STRATEJİK DÜŞÜNCE OYUN KURAMI

STRATEJİK DÜŞÜNCE OYUN KURAMI OYUN KURAMI İLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR a.oyuncular: Oyunda en az iki oyuncu veya rakip olmalı ve onların akılcı hareket ettikleri ve kazanmak için en iyisini yaptıkları varsayılır. b.stratejiler: Her oyuncunun deneme seçenekleri vardır. Bir oyuncu için herhangi bir strateji kural olup, çeşitli deneme faaliyetleri arasından oyunun seçimini belirler. Her oyuncunun seçenek stratejisinin sayısı sonludur c.kazanç veya Ödemeler: Oyunun sonucu kazanma, yitirme veya çekilme olabilir. Her sonuç veya ödeme, negatif, pozitif veya sıfır olmak üzere her oyuncunun rakibine karşı kazancını veya kaybını belirler. d.ödemeler Matrisi: Bu matris, oyuncuların strateji seçimlerinin türlü bileşiminden sonuçlanan kazanç veya kayıpları gösterir. Ödeme matrisinin elemanları pozitif, negatif veya sıfıra eşit olabilir OYUN KURAMI İLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR e.oyunlar: Oyunların sınıflandırılması genellikle oyuncuların sayılarına göre yapılır. İki kişilik, üç kişilik veya (n) kişilik oyunlar kurulabilir. n=2 ise oyun 2 kişilik, n 2 ise oyun n kişili oyundur. f.tam (arı) Stratejiler: Herhangi bir tam strateji bir oyuncu için optimal ise bu tam strateji diğer oyuncu için de optimaldir. Bu tam stratejiler maximin ve minimax kuralına göre ulaşılan değerleri veren stratejilerdir. Tam stratejiler, oyunun tepe noktasını belirler. g.karma Stratejiler: Oyunlarda genellikle daha etkili olan karma stratejiler kullanılır. Karma strateji, tam strateji takımındaki olasılık dağılımıyla tanımlanır. h.beklenen Değer: Belirsizlik altında karar verebilmek yani elverişli olan en iyi stratejiyi seçmede beklenen değer kavramı yararlıdır. Beklenen değer olayların olma olasılıkları ile olayın değerinin çarpımlarının toplamıdır. 1

OYUN KURAMI İLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR i.herhangi Bir Çözümün Tanımı: İki kişili oyunda, A oyuncusu rakibi olan B oyuncusunun hangi stratejiyi oynayacağını düşünmeden kendisi için x gibi optimal strateji vektörünü elde etmeye çalışır, x vektörü A oyuncusuna oyundan maksimum beklenen kazancı sağlar. Buna karşılık B oyuncusu da A oyuncusunun beklenen kazancını en aza indirecek kendi strateji vektörü [y] yi araştırır. Eğer x* ve y*, A ve B oyuncularının optimal strateji vektörlerini gösterirse, A oyuncusunun beklenen değeri B.D.(x*,y*) olur ki, bu da oyunun değeridir. A ve B optimal şekilde oynarlarsa, B.D.(x*,y*) değeri yani (v), A oyuncusunun uzun dönem ortalama kazancı olur. Buradaki (v) oyunun değeridir. Oyun Tanımı Her oyuncu harici bir otorite tarafından sabitlenmediği takdirde oyunun kurallarını kendi menfaatlerine uygun şekilde değiştirmek ister. Oyunu bu şekilde değiştirmekte kullanılan yöntemlere stratejik hareketler denir. Bir oyun; Oyuncuların önündeki tercihler ya da yapabilecekleri hareketler eğer mevcutsa, oyuncuların bu hareketleri gerçekleştirecekleri düzen ve tüm oyuncuların tercihlerinin, muhtemel bütün mantıklı kombinasyonlarının sonuçları olarak tanımlanır. Stratejik hareketler Stratejik hareketleri güvenilir kılmak için; 1. Hareketleri kısıtla 2. Hedeflenen getirileri küçült Güvenirlik Bilginin aktarılması Esas oyun (Hamle) 1. Yükümlülükler/taahhütler (commitments) Koşulsuz 2. Tehditler (threats) - Koşullu 3. Vaatler (promises) - Koşullu 2

