GİRİŞ: Mtrisler tılr MRİSLER Gücel şıız tlolr ve çizelgeler kullırız Örek: Strç thtsı ers çizelgesi ıllık tkvi ir ı güleri spor toto ve sısl loto kupou gii lou stırlrı ve kololrı vrır Bir stır ve kolou kesiştiği okt ir ese (ele) vrır Strç thtsı stırlı ve kololu ir tlour Her stır ve kolou kesiştiği okt ir ele (fil kle t pio oş ) vrır Bu ve ezeri tlolr tetikte tris ı verilir Bu ers kpsı trisleri elelrı geele sit sılr ve eğişkelere oluşcktır O hle; tris irçok sıı ve eğişkei ir r getiriliği ir tlour ir şeır trisi sısl ir eğeri oktur Bilgisrlrı li ıllr itire gelişiie prlel olrk gerçekte sırlr öce teelleri tılış ol sısl öteler özellikle lı ıllr eie ele lırk geliştirilişlerir Bu öteleri gerektiriği ilolrc verii erli-toplu ifesii teori ve ilgisr işleesii e oer ve kol olu tris otsouu kullktır Mtris otsou iliee ve ekleli oğrusl ir ekle sistei klsik tetikte + + + + + + + + + içi Örek : + + + + () şeklie zılır Bur ilieeleri ekleleri krşı trfıki terileri ij terii i ekleeki j ilieeii ktsısıı gösterekteir ı türe ol üüklükleri tlo(tris) olrk ir r getirirsek ij ktsılrıı tlosu(trisi): Örek : - - Bilieeleri tlosu(trisi): Krşı trftki terileri tlosu(trisi): ğıtısı Bilieeler Ktsılr trisi trisi(vektör) Krşı trf trisi(vektör) Örek : - Örek : Örek : - - - ()
GİRİŞ: Mtrisler tılr Şeklie zılilir ile i ı l olilesi içi ir çrpı kurlı kok gerekir: Ktsılr trisii ir stırıki teriler ilieeler trisieki teriler ile sırsıl çrpılıp toplcktır Bu topl krşı trf trisii ı stırıki eğere eşitleecektir ğıtısı ekle sisteii tris otsou zılış çık şekliir Dh z er tutsı ve h kıs zılsı içi trislere verilir: () Bu tıl ğlı olrk ğıtısı kısc () Şeklie zılır Bu ğıtı ğıtısıki oğrusl ceirsel ekle sisteii tris otsou zılış e kıs şekliir ekle sisteii ktsılr trisi ilieeler trisi(vektörü) krşı trf trisi(vektörü) ıı lır Dikkt eilirse; ve üüklüklerii ltı çiziliir Buu eei trisleri sısl üüklüklere ırilektir ir tris ise ir sıır Mtrisleri sısl üüklüklere ırilek içi kklr frklı frklı gösteri kullılır Bzı zrlr trisleri ltıı çizer zılrı kou hrf kullır zılrı köşeli prtez zılrı uvrlk prtez kullır şğı sıkç kullıl otsolr veriliştir: [ ] ( ) iisie trisi outu eir Mtrisi stırlı kololu ve elelı oluğuu elirtir ij trisi i stır ve j kolouki eleır Bu ers otu zı ve çizi kollığı eeile trisler ltı çizilerek ve köşeli prtez kullılrk vurgulcktır Gerekli oluğu trisi outu iis olrk zılcktır Mtris tipleri Herhgi ir trisi elelrı gerçek(reel) ve krşık(kopleks) sılr oluşilir Bu ers otu kpsı ksi söleeikçe sece gerçek elelı trisler ele lıcktır Ugul sıkç krşılşıl tris tipleri ve özellikleri şğı özetleiştir Dikörtge tris: Stır ve kolo sısı frklı eleı ol tristir Örek: - -
GİRİŞ: Mtrisler tılr Kre tris: stır kolo ve elelı tristir Örek: - Stır trisi ve stır vektörü: ek ir stırı kolou ve eleı ol tristir Stır vektörü e eir [ ] Örek: [- - ] Kolo tris ve kolo vektörü: ek ir kolou stırı ve eleı ol tristir Kolo vektörü e eir Yer kzk cıl { ve } prtezleri kullılrk stır şeklie e zılır Bur ikkt eilesi gereke okt { ve } prtezleri kullılrk zılış trisi ir stır trisi eğil kolo trisi oluğuur { } Örek: { - } - Digol (köşege) tris: Bir kre trisi stır ve kolo urlrı eşit ol elelrı igol ve köşege ele ve u elelrı er lığı htt igol ve köşege eir Köşege elelrı ışıki tü elelrı sıfır ol trise igol ve köşege tris eir Hepsi olk kıl Köşege elelr zılrı sıfır olilir Yer kzk ve köşege ışıki sıfırlrı zk içi ig[ ] ve şeklie e zılır Kklr geellikle D hrfi ile gösterilir D köşege ig [ ] - Örek: D ig [- ] - lt üçge tris: Digoli üstüeki tü elelrı sıfır ol kre tristir üü olk kıl igol ve ltıki elelr zılrı sıfır olilir Kklr çoğulukl L (Lower) hrfi ile gösterilir L l l l l l l Örek : L -
GİRİŞ: Mtrisler tılr Üst üçge tris: Digoli ltıki tü elelrı sıfır ol kre tristir üü olk kıl igol ve üstüeki elelr zılrı sıfır olilir Kklr çoğulukl U (Upper) hrfi ile gösterilir Bt tris: Mtrisi sıfır frklı elelrı köşege civrı toplış tristir köşegeie prlel köşegelerie köşege eir köşegei ltıkilere lt köşege üstüekilere üst köşege e eir lt ve üst köşegei ol ir trisi t geişliği + + olur e lt t e üst t geişliği e eir t ışıki tü elelrı sıfır ol trislere t tris eir şğıki şekile outlu lt ve üst t geişlikli ir tris ve öreği görülekteir Bt içieki her ir ele ile gösteriliştir t geişliği + +++ ve i>j+ ve j>i+ içi ij ır Bt ışıki sıfır elelr zılıştır Üçlü köşege tris: Bir lt ve ir üst köşegei ol t tristir Ugul oğru krşılşıliliği gii t olu trisler ir tkı işleler soucu ze üçlü köşege trise öüştürülür şğıki örekte gösterilee elelr sıfırır - U Örek: u u u u u u U Örek: Örek: Üst köşegelerüst t lt köşegeler lt t t köşege Bt tris
