Kesikli Üniform Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli Üniform Dağılımı Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Negatif Binom Dağılımı Geometrik Dağılım Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı Kesikli Üniform Dağılımı Kesikli bir şans eğişkeni tanımlı oluğu tüm noktalara eşit olasılık eğerine sahip ise bir başka ifaeyle tanımlı oluğu eğerlerin hepsine olasılık fonksiyonun alığı eğer sabit ise bu kesikli şans eğişkeni üniform ağılımına uygunur. Üniform ağılımı gösteren bir şans eğişkeni k farklı noktaa tanımlı ise olasılık ağılımı; X ) k şekline ifae eilir.,,3...,k. Kesikli Üniform Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı k k E( ) ) i i i k Var () E E ( k )( k ) Var( ) = n k k(k )(k ) (k k k 6 4 k( k ) k k ) 3 Örnek: Hilesiz bir zar atılığına X şans eğişkeni ortaya çıkabilecek farklı urum sayısını ifae ettiğine göre X in olasılık ağılımını oluşturarak beklenen eğerini ve varyansını bulunuz. S = { /,,3,4,5,6 } Ortaya çıkan olaylar eşit olasılıklı olaylar şans eğişkeninin ağılımı k = 6 olan kesikli üniform ağılımına uygunur.,,3,4,5,6 X ) 6. 6 E( ) 3,5 (6 )(6 ) 35 Var ( ) 4

Bernoulli Dağılımı Bir şans eğişkeninin bernoulli ağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte sağlanması gerekliir. Bernoulli Deneyinin Varsayımları: bernoulli eneyinin varsayımlarının. Deneyler aynı koşullara tekrarlanabilirlik özelliğine sahip olmalıır.. Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu olması gerekliir. 3. Başarı olasılığı (p), eneyen eneye eğişmemekteir (Başarısızlık olasılığı q = -p ile gösterilir) 4. Denemeler birbirinen bağımsız olmalıır. 6 Örnekler: Bir fabrikaa üretilen bir ürünün hatalı veya sağlam olması, Bir maeni para atılığına üst yüze yazı veya tura gelmesi, Hilesiz bir zar atılığına zarın tek veya çift gelmesi, Bernoulli ağılışına X şans eğişkeni başarı urumu için, başarısızlık urumu için ise eğerini alır. S = { /, } Bernoulli eneyine ortaya çıkan sonuçlaran biri tanesi başarı urumu, iğeri ise başarısızlık olarak ifae eilir. Bernoulli şans eğişkeninin ağılımı ifae eilirken eneyin saece kez tekrarlanması gerekliir. 7 Bernoulli Dağılımının Olasılık Fonksiyonu; p X ) ( p),. m = E ( ) = p s = Var ( ) = p (-p) = pq 8

Örnek: Bir este iskambilen çekilen bir kağıın as olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı olarak ifae eiliği urum için olasılık fonksiyonunu oluşturunuz. = (as gelmemesi) = ( as gelmesi) S = { /, } X = ) = 48 / 5 X = ) = 4 / 5 X ) 4 5 48 5,. 9 Binom Dağılımı Birbirinen bağımsız n aet bernoulli eneyinin bir araya gelmesi sonucuna binom eneyi gerçekleşir. Binom eneyinin gerçekleşmesi için bernoulli eneyinin bütün varsayımlarının sağlanması gerekliir. Binom şans eğişkeni X, n aet enemeeki başarı sayısını ifae etmekteir. n enemee en az, en fazla n aet başarı gözlenebileceğinen S = { /,,,,n } olur. Binom Olasılık Fonksiyonunun Ele Eilmesi Gerçekleştirilen her bir Bernoulli eneyi birbirinen bağımsızır ve olasılık fonksiyonu olarak ifae eilmiş ii. Bernoulli eneyi n efa tekrarlanığı uruma toplam aet başarı olmasının olasılığı, aet başarı olasılığı (p) ile n - aet başarısızlık olasılığının (q=-p) çarpımını içermeliir. ) p.q, Başarı ve başarısızlıkların oluşum sırası yani n sıralama önemsiz ise C faklı şekile ortaya n çıktığı için ; n.p.( p) X ) olarak ele eilir. n,,,..., n. 3

