İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ix BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 1.1. Tanımlar 2 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Çözümü (İntegrali) 5 1.3. Başlangıç Değer ve Sınır Değer Problemleri 7 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9 2.1. Birinci Mertebeden İki Boyutlu Lineer Kısmi Diferensiyel Denklemler 10 Bölüm Problemleri 14 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 16 Ek Problemler 30 2.2. Birinci Mertebeden Çok Boyutlu Lineer Kısmi Diferensiyel Denklemler 31 Bölüm Problemleri 34 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 36 Ek Problemler 54 2.3. Birinci Mertebeden Kuazilineer Kısmi Diferensiyel Denklemler 55 Bölüm Problemleri 57 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 59 Ek Problemler 75 iii
BÖLÜM 3 KARAKTERİSTİKLER 77 3.1. İki Boyutlu İkinci Mertebeden Kısmi Diferensiyel Denklemlerin Karakteristikleri 78 3.1.1. Hiperbolik Denklem 81 3.1.2. Parabolik Denklem 82 3.1.3. Eliptik Denklem 82 3.1.4. Sabit Katsayılı Lineer Denklemlerin Kanonik Formları 83 Bölüm Problemleri 85 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 87 Ek Problemler 106 3.2. Çok Boyutlu İkinci Mertebeden Kısmi Diferensiyel Denklemlerin Karakteristikleri 107 Bölüm Problemleri 110 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 111 Ek Problemler 118 3.3. İki Boyutlu Birinci Mertebeden Kısmi Diferensiyel Denklem Sisteminin Karakteristikleri 119 Bölüm Problemleri 124 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 125 Ek Problemler 133 BÖLÜM 4 HİPERBOLİK TİP DENKLEMLER 135 4.1. Bir Boyutlu Dalga Denkleminin Başlangıç Değer Problemi İçin D Alembert Formülü 136 4.1.1. Sonsuz Aralıkta Homojen Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer Problemi 136 4.1.2. Sonsuz Aralıkta Homojen Olmayan Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer 138 4.1.3. Yarı Sonsuz Aralıkta Homojen Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer Problemi 140 4.1.4. Sınırlı Aralıkta Homojen Dalga Denklemi İçin Başlangıç Sınır Değer Problemi 143 Bölüm Problemleri 145 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 147 Ek Problemler 159 4.2. Bir Boyutlu Dalga Denkleminin Sınırlı Aralıkta Başlangıç Değer Problemi İçin Fourier Yöntemi 161 4.2.1. Sturm-Liouville Problemi 161 4.2.2. Bir Boyutlu Homojen Dalga Denkleminin Sınırlı Aralıkta Başlangıç Değer Problemi İçin Fourier Yöntemi 164
4.2.3. Bir Boyutlu Homojen Olmayan Dalga Denkleminin Sınırlı Aralıkta Başlangıç Değer Problemi İçin Fourier Yöntemi 168 Bölüm Problemleri 170 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 172 Ek Problemler 197 4.3. Goursat Problemi 199 Bölüm Problemleri 203 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 204 Ek Problemler 208 4.4. Çok Boyutlu Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer Problemi 209 4.4.1. Çok Boyutlu Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer Probleminin Çözümünün Tekliği ve Enerji Yöntemi 209 4.4.2. Çok Boyutlu Homojen Dalga Denkleminin Başlangıç Değer Probleminin Çözümü İçin Poisson Formülü 211 4.4.3. Üç Boyutlu Homojen Olmayan Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer Probleminin Çözümü İçin Kirchhoff Formülü 214 Bölüm Problemleri 217 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 218 Ek Problemler 235 BÖLÜM 5 PARABOLİK TİP DENKLEMLER 237 5.1. Bir Boyutlu Isı Denklemi, Maksimum Prensibi ve Çözümün Tekliği 238 5.1.1. Bir Boyutlu Isı Denklemi 238 5.1.2. Maksimum Prensibi 238 5.1.3. Çözümün