A = i I{B i : B i S} A = x A{B x A : B x S}

Bölüm 4 TOPOLOJ TABANI 4.1 TOPOLOJ TABANI Tanm 4.1.1. Bir S P(X) ailesi verilsin. S ye ait kümelerin her hangi bir bile³imine e³it olan bütün kümelerin olu³turdu u aileye S nin üretti i (do urdu u) aile diyecek ye bunu S ile gösterece iz. S S oldu u apaçktr. Önerme 4.1.1. A S olmas için gerekli ve yeterli ko³ul her x A için x B A olacak ³ekilde bir B S olmasdr. s p a t: A S ise A kümesi S nin bir alt-ailesinin bile³imidir; yani A = i I{B i : B i S} dir. Doloysyla her x A için x B i A olacak ³ekilde bir B i S vardr. Tersine olarak, her x A için x B x A olacak ³ekilde bir B x S varsa A = x A{B x A : B x S} oldu undan A S olacaktr. Önerme 4.1.2. B ve S iki aile ise B = S olmas için gerekli ve yeterli ko³ullar ³unlardr: (a) Her S S ve her x S için x B S olacak ³ekilde bir B B vardr; 39

40 BÖLÜM 4. TOPOLOJ TABANI (b) Her B B ve her y B için y S B olacak ³ekilde bir S S vardr. spat: (a) ile (b) sa lanyor olsun ve bir A B verilsin x A ise, önceki önerme gere ince, x B A olacak ³ekilde bir B B vardr. (b) gere ince, x S B olacak ³ekilde bir S S yardr. O halde, önceki önerme gere ince, A S olacaktr, ki bu B S olmas demektir. Benzer yolla S B olaca da gösterilebilir; yani S = B olur. Tersine olarak S = B olsun ve bir B B verilsin. B B = S oldu undan önceki önerme gere ince, (b) sa lanacaktr. (a) nin sa land da benzer yolla gösterilir. Tanm 4.1.2. (X, T ) bir topolojik uzay olsun ve bir B P(X) ailesi verilsin. E er B = T ise, B ailesine T -topolojisinin bir tabandr, denilir. Bu durumda, B ailesi T -topolojisini üretiyor diyece iz. Tanm 4.1.3. E er T nun saylabilir bir taban varsa, (X, T ) uzay kinci Saylabilme Aksiyomunu sa lyor denilir. imdi verilen bir B ailesinin bir T topolojisine ne zaman bir taban olabilece i sorusunu irdeleyelim. Önerme 4.1.3. B P(X) ise (X,B ) n bir topolojik uzay olmas için gerekli ve yeterli ko³ullar ³unlardr: (a) X = {B : B B} ; (b) Her A,B B ve her x A B ye kar³lk x C A B olacak ³ekilde bir C B var. spat: B ailesi X kümesi üzerinde bir topoloji olsun. X B oldu undan (a) nn sa land n görmek kolaydr. Öte yandan, B B oldu undan A,B B açk kümelerdir, dolaysyla A B açktr; yani A B B dr. Artk (b) nin sa land Önerme 4.1.1 den görülür. Tersine olarak (a) ile (b) sa lanyor olsun. B ailesine ait her hangi bir alt-ailenin bile³imi, B n tanm gere ince, B ye ait bir alt-ailenin bile³imine e³it olacaktr. Dolaysyla, bu bile³im B ailesine aittir; yani [T3] aksiyomu sa lanr.

