İstatistik ve Olasılığa Giriş İstatistik ve Olasılığa Giriş Konu 2 Olasılık Soe graphic screen captures fro Seeing Statistics Soe iages 2001-(current year) www.arttoday.co Olasılık Nedir? Önceki konuuzda genellikle örneklerdeki verileri belirtek için grafikler veya sayısal ölçü araçları kullanıştık. hangi sıklıkta olduğunu: n büyüdükçe, Oransal frekans = f/n Örnek Ve Nekadar sıklıkla = Oransal Frekans Yığın Olasılık 1
Teel Bilgiler Deney (experient xperient) gözlelerin elde edile sürecidir. Deney: Top çeke Deney : Zar atılası. Deney : Fikirlerin kaydı (evet, hayır) Deney : İki zar atılası Teel Bilgiler Tek olay (siple event) tek bir seferde elde edilen deneyden elde edilen sonuçtur. Olasılığın uygulandığı teel eleanlar: Herhangi bir deney yapıldıktan sonra sadece ve sadece tek bir olay elde edilir. Tek olay genellikle E ile gösterilir. Tee Bilgiler Her bir tek olayın hangi sıklıkta olduğu olasılık ile tesil edilir. Tü tek olayların oluşturduğu küeye Örnek Uzay denir. 2
Örnek : Zar atıldığı zaan: Basit olay: Örnek Uzay: 1 2 3 4 5 6 E 1 E 2 S ={E 1, E 2, E 3, E 4, E 5, E 6 } E 2 E 3 E 4 E 5 E 6 E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E 6 S Teel Tanılar Bir zar atıında: A: Tek sayı olası B: sayı > 2 A ={E 1, E 3, E 5 } B ={E 3, E 4, E 5,E 6 } E 1 E 3 A E 5 E 2 E 4 E 6 B S Teel Tanılar Eğer bir olay gerçekleşirken diğer olay gerçekleşiyorsa bu iki olay ayrık olaylar denir. Deney: Zar atıında Ayrık Değil A: tek sayı olası B: 2 den büyük olası C: 6 gelesi D: 3 gelesi Ayrık B ve C? B ve D? 3
Bir olayın Olasılığı Bir olayın olasılığı hangi sıklıkta oluşası ile ölçülür. Bunu P(A) olarak gösteririz. Bir A olayının n kez geçekleştiğini varsayarsak; Olasılık aşağıdaki ş ğ gibi ifade edilebilir. A nin OLUSMA SIKLIGI P( A) = n Bir olayın Olasılığı P(A) 0 la 1 arasında bir sayıdır. Eğer bir olayın oluşa ikanı yoksa, P(A) = 0. Eğer bir olayın oluşuu kesinse,p(a)=1 1. Tü basit olayayların toplaı her zaan 1 e eşittir. Herhangi bir A olayının ola olasılığı o olayı oluşturan basit olayların olasılılarının toplaına eşittir. Olasılı Hesabı Örnek : Madeni Para Atıldığında P(Tura) = 1/2 Türk topluunun %10 u sarı saçlıdır. Seçilen bir kişinin P(sarı saçlı) = 0.10 4
Örnek : Adil bir adeni para iki kez atılırsa en az bir kez yazı gele olasılığı nedir? 1ci para 2ci para E i P(E i ) Y YY Y 1/4 T YT 1/4 Y TY 1/4 T T TT 1/4 P(en az 1 tane yazı) = P(E 1 ) + P(E 2 ) + P(E 3 ) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4 Örnek : Bir kutuda üç renk top vardır. Bunlar, kırızı avi ve yeşildir. Kutudan iki tane rastgele top çekilirse, bir tanesinin kırızı ola olasılığı nedir.? 1ci cekiliş 2ci cekiliş E i P(E i ) KM 1/6 KY 1/6 P( 1 KIRMIZI) MK 1/6 = P(KM) + P(MK)+ MY P(KY) + P(YK) 1/6 YM = 4/6 = 2/3 1/6 YK 1/6 Hesaplaa Kuralı Eğer bir deneedeki olayların ola olasılıkları eşitse, aşağıdaki hesaplaa forülü kullanılabilir na A daki basit olaylarin sayisi P ( A ) = = N topla olaylarin sayisi n A ve N i bulak için hesaplaa kuralı kullanılır. 5
