İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARININ İSPATIN ÖĞRENMEYE KATKISI İLE İLGİLİ GÖRÜŞLERİ VE İSPAT DÜZEYLERİ

İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARININ İSPATIN ÖĞRENMEYE KATKISI İLE İLGİLİ GÖRÜŞLERİ VE İSPAT DÜZEYLERİ Davut KÖĞCE Arş. Gör. Dr. KTÜ Fatih Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü, Söğütlü/Trabzon d_kogce@yahoo.com Bu çalışma ilköğretim matematik öğretmen adaylarının ispat yapmanın matematik öğretimine katkısı ile ilgili görüşlerini ve ispat düzeylerini belirlemek amacıyla yapılmıştır. Çalışma betimsel yöntem kapsamında özel durum çalışması kullanılarak yürütülmüştür. Veriler, 2010 2011eğitim öğretim yılında Fatih Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü Matematik Öğretmenliği Anabilim Dalı nda öğrenim gören toplam 99 birinci sınıf öğretmen adayına iki açık uçlu sorudan oluşan bir anket formu uygulanarak elde edilmiştir. Verilerin analizinde; ispat yapabilme düzeyleri Miyazaki (2000) nin ispat ile ilgili sınıflandırması esas alınarak analiz edilirken, ispatın matematik öğretimindeki önemi ve öğrenmeye katkısı ile ilgili görüşlerinden elde edilen veriler ise öğretmen adaylarının cevaplarının benzerlik ve farklılıklarına göre tematik olarak sınıflandırılarak analiz edilmiştir. Çalışma sonunda, öğretmen adaylarının büyük bir kısmının tümdengelimsel muhakeme içeren ve ispatlama yapılırken fonksiyonel dilin kullanıldığı İspat A türüne uygun ispatı tercih ettikleri ortaya çıkmıştır. Ayrıca, çok az öğretmen adayı hariç önemli bir kısmının ispat yapmanın matematik öğretimine katkı sağlayacağına inandıkları ortaya çıkmıştır. Çalışma sonucunda elde edilen sonuçlara dayalı olarak bazı önerilerde bulunulmuştur. Anahtar Kelimeler: Matematiksel ispat, İspat düzeyleri, Matematik öğretimi 1. GİRİŞ Matematik eğitimin en önemli amaçlarından birisi matematiksel düşünmenin ve muhakemenin gelişimini sağlamaktır. Matematiksel düşüncesi ve muhakeme yeteneği gelişmiş bir birey üzerinde çalıştığı matematiksel bir etkinlik ya da problemle ilgili konuşabilir, tahminlerde veya varsayımlarda bulunabilir, vardığı sonuçların doğruluğunu ispatlayabilir ve genelleme yapabilir (Baki, 2008). Bu bağlamda, matematiksel düşünmenin ve muhakeme yeteneğinin gelişmesinde matematiksel ispatın rolü büyüktür (Tall 2002; Knuth, 2002a; Stylianides, 2007). Bir diğer deyişle ispat matematiğin temelidir (Tall, 1998) ve matematikte çok önemli bir yere sahiptir (Hanna, 2000). Ayrıca, ispat matematiksel bilgi için bir gerekçe sağlamasının (Ernest, 1991) yanı sıra matematik yapmak ve matematiği anlamak için önemli bir etkinliktir (Almeida, 2000). İspatı kullanarak bir şeyin niçin doğru olduğu gösterilebilir, açıklanabilir ve yeni matematiksel bilgiler keşfedebilir veya oluşturulabilir (de Villiers, 1990; Knuth, 2002b; Almeida, 2000; Weber, 2003). İspat yapma süreci evrensel olarak kabul gören yöntemlerden oluşmaktadır. İspat yapma ana hatlarıyla tümevarım ve tümdengelim olmak üzere iki yola yapılmaktadır. Tümdengelim de kendi içinde doğrudan ispat ve dolaylı ispat (olmayana ergi, çelişki bulma, aksine örnek verme ve deneme yöntemiyle ispat) gibi çeşitli yollara yapılmaktadır (Fitzgerald, 1996; Moralı ve arkadaşları. 