BÖLÜM.4 DOĞRUSAL HAREKET 4. Mekanik Mekanik konusu, kinemaik ve dinamik olarak ikiye ayırmak mümkündür. Kinemaik cisimlerin yalnızca harekei ile ilgilenir. Burada cismin hareke ederken izlediği yol önemlidir. Hareke ile cisimlerin üzerine eki eden kuvveler veya cisimlerin çeşili özellikleri arasındaki ilişki ise dinamik adı alında incelenir. Bu bölümde bazı kinemaik büyüklükler anımlanacak ve ek boyu a hareke incelenecekir. 4. Hareke Bir cisim, örneğin dünya çevresinde dönen bir uydu, ilerlerken aynı anda dönme harekei de yapıyor olabilir. Bir başka cisim, örneğin bir yağmur damlası, hareke ederken aynı anda şeklini de değişiriyor olabilir. Harekein kendine özgü bu karmaşıklığı kolaylaşırmak için, parçacık adı verdiğimiz bir cismin harekeini göz önüne alacağız. Parçacık, noka gibi boyuları olmayan bir sisemdir, yani eni boyu ve derinliği yokur.bu yüzden parçacık harekei düşünüldüğünde dönme veya şekil değişirme gibi durumlar söz konusu olmaz. Doğada parçacık diye bir şey gerçeke olmayabilir, ancak yinede bu kavram yararlıdır; çünkü boyuları olan bir cisim bile bazı durumlarda bir parçacık gibi davranabilir. Örneğin dünya ile güneş arasındaki uzaklık göz önüne alınırsa, bu uzaklığa göre güneş ve dünya birer parçacıkmış gibi kabul edilebilir. Sonuç olarak parçacık kavramı birçok problemi son derece basileşirir. Hareke, cismin konumunun değişmesi olarak anımlanır. Harekelerde, bir cismin değişik nokaları farklı yörüngelerde bulunur. Harekein ümü, cismin içindeki her nokanın harekeinin bilinmesi ile olur. Bu sebeple sadece harekeli bir noka veya parikül denilen çok küçük bir madde parçacığını göz önüne alacağız. 4.3 Oralama Hız Bu bölümde bir boyulu hareke üzerinde durulacakır. Şekil. 4. (a) da görüldüğü gibi x ekseni boyunca hareke eden bir parçacık göz önüne alalım. Şekil.4. (b) deki eğri, x koordinaının zamanına göre değişimini göseren grafikir. Şekil. 4. (a) da parçacık 73
anında koordinaı x olan P nokasında anında da koordinaı x olan Q nokasında bulunmakadır. Bunlara karşılık olan nokalar şeklin (b) kısmında p ve q ile göserilmişir. Parçacığın bir nokadan diğerine gimesiyle meydana geirdiği yer değişirme ilk nokayı son nokaya bağlayan x vekörü ile göserilir. x - x = x olan PQ vekörü yer değişirmeyi verir. Bu yer değişirmenin - = denir. Oralama hız v or göserilir. v or vekörün bir skalere bölümü gene bir vekördür. v or x = x zaman aralığı oranına parçacığın oralama hızı x = dir. Oralama hız bir vekördür, çünkü bir x = yazılır. Şekil.4. (b) de oralama hız pq kirişinin eğimidir. Yani x in ye oranı dır. Yukarıdaki denklemi aşağıdaki gibi yazabiliriz. x - x = v or ( - ) = = x = x x = x = v or. yazılır. 