DERS İÇERİĞİNE GENEL BAKIŞ ELEKTROMANYETİK DALGALAR DERSİ 2015-2016 YAZ DÖNEMİ Yrd. Doç. Dr. Seyit Ahmet Sis seyit.sis@balikesir.edu.tr, MMF 7. kat, ODA No: 3, Dahili: 5703 1
DERS İÇERİĞİNE GENEL BAKIŞ Ders İçeriği : Vektörel işlemlerin hatırlatmasıyla başlanıp, elektrostatik ve magnetostatikin temel teorem ve eşitlikerinden bahsedilecek, daha sonra dersin tamamına yakınında elektrodinamik konuları işlenecektir. Bu bağlamda işlenmesi planlanan konular: Maxwell denklemleri, düzlemsel dalgalar (plane waves), Dalgaların farklı ortamlara arasında yayılımında davranışları (örn. yansıma, kırımla...), Işıma ve antenler (sadece temelleri verilecek, spesifik antenlere girilmeyecek) Ders Kaynakları: 1) Fawwaz Ulaby,Eric Michielssen and Umberto Ravaioli Fundamentals of Applied Electromagnetics 5 th or 6 th edition. 2) Schaum s Elektromanyetik, 2. baskıdan çeviri 3) David Cheng, Fieild and Wave Electromagnetics (Türkçeside mevcuttur) 4) Davif J. Griffiths Introduction to Electrodnamics Vize % 40, Final % 60 2
DERS İÇERİĞİNE GENEL BAKIŞ 1. Ders 2. Ders 3. Ders 4. Ders 5. Ders Vektör analizi, elektrostatik temellerinin kabaca tekrarı 6. Ders 7. Ders 8. Ders 9. Ders 10. Ders 11. Ders 12. Ders 13. Ders 3
VEKTÖR ANALİZİ Elektrik ve Manyetik alanlar vektörel büyüklüklerdir Bu bağlamda lisans düzeyinde hâli hazırda verilmiş olan vektör analizi üzerinden kısaca geçmenin faydası vardır Vektörün Matematiksel İfadesi Birim Vektör (Unit Vector) 4
VEKTÖR ANALİZİ x,y ve z kordinatları, baz vektörü olarak isimlendirilen, birim vektörleriyle gösterilirler Ax, Ay ve Az A vektörünün izdüşümleridir! 5
VEKTÖR ANALİZİ VEKTÖRÜN BOYU: BİRİM VEKTÖR: A vektörünün yönünü gösteren boyu 1 birim olan vektör: Dolayısıyla, kartezyen kordinatlarda tanımlanan bu A vektörü kendi birim vektörüyle aşağıdaki gibi de gösterilir. 6
VEKTÖR ANALİZİ VEKTÖR TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ 7
VEKTÖR ANALİZİ VEKTORLERDE ÇARPMA İŞLEMLERİ BASİT ÇARPMA İŞLEMİ, SKALAR ÇARPMA İŞLEMİ, VEKTÖREL ÇARPMA İŞLEMİ Bir vektörün bir skalarla çarpımıdır: BASİT ÇARPMA İŞLEMİ A k pozitif ve 1 den büyük ka Vektörün boyu k kadar artar, yönü ise k pozitif ise A yönündedir. k negatif ise A yönündedir. 8
VEKTÖR ANALİZİ VECTORLERDE ÇARPMA İŞLEMLERİ SKALAR ÇARPMA İŞLEMİ (NOKTA ÇARPIMI) İki vektörün aynı bileşenlerinin genliklerinin çarpılıp toplanmasıdır. Çarpım sonucu bir vektör değil skalar bir büyüklüktür. Bu nedenle 2 tane vektör çarpımı olsada bu işleme skalar çarpım denmektedir Geometrik manada skalar çarpım: vektörlerden birinin genliği ile diğer vektörün bu vektör üzerine iz düşmü büyüklüğünün çarpımıdır. 9
VEKTÖR ANALİZİ DOLAYISIYLA VECTORLERDE ÇARPMA İŞLEMLERİ VEKTÖREL ÇARPMA İŞLEMİ (ÇAPRAZ ÇARPIM) Geometrik manada: Çarpımın sonucu, yönü iki çarpan vektörün olduğu düzleme dikolan ve genliğide, bu iki çarpan vektörün oluşturduğü paralel kenarın eşit olan bir vektördür. Yada : NOT: Çarpımın sonucu yine bir vektördür. Bu yüzden buna vektörel çarpım denir Sağ el kuralıyla yönü bulabiliriz! 10