2006; Baki, 2008). Bir matematiksel ispatın amacı iddia edilen şeyin doğruluğunun ya da yanlışlığının her durum ve koşulda kanıtlamanın (Baki, 2008) yanında, doğrulamaların birbiriyle olan ilişkisini de göstermek şeklinde de ifade edilebilir (Kwoen, 2002; Lee, 2002). Son yıllarda yurt dışında ispat konusunda birçok çalışmanın (Almeida, 2000; Jones, 2000; Recio ve Godino, 2001; Raman, 2003; Weber, 2001; Weber, 2003; Knuth, 2002b) yapılmış olması matematik eğitiminde ispatın anlamı ve öneminin giderek arttığını göstermektedir. Matematikte ispatın yeri ve öneminin artmasıyla birlikte, çeşitli yaş gruplarındaki öğrencilerin ispat yaparken düşünsel süreçleri ve gelişimleri matematik eğitimi alanında araştırma konusu olmuştur. (Knuth, 2002a; Stylianides, 2007). Ancak ispat yapmak, gerek ilköğretim, gerek orta öğretim ve gerekse yüksek öğretim aşamasında olsun, yer aldığı eğitimin her aşamasında, öğrencilerin sıkıntı çektikleri, başarılı olamadıkları, başarılı olamayacaklarına inandıkları, korktukları, genellikle sevilmeyen bir süreç olarak yapılandığı araştırmaların sonucunda sorun olarak ortaya çıkmıştır (Almeida, 2003; Jones, 2000; de Villiers, 1990; Raman, 2003). Yani ispat matematiğin gelişmesi ve büyümesi için önemli olmasına (Mingus ve Grassl, 1999) rağmen, öğrenciler genellikle matematiksel ispatın gerekliliğine inanmamaktadırlar (Moralı ve arkadaşları. 2004; İskenderoğlu, 2010). Ayrıca, literatüre bakıldığında matematiksel ispat kavramı ve ispatlamayla ilgili öğrencilerin birçok zorluklara ve bilgi

eksikliklerine sahip oldukları belirtilmektedir. Öğrencilerin sahip oldukları bu zorluklarının nedenlerinin onların ispatla ilgili tanımları ve bunları nasıl kullanacaklarını yeterince bilmemeleri (Moore 1994; Weber 2006; Edwards ve Ward 2004; Knapp (2005 ), ispatın doğasını, matematiksel kuralları ve ispat teknik ve stratejilerini anlayamamaları (Gibson 1998; Weber 2006) ve mantıksal delil ve matematiksel dili doğru kullanamamalarıdır (Moore 1994; Baker ve Campbell 2004; Edwards ve Ward 2004; Knapp 2005). Anapa ve Şamkar (2010) yapmış oldukları bir çalışmada öğretmen adaylarının ispat yapma konusunda kendilerine yeterince güvenmediklerini ve teoremlerin ispatlarını incelediklerinde anlayamadıklarını belirlemişlerdir. Moralı ve arkadaşları. (2006) tarafından yapılan diğer bir çalışmada öğretmen adaylarının büyük kısmının ispat yapmaya yönelik ya görüşlerinin olmadığını ya da görüşlerinin yetersiz olduğunu ortaya çıkmıştır. Yukarıda da bahsedildiği gibi ispat yapma sürecinde üniversite düzeyindeki öğrencilerin çeşitli zorluklar yaşadıkları ortaya konulmuş ve öğretmenlerin, öğrencilere ispatın ve ispat yapmanın doğasından oldukça yoksun etkinlikleri sundukları görülmüştür (Moralı ve arkadaşları. 2006). Ayrıca Jones (2000) matematik öğretmen adaylarının matematiksel ispata ilişkin görüşlerini belirlemek amacıyla yapmış olduğu bir çalışmada öğretmen adaylarının ispat yapmaya ilişkin becerilerinin yeterli düzeyde olmadığını ortaya koymuştur. Öğretmenlerin ispata ilişkin algıları ve deneyimleri öğrencilerin ispat becerilerini kazanma süreçlerinde etkili olduğundan (Almeida, 2003), ileride öğretmen olacak öğretmen adaylarının matematiksel ispatın matematik öğrenmeye katkısıyla ilgili görüşlerinin ve ispat yapma düzeylerinin belirlenmesi önemli olacaktır. Literatürde (Stylanides, 2007; Knuth, 2002b) belirtildiği gibi ispat yapmanın matematik öğrenmedeki rolü dikkate alındığında, Türkiye de bu alanda yeterince çalışmanın yapılmamış olduğu görülmektedir. Bu yüzden, bu çalışmanın temel amacı ilköğretim matematik öğretmen adaylarının ispat yapmanın matematik öğretimine katkısı ile ilgili görüşlerini ve ispat yapabilme düzeylerini belirlemektir. 