4.4 Ani Hız Parçacığın herhangi bir an veya yörünge üzerinde herhangi bir nokadaki hızına ani hız denir. Parçacığın Şekil.4. deki P nokasındaki ani hızının isenildiğini düşünelim.p ile Q arasındaki oralama hız yer değişirme ve zaman aralığına bağlıdır. P nokasına giikçe yaklaşan ikinci bir Q nokası düşünelim ve giikçe kısalan yer değişirme ve bu yer değişirme için gerekli zaman aralığı için oralama hızı bulalım.ilk nokadaki ani hız bu ikinci nokanın oralama hızının limi değeri olacakır. Maemaik göserişe göre sıfıra doğru yaklaşırken x / nin limi değeri dx / d şeklinde yazılır. Bu orana x in ye göre ürevi denir. Ani hızı v ile göserecek olursak; x dx v = lim = şeklinde yazılır. d Ani hız da bir vekördür.ve doğrulusu x yer değişirmesinin limi doğrulusudur. poziif bir büyüklük olduğundan v, x in işarei olacakır. 74
Şekil.4. (a) da Q nokası P ye yaklaşırsa, Şekil.4. (b) de q nokası da p ye yaklaşacakır.limi halde pq kirişinin eğimi eğrinin p nokasındaki eyim ine eşi olur. Buna göre koordina-zaman grafiğinde herhangi bir nokadaki ani hız ; o nokadaki eğein eğimine eşiir.teğe sağa yukarı eğikse eyim poziif dolaysıyla hız poziif ve hareke sağa doğrudur.teğe aşağı eğikse, hız negaif olur. Teğein yaay olduğu nokalarda eyim sıfır olacağından hızda sıfırdır. 4.5 Oralama ve Ani İvme Bazı özel haller dışında bir cismin hareke sürecince hızı değişir. Bu halde cismin ivmeli bir hareke yapığı veya bir ivmeye sahip olduğu söylenir.şekil.4.(a), x ekseni boyunca hareke eden bir cismi göseriyor. v, P nokasındaki,v de Q nokasındaki ani hızları gösermekedir. Şekil.4. (b) de v ani hızının zamana bağlı değişimini veren eğriyi gösermekedir. p ve q (a) daki P ve Q ya karşılıkır. P den Q ya doğru hareke eden parçacığın oralama ivmesi, hızdaki değişimin, bu değişimin meydana geldiği süreye oranı ; v a= v v = olarak anımlanır. Bu bağınılardan ve, v ile v hızlarına karşılık olan anları gösermekedir. Şekil.4. (b) de oralama ivmenin şiddei pq kirişinin eğimi olarak alınmışır. Bir cismin ani ivmesi yani, herhangi bir an veya yörünge üzerinde herhangi bir konumdaki ivmesi ani hızdaki gibi arif edilir. Şekil.4. (a) deki Q nokası, ilk P nokasına giikçe yaklaşıralım ve kısa zaman aralıklar için oralama ivmeyi hesaplayalım.ilk nokadaki ani ivme, ikinci nokanın birinciye giikçe yaklaşmasının limi hali olarak anımlanır. v a = lim = dv d Ani ivmenin doğrulusu hız değişimini göseren v vekörünün limi haldeki doğrulusudur. 75
Ani ivme mekanik anımlarda önemli bir yer uar. Oralama ivme pek az kullanılır. İvme eriminin geçiği her yerde bundan sonra ani ivme anlaşılacakır. Şekil.4. (a) da Q nokası P ye yaklaşırken, Şekil.4. (b) de q nokası da p ye yaklaşır ve pq kirişinin eğimi hız-zaman diyagramında p nokasındaki eğein eğimine yaklaşır. Buna göre grafiğin her hangi bir nokasındaki ani ivme bu nokadaki eğein eğimine eşi olur. a = dv /d bağınısı ile verilen ivme değişik bir şekilde ifade edilebilinir. dv dv dx dv a = =. = v. d dx d dx Bu bağını ivmenin yer değişirmeye bağlı olarak bir ifadesidir. 