GİRİŞ: Mtrisler tılr Serek tris: Ugul krşılşıl trisler çok üük outlu gii fkt çoğu kez çok serek elelı olurlr Elelrı %- u sıfırır Bu trislere serek (İgilizce: Sprse) tris eir Bu tür trisler ile çlışılırke çok özel öteler kullılrk sıfırlrı epolsı ve sıfır sısı ile gereksiz ört işle pkt kçıılır şğıki örekte sıfır elelr zılıştır Serek tris Sıfır tris ve iri tris: ü elelrı (sıfır) ol trise sıfır tris igol elelrı (ir) ol kre trise e iri tris eir Geellikle sıfır tris O ile iri tris I ile gösterilir şğıki iri trisi sıfırlrı zılıştır Örek: Bölüüş tris ve lt tris: Bir trisi t ve üşe çizgilerle h küçük trislere ölüeilir Bu uru trisi elelrı tris ol ir tris olur Bu elelr lt tris trisi keisie e ölüüş ve loklış tris eir Örek: O - - Sıfır tris Bölüüş tris lt tris I lt trisler: [ ] [ ] [ ] Biri tris Mtris ee ölüür? Çok sı sıfırlrı lt trislere toplk ve sıfır lt trisler ile işleleri öleek içi Sıfır lt trisleri epolk içi Mtris işlelerii ele- ele eğil lok-lok pilek içi Çok üük trisleri işlelerii tksit-tksit pilek içi Çok üük trisleri epolk içi hiçir ilgisrı elleği etez Büük tris ugu lt trislere ölüür lt trisler çevre irilerie (hr isk) epolır elleğe sığck kr lt tris hr iskte okuur tris işleleri tksit-tksit pılır Yılı gülerii göstere tkvi ölüüş trise ve lt trislere ir örektir Her ir lt tristir Bölüüş tris lt tris
GİRİŞ: Mtrisler tılr Büük tris eir? Bsit ir tıl üük tris kullıl ilgisrı işleti sisteii ve progrl ilii üstesie geleeiği tristir(ilgisrı çok elleği olsı tıı kullılileceği lı gelez İşleti sistei ve progr ili kullılilir ellek iktrıı sıırlr) li ıllr outlu tris üük sılırı lı ıllr outlu li ıllr outlu li ıllr outlu lı ıllr outlu tris üük ii Güüüze outlu tris üük outlu tris çok üüktür eileilir Mtris üüükçe ellek ve işleci gücü etez olur uvrl htlrı üür souç güvesiz olur Çok üük ekle sistelerii çözek içi çok özel çözü ötelerie çok özel(üzlerce-ilerce işlecili irkç terte ellekli) ve phlı(irkç ilo olr) ilgisr gereksii olur Çok üük ekle sistei ile çok özel llr krşılşılır: uz fizik tıp ioloji eteoroloji skeri ezeti rştırlrı ilo ilieeli ekle sistei(trisi outu: ) Bilket üiversitesie ılı çözülerek ü rekoru kırılıştır: http://wwwceilketeutr/worl recor Kullılilir elleği Gigte vrsııl - $ fitıki ir izüstü ilgisrl kç ekle çözüleilir? Yklşık ir hesp plı Bir Gigte elleği oı işleti sistei ve zılılr trfı kullılığıı vrsrsk trisi epolk içi Gigte oş ellek klır Gigteir ilr te eektir oş ellek ilr te te Olık ir sıı ilgisr epolk içi e z te kullılır Depolilecek olık sı sısı / et olur Depolilecek trisi outu civrı olcktır outlu trisi tı ellekte epolilir Mtris sietrik ise rısıı epolsı t ve sietrik ise sece rı tı epolsı eterli oluğu tris çok h üük olilir Bölüüş ve lt tris tekiği ve hr isk kullılsı uruu çözüleilecek ekle sısı h rtr ck htırltkt rr vr: Mtris üüükçe olık sı içi sece te kullk uvrl htlrıı rtırır zltk içi - te kullk gerekecektir Her iri ireli ve ktlı ir prtı Solu Elelr Metou ile sttik hesplrı klşık - ilieeli ir ekle sisteii çözüüü gerektirir ir izüstü ile rhtlıkl çözüleilir Bu şu suuc vriliriz Güüüze kullıl - olrlık izüstü ilgisr - lı ıllrı ir kç ilo erik olrlık süper ilgisrlrı çok h güçlüürler Sietrik tris ve ters sietrik tris: Bir kre trisi tü elelrı içi ij ji ise u trise sietrik tris eir Bir kre triste i j içi ij - ji ise ve ii ise u trise ters sietrik tris eir Örek: - - - - Sietrik tris Si - - Sietrik t tris: Ugul sıkç krşılşıl ir tris tipiir Solu elelr etouu ekle sisteii ktsılr trisi u türeir Bu eele çok öeliir lt t Üst t geişliği geişliği Yrı t geişliği t geişliği Si ers sietrik tris Sietrik t trisi üst ve lt köşege sısı ıır t geişliği + ir + eğerie özel olrk rı t geişliği eir Yukrıki örekte t geişliği ve rı t geişliği tür Sietrik t trisleri sece rı t geişliği içie kl elelrı ilgisr epolrk ellekte işle sısı ve hesp zı tsrruf eilir
GİRİŞ: Mtrisler tılr rspoz tris: trisii stırlrı ei ir trisi kololrı olrk zılırs u ei trise ı trspoz trisi eir ve ei tris ile ve gösterilir rspoz trisi outu olur Bzı ürkçe kklr rpoz trisi evrik tris olrk isileirekteirler - Örek : - Bzı öeli özellikler: Bir kolo trisi(kolo vektörü) trspozu stır trisi ir stır trisi(stır vektörü) trspozu kolo trisiir Örek: - [ - ] [ ] trisi trspozuu trspozu ie ı trisiir ( ) Örek: - - ( ) Sietrik trisii trspozu gee trisiir: Örek: Bu eele sietriklik koşulu olrk kullılır Bölüüş trisi trspozu: Elelrı lt tris ol ölüüş ir trisi trspozu lt trisleri e trspozu lırk oluşturulur - - lt tris Bölüüş tris - - () İki trisi Eşitliği: Bir trisi ile ir B trisii eşit olilesi içi her iki trisi outlrı ı olsı ve krşılıklı elelrıı eşit olsı gerekir B ise ij ij ir B z t B oluğu iliiors z± t- olk zoruır
GİRİŞ: Mtrisler tılr Sietrik pozitif tılı tris: Sietrik ir trisi ( ) ile elelrıı e z iri sıfır frklı ol uu ışı te kefi ir kolo vektörü veriliş olsu P çrpıı sit ir sı olur Eğer P> ise pozitif tılıır (positive efiit) P< ise egtif tılıır (egtive efiit) P ise rı pozitif tılıır (positive seiefiit) P ise rı egtif tılıır (egtive seiefiit) eir Sietrik trisler ugul sıkç görülür Mtrisi he sietrik he e pozitif tılı olsı ekle sistelerii çözüüe öeli rol or kollık sğlr Herhgi ir trisi pozitif tılı olup olığıı lk geele sit eğilir Çoğu kez trisi fiziksel lı orulrk krr verilir Fiziksel lı eir? İlerlee koulr tekrr ele lırk çıklcktır Şiilik iki sit örek ile çıkllı Örekler: p [ ] + oluğu ve oluğu sürece p> ır olısıl pozitif tılıır B p B [ ] + ır ve içi p olcğı B pozitif tılı eğilir Digol ğırlıklı(igol oit) tris: Bir kre trisi i stırıki igol eleıı utlk eğeri ı stırki iğer elelrı utlk eğerlerii toplı eşit ve üükse ii j tris igol ğırlıklıır(igilizce igol oit: igol ğırlıklı egee skı) eir Eğer ii > j sğlıors tris kesi igol ğırlıklı (İg strictl igol oit: kesi igol ğırlıklı egee skı) eir Kesi igol ğırlıklı trisi eteritı sıfır frklıır Örekler: ij ij (ütü i (ütü i ve i ve i j içi) j içi) - + - > + - > + oluğu igol ğırlıklıır et ve et olilir B - > + - > - + - > + oluğu B kesi igol ğırlıklıır et B ır
