ÇUKUROVA ÜİVERSİTESİ FE BİİMERİ ESTİTÜSÜ YÜKSEK İSAS TEZİ YURTSEVE PRİMİTİF EEMAAR VE BİR BAĞITII İE CEBİRERİİ İZOMORFİZMERİ MATEMATİK AABİİM DAI ADAA007
ÇUKUROVA ÜİVERSİTESİ FE BİİMERİ ESTİTÜSÜ PRİMİTİF EEMAAR VE BİR BAĞATII İE CEBİRERİİ İZOMORFİZMERİ YURTSEVE YÜKSEK İSAS TEZİ MATEMATİK AABİİM DAI B Te 7 / 09 / 007 Trhde Aşğıdk Jür Üeler Trfıd Orlğ / Oçoklğ İle Kl Edlmşr. İm: İm: İm: Yrd. Doç. Dr. El AYDI Prof. Dr. me EKİCİ Yrd. Doç. Dr. Ers KIRA DAIŞMA ÜYE ÜYE B Te Esümü Memk Alm Dlıd Hırlmışır. Kod o: Prof. Dr. A ERTUÇ Esü Müdürü İm e Mühür o: B ede kllıl ögü e şk kk pıl ldrşler çelge şekl e fooğrflrı kk göserlmede kllımı 5846 sılı Fkr e S Eserler Kdk hükümlere dr.
ÖZ YÜKSEK İSAS TEZİ PRİMİTİF EEMAAR VE BİR BAĞITII İE CEBİRERİİ İZOMORFİZMERİ YURTSEVE ÇUKUROVA ÜİVERSİTESİ FE BİİMERİ ESTİTÜSÜ MATEMATİK AABİİM DAI Dışm: Yrd.Doç.Dr. El AYDI Yılı : 007 Sf: 38 Jür : Prof.Dr. me EKİCİ Yrd.Doç.Dr. El AYDI Yrd.Doç.Dr. Ers KIRA r K sm üerde seres üreeç kümes A ol r seres e er ols. sıfırd frklı r elemı e de rfıd ürele del olmk üere e er seres olmsı ç gerek e eer koşl ı prmf olmsıdır. Arı olmk üere e ölüm erler omorfk olk şeklde e elemlrı erlmşr. Bl rlke e erler omorfk ke olk şeklde r oomorfm olmğı göserlmşr. Ahr Kelmeler: Seres e Cerler Prmf Elem Bölüm Cer Oomorfm I
ABSTARCT MS THESIS PRIMITIVE EEMETS AD O ISOMORPHISM OF İE AGEBRAS WITH OE DEFIIG REATIO YURTSEVE DEPARTMET OF MATHEMATICS ISTITUTE OF ATURA AD APPIEDS SCIECES UIVERSITY OF ÇOKUROVA Dışm: Ass.Prof.Dr. El AYDI Yılı : 007 Pges:38 Jr : Prof.Dr. me EKİCİ Yrd.Doç.Dr. El AYDI Yrd.Doç.Dr. Ers KIRA e e free e lger oer feld K wh he se A of free geerors. For eer oero eleme of le e he del of geered he eleme. The e lger s free f d ol f s prme eleme of he e lger. d e we osr wo elemes d sh h he qoe lger re somorph. Also we show h here s o omorphsm of sh h Ke Words: Free e Algers Prme Eleme Qoe Alger Aomorphsm II
TEŞEKKÜR B çlışmı hırlmsı sırsıd lg e erüelerle e dıl çlışmı her şmsıd rdımlrıı esrgemee değerl mlrıı ırrk çlışmı mmlmsıı sğl lgs e kşlğle örek ldığım sgı değer dışmım Yrd.Doç. Dr. El AYDI sos eşekkürlerm srım. Arı değerl hom Prof. Dr. me EKİCİ e e üm Memk Bölümü kdemk persoele çlışmı olşmsıd rdımlrıı esrgemedkler ç çok eşekkür ederm. Bgüe kdr desekler esrgemee her m ımd ol segl leme eşekkürlerm srım. III
İÇİDEKİER SAYFA ÖZ..I ABSTRACT.....II TEŞEKKÜR III İÇİDEKİER... IV. GİRİŞ. TEME TAIM e TEOREMER...3.. Temel Ypılr 3.. Seres e Cerler..8.3. Seres e Cerler Oomorfmler..4. Eresel Eelopg Cer..4 3. SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI..6 4. BİR BAĞITII İE CEBİRERİİ İZOMORFİZMERİ.3 KAYAKAR...36 ÖZGEÇMİŞ...38 IV
.GİRİŞ YURTSEVE.Grş r seres e er ols. olmk üere eğer elemı r seres üreeç kümes rfıd çerlors r prmf elemı der. Prmf elemlr seres e erlerde so deree öemldrler. Çlışmmıı üçüü ölümüde seres e erlerde prmf elemlrl lgl pılmış çlışmlr değlmşr. (G.P.Kk970) de 0 ke rfıd ürele del olmk üere e er r seres er mdr? sors ep rmışır. er seres olmsı ç gerek e eer koşl ı prmf elemı olmsıdır fdes doğrlğ kılmışır. P.M.Coh(Coh964) rfıd sol rklı r seres e er üm oomorfmler gr oomorfmler rfıd üreldğ göserlmşr. Am eorem öellkle lgormk prolemler çöümler ç dh g ol dğer r spı (G.PKk970) rfıd erlmşr. B ölümde er l Sol rklı r seres e er oomorfmler er oomorfm gr ürer e ı seres e er olmsı ç gerek e eer şr ı e er prmf elemı olmsıdır fdeler (W.Mgs A.Krros D.Solr966) kıd grp eorsde le fdelerdr. Teorem 3..4 ü spıdk lgorm r ğıılı r e er seres olp-olmdığı prolem K sm üeredek ersel deklem ssem çöümü proleme drger. Çlışmmıı dördüü ölümüde se r ğıılı e erler oomorfmlere er erlmşr. Br ğıılı grplr ç (M.Cool Perowsk97.) rfıd örekler erlmşr. Dh sor (Brer976) kşerl eşdeğer olm ğıılr le r ğıılı omorfk grplrı r sos sers olşrmşr. Seres e erler ç eer soç (Kk970) de elde edlmşr. (Shplr e Y00) de