4.1. TOPOLOJ TABANI 41 Öte yandan U,V B ve x U V ise, önceki önermeden, x A U ve x B V olacak ³ekilde A,B B kümeleri varolacaktr, (b) gere ince x C A B U V olacak ³ekilde bir C B vardr. O halde Önerme 4.1.1 den U V B olacaktr; yani [T2] aksiyomu da sa lanr. B ailesinin bo³ alt-ailesinin bile³iminin; yani bo³ kümenin B ailesine ait oldu u açktr. Ayrca X kümesinin B ailesine ait oldu u (a) dan bellidir. uhalde [Tl] aksiyomu da sa lanr; böylece (X,B ) bir topolojik uzay olur. Önerme 4.1.4. kinci Saylabilme Aksiyomunu sa layan her (X, T ) topolojik uzay ayrlabilir bir uzaydr. spat: B ailesi T topolojisinin saylabilir bir taban olsun. B nin bo³ olmayan her kümesinden bir nokta seçerek saylabilir, bir A kümesi olu³turalm. Ā = X oldu unu göstermek istiyoruz. Olmayana ergi yöntemini kullanaca z. E er iste imiz var olmasayd bir x (Ā) noktas varolacakt. Bu durumda (Ā) T, yani (Ā) B oldu undan, ilk önerme gere ince x B (Ā) (4.1) olacak ³ekilde bir B B var olurdu. Öte yandan, olu³umu gere ince A kümesi B ye ait bir noktay kapsayacaktr ve bu (4.1) ile çeli³ir. O halde kabulümüz yanl³tr; yani (Ā) = olur, ki bu Ā = X demektir ve böylece (X, T ) uzaynn ayrlabilirli i ortaya çkar. Tanm 4.1.4. (X, T ) bir topolojik uzay olsun. E er, X kümesinin her açk örtüsünün saylabilir bir alt-örtüsü varsa, (X, T ) uzayna bir Lindelöf uzaydr, denilir. Önerme 4.1.5 (Lindelöf). (X, T ) kinci Saylabilme Aksiyomunu sa layan bir uzay ve A X ise A nn her açk örtüsünün saylabilir bir alt örtüsü vardr. spat: A = {A λ : λ Λ} ailesi A nn bir açk örtüsü ve B = {B k : k N} ailesi T nun saylabilir bir taban olsun. Buna göre, A λ ΛA λ X = k=1 B n (4.2)

42 BÖLÜM 4. TOPOLOJ TABANI yazabiliriz. Açk kümeler tabana ait kümelerin bile³imi oldu undan, her k için B k A λk olacak ³ekilde bir tek A λk A kümesi seçebiliriz. Böylece, F = {A λk A : B k A λk (k = 1,2,3,...)} (4.3) ailesini tanmlayalm. F ailesi A ailesinin saylabilir bir alt ailesidir. (4.3) den k=1 A λk B k = X (4.4) k=1 çkar. (4.2) ve (4.4) bir arada dü³ünülürse, A λk A (4.5) k=1 olur. O halde, {A λk : k N} A ailesi A nn saylabilir bir alt örtüsü olacaktr. Sonuç 4.1.1. kinci Saylabilme Aksiyomunu sa layan bir topolojik uzay bir Lindelöf uzaydr. Yukardaki önermede A = X almak ispat için yetecektir. Önerme 4.1.6. (X, T ) kinci Saylabilme Aksiyomunu sa layan bir uzay ve A X saylamayan bir alt küme ise, A kümesinin y lma noktalarndan en az birisi A ya aittir. spat: Olmayana ergi yöntemini kullanaca z. B saylabilir bir taban olsun. E er A A = olsayd, her x A için (T x \ {x}) A = olacak ³ekilde, x noktasn içeren bir T x T varolacakt. Bu durumda, B taban oldu undan, B x A = x olacak ³ekilde bir T x B x B varolurdu. Böylece, x B x dönü³ümü A dan B içine bire-bir (BB) olurdu. Bu durum, B saylabilir oldu undan, A nn da saylabilir olmasn gerektirirdi. Bu çeli³ki olamayaca ndan A à olmaldr. Verilen bir kümeler ailesinin bir topoloji üretmesi için gerekli ve yeterli ko³ullar Önerme 4.1.3 de görmü³tük. Her aile bu ko³ullar sa lamayaca na göre, verilen bir ailenin her zaman bir topoloji üretmesi beklenemez. Ancak, bu ailenin üretgen yaplabilmesi olanaklarn ara³tirabiliriz. Önerme 4.1.7. η bo³ olmayan her hangi bir kümeler ailesi ise, η ya ait kümelerin sonlu arakesitlerinden olu³an B ailesi X = {S : S η} kümesi üzerinde bir topoloji üretir.

