HAREKET PROBLEMLERİ Hareket problemleri, fizik dersinde işin içine ime e başka faktörler de katılarak işlenmektedir. Bizim işleyeceğimiz hareket problemleri, sabit hızla belli bir sürede alınan yolun hız ile sürenin çarpımına eşit olduğu çerçeeyle sınırlı olacaktır. : Hareketlinin hızı : Hareketlinin hızıyla t sürede aldığı yol Hızları 80 km/sa e 60 km/sa olan iki araç A kentinden B kentine doğru aynı anda hareket ediyor. Hızlı olan araç diğerinden saat önce B kentine ardığına göre, A ile B arasındaki uzaklığın kaç km olduğunu bulalım. t: Hareketlinin hızıyla yolunu alma süresi ise,.t dir. A ile B arasını yaaş olan araç t saatte gitsin. Bu durumda hızlı olan araç t saatte gider. Her iki araç için ayrı ayrı yol denklemini yazalım. AB 80.(t ) AB 60.t Saatteki hızı 60 km olan bir araç A kentinden yola çıktıktan 8 saat sonra B kentine ulaştığına göre, A kenti ile B kenti arasındaki uzaklığın kaç km olduğunu bulalım. AB km olsun. 60 km/sa Alınan yol eşit olduğuna göre, 80.(t ) 60.t.(t ).t.t.t t olur. t 8 sa olduğuna göre, AB 60.t 60. 70 km olur..t 60.8 80 km dir. A e B kentleri arasındaki uzaklık 60 km dir. A kentinden B kentine 80 km/sa hızla hareket eden bir aracın kaç saat sonra B kentine aracağını bulalım. Araç A kentinden B kentine t saatte arsın. Bir araç A kentinden B kentine 60 km/sa hızla gidip hiç beklemeden B kentinden A kentine 75 km/sa hızla dönüyor. Gidiş dönüş toplam 7 saat sürdüğüne göre, bu aracın B kentinden A kentine kaç saatte döndüğünü bulalım. Verilenlere göre, 60.t ise 60 80.t t 8 olur. 80 Bu araç B den A ya t saatte dönmüş ise,
A dan B ye 7 t saatte gitmiştir. Verilenlere göre, AB 60.(7 t) ( I ) AB 75.t ( II ) ( I ) e ( II ) eşitliklerinin sol tarafları eşit olduğuna göre, sağ tarafları da eşittir. 95.t 65.t Sonuç 600 60t t 0 olur. 60.(7 t) 75.t 60 60.t 75.t 60 5.t t olur. Aralarında 600 km uzaklık bulunan iki hareketliden bir saatte 95 km hızla, diğeri saatte 65 km hızla birbirlerine doğru aynı anda harekete geçiyorlar. bu iki aracın kaç saat sonra karşılaşacağını bulalım. Saatteki hızları km e km olan iki araç aralarında km bulunan noktalardan aynı anda birbirlerine doğru hareket ettiklerinde karşılaşma süresi, aradaki yolun uzunluğunun hızlar toplamına oranına eşittir. AB t dir. Hızı 00 km/sa olan bir araç A kentinden, hızı 80 km/sa olan bir araç B kentinden aynı anda aynı yönde hareket ediyorlar. Hareketliler aynı anda hareket etsin. 95 km/sa hız yapan hareketli yolunu, Hızlı olan araç, yaaş olan araca 6 saat sonra yetiştiğine göre, A ile B arasındaki uzaklığın kaç km olduğunu bulalım. 65 km/sa hız yapan hareketli yolunu alsın. t saat sonra C noktasında karşılaşsınlar..t 95.t ( I ).t 65.t ( II ) olur. ( I ) e ( II ) denklemlerini taraf tarafa toplayıp sonuca gidelim. AB km BC y km A dan hareket eden araç B den hareket eden aracı 6 saat sonra C de yakalasın.
AC.t y 00.6 AC.t 00 80.t ( I ) BC.t y 80.6 olur. BC.t 65.t ( II ) olur. y 600 e y 80 olduğundan, 600-80 0 bulunur. A ile B arasındaki uzaklık 0 km dir. Sonuç ( I ) denkleminden ( II ) denklemi çıkarılırsa, 00 80.t - 65.t 5.t 00 t 0 olur. BC 65.t 65.0 00 km bulunur. II.Yol Saatteki hızları km e km olan iki araç A e B noktalarından aynı anda e aynı yöne doğru hareket ederlerse arkadaki aracın öndeki aracı yakalama süresi, AB t dir. A kentinden hızı 80 km/sa olan, B kentinden hızı 65 km/sa olan iki araç aynı anda e aynı yönde hareket ediyorlar. A dan yola çıkan araç B den yola çıkan araca C kentinde yetişiyor. A ile B arası 00 km olduğuna göre, B ile C arasındaki uzaklığın kaç km olduğunu bulalım. Yukarıdaki örneği az önce erdiğimiz formülü kullanarak çözelim: 80 km/sa 65 km/sa 00 km 00 t 0 olur. 80 65 BC 65.t 65.0 00 km bulunur. Bir hareketli A şehrinden B şehrine 60 km/sa hızla gidip, B şehrinde hiç bekleme yapmadan 90 km/sa hızla A şehrine geri dönüyor. Gidiş dönüş toplam 0 saat sürdüğüne göre, A şehri ile B şehri arasındaki uzaklığı bulalım. A dan hareket eden araç B den hareket eden aracı t saat sonra B den km ileride olan C kentinde yakalasın. AB km olsun. Hareketli, AB yolunu t saatte giderse, 0 t saatte döner.
