Kanıtlama Biçimleri Buradan itibaren biçimsel mantığı ele almaya başlıyoruz. Biçimsel mantık kanıtlamaların biçimini inceler, pek çok kanıtlamanın ortaklaşa paylaştığı akıl yürütmelere dair kimi soyut kalıpları ele alır. Kanıtlama biçimlerinin incelenmesi geçerlik ve bununla ilgili konularda kapsamlı aydınlatıcı genellemeler yapmaya imkân verir. Başlangıç olarak tümdengelimsel geçerlik kavramı üzerinde duracağız, tümevarımlı kanıtlamaları sonraya bırakacağız. Özel olarak bizim burada ilgilendiğimiz konu geçerli bir tümdengelimli kanıtlamanın öncüller doğru iken sonucun yanlış olmadığı bir kanıtlama olması olacak. Kanıtlama biçimlerini incelemek suretiyle bu hususu çok daha kesin ve detaylı hale getirme imkânımız olacak. Hepsi aynı biçime sahip olan üç kanıtlama ile başlıyoruz: (1) Bugün ya Pazartesidir veya Salı. Bugün Pazartesi değil. Bugün Salı. (2) Mona Lisa tablosunu yapan ya Rembrandt tı veya Michelangelo ydu. O tabloyu Rembrandt yapmadı. Michelangelo yaptı. (3) O ya en az 18 yaşında veya bir genç. O en az 18 yaşında değil. O bir genç. Bu üç kanıtlamanın da tümdengelimsel geçerli olduklarını görebilmek kolaydır. Onlardaki ortak biçim mantıkçılar tarafından ayrık öncüllü tasım veya seçenekli tasım (disjunctive syllogism) olarak bilinir ve şöylece şemalaştırılabilir: Q. Ya P veya Q. P olduğu doğru değildir. Burada P ve Q harfleri bildiri cümleleri için birer yer tutucu görevi görür. Bunlara cümle harfleri adını verebiliriz. Bu biçime sahip olan her kanıtlama, bu biçimde, cümle harflerinin yerine cümleleri koyarak elde edilebilir, ancak aynı harfi her geçtiği yerde aynı cümleyle değiştirmek kaydıyla. Bu yüzden, mesela kanıtlama (1), bu biçimde, P harfini Bugün Pazartesi cümlesi ile ve Q harfini Bugün Salı cümlesi ile değiştirmek suretiyle elde edilebilir. Bunu yaptığımızda sonuç, Ya bugün Pazartesi veya bugün Salı. Bugün Pazartesi olduğu doğru değildir. Bugün Salı. olacaktır ve bu sonuç bizim buradaki amaçlarımız bakımından sırf kanıtlama (1) in dilsel bir çeşitlemesinden ibarettir. Böyle dilsel çeşitlemeleri, daha fazla incelik ve hile içeren mantıksal ve felsefi bağlamlar hariç, buradaki amaçlarımız bakımından göz ardı edebiliriz. Bir kanıtlama biçiminden bu şekilde elde edilebilen bir kanıtlamaya bu biçimin bir özellemesi denir.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.1 Aşağıdaki üç kanıtlamada ortak olan kanıtlama biçimini saptayınız: (a) Eğer bugün Pazartesi ise dişçiye gitmem gerek. Bugün Pazartesi. Dişçiye gitmem gerek. (b) Notların iyiyse bir burs kazanabilirsin. Senin notların iyi. Bir burs kazanabilirsin. (c) Sen sınavdan geçtin mi ben de geçtim demektir. Sen sınavdan geçtin. Ben de geçtim. Çözüm Bu üç kanıtlama aşağıdaki aynı biçime sahiptir (bu biçim mantıkçılar tarafından hipotetik tasım veya koşullu tasım (modus ponens önbileşenin evetlendiği tasım) olarak bilinir: Eğer P ise Q. P. Q. (b) de eğer sözcüğü geçmiyor ama anlam bakımından bunun bir önemi yoktur. Öncülü, bu sözcüğü ekleyerek yeniden yazmakla anlam değişmeyecektir: Eğer notların iyiyse bir burs