.GİRİŞ YURTSEVE eer so rkı ol seres rleşmel erler ç de geçerl oldğ gösermşr. sol üreeçl e er ols. e sırsıl e rfıd ürele deller olmk üere e omorfk olk şeklde e elemlrı örek erlmşr. Arı e erler omorfk ke olk şeklde r oomorfm olmğı göserlmşr. (V.shplrA.A.MkhleU.U.Umre004)
.TEME TAIM VE TEOREMER YURTSEVE.TEME TAIM e TEOREMER: B kısımd rleşmel erler e erler seres e erler le lgl emel ım e eoremler ereeğ. B çlışmmı o ks elrlmedkçe erler mmıı r K sm üerde kl edeeğ...temel Ypılr Tım..: A r ekör ı ols. m: A A A leer r döüşüm olmk üere m A klse r er der. m ere ğı. Brd m e A üerde r çrpım der. A r ekör ı oldğd l lrıd hsedelr. B A A ı r l ı ols. Eğer her B ç B olors B e A ı r l er der. Tım..: A r er ols. Eğer her A ç olors A rleşmel(sosf) er der. Örek..: V r ekör ı ols. V de V e ol üm leer döüşümler kümes Ed V le göserr. Ed V kümes r ekör ı olp her Ed V ç V olmk üere olrk ımllım. Ed V çrpıml rleşmel r erdr. Örek..: M K K sm üerdek pdek mrsler kümes olmk üere M K kümes le mrs çrpımı şlemle rleşmel r erdr. Her leer döüşüme r mrs krşılık gere döüşüm r omorfm olp Ed V M K dır. 3
.TEME TAIM VE TEOREMER YURTSEVE Tım..3: r er ols. Eğer şğıdk koşllr sğlıor se e r e er der. : Her ç 0 : Her ç 0 ( e Jo ödeşlğ der.) Arı her dolısıl ç 0 oldğd 0 e elde edlr. B koşl komüflk koşl olp koşl her ç sğlğıd e 0 olp eğer sm krkersğ de frklı se 0 olr e koşl koşl dekr. koşl ğlı olrk Jo ödeşlğ şğıdk g ıllr: 0 0 0 Soç olrk r e er ke olmk üere oldğd r e er sosf(rleşmel) olm r erdr. Asosflğ egellee Jo ödeşlğdr. Bd sor e er er çrpımıı her ç le gösereeğ e çrpım le komüörü (rke çrpımı) deeğ. Örek..3: Ed V ekör ı üerde her Ed V ç döüşümüü olrk ımllım. Ed V çrpımı le r e erdr. Çükü: : Her Ed V ç 0 dır : Her Ed V ç 4
.TEME TAIM VE TEOREMER YURTSEVE dır. 0 O hlde Ed V rke çrpımı le r e erdr. B e ere leer döüşümler er der e gl V le göserlr. Örek..4: K sm üerdek mrsler M K ıı ele llım. M K üerde çrpımıı A B M K ç A B A B B A olrk ımlrsk e gl K le göserlr. M K r e er olr. B e ere mrs e er der Örek..5: 3 R ıd çrpım şlem şğıdk g ımllım. 00 0 0 3 00 rm ekörler e A B 3 R olmk üere A B de e e e 3 olrk ımllım. 3 R ekör ı çrpıml(ekörel çrpım) r e erdr. Tım..4: K üerde r e er ols. Eğer M r l er e M M se M e r del der e M le göserlr. e erlerdek öellğde dolı eğer M r del se M M e M M olp r e erde r sol del ı md r sğ del oldğ elde eder. 5
.TEME TAIM VE TEOREMER YURTSEVE Tım..5: K üerde r e er e M ols. M ölüm er M M : le ımlrı. M dek oplm e çrpm şlemler M M M M M M olrk ımllım. M r del olp şlemler ımlıdır e M şlemler lıd kplıdır. M M M M olp M M sıfır elemıdır. M Jo ödeşlğ sğldığı d göserlelr. Bölee M r e er olr e ere ölüm er der. o..: A r sosf er ols. A ı kllrk r e er şğıdk şeklde elde edelr: A üerde her A ç çrpımıı ımllım. A çrpıml r e erdr. B e er er A r sosf er olmk üere erdr. A e e A le göserr. Her e A e formdk r e er l o..: Br e er kllrk sosf r er elde edlelr: r e er ols. Her ç d : döüşümüü her ç d olrk ımllım. B döüşüme -rfıd elrlee djo döüşüm der. Eğer hg e erde çlışıldığı ell se ere sdee d ılır. d gl V de rm döüşüm e d : rfıd doğrl l er le d : kümes çere e küçük l er d le göserelm. B drmd d sosf erdr. 6
.TEME TAIM VE TEOREMER YURTSEVE Tım..6: e M Eğer : M leer döüşümü her ç ı K sm üerde k e er ols. olors e r e homomorfm der. Eğer rer e öre se omorfmdr. de e ol r omorfme de r oomorfm der. Örek..6: Çok öeml homomorfmlerde rs djo homomorfmdr. r e er ols. d : gl döüşümü her ç d ımllım. e çrpımıı leerlk öellğde d döüşümü her leerdr. Ye ı edele olrk d döüşümü de leerdr. Her ç ç d d d d d oldğ sğlrk d döüşümüü r homomorfm oldğ göserelr. Aşğıdk eorem spı (Grff 000) de llr. Teorem..: e M ı K sm üerde k e er e : M r homomorfm ols. O m şğıdkler doğrdr.. M çek e çek. H K e K H se K H K H 3. H K K se H H K H K K e H K H H H K dır. 7