60.t ( I ) 90.(0 t) ( II ) ( I ) e ( II ) denklemlerinin sol tarafları eşit olduğuna göre sağ tarafları da eşittir. 60.t 90.(0 t) 60.t 900 90. t 50.t 900 t 6 olur. hareketli AB yolunu 6 saatte gider, saatte döner. Bu durumda A ile B arasındaki uzaklık, 60.t 60.6 60 km olur. A e B den aynı anda e aynı yönde km/sa e km/sa hızla hareket eden iki araçtan, arkadaki öndekine 0 saat sonra yetişiyorsa, t AB 0 600 60 olur. ( II ) ( I ) e ( II ) denklemlerinin ortak çözümünden, 80 km/sa bulunur. Hızları sırasıyla km e km olan iki araç A e B kentlerinden aynı anda e zıt yönde hareket ederlerse 6 saat sonra C noktasında karşılaşıyorlar. Eğer aynı anda e aynı yönde giderlerse hızlı olan diğerini 0 saat sonra D noktasında yakalıyor. AB 600 km olduğuna göre, Şekildeki gibi hızları 90 km/sa e 60 km/sa olan iki araç aynı anda e aynı yönde harekete başladıktan 0 saat sonra hızlı olan C ye arıp hiç durmadan geri dönerek B noktasında diğer araçla karşılaşıyor. BC nin kaç km olduğunu bulalım. in kaç olduğunu bulalım. Bu soruda iki farklı hareket ardır. Hızları sırasıyla km e km olan iki araç A e B kentlerinden aynı anda e zıt yönde hareket ederlerse 6 saat sonra C noktasında karşılaşsınlar. t AB 6 600 00 olur. ( I ) AB km BC y km olsun. Hızlı olan araç 0 saatte A dan C ye gidip C den B ye dönüyor. aldığı yo: + y + y dir. y y 90.0 y 900 olur. ( I ) Yaaş olan araç 0 saatte A dan B ye kadar gidiyor. Yani aldığı yol: km dir. 60.0 600 olur. ( II )
( II ) denklemindeki değerini ( I ) denkleminde yerine yazalım. y 900 600 y 900 y 50 dir. Aralarında 600 km mesafe olan A e B kentlerinden aynı anda, sabit hızla birbirine doğru hareket eden iki araç,5 saat sonra karşılaşıyor. Bu iki araçtan birinin hızı değiştirilmeden, diğerinin saatteki hızı km artırılırsa karşılaşma, hareketten saat sonra gerçekleşir. in kaç olduğunu bulalım. Araç yolun tamamını 8 saatte gittiğine göre, yolun asfalt kısmını kaç saatte gittiğini bulalım. Araç yolun asfalt kısmını t saatte giderse toprak kısmını 8 t saatte gider. Verilenlere göre, 0.(8 t) 90.t 570.(8 t) 9.t 57.t 9.t 57 t 5 olur. Araçlardan birinin hızı olsun. km/sa, diğerinin hızı km/sa Aralarındaki mesafe 600 km olan mesafe olan A e B kentlerinden aynı anda, sabit hızla birbirine doğru hareket eden iki araç,5 saat sonra karşılaştıklarına göre,,5,5 600,5 ( ) 600 0 olur. Bu iki araçtan hızı km/sa olanın hızı değiştirilmeden, hızı km/sa olan aracın hızı km artırıldığında karşılaşma saat sonra gerçekleştiğine göre, Hızları saatte 60 km e 00 km olan iki araç A kentinden B kentine doğru aynı anda hareket ediyor. Hızlı olan araç B ye arıp hiç durmadan geri dönüyor e C noktasında diğer araçla karşılaşıyor. BC AC oranını bulalım. ( ) 600 ( ) 600 00 0 00 60 olur. 570 km lik yolun bir kısmı toprak, bir kısmı asfalttır. Bu yolda gidecek olan aracın topraktaki ortalama hızı 0 km e asfalttaki ortalama hızı 90 km dir. AC km BC y km olsun. Hızı saatte 60 km olan araç C ye t saatte arsın. 60.t olur. ( I ) Hızı saatte 00 km olan araç B ye arıp C ye dönme süresi t saattir. 5
y y 00.t y 00t olur. ( II ) ( I ) denklemindeki in değerini ( II ) denkleminde yerine yazılırsa, 60.t y 00.t y 0t olur. BC y 0.t olur. AC 60.t Hızı saatte 60 km olan bir hareketli A noktasından, hızı saatte 00 km olan diğer bir hareketli B noktasından birbirlerine doğru aynı anda hareket ediyorlar e C gibi bir noktada karşılaşıyorlar. A dan hareket eden, karşılaştıklarından 5 saat sonra B noktasına ardığına göre, A ile B arasının kaç km olduğunu bulalım. A e B kentleri arasındaki yolun ünde onarım yapılmaktadır. Yolun düzgün kısmında saatte km hızla giden bir araç, onarım olan kısmında saatte km hızla gitmiştir. Bu koşullarda A ile B kentleri arasındaki yolun tamamını 0 saatte giden bu araç, onarım yapılan kısmı kaç saatte gittiğini bulalım. Yolun tamamı km olsun. Araç, onarım yapılan kısmı t saatte gitsin. Bu durumda düzgün kısım 0 t saatte gidilir. Verilenlere göre, t. olur. ( I ) (0 t). olur. ( I ) ( I ) e ( II ) denklemleri taraf tarafa bölünürse, t. t (0 t). (0 t). t 5 olur. A dan hareket eden hareketli; B den hareket eden hareketli ile C de karşılaştıktan sonra B ye 5 saatte ardığına göre, B ile C arası: BC 5.60 00 km olur. B ile C arası 00 km olduğuna göre, B den yola çıkan 00 hareketli B ile C arasını saatte almıştır. 00 A dan yola çıkan hareketli de A ile C arasını saatte aldığına göre, AC 60. 80 km olur. AB AC BC 80 00 80 km dir. Uzunlukları sırasıyla 600 m e km olan iki tünelden, birincinin bitiş noktasıyla ikincinin başlangıç noktası arasındaki uzaklık 50 m dir. Uzunluğu 50 m, saatteki hızı 90 km olan bir trenin, birinci tünele girdiği andan kaç dakika sonra ikinci tünelden tamamen çıkacağını bulalım. 6