Tekliği 240 Bölüm Problemleri 241 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 243 Ek Problemler 246 5.2. Bir Boyutlu Başlangıç Sınır Değer Problemi İçin Fourier Seri Yöntemi 247 5.2.1. Homojen Isı Denklemi İçin Homojen Sınır Koşullu Başlangıç-Sınır Değer Problemi 247 5.2.2. Green Fonksiyonu 250 5.2.3. Homojen Olmayan Isı Denklemi İçin Homojen Başlangıç ve Homojen Sınır Değer Problemi 252 5.2.4. Homojen Olmayan Isı Denklemi İçin Homojen Olmayan Başlangıç ve Homojen Sınır Değer Problemi 253 5.2.5. Homojen Olmayan Isı Denklemi İçin Homojen Olmayan Başlangıç-Sınır Değer Problemi 254 Bölüm Problemleri 255 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 257 Ek Problemler 295 5.3. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Başlangıç Değer Problemi 299 5.3.1. Fourier İntegral Dönüşümü Yöntemi 299 5.3.2. Laplace İntegral Dönüşümü Yöntemi 302
Bölüm Problemleri 308 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 310 Ek Problemler 321 5.4. Çok Boyutlu Isı Denklemi 323 5.4.1. Çok Boyutlu Parabolik Denklemler İçin Fourier İntegral Dönüşümü Yöntemi 323 5.4.2. Çok Boyutlu Parabolik Denklemler İçin Cauchy Problemi ve Poisson Formülü 323 5.4.3. Çok Boyutlu Parabolik Denklemler İçin Fourier Seri Yöntemi 324 Bölüm Problemleri 328 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 329 Ek Problemler 335 5.5. Başlangıç Şartları Olmayan Parabolik Denklemler 337 Bölüm Problemleri 339 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 339 Ek Problemler 342 5.6. Sabit Katsayılı Parabolik Denklemler için Operatör Yöntemi 343 Bölüm Problemleri 344 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 344 Ek Problemler 349 BÖLÜM 6 ELİPTİK TİP DENKLEMLER 351 6.1. Laplace Denklemi, Temel Çözüm ve Gösterilim Teoremi 352 6.1.1. Laplace Denklemi ve Sınır Problemleri 352 6.1.2. Temel çözüm 353 6.1.3. Green Formülleri 355 6.1.4. Gösterilim Teoremi 356 6.1.5. Harmonik Fonksiyonun Özellikleri 358 Bölüm Problemleri 362 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 365 Ek Problemler 376 6.2. Laplace Operatörü İçin Green Fonksiyonu 377 6.2.1. Green Fonksiyonu 377 6.2.2. Green Fonksiyonun Özellikleri 379 Bölüm Problemleri 381 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 382 Ek Problemler 388 6.3. Potansiyel 389 Bölüm Problemleri 393 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 394 Ek Problemler 398 6.4. Düzlemde Laplace Denkleminin İç Sınır Problemleri İçin Fourier Seri Yöntemi 399
6.4.1. Kutupsal Koordinatlarda Laplace Denkleminin İç Sınır Problemleri İçin Fourier Seri Yöntemi 399 6.4.2. Kutupsal Koordinatlarda Laplace Denkleminin Dış Sınır Problemleri İçin Fourier Seri yöntemi 402 6.4.3. Dikdörtgende Laplace Denklemin Dirichlet Problemi İçin Fourier Seri Yöntemi 404 Bölüm Problemleri 407 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 408 Ek Problemler 415 6.5. Üç Boyutlu Yüzeyde Laplace Denkleminin Sınır Problemleri İçin Fourier Seri Yöntemi 417 6.5.1. Dikdörtgen Paralelyüzde Laplace Denkleminin Sınır Problemleri İçin Fourier Seri Yöntemi 417 6.5.2. Silindirik Koordinat Sisteminde Laplace Denkleminin Sınır Problemleri İçin Fourier Seri Yöntemi 419 6.5.2.1. Silindirik Koordinat Sistemi ve Bessel Fonksiyonları 419 6.5.2.2. Silindirin Yan Yüzey Alanı Üzerinde Homojen Sınır Şartı 421 6.5.2.3. Silindirin Alt ve Üst Sınırlarında Homojen Dirichlet Şartı 423 6.5.2.4. Silindir İçin Homojen Olmayan Dirichlet Problemi 424 6.5.2.5. Silindirin Alt ve Üst Sınırlarında Homojen Neumann Şartı 425 6.5.3. Küresel Koordinatlarda Laplace Denkleminin Sınır Problemleri İçin Fourier Seri Yöntemi 427 6.5.3.1. Küresel Koordinatlarda Laplace Denklemi ve Legendre Polinomu 426 6.5.3.2. Topun İçi İçin Sınır Problemleri 428 6.5.3.3. Topun Dışı İçin Sınır Problemleri 429 Bölüm Problemleri 430 Bölüm Problemlerinin Çözümleri 431 Ek Problemler 437 KAYNAKLAR 439 DİZİN 441 TABLOLAR 445 Trigonometrik Formülleri Tablosu 445 İntegral Tablosu 446 Laplace Dönüşüm Tablosu 447 Fourier Dönüşüm Tablosu 448