GİRİŞ: Mtrisler tılr Mtrisi kesi igol oit olsı özellikle iterso ile ekle sistei çözüüe öeli rol or Mtrisleri ilgisr elleğie epol içileri Bilgisr elleği tek outlu ir iziir te-te i izler Mtrisler u izie progrl tekiğie ğlı olrk tek ve iki outlu olrk epolilir Frklı tipte trisleri epol içileri şğı özetleiştir Vektör: teori ve [ ] [ ] Bilgisr tek outlu epolır Dikörtge ve kre tris: Digol tris: teori teori [ ] Bilgisr iki outlu epolır ve [ [ Bilgisr sece igol elelr tek outlu epolır ek outlu ve stır-stır epol ek outlu ve kolo-kolo epol ] ] lt üçge tris: teori Bilgisr iki outlu epolır (üçge epol ükü eğil!) ek outlu ve stır-stır epol L ve [ [ ] ] ek outlu ve kolo-kolo epol Üst üçge tris: ek outlu ve stır-stır U ve [ [ ] ] ek outlu ve kolo-kolo epol
GİRİŞ: Mtrisler tılr Sietrik ol t tris: t Sietrik t trisi üst tı: Bilgisr iki outlu epol ek outlu ve stır-stır epol ek outlu kolo-kolo epol teori Moel: rı t geişliğii eşitleek içi gösterile sıfırlr vrış gii epolır Yrı t Yrı t Yrı t Bilgisr iki outlu epol tek outlu stır-stır epol ek outlu igol - igol epol Sietrik ] [ ] [ teori Moel: Bt geişliğii eşitleek içi gösterile sıfırlr vrış gii epolır t ve ] [ ] [ ve Sietrik Sece üst rı t içieki elelr epolır Moel t Sece t içieki elelr epolır
GİRİŞ: Mtrisler tılr Sietrik t trisi lt tı: Ufuk çizgisi (Sklie epol tekiği): Sece sietrik pozitif tılı trisler içi kullılilir Moel Moel: rı t geişliğii eşitleek içi gösterile sıfırlr vrış gii oelleir ] [ ] [ Bilgisr iki outlu epol ek outlu stır-stır epol ek outlu igol - igol epol ve Yrı t Sietrik Sietrik [ ] ı kololrıı tek outlu triste epolsı kolo kolo kolo kolo kolo Bilgisr sece tek outlu epolır kh[ ] Kolo ükseklikleri(rıcı vektör) Sietrik Sietrik Kololrı igole şlrk ufuk çizgisie kr ol elelrı epolır Sece lt rı t içieki elelr epolır Ufuk çizgisi(sklie) Yrı t teori
GİRİŞ: Mtrisler tılr Serek(sprse) tris(iterso öteleri içi): [ ] Serek tris: Sıfır frklı eleı çok z(% civrı ol tris) Sece sıfır frklı elelr epolır Mtrisi sece sıfır frklı ol elelr tek outlu vektörüe epolır i [ ] Sıfır frklı elelrı stır urlrı i vektörüe epolır j [ ] Sıfır frklı elelrı kolo urlrı j vektörüe epolır Ek ilgi: Serek ve çok üük trisler ugul özellikle solu elelr etouu ege eklelerie krşıız çıkr Mtris sietrik pozitif tılı ve t pısı shiptir Dekle sistei Cholesk(t) Cholesk(Sklie) irekt ve CG(Cojugte Griet) iterso etou ile çözülür(u etolr ilerlee koulr ele lıck) Cholesk(t ve ufuk çizgisi) irekt etou ekle sistei çözülürke t içieki ve ufuk çizgisi ltıki şlgıçt sıfır ol elelr sıfır frklı olurlr Bu eele çok üük sistelerie çok fzl ellek gerekir rıc uvrl htlrı gierek üür CG etou trisi sece sıfır frklı elelrı tercihe sietri ikkte lı epolır Çükü progrl çısı h uguur Dekle sistei çözülürke trisi elelrıı eğeri hiç eğişez İterso sısı klşık ekle sısı krır Yuvrl htlrı Cholesk etou zr h zır Ugul lı şğıki Bcsstk serek trisi içi u etotlrı ellek gereksiii krşılştırılcktır: Mtris ilgileri: Sietrik: evet Pozitif tılı: evet Digol ğırlıklı: Hır Boutu: Yrı t geişliği: Sıfır frklı ele sısı: Doluluk orı: / % Mtrisi epolilesi içi ellek gereksiii: Cholesk(Sklie) irekt etou: te Cholesk(t) irekt etou: Bte CG iterso etou: içi: te i ve j içi: te r eğer vektörleri içi: te topl: ++ te Or: Sklie/CG/ Cholesk/CG/ Bcsstk trisi Görülüğü gii CG iterso ötei irekt çözülere zr - kt h z ellek gerektirekteir
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Kre trisi eteritı Mtris çok sı sıı rıır ir tlour kei sısl eğeri oktur Fkt her kre trise it eterit eile; pozitif egtif ve sıfır olile ir sı vrır Deteritıı iliğiiz tris hkkı öeli zı orulr pilir krr vereiliriz Deterit keliesi; elirlee tıl vurgul egee krr vere lıır Bzı ürkçe kklr trisi eteritıı trisi elirtei olrk tercüe etekteirler İki ilieeli oğrusl ekle sisteii klsik ceir ve tris otsou + + şeklie zılığıı ilioruz Örek: + + () ekle sisteii çözee ekle sisteii sğl ve ilieelerii hespl çlışlı Bu c öelik çok sı öte vrır Ort öğretie u kullığıız eğişke ok ete öteii kulllı i irici ekleii ile ikici ekleii ile çrpr ve her iki eklei toplrsk ilieei ok olur i hespliliriz: - + i irici ekleii - ile ikici ekleii ile çrpr ve her iki eklei toplrsk ilieei ok olur i hespliliriz: Eşit - + - + + Bu ğıtılrı kullrk ukrıki sısl öreği ilieelerii hespllı: ve eğişkelerii hesı kullıl ukrıki ğıtılr iceleirse p ı sı - vrır Bu sit sı sece ktsılr trisii terilerie oluşktır Sısl örek içi u sı - tür ilieeli ir ekle sisteii çözüüe e ezer uru vrır: ilieelerii hesı p i ı sit ir sı öle olrk gelekteir İşte u sı ktsılr trisii eteritı eilekteir Deterit ile ilieeli ekle sisteii sistetik çözüüü ilk kez Crer veriştir Crer kurlı olrk iliir Yukrı e verile outlu trisii eteritı - igol elelrı çrpııı frkıır Mtris tetiğie trisi eteritı et Deterit gösterii () şeklie gösterilir Deterit kvrı tetikte tris kvrı çok h öce MÖ - civrı Çi e ekle sistei çözüüe kullılıştır Jpo Shisuke Kov Seki i ılı çlışlrı ve l Leiiz i L Hospitl e ılı zığı ir ektupt rstlktır Deteritı ekle sistei çözüüe sistetik olrk ilk kez İsviçreli Crer ılı kullı Deterit keliesii isi sı Frsız Cuch ir()