Gidiş hızı: k a Dönüş hızı:.t ise k a dir. t 80 km lik uzaklık 5 saatte gidildiğine göre, Uzunluğu 50 m olan trenin, tünelden girip. tünelden tamamen çıkması için; Gidiş hızı = 80 ise 6 ( I ) olur. 5 k a 80 km lik uzaklık saatte dönüldüğüne göre,. tünel uzunluğu + İki tünel arasındaki mesafe +. tünel uzunluğu + trenin uzunluğu Dönüş hızı = 80 ise 0 ( II ) olur. k a kadar yol alması gerekir. 600m 50m 000m 50m 000m km km yol saatte 90 km hızla,.t 90.t t 90 0 t.60 dakikada alınır. 0 Bir adam kayıkla akıntıya karşı 5 saatte 80 km ilerleyebiliyor. Ulaştığı noktadan başlangıç noktasına saatte dönüyor akıntının yere göre hızının saatte kaç km olduğunu bulalım. ( I ) e ( II ) denklemlerinin ortak çözümünden olur. a Eşkenar üçgen şeklindeki bir koşu pistinin A noktasından hareket eden koşucu aynı noktaya saat sonra, C noktasından hareket eden koşucu aynı noktaya 6 saat sonra gelmektedir. Aynı anda saat yönünde hareket eden bu iki koşucunun kaç saat sonra ilk kez aynı anda A noktasında olacaklarını bulalım. A dan hareket eden koşucu her saat başı ( saate bir) a noktasında olacaktır. C den hareket eden koşucu eşkenar üçgenin çeresini 6 saatte koştuğuna göre, her bir kenarı saatte koşar. koşuya başladıktan; saat sonra; Kayığın hızı: Akıntının hızı: k a A daki koşucu A ya, C deki koşucu B ye armıştır. saat sonra; A dan harekete başlayan koşucu A ya, C den harekete başlayan koşucu A ya armıştır. 7
Yani saat sonra sonra iki koşucu ilk kez aynı anda A noktasında olacaklardır. Şekildeki, düzgün altıgen biçimli ABCDEF koşu pistinin A noktasından iki koşucu aynı anda koşmaya başlıyorlar. Birisi AFEK yolunda hızıyla, diğeri ABCDK yolunda hızı ile koşuyorlar. İki koşucu, t saat sonra K noktasında karşılaşıyorlar. 7 DK olduğuna göre, KE nin kaç olduğunu bulalım. Koşucular yola çıktıktan t saat sonra karşılaştıklarına göre e şekil düzgün altıgen olduğu için, DK e KE y alınırsa, ED y olur. Verilen şekil düzgün altıgen olduğu için, AFEK y, ABCDK y olur. AFEK.t y.t ( I ) Çeresi 50 m olan dairesel bir pistte aynı noktadan, aynı anda e zıt yönde harekete başlayan iki koşucunun hızları sırasıyla; 8 m/da e m/da dır. Bu iki koşucu ilk kez karşılaştıktan sonra hızlı olan koşucunun kaç dakika sonra tekrar A noktasına aracağını bulalım. 50 ( 8).t 50 Koşucular ilk kez B noktasında karşılaşsınlar. Aynı anda e zıt yönde hareket ettiklerinde dakika sonra B ye geliyorlarsa; 0.t 50 t 5 tir. 0 Yani koşmaya başladıktan 5 dakika sonra B ye arıyorlar. Bu sürede hızı düşük olan koşucunun aldığı yol m ise; t ABCDK.t y.t ( II ).5 80 m dir. ( I ) denklemi ( II ) denklemine taraf tarafa bölünürse, y.t y 7 y.t y y 8.y.y 6. olur. y 6 Bu yolu hızı yüksek olan koşucunun aldığı süre 80 80 8.t t 0 dakika bulunur. 8 t ise, Birinin hızı diğerinin hızının katı olan iki koşucu, bir çembersel pistin başlangıç noktasından aynı anda e aynı yönde koşmaya başlıyorlar. 8
Bu iki koşucu, ilk kez, aynı anda pistin başlangıç noktasına geldiklerinde daha hızlı olan koşucunun kaç tur atacağını bulalım. Pistin çeresi 60 metre olduğuna göre, hareketliler, 60 60 7 dakika sonra yan yana gelirler. 0 5 5 Alınan yol, hız ile doğru orantılıdır. Bunun için hızı olan koşucu tur attığında hızı olan koşucu tur atar. Kural Bir hareketlinin aldığı toplam yolun, toplam süreye oranına ortalama hız denir. Alinan Toplam Yol Ortalama Hiz Toplam Zaman Sabit hızla giden A e B hareketlilerinin yol-zaman grafiği aşağıdaki gibidir. 60 km/sa hızla saat, 90 km/sa hızla saat yol alan bir hareketlinin ortalama hızının kaç km/sa olduğunu bulalım. ort Toplam Yol 60. 