ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELLERİNİN DİNAMİK CEBİRLERİ.

ÖZET Yüksek Lisans Tezi BİR VE İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELLERİNİN DİNAMİK CEBİRLERİ Engin AŞLAR Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Şengül KURU Bu çalışmada ilk olarak, ve Lie cebirlerinin genel ve üniter indirgenemez temsilleri tanıtılmıştır. Daha sonra, süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri kısaca gözden geçirilmiştir. Bir ve iki parametreli trigonometrik Pöschl-Teller potansiyelleri analitik ve cebirsel olarak çözülmüştür. Bu problemler için potansiyel ve spektrum üreten cebirler çarpanlara ayırma yöntemi kullanılarak elde edilmiş ve bu sistemlerin dinamik cebirleri kurulmuştur. Son olarak, bu potansiyellere karşı gelen klasik sistemler için benzer yolla klasik spektrum üreten cebirler kurulmuştur ve bu sistemler için hareket klasik mekanik çerçevesinde de cebirsel olarak çözülmüştür. Haziran 2013, 70 sayfa Anahtar Kelimeler: Üniter temsil, spektrum üreten cebir, potansiyel cebri, dinamik cebir, çarpanlara ayırma yöntemi, süpersimetrik kuantum mekaniği, Pöschl-Teller potansiyeli i

ABSTRACT Master Thesis DYNAMICAL ALGEBRAS OF ONE AND TWO PARAMETRIC PÖSCHL-TELLER POTENTIALS Engin AŞLAR Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics Supervisor: Doç. Dr. Şengül KURU In this study, first general and unitary representations of and Lie algebras are introduced. Then, the supersymmetric quantum mechanical methods are reviewed briefly. One and two parameter trigonometric Pöschl-Teller potentials are solved analytically and algebraically. The potential and spectrum generating algebras are found by using factorization method and the dynamical algebras for these systems are constructed. Finally, the classical spectrum generating algebras are also set up, in a similar way, for the classical systems corresponding to these potentials and the motion for these systems are also solved algebraically in the frame of classical mechanics. June 2013, 70 pages Key Words: Unitary representation, spectrum generating algebra, potential algebra, dynamical algebra, factorization method, supersymmetric quantum mechanical methods, Pöschl-Teller potential ii

TEŞEKKÜR Bu tez çalışmamın her aşamasında bilgi ve deneyimlerinden yararlandığım değerli hocam Doç. Dr. Şengül KURU ya (Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı) arkadaşlarım Ebru ŞİMŞEK ve Cafer BAYAR a yapmış oldukları katkılardan dolayı çok teşekkür ederim. Engin AŞLAR Ankara, Haziran 2013 iii

İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... vi ŞEKİLLER DİZİNİ... vii ÇİZELGELER DİZİNİ... viii 1. GİRİŞ... 1 2. VE LİE CEBİRLERİ... 3 2.1 ve Lie Cebirlerinin Temsil Teorisi... 3 2.1.1 İndirgenemez temsiller... 5 2.1.1 Üniter indirgenemez temsiller... 6 3. SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ YÖNTEMLERİ... 10 3.1 Çarpanlara Ayırma Yöntemi... 10 3.2 Şekil Değişmez Potansiyeller... 14 3.3 Darboux Dönüşümü... 14 3.4 Bağlaştırım Yöntemi... 15 4. BİR PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN ANALİTİK ÇÖZÜMÜ... 17 5. BİR PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN CEBİRSEL ÇÖZÜMÜ... 22 5.1 Faktör İşlemcileri... 22 5.2 Merdiven İşlemcileri... 26 5.3 Sistemin Dinamik Cebri... 32 6. İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN ANALİTİK ÇÖZÜMÜ... 39 7. İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN CEBİRSEL ÇÖZÜMÜ... 42 7.1 Faktör İşlemcileri... 42 7.2 Faktör İşlemcileri... 45 7.3 Merdiven İşlemcileri... 48 iv

7.4 Merdiven İşlemcileri... 50 7.5 Merdiven İşlemcileri... 52 7.6 Merdiven İşlemcileri... 54 7.7 Sistemin Dinamik Cebri... 56 8. BİR PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNE KLASİK YAKLAŞIM... 60 9. İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNE KLASİK YAKLAŞIM... 63 10. TARTIŞMA VE SONUÇ... 66 KAYNAKLAR... 68 ÖZGEÇMİŞ... 70 v

SİMGELER DİZİNİ Hipergeometrik fonksiyon Gegenbauer polinomu Birleştirilmiş Legendre polinomu Jacobi polinomu Süperpotansiyel Hamiltoniyen işlemcisi Hamiltoniyen fonksiyonu Zamana bağlı hareket sabitleri vi

ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2.1 - düzleminde ve Lie cebirlerinin üniter indirgenemez temsilleri... 7 Şekil 3.1 olmak üzere hemen hemen eş spektrumlu üç Hamiltoniyenin enerji düzeyleri... 14 Şekil 4.1 Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyelinin 2, 5 ve değerleri için grafiği..... 17 Şekil 5.1 işlemcilerinin Hamilton hiyerarşisi üzerindeki etkileri... 23 Şekil 5.2 işlemcilerinin hiyerarşisi üzerindeki etkileri... 28 Şekil 5.3,,, işlemcilerinin özfonksiyonu üzerindeki etkileri... 38 Şekil 7.1 - - düzleminde merdiven işlemcilerinin etkileri... 57 Şekil 7.2 Hamiltoniyenlerin hiyerarşisi ve işlemcilerin etkileri... 59 Şekil 8.1 Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için klasik faz yörüngeleri... 62 Şekil 9.1 İki parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için klasik faz yörüngeleri... 65 vii

ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 2.1 negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere ve Lie cebirlerinin indirgenemez temsillerinin sınıflandırılması... 6 Çizelge 2.2 negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere Lie cebrinin üniter indirgenemez temsillerinin sınıflandırılması.... 9 viii

1. GİRİŞ Kuantum mekaniğinde tam olarak çözülebilen fiziksel problemler en bilindik olan hidrojen atomu ve harmonik salınıcı dışında birkaç tanedir. Matematiksel kolaylığından dolayı harmonik salınıcı modeli iki atomlu moleküllerin etkileşme kuvvetini tarif etmek için yaygın bir şekilde kullanılır. Ancak bilindiği gibi gerçek molekül titreşimleri harmonik değildir. Pöschl-Teller ve Morse potansiyelleri harmonik olmayan potansiyellerdir. Bu iki potansiyel de cebirsel olarak çözülebilirlerdir. Bu potansiyellerin uydukları cebirler ve cebirleri ile ilişkilidir. Pöschl-Teller potansiyeli moleküllerin eğilme mod titreşimlerini tarif ederken; Morse potansiyeli moleküllerin gerilme mod titreşimlerini tarif etmektedir (Lemus ve Bernal 2002). Bir fiziksel sistemle ilgili korunan nicelikler ile sistemin simetrileri arasındaki ilişki Emmy Noether tarafından ortaya atılmıştır. Bir sisteme ait korunan niceliklerin oluşturduğu cebir simetri cebri olarak adlandırılır. Eğer sistemin simetri cebri biliniyorsa sistem tam olarak çözülmüştür denir. Sistemin tüm özfonksiyon ve özdeğerlerini bulmaya izin veren cebirler spektrum üreten cebirler olarak adlandırılır. Ayrıca bir potansiyel hiyerarşisi içindeki tüm potansiyellerin spektrumunu belirleyen cebir ise potansiyel cebri olarak adlandırılır. Sistemle ilgili tüm bilgileri yani spektrumu, varsa dejenerelikleri, saçılma durumlarını içeren cebirler ise sistemin dinamik cebri olarak adlandırılır. Bozonları fermiyonlara, fermiyonları bozonlara dönüştüren bir simetri olan süpersimetri 1971 yılında Gol fand ve Likhtman tarafından keşfedilmiştir ve fiziğin birçok alanında uygulaması vardır. 1981 yılında Witten, yaptığı çalışmalar sonucu süpersimetrik kuantum mekaniğini bir model olarak ileri sürmüştür (Junker 1996). Daha sonra süpersimetrik kuantum mekaniği kuramsal fiziğin pek çok alanında uygulanmaya başlamıştır. Örneğin, nükleer fizikte saçılma problemlerinde ve yoğun madde fiziğinde Süpersimetrik kuantum mekaniğinde süperyük işlemcileri bir matris Hamiltoniyenin aynı enerjili dik iki özfonksiyonu arasında dönüşüm üretir (Junker 1996, Sukumar 1996 1

