ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

Transkript

1 PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarını belirleyerek n, r N ve n r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısının n! P(n, r) = n(n )(n 2) (n r + ) = ( n r )! olduğunu gösterir. 3. Kazanım : Dönel (dairesel) permütasyon ile ilgili uygulamalar yapar. 4. Kazanım : Tekrarlı permütasyon ile ilgili uygulamalar yapar. Kombinasyon. Kazanım : n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarını belirleyerek n, r N ve n r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısının Pn (, r) n! C(n, r) = = olduğunu ve kombinasyonun özelliklerini gösterir. r! r!( n r)! Binom Açılımı. Kazanım : Binom açılımını yapar. Olasılık. Kazanım : Deney, çıktı, örneklem uzay, örneklem nokta, olay, kesin olay, imkânsız olay, ayrık olaylar kavramlarını açıklar. 2. Kazanım : Olasılık fonksiyonunu belirterek bir olayın olma olasılığını hesaplar ve olasılık fonksiyonunun temel özelliklerini gösterir. 3. Kazanım : Eş olasılı (olumlu) örneklem uzayı açıklar ve bu uzayda verilen bir A olayı için sa ( ) P(A) = se ( ) olduğunu belirtir. 4. Kazanım : Koşullu olasılığı açıklar. 5. Kazanım : Bağımsız ve bağımlı olayları örneklerle açıklar, A ve B bağımsız olayları için P(A B) = P(A).P(B) olduğunu gösterir. İstatistik. Kazanım : Verilen bir gerçek yaşam durumuna uygun serpilme grafiği ve kutu grafiği çizer ve bu grafikler üzerinden çıkarımlarda bulunur. 2. Kazanım : Verilen bir gerçek yaşam durumunu yansıtabilecek en uygun grafik türünün hangisi olduğuna karar verir, grafiği oluşturur ve verilen bir grafiği yorumlar. 3. Kazanım : Merkezi eğilim ve yayılma ölçüleri kullanılarak gerçek yaşam durumları için hangi eğilim veya yayılım ölçüsünü kullanması gerektiğine karar verir. 4. Kazanım : Verilen iki değişken arasındaki korelasyon kat sayısını hesaplar ve yorumlar.

2 PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASALIK ve İSTATİSTİK SAYMA KURALLARI Bire Bir Eşleme Yoluyla Sayma Bir kümenin eleman sayısını, sayma sayıları kümesinin yani N + = {, 2, 3,...} kümesinin elemanları ile bire bir eşleyerek bulmaya bire bir eşleme yoluyla sayma denir. Örneğin; bir sınıftaki öğrenci sayısını veya bir kitaptaki yaprakların sayısını bu yolla bulabiliriz. Toplama Yoluyla Sayma A ve B ayrık ve sonlu iki küme olmak üzere, A ve B kümelerinin toplam kaç elemanı olduğunu, s(a B) = s(a) + s(b), ( A B = ) şeklinde toplama yaparak buluruz. Örneğin; bir sınıfta 2 kız, 5 erkek öğrenci varsa, toplam kaç öğrenci olduğunu bulmak için öğrencilerin hepsini saymaya gerek yoktur. Kısaca, sınıfta 2 +5 = 27 öğrenci vardır diyebiliriz. Bu yolla yapılan sayma işlemine toplama yoluyla sayma denir. Çarpma Yoluyla Sayma İkişer ikişer ayrık ve her biri a elemanlı b tane kümenin birleşiminin eleman sayısı a.b dir. Birleşim kümesinin eleman sayısını bu şekilde bulma işlemine çarpma yoluyla sayma denir. Örneğin; bir okulda 0 sınıf ve her sınıfta 30 öğrenci varsa, bu okulda 0.30 = 300 öğrenci vardır. Saymanın Temel İlkesi Bir olaylar dizisinde birinci olay n değişik biçimde, bunu izleyen ikinci olay n 2 değişik biçimde ve bu şekilde işleme devam edildiğinde r. olay n r farklı biçimde oluşuyorsa, olayın tamamı n.n n r çarpımı kadar değişik biçimde oluşur. Örneğin, 3 farklı gömleği, 2 farklı kravatı olan bir kişi, bir gömlek ve bir kravatı 3.2 = 6 farklı biçimde giyebilir. Bu durumu ağaç diyagramı adı verilen yandaki yöntemle de bulabilirdik. Gömlekler: g, g 2, g 3, Kravatlar: k, k 2, k 3 g g 2 g 3 olmak üzere biçiminde 6 farklı durum vardır. k k 2 k k 2 k k 2 Burada, G = {g, g 2, g 3 }, K = {k, k 2 } olmak üzere, gömlek ve kravattan oluşan gömlek - kravat ikilisinin seçileceği kartezyen çarpım kümesi ise G x K = {(g, k ), (g, k 2 ), (g 2, k ), (g 2, k 2 ), (g 3, k ), (g 3, k 2 )} dir. G x K kümesi 3.2 = 6 tane ikiliden oluşmaktadır. Yani, 3 gömlek ve 2 kravatı olan bir kişinin, bir gömlek ve bir kravatı 6 farklı biçimde giyebileceğini bu yolla da bulabiliriz. ÖRNEK 4 erkek ve 2 kadın arasından erkek ve kadın kaç değişik şekilde seçilebilir? ÖRNEK 2 3 mektup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde atılabilir? 54

3 ÖRNEK 3 Bir kutuya en çok bir mektup atmak koşulu ile 3 mektup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde atılabilir? ÖRNEK 4 Birbirinden farklı 3 matematik, 4 fizik ve 2 kimya kitabı arasından matematik, fizik ve kimya kitabı kaç farklı şekilde seçilebilir? ÖRNEK 5 5 kişilik bir komisyondan bir başkan, başkan yardımcısı ve bir sekreter kaç farklı şekilde seçilebilir? ÖRNEK 6 {, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak; a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? c. Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? d. Üç basamaklı ve rakamları farklı kaç tek sayı yazılabilir? 55

4 ÖRNEK 7 { 0,, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak; a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? c. Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? d. Üç basamaklı ve rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? e. 5 ile bölünebilen üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? 56

5 ÖRNEK 8 { 0,, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile 4000 den büyük, rakamları farklı dört basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? ÖRNEK 0 İ, S, T, A, N, B, U, L harflerini bir kez kullanmak şartıyla 4 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler yazılacaktır. Bu kelimelerin kaç tanesinde A harfi vardır? ÖRNEK 9 { 0,, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile 300 den büyük 500 den küçük, rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? ÖRNEK 5 kişinin katıldığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı biçimde oluşabilir? ÖRNEK 2 3 farklı oyuncak 6 çocuğa kaç değişik biçimde dağıtılabilir? 57

6 ÖRNEK 3 3 farklı oyuncak 6 çocuğa, bir çocuğa birden fazla oyuncak vermemek koşulu ile kaç değişik biçimde dağıtılabilir? ÖRNEK 6 { 0,, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm dört basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. ÖRNEK 4 {, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanları ile en az iki rakamı birbirinin aynı olan, üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? Buna göre, 324 sayısı kaçıncı sırada yer alır? ÖRNEK 7 ÖRNEK 5 {, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm beş basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Buna göre, 50. sırada hangi sayı vardır? A B C Şekildeki çizgiler A, B ve C kentleri arasındaki yolları göstermektedir. Buna göre, A kentinden hareket edip C kentine gidecek olan bir kimse kaç değişik yol izleyebilir? 58

7 ÖRNEK 9 5! = 4!.5 = 3!.4.5 = 2! olur. ÖRNEK 20 Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz. ÖRNEK 8 a. 0! 8! b. 8! + 9! 0! Bir toplantıda herkes birbiri ile tokalaşmıştır. Toplam 45 tokalaşma olduğuna göre, toplantıda kaç kişi vardır? ( n + )! c. ( n )! d. 5! + 6! 5! 4! e. ( 3!)! 7! FAKTÖRİYEL (ÇARPANSAL) n N + olmak üzere, den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! ile gösterilir. Buna göre, n! = (n ).n olur.! = 2! =.2 = 2 3! =.2.3 = 6 4! = = 24 5! = = n! = n ÖRNEK 2 0! +! + 2! + 3! + 4! + 5! + +9! sayısının birler basamağındaki rakamı kaçtır? n! = (n )!.n n! = (n 2)!.(n ).n 0! = dir. 59

8 ÖRNEK 22 20! sayısı 9! sayısından kaç fazladır? ÖRNEK 25 78! sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır? ÖRNEK 23 85! sayısının sondan kaç basamağı 0 (sıfır) dır? ÖRNEK 26 A ve n doğal sayılar olmak üzere, 26! = 6 n.a eşitliğini sağlayan n değeri en çok kaç olabilir? ÖRNEK 24 23! + 24! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır? ÖRNEK 27 x ve y birer doğal sayıdır. x! = 6. y! ise y kaç farklı değer alabilir? 60

9 ALIŞTIRMALAR. 2 mektup 4 posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir? 6. 2 kişi 6 farklı şehire kaç farklı şekilde gidebilir? 2. Bir kutuya en çok mektup atmak koşuluyla 2 mektup 4 posta kutusuna kaç değişik biçimde atılabilir? 7. Herkesin birbirine bir fotoğraf verdiği bir toplulukta dağıtılan fotoğraf sayısı 56 olduğuna göre bu toplulukta kaç kişi vardır? kişilik bir sınıftan bir başkan, bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir? 8. A kentinden B kentine 3 farklı yol, B kentinden C kentine 4 farklı yol vardır. B ye uğramak koşuluyla A dan C ye a. Kaç türlü gidilebilir? b. Kaç türlü gidilip gelinebilir? 4. 0 kişilik bir arkadaş grubunda herkes birbiri ile tokalaşmıştır. Kaç tokalaşma olmuştur? c. Giderken kullanılan yolu dönerken kullanmamak koşuluyla kaç türlü gidilip gelinebilir? 5. Beş soruluk bir test sınavında her soru için 5 seçenek vardır. Bu sınav için kaç farklı cevap anahtarı hesaplanabilir? 9. Birbirinden farklı 4 Geometri, 5 Matematik ve x Türkçe kitabı arasından, Geometri, Matematik ve Türkçe kitabı 60 farklı şekilde seçilebildiğine göre x kaçtır? 6

10 0. A = {, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere A kümesinin elemanlarını kullanmak koşuluyla aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. Üç basamaklı 26 sayı yazılabilir. Rakamları farklı üç basamaklı 20 sayı yazılabilir. Rakamları farklı, üç basamaklı 60 çift sayı yazılabilir. Rakamları farklı ve 400 den büyük 60 sayı yazılabilir. En az iki rakamı aynı olan 96 sayı yazılabilir. 2. Aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. G, İ, Z, E, M harflerini bir kez kullanarak 4 harfli, 20 tane sözcük yazılabilir? A, Y, B, E, N, İ, Z harflerini bir kez kullanarak 5 harfli 840 tane sözcük yazılabilir? Ü, Ç, G, E, N harflerini bir kez kullanarak yazılabilecek 4 harfli sözcüklerin 98 tanesinde E harfi vardır? 3. Aşağıdaki işlemlerin her birinin sonucunu bulunuz. Üç rakamı aynı olan 6 sayı yazılabilir. a. 2! 0!. A = {0,, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarını kullanarak a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? b. 6! + 7! 8! b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? c. Rakamları farklı 5 ile bölünebilen üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? ( n + 3)! c. ( n + )! d. Rakamları farklı üç basamaklı 300 den büyük kaç sayı yazılabilir? e. Rakamları farklı 500 den küçük 200 den büyük kaç sayı yazılabilir? d. 4! + 5! 5! + 6! 62

11 4. Aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız ! + 24! + 25! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? 0! = 0 dır.! = dir. 0! sayısı 8! sayısının 90 katıdır. (n + 2)! = (n 2)!.(n )n(n + ) dir ! sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır? 6!.7! = 0! dir. ( 2n)! = 2 dir. n! 5. 2! + 4! + 6! ! sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? 20. Aşağıdaki eşitliklerin herbirinde x ve y doğal sayılardır. Buna göre bu eşitlikleri sağlayan en büyük x değerlerini bulunuz. a. 32! = 3 x.y b. 40! = 6 x.y 6. 2! + 3! + 4! ! sayısının 40 ile bölümünden kalan kaçtır? c. 28! = 4 x.y d. 46! = 2 x.y 7. 72! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? 2. 0! sayısı 8! sayısından kaç fazladır? 63

12 PERMÜTASYON (SIRALAMA) A sonlu bir küme olmak üzere, A dan A ya tanımlanan bire bir ve örten her fonksiyona, A nın bir permütasyon fonksiyonu ya da kısaca permütasyonu denir. A = {, 2, 3 } olsun. Permütasyonların Sayısı n, r N + ve r n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r tane elemanından oluşmuş sıralı r lilerin her birine n nin r li permütasyonu denir. n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı, A f A n! Pnr (, ) = olur. ( n r)! r = n ise n elemanlı bir kümenin permütasyonlarının sayısı, P(n, n) = n! olacaktır. Yukarıdaki şema ile tanımlanan bire bir ve örten f fonksiyonu bir permütasyon fonksiyonudur. f fonksiyonunu, f = { (, 2), (2, ), (3, 3) } veya f = c m biçiminde gösterebiliriz. ÖRNEK 29 A = { a, b, c } kümesinin ikili permütasyonlarının sayısını bulunuz. ÖRNEK 28 A = {, 2, 3 } kümesinde tanımlanan tüm permütasyon fonksiyonlarını gösteriniz. ÖRNEK 30 Bir A kümesinin üçlü permütasyonlarının sayısı 60 ise s(a) kaçtır? ÖRNEK 3 P(n, ) = P(8, 2) ise n kaçtır? 64

13 ÖRNEK 32 A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde a bulunur? ÖRNEK 35 Birbirinden farklı 3 matematik, 2 fizik ve kimya kitabı bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir? ÖRNEK 36 Birbirinden farklı 3 matematik ve 4 tarih kitabı bir rafa, matematikler bir arada olmak koşulu ile kaç türlü sıralanabilir? ÖRNEK 33 5 kişi, 3 kişilik bir banka kaç farklı şekilde oturabilir? ÖRNEK 37 5 farklı matematik, 4 farklı fizik ve 3 farklı kimya kitabı bir rafa aynı tür kitaplar bir arada bulunmak koşuluyla kaç değişik biçimde sıralanabilir? ÖRNEK 34 5 kişi, 5 kişilik banka kaç değişik şekilde oturabilir? 65

14 ÖRNEK 38 Ayşe ve Fatma nın da aralarında bulunduğu 6 kişi, Ayşe ile Fatma art arda gelmemek şartıyla bir kuyrukta kaç farklı şekilde dizilebilirler? ÖRNEK 40 4 erkek ve 3 bayan, bir erkek bir bayan düzeninde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilirler? TEKRARLI PERMÜTASYON n elemanlı bir kümenin; n tanesi aynı tür, n 2 tanesi aynı tür,..., n r tanesi aynı tür ve n + n n r = n ise bu n tane elemanın permütasyonlarının sayısı P(n; n, n 2,..., n r ) = n! n!. n! n! 2 r kadardır. ÖRNEK 39 6 kız ve 3 erkek öğrenci, erkeklerden herhangi ikisi yan yana gelmemek şartı ile bir sırada kaç farklı şekilde dizilerek fotoğraf çektirebilirler? ÖRNEK 4 Özdeş 2 sarı ve 3 kırmızı bilye bir sırada kaç farklı şekilde dizilebilir? ÖRNEK sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek altı basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? 66

15 ÖRNEK 43 ANKARA sözcüğünün harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kaç farklı sözcük yazılabilir? ÖRNEK 46 KELEBEK kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilen anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kelimelerin kaç tanesinde E harfini K harfi takip eder? ÖRNEK 44 MATEMATİK sözcüğünün harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız, 9 harfli ve M ile başlayıp M ile biten kaç farklı sözcük yazılabilir? ÖRNEK 47 A B ÖRNEK sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir. A dan hareket edip B noktasına en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol izleyebilir? 67

16 ÖRNEK sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek ile başlayan 6 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? DÖNEL (DAİRESEL) PERMÜTASYON Sonlu bir kümenin elemanlarının bir daire üzerinde birbirlerine göre farklı dizilişlerinin her birine bu elemanların bir dönel (dairesel) permütasyonu denir. Sonlu n elemanın farklı dairesel permütasyonlarının sayısı (n )! tanedir. ÖRNEK 50 Ahmet, Barış ve Ceylan ın yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabileceklerini bulunuz. ÖRNEK sayısının rakamları ile 7 basamaklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir? ÖRNEK 5 2 kız ve 3 erkek, yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilirler? 68

