüzde kç n krdefline vermifl oldu? 4. % 2 si 4 oln sy n n % 21 i kçt r? 5. Mfl n n % 8 i ile 48 TL lik bir ykkb ln iflçinin toplm mfl ne kdrd r? 6. 425 tne krpuzun % 16 s k r lm flt r. K r ln krpuzlr n sy s kçt r? 7. % 22 den 4 yl n bnky yt r ln 75000 TL kç TL fiz getirir? 8. Bnky yt r ln 5000 TL, 8 y sonr 7000 TL olrk çekiliyor. Bu ifllemde uygulnn y ll k fiz yüzde kçt r? - 33 -
Öğrenme lnı: GEOMETRİ I I. ÜNİTE GEOMETRİK CİSİMLER Çevremizde en çok hngi prizm türüyle krfl lfl r z? 1. PR ZMLR K. C... B. D C B... C D C E B B Prlel K ve E düzlemleri içinde l nn efl iki çokgensel bölgenin tüm noktlr n n krfl l kl birlefltirilmesi sonucu olufln cisme prizm denir. * Çokgensel bölgelerin her birine, bu prizmn n tbnlr, * Çokgensel bölgelerin kenrlr n, prizmn n tbn yr tlr, * Çokgensel bölgelerin köflelerine, prizmn n köfleleri, * ki tbn rs ndki dik uzkl prizmn n yüksekli i, * fiekildeki trl dikdörtgene (BCC B dikdörtgenine), prizmn n bir yn yüzü denir. Prizmlr tbn dlr n göre dlnd r l r. - 34 -
) Üçgen Prizm ve ç k fiekli b C B b Üst tbn b c Yükselik : h C b h c B Üçgen dik prizm h b YNL LN c b lt tbn h: Yükseklik Tbn üçgen oln prizmy, üçgen prizm denir. b) Kre Prizm ve ç k fiekli D C B h h D C B Kre dik prizmn n ç k flekli Tbn kre oln prizmy kre prizm denir. Etkinlik : Bir krtondn, tbn uzunlu u 15 cm ve yüksekli i 25 cm oln iki det kre dik prizm oluflturunuz. Kre dik prizmlrdn birisini ç k flekilde b rk n z. fl yerlerinizde vey mesle inizde bu prizmlr n kulln m lnlr n n olup olmd n belirleyiniz. - 35 -
c) Dikdörtgenler Prizms ve ç k fiekli D C D B C c b b b lt tbn Dikdörtgenler prizms B c b b b b c b b c c Dikdörtgenler prizms n n ç k flekli Bütün yüzeyleri dikdörtgen oln prizmy dikdörtgenler prizms denir. d) Silindir ve ç k fiekli K Üst tbn 0 r r : tbn yr çp K 0 r h yükseklik YNL LN h 0 r tbn çevresi 14444244443 B 0 r Tbn ln Tbn çevresi, ynl yüzün bir kenr n n uzunlu u ( B ) n eflittir. Bir dikdörtgensel bölgenin (ynl ln n) kenrlr ndn birinin etrf nd 360 döndürülmesiyle olufln cisme dik silindir denir. - 36 -
e) Koni ve ç k fiekli T T Tepe nokts α n do ru h Yükseklik n do ru Ynl ln B 0 B Tbn (dire) Tbn yr çp Dik koni 0 r Dik koninin ç k flekli Bir dik üçgensel bölgenin dik kenrlr ndn birisi etrf nd 360 döndürülmesi ile olufln cisme dik koni denir. Etrf nd döndürüldü ü kenr koninin cisim yüksekli i, di er dik kenr tbn yr çp, hipotenüsü ise (flekilde [T]) n do rusudur. Etkinlik : Kenr uzunluklr 6 cm, 8 cm, ve 10 cm oln üçgeni ç t prçlr kullnrk yp n z. Ypt n z dik üçgeni, bütün kenrlr etrf nd yr yr 360 döndürünüz. Olufln flekilleri inceleyiniz. fiekiller rs ndki frklr nedir? Belirleyiniz. - 37 -