2. YÖNTEM Çalışma betimsel türde bir araştırma olup, ilköğretim matematik birinci sınıf öğretmen adaylarının matematiksel ispatın matematik öğrenmeye katkısı ile ilgili görüşlerini ve ispat düzeylerini ortaya çıkarmak için yapılmış bir özel durum çalışmasıdır. 2.1. Araştırmanın Örneklemi Araştırmanın verileri 2010-2011 öğretim yılında KTÜ Fatih Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü Matematik Anabilim Dalında öğretim gören ve rastgele seçilen toplam 99 birinci sınıf öğretmen adayı oluşturmaktadır. 2.2. Veri Toplama Araçları Çalışmada veri toplama aracı olarak iki açık uçlu ve bir senaryo tipi sorudan oluşan anket formu kullanılmıştır. Bu sorulardan ilki öğretmen adaylarının matematiksel ispatın gerekliliği ve öğrenmeye katkısıyla ilgili görüşlerini, son ikisi ise ispat düzeylerini ortaya çıkarabilecek sorulardan oluşmaktaydı. Veri toplama araçlarında kullanılan sorular aşağıda sunulmuştur. Soru 1: Sizce matematiksel ispatın öğrenmeye katkısı var mıdır? Varsa nasıl bir katkısı vardır? Görüşlerinizi ayrıntılı bir şekilde açıklayınız. Soru 2: Bir öğretmenin öğrencisine sorduğu şu 3 ardışık sayının toplamı ortadaki sayının 3 katıdır. ifadesinin doğruluğunu ispatlayarak gösteriniz. soruyu öğrenci aşağıdaki şekilde cevaplamıştır. Öğrencinin cevabı; Sizce bu öğrenci ispat yapmış mıdır? Cevabınızı gerekçeleriyle birlikte açıklayınız. Soru 3: 2. soruya cevabınız hayır ise, size göre bu öğrenci nasıl bir ispat yapmış olsaydı bu ispat olarak geçerli olurdu? Niçin? Görüşünüzü açıklayınız.

2.3. Verilerin Analizi Elde edilen veriler; ispatın matematik öğretimindeki önemi ve öğrenmeye katkısı ile ilgili görüşlerinden elde edilen veriler öğretmen adaylarının cevaplarının benzerlik ve farklılıklarına göre tematik olarak sınıflandırılarak içerik analizi yapılırken (Merriam, 1988; Yin, 1994), ispat yapabilme düzeyleri Miyazaki (2000) nin ispatla ilgili sınıflandırması esas alınarak betimsel olarak analiz edilmiştir. Verilerin analizi sonucunda elde edilen kodlara ve ispat düzeylerine ilişkin örnek olacak durumlar araştırma bulgularında kesitler halinde verilmiştir. Miyazaki nin ispat düzeyleri Table 2.1 de sunulmuştur. Tablo 2.1. Miyazaki nin ispat düzeyleri Gösterim İçerikler Tümevarımsal Muhakeme Tümdengelimsel Muhakeme Fonksiyonel dilin kullanılması İspat D İspat A Diğer dil, çizimler veya hareket edebilen objelerin kullanılması İspat C İspat B Miyazaki ispatı; ispat A, ispat B, ispat C ve ispat D olarak dört gruba ayırmıştır. Miyazaki e göre İspat A tümdengelimsel muhakeme içeren ve kanıtlama yapılırken fonksiyonel dilin kullanıldığı ispat türüdür. İspat B, tümdengelimsel muhakeme içeren ve diğer dil, çizimler veya hareket edebilen objelerin kullanıldığı ispat türüdür. İspat C, tümevarımsal muhakeme içeren, diğer dil, çizimler veya hareket edebilen objelerin kullanıldığı ispat türüdür. İspat D ise tümevarımsal muhakeme içeren ve kanıtlama yapılırken fonksiyonel dilin kullanıldığı ispat türüdür. Miyazaki İspat A yı okul matematiğinde en avantajlı, İspat C yi ise en avantajsız seviye olarak değerlendirmiştir. Diğer yandan İspat B ve İspat D, İspat A ve İspat C nin arasında orta düzeyde bir yere sahip olduğunu belirtmektedir. Miyazaki nin ispat düzeylerinin her birine ilişkin ispat örnekleri aşağıda Şekil 2.1 de sunulmuştur. Şekil 2.1. Miyazaki nin ispat düzeylerinin her birine ilişkin ispat örnekleri (Köğce ve arkadaşları, 2010).