4.6 Sabi İvmeli Doğrusal Hareke En basi ivmeli hareke, ivmesi sabi olan doğrusal harekeir. Bu harekee hız, düzgün bir değişme göserir. Böyle bir harekein hız-zaman diyagramı Şekil.4.3. de görülen bir doğru çizgidir. Hız eşi zaman aralarında eşi mikarda arma göserir. Doğrunun iki nokası arasındaki kirişin eğimi, büün nokalardaki eğimlerde olduğu gibi eşiir ve oralama ivme ile ani ivmenin değerleri aynıdır. v a= v = ve yi herhangi bir an olarak alalım. v, = anındaki hız ve v, anındaki hız olsun. Buna göre yukarıdaki bağını, veya v v a = v = v + a şekline girer. Buda sabi ivmeli harekeeki hız ifadesidir. Burada a ivmesi, hızın birim zamandaki değişimi dir ve sabiir. a erimi, hızın birim zamandaki değişimi ile hareke süresinin çarpımıdır. ve hızdaki oplam değişimi verir. 76
Sabi ivme ile hareke eden bir parçacığın yer değişirme mikarını bulmak için Şekil.4.3 de görüldüğü gibi hız-zaman diyagramı bir doğru olduğuna göre herhangi bir zaman aralığı için oralama hızın, ilk ve son hızlarının oralamasının alınması yolu ile bulunabileceği haırlanmalıdır. Buna göre ve anları arasındaki oralama hız, v + v v or = olacakır. İvme sabi olmadığı ve hız-zaman diyagramının eğri olması halinde bu işlem doğru olmaz. = anında orijinde bulunan bir parçacığın herhangi bir anındaki x koordinaının, x = v. or olduğunu göserdik. Yukarda gördüğümüz iki bağını göz önüne alınırsa, bulunur. v + v x =. v v = v + a ile v + x =. denklemlerini kullanarak aralarında önce v sonrada yi yok ederek çok kullanışlı iki bağını kurabiliriz. v + v x =. denkleminde yerine yazarsak, v = v + a v nin bu değerini v + v+ a x =. veya x = v + a v vo sonucuna varırız. v = v + a bu denklemden = çekerek a v + v vo + v v v x =. denkleminde yerine yazarsak ; x=. elde edilir. a v = v + ax olur. Bu denklemi sabi ivmeli harekein zamansız hız formülü diye ifade edilir. 77
4.7 İnegrasyonla Hız ve Koordinaın Bulunması x ekseni üzerinde hareke eden bir parçacığın x koordinaı, zamanın fonksiyonu olarak verilirse hız, v = dx / d diferansiyel almak sureiyle bulunabilir.aynı şekilde ikinci bir ürev a = dv/ d verir. Şimdi bir ers işlem yaparak ivme verildiğinde hız ve koordinaın nasıl bulunduğunu göreceğiz. Bu işlemler için inegral almak gerekli olacakır. İlk önce belirsiz, sonrada belirli inegral alacağız..belirsiz inegral.ivmenin a() şeklinde zamanın fonksiyonu olarak verildiğini kabul edelim. Buna göre, dv = a() dolaysıyla dv = a( ) d d = dv = a( ) d, v a( ) d+ C Bu bağınıda C bir inegrasyon sabiidir ve bilinen bir andaki v değeri ile hesaplanabilir. C in, = anındaki v o değerine dayanarak bulunması en çok kullanılan yoldur. Yukarıdaki inegral