Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain *

Transkript

1 BİR ESAS İDEAL BÖLGESİ ÜZERİNDEKİ SONLU DOĞURULMUŞ BİR MODÜLÜN DİREK PARÇALANIŞI * Drec Decompoon of A Fnely-Generaed Module Over a Prncpal Ideal Doman * Zeynep YAPTI Fen Blmler Enüü Maemak Anablm Dalı Melh BORAL Çukurova Ünvere Maemak Bölümü ÖZET Bu çalışmada R ea deal bölge üzerndek onlu doğuraylı modüllern yapıı le lgl brkaç onuç kullanılarak bu ür modüller devrl al modüllern br oplamı şeklnde parçalanmaı ncelend. ABSTRACT İn h udy wa nvegaed decompong fnely generaed module a a drec um of cyclc ubmodule by ung ome reul on he rucure of fnely generaed module over a prncpal deal doman R Grş Bu çalışmadak amaç br parçalanma eoremn palamakır. Teorem R ea deal bölge ve R üzerndek onlu doğurulmuş M modülü üzerne kuruludur. Teoremn onuçları; M R-modülü M M... M olarak br ç drek oplam olarak fade edleblr öyle k, her M Rm br devrl al modül ve ο m }... ο{ m } dr. { Tanım : R ea deal bölge, F de onlu br baza ahp erbe R- modülü olun. F nn bazındak elemanların ayıına F nn rankı denr. * Yükek Lan Tez-MSc.The 7

2 Teorem : R br ea deal bölge ve F onlu rankına ahp erbe R-modülü, N de F nn br al modülü olun. O zaman F nn br f,.., f } bazı vardır öyle k; d,... d R olmak üzere : a) { d f,... d f }, N nn br bazıdır, / d 2 /... d b) d / dr. { Nolar. V br cm üzernde onlu boyulu br vekör uzayı olun. U, V nn al uzayı e U nun her f,..., f } bazı, V nn br,.., f, f,..., f } bazına { { f + genşleleblr. Bu durumda d d 2.. d, d +... d dır. Yukarıdak eoremde N nn bazı F nn br bazı yardımıyla oluşurulablr. Faka genel olarak N nn üm bazları bu şeklde oluşurulmaz. Bu da genel durumun vekör uzaylarından farklı olduğunu göerr. 2. (b) koşulu deallerde d R d 2 R... d R şeklndedr. Her çn, d e, her j, +,.., çn dır. d j Teorem 2: R br ea deal bölge ve F br R-modülü olun. F, n elemanlı onlu br küme arafından erbe doğuruluyor e F nn bazı n ane elemandan oluşur. Teorem n br Mar Formülayonu Lemma : M br R-modülü, F onlu ranklı erbe R-modülü ve br epmorfzm olun. O zaman M nn vardır. φ : M F M F Kerφ ağlayan br F * al modülü Teorem 3: R ea deal bölge olun. Bleşenler R de olmak üzere her A x mar, d /.../ d u olmak üzere br dag (d,...,d u ) marne denkr. Burada dag( d,...,d u } köşegen üzerndek elemanları d,..., d u ve köşegen dışında kalan yerler ıfır olan x marn göerr. N ve F, Teorem dek gb olun. Eğer N {} e F nn herhang br bazını alırız ve üm d ler ıfır olur. Bundan başka n ve f, N ve F nn yukarıdak eoremde olduğu gb bazları olunlar ve A, n nn f ye göre mar olun. Teorem 3 en R üzernde X - ve Y ernr marler vardır öyle k X - AY dag (d,..., d u ), d /.../d u dur. X ve Y, F ve N nn yukarıdak gb yen f ve n bazlarını belrler ve n ın f a göre mar dag (d,...,d u ) dur. Böylece n d f,..., n d f N nn bazıdır. Eğer u u u (Teorem ) n onucunu elde ederz.... u+ d d anımlarak Teorem 3 ün Ökld Bölgende İpaı:Öncelkle ökld bölgen anımlayalım 8

