Bölüm 1 Ders 01 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler 1.1 Çözümler:Alıştırmalar 01 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Aşağıdaki ilk iki denklem sistemini grafik yöntemi ile, sonraki ikisini yerine koyma ve diğer ikisini de yok etme yöntemi ile çözünüz. 1.a) 1.b) x + y = 5 x y = 1 Çözüm: x = 3, y = 2 3x y = 2 x + 2y = 101 Çözüm: x = 2, y = 4 1.c) x y = 4 x + 3y = 12 Çözüm: x = 6, y = 2 1
2 BÖLÜM 1. DERS 01 Şekil 1.1: Soru1-1b Şekil 1.2: Soru1-1c
1.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 01 3 1.ç) Şekil 1.3: Soru1-1gg 1.d) 2x + y = 6 x y = 3 Çözüm: x = 1, y = 4 Şekil 1.4: Soru1-1d 1.e) 3u 2v = 4 4u + 4v = 12 Çözüm: u = 2, v = 1 32x + 3y = 1 3x y = 7 Çözüm: x = 2, y = 1 2. Aşağıdaki denklem sistemlerini yerine koyma veya yok etme yöntemi ile çözünüz.
4 BÖLÜM 1. DERS 01 Şekil 1.5: Soru1-1e Şekil 1.6: Soru1-2a 2.a) 2x + 5y = 23 11x + 2y = 1 Çözüm: x = 1, y = 5 2.b) Şekil 1.7: Soru1-2b 3x 6y = 9 2x + 4y = 12 Çözüm: Yok. Doğruar paralel
1.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 01 5 2.c) Şekil 1.8: Soru1-2c 2.ç) 2.d) 2.e) 0.8x y = 0 0.4x + y = 0.72 Çözüm: x = 3 5 0.2x 0.5y = 0.07 = 0.6, y = 12 25 = 0.48 0.6x + 0.2y = 0.72 Çözüm: x = 11 10 = 1.1, y = 3 10 = 0.3 5 2 x 25 6 y = 5 2 5 x + 4 y = 6 Çözüm: x = 3.667, y = 3.4 3 x + y = 1 0.3x 0.4y = 0 Çözüm: x = 4 7 = 0.57143, y = 3 7 = 0.42857 3. x - 2y= -6, 2x + y= 8, x + 2y=-2, ve x - y= -5 denklemleri ile verilen doğruları aynı koordinat düzleminde çiziniz ve bu doğrulardan iki veya daha fazlasının kesiştiği noktaların koordinatlarını bulunuz. Çözüm: Şekil 1.12 den görüldüğü gibi üç doğru ortak bir noktda kesişmiyor. Öyleyse üç denklem tutarlı değildir; yani istemin çözümü yoktur. Ama doğrular ikişer ikişer kesişir. Kesişim noktaları şekilden görülüyor.
6 BÖLÜM 1. DERS 01 Şekil 1.9: Soru1-2gg Şekil 1.10: Soru1-2d
1.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 01 7 Şekil 1.11: Soru1-2e Şekil 1.12: Poblem 3
8 BÖLÜM 1. DERS 01 4. Bir tatil beldesinde satışa sunulan mayolar için, tanesi p TL den x tane mayonun satışa sunulması durumunda, haftalık fiyat-arz denklemi p= 0.1x + 3 ve fiyat-talep denklemi p=-2x + 87 TL olarak veriliyor. Pazar denge fiyatını ve denge satış miktarını bulunuz. Çözüm: 0.1x + 3 = 2x + 87 = 2.1x = 84 = x = 40 bulunur. Bu değer p = 0.1x + 3 eşitliğinde kullanılırsa p = 7 bulunur. 5. 30000 adet dinleyici kapasiteli konser salonuna, fiyatları 4 TL ve 8 TL olan biletler satılmaktadır. Tüm biletlerin alıcı bulacağı varsayıldığına göre, bilet satışından; a) 220000 TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? Çözüm: x + y = 30000 4x + 8y = 220000 denklem sisteminin x 0, y 0 koşulunu sağlayan çözümünü arıyoruz. Bu sistemi çözersek x = 5000, y = 25000 olur. b) 200000 TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? Çözüm: Yukarıdaki denklemde 220000 TL yerine 200000 TL koymak yeterlidir. Öyleyse; x + y = 30000 4x + 8y = 200000 denklem sisteminin x 0, y 0 koşulunu sağlayan çözümünü arıyoruz. Bu sistemi çözersek x = 10000, y = 20000 olur. c) 150000 TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? Çözüm: Yukarıdaki denklemde 200000 TL yerine 150000 TL koymak yeterlidir. Öyleyse; x + y = 30000 4x + 8y = 150000 denklem sisteminin x 0, y 0 koşulunu sağlayan çözümünü arıyoruz. Bu sistemi çözersek x = 22500, y = 2500 olur.