hesaplanınca, v() hızını, nin fonksiyonu olarak ifade emiş oluruz. Bundan sonra dx = v() dx = v( ). d d dx = v( ). d x = v( ). d+ C bulunur. Bu bağınıdaki C sabii de belli bir anda, bilinen x koordinaı yardımıyla hesaplanabilinen bir inegrasyon sabiidir. C de genellikle = anındaki x o koordinaından faydalanarak bulunur. dv İvme, x in fonksiyonu olarak verilirse a = kullanarak, dx dv v = a(x), dx v. dv= a( x). dx v a( x). dx+ C = 3 yazabiliriz. 78
a ) Şimdi belirsiz inegral kullanarak sabi ivmeli hareke denklemlerini çıkarabiliriz. a sabi olduğuna göre v = a( ) d+ C denkleminden v = a + C yazabiliriz. Faka = anında v = v o olduğundan v o = + C olur. Dolaysıyla ; v = v + a bulunur. a sabise x = v( ). d+ C dan x = ( v + a). d = v+ a + C bulunur. = anında x = sa C = olacağından ; x + a = v olur. v a sabi olduğundan, a( x). dx+ C = 3 v göre = ax+ C3 bulunur. x = iken v= v olduğu bilindiğinden C 3 = v / sonucuna varılır. Buradan v = v + ax bulunur. b) Şimdi belirli inegral kullanarak hız ve koordinaları bulacağız. Şekil.4.5 deki hızzaman diyagramında ve düşey çizgileri genişliğinde ince şerilere ayrılmış olsun. Grafik üzerinde herhangi bir anına karşılık olan ordina, o andaki hızı verir. ve + anları arasındaki x yer değişirmesi v. olur. Bu çarpım genişliği ve yüksekliği v olan aranmış şeridin alanıdır. ve anları arasındaki dik dörgen şeklindeki şerilerin alanlarının oplamı, yaklaşık bu zaman aralığındaki x - x yer değişirmesini verir. x x v. Herhangi bir zaman aralığındaki yer değişirme veya gidilen yol, hız-zaman eğrisi ile zamanlar ekseni ve harekein başlangıcı ile son anlarından geçen düşey çizgiler arasındaki alana eşiir. Benzer şekilde, ivme zaman diyagramındaki alan a yüksekliğinde genişliğinde şerilere bölünebilir. İvme sabi kalıyorsa, v nin süreci içindeki değişimi düşey dik dörgenin a. alanına eşi olur. ve anları arasında hızın v - v değişimi, yaklaşıkla Toplam alanına eşi olur. v v Σa. 79
4.8 Serbes Düşen Cisimler Sabi ivmeli doğrusal harekein örneklerinden biri dünyanın yüzeyine doğru düşmeke olan bir cismin harekeidir. Hava sürünmesi olmadığı durumlarda, ağırlıkları, yapıları ve şekilleri ne olursa olsun her cisim dünya yüzeyine doğru aynı ivme ile düşüğü bilinmekedir. Hareke esnasında ivme değişmez. Bu harekee serbes düşme denir ve buna düşme kadar yükselme harekei de dâhildir. Serbes düşen cismin ivmesine yerçekimi ivmesi denir ve g harfi ile göserilir.dünya yüzeyi üzerinde yer çekiminin değeri 9,8 m / sn ( mks), 98 cm / sn (cgs), 3 f / sn alınır. Serbes düşme sabi ivmeli bir hareke olduğunda sabi ivmeli doğrusal hareke formüllerini kullanacağız. v = v + a, x = v o + (/ ) a., v = v + ax burada a = -g x = h alınırsa bu denklemler, v = v g, h = v o - (/ ) g., v = v g h olur. 8
ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER 4.. x ekseni üzerinde hareke eden bir cismin koordinaı x =. denklemi ile verildiğini kabul ediniz. = 3 sn de cismin ani hızını bulunuz. ( yi önce, sn, daha sonra, sn) Çözüm: 3? x, x kadar arığında de kadar arar............,.3,. 6,.3,. 6,,.3,. 6, O halde küçüldükçe gerçek değere yaklaşmakadır. 4.. Bir oomobilin hız gösergesi km/h yerine m/sn ayarlanmışır. Oomobilin harekee başlamasından sonra hız için aşağıdaki okumalar yapılmışır. Zaman (sn),, 4, 6, 8,,, 4, 6 Hız (m/sn),,, 5,, 5,,, a) sn ara ile oalama ivmeleri bulunuz. ivme sabi midir? bir zaman aralığında sabi kalıyor mu? b) Yukardaki verileri kullanarak bir hız zaman diyagramı çiziniz. Bunun için yaay eksende sn = cm ve düşey eksende 5 m/sn = cm alınız. Elde edilen nokalardan geçen düzgün bir eğri çiziniz. cm lik alan ne kadar yolu göserir? İlk 8 sn de gidilen yol ne kadardır. = 8, 3,5 sn deki ivme ne olur. 8
Çözüm: a)? 4 5 6 4 3 3 5 8 6 5 5 8 5 5 sabi değildir. Yalnız 6- sn arasında sabi olup 5 =,5 m/sn dir. b) V 5 5 8 6 4 8 6 4 4 6 8 4 6 8
V 4.3. Şekilde görüldüğü gibi bir cismin hızzaman diyagramın da; a) = 3 sn de ani ivme nedir? b) = 7 sn de ani ivme nedir? c) = sn de ani ivme nedir? d) ilk 5 sn içinde cisim ne kadar yol alır? e) ilk 9 sn içinde cisim ne kadar yol alır? f ) ilk 3 sn içinde cisim ne kadar yol alır? 55 5 45 4 35 3 5 5 5 4 6 8 4 Çözüm: a) 3 b) 7 5 4 6,5 c) 45 4,5 d) 5?..5..5 e) 9? 9.. 4.5 8 5 3 f) 3?. 4.45 3 9 3 4.4. Oomobil şoförlerinin oralama reaksiyon süreleri,7 sn kadardır. Bir oomobil 6 m/ sn ivme ile yavaşlayabildiğine göre işarei gördüken duruncaya kadar ( ilk hızı 3 km / h dir.) gidilen yolu bulunuz. 83
Çözüm:,7 6 3? reaksiyon süresinde aldığı yol. 5 3.,7 5,83 sonra yavaşlama ivmesi ile aldığı yol 3 36 3 36 5 8 5 6 5 3... 5 3.6 5,5 48 5 3.,5 6.,5 7,97 8 4.5. Bir op, bir binanın epesinden düşey olarak 3 m / sn lik ilk hızla aşağı doğru aılıyor. a) saniye düşünce opun hızı ne olur. b) saniye içinde ne kadar yol alır. c) 3 m düşüğü zaman hızı ne olur. d) Fırlaılırken op elde 3 m yol aldığına göre opun bu harekei esnasında ivmesi ne olur. e) Top yerden m yukarıda elden çıkığına göre ne kadar zaman sonra yere çarpar. f) Yere çarpığı andaki hızı ne olur. Çözüm: a) 3? 3 9,8. 49,6 b) 3. 9,8.4 6 9,6 79,6 c) 3? 9.9,8.3 9 588 38,57 d) 3.. 3 3 6 5 e)? 3. 9,8 3. 4,9,75 f) 3 9,8.,75 56,95 84
4.6. Derin bir uçurumun ucundan bir aş serbes bırakılıyor. sn sonra 6 m / sn lik bir ilk hızla ikinci bir aş düşey olarak aşağı doğru aılıyor. Uçurumun epesinden ne kadar aşağıda ikinci aş birinciye yeişir? Çözüm: 6.. 9,8,9 4,9,8 5,8 9,8 6,9 9,8 6 4.7. Bir op, bir binanın balkonundan serbes bırakılıyor.bu opun 9 m yükseklike bir pencerenin önünden geçiş süresi,5 sn olduğuna göre pencerenin epesinin balkondan olan uzaklığını bulunuz. Çözüm: A V o = h,5 9? 