3 Br ökld bölge, φ : R-{} Z + {} fonkyonuyla brlke aşağıdak koşulları ağlayan br amlık bölgedr. )a / b φ(a) < φ(b) )a R ve b R-{} çn a bq + r olacak şeklde R de q ve r elemanları öyle bulunablr k, ya r veya φ(r) < φ(b) dr. Buradak φ fonkyonuna R de ökld fonkyonu denr. R ökld bölge üzernde herhang br A x mar alalım. u mn{,} ve d /.../d u olmak üzere A yı aır ve üun operayonlarıyla br dag (d,...,d u ) marne naıl ndrgerz? Bu Teorem 3 ü R ökld bölge ken özel durumda palar. İndrgenmenn brnc baamağı : Burada amacımız A yı d... C. (). C. olacak şeklde uygun br C marne ndrgemekr. Burada d, C * ın her elemanını böler. Elemaner aır ve üun operayonlarının br onlu dzn anımlayalım öyle k A üzerne uygulandığında ya () şeklnde br mare benzer ya da φ (b ) < φ (a ) (2) koşuluna uyan br (b j ) x marne dönüşür. Daha onrak durumda başlangıca dönerz ve ekrar şlemler dzn uygularız. Ya () e ulaşırız, bu durumda dururuz, ya da ekrar (2) e ulaşırız, bu durumda başlangıç bleşennn φ değer ndrgenr ve devam ederz. Sonlu ayıda adımdan onra () e ulaşmalıyız. Bundan başka, operayonların dzmze her uygulanmaında (2) e ger gelr ve başlangıç bleşenlernn (φ ) değerler, azalan, onlu, ıfırdan farklı rakamların dz şeklnde elde edlr. Eğer A ıfır mar e () dama ağlanır. A ıfırdan farklı br bleşene ahpe, aır ve üunların uygun br şeklde değşrlmeyle mar enen konuma gelr. Durum : İlk aırda a / olacak şeklde lk aırda br bleşen a j vardır. Ökld bölgenn kurallarından a q + r yazablrz. Burada ya r a j veya φ(r) < φ(a) dr. a / a olduğundan r almalıyız ve böylece φ(r) < φ(a j ) dr. Brnc üunu q le çarpıp j. üundan çıkardıkan onra brnc ve j. üunların a j 9

4 yerlern değşrelm. Böylece lk a bleşen r arafından değşr ve böylece (2) elde edlr. Durum 2: Brnc üunda olacak şeklde br bleşen vardır. a a a Bu durumda aır yerne üun kullanılarak Durum dek yol zlenr ve (2) e ulaşılır. Durum 3: a brnc aır ve üundak her bleşen böler. Bu durumda, brnc üunu uygun çarpanlarla çarpıp dğer üunlardan çıkarmayla, brnc aırda üm bleşenler ıfır yaparız. Benzer şeklde brnc aırı uygun çarpanlarla çarpıp dğer aırlardan çıkarmayla a... D.. D. şeklndek mar elde ederz. Eğer a D * ın her bleşenn bölere () e ulaşırız. Eğer bölmeze d j denen br bleşen vardır öyle k a / dj dr. Bu durumda. aırı en ü aıra eklerz, bu bz Durum e gerr ve (2) e ulaşırır. Böylece üç durumun her brnde A ya denk br mar oluşurulur öyle k ya () şeklndedr veya (2) dek koşula uyar. İndrgenmenn onucu : () e ulaşıldıkan onra devam emek kolaydır. Yapığımız şlemlerle mar ndrgedk. Yönemmz C * al marne de uygulayablrz. Dkka edeceğmz k noka vardır. Brnc C * üzernde k emel şlemlern her br, C üzerndek emel şlemlerden brdr. İknc C * üzerndek her emel şlem, bleşenler eknn lneer kombnayonu olan yen br mar verr. Böylece bu yen bleşenler d arafından bölüneblr. Bunların onucunda dda edldğ gb d /.../d u çn br dag (d,..,d u ) marne ulaşırız. Şmd brm elemanlı br halka üzerndek modüllern drek oplamı hakkında emel br lemmaya hyacımız vardır. olmak üzere, her çn N v : L L / N Lemma 2 : R br halka, L de R üzernde br modül olun., ν ( L ) L / N dr. L L... L L nn br al modülü ve doğal homomorfzm e al modüller şeklnde br ç drek oplamın olduğunu varayalım ve N L N L / N ν ( L) ν ( L )... ν ( L olun. Bu durumda, eğer ) ve