4.1. TOPOLOJ TABANI 43 spat: A,B B ise A B B oldu undan istenen ³ey sa lanr. Önerme 4.1.3 gere ince, Tanm 4.1.5. (X, T ) bir topolojik uzay olsun. E er X kümesinin alt kümelerinden olu³an bir η ailesinin sonlu arakesitlerinin olu³turdu u aile T topolojisini üretiyorsa η ya T topolojisinin bir alt tabandr denilir. Önceki önerme gere ince, bo³ olmayan her aile bir topolojinin alt tabandr, diyebiliriz. Bir topolojinin birden çok taban ve alt taban var olabilir. Tanm 4.1.6. R gerçel saylar kümesini göstersin, a,b R olmak üzere (a,b) = {x R : a < x < b} (4.6) kümesine gerçel eksen üzerinde bir açk aralk denilir. Önerme 4.1.8. Gerçel eksen üzerindeki bütün açk aralklardan olu³an R = {(a,b) : a,b R} (4.7) ailesi, R üzerinde bir topoloji tabandr. spat: Önerme 4.1.3 den kolayca görülür. Tanm 4.1.7. R açk aralklar ailesini taban kabul eden R topolojisine salt (mutlak) topoloji denilir. Buna göre, (R,R ) uzayna, gerçel saylar üzerindeki salt topoloji (mutlak topoloji) uzay diyece iz. Uyar 4.1.1. Gösterimde yalnl sa lamak için, ço unlukla R salt topolojisini R) simgesiyle gösterece iz. Böylece, gerçel eksen üzerindeki salt topoloji uzayn (R, R) (4.8) ile gösterece iz. Örnek 4.1.1. Gerçel eksen üzerinde κ = {(a, ), (,b) : a,b R} diye tanmlanan yar-sonsuz açk aralklarn ailesini dü³ünelim. Kolayca görülece i gibi κ nn sonlu arakesitleri ailesi, R yi kapsar, ama ayn topolojiyi, yani salt (mutlak) topolojiyi üretir. O halde, κ, gerçel saylarn salt topolojisinin bir alt-tabandr.

44 BÖLÜM 4. TOPOLOJ TABANI Tanm 4.1.8 (Üst limit topolojisi). R üzerinde (a,b] = {x R : a < x b} kümesine açk-kapal aralk denilir. U = {(a,b] : a,b R,a < b} ailesi R üzerinde bir topoloji üretir. Bu topoloji, salt topolojiden farkldr ve üst limit topolojisi adn alr. Tanm 4.1.9 (Alt limit topolojisi). R üzerinde [a,b) = {x R : a x < b} kapal-açk aralklar ailesi alt-limit topolojisini üretir. Örnek 4.1.2. R 2 düzleminde a³a daki ailelerden herbiri ayn topolojiyi üretirler. Buna düzlemin salt (mutlak) topolojisi diyoruz: 1. Kenarlar koordinat eksenlerine paralel olan bütün açk dikdörtgenlerin ailesi, 2. Düzlemdeki bütün çemberlerin içleri ailesi, 3. Düzlemdeki bütün e³kenar üçgenlerin içleri ailesi, 4. Kenarlar eksenlere paralel olan bütün karelerin içleri ailesi. Bu ailelerin birer topoloji ürettikleri Önerme 4.1.3 den; bu topolojilerin ayn olduklar ise Önerme 4.1.2 den kolayca görülebilir. Örnek 4.1.3. (X, A) ayrk bir topolojik uzay ise B = {{x} : x X} ailesi A ayrk topolojisi için bir tabandr. Örnek 4.1.4. Düzlemde yatay ve dü³ey bütün açk ³eritler ailesi, mutlak topoloji için bir alt tabandr. Önerme 4.1.9. Her açk aralk sonsuz çoklukta rasyonel say içerir.