.TEME TAIM VE TEOREMER YURTSEVE.. Seres e Cerler Tım..: herhg r küme F r e er e : F r döüşüm ols. Her B e er e her : B döüşümü ç olk şeklde r ek : F B e homomorfm rs F çfe üerde seres e er der. üerdek seres e er şğıdk şeklde ş edlr. Her pof m sısı ç kümes şğıdk g ımlır: p p p M ols. M ç p q e p q olk şeklde p e q m sılrı rdır. p q ols. O m p q dek leşelerde rdr. p p de e ol kok jekso lıdk görüüsüü le göserelm. Bölee M ç çrpımı krıdk g ımlsı. p olk şekldek p m sısı ı lğ der e l le göserlr. Ulğ ol elemlr ç l l e l l olmk üere ılır. l l l l dr. K r sm ols. K üerde ı M ol r ekör ı M dek elemlrı K -leer komsolrıd olşr. M dek çrpm ekör 8
.TEME TAIM VE TEOREMER YURTSEVE ıı mmı geşlelelr. Bölee K üerde sol ol olm e rleşmel olm seres r er elde edlmş olr. B ere delm. A del ols. şğıdk formdk üü elemlrı rfıd ürele r Q J O m F r seres üreeç kümes der. ere kıs F rı. A üerde seres e erdr. e F ç F ş edldğ küme ell se F Tım..: Br H M Hll kümes şğıdk şeklde ımlır;. H e e r m sırlm erlmş ols.. H M e olk şekldek elemlrıı çers. 3. H M m m... ç ımlmış e lğ kor r sırlm erlmş ols. Y M e l l se lım. Aı lk ol elemlrı sedğm şeklde sırllım. O m 3 ç H M şekldek elemlrı çerr. Brd e k H M k H M 3 H M H M H M H delm. O m H H kümes F r ıdır. 9
.TEME TAIM VE TEOREMER YURTSEVE H H H 3 Kümelere Hll kümeler der. H Hll ı der. H ı d F Tım..3: K r sm e r küme ols. dek hrfler w... k 0 şekldek r sol dse r kelme der. k W de kümesdek elemlrı çrpımıl olş kelmeler kümes ols. A le ı W ol seres K modülü göserelm. A dk çrpım W kümes A ı l rı gr e A ı er pk şeklde ek ürlü elrler. W e oş kelme le göserleekr. B drmd A seres üreeç kümes ol e rm elemı shp r seres rleşmel erdr. Şmd oş olm kümes üerdek r seres e er düşüelm. A d üerdek seres rleşmel er ols. Komüör şlemle A ı A le göserle r e er oldğ lor. Seres e erler eresellk öellğde : rm döüşümü : A homomorfme geşlelelr. jekf olp A er rfıd ürele r seres e erdr. O hlde A ı r l ere omorf olp A olrk düşüülelr. (Bhr987) Grplr eorsde le eoremlerde rsde else-shreer rfıd spl r seres gr her l gr d seres oldğ gösere eoremdr. B eer ol soç seres e erler ç de elde edlmşr. Br seres e er her l er seres oldğ A.I.Shrsho (Shrsho953) rfıd göserlmşr. Arı eorem spı (Bhr987) de de llr. Tım..4: r e er ols A : I elemlrıı r les ols. I üerde krl seres e ere f I delm. : olk 0
.TEME TAIM VE TEOREMER YURTSEVE şeklde f I d çe ol r e homorfm rs e öre se A r üreeç kümes der. Eğer jekf se seres e erdr e A seres üreeç kümesdr. Eğer A sol r küme se e sol ürelmş e er der. B ım göre seres e er k üreeç kümes krdles ıdır. F r seres üreeç kümes krdlese F rkı der. Tım..5: F... kümes rfıd ürele seres e er ols. Hll ıı elemlrı regüler kelmeler... şekldek r 3 k kelmee r mooml e moomllerde olş r polom e polom der. Tım..6: rfıd ürele r seres e er e Y ols. Eğer Y üreğ l er r seres üreeç kümes se Y kümese ğımsı küme der. Dğer r fde le eğer Y elemlrı rsıd sıfırd frklı r ğıı oks Y ğımsı r kümedr. Tım..7: kümes rfıd A rleşmel er üerdek le lk fokso l e üksek dereel momller oplmıı göserelm. A ç le l fokso göre çdek e üük lkl elemı lğ deree der e A ç ı çerdğ e deg le göserlr. l fokso göre çdek e üksek dereel moomle ı ledg(e üksek dereel) erm der e le göserlr. se homojedr. Tım..8: Y ols. her Y ç elemı Y kümes rfıd ürele l ere değlse Y kümese drgemş küme der. Aşğıdk eorem spı (Kk 99) rfıd erlmşr. Teorem..: her drgemş l kümes ğımsıdır.