1838 1883 1913 Kuram Oluşumu 1921 1926 1950 Tarihsel gelişim Oyun teorisi ekonomi alanına ilk olarak aksak rekabet piyasalarının ekonomik analizinde kullanılmıştır. Fransız ekonomist Augustin Cournot un 1838 yılında yayınladığı Researches Into Mathematical Principles Of The Theory Of Wealth (Refah Teorisinin Matematiksel Prensipleri Konusundaki Araştırmalar) kitabı üretici rekabeti konusundadır Tarihsel gelişim 1883 yılında Josepf Bertrand, Cournot un yapmış olduğu çalışmayı eleştirerek, karar değişkeninin üretim değil, fiyatların olduğunu ileri sürerek kendi Duopol modelini yaratmıştır. 3

Tarihsel gelişim 1913 yılında oyun teorisi açısından en önemli çalışmayı E.Zermelo tarafından yapılmıştır. Bu çalışması ile satranç oyununu inceleyen Zermelo, oyuncularından birinin taşlar satranç tahtasının neresinde olursa olsun her zaman bir kazanma stratejisine sahip olduğunu bulmuştur. Bu nedenle satranç oyununun her zaman bir çözümünün olduğunu matematiksel olarak ortaya koymuştur. Bu çalışması ile oyun teorisinde günümüzde oyun ağacı formunda olan sıralı oyunların çözümünde kullanılan geriye doğru çıkarım (backwards induction) olarak adlandırılan yöntem bu çalışması ile oluşturmuştur. Tarihsel gelişim Saf Pure strateji ve karma stratejilerin minimax çözümde ilk olarak matematiksel tanımlamasını 1921-1927 yılları arasında yapmış olduğu çalışmalarla Emile Boral tarafından gerçekleştirilmiştir. Bu çalışmasını saf strateji sayısının sınırlı olduğu iki kişilik oyunların minimax teoreminin ispatlanması, von Neumann tarafından, 7 Aralık 1926 gününde Göttingen Matematik Topluluğuna sunması ile gerçekleşmiştir Oyun Kuramının 3 Ayağı 12 Ekonomik Nash, Harsanyi, and Selten Sosyal bilimler Brams (1994) Binmore (1994) Durumsal Fraser and Hipel (1984), Howard (1971, 1998), 4

Oyun kuramının iki temel kuralı minimax Denge kuralı Oyun kuramı John von Neumann(1903-1957). 1923 yılında Berlin Üniversitesinde kimya tahsili, 1925 te İsviçre'de Teknik Yüksek Okulu'ndan kimya mühendisliği diploması aldı. 1926 yılında Budapeşte Üniversitesi'nden matematik doktorası aldı. Göttingen Üniversitesi'nde, "Kuantum Mekaniğinin Matematik Temelleri"ni yayınladı. 1944'te Oskar Morgenstern ile John von Neumann'ın birlikte yazdıkları 'Oyunlar Teorisi ve Ekonomik Davranış' kitabı çıktı. Kitabın üçte biri toplamı sıfır olan iki kişilik oyunlarla ilgiliydi. İkiden fazla oyuncusu olan oyunlarla ilgili bölüm tamamlanmamıştı ve bu çeşit oyunlar için bir çözüm olduğu kanıtlanmamıştı. Kitabın son 80 sayfası ise toplamı sıfır olmayan oyunlara ayrılmıştı ve von Neumann bu çeşit oyunları da aslında bir anlamda toplamı sıfır oyunlara çevirmeyi deniyordu. 5