ve Cooper vd. 2001). Süperyük işlemcileri, Hamiltoniyenle birlikte dereceli bir Lie cebri oluştururlar ve bu cebir süpercebir olarak adlandırılır. Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri, Darboux dönüşümü, bağlaştırım (intertwining) yöntemi, şekil değişmez potansiyeller ve çarpanlara ayırma yöntemi olarak sıralanabilir. Bu yöntemlerin amacı, genel olarak çözümü bilinen bir Hamiltoniyenden başlayarak yeni çözülebilen Hamiltoniyenler oluşturmaktır (Junker 1996, Cooper vd. 2001). Özel olarak, bu çalışmada kullanılacak olan çarpanlara ayırma yöntemi, hemen hemen eş spektrumlu tam olarak çözülebilen Hamiltoniyenlerin özdeğerlerini ve özfonksiyonlarını bulmada kullanılır (Junker 1996, Cooper vd. 2001, Dong 2010). Bu yöntem ilk olarak Schrödinger tarafından Hidrojen atomunu cebirsel olarak çözmek için ortaya atılmış ve daha sonra Infeld ve Hull tarafından çözülebilir potansiyelleri elde etmek için kullanılmıştır. Bu çalışmada, ilk olarak ve Lie cebirlerinin cebirsel yapıları ve üniter indirgenemez temsilleri ele alınmıştır. Üçüncü bölümünde süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri kısaca gözden geçirilmiştir. Daha sonra, bir parametreli Pöschl- Teller potansiyeli analitik olarak çözülmüştür (Flügge 1994). Beşinci bölümde bu problem cebirsel olarak incelenmiştir. Spektrum üreten cebir ve potansiyel cebri süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemlerinden çarpanlara ayırma yöntemi kullanılarak bulunmuştur. Daha sonra bu cebirler birleştirilerek sistemin dinamik cebri kurulmuştur (Kuru ve Negro 2009). Benzer süreç iki parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için de yapılmış ve sistemin dinamik cebri kurulmuştur (Calzada vd. 2012). Ayrıca, daha sonra bu kuantum mekaniksel inceleme bir ve iki parametreli Pöschl- Teller potansiyellerine karşı gelen klasik sistemlere uygulanarak klasik spektrum üreten cebirler kurulmuş ve böylece bu sistemler klasik mekanik çerçevesinde de cebirsel olarak çözülmüştür (Kuru ve Negro 2008). 2

2. VE LİE CEBİRLERİ ve Lie cebirlerininin üreticileri { } için sıradeğişim bağıntıları [ ], [ ], [ ], (2.1) olarak verilir. Burada ve cebrine karşılık gelir. Cebrin tüm işlemcileri ile sıra değiştiren işlemci, Casimir işlemcisi olarak adlandırılır ve bu cebirler için ( ), şeklindedir. Bu cebirlerin temsillerini kurmak için arttırıcı ve azaltıcı işlemciler kullanmak daha uygundur. Denklem (2.1) deki sıradeğişim bağıntıları ve cinsinden [ ], [ ], olarak bulunurken, Casimir işlemcisi ise, şeklinde yazılır (Barut vd. 1988, Dong 2010). 2.1 ve Lie Cebirlerinin Temsil Teorisi ve Lie cebirleri benzer yapıya sahip olduklarından genel temsil teorileri de yakından ilişkilidir. Ancak üniter indirgenemez temsilleri farklıdır. Lie cebrinin temsilini kurmak için { ikilisinden herhangi biri seçilir ve her durumda aynı temsil elde edilir. Ancak için her bir seçim farklı temsiller 3

verir. Bağlı durumlar için genellikle { ikilisi seçilir. Bu iki işlemcinin sıradeğişim bağıntıları sıfır vereceğinden her iki işlemci aynı zamanda köşegenleştirilebilir. Yani ortak özfonksiyonlara sahiptir. Böylece temsil uzayı olarak seçilebilir. ve ün bu durumları üzerindeki etkisi,, şeklindedir. Burada bilinen açısal momentum ve de manyetik kuantum sayısı olarak yorumlanabilir. nin temsil uzayına etkisi [ ] sıradeğişim bağıntısı kullanılarak, olarak bulunur. Buna göre azaltmış durumuna karşı gelir: durumu ün özdeğerlerinin bir birim artırmış ve,. Buradaki ve katsayılarını bulabilmek için; ( ) eşitliği kullanırsa olarak bulunur. Burada ve aşağıdaki gibi seçilebilir:. 4

Diğer seçimler de mümkündür, fakat tüm seçimler bu seçime özdeştir. Ayrıca üzerine etkisi değişimi altında değişmez kalır. Sonuç olarak nin temsil uzayı,, olarak bulunur (Barut vd.1988, Dong 2010). 2.1.1 İndirgenemez temsiller ve Lie cebirlerinin indirgenemez temsilleri yakından ilişkiliyken üniter indirgenemez temsilleri birbirlerinden oldukça farklıdırlar. Lie cebrinin üniter indirgenemez temsilleri sonlu boyutlu iken, in aşikar olmayan üniter indirgenemez temsilleri sonsuz boyutludur. Bu temsiller bağlı durumlar için düşünülmüştür. Bu cebirler için indirgenemez temsiller dörde ayrılır. a) Sınırsız Spektrum olmak üzere indirgenemez sonsuz boyutlu özdeğer spektrumu elde edilir. olmasını gerektirir. olmak üzere parametresi süreklidir ve aralığında, ise negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere her değeri için farklı bir özdeğer spektrumu verir. Buradaki sonsuz boyutlu indirgenemez temsiller ve ile etiketlenerek, ile gösterilir. b) Alttan Sınırlı Spektrum Bazı ler için, fakat her değeri için ise ün özdeğer spektrumu alttan sınırlıdır ve yine sonsuz boyutlu indirgenemez temsiller elde edilir. Bu durumda, ün spektrumu ile verilir ve indirgenemez temsiller ile gösterilir. 5

c) Üstten Sınırlı Spektrum Üstten sınırlı spektrum, yukarıdaki durumla aynıdır. Ancak, burada ve her için dır. Böylece ün spektrumu üstten sınırlıdır: ile verilir. İndirgenemez temsiller ile gösterilir. d) Sınırlı Spektrum Alttan ve üstten sınırlı spektrumların birleştirilmesiyle sonlu boyutlu (sınırlı) bir spektrum elde edilir. Bu durumda, ün spektrumu ile verilir ve bu indirgenemez temsiller ise ile gösterilir (Barut vd.1988, Dong 2010). Özet olarak ve Lie cebirlerinin indirgenemez temsilleri çizelge 2.1 deki gibidir. Çizelge 2.1 negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere ve Lie cebirlerinin indirgenemez temsillerinin sınıflandırılması, ) 2.1.2 Üniter indirgenemez temsiller Lie gruplarının üniter indirgenemez temsilleri fizikte pek çok uygulamaya sahiptir. Bu yüzden üniter indirgenemez temsilleri incelemek yararlıdır. Bu durumda Casimir işlemcisi ve işlemcileri Hermitsel olmalıdırlar. Bu durum genel indirgenemez temsiller üzerine aşağıdaki kısıtlamaları getirir: 6

i. ve özdeğerleri gerçel olmalıdır. ii. ve pozitif tanımlı Hermitsel işlemciler olmalıdır. Birinci koşula göre ve gerçel olmadır. Bu nedenle ya gerçel ya da, şeklinde sanal bir sayıdır. İkinci koşul ise,, eşitsizliklerini verir. Bu iki eşitsizlik ise aşağıdaki eşitsizliği gerektir:. (2.2) Bu eşitsizlik tüm üniter temsiller için geçerli olmalıdır. Burada e ve e karşı gelir. ve doğruları düzleminde çizilirse her iki cebrin üniter indirgenemez temsilleri şekil 2.1 deki gibi gösterilebilir. j j m j m j m H so(3) A D j m m so(2,1) E so(2,1) F so(2,1) G C B so(3) Şekil 2.1 - düzleminde ve Lie cebirlerinin üniter indirgenemez temsilleri 7