kazanabilirsin. Benzer şekilde, (c) de anlam bakımından aslında Eğer ise nin bir dilsel çeşitlemesi sayılır: Eğer sen sınavdan geçtin ise ben de sınavdan geçtim. Dikkat etmek gereken bir husus, şemaya ne kadar ayrıntının eklendiğine bağlı olarak belirli bir kanıtlamada birden fazla biçimi saptamanın mümkün olmasıdır. Örneğin aşağıdaki kanıtlama açıktır ki aynen (1)-(3) kanıtlamaları gibi, seçenekli tasımın bir özellemesidir: (4) Ya senin arabanla gideriz veya hiç gidemeyiz. Senin arabanla gidemeyiz. Hiç gidemeyiz. Burada senin arabanla gideriz cümlesini P ile ve hiç gidemeyiz cümlesini Q ile yer değiştirirsek kanıtlama (4) ün bir seçenekli tasım biçimine sahip olduğunu görebiliriz. Bununla beraber kanıtlama (4) için aşağıdaki daha ayrıntılı şemalaştırmayı da kullanabiliriz: Ya P dir veya Q olduğu doğru değildir. P olduğu doğru değildir. Q olduğu doğru değildir.
Açıktır ki kanıtlama (4) bu biçimin de bir özellemesini oluşturur, çünkü burada P ile senin arabanla gideriz cümlesini ve Q ile hiç gidemeyiz cümlesini yer değiştirerek kanıtlama (4) ü elde edebiliriz. Buna karşılık, (1)-(3) kanıtlamaları bu biçimin birer özellemesi değildirler. Daha sonra ortaya çıkacağı üzere, uygun/doğru olan kanıtlama biçimlerini saptamak, günlük hayata özgü akıl yürütmelere biçimsel mantığın uygulanmasında kritik öneme sahiptir. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 3.2 Aşağıdaki iki kanıtlamada ortak olan bir kanıtlama biçimini saptayınız: (a) Eğer Murphy nin yasası geçerliyse her şey yanlış gidebilir. Oysa her şey yanlış gidemez. Murphy nin yasası geçerli değildir. (b) Eğer sen sınavdan geçtiysen ve Jale de geçtiyse Osman da geçmiştir. Osman sınavdan geçmemiş. Hem senin hem Jale nin sınavdan geçtiğiniz yanlıştır. Çözüm Her iki kanıtlamada ortak olan bir biçim aşağıdakidir (mantıkçılar tarafından hipotetik tasım veya koşullu tasım (modus tollens ardbileşenin değillendiği tasım) olarak bilinir): Eğer P ise Q dur. Q olduğu doğru değildir. P olduğu doğru değildir. (b) kanıtlamasının ayrıca aşağıdaki biçime de sahip olduğu gösterilebilir: Eğer P ve Q ise R dir. R olduğu doğru değildir. P ve Q olduğu doğru değildir. Bununla beraber bu biçim kanıtlama (a) ya özgü değildir, çünkü (a) da P ve Q için yerdeğiştireceğimiz cümleler bulunmaz. Bu iki kanıtlamanın aşağıdaki biçime de ortaklaşa sahip olduklarını ayrıca belirtmek gerekir: P. Q. R. Bununla birlikte, bu biçim iki öncüle sahip olan yakınsak-olmayan tüm kanıtlamalar için söz konusudur; bu biçim ilgiye değer bir mantıksal özellik arz etmez, dolayısıyla her bakımdan göz ardı edilebilir. Bu örnek de gösteriyor ki bir kanıtlama biçiminin özellemeleri, ondaki cümle harflerinin istenen karmaşıklıktaki cümlelerle yer değiştirmesi suretiyle elde edilebilir. Eğer bir kanıtlama biçiminin her bir özellemesi geçerli ise bu durumda kanıtlama biçiminin kendisinin de geçerli olduğu söylenir, bunun dışındaki durumlarda kanıtlama biçiminin geçersiz olduğu söylenir. Bu yüzden tek bir