9.. B C h V B 9.,5 9,8.,5.,5,3 34,8 34,8.9,8 9,6 6,78 4.8 Bir hokkabaz, avanı elinden iibaren 3 m yükseke bulunan bir salonda bulunuyor. elindeki opu am avana ulaşacak şekilde düşey olarak yukarı doğru aıyor. a) Top hangi ilk hızla aılmışır. b) Topun avana varması için geçen süre nedir. Hokkabaz birinci opun avan vardığı anda aynı şekilde ikinci bir opu aıyor. c) İkinci opun aılmasından ne kadar zaman sonra oplar karşılaşırlar. d) Toplar karşılaşıkları anda hokkabazların elinden ne kadar yükseke bulunurlar. 85
Çözüm: 3 m V= V o a).9,8.3 6.9,8 7,66 b),,78, c) 7,67. 3. 3. 3,39, d). 7,67.,39 9,8,39,5 4.9 Bir öğrenci yer çekimini bizza incelemek için 3 m yüksekliğinde bir gökdelene çıkarak yürüyor ve elinde bir kronomere ile kendini serbes düşmeye bırakıyor.(ilk hızı sıfır) 5 sn sonra fevkalbeşer bir insan aynı yere gelerek öğrenciyi kurarmak için aşağıya pike yapıyor. a ) İnsanüsü varlığın öğrenciyi yere am çarpacağı zaman kurarabilmesi için ilk hızı ne olmalıdır. b) Binanın yüksekliği ne olmalıdır ki, insanüsü varlık çocuğu yere çarpmakan kuraramasın? Çözüm: h=3 m 3 5 3. 9,8. 6 9,8 7,8 7,8 5,8.. 9,8.,8 3.,8. 9,8.,8 9,56 b)? Ç ğ ığı İüü ığı 5 5 5. 9,8. 5 7,8 7,8. 9,8. 7,8 98,9 Bina bu yüksekliken küçük ise çocuğu kuraramayız. 86
4.. Sabi ivmeli hareke eden bir oomobil aralarındaki uzaklık 6 m olan iki noka arasındaki yolu 6 sn de alıyor. İkinci nokadan geçerken hızı 5 m/sn olduğuna göre a) Birinci nokadaki hızını b) Oomobil in birinci nokanın ne kadar gerisinden harekee başladığını bulunuz. V x V x = 6 m = 6 sn V V = 5 m/sn V o = Çözüm: a = sabi V = 5 m/sn V = V x V x = 6 m V = 6 sn 6 = V. 6 + ( V V ). 5 V 6 = 6. V + ( ). 36 6 V V 5 5 m b) a = = =,67 6 sn V V 5 x = = = 7,49mere a.,67 x = V. + V = 5 m/sn a = V V = ax. a. V = V + V V a. 4.. Bir aş kuyunun başında yukarı doğru 5 m/sn lik bir hızla aılıyor ve aş kuyuya düşüyor. Taş aıldıkan sonra ses işiiliyor. Kuyunun derinliğini bulunuz. V s = 34 m/sn g = m/sn V s sesin havadaki yayılma hızı h V 87
Çözüm: V = 5 m/sn V s = 34 m/sn g = m/sn = 5 sn cisim aılıyor ; V = V g. V 5 ç = = =,5sn g aş 3 sn sonra başlangıç nokasına gelir. Bu nokada V = g. =.,5 V = 5 m/sn = 5 3 = sn V = 5 m/sn olur. Taş kuyunun başından bırakılıyor. h = V. +. g. + = ses geliyor. h V h = V s. iniş süresi çıkış süresi = V. +. g. = Vs ( ), b± = b 4. ac.. a 7± 7 4.( 36) 5. +.. = 34( ), = 7± 54+ 544 7± 5. + 5. = 68 34., = = 7± 74,73 3,73 5. + 355. 68=, = = + 7. 36= =,865 =,865 h= V s. = 34.,35 = 45,9 m =,35 sn 5585 4.. Bir su birikinisinden 5 m yüksekliğindeki bir yerden m/sn hızla bir aş aılıyor. sn sonra ikinci bir aş aılıyor ve bir çarpma sesi işiiliyor. a) Birinci aşın suya düşme süresini b) ikinci aşın ilk hızını c) aşların suya düşme hızlarını bulunuz. g = m/sn 88