Örnekler: Bir fabrikanın eposunan seçilen ürünen sinin hatalı olması, Bir maeni para 5 kez atılığına hiç tura gelmemesi, üst yüze yazı veya tura gelmesi, Hilesiz bir zar 4 kez atılığına zarın en çok kez çift gelmesi, Aritmetik Ortalama m Varyans s Binom Dağılımının Karakteristikleri E ( X ) np np( p) npq 3 4 Örnek: Bir işletmee üretilen ürünlerin % 6 sının hatalı oluğu bilinmekteir. Rasgele ve iaeli olarak seçilen 5 ürünen, a) tanesinin hatalı olmasının olasılığını, b) En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını hesaplayınız. p =,6 - p =,94 n = 5 a)p ( X = ) =? b)p ( X 4 ) =? 5 4 X ). (,6).(,94),3 P ( X 4 ) = P ( X = 4) + P ( X = 5 ) 5 4 5 5. (,6).(,94). (,6).(,94) 4 5 5 Örnek: Metal hilesiz bir para kez fırlatılıyor (n= p=q=/=.5) a)bir kez yazı gelmesi olasılığı!.9! p.,5.,5 (.5) (.5)!9! 9! 9 b) hiç yazı gelmemesi olasılığı p.,5.,5,5 c) en az kez yazı gelmesi olasılığı p p... p 4

p p p p.,5.,5.,5.,5 9.(.5) (.5) (.5) ( ) (.5) Negatif Binom (Pascal)Dağılımı Bernoulli eneyinin tüm varsayımları negatif binom ağılımı içine geçerliir. Binom ağılımına n enemee aet başarı olasılığı ile ilgilenilirken, negatif binom ağılımına ise şans eğişkeni (X), k ncı başarıyı ele einceye kaar yapılan eney sayısına karşılık gelir. Örnekler: Bir parayı 5 kez tura gelinceye kaar attığımıza 5 nci turayı ele ettiğimiz eneme sayısı, Bir basketbolcunun 3 sayılık atışlara ncu isabeti 8 sağlaması için gerekli olan atış sayısı. : eney sayısı k : başarı sayısı p : başarı olasılığı S = { / k, k+, k+, k+3 } 3. - 3.... k- k Negatif Binom Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı k E ) m p k( p) Var( ) p ( Binom ağılımını kullanarak - enemee k- aet başarı olasılığı hesaplanır ve nci enemeeki k ncı başarıyı ele etme olasılığı p ile bağımsız olaylar oluğunan çarpılarak aşağıaki olasılık fonksiyonu ele eilir. k k p p k, k, k,... X ) k. 9 5

k k p p k, k, k,... X ) k. Örnek: Bir kişinin hilesiz bir zarı kez atması sonucuna, ncu atışına 5 nci kez 6 gelmesi olasılığını hesaplayınız. p = / 6 - p = 5 / 6 = (eney sayısı) k = 5 (başarı sayısı) 5 X ; k 5).( ).( ) 5 6 6 5 5 Zarın kaçıncı kez atılması sonucu 5 nci kez 6 gelmesini beklersiniz? k 5 E( ) 3 p 6 Geometrik Dağılım Bernoulli eneyinin tüm varsayımları geometrik ağılım içine geçerliir. Negatif Binom ağılımının özel bir urumuur. k = oluğuna negatif binom ağılımı geometrik ağılımı olarak ifae eilir. Geometrik ağılım gösteren şans eğişkeni X, ilk başarıyı ele einceye kaar yapılan eney sayısını ifae eer. Örnekler: Bir parayı tura gelinceye kaar attığımıza tura gelmesi için yapılan atış sayısı, Bir işletmenin eposunan ilk hatalı ürünü bulana kaar alınan örnek sayısı. : eney sayısı p: başarı olasılığı Geometrik Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı S = { /,, 3, 4.. } Negatif Binom ağılımına k = alınığına; E( ) m p p Var ( ) p k p p X ) k k k, k, k,.... X ) p p p X ) p,,3,.... 3 4 6

