KÜRENİN HACMİ VE METODUN YENİDEN TOPARLANMASI Tuba Karakaş 1426188 Kürenin Hacmi Metodun 2. Önermesi: 1. Kürenin hacmi, tabanı kürenin içindeki en büyük daire, yüksekliği kürenin yarıçapına eşit olan koninin hacminin 4 katıdır. Koninin hacmi = V 1 Kürenin hacmi = V 2 V 2 = 4V 1 2. Tabanı kürenin içindeki en büyük daire, yüksekliği kürenin çapına eşit olan silindirin hacmi kürenin hacminin 3 2 katıdır. Silindirin hacmi = V 3 Kürenin hacmi = V 2 V 3 = 3 2 V 2 1
2 IUV J yüksekliği 2r, taban yarıçapı 2r olan dik dairesel silindir olsun. Silindirin içindeki kürenin yarıçapı r, merkezi O noktasındadır. AUV yüksekliği 2r, taban yarıçapı 2r olan dik koni olsun. AH = AC olsun. AC ekseni üzerindeki herhangi bir S noktasından geçen ve AC ye dik olan bir düzlem alalım. Bu düzlem koniyi r 1 = SR yarıçapıyla, r 2 = SP yarıçapıyla ve silindiri r 3 = SN yarıçapıyla keser. Düzlemin şeklimizi kesmesiyle koninin içinde oluşan yarıçapı SR olan dairesel alana A 1, kürenin içinde oluşan yarıçapı SP olan dairesel alana A 2 ve silindirin içinde oluşan yarıçapı SN olan dairesel alana da A 3 diyelim. Arşimet A 1 ve A 2 nin merkezleri H da olacak biçimde H noktasına taşındığında, destek noktası A noktası olmak üzere A 3 ü şu anki bulunduğu noktada dengeleyeceğini buldu. (A 1 + A 2 ) AH = A 3 AS
Aynı tekniği bütün küreye uyguladığımızı düşünelim. Küreden, koniden ve silindirden elde edeceğimiz dairesel alanların hepsini üst üste dizdiğimizi düşünürsek; aşağıdaki şekli elde ederiz. 3 Koninin hacmine V 1, kürenin hacmine V 2 ve silindirin hacmine V 3 diyelim. Şekilden (V 1 +V 2 ) AH = V 3 AO olduğu görülür. AH = 2 AO olduğundan 2(V 1 +V 2 ) = V 3 olur. Silindirin hacmi Democritus ve Eudoxus dan dolayı biliniyordu. Koninin hacmininde silindirin hacminin 1 3 ü olduğu bilindiğinden Arşimet kürenin hacmini hesaplayabilmiştir. Modern notasyonla gösterecek olursak; V 3 = Πr 2 h = Π(2r) 2.2r = 8Πr 3 2(V 1 +V 2 ) = V 3 2( V 3 3 +V 2 ) = V 3 2( 8Πr3 3 +V 2 ) = 8Πr 3 V 2 = 4 3 Πr3 = Kürenin Hacmi
4 Kanıt: Silindirin ekseni AG, yüksekliği 2r, taban yarıçapı 2r olsun. Koninin ekseni AG, yüksekliği 2r, taban yarıçapı 2r olsun. İçindeki kürenin merkezi K, yarıçapı r olsun. PAS = 45 ŜAR = 45 PS = AS QA = AG olsun. QA = AG = AL = AH ALEG ve AHZG kenarları 2r olan karelerdir. AGE benzer üçgenlerdir. ASP, AKB, AG ekseni üzerindeki herhangi bir S noktasından geçen ve AG eksenine dik olan bir düzlem alalım. Bu düzlem silindiri M ve N noktalarında kessin. GA AS = MS SP (AG = SM ve AS = PS olduğu için) AX 2 = GA AS ( ASX ve AXG üçgenleri benzer üçgen olduğu için AS : AX = AX : AG) AX 2 = XS 2 + AS 2 = XS 2 + PS 2 (PS = AS olduğu için) Böylece XS 2 + PS 2 = GA AS = MS SP GA : AS = MS : SP (MS = EG = AG ve AS = SP olduğu için) GA = AQ AQ : AS = MS : SP = MS 2 : MS SP XS 2 + PS 2 = MS SP AQ : AS = MS 2 : XS 2 + PS 2 MS 2 : XS 2 + PS 2 = MN 2 : XO 2 + PR 2 (Başka bir deyişle a 2 : b 2 + c 2 = (2a) 2 : (2b) 2 + (2c) 2 )