17 ÖRNEK 52 3 kız ve 4 erkek, yuvarlak bir masa etrafında, kızlar yanyana olmak koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilir? ÖRNEK 55 ÖRNEK 53 3 kız ve 4 erkek, yuvarlak bir masa etrafında, kızlar yanyana olmamak koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilir? 4 kız ve 4 erkek öğrenci yuvarlak bir masa etrafına 2 erkek arasında kız olmak koşulu ile kaç değişik şekilde oturabilirler? ÖRNEK 56 ÖRNEK 54 4 öğretmen, 3 mühendis ve 2 doktor yuvarlak bir masa etrafında oturacaklardır. Aynı meslekten olanlar birbirinden ayrılmamak koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilirler? Renkleri farklı 5 boncuk bir halkaya kaç değişik şekilde dizilebilir? 69

18 ALIŞTIRMALAR 2. A = {, 2, 3, 4} kümesinin üçlü permütasyonlarının herbirini yazınız. 5. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini bulunuz. P( 5, n) 2 a. = P( 6, n) 3 2. A = {a, b, c, d, e} kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaç tanesinde a bulunur? b. P(n +, 2) = 2.P(n, 2) c. P(n, 5) = 5.P(n, 3) 3. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. Üçlü permütasyonlarının sayısı 24 olan küme 4 elemanlıdır. d. P(n, 0) + P(n, ) + P(n, 2) = 0 İkili permütasyonlarının sayısı 20 olan küme 5 elemanlıdır. P(n, 0) = 20 ise n = 4 tür kişilik bir banka 20 farklı şekilde oturabilen bir grupta kaç kişi vardır? P(4, 2) + P(3, 2) = 8 dir. 4. Aşağıda sol sütunda verilen ifadelerin eşitini sağ sütundan bulup eşleştiriniz. P(n, 0) n 2 n 7. 5 erkek ve 5 bayan, bir erkek - bir bayan düzeninde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir? P(n, ) P(n, 2) P(n, n) n n! 70

19 8. Birbirinden farklı 4 Matematik, 3 Fizik ve 2 Türkçe kitabı bir kütüphanenin rafına,. ECEM sözcüğündeki harfleri yer değiştirerek anlamlı ya da anlamsız 4 harfli kaç farklı sözcük yazılabilir? a. Kaç farklı şekilde sıralanabilir? b. Matematikler bir arada olmak üzere kaç türlü sıralanabilir? 2. OLASILIK sözcüğündeki harfleri yer değiştirerek anlamlı ya da anlamsız 8 harfli, O ile başlayan kaç farklı sözcük yazılabilir? c. Türkçelerin biri başta, diğeri sonda olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? d. Belli iki Matematik kitabı bir arada olmak üzere kaç türlü sıralanabilir? sayısının rakamlarını yer değiştirerek 8 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? 9. 5 erkek ve 4 bayan, bir erkek - bir bayan düzeninde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir? 4. FİRİKİK sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek yazılabilen 7 harfli sözcüklerin kaç tanesinde İ harfini K harfi takip eder? 0. Bir grup arkadaş, yan yana bulunan iki koltuğa 30 farklı şekilde oturabiliyorsa, yan yana bulunan 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilirler? 5. Aybars ile Ecem in de aralarında bulunduğu 7 kişi, Aybars ile Ecem yan yana gelmemek koşuluyla bir sıra halinde kaç farklı şekilde sıralanabilirler? 7

20 sayısının rakamları ile 8 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? erkek, 3 kız arkadaş yuvarlak masa etrafında a. Kaç türlü oturabilirler? 7. A b. Kızlar bir arada olmak üzere kaç türlü oturabilirler? B C Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir. A dan harekete başlayıp B ve C ye uğrayarak D kentine en kısa yoldan gitmek isteyen biri kaç değişik yol izleyebilir? D c. Erkekler bir arada olmak üzere kaç türlü oturabilirler? 8. 5 kız, 5 erkek arkadaş yuvarlak masa etrafında 2 erkek arasında kız olmak koşuluyla kaç türlü oturabilirler? 2. 2 kız ve bir grup erkekten oluşan topluluk yuvarlak masa etrafında, kızlar bir arada olmak koşuluyla 48 farklı şekilde oturabiliyorsa bu toplulukta kaç erkek vardır? 9. 4 evli çift yuvarlak masa etrafında, eşler birbirinden ayrılmamak koşuluyla kaç farklı şekilde oturabilirler? 22. x kişi yuvarlak masa etrafına a farklı şekilde, bir bankın üzerine b farklı şekilde oturabiliyorsa b kaçtır? a 72

21 KOMBİNASYON (SEÇME) r, n N ve r n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir ve n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı n n! Cnr (, ) = c m = biçiminde ifade edilir. r ( n r)!. r! n n c m= c m r n r n n c m= c m = n 0 n n c m= c m = n n n n n + c m+ c m= d n r r r P(n, r) = C(n, r).r! n n n n c m+ c m+ c m+ + c m = 2n 0 2 n n n c m = d n x = y veya x + y = n dir. x y Kombinasyonda sıranın önemi yoktur. n elemanın r li seçimleri söz konusudur. Permütasyonda ise sıralı diziliş vardır. ÖRNEK 57 A = {a, b, c} kümesinin 2 elemanlı kombinasyonları ile 2 elemanlı permütasyonlarını karşılaştırınız. ÖRNEK 58 n n c m= 2. c m olduğuna göre, n kaçtır? n 2 ÖRNEK 59 n n c m= c m ise n kaçtır? 5 7 : l. Yol 73

22 ÖRNEK d n= d n ise n nin alabileceği değerlerin toplamı 2 n + kaçtır? ÖRNEK 63 A = {, 2, 3, 4} kümesinin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? ÖRNEK d n+ d n+ d n+ d n+ d n toplamının sonucu kaçtır? ÖRNEK 64 9 elemanlı bir kümenin en çok 7 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ÖRNEK 62 n n n+ 9 c m+ c m+ d n= d n ise n + r kaç olabilir? r ÖRNEK 65 7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? 74

23 ÖRNEK 66 8 kişilik bir sporcu grubundan, 5 kişilik bir basketbol takımı, kaç farklı şekilde oluşturulabilir? ÖRNEK 69 Bir öğrenciden 8 soruluk bir sınavda 5 soruyu cevaplaması isteniyor. İlk 3 sorudan en az ikisinin cevaplanması zorunluluğu olduğuna göre, bu öğrenci bu soruları kaç farklı biçimde cevaplayabilir? ÖRNEK 67 7 soruluk bir sınavda öğrencilerden 5 soruyu cevaplamaları istenmiştir. Bu sınava giren bir öğrenci bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir? ÖRNEK 70 A = {3, 5, 7} ve B = {2, 4, 6, 8} kümeleri veriliyor. Bu kümelerden seçilen 2 tek ve 3 çift rakam ile 5 basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? ÖRNEK 68 Bir öğrencinin seçmesi gereken 7 seçmeli dersin 3 ü aynı gün ve aynı saatte okutulmaktadır. 4 ders seçmek isteyen bu öğrencinin kaç değişik seçeneği vardır? ÖRNEK 7 5 erkek, 4 kız arasından 3 kişilik bir grup oluşturulacaktır. Grupta en az 2 erkek olması koşulu varsa, bu grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir? 75

24 ÖRNEK 72 5 kişilik bir sporcu grubundan takıma girecek 3 kişi bellidir. Buna göre, bu gruptan kişilik futbol takımı kaç değişik biçimde seçilebilir? ÖRNEK 75 4 ü subay, 6 sı er olan bir gruptan 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Ekipte en çok 2 er bulunması istenirse, bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir? ÖRNEK 73 6 sı doktor, 6 sı hemşire olan bir gruptan 4 kişilik bir sağlık ekibi oluşturulacaktır. Ekipte en az bir doktor bulunması istenirse, bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir? ÖRNEK 76 0 kız öğrenci ve 8 erkek öğrenci arasından 2 kız öğrenci ve 2 erkek öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir? ÖRNEK 74 Bir otelde 3 yataklı bir oda ve 2 yataklı üç oda boştur. 9 kişi bu odalara kaç farklı biçimde yerleştirilebilir? 76

25 ÖRNEK 77 0 kişiden 6 sı Urfa ya ve 4 kişi Çorum a gidecektir. Bu iki grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir? ÖRNEK 80 Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir ailenin elinde 3 kişilik bir davetiye vardır. Anne veya babadan en az birisinin davete katılması gerektiğine göre, bu davete 3 kişi kaç farklı şekilde katılabilirler? ÖRNEK 78 A = {, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile a < b < c olmak üzere kaç farklı abc üç basamaklı sayısı yazılabilir? ÖRNEK 8 5 farklı oyuncağın 3 ü Özge ye, 2 si Özlem e kaç farklı şekilde dağıtılabilir? ÖRNEK 79 a, b, c, d birer rakam olmak üzere, a < b < c < d koşulunu sağlayan kaç farklı abcd dört basamaklı sayısı yazılabilir? ÖRNEK 82 Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın ikisinden geçen en fazla kaç doğru çizilebilir? 77

26 ÖRNEK 83 ÖRNEK 86 Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 farklı noktadan, köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir? A B C d D E F G Yukarıdaki şekilde d // d 2 olmak üzere, köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir? d 2 ÖRNEK 84 Aynı düzlemde bulunan 0 farklı doğru en fazla kaç noktada kesişebilir? ÖRNEK 85 A, B, C, D, E, F, G, H noktaları aynı düzlemde olup herhangi üçü doğrusal değildir. Köşeleri bu noktalar olan üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A noktasıdır? ÖRNEK 87 D B C d A E F G d 2 Yukarıdaki şekilde A noktasında kesişen iki doğru üzerindeki bazı noktalar verilmiştir. Köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç tane üçgen çizilebilir? 78

27 ÖRNEK 90 6 farklı çemberin kesişmesi ile en çok kaç tane kesişim noktası oluşur? ÖRNEK 88 Düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi doğrusaldır. Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç tane üçgen çizilebilir? ÖRNEK 9 A B E F G d ÖRNEK 89 C D Birbirine paralel olan 4 doğru ile birbirine paralel olan 5 doğru kesiştirilirse oluşan şekilde kaç tane paralelkenar vardır? Yukarıdaki şekilde verilen A, B, C, D, E, F, G noktalarının herhangi ikisinden geçen kaç farklı doğru çizilebilir? 79

28 ÖRNEK 92 Bir çember üzerindeki 8 noktayı birleştirerek köşeleri bu noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir? ÖRNEK 94 A D B E F G H C Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır? ÖRNEK 93 A E F H B D G C Köşeleri şekildeki noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir? ÖRNEK 95 5 farklı dikdörtgenin herhangi iki kenarının veya kenarlarının bir parçasının çakışmadan kesiştirilmesiyle en çok kaç kesişim noktası oluşur? 80

29 ÖRNEK 97 A D F L M N B E K C Şekilde kaç tane dörtgen vardır? ÖRNEK 96 4 farklı üçgenin herhangi iki kenarının veya kenarlarının bir parçasının çakışmadan kesiştirilmesiyle en çok kaç kesişim noktası oluşur? ÖRNEK 98 Yandaki şekilde, bir hareketli A noktasından sağ veya B C yukarı yönde ilerleyerek B noktasından geçmemek koşulu ile çizgiler üzerinden A C noktasına kaç farklı şekilde gider? 8

30 ALIŞTIRMALAR 3. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. C(n, 0) = 4. Aşağıdaki ifadelerin her birinin eşitini bulunuz a. d n+ d n+ d n+ d n+ d n+ d n C(n, n) = n C(n, ) = n b d n+ d n+ + d n 2 9 C(n, n ) = C(n, r) + C(n, r+) = C(n+, r+) P(n, r) = r!.c(n, r) c d n+ d n+ d n+ d n+ d n Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini bulunuz. a. C(2n, ) = 2.C(n, 2) 5. A = {, 2, 3, 4, 5} kümesinin a. 3 elemanlı kaç alt kümesi vardır? b. En az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? b. P(n, 2) = 2.C(n, 3) c. En çok 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? c. P(n, 2) + C(n, 2) = Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini bulunuz. n n a. c m= c m Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın; a. İkisinden geçen kaç tane doğru çizilebilir? b. Köşeleri bu noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir? b. 2n + 2n + d n= d n n 4 c. Köşeleri bu noktalar olan kaç tane çokgen çizilebilir? 82

31 7. 0 kişilik bir sporcu grubundan 5 kişilik bir basketbol takımı oluşturulacaktır. Takıma girecek olan 2 kişi biliniyorsa kaç farklı takım oluşturulabilir? 0. Bir sınavda sorulan 0 sorunun ilk dördünden en az üçünü cevaplandırmak koşuluyla 7 soru kaç değişik biçimde seçilebilir? 8. 6 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan a. 4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?. A = {, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, a. 3 bulunur? b. 3 kız, erkekten oluşan 4 kişilik kaç ekip b. 2 bulunmaz? oluşturulabilir? c. 2 ve 3 bulunur? c. En az 3 ü kız olan 4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir? d. 2 veya 3 bulunmaz? d. En çok 3 ü erkek olan 4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir? 2. 5 elemanlı alt kümeleri sayısı 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan kümenin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? 9. A B K C F D E Bir çember üzerindeki 7 farklı noktadan çizilebilecek üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A dır? 3. A = {, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile, a < b < c olmak üzere kaç farklı abc üç basamaklı sayısı yazılabilir? 83

32 4. Aynı düzlemde bulunan 8 doğru en fazla kaç noktada kesişebilirler? 7. 4 farklı çemberin kesişmesiyle en çok kaç tane kesim noktası oluşur? 5. A B F K 8. A C D L K E M Şekildeki 5 nokta doğrusal, diğer 4 nokta bir çember üzerindedir. Köşeleri bu 9 noktadan seçilen en çok kaç üçgen çizilebilir? B D E F C Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır? 6. A E B K C L D M 9. Yukarıdaki şekilde B noktasında kesişen iki doğru üzerinde 8 nokta verilmiştir. Bu noktaların, a. En az ikisinden geçen kaç doğru çizilebilir? Yukarıda bir kenar uzunluğu 4 br olan kare çizilmiştir. a. Şekilde kaç tane dikdörtgen vardır? b. Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç üçgen çizilebilir? b. Kaç tane kare vardır? c. Bir köşesi C olan ve diğer köşeleri öteki noktalardan seçilen kaç üçgen çizilebilir? c. Karelerden kaç tanesinin kenar uzunluğu den büyüktür? 84

33 BİNOM AÇILIMI n pozitif tam sayı olmak üzere, (x + y) n ifadesinin açılımına binom açılımı denir. (x + y) n = n n n n c mxn+ c m x n y + c m x n 2 y 2+ + c m 0 2 n y n açılımı; x in azalan, y nin artan kuvvetlerine göre yapılmıştır. y nin yerine y yazılırsa (x y) n ifadesinin açılımı elde edilir. Her terimdeki dereceler toplamı n dir. n + tane terim vardır. Kat sayılar toplamı x = y = alınarak bulunur. Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin kat sayıları eşittir. (x + y) 2n 2n açılımında, ortadaki terim d n. n x n y n dir. n c m xn r. yr terimine genel terim denir. Genel terim; baştan (r +). terim, sondan (n r + ). terimdir. r Pascal Üçgeni (x + y) 0 (x + y) 0 0 d n (x + y) 0 (x + y) 2 2 (x + y) d n d n 0 (x + y) (x + y) d n d n d n (x + y) (x + y) (x + y) 5 d n d n d n d n (x + y) d n d n d n d n d n n n n + Kombinasyon konusu işlenirken verilen, c m+ c m= d n bağıntısını, Pascal üçgenini kombinasyon r r r biçiminde yukarıdaki gibi yazdığımızda rahatlıkla görebiliriz Örneğin, d n+ d n= d n, d n+ d n= d n gibi ÖRNEK 99 Aşağıdaki açılımları inceleyiniz.. (x + y) = d nx + d n (x + y) 2 = d nx + d nxy+ d n y = x 2 + 2xy + y (x + y) 3 = d nx + d nx y+ d nxy + d n y = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y (x + y) 4 = d nx + d nx y+ d nx y + d nxy + d n y = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 85

