Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kllanılan Temel Matematiksel Fonksiyonla: Unit Step fonksiyon, Implse fonksiyon: Unit Step Fonksiyon: Tanim: Unit Step fonksiyon aşağıdaki gibi iki şekilde tanımlanabili He iki tanımda liteatüde kllanılmaktadı > = ; = 5 = othewise othewise Unit Step fonksiyonnn gafiği he iki tanım için aşağıdaki gibi sıasıyla göünmektedi 5 Unit Delta Step fonksiyon: Unit delta step fonksiyonnn tanımı aşağıdaki gibi veilmişti Unit delta step fonksiyon daha sona tanımını veeceğimiz implse fonksiyonnn tanımı için kllanacağız, if = othewise Unit delta step fonksiyonnn gafiği ise aşağıdaki gibi veilmişti, Unit Delta Implse Fonksiyon: Unit Delta Implse Fonksiyonnn tanımı ve de gafiği aşagıdaki gibi veilmişti = d d
Unit Implse Fonksion: Unit implse fonksion nit delta implse fonksiyonndan aşağıdaki şekliyle elde edili, = lim Unit implse fonksiyon kısa şekilde implse fonksiyon diye de isimlendiilebili ve de gafiği aşağıdaki gibi veilmişti Implse fonksiyon boylamı enlemine göe çok daha zn olan ama alanı sabit ve de sayısına eşit olan bi dikdötgen gibi düşünülebili Implse fonksiyon matematiksel olaak şöyle ifade edili, Diğe bi değişle; = Implse fonksiyonnn özelliklei: if = ; = othewise if = ; othewise Implse fonksiyon komünikasyon ve de sinyal işlemede çok fazla kllanılan temel fonksiyonladan biisidi B açıdan implse fonksiyonnn bazı temel özellikleinin çok iyi kavanması geekmektedi Devam eden satılada b özelliklei sıalıyoz f = f ; bada eel bi sayı olp, ise bi değişkeni ifade etmektedi f = f ; in daha genel bi ifadesi olmaktadı d = ; ya da d = f d = f ; ya da f d = f Özellik ün ispatı, - ve özelliklei kllanılaak ispatlanabili Özellik ün ispatını aşağıdaki gibi veiyoz
Özellik ün Đspatı: Özelik den f d = f f d = f d ; d ; Özelik ten f d = f Implse fonksiyonnn tüevlei de tanımlanabili; fonksiyonnn, ve de n tüevlei sıasıyla, ve de n şeklinde gösteilmektedi Implse fonksiyonnn n tüevi ile ilgili olaak aşağıdaki özelliği öğenmekte fayda gömekteyiz, Ramp Fonksiyon: n f n f n f = n n f = n = Son olaak göeceğimiz fonksiyon amp fonksiyond Ramp fonksiyonn hatılamak için aaba ile ampa çıkma olayını hatılayabilisiniz Ramp fonksiyonnn tüevi nit step fonksiyonn vemektedi Ramp fonksiyon aşağıdaki gibi tanımlanmıştı; if ; = othewise = ; Ramp fonksiyonnn gafiği ise Şekil XX de gösteilmişti Unit Step fonksiyon, implse fonksiyon ve de amp fonksiyon aasında matematiksel bağlantıla vadı Fonksiyonla aasındaki matematiksel bağlantıla devam eden satıda açıklanmıştı, d d =, = d,, d, d = = = d Şimdi öğenmiş oldğmz b temel fonksiyonlaı pekiştimek için bazı önekle veelim
Önek : f = şeklinde veilmiş bi fonksiyond Bna göe aşağıdaki işlemlein sonçlaını yazınız a f =? b f =? c f d =? d f =? e f d =? a f = f = 5 df b f = = 8 = d = c f d = f = d f = f = 9 e df f d = = = d = Önek : Aşağıdaki işlemlein sonçlaını yazınız d a =? d d b =? d d c =? d d a =, d d d b = d d d d c = d d Önek : Aşağıdaki işlemlein sonçlaını yazınız
a d =? Önek : b d =? c f = fonksiyon için açık bi ifade yazınız a d = b d = if = o c f = = othewise = Aşağıdaki fonksiyonlaın gafikleini çiziniz a f = b f = c f = d f = e f = f f = g f = h f = 5 ı f = Gafikle aşağıda veilmişti, lütfen he şekli iyice inceleyeek anlamaya çalışınız,
f f a b - - f c d f f e f f - f f g h 7 ı f 5 Önek 5: Aşağıdaki gafiklei veilen fonksiyonlaı nit step fonksiyon tüünden yazınız