ün üniter indirgenemez temsilleri için denk.(2.2) ile verilen eşitsizlikte durumu mümkün değildir. Bu nedenle, gerçel olmalıdır ve sadece nin sonlu değerleri için eşitsizlik (2.2) sağlanır. ün spektrumu daha başka kısıtlamalar olmadan ile verilir. Bu spektrum şekil 2.1 de gösterilmektedir. Burada eksenin altındaki ve üstündeki bölgesi özdeştir. in üniter indirgenemez temsilleri oldukça farklıdır. özdeğer spektrumu olmadıkça denk.(2.2) sağlanamaz. durumu aşikar duruma karşı gelir. için sadece aşikar durumda üniter temsil sonlu bulunur. Diğer durumlarda ün özdeğer spektrumu sonsuzdur. Sonuç olarak in aşikar olmayan sonlu boyutlu temsilleri yoktur. indirgenemez temsilleri ancak için sağlanır. in üniter indirgenemez temsilleri için temsilinden ortaya çıkan ün spektrumu iki tanedir. Bunlar ek seriler olarak adlandırılan ve asal (prensipal) seri olarak adlandırılan dir. Ek seri temsilleri ve olduğunda sağlanır. Bu durum şekil 2.1 deki AFCE dörtgeninin sınırladığı bölgeye karşı gelir. Bu bölgenin sınırları olduğu için sınırlar içerilmez. Son olarak asal seri ve olduğunda sağlanır. Böylece ün özdeğer spektrumu şekil 2.1 de gösterildiği gibi GEH ve BFD bölgeleri ile sola ve sağa doğru uzanır. ya da durumlarının üniter indirgenemez temsilleri çizgisi bölgeyi ikiye bölen bir simetri çizgisidir. Her üniter indirgenemez temsil için bu çizginin zıt tarafındaki aynı ün özdeğer spektrumuna sahip bir özdeşi vardır. Özet olarak, Lie cebrinin üniter indirgenemez temsilleri çizelge 2.2 deki gibidir. 8

Çizelge 2.2 negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere Lie cebrinin üniter indirgenemez temsillerinin sınıflandırılması,, ( ) Lie cebri Lie cebrine lokal olarak izomorf olduğu için Lie cebri için geçerli olan temsil teorisi içinde geçerlidir. Benzer şekilde Lie cebri de Lie cebrine lokal izomorf olduğu için aynı temsil teorisi onlar içinde geçerlidir (Barut vd. 1988, Dong 2010). 9

3. SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ YÖNTEMLERİ Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri genel olarak çözülebilen bir sistemden başlayarak, yeni çözülebilen sistemler hiyerarşisi kurmada kullanılırlar. Bu yöntemler, çarpanlara ayırma, Darboux dönüşümü, şekil değişmez potansiyeller ve bağlaştırım yöntemi olarak bilinir. Bu yöntemler bir boyutta birbirine özdeştirler. Ancak yüksek boyutlarda farklılık gösterirler. 3.1 Çarpanlara Ayırma Yöntemi Çarpanlara ayırma yöntemi temel olarak sınır koşulları verilmiş olan ikinci mertebeden bir diferansiyel denklemi birinci mertebeden bir çift diferansiyel denklemin çarpımı olarak yazılmasına dayanır. Fizikte çarpanlara ayırma yöntemi verilen kuantum mekaniksel bir sistemin özdeğer problemlerini çözmek için kullanılır. Çarpanlara ayırma yöntemi, verilen bir Hamiltoniyen için normalize özfonksiyonlar ve özdeğerlerin ikinci mertebeden diferansiyel denklemler çözülmeden bulunmasına olanak sağlar. Bu yöntemin, diğer bir özelliği de sistemin altında yatan cebirleri vermesidir. Aynı zamanda çarpanlara ayırma yöntemi sayesinde eğer tam olarak çözülebilen bir Hamiltoniyen varsa ya da hiyerarşideki tüm Hamiltoniyenlerin taban durum öz fonksiyonu biliniyorsa yeni çözülebilen Hamiltoniyenler hiyerarşisi kurulabilir (Dong 2010). Örneğin tek parçacık için Hamilton işlemcisi, şeklindedir. Burada, Planck sabiti, parçacığın kütlesi ve de potansiyel enerji fonksiyonudur. in taban durum enerjisi için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir: ise, taban durum öz fonksiyonu 10

Buradan potansiyel, taban durum özfonksiyonu cinsinden şeklinde bulunur. Hamiltoniyeni, türeve göre birinci mertebeden birbirinin Hermitsel eşleniği olan iki işlemcinin çarpımı olarak yazılabilir:. Burada şeklindedir. süperpotansiyel olarak adlandırılır ve diferansiyel işlemcileri de yerine yazılarak, potansiyeli süperpotansiyel cinsinden aşağıdaki gibi bulunur:. Bu denklem için bir Riccati denklemidir. Taban durum enerjisi olduğu için dır. Bu da olmasını gerektirir. dan yararlanarak süperpotansiyel taban durum özfonksiyonu cinsinden şeklinde bulunur. ve işlemcilerinin ters sıradaki çarpımı ile elde edilen yeni Hamilton işlemcisi aşağıdaki gibi tanımlanır:. 11

Böylece olmak üzere şeklinde ifade edilir. Burada, ve potansiyelleri süpersimetrik eş potansiyeller ya da kısaca süpereş potansiyeller olarak adlandırılır. ve nin her ikisinin de enerji özdeğerleri pozitif yarı tanımlıdır ve bu Hamiltoniyenlerin özdeğer ve özfonksiyonları birbirleriyle ilişkilidir. için Schrödinger denklemi,, şeklindedir. Bu denkleme soldan etki ederse, ( ) ( ), eşitliği elde edilir. Benzer olarak, için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir:. Bu denklem de soldan ile soldan çarpılırsa ( ) ( ), bulunur. Yukarıdaki özdeğer denklemleri aracılığı ile için ve nin özdeğerleri ve özfonksiyonları arasındaki ilişki, 12

,,, olarak elde edilir. Daha genel olarak çarpanlarına ayrılabilen bir Hamiltoniyen, şeklinde yazılabilir. Kolaylık için tanımlanır: alınırsa faktör işlemcileri aşağıdaki gibi Bu durumda, süperpotansiyel ise ile verilir. Tüm Hamiltoniyen hiyerarşisi için, enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları bağıntılarından bulunur. Potansiyel enerji fonksiyonu hiyerarşideki Hamiltoniyenlerin taban durumları cinsinden olarak ifade edilir (Cooper vd. 2001, Kuru 2004). Şekil 3.1 de üç tane süpersimetrik potansiyelin enerji düzeyleri arasındaki ilişki gösterilmektedir. 13

A A A A A A A A A A E E A A E E E E A A H H H Şekil 3.1 olmak üzere hemen hemen eş spektrumlu üç Hamiltoniyenin enerji düzeyleri 3.2 Şekil Değişmez Potansiyeller Şekil olarak aynı, ancak parametreleri farklı olan süpereş potansiyellere şekil değişmez potansiyeller denir ve bu potansiyeller matematiksel olarak aşağıdaki gibi tanımlanır:. Burada parametreler kümesi, de in bir fonksiyonudur ( ) ve x den bağımsızdır. Bu durumda ve potansiyellerine şekil değişmez potansiyeller denir (Cooper vd. 2001). 3.3 Darboux Dönüşümü Darboux dönüşümü çözümü bilinen bir problemden başlayarak tam olarak çözülebilen problemlerin hiyerarşisini kurmak ve çizgisel olmayan denklemlerin çözümlerini elde etmek için kullanılır. Bir parçacık için Sturm-Liouville denklemi 14