.TEME TAIM VE TEOREMER YURTSEVE Tım..9: kümes rfıd seresçe ürele e er ols. elem sısı rkı der e rk le göserr..4. Seres e Cerler Oomorfmler rfıd ürele seres e er ols. Tım.3.: I r ds kümes e Y : I herhg r l kümes ols. Aşğıdk döüşümüe r döüşümü der. : 0 0 f... p... p 0 I 0 I \ 0 Brd f... p r e polomdr. H ' Hll ı olmk üere ç K e h H olmk üere h şekldek r elem r e polomdr. h ler her re r mooml der. Y e ı Y k l kümes e ı : Y Y r döüşümü ols. Y seres üreeç kümes se döüşümü r oomorfmdr. Şmd sol rklı olmsı drmd herhg r oomorfm sol dımd elde edleleeğ gösere eorem erelm. Teorem.3.: her oomorfm kümese rdışık olrk döüşümler glmsıl elde edlr. Teorem spı (Coh964) e llr. Y sol rklı r seres e er her oomorfm sol sıd döüşümü glrk olşrllr. B ede sol üreeçl olmsıdır. Örek.3.: rfıd ürele seres e er ols.
.TEME TAIM VE TEOREMER YURTSEVE : olrk ıml döüşümü ele llım. d e e f delm e şğıdk döüşümü gllım. : d d e e d f olmk üere d e f le d e d kümeler er ç üreeç kümelerdr. Aı md şğıdk eoremle rsıdk ğı elrledğ de söleelr. döüşümler üreeç kümeler Teorem.3.: sol r kümes rfıd ürele r seres e er ols. Eğer Y r seres üreeç kümes se Y kümes r üreeç kümese dekr. Brd deklğ lmı Y döüşümler le r seres üreeç kümesde elde edlelr olmsıdır. Soç olrk r Y seres üreeç kümes kümese dek oldğ söleelr. B Y ~ le gösereeğ. B eorem spı d (Coh964) e lşıllr. Örek.3.: seres üreeç kümes ol seres e er ols. : döüşümüü gllım. 3 olmk üere ~ ~ ~ 3 elde edlr. ~ ~ 3 ~ dr. 3
.TEME TAIM VE TEOREMER YURTSEVE Tım.3.3: Y oş olm r küme e... m ç 0 0 ols.... m ke olk şeklde r oomorfm rs olk şeklde Y r oomorfm rdır. elemlrı oomorfm lıd dekr oomorfm lıd deklğe sl deklğ der..4 Eresel Eelopg Cer Tım.4.: F r e er ols. Aşğıdk koşllrı sğlmsı drmd rm elemlı e rleşmel U F ere F eresel eelopg er der.. F de U F e kok homomorfm dele r : F U F homomorfm rdır.. K sm üerdek rm elemlı her B rleşmel er e her : F B homomorfm ç olk şeklde r ek : U F homomorfm rdır. B F B U F F üerde r seres e er se rfıd ürele seres sosf(rleşmel) er F eresel eelopg erdr. Seres erler eresel öellğ edele kümes rfıd ürele A seres sosf er eresel eelopg erdr. Y U A dr. : A kok döüşümü rm döüşümüü geşlemes ol r homomorfmdr. 4
.TEME TAIM VE TEOREMER YURTSEVE Eğer R r del se I A de R çere e küçük del olmk üere A I eresel eelopg erdr. R Tım.4.: M değşmel r grp ols. Aşğıdk koşllrı sğlmsı drmd M' e r sol K modül der. Her K e M ç. M. 3. 4. 5.. Teorem.4.(Pore-Brkhoff-W 993): K üerde r seres e er ols. Eğer r seres K modül e E sırlı r ı se o m : U kok döüşümü jekf olp U e e e... e e e... e formdk moomller rfıd ürele r seres K modüldür. 5
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE 3. SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI A seres üreeç kümes le K sm üerde r seres e er ols. olmk üere eğer elemı seres üreeçler r kümes rfıd çerlor se r prmf elemı der. her sıfır olm elemı = er krşılık gerelm. üreeçler... e ğıısı = 0 ol e erdr. B ölümde ek ğıılı e er r seres e er mdr? sors eıı rğı. er seres e er olmsı ç gerek e eer koşl ı prmf elemı olmsıdır fdes doğrlğ gösereeğ. Teorem 3..4 ü spı emel sm üerde ersel deklemler r ssem ş emek ç er erle r elemı ç erle r lgorm elrr. B ssem çöüme shpse r prmf elemdır. Dğer hllerde değldr. Sol ürele e er üü oomorfmler gr ımlıp lgormk prolemler çöümü ç eorem3.. şk r spıı ereeğ. K sm üerde r seres e er e A =... er seres üreeçler kümes ols. < j ke > j olk şeklde A kümes sırllım. Tım 3..: F üerde seres e er ols. kümese leer r sırlm ermş ollım. elemlrıı lğ ol regüler kelmeler olrk smledrelm. Ulğ de küçük ol kelmeler sırlmış oldğm kl edelm. O m lğ ol r sğlıors r regüler kelme der. ) e regüler kelmelerdr ) ) se dr w kelmese şğıdk koşllrı 6