90. 60 km/sa Toplam Zaman Bir araç bir yolun 50 km lik kısmını 60 km/sa hızla, 0 km lik kısmını da 70 km/sa hızla gidiyor. Bu iki hareketli, çere uzunluğu 60 metre olan dairesel bir pistte aynı noktadan, aynı anda e aynı yönde, grafikteki hızlarıyla hareket etseler hareketlerinden kaç dakika sonra ilk kez yan yana gelirler sorusunu ceaplayalım. A hareketlisi 5 dakikada 50 metre yol aldığına göre 50 dakikada 0 metre yol alır. 5 B hareketlisi 0 dakikada 00 metre yol aldığına göre 00 dakikada 5 metre yol alır. 0 İki hareketlinin, dairesel bir pist etrafında aynı anda e aynı yönde harekete başladıktan sonra ilk kez yan yana gelmesi için, hızlı olanın bır tur bindirmesi gerekir. Bu aracın yolun tamamındaki ortalama hızı kaç km/sa olduğunu bulalım. Ortalama hız için, toplam yol e toplam süreyi bulalım. Toplam yol: 50 + 0 = 960 km dir. 50 50 60.t t 9 saat 60 0 0 70.t t 6 saat 70 Toplam süre: 9 + 6 = 5 saattir. 960 6 km/sa olur ort 5 9
Bir araç A kentrinden B kentine 60 km/sa hızla gidip 90 km/sa hızla dönüyor. Bu aracın gidiş e dönüşteki ortalama hızının kaç km/sa olduğunu bulalım. AB km olsun. Bu durumda, toplam yol: + = km dir. 60.t t saat 60 90.t t saattir. 90 Toplam süre: ort Sonuç 5 saattir. 60 90 80 80 Toplam Yol 80. 7 km/sa dir. Toplam Zaman 5 5 80 Bir araç A ile B arasını AB km; saatte gidip km hızla km hızla dönerse gidiş dönüş ortalama hızı, Toplam Yol.. dir. ort Toplam Zaman Bir hareketli gideceği yolun ünü hızıyla kanlını da hızıyla gidiyor. hareketlinin ortalama hızını bulalım. AB km BC km olsun. Hareketli A ile B arasını alsın..t t ( I ).t t ( II ) 9 t saatte, B ile C arasını Alinan Toplam Yol Ortalama Hiz Toplam Zaman ort Çözümlü Sorular t saatte 9 km/sa olur. 5 9 9. Hızları sırasıyla saatte 8 e 6 olan iki hareketli aynı anda A e B şehirlerinden birbirine doğru harekete başlıyor e saat sonra karşılaşıyor. A şehrinden hareket eden aracın hızı, B şehrinden hareket eden aracın hızı olsaydı iki araç hareketlerinden kaç saat sonra karşılaşırdı? Hızları sırasıyla saatte 8 e 6 olan iki hareketli aynı anda A e B şehirlerinden birbirine doğru harekete başlıyor e saat sonra karşılaştıklarına göre, A şehri ile B şehri arası, AB.(8 6) 56 olur. 0
A şehrinden hareket eden aracın hızı, B şehrinden hareket eden aracın hızı olmak üzere hareketliler t saat sonra karşılaşsınlar. AB t.( ) 56 t.7 t 8 bulunur.. M kentinden N kentine km/sa hızla giden bir araç, N kentinden M kentine km/sa hızla geri dönmüştür. Bu aracın bu yolda gidiş dönüşü saat sürdüğüne göre, M kentinden N kentine kaç saatte gitmiştir? Araç M kentinden N kentine t saatte gitmiş olsun. Buna göre, N kentinden M kentine t saatte dönmüştür. Bu durumda, MN.t ( I ) NM.( t) ( II ) olur. MN NM olduğundan,.( t).t t 8 olur. BC.75 00 km olur.. Bir aracın hareketinden a saat sonra deposunda kalan benzin miktarı b litre olmak üzere, b a bağıntısı ile tanımlıdır. 7 km/sa hızla giden bu aracın deposunda kalan benzin miktarı litre olduğuna göre, aldığı yol kaç km dir? Aracın deposunda kalan benzin miktarı litre olduğuna göre, b tür. bu aracın hareket süresi, b a a a 6 dır. Bu araç 7 km/sa hızla 6 saat gittiğine göre, aldığı yol, 6.7 km olur. 5.. C noktasından aynı anda A ile B ye harekete başlayan iki hareketliden B ye giden, 65 km/sa hızla giden hareketlinin A ya gitmesinden saat önce B ye gidiyor. A ile B arası 755 km olduğuna göre, B ile C arası kaç km dir? İki otobüs A e B noktalarından aynı anda e aynı yönde hareket ediyorlar. A dan hareket edenin hızı + 0 km/sa, B den hareket edenin hızı + 0 km/sa dır. A dan hareket eden saat sonra diğerine C noktasında yetiştiğine göre, A ile B arası kaç km dir? Verilenlere göre, B ye giden hareketli B ye t saatte gidiyorsa, A ya giden hareketli A ya t + saatte gider. 75t 65.(t ) 755 75t 65t 95 755 AC BC.( 0).( 0) dur. 0t 560 t olur. AC AB BC