şeklindedir. Bu denklemin özdeğerine karşı gelen çözümü olsun. Burada ve bundan sonra alt indisler fonksiyonun argümanına göre türevini gösterecektir. Yani ve dir. Yukarıdaki denklemin keyfi bir çözümü için, çözümünün ürettiği Darboux dönüşümü ] şeklinde bulunur. Burada, Wronskian determinantıdır. Eğer ise ve lineer bağımsız demektir. Darboux dönüşmüş ] özfonksiyonu Sturm-Liouville denklemini sağlar: ] ] ] ]. Burada Darboux dönüşmüş yeni ] potansiyeli ] ] şeklindedir. Darboux dönüşümü Sturm-Liouville denklemini form değişmez yani kovaryant bırakır. Çözülebilen bir Hamiltoniyene Darboux dönüşümü uygulanarak yeni çözülebilen Hamiltoniyenler bulunabilir. Eğer bir sisteme N defa Darboux dönüşümü uygulanırsa elde edilen dönüşüm Crum dönüşümü olarak adlandırılır (Matveev ve Salle 1990). 3.4 Bağlaştırım Yöntemi Bağlaştırım yöntemi, tam olarak çözülebilen çizgisel ve çizgisel olmayan problemler ile bunların hiyerarşilerini kurmak için kullanılan bir yöntemdir. ve Hamiltoniyen işlemcileri, bağlaştırım işlemcisi ile aşağıdaki şekilde ilişkilendirilebilir:. 15

Bu şekilde bağlaştırım işlemcisi işlemcisinin özfonksiyonları ile in özfonksiyonları arasında bağlaştırım kurar. Bağlaştırım işlemcisinin özellikleri aşağıdaki gibidir: i., ın özdeğerli özfonksiyonu ise, de in özdeğerli bir özfonksiyonudur. ve için Schrödinger denklemleri,, ile verilir. bağlaştırım işlemcisi a uygulanırsa, ( ) ( ), eşitliği elde edilir. Yani,, in özdeğerli bir özfonksiyonudur. ii., nin tersi doğrultusunda bağlaştırım yapar:. Bu bağıntı ve için iki gizli dinamik simetri işlemcisini verir (Kuru 2004) : [ ] [ ]. 16

4. BİR PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN ANALİTİK ÇÖZÜMÜ Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için Hamilton işlemcisi; ile verilir. Burada denge konumundan ayrılma miktarını, l de potansiyelin genliğini belirleyen parametredir. Değişen değerleri için potansiyelin göre değişimi şekil 4.1 de gösterilmiştir. V 150 100 50 1 1 x Şekil 4.1 Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyelinin = 2, 5 ve 10 değerleri için grafiği Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için zamandan bağımsız Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir:, ( ) (4.1) Burada değişken değiştirmesi yapılırsa, 17

, bulunur. Buna göre Hamilton işlemcisi cinsinden, olarak yazılır. Bulunan bu ifade denk. (4.1) de yerine koyulursa, [ ] elde edilir. Bu denklemde ( ) (4.2) değişken değiştirmesi yapılırsa, denklem [ ] ], (4.3) şeklini alır. Denklem (4.3) aşağıda verilen hipergeometrik diferansiyel denklemine benzer ] ve bu denklemin çözümleri, ile verilir (Abramowitz ve Stegun 1970). Böylece denk.(4.3) ün çözümü hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden, 18

şeklinde bulunur. Denklem (4.3) ün ve de sonlu çözümlerinin olabilmesi için, olmalıdır. Böylece, enerji olarak bulunur. Denklem (4.2) de ve yerine yazılırsa denk. (4.1) in çözümü olan enerjisine karşı gelen özfonksiyonu, ( ) (4.4) şeklinde bulunur. Burada normalizasyon sabitidir. Denklem (4.4) ile verilen çözüm ortogonal (dik) polinomlar olan Gegenbauer polinomları cinsinden yazılabilir. Gegenbauer polinomları ile hipergeometrik fonksiyonlar arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir (Abramowitz ve Stegun 1970): Bu ifade de konularak, (4.4) çözümü Gegenbauer polinomları cinsinden, (4.5) olarak yazılır. N normalizasyon sabiti Gegenbauer polinomlarının sağladığı, [ ] 19

bağıntısında yazılırsa ( ) [ ] olarak bulunur. Yukarıdaki eşitlikte gamma fonksiyonlarının özelliklerinden kullanılırsa, normalizasyon katsayısı şeklinde elde edilir. özfonksiyon, normalizasyon katsayısı denk. (4.5) de yerine yazıldığında (4.6) olarak bulunur. Denklem (4.6) ile verilen bu özfonksiyon birleştirilmiş Legendre polinomları cinsinden de ifade edilebilir. Gegenbauer polinomları ile birleştirilmiş Legendre polinomları arasındaki ilişki ] şeklindedir (Abramowitz ve Stegun 1970). Yukarıdaki denklemde yazılırsa 20

] bulunur. Bu ifade gamma fonksiyonlarının özelliklerinden de yararlanılarak düzenlenip denk. (4.6) da yerine yazılırsa, (4.7) elde edilir ( Flügge 1994, Cruz vd. 2008). 21

5. BİR PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN CEBİRSEL ÇÖZÜMÜ 5.1 Faktör İşlemcileri Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için Schrödinger denklemi denk. (4.1) de verildiği gibidir. Hamilton işlemcisi türeve göre birinci mertebeden iki tane işlemcinin çarpımı şeklinde (5.1) yazılabilir. Buradaki ye Hamilton işlemcisini çarpanlarına ayırdıkları için faktör işlemcileri denir. arttırıcı faktör işlemcisi, ise azaltıcı faktör işlemcisidir. Bu işlemciler, şeklinde seçilip denk. (5.1) de yerine yazılırsa, için bir Riccati denklemi elde edilir. Bu denklem için, önerildiğinde, ve bulunur. Buna göre faktör işlemcileri, çözümü, olarak elde edilir. Faktör işlemcilerinin ters sıradaki çarpımı, 22

(5.2) şeklinde bir Hamilton işlemcisi verir. Eşitlik (5.2) de yazılırsa Hamiltoniyeni bulunur ve bu da Hamilton işlemcisi için aşağıdaki hiyerarşiyi verir:. Buna göre Hamilton işlemcisinin iki farklı şekilde çarpanlarına ayrılabildiği sonucuna ulaşılır. Bu hiyerarşi ile ilgili bağlaştırım bağıntıları ( ) ( ) ( ) ( ) şeklinde bulunur. Bu bağıntılara göre işlemcisi nin özfonksiyonlarına etkidiğinde in aynı enerjili özfonksiyonları elde edilir. işlemcisi de bunun tam tersini yapmaktadır. Şekil 5.1 de bu etkiler görülmektedir. Hl Hl Hl Hl Hl Hl Al Al Şekil 5.1 işlemcilerinin Hamilton hiyerarşisi üzerindeki etkileri 23

Buna göre faktör işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkisi aşağıdaki gibidir: (5.3) (5.4) şeklindedir. Bu ifadelerden de nin arttırıcı, nin azaltıcı işlemci gibi davrandığı kolayca görülür. Denklem (5.4) aracılığı ile taban durum özfonksiyonu, olarak bulunur. Burada, normalizasyon sabitidir ve şeklinde elde edilir. Buna göre taban durum özfonksiyonu, (5.5) olarak bulunmuş olur. lerin normalize özfonksiyonlar olduğu gözönünde bulundurulduğunda, denk.(5.3) deki katsayısı, özfonksiyonların normalize olmasından yararlanılarak kolayca bulunur: ( ). 24

Denklem (5.4) deki faktör işlemcisinin katsayısı da benzer şekilde bulunur. Böylece denk. (5.3) ve denk. (5.4) tekrar aşağıdaki gibi yazılır:. enerjili durumlara karşı gelen özfonksiyonları, faktör işlemcilerinin taban durumuna kez uygulanması ile bulunur:. Buradaki normalizasyon katsayısı, her arttırıcı işlemcinin özfonksiyon üzerindeki etkisi adım adım bulunup bunların genelleştirilmesi ile elde edilir. Öncelikle a etkisine bakalım: ( ). Buradan bulunan özfonksiyona edildiğinde bulunan normalizasyon katsayısı, uygulandığında bulunan özfonksiyon normalize ] olarak bulunur. Bu şekilde bulunarak en son adımda özfonksiyonun katsayısı, işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkileri tek tek ] şeklinde elde edilir. Daha sonra, bulunan tüm katsayılar çarpılıp tersinin karekökü alınırsa, aşağıdaki gibi elde edilir: 25