Öğrenme lnı: ÖLÇME I I I. ÜNİTE HCİM ÖLÇÜMLERİ yn büyüklükte iki dikdörtgen krtondn biri k s kenr, di eri uzun kenr boyunc k vr l r silindir yp l rs hngi silindirin hcmi büyük olur? 1. ÜÇGEN PR ZMNIN, KRE PR ZMNIN, D KDÖRTGENLER PR ZMSININ VE S L ND R N HCM N N HESPLNMSI ) Üçgen Prizm B C c B c b C b h h c b B C Üçgen dik prizm c B c b C b h Tbn yüzeyleri üçgensel bölge, yn yüzeyleri dikdörtgensel bölgedir. Toplm befl yüzeyi vrd r. Tbn yüzeyleri birbirine efltir. Dik prizmlr n hcmini bulmk için tbn ln ile yükseklik çrp l r. Üçgen prizmd tbn üçgen oldu undn V = Hcim = Tbn ln. Yükseklik Δ V = (BC). h dir. Tbnlr efl üçgenlerden ve yn yüzleri dikdörtgenlerden olufln dik prizmlr, üçgen dik prizm dendi ini ö renmifltik. Tbnlr dik üçgen oln dik prizmlr, dik üçgen dik prizm, tbnlr eflkenr üçgen oln dik prizmlr, eflkenr üçgen dik prizm denir. - 38 -
1. Örnek: Tbn ln 25 cm 2 oln üçgen prizmn n yüksekli i 11 cm ise hcmi kç cm 3 tür? Çözüm : V = Hcim = Tbn ln. Yükseklik = 25. 11 = 275 cm 3 olur. 2.Örnek : B C fiekilde verilen üçgen prizmn n yüksekli i 15 cm dir. Dik üçgensel bölge fleklindeki tbn n n dik kenrlr 6 ve 8 cm oln prizmn n hcmini bull m. 8 6 h= 15 cm B C Çözüm : Tbn ln = B. C 6.8 = = 24 cm 2 2 2 V = Tbn ln. Yükseklik = 24. 15 = 360 cm 3 olur. b) Kre Prizm B D C B D C h h h h D C B Kre dik prizm D C B B Kre dik prizmn n ç k flekli - 39 -
Tbn yüzeyleri kresel bölge, yn yüzeyleri dikdörtgensel bölgedir. Kre dik prizmn n dört tne birbirine efl dikdörtgensel bölge ile iki tne efl kresel bölge olmk üzere toplm lt yüzeyi vrd r. Hcim, tüm dik prizmlrd oldu u gibi tbn ln ile yüksekli in çrp m d r. Hcim = Tbn ln. Yükseklik V = 2. h 1.Örnek : Tbn kenr uzunlu u 6 cm ve yüksekli i 12 cm oln H G kre prizmn n hcmi kç cm 3 tür? Çözüm : Hcim = Tbn ln. Yükseklik V = 2. h E F 12 cm = 6 2. 12 = 36. 12 = 432 cm 3 tür. D 6 cm B C 6 cm 2.Örnek : Tbn ln 49 cm 2 ve yüksekli i 15 cm oln kre prizmn n hcmi kç cm 3 tür? H G Çözüm : V = Tbn ln. Yükseklik 49cm 2 = 49. 15 E F = 735 cm 3 tür. 15 cm D 49cm 2 c) Dikdörtgenler Prizms fl d dikdörtgenler prizms ve ç k flekli çizilmifltir. nceleyiniz. B C b D C b D C C D b B c B b c c c b c D C b c B B b - 40 -
Kibrit kutusunu düzgün çt n zd yukr dki gibi bir flekil görürsünüz. Dikdörtgenler prizms n n bütün yüzeyleri dikdörtgendir. kifler ikifler birbirine eflit lt yüzeyi oln dikdörtgenler prizms n n hcmi, tbn ln ve yüksekli in çrp m n eflittir. Dikdörtgenin ln iki kenr n çrp m oldu und; T. =.b Hcim = Tbn ln. Yükseklik V =. b. c olur. Örnek : Kenr uzunluklr 7, 9 ve 11 cm oln dikdörtgenler prizms n n hcmi kç cm 3 tür? Çözüm : H =. b. c V = 7. 9. 11 V = 693 cm 3 tür. 9 cm 7cm d) Silindir 11 cm Bir dikdörtgenin bir kenr etrf nd 360 döndürülmesiyle olufln cisme dik silindir denir. r D C h r B Dik silindir 2πr r Dik silindirin ç k flekli Dik silindirin ç k flekli birbirine efl iki dire ve bir dikdörtgensel bölgeden meydn gelir. Bu silindirin hcmi di er prizmlrd oldu u gibi tbn ln ve yüksekli inin çrp m d r. Tbn ln = π. r 2 Hcim = Tbn ln. Yükseklik V = π. r 2. h - 41 -