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ Elektromanyetikte fiziksel nitelikler (örn E, H) zamana ve konuma bağlı büyüklüklerdir. Değişim yönleride birim vektörler vasıtasıyla gösterilir. Uzayda bir konumun yerini, yada bir vektörel büyüklüğün (örn E ve H) yönünü 3 boyutlu kordinat sistemlerini kullanarak tanımlarız. KORDİNAT SİSTEMLERİ Ortagonal Kordinat Sistemleri Bütün kordinatlar birbirine dik EM problemlerin çözümünde sıklıkla kullanılır 3 tür ortagonal kordinat sistemi vardır: Kartezyen kordinat sistemi Silindirik kordinat sistemi Küresel kordinat sistemi Ortagonal Olmayan Kordinat Sistemleri Kordinatların kimisi birbirine dik olmayabilir Çok özel durumlarda kullanılır ve nadiren pratik problemlerin çözümüyle ilgilidir. 11
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ KARTEZYEN KORDİNAT SİSTEMİ Birim kordinatlar x, y ve z ile gösterilirler. diferansiyel uzunluk diferansiyel alan Diferansiyel hacim 12
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ SİLİNDİRK KORDİNAT SİSTEMİ Silindirk kordinatlarda bir vektör aşağıdaki gibi gösterilir: yönlerindeki bileşenlerdir Diferansiyel uzunluk, diferansiyel yüzey ve diferansiyel hacim: 13
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ SİLİNDİRK KORDİNAT SİSTEMİ ÖRN: Aşağıdaki matematiksel ifadeyle belirlenen silindirik yüzeyin alanını bulunuz! CEVAP: Görüldüğü üzere bahsedilen alanı bulmak için aldığımız integral silindirik kordinatlarda alınmıştır. Aynı alanı kartezyen kordinatlarda integralini alarak bulmak oldukça zordur! Dolayısıyla, problemin türüne göre en uygun kordinat sisteminin seçilip işlem yapılması gerekmektedir. 14
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ SİLİNDİRK KORDİNAT SİSTEMİ ÖRN: Aşağıdaki A vektörünün birim vektörünü bulunuz! 15
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ KÜRESEL KORDİNAT SİSTEMİ Herhangibir nokta R, θ ve değişkenleriyle gösterilir. Birim vektörler, yada diğer bir deyişle baz vektörler φ ve Aşağıdaki kurala uyarlar: Bir vektör aşağıdaki şekilde ifade edilir: 16
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ KÜRESEL KORDİNAT SİSTEMİ 17
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ KÜRESEL KORDİNAT SİSTEMİ ÖRN: Yarıçapı 2 cm olan bir kürenin içindeki yük yoğunluğu dur. Bu kürenin içerisindeki toplam yükü bulunuz. CEVAP: 18
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ ÖZETİ 19
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ DEL OPERATÖRÜ Del operatörü, yada kimi yerde Nabla operatörü olarak da bilinir, bir vektörel kısmi türev operatörüdür. Kendisi bir vektördür Diğer vektörel yada skalar büyüklüklere uygulanır. Sembolü ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİNDE DEL OPERATÖRÜ AŞAĞIDAKİ GİBİDİR Kartezyen Silindirik Küresel 20
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ GRADYAN (GRADIENT) Del operatörü bir skalar büyüklüğe (fonksiyona) basit çarpım şeklinde uygulanır ve sonucu bir vektörel büyüklüktür. Gradyan, yada DEL operatörü: Bir T (x,y,z) skalar fonksiyonuna uygulandığında: 21
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ DİVERJANS (DIVERGENCE) Diverjans DEL operatörünün bir vektörle noktasal çarpımıdır. İki vektörün noktasal çarpımı skalar büuükül olduğu için, divejansın sonucu skalardır. ROTASYON (CURL) Rotasyon DEL operatörüyle bir vektörün çapraz çarpımıdır. Sonuç yine vektörel bir büyüklüktür. 22