3. BULGULAR ve TARTIŞMA Matematik öğretmen adaylarının matematiksel ispatın öğrenmeye katkısıyla ilgili görüşlerinden elde edilen veriler Tablo 3.1 de sunulmuştur. Tablo 3.1. Öğretmen adaylarının ispatın öğrenmeye katkısıyla ilgili görüşleri No Kodlar f % Öğretmen adaylarının Görüşlerinden Örnekler 1 2 Matematiksel bilgilerin kökenini görmeyi sağlar Ezber yerine kavramayı veya anlamayı kolaylaştırır 15 15 39 39. Matematiğin temel yapı taşlarını kullanabilmek gerekir. Mantık yürütebilmek, yürüttüğümüz mantığı doğru bir şekilde uygulamak gerekir. Matematiğin formüllerinin temellerinin nerden geldiğini bilmeden birine konuyu anlatmaya çalışırsak başarılı olmayız Ama dayanağı ispatlanırsa ezber değil temelini kavrama olur Ezber yapmamak ve gerçeğini öğrenmek hatırlamak adına daha kolay olabilir. İspat yaparak konuyu daha iyi kavrarız 3 4 Kalıcılık sağlar 15 15 Doğru veya yanlışlığı görmeyi sağlar 6 6 Bence ispat yapmak öğrenmede çok önemli rol oynuyor formüllerin akılda kalcılığını arttırıyor... İspat teoremlerin veya kuralların doğru olup olmadığını bize kesin bir ifadeyle gösterir. Bu yüzden matematiğin vazgeçilmezidir. 5 Doğruyu görmeyi sağlar 29 29 Öne sürülen bir fikrin doğruluğunu göstermek için onu ispat etmemiz gerekir. 6 7 8 9 10 11 Matematiğe anlam kazandırır ve bakış açısını geliştirir 5 5 İkna ve inandırıcılığı arttırır 18 18 Formüllerin ve kuralların nasıl oluştuğunu görmeyi sağlar 28 28 Yorum ve düşünce gücünü geliştirir 6 6 Yeni bilgilerin üretilmesini sağlar Öğrencinin kafasını karıştırması 4 4 3 3 Sadece ezbere dayanan matematik anlamsızdır ve kolayca unutulur. İspat yapılınca matematikteki temel anlaşılır ve daha kolay fikir yürütebiliriz. Yani ispat olmadan matematiğin anlamı olmaz her hangi bir düşünceyi, yargıyı, fikri açıklamada ya da karşımızdakini inandırmak ve ikna etmekte kullanabiliriz İspat kullandığımız bir formül ya da bilginin nerden geldiğini anasıl elde edildiğini öğrenmemiz için önemlidir. İspat yapmak, soruları ve konuyu daha iyi anlamaya, soru üzerinde daha fazla düşünüp daha fazla yorum yapmaya yardımcı olur İspat yaparak elde ettiklerimiz bizi yeni buluşlara götürebilir. Yeni doğrular bularak bunları hayatımızda uygulayabiliriz Bence ispat yapmaya gerek yok. Çünkü öğrencilerin kafasını daha da karıştırıyor. *: Bazı öğrencilerin cevapları birden fazla kod altıda yerleştirildiği için yüzde değerleri %100 ü aşabilir.