Örnek: Bir avcı heefe isabet sağlayana kaar ateş etmekteir. Avcının heefi vurma olasılığı,75 oluğuna göre avcının heefi ilk kez 8 nci kez atış yaptığına isabet ettirmesinin olasılığını hesaplayınız. = 8 P ( X = 8) =? X ),75,75,,3.... 8,75,75,75, 5 7 X 8) Hipergeometrik Dağılım Varsayımları, n eneme benzer koşullara tekrarlanabilir. Her enemenin mümkün sonucu varır. Sonlu populasyonan iaesiz örnekleme yapılır. Örnekleme iaesiz oluğunan başarı olasılığı ( p ) eneyen eneye eğişir. 5 6 Hipergeometrik Dağılımın Olasılık Fonksiyonu n : örnek hacmi N : anakütle eleman sayısı B : populasyonaki başarı sayısı : örnekteki başarı sayısı Hipergeometrik Dağılımın Karakteristikleri E( ) n p p = B/N için N n Var ( ) np( p) N S = { /,,, 3,..,n } B N B n X ) N n,,,3..., n. 7 8 7

Örnek: Yeni açılan bir bankanın ilk müşterisi içine 6 tanesi mevuat hesabına sahiptir. İaesiz olarak rasgele seçilen 8 müşterien 5 tanesinin mevuat hesabına sahip olmasının olasılığı neir? N= B = 6 n = 8 = 5 n : örnek hacmi N : anakütle eleman sayısı B : populasyonaki başarı sayısı : örnekteki başarı sayısı 9 B N B n X ) N n N= B = 6 n = 8 = 5,,,3..., n. 6 6 5 8 5 PX ( 5) 8 3 Poisson Dağılımı Kesikli Şans eğişkenlerinin olasılık ağılımlarınan en önemlilerinen biri Poisson Dağılımıır. Günlük hayatta ve uygulamaa çok sayıa kullanım alanı bulunmaktaır. Ünlü Fransız matematikçisi Poisson tarafınan bulunmuştur. Belirli bir alan içerisine rasgele ağılan veya zaman içerisine rasgele gözlenen olayların olasılıklarının hesaplanabilmesi için çok kullanışlı bir Poisson Sürecinin Varsayımları. Belirlenen periyotta meyana gelen ortalama olay sayısı sabittir.. Herhangi bir zaman ilimine bir olayın meyana gelmesi bir önceki zaman ilimine meyana gelen olay sayısınan bağımsızır.(periyotların kesişimi olmaığı varsayımı ile) 3. Mümkün olabilecek en küçük zaman aralığına en fazla bir olay gerçekleşebilir. 4. Ortaya çıkan olay sayısı ile periyoun uzunluğu oğru orantılıır. moelir. 3 3 8

Örnekler Bir şehire bir aylık süre içerisine meyana gelen hırsızlık olayların sayısı, Bir telefon santraline k. içerisine gelen telefon çağrılarının sayısı, Bir kitap içineki baskı hatalarının sayısı, İstanbul a m ye üşen kişi sayısı, Ege Bölgesine 3 aylık süree 4, şietinen büyük olarak gerçekleşen eprem sayısı. 33 l Poisson Dağılımının Olasılık Fonksiyonu : belirlenen periyotta ortaya çıkan olay sayısı : ortaya çıkma olasılığı araştırılan olay sayısı S = { /,,, 3,.., } l e l X )!,,,... iger urumlara 34 Poisson Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı Beklenen Değer Varyans E() m l Var() l Beklenen eğeri ve varyansı birbirine eşit olan tek ağılıştır. 35 Örnek: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 akikaa ortalama olarak 4 müşteri gelmekteir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya, a) 5 akika içine müşteri gelmesi olasılığını, b)yarım saate en fazla müşteri gelmesi olasılığını, 4 e 4 4 a) l 4 P ( = ) =? e 4 4! 4 X ) 4 4! 4e b) 5 k a 4 müşteri gelirse, 3 k a 4 müşteri gelir. l 4 P ( > ) =? > ) = [=)+=)+=)] e 4 e! ÖDEV: saatte en çok müşteri gelmesinin olasılığını hesaplayınız.! 33e 4 36 9