1.Örnek : Yr çp 4 cm, yüksekli i 7 cm oln silindirin hcmi kç cm 3 tür? ( π = 3) Çözüm : Hcim = π. r 2. h ise r 2 = 42 = 16 V = 3. 16. 7 V = 336 cm 3 bulunur. 7cm 2.Örnek : Hcmi 240 cm 3 ve yüksekli i 15 cm oln dik silindirin tbn ln kç cm 2 dir? Çözüm: Hcim = Tbn ln. Yükseklik 240 = x. 15 x = 240 15 = 16 cm 2 dir. 15 cm 2. P RM T VE KON N N HCM N N HESPLNMSI ) Pirmit Tbn düzgün çokgensel bölge, ynl yüzeyleri yn tepe nokts nd birleflen birbirine efl üçgensel bölgelerden olufln cisimlere düzgün pirmit denir. Pirmitler tbn dlr n göre dlnd r l rlr. Üçgen pirmit Dikdörtgen pirmit Beflgen pirmit Düzgün dik pirmitlerde; * Tbn düzgün çokgensel bölgedir. * Ynl yr tlr efltir. * Ynl yüzler birbirine efl birer ikizkenr üçgensel bölgedir. D H T Tepe 123 /2 B Kre dik pirmit h h Ynl yr t E /2 123 C 123 /2 14243-42 -
* Tepe nokts n, tbn n ort nokts n birlefltiren do ru prçs, düzgün pirmidin cisim yüksekli idir. TH = h ( cisim yüksekli i) * Ynl yüzlerden birine it yükseklik, pirmidin ynl yüz yüksekli idir. ET = h (Yn yüz yüksekli idir.) (Tepe) Yn yüz yüksekli i T 123 h Yn yüz 2 E 123 2 Tbn Kre dik pirmidin ç k flekli Pirmidin Hcmi = eflitli i ile bulunur. 1 3. Tbn ln. Cisim yüksekli i 1.Örnek : Tbn kenr 8 cm ve cisim yüksekli i 12 cm oln düzgün kre pirmidin hcmini bull m. Çözüm : V = 1. 8 2. 12 3 V = 256 cm 3 bulunur. 2.Örnek : fiekildeki düzgün kre pirmitte, B = BC = 20 cm, EF = 26 cm ise kre pirmidin hcmi kç cm 3 tür? E D 20 cm 26 cm C F 20 cm B 14243-43 -
Çözüm : EHF dik üçgeninden yrrlnrk pirmidin cisim yüksekli i oln EH nu bull m: E 102 + h 2 = 26 2 (Pisgor b nt s ) h 2 = 26 2-10 2 h 2 = 676-100 h 2 = 576 h 26 cm h = 24 cm dir. D 20 cm H 10 F C 20 cm B 14243 V = 1 3. Tbn ln. Cisim Yüksekli i V = 1. 20. 20. 24 3 V = 3200 cm 3 tür. Etkinlik : Birkç prizm ve pirmidi birlikte inceleyiniz. Y : yüz sy s, K: köfle sy s, : yr t sy s olmk üzere, tüm cisimlerde Y + K = + 2 eflitli ini (Euler b nt s ) do ruly n z. b) Koni Bir dik üçgensel bölgenin dik kenrlr ndn biri etrf nd 360 döndürülmesiyle olufln cisme dik koni denir. fl d dik koninin kpl ve ç k flekli çizilmifltir. T x Ynl ln B 0 r Dik koni C 2πr 0 r Dik koninin ç k flekli Dik koninin ynl yüzeyi x ç l bir dire prçs, tbn ise diredir. Etkinlik: Siz de r yr çpl bir dire çiziniz. Bu direden 60 lik bir dilimi kesip ç kr n z. Elde etti iniz dire dilimlerini, yr yr, yr çplr boyunc bntly n z. ç k k sm n n bir dire ile kpt ld n ve içinin dolu oldu unu düflününüz. Hngi geometrik cismi elde ettiniz? - 44 -