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE er üü elemlrıı... üreeçler üerdek regüler kelmeler leer oplmlrı formd ılmış oldğ rslr. le =...... seres üreeçler sıllr kümes le K sm üerde seres e er göserelm. Ykrıdk g < j ke > j e er üü elemlrıı... k... regüler kelmeler leer oplmı olrk lr. Eğer f... k e... k se f...... k k le f... k elemıı göserelm. f... k f... k ı şııısı der. ç deg le elemıı derees gösereeğ(y ı fdesdek e regüler kelme lğ ksedor). elemıı e üük dereel homoje leşee ı e üksek(üük) dereel kısmı der e le göserlr.... 0 e K şeklde ke r regüler kelme e d sor gele oplmdk regüler kelmeler d sölük sırlmsı göre dh küçük ol regüler kelmeler leer komsolrıd med gelr. elemıı ledg erm olp le gösereeğ. regüler kelmesdek preler kldırdığımı m kelme de le gösereeğ. ı rleşmel şııısı(ssoe rrer) der İdd 3.. (A.I.Shrsho953 ): Eğer elemlrıı W = I kümes ğımsı değlse r elemıı e üksek dereel prçsı 0 0 I \ 0 kümes rfıd ürele l ere r. 7
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE İdd 3..(A.I.Shrsho96): elemı dele se elemıı e üksek dereel erm rleşmel şııısı elemıı rleşmel şııısıı r l kelme g çerr. Eğer se dır. İdd 3..3: Br sol ürelmş seres e er Hopfdır. ( her ö ölüm ere omorfk değldr.). B dd lpoelğ geellemş r sodr e r geel eorem (A.I.Ml se 960) rfıd splmışır. İdd 3..3 üreeçler kümes seres üreeçler kümes lmıddır. Tım 3..: ; I r l kümes ols. = I \ 0 = 0 o + g j j p K 0 e g I \ 0 kümes r polom olmk üere ; I kümes : I döüşümü - döüşümü de dldırılır. Tım 3..3: g g j... jp elemıı g... p şııısı - döüşümüü şııısı de dldırılır e spp le göserlr. Tım 3..4: ; I küme rfıd ürele B l er seres üreeçler kümes se ; I kümes r - döüşümüe B l er r oomorfm krşılık gelr. B oomorfm - oomorfm de dldırılır. 8
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE W =... elemlrıı r kümes ols. W : W le W kümes elemlrıı e üksek dereel kısmıı kümes ımllım. l w deg A e deg 0 0 emm 3..: W üreeçler r sol kümes ols. E çok l w kdr döüşümler glmsı le W kümes her r elemıı derees e çok ol W kümese döüşürülelr. İsp: W de dh fl dereel elemlrı çers ks hlde kı çıkır. W ğımsı ols. B r çelşk oldğ gösereeğ. Hpoede dolı W kümes er ürer. B edele şğıdk ğıılr doğrdr: f r dereel ermler çermes. j j j + f... =... dr f...... frklı oldğ gösereeğ. kümes elemlrıı e r sıfırd Büü elemlrı sıfır olmsı drmd eşlğde e üksek dereel ermler krşılşırırsk W kümes leer ğımlı oldğ d her... k elemlrı sde ılleeğ elde eder.... 0 ols. 0 f 0... elemıı f... s f 0 g k k... olrk llım e g k... d k dereel f ı homoje ermdr. d 0... d s dr. 9
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE Açıkır k her g k... elemı... de r polomdr.y g k...... h... s f 0 hk k h... k... 0 k... s... elemıı e üksek dereel kısmı d s f 0 oldğd h s... dr. W kümes hpoede ğımsıdır. Fk 0 0 j j j + f 0... eşlğde sol kısım dereee shpr. B üde h s... elemı j kümes üerde eer ermlere shpr d W leer ğımlıdır. Ye çelşkdr. İdd 3.. de j 0 ı ı elemlrı W \ j 0 kümes le ürele l ere r. j 0 j 0 g polom çde görümee r üreeç olmk üere j = g... ols. = j j 0 j 0 - g... şekldek döüşümü l W sısıı küçülerek her üree derees e pr dolısı le l W e küçük değer olr. Açıklm 3.. : W =... er üreeçler kümes ols. deg A... ke... W mksml leer ğımsı l kümesdr. Açıkır k e döüşümler le W kümes... 0...0 kümese döüşürülelr. 0 ke ımllım : eşlğ gö öüe llım e döüşümler 0
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE Brdk döüşümler ;... 0... 0... 0... 0 emm3.. kııd e so çıklmd seres üreeçler her W kümes döüşümler le... kümese döüşürülelr. Teorem 3..(P.M.Coh964): Sol rklı r seres e erler oomorfmler er oomorfm gr ürer. Tım 3..5: Br seres e er elemı eğer seres üreeçler kümes rfıd çerlors r prmf elemı der. Teorem 3..: ı seres e er olmsı ç gerek e eer şr ı e er prmf elemı olmsıdır. İspı eerllk kısmı çıkır. Fk gerekllk kısmıı plmem ç şğıdk öermee hımı rdır. Öerme 3..: ols. de e deller çkışırs le leer ğımlıdır. İsp : Eğer e de e r sıfır se soç çıkır. e de hç rs sıfır olmdığıı kl edelm. B drmd e üksek dereel ermler ~ e ~ sıfırd frklıdır. İdd3.. de oldğd kelmes kelmes l kelme g çerr.( e çkışır ).