34 ÖRNEK 00 (2x 5y) 3 ifadesinin açılımını yapınız. ÖRNEK 04 (3x 4y) n açılımında 8 tane terim bulunduğuna göre, bu terimlerin kat sayıları toplamı kaçtır? ÖRNEK 0 2 c2a + b m ifadesinin açılımını yapınız. 3 ÖRNEK 05 (x 3 5x + 2) 6 açılımında sabit terim kaçtır? ÖRNEK 02 (2a + 3) 4 ifadesinin açılımını yapınız. ÖRNEK 06 (x + 2y) 6 açılımında ortadaki terim nedir? ÖRNEK 07 ÖRNEK 03 (2a b 2 + c) 5 açılımında kat sayılar toplamı kaçtır? (2x + y) 0 açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa baştan 4. terim ne olur? 86

35 ÖRNEK 08 (x 2y) n = x n Ax 6 y biçiminde x in azalan kuvvetlerine göre açılım yapıldığına göre A kaçtır? cx ÖRNEK m ifadesinin açılımındaki x 6 lı terimin kat sa- x yısı kaçtır? ÖRNEK ca 3 5 a2 m ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? ÖRNEK 09 (x 2 y) 2 açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa sondan 4. terim ne olur? 87

36 c ÖRNEK 2 3 x + x 8 sayısı kaçtır? m ifadesinin açılımındaki x li terimin kat ÖRNEK 3 ^ 5 + 5h açılımında rasyonel terim kaça eşittir? 3 5 (ax + by + cz) n ifadesinin açılımında x p.y q.z t li terimin kat sayısı a p.b q.c t n!. dir. p!. q!. t! ÖRNEK 5 (x 3y + 2z) 6 ifadesinin açılımındaki terimlerden biri A.x 3.y 2.z olduğuna göre, A kaçtır? ÖRNEK 6 ÖRNEK 4 (x + y + z) n açılımındaki terimlerden birisi A.x 2.y 3.z 5 olduğuna göre, A kaçtır? (x 2 + 2y 3 z 4 ) 0 açılımı yapıldığında, içinde x 6 çarpanı olup başka x çarpanı olmayan kaç terim vardır? 88

37 ALIŞTIRMALAR 4. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. (a + b) n açılımında; n Baştan r. terim c m an rbr dir. r n Sondan (r + ). terim c m ab r n r dir. r 4. Aşağıdaki açılımların her birinde kat sayılar toplamını bulunuz. a. (2x ) 20 Kat sayılar toplamı 2 n dir. n çift olmak üzere ortadaki terim için b. (3x + ) 4 n r = dir. 2 Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin kat sayıları eşittir. c. (2x 3y) 7 2. (2x y) 6 ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa baştan 3. terim ne olur? d. (2x 3y + z) Aşağıdaki açılımların her birinde sabit terimleri bulunuz. a. (x ) 3 e. (x 2y + 3z) 7 b. (3x 2) 4 c. (x 2 x + 2) 5 5. (2x 2 y) 8 ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa sondan 4. terim ne olur? 89

38 6. c3x m x 2 6 açılımında ortadaki terim nedir? 0. (x 2 3y 2 ) n açılımında terimlerden biri Ax 4 y 8 ise A kaçtır? 7. (x 3y) n = x n Ax 4 y eşitliğine göre A kaçtır?. cx x3 m açılımında sabit terim baştan kaçıncı terimdir? 8. cx 3 7 m x ifadesinin açılımında x 5 kaçtır? li terimin kat sayısı 2. (x y + 3z) 6 açılımında terimlerden biri Ax 2 yz 3 ise A kaçtır? 9. 6 c x x2 m ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır? 3. (v2 ) 6 açılımında elde edilen terimlerden rasyonel olanları bulunuz. 90

39 OLASILIK Olasılık, sonucu kesin olmayan olayları sayılarla ifade eder. Olasılık teorisi günümüzde şans oyunlarının yanısıra, ekonomi, spor, siyaset, bilimsel tespitler, meteoroloji, sigortacılık, bankacılık ve milli savunma gibi pek çok uygulama alanında kullanılmaktadır. Deney ve Çıktı Yeni bilgi kazanmak ve olayların gelişimini incelemek için yapılan deneme ve testlere deney denir. Bir deneyin mümkün olan her türlü sonucuna çıktı adı verilir. Düzgün bir zemine bir madeni paranın atılması bir deneydir. Yazı gelmesi ve tura gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır. Aynı şekilde bir tavla zarının atılması bir deneydir. gelmesi, 2 gelmesi, 3 gelmesi, 4 gelmesi, 5 gelmesi ve 6 gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır. Örnek (Örneklem) Uzayı Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın her bir elemanına ise örnek nokta denir. Olay Örnek uzayın her bir alt kümesine bir olay denir. E örnek uzayına kesin olay, boş kümeye ise olanaksız (imkansız) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olayın ara kesitleri (kesişimleri) boş küme ise bu iki olaya ayrık (bağımsız) olaylar denir. ÖRNEK 7 Bir madeni paranın atılması deneyinin; çıktıları: Y (yazı) ve T (tura) dır. Örnek uzayı: E = {Y, T} dir. Buna göre, bir madeni paranın atılması sonucu, yazı veya tura gelmesi olayına (örnek uzaya) kesin olay denir. Paranın dik gelmesi olayı ise olanaksız olaydır. ÖRNEK 9 İki madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını yazınız. ÖRNEK 8 Bir tavla zarının atılması deneyindeki örnek uzay E = {, 2, 3, 4, 5, 6} dir. Üste gelen sayının tek gelmesi olayı, T = {, 3, 5} ve çift gelmesi olayı Ç = {2, 4, 6} dır. Bu iki olayın kesişimleri boş küme olduğundan, bu iki olaya ayrık (bağımsız) olaylar denir. Gelen sayının asal sayı olması olayı, A = {2, 3, 5} olup A T Ø ve Ç A Ø dır. Yani, A olayı ile T ve Ç olayları ayrık olaylar değildir. 9

40 ÖRNEK 20 Üç madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını yazınız. Art arda yapılan madeni para atma deneyinde, para n kez atıldığında örnek uzayın eleman sayısı s(e) = 2 n olur. ÖRNEK 22 ÖRNEK 2 İki tavla zarının birlikte atılması deneyindeki örnek uzayı yazınız. İçinde 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan torbadan bir çekilişte 2 bilye çekme deneyindeki; a. Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır? b. Çekilen bilyelerin aynı renkte olması olayının eleman sayısı kaçtır? 92

41 OLASILIK FONKSİYONU E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme (kuvvet kümesi) K olsun. P : K [0, ] fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu, P(A) görüntüsüne de A olayının olasılığı denir. ÖRNEK 24 E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A )= 3 P(B) = ve P(A B) ise P(A B) kaçtır? 4 6 A E 0 P(A) P(E) = A, B E ve A B = ise P(A B) = P(A) + P(B) ÖRNEK 23 Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması deneyini inceleyelim. E = {Y, T} örnek uzay ve K = {, {Y,}, {T}, {Y, T}} kuvvet kümesidir. A olayının olma olasılığı da P(A) dır. P( ) = 0 [0, ] P(Y) = [0, ] 2 ÖRNEK 25 E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A) = 3 3 P(B) = 5 ve P(A B) = 4 olduğuna göre aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız. a. P(A B) b. P(B ) c. P(A B ) P(T) = 2 [0, ] P(Y, T) = P(E) = [0, ] P(Y T) = P(Y) + P(T) = 2 + = 2 olduğundan olasılık fonksiyonunun tanımındaki 3 aksiyom da sağlanır. Yani, P : K [0, ] fonksiyonu bir olasılık fonksiyonudur. Teorem: A, B E ve P bir olasılık fonksiyonu ise a. P( ) = 0 b. A B ise P(A) P(B) c. A = E A ise P(E) = P(A) + P(A ) = d. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) dir. 93

42 Eş Olumlu Örnek Uzay E = {a, a 2,..., a n } bir sonlu örnek uzay olsun. P(a ) = P(a 2 ) =... = P(a n ) ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay adı verilir. Eş olumlu bir uzayda, aksi belirtilmedikçe, olasılık fonksiyonu ÖRNEK 29 Bir madeni paranın arka arkaya üç kez atılması sonucu en az iki yazı gelmesi olasılığı kaçtır? sa ( ) stenen durumlar n say s PA ( ) = = dır. sb ( ) Tü m durumlar n say sı ÖRNEK 26 E = {, 2, 3, 4, 5} eş olumlu örnek uzay ise P(2) + P(5) toplamı kaçtır? ÖRNEK 30 Bir madeni paranın arka arkaya 5 kez atılması sonucu 2 tura, 3 yazı gelme olasılığı kaçtır? ÖRNEK 27 Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması deneyinde, yazı (Y) ve tura (T) olmak üzere, E = {Y, T} olup s(e) = 2 dir. Buna göre, sy ( ) st ( ) P(Y) = = ve P(T) = = olur. se ( ) 2 se ( ) 2 P(Y) = P(T) = 2 olduğundan bu deneydeki örnek uzay, eş olumlu örnek uzaydır. ÖRNEK 28 İki madeni paranın düzgün bir zemine atılması sonucu ikisinin de tura gelme olasılığı kaçtır? ÖRNEK 3 Bir tavla zarı bir kez atıldığında üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır? 94

43 ÖRNEK 32 Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze gelen sayıların aynı olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 35 Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele 2 bilye çekildiğinde, bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 33 Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 36 Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan arka arkaya 2 bilye çekildiğinde, çekilen birinci bilyenin kırmızı, ikinci bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 34 Bir torbada 3 sarı, 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan bir bilye çekildiğinde, bu bilyenin kırmızı olma olasılığı nedir? ÖRNEK 37 Bir torbada 5 siyah ve 3 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele 3 bilye çekildiğinde ikisinin siyah, birinin beyaz olma olasılığı kaçtır? 95

44 ÖRNEK 38 7 kız ve 5 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kızların 3 ü, erkeklerin 2 si gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen iki öğrencinin, a. İkisinin de kız olma olasılığı, ÖRNEK 39 5 doktor ve 6 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Bu ekipte en az 2 doktor bulunma olasılığı kaçtır? b. İkisinin de gözlüklü olma olasılığı, c. Birisinin kız diğerinin erkek olma olasılığı, d. İkisinin de gözlüklü ve kız olma olasılığı, e. İkisinin de gözlüklü veya ikisinin de kız olma olasılığını hesaplayınız. ÖRNEK 40 A = {0,, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilen 4 basamaklı ve rakamları farklı sayılardan bir tanesi seçiliyor. Seçilen bu sayının 5 ile bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır? 96

45 ÖRNEK 4 Bir oylama sırasında, birinci sandıkta 4 siyah 5 beyaz ve ikinci sandıkta, 5 siyah 3 beyaz oy pusulası vardır. Birinci sandıktan bir oy pusulası alınarak rengine bakılmadan ikinci sandığa atıldıktan sonra ikinci sandıktan alınan bir oy pusulasının beyaz olma olasılığı kaçtır? KOŞULLU OLASILIK E örnek uzay ve A ile B herhangi iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A / B) biçiminde gösterilir. PA ( + B) P(A / B) = dir. PB ( ) E eş olumlu örnek uzay ise, sa ( + B) P(A / B) = dir. sb ( ) A nın B koşullu olasılığı hesaplanırken B kümesi örnek uzay olarak düşünülüp hesap yapılabilir. ÖRNEK 43 E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. P(A) = 3 ÖRNEK 42 P(B) = 2 ve P(A B) = 4 3 ise P(A / B) kaçtır? İki torbadan her birinde 4 beyaz, 3 siyah bilye vardır. Birinciden bir bilye alınıp ikinciye ve sonra da ikinciden bir bilye alınıp birinci torbaya atılıyor. Renk bakımından ilk durumu elde etme olasılığı kaçtır? ÖRNEK 44 Bir madeni paranın iki kez arka arkaya atılması deneyinde yazı geldiği bilindiğine göre, ikisinin de yazı gelmesi olasılığı kaçtır? 97

46 ÖRNEK 45 İki tavla zarının birlikte atılması deneyinde üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olduğu bilindiğine göre, sayıların ikisinin de çift sayı olma olasılığı kaçtır? BAĞIMSIZ OLAYLAR İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir. P(A B) = P(A).P(B) Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı olaylar denir. A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı P(A B) demektir. A veya B olaylarının meydana gelme olasılığı P(A B) demektir. ÖRNEK 47 A ve B bağımsız olaylardır. P(A) = 2 ve P(B) = ise 3 6 P(A B) ve P(A B) kaçtır? ÖRNEK 46 I. torbada 2 sarı 3 kırmızı top, II. torbada 3 sarı 4 kırmızı top vardır. Torbaların birinden rastgele bir top çekildiğinde topun kırmızı renkte olduğu bilindiğine göre, I. torbadan çekilmiş olma olasılığı nedir? ÖRNEK 48 Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır? 98

47 ÖRNEK 49 Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura veya zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır? ÖRNEK 5 Bir sınava giren Ali nin sınavı geçme olasılığı 5 3 ve Barış ın aynı sınavı geçme olasılığı 3 tür. Buna göre, a. Her ikisinin de sınavı geçme olasılığı kaçtır? b. Sadece Ali nin sınavı geçme olasılığı kaçtır? c. En az birisinin sınavı geçme olasılığı kaçtır? d. İkisinin de sınavı geçememe olasılığı kaçtır? ÖRNEK 50 Bir topluluktaki 2 bayanın 7 si gözlüklü ve 9 erkeğin 6 sı gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir kişinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır? : I. Yol 99

48 SONSUZ ÖRNEK UZAYI E örnek uzayı sonsuz çoklukta örnek noktalardan (uzunluk, alan, hacim, ağırlık, açı ölçüsü,...) oluşuyorsa bu örnek uzaya sonsuz örnek uzay denir. A olayı da E örnek uzayında bir olay ise bu A olayının olasılığı, A nın ölçüsü P(A) = olur. E nin ölçüsü ÖRNEK 54 E = { x : x 3, x R} örnek uzayında seçilen bir noktanın [0, 2] aralığına ait olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 52 Yarıçapı r cm olan bir dairenin içinden seçilen bir noktanın, dairenin merkezine olan uzaklığının, dairenin çevresine olan uzaklığından daha kısa olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 55 D C 4 N M ÖRNEK 53 2 K L Boyutları 20 cm ve 30 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kağıt üzerinde rastgele işaretlenen bir noktanın, kağıdın ağırlık merkezine en çok 0 cm uzaklıkta olma olasılığı kaçtır? A B 5 3 Şekildeki ABCD dikdörtgeni, K, L, M, N dikdörtgensel bölgelerinin birleşiminden oluşmaktadır ve kenar uzunlukları şekildeki gibidir. Buna göre, ABCD dikdörtgeni içinde bir nokta rastgele işaretlendiğinde bu noktanın M bölgesinde olma olasılığı kaçtır? 200

49 ALIŞTIRMALAR 5. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. Bir para üst üste 4 kez atılırsa örnek uzayı 6 elemanlı olur. 5. Bir çift zar atıldığında üste gelen sayıların a. Aynı olma olasılığını Bir zar üst üste 3 kez atılırsa örnek uzayı 26 elemanlı olur. 5 para atıldığında örnek uzayı 25 elemanlı olur. b. Farklı olma olasılığını Bir A olayının olasılığı P(A) ise P(A) dir. A kesin olay ise P(A) = dir. c. Toplamlarının 9 olma olasılığını 2. İki madeni para atıldığında en çok bir yazı gelmesi olasılığı kaçtır? d. Birinin tek, diğerinin çift sayı olma olasılığını e. Toplamlarının 3 olma olasılığını 3. Bir madeni para art arda 3 kez atıldığında, 2 kez yazı kez tura gelme olasılığı kaçtır? f. Toplamlarının en az 2 olma olasılığını bulunuz. 4. Bir madeni para art arda 5 kez atıldığında, 2 kez yazı 3 kez tura gelme olasılığı kaç olur? 6. 4 kız, 5 erkek arkadaş yanyana fotoğraf çektireceklerdir. Kızların bir araya gelme olasılığı kaçtır? 20