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONLARI Üstel Dağılım Sürekli Üniform Dağılım Normal Dağılım 37 Üstel Dağılım Meyana gelen iki olay arasınaki geçen süre veya bir başka ifaeyle ilgilenilen olayın ilk efa ortaya çıkması için geçen sürenin ağılışıır. Örnek: Bir bankaa veznee yapılan işlemler arasınaki geçen süre, Bir taksi urağına gelen müşteriler arasınaki süre, Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların arasınaki geçen süre, Bir kumaşta iki aet okuma hatası arasınaki uzunluk (metre). 38 Belirli bir zaman aralığına mağazaya gelen müşteri sayılarının ağılışı Poisson Dağılımına uygunur. Bu müşterilerin mağazaya varış zamanları arasınaki geçen sürenin ağılımı a Üstel Dağılıma uyacaktır. Üstel Dağılımın parametresi b olmak üzere Üstel ve Poisson Dağılımlarının parametreleri arasına şu şekile bir ilişki varır. l b 39 Üstel Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu b : iki urumun gözlenmesi için gereken ortalama süre yaa ölçülebilir uzaklık. : iki urum arasına veya ilk urumun ortaya çıkması gereken süre yaa uzaklık. S = { / < < } f e b b, iger urumlara 4

Frekans Üstel Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı Beklenen Değer Varyans 3 4 X 5 6 7 8 E b Var b b = parametreli bir populasyonan alınan n = hacimlik bir örnek için oluşturulan histogram. 4 f Örnek: Bir taksi urağına bir saatlik zaman ilimi içerisine gelen taksilerin geliş sayısı Poisson Dağılışına uygun bir şekile gerçekleşmekteir. Durağa saatte ortalama 4 aet taksinin geliği biliniğine göre urağa gelen bir yolcunun en çok 5 akika beklemesi olasılığı neir? Saatte ( 6 akikaa ) 4 aet taksi geliyorsa, akikaa 4/6 aet taksi gelir. aet taksi gelmesi için gereken süre b =,5 k olur. P ( 5 ) =?, 5 e,5 5) 5,5 e, iger urumlara,5 5,5 HESAPLAMA KOLAYLIĞI!! a) e b e,5 a e 5,5 b e e 4 a b Sürekli Üniform Dağılımı a ve b gibi iki nokta arasınan bir sayı seçmek isteiğimize herhangi bir eğeri alabilecek şans eğişkeni uniform ağılışı göstermekteir. Sürekli üniform ağılımı ilgilenilen şans eğişkeninin olasılık fonksiyonu hakkına bir bilgiye sahip olunmaığına ve verilen aralık içerisine tanımlanan olayın eşit olasılıklarla ortaya çıkacağı varsayımı yapılığına kullanışlıır. 43 f Sürekli Uniform Dağılımının Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu E b a HESAPLAMA KOLAYLIĞI!! c c ) b a Beklenen Değer ve Varyans a b Var a b b a 44

Frekans b = ve a = 5 parametreli sürekli üniform ağılımı gösteren bir populasyonan n = hacimlik örnek için oluşturulan histogram. 5 Örnek: Bir emir-çelik fabrikasına üretilen çelik levhaların kalınlıklarının 5 ile mm arasına eğiştiği ve bunların sürekli uniform şans eğişkenine uygun oluğu bilinmekteir. Levha kalınlıkları 55 mm altına çıktığı zaman tekrar üretime göneriliğine göre bu ağılımın beklenen eğerini ve varyansını bulunuz ve üretim sürecine tekrar üretime gönerilen levhaların oranını bulunuz. 5 a) Bu ağılışın ortalama ve varyansı; E()=(5+)/ =75 mm Var()=(-5) / = 8.33 mm bulunur. 5 5 6 7 X 8 9 45 b) Üretime geri önürülen ürünlerin oranı ise; 5 < < 55 )= (55-5) / (-5) =, Ürünlerin % u üretime geri gönerilmekteir. 46 Sürekli ve kesikli şans eğişkenlerinin ağılımları birlikte ele alınığına istatistikte en önemli ağılım Normal ağılımır. NORMAL DAĞILIM Normal ağılım ilk olarak 733 te Moivre tarafınan p başarı olasılığı eğişmemek koşulu ile binom ağılımının limit şekli olarak ele eilmiştir. 774 te Laplace hipergeometrik ağılımını limit şekli olarak ele ettikten sonra 9. yüzyılın ilk yıllarına Gauss 'un katkılarıyla a normal ağılım istatistikte yerini almıştır. 47 48

