Değişken Çaprazlama ve Mutasyon Faktörleri Kullanılmış Genetik Algoritma ile Kafes Yapıların Optimizasyonu Hilmi COŞKUN İskenderun Teknik Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, İskenderun, HATAY Tel: (533) 3909023 e-posta:hilmicos@yahoo.com Hakan Tacettin TÜRKER İskenderun Teknik Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, İskenderun, HATAY Tel: (505) 9590925 e-posta:hturker@gmail.com ÖZ Bu çalışmada, farklı çaprazlama ve mutasyon stratejileri kullanılmasının genetik algoritma (GA) verimliliğine odaklanmıştır. Çeşitli kafes kiriş türü örnekler, farklı çaprazlama ve mutasyon yaklaşımlarının etkisini göstermek için verilmiştir. Sürekli mutasyon ve çaprazlama olasılıkları kullanıldığında yakınsama hızı daha hızlı olsa da, en iyi tasarım değişken uyarlanabilir mutasyon ve çaprazlama olasılıkları ile hemen hemen her zaman elde edilir. İncelenen problemin türü yakınsama ve en iyi tasarım elde etme hızını etkiler. Eğer tasarım değişkenleri çoksa ve bunların olası değerlerin aralığı geniş ise, değişken mutasyon veya çaprazlama olasılıkları nesiller boyunca arama sürecini sürdürebilir. Değişken prosedürler, tasarım uzayında gereksiz denebilecek gezinmeye neden olabilir, buna rağmen, olası çözüm setleri yine de elde edilebilir. Kafes yapıların tasarımında, basit bir genetik algoritma prosedürü ağırlığın en aza indirilmesi için kullanılır. Sonuçlardan, kullanılması önerilen değişken mutasyon ve çaprazlama olasılıklarının basit genetik algoritma prosedürüne daha iyi arama yetenekleri sağlayabildiği gösterilmiştir. Anahtar sözcükler: Evrimsel algoritma, kafes kiriş, tasarım, minimum maliyet, uzay kafes GİRİŞ Genetik Algoritma (GA), arama uzayı çok geniş ve çok karmaşık olabilen gerçek dünya sorunlarını çözmek için uygun bir optimizasyon yöntemidir. Birçok araştırmacı, inşaat ve makine mühendislikleri ve havacılık gibi disiplinlerde genetik algoritmaların (GA) problemlerin çözümünde uygulanabilirliğini göstermiştir [Camp, 1998; Kaveh, 2004; Soh, 1996]. GA ilk olarak Holland [1975] tarafından geliştirilmiş ve ardından Goldberg [1989] bu yöntemi çeşitli inşaat ve makine mühendislik problemleri için uygulamıştır. Klasik optimizasyon yöntemleri gradyan bilgisi gerektirirler; bu nedenle iyi bir başlangıç noktası ve sürekli olan değişkenler gerektirirler. GA da arama prosedüründe amaç fonksiyonu türevleri yerine yalnızca amaç fonksiyonu değerleri kullanılmaktadır. 395
Genetik algoritmalar gradyan bilgi gerektirmediğinden ve çözüm uzayını global olarak araştırdıklarından dolayı, geleneksel teknikler ile çözülmesi zor olan problemler için daha uygundur [Coello, 2002]. GA hemen her tip optimizasyon problemi ile başa çıkabilir çünkü fonksiyonların değerlendirilmesinden bağımsız olarak sadece fonksiyonların değerine bağlı olarak global optimum çözüme doğru ilerler [Arora, 2004; Cheng, 1997; Mitchell, 1996]. Amaç fonksiyonu değerleri, GA da doğal genetiğin uygunluğu rolünü oynamaktadır. Bireyler (deneme tasarım vektörler) topluluğu, çok sayıda tekrarlayan nesiller ile bir optimuma doğru gelişir. Her yeni nesil, bir önceki neslin ebeveynleri üzerinde seçim, çaprazlama (rekombinasyon) ve mutasyon prosedürlerini