Toplamı Sıfır Olan Oyunlar Genel olarak oyunları toplamı sıfır olan oyunlar ve toplamı sıfır olmayan oyunlar diye ikiye ayırmak mümkün. Örneğin futbol, toplamı sıfır olan bir oyun. Bir takım diğerini 1-0 yendiğinde, diğer takım da 0-1 yenilmiş oluyor. Yenilgi ile yenginin toplamı sıfır. Benzer biçimde poker de toplamı sıfır olan bir oyun. Oyuna giren para miktarının toplamı, kazanan ve kaybeden oyuncuların önündeki para miktarının toplamına eşit, yani sonuç sıfır. C1 C2 C3 Satır en küçüğü R1 16 10 7 7 R2 8 9 4 4 R3 9 1 1 1 Sütun en 16 10 7 büyük ÇÖZÜM: Her oyuncunun üçer stratejisi bulunduğundan oyun bir 3 x 3 oyunudur. İlk önce satır oyuncusuna bakılırsa; bu oyuncu R1 stratejisini seçerse, sütun oyuncusu C3 stratejisini seçerek kendi kaybını dolayısıyla rakibinin kazancını mümkün olan en düşük düzeye düşer. Bu değer yukarıdaki matrise eklenen satır en küçüğü sütununda gösterildiği gibi 7 dir. Satır oyuncusunun ikinci stratejiyi seçmesi durumunda sütundaki oyuncu gene kendisi için en az (4) kayıp sağlayacak olan stratejiyi yani, üçüncü stratejiyi seçecektir. Sonuçta, satır oyuncusu için en iyi strateji, R1 dir. 6

Tepe Noktası (Tam Stratejiler) Oyunların en basiti tepe noktalı oyunudur. Yani satırında en küçük ve sütununda en büyük bir tek elamanı olan ödemeler matrisi düşünülmektedir. Bu durumda A ya göre oyunun değeri tepe noktası elemanı ve B ye göreyse tepe noktası elemanın negatif işaretlisidir. C1 C2 C3 Satır en küçüğü R1 9 3 1 1 R2 6 5 4 4 R3 1 4 3 1 Sütun en büyük 9 5 4 R için oyun değeri 4 ve C için oyun değeri 4 olarak bulunması nedeniyle her iki oyuncunun oyundan beklediği değerler birbirini karşılamaktadır ve oyunun bir tepe noktası vardır. A nın seçeneği II. strateji, B nin seçeneği de III. stratejidir ve tam stratejileridir. Oyunun tepe noktası olması dolayısıyla da oyunun değeri 4 dür. Tepe Noktasız Oyunlar Bir m x n oyununun tepe noktası yoksa, özellikle m ve n nin büyük değerleri için oyunun çözümü zor olabilir. Genel olarak bir oyunun tepe noktası yoksa oyunu çözmeden önce mümkünse m ve n değerleri küçültülmesi yani, bazı stratejilerin devre dışı bırakılmaları uygun olur. Bu işlem ancak bazı özel stratejilerin belirlenmesiyle gerçekleşir. Boyut küçültmede kullanılabilecek iki çeşit strateji vardır: Eş stratejiler ve Üstünlük stratejileri 7

John Nash Lisans ve yüksek lisans eğitimini Carnegie Institute of Technology'de tamamladı. Princeton Üniversitesi'nde 21 yaşında hazırladığı doktora tezi, "Oyun Teorisi", ona uzun yıllar sonra, 1994'te Nobel Ekonomi Ödülünü kazandırdı. John von Neumann'ın oyun teorisindeki sorunları çözüp kullanılır hale getirdi. 30 yaşına kadar parlak fikirleri ve göze çarpan kişiliği sayesinde hızla yükselip matematik camiasının önde gelen isimlerinden biri oldu. MIT'te profesörlük yapmaya başladığında karısı Alicia Larde ile tanıştı. Çiftin bir oğlu oldu. John Nash soğuk savaş döneminde ordu adına şifre çözücü olarak çalışmıştır. Nash'ın önerisi: Bütün oyuncuların kendine göre en yüksek kazancı getirecek bir stratejisi var ama bu 'dominant strateji' oyundaki yegane oyuncu o olmadığı için uygulanamaz, o yüzden de bir 'denge' durumuna razı olunur. OPEC OPEC bir petrol fiyatı tespit etmiş. O fiyatı tutturmak için gerekli üretim kotalarını da ülkelere dağıtmış. Arz, talep ve fiyat birbiri ile tutarlı varsayalım. ülkelerden birinin üretimini kota üstüne çıkartmaya karar verir. Diğerleri kotaya sadık kalır : Eğer üretimini artıran ülke yeni fiyattan daha fazla petrol geliri elde ediyorsa piyasa Nash dengesinde değildir. Çünkü dengeden sapmadan kârlı çıkan üretici vardır. Üretimini arttıran ülkenin petrol geliri yeni fiyatla düşüyorsa, piyasa Nash dengesindedir. Çünkü bu durumda dengeyi bozma üreticilerin işine gelmemektedir. 8