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE B öellklerde ~ = ~ olrk elde eder. e üksek dereel kısmı ~ d küçükür. Ak e dd3.. de elemı elemıı l kelme g çerr. O hlde ~ ~ ~ dır. Brd ~ ~ e olr. Teorem rsımı gereğe e er seresr. olmk üere er o dm le göserelm. dm oldğ görmek koldır İdd3..3 e ı rkı de üük değldr. Bl erer ı rkı eşr e d e... g e seres üreeçl kümes rdır. prmf oldğd ı... seres üreeç kümese mmllr.... Sp... dr. emm 3.. de e Açıklm 3.. e göre... rd... döüşümler le... 0 kümese döüşürülelr. dek elemlrıd seçelm e... elemlrıı ögörüüler... döüşümler kümee gllım. seres üreeçler... kümes elde eder. h : doğl epmorfm le ler lere döüşürüldü.
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE... 0. Bölee e oldğd = dr. gö öüe lırsk seres e erdr..omorfm eoremde e seres oldğd dd3..3 e göre seres üreeçler edr Bölee 0 lr e = olr. Öerme3.. de elemıdır. olp r prmf emm 3..: d d dereel her prmf elemı... seres üreeç kümesde lr e deg A d... dır. İsp: Verle prmf elemıı çere seres üreeçler üü kümeler gö öüe llım. B kümelerde ç deg A d e ç W0... deg A d olmk üere e küçük w0 l ı ereek şekldek... kümes seçelm. Eğer = se lemm sğlır. e klım. ke elemlrı dğer j rfıd ürele l ere r. Bl erer emm 3.. spıd elemlrı... le ürele l ere r. g... r dereede ermler çermeke elemı 3
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE = + g... şekldedr. eşlğde e üksek dereel ermler krşılşırlım ; Eğer... elemlrıı ılrı g... ı rgümlrıd med gelors emm 3.. spıd oldğ g İdd 3.. e göre... rsıd r çelşk elde eder.... elemlrı ı seeple sıfır olm ksılrı de lmlr. : W0 W =... deg A d döüşümü glrsk sp p rgümlrı rsıd... lmlr. ere kollık ols de ğı. Şmd drm ollr : ürele l ere r. elemlrı W kümes kl elemlrı rfıd = j j j + g... W döüşümüle W =......... kümese döüşürürü. W kümese ers döüşümü gldığımıd... lmlr. sp p rgümlrı rsıd l W l W 0 olk şeklde çere seres üreeçler W......... kümes elde eder. B d W 0 ı lıışı le çelşr. 4
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE ke elemlrıı hçr W kl elemlrı rfıd ürele l ere değldr. emm3.. le... 0 elemlrıı rs 0 llr W kl elemlrıı üreğ l ere r. B elemı W \ 0 kümes elemlrı sde fdesde... görüme. l W l W ke : W W döüşümü glrsk e k drm ollr. Drm e prelel drm sol sıd glml olşlr. Drm e prelel drm W 0 seçm le çelşke drgeelr. Bölee lemmı spı mmlmış olr. Öerme 3..: W =... üreeçler sol kümes m deg A = d d ols. l W sısıı lk e deg g d A olk şeklde r sp p g... döüşümü rdır. İsp: üerde rm olm e l W sılrıı l W kümes r döüşümü ols. emm 3.. de W kümes g r ds ç g r döüşüm rdır. : + g...... ols. Eğer deg g d se öerme sğlır. deg g d ç... elemlrı rsıd rl olm r ğıı elde eder. O hlde l W l : + g... 3... 3 r döüşümü rdır. Eğer deg g d se öerme sğlır. Aks hlde 3 3 sp p 3 ü rgümlrı rsıd olmk şeklde r 3 döüşümü lr. Soç deg sp d döüşümüü p olşrr e deg g d dr. + g : döüşümüü lr. 5
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE Şmd A kümesde ere döüşümüü... ke : =... olrk lım. W =... kümes gö öüe llım. d = m deg A e elrl olm ksı ols. s d de küçük lkl e j kümes üerdek mümkü ol üü regüler kelmelerde r ke g... = s şeklde ımllım. = g...... ıldığıd (A.I.Shrsho959) e k lgormı kllrk k elemıı çrpımıı ı sde m ol kllrk üü s...... elemlrı r ı sde ıllr. eşlğ K sm üerde leer deklem ssem le değşrlelr. f j... = w j j... k : w j dek regüler kelmeler ksılrıdır. Eğer deklem ssem... çöümüe shpse W =... kümesde W =... kümese geçelr. Brd = g...... dr. Eğer dek deklem ssem rsıs elemı ı sırı glrı. Eğer her ç sseme eer ol deklem ssem rsıs döüşümü r oomorfme geşleleme. Eğer ı deklem ssemler r çöüme shpse W kümese geçer e l W l W olr. Sod döüşümlerle l W k sısıı lmğımı W k kümes elde eder. Eğer W k r dereel e leer ğımsı elemd olşor se döüşümü r oomorfme geşlelelr. 6
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE Teorem 3..3: seres üreeçler :...... döüşümüü r oomorfme geşlelelr olp olmdığıı elrlee r lgorm rdır. Açıklm 3..: Beer r öem le kümesde B seres üreeçler kümese geçlelr. B l er üreeçler kef sol r Şmd şğıdk öellkler le üreeçler r W kümes ş edelm. W =... sol r küme m deg A = d emm 3.. e öerme 3.. de pıı W =....0... 0 d şllr. l şıııı derees d olr. W k sısıı l k döüşümüü kllımı le A=... seres e er üreeçler şlgıç kümesd. j 0 ke j = ols. j j... Açık olrk dereel her seres kümes j ksılrıı g r seçm ç formddır. B K sm kef elemı ke = + j j j fdes gö öüe llım. emm 3.. de derees ol her prmf elem formddır. e ı g seçm ç. l = ç = l l 7