5 AnaTeorem : R br ea deal bölge ve M onlu doğurulmuş R- modülü olun. M aşağıdak koşullarla çn M M... M şeklndek ç drek oplamdır. a) M derece d olan devrl al modül, b) d /d 2 /.../ d İpa : M br onlu derecel R-modülü olun., F onlu ranklı erbe R- modülü olmak üzere φ : F M epmorfzm vardır. N Ker φ olun. F ν φ F/N M ψ ψ : F / N M zomorfzm vardır. Ayrıca dyagramını değşmel yapan br Teorem den F nn f,..., f } bazı ve R de c /.../ c elemanları vardır öyle k, { c f,..., c f elemanları N y ürer. Böylece F Rf... Rf ve N R( c f)... R( c f ) dr. Burada c f elemanlarından bazıları ıfır olablr. Lemma 2 den F / N, ν Rf ) Rν ( ) devrl al modüllernn drek oplamıdır. ( f ; r R,çn rν ( f ) ν ( rf ) rf N c / r olduğundan ν ( f ) nn derece c dr. Böylece ; F N Rν ( f )... Rν ( f ) (3) / dr. ψ br zomorfzm olduğundan, bu fonkyon F / N nn (3) dek drek parçalanışını, M nn br drek parçalanışına göürür. u, c brm olacak şekldek on rakamı olun. Böylece c,..., c u ların hep brm ve karşılık gelen modüller ıfır modüllerdr ve hmal edleblrler. Böylece eğer u e, M M... M dr. Burada M Rψν ( f u+ ) Rφ( f u+ ) derece d c u + olan modüller ve d /.../ dr. d Sonuç : Teorem 3 ün hpoezyle, T, M nn oryon al modülü ve F onlu ranklı erbe al modül olmak üzere M T F dr. İpa : Teorem 3 ek M nn parçalanışında l+, d olacak şekldek lk j ayıı olun. Devamında, d... d dır (Teorem 3). Böylece M,..., l + lern her br oryonuz devrl modüldür. l + M j F M l +... M -l

6 rankında erber. T M... alalım. Bu durumda M T dr. T T d /.../ M l F olduğunu dda edyoruz. m T alalım. m m ml, m M ve olduğundan d m d m d m dır. d e T ın her d l l l l l elemanı oryon elemandır. O zaman T T Dğer yandan n, M nn oryon elemanı olun. M T F olduğundan T, f F çn n + f dr. n br oryon eleman olduğundan r R çn rn ve r ( + f ) r + rf dır. T + F drek oplam olduğundan rf dr. dır. Faka F oryonuz d, böylece f dır. Bu durumda n yan, n T dır ve T T olur. Böylece T T dır. Sonuç 2 : Br R ea deal bölge üzerndek br onlu doğurulmuş oryonuz modül erber. l İpa : Lemma 2 den M oryonuz e M T F olmak üzere dır. Bu durumda M F dr. Böylece M erber. Kaynaklar T {} HARTLEY, B, HAWKES; T.O.(98), Rng, Module and Lnear Algebra Chapman and Hall ADKİNS, W.A ; WEİNTRAUB, S.H.(992) Algebra, an Approach va Module Theory, Sprnger-Verlag FUCHS, L (967), Abelan group, Pergamon Pre KOSTRİKİN, A.I ; SHAFAREVİCH, I.R.(99) Algebra, Sprnger-Verlag ROMAN, S.(992) Advanced Lnear Algebra, Sprnger-Verlag ROSE, J.S.(978), A Coure on Group Theory, Cambrdge Unvery Pre. 2