1.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 01 9 ç) 250000 TL gelir elde etmek mümkün müdür? 100000 TL gelir elde etmek mümkün müdür? Çözüm: Yukarıdaki denklemde 150000 TL yerine 250000 TL koymak yeterlidir. Öyleyse; x + y = 30000 4x + 8y = 250000 denklem sisteminin x 0, y 0 koşulunu sağlayan çözümünü arıyoruz. Bu sistemi çözersek x = 2500, y = 32500 olur. Bu çözüm x 0 koşulunu sağlamaz. Dolayısıyla(ç) şıkkının 250000 TL getiren çözümü yoktur. 250000 TL gelir elde etmek mümkün değildir. Benzer biçimde, sistem 100000 TL için çözülürse x = 35000, y = 5000 olur. Bu çözüm y 0 koşulunu sağlamaz. Dolayısıyla (ç) şıkkının 100000 TL gelir getiren çözümü yoktur. 6. Beslenme rejimi uygulayan bir kişi, günlük diyetindeki kalsiyum ve protein miktarını artırmak için beyaz peynir ve yoğurt kullanıyor. Kullandığı ölçeğe göre, bir ölçek beyaz peynirde 6 gram kalsiyunı ve 30 miligram protein; bir ölçek yoğurtta da 1 gram kalsiyum ve 41 miligram protein bulunmaktadır. Bu diyetten günde 63 gram kalsiyum ve 747 miligram protein kazanabilmesi için bu kişi günde kaç ölçek beyaz peynir ve kaç ölçek yoğurt tüketmelidir? Çözüm: 6x + y = 63 30x + 41y = 747 denklem sisteminin çözümü olan x = 8.5 ölçek peynir ve 12 ölçek yoğurt tüketmelidir. 7. Bir şirket, Seylan dan ithal ettiği çay ile Rize çayından harman yaparak Buruk A ve Buruk B markalarıyla satışa sunmak istiyor. Bir kg Buruk A, 300 gr Seylan ve 700 gr Rize çayı karıştırılarak elde ediliyor. Bir kg Buruk B, 600 gr Seylan ve 400 gr Rize çayı karıştırılarak elde ediliyor. Firmanın elinde, her birinin ağırlığı 60 kg olan 40 çuval Seylan çayı ve 50 çuval. Rize çayı bulunmaktadır. Şirketin elindeki çayın tamamını piyasaya sürebilmesi için kaç kg Buruk A ve kaç kg Buruk B marka çay üretmesi gerekir? Çözüm: 300x + 700y = 2400 600x + 400y = 3000
10 BÖLÜM 1. DERS 01 6x + 14y = 48 6x + 4y = 30 A = 330x 3.8 + 700x 1.8 = 2400kg B = 600x 3.8 + 400 1.8 = 3000kg 10y = 18 y = 1.8kg x = 3.8kg x = 3.8 kg ve y = 1.8 kg değerleri kullanılırsa, buruk A = 300x + 700y = 2400 kg ve buruk B = 700x + 400y = 3000 kg üretmetilmelidir. 8. Türkiye genelinde dağıtım yapan bir kargo şirketi, yirmi dört saat içinde adresine teslim edilmek üzere paket kabul etmekte; her paketin 500 grama kadar olan [500 gram dahil] ağırlığı için sabit bir ücret alıyor ve ilk 500 gramdan sonraki her 500 gram için de başka bir sabit ücret uyguluyor. 