( ) ( ) İndissiz, ve işlemcilerinin sıra değişimi: ] [ ] [( ) ( )] şeklindedir. Buna göre diagonal işlemci olarak tanımlanır. Böylece ve işlemcileri ], [ ] sıradeğişme bağıntılarını sağlarlar. Bu sıradeğişme bağıntılarına göre ve işlemcileri su(2) cebrini kapatırlar. Bu cebir potansiyel cebri olarak adlandırılır. Bu hiyerarşide potansiyel cebri beklenildiği gibi sonlu boyutlu indirgenemez temsillere sahiptir ve parametresi buçuklu değerler alır (Kuru ve Negro 2009, Dong 2010). 5.2 Merdiven İşlemcileri Hamilton işlemcisi için Schrödinger denkleminin her iki tarafı ile çarpılıp düzenlenirse, ( ) elde edilir. Yukarıdaki denklemde parantez içini olarak tanımlayalım: 26

(5.6) Buradaki işlemcisi, türeve göre birinci mertebeden iki tane diferansiyel işlemcinin çarpımı olarak yazılabilir: (5.7) ( ) işlemcileri aşağıdaki gibi seçilebilir:,. Bu işlemciler denk. (5.7) de yerine yazılıp, denk. (5.6) daki eşitlikte kullanılırsa,, olarak bulunur. Buna göre işlemciler,, (5.8) şeklinde tekrar yazılır. işlemcilerinin ters sıradaki çarpımı, eşitliğini verir. Yukarıdaki eşitlikte ler için hiyerarşi aşağıdaki gibi bulunur: alınıp denk. (5.7) ile karşılaştırılırsa. Bağlaştırım bağıntıları ise 27

, şeklindedir. ile sıra değiştirdiğinden nin özfonksiyonları nin de öz fonksiyonlarıdır. Bu yüzden nin özfonksiyonlarına işlemcisi uygulanırsa onunla aynı Hamiltoniyen deki in özfonksiyonları elde edilir. Bu durum şekil 5.2 de ayrıntılı olarak gösterilmiştir. Hl Hl Hl Bl Bl Bl Bl Bl Bl Şekil 5.2 işlemcilerinin hiyerarşisi üzerindeki etkileri işlemcileri aynı bir Hamiltoniyen içerisindeki farklı özfonksiyonları birbirlerine dönüştürürler. Bu yüzden işlemcilerine merdiven (ladder) işlemcileri denir. Taban durum özfonksiyonu işlemcisi yardımıyla bulunur:. Taban durum özfonksiyonu için, normalizasyon katsayısı kolayca bulunur: 28

Buna göre taban durum özfonksiyonu, olarak ifade edilir. Bu da işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkisine bakalım: dan bulunan denk. (5.5) ile aynı sonucu verir. (5.9). (5.10) Buradaki ve katsayıları doğrudan bulunamazlar, çünkü ( ) dir. ve katsayılarını bulabilmek için birleştirilmiş Legendre polinomlarının tekrarlama bağıntıları kullanılabilir. Öncelikle denk. (4.7) yi tekrar yazıp, i elde edelim: Denklem (5.9) da, özfonksiyonları ve denk. (5.8) deki işlemcisinin diferansiyel ifadesi yazılıp, birleştirilmiş Legendre polinomları için aşağıdaki tekrarlama bağıntısında,, kullanılırsa katsayısı 29

şeklinde bulunur. Buna göre denk. (5.9) un açık ifadesi olarak elde edilir. katsayısı da benzer yolla aşağıdaki tekrarlama bağıntısında,, alınarak şeklinde bulunur. Böylece denk. (5.10) un açık ifadesi ile verilir. özfonksiyonu, işlemcisinin taban durumuna kez uygulanmasıyla elde edilir:. katsayısını bulmak için öncelikle taban durumuna işlemcisi uygulanır. Sonra çıkan özfonksiyonuna bir sonraki işlemcisi uygulanır. Bu şekilde kez işlemcileri uygulanarak katsayılar elde edilir. Elde edilen bu katsayıların hepsi çarpılıp tersi alınırsa 30

katsayısı olarak bulunur. İndissiz işlemciler, nin sıradeğişimi diagonal işlemcisini verir. Buna göre diagonal işlemci aşağıdaki gibi tanımlanır:. Böylece, ve işlemcileri ], [ ] sıradeğişme bağıntılarını sağlarlar. Bu sıradeğişme bağıntılarına göre ve işlemcileri cebrini kapatırlar. Bu cebir Hamiltoniyeni için spektrum üreten cebir olarak adlandırılır. Bu potansiyel için bağlı durumların sayısı sonsuzdur ve ve işlemcilerinin kapattığı cebri de alttan sınırlı sonsuz boyutlu temsillere sahiptir (Kuru ve Negro 2009). 31

5.3 Sistemin Dinamik Cebri Faktör işlemcileri, birbirlerinin Hermitsel eşlenikleridirler: ( ifadeleri ) ve diferansiyel, ile verilir. işlemcilerinin özfonksiyon üzerindeki etkileri, şeklindedir. Fakat denk. (5.8) deki işlemcileri birbirlerinin Hermitsel eşlenikleri değildir: ( ). Yani ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) şeklindedir. Bu nedenle bu işlemcilerin normalize özfonksiyonlar üzerindeki etkisi faktör işlemcileri gibi kolaylıkla bulunamaz. Bu etkiler bir önceki kesimdeki gibi farklı yöntemler kullanılarak bulunabilir. işlemcisi ile ortak özfonksiyonlara sahiptir ve ( ) ( ) eşitliği elde edilir. Bu eşitlik ayrıca lerin ler üzerindeki etkilerinden de bulunabilir. Varsayalım ki işlemcileri Hermitsel olsun ve işlemcileri ile aynı yi versin. 32

( ) Buna göre Hermitsel ve işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkisi aşağıdaki gibidir:,. Hermitsel merdiven işlemcilerinin diferansiyel ifadeleri ( ) ( ) olarak elde edilir. işlemcileri de diagonal işlemci ile birlikte cebrini kapatırlar: [ ], [ ] Burada diagonal işlemci şeklinde tanımlıdır. Şimdi, ve işlemcilerinin sıradeğişme bağıntısını gözönüne alalım: [ ] ( ) 33

[ ], Buradan görüldüğü gibi bu işlemcilerin sıradeğişme bağıntısı yeni bir işlemci verir. Bu yeni işlemci olarak adlandırılır ve nın özfonksiyonuna etkisi, şeklindedir. nın diferansiyel ifadesi, eşitlikte yerine yazılarak bulunur: ve nın diferansiyel ifadeleri aşağıdaki ( ) ( ). Böylece nin diferansiyel ifadesi ( ) olarak elde edilir. Daha önce bulunan [ ] sıradeğişme bağıntısının Hermitsel eşleniği [ ] ( ) ( ) [ ] şeklindedir. Buradan [ ] olarak bulunur. Böylece nin özfonksiyonu üzerindeki etkisi, 34

şeklinde elde edilir. nin diferansiyel ifadesi ( ) Eşitliğinde ve nin diferansiyel ifadeleri yerine koyularak bulunur: ( ) ile nın sıradeğişimi diagonal işlemciyi verir: [ ] ( ) ( ). Diagonal işlemci, olarak tanımlanır. ve işlemcilerinin sıradeğişim bağıntıları [ ], [ ] şeklindedir. Buna göre ve işlemcileri cebrini kapatırlar. 35

Şimdi, ve nın sıradeğişme bağıntısına bakalım: [ ] ( ) Buradan işlemcisinin özfonksiyonu üzerindeki etkisi, şeklindedir. işlemcisinin diferansiyel ifadesi ( ) eşitliğinde ve nın diferansiyel ifadeleri yerine koyularak bulunur: ( ). ve nin sıradeğişme bağıntısı [ ] nın Hermitsel eşleniği alınarak bulunur: [ ] ( ) Buradan, işlemcisinin özfonksiyonu üzerindeki etkisi, şeklinde bulunur. Benzer olarak durumlara benzer olarak işlemcisinin diferansiyel ifadesi yukarıdaki 36