uygulayarak üretilir. Seçim prosedürü her bireyin gelecek kuşaklara kendi özelliklerini aktarması için bir fırsat sağlar. Bu fırsat bir bireyin uygunluğu ile değişir ki iyi özelliklere sahip bireylerin üreme için seçilme olasılığı daha yüksektir anlamına gelir. Eğer problem birçok tasarım değişkenleri ve pek çok seviyeleri olacak şekilde düşünülmüşse, arama uzayı devasa büyük olur. Bu durumda, sınırlı evrim süresinde optimuma yakın bir çözüme ulaşmak önemli hale gelir. Çözüm uzayının daha iyi keşfi için, seçim mekanizması çaprazlama ve mutasyon ile takviye edilmiştir. Nesil sayısı önceden verilmişse ve yakınsama çok erken oluşursa, bu durumda arama uzayında daha fazla tasarımlar aranmaz çünkü artık çaprazlama operatörü benzer bireylerin üzerinden işlem yapacaktır. Bu prosedürlerin tamamı yakınsamayı hızlandırmak için bir seçim baskısı sağlarlar. Mutasyon operasyonu ile belirli bir konumdaki prematüre bir genetik kayıp sonradan elde edilebilir. Genellikle, pek çok çaprazlama bir GA da daha kötü bir performansa neden olabilir çünkü ortaya çıkan tasarımlar ebeveyn tasarımlardan çok farklı olabilir [Arora, 2004]. Diğer taraftan, mutasyon, mevcut tasarımın civarındaki tasarımlarda değişikliklere yol açar ki bu yüzden mutasyon hızını artırmak GA performansını arttırabilir. Ancak artan mutasyon oranı ile değişikliklerin ortaya konulması, belirli bir sayıda nesil içinde uygunluk değerlerinin yakınsamasını sağlamayabilir. Literatürde, bir GA nın performansında çaprazlama ve mutasyon olasılıklarının etkinliği ile ilgili farklı ölçütler incelenmiştir [Hasancebi, 2000; Leite, 1998; Ochoa, 2000; Friedrich, 2009]. Ancak, çaprazlama ve mutasyon genellikle sıfır ile bir arasında olabilen sabit değerler olarak kullanılır. Mutasyon için sabit oran kullanıldığında, uygunluk için yakınsama erkenden oluşabilir. Eğer mutasyon oranı sabit, ancak bire yakın olursa, bu durumda hiç yakınsama olmayabilir. Dolayısıyla, bu çalışmada değiştirilmiş mutasyon ve çaprazlama operatörleri incelenmiş ve sunulmuştur. Önerilen yöntemde farklı çaprazlama ve mutasyon işlemlerinin etkisini göstermek üzere sayısal örnekler verilmiştir. Verilen örnekler, literatürde önceden yayınlanmış sonuçlarla evrimsel algoritmalar kullanan diğer araştırmacılar tarafından ele alınmış olan örneklerden seçilmiştir. GENETİK ALGORİTMA Genetik algoritma genetik ve doğal seçilim ilkelerine dayanmaktadır. Genetiğin temel unsurları üreme, çaprazlama ve mutasyon, GA'nın arama prosedüründe kullanılmaktadır. GA nın çalışması aşağıdaki algoritma ile tarif edilebilir: 396
(a) Arama prosedürünün başlatılması için tasarım değişkenlerinden oluşan bireylerden bir başlangıç toplumu oluşturulur. (b) Problemi çözerek toplumun her bireyi için amaç fonksiyonunu değerlendirilir. (c) Seçim şablonu kullanılarak toplumdan bireyler seçilir. (d) Yeni nesli oluşturmak için çaprazlama ve mutasyon operatörleri uygulanır. (e) Eğer belirlenmiş nesil sayısına ulaşılırsa işlem durdurulur, aksi halde adım (b)'ye gidilir. İlk olarak Holland [1975] tarafından önerilen GA yı diğer evrimsel algoritmalardan, ayırt eden üç özellik vardır: (i) kullanılan temsil -bit zinciri; (ii) seçim yöntemi oransal seçim; ve (iii) değişiklikleri üretmek için kullanılan birincil yöntem -çaprazlama. Ancak bu üç özellikten çaprazlamaya yapılan vurgu GA yı ayırt edici kılar. Sonraki birçok GA uygulamaları seçim için alternatif yöntemleri benimsemiştir ve birçok sorunların üstesinden gelmek için daha uygun başka temsiller de bit temsili yerine tercih edilmiştir. Geleneksel olarak, tasarım değişkenleri ikili değişkenler dizileri olarak temsil edilmektedir (Şekil 1). Bu çalışmada ise, değişkenlerin tamsayı olarak temsil edilmesi benimsenmiştir çünkü bu çalışmada ele alınan sayısal örnekler pek çok bazen onlarca değişkenlerden meydana gelmektedir (Şekil 1). Her bir değişkenin çok hassas olması istendiğinde, bit dizisi çok uzun hale gelmektedir. Tamsayı kullanılmasıyla ikili değişkenlerde olabilecek kullanılmayan boşluklardan özellikle ayrık değişken değerleri olması durumunda kaçınılabilir. Örneğin ikili değişken olarak 111000101010 kullanılmış olsaydı, buna karşılık gelen tamsayı 147 olur. Ancak, eğer çelik profil değerleri dikkate alınacak olursa, ayrık değişken olarak yalnızca 140 profil bulunabilir ki bu durumda ya 1111101010101 (tamsayı 256) ya da 1101011110011 (tamsayı 128) kullanılmalıdır. Açıkça eğer tüm çelik profil değerleri dikkate alınacak olursa, 128 kullanılamazdı ve bu nedenle 256 tamsayıya karşılık ikili dizi kullanılması gerekir. Bu durumda da (256-147 = 109) karşılık pek çok bit kullanılmadan kalacaktır. 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 bireylerin ikili temsili x 1 x 2 x 3 x 4 12 3 1 4 bireylerin tamsayı temsili Şekil 1 Genetik algoritmada bireylerin temsilleri. GA temelde kısıtsız bir optimizasyon probleminin maksimumunu bulur. Birçok mühendislik problemlerinde, uygulanılan birçok tasarım kriterleriyle birlikte minimum ağırlık, maliyet veya zaman aranır. Bu problemleri çözmek için gerekli iki dönüşüm yapılmalıdır. İlk dönüşüm penaltı işlevini kullanarak orijinal kısıtlı problemi kısıtsız problem haline dönüştürür. Kısıtlı optimizasyon problemlerinin çözümünde kullanılan bir teknik olan penaltı işlevleri, genellikle tüm kriterleri karşılayan tasarımlara çözüm aramayı kısıtlamak için kullanılır. Adından da anlaşılacağı gibi optimizasyonu sırasında bir kısıtlamanın ihlal edilmesi durumunda, orijinal amaç fonksiyonuna bir ceza eklenir. Bu şu şekilde gösterilebilir 397
m Minimize F(X) + R j=1 Φ(g j (X)) (1) burada X, tasarım vektörüdür ve x alt üst i x i x i, i = 1,2,, n (2) tabidir. ve R, penaltı parametresi olarak da bilinen sabittir. Penaltı fonksiyonu, Φ şu şekilde tanımlanmaktadır Z eğer Z > 0 Φ(Z) = (3) 0 eğer Z 0 burada Z, herhangi bir sabit değerdir. Kısıtlamalar ihlal edildiğinde, penaltı fonksiyonunun kendisi büyür ve amaç fonksiyonunun değerinde bir artışa zorlar. Bazı durumlarda, bu tasarım vektörlerine ceza uygulanması yerine uygun olmayan bireyler ortadan kaldırılır. İkinci dönüşüm, uygunluk fonksiyonunun f(x) maksimizasyonu ile F(X) minimizasyonunun elde edilmesidir. C f(x) = (4) = C F(X) 1+R m j=1 Φ g j (X) F (X) burada C herhangi pozitif bir sabit değerdir. Bu fonksiyon ile f(x) in pozitif değerleri elde edilmektedir. Bireylerin uygunluk değerleri, seçim sürecinde son derece uygun bireylerin