Çözüm: h = 5 m V = m/sn =? aş düşüyor. y = V. +. g. b) = =,97 =,97 sn 5 =. + 5. y = V. +. g. 5. +. 5 = 5 = V.,97 + 5.(,97) +,4. = 5 = V.,97 + 5.3,88 b± b 4ac,4±,6+ 4 = = a 5 = V.,97 + 9,4,4± 6,34 = =,97sn 3,59 m V = = 5,5,97 sn aşın düşme süresi h = 5 m V = V + g. = +.,97 = 3,7 m/sn V = V + g. = 5,5 +.,97 = 35, m/sn 4.3. A ve B oomobilleri komşu iki şerien aynı yönde giderken bir rafik ışığında duruyorlar. Yeşil ışık yanınca A oomobili m / sn lik sabi ivme hızlanıyor. İki sn sonra B oomobili hareke edip,3 m / sn lik ivme ile hızlanıyor. a) B nin A ya ne zaman ve nerede yeişeceğini b) Bu anda oomobillerin hızlarını bulunuz. Çözüm: A a =..... B,3. a =,3.,3. olduğu zaman B A ya yeişir...,3. 4 4 7,3 7,3 6,3.. 6,3 3,8 b) 6,3. 6,3,3 6,3 8,6 89
4.4. a ) Bir ren gecikmesiz olarak yol almakadır. İlk bir saae v hızıyla, bir sonraki yarım saae 3v hızına sahipir. Bundan sonra v / hızı ile 9 dakika yol alır ve son saa v /3 hızıyla gider. Bu seyaha için v- grafiğini çiziniz. b) Bu seyahae ne kadar yol alır. c) Büün seyaha boyunca renin oralama hızını bulunuz. Çözüm: 3V V saa V hızı / saa 3V hızı,5 saa V/ hızı saa V/3 hızı V V V/ V/3 / 3 (saa) 4 5 b). 3.. 3,9 c),,784 4.5. Bir yer alı reni A isasyonundan ayrılıyor. İlk 6 sn de m / sn lik ivme ile hızlanıyor ve sonra m / sn lik hıza erişinceye kadar,5 m / sn ile hızlanmaya devam ediyor. B isasyonuna yaklaşıncaya kadar aynı hızı koruyor. Sonra fren yapıyor ve sabi bir ivme ile yavaşlayıp 6 sn sonra duruyor. A dan B ye kadar oplam gidiş süresi 4 sn dir. a-,v- ve s- eğrilerini çiziniz ve AB uzaklığını hesaplayınız. 9
Çözüm: İvme Zaman eğrisi: İvme ya sabi veya sıfır olduğuna göre a- eğrisi yaay doğru parçalarından ibareir. a 6 6 6 6,5 6,5 6,5 9,5 5 34 ı. ı. 6 34 4 34 4. 6 - V 6 6.6 8 6 4.6 4.6 36 6 S 6 34 4 36 8 54 34 4. 88 34 34 4 378 6. 34 378 54 8 6 34 4 9
4.6. Bir maddesel noka şekilde görüldüğü a gibi bir doğru üzerinde hareke ediyor. < < için v ve s eğrilerini çiziniz. V = sn m S = 4 6 8-5 -5 a m Çözüm: V = S = sn a eğrisinin alındaki alan V deki değişimi verir. < < V V = V = sn m 4 6 8 < < 4 V 4 V = - V 4 = 4 < < 6 V 6 V 4 = m V 6 = sn 6 < < 8 V 8 V 6 = -3 V 8 = - sn m -5-5 8 < < V V 8 = V = - v 4 6 8 S v eğrisinin alındaki alan S deki değişimi verir. < < S S = S = m < < 4 S 4 S =. S 4 = 3 m - 4 < < 6 S 6 S 4 =. S 6 = 5 m V 8 V = -5 ( 8 ) -- = - + 5. 9
S 63,3 6 5 4 3 5 = = 7,33 6 < < 7,33 S 7,33 S 6 =,33. S 7,33 = 3,3 + 5 S 7,33 = 63,3 7,33 < < 8 S 8 S 7,33 =,67.( ) S 8 = 59,95 8 < < S S 8 = -. = - S = - + 59,95 = 39,95 4 6 7,33 8 4.7. Bir maddesel noka şekilde görüldüğü gibi bir doğru üzerinde hareke ediyor. = da S = -4 m olduğuna göre sn için a- ve s- eğrilerini çiziniz. v 5 5-3 a Çözüm: v- grafiğinde eğrilerin eğimi ivmeyi verir. 6 < < 5 m a = = 4 5 sn 5 < < a = < < a 3 = m = sn < < 5 a 4 = 3 m = 3 sn 4-5 5 93