50 7. Aynı büyüklükte 5 kırmızı ve 3 beyaz bilyenin bulunduğu bir torbadan, rastgele 3 bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin, 0. 5 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden herhangi 2 tanesi rastgele alındığında ikisinin de 3 elemanlı olma olasılığı kaç olur? a. Üçünün de beyaz olma olasılığını b. Üçünün de kırmızı olma olasılığını c. Üçünün de aynı renk olma olasılığını. E örneklem uzayına ait iki olay A ve B olmak 7 üzere, P(A) =, P(B ) = ve 4 8 P(A B) = 6 ise P(A B) kaçtır? d. İkisinin beyaz, birinin kırmızı olma olasılığını e. En az birinin kırmızı olma olasılığını bulunuz sayısının rakamları yer değiştirilerek oluşturulan 7 basamaklı sayılardan biri rastgele alındığında bunun 4 ile başlayıp 3 ile biten bir sayı olma olasılığı kaçtır? kişilik bir sınıfta bulunan öğrencilerin 2 si erkektir. Erkeklerin 4 ü, kızların 3 ü gözlüklü olduğuna göre, sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaç olur? 9. Bir torbada, aynı büyüklükte 4 sarı, 3 lacivert ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan geri atılmamak koşuluyla art arda 3 bilye çekildiğinde birincisinin sarı, ikincisinin lacivert, üçüncüsünün beyaz olma olasılığı kaç olur? 3. İki madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor. Paraların birinin yazı, diğerinin tura ve zarın çift sayı gelme olasılığı kaç olur? 202

51 4. Bir madeni para iki kez atılıyor. Birinci atışta tura geldiği biliniyorsa, ikinci atışta yazı gelme olasılığı kaç olur? 8. İki torbadan birincisinde 6 kırmızı, 4 mavi; ikincisinde 5 kırmızı, 3 mavi bilye vardır. Torbalardan biri rastgele alınıp, içinden bir bilye çekiliyor. Bu bilyenin kırmızı olduğu biliniyorsa, birinci torbadan çekilmiş olma olasılığı kaç olur? 5. Bir çift zar atıldığında zarların üstündeki sayıların toplamının 0 olduğu biliniyorsa ikisinin de tek sayı olma olasılığı kaç olur? 9. s(a) = 3 ve s(b) = 4 olmak üzere, A dan B ye tanımlı bağıntılardan biri rastgele seçilirse bunun A dan B ye bir fonksiyon olma olasılığı kaç olur? 20. Şekildeki O merkezli puan 6. İki torbadan birincisinde 3 kırmızı, 5 beyaz; ikincisinde 4 kırmızı, 3 beyaz bilye vardır. Torbalardan biri rastgele alınıp içinden bir bilye alınırsa bu hedef tahtasında CB = BA = AO olmak üzere, alınabilecek puanlar C B A 3 puan 5 puan O bilyenin kırmızı olma olasılığı kaç olur? verilenler gibidir. Tek atış yapan birisinin tahtayı vurduğu bilindiğine göre, 3 puan alma olasılığı kaçtır? 7. İki torbadan birincisinde 4 beyaz, 5 yeşil; ikincisinde 3 beyaz, 4 yeşil bilye vardır. Birinci torbadan bir bilye rastgele alınıp, ikinci torbaya konuyor ve ikinci torbadan rastgele bir bilye alınıyor. 2. Yandaki şekilde A, B, C, D fabrikalarının ürettiği malların dairesel grafiği verilmiştir. Bu fabrikaların ürettiği mallardan seçilen bir malın C D 50 A C B Bu bilyenin yeşil olma olasılığı nedir? veya D fabrikasında üretilmiş olma olasılığı kaçtır? 203

52 İSTATİSTİK İstatistik; örnek verilerden hareket ederek popülasyon (ana kitle yığın) hakkında yorumlama, genelleme ve tahmin yapma bilimidir. 20. yüzyıldan itibaren istatistik; muhasebe, yönetim, finansman ve pazarlama gibi pek çok uygulama alanı bulmuştur. Trafik kazaları, evlenme, boşanma, doğum, ölüm, kâr, zarar gibi konular istatistiğin ilgilendiği konulardır. İstatistikte incelenen olayın özellik ya da özelliklerinin aldığı değerler rakamlarla ifade edilebilmelidir. Bir olaylar kümesindeki tek bir olay, tüm olaylar kümesini temsil edebiliyorsa bu tür olaylar istatistiğin ilgi alanına girmez. (Suyun 00 C de kaynaması gibi, aynı yerde aynı koşullarda yapılan her deneyin sonucu aynı olur.) Ölçülmeye veya sayılmaya elverişli tüm canlı ve cansız varlıklar ve olaylara; okul, insan, bina, araba, doğum, ölüm, evlenme, kâr zarar gibi kavramlara istatistiki birim denir. Sevinç, korku, rüya, renk ve koku gibi soyut kavramlar sayılamadıkları ve ölçülemedikleri için istatistik için birim olamazlar. Birimlerin sahip olduğu özelliklere değişken, değişkenlerin aldığı değerlere de şık denir. Belirlenen amaçlar için gözlenecek olan birimlerin ölçülmesi, sayılması ve aldıkları değerlerin belirlenmesi ve kaydedilmesine veri derleme denir. Elde edilen bu verilerin istatistiksel yöntemlerle değerlendirildikten sonra uygun araçlar kullanarak sunumunun yapılması istatistiğin amacıdır. İstatistik; Yeni bilgilere ulaşmak ve bunları geliştirmek için yapılan araştırmalardan elde edilen verileri düzenlemek, Problem çözümleri için çalışma teknikleri oluşturmak, Değişkenlerin ürünleri ve üretim süreçlerini nasıl etkileyeceğini tahmin etmek, Yapılan gözlem ve deneylerden elde edilen sonuçları, doğru yorumlamak ve anlaşılır bir biçimde sunmak, Sonuçların güvenilirliğini test etmek gibi birçok amaç için çoğu bilim dalına yardımcı olmaktadır. İstatistiksel çalışmalar yapılırken, Grafikler Merkezi Eğilim Ölçüleri Frekans Tabloları Merkezi Yayılma (Dağılım) Ölçüleri (Değişkenlik Ölçüleri) gibi yöntemlerden yararlanılır. İstatistiksel verileri sözel ifadelerle açıklayarak, frekans tabloları yaparak ve grafik gösterimler kullanarak daha anlamlı ve kolay anlaşılabilir hale getirebiliriz. Verileri ise iki ana grup altında toplayabiliriz. Veri Kesikli Kardefl sayısı, araç sat fl adedi, yafl, v.b. gibi Sayısal Sürekli Boy, a rl k, s cakl k v.b. gibi Kategorik ( simsel) Marka, kanal adı, ders adı, ülke, flehir v.b. gibi 204

53 GRAFİKLER Verilerin veya karşılaştırılması yapılacak değişkenlerin çizgi, tablo, nokta veya şekillerle ifade edilmesine grafik denir. Grafikler verilerin sunumuna görsellik katararak daha kolay yorumlanmasını sağlar. Veri türlerine ve istenen amaca göre çizilebilecek çeşitli grafik türleri vardır. Bunlar; Çizgi grafiği Sütun grafiği (Çubuk - Histogram) Daire grafiği Serpilme grafiği Kutu grafiği başlıkları altında ifade edilebilir. ÇİZGİ GRAFİĞİ Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesi sonucunda elde edilen grafikler çizgi grafikleridir. Özellikle bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini (artma, azalma) incelemek için kullanılan en uygun grafiktir. ÖRNEK 56 Yanda bir hareketlinin belli zaman aralığında aldığı yolu gösteren tablo verilmiştir. Bu tablodan yararlanarak hareketlinin aldığı yolu zamana göre ifade eden çizgi grafik aşağıda çizilmiştir. Zaman (dk) Yol (m) Yol (m) Hareketin toplam süresi 5 dakikadır. Hareket süresince alınan toplam yol 200 metredir.. dakikanın sonunda alınan yol 00 metredir. 2. ve 3. dakikalar arasında alınan yol = 25 metredir. 3. ve 4. dakikalar arasında yol alınmamıştır. Yani bu zaman diliminde hareketli durmuştur Zaman (dk) yol Hız = zaman olduğundan, hareketlinin en yüksek hıza sahip olduğu aralık 0- dakika aralığıdır. Bu aralıktaki hızı V = 00 0 = 00 m/dk dır. 0 En çok yol aldığı aralık 0- dakikalar arasıdır. Bu aralıkta 00 metre yol almıştır. 2. ve 3. dakikalar arasında aldığı yol, 4. ve 5. dakikalar arasında aldığı yola eşittir (25 m). Aynı süre içinde ( dk) aldığı yollar eşit olduğundan bu aralıklarda hızları da eşittir. 205

54 ÖRNEK 57 ÖRNEK 58 S nav No Ö renci Say s Netlerin Say s Yukarıdaki tabloda Serasu nun 40 ar sorudan oluşan 5 farklı matematik sınavındaki netlerinin sayısı gösterilmiştir. Tablodaki verileri çizgi grafiği ile gösterelim Notlar Yukarıdaki grafik bir sınıftaki tüm öğrencilerin matematik dersinden aldığı notları gösterdiğine göre, aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? I. 3 alan 9 kişi vardır. II. En düşük geçme notu 2 ise matematik dersinden kalan öğrenci yoktur. III. 2 alanların sayısı 5 alanların sayısına eşittir. IV. Sınıf mevcudu 27 kişidir. V. ve 3 alan öğrenci sayılarının toplamı sınıfın yarısından azdır. VI. Sınıfın ünün notu 3 tür. 3 Uyarı En düşük netin 3. sınavda çıkarılmış olmasına bakarak, bu sınavlar içinde en zor olanın 3. sınav olduğunu söyleyemeyiz. Çünkü netlerin düşüklüğü başka sebeplere de bağlı olabilir; rahatlık, çok işlem hatası, konsantre bozukluğu vs. gibi. Aynı şekilde, en kolay sınavın 5. deneme sınavı olduğu söylenemez. Serasu nun sınıfının içindeki ve okul genelindeki sıralaması ile ilgili bir yorum yapılamaz. 206

55 ÖRNEK 59 ÖRNEK 6 fiehirler Aylar Ocak fiubat Mart Nisan May s Haziran Yakıt miktarı (litre) 60 Ankara Çorum Yukarıdaki tabloda Ankara ve Çorum daki 200 yılının ilk 6 ayına ait güneşli gün sayıları verilmiştir. Bu tabloya ait çizgi grafiği aşağıda çizilmiştir. İnceleyiniz. Güneflli Gün Say s ÖRNEK 60 Ocak fiubat Mart Nisan May s Haziran Sıcaklık ( C) Aylar 20 8 Ankara Çorum Alınan yol (km) Deposu 60 litre yakıt alan bir aracın, şehirler arası yolda bir depo benzinle alabildiği yol 600 km dir. Bu durum yukarıdaki grafikle ifade edilmiştir. Buna göre, a. Bu araç L benzinle kaç km yol alabilir? b. Şehir içinde, % 20 daha fazla yakıt tükettiğine göre aynı araç bir depo yakıt ile şehir içinde kaç km yol alabilir? c. Aracın deposunda 50 km lik yola yetecek yakıt kaldığında uyarı ışığı yandığına göre, deposunda kaç litre benzin kaldığında uyarı ışığı yanar? Aylar Bir kentin yıl boyunca aylık ortalama hava sıcaklıkları yukarıdaki grafikle ifade edilmiştir. Buna göre, elde edilen aşağıdaki bilgileri inceleyiniz. En soğuk ay ocak, en sıcak ay ise temmuzdur. Kuzey yarımkürede yer alır. Yıllık sıcaklık farkı 37 C civarındadır. Kar yağışı ve donma görülebilir. Şubat ve aralık aylarının sıcaklık değerleri aynıdır. Üç ayın sıcaklık değerleri 0 C nin altındadır. Yazı sıcak, kışı ise soğuktur. 207

56 SÜTUN GRAFİĞİ Bu grafik türünde toplanan bilgiler sütun şeklindeki grafiklerle gösterilir. Sütun grafiğinde iki eksen vardır. Yatay ve düşey eksende ölçülen değerlerin birbirine göre durumları sütunlarla (çubuklarla) belirtilir. Çiftli sütunlar halinde çizildiğinde farklı iki veri kümesinin karşılaştırılmasını da sağlarlar. İsimsel veriler için zorunlu bir sıralama koşulu yoktur. Süreksiz (aralıklı) veriler için çubuk grafiği, sürekli veriler için de histogram olarak çizilir. Histogramda sütunlar birbirine bitişik ve veriler sıralıdır. Çubuk Grafiği ÖRNEK 62 Ülke Üretim Miktarı (ton) İspanya İtalya Yunanistan Türkiye Tunus Dünya zeytin üretimi ile ilgili bilgiler yukarıdaki tablo ile verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiğini oluşturalım. ÖRNEK 64 Ülke Sınır Uzunluğu (km) Brezilya Rusya Federasyonu Çin Hindistan A.B.D ÖRNEK 63 Dünyada en uzun kara sınırlarına sahip ülkelerle ilgili bilgiler yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiği çizelim Ö renci sayısı Notlar Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin matematik dersinin. yazılısından aldıkları notları göstermektedir. Buna göre, sınıfın yüzde kaçı 9 almıştır? 208

57 Bazı çubuk grafiklerinin çiziminde aşağıdaki yollar takip edilir. Veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır. Grup genişliği (aralık) bulunur. Bu aralık en büyük veri ile en küçük verinin farkıdır. Verilerin kaç alt grupta toplanacağına karar verilir. Tespit edilen sayı grup genişliğine bölünerek alt grup genişliği bulunur. Bu sayı ondalık bir sayı ise yuvarlanarak tam sayı tespit edilir. Bazen işlemi kolaylaştırmak için alt grup sayısını bulduğumuz sayının yakınındaki başka sayı ile değiştirebiliriz. ÖRNEK kişilik bir sınıftaki öğrencilerin, matematik dersindeki I. yazılı sınav sonuçları; 24, 28, 32, 36, 38, 40, 44, 46, 48, 52, 54, 60, 60, 64, 70, 78, 82, 86, 92, 94 olarak verilmiştir. Bu notları çubuk grafiği ile gösterelim. Çubuk grafiği çizerken değişkenleri y ekseninde, aldıkları değerleri de x ekseninde gösterebiliriz. ÖRNEK 66 Göl Yüzölçümü (km 2 ) Eğirdir 470 İznik 300 Manyas 70 Tuz 500 Van 3700 Ülkemizdeki tanınmış 5 gölün yüzölçümleri (yaklaşık) yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiğini çizelim. Frekans Tablosu Gruplama sonucunda oluşan ve belirli bir özelliği temsil eden birey sayısına frekans denir. Frekans, bir özelliğin olayda kaç kez tekrarlandığını gösterir. x (Puan Aralığı) f (Frekans) Yukarıda, bir sınıfta bulunan 23 öğrencinin matematik sınavına ilişkin puanların frekans tablosu verilmiştir. Bu tabloya göre, puanı arallığında olan 4 öğrencinin bulunduğu v.s. söylenebilir. 209

58 Histrogram Alanı, ilgili sınıfın frekansına, tabanı da ilgili sınıfın aralığına eşit olan ve birbirine bitişik dikdörtgenlerden oluşan bir grafik çeşitidir. Sürekli verileri göstermek için çizilirler. Tek bir değişkenin dağılımını göstermek için oldukça kullanışlı bir grafik sunumudur. ÖRNEK 67 Sürekli bir K değişkeninin aldığı değerler aşağıda tablo ile gösterilmiştir. ÖRNEK 68 Bir otoparkta bulunan 20 otomobilin modelleri aşağıda verilmiştir. 986, 990, 993, 994, 994, 996, 998, 998, 2000, 200, 2002, 2002, 2004, 2005, 2006, 2007, 2007, 2008, 2009, 2009 Bu araçların modellerine göre dağılımı için histogram oluşturunuz. Sınıflar Frekans Bu verilerin histogram grafiğini çizelim. 20

59 DAİRE GRAFİĞİ Eldeki verilerin daire dilimleri biçiminde sunulmasıdır. Değişkenlerin bir bütün içerisindeki oranları, yüzde veya merkez açı ölçüleri gösterilerek hazırlanır. Her bir dilimin içine veya dilimin yakınındaki bir yere, o değişkenin adı ve yüzdelik dilimi yazılır. Eğer merkez açılar kullanılacaksa her bir değişkene düşen merkez açılar ve bunların toplamları 360 olacak şekilde daire dilimlere ayrılır. Bu grafik türüne pasta grafiği de denilmektedir. Kesikli veriler için uygundur. ÖRNEK 70 Örnek 3 teki tabloya karşılık gelen daire grafiğini merkez açılar kullanarak gösteriniz. ÖRNEK 69 Ülke Üretim Miktarı (Bin ton) Hindistan 870 Çin 650 Kenya 300 Sri Lanka (Seylan) 280 Endonezya 50 Türkiye 35 Toplam 2385 Dünya çay üretiminde en büyük paya sahip 6 ülke ve üretim miktarları yukarıda tablo şeklinde verilmiştir. Bu tabloya karşılık gelen daire grafiğini oluşturunuz. 2