Çarpı Kuralı Eğer yapılan ilk denede ve ikinci deneede n tane olasılık varsa topla n olası sonuç bulunur. Bu kural k tane olay için genişletilebilir. n 1 n 2 n 3 n k Örnek : İki tane adeni para atıldığında topla kaç değişik sonuç oluşur. 2 2 = 4 Örnek : Örnek : Üç tane adeni para atıldığında topla kaç değişik sonuç oluşur. 2 2 2 = 8 Örnek : İki tane zar atıldığında topla kaç değişik sonuç oluşur. 6 6 = 36 Örnek : İki tane Kırızı ve iki tane avi topun bulunduğu torbadan iki tane top çekilirse topla kaç değişik sonuç olabilir. 4 3 = 12 Perütasyon n değişik nesneden r tane nesne secilirse topla değişik hal duruu: n! P n r = ( n r)! Örnek : 1, 2, 3, ve 4 sayılarından oluşacak 3 rakalı kaç farklı şifre oluşturulabilir. Sıralaa Öneli n! = n( n 1)( n 2)...(2)(1) ve 0! 1. 4 4! P3 = = 4(3)(2) = 24 1! 6
Örnek : Örnek : Bir kilit 5 parçadan oluşaktadır ve bakıı istenilen sıra ile yapılabilektedir. Bu saate yapılacak bakı kaç değişik şekilde yapılabilir? Sıralaa öneli! 5 5! P5 = = 5(4)(3)(2)(1) = 120 0! Kobinasyon n farklı nesnenin r farklı kobinasyonu: C n r n! = r!( n r)! Örnek : 5 kişinin bulunduğu bir guruptan üç kişilik bir koite seçilirse kaç farklı seçi yapılabilir. Sıralaa öneli değil! 5! 5(4)(3)(2)1 5(4) C = = = 3!(5 3)! 3(2)(1)(2)1 (2)1 5 3 = 10 Örnek : Bir kutuluda altı tane top bulunaktadır. Bunlardan, dört tanesi kırızı iki tanesi yeşildir. İki tane top seçilirse bunlardan sadece bir tanesinin kırızı ola olasılığı nedir.? Sıralaa öneli değil! 6 6! 6(5) 2 C = = = 15 2! 2 C 1 = = 2 2!4! 2(1) 11!! 2 tane sece 1 yesilsecilesi 4 4! C1 = = 4 1!3! 1kirizi secilesi 4 2 =8 1 yeşil ve 1 kırızı seçilesi. P( sadece 1 kırızı) = 8/15 7
Olayların İlişkisi Bileşik Olay bir deneyde sadece bir olayın veya diğer olayın veya her iki olayın da aynı anda görülesidir. A B A B A B S Olayların İlişkisi İki olayın kesişii, A ve B olaylarının, yapılan deneyde her ikisinin de birlikte gerçekleşesi duruudur. A B. A B A B S Eğer iki olay ayrık ise, o zaan P(A B) = 0. Olayların İlişkisi Bir olayın tüleyeni o olayın dışında olan tü olaylardır. A C. A C S A 8
Örnek : Sınıftan seçilen öğrencilerin saç renkleri ve cinsiyetleri kaydediliştir. A: öğrenci kahverengi saçlıdır. B: öğrenci bayandır. C: öğrenci erkektir. Ta bağısız olay; B = C C B ve C arasındaki ilişki nedir? A C : Öğrenci kahverengi saçlı değildir. B C: Öğrenci he erkek he de bayandır = B C: Ö. ya erkek yada bayandır = tü öğrenciler = S Birleşi ve Tüleyen için Olasılık Hesabı Birleşik olayları hesaplaanın özel bir yöntei: Birlesi için toplaa kuralı. Herhangi iki A ve B, olayları için bileşiin olasılığı, P(A B), P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) A B Örnek : Toplaa Kuralı Örnek : Bir sınıfta 120 öğrenci vardır. Dağılı aşağıdaki gibidir. A: Kahverengi Saç P(A) = 50/120 B: Bayan P(B) = 60/120 Kahve rengi Kahverengi olayan Erkek 20 40 Bayan 30 30 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 50/120 + 60/120-30/120 = 80/120 = 2/3 Kontrol: P(A B) = (20 + 30 + 30)/120 9