5 < < 3 m a 5 = = 6 5 sn v- eğrisinin alındaki alan s deki değişmeyi verir. S = -4 m < < 5 S 5 S = 5. S 5 = 5 + S S 5 = m 5 < < S S 5 = S = + S 5 S = m < < S S =. S = + S S = 3 m < < 5 S 5 S = 3.( 3) S 5 = -45 + S S 5 = 85 m 5 < < S - S 5 =.5.( 3) S = -75 + S 5 S = m 3 s 85 5 5-4 4.8. Bir maddesel noka şekilde görüldüğü gibi bir doğrulu üzerinde hareke ediyor. = S = -6 cm olduğuna göre < < sn için a ve s eğrilerini bulunuz. v 4 4-94
v Çözüm : = S = -6 cm < < a ve s v eğrisinde doğruların eğiminden ivmeler bulunur. 4 4 < < 4 a = ( / 4 ) = 5 m / sn - 4 < < a = < < a 3 = ( - / ) = - m / sn < < 4 5 a 4 = ( - / ) = - m / sn a 4 < < a 5 = 4 4 v- eğrisinin alındaki alan s deki değişmeyi verir. - < < 4 S 4 S =.4.= 4 S 4 = 4 6 S 4 = - m 4 < < S S 4 = 6. = S = S = m < < S S =.= S = S = m < < 4 S 4 S =.( ) = S 4 = S 4 = m 4 < < S S 4 = -.6 = - S = - + S = - m 95
Cisim iki defa s = durumunda olur. Bunlar ve anları olsun. S - S 4 = ( 4 ) S - S 4 = - ( 4 ) buradan = 5 sn = 9 sn bulunur. s + + + 4 4 - -6 a 4.9. Bir maddesel noka şekilde göserilen ivme ile bir doğru üzerinde hareke ediyor. m Maddesel noka V = -4 hızla hareke sn eiğine göre < < sn için v- ve s- eğrilerini çiziniz. 8 4-5 6 Çözüm: a v = -4 sn m < < v ve s 8 4-5 6 96
a eğrisinin alındaki alan v nin değişimini verir. < < 6 V 6 V = 48 V 6 = 48-4 V 6 = 4 m / sn 6 < < V -V 6 = 6 V = 4 +6 V = 4 m / sn < < 4 V 4 - V = - 5. 4 V 4 = - + 4,V 4 = m / sn 4 < < V V 4 = -5 ( 4 ) = 8 sn 8 < < V V 8 = -5. V = - m / sn < < V V = 8. + 4 = 8. = 3 sn +4 +4 + -4 3 6 4 8 - S nin değişimi = v eğrisinin alındaki alan, S = < < 3 S 3 S = 3.( 4) = 36 S 3 = -36 m 3 < < 6 S 6 S 3 = 3.4= 36 S 6 = 36-36 m 6 < < S S 6 =.4.6+ 4. 4 S = 8 m < < 4 S 4 S =.4.+ 4. S 4 = 48 4 < <8 S 8 S 4 =..4= 4 S 8 = 88 8 < < S S 8 = ( ).= S = 78 S 48 88 78 8 3-36 6 4 8 97
4.. Bir maddesel noka şekilde görüldüğü gibi bir doğru üzerinde hareke ediyor. < < için v ve s eğrilerini çiziniz. V = m/sn S = a -5 4 6 8-5 Çözüm : < < V = m/sn S = < < V V = V = < < 4 V 4 V = -5. V 4 =- + V V 4 = 4 < < 6 V 6 V 4 =. V 6 = + V 4 V 6 = 6 < < 8 V 8 V 6 = -5. V 8 = -3 + V 8 = - 8 < < V V 8 = V = - a -5-5 V 4 6 8 v eğrisinin alındaki alan yer değişirme verir. < < S S =. S = m < < 4 S 4 S =.. S 4 = 3 m 4 < < 6 S 6 S 4 =.. S 6 = 5 m V 8 V = -5 (8 ) - = - + 5 = 7,33-4 6 8 98
6 < < 7,33 S 7,33 S 6 =.,33. S 7,33 = 3,3 + 5 = 63,3 7,33 < < 8 S 8 S 7,33 =.,67( ) = 3,35 S 8 =59,95 m s 63,3 6 5 4 3 8 < < S S 8 = -. S = - + 59,95 = 39,95 m 4 6 7,33 8 4.. Şekildeki K düzeyinden serbes bırakılan bir cisim h yüksekliğini saniyede h yüksekliğini saniyede alıyor. / = olduğuna göre h /h oranını bulunuz. h K h Çözüm: h h = h =. g. =. h h =? h h = V = g. h = V. +. g. h = g.. 5 +. g. =. g. h =. g. 4 = = olur. 5 5 5. 5. g. h h K 99