60 ÖRNEK 7 Ezgi, sınıfındaki 20 arkadaşına TRT, Kanal D, Show TV, ATV kanallarından hangisini daha çok izlediğini sormuş ve sonuçları aşağıdaki daire grafiğinde göstermiştir. TRT % 40 Kanal D % 25 ATV % 5 Show TV % 20 Grafikteki verileri kullanarak aşağıdaki tabloyu doldurunuz. TV kanalı İzleyici sayısı Daire dilimindeki merkez açının ölçüsü TRT Kanal D Show TV ATV Toplam SERPİLME GRAFİĞİ İki değişkenin bir arada incelenmesi için çizilen grafiklerdir. Değişkenlerden birinin değerleri yatay, diğer değişkenin değerleri de düşey eksende gösterilir. ÖRNEK 72 Aşağıda 5 öğrencinin matematik ve fizik derslerinden aldıkları notlar sırasıyla verilmiştir. Matematik Notu : 30, 40, 50, 65, 75 Fizik Notu : 20, 40, 45, 70, 80 Bu verilere ait grafiği oluşturalım. Fizik Notu (Y) Matematik Notu (X) Noktaların dağılımına bakarak, matematik notu yüksek olan öğrencilerin fizik notu da yüksektir sonucunu çıkarabiliriz. Başka bir deyişle, notlar arasında doğru orantı vardır diyebiliriz. ÖRNEK 73 Aynı yayın saatinde farklı kanallarda yayınlanan iki TV dizisi için 6 defa izlenme ölçümü yapılmış ve izlenme oranları zamana göre sıralı olarak aşağıdaki serpilme grafiğinde verilmiştir. 0 B dizisinin izlenme oranı A dizisinin izlenme oranı Grafikten yararlanarak elde edilen aşağıdaki bilgileri inceleyiniz. A dizisinin izlenme oranı arttıkça B dizisinin izlenme oranı azalmıştır. İki dizinin izlenme oranları ters orantılıdır. Dizilerin yayına başladığı ilk zamanlarda B dizisini izleyenlerin oranı daha fazladır. B dizisinin izlenme oranı sürekli azalmıştır. 22

61 ETKİNLİK Bir araba galerisindeki 4 yıllık otomobil satışları yandaki tablo ile verilmiştir. Araç markaları ve satışları ile ilgili aşağıdaki grafikler oluşturulabilir. Yıllar Marka A B C Toplam Üç markanın yıllara göre satış adetlerini incelemek için çizgi grafiği ile sütun grafiğinden yararlanabiliriz. Bu grafikler aşağıda çizilmiştir Satıfllar (Adet) A: B: C: Yıllar Satıfllar (Adet) A B C Yıllar Sadece A markasının yıllara göre satış adetlerini incelemek için çizgi ve sütun grafiğini bir arada ifade edebiliriz. Bunlar aşağıda çizilmiştir. B markasının satışlarını, toplam satış adetleri ile kıyaslamak için sütun grafiğinden yararlanabiliriz. Bu grafik aşağıda çizilmiştir. 60 Satıfllar (Adet) 50 Sat fllar (Adet) B Toplam Yıllar Y llar 200 yılı satış adetlerinin üç marka için hangi oranda olduğunu kolay bir şekilde incelemek A % 4,7 için daire grafiğinden yararlanabiliriz. Bu grafik yanda çizilmiştir. C % 25 B % 33,3 23

62 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlenen verilerin düzenlenerek, tablolarla, grafiklerle sunulması çoğu durumda yeterli olmaz. Genel durumu yansıtacak bir takım ölçülere gereksinim vardır. Bu ölçüler merkezi eğilim ölçüleri olup en çok kullanılanları; ortalama (aritmetik ortalama), ortanca (medyan), mod (tepe değeri) olmak üzere üç grupta toplanabilir. Ayrıca geometrik ortalama ve harmonik ortalama da merkezi eğilim ölçüleridir. ORTALAMA Merkezi eğilim ölçülerinin en sık kullanılanıdır. Aritmetik ortalamayı ifade eder. Eldeki veriler toplamının veri sayısına bölümüdür. x ile gösterilir. Veri değerleri x, x 2,..., x n olan n tane veri için, x + x x 2 n x = dir. n ÖRNEK 76 Ders Matematik Fizik Kimya Biyoloji Not Kredi Furkan ın sayısal derslerinden aldığı yıl sonu notları ve bu derslerinin haftalık kredileri yukarıda tablo halinde verilmiştir. Furkan ın sayısal karnesinin not ortalamasını, kredi ağırlığına göre bulunuz. MEDYAN (ORTANCA) Bir sayı dizisinin medyanını bulmak için, sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanır. Ağırlıklı Ortalama: Aritmetik ortalamada, her bir veri değerinin öneminin eşit olduğu varsayılmaktadır. Fakat bazı değerlerin önemi diğerlerinden farklı olabilir. Bu durumlarda ağırlıklı ortalama kullanılır. ÖRNEK 74 7, 6, 7, 8, 0, 2, 6 veri grubundaki sayıların ortalaması kaçtır? Dizinin terim sayısı tek ise ortadaki terim medyandır. Dizinin terim sayısı çift ise ortadaki iki terimin aritmetik ortalaması medyandır. Başka bir deyişle, n terimli bir sayı dizisinde n tek ise medyan : xn+ 2 xn + x n çift ise medyan : 2 n dir. ÖRNEK 75 ÖRNEK 77 3, 2, 2,, 4, 5, 5, 7, 4 verilerinin ortancası (medyan) kaçtır? Ö renci say s Kardefl say s öğrenci bulunan bir sınıftaki öğrencilere, kardeş sayıları sorulmuş ve verilen cevaplara göre yukarıdaki tablo oluşturulmuştur. Buna göre, bu sınıfta bulunanların ortalama kardeş sayısı kaçtır? 24

63 ÖRNEK 78 2, 7, 2, 5, 3, 4, 4, verilerinin ortancası (medyan) kaçtır? Bir veri grubunda aynı sayıda tekrar eden birden fazla değer varsa, mod değeri de birden fazla olabilir. Fakat, tüm değerler eşit sayıda tekrar ediyorsa mod yoktur. ÖRNEK 8, 3, 5, 2, 4, 3, 7, 9, 5 sayı dizisinin modu kaçtır? ÖRNEK 82 MOD (Tepe Değeri) Bir veri grubundaki en çok (en sık) tekrarlanan değere mod (tepe değeri) denir. Tekrar sayıları frekans olarak adlandırılır. ÖRNEK 79 5,, 4, 3, 7, 6, verilerinin tepe değeri (mod) kaçtır? Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden değer yoksa, bu veri grubunun modu yoktur. 7, 9,, 3, 3, 5, 7, 6, 7,, 9 verilerinin modu kaçtır? ÖRNEK 83 Meyve suyu üreten bir fabrikada, rastgele seçilen 5 şişe meyve suyunun bozulma süreleri ay olarak aşağıdaki gibi tespit edilmiştir. 8, 20, 2, 22, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 27, 30, 30, 3, 32 Bu süreler için merkezi eğilim ölçüleri olan; ortalama, ortanca ve mod değerleri nelerdir? ÖRNEK 80, 2, 3, 4, 5, 6 veri grubunun modu yoktur. 3, 3, 3, 3, 3, 3 veri grubunun modu yoktur.,, 2, 2, 3, 3 veri grubunun modu yoktur. Not: Ortalama, mod ve ortanca değerler birbirine yakın olduğu için dağılım düzgündür veya veriler homojen dağılmıştır diyebiliriz. 25

64 ÖRNEK 84 Bazı özelliklerde Türkiye nin dünya sıralamasındaki yeri aşağıdaki tablo ile belirtilmiştir. Özellik Dünya Sıralamasındaki Yeri Nüfus sayısı 7 Yüzölçümünün büyüklüğü 36 Kentli nüfus oranı 3 Ekonomik büyüme 6 Kişi başına düşen milli gelir 2 Bor ve krom üretimi Altın ve toryum üretimi 2 Cıva, mermer ve jeotermal enerji üretimi 7 Fındık, incir ve kiraz üretimi Çelik üretimi 9 ETKİNLİK Geometrik Ortalama: x, x 2,... x n gibi n tane verinin geometrik ortalaması n x. x2... x n dir. Gözlem sonuçlarının her biri bir önceki gözlem sonuçlarına bağlı olarak değişiyorsa bu değişimin hızını belirtmek için geometrik ortalama daha sağlıklı sonuçlar verir. Örnek İstanbul da bir sitedeki ev kiraları aşağıda verilmiştir. Yıllar Kira (TL) yılları arasındaki ortalama kira artış oranını hesaplayınız. Çimento üretimi 2 Kömür üretimi 5 İlaç üretimi 8 Koyun, keçi sütü üretimi Dış satım (ihracat) 30 Tekstil ihracatı 3 Çimento ihracatı 2 Mermer ihracatı 8 En çok tatil yapılan ülkeler 3 Tablodan elde edilen verilerin modu, medyanı ve ortalamasını bulunuz. Harmonik Ortalama: x, x 2,... x n gibi n tane verinin harmonik ortalaması n x x x 2 n dir. Harmonik ortalama sık kullanılmayan bir ortalama çeşitidir. Genellikle ekonomik olaylarda birim ile alınabilen ortalama miktara veya bir ürünün bir biriminin üretimi için harcanan ortalama gideri hesaplarken kullanılır. Ayrıca ortalama hız hesabında da kullanılır. Örnek O A B C Şekilde OA = AB = BC dir. Bir aracın hızı O A arası 60 km/saat, A B arası 80 km/saat ve B C arası 00 km/saattir. Bu aracın bu yolculuk esnasındaki ortalama hızı kaç km/saattir? 26

65 MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ Merkezi eğilim ölçüleri, birimlerin kendi aralarında nasıl bir dağılım (yayılım) gösterdiklerini ifade etmede yetersiz kalırlar. Örneğin; VER LER X Y Z ÖRNEK 85 7, 3, 4, 9, 2, 7, 5 veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz. x, y ve z verilerinin ortalamaları eşit ( x= y= z= 24) olduğu halde verilerin dağılımları oldukça farklıdır. Bu nedenle verilerin ortalamaya göre veya kendi aralarında nasıl bir dağılım gösterdiklerini incelemek için merkezi dağılım ölçüleri kullanılır. Bunlar, Açıklık Çeyrekler açıklığı Varyans (değişim) Standart Sapma olarak ifade edilirler. AÇIKLIK (Aralık Ranj) Bir veri kümesinde bulunan en büyük ve en küçük değer arasındaki farktır ve genellikle R ile gösterilir. R = En Büyük Değer En Küçük Değer ÖRNEK 86 6, 8, 30, 4, 6, 0, 8, 8, 2, 7, 20, 24, 36, 22, 28 veri grubunun çeyrekler açıklığını bulunuz. ÇEYREKLER AÇIKLIĞI (Q) Bir veri grubundaki terimler küçükten büyüğe doğru sıralandığında ilk terime alt uç, son terime üst uç, bunların ortasındaki terime de ortanca denir. Ortancadan küçük terimlerin ortancasına alt çeyrek (Q ) denir. Ortancadan büyük terimlerin ortancasına üst çeyrek (Q 3 ) denir. Bir başka ifade ile veri kümesinin ilk % 50 lik kısmının ortancasına Q, sonraki % 50 lik kısmının ortancasına da Q 3 denir. Çeyrekler açıklığı = Üst çeyrek Alt çeyrek Q = Q 3 Q Çeyrekler açıklı ÖRNEK 87, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 0,, 2, 3, 5, 6, 20 veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz. % 0 % 25 % 50 % 75 % 00 alt uç de er Q Q 3 ortanca üst uç de er 27

66 KUTU GRAFİĞİ Bir değişkenin sıklık dağılımını göstermek için kullanılan kutu grafikleri, dağılımın şekli, merkezi eğilimi ve değişkenlerin yayılım düzeyini göstermesi açısından kullanışlıdır. Kutu grafiği, veri için çeyreklere dayalı grafiksel gösterimlerdir. Kutu grafiğinin çizimi için, ÖRNEK 89 Bir okulun K ve L şubelerindeki öğrencilerin, fizik dersinde uygulanan aynı sınavın sonucunda aldıkları puanlar aşağıda verilmiştir. K en küçük değer (alt uç değer) L alt çeyrek (Q ), ortanca, üst çeyrek (Q 3 ) ve en büyük değer (üst uç değer) bulunur. Kutu gösteriminde; Kutunun uç noktaları Q ve Q 3 tedir. Bu notlara ait kutu grafiğini oluşturalım ve sınıfların fizik notlarını yorumlayalım. Kutunun uzunluğu Q 3 Q dir. Bu fark, verilerin ortadaki yarısının yayılma ölçüsüdür. Ortanca, kutunun içinde çizgi ile işaretlenir. Kutu dışındaki iki çizgi, alt uç değer ve üst uç değere kadar uzatılır. Kutu grafiğinde, dağılımın merkezi, verilerin yayılma genişliği ve uç değerleri kolaylıkla görülür. En Küçük De er Alt Çeyrek Ortanca Üst Çeyrek En Büyük De er ÖRNEK 88 Bir sınıftaki öğrencilerin bir dakikalık zaman dilimi içerisinde nabızlarını saymaları istenmiştir. Ölçüm sonuçları cinsiyet değişkenine göre aşağıdaki tabloya aktarılmıştır. En Düflük De er Alt Çeyrek Ortanca Üst Çeyrek En Büyük De er Erkek Kız Bu tabloya karşılık gelen kutu grafiği aşağıdaki gibidir. Cinsiyet Erkek Kız Nabız Sayısı Bu grafik üzerinden kızlarla erkeklerin nabız sayılarını, farklı açılardan (ortanca, en büyük ve en küçük değerler, çeyrekler) karşılaştırabiliriz. 28

67 Grafik Türünün Seçimi ve Avantajları Çizgi Grafiği S Ü T U N G R A F İ Ğ İ Çubuk Grafiği Histogram Daire Grafiği Kutu Grafiği Serpilme Grafiği Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini incelemek için en uygun grafik türüdür. Birden çok sürekli veri grubunun kıyaslanması kolaylıkla görülebilir. Görselliği kuvvetlidir. 2 veya 3 veri grubu kolaylıkla kıyaslanabilir. Her bir kesikli veri ayrı sütunda gösterildiği için incelenmesi kolaydır ve verinin gerçek değeri kolaylıkla görülebilir. Gruplanmış (sınıflandırılmış) sürekli verilerin gösterimi için iyi bir görselliğe sahiptir. Her bir kategoriye düşen frekans sayıları kolaylıkla görülebilir. Bir değişkenin bir bütün içerisindeki oranını belirlemek için en uygun grafik türüdür. Göze hoş gelen bir sunumu vardır. Her bir kategorinin toplam içindeki payı çok rahat anlaşılır. Verilerin genişliğini, yığılımını öğrenmek için en uygun grafik türüdür. Uç değerleri ve sapan değerleri görmek çok kolaydır. Veri sayısı çok olduğunda bile kolaylıkla gösterilebilir. Dağılımın şekli, merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri hakkındaki bilgileri çok rahat sunar. İki değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için en uygun grafik türüdür. Veriler arasındaki ilişkiyi (doğru orantılı, ters orantılı, ilişki yok gibi) açıklamak için çok uygundur. Verilerin gerçek değerleri göz önündedir. VARYANS Gözlemlenen değerlerin (verilerin) ortalama etrafında nasıl yayıldıklarının (dağıldıklarının) ölçüsüne varyans denir. Belli karakterleri ortak olan birimlerin oluşturduğu topluluğa popülasyon (kitle - yığın) denir. (Hayvan popülasyonu, bitki popülasyonu, öğrenci popülasyonu gibi) n (mü) : Yığın aritmetik ortalaması N : Yığını oluşturan birimlerin sayısı v 2 : Yığın varyansı olmak üzere, v 2 = f N / i = i 2 N / i = ( x n) i N 2 dir N ( x n) = ( x n) + ( x n) ( x n) p Popülasyonda üzerinde çalışılan obje veya bireyleri teker teker incelemek; zaman, maliyet, işçilik veya yasalar açısından çoğu zaman mümkün değildir. Bundan dolayı, popülasyonun tümünün üzerinde çalışılması yerine ondan belli yöntemlerle alınan örnekler üzerinde çalışılır. x (x bar) : Örnek aritmetik ortalaması n : Örneği oluşturan birimlerin sayısı s 2 : Örnek varyansı olmak üzere, s 2 = n / i = ( x x) i n 2 dir. n ve v 2 popülasyonun özelliklerini tanımlayan parametrelerdir. İstatistikler, parametrelerin birer tahmini değerleridir. Yani; x, n nün, s 2 ise v 2 nin tahmini değerleridir. Y n N ( μ, σ 2 ) Parametreler Örnekleme Yorumlama Örnek n ( x, s 2 ) statistikler İstatistik bilimi, örnek verilerden hareket ederek popülasyon (ana kitle yığın) hakkında yorumlama ve genelleme yapar. 29