Özel bir duru İki olay A ve B ta bağısız olaylar ise, P(A B) = 0 ve P(A B) = P(A) + P(B). A: Kahverengi saçlı erkek P(A) = 20/120 B: kahverengi saçlı bayan P(B) = 30/120 A ve B ayrık iki olay olsun kahver engi Kahverengi olayan Erkek 20 40 Bayan 30 30 P(A B) = P(A) + P(B) = 20/120 + 30/120 = 50/120 Tüleyenin Hesabı Herhangi bir Aolayı için: P(A A C ) = 0 A veya A C olayının gerçekleşesi kesin olduğundan, P(A A C ) =1 P(A A C ) = P(A)+ P(A C ) = 1 P(A C ) = 1 P(A) A C A Örnek : Bir sınıftan rast gele seçilen bir öğrencinin. A: Erkek P(A) = 60/120 B: Bayan A ve B tüleyen olduğundan Kahve rengi Kahveregi olayan Erkek 20 40 Bayan 30 30 P(B) = 1- P(A) = 1-60/120 = 40/120 10
Şartlı olasılık Bir B olayının olası koşulu ile başka bir A olayının ola olasılığına denir: P( A B) P( A B) = P( B) 0 P( B) verilen koşul TT Örnek : 1 Madeni para iki kez atılıyor A: ikinci atışta tura gelesi B: ilk atıda Tura gelesi TY YT YY 1/4 1/4 1/4 1/4 B nin gerçekleşesi duruunda P(A) nın değeri değişeyecektir. P(A B) = ½ P(A B olaa) = ½ A ve B Bağısızdır! Örnek : 2 Bir kutuda 2 kırızı ve 3 avi top bulunaktadır. Rastgele seçilen iki toptan A: ikinci topun kırızı B: ilk topun avi olası P(A B) =P(2 ci kırızı 1ci avi)= 2/4 = 1/2 P(A B olaa) = P(2 ci Kırızı 1ci kırızı ) = 1/4 B nin olası veya olaası duruunda P(A) değişektedir A ve B bağılıdırlar! 11
Bağısız olaylar Bağısızlık olayını koşullu olasılık cinsiden verebiliriz. İki olay A ve B bağısız iolabilesi için yeter ve gerek şart P(A B) = P(A) veya P(B A) = P(B) Olasıdır. Değilse olaylar bağılıdır. Kesişi için Kural Herhangi iki olay, A ve B, için her ikisinin de ola olasılığı P(A B) = P(A) P(B olası duruunda A nın olası) = P(A)P(B A) Eğer A ve B bağısız olaylar ise, A ve B nin ola olasılığı. P(A B) = P(A) P(B) Örnek : 1 Bir okulda öğrene bozukluğu olan öğrenciler okulun % 10 dur. Bu okulda 3 kişi seçilirse sadece birinin öğrene bozukluğu ola olasılığı nedir. B: Öğrene bozukluğu N: noral P(Sadece bir Ö.B) = P(BNN) + P(NBN) + P(NNB) = P(B)P(N)P(N) + P(N)P(B)P(N) + P(N)P(N)P(B) = (0.1)(0.9)(0.9) + (0.9)(0.1)(0.9) + (0.9)(0.9)(0.1) = 3(0.1)(0.9) 2 = 0.243 12
Örnek : 2 Bu okuldaki bayan öğrencilerin oranının % 49 olduğu bilindiğine göre ve bayan öğrencilerin öğrene bozuklukları % 8 olduğuna göre seçilen bir öğrencinin öğreni bozukluğu olan bir bayan ola olasılığı nedir? B: Öğreni bozukluğu F: Bayan Önceki örnekten :, P(F) = 0.49 ve P(B F) = 0.08. Kuralı Kullanırsak: P(Ö.B Bayan) = P(H F) = P(F)P(B F) =0.49(0.08) = 0.0392 Rando Variables A quantitative variable x is a rando variable if the value that it assues, corresponding to the outcoe of an experient is a chance or rando event. Rando variables can be discrete or continuous. Örnek :s: x = SAT score for a randoly selected student x = nuber of people in a roo at a randoly selected tie of day x = nuber on the upper face of a randoly tossed die Probability Distributions for Discrete Rando Variables The probability distribution for a discrete rando variable x resebles the relative frequency distributions we constructed in Chapter 1. It is a graph, table or forula that gives the possible values of x and the probability p(x) associated with each value. We ust have 0 p( x) 1and p( x) = 1 13
Örnek : Toss a fair coin three ties and define x = nuber of heads. HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT x 3 2 2 2 1 1 1 0 P(x = 0) = P(x = 1) = 3/8 P(x = 2) = 3/8 P(x = 3) = x p(x) 0 1 3/8 2 3/8 3 Probability Histogra for x 14