ÖNSÖZ Bu kitap, üniversitelerimizde okutulan Kısmi Diferensiyel Denklemler derslerinde yararlanılabilecek bir kaynak olarak hazırlanmıştır. Bu alanda yazılmış mevcut kaynaklar detaylı teorik bilgiler içermesine karşın, çözülmüş problemler bakımından yeterli zenginliğe sahip değildir. Bu kitapta, ihtiyaç duyulan teorik bilgilere yeterli ölçüde yer verildikten sonra, çok sayıda çözümlü problemlerle konunun pekiştirilmesi sağlanmaktadır. Böylece lisans ve lisansüstü öğrencilerinin fazla sayıda uygulama yaparak, konuların zorluğuna ilişkin ön yargılarından kurtulmaları hedeflenmektedir. Çözümlerin anlaşılır bir dil ve pedagojik bir yaklaşımla sunulması için özen gösterilmiş, işlem aşamaları arasındaki geçişler detaylı olarak ifade edilmiştir. Bu özellikleri dolayısıyla, alanındaki önemli bir ihtiyacı karşılayacağına inanıyoruz. İlk bölümünde temel kavramların tanıtıldığı bu çalışma, altı ana bölümden oluşmaktadır. İkinci bölümde, I. mertebeden lineer ve kuazilineer kısmi diferensiyel denklemler incelenmektedir. Üçüncü bölümde, II. mertebeden kısmi diferensiyel denklemlerin ve I. mertebeden kısmi diferensiyel denklem sistemlerinin karakteristikleri anlatılmaktadır. Ayrıca kanonik formda yazılan diferensiyel denklemlerin hiperbolik, parabolik veya eliptik olarak sınıflandırılması yapılmaktadır. Sadece hiperbolik denklemlere ayrılan dördüncü bölümde, hiperbolik tipteki lineer kısmi diferensiyel diferensiyel denklemlerin çözümü Fourier seri (değişkenlerine ayırma), D Alembert ve Kirchhoff yöntemleri ile verilmektedir. Metot olarak, Fourier seri (değişkenlerine ayırma), Laplace ve Fourier integral dönüşüm yöntemlerinin kullanıldığı beşinci bölümde, parabolik denklemlerin çözümleri ele alınmaktadır. Altıncı bölümde ise, eliptik tipteki lineer kısmi diferensiyel denklemler konu edilmektedir. Farklı sınır şartlarına sahip eliptik denklemlerin çözümleri; Green fonksiyonları yardımıyla ve Fourier seri yöntemiyle, Kartezyen, kutupsal ve silindirik koordinatlarda ayrı ayrı irdelenmektedir. İncelenmek istenen bir diferensiyel denklemin (çözümü varsa); analitik, yaklaşık, nümerik ve kalitatif çözüm yöntemlerinden söz edilebilir. Bu kitap, kısmi diferensiyel denklemlerin analitik çözümlerinin elde edilmesi için kullanılan yöntemlerin tanıtılmasına ve çok sayıda uygulamaya yer verilerek konunun pekiştirilmesine hasredilmiştir. Analitik çözümler elde edilirken, yaygın olarak kullanılan klasik yöntemlerin hemen hepsine değinilmiştir. Hatırlatmak gerekir ki, bu kitaptaki konuların anlaşılması için, altyapı olarak temel matematik (özellikle integral) ve adi diferensiyel denklemler bilgilerine sahip olunmalıdır. İlk baskı olması dolayısıyla, yazım ve baskı hatalarının kaçınılmaz olduğunu takdir edersiniz. Bu hataları minimize etmek için özenle incelememize rağmen gözden kaçanlar olabilir. Gördükleri eksiklik ve hataları bildiren okuyucularımıza, şimdiden minnet ve şükranlarımızı iletiyoruz. Bu geri bildirimler, izleyen baskıların daha hatasız bir şekilde çıkması için önemli katkılar sağlayacaktır. Editörler ix