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE l... = + l l l j j j lım. j = j 0 ke j j 3 4... emm 3.. e Öerme 3.. e göre seres üreeçler kef r kümes formddır.(elemlrıı derees ). W =... e elemlrıı derees d ol seres üreeçler kef r kümes W d =... formd oldğ rslım. d d M m le seres üreeçler m ol r seres e erde derees m ol moomller olşrdğ modülü rkıı göserelm. Küçük lkl kelme küçük dsl olk şeklde s s s M m ds e öüe llım.... m de küçük eş lkl regüler kelmeler gö Olşrdğm pıdk ksılrı sısıı hesplmk ç W s formülüü klllr. = d + d M d d 4 s... d... d lım. (A.I.Shrsho959) lgormsı göre d elemlrıı kümes üerdek regüler kelmelerde olş sde ılldğ rslım. O hlde emm 3.. le d + de küçük eş dereel her prmf elem formd oldğ elde eder. d ld = ld e M d l l + d l s... d l... l d l ld = ld 8
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE j l d 0 ke j 3... ç = jd lım. j d d d + de küçük eş dereel elemlrd olş seres üreeçler kef r kümes d W d... d formddır. Şmd r elemı erldğde prmf olp olmdığıı elrlemel. d deg d ols. Eğer d se prmfdr. A d ols. d de küçük dereel seres üreeçler kef r kümes W şekldedr. O hlde d dereel kef r elem + d d d s... d... d şekldedr. s... s M... s regüler kelmeler ols. M M d M d d ols. d elemıı f e ı le polomlrı ke M d f s formd ğı M f s elemıı M w s şeklde ğı. w K Eğer f f 0 w M...... M 9
3.SERBEST İE CEBİRERİİ PRİMİTİF EEMAARI YURTSEVE deklem ssem j s mp kl kl sler le her s ç j s 0 ke K sm üerde rlı se o hlde elemı prmfr ks hlde değldr.bölee sp mmlır. Teorem 3..4: Seres e erler erle r elemıı prmf elem olp olmdığı prolem ldığımı sm üerdek ersel deklemler r ssem rlılığı drgee e erle r elem göre elrlee r lgorm rdır. Eğer j s mp kl kl K sm elemı se ssemde her j s 0 ç eorem 3.. e göre s j d... d seres üreeç kümes le e erdr. Soç : Teorem 3..4 ü spıdk lgorm r ğıılı r e er seres olp-olmdığı prolem K sm üerdek ersel deklem ssem çöümü proleme drger. Beer soçlr (A.I.Shrsho954) e (A.I.Shrsho954) mklelerde değşmel e değşmel olm erler ç elde edlmşr. 30
4.BİR BAĞITII İE CEBİRERİİ İZOMORFİZMERİ YURTSEVE 4. BİR BAĞITII İE CEBİRERİİ İZOMORFİZMERİ sol üreeçl r e er ols. le sırsıl e rfıd ürele deller olmk üere e omorfk olk şeklde e elemlrı örek erlmşr. Arı e omorfk ke olk şeklde r oomorfm olmğı göserlmşr. (MCool e Perowsk97) rfıd çeş r ğıılı grplr ç örekler ş edld. Sor (Brer 976) kşerl eşdeğer olm ğıılr le r ğıılı omorfk grplrı r sos sers olşrd. Seres e erler ç eer soç (Kk970) rfıd elde edld. (Shplr e Y003) eer so rkı ol seres rleşmel erler ç geçerl oldğ göserd.... le... rfıd ürele seres e er gösereeğ. Brd... e R ' r del olmk üere... R ölüm ere glle e omorfm kor elemeer döüşümler 3 p eleelm: w () Ye Br Değşke Sm: R = R + w ke w...... R ere... R llım. f rfıd ürele deldr e f... kef elemıdır. () Değşke Yok Edlmes: Eğer g... f formd e f... f m... ke... formd r ere shpsek er ere f... f g... rı. f... fm m 3
4.BİR BAĞITII İE CEBİRERİİ İZOMORFİZMERİ YURTSEVE (3) Değşkeler Yede Adldırılmsı:... kef frklı dsler ke... değşkeler ere... lım. Aşğıdk eorem Tee eoremdek g ı oll spllr. Teorem 4..:... e f f... fm... omorfk h h... hk ollmeler ç gerek e eer koşl 3 döüşümler r ds glmsı le erler rde dğer elde edlmesdr. B eorem so olrk şğıdkler söleelr:... e f f... fm... omorfk erler g g... gk olmk üere f... f k e k g... g deller... r oomorfm lıd dek olmk ord değldr. Blrı deklğ dm sl deklğdr. Soç 4..:... e f f... fm... erler g g... gk omorfk se o hlde f fm...... e g... gk... deller... r oomorfm lıd dekr. Teorem 4..: K r sm seres üreeçler kümes le K üerde r seres e er ols. olrk llım. e deller sırsıl e elemlrı rfıd ürelmş ols. O m oldğ hlde olk şeklde r oomorfm okr. İsp: 3 ee döüşümler kllırsk 3
4.BİR BAĞITII İE CEBİRERİİ İZOMORFİZMERİ YURTSEVE 33 f g... f çmde e m f f...... ke m m f f g f f............ olp g f m f... oldğ düşüelm. w R R R w ee w ere ıldı. ıldı d 4 4 d d d d d seres e erlerde sdr fokso derees ols. f ~ le r f elemıı e üksek dereel erm göserelm. Eğer r oomorfm se ~ er k ürelmş l er e r ~ ~ oldğ göserdk.