Çalışmaya katılan öğretmen adaylarının büyük bir çoğunluğu ispatın matematik öğrenmeye katkı sağlayacağına inandıklarını belirtmişlerdir. Bu durum öğretmen adaylarının matematiksel ispatın zihinsel anlamda sağlayacağı faydalardan haberdar oldukları şeklinde yorumlanabilir. Öğretmen adaylarının ispatın öğrenmeye katkısıyla ilgili soruya verdikleri cevapların Tablo 3.1 de görüldüğü gibi 11 farklı kod altında toplandığı görülmektedir. Öğretmen adaylarının önemli bir kısmı matematiksel ispat yapmanın ezber yerine kavramayı veya anlamayı kolaylaştırarak (%39), doğruyu veya yanlışlığı görmeyi sağlayarak (%29) ve formüllerin ve kuralların nasıl oluştuğunu görmeyi sağlayarak (%28) matematik öğrenmeye katkı sağlayacağına inanırken bir kısmı da matematiksel bilgilerin kökenini görmeyi sağlayarak (%15),, kalıcılık sağlayarak (%15) ve ikna, inandırıcılığı arttırarak (%18) matematik öğrenmeye katkı sağlayacağına inandığı görülmektedir. Oran olarak az sayıda öğretmen adayının ise matematiksel ispat yapmanın matematiğe anlam kazandıracağı ve bakış açısını geliştireceğine (%5), yorum ve düşünce gücünü geliştireceğine (%6) ve yeni bilgilerin üretilmesini sağlayacağına (%4) inandıkları görülmektedir. Matematiksel ispatın öğrenmeye katkısıyla ilgili elde edilen bu kodlar de Villiers (1990), Knuth, (2002b), Almeida, (2000) Weber, (2003) ve Weber (2002) tarafından yapılan çalışmaların sonuçlarıyla azda olsa bir benzerlik göstermektedir. Buna ilaveten Köğce ve arkadaşları. (2010) tarafından lise öğrencilerinin ispat düzeylerini belirlemek amacıyla yapılan çalışmada da öğrencilerin bu kodlara benzer görüşlere sahip oldukları belirlenmiştir. Ayrıca, matematiksel ispatın zihinsel anlamda sağlayacağı faydalardan haberdar olmayan az sayıda öğretmen adayı ispatın gerekli olmadığını ifade etmişlerdir. Bu öğretmen adayları matematiksel ispat yapmanın öğrencinin kafasını karıştıracağı (%3) için matematik öğrenmeye herhangi bir katkı sağlamayacağına inanmaktadırlar. Az sayıda öğretmen adayının matematiksel ispatın öğrenmeye herhangi bir katkı sağlamayacağına inanmalarına rağmen büyük bir çoğunluğunun ispatın matematik öğrenmeye katkı sağlayacağı inancına sahip olması öğretmen adaylarının ispatın matematik öğrenmede ispatın rolünün (Tall 2002; Knuth, 2002a; Stylianides, 2007) bilincinde olduklarını göstermektedir. Öğretmen adaylarının matematiksel ispat düzeylerine ilişkin bir resim sunmak için ispatla ilgili gerçek bir öğrenci cevabı senaryo şeklinde (soru 2 ye bakınız) öğretmen adaylarına yöneltilerek bu öğrencinin ispat yapıp yapmadığı sorulmuştur. Öğretmen adaylarının senaryodaki öğrencinin ispat yapıp yapmadığıyla ilgili görüşlerinden elde edilen veriler Tablo 3.2 de sunulmuştur. Tablo 3.2. Öğretmen adaylarının ispat düzeyleri Görüşler İspat düzeyleri f % Örnek Cevap İspat yapılmıştır İspat C 18 18,2 Eksik ispat yapılmıştır İspat A 81 81,8 Tablo 3.2 e bakıldığında öğretmen adaylarının %18,2 si senaryodaki öğrencinin ispat yaptığını belirterek ifadelerin doğruluğunu göstermek için birkaç sayısal değerler vermenin yeterli olduğuna inandıklarını ortaya koymuşlardır. Birkaç sayısal değer vererek bir ifadeyi doğrulamanın yeterli bir ispat olduğuna inanan bu öğretmen adaylarının Miyazaki nin ispat düzeylerine göre İspat C düzeyinde