egemenliğini ortadan kaldırmak için ölçeklenir. Bu amaç için kullanılan uygunluk ölçekleme fonksiyonu şudur: f (s (X) = f(x) c 1) f (f max f min ) ort + (f max s c f min ) f (f max f ort ) ort (5) burada, f max, f min ve f ort sırasıyla toplumda maksimum, minimum ve ortalama uygunluk değerleridir; s c (genellikle 2.0 olarak alınır) ölçeklendirme faktörüdür; ve f*(x) i inci bireyin (tasarım vektör, X i ) ölçeklendirilmiş uygunluk puanıdır. Ölçekleme sonrası, maksimum uygunluk değerinin ortalama uygunluk değerine oranı yaklaşık s c kadar olur. Çaprazlama Ve Mutasyon Basit genetik algoritmada kullanılan temel işlemler, üreme, çaprazlama ve mutasyondur. K Üreme sürecinde her birey dizisi (tasarım vektörü) çoğalma (kopyalama) için f i i = f 1 i kadar bir olasılığı sahiptir; burada f i i inci bireyin (tasarım vektör, X i ) uygunluk fonksiyonu değeri ve K popülasyonun büyüklüğüdür. Böylece, yüksek uygunluk değerlerine sahip tasarımların izleyen genetik işlemler için seçilme şansı büyür. Üremeden sonra, çaprazlama işlemi ilk olarak üreme sürecinde oluşturulan çiftleşme havuzundan iki birey seçilerek uygulanır. Ardından, tasarım vektörü uzunluğu üzerinden rastgele bir çaprazlama yeri seçilir ve Şekil 2'de görüldüğü gibi iki dizi arasında dizi parçaları takas edilir. (Ebeveyn 1) X 1 = { 2 13 5 34 22 6 1 71 } (Ebeveyn 2) X 2 = { 11 3 34 21 18 53 48 19 } Eğer çaprazlama yeri 3 ise çaprazlamanın sonucu oluşan çocuklar, (Çocuk 1) X 3 = { 2 13 5 21 18 53 48 19 } (Çocuk 2) X 4 = { 11 3 34 34 22 6 1 71 } Şekil 2 Genetik algoritmada bireylerin çaprazlama işlemi. 398
Son olarak, mutasyon operatörü belirli bir olasılık düzeyinde yeni dizilere uygulanır. Bir mutasyonda, bir tasarım vektörünün bir veya daha fazla değerinin rastgele seçilen bir tamsayı değeri ile değiştirilmesidir. Mutasyon işleminde, üst ve alt limitler arasında olan rastgele bir tamsayı değeri, dizide rastgele bir yerde olur. Son olarak, çaprazlama ve mutasyon işlemlerinden elde edilen yeni diziler yeni oluşan popülasyonda eski dizilerin yerine geçer. ÖNERİLEN DEĞİŞKEN ÇAPRAZLAMA VE MUTASYON OPERATÖRLERİ Bu çalışmada değişken mutasyon ve çaprazlama operatörleri önerilmiştir. Buradaki temel varsayım, her nesilde uygunluk değerlerinin dağılımının yaklaşık normal dağılım yakın olduğudur. Örneğin, bir neslin uygunluk değerleri 2.0 standart sapmadan daha az veya eşit ise, değerlerin yaklaşık % 95'i normal dağılım eğrisi altına düşer. Bunun anlamı, bu uygunluk değerlerinin, gerçek optimum veya değil, bir değere yakınsadığıdır. Çözüm uzayında aramaya devam etmek için, mutasyon ve çaprazlama olasılıkları artırılmalıdır. Önerilen yöntem, mutasyon ve çaprazlama olasılıklarının belli rastgele seçilmiş değerlerini kullanarak, uygunluk değerlerinin normal olasılık dağılımını yansıtacak bir adım işlevini kullanır. GA için mutasyon ve çaprazlama olasılıkları etkileri üç farklı durum senaryosu için incelenmiştir: I. Durum A;, çaprazlama olasılığı (p c ) sabit tutulur ve aşağıdaki şekilde mutasyon olasılığı (p m ) değişken tutulur, p c = φ p m = ξ; λ a σ f λ ü II. Durum B; çaprazlama olasılığı (p c ) ve mutasyon olasılığı (p m ) sabit tutulur, p c = φ p m = ξ III. Durum C; çaprazlama