MN 2 : XO 2 + PR 2 = Daire MN : Daire XO + Daire PR Böylece AQ : AS = Daire MN : Daire XO + Daire PR QA nın AS ye oranı; silindirin içinde oluşan dairenin, kürenin ve koninin içinde oluşan dairelerin toplamının oranına eşittir. Kürenin ve koninin içinde oluşan daireleri Q noktasına taşırsak destek noktası A olacak biçimde silindirin içinde oluşan daireyi şu anda bulunduğu noktada dengeler. Aynı şekilde AG ekseni üzerinden alacağımız herhangi bir noktadan geçen ve AG eksenine dik olan düzlemlerin şeklimizi kesmesiyle silindirin içinde oluşturduğu dairesel alan yerinde kalmak şartıyla, kürenin ve koninin içinde oluşan dairesel alanları Q noktasına taşıdığımızda destek noktası A olacak biçimde birbirlerini dengeler. AG üzerindeki her noktaya bu işlemi uyguladığımızda aşağıdaki şekil oluşur. 5 Silindirin ağırlık merkezi K, küre ve konininki ise Q noktası olduğundan ve QA uzaklığı, AK uzaklığının 2 katı olduğundan Silindir : Küre + Koni =AQ : AK = 2 : 1 Silindir = 2 Koni + 2 Küre Silinder = 3 Koni(Eucl XII 10) Silindir = 3 Koni = 2 Koni + 2 Küre Koni = 2 Küre
6 ABD = Küçük Koni Koni = 8 Küçük Koni(AG = 2 AK ve ZE = 2 BD; Taban ZE : Taban BD = 4 : 1; Yükseklik AG : Yükseklik AK = 2 : 1 olduğu için) Koni = 2 Küre Koni = 2 Küre = 8 Küçük Koni Küre = 4 Küçük Koni FCYW ekseni AG yüksekliği 2r, taban yarıçapı GW = r olan dik dairesel silindir olsun FCYW = Küçük Silindir Silindir = 3 Koni = 24 Küçük Koni(Koni = 8 Küçük Koni) Silindir= 4 Küçük Silindir (yükseklikler aynı silindirin yarıçapı 2r, küçük silindir yarıçapı r olduğu için) Silindir= 4 Küçük Silindir = 24 Küçük Koni 4 Küçük Silindir = 6 Küre(Küre = 4 Küçük Koni olduğu için) Küçük Silindir = 3 2 Küre Örnek :
7 Daha fazla örneği http://mathdl.maa.org/images/upload_library/1/archimedes/themethodrevised2.htm adresinden oluşturabiliriz. Metodun Yeniden Toparlanması: Yaklaşık 2000 yıl önce Arşimetin uğraştığı harika sonuçları olan metod çalışmaları 1906 yılında tesadüfen ele geçirildi. Danimarkalı bilgin J. L. Heiberg İstanbulda matemetik bilgileri içeren palimsestler olduğunu öğrendi(palimsest:orijinal halinin bir kısmı aşınmış, yeni ve farklı bir metinle değiştirilmiş parşömen kağıdı). Ayrıntılı incelemeler orijinal el yazmasında arşimete ait bulgular olduğunu gösterdi. J.L. Heiberg fotoğraflar aracılığıyla Arşimetin metinlerinin çoğunu okuyabildi. El yazması çoğu parşömen birazı kağıttan olmak üzere 185 sayfadan oluşuyordu. Metod çalışması 10. asırda tekrar kopyalanmış haliyle beraber 13. asırda Doğu Ortodoks kilisesi tarafından silinmek istenmişti. Kilisedeki dini grup 13. asırda yazılacak olan dini içerikli Euchologion kitabında metod çalışmalarının yazılı olduğu palimpsestleri kullanmak istedi. Ne büyük şanski girişim başarısız oldu. Dini şeylerle şiddetli bir biçimde kafa yormak az kalsın en önemli antik matematik çalışmalarını yok
8 ediyordu. Arşimetin Küre ve Silindir, Spiraller, çemberin ölçümü, düzlemleri eşitliği, yüzen cisimler gibi çalışmaları bir şekilde korundu. Fakat tek kopya olan metod çalışmaları günümüze kadar şans eseri gelebildi. Heiberg yaptığı araştırmalarla bir kısmı silinmiş yıpranmış da olsa el yazmalarını inceleyip Arşimetin çalışmalarını açığa çıkarmayı başardı. Ancak daha sonra tekrar kaybolup geri bulunan palimpsestler 29 ekim 1998 de 2 milyon dolara adı bilinmeyen bir Amerikalı ya satıldı. Sözcüsü palimpsestlerden bilim adamların faydalanabilmelerine izin verileceğini söyledi. KAYNAKÇA Wikipedia, özgür ansiklopedi. S. H. Gould, The Method of Archimedes, The American Mathematical Monthly, 62, No. 7 (Aug. - Sep., 1955), pp. 473-476 http://www.calstatela.edu/faculty/hmendel/ancient%20mathematics/vignettesancientmath.html http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/archimedes.shtml http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewdocument&nodeid=631&bodyid=1014