geçersiz özelleme bile kanıtlama biçimini geçersiz kılmaya yeterlidir. Mesela seçenekli tasım, geçerli bir kanıtlama biçimidir: bu biçime sahip her kanıtlama için, eğer kanıtlamanın öncülleri doğru ise sonuç da doğru olmak zorundadır. Elbette seçenekli tasımın her bir özellemesi sağlam değildir, bazıları mesela yukarıdaki kanıtlama (2) gibi bir veya daha fazla yanlış öncül içerebilir. Modus ponens ve modus tollens de benzer şeklide geçerli kanıtlama biçimleridirler. Buna karşın, aşağıdaki (ardbileşenin onaylandığı koşullu tasım olarak bilinen) biçim ise geçersizdir: P. Eğer P ise Q dur. Q. Her ne kadar bu kanıtlama biçiminin kimi özellemeleri geçerli olsa da, kimileri de geçerli değildir. Mesela şu özelleme geçerli ve üstelik sağlamdır: (5) Eğer Nisan Mayıstan önce ise, Nisan Mayıstan öncedir ve Mayıs Nisandan sonradır. Nisan Mayıstan öncedir ve Mayıs Nisandan sonradır. Nisan Mayıstan öncedir. Burada sonuç öncüllerden zorunlulukla çıkmaktadır ve öncüller de doğrudur. Oysa aynı kanıtlama biçiminin aşağıdaki gibi geçersiz olan özellemeleri de vardır: (6) Eğer sen Ayda dans ediyorsan hayattasındır. Sen hayattasın. Sen Ayda dans ediyorsun. Burada öncüller doğrudur fakat sonuç yanlıştır, bu yüzden kanıtlama geçersizdir. Bir geçersiz özellemesi bulunan her biçim geçersiz sayıldığı için, kanıtlama (6) nın geçersizliği bu kanıtlama biçiminde ardbileşeni onaylamanın geçersiz olduğunu göstermektedir. Her ne kadar ardbileşeni onaylamanın ayrıca geçerli özellemeleri mevcutsa da (kanıtlama (5) gibi) bunların geçerliği ardbileşenin onaylanmasından kaynaklanmamaktadır. Aslında kanıtlama (5) in geçerli olmasının nedeni, bu kanıtlamada sonucun sırf ikinci öncülden geçerli olarak çıkarsanmasıdır, dolayısıyla burada birinci öncül gereksizdir ve kanıtlamadan atılması kanıtlamaya herhangi bir zarar vermez. Mantıksal Operatörler (Eklemler) Mantıkçıların incelediği kanıtlama biçimlerinin sayısı sürekli artmaktadır. Bizim burada ele alacağımız kanıtlama biçimleri bu geniş sınıfın mütevazı bir kısmı ile sınırlı kalacak. Ele alacağımız kanıtlama biçimleri cümle harflerinin sadece şu beş ifadeden bir veya birden fazlası ile birleştirildiği biçimler olacak: (1) olduğu doğru değildir Değilleme (birli eklem) (2) ve Birlikte (tümel) evetleme (ikili eklem) (3) ya veya Seçenekli (tikel) evetleme (ikili eklem) (4) eğer ise Koşul (ikili eklem) (5) eğer ve ancak eğer ise Karşılıklı koşul (ikili eklem) Bu ifadeler mantıksal operatörler (eklemler) veya bağlaçlar olarak bilinirler. Yine de böyle mütevazı bir seçim bile başlangıç için yeterlidir çünkü çok farklı biçimler bu basit ifadeler kullanılarak
kurulabilirler ve bu ifadelerden bazısı en yaygın kullanılan akıl yürütme kalıpları/desenleri içinde yer alırlar. DEĞİLLEME: olduğu doğru değildir bir cümlenin sonuna geldiğinde yeni bir cümle ortaya çıkarır ki buna öncekinin değillemesi denilir. Yani Onun bir sigara tiryakisi olduğu doğru değildir cümlesi O bir sigara tiryakisidir cümlesinin değillemesi veya değilidir. Türkçede değillemeyi dile getirmenin pek çok değişik yolu vardır: değil -mez, -maz -me, -ma yok -siz, -sız olmayan ne ne de Mehmet çalışkan