Tutuklunun Açmazı (Mahkum Teoremi) Aynı suçtan ötürü iki kişi tutuklanır ve ayrı ayrı odalarda sorgulanır. Her tutukluya üç seçenek verilir: 1. İtiraf etmek, 2. Ötekini suçlamak, 3. Sessiz kalmak. Tutuklu açısından en iyi seçenek itiraf etmektir. Eğer öteki tutuklu da itiraf ederse, en azından çok ağır bir ceza almaktan kurtulacaktır, yok öteki sessiz kalırsa yegâne tanık olarak cezadan da kurtulabilecektir. Yani, itiraf 'baskın strateji'dir. Ama işe bakın ki, eğer birlikte olsalar, ya da işbirliği yapabilseler, her iki tutuklu da kendi iyilikleri için sessiz kalacaktı. Tutuklunun Açmazı (Mahkum Teoremi) işbirliksiz (non-cooperative) oyundaki baskın (dominant) strateji ile işbirlikli oyundaki baskın strateji birbirinden epey farklıydı. 'Tutuklunun açmazı' oyunu, Nash'in denge kavramıyla çelişiyordu. Çünkü Nash, her oyuncunun kendi en iyi stratejisini izleyeceğini, çünkü öteki oyuncuların da öyle yapacağını varsayar. Oysa oyun bunun illa ki böyle olmayacağını gösteriyordu. Güven telkin etmek Hareketleri kısıtla Otomatik ifa Yetki vermek Köprüleri yakmak İletişimi kesmek Getirileri küçült İtibar Salam taktiği Ekip çalışması Mantıksızlık Sözleşmeler Brinkmanship 9

BELİRSİZLİK ALTINDA KARAR VERME İyimserlik (maximax) Kötümserlik (maximin) Uzlaşma kriteri (criterion of realism) Eşolasılık kriteri (equally likelihood) Pişmanlık (minimax) KARAR TABLOSU / ÖDEMELER MATRİSİ OLAYLAR SEÇENEKLER Uzlaşı Mahkeme Büyük fabrika kurma 200.000-180.000 Küçük fabrika kurma 100.000-20.000 Yatırım yapmama 0 0 İYİMSERLİK (MAKSİMAKS) İyimserlik düzeyi (o) en büyük olan seçenek seçilir o k = m {o i } = m { n {v ij }} maks maks maks i1 i1 j1 OLAYLAR SEÇENEKLER Uzlaşı Mahkeme o i Büyük fabrika kurma 200-180 200 Küçük fabrika kurma 100-20 100 Yatırım yapmama 0 0 0 10