Normal ağılımın ilk uygulamaları oğaa gerçekleşen olaylara karşı başarılı bir biçime uyum göstermiştir. Dağılımın göstermiş oluğu bu uygunluk aının Normal Dağılım olması sonucunu oğurmuştur. İstatistiksel yorumlamanın temelini oluşturan Normal Dağılım, bir çok rassal süreçlerin ağılımı olarak karşımıza çıkmaktaır. Normal ağılış kullanımının en önemli neenlerinen birie bazı varsayımların gerçekleşmesi haline kesikli ve sürekli bir çok şans eğişkeninin ağılımının normal ağılışa yaklaşım göstermesiir. Normal Dağılımın Özellikleri Çan eğrisi şeklineir. Simetrik bir ağılıştır. Normal Dağılımın parametreleri, E() m f( ) Var ( ) s 49 Ortalama=Mo=Meyan 5 Normal Dağılımın Olasılık Yoğunluk fonksiyonu e f ( ) s m s,, iger yerlere Parametre Değişikliklerinin Dağılımın Şekli Üzerineki Etkisi f( ) A C 3,459... e =,788 s = populasyon stanart sapması m = populasyon ortalaması B m m m A B C s s s A B C 5 5 3

f( ) Normal Dağılıma Olasılık Hesabı c ÖNEMLİ!!! Olasılık eğri altına kalan alana eşittir!!!! c ) f ( )? c ) f ( ) 53 Normal ağılım ortalama ve stanart sapma parametrelerinin eğişimi sonucu birbirinen farklı yapılar gösterir. f( ) Her ağılımın için olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanarak olasılık hesaplama güçlüğü olasılık eğerlerini içeren tablolar kullanma zorunluluğunu ortaya çıkarmıştır. Birbirinen farklı sonsuz sayıa normal ağılış olabileceği için olasılık hesaplamasına kullanmak üzere sonsuz sayıa tablo gerekliir. B A C 54 Stanart Normal Dağılım Stanart Normal Şans Değişkeni Olasılık hesaplamasınaki zorluktan olayı normal ağılış gösteren şans eğişkeni stanart normal önüştürülür. z m s X ~ N ( m, s ) Z ~ N (, ) Böylece tek bir olasılık tablosu kullanarak normal ağılış ile ilgili olasılık hesaplamaları yapılmış olur. Stanart normal ağılıma ortalama, varyans ise eğerini alır. f( ) s f(z ) s Stanart normal eğişken z ile gösterilir. 55 m m z 56 4

Stanart Normal Dağılım Tablosunu Kullanarak Olasılık Hesaplama f(z ) z )? z z ),343 57 58 f(z ) SİMETRİKLİK ÖZELLİĞİNDEN DOLAYI DAN EŞİT UZAKLIKTAKİ Z DEĞERLERİNİN İLE ARASINDAKİ KALAN ALANLARININ DEĞERLERİ BİRBİRİNE EŞİTTİR. z )? z a) a z ) z f(z ) z ),343,587 59 -a a z 6 5

f(z ) f(z ) z )?,56 z,95)? - z -,56 -,95 z z ) z ) z ) * z ) (,343),686,56 z,95),56 z ),56 z ),446,389,7 6 6 Normal Dağılımın Stanart Normal Dağılım Dönüşümü ( a X b)? P X ~ N ( m, s ) Z ~ N (, ) a m m b m a X b) P s s s z z ) f( ) a z b f(z ) Örnek: Bir işletmee üretilen viaların çaplarının uzunluğunun, ortalaması mm ve stanart sapması mm olan normal ağılıma uygun oluğu bilinmekteir. Buna göre rasgele seçilen bir vianın uzunluğunun 8,9mm en az olmasının olasılığını hesaplayınız. f(z ) X 8,9)? X ~ N (, 4 ) m 8,9 X 8,9) P z,55) s z,55),5,88,9 a m b z z a z b 63 64 -,55 z 6