68 ÖRNEK 90, 2, 3, 4, 5 veri grubunun örnek varyansı kaçtır? STANDART SAPMA Varyansın karekök değerine standart sapma denir. En yaygın merkezi yayılım ölçüsüdür. Varyansa benzer şekilde verilerin ortalama etrafında nasıl bir yayılma gösterdiğinin ölçüsüdür. Düşük standart sapma değeri, bir araya toplanmış ve ortalamaya daha yakın verilerin çok olduğunun ölçüsüdür. ÖRNEK 92 Verilerin ortalama etrafında daha uzak (geniş) bir dağılım göstermeleri durumunda varyans büyük, ortalamaya daha yakın değerler alması durumunda varyans küçük olur. Varyansın küçük olması daha homojen ve birbirine yakın bir veri grubu olduğunu gösterir. Başka bir deyişle küçük varyans daha istikrarlı bir durum, büyük varyans ise daha riskli bir durum olduğunun göstergesi olarak yorumlanabilir. 5, 3, 7 veri grubunun standart sapması kaçtır? ÖRNEK 9 ÖRNEK 93 A veri grubu : 2, 3, 4 B veri grubu :, 3, 5 olmak üzere bu veri gruplarına ait örnek varyansları bulup birbiriyle kıyaslayınız. Araç aküsü üreten bir firmanın ürettiği 6 akünün dayanma sürelerine ait frekans tablosu aşağıda verilmiştir. Yıl Frekans Toplam 6 Tablo: Akülerin Dayanma Süreleri Akülerin ortalama ömürleri ve dayanma sürelerinin standart sapması nedir? 220

69 ÖRNEK 94 Gün Alper Burak Bir pazarlama şirketi Alper ve Burak isminde iki elemandan birisini 6 günlük deneme süresi sonunda işe alacaktır. Bu elemanların 6 günlük (yığın verisi) satışları yukarıdaki gibidir. Buna göre, bu şirketin daha istikrarlı bir eleman almak için Alper ve Burak tan hangisini tercih etmesini gerektiğini bulunuz. A, B ve C oyuncularının son 7 maçta attıkları basket sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir. A B C a) Bu tablo yardımıyla A, B ve C basketçilerine ait merkezi eğilim ve yayılma ölçülerini bulunuz. b) Bu oyunculara sahip basketbol takımının koçusunuz ve önünüzdeki maçı çok farklı bir şekilde kazanmanız gerekiyor. Aksi takdirde takımınız elenecek. A, B ve C oyuncularından birini seçerek maça başlamak istiyorsunuz. Hangi basketçiyi seçersiniz? c) Bir takımın koçusunuz ve sezon başında istikrarlı bir takım oluşturmak istiyorsunuz. Bu oyunculardan hangisini takımınıza alırsınız? ETKİNLİK 22

70 ETKİNLİK TL, 7 TL, 8 TL, 9 TL, 0 TL, 3 TL, 50 TL Bir lokantadaki 7 masada saatleri arasında ödenen hesaplar yukarıdaki gibi olsun. Bu verilerden yararlanarak sonraki saatlik dilim içinde gelen yeni bir müşterinin yaklaşık ne kadar hesap ödeyeceğini tahmin etmeye çalışalım ve hangi ölçülerin bize nasıl bir bilgi verebileceğini inceleyelim Ortalama: x = = 4 7 Ödenen hesapların birçoğu ortalamadan çok uzakta olduğu için ortalama çok faydalı bir gösterge değildir. Mod: Mod olmadığından incelemeye katkısı yoktur. Medyan: a, 7, 8, 9, 0, 3, 50k Aşırı uç değerlerden ( ve 50) etkilenmediği için medyan iyi bir göstergedir. Yani gelecek olan bir müşterinin ortalama 9 TL hesap ödeyeceği beklentisi oldukça gerçekçidir. Standart Sapma: s 2 = ( 4 ) + ( 7 4 ) + ( 8 4 ) + ( 9 4 ) + ( 0 4 ) + ( 3 4 ) + ( 50 4 ) Standart sapma: s = 265, 6 x s = 4 6 = 2, x + s = 4 6 = 30 Yeni gelecek bir müşterinin 2 TL ile 30 TL arasında bir hesap ödeyebileceği tahmini bize katkı sağlayan bir ölçü değildir. Ortalamaya göre kıyaslandığında oranı çok yüksek olduğu için standart sapmayı göz önüne alarak yapılan tahmin oldukça riskli olacaktır. Şimdi de TL ve 50 TL lik hesapların genellikle olmadığını düşünerek bu sapan değerleri veri grubundan çıkararak tahminde bulunmaya çalışalım. 7 TL, 8 TL, 9 TL, 0 TL, 3 TL Ortalama: x = =, Sapan değerler veri grubundan atılarak elde edilen bu değer öncekine göre daha gerçekçidir. Medyan: Medyan 9 TL olup bu durumda da iyi bir hesap tutarı tahmini yansıtmaktadır. Standart Sapma: s 2 = ( 7 9 ) 2+ ( 8 9 ) 2+ ( 9 9 ) 2+ ( 0 9 ) 2+ ( 3 9 ) 2 22 = = Standart sapma: 55., 23. x s = = 6.9, x + s = =.5 Yeni gelecek müşterilerin ortalama 6.9 TL ile.5 TL arasında bir hesap ödeyecekleri beklentisi gerçekçidir. Standart sapma değeri öncekine göre daha düşük çıktığı için veriler birbirine daha yakın olup tahminlerde yanılma payı daha azdır. 222

71 STANDART PUANLAR Standart puan gözlenen puanların ortalamadan olan farklarını standart sapma cinsinden belirtilmesidir. Standart puanlar, yapılan ölçümlerden elde edilen puanların aritmetik ortalamasının sıfır (0), standart sapmasının bir () kabul edildiği puanlardır. ÖRNEK 96 Öğrenci Puanı Melis 30 Zeynep 50 Burcu 90 z puanı z-puanı bir verinin ortalamadan kaç standart sapma kadar uzakta olduğunu gösterir ve Ham puan Aritmetik ortalama z puanı = Standart sapma Ezgi 70 Efe 40 Mesut 80 Tabloda 6 öğrencinin kimya dersi I. yazılı sınavından aldığı notlar (standart puanlar) verilmiştir. X x z = s formülü ile hesaplanır. Herhangi bir kişinin almış olduğu puanı z puanına dönüştürerek, verilen bir puanın standart sapmaya göre ortalamanın ne kadar altında veya üstünde kaldığı belirlenebilir. z puanının ( ) veya sıfır (0) çıkması mümkündür. T puanı z puanı nasıl ki verilen puanları ortalaması 0, standart sapması olan puanlara dönüşüyorsa, T puanı da verilen puanları ortalaması 50, standart sapması 0 olan puanlara dönüştürür. z puanlarından T punlarına geçiş T = z formülü ile elde edilir. Melis ve Ezgi nin bu sınav için aldıkları kimya notlarının z ve T puanlarını bulalım. ÖRNEK 95 Bir ülkedeki insanlar bir yılda 9 standart sapma ile ortalama 249 gün çalışmaktadırlar. z puanı 2 olduğunda bu durum, ortalama kaç günlük çalışma süresini ifade eder? 223

72 ÖRNEK 97 ÖRNEK 98 3 kişinin katıldığı bir sınavda puanlar hesaplanırken; I. Her öğrenciye 00 taban puan verilmektedir. II. En yüksek puan alan öğrencinin puanı 500 e çekilerek diğer puanların dağılımı buna göre yapılmaktadır. III. Test farkı gözetilmeksizin her sorunun puan getirisi eşit kabul edilmektidir. Aşağıdaki tablodaki verileri kullanarak Aybars ın puanını hesaplayalım. Ö renci Ecem Aybars Gizem Matematik Neti Fen Neti Türkçe Neti Sosyal Neti statistik Ders Matematik Edebiyat Fatma n n notu ( X ) S n f ortalamas ( x ) Standart sapma ( s ) Fatma nın matematik ve edebiyat derslerinin I. yazılılarından aldığı notlar, sınıfın ortalaması ve standart sapması yukarıda verilmiştir. Buna göre, Fatma nın bu sınavları ile ilgili z ve T puanlarını bulunuz. KORELASYON İki değişken arasında ilişki olup olmadığını, varsa bu ilişkinin derecesini gösteren kat sayıya korelasyon kat sayısı denir. Korelasyon kat sayısı [, ] aralığında değerler alır. Korelasyon kat sayısı sıfıra eşit ise değişkenler arasında bir ilişkiden söz edilemez. Korelasyon kat sayısının e yaklaşması, değişkenler arasında olumlu ve kuvvetli bir ilişkinin bulunduğunu; e yaklaşması, değişkenler arasında olumsuz ve kuvvetli bir ilişkinin bulunduğunu gösterir. ÖRNEK 99 B C D E A 0,9 0,2 0, 0,8 Yukarıdaki tabloda A ile B, C, D ve E değişkenleri arasındaki korelasyon kat sayıları gösterilmiştir. Buna göre, bu ilişkileri yorumlayınız. 224

73 ALIŞTIRMALAR 6. 2, 2, 3, 4, 4, 5 (saniye) 6 kişilik bir sporcu grubunun 00 metreyi koşma süreleri yukarıdaki gibidir. Buna göre, bu sporcuların 00 metreyi koşma süreleri ortalama kaç saniyedir? 6. 0 öğrencinin matematik dersinden aldıkları notlar, 25, 30, 30, 45, 45, 50, 60, 60, 60, 85 şeklindedir. Bu veri grubunun, a. Ortancasını b. Tepe değerini (mod) c. Alt uç değerini d. Üst uç değerini e. Alt çeyrek değerini f. Üst çeyrek değerini 2. I. 7, 9, 6, 8, 9, 4, 2 II., 4, 3, 2,, 5, 5, 3 Yukarıda verilen I ve II nolu sayı dizilerinin medyanlarının toplamı kaçtır? g. Çeyrek açıklığını h. Grup açıklığını bulunuz. 3. 8, 9,,, 7, 8, 6, 3, 6, 6, 4 Yukarıda verilen sayı dizisinin mod ve medyanının toplamı kaçtır? 7. 50, 54, 58, 60, 66, 72 Yukarıda, bir sınıfta bulunan herhangi 6 öğrencinin geometri sınavından aldıkları puanlar verilmiştir. Bu puanların standart sapmasını bulunuz. 4. 4, 7, 0, 2, 9, 2, 9, 24 verilenlerin açıklığı kaçtır? 8. Sınav ortalaması 60, standart sapması 4 olan bir sınavda 40 alan Ali ile 00 alan Barış ın z puanlarını bulunuz. 5. 4, 5, 8, 2, x, x + sayı dizisinin aritmetik ortalaması 9 olduğuna göre, tepe değeri kaçtır? 9. Sınav ortalaması 70, standart sapması 8 olan bir sınavda 60 alan Fatma nın T standart puanı kaçtır? 225

74 0. Şekilde verilen grafik bir. ailenin aylık harcamalarını göstermektedir. Bu ailenin aylık kira gideri 450 TL olduğuna göre, aylık yiyecek gideri kaç TL dir? Kira % 30 Ö renci sayısı Yiyecek Di er % 45 Alınan Not Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin tarih dersinin sınavından aldıkları notları göstermektedir. 2 ve üzeri not alanlar başarılı olduğuna göre, bu sınıfın yüzde kaçı tarih dersinden başarılıdır? 3. Aşağıdaki grafik bir otobüsteki yolcuların mesleklerine göre dağılımını göstermektedir. Kifli sayısı Meslek Ö retmen Memur Esnaf flçi a. Otobüsteki yolcular mesleklerine göre bir daire grafiğiyle gösterildiğinde öğretmenleri gösteren daire diliminin merkez açısının ölçüsü kaç derece olur? b. Bu otobüsten x sayıda yolcu inip otobüse x sayı Benzin (L) da yolcu binerse otobüste her meslek grubundan eşit sayıda yolcu oluyor. Buna göre, x en az kaçtır? Zaman (gün) Yukarıdaki grafik, bir aracın benzin tüketimini göstermektedir. Buna göre, bu aracın hangi günler arasında benzin tüketim hızı en fazladır? c. Otobüsten belirli sayıda işçi inip otobüse işçi olmayan 8 kişi binerse otobüsteki işçilerin sayısı, tüm yolcuların sayısının % 25 i oluyor. Buna göre, otobüsten inen işçilerin sayısı kaçtır? 226

75 TEST Faktöriyel ve Permütasyon. 0! + 2! + 4! ! sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) ! + 4! + 5! ! sayısının 30 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) 2 E) ! + 4! toplamının sonunda kaç tane sıfır vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 6. x ve y doğal sayılar olmak üzere 24! = 4 x.y eşitliğini sağlayan x en çok kaçtır? A) 22 B) 20 C) 8 D) 4 E) 3. 4! + 6! + 8! ! sayısının onlar basamağındaki rakam kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 7. x ve y doğal sayılar olmak üzere 40! y = eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı 24x kaçtır? A) 80 B) 79 C) 78 D) 77 E) ! sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 2 8. x ve y doğal sayılar olmak üzere 32! = 2 x.y eşitliğini sağlayan en büyük x değeri kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 23

76 9. 5 soruluk bir test sınavında her soru için 5 seçenek vardır. Ardışık iki sorunun doğru yanıtları aynı seçenek olmayacak şekilde kaç farklı cevap anahtarı hazırlanabilir? A) 280 B) 240 C) 220 D) 40 E) A = {0,, 3, 4} kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? A) 8 B) 2 C) 8 D) 24 E) rakamlı telefon numarasının ilk 5 rakamı bilinmektedir. Kaç değişik deneme ile bu telefon numarası kesin olarak tespit edilebilir? A) 80 B) 90 C) 96 D) 98 E) {0,, 2, 3, 4, 5} kümesindeki rakamlar kullanılarak, rakamları farklı, 4 basamaklı kaç tane çift sayı yazılabilir? A) 96 B) 20 C) 56 D) 80 E) öğrenci 5 farklı dersten birer tane seçecektir. Her birinin seçtiği ders farklı olmak koşuluyla kaç seçim yapılabilir? 5. A = {0,, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kullanarak 400 den küçük rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50 A) 24 B) 32 C) 48 D) 60 E) takımın bulunduğu süper ligde her takım birbiriyle 2 maç yapacaktır. Toplam kaç maç oynanır? A) 304 B) 305 C) 306 D) 308 E) A = {2, 4, 5, 7, 9} kümesinin elemanları ile rakamları farklı 4 ile bölünebilen 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir? A) 30 B) 24 C) 8 D) 2 E) 9.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.E 7.C 8.C 9.A 0.E.D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 232