değildir. (Mehmet in çalışkan olduğu doğru değildir.) Gemi batmaz. (Geminin batar olduğu doğru değildir.) Ayşe gelmedi. (Ayşe nin geldiği doğru değildir.) Ahmet te zeka yok. (Ahmet in zeki olduğu doğru değildir.) Hava güneşsizdir. (Havanın güneşli olduğu doğru değildir.) Beş, çift olmayan bir sayıdır. (Beşin çift sayı olduğu doğru değildir.) Ayşe ne oturuyor ne de kalkıyor. (Ayşe nin oturuyor olduğu doğru değildir ve Ayşe nin kalkıyor olduğu doğru değildir.) Diğer yandan, Bu imkânsızdır cümlesi Bu mümkün değildir cümlesi ile aynı şeyi dile getiriyor olsa da, mesela Bu ahlaksızcadır cümlesi Bu ahlaki değildir cümlesi ile aynı anlama gelmez. Buradaki ahlaksızca sözcüğü yanlış anlamına gelirken ahlaki sözcüğü doğru anlamına gelir, oysa bu iki sınıf veya kategori tüketici değillerdir, çünkü kimi eylemler (mesela burnunuzu kaşımanız gibi) ahlak konusunun dışında olmaları anlamında ahlaki değildirler, yani ahlakla ilgili değildirler, ne ahlaklıca ne de ahlaksızcadırlar, ahlak bakımından yansızdırlar, taraflardan birine ait değildirler. Dolayısıyla ahlaki değil ifadesi ahlaksızca ifadesi ile aynı anlama gelmez. Hâlbuki doğru ve yerinde değilleme bir üçüncü seçeneğe ya da yansız bir kategoriye izin vermez. Bu yüzden bunun gibi dilsel ifadeleri ele alırken dikkatli olmak gerekir. Değilleme dışındaki diğer dört operatörden her biri iki ifadeyi birbirine bağlayarak bir bileşik ifade ortaya çıkarırlar. Bu yüzden onlara ikili operatörler diyeceğiz. BİRLİKTE EVETLEME: Birbirine ve ile (veya hem hem de ile) bağlanmış iki cümleden oluşan bileşik bir ifade bir birlikte evetleme veya bir tümel evetlemedir. Buradaki bileşen cümlelerden her birine müşterekler denir. Türkçede birlikte evetleme şu şekillerde dile getirilebilir: hem hem de Hava hem güneşli hem de soğuktur. (Hava güneşlidir ve hava soğuktur.) fakat Hava güneşli fakat sıcak değildir. (Hava güneşlidir ve hava sıcak değildir.) ile Ahmet ile Ayşe öğrencidirler. (Ahmet öğrencidir ve Ayşe öğrencidir.) ama Deniz sisli ama dalgalı değildir. (Deniz sislidir ve deniz dalgalı değildir.) da, de Üç de beş de çift sayı değildir. (Üç çift sayı değildir ve beş çift sayı değildir.) gerek gerekse Gerek Ali gerekse Veli çalışkan değildirler. (Ali çalışkan değildir ve Veli çalışkan değildir.) rağmen Çalışmamasına rağmen başarılı oluyor. (O çalışmıyor ve o başarılı oluyor.), (virgül) Denize atladı, yüzmeye başladı. (O denize atladı ve o yüzmeye başladı.) ki Yeni gelmişti ki, mutfağa koştu. (O yeni gelmişti ve o mutfağa koştu.) -ip, -ıp Çok uğraşıp didindi. (O çok uğraştı ve o çok didindi.) birlikte Çok çalışmakla birlikte başaramadı. (O çok çalıştı ve o başaramadı.) -ür, -mez Onu görür görmez suratını astı. (O onu gördü ve o suratını astı.) -ğı gibi Geldiği gibi gitti. (O geldi ve o gitti.) -ip ken O sallanıp gezerken ben çalışıyordum. (O sallanıp geziyordu ve ben çalışıyordum.) -ye görsün O bekleye görsün, otobüs geçip gitti. (O beklemeye devam ediyor ve otobüs gitti.) -şa dursun O konuşa dursun, kimsenin dinlediği yok. (O konuşmaya devam ediyor ve kimse dinlemiyor.)