oldukları görülmektedir. Öğretmen adaylarının %81,8 oranında önemli bir kısmı ise yapılan ispatın eksik olduğunu belirtmiş ve ispatın tamamlanması için değişken kullanılarak bütün değerler için verilen ifadenin doğruluğunun gösterilmesi gerektiğine inandıklarını ortaya koymuşlardır. İspatın tamamlanması için yaptıkları ispatlar incelendiğinde Miyazaki nin ispat düzeylerine göre İspat A düzeyinde ispat yaptıkları görülmektedir. Bu bulgu Köğce ve arkadaşları. (2010) ve Özer ve Arıkan (2002) ın lise öğrencileri ile yapmış oldukları çalışmaların sonuçları ile paralellik göstermemektedir. Örneğin, Köğce ve arkadaşları. (2010) yapmış oldukları çalışmada öğrencilerin %51.2 sinin sayısal değerler vererek ifadenin doğruluğunun gösterildiği İspat C düzeyinde ispat yaptıklarını ortaya koymuşlardır. Benzer şekilde Özer ve Arıkan (2002) tarafından yapılan çalışmada da lise öğrencilerinin hemen hemen tamamının amaçlanan düzeyde tümevarım ve tümdengelim yoluyla ispat yapamadıkları sonucuna varmışlardır. Ayrıca, öğrencilerin, verilen bir ifadenin doğruluğunu gösterebilmek için özel sayısal değerler vererek ifadenin doğruluğunu gösterdiklerine inandıklarını ortaya koymuşlardır. Almedia (2001) tarafından yapılan bir çalışmasında benzer sonuçlara ulaşılmıştır. Miyazaki (2000) e göre İspat C düzeyinde yapılan ispat türü en avantajsız ispat türüdür. Çünkü bu şekilde yapılan bir ispatla öğrenci matematiksel muhakemeyi, matematiksel düşünceyi ve matematiksel dili kullanmaktan ziyade verilen ifadeyi sayısal değer vererek doğrulamaya çalışmaktadır. Köğce ve arkadaşları. (2010) ve Özer ve Arıkan (2002) ın lise öğrencileri ile yaptıkları çalışmalarının aksine, bizim çalışmamızda öğretmen adaylarının büyük bir çoğunluğunun verilen ifadenin doğruluğunu cebirsel dili veya fonksiyonel dili kullanmayı gerektiren İspat A düzeyinde ki ispatı tercih etmelerinde genel matematik dersinde ispatlarla daha yoğun bir şekilde karşılaşmaları ve öğretim elemanların derslerinde ispatlara daha fazla yer vermiş olmaları olabilir. 4. SONUÇ ve ÖNERİLER Öğretmen adaylarının matematiksel ispatın öğrenmeye katkısıyla ilgili görüşlerine yönelik bulgulara bakıldığında, öğretmen adaylarının tamamına yakınının matematiksel ispat yapmanın matematik öğrenmeye katkı sağlayacağı inancına sahiplerken çok az öğretmen adayının matematiksel ispat yapmanın öğrencilerin kafasını karıştıracağını gerekçe göstererek matematik öğrenmeye katkı sağlamayacağına inandığı sonucuna varılmıştır. İspat yapmanın gerekli olmadığını düşünen öğretmen adaylarını ispatın gerekli olduğu konusunda ikna etmek ve ispatla ilgili sıkıntıları azaltmak için şunların yapılması önerilmektedir: Matematiksel ve mantıksal düşünme becerilerini geliştirmede ve kavramlar arasındaki ilişkileri anlamada ispat yapmanın öğrencilere nasıl bir katkı sağlayacağı hususunda onları bilgilendirme görevi hiç şüphesiz öğretim elemanlarına düşmektedir. Bu sorunun üstesinden gelebilmek için gerek lisans öncesi gerek lisans döneminde öğretmenlerin ve öğretim elemanlarının öğrencilerin düşünme ve muhakeme yeteneklerini geliştirici etkinliklere yer vermeleri ve onlardan karşılaşılan durumları direk kabullenmekten ziyade sorgulamalarını istemelidirler. Aksi halde bu durum ilişkili bir yapıya sahip matematiği kavramada ve etkili matematik eğitimi vermede engel teşkil edecektir (Jones, 2000). Matematiksel ispat yapmanın öğrenmeye katkı