4.5 kg lık bir paket gönderen bir müşteri 15 TL, 12.5 kg lık paket gönderen bir müşteri de 39 TL ödediğine göre, ilk 500 gram için ve ondan somaki her 500 gram için uygulanan ücreti belirleyiniz. İlk 1 gr x kuruş, sonraki y kuruş ise 500x + 4000y = 15000 500x + 12000y = 3900 Çözüm: x= 0.6 krş, y= 0.3 krş. İlk 500 gram için 500 0.6 = 300 krş= 3 TL Sonraki her 500 gram için 39 3 = 36, 3600 24 = 150 krş= 1.5 TL olur. 9. İkinci alıştırmadaki her denklem sisteminin ilaveli matrisini yazınız. a) c) d) A = [ 2 5 ] 23 11 2 1 [ ] 0.8 1 0 C = 0.4 1 0.72 D = [ 5 2 2 5 ] 6 5 4 3 6 25 b) d) e) B = G = E = [ 3 6 ] 29 2 4 12 [ 0.2 0.5 ] 0.07 0.6 0.2 0.72 [ 1 1 ] 5 0.3 0.4 0
1.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 01 11 10. a) b) c) d) 1 2 3 A = 3 1 4 2 3 7 1 2 3 4 3 B = 3 1 2 1 4 2 2 3 5 7 C = x 1 + 2x 2 = 3 3x 1 + x 2 = 4 2x 1 3x 2 = 7 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 3 = 3 3x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 = 4 2x 1 + 2x 2 3x 3 + 5x 4 = 7 [ ] 0 2 1 4 0x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 4 2 0 1 5 2x 1 0x 2 + x 3 = 5 3 2 1 4 D = 2 1 5 4 0 3 6 8 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 2x 1 x 2 + 5x 3 = 4 0x 1 + 3x 2 + 6x 3 = 8 11. İlaveli matrisi aşagıda verilmiş olan denklem sistemlerini yazınız ve çözün kümelerini bulunuz. Çözüm: Katsayılar matrislerinin indirgenmiş biçimlerini bulmalıyız. a) [ 1 0 ] 2 0 0 1 S = 2,1) b) c) [ 1 1 ] 1 0 0 0 [ 1 1 ] 0 0 0 1 S = t + 1, t) : t R S = φ ç) [ 1 2 0 ] 3 0 0 1 1 S = 2t + 3, t, 1) : t R
12 BÖLÜM 1. DERS 01 d) e) [ 1 0 1 ] 2 0 1 2 1 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 1 S = t,5 + 2t,2,1) : t R S = 3,2,1) 12. 1 2 2 1 A = 3 2 3 8 2 4 4 6 matrisi veriliyor. a) A nın 2-3 girdisi kaçtır? 3-2 girdisi kaçtır? 1-4 girdisi ka çtır? b) A nın bı ikinci satırındaki girdileri sırasıyla yazınız. c) A nın ikinci sütunundaki girdileri sırasıyla yazınız. ç) A nın birinci ve üçüncü satırlarının yerleri değiştirilince elde edilen matrisi yazınız. d) A nın birinci satırı -3 ile çarpılınca elde edilen matrisi yazınız. e) A nın birinci satırı 2 ile çarpılıp üçüncü satırına top1anınca(birinci satırı değistirmeden) elde edilen matrisi yazınız. Çözüm: a) a 23 = 3, a 32 = 4, a 14 = 1 b) {1,2, 2,1} c) {2,2,4} ç) 2 4 4 6 A = 3 2 3 8 1 2 2 1 d) 3 6 6 3 A = 3 2 3 8 2 4 4 6
1.1. ÇÖZÜMLER:ALIŞTIRMALAR 01 13 e) 1 2 2 1 A = 3 2 3 8 0 8 0 8
48 BÖLÜM 1. DERS 01