olasılığı (p c ) ve mutasyon olasılığı (p m ), aşağıdaki gibi belirlenen kurala göre değişken tutulur, p c = φ; λ a σ f λ ü p m = ξ; λ a σ f λ ü burada φ 0 ile 1 arasında bir değerdir, ξ toplumun uygunluk değerlerinin standart sapmasına bağlı olarak değişen ve 0 ile 1 arasında bir değerdir ve σ f toplumun uygunluk değerlerinin standart sapmasıdır, λ a ve λ ü değerleri σ f için belirlenen sırasıyla alt ve üst limitlerdir. Durum B genellikle basit genetik algoritma çözümlerinde izlenen prosedürü temsil eder. Bu çalışmanın amacı toplum uygunluk değerlerinde bir dalgalanma oluşturmak olduğundan, Durum A ve Durum C farklılıkları göstermek üzere kullanıldı. Durum A ve Durum C de mutasyon ve çaprazlama olasılıkları, toplumun uygunluk değerlerine bağlı olarak değişti. Bu kuralların çalışması, koşullu mutasyon olarak adlandırılan bazı kısıtlayıcı koşullar altında genetik kod değişikliğine benzetilebilir. Toplumda kasıtlı oluşturulan dalgalanma, arama uzayının daha iyi aranmasına yol açan bir çeşitlilik basıncını sağlayacaktır. 399
SAYISAL DEĞERLENDİRMELER İÇİN MODELLER Etkililik ve verimlilik açısından gösterilen çaprazlama ve mutasyon işlemlerinin farklı biçimlerini karşılaştırmak için sayısal testlere uygulandı. Aynı sayıdaki çözüm değerlendirmelerinden sonra elde edilen sonuçlar ile karşılaştırmalar yapıldı. Toplumun tasarım vektörleri (yani, her bir birey) için tamsayı kodlama kullanıldı. GA, ANSYS Sonlu Elemanlar Modelleme ortamında kodlandı. ANSYS parametrik dili bu durumda GA kodlama için kullanıldı. İlk toplum rastgele oluşturuldu ve iyi bireyler turnuva seçim fonksiyonu ile seçildi. GA, belirli bir iterasyonda sonlandırıldı. Basit tek nokta çaprazlama işlemi kullanıldı. Üniform mutasyon, çaprazlama işleminden sonra uygulandı. Bu çalışmada, çelik uzay kafes yapıları incelendi. Kafes yapıda kullanılan çelik ağırlığı dikkate alınırken, kurulum ve diğer masraflar sabit kabul edildi (dikkate alınmadı). Dolayısıyla, problemde göz önüne alınan tasarım değişkeni sadece elemanların kesit alanı oldu: X = (... A 1, A 2, A K ), burada K kafes yapının eleman sayısıdır. Amaç fonksiyonu (F(x)), yapının toplam ağırlığı olarak (W) seçildi, K F(X) = W = i=1 q i A i L i (9) burada, q elemanın yoğunluğu ve L elemanın uzunluğudur. Her çalışma 100 nesilde tamamlanır ve her nesilde toplum 40 bireyden oluşur; dolayısıyla her çalışmada 4000 değerlendirme yapılmıştır. Her durum için sonuçlar, seçilen kafes yapıları için verilmiştir. Sonuç değerler nesiller boyunca, ortalama, minimum ve maksimum uygunluk değerlerini göstermektedir. Bu üç değer, Durum A, B, ve C için nüfusun uygunluk değerlerinin sapmalarını görselleştirmek için kullanılmıştır. Aşağıdaki şemalar sayısal değerlendirmede kabul edildi: Durum A: p c = φ = 0.6 ξ 1 = 0.10 ; 0 σ f < 1 p m = ξ 2 = 0.05 ; 1 σ f < 2 ξ 3 = 0.01 ; 2 σ f Durum B: p c = φ = 0.6 p m = ξ = 0.01 Durum C: φ 1 = 0.60 ; 0 σ f < 0.5 φ 2 = 0.40 ; 0.5 σ f < 1 p m = φ 3 = 0.20 ; 1 σ f < 2 φ 4 = 0.01 ; 2 σ f ξ 1 = 0.80 ; 0 σ f < 0.5 ξ 2 = 0.70 ; 0.5 σ f < 1 p c = ξ 3 = 0.65 ; 1 σ f < 2 ξ 3 = 0.6 ; 2 σ f 400