KÖTÜMSERLİK (MAKSİMİN) Güvenlik düzeyi (s) en büyük olan seçenek seçilir s k = m {s i } = m { n {v ij }} maks maks min i1 i1 j1 OLAYLAR SEÇENEKLER Uzlaşı Mahkeme s i Büyük fabrika kurma 200-180 -180 Küçük fabrika kurma 100-20 -20 Yatırım yapmama 0 0 0 UZLAŞMA (GERÇEKÇİLİK) KRİTERİ Hurwicz iyimserlik-kötümserlik indeksi (a) kullanılmasını önermiştir. İyimserlik ve güvenlik düzeylerinin ağırlıklı ortalaması en büyük olan seçenek seçilir m maks {a o i + (1 a) s i } 0 a 1 iken i1 OLAYLAR Uzlaşık SEÇENEKLER Uzlaşı Mahkeme değer Büyük fabrika kurma 200-180 380a-180 Küçük fabrika kurma 100-20 120a-20 Yatırım yapmama 0 0 0 a = 0.8 için değerler: 124, 76, 0 UZLAŞMA (GERÇEKÇİLİK) 120a 20 = 0 a = 0.1667 380a 180 = 120a 20 a = 0.6154 0 a 0.1667 Yatırım yapma 0.1667 a 0.6154 Küçük fabrika kur 0.6154 a 1 Büyük fabrika kur 11

EŞOLASILIK Laplace olaylar hakkında hiçbir şey bilmeme ile tüm olayların gerçekleşme olasılıklarının eşit olması nın eşdeğer olduğunu iddia etmiştir. Satır ortalaması (beklenen değeri) en büyük olan seçenek seçilir OLAYLAR Satır SEÇENEKLER Uzlaşı Mahkeme ortalaması Büyük fabrika kurma 200-180 10 Küçük fabrika kurma 100-20 40 Yatırım yapmama 0 0 0 PİŞMANLIK (MİNİMAKS) Savage pişmanlığı (fırsat kaybını) j olayının gerçek olay olması durumunda en iyi seçeneğin getirisi i seçeneğinin j olayı için getirisi arasındaki fark olarak tanımlamıştır. En kötü (en büyük) pişmanlığı en küçük olan seçenek seçilir pişmanlık değerleri OLAYLAR Satır SEÇENEKLER Uzlaşı Mahkeme enbüyüğü Büyük fabrika kurma 0 180 180 Küçük fabrika kurma 100 20 100 Yatırım yapmama 200 0 200 ÖRNEK İÇİN SONUÇLARIN ÖZETİ YÖNTEM KARAR Maksimaks Büyük fabrika kur Maksimin Yatırım yapma Uzlaşma a ya bağlı Eşolasılık Küçük fabrika kur Minimaks Küçük fabrika kur Uygun yöntem karar vericinin kişilik ve düşünce tarzına bağlıdır. 12

Thomas C. Schelling 37 Eşgüdüm ve odak noktaları Pazarlık ve taahhüt Kendi kendine taahhüt Micro güdüler ve makro davranışlar Eşgüdüm ve odak noktaları 38 Oyunculardan birisi karşı tarafın odak noktasını yakalayabilirse davranışlarını da anlayabilir. Okul içinde aradığınız arkadaşınızı nasıl bulursunuz? Taahhüt Öğrenci Vaktinde Geç Yumuşak 4,3 2,4 Öğretmen Sert 3,2 1,1 13

Pazarlık ve Taahhüt Pazarlık tarafları gönüllü olarak seçim özgürlüklerini kısıtlayabilirler. Böylece pazarlık güçlerini artırırlar. Oyun kuramı kişilerin böyle hamlelerini varsaymaz. Pazarlık ve Taahhüt Schelling soğuk savaş döneminde gerçek dünyayı bu yapıda analiz etmiştir. bir komutan ateşkes pazarlığı yaparken, en son geçtiği köprüyü havaya uçurur. Böylece geri dönüş seçeneğinden kendisi vaz geçer. Bu onun pazarlık gücünü artırır. Kendi kendine taahhüt - Vaat 42 Oyun taraflarından birisinin karşısındakinin onayı ya da gücü olmadan verdiği kararları uygulamasıdır. 14

Vaat Mc Donald s Ucuz (20) Pahalı (20) Ucuz (20) 288,288 360,216 Burger King Pahalı (20) 216,360 324,324 15