fl d bir direden elde edilebilecek oln iki koni çizilmifltir. 0 0 r r r r 0 Koninin Hcmi = 1. Tbn ln. Yükseklik 3 T Tbn dire oldu u için Tbn ln = π. r 2 dir. V = 1.π.r 2. h b nt s yz l r. 3 h 0 r B Örnek : Tbn yr çp n n uzunlu u 7 cm, yüksekli i 6 cm oln bir dik koninin hcmini bull m. π = 22 7 Çözüm: V = 1 3. π.r2.h = 1 3. 22 7.72. 6 = 22. 14 V = 308 cm 2 bulunur. 6 cm 7 cm - 45 -
KONU DE ERLEND RME 1. Üçgen prizm fleklindeki evin çt hcminin 1980 m 3 ve uzunlu unun 15 m oldu u biliniyor. Bun göre üçgen fleklindeki bölgeye kç m 2 lik d fl yüzey kplms gereklidir? 2. Kenr uzunluklr 2m, 3m ve 4m oln dikdörtgenler prizms fleklindeki su deposun kç m 3 su koybiliriz? 3. yr tlr 40 cm, 50 cm ve 60 cm oln bir kutunun içine bir kenr 10 cm oln küplerden en çok kç tne yerlefltirilebilir? 4. Tbn çp 2m oln dik silindir fleklindeki f ç n n yüksekli i 3 metredir. Bu f ç y kç m 3 sirke konulbilir? (π = 3) 5. Tbn kenr 9 cm ve yüksekli i 14 cm oln kre dik prizmn n hcmi kç cm 3 tür? 6. Tbn yr çp 5 cm ve yüksekli i 14 cm oln koninin hcmi kç cm 3 tür? 22 (π = ) 7 7. Tbn kenr 12 m oln kre pirmidin yüksekli i 15 m dir. Pirmidin hcmi kç m 3 tür? - 46 -
Öğrenme lnı: İSTTİSTİK IV. ÜNİTE DİRE GRFİĞİ Okulunuzdki ö renci sy s n, mesleklerine göre dire grfi i ile gösterirseniz, en büyük dire dilimi hngi mesle i gösterir? D RE GRF Özet bilgileri verilen çokluklr, bir direde çokluk miktr n göre hesplnn merkez ç lr çizilerek dire dilimleri biçiminde gösterilebilir. Böylece dire grfi i elde edilir. 1. Örnek: Bir ksbd yflyn insnlr n 400 ü çiftçidir, 100 ü esnft r, 40 memurdur ve 180 i de hyvnc l kl u rflmktd r. Bu meslek gruplr n dire grfi i biçiminde gösterelim. Çözüm : Meslek d Çiftçi Esnf Memur Hyvnc l kl U rfln Kifli Sy s 400 100 40 180 Toplm insn sy s = 400 + 100 + 40 + 180 = 720 dir. Bir çember yy 360 dir. Bir insn krfl l k gelen merkez ç n n ölçüsü; 360 : 720 = Çiftçi : 400. 0,5 = 200 Esnf : 100. 0,5 = 50 1 2 = 0,5 dir. Memur : 40. 0,5 = 20 Hyvnc l kl u rfln : 180. 0,5 = 90 lik dire dilimi ile belirtilir. Ç FTÇ 200 90 Hyvnc l kl U rfln 50 Esnf 20 Memur - 47 -