SEÇENEKLİ EVETLEME: Birbirine ya veya ile bağlanmış iki cümleden oluşan bileşik bir ifade bir seçenekli evetleme veya bir tikel evetlemedir. Buradaki bileşen cümlelerden her birine seçenekler denir. Örneğin kanıtlama (1) deki ilk öncül olan Bugün ya Pazartesidir veya Salıdır cümlesi mantıksal açıdan Ya bugün Pazartesidir veya Salıdır ile eşdeğerdir ve bir seçenekli evetlemedir. Buradaki seçenekler Bugün Pazartesidir ile Bugün Salıdır cümleleridir. Çoğu kez tikel evetleme ifadesinin başındaki Ya terimi kullanılmaz. Buna göre bu önerme Bugün Pazartesidir veya Salıdır şeklinde daha basit olarak ifade edilir. Türkçede seçenekli evetleme şu şekillerde dile getirilebilir: yahut veyahut ya da Ahmet yahut Ayşe gelsin. (Ya Ahmet gelsin veya Ayşe gelsin.) Ceket veyahut kazak giyecek. (Ya o ceket giyecek veya o kazak giyecek.) Suyu bardağa ya da kâseye dolduracak. (Ya o suyu bardağa dolduracak veya o suyu kâseye dolduracak.) KOŞUL: eğer ise ile oluşturulmuş ifadelere koşul veya koşullu denir. Burada eğer den sonra gelen ifadeye önbileşen veya öncegelen diğerine ise ardbileşen veya sonragelen denir. Mesela Eğer bana dokunursan bağırırım cümlesinde bana dokunursan önbileşen ve bağırırım ardbileşendir. Bu cümlelerde bazen eğer sözcüğü kullanılmayabilir. Koşullular sıra tersine çevrilerek de söylenebilir, yani Bağırırım eğer bana dokunursan gibi. Bu cümle öncekinin bir dilsel çeşitlemesinden ibarettir ve önbileşen ile ardbileşen her ikisinde de aynıdır. Türkçede koşullular şu şekillerde dile getirilebilir: ancak ise şarttır gereklidir takdirde yeter ki sürece halinde -memekle -ınsın, -ilsin ki Ancak Ali gelirse Veli gelecek. (Eğer Ali gelirse Veli gelecek.) Başarılı olman için çalışman şarttır. (Eğer çalışırsan başarılı olursun.) Yüzme öğrenmek için denize girmek gereklidir. (Eğer denize girersen yüzmeyi öğrenirsin.) Oturduğun takdirde bir iş yapamazsın. (Eğer oturursan bir iş yapamazsın.) Başarırsın, yeter ki azimli ol. (Eğer azimli olursan başarırsın.) Güneş açmadığı sürece, gezmeye çıkmam. (Eğer Güneş açmazsa gezmeye çıkmam.) Yağmur yağmaması halinde kuraklık olacak. (Eğer yağmur yağmazsa kuraklık olacak.) İşe gitmemekle geçimini zorlaştırırsın. (Eğer işe gitmezsen geçimini zorlaştırırsın.) Havalar bir ısınsın hemen geziye çıkacağız. (Eğer havalar ısınırsa geziye çıkacağız.) Öğren ki, bilgin artsın. (Eğer öğrenirsen bilgin artar.) KARŞILIKLI KOŞUL: eğer ve ancak eğer ise ile oluşturulmuş ifadelere karşılıklı koşul denir. Burada bileşenlerin özel bir adı yoktur, sol-bileşen ve sağ-bileşen denebilir. Çoğu kez buradaki ikinci eğer sözcüğü kullanılmaz ve birinci eğer sözcüğü yerine ikinci bir ancak sözcüğü kullanılır. Bu durumda ifade ancak ve ancak ise şekline dönüşür. Bir karşılıklı koşul ifadesi iki koşullunun birlikte evetlenmesi olarak görülebilir. Mesela şu cümleyi göz önüne alın: Bu bir üçgendir eğer ve ancak eğer bu üç-kenarlı bir çokgen ise. Açıktır ki bu cümle şunun bir çeşitlemesidir: Bu bir üçgendir eğer bu üç-kenarlı bir çokgen ise; ve bu bir üçgendir ancak eğer bu üç-kenarlı bir çokgen ise. Bu da bu sefer şunun bir çeşitlemesidir: Eğer bu üç-kenarlı bir çokgen ise bu bir üçgendir; ve bu bir üçgendir ancak eğer bu üç-kenarlı bir çokgen ise.