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Deterit çok öeli ir sıır çükü it oluğu ktsılr trisi ve ekle sistei hkkı oru pileize olk sğlr Yukrıki ğıtılr lşılığı gii ktsılr trisi ol ir ekle sisteii ilieelerii hesplilesi içi et ollıır Det uruu sıfır ölü pılcğı içi ekle sisteii çözüü oktur Büük outlu trisleri eteritıı hesı eki kr sit eğilir Mtris üüükçe ört işle sısı hızl rtr Küçük outlu trisleri eteritı SRRUS kurlı CHIO etou ve LPLCE çılıı ile ve elle hesplilir Büük trisleri eteritı GUSS CHOLESKY gii etotlr ile ve ilgisr hesplır SRRUS kurlı : Sece outlu trisler içi geçerliir Deteritı hesplck trisi ilk iki kolou eterit işretii sğ trfı zılır ve igoller şekile görülüğü gii kesik ve sürekli çizgiler ile irleştirilir Her sürekli çizgi üstüeki elelr irirleri ile çrpılıp toplır Her kesik çizgi üzerie ol elelr irirleri ile çrpılır öceki topl çıkrılır et + + + - - - et + + () + + + - - - - - - - et - Örek: et + ( ) ( ) + ( ) ( ) CHIO etou: outlu trisi eterit forülü et () ile verilir Dikktli iceleirse outlu - et lt eterit içerir ve üzeli ir pısı vrır Örekler: et ( ( ) ( )) et B ( ) - - - et B ( ) - (-) - - - - - - - - Pierre Frééric SRRUS (-) Frsız F CHIO (?-?) trfı ılı ılı
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM uruu CHIO oğru ugulz stır ile ir şk stır olck şekile eğiştirilir Her stır eğişikliği eteritı işretii eğiştiriğie souç (-) p ile çrpıllıır Bur p stır eğiştire sısıır LPLCE çılıı: Bu ötee göre eteritı çılıı ir stır ve ir kolo göre pılilir i stır göre çılı: j kolo göre çılı: et i+ j i+ j ( ) ij ij (i sit) et ( ) ij j i ij (j sit) () Burki ij terii ij eleıı uluuğu stır ve kolou siliesi ile oluş (-)(- ) outlu lt trisi eteritıır Kklr ij teriie ij i iörü (-) i+j ij teriie ij i işretli iörü kofktörü eilekteir stır göre çılı öreği: et ( ) + + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( )( ) + ( ) kolo göre çılı öreği: et ( ) + - + ( ) + - + ( ) + - - (-- ) ( + ) + ( ) Öreklere görüleileceği gii çok sıfırlı stır ve kolo göre çılı işleleri zltır Üstü çizili terileri z gerek oktu! SRRUS CHIO ve LPLCE öteleri küçük trisleri eteritlrıı el hesı kullılilir sece trihsel eğeri vrır Progrl hiç ugu eğilirler Bilgisr eterit hesı içi GUSS ve ezeri ltertif öteler kullılır Deterit özellikleri Mtrisi i stırı ile i kolou eğiştirilirse eteritı eğeri eğişez olısıl etet geçerliir Mtrisi iki stırıı ve iki kolouu erleri eğiştirilirse eterit işret eğiştirir: Hesp sırsı öreği e göre CHIO etou ise stır ile şk ir stır er eğiştirilir Hespl eterit - ile çrpılır Mtrisi ir stırıı ve kolouu tü elelrı sıfır ise eterit sıfırır Digol ve üçge trisleri eteritı igol elelrı çrpıı eşittir Örekler: I C D E Det et I et C (-)- et D et E Gözle: Digol ve üçge trisleri igol elelrı iri sıfır ise eterit sıfırır Digol elelrı kre lt tris ol ölüüş igol trisi eteritı lt trisleri eteritlrıı çrpıı eşittir Pierre Sio Lplce(-) Frsız: e ılı
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Örek: Mtrisi i stırı j stırı eşitse ve i Kolou j Kolou eşitse eterit sıfırır Mtrisi i stırı j stırı sit ir c ktı ise trisi stırlrı oğrusl(lieer) ğılıır eir Stır ve kololrı oğrusl ğılı trisi eteritı sıfırır Dolısıl; eteritı sıfır ol trisi stır ve kololrı oğrusl ğılıır Mtrisi ir stırıı ve kolouu sit ir c sısı ile çrpılrk şk ir stır ve kolo ekleesie stır ve kololrı oğrusl irleştirilesi eir Stır ve kololrı oğrusl irleştirile trisi eteritı eğiştirez Sietrik ve pozitif tılı trisi eteritı sıfır fklıır Kesi igol ğırlıklı trisi eteritı sıfır frklıır (k:ölü sf ) Örek: Kofktör trisi ve joit tris kre trisii her ij eleı it işretli iörüüã (-) i+j ij o eleı oluğu stır ve kolo zılsı ile oluş trise kofktör trisi; kofktör trisii trspozu joit(ek) tris eir Örek: Düzeli tris - üzesiz tris tıı Deteritı sıfır ol trise üzesiz sıfır frklı ol trise üzeli tris eir Bşk isiler e verilir Düzesiz tris: tekil tris sigüler tris Düzeli tris: tekil ol regüler sigüler ol tris Özetle: Det ise tekil ol ve üzeli ve regüler tris eir Det ise tekil ve üzesiz ve sigüler tris eir - > + - > - + - oluğu B kesi igol ğırlıklıır et B- ır > + B ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - - - - K Kofktör trisi K j () et et et et et et et et [ ] ) ( et et
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Doğrusl ğılılık ve rk tıı Bir trisii kololrıı te kolo vektörü ile göstereli: [ ] Örek : E z iri sıfır frklı ol uu ışı te kefi ol c c c sit sılrı ile kolo vektörleri çrpılıp toplığı ir sıfır vektör ele eilirse trisi kololrı oğrusl ğılıır eir: c +c + + c () Bu ğıtı sece ve sece c c c içi sğlıors kololr oğrusl ğısızır Yukrı verile trisii irici kolou ikici kolou ve so kolou - ile çrpılıp toplırs + + - sıfır vektör uluur O hle trisi kololrı oğrusl ğılıır Buu öeli zı lı vrır: Vektörlere iri iğerlerie ğılı olrk hesplilir Yukrıki ifee + + + - - Kololrı oğrusl ğılı ol trisi eteritı sıfırır ifesi slı c c c c Doğrusl ekle sistei ile ı lır Bu ekle sistei c içi sğlır ck c ve et uruu sğlır O hle et c olk zoruır Mtrisi tü kololrı oğrusl ğılı olilir ve tüü ğısız olilir zılrı ğısız zılrı iğerlerie ğılı olilir vektörü r tesi ğısız ise r ir ve r e trisi rkı eir -r trisi oğrusl ğılı kolo sısıır ve rk rtığı eir Doğrusl ğılılık rk ve rk rtığı tıı trisi kolo vektörleri içi ukrı verili ı tılr trisi stır vektörleri içi e geçerliir O hle outlu ir trisi he stır he e kolo rkı vrır ck stır rkı ve kolo rkı iririe eşittir Rk ve e küçük olı eşit ve h küçüktür Verile ilgiler ışığı r rkıı şöle e tıliliriz: trisii rr outlu öle ir lt trisi vrır ki u lt trisi eteritı sıfır frklıır Ugul krşılşıl ekle sistelerie ktsılr trisi geele kre tris ir Dekle sisteii çözüü ck ve ck r ise üküür Buu lı he stır he