2. Örnek: Her ö retmenin, B ve C gzetelerinden birini okudu u bir okuld, ö retmenlerden 18 i gzetesini, 10 u B gzetesini ve 12 si de C gzetesini okumktd r. Bir diresel grfik çizildi inde gzetesini okuyn ö retmenleri gösteren dilimin merkez ç s kç derece olur? Çözüm: Ö retmen sy s = 18 + 10 + 12 = 40 t r. 360 40 = 9 bir ö retmene düflen merkez ç d r. gzetesini 18 kifli okudu u için, 18. 9 = 162 olur. 3.Örnek: fl dki dire grfi i bir iflçinin yl k hrcmlr n göstermektedir. yl k e itim msrf 240 TL oln bu iflçinin yl k giderleri toplm kç TL dir? Çözüm: G d = 150 Giyim = 90 Kir = 30 Toplm = 270 olur. 360-270 = 90 e itime kln pyd r. 90 deki gider 360 deki gider x 240 TL ise D.O 90. x = 360. 240 x = 960 TL dir. G d 150 Giyim 90 E itim Kir 30-48 -
KONU DE ERLEND RME 1. Dört rkdfl bir koli çikolty flekildeki gibi pylflm fllrd r. ld klr pylr göre 12 kg çikolt için; ) En fzl py kim lm flt r? b) Yi it ile li nin ld klr toplm py kç kg d r? c) Onur kç kilogrm lm flt r? d) Emre, Yi it ten fzl lm fl m d r? lm fls kç kg fzld r? Onur 1 4 li 1 3 Yi it Emre 1 4 2. Yndki dire grfi i bir h rdvtç dki hftl k st fl ornlr n göstermektedir. fl dki sorulr bu grfi e göre yn tly n z. ) Çelik tel st fl orn yüzde kçt r? b) Toplm st fl tutr 7200 TL ise kç lirl k vid st lm flt r? c) Tutkl n st fl tutr 540 TL olsyd çivinin st fl tutr kç TL olurdu? % 32 Çivi Çelik tel % 18 Tutkl % 36 Vid 3. Okulunuzdki ö rencilerin mesleklere göre d l m sy s n okul idresinden ö reniniz. Bu d l m uygun bir dire grfi i hz rly n z. Kendi meslek grubunuzu gösteren dire diliminin merkez ç s kç derecedir? - 49 -
SÖZLÜK ç : Bfllng ç noktlr ortk oln iki fl n n birleflimi. d m : Öndeki y n topu u ile rkdki y n topu u rs ndki mesfe. ln : Bir yüzeyin ölçümü vey bir yüzey prçs n krfl l k gelen pozitif sy. rd : ki vrl n rs nd bulunm durumu. rlr nd sl sy lr sl sy : 1 den bflk ortk böleni olmyn sy lr. : 1 den ve kendisinden bflk böleni olmyn, 1 den büyük do l sy. B bsit kesir : Py, pyds ndn küçük oln kesir. benzer : Görünüflleri ve biçimleri yn oln. benzerlik : ki geometrik fleklin, krfl l kl ç lr n n efl ve krfl l kl kenrlr n n ornt l olms. benzerlik orn : Benzer iki üçgenin krfl l kl kenr uzunluklr n n orn. benzer üçgenler : Krfl l kl kenr uzunluklr ornt l vey krfl l kl ç lr efl üçgenler. boyut : Do rulr n, yüzeylerin vey cisimlerin ölçülmesinde ele l nn üç do rultudn (uzunluk, genifllik ve derinlikten) her biri. çp çember çembersel bölge çevre çokgensel bölge C - Ç : Çemberde merkezden geçen kirifl. : Düzlemde sbit bir noktdn, eflit uzkl kt bulunn noktlr n kümesi. : Çember ve çemberin içindeki noktlr n oluflturdu u yüzey. : Kpl bir e rinin uzunlu u oln pozitif sy vey bir çokgenin bütün kenr uzunluklr n n toplm. : Bir çokgen ile iç bölgesinin birleflimi. dr ç derece D : Ölçüsü 90 dereceden küçük oln ç. : ç ölçüsü birimi. Bir çemberin 360 eflit prçs ndn birini gören merkez ç s n n ölçüsüne, bir derecelik ç denir. - 50 -