.( 0) AB.( 0) 0 AB 0 AB 80 km dir. 6. Bir otobüs A kentinden B kentine 8 saatte, bir minibüs B kentinden A kentine 0 saatte gitmektedir. Otobüs A kentinden, minibüs B kentinden aynı anda birbirlerine doğru harekete başlıyor. Kaç saat sonra karşılaşırlar? Otobüsün hızı a km/sa, minibüsün hızı b km/sa olsun. AB 8a 0b ( I ) olur. a 5 8a 0b tür. ( II ) b İki hareketli t saat sonra karşılaşsınlar. Bu durumda, iki hareketlinin alacağı yolların toplamı AB a.t b.t olur. ( III ) ( I ) e ( III ) eşitliklerinin sol tarafları eşit olduğuna göre, 8a a.t b.t 8a a.t b.t a.(8 t) b.t a t olur. ( IV ) b 8 t ( II ) e ( IV ) eşitliklerinin sol taraflarının eşitliğinden, 5 t t 0 5t 9t 0 8 t 0 t olur. 9 7. Bir hareketli, belli bir yolu saatte ortalama km hızla a saatte almıştır. Hareketli, ortalama hızını saatte 0 km artırırsa bu yolun katını kaç saatte alır? Yolun uzunluğu A km olsun. Hareketli A km lik yolu saatte km hızla a saatte alırsa: A a. olur. ( I ) Hareketli bu yolun katını saatte a + 0 km hızla t saatte alırsa: A (a 0).t olur. ( II ) ( I ) denklemini ( II ) denklemine taraf tarafa bölersek, A a. a. A (a 0).t (a 0).t 8..a. t olur. a 0 İki yarışmacı, şekildeki A noktasından aynı anda koşuya başlıyor. Biri AB yönünde hızı ile, diğeri AH yönünde hızı ile, düzgün sekizgenin çeresinde koşuyorlar. İki yarışmacı, ilk kez FE nin orta noktasında karşılaştığına göre, oranı kaçtır? Düzgün sekizgenin bir kenarı birim olsun. Ve A noktasından aynı anda hareket eden koşucular t saat sonra K noktasında karşılaşsınlar. Bu durumda hızı ile hareket eden yarışmacı 9 birim, hızı ile hareket eden yarışmacı 7 birim yol alır.
9.t ( I ) 7.t ( II ) olur. Birinci denklem ikinci denkleme taraf tarafa bölünürse, 9.t 9 7 olur. 7.t 7 9 9. Bir hareketli A noktasından B noktasına otobüs ile giderse, minibüs ile gittiği sürenin ü kadar sürede arabiliyor. 0. m ( m 0)... 0 m m 0 olur. m A noktasından B noktasına e C noktasına uğrayıp en kısa yoldan tekrar A noktasına dönecek olan bir hareketli sabit bir hızla harekete başlıyor. B ile C arasında hızını iki katına çıkarıyor. Daha sonra C ile A arasında hızını başlangıçtaki hızına getiriyor. A noktası ile B noktası arasındaki uzaklık 600 km, otobüsünü saatteki hızı minibüsün saatteki hızından 0 km fazla olduğuna göre, minibüsün hızı saatte kaç km dir? Minibüsün saatteki hızı olsun., otobüsün saatteki hızı m o Otobüsün saatteki hızı minibüsün saatteki hızından 0 km fazla olduğuna göre, o 0 dir. m Minibüsün A noktasından B noktasına arış süresi t ise, t otobüsün arış süresi olacaktır..t 600 ( I ) m t. 600 ( II ) o ( I ) e ( II ) denklemlerinin sağ tarafları eşit olduğu için sol tarafları da eşittir..t m. o t m. o AB 0 km BC 0 km AC 00 km dir. Hareketli yolun tamamını 5 saatte aldığına göre, hareketlinin başlangıçtaki hızı saatte kaç km dir? Hareketlinin başlangıçtaki hızı saatte km olsun. Bu durumda B ile C arasında hızı saatte km, C ile A arasında km olacaktır. AB BC CA 5 0 0 00 5 0 70 00 5
90 90 5 58 olur. 5. Bir hareketli bir yolun sini 0 km/saat hızla, ünü 0 km/saat hızla, kalan yolu 0 km/saat hızla alıyor. Üçüncü gelen atlet 00 9 = 6 metre yol gitmiştir.. Durum İkinci gelen atlet koşuyu bitirmek için 0 metre gittiğinde, üçüncü gelen atlet y metre yol gitmiş olsun. Buradan, Bu aracın tüm yol boyunca ortalama hızı kaç km/saat tir? Yolun tamamı 6a km olsun. Yolun si a km, ü a km e kalan yol a km dir. a a 0.t t dir. 0 80.y 6.0 y 9 dur..durumda üçüncü gelen atletin yarışmayı bitirmesine 9 metre kalmıştı..durumda 9 metre gittiğine göre, ikinci gelen atlet yarışı bitirdiğine göre üçüncü gelen atletin yarışı bitirmesine 8 9 = 9 metre kalır.. a a 0.t t tır. 0 a a 0.t t dur. 0 ort Toplam Yol 6a Toplam Zaman a a a 0 0 0 6a 8a 0 6a 80.0 olur. 8a 7. 00 metrelik bir koşuda birinci gelen atlet koşuyu, ikinci gelen atletten 0 metre, üçüncü gelen atletten de 9 metre önde bitirmiştir. ikinci gelen atlet koşuyu üçüncüden kaç metre önde bitirecektir? A e B den aynı anda e aynı yönde hareket eden iki aracın hızları sırasıyla 75 km/sa e 55 km/sa dir. İki araç aynı anda C noktasına ardıklarına göre AC BC AB oranı kaçtır? Hareketliler harekete geçtikten t saat sonra aynı anda C ye arsınlar. AC 75.t dir. ( I ) BC 55.t dir. ( II ) ( I ) e ( II ) den,. Durum AB BC AC AB 75.t 55.t İkinci atlet 00 0 = 80 metre gittiğinde, AB 0.t dir.