Sayısal örneklerde ele alınan örnekler için birçok durumda yayınlanan sonuçlarda değerlendirme sayıları (tasarım vektörü sayısı) verilmemiştir. En iyiye yakın sonuçların burada verilen çalışmaya göre elde edildiği gösterilmiştir. Bunun yanı sıra, bu çalışma birkaç genetik algoritma kodlama yaklaşımları arasındaki farklılıkları da ortaya koymaktadır. 6-Çubuk, 2-D Kafes Yapı Şekil 3'te gösterildiği gibi, karşılaştırmalı inceleme için birinci test problemi Hajela [1993] ve Deb [2001] tarafından yapılan çalışmada yer alan iki boyutlu, 6-çubuklu kafes yapıdır. Kafes yapı elemanları, 0.01 in 2 (6.45 mm 2 ) artışlarla alanları 0.01 in 2 (6.45 mm 2 ) ile 40 in 2 (25806 mm 2 ) arasında olabilen 400 ayrı kesit alanı alındı. Tasarımda kullanılan diğer malzeme özellikleri şunlardır; Elastisite modülü, E = 10000 ksi (70 GPa), yoğunluk, q = 0.1 lb/in 3 (2770 kg/m 3 ), ve akma gerilmesi, f y = 25 ksi (170 MPa). Şekil 3 deki gösterilen 2, 4, ve 5 nolu düğümlerin yer değiştirmeleri düşey yönde 2 in (50 mm) den daha az olmalıdır. Uygulanan yükler de Şekil 3 'de gösterilmiştir. 2 30 ft (9.14 m) 100 kips (445 kn) 30 ft (9.14 m) 4 5 30 ft (9.14 m) 100 kips (445 kn) Şekil 3 İki boyutlu, 6 çubuklu kafes kiriş. Şekil 4-6 ya, amaç fonksiyonunun değerleri, yani, kafes yapının ağırlığı verilmektedir. Şekil 4'te, Durum A için elde edilen sonuçlar verilmiştir. Şekil 4 Durum A için iki boyutlu, 6 çubuklu kafes kirişin amaç fonksiyonu ilerleyişi. 401
Şekil 4'teki grafiğe göre, GA 35. nesil civarında yaklaşık 5,496.4 lb değerine yakınsamaktadır. Bununla birlikte, Durum B bu problem için uyarlanması halinde, Şekil 5 e göre, 20 nesil civarında 5545.8 lb değerine yakınsamaktadır. Şekil 5 Durum B için iki boyutlu, 6 çubuklu kafes kirişin amaç fonksiyonu ilerleyişi. Son olarak, Durum C dikkate alındığında, bu durumda sonuç Durum A dakine oldukça benzer olmaktadır (Şekil 6). Yine de maksimum ve minimum tasarım değerleri arasındaki salınım oldukça büyük olmakta ve 35. nesil civarında GA sonuçları yakınsamaktadır. Bununla birlikte, Durum C de elde edilen en iyi tasarım değeri, 4958.4 lb Durum A da elde edilenden biraz daha düşüktür. Bu sonuçlar Tablo 1 'de gösterilmiştir. Şekil 6 Durum C için iki boyutlu, 6 çubuklu kafes kirişin amaç fonksiyonu ilerleyişi. Sonuçlara göre, Durum A ve Durum C benzer davranış göstermektedir ve Durum B sonuçları yaklaşık 20 nesil sonra diğer ikisinden belirgin farklı olmaktadır. Durum B de, toplum ortalamaları herhangi bir sapma göstermeden uzun süre devam etmektedir. 402
Tablo 1 6 çubuklu kafes kiriş için amaç fonksiyonu değerleri (ağırlık, lb). En iyi tasarım Toplumun ortalaması Durum A 5183.5 5281.3 Durum B 5286.5 5286.5 Durum C 4958.4 4969.3 25 çubuklu, 3-D Kafes Yapı İkinci test problemi Şekil 7'de gösterilen üç boyutlu bir 25 çubuklu iletim kulesidir. Bu problem, Rajeev ve Krishnamoorty [1992], Erbatur ve ark. [2000] ve Ponteresso ve Fox [1999] tarafından incelenmiştir. Kafes elemanları, 0.01 in 2 (6.45 mm 2 ) artışlarla alanları 0.01 in 2 (6.45 mm 2 ) ile 40 in 2 (25806 mm 2 ) arasında değişen toplam 400 ayrı kesit alanına sahip olabilmektedir. Şu değerler tasarımda malzeme özellikleri için kullanıldı; Elastisite modülü, E = 10000 ksi (70 GPa), yoğunluk q = 0.1 lb/in 3 (2770 kg/m 3 ), ve akma gerilmesi f y = 35 ksi (240 