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM e kolo vektörlerii oğrusl ğısız olsı gerektiğiir Çükü ksi hle ktsılr trisii eteritı sıfırır i üzesiz ir tristir Dh ir e ols < (z ekle çok iliee) ve > (çok ekle z iliee) ol ekle sisteleri ile e krşılşılır < uruu orl olrk stırlr oğrusl ğısız kololr ğılıır: r - > uruu orl olrk kololr oğrusl ğısız stırlr ğılıır: r - ir Bir trisi kolo ve stırlrıı oğrusl ğılı olup olığıı ğılıs hgilerii oluğu ı r rkıı elirleesi öeliir ck ur verile ilgiler oğrusl ğılılığı ve rkı elirleesie çok sit tris pılrı hriç etersiz klır Örekler: B C Mtrislerie içi r tür çükü u trisi kololrıı ve stırlrı c c c ile çrprsız ulursuuz şk hiçir c i içi u çrpı olz o hle et ır B trisie r ir çükü u trisi kololrıı ve stırlrıı c c c ile çrprsız ve c c c çrprsız ulursuuz o hle et B ır C trisii rkıı elirleesi ise iğerleri kr kol görüüor olısıl et C hkkı hee ir oru pk ükü eğilir Dh sor ve ölülere ele lıck ol ekle sistelerii çözü ötelerie rkı geel olrk sıl elirleeceği tekrr ele çıklcktır Mtrislerle ört işle ritetikte ve sılrıı toplsı çıkrılsı çrpılsı ve ölüesi soucu üçücü ir c sısı hesplır Mtris otsou ezer ört işleler pılrk ve trislerie c trisi hesplır şğıki tlo ritetik ört işle ve tris otsouki krşılıklrı özetleiştir Dört işle: ritetik krşılığı Mtris krşılığı opl c+ c+ çıkr c- c- Çrp c c c/ Yok! Böle c: Yok! c(/) Yok! c - c - Biliiği gii - sısı sısıı tersiir Bezer şekile - trisi trisii tersiir Dikkt eilirse trislere öle işlei sece trisi tersi ile tılktır opl ve çıkr: İki trisi toplilesi ve çıkrılilesi içi outlrıı ı olsı gerekir ve B trislerii toplsı ve çıkrılsı soucu oluş ı outlu C trisii C ± B () Eşit outlu
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM elelrı ve B i krşılıklı elelrıı toplsı ve çıkrılsı ile uluur: c ij ij ± ij Örek: opl ve çıkr özellikleri ± B ±B + ± (B ± C) ( ± B) ± C ( ± B) ± B Çrp İki trisi çrpılilesi içi kurllr vrır: ve B trislerii çrprk ir C trisii hesplilek içi ı kolo sısı B i stır sısı eşit ollıır(uguluk koşulu): C s B s Çrpıl trisleri eşit outlrı tılır kl outlr C i outuur: C i stır sısı ı stır sısı C i kolo sısı B i kolo sısı eşittir C i i stır ve j kolouki c ij eleı ı i stırıki elelrı B i j Kolouki elelr ile krşılıklı çrpılıp toplsı ile uluur: El hesplrı çrpıı lşılır kılk ve kollştırk içi FLK şesı kullılır: Örek: Sigur FLK (??) l civrı geliştiri C B C + + Eşit ollı + + + k kj ik j i j i j i ij c C B c C B i FLK şesı B () () D B D C B çrpıı içi ı sğı ve üste B trisi çizilir ı sğı ı stırlrı kr stır B i ltı B ı kololrı kr kolo çizilir Oluş tris C i outlrıır ı ir stırıki sılr B i ir kolouki sılrl krşılıklı çrpılıp toplır u topl o stır ve o kolou C e irleştiği hücree zılır FLK şesı ve c eleıı hesı sol örek olrk gösteriliştir: c + + B C
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Yukrı verile kurllr üç ve h çok trisi çrpıı içi e ugulır örek: D t B s C st Eşit ollı Eşit ollı Uguluk koşulu: ı kolo sısıb i stır sısı ollı B ı kolo sısıc i stır sısı ollı D i outu ı stır sısı C i kolo sısıır B C B C D B C i FLK şesı D B Not: Bur öce B hesplış ulu ei tris C ile sğ çrpılrk D uluuştur Öce B C hesplrk ulu ei tris sol ile çrpılrk ı D uluiliri ck u uruu h çok işle gerektireceği çıktır Mtris çrpııı özellikleri B C ( B ) C (B C ) (B + C ) B + C ( B C M N) N M C B + + + k ef k k k k k k k k k k Mtrisi k ef toplsı trisi elelrıı k t sı siti ile çrpııır Geelleştire: Mtrisi ir sit(gerçek ve t sı) ile çrpk içi tü elelrı o sit ile çrpılır k k ef B B Örekler: B B B k ifesi kre trisii keisile k ef çrpıı lıır( k pozitif tsı): I Çrpı trisleri eri eğiştirileez ritetikte ır fkt trislere çok özel urulr hriç trisi çrpıki eri kesilikle eğiştirileez Değiştirilirse uguluk koşulu sğlilir sğls ile souç frklı olur C D E F Görülüğü gii B B ır Souç trisleri he outlrı he e elelrı frklıır! C D DC Görülüğü gii outlr ı ols ile C D D C ır!
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM ı outlu iki köşege trisi çrpı erleri eğiştirileilir Biri tris ile çrpı İki üçge trisi çrpıı İki vektörü çrpıı Geelleştire: [ ] [ ] içi? F F B B B B I I [ ] [ ] EC CE İki lt üçgei çrpıı ir lt üçgeir İki üst üçgei çrpıı ir üst üçgeir Bir lt ve ir üst üçgei çrpıı olu ir tristir Bir üst ve ir lt üçgei çrpıı olu ir tristir Kolo vektörü ile stır vektörüü çrpıı ir tristir Stır vektörü ile kolo vektörüü çrpıı ir sıır Mtrisler sietrik ols hi C E E C ır! F tılı F tısız! tısız! tısız! tısız! tısız! I I I B B B I tısız! B I B I B tısız!