77 TEST 3 Kombinasyon. 2 kız ve 4 erkek arkadaş yanyana, başta ve sonda birer erkek bulunacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? A) 288 B) 240 C) 220 D) 44 E) Bir çember üzerinde bulunan 7 nokta ile köşeleri bu noktalar olan kaç çokgen oluşturulabilir? A) 64 B) 72 C) 89 D) 99 E) öğretmen, 5 öğrenci arasından seçilen öğretmen ve 2 öğrenci yanyana kaç değişik biçimde fotoğraf çektirebilirler? A) 20 B) 36 C) 40 D) 60 E) C(n +, n) = C(n +, 6) eşitliğini gerçekleyen n değerlerinin çarpımı aşağıdakilerden hangisidir? A) 8 B) 2 C) 24 D) 40 E) Murat 6 arkadaşından 2 sini tiyatroya davet edecektir. Belli iki arkadaşı birlikte olmak istemiyorlar. Buna göre Murat 2 arkadaşını kaç değişik şekilde seçer? A) 6 B) 0 C) 4 D) 5 E) kız ve 4 erkek arasından seçilen 3 kız ve 2 erkek yuvarlak masa etrafına erkekler yanyana olmak koşuluyla kaç değişik biçimde oturabilir? A) 720 B) 600 C) 540 D) 480 E) kişiden belli iki kişi aynı odada kalmamak koşulu ile bir oteldeki 4 ve 5 kişilik iki odaya kaç değişik biçimde yerleşebilir? A) 60 B) 62 C) 68 D) 70 E) kişilik bir grupta erkeklerden oluşturulabilecek ikişerli grupların sayısı kızların sayısına eşittir. Bu grupta kaç erkek vardır? A) 6 B) 9 C) 2 D) 4 E) 5 235

78 9. 0 doğrudan 2 tanesi bir A noktasında kesişmiştir. Diğer doğrulardan 3 tanesi paralel olduğuna göre bu 0 doğru en fazla kaç noktada kesişir? A) 4 B) 42 C) 43 D) 44 E) farklı oyuncak her çocuğa ikişer tane verilmek üzere 3 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir? A) 90 B) 80 C) 72 D) 60 E) d 5 d 6 d 7 d kişi her birinde en az bir kişi bulunan üç gruba kaç farklı şekilde ayrılabilirler? d A) 72 B) 80 C) 90 D) 20 E) 80 d 2 d 3 d 4 d // d 2 // d 3 // d 4 ve d 5 // d 6 // d 7 // d 8 olduğuna göre, yukarıdaki şekilde kaç tane paralelkenar vardır? 5. A A) 6 B) 20 C) 36 D) 40 E) 48 B C Şekildeki üçgen üzerinde işaretlenmiş 2 noktadan kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 90 B) 89 C) 88 D) 87 E) kenarlı bir konveks çokgenin kaç köşegeni vardır? A) 6 B) 8 C) 9 D) 20 E) A 2. 6 sı kız olan kişilik bir gruptan 4 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Grupta en az bir kız öğrenci bulunması koşuluyla kaç grup oluşturulabilir? A) 332 B) 330 C) 328 D) 326 E) 325 B D E F K L M Yukarıdaki şekilde kaç üçgen vardır? A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30 C.A 2.E 3.C 4.D 5.D 6.D 7.A 8.A 9.B 0.C.D 2.E 3.A 4.E 5.E 6.C 236

79 TEST 4 Binom Açılımı. (ax 2y 2 ) 6 açılımında kat sayılar toplamı 64 ise a nın alabileceği değerler toplamı kaç olur? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. cx x 2 6 nedir? A) m ifadesinin açılımında ortadaki terim 0 x 3 B) D) x x 3 C) E) x x 3 2. (3x 2y) n açılımında 8 terim varsa, bu terimlerin kat sayılar toplamı kaçtır? A) 2 B) C) 0 D) E) cx + m ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır? 2x 8 A) 6 7 B) 2 C) 6 9 D) 8 5 E) 6 3. (x 2y) 7 ifadesi, x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa, baştan 4. terim ne olur? A) 20x 3 y 4 B) 20x 4 y 3 C) 280x 4 y 3 D) 240x 4 y 3 E) 240x 3 y 4 7. x2 c m 6 ifadesinin açılımında sabit terim x baştan kaçıncı terimdir? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 4. (2x y 2 ) 6 ifadesi, x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa, sondan 3. terimin kat sayısı kaç olur? A) 32 B) 48 C) 50 D) 58 E) 60 a 8 8. bx l ifadesinin açılımında sabit terim 70 ise x a nın pozitif değeri kaçtır? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 237

80 9. (x + y) 6 ifadesinin açılımında kat sayılarn en büyük olanı nedir? A) d n B) d n C) d n D) d n E) d n (x 2 + vx) 8 ifadesinin açılımında terimlerden biri 7ax 7 dir. Buna göre a kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 4 E) 3 0. (vx + x) 6 ifadesinin açılımında x 5 li terim baştan kaçıncı terimdir? x5 c 4x2 m = 2 0.x K.x eşitliğinde K kaçtır? A) 240 B) 26 C) 96 D) 72 E) 50 A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 5. (2x 2 + y 2 ) n açılımı yapıldığında bir terim, A.x 6.y 8 olduğuna göre A kaçtır?. (x + y) n ifadesinin açılımında x 4 lü terimin kat sayısı 5 ise y 3 lü terimin kat sayısı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 0 D) 2 E) 5 A) 8d 2 n B) 9 D) 6d 2 n E) d n C) d n d n 2 2. (x 2 2y) n açılımındaki terimlerden biri Ax 6 y 2 ise A kaçtır? A) 2 B) 02 C) 80 D) 60 E) ( 2 ) 6 ifadesinin açılımı düzenlenirse oluşan rasyonel terim kaç olur? A) 35 B) 34 C) 33 D) 32 E) 3.D 2.D 3.C 4.E 5.B 6.A 7.D 8.A 9.B 0.B.C 2.E 3.D 4.A 5.A 6.A 238

81 TEST 5 Olasılık. Bir sınıfta 5 siyah 4 kırmızı 3 beyaz elbiseli öğrenci vardır. Rastgele seçilen iki öğrencinin ikisinin de kırmızı elbiseli olma olasılığı nedir? A) B) C) D) E) Bir torbada 5 mavi, 3 beyaz bilye vardır. Bir zar atılıp torbadan bir bilye çekildiğinde; zar tek sayı gelirse beyaz bilye, zar asal sayı gelirse, mavi bilye çekme olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) mevcutlu bir sınıftaki öğrencilerin 4 tanesi matematikten, 20 tanesi kimyadan başarılı olmuştur. 0 öğrenci de hem matematik hem de kimyadan başarılı ise rastgele seçilen öğrencinin matematik veya kimyadan başarılı olması olasılığı kaçtır? A) 3 B) 7 C) 4 D) 3 E) den 00 e kadar olan (20 ve 00 dahil) doğal sayılar içerisinden rastgele seçilen bir sayının 6 veya 8 ile tam bölünen bir sayı olma olasılığı nedir? A) 9 B) 20 C) 9 D) 7 E) s(a) = 3 ve s(b) = 3 olmak üzere A dan B ye tanımlı fonksiyonlardan biri rastgele alınırsa, bunun bire bir ve örten bir fonksiyon olma olasılığı kaçtır? A) B) 2 C) D) 4 E) İki torbadan birincisinde 2 sarı 4 beyaz, ikincisinde 3 sarı 5 beyaz bilye vardır. Rastgele seçilen bir torbadan alınan bir bilyenin sarı olduğu biliniyorsa, 2. torbadan alınmış olma olasılığı kaç olur? A) 9 B) 8 C) 6 D) 4 E) Bir zarın iki yüzü beyaz, bir yüzü mavi, üç yüzü sarıya boyanmıştır. Bu zar üç kez atıldığında, birinci ve ikinci atışlarda beyaz, üçüncü atışta mavi gelme olasılığı nedir? A) B) C) D) E) Bir yarışı A nın kazanma olasılığı 5 2 B nin kazanmama olasılığı tür. 3 A ve B den sadece birinin kazanma olasılığı kaçtır? A) 2 B) 7 C) 8 D) 3 E)

82 9. Bir torbada üzerinde den 0 a kadar numaralar bulunan 0 top vardır. Bu torbadan seçilecek üç topun üzerindeki sayıların toplamının çift olma olasılığı nedir? 2 A) B) C) D) E) A = {, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden biri rastgele seçildiğinde bu kümenin elemanları arasında 5 in bulunma olasılığı kaç olur? A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir grupta 3 ve 4 kişilik iki ayrı grup oluşturulacaktır. Gruplarda kızların ve erkeklerin bir araya gelmeme olasılığı kaçtır? A) B) C) 7 D) 3 E) Bir yarışmada A, B, C kişileri yarışacaktır. A nın kazanma olasılığı B nin kazanma olasılığının 3 katı, C nin kazanma olasılığının yarısı ise bu yarışı A veya B nin kazanma olasılığı kaçtır? A) 2 B) C) 3 D) 7 E) evli çift arasından rastgele seçilen iki kişinin karı-koca olma olasılığı nedir? A) B) C) D) E) ALPAY sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek oluşturulan 5 harfli sözcüklerden biri rastgele seçiliyor. Bu sözcüğün PA ile başlayan sözcük olma olasılığı kaçtır? A) B) C) 3 D) 2 E) kırmızı, 2 sarı, 3 lacivert bilye bulunan bir torbadan aynı anda 3 bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin içinde en az bir kırmızı bilye olma olasılığı nedir? A) 37 B) 37 C) 36 D) 40 E) Bir torbada 3 tanesi beyaz olan bir miktar beyaz ve kırmızı bilye vardır. Bu torbadan, çekilen geri torbaya konmamak koşuluyla art arda iki bilye seçildiğinde birincisinin beyaz, ikincisinin kırmızı olma olasılığı ise bu torbada kaç tane kırmızı 4 bilye olabilir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8.E 2.D 3.B 4.C 5.A 6.A 7.A 8.C 9.B 0.A.A 2.A 3.D 4.A 5.A 6.C 240

83 TEST 7 İstatistik. Bir marketin 20 yılının. yarısındaki aylara göre, kâr-zarar durumu aşağıdaki grafikte verilmiştir. Miktar (TL) Nüfus (milyon kifli) Kad n Erkek Kâr Zarar Y llar Ocak fiubat Mart Nisan May s Haziran Aylar Grafikte bir ülkedeki kadın-erkek nüfusunun 4 nüfus sayımına göre değişimi gösterilmiştir. I yılı sayımında erkek nüfusu bir önceki Grafiğe göre, bu marketin kâr-zarar durumu aşa- sayıma göre artmamıştır. ğıdakilerden hangisidir? II. Toplam nüfustaki artış oranı en yüksek A) 3000 TL kâr B) 9000 TL kâr 2005 yılları arasında olmuştur. C) 3000 TL zarar D) Ne kâr, ne de zarar E) 9000 TL zarar III. Kadın sayısı, erkek sayısını hiç geçmemiştir. IV. 200 yılındaki kadın/erkek sayıları oranı 995 yılındaki orana eşittir. Yukarıdaki ifadelerin Doğru(D) ve Yanlış(Y) 2. Bir ülkede üretilen kömür miktarlarının cinslerine göre oranları aşağıdaki grafikte verilmiştir. olarak sıralaması aşağıdakilerden hangisidir? A) D D D Y B) D Y D Y C) D Y D D D) Y Y D Y E) D D D D Linyit Taflkömürü Kok Yalnızca bu grafikten yararlanarak aşağıdaki bilgilerden hangisine kesinlikle ulaşılabilir? A) Üretim miktarı az olduğu için en pahalı kömür koktur. B) Linyit üretim miktarı, toplam kömür üretim miktarının yarısından azdır. C) Bu ülkedeki kömür üretiminde taşkömürünün maddi değeri en yüksektir. D) Kok ve taşkömürü üretim miktarları toplamı, linyit üretim miktarından azdır. E) Kok kömürünün elde edilmesi daha masraflı bir süreçtir. 4. Bir işyerinde çalışan 8 kişi A ve B diye iki gruba ayrılmıştır. Bu kişilerin isimleri ve maaşlarını gösteren tablo aşağıda gösterilmiştir. A grubu Maaş (TL) Hülya.800 Ümit.600 İlhami Turan B grubu Maaş (TL) Derya.400 Selma.800 Fatma.500 Soner 2.00 A ve B gruplarındaki hangi iki kişi yer değiştirirse gruplardaki maaşların ortalaması eşit olur? A) İlhami ile Soner B) Turan ile Derya C) Hülya ile Derya D) İlhami ile Selma E) Turan ile Selma 243

84 ekran 67 ekran 06 ekran 5 ekran Dairesel grafiklerde, 2000 ve 200 yılı ekranlarına göre TV satış oranları verilmiştir. 06 ekran TV satışındaki değişim için ne söylenebilir? A) 2000 yılına göre % 90 artmıştır. B) 200 yılı daire grafiğindeki merkez açısı 20 olmuştur. C) Toplam satış içindeki payı oranında artmıştır. 4 Yukarıdaki grafikte bir veri grubuna ait kutu grafiği verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Alt uç değer 40 tır. B) Medyan 60 tır. C) Veri grubunun aralık (genişliği) değeri 280 dir. D) Üst çeyrek değeri 280 dir. E) Çeyrekler açıklığı 60 tır. D) 200 yılı satışları, 2000 yılına göre % 50 artmıştır. E) 2000 yılında 6 lık paya sahipken, 200 yılın- da lük paya sahip olmuştur tane. sınıfı bulunan bir okuldaki öğrencilerin sınıflara dağılımı aşağıda sütun grafiği ile gösterilmiştir. Ö renci say s 8. Aşağıdaki grafikte bir işletmenin yılları arasındaki gelir-gider durumları gösterilmiştir. Para (bin TL) A Erkek B K z 20 6 C Y llar 2 D Gelir Gider 8 4 E Grafiğe göre, bu işletme için aşağıda verilen bilgilerden hangisi yanlıştır? 0 A B C S n flar A) 2008 yılında kâr etmemiştir. Bu sınıflar arasından seçilecek. sınıf temsilcisinin kız veya -C sınıfından olma olasılığı 3 2 olduğuna göre, -C sınıfındaki kız öğrenci sayısına hangi harf karşılık gelir? A) A B) B C) C D) D E) E B) En yüksek kârı 200 yılında yapmıştır. C) 2006 yılında, 2005 e göre geliri artmamış fakat kârı artmıştır. D) arasında zarar etmiştir. E) Bu yıllar içindeki toplam kârı 40 bin TL dir..d 2.D 3.B 4. B 5.D 6.A 7.E 8.E 244

85 TEST 9 İstatistik. 400 Nükleotit Sayısı 4. Ankara da Mart ayının ilk haftasına ait günlük hava sıcaklıkları aşağıdaki grafikte gösterilmiştir Sıcaklık ( C) A B C D E 0 G S A T Nükleotit Çeflitleri Bir DNA molekülünde Adenin (A) nükleotit sayısı, Timin (T) nükleotit sayısına ve Guanin (G) nükleotit sayısı, Sitozin (S) nükleotit sayısına eşit olmak zorundadır. Yukarıda verilen grafikte belirtilen nükleotitlerin bulunduğu bir ortamda üretilecek bir DNA molekülü en fazla kaç nükleotide sahip olabilir? A) 400 B) 500 C) 600 D) 700 E) Bir ailenin aylık harcamalarının tüm harcamalarına oranları yandaki grafikte verilmiştir. %30 Kira %25 E itim %30 Yiyecek giyecek E lence Eğlence için harcaması 50 TL olan bu ailenin aylık harcamaları toplamı kaç TL dir? A) 750 B) 850 C) 900 D) 000 E) Günler Bu haftaya ait hava sıcaklığı ortalaması 3 C olduğuna göre, grafik 7. gün hangi noktadan geçer? A) A B) B C) C D) D E) E 5. Yandaki silindirik tankın altta bulunan silindirinin yarıçapı 2r, yüksekliği h tır. Üstteki silindirinin ise yarıçapı r, yüksekliği h tır. Sabit debili A musluğu açıldıktan sonra tanktaki su seviyesini zamana karşı gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir? A) Su seviyesi (m) 2h h B) 2h h A r 2r Su seviyesi (m) h h t 2t 3t 4t 5t Zaman (dk) t 2t 3t 4t 5t Zaman (dk) 3. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Dağılım ölçüleri, verilerin değişkenliğini gös- C) 2h Su seviyesi (m) D) 2h Su seviyesi (m) terir. h h B) Varyans ve standart sapma dağılım ölçüleridir. t 2t 3t 4t 5t Zaman (dk) t 2t 3t 4t 5t Zaman (dk) C) Varyansın ölçüm birimi, değişkenin ölçüm birimidir. E) Su seviyesi (m) 2h D) Standart sapmanın ölçüm birimi, değişkenin h ölçüm birimidir. E) Ortalama, merkezi eğilim ölçüsüdür. t 2t 3t 4t 5t Zaman (dk) 247