MPa). Yer değiştirme kısıtlamaları için düğüm 1 ve 2 için, x ve y yönünde Δ j 0.35 in. (9 mm) uygulanmıştır. Tablo 2 de uygulanan yükler bulunmaktadır. Tablo 2 25 çubuklu kule için yükleme verileri. Düğüm x :kips (kn) y :kips (kn) z :kips(kn) 1 1 (4.45) -10 (-44.5) -10 (-44.5) 2 0-10 (-44.5) -10 (-44.5) 3 0.5 (2.22) 0 0 6 0.6 (2.67) 0 0 z 75 in. (1.91 m) 2 100 in. (2.54 m) 1 4 100 in. (2.54 m) 100 in. (2.54 m) 3 5 6 100 in. (2.54 m) 200 in. (5.08 m) 200 in. (5.08 m) y x Şekil 7 Üç boyutlu, 25 çubuklu kule. Üç farklı durum için amaç fonksiyon değerleri Şekil 8-10 ye dek verilmiştir. 403
Şekil 8 Durum A için üç boyutlu, 25 çubuklu kulenin amaç fonksiyonu ilerlemesi. Şekil 8, Durum A değerlendirmesi için üç boyutlu kulenin amaç fonksiyonunda elde edilen değerleri göstermektedir. Şekle göre, GA, 40. nesil civarında yaklaşık 536.8 değerine yakınsamaktadır. Ancak, bu problem için Durum B de GA 547.2 değeriyle 20. nesil civarında yakınsamaktadır (Şekil 9). Şekil 10 da Durum C için GA amaç fonksiyonunun ilerlemesi verilmektedir. Şekil 9 Durum B için üç boyutlu, 25 çubuklu kulenin amaç fonksiyonu ilerlemesi. 404
Şekil 10 Durum C için üç boyutlu, 25 çubuklu kulenin amaç fonksiyonu ilerlemesi. Tablo 3 25 çubuklu uzay kafes kule için amaç fonksiyonu değerleri (ağırlık, lb). En iyi tasarım Toplumun ortalaması Durum A 510.83 527.09 Durum B 536.45 541.63 Durum C 525.62 537.84 Bu analizlerden elde edilen sonuçlar Tablo 3 de karşılaştırılmıştır. Tablo 3'ten görüleceği gibi en iyi tasarım ağırlığı değerleri bulunmasında Durum A yı Durum C 'de elde edilen değerler izlemektedir. SONUÇ Değişken çaprazlama ve mutasyon olasılıkları için üç farklı durum incelenmiş ve sayısal örnek olarak iki adet kafes yapı verilmiştir. Değişken prosedürler, çözülen sayısal örneklerde basit genetik algoritmanın sabit mutasyon ve çaprazlama olasılıkları kullanılma haline göre karşılaştırıldığında iyi sonuçlar vermiştir. Değişken mutasyon ve çaprazlama olasılıkları kullanılmasının tasarım uzayının daha iyi incelenmesine yol açtığı gösterilmiştir. Ancak, Durum A ve Durum C arasında dikkat çekici bir fark olmadığı söylenilebilir. Bu durum beklenilebilir, çünkü her iki yaklaşım da bireylerin karakteristiklerini değiştirmektedir. Sonuçların aynı çözüm uzayına sıkışması (erken yakınsama) olasılığını azaltmak için, çeşitli tasarım vektör değerleri değerlendirilmelidir. Sadece bu yaklaşım ile olası çözüm uzayında farklı noktalar aranabilir. Sonuçlara göre iki durum (Durum A: değişken mutasyon ve sabit çaprazlama olasılıkları; Durum C: değişken mutasyon ve değişken çaprazlama olasılıkları) arasında farklı davranış gözlemlenmemiştir. 405
Mutasyon olasılığı sabit tutulduğu zaman (Durum B) diğer durumlara göre yakınsama çok hızlı olmakta ancak yakınsayan değerler optimum değerlerden uzakta olmaktadır. Sayısal örneklerde, 20 civarında nesilden sonra Durum B de aynı amaç fonksiyon değerleri elde edilirken, Durum A veya Durum C de daha iyi tasarımlar bulunabilmektedir. Bu, tek ve sabit çaprazlama ve mutasyon olasılıkları kullanılmasına bağlı olarak daha az etkin arama kapasitesi ile ilişkilendirilebilir. Eğer değişken mutasyon ve çaprazlama olasılıkları kullanılırsa, olası