dik ç do ru do ru prçs düzlem : Ölçüsü 90 derece oln ç. : Her iki ucundn s n rs z oln düz çizgi. : ki ucu d s n rl oln düz çizgi. : S n rs z büyüklükteki düz yüzey. efl eflit frk E - F : Her bk mdn yn. : Belli bir bk mdn birbirinden fzl y d eksik olmyn. : Ç krm iflleminin sonucund elde edilen sy. genifl ç l üçgen hipotenüs G - H : Bir iç ç s 90 dereceden büyük oln üçgen. : Bir dik üçgende, en uzun kenr. fl n iç ters ç iletki I - : Do ru üzerinde kln bir nokt ile bu noktn n bir trf nd kln tüm noktlr n birleflimi. : Birer kenrlr yn do ru üzerinde, di er kenrlr prlel olup z t yönlü fl nlrdn olufln iki ç. : Bir ç y ölçmeye ve çizmeye yryn yr m çember biçiminde rç. kpl flekil kenr komflu ç lr K - L : Çizimi bflln ln noktd bitirilen flekil. : Bir çokgenin s n rlr n belirleyen do ru prçlr. yr t. : Köfleleri ile birer kenrlr ortk ve iç bölgeleri yr k oln iki ç. merkez ç nokt M - N : Köflesi çemberin merkezinde oln ç. : Düflünebildi iniz en küçük iz. Hiçbir boyutu olmyn iflretler. orn O : yn cinsten iki çoklu un birbirine bölünerek krfl lflt r lms. prlel do rulr pozitif yön P - R : yn düzlemde bulunduklr hâlde r kesitleri bofl küme oln do rulr. : Stin dönme yönüne ters yön. - 51 -
silindir S : lt ve üst yüzeyleri birbirine efl direlerden olufln, yn yüzü e ri cisim. T tm ç : Ölçüsü 360 derece oln ç. ters ç lr : Kenrlr z t fl nlr oln iki ç. tümler ç : Ölçüleri toplm 90 derece oln iki ç. U - Ü uzkl k : ki nokty birlefltiren do ru prçs n n uzunlu u. üçgen : Do rusl olmyn üç nokty ikifler ikifler birlefltiren do ru prçlr n n oluflturdu u noktlr kümesi. üçgensel bölge : Bir üçgen ile iç bölgesinin birleflimi oln nokt kümesi. ymuk yr do ru yöndefl ç lr yükseklik z t fl nlr Y - Z : ki kenr prlel oln konveks dörtgen. : Bir nokts ç kr lm fl do runun prçlr ndn biri. : Kenrlr yn yönde prlel oln ç lr. : Bir üçgende bir köfleden krfl kenr indirilen dikmenin uzunlu u. : Bfllng ç noktlr ve do rultulr yn oln yönleri frkl iki fl n. - 52 -
KYNKÇ 1. HCISL HO LU, Prof.Dr.H.Hilmi; Prof.Dr. fieref M RSYED O LU, hmet KPINR, Mtemtik Ö retimi, sil Yy nevi, nkr, 2004. 2. BRIfi, Mehmet, Lise 1 mtemtik, D.K. stnbul, 2000. 3. KPINR, hmet, Lise 1 mtemtik, Okyy Yy nc l k, nkr, 2001. 4. HS, Hsn; Mehmet Z REK, Ç rkl k Dönemi Mtemtik 1, MEB, stnbul, 1997. 5. LPEREN, Nusret, 1. ve 2. Dönem Mtemetik ve Meslek Mtemeti i, nkr, 2005. 6. HS, Hsn; Mehmet Z REK, Ç rkl k Dönemi Mtemetik 2 MEB, stnbul, 1997. 7. LTUN, Doç.Dr. Murt, Mtemetik Ö retimi, LF Yy nevi, Burs, 2004. 8. TDK Yz m K lvuzu, Türk Dil Kurumu Yy nlr, nkr, 2005. 9. TDK Türkçe Sözlük, Türk Dil Kurumu Yy nlr, nkr, 2005. 10. MEB, Mesleki E itim Merkezi Mtemtik ve Meslek Mtemti i dersi progrmlr, ustos, 2005 trihli Tebli ler Dergisi. 11. Sihirli turcom.tr. 12. kotuvepis.com. - 53 -
.
.
.