( ) elde edilir. işlemcilerinin sıradeğişme bağıntısı [ ] ( ) şeklindedir ve diagonal işlemciyi verir: Buna göre ve işlemcileri cebrini kapatırlar: [ ], [ ]. ve diagonal işlemcileri ve diagonal işlemcileri cinsinden şeklindedir.,,, gösterilmiştir. işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkisi şekil 5.3 te 37

Dl n l n Cl n Al Al Cl n l n Dl n Şekil 5.3,,, işlemcilerinin özfonksiyonu üzerindeki etkileri, işlemcileri 10 tane üreticisi olan cebrini kapatırlar. cebrinin sıradeğişme bağıntıları aşağıdaki gibidir: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Sonuç olarak bir parametreli Pöschl-Teller potansiyelinin dinamik cebri cebridir (Kuru ve Negro 2009). 38

6. İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN ANALİTİK ÇÖZÜMÜ İki parametreli trigonometrik Pöschl-Teller potansiyeli için Hamilton işlemcisi, (6.1) şeklindedir. Bu potansiyel için zamandan bağımsız Schrödinger denklemi yazılıp değişken değiştirmesi yapılırsa elde edilir. Bu diferansiyel denklemin vardır. Burada da üç tane düzgün tekil noktası ( ) olarak alınırsa aşağıdaki hipergeometrik diferansiyel denklemi elde edilir: ] [ ] Bu denklemin genel çözümü, (6.2) 39

ile verilir. Burada ( ), ( ), şeklindedir. Denklem (6.2) de ve sınır koşulları kullanılarak ve belirlenebilir. i. da iki hipergometrik seride 1 e eşit olur. Böylece olduğundan dolayı 2. terim tekillik yaratacağı için olmalıdır. ii. de seriye açılırsa ( ) elde edilir. komşuluğunda ya 2. terim katkıda bulunur: ( ) Üstel ifade de dır ve bu da tekilliğe yol açar. Bu tekilliği kaldırmak için lı terimlerin sıfıra gitmesi gerekir. Bu da ya alınarak sağlanır. olursa olmalıdır. Tersine eğer olursa olarak bulunur. ya da 40

Üstel ifade ve nin bu iki seçimi altında değişmez kalır ve aynı sonucu verir. Buna göre için olarak bulunur. Özfonksiyon da, şeklindedir. Bu özfonksiyon Jacobi polinomları cinsinden olarak elde edilir. Buradaki bağıntılarından (Abramowitz ve Stegun 1970, Askey 1975) normalizasyon katsayısı Jacobi polinomlarının diklik olarak bulunur. Bu katsayı özfonksiyonda yerine yazılırsa aşağıdaki gibi elde edilmiş olur (Flügge 1994): 41

7. İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN CEBİRSEL ÇÖZÜMÜ 7.1 Faktör İşlemcileri Denklem (6.1) ile verilen tane diferansiyel işlemcinin çarpımı şeklinde yazılabilir: Hamilton işlemcisi türeve göre birinci mertebeden iki. Burada şeklindedir. ve işlemcilerinin ters sıradaki çarpımı Hamilton işlemcisini verir. Böylece işlemcileri için Hamilton hiyerarşisi aşağıdaki gibi kurulur:. (7.1) Bu hiyerarşi ile ilgili bağlaştırım bağıntıları ( ), ( ) 42

şeklinde bulunur. Bu bağıntılar yardımıyla üzerindeki etkileri aşağıdaki gibidir: işlemcilerinin özfonksiyonlar,. Buradaki katsayısı özfonksiyonların bire normalize olması koşulu kullanılarak,, ( ),, şeklinde bulunur. edilir. Buna göre işlemcisinin normalizasyon katsayısı da benzer olarak elde işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkilerinin açık halleri aşağıdaki gibidir:,. koşulundan taban durum özfonksiyonu aşağıdaki gibi bulunabilir: ( ) ( ). 43

Burada normalizasyon katsayısıdır. Bu katsayı özfonksiyonun normalizasyon koşulundan olarak bulunur. faktör işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkisinden de görüleceği gibi bu işlemciler enerjiyi değiştirmeyip potansiyelin parametresini değiştirmektedirler. Bu işlemcilerin enerji özdeğerleri hiyerarşi yardımıyla olarak bulunur., uyarılmış duruma karşı gelen uyarılmış özfonksiyon, işlemcileri taban durum özfonksiyonuna kez uygulanarak bulunabilir: ( ). katsayısı taban durum özfonksiyonuna adım adım artırıcı işlemcileri uygulanarak bulunur:,,, ( ). Çıkan katsayılar çarpılırsa olarak bulunur. Böylece, uyarılmış duruma karşı gelen özfonksiyonu normalizasyon katsayısı ile birlikte aşağıdaki gibi elde edilir: 44

Bu da analitik yolla bulunan çözümle aynıdır. Şimdi işlemcilerinin sağladığı cebre bakalım. Bunun için indissiz işlemcileri olarak tanımlayalım. ile işlemcisinin sıra değişimi diagonal işlemci yi verir: [ ] ( ), ( ) ( ),. Böylece diagonal işlemcinin özfonksiyon üzerindeki etkisi, şeklinde tanımlanır. Sonuçta ve işlemcileri cebrinin sıra değişim bağıntılarını sağlarlar (Calzada vd. 2012): [ ], [ ]. 7.2 Faktör İşlemcileri Denklem (6.1) ile verilen Hamilton işlemcisi ve parametrelerinin yansımaları altında değişmez kalır. Yani dır. ve 45

dönüşümleri denk.(6.1) de farklı bir faktör işlemcisi tanımlamaya izin verirler. Bu yeni işlemciler şeklinde tanımlanır. Bu durumda nın diferansiyel ifadesi işlemcilerinin diferansiyel ifadesinden yararlanılarak, olarak bulunur. Hiyerarşi, ler cinsinden denk. (7.1) ile verilir. Bu ifadeye sağdan ve soldan uygulanıp özfonksiyonu üzerindeki etkisine bakılırsa, ( ) ( ),,, şeklinde bulunur. Bu hiyerarşi ile ilgili bağlaştırım bağıntıları aşağıdaki gibidir: Bu bağıntılara göre işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkileri, şeklindedir. Buradaki kullanılarak elde edilir: katsayısı özfonksiyonların bire normalize olması koşulu,, ( ), 46

. Böylece işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkisi açık olarak, şeklinde yazılır. Yukarıdan da görüleceği gibi işlemcileri de enerji özdeğerini değiştirmezler:. işlemcilerinin sağladığı cebri bulmak için indissiz işlemciler şeklinde tanımlansın. ile nin sıradeğişimi diagonal işlemci yi verir. [ ] ( ) [ ] (( ) ( )) işlemcisinin özfonksiyon üzerindeki etkisi olarak bulunur. Buna göre sıra değişim bağıntıları aşağıdaki gibidir: 47

[ ], [ ] Buradan, ve işlemcilerinin, ve işlemcileri gibi cebirinin sıradeğişim bağlantılarını sağladığı görülür (Calzada vd. 2012). 7.3 Merdiven İşlemcileri Schrödinger denklemi, özfonksiyonlar için aşağıdaki notasyon kullanılarak (7.1) şeklinde yazılabilir. Denklem (7.1) de nın değerini sabit bırakıp, nın değerini değiştiren işlemcileri bulmak için yukarıdaki denklem ile çarpılıp sabit olan terimi yalnız bırakılsın: ( ) (7.2) (7.2) ile verilen denklemde sol taraftaki parantez içi olarak adlandırılırsa, (7.2) tekrar şeklinde yazılır. diferansiyel işlemcisi türeve göre birinci mertebeden iki tane diferansiyel işlemcinin çarpımı olarak yazılabilir: 48