Fakat buradaki bu bir üçgendir ancak eğer bu üç-kenarlı bir çokgen ise ne anlama gelmektedir? Mantıksal bakış açısından ancak eğer ise ifadesi bir koşulluyu dile getirmenin bir başka yolundan ibarettir. Yani P ancak eğer Q ise şeklindeki ifadeler sadece Eğer P ise Q anlamına gelirler. Bir ancak eğer ise ifadesinde demek ki eğer den sonra gelen cümle ardbileşendir, önbileşen değil. Buna göre, Ateş vardır ancak eğer oksijen var ise cümlesi Eğer ateş varsa oksijen vardır anlamına gelir ve Bu bir üçgendir ancak eğer bu üç-kenarlı bir çokgen ise cümlesi de Eğer bu bir üçgense bu üç-kenarlı bir çokgendir anlamına gelir. O halde en baştaki karşılıklı koşul önermesi şunu söylemektedir: Eğer bu üç-kenarlı bir çokgen ise bu bir üçgendir; ve eğer bu bir üçgen ise bu üç-kenarlı bir çokgendir. Birlikte evetlemelerde bileşenlerin sırasını değiştirmek bir fark yaratmadığı için bu ifade şöylece yeniden yazılabilir: Eğer bu bir üçgen ise bu üç-kenarlı bir çokgendir; ve eğer bu üç-kenarlı bir çokgen ise bu bir üçgendir. Bu örnek, demek ki, genel bir kaideye işaret ediyor: P eğer ve ancak eğer Q ise şeklindeki ifadeler ile Eğer P ise Q; ve eğer Q ise P şeklindeki ifadeler eşdeğerdirler, bir başka deyimle aynı doğruluk koşullarına sahiptirler. Bu yüzden onlara karşılıklı koşul denilmektedir. Türkçede karşılıklı koşul ifadeleri şu şekillerde dile getirilebilir: ancak ve ancak ise sadece ve ancak ise ancak ve ancak eğer ise gerekli ve yeterlidir tek şartı dır Ancak ve ancak bana gelirsen barışırım. (Seninle barışırım eğer ve ancak eğer sen bana gelirsen.) Buz sadece ve ancak sıcaklık sıfır dereceden fazlaysa erir. (Buz erir eğer ve ancak eğer sıcaklık sıfır dereceden fazlaysa.) Amerika ancak ve ancak eğer Çin ona savaş açarsa Çin e savaş açar. (Amerika Çin e savaş açar eğer ve ancak eğer Çin Amerika ya savaş açarsa.) İyileşmen için ilaçlarını alman gerekli ve yeterlidir. (Sen iyileşirsin eğer ve ancak eğer ilaçlarını alırsan.) Barışmamızın tek şartı doğruyu söylemendir. (Seninle barışırım eğer ve ancak eğer doğruyu söylersen.) ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 1.1 Aşağıdaki bileşik cümleleri, bunları oluşturmak için kullanılmış eklemlere (mantıksal operatörlere) göre sınıflandırınız; her bir durumda eklemin uygulandığı bileşen cümle veya cümleleri adlandırınız. (a) Bugün Pazartesi ancak eğer dün Pazar idiyse. (b) Bugün Pazartesi eğer dün Pazar idiyse. (c) Eğer bugün Pazartesi ise dün Pazardı. (d) O yalan söyledi eğer bugün Pazartesi ise. (e) Bugün onun doğum günü eğer ve ancak eğer bugün Pazartesi ise. (f) Bugün ya Pazartesi veya Pazartesi. (g) Cemil ve Meryem kabiliyetliler. (h) O kabiliyetsizdir. (i) O çok kabiliyetli değil. (j) O kabiliyetli fakat çok yaşlı. (k) O ya kabiliyetli veya rüşvetçi.