4.2. KAPALI KÜMELER ÇIN TABAN 45 spat: (a, b) açk bir aralk olsun. Bu aralk içinde rasyonel bir q saysnn varl n göstermek yetecektir. Çünkü, benzer dü³ünü³le, (a, q) içinde de bir ba³ka rasyonel say varolacaktr. Böylece, tüme varm yöntemiyle, (a, b) aral içinde sonsuz çoklukta rasyonel saynn varoldu u gösterilebilir. x = b a diyelim. Gerçel saylar Ar³imet sral oldu undan 1 n < x olacak biçimde do al bir n says vardr. Öte yandan b > 0 varsaymakla genellikten bir³ey yitirmeyiz. Çünkü, böyle de ilse a > 0 olmak üzere ( b, a) aral n dü³ünebiliriz. Gene Ar³imet özeli inden b k n olacak biçimde do al bir k says vardr. Bu e³itsizli i sa layan en küçük do al say h olsun. Bu durumda (h 1) n < b h n olacaktr. imdi a < (h 1)/n oldu unu gösterirsek ispat bitecektir. E er böyle olmasayd b a = x 1 n olurdu ki bu bir çeli³kidir. Teorem 4.1.1. Üzerindeki salt topolojiye göre gerçel eksen ayrlabilir bir topolojik uzaydr. spat: Önerme 2.5.5 uyarnca, rasyonel saylar kümesinin R içinde yo un oldu u yukardaki önermeden ve mutlak topoloji tanmndan çkar. leride kullanaca mz bu önemli sonucu ayr bir teorem olarak ifade edelim: Teorem 4.1.2. Mutlak topolojiye göre rasyonel saylar kümesi gerçel saylar kümesi içinde yo undur. Benzer dü³ünü³le, irrasyonel satlarn da yo un oldu u görülür. 4.2 Kapal Kümeler çin Taban Bir topolojiyi belirlemek için açk kümelerini belirlemenin yetmesi gibi, kapal kümelerinin belirlenmesi de yeterlidir. Dolaysyla, açk kümeler için ortaya konan taban kavramnn benzeri kapal kümeler için de dü³ünülebilir. Bu, basit bir e³leklik (dualite) olgusudur.

46 BÖLÜM 4. TOPOLOJ TABANI Tanm 4.2.1. (X, T ) topolojik uzaynda kapal kümeler için taban öyle bir F ailesidir ki, kapal her F kümesi F ailesine ait baz kümelerin arakesitine e³ittir. Bunu simgelerle ³öyle ifade edebiliriz: Her kapal F kümesi için F = ı I{F ı : F ı F} (4.9) olacak biçimde bir {F ı : ı I} F alt ailesi varsa F ailesi kapal kümeler için bir tabandr. Önerme 4.2.1. (X, T ) topolojik uzaynda F ailesinin kapal kümeler için bir taban olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, her kapal A kümesi ve her x / A için x / F ve A F olacak ³ekilde bir F F kümesinin var olmasdr. spat: Gerekli i: (X, T ) topolojik uzaynda kapal A kümesi ile x / A noktas verilsin. F ailesi kapal kümeler için bir taban ise A = ı I F ı olacaktr. O halde, öyle bir j I indisi vardr ki x / F j olur. Yeterli i: (X, T ) topolojik uzaynda kapal A kümesi ile x / A noktas verildi inde x / F ve A F ko³ulunu sa layan bütün F F kümelerinin arakesiti A kümesidir; yani, A = {F : x / F ve A F} olur. 4.3 KARMA PROBLEMLER 1. (X, T ) bir topolojik uzay olsun. T nedir? T ailesi T topolojisi için bir taban mdr? 2. Bir Lindelöf uzaynda kapal bir kümenin her açk örtüsünün, saylabilir bir alt örtüsü oldu unu gösteriniz.

4.3. KARMA PROBLEMLER 47 3. Ayrlabilir bir uzayn ikinci saylabilme aksiyomunu (bkz. 4.1.3)sa lamasnn gerekmedi ini bir örnekle gösteriniz. 4. Mutlak topolojiye göre Z tam saylar kümesinin içini ve kaplamn bulunuz Z kümesi R uzaynn hiçbir yerinde yo un olabilir mi? 5. R üzerinde σ = {(p,q) : p,q Q} ailesini, yani her iki ucu rasyonel olan bütün açk aralklarn ailesini dü³ünelim. σ R = {(a,b) : a,b R} dr. Acaba σ = R = R midir? 6. ξ = {[p,q] : p,q Q, p < q} ailesinin R üzerinde bir topoloji taban olmad n gösteriniz. 7. Φ = {[a,b] : a Q, b R\Q} ailesinin R üzerinde bir topoloji taban oldu unu gösteriniz. 8. D = {(x,y) R 2 : a x < b, c y < d, a,b,c,d R} ailesinin R 2 düzleminde bir topoloji taban oldu unu gösteriniz. 9. V = {[p,q] : p,q Q, p q} ailesinin R üzerinde bir topoloji taban oldu unu ve (6) ile ξ ailesinin bu topoloji için bir alt taban oldu unu gösteriniz. 10. Açk kümelerden olu³an ve topolojik uzayn bir tabann kapsayan her aile yine bu topolojinin bir tabandr. Gösteriniz. 11. Bir ailenin farkl iki topolojiye alt taban olamayaca n gösteriniz.