. Burada, şeklinde bulunur. işlemcisi ile işlemcisinin çarpımı işlemcisini verir. Buna göre işlemcileri için hiyerarşisi aşağıdaki gibidir:. Bu hiyerarşi ile ilgili bağlaştırım bağıntıları, şeklinde bulunur. Bu bağıntılara göre etkileri, işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki olarak yazılabilir. Burada katsayısı ile verilir (Calzada vd. 2012). ile birbirlerinin Hermitsel eşlenikleri olmadıkları için bu katsayı kolaylıkla bulunamaz. Görüldüğü gibi işlemcileri hem enerji özdeğerini hem de potansiyel teriminde parametresini değiştirirken yı sabit bırakır. işlemcilerinin sağladığı cebir; indissiz işlemciler 49

tanımlanarak bulunabilir. ile işlemcisinin sıra değişimi diagonal işlemci i verir: [ ] ( ) (( ) ( )) Böylece diagonal işlemcinin özfonksiyonlar üzerindeki etkisi, şeklindedir. Buna göre, ve işlemcileri cebrinin sıradeğişim bağıntılarını sağlarlar (Calzada vd. 2012): [ ], ]. 7.4 Merdiven İşlemcileri diferansiyel işlemcisi ve yansıma dönüşümleri altında değişmez kalır. Bu iki yansıma dönüşümünden herhangi biri ile yeni işlemciler elde edilebilir., işlemcilerinin diferansiyel ifadeleri aşağıdaki gibi bulunur: 50

işlemcileri için kurulmuş olan hiyerarşiye hiyerarşi işlemcileri cinsinden yansıma dönüşümü uygulanırsa şeklinde bulunur. Burada dır. Yukarıdaki hiyerarşi ile ilgili bağlaştırım bağıntıları aşağıdaki gibi bulunur:, Bu bağıntılar yardımıyla işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkileri olarak bulunur. Buradaki katsayısı ile verilir (Calzada vd. 2012). işlemcilerinin sağladığı cebir; indissiz işlemciler şeklinde tanımlanarak bulunabilir. ile işlemcisinin sıra değişimi diagonal işlemci yi verir: [ ] ( ) (( ) ( )) 51

Buradan diagonal işlemcinin özfonksiyon üzerindeki etkisi, olarak tanımlanır. Buna göre, ve işlemcileri cebrinin sağladığı sıra değişim bağıntılarını sağlarlar (Calzada vd. 2012): [ ], [ ] 7.5 Merdiven İşlemcileri Şimdi, denk. (7.1) deki nın değerini sabit bırakıp, nın değerini değiştiren işlemcileri bulalım. Bu amaçla (7.1) ile verilen denklem ile çarpılıp sabit olan terimi yalnız bırakılsın: ( ) (7.3) Yukarıdaki denklemin sol tarafındaki parantez içi olarak adlandırılırsa, denk.(7.3) olarak tekrar yazılır. diferansiyel işlemcinin çarpımı olarak yazılabilir: diferansiyel işlemcisi türeve göre birinci mertebeden iki Burada,. 52

şeklindedir ve işlemcileri için hiyerarşisi aşağıdaki gibidir:. Bu hiyerarşi ile ilgili bağlaştırım bağıntıları, ile verilir. Bu bağıntılara göre işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkileri,, şeklinde yazılabilir. Burada katsayısı ile verilir (Calzada vd. 2012). işlemcilerinin sağladığı cebri basitçe görebilmek için, indissiz işlemciler şeklinde tanımlansın. işlemcilerinin sıra değişimi diagonal işlemci i verir: [ ] ( ), (( ) ( )),,. 53

Bu diagonal işlemcinin özfonksiyon üzerindeki etkisi, olarak bulunur. Böylece, [ ], [ ] bağıntıları elde edilir. Buna göre ve işlemcileri cebrinin sağladığı sıradeğişim bağıntılarını sağlarlar. Son olarak, diferansiyel işlemcisi yansıma dönüşümü altında değişmez kalmaktadır. işlemcilerine yansıma dönüşümü uygulanarak yeni bir merdiven işlemci grubu elde edilir ve bunlar olarak adlandırılır (Calzada vd. 2012). 7.6 Merdiven İşlemcileri şeklinde tanımlansın. Buna göre işlemcilerinin diferansiyel ifadeleri daha önce yapıldığı gibi işlemcilerinin diferansiyel ifadesi yerine yazılıp özfonksiyonu üzerine uygulanarak aşağıdaki gibi bulunur:, işlemcileri için kurulmuş olan hiyerarşiye yansıma dönüşümü uygulanırsa hiyerarşi işlemcileri cinsinden 54

şeklinde bulunur. Burada dır. Yukarıdaki hiyerarşi ile ilgili bağlaştırım bağıntıları aşağıdaki gibi bulunur:, Bu bağıntılar yardımıyla işlemcilerinin özfonksiyonları üzerindeki etkileri,, olarak elde edilir. Buradaki katsayısı ile verilir (Calzada vd. 2012). benzer olarak indissiz işlemciler işlemcilerinin sağladığı cebir, yukarıdaki durumlara olarak tanımlanır. işlemcilerinin sıra değişimi diagonal işlemci yi verir: [ ] ( ), ( ) ( ), Buna göre diagonal işlemcinin özfonksiyon üzerindeki etkisi, şeklinde bulunur. Böylece, ve işlemcilerinin cebrinin sağladığı sıra değişim bağıntılarını sağladığı görülür (Calzada vd. 2012): 55

[ ], [ ] 7.7 Sistemin Dinamik Cebri Sistemin tüm arttırıcı-azaltıcı, faktör ve merdiven işlemcileri { } ile verilir. Diagonal işlemciler ise { } şeklindedir. Bu diagonal işlemciler üç tane lineer bağımsız diagonal işlemcinin lineer kombinasyonları olarak elde edilir. Bu diagonal işlemcilerin özfonksiyonlar üzerindeki etkisi aşağıdaki gibidir:,,. Sonuç olarak toplam olarak 15 tane birbirinden bağımsız işlemci elde edilir: { } bu işlemcilerin birbirleri ile sıradeğişim bağıntıları aşağıdaki gibidir: [ ] [ ] [ ], [ ] [ ] [ ], [ ] [ ] [ ], [ ] [ ] [ ]. Buradaki sıradeğişim bağıntılarına ek olarak bu işlemcilerin Hermitsel eşlenikleri de bulunmaktadır. Merdiven işlemcilerinin - - düzlemindeki etkileri şekil 7.1 deki gibidir. 56

Şekil 7.1 - - düzleminde merdiven işlemcilerinin etkileri Diagonal işlemcilerin sıradeğişim bağıntıları önceki kısımlardaki gibi bulunabilir. Sonuç olarak bu sıradeğişim bağıntılarına göre bu cebir Lie cebrine uymaktadır. Böylece, cebrinin diferansiyel temsili de elde edilmiş olur. Sistemin Hamilton hiyerarşisi düşünüldüğünde özfonksiyonu Lie cebrinin indirgenemez temsilinin uzayını üretir. Bu şekilde üretilen üniter indirgenemez temsil yalnızca bir tanedir ve her bir arttırıcı ve azaltıcı işlemci birbirinin Hermitsel eşlenikleridir. Bu temsil durumuna karşı gelen işlemcileri tarafından yok edilen taban durum özfonksiyonuna dayalıdır: Bu durumdan başlanarak herhangi bir merdiven işlemcisi uygulanarak bir üst enerji seviyesine geçilir. Örneğin e uygulanırsa, enerjili duruma karşı gelen özfonksiyon elde edilir:. 57

bulunur. Daha sonra,, yardımıyla düzeyindeki diğer özfonksiyonlar bulunurlar:,,. merdiven işlemcileri gerçek anlamda saf merdiven işlemcileri değildir. Çünkü bu işlemciler hem enerji parametresi nu hem de potansiyeldeki diğer parametreyi değiştirmektedir. Ancak işlemcilerin birleşimleri alınarak saf merdiven işlemcileri kurulabilir:,. Bu işlemcilerin diferansiyel ifadeleri, ve işlemcilerinin diferansiyel ifadeleri kullanılarak şeklinde bulunur. Bu işlemcilerin özfonksiyonlar üzerindeki etkileri, kurulan hiyerarşi yardımıyla olarak bulunur. Sonuç olarak, işlemcileri bir parametreli Pöschl-Teller potansiyelinde kurulan merdiven işlemcileri gibi potansiyel parametresini değiştirmeyip sadece enerji parametresini değiştirmektedir (Calzada vd. 2012). Hamiltoniyenlerin hiyerarşisi ve işlemcilerin etkileri şekil 7.2 de gösterilmiştir. 58