AC BC AB 75.t 55.t 0.t 0.t 0.t bulunur.. Bir hareketlinin a km uzunluğundaki bir yolu t saatte alması isteniyor..t Hareketli yolun ini saatte aldığına göre, yolu 5 zamanında tamamlayabilmesi için geri kalan yolda hızını kaç katına çıkarmalıdır?.t Hareketli yolun ini hızıyla 5 kalan 5 ini t saatte alması gerekir. saatte alırsa, yolun hareketli son durumda hızını katına çıkarsın. Bu durumda.a.t. ( I ) 5.a t.. ( II ) olur. 5 ( I ) numaralı denklem ( II ) numaralı denkleme taraf tarafa bölünürse, 5 saatin sonunda aracın deposunda kalan benzin miktarı 0 olduğuna göre, araç 60 litre benzin ile 5 saat gidebilmektedir. Yani her saatte, 60 litre benzin yakmaktadır. 5 Son durumda, aracın deposunda litre benzin kaldığına göre, aracın hareket süresi, 60 8 saattir. 5 Şekil II ye göre araç saatte 0 km yol almaktadır. Buna göre araç saatte, 0 80 km yol alır. Aracın hareket süresi saat olduğuna göre, aldığı yol,.80 0 km dir..a 5.a 5.t. olur. t.. 6. Hızları sırasıyla,,. olan üç araçtan t birincinin t saatte aldığı yol a km, ikincinin saatte aldığı yol b km dir. 5. Sabit hızla hareket eden bir aracın, yolda geçen süreye göre deposunda kalan benzin miktarı şekil I deki grafikle, aynı aracın yolda geçen süreye göre aldığı yol miktarı şekil II deki grafikle gösterilmiştir. Aracın deposunda litre benzin kaldığında, aracın aldığı yol kaç km dir? Hızı Buna göre üçüncünün t saatte aldığı yol kaç km dir.? olan aracın t saatte aldığı yol a ise, a.t dir. ( I ) 5
Hızı t olan aracın saatte aldığı yol b ise, t b b..t dir. ( II ) Hızı. olan aracın t saatte aldığı yol, (. ).t..t.t 7. b a b a km dir. ( I ) e ( II ) eşitliklerinin sol tarafları eşit olduğuna göre, eşitliklerin sağ tarafları da birbirine eşittir..( ) 7.( 9.( ) ) 9 9. 7 olur. 7 A e B kentlerinden saatteki hızları sırasıyla olan iki araç bir birine doğru aynı anda hareket e 8. ederlerse saat sonra C noktasında karşılaşıyorlar. Bu araçlar aynı kentlerden aynı yönde hareket ederlerse hızlı giden araç diğerine yetişiyor. 7 saat sonra D noktasında oranı kaçtır? e hareketlileri bir birine doğru hareket ederek saat sonra C noktasında karşılaştığına göre, Çeresi 600 metre olan düzgün sekizgen şeklindeki bir pist üzerinde iki hareketli aynı anda biri A noktasından, diğeri D noktasından okların yönünde hareket ediyorlar. A dakinin ortalama hızı dakikada 60 metre, D dekinin ortalama hızı dakikada 0 metredir. A daki hareketli D deki hareketliye hangi noktada yetişir? AB.( ) dir. ( I ) Hareketliler aynı yönde hareket ettiklerinde lerse hızlı giden 7 araç saat sonra D noktasında diğerine yetiştiğine göre, 7 AB.( ) dir. ( II ) Çeresi 600 metre olan düzgün sekizgen şeklindeki bir pistte her bir kenarın uzunluğu 600 : 8 = 00 metredir. Hareketliler arasındaki hız farkı, 60 m/dakika 0 m/dakika = 0 m/dakika dır. 6
A dan harekete başlayan hareketli her dakikada D den harekete başlayan hareketliye 0 metre yaklaşır. Başlangıçta iki hareketli arasındaki uzaklık,.00 = 600 metredir. dakikada 0 metre yaklaşan A daki hareketli, 600 metre 600 uzaklıkta bulunan D deki hareketliye 0 dakika 0 sonra yetişir. 0 dakika sonra A daki hareketli, 0.60 = 800 metre yol alır. 800 = 600 + 00 olduğuna göre, 800 metre yol alan A daki hareketli A noktasından 00 metre ileride olacaktır. A noktasından 00 metre ileride olan B noktası olduğuna göre, A daki hareketli D deki hareketliye B noktasında yetişecektir. 