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM + + + + + + + + + tısız! tısız! tısız! tısız! Köşege trisi ir tris ile çrpıı Çok z çrpı gerektirir sıfır sılrı ile çrpı pılz İki sietrik trisi çrpıı sietrik eğilir B B Sietrik B Sietrik eğil! Mtrisi izi: kre trisii köşege elelrıı toplı trisi izi eir iz ile gösterilir: iz + + + B B olsı rğe her iki çrpıı izi ıır: B B B iz B-+ iz B +- B B olsı rğe şğıki ğıtı geçerliir ( ve B kre tris): et ( B)et (B )et et B B B B et ( B)- - - et B - - - et - et B- - - et ( B) et (B ) et et B- -
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM et ( ± B) et ± et B ir Bir üstteki trislere: - B + B et (+B)- - - et + et B -(-)(-)+(-) - - Sıfır frklı ve B gii iki trisi çrpıı sıfır tris olilir B trisleri içi B ır B B C (B+C) (B-C) (D+E) Bu özellik eeile solki ifelere trisi özel urulr ışı kısltılz Özel urulr: et ise ve trisii kololrı oğrusl ğısız ise kıslt pılilir ers tris hesı sorsı u kou öülecektir Fkt e ee B sıfırır? i stırı j stırı ile eğiştiriliş iri tris ir trisi ile sol çrpılırs ı i stırı ile j stırı er eğiştirir sğ çrpılırs i Kolou ile j Kolou er eğiştirir stırı ile stırı eğiştiriliş iri trisi sol çrpılığı trisi e ı olu stırlrı er eğiştiriş stırı ile stırı eğiştiriliş iri trisi sğ çrpılığı trisi e ı olu kololrı er eğiştiriş Bölüüş trisleri çrpıı Büük trisleri çrpıı içi trisler ölüek zoru klıilir ve B trisleri çrpılrk C B hesplcks ve B üşe ve t oğrulrl lt trislere ölüür: ı stırki lt tris sısı B i koloki lt tris sısı eşit ollı (uguluk koşulu) ı lt trisleri ile B i lt trisleri uguluk koşuluu sğllı B c c B C c c B Mtrisler c ugu ve çrpı uguluk koşuluu sğlck şekile lt trislere ölüür Bolüüş trisleri lt trisleri çrpılrk souç trisi lt trisleri hesplır c + + c + + c + + c + +
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Örek: lt trisleri çrpıı: Digol elelrı lt tris ol iki trisi çrpılsıl ulu ei trisi e igol elelrı lt tris olur Örek: ers tris ers tris kvrı ritetikteki öle işleii krşılığıır ck tris işlelerie hiçir z öle işleie hseilez ritetikte ir gerçek sısıı tersi ile tılır ifesii tris işlelerie krşılığı - I şeklieir Bur - trisi trisii tersi I iri tristir Mtris keie it ters trisi ile çrpılığı iri tris uluur Biliiği gii ir sıı tersii olsı içi o sı sıfır frklı ollıır Bezer şekile ir trisi tersii olsı içi o trisi eteritı sıfır frklı ollıır Bu eele ters tris sece eteritı sıfır frklı (üzeli) kre trisler içi tılıır Veriliş ir trisii tersii hesı içi frklı öteler vrır Bur outlu tris içi sit ir forül ve ve tris içi joit(ek) tris ötei çıklcktır Bu ötei sece teorik öei vrır ilgisr progrlrı içi hiç ugu eğilir(ugul kullıl öteler içi k: Bölü ) B B C B c c c + c + () [ ] - - - [ ] [ ] - - - [ ] [ ] [ ] + - - - - - c [ ] [ ] [ ] + c C - - B B B B
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM / outlu trisi tersi içi forül: et et Örek: joit tris ötei: Bu ötee göre trisii tersi et et j forülü ile hesplır Kofktör ve joit trisi tıı sf verilişti Örek:? SRRUS kurlı göre et + (-)+ (-)-(-) (-)- - - et oluğu trisi tersi vrır K j K ers tris - - I oluğu kotrol eileilir ers trisi özellikleri - - I ( - ) - ( ) - ( - ) (Not: ( - ) ifesi ze sitçe - şeklie e zılır) ise ( - ) - ir ( B C M N) - N - M - C - B - - k (k) (k olk üzere herhgi ir sit sı) et et tris içi forül: et et ollı! () () ı igol elelrıı erii eğiştir li igoli işretlerii eğiştir Det ı hespl Her eleı et öl Kofktörler trisi ) ( ) (
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Köşege trisi tersi: D D ii ollı Köşege elelrı kre lt tris ol köşege trisi tersi lt trisleri tersi lırk ı köşegee zılsıl hesplır: Örek: et ii ollı [ ] lt üçge trisi tersi gee ir lt üçge üst üçge trisi tersi gee ir üst üçgeir Örek: L L - - Nokt sor sece üç he veriliş üçücü he uvrltılıştır U U - - Bt trisleri tersi te oluur Örek: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Kıslt: tris ğıtılrı kıslt işlei elli koşullr sğlıkç pılz! et ise her iki trf - ile sol çrpılır ve - I oluğu htırlırs şğıki ifelere trisi kısltılilir: B - B - B B C - B - C B C (B+C) - (B+C) - B+C (B-C) (D+E) - (B-C) - (D+E) B-C D+E
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM ikörtge trisii kololrı oğrusl ğısız ise i rk ise F trisi outlu üzeli ir tris olur i F ( ) tılıır et F ır Bu eele şğıki ifeler zılilir: B s ( ) B s ( ) B s F trisi et F F - vr Dolısıl u tris kısltılilir Sıfır tris F trisi et F F - vr Dolısıl u tris kısltılilir (B s -C s )(D s +E s )( ) (B s -C s )( ) (D s +E s ) B s -C s ( ) (D s +E s ) et uruu B C ifesie kısltılz: Souç s outlu ir tris olur B C trisleri içi B C ir Bur kısltılrk BC ir eileez ee? Çükü çıkç görülüğü gii B C ir et ır i - oktur ı kısltız sıfır öle ptığıız lı gelir B C ifesie et ols hi kısltılz çükü: - B - C B - C ve B - C - B - C ir B C D ifesie et ols hi kısltılz çükü: - B - C D B - C D ir kre tris ve r s kolo trisleri olsu: r r r r Bur r vektörlerie hiç iri kısltılz! sit ir sıır r s s s Bur e s e e s kısltılilir! sit ir sıır rr r r Bur r vektörlerie hiç iri kısltılz! ir tristir Mtris eşitliğie ukrı çıkl koşullr sğlıkç kefi kıslt pılcğı gii eşitliği solu ve sğı kefi ir tris ile e çrpılz ksi hle eşitlik ozulur Eşitliği her iki trfı sece ve sece çrpılıkt sor gerekirse kısltılile ir tris ile çrpılilir Öreği eteritı sıfır frklı herhgi ir tris ile ve kololrı oğrusl ğısız ir tris ile çrpılilir
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Ortogol tris ) kre trisi kei trspozu ile sol ve sğ çrpılığı iri tris oluşuors ortogolır eir: I ers tris tıı I ile krşılştırılırs ortogol trisii trspozuu ı z ı tersi oluğu lşılır: Örek : Cosα Siα Siα Cosα Cosα Siα Siα Cosα Cosα Siα Siα Cosα Cosα Siα Siα Cosα ) ikörtge trisi kei trspozu ile sol çrpılığı iri tris oluşuors ortogolır eir: I Örek: Cosα Si α Cosα Siα I Cosα Si α Cosα Cosα Siα Siα Cosα Cos α SiαCosα Siα SiαCosα Si α Cos α SiαCosα I SiαCosα Si α Dikkt: ikörtge ortogol trisii tersi tılı olığı gii ir Mtrisleri litik türev ve itegrli Nüerik lize ire e ols litik türev ve itegrl lk gerekir Özet ilgiler şğı veriliştir litik türev Elelrı ir eğişkeii foksiou ol trisi e göre türevi her eleı türevi lırk uluur: [ ] [ ] Bzı kklr ortogol erie ortoorl olrk lırktır strt ir kvr oktur
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Örek: şğıki trisie ve sit gerçek sılr eğişkeir ı e göre ve türevi? Log( ) Si() e Cos() e Si ( ) e Örek: şğıki trisie ve sit sılr ve eğişkeir ı e ve e göre türevi? Si() Si ( ) Si ( ) Log( ) e e Log( ) e c ir sit ve B trislerii terileri i foksiou olk üzere şğıki ğıtılr geçerliir: ( c) c B ( + B) + B ( B) B + ürev vektörü: olsu ilieelerie oluş kolo vektörü [ ] vektörüü opertörü ve ifersiel opertör eir: kısi türev opertörlerii vektörüe türev vektörü ve türev ürev opertörü Vektörü vektöre göre türevi kolo vektörü ve ellrı ilieelerii foksiou ) [ ] kolo vektörü veriliş olsu vektörüü vektörüe göre ol [ ] türevii lk isteeli: ) türevi oktur çükü u iki vektörü tris çrpıı tısızır!
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM ) [ ] Örek: + e ) Si( i vektörüe göre türevi? ) + ) ( e Si tısız! ) [ ] + ) ( ) ( ) ( Cos e Si e Si ) [ ] kolo vektörüü ilieelerie göre türevi: ) tısızır! ) [ ] c) Biririi foksiou ol [ ] ve [ ] kolo vektörleri veriliş olsu: ) tısızır! Jcoi Jcoiiri tris Bu trise Jcoi eir ve geellikle J ile gösterilir Difersiel opertör trisi
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM ) [ ] ) Bezer şekile: tısız! + + ) Sıkç krşılşılilecek tris türev forülleri şğı veriliştir ve kolo vektörü sit gerçek sılr içere ir tristir ve iririe ğısızır Mtris çrpılrıı tılı oluğu vrsılıştır: I + + Jcoisıfır tris Çükü i elelrı i elelrı ğısızır I (iri tris) (sıfır tris) I (iri tris) (sıfır tris) i sietrik eğilir! i sietriktir!