çözüm setleri yine de elde edilir. Diğer bir deyişle, artan mutasyonlar muhtemel çözümden uzaklaşmalara sebep olmakla birlikte nihai optimumdan büyük bir sapma olmamaktadır. Problemin tipi yakınsamanın ve en iyi tasarıma ulaşmanın hızını etkilemekle birlikte, önerilen değişken çaprazlama ve mutasyon olasılıkları tasarım uzayının etkin aranmasını sağlar. Özellikle, tasarım değişkenleri çok sayıda ve bu değişkenlerin olası değerlerinin aralığı geniş ise, nesiller boyunca mutasyon veya çapraz olasılıklarının değiştirilmesi arama sürecini sürdürebilir. KAYNAKLAR Arora J.S. (2004). Introduction to Optimum Design. San Diego: Elsevier Academic Press. Camp C., Pezeshk S., Cao G. (1998). Optimized Design of Two Dimensional Structures Using a Genetic Algorithm. J. Struct. Eng. ASCE. 124(5):551 9. Cheng F.Y., Li D. (1997). Multi-Objective Optimization Design With Pareto Genetic Algorithm. J. Struct. Eng. 123(9):1252 61. Coello C.A. (2002). Theoretical and Numerical Constraint-Handling Techniques Used With Evolutionary Algorithms: A Survey of the State of the Art. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 191(11 12). 1CA.245 87. Deb K., Gulati S. (2001). Design of Truss-Structures for Minimum Weight Using Genetic Algorithms. Finite Elements in Analysis and Design. 37:447-465. Erbatur F., Hasancebi O., Tutuncu I., Kilic H. (2000). Optimal Design of Planar and Space Structures with Genetic Algorithms. Computers and Structures. 75:209-224. Friedrich T., Oliveto P.S., Sudholt D., Witt C. (2009). Analysis of Diversity-Preserving Mechanisms for Global Exploration. Evolutionary Computing.MIT. 17(4):455-476. Goldberg D.E. (1989). Genetic Algorithm in Search Optimization and Machine Learning. Boston: Addison-Wesley. Hajela P., Lee E., Lin C.Y. (1993). Genetic Algorithms in Structural Topology Optimization, in: Blendsoe M., Soares C. (Eds.). Topology Design of Structures. NATO ASI Series. 117-133. 406
Hasancebi O., Erbatur F. (2000). Evaluation of Crossover Techniques in Genetic Algorithm Based Optimum Structural Design. Computers and Structures. 78:435-448 Holland, J.H. (1975). Adaptation in Natural and Artificial Systems. University of Michigan Press, Ann Arbor. Kaveh A., Kalatjari V. (2004). Size/Geometry Optimization of Trusses by the Force Method and Genetic Algorithm. Z Angew Math. Mech. 84(5):347 57. Leite, J.P.B., Topping B.H.V. (1998). Improved Genetic Operators for Structural Engineering Optimization. Advances in Engineering Software. 29(7-9):529-562. Mitchell M. (1996). An Introduction to Genetic Algorithm. Cambridge (MA): MIT Press. Ochoa G., Harvey I., Buxton H. (2000). Optimal Mutation Rates and Selection Pressure in Genetic Algorithms. Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference GECCO. 315-322. Ponteresso P., Fox D.S.J. (1999). Heuristically Seeded Genetic Algorithms Applied to Truss Optimisation. Eng. Comput. 15:344 5. Rajeev S., Krishnamoorty C.S. (1992). Discrete Optimization of Structures Using Genetic Algorithms. J. Struct. Eng. 118(5):1233 50. Soh C.K., Yang J. (1996). Fuzzy Controlled Genetic Algorithm Search for Shape Optimization. J. Comput. Civil Eng. ASCE. 10(2):143 50. 407