9. Bir araç K şehrinden L şehrine 60 km/saat hızla a saatte gidebilmektedir. Araç K şehri ile L şehri arasındaki yolun yarısını 0 km/saat hızla, diğer yarısını 90 km/saat hızla gidiyor. Bu araç K şehrinden hareketinden a + saat sonra L şehrine ardığına göre, a kaçtır? Araç 60 km/saat hızla K şehrinden L şehrine a saatte gidebildiğine göre, KL a olur. ( I ) 60 Araç K şehri ile L şehri arasındaki yolun yarısını 0 km/saat hızla, diğer yarısını 90 km/saat hızla (K şehrinden hareketinden a + saat sonra) tamamladığına göre, KL 0 KL 90 a KL KL 80 80 KL 60 9. KL. KL. KL 70 KL 70 olur. KL nin bu değerini ( I ) denkleminde yerine yazarsak, KL 70 a a olur. 60 60 0. Bir hareketli a km lik yolun birinci yarısını saatte km hızla, ikinci yarısını saatte km hızla giderek toplam 50 dakikada tamamlıyor. Bir başka hareketli, bu yolun tamamını saatte 6 km hızla kaç dakikada tamamlar? Hareketli a km lik yolun birinci yarısını saatte km hızla t saatte gitsin. a.t a 6.t olur. ( I ) Hareketli bu yolu toplam 50 dakikada (,5 saatte) tamamladığına göre, yolun diğer yarısını,5 t saatte alır. a.(,5 t) a.(,5 t) olur. ( II ) ( I ) ile ( II ) deki eşitliklerin sol tarafları eşit olduğundan, sağ tarafları da eşittir. Bu durumda, 6.t.(,5 t) 6t 0 t t olur. yolun uzunluğu, a 6.t 6. 6 dir. Bir başka hareketli, bu yolun tamamını saatte 6 km hızla b saatte alsın. Buna göre a 6.b 6 6.b b olur. diğer hareketli bu yolun tamamını saatte 6 km hızla saatte yani 60 dakikada alır. KL 70 7
. iki hareketli aynı anda A kentinden B kentine doğru harekete başlıyor. saat sonra hareketlilerden biri yolun ünü, diğeri yolun ünü tamamlıyor. Birinci hareketli B kentine ardığı anda ikinci hareketlinin B kentine uzaklığı 0 km olduğuna göre, A kenti ile B kenti arasındaki uzaklık kaç km dir? Birinci hareketli yolun ünü saatte tamamladığına göre, yolun tamamını, 6 saatte tamamlar. İkinci hareketli yolun ünü saatte tamamladığına göre, yolun tamamını, 8 saatte tamamlar. birinci hareketli B kentine, 8 6 = saat önce arır. Birinci hareketli B kentine ardığı anda ikinci hareketlinin B kentine uzaklığı 0 km olduğuna e ikinci hareketli bu yolu saatte aldığına göre, ikinci hareketli saatte, 0 70 km yola alır. İkinci hareketli saatte 70 km hızla bu yolu 8 saatte aldığına göre, A kenti ile B kenti arasındaki uzaklık, 8.70 = 60 km olur.. A e B kentleri arasındaki yolun 7 si topraktır. Yolun toprak olmayan kısmında saatte km hızla giden bir araç, toprak olan kısmında saatte km hızla 5 gitmiştir. Otobüs yolun asfalt kısmını t saatte gitmiş olsun. Bu durumda toprak kısmını 7 t saatte gider. Verilenlere göre, 5.t ( I ).(7 t).(7 t) olur. ( II ) 5 0 ( II ) da bulduğumuz in eşitini ( I ) de yerine yazarsak, 5.t 5..(7 t).t 0..(7 t).t t t t olur. A ile B noktası arasındaki uzaklık 70 km dir. C noktasından iki hareketli ters yönde 5 km/sa e 50 km/sa hızlarıyla aynı anda harekete başlıyorlar. Hızı fazla olan hareketli B noktasına gidip hiç durmadan geri dönerek A noktasında diğer hareketliye t saatte yetiştiğine göre, t kaçtır? A noktası ile B noktası arasındaki uzaklık 70 km olduğuna göre, AC a km ise CB 70 a km olur. İki hareketli gittikleri yolu aynı sürede aldığına göre, Bu koşullarda A ile B kentleri arasındaki yolun tamamını 7 saatte giden bu otobüs, yolun asfalt kısmını kaç saatte gitmiştir? AC 5 CB BA 50 a 70 a 70 7 0 a 0 a 7 0 Yolun tümü 7 olsun. Bu durumda, asfalt kısmı 5 km, toprak kısmı km dir. a 0 olur. 8
Hızı az olan hareketli 0 km lik yolu 5 km/saat hızla t saatte aldığına göre, 5. 0 t bulunur. 5. Aralarında 0 km uzaklık bulunan hareketliler 5 km/sa e 50 km/sa hızlarla, aynı anda birbirine doğru harekete başlıyor. 6 saat sonra, iki hareketli arasındaki uzaklık kaç km dir? Yukarıda sırasıyla M e N noktalarından, aynı anda birbirlerine doğru harekete başlayan A e B araçlarının yol-zaman grafiği erilmiştir. M ile N noktası arasındaki uzaklık 600 km dir. Harekete başladıktan saat sonra bu iki hareketli arasındaki uzaklık kaç km olur? Şekilde erilenlere göre; 80 A aracının ortalama hızı 70 kilometredir. saatte, A aracı.70 80 km yol alır. 00 B aracının ortalama hızı 0 kilometredir. 