86 6. Aşağıda üç atletin 200 m koşusunda zamana karşı koştukları mesafeyi gösteren çizgi grafik verilmiştir. Koflulan mesafe (m) Ali Veli Selami 9. Aşağıdakilerden hangisi merkezi eğilim ölçüsüdür? A) Varyans B) Aralık C) Standart sapma D) Medyan E) Varyasyon kat sayısı Zaman (sn) 0. Grafikteki bilgilere göre, yarışla ilgili yapılan yorumlardan hangisi yanlıştır? A) Yarışı Veli kazanmıştır. B) Yarışa en hızlı başlayan Selami dir. C) Veli tüm yarış boyunca sabit hızla koşmuştur. D) 50. metrede üçü yanyana gelmişlerdir. E) Ali sürekli artan bir tempo ile koşmuştur. 7. Bir liseden mezun olan 80 öğrencinin üniversiteye giriş sınavında aldığı MF4 puanları aşağıda tablo halinde verilmiştir Yukarıda kutu grafiği verilen, veri gurubu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A), 3, 4, 5, 6, 8, 0, 4 B), 2, 4, 5, 6, 8, 2, 4 C), 2, 4, 5, 6, 8, 0, 4 D), 2, 4, 5, 5, 8, 0, 4 E) 2, 3, 4, 5, 5, 8, 0, 0 Puan: x Öğrenci Sayısı x < x < x < x 30 Bu verilere uygun daire grafiği çizildiğinde, en büyük merkez açı ile en küçük merkez açının farkı kaç derecedir? A) 68 B) 56 C) 40 D) 28 E) , 4, 8, 6, 5, 2, x sayılarından oluşan veri grubunun ortalama, mod ve medyan değerinin aynı olması için x kaç olmalıdır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. Bir sınıfta bulunan 5 öğrenciye ayakkabı numaraları sorulmuş ve aşağıdaki çetele elde edilmiştir. 38 : 39 : 40 : 4 : Bu veriler için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Modu 4 dir. B) Medyanı 40 tır. C) Aritmetik ortalaması 40 tan küçüktür. D) Açıklığı 2 dir. E) İlk çeyrek değeri 39 dur..c 2.D 3.C 4.B 5.A 6.A 7.A 8.D 9.D 0.C.D 248

87 TEST 0. 6 farklı kitaptan 4 tanesi üst rafa, 2 tanesi alt rafa kaç türlü sıralanabilir? A) 320 B) 600 C) 720 D) 900 E) sayısının rakamları yer değiştirilerek 4 basamaklı kaç sayı yazılabilir? A) 72 B) 68 C) 64 D) 60 E) ! + 3! + 4! ! toplamında, faktöriyeli alınmış her sayı artırılırsa toplamın sonucu ne kadar artar? 6. En çok 2 elemanlı 6 tane alt kümesi olan bir kümenin, 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 A) 2! B) 2! + C) 2! D) 2! 2 E) 2! P(n+, 2) C(n+2, n+2) = C(n+2, 3) + C(n+3, 0) eşitliğini sağlayan n kaçtır? A) B) 2 C) 3 D) 4 E) televizyon programından 3 tanesi aynı saatte yayınlanmaktadır. Bu programlardan iki tanesini izlemek isteyen biri kaç değişik seçim yapabilir? A) 30 B) 25 C) 24 D) 20 E) 8 8. L K F E A M N D 4. A = {, 2, 3, 5, 7} kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı, 5 basamaklı, 4 ile bölünebilen kaç sayı yazılabilir? A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30 B C Yukarıdaki şekilde L, M, N ve D doğrusaldır. Köşeleri verilen 0 nokta olan en çok kaç üçgen çizilebilir? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 249

88 9. 6 kişinin katıldığı bir sınavda 2 kişinin başarısız, 4 kişinin başarılı olması durumu kaç farklı şekilde gerçekleşebilir? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 3. Madeni bir para 3 defa atıldığında en az kez tura gelme olasılığı kaç olur? A) B) C) 3 D) 5 E) Kenar uzunlukları farklı ve herhangi iki kenarı çakışık olmayan 5 kare en fazla kaç noktada kesişir? 4. İki zar birlikte atılıyor. Gelen zarların üzerindeki sayıların toplamının 6 olduğu bilindiğine göre, zarlardan birinin 2 olma olasılığı kaç olur? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) A) 80 B) 75 C) 72 D) 70 E) d x y y2 x2 n ifadesinin açılımında x9 3 içeren teri- y min kat sayısı kaçtır? A) 8 B) 2 C) 6 D) 6 E) 2 5. Üç yarışmacının, bir yarışı kazanma olasılıkları 2, ve dir. 8 Bu yarışmacılardan en az birinin yarışı kazanma olasılığı kaçtır? A) 3 B) 7 C) 5 D) E) (x + y + z) 9 açılımında oluşacak terimlerden kaç tanesinde y 5 bulunur? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) sayısının rakamları ile oluşturulan 6 basamaklı sayılardan bir tanesi rastgele seçilirse bu sayının ile başlayıp 4 ile bitme olasılığı kaç olur? A) 2 B) 3 C) D) E) C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.E 7.C 8.A 9.C 0.A.C 2.C 3.E 4.E 5.A 6.E 250

89 TEST 2. Bir zar art arda iki kez atıldığında gelen sayıların ardışık olma olasılığı nedir? A) 5 B) C) 5 D) 7 E) A = { Ç, A, R, P, I, M } kümesinin elemanlarını bir kez kullanarak oluşturulabilecek 6 harfli sözcüklerin kaç tanesinde sesli harfler alfabedeki sıralarına göre yer alır? A) 80 B) 240 C) 300 D) 360 E) Aralarında Elif ve Arman ın da bulunduğu 0 kişilik bir grupta herkes birbiri ile tokalaşacaktır. İlk tokalaşacak iki kişinin Elif ve Arman olma olasılığı nedir? 6. Suat ile Seçkin in de bulunduğu 7 kişi bir sırada, Suat ile Seçkin arasında hep 3 kişi olacak şekilde kaç farklı biçimde oturabilirler? A) 80 B) 360 C) 420 D) 600 E) 720 A) B) 2 C) D) 4 E) A B C d 3. x pozitif tam sayı olmak üzere 2 x sayıları içinden seçilen bir sayının 2 ile biten bir sayı olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) D E F G d // d 2 olmak üzere, d üzerinde 3 ve d 2 üzerinde 4 nokta vardır. Köşeleri verilen bu 7 noktadan herhangi üçü olan üçgenler içinden seçilen bir üçgenin bir köşesinin A olma olasılığı kaçtır? A) 4 B) C) 2 D) 7 E) d den 00 e kadar ( ve 00 dahil) olan sayılar arasından seçilen iki sayıdan birinin diğerinin iki katı olması olasılığı kaçtır? A) B) C) 3 D) 4 E) Ali ve Barış bir madeni para ile oyun oynuyorlar. Tura atan oyunu kazanacaktır. Parayı ilk kez Ali atacağına göre, oyunu Barış ın kazanma olasılığı kaçtır? A) 2 B) C) D) E)

90 9. İki zar birlikte atıldığında zarlardan en az birinin 4 geldiği bilindiğine göre, toplamlarının 6 dan büyük olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) 2 E) A = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanlarından ikisi rastgele seçiliyor. Seçilen bu iki sayının çarpımının çift sayı olma olasılığı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) Bir kapıyı açmak için denenen 5 anahtardan yalnız biri bu kapıyı açabilmektedir. Anahtarlar sırayla denerek kapı açılmaya çalışılırsa en çok ikinci denemede kapının açılması olasılığı kaçtır? A) 9 B) 4 C) 3 D) 2 E) Farklı 6 çift ayakkabı arasından rastgele seçilen çift ayakkabının birbirinin eşi olma olasılığı kaçtır? A) B) C) 2 D) E) D C 5. Fatih ve Mehmet poligonda aynı hedefe birer kez ateş etmişlerdir. Fatih in hedefi vurma olasılığı 3 2 ve Mehmet in hedefi vurma olasılığı 4 3 ise hede- A B Üsteki şekilde alanı br 2 olan 5 tane kare vardır. Buna göre, şekilde oluşan dikdörtgenler içinden rastgele birisi boyanırsa, bu boyalı dikdörtgenin kare olma olasılığı kaçtır? fin yalnız bir kez vurulmuş olma olasılığı kaçtır? A) 7 B) C) 5 D) E) A) B) 2 C) D) 4 E) madeni para aynı anda atıldığında 3 ünün yazı, birinin tura gelme olasılığı kaçtır? A) B) C) 3 D) E) Anne, baba ve 4 çocuğun bulunduğu bir aile yuvarlak masa etrafında oturacaklardır. Buna göre, anne ile babanın yan yana oturmama olasılıkları kaçtır? A) B) 5 C) 2 D) 3 E) A 2.A 3.C 4.B 5.D 6.E 7.D 8.C 9.D 0.D.E 2.A 3.A 4.B 5.C 6.D 254

91 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 990 ÖYS Sıfırdan ve birbirinden farklı A, B, C, D rakamlarının yerleri değiştirilerek elde edilen dört basamaklı 24 sayı toplanıyor. Bu toplam için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) 6 ile bölünebilir. B) 9 ile bölünebilir. C) 4 ile bölünebilir. D) Tek sayıdır. E) Beş basamaklı bir sayıdır ÖYS n elemanlı bir kümenin r li bütün kombinasyonlarının (kombinezonlarının) sayısı C(n, r) ile gösterildiğine göre, C(n, 2) + C(n, 3) = 4C(n, ) eşitliğinde n kaç olmalıdır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) ÖYS Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vardır. Aynı anda çekilen 2 bilyeden birinin beyaz öbürünün siyah olma olasılığı kaçtır? ÖYS 2 x2 c m 7 nin açılımında x 8 li terimin kat sayısı x kaçtır? A) 84 B) 48 C) 28 D) 48 E) 84 A) B) C) 2 D) 4 E) ÖYS A B C D E ÖYS 8 kişilik bir gruptan 5 kişilik kaç değişik takım kurulabilir? A) 336 B) 224 C) 68 D) 2 E) 56 Şekildeki A, B, C, D, E noktaları bir doğru ve ayrıca C, D noktaları bir çember üzerindedir. Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki noktadan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı kaçtır? A) 2 B) 2 C) 3 D) 5 E) ÖYS Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır. Bu torbadan rasgele çekilen 3 bilyeden birinin beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır? A) 3 B) 3 C) 4 D) 5 E)

92 ÖSS A B C A, B, C d D, E, F, G, H d 2 d d 2 D E F G H Yukarıdaki şekilde d // d 2 olduğuna göre, köşeleri bu 8 noktadan (A, B, C, D, E, F, G, H) herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir? A) 45 B) 48 C) 52 D) 56 E) ÖYS (3x + 2y) 23 ün açılımında baştan. teriminin kat sayısı kaçtır? A) C(23, 0) B) C(23, ) C) C(23, 2) D) C(23, 2) E) C(23, ) ÖYS cx + m ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? x2 6 A) 5 B) 6 C) 8 D) 20 E) ÖYS Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane yeşil mendil vardır. Bu torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki kez birer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birincisinde mavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme olasılığı kaçtır? A) 70 B) 20 C) 0 D) 0 E) ÖYS (x 2 2y 2 ) n açılımında x 4 y 4 lü terimin kat sayısı kaçtır? A) 48 B) 24 C) 2 D) 24 E) ÖYS A torbasında 3 beyaz, 4 kırmızı; B torbasında 5 beyaz, 2 kırmızı top vardır. Aynı anda her iki torbadan birer top alınıyor ve öteki torbaya (A torbasından alınan B ye, B torbasından alınan A ya) atılıyor. Bu işlemin sonucunda torbalardaki kırmızı ve beyaz top sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 20 D) 22 E) ÖSS Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eşkenar üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harfleri yazılıdır. Bu düzgün dörtyüzlü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına ve yönüne bakılmaksızın A, T, A harflerinin görülme olasılığı kaçtır? A) B) C) 2 D) E) ÖSS 5, 6, 7, 8, 9 rakamları kullanılarak rakamları birbirinden farklı olan, üç basamaklı ve 780 den küçük kaç değişik sayı yazılabilir? A) 46 B) 42 C) 36 D) 30 E)

93 ÖSS ÖSS A l. fiekil li. fiekil 6 küçük kareden oluşan l. şeklin her satır ve her sütununda bir ve yalnız bir küçük kare karalanarak ll. şekildeki gibi desenler elde edilmektedir. Bu kurala göre, en çok kaç farklı desen elde edilebilir? B Yukarıdaki ABC üçgeninin kenarları üzerinde 9 nokta verilmiştir. Köşeleri bu 9 noktadan üçü olan kaç üçgen oluşturulabilir? A) 64 B) 69 C) 74 D) 79 E) 84 C A) 6 B) 20 C) 24 D) 32 E) ÖSS 3 tane madeni TL, kumbaralara istenen sayıda atılmak suretiyle değişik bankalardan alınmış ÖSS farklı kumbaraya kaç değişik şekilde atılabilir? A C A) 0 B) 2 C) 24 D) 35 E) 45 B Şekildeki çizgiler bir kentin dik kesen sokaklarını göstermektedir. A dan hareket edip C ye uğrayarak B noktasına en kısa yoldan gidecek olan kimse kaç değişik yol izleyebilir? A) 24 B) 8 C) 6 D) 2 E) ÖSS A = {, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla, en az iki basamağındaki rakamı aynı olan üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? A) 52 B) 40 C) 38 D) 30 E) ÖSS Yükseköğrenim için A ve B ülkelerine gönderilmek üzere 5 öğrenci seçilmiştir. Her iki ülkeye en az birer öğrenci gideceğine göre, bu 5 öğrenci kaç farklı gruplama ile gönderilebilir? A) 0 B) 20 C) 25 D) 30 E) ÖSS A = { 2,, 0, } B = {, 0,, 2, 3, 4} kümeleri veriliyor. A x B kartezyen çarpımından alınan bir elemanın (a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E)

94 ÖSS K = { 2,, 0,, 2, 3 } kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya eşittir? ÖSS Aynı düzlemde alınan 4 farklı çember en fazla kaç noktada kesişir? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) ÖSS Aşağıdaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üzerinde bulunmaktadır. Bu yedi noktadan rastgele seçilen üç noktanın bir üçgen oluşturma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir? (Aynı doğru üzerindeki üç noktanın bir üçgen oluşturmadığı kabul edilecektir.) YGS Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve sarı bilye vardır. Torbadan rastgele 4 bilye alındığında torbada kalan bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) A) 32 B) 27 C) 24 D) 5 E) ÖSS Bir mağazadan belirli miktarın üzerinde alışveriş yapan müşteriler, 4 eş parçaya ayrılmış birinci çarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte gelen iki sayının toplamı 6 ya da 6 dan büyükse 6 eş parçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek çıkan hediyeyi almaktadır LYS A = {, 2, 3, 4} ve B = { 2,, 0} olmak üzere A x B kartezyen çarpım kümesinden alınan herhangi bir (a, b) elemanı için a + b toplamının sıfır olma olasılığı kaçtır? 2 A) B) C) D) E) I. çark çamafl r makinesi ütü ütü ütü tost makinesi II. çark kahve makinesi Buna göre, birinci çarkı çevirmeyi hak eden bir müşterinin çamaşır makinesi kazanma olasılığı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 24 5 D) 28 3 E) YGS Meriç in elinde kırmızı ve beyaz renklerde toplam 0 top vardır. Meriç bu topları iki torbaya her bir torbada en az bir kırmızı ve bir beyaz top olacak şekilde dağıttıktan sonra şunları söylüyor: Birinci torbada 3 kırmızı top vardır. Torbalardan rastgele birer top çekildiğinde topların ikisinin de kırmızı olma olasılığı 2 dir. Buna göre, ikinci torbada kaç beyaz top vardır? A) 3 B) 5 C) D) 2 E) 4 258

95 LYS 6 kız ve 7 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan 2 temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilciden birinin kız, diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) LYS Bir çiçekçide 5 farklı renkten çok sayıda gül ve 2 çeşit vazo vardır. Bir müşteri, 2 farklı renkten toplam 3 gül ve vazo satın almak istiyor. Bu müşteri alışverişini kaç farklı şekilde yapabilir? A) 5 B) 20 C) 25 D) 40 E) YGS Boyları farklı dört öğrenci bir çizgi boyunca rastgele sıraya giriyor. Buna göre, en kısa ve en uzun boylu öğrencilerin uçlarda olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) LYS Bir torbada 5 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Bu torbadan aynı anda rastgele 3 bilye çekildiğinde her bir renkten en fazla 2 bilye olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E)