Şekil 7.2 Hamiltoniyenlerin hiyerarşisi ve işlemcilerin etkileri 59

8. BİR PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNE KLASİK YAKLAŞIM Hamilton fonksiyonu şeklindedir. Hamilton fonksiyonu kuantum mekaniksel duruma benzer olarak ile çarpılıp düzenlenirse elde edilir. Eşitliğin sol tarafı iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazılabilir:. Burada,, (8.1) olarak tanımlanır. Görüldüğü gibi, çarpanlarına ayırır: fonksiyonları aynı zamanda Hamiltoniyeni de. (8.2), ile birlikte bir cebir kapatırlar:, (8.3) 60

Burada Poisson parantezidir ve olarak alınmıştır. Bu cebir, ler cinsinden zamana bağlı hareket sabiti tanımlamaya izin verir: (8.4) hareket sabitleri, (8.5) eşitliğini sağlarlar. Bu durumda nin değeri genel olarak (8.6) ile verilir. ın değeri ise denk. (8.2) kullanılarak, şeklinde bulunur. enerjiye bağlı bir parametredir. Burada enerji de bir hareket sabitidir. Denklem (8.4) ve denk.(8.6) birbirlerine eşitlenirse bulunur. Denklem (8.1) de verilen ifadeleri yukarıda kullanırsa, ( ), ( ) elde edilir. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanıp çıkartılırsa, 61

( )] ( ) ( ) olarak bulunur. Eşitliklerden de görüldüğü gibi hareketin frekansı dir ve denk.(8.3) ile verilen cebir bağıntıları da frekansı vermektedir (Cruz vd. 2008). Bu hareket periyodiktir ve faz yörüngeleri kapalıdır. Şekil 8.1 de farklı enerjiler için faz yörüngeleri görülmektedir. p 0.75 0.5 0.5 x 0.75 Şekil 8.1 Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için klasik faz yörüngeleri 62

9. İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNE KLASİK YAKLAŞIM İki parametreli Hamilton fonksiyonu; şeklindedir. Her iki taraf ile çarpılıp, eşitliğin sol tarafında yalnız bırakılırsa olarak bulunur. Burada fonksiyonu (9.1) ve ile verilir. ler, ile birlikte aşağıdaki cebri kapatırlar:, ( ) Burada da, zamana bağlı hareket sabitleri ler cinsinden belirlenebilir: (9.2) 63

Bu sabitler de (8.5) eşitliğini sağlarlar. Bu durumda nin değeri genel olarak (9.3) şeklinde verilir. ın değeri ise, olarak bulunur. Denklem (9.2) ve denk. (9.3) değerleri birbirine eşitlenirse buradan fonksiyonları aşağıdaki gibi ifade edilir: ( ) (9.4) (9.4) eşitliğinde fonksiyonlarının denk. (9.1) deki ifadeleri kullanılırsa ( ) ( ) şeklinde tekrar yazılır. Her iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa ( ( )) çıkartılırsa ( ) ( ( )) 64

bulunur. Eşitliklerden de görüldüğü gibi hareketin frekansı dir ve burada da hareket periyodik, faz yörüngeleri kapalıdır. Şekil 9.1 de farklı enerjiler için faz yörüngeleri görülmektedir. 1 p 0.5 0.5 1 x 0.5 1 Şekil 9.1 İki parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için klasik faz yörüngeleri 65

10. TARTIŞMA VE SONUÇ Kuantum mekaniğinde cebirsel yöntemler kullanılarak sistemin spektrumunun Schrödinger denklemi çözülmeden bulunması sıkça kullanılan bir yoldur. Bu yöntemler klasik mekaniğe genişletilerek, klasik mekanikte de spektrum üreten cebirler elde edilebilir. Böylece sistem ile ilgili pek çok bilgi ve çözümler cebirsel olarak kolayca bulunabilir. Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri, eş spektrumlu potansiyel hiyerarşisi kurmada, hiyerarşideki tüm potansiyeler için özdeğer ve özfonksiyonları elde etmede kullanıldığı gibi, çözülebilir sistemler için potansiyel ve spektrum üreten cebirlerinin elde edilmesinde de oldukça kullanışlıdırlar. Çarpanlara ayırma yöntemi ile bir ve iki parametreli Pöschl-Teller Potansiyelleri için potansiyel ve spektrum üreten cebirler elde edilmiş ve bu sistemler cebirsel olarak çözülmüştür. Bu potansiyellere karşı gelen potansiyel ve spektrum üreten cebirlerinin ve Lie cebirleri ile ilişkili olduğu görülmüştür. ve Lie cebirleri sırasıyla ve Lie cebirlerine lokal olarak izomorf olduklarından temsil teorileri aynıdır. Bu nedenle bu çalışmada ilk olarak ve Lie cebirlerinin temsil teorisi ele alınmıştır. Cebirsel olarak bulunan bu çözümler, analitik yoldan (Schrödinger denklemi doğrudan çözülerek) elde edilenlerle karşılaştırılmıştır. Ayrıca bu sistemler için sistemin tüm spektrumunu ve çözümlerini veren dinamik cebirler kurulmuştur. Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için dinamik cebir iken, iki parametreli için olarak bulunmuştur. Böylece bu cebirler için diferansiyel temsiller de elde edilmiştir. Kuantum mekaniksel sistemlere karşı gelen klasik sistemler benzer olarak ele alınmıştır. Bu sistemlerin Hamilton fonksiyonları için klasik spektrum üreten cebirler bulunmuştur. Bu cebirler yardımıyla zamana bağlı hareket sabitleri tanımlanıp, klasik sistemlerin hareketi bu hareket sabitlerinden kolayca belirlenmiştir. Bu çalışmadan da görüldüğü gibi, burada problemler hem kuantum mekaniği hem de klasik mekanik çerçevesinde aynı bir bakış açısı ile cebirsel olarak kolay ve şık bir şekilde çözülebilmektedir. Bir boyutlu bu problemlerin cebirsel olarak çözülebilmesi, 66

bu problemleri içeren daha karmaşık yüksek boyutlu problemlerin de cebirsel olarak ele alınabilmesini sağlamaktadır. Sonuç olarak, cebirsel yöntemlerin iyi bir şekilde anlaşılması, fizikte pek çok alana uygulanması ve geliştirilmesi önemli bir çalışmadır. 67

KAYNAKLAR Abramowitz, M. and Stegun, I.A. 1970. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, pp. 556-780, Dover books on Mathematics, Washington D.C. Askey, R. 1975. Orthogonal Polynomials and Special Functions, SIAM, pp. 7-9. Barut, A.O, Ne eman, Y. and Bohm, A. 1988. Dynamical Groups And Spectrum Generating Algebras, Vol. 1; pp. 115-125, World Scientific. Calzada, J.A., Kuru, Ş., Negro, J. and Del Olmo, M.A. 2012. Dynamical algebras of general two-parametric Pöschl-Teller Hamiltonians, Annals of Physics, Vol. 327; Issue: 3; pp. 808-822. Cooper, F., Khare, A. and Sukhatme, U. 2001. Supersymmetry in Quantum Mechanics, pp. 15-33, World Scientific, London. Cruz, S., Kuru, Ş. and Negro, J. 2008. Classical motion and coherent states for Pöschl- Teller potentials, Physics Letters A, Vol. 372; Issue: 9; pp. 1391-1405. Dong, S. 2010. Factorization Method in Quantum Mechanics, pp. 3-32, Springer, The Netherlands. Flügge, S. 1994. Practical Quantum Mechanics, pp. 89-93, Springer-Verlag, Germany. Junker, G. 1996. Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics, pp.7-16, Springer-Verlag, Berlin. Kuru, Ş. 2004. Çizgisel ve Çizgisel Olmayan Integrallenebilir Sistemler, Darboux Dönüşümleri ve Süpersimetri. Doktora tezi (basılmamış). Ankara Üniversitesi, 110 s., Ankara. 68