(l) Eğer bu kabiliyetliyse öbürü bir yalancı. (m) Ya bu veya öbürü çok rüşvetçi. (n) Ancak eğer öbürü bir yalancıysa bu kabiliyetlidir. (o) Her ne kadar bu çok kabiliyetliyse de öbürü bunu engelliyor. ÇÖZÜM (a) Koşullu; önbileşen: Bugün Pazartesi ; ardbileşen: Dün Pazardı. (b) Koşullu; önbileşen: Dün Pazardı ; ardbileşen: Bugün Pazartesi. (c) Koşullu; önbileşen: Bugün Pazartesi ; ardbileşen: Dün Pazardı. (d) Koşullu; önbileşen: Bugün Pazartesi ; ardbileşen: O yalan söyledi. (e) Karşılıklı koşul; sol-bileşen: Bugün onun doğum günü ; sağ-bileşen: Bugün Pazartesi. (f) Seçenekli evetleme; birinci seçenek: Bugün Pazartesi ; ikinci seçenek: Bugün Pazartesi. (g) Birlikte evetleme; birinci müşterek: Cemil kabiliyetli ; ikinci müşterek: Meryem kabiliyetli. (h) Değilleme; değillenen cümle: O kabiliyetlidir. (i) Değilleme; değillenen cümle: O çok kabiliyetlidir. (j) Birlikte evetleme; birinci müşterek: O kabiliyetli ; ikinci müşterek: O çok yaşlı. (k) Seçenekli evetleme; birinci seçenek: O kabiliyetli ; ikinci seçenek: O rüşvetçi. (l) Koşullu; önbileşen: Bu kabiliyetli ; ardbileşen: Öbürü bir yalancı. (m) Seçenekli evetleme; birinci seçenek: Bu çok rüşvetçi ; ikinci seçenek: Öbürü çok rüşvetçi. (n) Koşullu; önbileşen: Bu kabiliyetlidir ; ardbileşen: Öbürü bir yalancı. (o) Birlikte evetleme; birinci müşterek: Bu çok kabiliyetli ; ikinci müşterek: Öbürü bunu engelliyor. Kanıtlama biçimlerini tanımayı ve karşılaştırmayı kolaylaştırmak için biçimsel mantıkta her bir mantıksal operatör özel bir sembolle gösterilir: Mantıksal Operatör (Eklem) Olduğu doru değildir Ve Ya veya Eğer ise Eğer ve ancak eğer ise Sembol Demek ki, örneğin seçenekli tasım diye bilinen kanıtlama biçimi şöyle ifade edilebilir: P Q P Q Kanıtlama biçimlerini, öncülleri virgülle ayırmak suretiyle ayrıca yatay olarak tek satırda yazmak da adet olmuştur: P Q, P Q
Yatay gösterimde üç nokta yerine sembolü kullanılır. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK 1.2 Aşağıdaki kanıtlama biçimlerini yatay olarak sembolik gösterimle ifade ediniz. (a) Eğer P ise Q. P olduğu doğru değildir. Q olduğu doğru değildir. (b) P ve Q. P. Q olduğu doğru değildir. (c) Eğer ve ancak eğer P ise Q. Q olduğu doğru değildir. P olduğu doğru değildir. (d) P. Ya P veya Q. (e) Eğer P ise Q. Eğer Q ise R. Eğer P ise R. ÇÖZÜM (a) P Q, P Q. (b) P Q, P Q. (c) P Q, Q P. (d) P P Q. (e) P Q, Q R P R.