4.BİR BAĞITII İE CEBİRERİİ İZOMORFİZMERİ YURTSEVE ~ o hlde fk ~ olp lr. ols ~ ~ ~ leer ğımsı se ~ ~ ~ ~ ~ d d d ~ d ~ ~ ~ leer ğımlı ols. Eğer ~ ~ leer ğımsı se ~ d d ~ d. Eğer K ke K ke ~ ~ ~ se llım. ~ ~ ~ ~ d ~ ~ se d d dr. llım. ~ ~ leer ğımsı oldğd öek g ~ ~ ~ ~ ~ e d d. K ke ~ ~ ~ se olmk üere ~ ~ ~ ~ ~ dr e ~ d e er r oomorfm oldğd elemlrı sıfır değldr. Bölee her oomorfm ç = ~ = = d d oldğ göserld. dr. d ~ Her k drmd (leer ğımlı e leer ğımsılık drmlrıd d oldğd dr. 34
4.BİR BAĞITII İE CEBİRERİİ İZOMORFİZMERİ YURTSEVE 35 Öerme 4..:K r sm ols. K üerde kümes rfıd ürele seres e er ols. ols. e e rfıd ürele deller ols. O hlde dr e olk şeklde r oomorfm okr. İsp: Tee döüşümler glrsk k üreeçl le erler üü oomorfmler leer oldğ lr.b edele her oomorfm ç d d d d d 4 5. Dolısıl olk şeklde r oomorfm okr. Soç 4..:Br ğıılı omorfk e e erler rdır öle k omorfm herhg r oomorfm rfıd elrleeme d dek olrk ' del e göüre r oomorfm okr. İsp : e eorem 4.. e öerme 4.. dek g ols. (Shrsho 96) sıfır olm e elemlrı le ürele r seres e erdek e deller dek olrs o hlde K K. B eorem 4.. le rleşrsek soç sğlır.
KAYAKAR BRUER A.M. (976). A grop wh fe mer of else eqle oe-relor preseos J.Alger 4 8-84. COH P.M. (964). Slgers of free ssoe lgerspro.odo Mh.so.(893)4 68-63. DRESKY V. d YU J.T. (003). Prme elemes of free meel lgers of rk wo Ier. J. Alger d Comp. ol. 3 o.. KUKİ G.P. (970). Prme Elemes of Free e Algers Alger; ogk Vol.9.o.4 458-47. Eglsh rslo: Alger d og 9 (970) 75-84. YDO R. d SCHUPP P. (00). Comorl Grop Theor Repr of he 977 edo. Clsss Mhems. Sprger-Verlg Berl. MAGUS W. (963). Üer dskoerlhe Grppe m eer deferder Relo J.Ree Agew. Mh. 63 4-65. MAGUS W. KARRASS A. d D.SOİTAR D.(996). Comorl grop heor Iersee ew-york. MA TSEV A.I. (960). O lgers wh del defg relos M. S. 6 9-33. MCOO J. d A.PIETROWSKI A. (97). O free prods wh mlgmo of wo fe l grops.j.alger4398-3. MIKHAEV A.A. SHPİRAİ V. UMIRBAEV U.U.(004). O Isomorphsm of e Algers wh Oe Defg Relo. IJAC 4(3): 389-393. REUTEAUER C.(993). Free e lgers Clred pressoford SHIRSHOV A.I. (953). Slgers of free e lgersmh.s.33 44-45. SHIRSHOV A.I. (954). Slgers of free omme d free omme lgers M.S. 34 o. 8-88. SHIRSHOV A.I. (959). O free e rgs Mh. S. 45 3-. SHIRSHOV A.I. (96). Some lgorhm prolems for lgers Ssk. M. Zh. 3 o. 3-37. SHIRSHOV A.I. (96). Some lgorm prolems for e lgers Srsk. Mem. Zh. 3 9-96. 36
SHPİRAİ V. d YU J.T. (003). For lgers of free lgers: o prolem of G.Bergm. Blle of he odo Mh. So. Cmrdge ers press 35:706-70. WHİTEHEAD J.H.C. (936). O er ses of elemes free groppro.odo. Mh. So. 4 48-56. 37
ÖZGEÇMİŞ 979 ılıd Ml d doğdm. İlkor e lse öğremm Ml d mmldım. 997-00 ıllrıd İöü Üerses Eğm Fküles Memk Bölümü de lss eğmm mmldım. 003 ılıd ölümde üksek lss şldım. Mlepe Merke Adol ses de memk öğreme olrk göre pmkım. 38