sağlayacağına inanan öğretmen adaylarına göre matematiksel ispat yapmak ezber yerine kavramayı veya anlamayı kolaylaştırır, doğruyu veya yanlışlığı görmeyi sağlar, formüllerin ve kuralların nasıl oluştuğunu görmeyi sağlar, matematiksel bilgilerin kökenini görmeyi sağlar, kalıcılık sağlar, ikna ve inandırıcılığı arttır, matematiğe anlam kazandır ve bakış açısını geliştirir, yorum ve düşünce gücünü geliştir ve yeni bilgilerin üretilmesini sağlar. Öğretmen adaylarının beşte dördünün Miyazaki nin sınıflandırmasına göre en avantajlı ispat düzeyi olarak ifade ettiği İspat A seviyesinde geri kalanının ise öğrencilerin sayısal değerler vererek ifadeyi doğrulamanın ispat için yeterli olduğunu belirterek Miyazaki nin en düşük ispat düzeyi olarak ifade ettiği İspat C düzeyinde ispatı tercih ettikleri sonucuna varılmıştır. Öğretmen adaylarının önemli kısmının verilen ifadeyi sayısal değerler vererek doğrulanmanın bir ifadeyi ispatlamak için yeterli olduğuna inanmaları dikkat verilmesi gereken bir durumdur. Bu durumun sebebi matematiksel dili kullanmada zorluk çekmeleri olabileceğinden öğretim elemanlarının derslerinde öğretmen adaylarının matematiksel muhakeme yeteneklerini geliştirecek ve ispat yapabilme düzeylerini artıracak etkinliklere daha fazla yer vermelidirler.

5. KAYNAKLAR Almeida, D. (2000). A survey of mathematics undergraduates interaction with proof: some implications form mathematics education. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 31(6), 869 890. Almeida, D. (2001). Pupils proof potential. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 32(1), 53 60. Almeida, D. (2003). Engendering proof attitudes: can the genesis of mathematical knowledge teach us anything? International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 34(4), 479 488. Anapa, P. ve Şamkar, H. (2010) Investigation of undergraduate students perceptions of mathematical prof. Procedia Social and Behavioral Sciences. 2, 2700 2706. Baker, D., ve Campbell, C. (2004). Fostering the development of mathematical thinking: Observations from a proofs course. Primus. 14 (4), 345 353. Baki, A. (2008). Baki, A. (2008). Kuramdan Uygulamaya Matematik Eğitimi. Harf Eğitim. Yayıncılık. Ankara. de VILLIERS, M. (1990). The role and function of proof with sketchpad. Pythagoras. 24, 17 24 Edwards, B.S. ve Ward, M.B.(2004). Suprises from mathematics education research: Student (mis)use of mathematical definitions. The Amaerican Mathematical Monthly. 111, 411 424. Ernest, P. (1991). The Philosophy of Mathematics Education. The Falmer Pres, London, UK. Fitzgerald, J. F. (1996). Proof in mathematics education. Journal of Education, 178 (1). Gibson, D.(1998). Students use of diagrams to develop proofs in an introductory analysis course. Students proof schemes. In E. Dubinsky, A. Schoenfeld, & J.Kaput (Eds.), Research in Collegiate Mathematics Education, III, 284 307. AMS. Hanna, G. (2000). Proof, Explanation and Exploration: An Overview. Educational Studies in Mathematics. 44, 5 23. İskenderoğlu, T. (2010). İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Kanıtlamayla İlgili Görüsleri ve Kullandıkları Kanıt Semaları. Yayınlanmamış Doktora Tezi. Trabzon: KTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, Jones, K. (2000). The Student Experience of Mathematical Proof at University Level. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 31(1), 53-60. Knapp, J.(2005). Learning to prove in order to prove to learn. [online] : Retrieved on 20-November- 2009 at URL: http://mathpost.asu.edu/~sjgm/issues/2005_spring/sjgm_knapp.pdf Knuth, E. (2002a). Prof as a tool for learning Mathematics. Mathematics Teacher, 95 (7), 486-490. Knuth, E.J. (2002b). Teachers conceptions of proof in the context of secondary school mathematics. Journal of Mathematics Teacher Education. 5(1), 61 88. Köğce, D., Aydın, M. ve Yıldız, C. (2010). The views of high school students about proof and their levels of prof (The case of Trabzon). Procedia Social and Behavioral Sciences 2, 2544 2549. Kwoen, L. J. (2002). Philosophical perspectives on proof in mathematics education, Philosophy of Mathematics Education Journal, 16, http://www.ex.ac.uk/~pernest/pome16/docs/lee.pdf Lee, J. K. (2002). Philosophical perspectives on proof in mathematics education. Philosophy of Mathematics Education Journal, 16. Merriam, S. B. (1988). Case study research in education: A qualitative approach. San Francisco, C.A: Jossey-Bass. Mingus, T. T. Y.ve Grassl, R. M. (1999). Preservice Teacher Beliefs About Proofs. School Science and Mathematics. 99(8), 438 444. Miyazaki, M. (2000). Levels of Proof in Lover Secondary School Mathematics. Educational Studies in Mathematics. 41, 47-68. Moore, R.C. (1994). Making the transition to formal proof. Educational Studies in mathematics. 27, 249-266. Moralı, S., Köroğlu, H. ve Çelik, A. (2004). Buca Eğitim Fakültesi Matematik Öğretmen Adaylarının Soyut Matematik Dersine Yönelik Tutumları ve Rastlanan Kavram Yanılgıları, Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi. 24(1), 161-175. Moralı, S., Uğurel, I., Türnüklü, E. ve Yeşildere, S. (2006). Matematik Öğretmen Adaylarının İspat Yapmaya Yönelik Görüşleri. Kastamonu Eğitim Dergisi. 14(1), 147 160.

Özer, Ö. ve Arıkan, A. (2002). Lise matematik derslerinde öğrencilerin ispat yapabilme düzeyleri. V. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresinde Sunulmuş Bildiri. Raman, M. (2003). What are they and how can they help us understand how people view proof? Educational Studies in Mathematics. 52, 319 325. Recio, A. M. ve Godino, J. D. (2001). Institutional and Personal Meanings of Mathematical Proof. Educational Studies in Mathematics. 48(1), 83-89. Stylianides, A.J. (2007) Thenotion of proof in the context of elementary school mathematics. Educational Studies in Mathematics. 65(1),1 20. Tall, D. (1998). The Cognitive Development of Proof: Is Mathematical Proof For All or For Some?, Conference of the University of Chicago School Mathematics Project, August, USA. Tall, D. (2002). Advanced mathematical thinking. USA: Kluwer Academic Publishers. Weber, K (2006). Investigating and teaching the processes used to construct proofs. In F.Hitt, G. Harel & A. Selden(Eds), Research in Collegiate Mathematics Education, VI, 197-232. AMS. Weber, K. (2003). Students difficulties with Proof, MAA Online: Research Sampler, http://www.maa.org./t_and_l/sampler/rs_8.html Weber, K. (2001). Student Difficulty in Constructing Proofs: The Need for Strategic Knowledge. Educational Studies in Mathematics. 48, 101 119. Yin, R. K (1994). Case study research design and methods. (2nd edition), Thousand Oaks, CA: Sage Publications.