f f a b 5 5 f f c d 5 6 f e f f - 6 5 Aslında gafikle kaışık gibi gözükse de mantık olkça basitti Gafikledeki atlama noktalaı göz önüne alınaak ve de atlama noktalaındaki atlama miktalaı hesaplanaak fonksiyonla nit step fonksiyon tüünde kolayca yazılanabili a f = 5 b f = 5 c f = 6 d f = 6 e f = 6 f f = 5 Önek 6: Aşağıdaki gafiklei veilen fonksiyonlaı nit step fonksiyon ve de implse fonksiyonlaı tüünden yazınız a b
Önek 7: a f = b f = Aşağıdaki gafiklei veilen fonksiyonlaı nit step fonksiyon, implse fonksiyon ve de amp fonksiyonlaı tüünden yazınız f f a b - - f f c d - - f f e f - - f g h f - B tü solada yapmamız geeken ilk şey fonksiyonn değişim göstediği dmlada yatay eksendeki noktalaı tespit etmekti Daha sona amp, nit step, ve de implse fonksiyonlaını kllanaak gafiklei matematiksel olaak yazmaya çalışıız Aşağıdaki çözümlei gafiklee bakaak iyice anlamaya çalışınız a f = b f = c f =
d = f e = f f = f g = f h = f Önek 8: Aşağıdaki gafiklei veilen fonksiyonlaın biince ve de ikinci tüevleini blnz ve de gafikleini çiziniz Gafiklei öncelikle amp, nit step fonksiyonlaı tüünden matematiksel olaak yazalım Daha sona matematiksel ifadenin tüevini alaak sonc elde edelim Aslında matematiksel ifade yazmadan diek olaak fonksiyonlaın gafikleinden yola çıkaak da tüev sonc elde edilen fonksiyonlaın gafikleini çizmek mümkündü Bi sonaki öneğimizde matematiksel ifade yazmadan diek olaak gafik üzeinden sonca laşmaya çalışacağız a = f b = g c = h Şimdi matematiksel fonksiyonlaın tüevleini alalım, a = f b = g c = h Tüevlein gafik çizimlei aşağıdaki şekilde gösteilmektedi a b c
f g h Eğe tüev gafikleine dikkat edilise, implse fonksiyon oijinal fonksiyonn dikey atlama yaptığı değeleinde otaya çıkmaktadı O halde kısa yolda tüev sonçlaının gafikleini çizmek için aşağıdaki iki kalı çıkaabiliiz Kal : Tüevi alınacak gafiğin hangi noktalada dikey atlama yaptığını tespit edelim ve de atlama miktalaını da hesaplayalım Eğe ykaı doğ bi atlama oldysa tüev gafiğinde atlama noktasında ykaıya doğ atlama miktaı kada bi genliğe sahip olan bi implse fonksiyon olşacaktı Eğe atlama aşağıya doğ ise, tüev gafiğinde atlama noktasında aşağıya doğ, atlama miktaı kada genliğe sahip bi implse fonksiyon beliecekti Kal : Tüevi alınacak olan gafikte eğimli doğla vasa, eğim miktaı hesaplanı ve de yatay bi çizgi olaak gafikte belitilile Şimdi kony pekiştimesi açısından bi önek daha veelim Önek 9: Aşağıdaki gafiklein tüevleini fomül yazmadan gafik üzeinden diek olaak hesaplayınız
Gafiklei için fomül yazmandan sadece kal ve de kal yi yglayaak gafiklein tüevleini diek olaak blalım Bnn için yapılması geeken şey gafikledeki atlama noktalaının belilenmesi ve de atlama miktalaının hesaplanaak, aşağıya doğ olan atlamalada aşağıya doğ atlama enliğine sahip olan bi implse, ykaıya doğ olan atlamalada ise ykaı atlama miktaı kada ykaıya doğ bi implse çizilmelidi Eğimi olan doğlada ise eğim miktaı hesaplanaak yatay bi çizgi çizili B kalla yglasak tüevi alınan gafikle aşağıdaki gibi göülecekti f g Matematiksel bazı fonsiyonlaın nit step ve de implse fonksiyonlaı tüünden yazılmalaı: Bazı açık matematiksel ifadelein, nit step ve de implse fonksiyonlaı tüünden yazılmalaı işlem yapmayı kolaylaştımaktadı B açıdan aşağıdaki öneklei inceleyeek nit step ve de implse fonksiyonlaının açık matematiksel ifadelei yazmak için nasıl kllanıldığına bakınız Önek : f = ; dige ykaıdaki fonksiyon nit step fonksiyon kllanaak yazınız f = Önek: Aşağıdaki fonksiyon nit step ve de implse fonksiyonlaı tüünden yazınız, f = ; = ; dige f =
Üstsel Fonksiyon: Kominikasyon ve de sinyal işleme konlaında kllanılan diğe bi fonksiyonda üstsel fonksiyond Üstsel fonksiyonn tanımı aşağıdaki gibi veilebili, ke f = f = ke dige