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Özel ugul: Solu elelr etou ir sistei topl potsieli π ile verilir Bur er eğiştire kolo vektörü ış ük kolo vektörü siste rijitlik trisi π topl potsieliir sit sılr oluşur ve iliir hesplk isteir Sistei ege kouu π iiuur π π eğeri i foksiouur Sistei ege kouu ollıır: π ( ) uluur Bu ğıtı sistei ege koşuluur ve oğrusl ir ekle sisteiir Dekle sistei çözülerek iliee er eğiştire vektörü hesplır litik itegrl Bir trisi tek ve çok ktli itegrli her eleı itegrli lırk uluur örekler: [ ] [ ] [ ] z z z z z Mtris çrpııı itegrli tipie itegrller ile teorie krşılşılır ı elelrı ve z i foksiou B ise gerçek sılr oluşur B tris çrpıı pıl itegrl lız Öce çrpı pılrk B z D B trisi sor D z itegrli hesplır D trisii elelrı geele çok krşık foksiolr içerir u uru litik itegrso erie üerik itegrso etotlrı kullılır
ÇOK BİLİNMEYENLİ DOĞRUSL DENKLEM SİSEMİ ÜRLERİ ÇOK BİLİNMEYENLİ DOĞRUSL DENKLEM SİSEMİ ÜRLERİ Krşık ve litik çözüü ükü ol ifersiel ekleler solu frklr ve solu elelr gii öteler ile oğrusl ekle sistelerie öüştürülürler Hee her ili lı proleleri thie % i e z ir ilieeli ir oğrusl eklee geellikle e çok ilieeli oğrusl ekle sisteie iirgeir Klsik ve tris osou zılış oğrusl ekle sistelerie örekler: Bir ilieeli ir ekle: Klsik: tris: [ ][ ][ ] İki ilieeli iki ekleli siste: + Klsik: tris: + ilieeli ekleli siste: + + + Klsik: + + + Mtris: + + + ve iliir hesplır ij ve i sit sılr i ilieeir ktsılr trisi e ilieeler vektörü ve e krşı trf vektörü eir Dekleler sit sılrı ve irici erecee ilieeleri içeriği içi u tür ekle sistelerie oğrusl ekle sisteleri ı verilir çükü Si( ) Log ( ) e /( + ) gii ve ezeri teriler içerezler Dekle sistei türleri: Dekle sısıı iliee sısı eşit oluğu siste: Örek: Dekle sısı iliee sısı eşittir: Ugul çoğulukl krşılşıl ekle sistei türüür Ktsılr trisi t olu serek olu sietrik t sietrik ve t üçlü köşegetris olilir et ise tek çözü vrır et uruu çözü oktur ve sosuz çözü vrır Dekle sısıı iliee sısı çok oluğu siste: > Örek: Dekle sısıı iliee sısı çok olsı uruuur: > Geellikle ölçüe ve eee lı prolelere ort çıkr Ölçe ve ee olul elirlee veri htlrıı e z iirgeek içi iliee sısı h çok ekle oluşturulur Çözü klşıktır ve iiu ht olck şekile ulu çlışılır ktsılr trisi geele çok serek oluur Bu tür ekle sisteii çözeilek içi ı kololrı oğrusl ğısız ollı i rk ollıır
ÇOK BİLİNMEYENLİ DOĞRUSL DENKLEM SİSEMİ ÜRLERİ Dekle sısıı iliee sısı z oluğu siste: < Örek: Bire çok krşı trflı siste: Örek: Krşı trfı sıfır ol siste(hooje ekle sistei): Örek: Krşı trfı iliee vektörüü sit ir ktı ol siste(özeğer prolei): Dekle sısıı iliee sısı z olsı uruuur: < Elektroik evre lizi coğrfi ilgi sistei isttistik optiizso ve ekik gii llrı zı prolelerie u tür sisteler ile krşılşılır ktsılr trisi geele çok serek oluur Bu tür ekle sisteii çözeilek içi ı stırlrı oğrusl ğısız ollı i rk ollıır ek eğil sosuz çözü vrır s s s s s s ı ktsılı s te ekle sisteii tek ir ekle sisteie zılış şekliir Krşı trft s te vektör vrır Her krşı trf vektörü içi ir çözü vektörü gerektiğie trisii e s te vektörü vrır Çözü s te ekle sisteii çözüü ile eşeğerir Çözüü vrlığı ukrı çıkl > ve < urulrı iri giiir - - - - - - - - - Krşı trfı sıfır ol sistee hooje ekle sistei eir ve olilir içi u ğıtıı sğlığı çıktır ck ur çözüü öeli olur çözüüü olilesi içi: et ollı ve ı stırlrı ve kololrı oğrusl ğılı ollı Her uru eklei sğl ire çok vrır λ λ Solki ğıtılrı hepsi e ı ğıtıır fkt frklı şekillere zılışlrır outlu ekle sisteii krşı trfı iliee vektörüü sit ir ktıır Bu tür ekle sistei ile iik epre stilite prolelerie krşılşılır ve özeğer prolei ı verilir Deklei sğl ir λ siti ve u it vektörü rır λ Sitie özeğer vektörüe e λ it özvektör eir Hooje ir ekle sistei oluğu çözüleri ck ve ck et (-λi) içi vrır Çözüü zorc ol u prole titreşi p cisileri periot freks ve olrıı hesı özeştir λ λ I ) ( ) ( λ λ I λ λ λ
ÇOK BİLİNMEYENLİ DOĞRUSL DENKLEM SİSEMİ ÜRLERİ ek çözü vr çözü ok sosuz çözü vr e eektir? Bir ilieeli ir ekle içi çıkl çlışlı: ekleie ve sit ilieeir uruu çözü / ır Çözü vrır ve tektir ve uruu ifesi tetik kurllr ters üşer çükü oluğu iliekteir rıc u ifee / zılz! Deek ki ekle uusuzur çözü oktur ve uruu ğıtısıı sğl sosuz vrır sosuz çözü vrır ek çözü vr çözü ok sosuz çözü vr e eektir? İki ilieeli ekle sisteleri içi çıkl çlışlı: ekle sistei: - ve - + - + İki frklı oğruu ekleiir Bu oğrulrı - koorit sisteie çizersek ve oktsı kesiştiklerii görürüz O hle u okt her iki oğru üzerieir ve eğerleri her iki eklei e sğlr şk kesişe okt oktur Çözü vrır ve tektir - Kesişe oktsı çözü ı ekle sisteii tris otsou zr ve ktsılr trisii eteritıı hesplrsk ( ) et -+ Det oluğuu görürüz Souç: eteritı sıfır fklı ekle sisteii çözüü vrır ve tektir ek çözü vr ekle sistei: - ve - - ½ İki frklı oğruu ekleiir Bu oğrulrı - koorit sisteie çizersek iririe prlel oluklrıı görürüz kesişezler O hle her iki oğru üzerie ol hiçir ortk okt oktur Her iki eklei e sğl ve eğer çifti uluz Çözü oktur ı ekle sisteii tris otsou zr ve ktsılr trisii eteritıı hesplrsk ( ) ( ) et Det oluğuu görürüz stırı -/ ile çrprk stır ile toplrsk - - Çözü ok Çözü ok