Binom Dağılımının Poisson Dağılımına Yakınsaması X şans eğişkeni n ve p parametreli Binom Dağılımı göstermek üzere, n eneme sayısının büyük oluğu ayrıca p başarı olasılığının küçük oluğu urumlara ( tercihen np 5 ), şans eğişkeni ile ilgili olasılık hesaplamalarına kolaylık sağlaması açısınan Binom Dağılımı yerine Poisson Dağılımı kullanılır. Her iki ağılımın beklenen eğeri(ortalaması) birbirine eşitlenir ve buraan λ nın tahmini ele eilir. Binom Dağılımı Poisson Dağılımı E( ) np E() l 65 l np 66 Örnek: Bir sigorta şirketinin müşterilerinin trafik kazası sonucunu hayatını kaybetme olasılığı,3 ür. Sigorta şirketinin müşterilerinen kişilik bir örnek alınığına, a) 4 müşterinin, b) En az iki müşterinin trafik kazasına hayatını kaybetme olasılığın hesaplayınız. n = p =,3 np = 3 5 l np = (,3)= 3 a) P ( X = 4 ) =? 3 e 3 X 4) 4! 4 7 e 8 b) P ( X ) =? P ( X ) = [ P ( X = ) + P ( X = ) ] 3 Binom Dağılımının Normal Dağılımına Yakınsaması 3 e 3 X )! 3 e 3 4e! 3 67 68 7

X şans eğişkeni n ve p parametreli Binom Dağılımı göstermek üzere, n eneme sayısının büyük oluğu ayrıca p başarı olasılığının,5 eğerine yaklaşması sonucuna( tercihen np > 5 ), şans eğişkeni ile ilgili olasılık hesaplamalarına kolaylık sağlaması açısınan Binom Dağılımı yerine Normal Dağılım kullanılır. Normal Dağılımın parametreleri olan m ve s tahmin eilirken Binom Dağılımının beklenen eğer ve varyans formülleri ikkate alınır. Normal Dağılım Binom Dağılımı E( ) np E() m Var ( ) np( p) Var ( ) s s np( p) Süreklilik Düzeltmesi Binom Dağılımı kesikli, normal ağılım ise sürekli bir ağılım oluğunan olayı, binom ağılımını normal ağılıma yakınsaığı urumlar için olasılık hesaplamalarına süreklilik üzeltmesi kullanılması zorunluluğu varır. Kesikli bir şans eğişkeni gösteren ağılım sürekli bir ağılıma yakınsaığına tamsayı eğerleri sürekli bir eksene tanımlanır. m np 69 7 a X b) P a,5 X b,5 X a) P X a,5 X a) P X a,5 Örnek: Bir kampüste okuyan öğrencilerin % si sigara içmekteir. Öğrencileren 5 kişilik bir örnek alınığına, a) 4 an fazla kişinin sigara içme olasılığını, b) 3 kişinin sigara içme olasılığını hesaplayınız. n = 5 p =, np = 45 > 5 m np = 5(,)= 45 s np( p) 5(,)(,8) 6 a) P ( X 4) =? P ( X 39,5) =? 39,5 45 X 39,5) P z z,9),5,3,8 6 b) P ( X = 3) =? P ( 9,5 < X < 3,5) =? 9,5 45 3,5 45 9,5 X 3,5) P z,58 z,4) 6 6,4949,49,7 7 Poisson Dağılımının Normal Dağılımına Yakınsaması 7 8

X şans eğişkeni λ parametreli Poisson Dağılımı göstermek üzere, λ parametresinin büyük oluğu urumlara ( tercihen λ ), şans eğişkeni ile ilgili olasılık hesaplamalarına kolaylık sağlaması açısınan Poisson Dağılımı yerine Normal Dağılım kullanılır. Normal Dağılımın parametreleri olan m ve s tahmin eilirken Poisson Dağılımının beklenen eğer ve varyans formülleri ikkate alınır. Poisson Dağılımı E() l Var() l Normal Dağılım E() m Var ( ) s m l 73,4974,3869,5 74 s l Örnek: Bir havaalanınan saatlik süre içerisine ortalama olarak 49 aet uçak kalkmaktaır. saatlik süre içerisine a) 6 an fazla uçak kalkmasının olasılığını, b) 3 ile 4 aet arasına bir uçak kalkmasının olasılığını hesaplayınız. λ = 49 m = λ = 49 s l 49 7 a) P ( X > 6) =? P ( X > 59,5) =? 59,5 49 X 59,5) P z z,5),5,433,668 7 b) P ( 3 < X < 4) =? P (9,5 < X < 4,5) =? 9,5 49 4,5 49 9,5 X 4,5) P z,79 z,) 7 7 9