5 saatte, B aracı.0 60 km yol alır. saatte, A ile B nin aldıkları toplam yol 80 60 0 km olur.. saatin sonunda, iki araç arasındaki uzaklık; 600 0 60 km olur. 6 saat sonra A dan hareket eden D ye, B den hareket eden C ye ulaşsın. Şemada ifade edilenlere göre, AD 5.6 0 y 70 y 60 km dir. BC 50.6 0 00 90 km dir. iki hareketli arasındaki uzaklık, CD CA AB BD 0 y 90 0 60 60 km dir. 6. Çeresi 500 metre olan çembersel bir pistin başlangıç noktasından aynı anda e aynı yönde iki atlet koşmaya başlıyor. Koşuculardan birinin dakikadaki hızı 00 metre, diğerinin dakikadaki hızı 00 metre olduğuna göre, koşucuların hareketinden 6 dakika sonra aralarındaki uzaklık hangisi olabilir? 9
Dakikada 00 metre hızla koşan koşucunun 6 dakikada aldığı yol: 6.00 00 500. 00 m olur. Dakikada 00 m hızla koşan koşucunun 6 dakikada aldığı yol: 6.00 800 500. 00 m olur. 0 8 0 60 0 olur. 5. koşucu başlangıç noktasını 00 metre,. koşucu başlangıç noktasını 00 mtre geçmiştir. 8. Bu durumda aralarındaki uzaklık, 00 00 = 00 metre eya 500 00 = 00 metre olabilir. 7. Bir yolun ünü 60 km/saat hızla alan bir araç yolun kalan kısmını kaç km /saat hızla almalıdır ki, tüm yol boyunca ortalama hızı 8 km/saat olsun? Yolun tamamı a km olsun. Bir hareketli; A ile B arasını 50 km/saat, B ile C arasını 60 km/saat hızla alırsa A dan C ye p saatte gidiyor. Bu hareketli; A ile B arasını 60 km/saat, B ile C arasını 50 km/saa hızla alırsa A dan C ye p + saatte gidiyor. AB a km, BC b km olduğuna göre, b a kaçtır? Hareketli; A ile B arasını 50 km/saat, B ile C arasını 60 km/saat hızla alırsa A dan C ye p saatte gittiğine göre, Yolun ü:.a a km dir. a b p dir. ( I ) 50 60 a a a 60.t t dir. 60 0 Aracın yolun kalan kısmında hızı km/saat olsun. Yolun ü:.a a a.t t dir. ort t a 8 t a km dir. a 0 a a 8 0 Bu hareketli A ile B arasını 60 km/saat, B ile C arasını 50 km/saa hızla alırsa A dan C ye p + saatte gittiğine göre, a b p dir. ( II ) 60 50 ( I ) numaralı denklemdeki p nin değeri ( II ) numaralı denklemde yerine yazılırsa, a b a b a b p 60 50 60 50 50 60 5a 6b 6a 5b 00 b a 00 b a 00 olur. 0
9. Bir araç saatte + 0 kilometre hızla giderse bir yolu saatte, eğer saatte 0 kilometre hızla giderse aynı yolu saat 0 dakikada alıyor. kaçtır? 0 dakika = saat olduğuna göre, saat 0 dakika = saat olur. Aracın gideceği yolun uzunluğu her iki durumda da aynı olacağı için,. Hızları km/saat e 8 km/saat olan iki tren karşılıklı olarak birbirlerine doğru hareket halindeler. Bu iki tren birbirlerini saniyede geçtiklerine göre, iki trenin uzunlukları toplamı kaç metredir? Trenlerin uzunlukları a metre e b metre olsun. Bu trenlerin saniyede aldıkları yolların toplamı iki trenin uzunlukları toplamına eşittir. a b. 8. 90. 600 600 800 ( 0). ( 0). ( 0).9 ( 0). 9 90 0 00 olur. 0. Saatteki hızı 60 km olan otomobil saat 08:00 de, saatteki hızı 65 km olan ikinci otomobil de aynı gün saat 09:00 da aynı yerden e aynı yöne doğru harekete geçiyor.. 0,05 km 50 metre 0 A e B noktalarından aynı anda, aynı yönde harekete başlayan iki araç aynı anda C noktasına arıyor.. AB 5.BC ikinci otomobil, birincisine kaç saat sonra yetişir? Saat 08:00 de hareket eden otomobil diğerinden 9 8 = saat önce hareket ediyor. Birinci otomobil saatte.60 = 60 km yol alır. Bu durumda saat 09:00 da otomobillerin arasında 60 km mesafe ardır. Hızlı olan otomobilin diğerini yakalama süresi t saat olsun. Verilenlere göre, 60 (65 60).t t olur. olduğuna göre, AB 5a ise BC a olur. oranı kaçtır? İki araç da aynı anda C noktasına arıyor. A daki harekete başlayan aracın aldığı yol, AC.t 5a a 8a olur ( I ) B deki harekete başlayan aracın aldığı yol, BC.t a olur ( I ).t KONU BİTMİŞTİR. 8a 8 bulunur..t a