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ DEL OPERATÖRÜNÜN İŞLEMLERİ 23
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ VEKTÖR ANALİZİ, OPERATÖRLER VE KORDİNAT SİSTEMLERİ İLE İLGİLİ BAZI ÖDEVLER 1) Yarı çapı 5 cm olan, ve z= -3 cm den z= 3 cm ye uzana silindirin alanını silindirik kordinatlarda integralini alarak bulunuz! NOT: Silindirin hacim formülünü kullanarak yapmayınız. Silindirik kordinatlarda integrali alarak yapınız! 2) Aşağıda kartezyen, silindirik ve küresel kordinatlarda birim vektörlerin birbirleri ile çapraz çarpımları verilmektedir. Bu çarpımların doğruluğunu önceki slaytlarda gördüğümüz (slayt 10) çapraz çarpımın sonucunun yönünü sağ el kuralıyla tayin edebileceğimizi görmüştük. Aşağıdaki birim vektör çarpımlarının doğruluğunu kağıt üzerine çizerek sağ el kuralını düşünerek gözleyiniz! kartezyen silindirik küresel 3) Aşağıdaki fonksiyonunun gradyenti, diverjansı yada rotasyonundan hangisi alınabilir. Yapılabilen işlemi yapınız! 24
ELEKTROSTATİK ELEKTROSTATİK (ZAMANLA DEĞİŞMEYEN ELEKTRİK ALAN) HATIRLATMA! 25
ELEKTROSTATİK COULOMB KUVVETİ Aralarında r mesafesi olan q1 ve q2 yüklerinin birbirlerine uyguladıkları kuvvet. Gerçek manada, yani mekaniksel olarak bu yükler birbirlerini iter yada çeker. Elektrostatikte sabit yükler üzerinden hesaplamalar yapılır. Bu yüzde Elektrostatik denmektedir. Haraketli yüklerinde itme çekme kuvveti vardır. Fakat bunların incelemesi elektrostatik içerisinde değil ilerleyen kısımlarda elektromanyetik de açıklanacaktır. (Newton) ELEKTRİK ALAN Bir q yükünün oluşturduğu elektrik alan (E) ise, o q yükünün 1 C luk birim yüke uyguladığı Coulomb kuvvetidir. Yani elektrik alan dediğimiz şey Coulomb kuvvetinin özel hali gibidir. X 1 Bir q yükünden dolayı 1 C luk bir yüke uygulana Coulomb kuvvetidir! 26
ELEKTROSTATİK ELEKTRİK ALAN İKİ YÜK TEK YÜK q yükünün oluşturduğu elektrik alan vektörleri gösterilmektedir! 27
ELEKTROSTATİK ELEKTRİK ALAN Birden fazla yükün bir noktada oluşturduğu Elektrik Alan (E) En genel halde: 28
ELEKTROSTATİK ELEKTRİK ALAN Sürekli dağılımlı yüklerin bir noktada oluşturduğu Elektrik Alan (E) Sürekli dağılımlı en genel haldeki diferansiyel yük yoğunluğunun (dq) bir noktada oluşturduğu diferansiyel elektrik alan (de) Hacimsel yük yoğunluğu ile ilgileniyorsak: Verilen hacimdeki toplam yükün bahsedilen noktada oluşturduğu elektrik alan: 29
ELEKTROSTATİK ELEKTRİK ALAN Sürekli dağılımlı yüklerin bir noktada oluşturduğu Elektrik Alan (E) Yüzey yada çizgisel yük yoğunluğu olan yük kaynaklarından bahsediyorsak: Deplasman Vektörü (Displacement Vector, D) 30
ELEKTROSTATİK ELEKTRİK ALAN D = εe = ε 0 ε r E Malzemenin özelliği! Gauss Yasası İntegral Formu Kapalı bir hacimin içerisindeki toplam yük Hacimin yüzeyi Toplam Yük= Q C Yük yoğunluğu ise= ρ v C/m 3 (birim hacimdeki yük) Gauss Yasası Diferansiyel Formu 31
ELEKTROSTATİK ELEKTRİK ALAN 32
ELEKTROSTATİK ELEKTRİK ALAN 33
ELEKTROSTATİK Gauss Yasası Diferansiyel Formu Gauss Yasası İntegral Formu 34