ı ikici stırı sıfır olur i ı stırlrı oğrusl ğılıır rk< ir i ikici stırı sıfır eğilir İkici eklei çık zrsk + - i ir Bu ise tetik kurllr ters üşer Deek ki ekleler uusuzur Souç: Ktsılr trisii ir stırı sece sıfır elelr içerior fkt ı stırı krşı trfı sıfır frklı ise: eterit sıfırır stırlr oğrusl ğılıır ekleler uusuzur ekle sisteii çözüü oktur ekle sistei: - - ½ iririe frklı gii görüe u iki eklei - - şeklie zrsk gerçekte iririi ı iki oğru oluğuu görürüz Bu oğrulrı - koorit sisteie çizersek üst üste üşerler Her iki oğru üzerie sosuz ortk okt vrır O hle her iki oğru üzerieki her okt her iki eklei e sğlrlr Bu eele sosuz çözü vrır ı ekle sisteii tris otsou zr ve ktsılr trisii eteritıı hesplrsk ( ) ( ) et - - Det oluğuu görürüz stırı -/ ile çrprk stır ile toplrsk Sosuz çözü vr ı ve i ikici stırı sıfır olur i ı stırlrı oğrusl ğılıır rk< ir İkici eklei çık zrsk + i ır Bu ise tetik kurllr ters üşez Deek ki ekleler uuluur eğişkeie isteiğiiz herhgi eğer vereilir i u ğlı hespliliriz: c gii ir sit olsu [-(-)c]/+c olur Çözü vektörü + c ır ve ekle sisteii her c eğeri içi sğlr Sosuz c eğeri olileceği içi sosuz çözü vrır c Souç: Ktsılr trisii ir stırı sece sıfır elelr içerior ve ı stırı krşı trfı sıfır ise: eterit sıfırır stırlr oğrusl ğılıır ekleler uuluur ekle sisteii sosuz çözüü vrır
ÇOK BİLİNMEYENLİ DOĞRUSL DENKLEM SİSEMİ ÜRLERİ ek çözü vr çözü ok sosuz çözü vr e eektir? Üç ilieeli ekle sistei içi çıkl çlışlı: Dekle sistei: + + z + + z + + z et üzle eklei Mtris otsou z ekle sisteii her ir eklei ir üzlei ekleiir z uz ekse tkıı; üç üzle ir okt kesişirse tek çözü vrır Bir oğru ouc kesişirlerse ve üst üste üşerlerse sosuz çözü vrır Kesişezler ve iririe prrlel iseler çözü oktur Kesişe oktsı tek çözü vr Kesişe oğrusu sosuz çözü vr Düzleler ir okt kesişior: ek çözü vr Düzleler ir oğru ouc kesişior: Sosuz çözü vr Düzleler üst üste üşüor: Sosuz çözü vr Düzleler iririe prlel: Çözü ok Düzleler kesişior: Çözü ok Geelleştire: ek çözü vr çözü ok sosuz çözü vr e eektir? ekle ve ilieeli + + + + + + + + + Dekle sistei ekseli uz tılıır Çizi olul çözüü göstereeiz ve ekle sisteleri içi ukrı veriğiiz ilkeleri geelleştireiliriz: r çözü ekseli uz kooritlrı ol ir oktır Bu okt uluilir uluilir ve sosuz te uluilir O hle ekle sisteii ek çözüü olilir Çözüü olilir Sosuz çözüü olilir Dekle sisteie krk çözü vrır oktur sosuz çözü vrır eek ükü eğilir Yukrıki ireleelere lşılığı gii çözü ktsılr trisii eteritıı eğerie stır ve kololrı oğrusl ğılı olup olığı rk ve ekleleri uulu olup olığı ğlıır Büük ir ekle sisteii eteritı sıl hesplck? Stır ve kololrı oğrusl ğılı olup olığı sıl elirleecek? Dekleleri uulu ve uusuz oluğu sıl lşılck? Rk sıl hesplck? Zor gii görüle u sorulrı cevı slı çok sittir Dekle sistei çözülürke u sorulrı tüüü cevı keiliğie ort çıkr Bölü e ekle sistelerii çözü öteleri iceleirke u sorulr sısl öreklerle cevplcktır
ÇOK BİLİNMEYENLİ DOĞRUSL DENKLEM SİSEMİ ÜRLERİ Doğrusl ekle sistelerii çözü öteleri Ktsılr trisi kre ol ekle ve ilieeli () ekle sisteiie ve i elelrıı sit sılr oluştuğu et ve oluğu vrsılktır Dekle sisteii sğl vektörüü hesplsı çlktır Biliiği gii sırl koşullr eeile çözü vrır ve tektir Bilie ilk sistetik çözü etou Crer kurlıır Deterit hesı lı u çözü etou iğer çözü etotlrı kısl çok fzl işle( ilieeli ekle sistei içi klşık ilo işle!) gerektiriğie güüüze kullılktır Crer kurlıı sece trihsel eğeri vrır Güüüze oğrusl ekle sistei irekt ve iterso ötelerie iri ile çözülür: Direkt öteler: Belli sı çözü ıı ve işle sısı ol çözü öteleriir Gerekli ı sısı ve ört işle sısı çözü öcesi elliir GUSS iirgee etou GUSS-JORDN tekiği LU ve LDU çrplr ır öteleri CHOLESKY etou ve iğer ezerleri u gru girer İterso öteleri: Gerekli ı ve ört işle sısı çözü öcesi ilieez Htt çözüü ulucğıı grtisi e her z oktur Çözüe ir şlgıç çözüü thi eilerek şlır ir sorki ı hespl çözü gerçek çözüe h kıır Biririi izlee iki çözü rsıki frk eter erecee küçük oluc kr hesp tekrrlır JCOBI GUSS- SEIDEL etou CG (Cojugte Griet etho) etou SOR(Successive Overreltio Metho) etou ve iğer ezerleri u gru girer Çok sı irekt ve iterso ötei vrır ılı pıl ir sı göre e çok çözü ötei vrı eelleri sırlr öce tılış olkl irlikte sıl gelişeler - lı ıllr oluştur Bugü sısıı ilek ükü eğilir E geel öte GUSS iirgee etouur Diğerleri u ötei özel urulr içi z çok eğiştiriliş şekliir Yukrı ı geçe öteler e çok kullıllrır ü çözü ötelerii üç teel ğı vrır: Dekle sisteii ir ekleii sıfır frklı ir sit ile çrpılsı çözüü eğişez Dekle sisteii iki stırıı erleri eğiştirilirse çözü eğişez Dekle sisteii iki kolouu erleri eğiştirilirse çözü eğişez ck eğişkeleri sırsı eğişir Dekle sisteii ir eklei sıfır frklı sit ir sı ile çrpılır ve şk ir stır ile toplırs(ve çıkrılırs) çözü eğişez Direkt çözü etotlrı u ilkelere rrlrk ekle sisteii ktsılr trisii Bir üst üçge trise ve Bir lt ve ir üst üçge trisi çrpıı ve Bir lt üçge ir igol ve ir üst üçge trisi çrpıı öüştürürler Bu eele ukrı ı geçe ötelere iirgee ve çrplr ır ötei ı verilir Ktsılr trisi üçgeleştiriliş sistei çözüü gerçek sistei çözüüü verir İlk sistetik ekle çözüüü İsviçreli Crer(-) ılı ılı